Het practicum wiskunde:

Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel 1 Dag van de wiskunde voor tweede en derde graad nascholing secundair onderwijs K.U. Leuven Campus Kortrijk 19 november 2011 Samenvatting In deze werkwinkel stellen we het practicum wiskunde voor, een werkvorm voor onderwijs wiskunde in studierichtingen met component wiskunde in de derde graad van het algemeen secundair onderwijs. Het doel van deze werkvorm is het vaststellen, aanleren, stimuleren, evalueren en opvolgen van vakgebonden vaardigheden en attitudes bij leerlingen. De didactische methode coöperatief leren staat hierbij centraal: bij het uitvoeren van de practica leren de leerlingen van de interactie met elkaar. 1 CC-licentie BY-NC: het kopiëren, distribueren, vertonen en uitvoeren van het werk en afgeleide werken is toegestaan op voorwaarde van het vermelden van de oorspronkelijke auteur, en mag niet voor commerciële doeleinden. Opmerkingen, verbeteringen en suggesties zijn steeds welkom bij de auteur op e-mail adres koendenaeghel@hotmail.com. Deelnemers van deze werkwinkel krijgen een selectie uit deze syllabus. De volledige syllabus en bijhorende presentatie staan digitaal ter beschikking op http://www.koendenaeghel.be/#voordrachten. De syllabus verschijnt eind 2011 als open publicatie (in boekvorm, online printing on demand service).

VOORWOORD Het doel van deze werkwinkel Didactiek gaat gepaard met het hebben van een visie op het onderwijs. Leerkrachten geven op een verschillende manier les, bijgevolg is de visie van een leerkracht persoonsgebonden. Maar net door je ervaringen te delen met je collega s kun je die visie bevestigd zien, of zelfs verrijken met nieuwe inzichten. De auteur wil zijn visie zeker niet opdringen, of een andere moraliserende vorm handhaven. De practica in deze syllabus zijn ontstaan vanuit eigen (vrij jonge) ervaring, en hebben dan ook niet de pretentie af te zijn, of erger: zo moet het. Zij willen enkel vanuit die ervaring laten zien: zo kan het ook. In dit kader werd deze syllabus geschreven. De opgenomen practica zijn niet overgenomen uit boeken, maar vormen een onderdeel uit een cursus 1 wiskunde die de auteur schreef ten dienste van de leerlingen uit de derde graad van het Onze-Lieve-Vrouwecollege te Brugge. Die cursus (inclusief de in deze syllabus opgenomen practica) werd net ontworpen vanuit de behoefte aan een - vaak niet klassieke - benadering van bepaalde concepten in de wiskunde, die zich volgens de auteur op een natuurlijke wijze opdringen. Praktische richtlijnen Om deze practica optimaal te benutten volgen nu enkele praktische richtlijnen. Deze syllabus bestaat uit drie delen. Inleiding We lichten de noodzaak van het bewust en expliciet stimuleren van vaardigheden, attitudes en opvattingen toe. Uit een poging van de auteur om dit te verwezenlijken is het practicum wiskunde ontstaan. Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen (pagina s Pr-1 tot en met Pr-59) bevat de bindteksten zoals de leerlingen die krijgen. Ze worden het best afgedrukt op A3-formaat (recto-verso met C-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzien van een inleiding, waarin de doelstellingen voor dat practicum verduidelijk worden. Appendix Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht (pagina s A-61 tot en met A-139) biedt informatie voor de leerkracht aan, zoals opgaven en toepassingen waar in de reguliere practica naar verwezen wordt, en oplossingen waarbij de ingevulde tekst blauw gekleurd is. Onderlijnde woorden geven aan dat het om een definitie gaat (van die woorden). Deze syllabus maakt gebruik van het grafisch rekenmachine TI-83 of TI-84 Plus. Alle noodzakelijke schermafdrukken werden in de syllabus opgenomen, zodat de leerling ook buiten de les aan de slag kan. Oefeningen vergezeld met het symbool zijn doorgaans wat moeilijker dan de reguliere oefeningen. Deze syllabus staat digitaal ter beschikking op http://www.koendenaeghel.be. Het symbool geeft aan dat de digitale versie van deze syllabus een link voorziet naar een relevante webpagina. Woord van dank Mijn dank gaat uit naar de stuurgroep wiskunde Diocesane Pedagogische Begeleidingsdienst Bisdom Brugge, o.l.v. Geert Delaleeuw (voorzitter en vakbegeleider) en Luc Gheysens (vakbegeleider), van wie ik de kans kreeg om deze werkwinkel aan te bieden. Tenslotte dank ik ook iedereen die mij op een of andere manier feedback gaf op deze practica, in het bijzonder mijn oud-leerlingen van schooljaren 09-10 en 10-11. Brugge, november 2011 KDN 1 K. De Naeghel, Wiskunde In zicht: een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs, verschijnt vanaf juli 2012 als open publicatie (in boekvorm, online printing on demand service). i

INHOUDSOPGAVE Voorwoord i Het doel van deze werkwinkel............................................ i Praktische richtlijnen................................................. i Woord van dank................................................... i Inhoudsopgave ii Inleiding v Waarom vaardigheden en attitudes?........................................ v Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer?........................... vi Wat met de verhouding tussen kennis en competenties?.......................... vi Wat is het belang van probleemoplossend denken?............................. vi Wat is het belang van samenwerken?..................................... vi Wat betekenen op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven?................ vi Waarom volstaat een klassieke toets niet?..................................... vii Practicum wiskunde - Inhoud, structuur en evaluatie............................... vii Inhoud...................................................... vii Structuur.................................................... viii Evaluatie.................................................... viii Pr Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen Pr Woord vooraf Pr-i 1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken Pr-1 1 Inleiding..................................................... Pr-1 Informatie verzamelen met behulp van het internet............................. Pr-2 Informatie ordenen en bewerken........................................ Pr-3 2 Opdracht.................................................... Pr-3 Evaluatieformulier Practicum 1........................................... Pr-4 2 Probleemoplossend denken (1) Pr-5 1 Inleiding..................................................... Pr-5 Stappenplan voor probleemoplossend denken................................ Pr-5 Modelvoorbeeld................................................. Pr-6 2 Opdracht.................................................... Pr-7 Evaluatieformulier Practicum 2........................................... Pr-8 3 Probleemoplossend denken (2) Pr-9 1 Inleiding..................................................... Pr-9 Stappenplan voor probleemoplossend denken................................ Pr-9 2 Opdracht.................................................... Pr-10 Tien problemen - Opgave.............................................. Pr-11 Evaluatieformulier Practicum 3........................................... Pr-12 4 Toepassingen in groep verwerken Pr-13 1 Inleiding..................................................... Pr-13 2 Opdracht.................................................... Pr-13 Oefeningen - Opgave................................................. Pr-14 Evaluatieformulier Practicum 4........................................... Pr-16 ii

