Faculteit Economie en Bedrijfskunde studiejaar

Transcriptie

1 Faculteit Economie en Bedrijfskunde studiejaar VOORBLAD Op deze eerste pagina vindt u belangrijke informatie met betrekking tot dit tentamen. Lees de hierna volgende informatie aandachtig door voordat u begint met de tentamenvragen! Tentamen: Statistiek - code 60P0 Datum en tijd van het tentamen: maart 04 9:00 uur Duur van het tentamen :, klokuur (0 minuten) U dient zich te kunnen legitimeren met een gevalideerde collegekaart van de UvA of een ander geldig identiteitsbewijs. Indien u niet correct bent aangemeld voor dit vak via SIS, wordt het cijfer van uw werk niet geregistreerd. Schrijf uw naam, volgnummer en uw studentnummer op het antwoordformulier dat u inlevert. Waarschuwing voor fraude: Fraudeer niet! Studenten die betrapt worden op een vorm van fraude worden bestraft. De maximale straf die de examencommissie kan opleggen is een verbod op deelname aan alle tentamens gedurende een jaar. Uw mobiele telefoon moet uitgeschakeld in uw tas zitten. Uw tas dient te zijn afgesloten en naast uw tafel te staan. Tijdens het tentamen is het zeer beperkt toegestaan naar het toilet te gaan indien de coördinerende surveillant of examinator hieraan vooraf toestemming geeft. Toegestane hulpmiddelen: potlood, pen, gum, liniaal, eenvoudige niet-grafische rekenmachine, onbeschreven tabellenboekje, kladpapier. Specifieke informatie over dit tentamen: Het tentamen bevat 4 opgaven. U dient uw uitwerkingen in te vullen binnen de kaders op het antwoordformulier. Het antwoordformulier levert u voorzien van uw naam, studentnummer en volgnummer, na afloop van het tentamen in bij de surveillant. De puntenverdeling m.b.t. het aantal juiste antwoorden vindt u op het antwoordformulier en op het tentamenblad. Voor dit (her)tentamen kunt u maximaal 00 punten behalen, punten voor opgave, punten voor opgave (beide opgaven bevatten stof van de eerste 3 weken), 3 punten voor opgave 3 en 3 punten voor opgave 4 (stof van de laatste 3 weken). Antwoorden: zie Blackboard. De cijfers van dit tentamen zullen officieel binnen werkdagen volgend op de tentamendatum worden gepubliceerd. Inzage van dit tentamen: Vragen met betrekking op de eindscore kunnen per mail worden gestuurd aan de coördinator. Via Blackboard wordt u geïnformeerd over de datum en de locatie van de inzage. U mag de tentamenvragen meenemen na afloop van dit tentamen. SUCCES!

2 Universiteit van Amsterdam Faculteit Economie en Bedrijfskunde Afdeling Economie en Econometrie Tentamen Statistiek maart 04 Tijd: 09:00 :30 uur De uitslag wordt uiterlijk over werkdagen bekend gemaakt via Blackboard. De uitwerkingen en antwoorden komen ook op Blackboard. Inzagedatum en -locatie worden via Blackboard bekend gemaakt. Het tentamen kan daarna eventueel worden besproken met je docent. N.B. Het is toegestaan om het boekje Formulas and Tables te gebruiken, mits dit geen aantekeningen bevat. Het is NIET toegestaan om een grafische rekenmachine te gebruiken. Toiletbezoek is slechts BEPERKT mogelijk. Bij dit tentamen wordt gebruikgemaakt van de decimale punt. OPGAVE. < punten 3/4//3> Het aantal campers dat verkoper ves per maand verkoopt () is gedurende een lange tijd bijgehouden. Zo is de volgende kansverdeling voor vastgesteld: P= ( ) =, P= ( ) = en P= ( 3) =. Hieruit volgt: E ( ) =. 6 a. Bereken de standaardafwijking van het aantal campers dat ves per maand verkoopt (4 decimalen). Nu is ook het aantal caravans dat verkoopster Xenia per maand verkoopt (X) bijgehouden. Uit een analyse van het aantal verkopen van caravans en campers per maand van Xenia en ves is de onderstaande simultane kansverdeling ontstaan. 3 4 X Op basis van deze tabel kan worden bepaald dat: EX ( ) = en σ X = 3 9 b. Bereken EX ( ) (4 decimalen). c. Bereken de correlatiecoëfficiënt van X en (4 decimalen) en interpreteer de uitkomst. d. Zijn X en onafhankelijke kansvariabelen? OPGAVE. < punten 4/4/7> Uit ervaring blijkt dat er.0% kans is dat een schroef een klein defect in de schroefdraad heeft. In de fabriek worden dozen gevuld met 400 schroeven. We willen weten hoe groot de kans is dat in een doos minstens 6 schroeven een defect hebben. Dit is een binomiale kans die we, met behulp van een andere kansverdeling, gaan proberen te benaderen. a. Welke benadering(en) zou je daarvoor mogen gebruiken? Laat zien waarom dat mag. Het productieproces van schroeven is verbeterd waardoor de kans op een defect 0.7% geworden is. b. Bereken de kans dat minstens 6 schroeven in een doos van 400 een defect hebben door gebruik te maken van een geschikte benadering.

