ARTIKEL Meer dan rekenen en stage-ervaringen opdoen Pabostudenten leren rekenen-wiskunde en didactiek Wie afgaat op de media, krijgt wellicht de indruk dat het bij rekenen-wiskunde op de pabo voornamelijk gaat om de rekenvaardigheid van studenten. Niets is minder waar. De vaardigheden die benodigd zijn om een goede basisschoolleerkracht op het gebied van rekenen-wiskunde te worden, omvatten veel meer dan enkel een goede rekenvaardigheid. In dit artikel wordt geschetst wat nog meer is vereist. Hiertoe wordt de blik achtereenvolgens gericht op het vakgebied rekenen-wiskunde op de basisschool; rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo; het begrip gecijferdheid; en de ontwikkeling en leerprocessen van studenten op het gebied van rekenen-wiskunde en didactiek. Betoogd wordt dat, om uit te groeien tot een goede leerkracht op het gebied van rekenen-wiskunde, de theoretische ontwikkeling van studenten doorlopend in verbinding moet worden gebracht met hun praktijkervaringen. Dan wordt het mogelijk dat het vakinhoudelijk en vakdidactisch repertoire rekenen-wiskunde van de aanstaande leerkracht zich steeds verder uitbreidt. AUTEUR(S) Marc van Zanten, Hogeschool Edith Stein / Onderwijscentrum Twente en Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education, Universiteit Utrecht Inleiding Rekenen-wiskunde op de pabo is regelmatig in het nieuws. Meestal gaat het er dan om dat de rekenvaardigheid van (aanstaande) pabostudenten ernstig tekort zou schieten. Een adequate eigen vaardigheid op het gebied van rekenen-wiskunde is een noodzakelijke voorwaarde om basisschoolleerkracht te kunnen worden. Wat een 'adequate eigen vaardigheid' in dit verband dan inhoudt, lijkt in het publieke debat geen onderwerp van gesprek. Als de studenten eerst maar zelf goed kunnen rekenen, dan komt de rest ook wel goed, zo is de teneur. De achterliggende redenatie dat een student die niet kan rekenen ook geen goede leerkracht kan worden, kan echter niet worden omgedraaid; het is niet zo dat als een student zelf goed kan rekenen, zij dan zonder meer goed reken-wiskundeonderwijs kan verzorgen. Daar komt namelijk veel meer bij kijken dan enkel een goede rekenvaardigheid. Sinds de visitatieronde van de pabo's in 2002 is door overheid en de HBOraad gestreefd naar een uniforme toetsing en selectie van pabostudenten op de voor het beroep voorwaardelijke eigen vaardigheid op het gebied van taal en rekenen-wiskunde (HBO-raad, 2003; Expertgroep Kwaliteit Lerarenopleiding Primair Onderwijs, 2004; OC&W, 2005; 2006a). Een en ander heeft voor wat betreft rekenen-wiskunde geleid tot de landelijke invoering van de Wiscat-pabotoets als selectie-instrument in het eerste jaar van inschrijving van pabostudenten. Dit is een toets rekenvaardigheid met een norm die is gerelateerd aan de rekenvaardigheid van leerlingen uit groep 8 van de basisschool (Straetmans en Eggen, 2005). Met de landelijke invoering van deze verplichte toets hebben veel pabo's er helaas voor gekozen eerder gangbare toetsen met een breder bereik - naast het kunnen produceren van correcte antwoorden werden bijvoorbeeld ook gehanteerde oplossingsstrategieën betrokken in de beoordeling - en hogere norm af te schaffen (Van Zanten en Brom-Snijders, 2007). Dit gegeven en de actuele aandacht voor de kwaliteit van het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool en de pabo (OC&W, 2007), vormen aanleiding voor dit artikel. Eerst wordt het vakgebied rekenen-wiskunde op de basisschool en pabo in ogenschouw genomen, waarbij speciale aandacht wordt besteed aan het begrip 'gecijferdheid'. Vervolgens wordt nader ingegaan op de ontwikkeling en leerprocessen van pabostudenten op het gebied van rekenen-wiskunde en didactiek. Aldus wordt een beeld geschetst van wat (nog meer) komt kijken bij het leren verzorgen van goed reken-wiskundeonderwijs. Het artikel is geïllustreerd met enkele doorkijkjes uit het boek 'Opleiden in geuren en kleuren. Bakens voor rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo', dat november 2007 verschijnt. In dit boek schetsen reken-wiskundedocenten van twaalf pabo's in samenwerking met experts van het Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education en de Stichting Leerplan Ontwikkeling opleidingsdidactische overwegingen die een rol spelen bij het realiseren van goed opleidingsonderwijs rekenen-wiskunde en didactiek. TIJDSCHRIFT VOOR LERARENOPLEIDERS - 28(4) 2007 43
