r Bespreking van Van Rekeningh in Spelen van Geluck door Christiaan Huygens Ter inspiratie, ter ondersteuning bij het onderwijs van kansberekening aan het vwo. Andrea Lubberdink, 2013 Naar aanleiding van een opdracht in het college Historical Aspects of Classroom Mathematics, voorjaar 2013, Utrecht 1. Inleiding Bij gokspelen is de uitkomst onzeker, schrijft Huvgens' in zijn inleiding [3, biz 489]. Je weet niet of je zult winnen of verliezen. Maar er is wei iets wat zeker is, iets wat je kunt berekenen, namelijk de kans op een bepaalde uitkomst. Van Rekeningh in Spelen van Geluck geeft prachtige aanknopingspunten om het yak kansberekening bij middelbare scholieren te introduceren, om hun interesse te wekken en zelfs om meer inzicht te geven. Het is het eerste gedrukte werk over dit onderwerp. Het ligt aan de basis van de moderne kansberekening. (zie [1]) Het waren vragen uit in de gokwereld in Frankrijk in de 17e eeuw, die hebben geleid tot het ontstaan van de kansberekening. In Franse salons werd door nobele heren gegokt. Men deed kaartspelen, dobbelspelen of er werd gewed (zie [1],[2]). Twee belangrijke vragen waren deze: Partijenvraagstuk: /'Twee partijen spelen een balspel om punten. Ze hebben beide een even grote kans om een punt te scoren. Er is geen tijdsduur voor het spel vastgelegd en de partij die als eerste 6 punten gescoord heeft, wint de pot van 60 dukaten. Het spel moet (vanwege het weer) bij de stand 5-3 worden gestaakt. Er wordt besloten de pot te verdelen. De vraag is nu: hoe moet dat gebeuren?" [2]
Dobbelspel NDeMere (een Franse edelman) speelde in de Franse 'salons' vaak een dobbelspel waarbij de 'bank' won als een speier bij het werpen met een zuivere dobbelsteen bij 4 worpen ten minste een zes gooit. Hij bedacht daarop een variant waarbij de 'bank' wint wanneer bij 24 worpen met twee zuivere dobbelstenen tenminste een keer dubbel-zes voorkwam. De Mere dacht dat er bij beide situaties voor de 'bank' dezelfde kans op winst bestond: in het eerste geval4/6 en in het tweede geval 24/36 (want bij twee dobbelstenen zijn er 36 mogelijkheden), en dat is beide hetzelfde. In de praktijk bleek dit echter niet op te gaan, de tweede situatie was voor de 'bank' ongunstig. De vraag was hoe dat kwam." [2] De eersten die deze vragen succesvol hebben aangepakt waren De Fermat en Pascal. Huygens hoorde erover en raakte gelnteresseerd. Omdat De Fermat en Pascal hun werk niet openbaar hadden gemaakt (ze hadden aileen hun resultaten laten zien, niet hun berekeningen) heeft Huygens van voren af aan alles zelf moeten onderzoeken en doorgronden [3, biz 488]. Hij heeft hiermee zelfstandig (mede) een grondslag gelegd voor de kansberekening. Zijn werk is van grote invloed geweest op de verdere ontwikkeling van de kansberekening. (zie [1]). 2. Bespreking van Van Rekeningh in Spelen van Geluck en mogelijkheden voor toepassing in het onderwijs Het verhaal over de achtergrond zoals hierboven beschreven kan leerlingen aanspreken. De grote Franse wiskundigen in de 17e eeuw die ge"interesseerd raken in vraagstukken uit de gokwereld en onze eigen Nederlandse held, Huygens, die daardoor aangestoken wordt en een werk schrijft, dat de grondslag legt voor een belangrijke theorie, de kansberekening. Ais Huygens zijn werk ter publlcatie aanbiedt aan zijn leraar Van Schooten, realiseert Huygens zich dat hij iets groots heeft neergezet. In een brief aan Van Schooten [3, biz 487] schrijft hij dat zijn verhandeling weliswaar over gokspelen gaat, maar dat dit geen spel is, dat men zal gaan inzien dat hier de grondbeginselen gelegd worden voor een belangrijke nieuwe theorie. In Van Rekeningh in Spe/en van Geluck vouwt Huygens, door het oplossen van steeds moeilijker wordende concrete vraagstukken, een algemene methode uit voor het oplossen van kansvraagstukken. Aile vraagstukken gaan over een kansspel tussen twee of meer spelers, waar
bij elke speier een inleg heeft gedaan in de pot. De winnaar krijgt de pot. Het Partijenvraagstuk en het vraagstuk van het Dobbelspel komen hierbij aan de orde. Dit zijn precies twee leuke vraagstukken om een klas voor te leggen. De spelregels zijn goed te begrijpen en de oplossing van het Partijenvraagstuk is gemakkelijk te vinden met een kansboom, dat van het dobbelspel door gebruik te maken van de complementregel. Huygens had nog geen kansboom en geen complementregel. Hij had het dus moeilijker in zijn tijd. Hij had veel woorden nodig om het Partijenvraagstuk op te lossen en de oplossing van het vraagstuk van het dobbelspel kostte hem veel rekenwerk. Afhankelijk van het niveau