Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk en tentamenbriefje Opgave Een kleine fabriek werkt met een ochtendploeg en een avondploeg Definieer voor een willekeurige werkdag de stochastische variabelen en Y als volgt: = het aantal afwezigen bij de ochtendploeg Y = het aantal afwezigen bij de avondploeg Op basis van jarenlange statistieken is de simultane kansverdeling van en Y bepaald De kansen P ( = x, Y = y) zijn als volgt: x \ y 0 3 0 005 005 00 0 005 00 05 00 0 05 00 005 a Bepaal de marginale verdeling van Y b Bereken E (Y ) en var(y ) c Bereken cov(, Y ) Opgave Bij een verzekeringsmaatschappij zijn 5000 huizen verzekerd tegen brandschade De kans dat een huis brandschade oploopt in een jaar tijd stellen we gelijk aan 0000( = 0 4 ) Het optreden van brandschade aan een huis stellen we onafhankelijk van het optreden van brandschade bij andere huizen, verzekerd bij de verzekeringsmaatschappij a Laat het aantal brandschades in een jaar zijn Geef de formule voor bepaal E( ) b Wat is de kans dat in een jaar tijd de verzekeringsmaatschappij meer dan 5 brandschades te vergoeden heeft? P ( = x) en
Opgave 3 De staatsloterij maakt reclame met de leus Kans op, waarmee bedoeld wordt dat bij aankoop van een staatslot de kans 50% is dat er op dat lot een prijs valt Een goklustige Nederlander besluit, steeds met één lot, deel te nemen aan de komende trekkingen Zij het aantal loten dat hij koopt totdat hij voor het eerst prijs heeft a Geef de naam van de verdeling van en geef de formule voor P ( = x) b Bereken de kans P( 4) Opgave 4 Een type bulldozer kan met een laadbak een maximum gewicht omhoog tillen De leverancier geeft voor de waarde 600 (kg) op In de praktijk verschilt het maximum gewicht (in kg) van bulldozer tot bulldozer en is verdeeld volgens een N (600,00) - verdeling Als de laadbak volgeladen is, varieert het gewicht Y van de lading ook van keer op keer: Y is N (400,3600) -verdeeld Stel nu dat we een willekeurige bulldozer bekijken en dat de laadbal volgeladen wordt Bereken de kans dat de bulldozer het gewicht Y van de lading omhoog kan tillen Geef een duidelijke afleiding en vermeld de extra (maar vanzelfsprekende) aanname die je nog nodig hebt Opgave 5 We beschouwen twee steekproeven We hebben uitkomsten van stochastische variabelen,,, Y, Y,, waarbij we het volgende aannnemen:,,, Y, Y,, Y, m Y n, m n zijn onderling onafhankelijk, i is N ( µ, σ )-verdeeld ( i =,,, m) en Y j is N ( µ, σ ) -verdeeld ( j =,,, n) We willen de variantie σ schatten door middel van een schatter T van de vorm T = as + bsy + c met S de steekproefvariantie van,, en de steekproefvariantie van, Y, Y,, Y n De getallen a, b en c moeten we nog kiezen We gaan de getallen a, b en c zo kiezen dat T de beste zuivere schatter wordt van bovengenoemde vorm Voor de volgende onderdelen mag je gebruiken dat de variantes van en als volgt zijn: 4 4 var( S ) = σ /( m ) en var( S Y ) = σ /( n ) a Toon aan dat a + b = en c = 0 moeten gelden als T zuiver is b Stel nu a + b = en c = 0 Leid af dat de verwachte kwadratische fout van T nu 4 4 gegeven wordt door: a σ /( m ) + ( a) σ /( n ) c Toon nu aan dat de beste zuivere schatter van de vorm T = as + bsy + c als volgt is: m n T = S + S Y m + n m + n m S Y S S Y
Opgave 6 De productie van een wasmiddel heeft tot gevolg dat productiemedewerkers langdurig blootgesteld worden aan het enzym Bacilis Subtilis met als mogelijk gevolg een vermindering van de airflow rate De airflow rate is de verhouding van het maximale volume lucht die een persoon kan uitademen gedurende seconde en het maximale volume lucht die een persoon kan uitademen na zo diep mogelijk te hebben ingeademd Voor personen zonder longstoornis geldt een norm van 080 voor de airflow rate Van 9 aselect gekozen medewerkers zijn de airflow rates gemeten met als resultaat (de waarden zijn gerangschikt van klein