5 Hoe studeer je een bewijs? Pr-17 1 Inleiding..................................................... Pr-17 Voorbeeld.................................................... Pr-17 2 Opdracht.................................................... Pr-19 Evaluatieformulier Practicum 5........................................... Pr-20 6 Samenwerken Pr-21 1 Inleiding..................................................... Pr-21 Niveaus van samenwerking........................................... Pr-21 Graden van samenwerking in de klas..................................... Pr-22 2 Opdracht.................................................... Pr-22 Oefeningen - Opgave................................................. Pr-23 Reflectie........................................................ Pr-23 Evaluatieformulier Practicum 6........................................... Pr-24 7 Een wetenschappelijk verslag schrijven Pr-25 1 Inleiding..................................................... Pr-25 Opbouw..................................................... Pr-25 Schrijftips.................................................... Pr-26 Samenvattend.................................................. Pr-28 2 Opdracht.................................................... Pr-28 Evaluatieformulier Practicum 7........................................... Pr-29 8 Onderzoeksopdracht (1) Pr-30 1 Inleiding..................................................... Pr-30 Verantwoording................................................. Pr-30 2 Opdracht.................................................... Pr-31 Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met interferentieregels..................... Pr-31 Evaluatieformulier Practicum 8........................................... Pr-33 9 Onderzoeksopdracht (2) Pr-34 1 Inleiding..................................................... Pr-34 2 Opdracht.................................................... Pr-34 Onderzoeksopdracht - Het probleem van Josephus................................ Pr-35 Evaluatieformulier Practicum 9........................................... Pr-37 10 Onderzoeksopdracht (3) Pr-38 1 Inleiding..................................................... Pr-38 2 Afspraken en tips................................................ Pr-38 Richtlijnen bij het onderzoek......................................... Pr-38 Richtlijnen bij het verslag........................................... Pr-39 Beoordeling................................................... Pr-39 3 Opdracht.................................................... Pr-40 Evaluatieformulier Practicum 10.......................................... Pr-41 11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels Pr-42 1 Inleiding..................................................... Pr-42 2 Opdracht.................................................... Pr-42 Oefeningen - Oplossingssleutels........................................... Pr-43 Evaluatieformulier Practicum 11.......................................... Pr-45 12 Werken met een wiskundig model Pr-46 1 Inleiding..................................................... Pr-46 2 Opdracht.................................................... Pr-48 Evaluatieformulier Practicum 12.......................................... Pr-49 13 Leren uit opgeloste problemen Pr-50 1 Inleiding..................................................... Pr-50 2 Opdracht.................................................... Pr-50 Opgeloste problemen................................................. Pr-51 Evaluatieformulier Practicum 13.......................................... Pr-53 iii

14 Een wetenschappelijke presentatie geven Pr-54 1 Inleiding..................................................... Pr-54 Opbouw..................................................... Pr-54 Voorbereiding.................................................. Pr-55 Presenteren................................................... Pr-56 Verantwoording................................................. Pr-57 2 Opdracht.................................................... Pr-57 Evaluatieformulier Practicum 14 - Evaluatiepunten................................ Pr-58 A Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht A 2 Probleemoplossend denken (1) A-61 Lijst van opgaven................................................... A-62 3 Probleemoplossend denken (2) A-74 Tien problemen.................................................... A-75 Opgave..................................................... A-75 Oplossingen................................................... A-76 4 Toepassingen in groep verwerken A-83 Toepassingen 1 en 2................................................. A-84 Opgave..................................................... A-84 Ingevulde versie................................................. A-92 Oefeningen 1-4.................................................... A-100 Opgave..................................................... A-100 Oplossingen................................................... A-101 5 Hoe studeer je een bewijs? A-105 In te studeren bewijs (vijfde jaar).......................................... A-106 In te studeren bewijs (zesde jaar).......................................... A-107 6 Samenwerken A-108 Toepassingen 1 en 2................................................. A-109 Opgave..................................................... A-109 Ingevulde versie................................................. A-111 Oefeningen 1-4.................................................... A-113 Opgave..................................................... A-113 Oplossingen................................................... A-113 7 Een wetenschappelijk verslag schrijven A-115 Voorbeeld van een wetenschappelijk verslag.................................... A-116 Onderwerp (taken 11.3, 11.4 en 11.5)........................................ A-118 Verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft............................. A-120 8 Onderzoeksopdracht (1) A-122 Onderzoeksvraag - Oplossingen........................................... A-123 10 Onderzoeksopdracht (3) A-124 Opdracht: Wiskundig door de bocht........................................ A-125 11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels A-129 Opgave........................................................ A-130 Cursustekst waar naar verwezen wordt in de oplossingssleutels......................... A-131 12 Werken met een wiskundig model A-132 Lijst van onderwerpen................................................ A-133 13 Leren uit opgeloste problemen A-139 Extra problemen................................................... A-140 iv