en interesse, kan ook met leerlingen gesproken worden over verdere verschillen tussen de berekeningen van Huygens en de moderne berekeningen, ook over het verschil in het kansbegrip van toen en nu. Een aantal handvatten hiervoor geven we hieronder. Huygens werkt niet, zoals wij tegenwoordig, met kansen tussen 0 en 1. Ais het spel bijvoorbeeld is dat ik win als ik 6 gooi met een dobbelsteen en verlies als ik l,2,3,4,of 5 gooi, dan zegt Huygens dat ik 1 kans heb tegen 5 kansen voor mijn tegenstander. Een kans is bij Huygens dus het aantal gunstige uitkomsten. In het oplossen van (ingewikkeldere) vraagstukken rekent Huygens (dan ook) niet met kansen. Hij rekent met 'hoeveel een kans waard is'. Dat is precies datgene wat wij tegenwoordig de verwachtingswaarde noemen. Bijvoorbeeld, als er in de pot a zit, dan is mijn kans in het bovenstaande voorbeeld ~awaard en die van mijn tegenstander ;a. Dat houdt in dat als we het spel hier zouden stoppen, de pot zo verdeeld zou moeten worden dat ik ~a krijg en mijn tegenstander ~a. En het betekent ook dat 6 6 als ik mijn deelname aan het spel wi! overdragen aan remand enders, dan kan deze het van mij overnemen voor ~a. Omdat Huvgens de verwachtingswaarde altijd uitdrukt in a, de hoeveelheid in de pot, komt datgene wat wij tegenwoordig kans noemen (in het voorbeeld,: en!!) ti I1i erin tevoorschijn, en komt het rekenen van Huygens met verwachtingswaarden op hetzelfde neer als het rekenen.met de kansen uit ons huidige kansbegrip. Huygens behandelt ook uitdagende vraagstukken, vraagstukken die niet in de huidige kansberekening op de middelbare school voorkomen, maar die wei te begrijpen zijn voor leerlingen die graag uitdaging hebben. Een
voorbeeld hiervan is het volgende spel: Ik en mijh tegenstander gooien om de beurt met 2 dobbelstenen. Mijn tegenstander mag als eerste gooien. Ais hij 6 ogen gooit dan wint hij. Ais ik 7 ogen gooi, dan win ik. Hoe groot is de kans dat ik win? Volgens de lijn van Huygens gaat dit als voigt: stel x = de kans dat ik win en stel y = de kans dat ik win nadat mijn tegenstander in de eerste beurt geen 6 heeft gegooid. Telkens als ik weer aan de beurt ben om te gooien is mijn kans weer x, en telkens als mijn tegenstander weer aan de beurt is om te gooien is mijn kans y. Kijkend naar een deel van de kansboom kunnen we nu 2 vertelijkingen opstellen met 2 onbekenden, namelijk y = ~+~x en x = a1y => x=31/61 is IS 3iS In de laatste alinea van zijn werk komt Huygens met een klapper. Hij geeft het antwoord op de volgende vraag: A en B hebben ieder 12 penningen en spelen met drie dobbelstenen. Als er 11 geworpen wordt dan geeft A een penning aan B en als er 14 geworpen wordt dan geeft Been penning aan A. Degene die het eerste aile penningen heeft, wint het spel. Dit is een monstersom! Huygens laat zijn berekening niet zien, maar geeft aileen het antwoord: de kans is 244140625 voor A tegen 282429536481voor B. Hij moet 11 vergelijkingen met 11 onbekenden opgelost hebben! Op een andere manier, behalve met de numerieke methode tegenwoordig, kan deze vraag volgens ons niet opgelost worden. Leuk om te vertellen in de klas! Om een goed inzicht te hebben in het werk van Huygens is het aan te raden de vrije vertaling (uit het Oudnederlands) van Van Rekeningh in Spelen van Geluck zelf geheel door te nemen. Deze staat in de bijlage. Het is een verrijkende ervaring. De omvang valt mee. Het is inspirerend, leuk en boeiend en het geeft achtergrondkennis over de basis van de kansberekening.
-------------------~..---..-.,..-."'--,.,..,,-,--- Noten 1. Christiaan Huygens (1629-1695) was een groot en veelzijdig Nederlands wetenschapper. Samen met zijn broer, Constantijn, maakte hi] de beste lenzen en telescopen in zijn tijd, waardoor hij als eerste de ringen van Saturnus als ringen herkende. Hij heeft de sllngerklok uitgevonden en de eerste een golftheorie van licht ontwikkeld. In de wiskunde heeft hij een theorie van evoluten (verzamelingen van krommingsmiddelpunten) ontwikkeld, en met Van Rekeningh in Spelen van Geluck een belangrijke bijdrage geleverd aan de totstandkoming van de kansberekening. (zie [4]) Bronnen [1] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Utrecht, 2001. biz 144-145 [2] http://www.math4all.ni/wiskundegeschiedenis/onderdelen/statistiek.h tml, bezocht op 2013-04~01 [3] c. Huygens, Tractaet handelende van Reeckening in Speelen van Ge/uck, in F. van Schooten, Mathematische Oeffeningen begrepen in vijf boecken, Amsterdam, 1660. [4] Bos, H.J.M. Huygens, Christiaan, in Dictionary of Scientific Biography, vol.6, biz. 597-613, 1972