naar groot): 06 063 064 067 070 07 073 074 076 078 08 08 08 083 084 085 085 087 088 Ga voor de volgende onderdelen uit van een normale verdeling, met (onbekende) verwachting µ en variantie σ a Bereken de ma schattingen voor µ en σ b Bereken het 95%-voorspellingsinterval voor een nieuwe meting Ga uit van schattingen 075 en 0007 voor resp µ en σ als je onderdeel a niet hebt opgelost Opgave 7 De consumentenbond doet onderzoek naar de dienstverlening van helpdesks Bij telefonische helpdesks wordt een wachttijd van maximaal minuut redelijk geacht Als één van de bereikbaarheidsnormen hanteert de consumentenbond dat hoogstens één op de 0 willekeurige telefoontjes leidt tot een wachttijd van meer dan minuut Tijdens het onderzoek wordt de helpdesk van Microhard op willekeurige momenten gebeld en in 40 van de 5 gevallen wordt de wachttijd van minuut overschreden a Wordt de norm van minuut bij Microhard vaker dan één op de 0 keer overschreden? Voer een toets uit om deze vraag te beantwoorden, neem 5% als onbetrouwbaarheidsdrempel en volg het schema van acht stappen vermeld aan het eind van dit tentamen b Bereken het onderscheidend vermogen van de toets van onderdeel a voor de situatie dat Microhard in werkelijkheid 5% van alle bellers pas na minuut te woord staat Opgave 8 Hardheid, volgens de definitie van Janka, is een belangrijke structurele eigenschap van (timmer)hout en moeilijk te meten Hardheid van hout is echter gerelateerd aan dichtheid van hout en de dichtheid is relatief gemakkelijk te meten Voor Australisch hardhout (Eucalyptus) willen we de relatie tussen hardheid en dichtheid bepalen teneinde de hardheid op basis van de dichtheid te kunnen voorspellen/schatten We bestuderen de metingen van hardheid (volgens Janka) en dichtheid van 36 monsters Australisch hardhout De metingen zijn als volgt: 3
dichtheid hardheid dichtheid hardheid dichtheid Hardheid 47 484 394 0 534 880 48 47 399 989 560 980 73 43 403 60 565 80 84 57 406 00 573 00 84 549 407 00 576 980 90 648 407 30 59 30 303 587 49 70 598 940 37 704 458 80 660 360 356 979 469 400 674 700 385 94 48 760 688 890 388 070 55 70 69 740 393 00 55 00 69 340 We passen (enkelvoudige) lineaire regressie toe met y = ln( hardheid), de natuurlijke logaritme van hardheid, als afhankelijke variabele en met x = ln( dichtheid) als verklarende variabele De variabele y is uitgezet tegen x in Figuur Figuur : y versus x 85 8 75 7 65 6 55 3 35 4 45 Computer output is als volgt: ANOVA Sum of Squares df Mean Square F Regression 7678 76778 336 Residual 0349 34 0009557 Total 097 35 0345506 4
Coefficients B Std Error T Constant 005 004 008 x 8847 00537 3509 a Geef de schatting voor σ b Bereken het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor β c Voor een nieuw monster Australisch hardhout (Eucalyptus) wordt de waarde 40 voor x = ln( dichtheid) gevonden Construeer een 90%-voorspellingsinterval voor de hardheid van het monster Maak voor dit interval gebruik van de computer output en de volgende gegevens: Steekproefgemiddelde van x : 3778 Steekproefvariantie van x : 009465 Normering a b c a b 3a 3b 4 5a 5b 5c 6a 6b 7a 7b 8a 8b 8c 4 6 4 Totaal: 40 punten Schema van acht stappen Formuleer het kansmodel Formuleer nulhypothese en alternatieve hypothese H in termen van de H 0 parameters van het kansmodel 3 Formuleer een geschikte toetsingsgrootheid in termen van de voorkomende sv-en 4 Geef de kansverdeling van de toetsingsgrootheid onder (het randpunt van) H 0 5 Bereken of geef de waarde van de toetsingsgrootheid 6 Bepaal de kritieke waarde(n) en geef het kritieke gebied of * 6 Bereken de overschrijdingskans 7 Formuleer de conclusie omtrent het al dan niet verwerpen van H 0 bij de gegeven onbetrouwbaarheid(sdrempel) 8 Vermeld de conclusie in gewone woorden Bijlagen: Poisson-tabel, N (0,) -tabel, t -tabel, Enkele formules en formuleblad regressie 5