Meer dan rekenen en stage-ervaringen opdoen 44 Rekenen-wiskunde op de basisschool Rekenen-wiskunde op de basisschool is een breed vakgebied, dat zich niet beperkt tot formele rekenvaardigheid. Juist op de basisschool gaat het er bij rekenenwiskunde om dat een brede begripsbasis wordt ontwikkeld op het gebied van getallen, getalsmatige gegevens, bewerkingen, wiskundig inzicht, meten en meetkunde. Kinderen krijgen door middel van rekenen-wiskunde greep op de wereld om hen heen - denk aan het omgaan met kosten, prijzen en geld, meten en maten, groei, leeftijd, tijdsbesef; afstanden, reizen en schaal; verhoudingen en procenten, weergaven van getalsmatige gegevens in grafieken en nog meer. Rekenwiskundige kennis, inzicht en vaardigheden die kinderen opdoen op de basisschool zijn daarmee van belang voor het maatschappelijk functioneren en het vervolgonderwijs. Naast deze maatschappelijke en voorbereidende waarde van rekenen-wiskunde, heeft rekenen-wiskunde een intrinsieke vormende waarde. Hieronder valt het doorgronden van wiskundige noties, het (durven) aanpakken van reken-wiskundige problemen en puzzels, en het ontwikkelen van een onderzoekende houding (Treffers 1987; TAL-team, 2007). Hierbij valt bijvoorbeeld te denken aan het doorgronden van ons tientallig positionele getalsysteem en grafische datarepresentatie. Een en ander komt tot uitdrukking in de voor het basisonderwijs gehanteerde kerndoelen, waarin naast aandacht voor getallen, bewerkingen, meten en meetkunde ook nadrukkelijk wiskundig inzicht en gecijferdheid - waarover verderop in dit artikel meer - zijn opgenomen (OC&W, 2006b). Het uitgangspunt van reken-wiskundeonderwijs ligt bij de leerlingen Leren bij rekenen-wiskunde is in de eerste plaats construeren van rekenwiskundige kennis en inzicht. Kinderen hebben daarom een productieve inbreng in het leerproces in de vorm van eigen producties. Verder wordt in het reken-wiskundeonderwijs rekening gehouden met de actuele beginsituatie door aan te sluiten op de eigen (informele) oplossingsstrategieën van kinderen. Het startpunt van het leerproces ligt in de leefwereld van leerlingen Het reken-wiskundeonderwijs sluit in de vorm van contexten - voor kinderen betekenisvolle situaties - aan op de realiteit, zodanig dat kinderen zich bij het opereren met getallen kunnen realiseren waar rekenhandelingen naar verwijzen. Hiervoor worden betekenisvolle problemen uit de leefwereld van kinderen ingezet. 'Leefwereld' moet ruim worden opgevat; in de loop van het basisonderwijs gaat ook de formele rekenwereld tot de belevingswereld van kinderen behoren. Het reken-wiskundeonderwijs biedt de kinderen passende middelen tot abstrahering Om de afstand tussen het actuele informele handelen en het beoogde formele handelen te overbruggen biedt het onderwijs hulpmiddelen als modellen, schema's, betekenisondersteunende situaties en (structuur)- materialen aan. Deze bieden ondersteuning bij het proces van horizontale mathematisering; het leggen van de relatie tussen concreet betekenisvol handelen en formeel vakmatig handelen. Het reken-wiskundeonderwijs mikt op breed toepasbare kundigheden Leren bestaat niet uit absorberen losse kenniselementen, maar construeren van kennis en vaardigheden die in een georganiseerd geheel passen. Leergangen uit met elkaar samenhangende reken-wiskundige domeinen worden daartoe in het onderwijs met elkaar verstrengeld, evenals met de realiteit als bron en toepassingsgebied van wiskundige begrippen en structuren. Leren van rekenen-wiskunde is een sociaal proces Leren van rekenen-wiskunde wordt bevorderd door te reflecteren op de doorlopen oplossingswijzen van jezelf en van anderen. Interactie tussen leerlingen onderling en tussen leerkracht en leerlingen biedt mogelijkheden tot uitwisseling en bespreking van verschillende oplossingsstrategieën. Naast zelfstandig werk is daarom ruimte voor samenwerken in kleine groepjes en klassikale, groepsgewijze activiteiten. (vergelijk: Treffers, De Moor en Feijs, 1989; Treffers, 2007). De leerkracht op de basisschool stimuleert en bevordert de leer- en ontwikkelingsprocessen van kinderen op het gebied van rekenen-wiskunde. Hiervoor is, naast rekenwiskundige kennis en vaardigheden en een positieve relatie met de eigen leerlingen, kennis nodig van hoe kinderen rekenen-wiskunde leren. Voor wat betreft het laatste is een uitgebreid didactisch en leerpsychologisch kennisbestand beschikbaar. Het leren van rekenen-wiskunde op de basisschool kan beschouwd worden als een proces van geleid heruitvinden (Freudenthal, 1991). Dit uitgangspunt is uitgewerkt in de zogenoemde reconstructiedidactiek, ook wel bekend als realistisch reken-wiskundeonderwijs. Deze vakspecifieke didactiek valt te kenschetsen aan de hand van vijf samenhangende onderwijsleerprincipes (vergelijk Treffers, De Moor en Feijs, 1989; Treffers, 2007). Rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo Evenals het vakgebied rekenen-wiskunde op de basisschool wordt rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo vormgegeven volgens opleidingsdidactische principes die beogen zo goed mogelijk aan te sluiten op het leren van pabostudenten. Deze principes zijn te karakteriseren aan de hand van drie pijlers: reflectief, constructief en narratief (Goffree en Dolk, 1995; Goffree en Oonk, 1999). De eerder genoemde waarden en de verschillende domeinen van rekenen-wiskunde, evenals de specifieke vakdidactiek, stellen hoge eisen aan de eigen vaardigheid van (aanstaande) leerkrachten op de basisschool. Die eigen vaardigheid omvat - zonder volledig te zijn - zaken als:
