Geachte collega, U treft hier aan een wiskunde werkstuk met de titel Spelen op een slimme manier. Dit werkstuk is gegeven aan alle 5 vwo leerlingen en na hen geïnterviewd te hebben aangepast. Het gehanteerde enquêteformulier treft u hierbij ook aan. Het zal duidelijk zijn dat je aan leerlingen met wiskunde b hogere eisen mag stellen dan aan leerlingen met wiskunde a. Als u dit werkstuk geeft aan beide groepen leerlingen, is het verstandig dit tevoren de leerlingen mee te delen. Uit de enquête kwamen een aantal zaken duidelijk naar voren: 1. De leerlingen vinden het een leuk, eigentijds onderwerp waar je veel kanten mee uit kunt. 2. De opbouw: eerst gesloten, daarna open vinden ze aantrekkelijk; met name ook de grote mate van vrijheid. 3. Ze vinden het niet moeilijk een link te leggen met wiskunde: correct formuleren en logisch denken. 4. De wiskunde b leerlingen vinden met name de gesloten opdrachten a t/m e te eenvoudig, de wiskunde a leerlingen daarentegen vinden deze opdrachten aan de moeilijke kant. 5. De wiskunde a leerlingen vinden ook dat er te veel punten te verdienen valt met onderdeel F. 6. De meest originele spelen ook in fraaie uivoering kwamen uiteraard van de wiskunde b leerlingen. Dit werkstuk is ook uitgeprobeerd op 4 havo. Ook daar bleken ongeveer dezelfde verschillen tussen de wiskunde a en b leerlingen. Bovendien is het verstandig om de voorbeelden uit de opdrachten A t/m E enigszins te vereenvoudigen en het open karakter zoveel mogelijk te beperken. 1
5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER Deze praktische opdracht gaat over het slim spelen van spelletjes. Kun je zo slim spelen dat je altijd wint? Of dat je in ieder geval nooit verliest? Dit geldt natuurlijk niet voor spelen waarin geluk een rol speelt, zoals dobbelspelen of kansspelen. Het gaat hier om zuiver strategische spelen. Deze opdracht bestaat uit 6 onderdelen A, B, C, D, E en F. Je werkt in groepjes van drieën. A. We bekijken een eenvoudig nim-spel. B. We onderzoeken boter, kaas en eieren. C. We maken kennis met het begrip: een eindig combinatorisch spel. D. Nog een nim-spel. E. We onderzoeken een variant op boter, kaas en eieren. F. Zelf aan de slag. Tijdpad Op..(datum).. lever je de antwoorden op de vragen van A en B in. Het werk wordt door je docent beoordeeld. Er wordt vooral gelet op de volledigheid van je antwoorden en de manier waarop je die opschrijft. Je doet je docent een voorstel je hoe opdracht F aan gaat pakken. Wees hiermee op tijd: zorg ervoor dat je voorstel vóór..(datum).. door haar (hem) geaccepteerd is. In week.. lever je de rest van de opdrachten in. A. Een eenvoudig nim-spel Een nim-spel is een spel waarbij de beide spelers steeds enkele voorwerpen hier hebben we het steeds over lucifers moeten wegnemen van een gegeven verzameling, waarbij de speler die het laatste voorwerp moet (kan) nemen de verliezer dan wel de winnaar is. Er liggen 50 lucifers op een rij. Twee spelers nemen om beurten minimaal 1 en maximaal 5 lucifers. Degene, die de laatste lucifer moet nemen, is verliezer. 1. Speel dit spel een aantal keren. 2. Ga na of de beginnende of de tweede speler dit spel zó kan spelen, dat hij, wat zijn tegenstander ook bedenkt, dit spel altijd wint (of niet verliest). Schrijf precies op hoe er dan gespeeld moet worden en leg uit waarom er zo gespeeld moet worden. 2
B. Boter, kaas en eieren Iedereen kent wel het spel boter, kaas en eieren en heeft het ook wel eens gespeeld. Dit spel wordt ook wel drie op een rij genoemd. We vertellen nog even de spelregels: Op een bord van 3 bij 3 dus 9 velden bezetten beide spelers om beurten een leeg veld, de beginnende speler met een X, de tweede met een O. Degene, die het eerst drie velden op een rij, in een kolom of op een diagonaal bezet, is winnaar. 1. Speel eerst een paar spelletjes met iemand uit je groep. Als de eerste speler in een hoek begint, moet de tweede speler in het midden antwoorden, anders zal hij verliezen. Met het juiste antwoord kan hij dus remise bereiken. 