0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen.. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen.. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) =
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen.. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) = e ax + x e ax a = ( ax) e ax = f a (x) productregel kettingregel
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). (0, ) De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen. (/a, 0). Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) = e ax + x e ax a = ( ax) e ax = f a (x). Opp. O is:
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). (0, ) De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen. (/a, 0). Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) = e ax + x e ax a = ( ax) e ax = f a (x). Opp. O is: ½ basis hoogte = Opp. onder grafiek f a is: a a
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). (0, ) De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen. (/a, 0). Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) = e ax + x e ax a = ( ax) e ax = f a (x). Opp. O is: ½ basis hoogte = Opp. onder grafiek f a is: a a a a 0 fa( x) dx F a 0
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen.. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) = e ax + x e ax a = ( ax) e ax = f a (x). Opp. O is: ½ basis hoogte = a a a a a Opp. onder grafiek f a is: ( ) e a f 0 e 0 a x dx F a 0 a a a e ae Opp. tussen de grafieken is: ae
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen.. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) = e ax + x e ax a = ( ax) e ax = f a (x). Opp. O is: ½ basis hoogte = a a a a a Opp. onder grafiek f a is: ( ) e a f 0 e 0 a x dx F a 0 a a a e ae Opp. tussen de grafieken is: a ae ae a ae
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen.. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) = e ax + x e ax a = ( ax) e ax = f a (x). Opp. O is: ½ basis hoogte = a a a a a Opp. onder grafiek f a is: ( ) e a f 0 e 0 a x dx F a 0 a a a e ae Opp. tussen de grafieken is: a ae De verhouding is:
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen.. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) = e ax + x e ax a = ( ax) e ax = f a (x). Opp. O is: ½ basis hoogte = a a a a a Opp. onder grafiek f a is: ( ) e a f 0 e 0 a x dx F a 0 a a a e ae Opp. tussen de grafieken is: De verhouding is: a ae ae a ae
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as in (0,). O De grafiek van f a verdeelt driehoek O in twee delen.. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. F a (x) = e ax + x e ax a = ( ax) e ax = f a (x). Opp. O is: ½ basis hoogte = a a a a a Opp. onder grafiek f a is: ( ) e a f 0 e 0 a x dx F a 0 a a a e ae Opp. tussen de grafieken is: De verhouding is: a ae e a ae e ae a a ae ae ae is onafhankelijk van a. e e is ook goed
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Het volume is:
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ijvoorbeeld via 55.3 Het volume is: ( f ( x)) dx en mag berekend worden met de GR. 0
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55.3 Het volume is: ( f ( x)) dx en mag berekend worden met de GR. 0 ijvoorbeeld via fnint((4.5+8e^(-.45x)), X, 0, 55.3) = 7994 (mm 3 ) = 8 cm 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 3.5) en gaat door D(55, 3). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a x. Stel een vergelijking op voor kromme CD.
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55.3 Het volume is: ( f ( x)) dx en mag berekend worden met de GR. 0 ijvoorbeeld via fnint((4.5+8e^(-.45x)), X, 0, 55.3) = 7994 (mm 3 ) = 8 cm 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 3.5) en gaat door D(55, 3). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a x. Stel een vergelijking op voor kromme CD. naar rechts:. omhoog:.
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55.3 Het volume is: ( f ( x)) dx en mag berekend worden met de GR. 0 ijvoorbeeld via fnint((4.5+8e^(-.45x)), X, 0, 55.3) = 7994 (mm 3 ) = 8 cm 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 3.5) en gaat door D(55, 3). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a x. Stel een vergelijking op voor kromme CD. naar rechts: 87,5 omhoog: 3,5
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55.3 Het volume is: ( f ( x)) dx en mag berekend worden met de GR. ijvoorbeeld via fnint((4.5+8e^(-.45x)), X, 0, 55.3) = 7994 (mm 3 ) = 8 cm 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 3.5) en gaat door D(55, 3). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a x. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm: 0
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55.3 Het volume is: ( f ( x)) dx en mag berekend worden met de GR. 0 ijvoorbeeld via fnint((4.5+8e^(-.45x)), X, 0, 55.3) = 7994 (mm 3 ) = 8 cm 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 3.5) en gaat door D(55, 3). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a x. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm: y = a (x 87,5) + 3,5 Gaat door D(55, 3) dus: Naar rechts Omhoog
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55.3 Het volume is: ( f ( x)) dx en mag berekend worden met de GR. 0 ijvoorbeeld via fnint((4.5+8e^(-.45x)), X, 0, 55.3) = 7994 (mm 3 ) = 8 cm 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 3.5) en gaat door D(55, 3). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a x. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm: y = a (x 87,5) + 3,5 Gaat door D(55, 3) dus: 3 = a (55 87,5) + 3,5 dus a = 67,5