INLEIDING Wanneer een leerkracht wiskunde er het leerplan 2 bij neemt, dan is de kans groot dat hij of zij meteen naar de inhoudelijke doelstellingen grijpt en de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen links laat liggen. Nochtans valt ook die laatste categorie onder de leerplandoelstellingen, onder meer: rekenvaardigheid wiskundige taalvaardigheid probleemoplossende vaardigheid onderzoeksvaardigheden leervaardigheden zin voor nauwkeurigheid kritische zin zin voor samenwerking en overleg waardering voor wiskunde Een veelvoorkomend argument hierbij is dat vakgebonden vaardigheden en attitudes automatisch worden gerealiseerd bij de verwerking van de inhoudelijke doelstellingen. Dat hangt echter af van de soort werkvormen die de leerkacht hanteert. Zo zal frontaal lesgeven de zin voor samenwerking en overleg niet bevorderen. En lost men alle oefeningen klassikaal op, dan bekwamen leerlingen zich niet in onderzoeksvaardigheden. Daardoor wordt in voorgaande argumentatie de term automatisch niet evident. Een passage uit de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen in het leerplan geeft diezelfde toon aan (leerplan pagina 22): Vaardigheden worden niet automatisch gegenereerd door de studie van ermee verwante inhouden. Ze moeten precies meermaals bij spontaan gebruik geëxpliciteerd worden. Hoewel een leerplan wel beschrijft wat deze vaardigheden en attitudes zijn, en men er een gedetailleerde beschrijving op na houdt, vermeldt het niet hoe deze competenties concreet bereikt kunnen worden. Voor de auteur was dit de aanleiding om op zoek te gaan naar een concrete werkvorm die op een bewuste en expliciete manier vaardigheden en attitudes bij leerlingen stimuleert: het practicum wiskunde. Het vervolg van deze inleiding is als volgt gestructureerd. We starten met een visie waarom bepaalde vaardigheden en attitudes ontwikkeld dienen te worden. We overlopen enkele bedenkingen, en kaderen het geheel in een breder perspectief. Aandacht hebben voor competenties is dus niet het louter in regel stellen met het leerplan/eindtermen, maar moet eerder gezien worden als een zinvol onderdeel binnen de opleiding van leerlingen. Daarna doen we het concept van de methodiek practicum wiskunde uit de doeken: waaruit bestaat het, waarvoor dient het en hoe kan de leerkracht het gebruiken (inhoud en evaluatie). Waarom vaardigheden en attitudes? Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige kennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt de wiskundige en didacticus George Pólya (1945) dat kennisoverdracht door middel van het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs, en dit op elk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, en nadien een redenering op een haalbaar niveau kunnen leveren. Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denken genoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs is geworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie het vermogen om adequaat te handelen. De nadruk ligt bij het begrip competentie dus niet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuur onderscheidt men zo n dertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren, mondeling presenteren, overtuigen, leidinggeven en samenwerken. George Pólya (1887-1985) Het feit dat competenties een trend zijn binnen het onderwijs kan niet de enige drijfveer zijn om er aandacht aan te besteden. Maar het zou er de leerkacht wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dat hij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele van die bedenkingen, en geven duiding 3 binnen de maatschappelijke context. 2 Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019. 3 Inspiratie werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren en studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html en http://www.carrieretijger.nl. v

Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennis enorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerd elektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd, de helft van diens kennis was verouderd. In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar! De consequenties van die ontdekking zijn enorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weer verouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht. Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom is het onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties. Wat met de verhouding tussen kennis en competenties? Tegenwoordig hebben we te maken met een generatie die een overgang gemaakt heeft van te veel kennis naar vaardigheden en attitudes. Volgens sommigen 4 was die slinger wat teveel doorgeslagen, en gaan we nu meer naar een evenwicht. Het is dan ook onze mening dat een gezond evenwicht tussen kennis en competenties pas bereikt kan worden als de leerkracht streeft naar een doordachte visie op didactiek, en in dialoog treedt met andere collega s om die visie bevestigd te zien en elkaar te verrijken met nieuwe inzichten (zie ook het voorwoord van deze syllabus). Het bewaken van de kwaliteit van het onderwijs is hier een logisch gevolg van. Maar we zijn er net van overtuigd dat het streven naar competenties niet hoeft te betekenen dat het niveau van de leerlingen op het vlak van wiskunde daalt. Wat is het belang van probleemoplossend denken? Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleem kan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net die vaardigheid om problemen op te lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test, en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzicht en technisch inzicht. Alleen al het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden. Wat is het belang van samenwerken? Ondertussen is de hoeveelheid tot op vandaag bekende wiskunde en wetenschappen gigantisch groot geworden. Naar schatting komen er elk jaar zo n 300 000 nieuwe wiskundige ontdekkingen bij 5. De volledige kennis hiervan is voor één enkel individu een utopie. Daardoor alleen al is samenwerking tussen wiskundigen en wetenschappers een noodzaak. Ook in een breed maatschappelijke context is samenwerking onmisbaar. Het al of niet maken van carrière hangt vaak af van het succesvol omgaan met anderen. Want voor veel hogere functies geldt dat niet zozeer vakinhoudelijke kwaliteiten nodig zijn, maar het vermogen om effectief samen te werken. Sociale eigenschappen zoals tact, empathie en gedrag als teamspeler worden dan ook best zo goed mogelijk aangeleerd en onderhouden, over de vakken heen. Ook op dat vlak dient het onderwijs zijn verantwoordelijkheid te nemen. Dat kan bijvoorbeeld met coöperatief leren, dat niet geheel gericht is op de ontwikkeling van de eigen persoonlijkheid en kennis, maar juist ook om de ander verder te helpen met de kwaliteiten die het zelf al bezit. Binnen coöperatief leren worden de leerlingen uitgedaagd om zelf initiatief te nemen, elkaar te helpen en problemen samen op te lossen. empathie in de wiskunde Wat betekenen op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven? Per beroep kun je ongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een standaard. In een sollicitatie zal men vooral op die competenties letten. Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij een andere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas prima functioneerde, met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzaken van bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leveren product, was ze beter af geweest. 4 Mieke Van Hecke, directeur-generaal katholiek onderwijs (De Morgen 14/11). 5 Sinds 1991 is het voor wetenschappers gebruikelijk om zijn of haar vondsten digitaal beschikbaar te maken op de e-print service arxiv, beschikbaar op http://xxx.lanl.gov/. vi

Waarom volstaat een klassieke toets niet? Eens een leerkracht kiest voor het bewust ontwikkelen van competenties, dan is het wenselijk om het effect ervan te meten en verder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets. Typisch daarbij zijn opmerkingen in het genre: let op je notatie, na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?, maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk, bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen, maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde,... Het is echter duidelijk dat een leerling bij het afnemen van de toets zich veel meer toelegt op het reproduceren van de kennis dan het bewust tonen van z n competenties. Ook bij het lezen van de verbeterde toets zal de leerling eerder interesse hebben in de punten, en niet zozeer in de opmerkingen in verband met de competenties. Hoewel het een met het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tot hogere punten) zal de leerling die link niet onmiddellijk aannemen. Het is zelfs zo dat in sommige scholen de leerkrachten enkel punten mogen geven op inhoudelijk werk, naar onze mening een gevolg van de kwalijke trend dat ouders bij het falen van hun zoon of dochter meteen naar de beroepscommissie stappen. Een nul geven voor het te laat indienen of punten zetten op nauwkeurigheid, orde en samenwerking zijn uit den boze. Hoewel deze visie zeker verdedigbaar is, brengt het een complicatie met zich mee: de leerkracht kan de daarmee gekoppelde vaardigheden zoals leervaardigheden (plannen van de studietijd), zin voor nauwkeurigheid en orde, en zin voor samenwerking en overleg niet op punten zetten, wat voor de leerling een reden te meer is om zijn interesse in die competenties te laten varen. Practicum wiskunde - Inhoud, structuur en evaluatie Uit een poging van de auteur om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is het practicum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica genaamd. Het doel van deze practica is dat de leerkracht kan beoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen die de leerling zelf of in groep geschreven heeft, en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleert het leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het managen van zijn eigen leerproces. Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren? Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze? Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben? Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren? Inhoud Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot klassieke didactiek - een aantal onderwerpen aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Sommige zijn zelfs essentieel in de uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. Zo kan het rapporteren van een wiskundig onderwerp of onderzoeksresultaat pas zinvol gebeuren als er aan leerlingen ook verteld wordt wat een wetenschappelijk verslag of presentatie inhoudt: structuur, schrijfstijl, tips en valkuilen. De practica die in deze syllabus werden opgenomen zijn geordend volgens de volgorde waarin leerstofonderdelen wiskunde in de derde graad (meestal) gegeven worden. Andere practica zijn dan weer niet meteen verbonden met een bepaald leerstofonderdeel. In onderstaand overzicht is de vermelding van het aantal lessen slechts richtinggevend. vijfde of zesde jaar nr. practicum uitvoering lessen 1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken per twee, computerklas 2 2 Probleemoplossend denken (1) per twee 1 10 Onderzoeksopdracht (3) per vier 5 14 Een wetenschappelijke presentatie geven per drie 1 vii