2. Laat dit zien. Bedenk hierbij een manier om dit precies op te schrijven. 3. Laat zien dat als beide spelers zo slim mogelijk spelen, dit spel in remise eindigt. Schrijf dit weer nauwkeurig op. Een deel heb je in 2. al bekeken. C. Een eindig combinatorisch spel Onder een eindig combinatorisch spel verstaan wij een spel met in ieder geval de volgende zes eigenschappen. 1. Het spel wordt gespeeld door twee personen die om beurten een zet doen. 2. Wanneer een spel eindigt, dan heeft een van de spelers gewonnen (en de ander is verliezer), òf er is gelijkgespeeld (remise). 3. In elke situatie kan de speler die aan de beurt is uit een eindig aantal mogelijke zetten kiezen. 4. Gedurende het hele spel hebben beide spelers dezelfde informatie over de stand. 5. De afloop van het spel hangt alleen van de besluiten van de spelers af. 6. Het spel is na een eindig aantal zetten afgelopen. Opgave C 1. Geef van onderstaande spelen of ze eindig combinatorisch zijn of niet. Geef ook duidelijk aan waarom wel/niet. Tafeltennis, domino, dammen, memory, monopoly, stratego, reversi (othello), risk, scrabble. 2. Noem een tweetal andere spelen die niet eindig combinatorisch zijn en geef aan waarom niet. 3. Noem een tweetal andere spelen die wel eindig combinatorisch zijn en geef aan waarom wel. 3
In de speltheorie (een onderdeel van de wiskunde) is de volgende bijzondere stelling bewezen. Elk eindig strategisch spel kent een winnende of niet verliezende strategie voor één van beide spelers. We zoeken de winnende (of niet verliezende strategie) die er volgens de stelling uit de speltheorie moet zijn bij een aantal overzichtelijke spelen. D. Nog een nim-spel Er liggen twee rijen lucifers, een rij van 5 en een rij van 8 lucifers. Twee spelers nemen om beurten een aantal lucifers uit één rij. Het aantal lucifers dat ze uit die rij nemen mogen ze zelf bepalen; ze mogen ook in een keer een hele rij wegnemen. Degene, die de laatste lucifer moet nemen, is verliezer. Er is een winnende (niet verliezende strategie) voor de eerste of de tweede speler. Schrijf precies op hoe die eruit ziet en leg uit waarom er zo gespeeld moet worden. E. Een variant op boter, kaas en eieren Beide spelers plaatsen eerst drie munten (X en O) op een bord van 3 bij 3. Als er nog geen winnaar is (dus nog geen drie op een rij), wordt het spel voortgezet door schuiven: horizontaal, verticaal of vanuit het middelste veld ook diagonaal (en uiteraard ook vanuit de hoekpunten weer terug naar het middelste veld) naar een naastliggend vrij veld. Er is een winnende (niet verliezende strategie) voor de eerste of de tweede speler. Schrijf op hoe die eruit ziet en leg uit waarom er zo gespeeld moet worden. F. Zelf aan de slag Kom zelf met een eindig combinatorisch spel leg het eerst voor aan de wiskundedocent, bedenk daarbij een aantal vragen en beantwoord deze. Misschien kom je wel met een winnende (of niet-verliezende) strategie voor een van beide spelers. Denk eraan dat het snel te moeilijk wordt. Onderbouw je argumenten. Om je op ideeën te brengen volgen hieronder enkele voorbeelden van eindig combinatorische spelen. Maar aarzel niet om je eigen fantasie te gebruiken. Vier op een rij Een variant op boter, kaas en eieren is Vier op een rij. Op een bord van 6 bij 6 zetten beide spelers om beurten een munt of een teken (X of O). Degene, die als eerste vier van zijn munten of tekens op een rij (horizontaal, verticaal of diagonaal) heeft kunnen plaatsen, heeft gewonnen. 4
Een Nim-spel Onder elkaar liggen 4 rijtjes lucifers, van respectievelijk 1, 3, 5 en 7 lucifers. Twee spelers nemen om beurten een aantal lucifers uit één rij. Het aantal lucifers dat ze uit die rij nemen mogen ze zelf bepalen; ze mogen ook in één keer een hele rij wegnemen. Degene, die de laatste lucifer moet nemen, is verliezer. Hex Dit spel is uitgevonden door de Deense fysicus Piet Hein en in 1942 geïntroduceerd. Het standaardformaat van het ruitvormig speelveld van het hex-spel is 11 bij 11, waarbij de velden zoals hierboven te zien is zeshoekig zijn. Je kunt uiteraard ook een kleiner bord nemen. De beide spelers moeten om beurten een (go)steen op een van de velden leggen. De bedoeling is dat de witspeler uiteindelijk een aaneengesloten keten van een zijde van de ruit naar de overstaande zijde van de ruit krijgt en de zwartspeler een keten tussen de twee andere zijden. Wie dit lukt is winnaar. 5