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55.3 Het volume is: ( f ( x)) dx en mag berekend worden met de GR. ijvoorbeeld via fnint((4.5+8e^(-.45x)), X, 0, 55.3) = 7994 (mm 3 ) = 8 cm 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 3.5) en gaat door D(55, 3). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a x. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm: y = a (x 87,5) + 3,5 Gaat door D(55, 3) dus: 3 = a (55 87,5) + 3,5 dus a = 9,5 / (67,5) 0,00 De vergelijking van CD is dus: 0
0 I Het wijnglas De eenheid van lengte in deze opgave is mm. eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme is de grafiek van f (x) = 4,5 + 8 e 0,45x op het domein [0, 55.3]. 3. ereken het volume in cm 3 van het lichaam dat ontstaat als kromme om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55.3 Het volume is: ( f ( x)) dx en mag berekend worden met de GR. 0 ijvoorbeeld via fnint((4.5+8e^(-.45x)), X, 0, 55.3) = 7994 (mm 3 ) = 8 cm 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 3.5) en gaat door D(55, 3). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a x. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm: y = a (x 87,5) + 3,5 Gaat door D(55, 3) dus: 3 = a (55 87,5) + 3,5 dus a = 9,5 / (67,5) 0,00 De vergelijking van CD is dus: y = 0,00 (x 87,5) + 3,5
0 I Het wijnglas P De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Domein [55,3; 87,5] eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme P is deel van de grafiek van g( x) x 75x 6600. Het gearceerde gebied, tussen x = 55,3 en x = p, wordt gewenteld om de x-as zodat de inhoud daarvan 50 ml is. 5. ereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. ---------------------------------------------------------------------------- (55,3, 0) (p, 0)
0 I Het wijnglas P De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Domein [55,3; 87,5] eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme P is deel van de grafiek van g( x) x 75x 6600. Het gearceerde gebied, tussen x = 55,3 en x = p, wordt gewenteld om de x-as zodat de inhoud daarvan 50 ml is. 5. ereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. (55,3, 0) (p, 0) De inhoud is:
0 I Het wijnglas P De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Domein [55,3; 87,5] eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme P is deel van de grafiek van g( x) x 75x 6600. Het gearceerde gebied, tussen x = 55,3 en x = p, wordt gewenteld om de x-as zodat de inhoud daarvan 50 ml is. 5. ereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. (55,3, 0) (p, 0) p p ) p x x 55,3 55,3 55,3 De inhoud is: ( g( x)) dx x 75x 6600 d ( 75x6600) dx Primitiveren:
0 I Het wijnglas P De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Domein [55,3; 87,5] eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme P is deel van de grafiek van g( x) x 75x 6600. Het gearceerde gebied, tussen x = 55,3 en x = p, wordt gewenteld om de x-as zodat de inhoud daarvan 50 ml is. 5. ereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. (55,3, 0) (p, 0) p p p 55,3 55,3 55,3 De inhoud is: ( g( x)) dx x 75x 6600) dx ( x 75x 6600) dx p 3 x x x 3 55,3 Primitiveren: 87,5 6600
0 I Het wijnglas P De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Domein [55,3; 87,5] eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme P is deel van de grafiek van g( x) x 75x 6600. Het gearceerde gebied, tussen x = 55,3 en x = p, wordt gewenteld om de x-as zodat de inhoud daarvan 50 ml is. 5. ereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. (55,3, 0) (p, 0) p p p 55,3 55,3 55,3 De inhoud is: ( g( x)) dx x 75x 6600) dx ( x 75x 6600) dx p 3 3 x x x 3 55,3 Primitiveren: 87,5 6600 5000 0 (mm ) en gebruik hierna de GR: ml = cm 3 = 000 mm 3
0 I Het wijnglas P De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Domein [55,3; 87,5] eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme P is deel van de grafiek van g( x) x 75x 6600. Het gearceerde gebied, tussen x = 55,3 en x = p, wordt gewenteld om de x-as zodat de inhoud daarvan 50 ml is. 5. ereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. (55,3, 0) (p, 0) p p p 55,3 55,3 55,3 De inhoud is: ( g( x)) dx x 75x 6600) dx ( x 75x 6600) dx p 3 3 55,3 Primitiveren: x 87,5x 6600x 50000 ( ml) en gebruik hierna de GR: Doe Y = ((/3)X^3+87.5X -6600X) en Y = Y(X)-Y(55.3) en Y3 = 50000. Daarna bijv. grafiek Y en Y3 plus intersect met window 50 X 00 en 0 Y 00000. Geeft oplossing:
0 I Het wijnglas P De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Domein [55,3; 87,5] eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme P is deel van de grafiek van g( x) x 75x 6600. Het gearceerde gebied, tussen x = 55,3 en x = p, wordt gewenteld om de x-as zodat de inhoud daarvan 50 ml is. 5. ereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. (55,3, 0) (p, 0) p p p 55,3 55,3 55,3 De inhoud is: ( g( x)) dx x 75x 6600) dx ( x 75x 6600) dx p 3 3 55,3 Primitiveren: x 87,5x 6600x 50000 ( ml) en gebruik hierna de GR: Doe Y = ((/3)X^3+87.5X -6600X) en Y = Y(X)-Y(55.3) en Y3 = 50000. Daarna bijv. grafiek Y en Y3 plus intersect met window 50 X 00 en 0 Y 00000. Geeft oplossing: X 80.8 dus afgerond: x P = p = 8 (mm).