vijfde jaar nr. practicum leerstofonderdeel uitvoering lessen 3 Probleemoplossend denken (2) precalculus per drie 2 4 Toepassingen in groep verwerken matrices per vier 2 5 Hoe studeer je een bewijs lineaire stelsels, inverteerbare matrices individueel 1/2 6 Samenwerken lineaire stelsels, inverteerbare matrices per twee 2 7 Een wetenschappelijk verslag schrijven vectoren, parametervergelijkingen per drie 2 8 Onderzoeksopdracht (1) logica individueel 1 9 Onderzoeksopdracht (2) rijen per twee 1 zesde jaar nr. practicum leerstofonderdeel uitvoering lessen 5 Hoe studeer je een bewijs bepaalde integralen individueel 1/2 11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels bepaalde integralen individueel 1 12 Werken met een wiskundig model integralen per vier 2 13 Leren uit opgeloste problemen onbepaalde integralen per vier 1 Structuur Werkbundels voor de leerlingen (pagina s Pr-1 tot en met Pr-59) worden best afgedrukt op A3-formaat (recto-verso met C-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzien van een inleiding, waarin de doelstellingen voor dat practicum verduidelijk worden. De laaste pagina dient als evaluatieformulier, waarop de competenties zijn opgenomen die voor dat practicum relevant zijn. Onderstaande afbeelding is een verkleinde versie van zo n practicumbundel in A3-formaat (recto-verso met C-vouw). A3-voorkant A4-pagina Pr-4 A4-pagina Pr-1 A3-achterkant A4-pagina Pr-2 A4-pagina Pr-3 Pagina s Pr, Pr-i tot en met Pr-iv vormen in A3-formaat een kaft waarin de leerling zijn practicabundels kan bijhouden. Deze wordt dan ook best op verhard papier afgedrukt. Evaluatie Het verschil met een klassieke taak of toets is dat practica wiskunde ook geëvalueerd worden op vaardigheden en attitudes. Bovendien weten de leerlingen aan de hand van hun gekregen bundel op welke competenties zij oefenen en beoordeeld worden. Typisch is dat de leerkracht bij het quoteren enkele in het oog springende competenties aanduidt. Dat kan op een efficiënt door deze met een groene (positief) of rode (negatief) fluorescerende stift aan te duiden. Enkele voorbeelden van ingevulde evaluaties vindt de lezer in de appendix terug. De meeste practica worden ook geëvalueerd op inhoud, wat kan verwerkt worden in de tussentijdse evaluatie. Sommige scholen voorzien naast een klassiek puntenrapport ook een attituderapport. Hierin kan de leerkracht wiskunde dan de vakgebonden (leer)attitudes op aanbrengen die beoordeeld werden in de practica. viii

naam:............................................. nr:......... klas:....... schooljaar:.............. PRACTICUM 1 INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN 1. Inleiding De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd: 1. De leerlingen kunnen zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken; 2. De leerlingen kunnen een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren; 3. De leerlingen kunnen de onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten. De tweede en derde eindterm zullen worden gerealiseerd bij de uitvoering van latere practica onderzoeksopdrachten. Hierbij komt de eerste eindterm (bijna) niet aan bod. Daarom wordt ze hier afzonderlijk behandeld. competentie 1 } {{ } verzamelen ordenen bewerken rapporteren confronteren } {{ } competentie 3 onderzoekscompetenties competentie 2 voorbereiden uitvoeren evalueren } {{ } De competenties informatie verzamelen, ordenen en bewerken sluiten eerder aan bij onderzoek waarvoor de leerling informatie opzoekt in de literatuur of op het internet en deze informatie synthetiseert of toepast op een concrete onderzoeksvraag. Bij wiskunde bevindt dergelijk onderzoek zich toch eerder in de marge 1 van het gebeuren. Denk bijvoorbeeld aan het maken van een werkstuk over het leven van een wiskundige. We zijn dan ook van mening 2 dat bij wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boeken haalt, maar genereert door zelf te redeneren. Probleemoplossende vaardigheden komen hierbij goed van pas, dat komt dan ook aan bod in latere practica. Maar informatie opzoeken helpt je - althans op het niveau van de wiskunde in het middelbaar onderwijs - geen stap vooruit. 1 Binnen de context van het wiskundeonderwijs is de eerste eindterm wel relevant bij onderzoek dat steunt op statistische informatie (zesde jaar). 2 Deze verwoording werd ontleend aan de voordracht G. Verbeeck, J. Deprez, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge. De visie van de auteur sluit hier naadloos bij aan. Pr-1