3 Op een zekere dag merkt men bij een kwaliteitscontrole dat er iets mis is met de productiemachine. Van de geproduceerde schroeven blijkt 0% een defect te vertonen. c. Bereken de kans dat niet meer dan 30 schroeven in een doos van 400 een defect hebben met behulp van een geschikte benadering. OPGAVE 3. <3 punten /3/> De breeksterkte van elektriciteitsdraad in een bepaald productieproces is een normaal verdeelde kansvariabele met een gemiddelde van 00 kg en een standaarddeviatie van kg. Om de productiekosten te verlagen wordt een ander proces uitgeprobeerd. Uit het nieuwe productieproces neemt men een steekproef van 30 draden. Men vindt daarin een gemiddelde breeksterkte van 97 kg en een standaarddeviatie van 6 kg. a. Bepaal het 9%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaarddeviatie van de breeksterkte van draden uit het nieuwe proces en laat zien dat de standaarddeviatie in het nieuwe proces niet significant verschilt van de standaarddeviatie in het oorspronkelijke proces. Je mag nu aannemen dat de standaarddeviatie in het nieuwe proces kg is. b. Toets of het nieuwe proces een negatief effect heeft op de sterkte van de draden. Formuleer de hypothesen, de toetsingsgrootheid en zijn verdeling, vergelijk de uitkomst van de toetsingsgrootheid met het kritieke gebied en geef de conclusie. Gebruik een significantieniveau van %. c. Om veiligheidsredenen moet de minimale sterkte 96 kg zijn. Bepaal het onderscheidingsvermogen van de toets voor deze minimumwaarde en geef de betekenis van de gevonden uitkomst. OPGAVE 4. <3 punten 7/7/6/7//3> De personeelsleden bij een groot automobielbedrijf ontvangen jaarlijks een betaaloverzicht met daarop grote aantallen uitbetalingen en inhoudingen. De interne accountant wil de salarisadministratie controleren. Niet alleen om vast te stellen of de berekeningen correct zijn, maar ook om te controleren of aan alle regelgeving is voldaan. Op grond van zijn onderzoek besluit hij de uitgifte van deze salarisoverzichten al of niet goed te keuren. a. Bij welke steekproefgroottes is de kans op 0 fouten kleiner dan 0.0, als men uitgaat van % fouten in de populatie? Aan de hand van een steekproef wenst hij een 9%-betrouwbaarheidsinterval voor het percentage fouten op te stellen dat in procenten maximaal breed is. b. Bereken de minimaal vereiste steekproefomvang als we nog steeds aannemen dat het percentage fouten in de populatie ongeveer bedraagt. Welke aanname maakt U bij de berekening van deze steekproefgrootte? 3