0 I Het wijnglas P De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Domein [55,3; 87,5] eschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme P is deel van de grafiek van g( x) x 75x 6600. Het gearceerde gebied, tussen x = 55,3 en x = p, wordt gewenteld om de x-as zodat de inhoud daarvan 50 ml is. 5. ereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. (55,3, 0) (p, 0) p p p 55,3 55,3 55,3 De inhoud is: ( g( x)) dx x 75x 6600) dx ( x 75x 6600) dx p 3 3 55,3 Primitiveren: x 87,5x 6600x 50000 ( ml) en gebruik hierna de GR: Doe Y = ((/3)X^3+87.5X -6600X) en Y = Y(X)-Y(55.3) en Y3 = 50000. ondergrens: -483076 X=80.8
De stelling van de constante omtrekshoek raaklijn
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. D C 6. ewijs dat driehoek DE gelijkbenig is. --------------------------------------------------- E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. D C 6. ewijs dat driehoek DE gelijkbenig is. --------------------------------------------------- ewijs: D = D (bissectrice). E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. D C 6. ewijs dat driehoek DE gelijkbenig is. --------------------------------------------------- ewijs: D = D (bissectrice) D // C (parallellogram) E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. D C 6. ewijs dat driehoek DE gelijkbenig is. --------------------------------------------------- ewijs: D = D (bissectrice) D // C (parallellogram) D = E (Z-hoeken) E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. D C 6. ewijs dat driehoek DE gelijkbenig is. --------------------------------------------------- ewijs: D = D (bissectrice) D // C (parallellogram) D = E (Z-hoeken) Dus D = E E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. D C 6. ewijs dat driehoek DE gelijkbenig is. --------------------------------------------------- ewijs: D = D (bissectrice) D // C (palallellogram) D = E (Z-hoeken) Dus D = E Dus DE is gelijkbenig. E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van C raakt. Verder is nog steeds gegeven dat DE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. D C 7. ewijs dat FD = EF. ---------------------------------------- F? raaklijn E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van C raakt. Verder is nog steeds gegeven dat DE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. D C 7. ewijs dat FD = EF. ---------------------------------------- Volgens de raaklijn-koorde stelling is: F? raaklijn E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van C raakt. Verder is nog steeds gegeven dat DE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. ewijs dat FD = EF. ---------------------------------------- D F? raaklijn C Volgens de raaklijn-koorde stelling is: = D E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van C raakt. Verder is nog steeds gegeven dat DE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. ewijs dat FD = EF. ---------------------------------------- D F? raaklijn C Volgens de raaklijn-koorde stelling is: = D Volgens de vorige opgave is E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van C raakt. Verder is nog steeds gegeven dat DE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. ewijs dat FD = EF. ---------------------------------------- D F? raaklijn C Volgens de raaklijn-koorde stelling is: = D Volgens de vorige opgave is D = E E Dus = E
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van C raakt. Verder is nog steeds gegeven dat DE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. ewijs dat FD = EF. ---------------------------------------- D F? α raaklijn C Volgens de raaklijn-koorde stelling is: = D Volgens de vorige opgave is D = E α E Dus = E ( = α )
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van C raakt. Verder is nog steeds gegeven dat DE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. ewijs dat FD = EF. ---------------------------------------- D F α raaklijn C Volgens de raaklijn-koorde stelling is: = D Volgens de vorige opgave is D = E α E Dus = E ( = α ) F =
0 I Parallellogram Gegeven is parallellogram CD. De bissectrice van hoek D snijdt het verlengde van C in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van C raakt. Verder is nog steeds gegeven dat DE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. ewijs dat FD = EF. ---------------------------------------- D α α F α α raaklijn C Volgens de raaklijn-koorde stelling is: = D Volgens de vorige opgave is D = E α E Dus = E ( = α ) (gelijkbenige driehoek) F = + E = α + α = α (buitenhoek) FD = EF.
