H. 9 Ht tal / Loaritmn 9.1 Ht tal Ht tal is n spciaal tal in d wiskund, nt zoals ht tal π. Ht is als volt dfinird: 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + 1 1 1 14 145 Als w dit uitrknn, dan wordt d waard van ht tal : =.7188188459 En afrond op dcimaln:.7 Er is ook no n andr manir om ht tal t bnadrn mt bhulp van d xponntiël functi. Zi Wisnt in d cursus Exponntiël functis n aritmn.
9. D xponntiël functi D xponntiël functi is n functi van d x f ( x) = vorm: In dz functi is x d (onafhanklijk) variabl, trwijl n constant is. Omdat d variabl x in d xponnt staat, nomn w dit n xponntiël functi. In n xponntiël functi nomn w ht rondtal n x d xponnt. W isn dat ht rondtal rotr dan 0 is, oftwl: 0 >. Voorbldn van xponntiël functis zijn: f( x ) = x f( x ) = 10 x En spcial xponntiël functi f( x ) = x is: Om d rafik van f ( x ) = x t tknn, bpaln w rst nkl puntn van dz rafik: x= : y = f = 0.14 A, 0.14 x= 1: 1 y = f ( 1) = 0.7 B( 1, 0.7) x= 0: 0 y = f ( 0) = = 1 C( 0,1) x= 1: 1 y = f () 1 =.7 D( 1,.7) x= : y = f ( ) = 7,9 E(, 7.9) x= : y = f = 0,09 F, 0.09 Als w d puntn tknd hbbn, dan tknn w d rafik r zo od molijk doorhn. Ht rsultaat is dan: f ( x ) = x
Voorbld 1: Tkn d rafik van functi f ( x) x =. W bpaln wr rst nkl puntn van dz rafik: 1 0 () 1 x= : y = f = 0.09 A, 0.09 x= : y = f = 7.9 B, 7.9 x= 1: y = f 1 =.7 C 1,.7 x= 0: y = f 0 = = 1 D 0,1 x= 1: y = f 1 = 0.7 E 1, 0.7 x= : y = f = 0.14 F, 0.14 Als w d puntn tknd hbbn, dan tknn w d rafik r zo od molijk doorhn. Ht rsultaat is dan: f ( x) = x Opmrkin: f x = Dit is ook d rafik van d functi 1 x
9. Loaritmn Dfiniti aritm: ( a ) is n tal c, zodani dat c = a. Of andrs zd: ( a c ) = c = a In d aritmisch vorm ( a ) = c nomn w ht rondtal, a ht arumnt n c d xponnt. Ht rondtal mot aan d volnd isn voldon: > 0 n 1 Ht arumnt a mot aan d volnd is voldon: a > 0 Voorbldn: Brkn (zondr rknmachin) d volnd uitdrukkinn: 1a. (8) (8) =, omdat = 8 1b. a. b. 5(5) = 5 = 5 4(16) = 4 = 16 10(1000) = 10 = 1000
Einschappn voor aritmn: Ei. 1 ( a b) = ( a) + ( b) Voorbldn: Ei. a = ( a) ( b) b p Ei. ( a ) = p ( a) Ei. 4 ( ) = 1 Ei. 5 (1) = 0 Hrlid d volnd uitdrukkinn tot één aritm: ( x+ 1) + ( x 5) M.b.v. inschap 1: 1. ( x+ 1) + ( x 5) = (( x+ 1)( x 5)) ( x+ 1) ( x 5) M.b.v. inschap :. a. () 5 x + ( 5 x+ 1) Erst inschap : Dan inschap 1: ( x+ 1) ( x 5) = x + 1 x 5 () x + ( x+ 1) = 5 5 ( x ) + ( x+ 1) 5 5 5( x ( x+ 1)) b. ( x ) ( x+ ) = ( x ) (( x ) ) + = x ( x + )
Spcial rondtalln bij aritmn: Er zijn bij aritmn rondtalln di allbi vl voorkomn. Dat zijn ht rondtal 10 n ht rondtal. Omdat z zovl bruikt wordn, hft d bijbhornd aritm n spcial notati krn. Bij rondtal 10 schrijvn w in plaats van 10 a mstal: a. Dit nomn w d Bris aritm. Bij rondtal schrijvn w in plaats van ( a ) altijd: ln( a ). Dit nomn w d natuurlijk aritm. D 5 inschappn voor aritmn zijn uitraard ook van topassin op natuurlijk aritmn. Voorbld: Voorbldn: ( x) + ( y) ( xy) ln ln ln 6 Brkn (zondr rknmachin) d volnd uitdrukkinn: 1a. ( 100 ) 100 = 10 = 10 = 1 = 1 10 6 (10) 6 1 6 6 = = = = 10 6 1b. 4 a. ln ( ) 4 ( ) ( ) ln = 4 ln = 4 1 = 4 b. 1 = = = = ln ln( ) ln() 1
9.4 D aritmisch functi D aritmisch functi is n functi van d = f x x vorm: Als lijk is aan, dan schrijvn w: f ( x) = ln( x) Om d rafik van f ( x) = ln( x) t tknn, bpaln w rst nkl puntn van dz rafik: x= 0,5: y = f 0,5 = ln 0.5 0.69 A 0.5, 0.69 x= 1: y = f () 1 = ln() 1 = 0 B( 1, 0) x= : y = f ( ) = ln ( ) 0.69 C(, 0.69) x= 5: y = f ( 5) = ln ( 5) 1.61 D( 5,1.61) x= 10 : y = f ( 10) = ln ( 10).0 E( 10,.0) x= 100 : y = f 100 = ln 100 4.61 E 100, 4.61 Als w d puntn tknd hbbn, dan tknn w d rafik r zo od molijk doorhn. Ht rsultaat is dan: = ln f x x
9.5 Rknrl voor d vrandrin van ht rondtal bij aritmn Einschap 6: a ( b) = ( b) ( a) Mt dz rl kunnn w ht rondtal a van n aritm vrandrn in rondtal. Voorbldn: 1a. Brkn d aritm ( 5 ) door ovr t aan op rondtal 10. 10 ( 5) 0.69897 ( 5) =..010 10 1b. Brkn d aritm 5 ( 1 ) door ovr t aan op rondtal. ln ( 1).48491 5 ( 1) = 1.5496 ln 5 1.60944
9.6 Exponntiël vrlijkin En xponntiël vrlijkin is n vrlijkin van d vorm: a f( x) = b Omdat d variabl x in d xponnt staat, nomn w dit n xponntiël vrlijkin. Drlijk vrlijkinn aan w oplossn door aan bid kantn van ht = -tkn d natuurlijk aritm t nmn. Voorbldn: Los d volnd vrlijkinn op: 1a. x = 6 Nm d natuurlijk aritm van ht linkr- n ht rchtrlid: x x = 6 ln( ) = ln 6 Dan inschap van d aritmn: x ln ( ) = ln ( 6) Vrvolns dz vrlijkin oplossn n x vrijmakn: 1b. x = 1 x ln( ) = ln(1) x ln() = ln(1) ln(1) x =.6186 ln() ln 6 1.7918 x = = = ln 0.691.585
. 1 5 x = x 1 ln(5 ) = ln ( x 1) ln( 5) = ln( ) ln ( ) x 1 = ln 5 0.691 x 1 = 1.6094 x 1 = 0.41 x = 1.41. x+ 5 6 = 9 x+ 5 ln(6 ) = ln 9 ( x + 5) ln ( 6) = ln ( 9) ln 9 x + 5= ln 6.197 x + 5= 1.7918 x + 5 = 1.6 x = 1.6 5 x =.774 x = 1.887