Informatie verzamelen met behulp van het internet Informatie opzoeken is wellicht de belangrijkste functie van het internet. Als je niet beschikt over een lijst met relevante adressen, dan valt het tegen om iets rechtstreeks te vinden in deze enorme informatieberg. Het losweg intypen van url s die eventueel met het gezochte onderwerp iets te maken hebben is uit den boze. Los van het feit dat zo n pagina waarschijnlijk geen interessante informatie voor je bevat, is kans dat het ingetypte adres bestaat heel klein. Daarom moet je opzoeken op het internet wat gestructureerder aanpakken. Een zoekmachine is een webdienst waarmee met behulp van trefwoorden een volledige tekst kan worden gezocht. De volgende tabel geeft enkele zoekmachines weer, alsook enkele populaire sites voor (wiskundige) informatie. zoekmachine beschrijving en tips voor- en nadelen google www.google.be/ wikipedia www.wikipedia.org/ In veel landen is Google de populairste zoekmachine. Gebruik aanhalingstekens bij het zoeken van een zin vb. vectoren in het vlak sterretje als joker, op die plaats kan alles staan vb. een dodecaëder heeft vlakken site bij het zoeken binnen een site vb. wiskunde site:deredactie.be define bij het zoeken naar een definitie vb. define:googol afbeeldingen: tik je zoekterm, klik afbeeldingen Wikipedia is een gratis encyclopedie. Engelse trefwoorden genieten voorkeur boven Nederlandse. In vergelijking met het Nederlands worden artikels in het Engels door een grotere groep mensen opgesteld, gecontroleerd en aangepast. Gebruik synoniemen van bepaalde woorden wanneer een zoekopdracht niet het gewenste resultaat geeft. Omdat het een grote zoekmachine is, wordt het steeds moeilijker om gericht te kunnen zoeken op een bepaald gebied, of in een andere taal dan het Engels. Vaak geeft Google gewoon te veel resultaten weer, waardoor een gebruiker door het bos de bomen niet meer ziet. Een handige manier om op een begrijpbaar niveau kennis op te doen. De meeste artikels zijn voorzien met links naar andere websites. Maar omdat iedereen artikels kan wijzigen, is er geen garantie dat een artikel in wikipedia juist en betrouwbaar is. Aan te raden is dat je de informatie vergelijkt met andere bronnen. MacTutor History of Mathematics Archive http://www-history.mcs.stand.ac.uk/search/history search.html On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) http://oeis.org/ Bevat gedetailleerde biografieën over wiskundigen en wiskundige onderwerpen. Categorieën: History Topics: artikels volgens cultuur of tak van de wiskunde vb. Ancient Greek mathematics Famous curves: bekende en minder bekende krommen vb. lemniscate of Bernoulli Neil Sloane s online database van meer dan 200 000 rijen van gehele getallen die frequent voorkomen in de wiskunde. Search: tik de eerste termen in van een rij getallen. vb. 2, 4, 8, 16, 31 Een uitgebreid en betrouwbaar geschiedenisarchief van wiskunde. Elke ingang in de database bevat onder meer de eerste getallen van de reeks, sleutelwoorden, wiskundige motivering en literatuur links. Vaak is de uitleg wel te gespecialiseerd. Pr-2

Informatie ordenen en bewerken Het is onmogelijk om alle verzamelde informatie op te nemen. Daarom moet de informatie eerst verwerkt worden. Je werkt het overzichtelijkst als je elke vraag of onderwerp afzonderlijk behandelt. Dat kan erg handig door de informatie eerst te kopiëren naar Word-document. Om ervoor te zorgen dat je later nog weet waar je welke informatie gevonden hebt, noteer je onder elke passage de (eventueel verkorte) bronbeschrijving, bijvoorbeeld de url waarop je de informatie gevonden hebt. Op deze manier krijg je meteen de antwoorden van verschillende bronnen op dezelfde vraag bij elkaar. Daardoor wordt het makkelijker om de verschillende antwoorden op zo n vraag met elkaar te vergelijken. Daarna moet je de bekomen informatie verwerken. Dat kan door eerst een schema te maken. 1. Het allerbelangrijkste daarbij is dat je een goed onderscheid maakt tussen hoofdzaken en bijzaken. Dat is lang niet altijd makkelijk, aanwijzingen zijn: titel en tussenkopjes: deze vertellen je waar gedeelten van de tekst over gaan; eerste en laatste alinea van de tekst: in de eerste vertelt de schrijver vaak waarover de tekst gaat, in de laatste vat de schrijver vaak het belangrijkste nog even samen; afwijkende druk: als een woord bijvoorbeeld vet gedrukt is, dan is dat woord (meestal) extra belangrijk. 2. Alleen de belangrijke dingen weergeven: dus niet allerlei voorbeelden of onbelangrijke feitjes en geen hele zinnen. 3. Je moet in het schema de verbanden tussen de onderdelen van je schema goed duidelijk maken. 4. Als in de tekst nieuwe begrippen behandeld worden, kun je onderaan het schema een begrippenlijst te maken: de nieuwe begrippen met daarachter de betekenis. Daarna maak je van bij elke vraag of ondewerp een samenvatting. Daarbij heb je aandacht voor: de structuur van je tekst: die bestaat uit een aantal alinea s die een overzichtelijk geheel vormen; je zorgt dat je tekst aangenaam om lezen is, en een informatief karakter heeft; je neemt geen zinnen letterlijk van je bronnen over; wat je ook schrijft, je zorgt dat je de inhoud voor 100% begrijpt; details (voorbeelden, zaken die niet van belang zijn voor de hoofdlijn van de tekst) moet verwaarlozen; je sluit je samenvatting af door het vermelden van je bronnen. 2. Opdracht Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen............ (datum invullen). Practicum (... lessen, thuis afwerken). Het practicum voer je uit in groepjes van twee tot drie. Zoek nevenstaande poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op. Eerst is het de bedoeling dat je de vraag oplost die op de poster staat. Je moet dus het vraagteken achterhalen. Daarna kies je in je groepje een rij of kolom. In die rij of kolom kies je drie afbeeldingen (maar niet het vraagteken). Bijvoorbeeld drie van de vijf plaatjes uit de tweede rij. Over elke afbeelding zoek je informatie op het internet. Die informatie orden je en bewerk je tot een samenvatting zoals beschreven in de inleiding. Schrijf tussen een halve en één bladzijde per afbeelding. Daarna is het de bedoeling om zelf een wiskundige afbeelding op te zoeken die het getal op de plaats van het vraagteken zou kunnen weergeven. Ook van die afbeelding maak je zo n samenvatting (maximaal één bladzijde). Verslag (tijdens de les, thuis afwerken). Je verslag bevat: van elk van de drie afbeeldingen een halve tot één bladzijde samenvatting; een afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken zou kunnen weergeven; ook van die afbeelding een halve tot één bladzijde samenvatting. Het verslag voeg je in deze practicum map. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden. Practicum indienen. Op............ (datum invullen). Elke groep dient één practicumbundel met verslag in. Pr-3