0 I Sinussen Op [0, ] zijn gegeven: f ( x) sin x en g( x) sin( x ) De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten en x 4 3 3 met x en Vraag 8. ereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen en wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------- 3 - g f 4 3 3 Op p. {sin x sin( x )} dx 3
0 I Sinussen Op [0, ] zijn gegeven: f ( x) sin x en g( x) sin( x ) De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten en x 4 3 3 met x en Vraag 8. ereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen en wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------- 3 - g f 4 3 3 4 3 3 3 Opp. {sin x sin( x ) } dx cos x cos( x ) 3
0 I Sinussen Op [0, ] zijn gegeven: f ( x) sin x en g( x) sin( x ) De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten en x 4 3 3 met x en Vraag 8. ereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen en wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------- 3 - g f 4 4 3 3 x x dx x x 3 3 3 3 Opp. {sin sin( )} cos cos( )
0 I Sinussen Op [0, ] zijn gegeven: f ( x) sin x en g( x) sin( x ) De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten en x 4 3 3 met x en Vraag 8. ereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen en wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------- 3 - g f 4 4 3 3 x x dx x x 3 3 3 3 Opp. {sin sin( )} cos cos( ) Vraag 9. ereken exacte waarden van a en b zo dat ½ (f (x) + g(x)) = a sin(x + b). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gebruik een van de volgende somformules: tu tu tu tu sin( t u) sint cosu cost sinu sin t sin u sin cos sin( t u) sint cosu cost sinu sin t sin u sin cos
0 I Sinussen Op [0, ] zijn gegeven: f ( x) sin x en g( x) sin( x ) De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten en x 4 3 3 met x en Vraag 8. ereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen en wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------- 3 - g f 4 4 3 3 x x dx x x 3 3 3 3 Opp. {sin sin( )} cos cos( ) Vraag 9. ereken exacte waarden van a en b zo dat ½ (f (x) + g(x)) = a sin(x + b). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- t u t u Gebruik: sin tsin u sin cos
0 I Sinussen Op [0, ] zijn gegeven: f ( x) sin x en g( x) sin( x ) De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten en x 4 3 3 met x en Vraag 8. ereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen en wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------- 3 - g f 4 4 3 3 x x dx x x 3 3 3 3 Opp. {sin sin( )} cos cos( ) Vraag 9. ereken exacte waarden van a en b zo dat ½ (f (x) + g(x)) = a sin(x + b). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- t u t u Gebruik: sin tsin u sin cos 3 Er komt: sin x sin( x )
0 I Sinussen Op [0, ] zijn gegeven: f ( x) sin x en g( x) sin( x ) De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten en x 4 3 3 met x en Vraag 8. ereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen en wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------- 3 - g f 4 4 3 3 x x dx x x 3 3 3 3 Opp. {sin sin( )} cos cos( ) Vraag 9. ereken exacte waarden van a en b zo dat ½ (f (x) + g(x)) = a sin(x + b). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- t u t u Gebruik: sin tsin u sin cos 3 3 x 0 3 Er komt: sin x sin( x ) sin cos
0 I Sinussen Op [0, ] zijn gegeven: f ( x) sin x en g( x) sin( x ) De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten en x 4 3 3 met x en Vraag 8. ereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen en wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------- 3 - g f 4 4 3 3 x x dx x x 3 3 3 3 Opp. {sin sin( )} cos cos( ) Vraag 9. ereken exacte waarden van a en b zo dat ½ (f (x) + g(x)) = a sin(x + b). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- t u t u Gebruik: sin tsin u sin cos 3 3 x 0 3 6 6 Er komt: sin x sin( x ) sin cos sin( x ) 3 3 sin( x )
0 I Sinussen Op [0, ] zijn gegeven: f ( x) sin x en g( x) sin( x ) De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten en x 4 3 3 met x en Vraag 8. ereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen en wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------- 3 - g f 4 4 3 3 x x dx x x 3 3 3 3 Opp. {sin sin( )} cos cos( ) Vraag 9. ereken exacte waarden van a en b zo dat ½ (f (x) + g(x)) = a sin(x + b). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- t u t u Gebruik: sin tsin u sin cos 3 3 x 0 3 6 6 Er komt: sin x sin( x ) sin cos sin( x ) 3 3 sin( x ) 3 6 Dus: {sin x sin( x )} 3 sin( x ) 3 b 6 met a en
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- x 30
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- Druk eerst de zijden van en C uit in x: x 30
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- Druk eerst de zijden van en C uit in x. de zijde van is: de zijde van C is: x 30
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D x-0 C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- x 30 30-x Druk eerst de zijden van en C uit in x. de zijde van is: 30 x de zijde van C is: 0 (30 x) = x 0