Reflectief Bij rekenen-wiskunde en didactiek gaat het om handelen op drie niveaus: op het niveau van de leerstof van het basisonderwijs - het handelen met de leerstof als zodanig; het didactisch handelen met die leerstof; en het theoretisch handelen op het terrein van de didactiek. Reflectie op het handelen is een voorwaarde tot leren; het leidt tot verbetering van het handelen, maar biedt ook een insteek voor het betrekken van theorie op het handelen. De ontwikkeling van de student loopt van praktisch handelen, via reflecteren op het handelen tot het gebruiken van theorie in de reflecties op de eigen (stage)praktijk. Constructief Studenten hebben bij aanvang van hun studie op grond van hun leer- en onderwijservaringen al een beeld van (reken-wiskunde)onderwijs. Inbreng van de pabo wordt verwerkt op basis van deze ervaringen en opvattingen. Studenten construeren aldus hun eigen vakmanschap en visie. Naast kennis en vaardigheden richt het opleidingsonderwijs zich nadrukkelijk op het verwerven van een wiskundige houding - het vermogen en de bereidheid om de werkelijkheid wiskundig te benaderen - en een positieve attitude ten aanzien van de reken-wiskundedidactiek. De vraag 'wat voor reken-wiskundeleraar wil ik worden' staat daarom gedurende de hele opleiding centraal. Narratief De docent rekenen-wiskunde en didactiek heeft kennis van het rekenwiskundeonderwijs beschikbaar in de vorm van onderwijsverhalen met bijbehorende reflecties. Met name paradigmatische verhalen - narratives met een sterk voorbeeldkarakter, observaties van een bepaald fenomeen met hoog theoretisch karakter - laten iets essentieels zien van realistisch reken-wiskundeonderwijs. Ze bieden houvast aan de student in het gebied tussen theorie en praktijk en leiden tot narratief weten; kennis die is ingebed in een praktijkverhaal. (vergelijk Goffree en Dolk, 1995; Goffree en Oonk, 1999). het betekenis kunnen geven aan getallen, bewerkingen, maten en het metriek stelsel; bij reken-wiskundige opgaven meerdere alternatieve oplossingswijzen kunnen hanteren en volgen, accepteren en begrijpen; het zowel via vaststaande procedures als flexibel kunnen (hoofd)rekenen; bij veel voorkomende oplossingsstrategieën denkstappen kunnen toevoegen en verkortingen kunnen aangeven; en van oplossingswijzen en -strategieën kunnen beoordelen in hoeverre deze perspectief bieden in het licht van langlopende leerprocessen rekenenwiskunde. Dit betreft dus een duidelijk breder gebied dan rekenvaardigheid sec. Het brede gebied van reken-wiskundige kennis en vaardigheden die benodigd zijn voor het functioneren in een bepaalde context - zowel in een bepaalde beroepscontext (als die van de leerkracht basisonderwijs) als in de maatschappij, wordt wel aangeduid met de term gecijferdheid. G e c i j f e r d h e i d Gecijferdheid kan kort worden omschreven als het vermogen om op passende wijze om te kunnen gaan met getallen en getalsmatige gegevens (naar Treffers, 1989). Bij de introductie van het begrip in Nederland werd allereerst de nadruk gelegd op (schattend) hoofdrekenen en het maken van inschattingen van getallen in de realiteit. Wat 'passend' is, hangt mede af van de context. Zo gaat het op de basisschool om het eerder genoemde greep krijgen op de wereld en de maatschappelijke waarde van rekenen-wiskunde, wat tot uitdrukking komt in zaken als: Hoe ver is 75 km? Hoeveel km legt een auto ongeveer per uur af? Hoe hard gaat een fiets? Wat is de snelheid van een voetganger? Hoe lang zou een fietser over 48 km rijden? Is het zinnig om al na een half uur te gaan rusten, en na twee uur? Wat is 'even' rusten: een kwartier, een half uur, een paar uur? (Treffers, 1989) Onder gecijferdheid in de context van het adequaat kunnen functioneren in de maatschappij wordt verstaan het zodanig beheersen van een aantal basisvaardigheden dat je je kunt redden in het dagelijkse leven. Te denken valt bijvoorbeeld aan een kassabon kunnen controleren, een huishoudboekje bijhouden en een kookboek hanteren. Ook zaken als het ontmaskeren van pseudowetenschappelijk gemanipuleer met getalsmatige informatie en statistisch denken met gevoel voor realiteit kunnen hieronder worden geschakeerd. Gecijferdheid op de pabo dient te worden bezien in het licht van de voorbereiding op het beroep van leerkracht basisonderwijs. Het gaat er dan om welke gecijferdheid een leerkracht basisonderwijs nodig heeft om adequaat te functioneren in de beroepspraktijk. In dit kader wordt wel de term professionele gecijferdheid gehanteerd. Dit duidt op de specifieke gecijferdheid die benodigd is voor de uitgeoefende professie; de professionele gecijferdheid van een timmerman is een andere dan die van een verpleegkundige, een piloot of een leerkracht basisonderwijs. Tot de professionele gecijferdheid van de laatste behoren inzichten en vaardigheden op uiteenlopende gebieden als oplossingsstrategieën, het correct en adequaat gebruiken van wiskundetaal, en het herkennen, plaatsen en toepassen van wiskunde in de dagelijkse werkelijkheid van basisschoolleerlingen. Daarnaast spelen - zowel in de leerprocessen van studenten als in het beoefenen van het beroep - houdingsaspecten een rol, zoals het hebben van plezier en zelfvertrouwen bij het aanpakken van open wiskundige opgaven, het open staan voor alternatieve aanpakken en het kunnen en durven verantwoorden van de eigen aanpak (Faes, Van den Bergh en Olofsen, 1992; Oonk, 2004). Het begrip gecijferdheid op de pabo heeft in de loop der jaren echter zodanige uiteenlopende invullingen TIJDSCHRIFT VOOR LERARENOPLEIDERS - 28(4) 2007 45