Evaluatieformulier Practicum 1 Doelstellingen Beoordeling Commentaar Inhoudelijk Vaardigheden 6. Onderzoeksvaardigheden Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen. Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken. Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren. Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren. Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren. Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren. Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze. Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces. 7. Leervaardigheden Je kan losse gegevens verwerken. Je kan samenhangende informatie verwerken. Je kan informatiebronnen raadplegen. Je kan studietijd plannen. Je kan je eigen leerproces bijsturen. Attitudes 10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie. Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken. 11. Kritische zin. Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen. 14. Zin voor samenwerking en overleg. Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen. Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak. 15. Waardering voor de wiskunde. Je toont inzicht in de bijdrage van de wiskunde in culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkelingen. Pr-4

naam:............................................. nr:......... klas:....... schooljaar:.............. PRACTICUM 7 EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN 1. Inleiding 1 Het schrijven en publiceren van verslagen is o.a. voor wetenschappers een belangrijk onderdeel van hun werk. Een verslag kan dienen om je uitgevoerd werk, een project, je ideeën en je conclusies aan anderen uit te leggen of kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderen van je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dat een verslag tot in de puntjes verzorgd moet zijn; niet alleen qua lay-out, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard qua inhoud. In veel hogere studies en ook in je latere werkomgeving is het een oefening die je nog vaak zal maken. Wat is nu een verslag? Het is een tekst, maar geen proza. Je gebruikt de tekst om op een zakelijke manier te rapporteren, over de meest uiteenlopende onderwerpen: een zakenreis, een chemisch experiment, een wiskundig probleem, etc. Een verslag moet volledig maar eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn, een logische structuur hebben, en gemakkelijk te lezen zijn. Hiermee bedoelen we dat de lezer snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van het verslag. Het is niet aan de lezer om bepaalde passages verschillende keren te moeten herlezen om te achterhalen en te interpreteren wat precies wordt verteld. De vorm van een exact-wetenschappelijk verslag is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een boekbespreking of taalkundig onderzoek. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijk verslag uit en preciseren we hoe je moet omgaan met formules, tabellen en figuren. Opbouw In principe heeft een wetenschappelijk verslag de volgende structuur: Titel Samenvatting 2 Inleiding Hoofddeel Besluit Bij lange verslagen is het beter om nog een inhoudstafel en een referentielijst toe te voegen. Dit is de basisstructuur zoals die voor wiskundige verslagen wordt toegepast 3. Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd 4 1 Gebaseerd op E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, 2006. 2 Engelse term: Abstract. 3 Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994. 4 Voor een voorbeeld van een wetenschappelijk verslag verwijzen we naar K. De Naeghel, Vijf bewijzen voor de irrationaliteit van 2: een verslag ten dienste van de leerlingen van 5aGWi8-5aLWi8-5bWWi8, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011). Zie ook pagina A-116. Pr-25

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van het verslag kunnen halen. Een titel als Verslag practicum ecologie is te algemeen. Woorden als Studie van, Onderzoek naar, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden. Bij een langer verslag maak je best een titelblad. NIET: Practicum 11 februari 2010 of Oefening 28 pagina 40 WEL: Studie van de hemellichamen of Lineaire groei versus exponentiële groei Samenvatting De samenvatting van een verslag is een kort deel van een vijftal lijnen. Die geven een overzicht van het onderzoek, het belang van het onderzoek en wat je eruit concludeert. Inleiding In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt en in welke context het geheel kadert. In tweede instantie licht je de opbouw van het verslag toe. Hier wijs je op de samenhang tussen de hoofdstukken. De bedoeling is dat de lezer inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van het verslag. De andere delen dienen om te structureren, te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel staan niet alleen de antwoorden op de gestelde vragen. Vooral moet je de gevoerde redenering die achter elk antwoord schuilt, weergeven. Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding. Samen met de inleiding geeft het besluit een volledige samenvatting van het probleem en zijn oplossing. Je verwijst hier niet naar ingevoerde formules of methodes die je besproken hebt in de tussenliggende delen. Je geeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties thuis. Schrijftips Bij het maken van een verslag (in het bijzonder voor exacte wetenschappen) moet je ontzettend veel aandacht besteden aan de duidelijkheid. Je moet een tekst schrijven die gemakkelijk te lezen is. Met je verslag wil je de lezer laten begrijpen wat jij te rapporteren hebt. Zorg dat hij/zij de aandacht bij het onderwerp kan houden. Je hebt er dus alle belang bij dat de lezer geen nutteloze aandacht moet besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin of redenering. Duidelijk schrijven betekent dat je wetenschappelijke taal correct gebruikt zodat de betekenis niet verloren gaat. In de volgende paragrafen geven we enkele tips i.v.m. het integreren van wetenschappelijke informatie in een Nederlandse tekst. De opsomming die daarna volgt, gaat over het gebruik van het Nederlands en is evengoed bruikbaar in elk deel van een verslag waar geen wetenschappelijke gegevens meer zijn ingevoerd. Tip 1. De gegeven opdracht moet geïntegreerd zijn in het verslag. Terwijl je het verslag maakt hou je best een lezer in gedachten die de opdracht niet kent. Het is echter niet zo elegant om de gestelde vraag letterlijk over te nemen en dan je antwoord te formuleren (zie Tip 2). Verwerk dus de probleemstelling in jouw tekst. NIET: Wat is de snelheid in functie van de tijd? Op t = 0 is v(0) =... WEL: Om het verband te kennen tussen de snelheid en de tijd, berekenen we de eerst de beginsnelheid v(0)... Tip 2. Geef geen droge opsomming van gegeven, gevraagd, oplossing. Door eerst het gegeven op te schrijven, het gevraagde te formuleren en tenslotte de berekening te maken, vind je het antwoord op een vraagstuk. Dit is je oplossingsmethode (of werkwijze). Het behoort tot het voorbereidend werk van je verslag. Het verslag zelf gebruikt een andere invalshoek. Tip 3. Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin maar je mag formules en tekst niet dooreen halen. NIET: Op het tijdstip = 0 is de beginmassa van de radioactieve stof = 10g = m 0. WEL: Op het tijdstip t = 0 is de beginmassa van de radioactieve stof gelijk aan m 0 = 10g. Wiskundige formules vormen een taal op zich. Deze taal is heel exact omschreven en voldoet aan strikte logische regels. In tegenstelling tot een gewone (Nederlandse) taal, is wiskundige taal ondubbelzinnig: In gewone (Nederlandse) taal kan je zonder problemen zeggen: Gisteren at ik hetzelfde ijsje als vandaag. Iedereen zal begrijpen dat je twee keer een ijsje at, maar niet hetzelfde ijsje! Pr-26