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D x-0 C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- x 30 30-x Druk eerst de zijden van en C uit in x. de zijde van is: 30 x de zijde van C is: 0 (30 x) = x 0 De oppervlakte van D is dus: D(x) =
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D x-0 C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- x 30 30-x Druk eerst de zijden van en C uit in x. de zijde van is: 30 x de zijde van C is: 0 (30 x) = x 0 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 0 30 x (30 x) (x 0) =
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- x 30 Druk eerst de zijden van en C uit in x. de zijde van is: 30 x de zijde van C is: 0 (30 x) = x 0 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 0 30 x (30 x) (x 0) = 600 x (900 60x + x ) (x 0x + 00) =
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- x 30 Druk eerst de zijden van en C uit in x. de zijde van is: 30 x de zijde van C is: 0 (30 x) = x 0 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 0 30 x (30 x) (x 0) = 600 x (900 60x + x ) (x 0x + 00) = 600 x 900 + 60x x x + 0x 00 =
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- x 30 Druk eerst de zijden van en C uit in x. de zijde van is: 30 x de zijde van C is: 0 (30 x) = x 0 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 0 30 x (30 x) (x 0) = 600 x (900 60x + x ) (x 0x + 00) = 600 x 900 + 60x x x + 0x 00 = 3x + 80x 400 = D(x). Deze oppervlakte is maximaal als:
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- x 30 Druk eerst de zijden van en C uit in x. de zijde van is: 30 x de zijde van C is: 0 (30 x) = x 0 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 0 30 x (30 x) (x 0) = 600 x (900 60x + x ) (x 0x + 00) = 600 x 900 + 60x x x + 0x 00 = 3x + 80x 400 = D(x). Deze oppervlakte is maximaal als: D (x) = 0 Differentiëren geeft:
0 I Vierkanten innen een rechthoek van 0 bij 30 liggen de vierkanten, en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur). Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant noemen we x. x D C 0 Vraag 0. ereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------- x 30 Druk eerst de zijden van en C uit in x. de zijde van is: 30 x de zijde van C is: 0 (30 x) = x 0 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 0 30 x (30 x) (x 0) = 600 x (900 60x + x ) (x 0x + 00) = 600 x 900 + 60x x x + 0x 00 = 3x + 80x 400 = D(x). Deze oppervlakte is maximaal als: D (x) = 0 Differentiëren geeft: 6x + 80 = 0 met de exacte oplossing: x 80 40 6 3 3 3
Intermezzo De standaard vergelijkingen voor sinus en cosinus zijn: sin = sin = + k = ( ) + k cos = cos = + k = + k
0 I Goniometrie Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. O Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden -----------------------------------------------
0 I Goniometrie Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. O Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden Stel x (t) = y (t)
0 I Goniometrie Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. O Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden ----------------------------------------------- 4 cos( t) cos( t) 5 5
0 I Goniometrie Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. O Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden ----------------------------------------------- 4 cos( t) cos( t) 5 5 t 4t k 5 5
0 I Goniometrie Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. O Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden ----------------------------------------------- 4 cos( t) cos( t) 5 5 t 4t k 5 5 t 4t k 5 5 5
0 I Goniometrie Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. O Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden ----------------------------------------------- 4 cos( t) cos( t) 5 5 t 4t k t 4t k 30 t 0k 5 5 t 4t k 5 5 5
0 I Goniometrie Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. O Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden ----------------------------------------------- 4 cos( t) cos( t) 5 5 t 4t k t 4t k 30 t 0k 5 5 t 4t k t -4tk 30 t 6k 5 5
0 I Goniometrie Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. O Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden ----------------------------------------------- 4 cos( t) cos( t) 5 5 Uit de bovenste regel volgen de oplossingen: Uit de onderste regel volgen de oplossingen: t 4t k t 4t k 30 t 0k 5 5 t 4t k t -4t k 30 t 6k 5 5
0 I Goniometrie t=0 Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. 0 O 6 Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden ----------------------------------------------- 4 cos( t) cos( t) 5 5 t 4t k t 4t k 30 t 0k 5 5 t 4t k t -4t k 30 t 6k 5 5 Uit de bovenste regel volgen de oplossingen: t = 0, 0, 0,... Uit de onderste regel volgen de oplossingen: t = 0, 6,, 8,... P bevindt zich dus seconden onder de lijn y = x.