Meer dan rekenen en stage-ervaringen opdoen 46 gekregen dat niet alle pabodocenten rekenen-wiskunde er nog hetzelfde onder verstaan (Den Hertog, 2006). In een recentelijk verschenen overzichtsartikel is daarom, naar aanleiding van een historisch en internationaal overzicht van gecijferdheid op lerarenopleidingen voor het primair onderwijs, een actuele omschrijving van gecijferdheid op de pabo geformuleerd. Hierin worden vier aspecten onderscheiden: Het verwerven van elementaire rekenvaardigheid, in het bijzonder het oplossen van opgaven uit reken-wiskundemethoden voor de basisschool. Het herkennen van wiskunde in de eigen omgeving en die van kinderen. Het gericht zijn op oplossingsprocessen bij het (laten) oplossen van reken-wiskundeproblemen, onder andere door te reflecteren op eigen en andermans oplossingen. Het inspelen op het wiskundig denken van leerlingen, onder andere door te anticiperen op hun denkprocessen en hen te stimuleren tot niveauverhoging. Bij deze laatste slag wordt het mathematiseren als het ware verstrengeld met het didactiseren. (Oonk, Van Zanten en Keijzer, 2007) Ook in deze omschrijving wordt duidelijk dat de eigen vaardigheid op het gebied van rekenen-wiskunde, nodig om een goede basisschoolleerkracht te worden, rekenvaardigheid verre overstijgt. Enkel het eerste aspect betreft de rekenvaardigheid sec. De overige aspecten beslaan het professionele van de gecijferdheid van (aanstaande) leerkrachten basisonderwijs. Gecijferdheid op de pabo dient te worden bezien in het licht van de voorbereiding op het beroep van leerkracht basisonderwijs. Het gaat er dan om welke gecijferdheid een leerkracht basisonderwijs nodig heeft om adequaat te functioneren in de beroepspraktijk. G e c i j f e r d h e i d e n v a k d i d a c t i e k r e k e n e n - w i s k u n d e Gecijferdheid kan op de pabo niet los worden gezien van vakdidactiek rekenen-wiskunde. Opleidingsonderwijs rekenen-wiskunde en didactiek vindt geen vruchtbare voedingsbodem als studenten niet enige mate van gecijferdheid hebben. Omgekeerd kunnen lessen gecijferdheid niet los worden gezien van het vakdidactisch perspectief. Dat komt tot uitdrukking in bovenstaande omschrijving van gecijferdheid; de gecijferdheid van leerkrachten basisonderwijs omvat zaken die specifiek van belang zijn voor leerprocessen van kinderen, zoals het kunnen hanteren van meerdere alternatieve oplossingswijzen. Bij de leerprocessen die pabostudenten doorlopen zijn gecijferdheid en vakdidactiek vanaf het allereerste begin verstrengeld. Immers; al bij een eenvoudige rekenopgave als 83 37 spelen zaken als: welke oplossingsstrategie kies je; rijgend 83 30 7, of via 83 40 + 3, of nog anders en waarom doe je dat zo (Goffree en Dolk, 1995)? Op een dergelijke wijze kunnen omgaan met oplossingsstrategieën is belangrijk in het licht van het eerdergenoemde onderwijsleerprincipe dat het uitgangspunt van reken-wiskundeonderwijs bij de leerling ligt en valt daarmee onverlet het feit dat het in dit voorbeeld gaat om elementaire rekenvaardigheid - onder de noemer van professionele gecijferdheid. Ontwikkeling en leerprocessen van studenten Pabostudenten doorlopen bij rekenen-wiskunde en didactiek uiteenlopende, met elkaar samenhangende, leerprocessen. De leerprocessen bestrijken het gehele spectrum van cognitieve, vaardigheids- en attitudedoelen; het gaat om het ontwikkelen van een repertoire op het gebied van rekenen-wiskunde en didactiek waarin sprake is van een groeiend geïntegreerd geheel van kennis, inzichten, vaardigheden en houdingsaspecten (vergelijk Klep en Paus, 2006). De theoretische ontwikkeling van studenten omvat groeiende kennis van en inzicht in de vakspecifieke didactiek, evenals verschillende leertheorieën achter de vijf onderwijsleerprincipes van de reconstructiedidactiek. Deze lopen uiteen van socio-constructivische opvattingen (Gravemeijer, 1992) tot de handelingsleerpsychologie (Van Parreren en Nelissen, 1977). In samenhang met dergelijk zogenoemde globale theorieën, doen studenten kennis op van lokale theorieën omtrent de verschillende reken-wiskundige domeinen die op de basisschool aan bod komen, zoals bijvoorbeeld de tafels van vermenigvuldiging, of kommagetallen. Hierbij gaat het om microdidactische overwegingen als welke contexten betekenisverlenend zijn voor het specifieke domein, welke denkmodellen ondersteunend zijn voor bepaalde oplossingsstrategieën en zo meer. Meeromvattende kennis betreft bijvoorbeeld kennis van langlopende leerprocessen en doorlopende leerlijnen. Lokale theorieën zijn op te vatten als concretiseringen van de globale theorie zoals geformuleerd in de onderwijsleerpincipes van rekenen-wiskunde en hangen dus nauw met elkaar samen. Bijvoorbeeld: het globale principe van het gebruik van modellen als middel tot abstrahering vindt in de lokale theorie van het vermenigvuldigen een uitwerking in het gebruik van het groepjesmodel, rechthoekmodel, getallenlijn en strook- of