In wiskundige taal betekent de uitspraak f = g met f en g (reële) functies dat f en g hetzelfde domein hebben, en dat f(x) = g(x) voor elke x-waarde in hun domein. (Langere) formules moeten op zichzelf kunnen worden gelezen als zin en staan bij voorkeur op een aparte regel. In de tekst die als uitleg dient, kan naar deze formule worden verwezen, eventueel met een referentienummer. NIET: Omdat f(t) = 4 sin(3(x π)) + d is f een algemene sinusfunctie die geen nulwaarden heeft. De d is groter dan 5. WEL: De functie f is van de vorm f(x) = 4 sin(3(x π)) + d waarbij d R (1) Bovendien heeft f geen nulwaarden. De constante d in uitdrukking (1) is dus groter dan 5. Tip 4. Vervang in de tekst geen woorden of zinsdelen door symbolen. De symbolen en hebben alleen maar betekenis in wiskundige uitspraken. Schrijf liever voluit voor alle en er bestaat. In een correcte Nederlandse zin gebruik je dus of daaruit volgt in plaats van het symbool. Dat verhoogt de duidelijkheid. Tip 5. Getallen in een tekst schrijf je liefst voluit, tenzij ze de waarde van een variabele zijn. NIET: Uit de 3 gegevens leiden we af dat de functiewaarde van drie gelijk is aan f(3) = 7. WEL: Uit de drie gegevens leiden we af dat de functiewaarde van 3 gelijk is aan f(3) = 7. Tip 6. In formules wordt niet geschrapt. Ook zonder schrappen is voor de lezer duidelijk dat gemeenschappelijke factoren in teller en noemer als quotiënt 1 hebben. Tip 7. Verwijzingen naar tabellen en figuren gebeuren op dezelfde manier als verwijzingen naar langere formules. Omvangrijke tabellen of figuren, of tabellen en figuren waarnaar in de tekst slechts zijdelings wordt verwezen, kan je ook toevoegen als bijlage. Tip 8. Verklaar elk symbool. In een formule heeft elk symbool een specifieke betekenis. Zorg dat elk symbool verklaard wordt, hetzij in de tekst, hetzij in het begin van elke paragraaf of hoofdstuk. Tip 9. Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijk verslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Nederlandse zinnen moeten de formules duiden en in een context plaatsen. Je kan bijvoorbeeld uit formules alleen, niet afleiden wat oorzaak en wat gevolg is, wat er gegeven is, wat je hebt berekend of wat bewezen is. De tekst die de formules omkadert - letterlijk en figuurlijk - moet daarom helder en ondubbelzinnig zijn. Tip 10. Ga na of de verbanden tussen de zinnen voldoende helder zijn. NIET: Uit het gegeven halen we dat x [3, 5; 4]. De grondformule van de goniometrie zegt dat sin 2 x + cos 2 x = 1. Dus cos x = 1 sin 2 x. WEL: Uit de grondformule van de goniometrie halen we dat cos x = ± 1 sin 2 x. We weten dat x [3, 5; 4]. Dus is x een hoekwaarde van een hoek in het derde kwadrant, zodat cos x < 0. Bijgevolg is cos x = 1 sin 2 x. Tip 11. Maak je zinnen niet te lang. NIET: Omdat de exponentiële functie met voorschrift f(x) = e x als domein R heeft en als bereik R + 0, zal de inverse functie van f, met voorschrift g(x) = ln x, als domein R+ 0 en als bereik R hebben. WEL: De functies met voorschrift f(x) = e x en g(x) = ln x zijn elkaars inverse. Daarom is het domein van f gelijk aan het bereik van g en vice versa. Dus is dom f = R = bld g en dom g = bld f = R + 0. Tip 12. Vermijd tangconstructies. NIET: De sinusfunctie heeft, in tegenstelling tot de tangensfunctie die niet voor alle reële getallen gedefinieerd is, als domein R. WEL: De sinusfunctie heeft als domein R, terwijl de tangensfunctie niet voor alle reële getallen gedefinieerd is. Pr-27

Tip 13. Zeg het in kernachtige bewoordingen. Vermijd breedsprakerige en lege woorden als: aspect, facet, gebeuren, aard, mate van, in feite, in principe. Vermijd omslachtige aanlopen als: Het is interessant te melden dat..., Opgemerkt kan worden dat..., etc. Vermijd overbodige woorden zoals: enorm, fantastisch, gigantisch, etc. Tip 14. Ook de toon is belangrijk. Pas op met overdreven zekerheid: ongetwijfeld, het spreekt voor zich, etc. Maar wees ook zuinig met relativerende begrippen. Tip 15. Schrijf het verslag niet in de ik-vorm. Je gebruikt de neutrale vorm men, je of we (in we moet de lezer zich betrokken voelen). NIET: Uit de resultaten van het experiment heb ik / hebben we berekend dat de oplossing 7, 2g zout bevat. WEL: Uit de resultaten van het experiment kan men / kunnen we berekenen dat de oplossing 7, 2g zout bevat. Tip 16. Laat verwijswoorden correct verwijzen. NIET: De bodemvervuiling op de Kalmthoutse heide die we ontdekten door analyse van de bodemstalen, zou dateren uit de jaren 70. WEL: De bodemvervuiling die we ontdekten door analyse van de bodemstalen genomen op de Kalmthoutse heide, zou dateren uit de jaren 70. Tip 17. Gebruik niet de toekomende tijd. NIET: We zullen een complexer model nodig hebben, dat de populatiegroei zal beschrijven. WEL: We hebben een complexer model nodig dat de populatiegroei beschrijft. Tip 18. Schrijf of druk niet af op kladpapier. Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Die moeite is tevergeefs geweest wanneer je aan het papier ook niet de nodige aandacht besteedt. Geef dus niets af op kladpapier, met ezelsoren of vlekken. Samenvattend Een goed verslag schrijven vraagt enige oefening. Het is een opdracht waarin je door rigoureus en volledig te zijn, duidelijk kan tonen aan de lezer dat je volledig het onderwerp van het verslag beheerst. Bovenstaande richtlijnen i.v.m. de inhoud, de vorm en de stijl van een verslag moeten niet zozeer naar de letter, maar wel naar de geest gevolgd worden. De opdrachtgever kan uiteraard nog specifieke eisen stellen naar gelang het onderwerp van de opdracht, maar grosso modo moet een exact-wetenschappelijk verslag voldoen aan wat in de vorige paragrafen werd beschreven. 2. Opdracht Voorbereiding. Inleiding en opdracht lezen tegen............ (datum invullen). Practicum (... lessen, thuis afwerken). In het begin van de eerste les krijg je twee pagina s A-118 en volgende uit een handboek 5. Deze kopieën behandelen een onderwerp, voorzien van enkele taken (in de tekst taak 11.3, taak 11.4 en taak 11.5 genoemd). De opdracht bestaat erin om deze taken in groepen van drie uit te voeren en hiervan een verslag te maken (één verslag per groep). Naast de kopieën uit het handboek krijg je ook het verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft, zie pagina s A-120 en volgende. Dit kan je helpen om de taken uit het handboek uit te voeren. Het verslag van die leerling is zeker geen modelvoorbeeld van een wetenschappelijk verslag: er wordt van jullie veel beter verwacht! Verslag. Het verslag beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de schrijftips zo goed mogelijk tracht na te leven. Het verslag is mag handgeschreven zijn, gemaakt op cursusbladen (geruit). Enkel recto schrijven, pagina s onderaan nummeren. Eén groepslid dient zijn/haar practicum bundel in, met daarin het verslag. Je hoeft het verslag dus niet te kopiëren. Practicum indienen. Op............ (datum invullen). 5 P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren),mechelen (Wolters Plantyn), 2006. Pr-28