0 I Goniometrie t=0 Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. Op t = 0 start P in (, ) en op t =5 is P in (-, ). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend. 0 sec O 6 6 sec Gedurende het tijdsinterval [0, 5] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag. ereken dit aantal seconden ----------------------------------------------- 4 cos( t) cos( t) 5 5 t 4t k t 4t k 30 t 0k 5 5 t 4t k t -4t k 30 t 6k 5 5 Uit de bovenste regel volgen de oplossingen: t = 0, 0, 0,... Uit de onderste regel volgen de oplossingen: t = 0, 6,, 8,... P bevindt zich dus 6 + = 8 seconden onder de lijn y = x.
0 I Goniometrie x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Op zeker moment passeert P de y-as. daarbij neemt de x-coördinaat van P af. P O Vraag. ereken exact de snelheid van de x-coördinaat op dit moment. -----------------------------------------------------------------------------------------
0 I Goniometrie x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Op zeker moment passeert P de y-as. daarbij neemt de x-coördinaat van P af. O P Vraag. ereken exact de snelheid van de x-coördinaat op dit moment. ----------------------------------------------------------------------------------------- Op de y-as is x P = 0 dus: cos( t) 0 dus 5
0 I Goniometrie x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Op zeker moment passeert P de y-as. daarbij neemt de x-coördinaat van P af. O P Vraag. ereken exact de snelheid van de x-coördinaat op dit moment. ----------------------------------------------------------------------------------------- Op de y-as is x P = 0 dus: t s t dus t 5 5 cos( ) 0 du 7 De snelheid in de x-richting is dan:
0 I Goniometrie x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Op zeker moment passeert P de y-as. daarbij neemt de x-coördinaat van P af. O P Vraag. ereken exact de snelheid van de x-coördinaat op dit moment. ----------------------------------------------------------------------------------------- Op de y-as is x P = 0 dus: t t t 5 5 cos( ) 0 dus dus 7 De snelheid in de x-richting is dan: t 5 5 x( t) (sin( )) Na 7,5 seconden is de snelheid: kettingregel
0 I Goniometrie x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Op zeker moment passeert P de y-as. daarbij neemt de x-coördinaat van P af. O P Vraag. ereken exact de snelheid van de x-coördinaat op dit moment. ----------------------------------------------------------------------------------------- Op de y-as is x P = 0 dus: t t t 5 5 cos( ) 0 dus dus 7 De snelheid in de x-richting is dan: x( t) (sin( t)) 5 5 7 Na 7,5 seconden is de snelheid: x(7 ) (sin( )) (sin( )) Dus de gevraagde snelheid is exact: 5 5 5 5
0 I Goniometrie x( t) cos( t) 5 4 y( t) cos( t) 5 Op zeker moment passeert P de y-as. daarbij neemt de x-coördinaat van P af. O P Vraag. ereken exact de snelheid van de x-coördinaat op dit moment. ----------------------------------------------------------------------------------------- Op de y-as is x P = 0 dus: t t t 5 5 cos( ) 0 dus dus 7 De snelheid in de x-richting is dan: x( t) (sin( t)) 5 5 7 Na 7,5 seconden is de snelheid: x(7 ) (sin( )) (sin( )) 5 5 5 5 Dus de gevraagde snelheid is exact: ( ) (m/s) 5
0 I Verschoven plank Samengevatte context: y Q Een plank met lengte 80 cm wordt over een muurtje gelegd van 35 cm hoogte. Zie de figuur: p en q zijn de horizontale afstanden van het muurtje tot de uiteinden van de plank. De vraag is, hoe ver de plank maximaal uitsteekt (q). 80 p Vraag 3. Toon aan, met behulp van gelijkvormige driehoeken: q p p 5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- P p 35 O 80 q Q x
0 I Verschoven plank Samengevatte context: y Q Een plank met lengte 80 cm wordt over een muurtje gelegd van 35 cm hoogte. Zie de figuur: p en q zijn de horizontale afstanden van het muurtje tot de uiteinden van de plank. De vraag is, hoe ver de plank maximaal uitsteekt (q). p 35 35 80 p q P O Q 80 p Vraag 3. Toon aan, met behulp van gelijkvormige driehoeken: q p p 5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- x ekijk de cosinus van de hellingshoek cos PO in twee driehoeken:
0 I Verschoven plank Samengevatte context: y Q Een plank met lengte 80 cm wordt over een muurtje gelegd van 35 cm hoogte. Zie de figuur: p en q zijn de horizontale afstanden van het muurtje tot de uiteinden van de plank. De vraag is, hoe ver de plank maximaal uitsteekt (q). 80 p Vraag 3. Toon aan, met behulp van gelijkvormige driehoeken: q p p 5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ekijk de cosinus van de hellingshoek cos PO in twee driehoeken: p p q cos PO p 35 80 P p 35 p 35 O 80 q Q x
0 I Verschoven plank Samengevatte context: y Q Een plank met lengte 80 cm wordt over een muurtje gelegd van 35 cm hoogte. Zie de figuur: p en q zijn de horizontale afstanden van het muurtje tot de uiteinden van de plank. De vraag is, hoe ver de plank maximaal uitsteekt (q). 80 p Vraag 3. Toon aan, met behulp van gelijkvormige driehoeken: q p p 5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ekijk de cosinus van de hellingshoek cos PO in twee driehoeken: p p q cos PO p 35 80 P p 35 O 80 q Q x Uitwerken tot: 80 p p 35 pq