verhoudingsmodel. In de globale theorie gaat het er tevens om hoe het proces van modelleren kan plaatsvinden, zodanig dat er een natuurlijke ontwikkeling plaatsvindt van het contextgebonden handelen, via modelondersteund handelen tot het beoogde formeel wiskundig handelen. In termen van leerprocessen van studenten komt de relatie tussen globale en lokale theorie - naast het opdoen van de verschillende kenniselementen - tot uiting in didactische vaardigheden die de student leert als concretiseren, contextualiseren, visualiseren, modelleren en abstraheren. De theoretische ontwikkeling van studenten kan dan ook niet los worden gezien van hun groei in didactische vaardigheden die worden be- en geoefend in de (stage)praktijk. Hierover in het vervolg van dit artikel meer. Studenten leren daarnaast ook vakoverstijgende didactische vaardigheden als het stellen van denkvragen, vertellen, observeren en luisteren, uitleggen en enthousiasmeren toe te passen bij rekenen-wis-
kunde. Tegelijkertijd zo is de bedoeling ontwikkelen studenten zelfvertrouwen omtrent de eigen gecijferdheid en een positieve attitude ten aanzien van rekenen-wiskunde en de reken-wiskundedidactiek. Dit behoeft, omdat een negatieve of faalangstige houding ten aanzien van rekenen en wiskunde onder startende pabostudenten relatief veel voorkomt, nadrukkelijk aandacht. S t u d e n t e n v e r s c h i l l e n Pabostudenten vormen een gemêleerd gezelschap, met uiteenlopende beginsituaties. Bij rekenenwiskunde komt dat bijvoorbeeld tot uiting in het feit dat sommige studenten bij aanvang van de studie een beperkt niveau van gecijferdheid hebben, terwijl anderen al over een goede reken-wiskundige beheersing beschikken. Sommige rekenwiskundig sterke studenten kunnen zich maar met moeite voorstellen dat wat voor hen vanzelfsprekende of geautomatiseerde kennis is geworden, door kinderen (of medestudenten) eerst met allerlei deel- en tussenstappen wordt verworven. Analoog hieraan is het voor sommige studenten die zelf zwakker zijn bij rekenen-wiskunde juist eenvoudig om tussenstappen en concretiseringen te bedenken die het leerproces van kinderen kunnen ondersteunen. De uitwisseling en wisselwerking tussen deze groepen studenten wordt in de lessen rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo benut om studenten inzicht te laten ontwikkelen in denkwijzen van anderen. Reken-wiskundig sterke studenten ontwikkelen in de uitwisseling met minder sterke studenten zicht op variatie in oplossingswijzen en abstractieniveau. Reken-wiskundig minder sterke studenten kunnen door sterkere studenten op het spoor van abstrahering en formele aanpakken worden gezet. De uitwisseling draagt voor alle groepen bij aan het je open stellen voor andere aanpakken dan de eigen; een kernpunt dat aansluit bij het onderwijsleerprincipe dat het uitgangspunt van reken-wiskundeonderwijs bij de leerlingen ligt. Bovendien ervaren studenten aldus aan den lijve dat interactie en reflectie bijdraagt aan hun leren, wat overeenkomt met het onderwijsleerprincipe dat leren van rekenen-wiskunde een sociaal proces is. R e k e n e n - w i s k u n d e e n d i d a c t i e k i n d e s t a g e Zoals in elke beroepsopleiding is het opleidingsonderwijs op de pabo sterk verbonden met de (stage)praktijk. Onder meer vanwege de complexiteit van de leerprocessen die studenten doorlopen worden praktijkervaringen bewust betrokken bij de colleges rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo en waar mogelijk omgekeerd. Zo wordt het veel pabostudenten in hun stagepraktijk pas goed duidelijk dat er een verschil is tussen kunnen rekenen en rekenonderwijs verzorgen. Maaike is een eerstejaars student. Zij loopt stage bij meester Joost in groep 7. De eerste stagedag al vertelt ze hem dat rekenen een ramp zal worden, daar kan ze zelf niets van, dus de rekenlessen moet hij maar zelf doen. Joost neemt daar echter geen genoegen mee: Rekenen hoort er gewoon bij. Sterker nog, het is een van de belangrijkste vakken. Het staat elke dag op het programma, dus je geeft gewoon rekenlessen, is zijn antwoord. Bij de eerste de beste rekenles van Maaike is Joost blij verrast. Maaike laat de kinderen hun oplossingen aan elkaar vertellen. Ze vraagt goed door. Ze zet oplossingsstrategieën die van belang zijn voor het vervolg van het leerproces op het bord, goed gevisualiseerd met een adequaat model. Ze bereikt zo, zeker voor een eerstejaars, een hoog niveau in haar les. Maaike heeft zelf helemaal niet in de gaten dat ze goed bezig is. Ja, ik vraag net zo lang door tot ik zelf goed begrijp wat een kind zegt en als ik vind dat we het even moeten onthouden omdat we het straks nog nodig hebben, dan zet ik het op het bord, vertelt ze. (Panama Kerngroep Opleiders, 2007) Student Maaike heeft bij aanvang van haar studie enkel het beeld van niet kunnen rekenen van zichzelf en wordt zich in de stagepraktijk bewust dat haar handelwijze het leerproces van kinderen ondersteunt. Een dergelijke bewustwording in de stagepraktijk komt vaker voor. Studenten met een goede rekenwiskundige vaardigheid merken dat basisschoolleerlingen in vergelijking met hun