4 De accountant accepteert een percentage fouten van maximaal. Als dat zo is dan keurt hij de populatie salarisoverzichten dus goed. Hij wil zijn besluit om al of niet akkoord (populatie goedkeuren) te gaan baseren op een statistische toets. Hij stelt hiertoe hypothesen op. Hij twijfelt tussen: H0 : p0.0 H0 : p0.0 of H: p0.0 H: p0.0 Hij besluit tot de rechts-eenzijdige toets met: H0 : p 0.0 H : p 0.0 c. Wat is de betekenis in woorden van de kans op een fout van de eerste soort α = 0.0 bij deze laatste keuze? De accountant besluit nu om een steekproef van 00 salarisoverzichten te nemen. Verder besluit hij dat wanneer er ten hoogste fout salarisoverzicht gevonden wordt, akkoord te gaan met de gehele populatie salarisoverzichten binnen de jaaropgave. d. Wat is het door de accountant gehanteerde significantieniveau? Merk op dat er onder H 0 sprake is van een benadering van de verdeling van de toetsingsgrootheid m.b.v. de Poisson-verdeling met μ =. Neem nu aan dat in werkelijkheid 0.0% van de salarisstrookjes niet correct is. e. Bereken de kans dat de accountant op basis van de steekproef besluit niet akkoord gaat met de uitgifte van de salarisoverzichten op basis van bovengenoemde beslissingsregel en de populatie dus afkeurt. f. Hoe heet de bij het onderdeel e berekende kans? EINDE TENTAMEN 4

5 -3-04 STATISTIEK ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN OPGAVE. < punten 3/4//3> σ = = = σ = = a. ( ) b x y PX ( = x y) EX ( ) = = = c. σ = ( ) = = X σ = EX ( ) µ µ = = = Of: X X σ X 36 ρ = = = 0.33 σ σ X 9 Er is sprake van een zwakke en negatieve lineaire samenhang. d. PX ( = en = ) = 6 PX ( = ) = P( X ) P ( ) = = = = P ( = ) = 6 4 4, dus X en zijn niet onafhankelijk. OPGAVE. < punten - 4/4/7> a. X = aantal schroeven met productiefout ~ Bin(n = 400, p = 0.0) p < 0.0 dus de kans mag met behulp van een Poisson-verdeling benaderd worden. np = 4.8 <, dus de kans mag niet met behulp van een normale verdeling benaderd worden. b. X Poisson ( µ = 3) want μ = n p = = 3 P(X 6) = P(X ) 0.96 = (np = 3 <, dus de kans mag niet m.b.v. een normale verdeling benaderd worden.) c. X c ~ N(μ = 40, σ = 6) want μ = n p = = 40 en σ = np( p) = 36 P(X 30) P(X c < 30.) = P Xc μ σ < = P(Z <.8) = = (p > 0.0, dus de kans mag niet m.b.v. een Poisson-verdeling benaderd worden.)

6 OPGAVE 3. <3 punten /3/> 3a. Let X = breaking strength in kilograms, n = 30, χ 0.97; 9 = 6.047, χ 0.0; 9 = 4.7 (30 ) 6 (30 ) 6 < σ <.834 < σ < 6.09 so 4.78 < σ < The standard deviation in the original process is within the confidence interval of standard deviation in the new process; so there is no significant difference. 3b. Hypotheses: H 0 : µ = 00 versus H : µ < 00 X 00 Test statistic: Z = ~ N (0,) or X ~ N ( µ = 00, σ = 30) 30 Critical region: z <.64 or x < = Test outcome: z 3.9 or x = 97 is in the critical region, so reject H 0. / 30 Conclusion: The new process has a significant negative effect ( α = 0.0) on the breaking strength c. Power, given µ = 96 is β = PX ( < 98. µ = 96) = P Z< = PZ ( <.74) = This high value indicates that the test very effectively distinguishes the un-safety values. OPGAVE 4. <3 punten 7/7/6/7//3> 4a. X: aantal fouten in de steekproef Bin( n =..., p = 0.0) n ln 0.0 PX ( 0) n n 49 ln b. Aanname: n p en n p. Met de aanname p= 0.0 en dus p=0.0, nemen we dus aan dat n ( ) zeker groter dan 0 moet zijn n n 73. Voldoet. n 0.0 De minimale steekproefomvang is dus 73. 4c. De kans op een fout van de eerste soort α = 0.0 betekent nu: een kans van 0.0 om een (goede) populatie met een foutenpercentage van % op basis van de steekproefuitkomst onterecht af te keuren. PX Poisson( ) PX ( ) Of: 4d. PX Bin(00; 0.0 PX Bin(00; 0.0 PX 0 PX e. PX Poisson( 0.) PX f. Twee antwoorden mogelijk, beide goed. Power is in principe hét antwoord ) Dit is, per definitie, het onderscheidingsvermogen (Power) van de toets (-β) als p =0.00 bij een H0 van p=0.0. ) Omdat echter een fractie fouten van 0.00 eigenlijk H0 ondersteunt zou dit ook een fout van de eerste soort kunnen worden genoemd. 6