0 I Verschoven plank Samengevatte context: y Q Een plank met lengte 80 cm wordt over een muurtje gelegd van 35 cm hoogte. Zie de figuur: p en q zijn de horizontale afstanden van het muurtje tot de uiteinden van de plank. De vraag is, hoe ver de plank maximaal uitsteekt (q). 80 p Vraag 3. Toon aan, met behulp van gelijkvormige driehoeken: q p p 5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ekijk de cosinus van de hellingshoek cos PO in twee driehoeken: p p q cos PO p 35 80 P p 35 O 80 q Q x Uitwerken tot: 80 p p dus 35 p q q p 80 p 5 p
0 I Verschoven plank 80 p 343000 Vraag 4. Toon aan, dat uit q p volgt: q( p) p 5 ( p 5) ( p 5) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel, als volgt:
0 I Verschoven plank 80 p 343000 Vraag 4. Toon aan, dat uit q p volgt: q( p) p 5 ( p 5) ( p 5) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel, als volgt: p 80 p 80 p 5 80 p 80 p 5 p 5 p 5 q( p) ( p 5) p 5
0 I Verschoven plank 80 p 343000 Vraag 4. Toon aan, dat uit q p volgt: q( p) p 5 ( p 5) ( p 5) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel, als volgt: p 80 p 80 p 5 80 p 80 p 5 p 5 p 5 q( p) ( p 5) p 5 Vermenigvuldig de teller en noemer met p 5 :
0 I Verschoven plank 80 p 343000 Vraag 4. Toon aan, dat uit q p volgt: q( p) p 5 ( p 5) ( p 5) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel, als volgt: p 80 p 80 p 5 80 p 80 p 5 p 5 p 5 q( p) ( p 5) p 5 Vermenigvuldig de teller en noemer met p 5 : 80 p 80 p 5 p 5 p 5 80 p 5 p 5 80 p p 5 p 5 ( p 5) p 5
0 I Verschoven plank 80 p 343000 Vraag 4. Toon aan, dat uit q p volgt: q( p) p 5 ( p 5) ( p 5) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel, als volgt: p 80 p 80 p 5 80 p 80 p 5 p 5 p 5 q( p) ( p 5) p 5 Vermenigvuldig de teller en noemer met p 5 : 80 p 80 p 5 p 5 p 5 80 p 5 p 5 80 p p 5 p 5 ( p 5) p 5 80 ( p 5) 80 p ( p 5) p 5
0 I Verschoven plank 80 p 343000 Vraag 4. Toon aan, dat uit q p volgt: q( p) p 5 ( p 5) ( p 5) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel, als volgt: p 80 p 80 p 5 80 p 80 p 5 p 5 p 5 q( p) ( p 5) p 5 Vermenigvuldig de teller en noemer met p 5 : 80 p 80 p 5 p 5 p 5 80 p 5 p 5 80 p p 5 p 5 ( p 5) p 5 80 ( p 5) 80 p 80 p 343000 80 p 343000 ( p 5) p 5 ( p 5) p 5 ( p 5) p 5
0 I Verschoven plank Vraag 4. Toon aan, dat uit q p 80 p 5 p volgt: 343000 q( p) ( p 5) ( p 5) Vraag 5. ereken exact het maximum van q. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ De afgeleide nul stellen geeft:
0 I Verschoven plank Vraag 4. Toon aan, dat uit q p 80 p 5 p volgt: 343000 q( p) ( p 5) ( p 5) Vraag 5. ereken exact het maximum van q. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ De afgeleide nul stellen geeft: 343000 ( p 5) ( p 5) Uitwerken tot: 343000
0 I Verschoven plank Vraag 4. Toon aan, dat uit q p 80 p 5 p volgt: 343000 q( p) ( p 5) ( p 5) Vraag 5. ereken exact het maximum van q. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ De afgeleide nul stellen geeft: 343000 ( p 5) ( p 5) Uitwerken tot: 343000 ( p 5) ( p 5) ( p 5) ( p 5) ( p 5) ( p 5)
0 I Verschoven plank Vraag 4. Toon aan, dat uit q p 80 p 5 p volgt: 343000 q( p) ( p 5) ( p 5) Vraag 5. ereken exact het maximum van q. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ De afgeleide nul stellen geeft: 343000 ( p 5) ( p 5) Uitwerken tot: 343000 ( p 5) ( p 5) ( p 5) Dus ( p 5) 343000 ( p 5) ( p 5) ( p 5)
0 I Verschoven plank Vraag 4. Toon aan, dat uit q p 80 p 5 p volgt: 343000 q( p) ( p 5) ( p 5) Vraag 5. ereken exact het maximum van q. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ De afgeleide nul stellen geeft: 343000 ( p 5) ( p 5) Uitwerken tot: 343000 ( p 5) ( p 5) ( p 5) Dus ( p 5) 343000 links en rechts tot de omgekeerde macht verheffen 3 3 3 En {( p 5) } 343000 4900
0 I Verschoven plank Vraag 4. Toon aan, dat uit q p 80 p 5 p volgt: 343000 q( p) ( p 5) ( p 5) Vraag 5. ereken exact het maximum van q. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ De afgeleide nul stellen geeft: 343000 ( p 5) ( p 5) Uitwerken tot: 343000 ( p 5) ( p 5) ( p 5) Dus ( p 5) 343000 3 3 3 En {( p 5) } 343000 4900 Conclusie: ( p 5) 4900 dus p 3675 en p 3675
0 I Verschoven plank Vraag 4. Toon aan, dat uit q p 80 p 5 p volgt: 343000 q( p) ( p 5) ( p 5) Vraag 5. ereken exact het maximum van q. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ De afgeleide nul stellen geeft: 343000 ( p 5) ( p 5) Uitwerken tot: 343000 ( p 5) ( p 5) ( p 5) Dus ( p 5) 343000 3 3 3 En {( p 5) } 343000 4900 Conclusie: ( p 5) 4900 dus p 3675 en p 3675 80 3675 p 3675 invullen in q geeft maximale q is: 3675 3675 5
0 I Verschoven plank Vraag 4. Toon aan, dat uit q p 80 p 5 p volgt: 343000 q( p) ( p 5) ( p 5) Vraag 5. ereken exact het maximum van q. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ De afgeleide nul stellen geeft: 343000 ( p 5) ( p 5) Uitwerken tot: 343000 ( p 5) ( p 5) ( p 5) Dus ( p 5) 343000 3 3 3 En {( p 5) } 343000 4900 4 3675 3675 Conclusie: ( p 5) 4900 dus p 3675 en p 3675 80 3675 80 3675 p 3675 invullen in q geeft maximale q is: 3675 3675 3 3675 3675 5 70