Kamerverhuur Dit spel wordt gespeeld op een vierkant bord met bijvoorbeeld 6 bij 6 (vierkante) velden. Deze velden zijn de kamers. Iedere speler kleurt om beurten één van de vier zijden van zo n kamer. Degene, die zo n kamer kan volmaken, verovert zo n kamer en mag in dezelfde beurt nog een zijde kleuren. Degene, die de meeste kamers verovert, wint. Sim Dit spel is genoemd naar de ontdekker Gustavus J. Simmons. 6 5 6 5 1 4 1 4 2 3 2 3 Het speelveld bestaat uit 6 punten. Beide spelers verbinden om beurten elk met een eigen kleur twee van deze zes punten met elkaar. Degene die als eerste een driehoek in de eigen kleur op papier moet maken, heeft verloren. Alleen driehoeken, waarvan de gegeven zes punten de hoekpunten zijn, tellen mee. De verbindingslijnen snijden elkaar ook op andere plaatsen, maar die snijpunten gelden niet als hoekpunt van een driehoek. 6
Beoordeling praktische opdracht Spelen op een slimme manier. Groepssamenstelling: 1. 2. 3. Onderdeel Max Score Opmerkingen A 5 Uitleg van strategie B1 6 Uitleg van strategie B2 6 Uitleg van remise C1 3 Uitleg van het wel of niet strategisch zijn C2 2 2 niet strategische spelen met uitleg C3 2 2 strategische spelen met uitleg D 8 Uitleg van strategie E 8 Uitleg van strategie F-Proces 20 Tijdig ingeleverd (5) Originaliteit(5) Uiterlijk en Lay-out (leesbaarheid) (10) F-Inhoud 40 Diepgang (10) Strategie (10) Uitbreiding of varianten (10) Correcte formulering (10) Totaal 100 Opmerkingen: 1. Bij ongelijke taakverdeling kunnen er binnen de groep verschillende cijfers worden gegeven. Dit ter beoordeling van de docent. 2. De docent kan besluiten een lid uit de groep te verwijderen. Deze maakt de hele praktische opdracht alleen opnieuw. 3. Te laat inleveren van het eerste deel (A en B) leidt tot aftrek van 10 punten. 4. Te laat inleveren van het uiteindelijke verslag leidt tot 10 punten per dag. 5. De docent kan besluiten mondelinge toelichting te vragen. Dit om te controleren of een ieder aan het werkstuk zijn deel heeft bijgedragen en om de authenticiteit na te gaan. 7
Enquête leerlingen Spelen op een slimme manier. 1. Wat vind je van het onderwerp van deze praktische opdracht? 2. Werd het je snel duidelijk waar de praktische opdracht om draaide? 3. Wat vind je van de moeilijkheidsgraad? Wat vond je het moeilijkst aan deze praktische opdracht? 4. Groeide gaandeweg je enthousiasme voor dit onderwerp, zodat je je er in verloren momenten ook mee bezig hield of er met anderen, b.v. vrienden of familieleden, over praatte? 5. Heb je nu een beetje een idee hoe eindige combinatorische spelen in elkaar zitten? 6. Wat vind je van de opbouw van deze praktische opdracht? 7. Wat vind je van het open karakter van deze praktische opdracht? Te open of juist niet? 8. Wat heeft deze opdracht volgens jou met wiskunde te maken? 8
9. Heb je wat gehad aan je wiskundige voorkennis? Wat heb je met deze praktische opdracht geleerd over wiskunde? 10. Op welke wijze en waar kan deze opdracht volgens jou verbeterd worden? 11. Wat vind je van de rol van de docent? Bemoeide hij zich te weinig of juist te veel met jouw werkzaamheden? 12. Wat vind je van de wijze van beoordelen? 13. Wat vind je van de verhouding tussen de te investeren tijd en de tijd die je er echt in geïnvesteerd hebt? 14. Wat vind je van de samenstelling van en de samenwerking binnen de groep? 15. Wat heb je van je medeleerlingen groepsgenoten geleerd, en wat heb je hen kunnen leren? 16. Heb je verder nog nuttige suggesties? Bedankt voor het invullen van deze enquête. 9