eigen formele oplossingswijzen andere in hun ogen misschien zelfs omslachtige oplossingsprocessen doorlopen. Ook deze studenten ervaren zo het verschil tussen het zelf kunnen rekenen en het verzorgen van rekenonderwijs. Dergelijke, vaak eerste, praktijkervaringen met rekenen-wiskunde worden in de bijeenkomsten op de pabo expliciet benoemd en benut om de studenten zich open te laten stellen voor de didactiek en bijbehorende theorie van rekenen-wiskunde. Actuele vakspecifieke theorie als de reconstructiedidactiek, komt overigens lang niet altijd overeen met hetgeen waar studenten mee in aanraking komen in hun stagepraktijk. Zo komen praktijksituaties waar instructie bij rekenen-wiskunde voornamelijk het karakter heeft van betekenisloos en trucmatig vooren nadoen nog frequent voor (Griffioen, 2004). Een student in zo n stagepraktijk vervalt gemakkelijk in soortgelijk instructiegedrag. Sommige rekenwiskundig sterke studenten kunnen zich maar met moeite voorstellen dat wat voor hen vanzelfsprekende of geautomatiseerde kennis is geworden, door kinderen (of medestudenten) eerst met allerlei deel- en tussenstappen wordt verworven. Zoals alle startende studenten heeft Ada vanuit haar eerdere rol als leerling een bepaald beeld van (rekenwiskunde)onderwijs (zie kader op p. 48). Maar al te vaak is dit een versimpeld en mechanistisch beeld: de leraar is degene die de leerstof overdraagt en de leerlingen leren door daarnaar te luisteren (Verloop, 2003). TIJDSCHRIFT VOOR LERARENOPLEIDERS - 28(4) 2007 47
Dit verklaart mede waarom Ada haar les geslaagd vindt; zij heeft immers haar verhaal gehouden en de leerlingen hebben daarnaar geluisterd. Dat er vanuit het vakdidactisch perspectief rekenen-wiskunde veel op een dergelijke instructie valt af te dingen, ontgaat haar nog. Dit valt immers niet af te leiden uit haar actuele beeld van (reken-wiskunde)onderwijs. In mijn rol van stagebegeleider woon ik een rekenles van Ada bij. Ada is eerstejaars en heeft al vaker een rekenles gegeven. Het onderwerp van haar les zijn opgaven van het type 2 x 90. Ze had, zo verzekerde ze me van tevoren, de les goed doorgesproken met haar mentor, meester Teun. Rustig en zelfverzekerd staat Ada voor de groep. Ze vertelt de kinderen van groep 5 dat je dan eerst 2 x 9 uitrekent: Maar dat weten jullie al, he? en daar moet je dan gewoon een nul achter zetten. Maar als je 2 x 9 nog niet zo goed weet, mag je je tafelkaart gebruiken. Een aantal kinderen heeft zo n tafelkaart waarop alle tafelopgaven en antwoorden staan en gebruiken die om 2 x 9 en andere tafelproducten op te zoeken. Ada heeft deze gang van zaken van Teun overgenomen. Beiden vinden de les uitstekend verlopen. Meer dan rekenen en stage-ervaringen opdoen 48 G r e n z e n a a n l e r e n i n d e s t a g e p r a k t i j k Studenten als Ada, maar ook studenten als Maaike, moeten worden geholpen hun kennis van reken-wiskundeonderwijs uit te breiden en inzicht te ontwikkelen hoe kinderen rekenen-wiskunde leren. Dit overstijgt de mogelijkheden die het leren in een stagepraktijk biedt. Neem bijvoorbeeld het gebruik van contexten. Contexten worden binnen de reken-wiskundedidactiek opgevat als voor leerlingen betekenisvolle situaties, aan de hand waarvan een bepaald reken-wiskundig fenomeen kan worden geïntroduceerd, verkend of waarin bepaalde rekenvaardigheden kunnen worden toegepast. Zo kan bijvoorbeeld de situatie waarin kinderen samen pizza's delen, worden gebruikt als context voor de introductie van breuken als deel van een geheel. Het gebruik van contexten is een aspect van realistisch reken-wiskundeonderwijs dat voor studenten makkelijk zichtbaar is in de praktijk; in alle rekenwiskundemethodes zijn contexten herkenbaar aanwezig. Studenten maken dan ook al snel zelf gebruik van contexten in hun stage. In eerste instantie gebeurt dit vaak nog eendimensionaal; vooral als motiverend aspect voor de kinderen. Om contexten te gebruiken om het leerproces van kinderen te ondersteunen, zijn echter nog veel meer aspecten van belang, zoals: 'betekenisvol' is een relatief begrip; contexten kunnen bij kinderen meer of andere dingen oproepen dan bij de leerkracht; sommige contexten zijn betekenisverlenend voor getallen, sommige voor bewerkingen en weer andere voor allebei; sommige contexten lokken bepaalde oplossingsstrategieën uit; de vertaalslag van contextgebonden naar formeel rekenen - het horizontaal mathematiseren - wordt ondersteund door het gebruik van (denk)modellen of door leerlingen te laten modelleren; bij het gebruik van contexten als toepassingsgebied voor eerder verworven vaardigheden is het horizontaal mathematiseren een anderssoortig proces dan bij het gebruik van contexten als bron van nieuwe rekenwiskundige kennis en vaardigheden. (Panama Kerngroep Opleiders, 2007) Juist dergelijke achterliggende vakspecifieke kennis maakt dat een (aanstaand) leerkracht adequate microdidactische keuzes kan maken voor bijvoorbeeld geschikte contexten bij bepaalde leerstof en leerdoelen en deze keuzes kan onderbouwen. Dergelijke vakspecifieke kennis is voor studenten niet direct zichtbaar in de praktijk. Immers, het hangt