De stelling van Thales Een omtrekshoek is de helft van de bijbehorende middelpuntshoek Links: = ½ M 3 Thales: Een omtrekshoek die op een halve cirkelboog (middellijn) staat is dus de helft van 80 o. Rechts: De omtrekshoeken bij D, E, enz. zijn 90 o. D E F M 3 D M C C G
0 I Rechthoek Op een cirkel met middelpunt M liggen,, C en D zo dat C een middellijn is en // CD. D C Vraag 6. ewijs dat CD een rechthoek is. -------------------------------------------------------- ewijs: M
0 I Rechthoek Op een cirkel met middelpunt M liggen,, C en D zo dat C een middellijn is en // CD. D C Vraag 6. ewijs dat CD een rechthoek is. -------------------------------------------------------- ewijs: M = D = 90 o (Thales)
0 I Rechthoek Op een cirkel met middelpunt M liggen,, C en D zo dat C een middellijn is en // CD. D C Vraag 6. ewijs dat CD een rechthoek is. -------------------------------------------------------- ewijs: M = D = 90 o (Thales) = C (Z-hoeken)
0 I Rechthoek Op een cirkel met middelpunt M liggen,, C en D zo dat C een middellijn is en // CD. D C Vraag 6. ewijs dat CD een rechthoek is. -------------------------------------------------------- ewijs: M = D = 90 o (Thales) = C (Z-hoeken) C=C Dus C CD (ZHH)
0 I Rechthoek Op een cirkel met middelpunt M liggen,, C en D zo dat C een middellijn is en // CD. Vraag 6. ewijs dat CD een rechthoek is. -------------------------------------------------------- D C ewijs: M = D = 90 o (Thales) = C (Z-hoeken) C=C Dus C CD (ZHH) Dus is ook = C En dus is CD een parallellogram vanwege D // C (Z-hoeken)
0 I Rechthoek Op een cirkel met middelpunt M liggen,, C en D zo dat C een middellijn is en // CD. D C Vraag 6. ewijs dat CD een rechthoek is. -------------------------------------------------------- ewijs: M = D = 90 o (Thales) = C (Z-hoeken) C=C Dus C CD (ZHH) Dus is ook = C En dus is CD een parallellogram vanwege D // C (Z-hoeken) (*) zie volgende scherm CD is een parallellogram met rechte hoeken dus een rechthoek.
Voor het bewijs dat CD een rechthoek is, is de stelling van Thales nodig, maar niet voldoende. In onderstaande figuur is een aantal rechthoekige driehoeken getekend die niet met driehoek CD samen een rechthoek vormen maar wel aan de stelling van Thales voldoen. Een van die driehoeken is zelfs ook nog congruent met driehoek CD (driehoek EC). Je hebt dus de evenwijdigheid nog nodig van het andere paar rechthoekszijden. D C E
0 I Rechthoek Door D trekken we een lijn l evenwijdig aan C. Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in E. Het snijpunt van ME en CD is S. D E S C Vraag 7. ewijs dat CSE = 3 CDE. -------------------------------------------------------- ewijs: M
0 I Rechthoek Door D trekken we een lijn l evenwijdig aan C. Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in E. Het snijpunt van ME en CD is S. D α E S C Vraag 7. ewijs dat CSE = 3 CDE. -------------------------------------------------------- ewijs: Noem EDC = α M
0 I Rechthoek Door D trekken we een lijn l evenwijdig aan C. Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in E. Het snijpunt van ME en CD is S. D α E S C Vraag 7. ewijs dat CSE = 3 CDE. -------------------------------------------------------- ewijs: Noem EDC = α M EDC staat op boog EC Middelpuntshoek EMC staat ook op boog EC
0 I Rechthoek Door D trekken we een lijn l evenwijdig aan C. Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in E. Het snijpunt van ME en CD is S. D α E S C Vraag 7. ewijs dat CSE = 3 CDE. -------------------------------------------------------- α ewijs: Noem EDC = α M EDC staat op boog EC Middelpuntshoek EMC staat ook op boog EC Dus EMC = α
0 I Rechthoek E Door D trekken we een lijn l evenwijdig aan C. Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in E. Het snijpunt van ME en CD is S. D α α S C Vraag 7. ewijs dat CSE = 3 CDE. -------------------------------------------------------- α ewijs: Noem EDC = α M EDC staat op boog EC Middelpuntshoek EMC staat ook op boog EC Dus EMC = α DEM is ook α (Z-hoeken)
0 I Rechthoek E Door D trekken we een lijn l evenwijdig aan C. Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in E. Het snijpunt van ME en CD is S. D α α S C Vraag 7. ewijs dat CSE = 3 CDE. -------------------------------------------------------- α ewijs: Noem EDC = α M EDC staat op boog EC Middelpuntshoek EMC staat ook op boog EC Dus EMC = α DEM is ook α (Z-hoeken) CSE = CDE + DEM (buitenhoek)
0 I Rechthoek E Door D trekken we een lijn l evenwijdig aan C. Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in E. Het snijpunt van ME en CD is S. D α α S 3α C Vraag 7. ewijs dat CSE = 3 CDE. -------------------------------------------------------- ewijs: Noem EDC = α M EDC staat op boog EC Middelpuntshoek EMC staat ook op boog EC Dus EMC = α DEM is ook α (Z-hoeken) CSE = CDE + DEM (buitenhoek) Dus CSE = α + α = 3α Dus CSE = 3 CDE.