Evaluatieformulier Practicum 7 Doelstellingen Beoordeling Commentaar Inhoudelijk Vaardigheden 1. Rekenvaardigheid. Bij het algebraïsch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit. Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten. Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt. 2. Meet-en tekenvaardigheid. Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig. Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen. Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen. Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt. 6. Onderzoeksvaardigheden Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen. Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken. Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren. Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren. Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren. Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren. Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze. Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces. Attitudes 10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie. Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken. 11. Kritische zin. Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen. 14. Zin voor samenwerking en overleg. Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen. Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak. Pr-29

naam:............................................. nr:......... klas:....... schooljaar:.............. PRACTICUM 14 1. Inleiding EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN Het presenteren van resultaten is o.a. voor wetenschappers een belangrijk onderdeel van hun werk. Een presentatie kan dienen om een uitgevoerd werk, project, ideeën of conclusies aan anderen kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderen van je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dat een presentatie tot in de puntjes verzorgd moet zijn; niet alleen qua voorkomen, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard qua inhoud. In je hogere studies en latere werkomgeving zul je meer dan waarschijnlijk nog vaak (wetenschappelijke) presentaties moeten geven. Wat is nu een wetenschappelijke presentatie? Het is een informatieve voordracht, waarbij je op een zakelijke manier rapporteert over een onderwerp met een wetenschappelijke ondertoon: een statistisch onderzoek, een chemisch experiment, een wiskundig probleem, etc. Een presentatie moet een hoofdboodschap bevatten, eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn, een logische structuur hebben, en gemakkelijk te volgen zijn. Hiermee bedoelen we dat het publiek snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van je verhaal. Het is niet aan de toehoorder om je voordracht verschillende keren te moeten horen om te achterhalen wat je bedoelt. De vorm van een exact-wetenschappelijke voordracht is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een taalkundige presentatie. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijke voordracht uit, en tonen met enkele tips hoe je je optimaal kan voorbereiden en de slaagkansen van je presentatie kan vergroten. Opbouw In principe heeft een wetenschappelijke presentatie de volgende structuur 1 : Titel Inleiding Hoofddeel Besluit Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd. Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de presentatie kunnen halen. Een titel als Voordracht practicum ecologie is te algemeen. Formuleringen als studie van of onderzoek naar, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden. NIET: Practicum 13 mei 2011 of Oefening 28 pagina 40 WEL: Het probleem van de 36 officieren of Duiventilprincipe 1 Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag of presentatie uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994. Pr-54

Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is, en in welke context of geheel het kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorder inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeel zal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek. Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren, te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel je meer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen. Eventueel kun je één aspect wat meer doorgronden, en een redenering maken die typisch is voor het onderwerp. Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Je geeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek. Voorbereiding Een succesvolle presentatie begint met een goede voorbereiding. Om een presentatie in de steigers te zetten, doorloop je de volgende fasen 2 : Ontwerp 1. Bepaal het doel. 2. Bepaal de hoofdboodschap. 3. Werk de structuur inhoudelijk uit. 4. Bepaal de verhaallijn. Uitwerking 5. Ontwerp een structuurdia. 6. Maak een nieuwe presentatie aan. 7. Zet het geraamte op. 8. Maak beeldende dia s. Als extra ondersteuning bij het voorbereiden en aanmaken van je powerpoint bieden we je tien tips 3 aan. Sommige van deze tips zal je herkennen in de bovenstaande structuur en de begeleidende cursustekst van het vak seminarie. Tip 19. Ken je publiek. Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders. Probeer te ontdekken waar je boodschap samenvalt met de interesse van het publiek. Op dat raakvlak liggen namelijk de aanknopingspunten voor een boeiende presentatie. Breng je publiek in beeld met de volgende vragen: Wat weten de toehoorders van het onderwerp? Wat zijn de verwachtingen? Welk belang heeft het publiek bij je verhaal? Welk inhoudelijk niveau kunnen ze aan? Pik in op wat de gemiddelde toehoorder weet, en breng hem als het ware naar een hoger niveau. Je publiek onderschatten leidt tot verveling, overschatten zorgt ervoor dat ze afhaken. NIET: From somewhere to nowhere of From nowhere to nowhere WEL: From nowhere to somewhere Tip 20. Let je doelstellingen vast. Probeer je doelstelling te omschrijven in termen van eindresultaten. Bedenk wat het publiek na jouw presentatie minimaal moet onthouden. Wees realistisch in je ambities. Er is een grens aan de hoeveelheid informatie die de toehoorders in korte tijd kunnen verwerken. Beperk je tot informatie die voor het publiek van belang is. Niet alles wat je weet, is van belang voor je publiek. NIET: Wat wil ik kwijt? WEL: Wat wil mijn publiek weten? Tip 21. Leg een hoofdboodschap vast. Aan de hand van je doelstellingen formuleer je één kernboodschap. Die kun je al bij je eerste slides vermelden. Nuttig is om die hoofdboodschap enkele keren tijdens je presentatie herhalen. Uiteraard komt die ook nog eens op het einde van je presentatie aan bod. TEST: Vraag een toehoorder drie dagen nadien: Wat heb je van mijn voordracht onthouden? 2 M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2006). 3 Gebaseerd op Philip E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77. doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007). en http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/. Pr-55