van allerlei omstandigheden af - de groep, het onderwerp van de les, het verloop van de les, de vakspecifieke deskundigheid van de leerkracht - welke specifieke kennis daadwerkelijk beschikbaar en zichtbaar is voor studenten. Ook waar de leerkracht beschikt over diepgaande vakspecifieke kennis, wordt deze niet automatisch ingezet in de reken-wiskundelessen (Dolk, 1997). Bovendien wordt dergelijke gedetailleerde kennis pas zichtbaar, als de kijker er al weet van heeft. In alle gevallen moet er rekening mee worden gehouden dat bij rekenen-wiskunde niet alle achterliggende vakkennis en vakdidactiek rechtstreeks zichtbaar is aan, of af te leiden valt uit, het handelen van de leerkracht. Om al deze redenen stelt de docent rekenen-wiskunde en didactiek dergelijke, in de praktijk niet-zichtbare, aspecten aan de orde in de bijeenkomsten op de pabo. Dit vindt plaats aan de hand van de eerder genoemde opleidingsdidactische principes. Praktijkervaringen worden geduid aan de hand van theoretische inzichten en omgekeerd krijgen theoretische noties voor studenten betekenis door ze te relateren aan hun praktijkervaringen. Dit gebeurt bijvoorbeeld door aan de hand van de onderwijsleerprincipes van rekenenwiskunde gezamenlijk onderwijs voor de eigen stagepraktijk te ontwerpen, waarbij de verschillende eerder genoemde niveaus van reflectie worden toegepast: vooraf door te reflecteren op het eigen handelen met de betreffende leerstof; en na uitvoering van het onderwijs door te reflecteren op het didactisch handelen met de leerstof en de gehanteerde onderwijsleerprincipes (zie bijvoorbeeld Van Zanten, 2004). Om een en ander te kunnen realiseren wordt - evenwijdig aan de stages die studenten lopen - doorlopend contacttijd rekenen-wiskunde en didactiek gepland. Gezamenlijke reflectie op het didactisch handelen in de stagepraktijk biedt een insteek voor het (laten) betrekken van vakspecifieke theorie en didactiek op het handelen. Aldus ontstaat en groeit met theorie verrijkte praktijkkennis (Oonk, Goffree en Verloop, 2004). Naarmate studenten hun praktijkervaringen steeds meer kunnen relateren aan theoretische inzichten, groeit tevens hun theoretische inbreng. Hierdoor worden studenten in staat gesteld een vakspecifiek
repertoire te ontwikkelen dat hun actuele stagepraktijk ontstijgt. Slot Startbekwame leerkrachten moeten goed - vakdidactisch verantwoord - reken-wiskundeonderwijs kunnen verzorgen. Hiervoor is meer nodig dan enkel zelf goed kunnen rekenen. Gedurende hun ontwikkeling tot startbekwame leerkracht krijgen studenten een steeds beter beeld van wat goed reken-wiskundeonderwijs inhoudt. In eerste instantie is dat beeld nog vooral bepaald door herinneringen vanuit leerlingperspectief aan het zelf ondergane reken-wiskundeonderwijs. Dit wordt vervolgens aangevuld met indrukken van het reken-wiskundeonderwijs zoals studenten dat waarnemen en beleven in hun stagepraktijk. Aan de pabo in de persoon van de docent rekenen-wiskunde en didactiek de taak de ogen van de student te openen voor die aspecten van reken-wiskundeonderwijs die niet direct zichtbaar zijn in hun stagepraktijk, of dat nou is omdat ze niet aanwezig zijn of omdat het gaat om letterlijk niet-zichtbare zaken als onderliggende overwegingen, verantwoording en kennis van de stagementor (vergelijk Verloop, 2003). De taak van de docent rekenen-wiskunde en didactiek beperkt zich dus niet tot het helpen verwerven van een adequaat niveau van professionele gecijferdheid, relevante theorie en vakdidactische noties. Praktijkervaringen worden geduid aan de hand van theoretische inzichten en omgekeerd krijgen theoretische noties voor studenten betekenis door ze te relateren aan hun praktijkervaringen. Om te voorkomen dat een en ander louter situationele kennis blijft, is van belang dat studenten inzien dat achterliggende theoretische inzichten evenzeer deel uitmaken van reken-wiskundeonderwijs. Anders gezegd: theorie en praktijk van het reken-wiskundeonderwijs moeten als een geheel worden ervaren. Hiertoe dient de theoretische ontwikkeling van studenten doorlopend te worden gerelateerd aan hun praktijkervaringen. Zodoende ontstaat met theorie verrijkte praktijkkennis, welke zich steeds verder kan ontwikkelen. Naarmate studenten zo groeien in hun ontwikkeling, breidt het vakinhoudelijk en vakdidactisch repertoire rekenen-wiskunde zich steeds verder uit. Pabodocenten rekenen-wiskunde en didactiek zorgen ervoor dat dit leerproces van studenten op gang komt en voldoende diepgang krijgt door in bijeenkomsten op de pabo: studenten kennis te laten maken met allerhande in de praktijk onzichtbare theoretische en vakdidactische verworvenheden rekenen-wiskunde en deze vakspecifieke kennis en inzichten continu te relateren aan praktijkervaringen van studenten. en omgekeerd door studenten hun praktijkervaringen rekenen-wiskunde doorlopend te laten duiden aan de hand van vakspecifieke noties. L I T E R A T UU R Dolk, M. (1997). Onmiddelijk onderwijsgedrag. Over denken en handelen van leraren in onmiddellijke onderwijssituaties (proefschrift). Utrecht: IVLOS, Universiteit Utrecht. Expertgroep Kwaliteit Lerarenopleiding Primair Onderwijs (2004). Koersen op Meesterschap. Herontwerp, partnerschap, en kwaliteitsborging. Den Haag: Landelijk Overleg Lerarenopleiding Basisonderwijs. Faes, W., Bergh, J. van den & Olofsen, K. (1992). Gecijferdheid. Den Haag: HBO-raad. Freudenthal, F. (1991). Revisiting Mathematics Education. The China Lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Goffree, F. & Dolk, M. (red.)(1995). Proeve van een nationaal programma rekenen-wiskunde & didactiek op de pabo. Enschede/Utrecht: Instituut voor Leerplanontwikkeling / Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken- Wiskunde Onderwijs. Goffree, F. & Oonk, W. (1999). Teacher education around the world. Educating Primary school mathematics Teachers in the Netherlands: Back to the classroom. Journal of mathematics Education, 2(2), 207-214. Gravemeijer, K. (1992). Socio-constructivisme en realistisch reken-wiskundeonderwijs. In: M.Dolk (red.)(1992) Rekenen onder en boven de tien. Utrecht: Hogeschool Midden Nederland / Freudenthal Instituut. Greven, J. (red.)(2005). Vakspecifieke competenties voor studenten aan de lerarenopleiding primair onderwijs. Enschede: Stichting Leerplan Ontwikkeling. Griffioen, J. (2004). Zeurpiet of klokkenluider? In: R. Keijzer en E. de Goeij (red.)(2004). Rekenen-wiskunde als rijke bron. Utrecht: Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. HBO-raad (2003). Moed tot meesterschap. Eindrapport van de visitatiecommissie Opleiding tot leraar Basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad. Hertog, J. den (2006). Rekenvaardigheid en gecijferdheid. Enquête onder pabodocenten rekenen-wiskunde & didactiek. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk 25(4), 30-34. Klep, J. & Paus, H. (2006). Geen competentie zonder repertoire. VELON Tijdschrift voor Lerarenopleiders 27(1), 5-12. OC&W (2005). Meer kwaliteit en differentiatie: de lerarenopleidingen aan zet. Beleidsagenda lerarenopleidingen 2005-2008. Den Haag: Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap. OC&W (2006a). Reken- en taalvaardigheid van instromers in de opleiding tot leraar basisonderwijs. Den Haag: Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap (brief aan de Tweede Kamer). OC&W (2006b). Kerndoelen primair onderwijs. Den Haag: Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap. http:/ /kerndoelen.kennisnet.nl OC&W (2007). Reken- en taalvaardigheid van instromers in de opleiding tot leraar basisonderwijs en de doorlopende leerlijnen reken- en taalvaardigheid. Den Haag: Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap (brief aan de Tweede Kamer). Oonk, W. (2004). Competenties en indicatoren voor gecijferdheid. Onderzoek Theorie in Praktijk. Utrecht: Freudenthal Instituut (interne publicatie). Oonk, W., F. Goffree en N. Verloop (2004). For the enrichment of practical knowledge. Good practice and useful theory for future primary teachers. In: J. Brodphy (Ed.)(2004) Using video in teacher education. Advances in TIJDSCHRIFT VOOR LERARENOPLEIDERS - 28(4) 2007 49
research on teaching, Volume 10, 131-168. New York: Elsevier Science. Oonk, W., Zanten, M. van & Keijzer, R. (2007). Gecijferdheid: vier eeuwen ontwikkeling. Perspectieven voor de opleiding. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk 26(3), 3-18. Panama Kerngroep Opleiders (2007). Opleiden in geuren en kleuren. Bakens voor rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo. Utrecht/Enschede: Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education, Universiteit Utrecht / Stichting Leerplan Ontwikkeling. Parreren, C. & Nelissen, J. (red.)(1977). Teksten en analyses Sovjet-psychologie 2. Rekenen. Groningen: Wolters- Noordhoff. Straetmans, G. & Eggen, T. (2005). Afrekenen op rekenen: over de rekenvaardigheid van pabo-studenten en de toetsing daarvan. Tijdschrift voor Hoger Onderwijs 23(3), 123-139. TAL-team (2007). Meten en meetkunde in de bovenbouw. Groningen/Houten: Wolters-Noordhoff. Treffers, A. (1987). Three dimensions: a model of goal and theory descriptions in mathematics instruction. Dordrecht: Kluwer. Treffers, A. (1989). Het voorkomen van ongecijferdheid op de basisschool. Utrecht: Rijksuniversiteit Utrecht (oratie). Treffers, A. (2007). H.F. s laatste. In: M. van Zanten (red.)(2007). 25 jaar Panama. Gouden momenten verzilveren. Utrecht: Panama: Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education. Treffers, A., Moor, E. de & Feijs, F. (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Tilburg: Zwijsen. Verloop, N. (2003). De leraar. In: N. Verloop en J. Lowyck (red.)(2003). Onderwijskunde. Een kennisbasis voor professionals. Groningen/Houten: Wolters-Noordhoff. Zanten, M. van (2004). Ik had niet gedacht dat ik zo'n les zou kunnen geven. Leerzame en uitdagende praktijkervaringen voor eerstejaars pabo-studenten. Willem Bartjens, 23(5), 9-13. Zanten, M. van & Brom-Snijders, P van den (2007). Beleidsagenda lerarenopleiding leidt tot niveauverlaging. Gehanteerde rekenvaardigheids- en gecijferdheidstoetsen. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk 26(1), 19-23. Meer dan rekenen en stage-ervaringen opdoen 50