Het wegen van bollen? Edward Omey EHSAL (Stormstraat 2, 1000 Brussel)

Transcriptie

1 Het wegen van bollen? Edward Omey EHSAL (Stormstraat 2, 1000 Brussel) 1 Inleiding Het volgend vraagstuk is een klassieker! "We beschikken over 12 bollen die er uiterlijk hetzelfde uitzien. Eén van de bollen weegt méér dan de andere bollen. We beschikken over een weegschaal zonder gewichten en mogen maximaal drie maal wegen om de "slechte" bol te vinden". Het is eenvoudig om te zien hoe we dit probleem oplossen. We verdelen de bollen in drie groepen van telkens 4 bollen. We wegen groep 1 tegenover groep 2. Als de weegschaal in evenwicht blijft, dan zit de slechte bol in de derde groep. Anders zit de zwaardere bol in een van de groepen 1 of 2. Van de bollen van de gevonden groep wegen we 2 bollen tegenover de 2 andere bollen en bepalen terug de groep die de zwaardere bol bevat. Een derde weging volstaat om de zwaardere bol te vinden. Het vraagstuk wordt een heel stuk lastiger als we geen informatie hebben over de slechte bol. De nieuwe formulering is de volgende. "We beschikken over 12 bollen die er uiterlijk hetzelfde uitzien. Eén van de bollen weegt meer of minder dan de andere bollen. We beschikken over een weegschaal zonder gewichten en mogen maximaal drie maal wegen om de "slechte" bol te vinden". In dit artikel bespreken we een oplossingswijze die gebaseerd is op het opstellen van geschikte codes. De werkwijze is vroeger beschreven in de Scienti c American van ongeveer 20 jaar geleden. Meer recent werd deze werkwijze gepubliceerd in Omey (2002). Een andere werkwijze werd beschreven in Drapier (2001) In deze bijdrage tonen we ook hoe men kan te werk wanneer we in de plaats van 12 bollen te maken hebben met n bollen. 2 Oplossing Om het lastiger probleem op te lossen nummeren we de bollen van 1 tot 12. We plannen om 4 bollen te wegen ten opzichte van 4 andere bollen. Bij het wegen maken we de volgende afspraken: * we gebruiken de code 0 als de weegschaal in evenwicht blijft; * we gebruiken de code 1 als de weegschaal links naar beneden helt; * we gebruiken de code 2 als de weegschaal rechts naar beneden helt. Wanneer we drie maal wegen, dan vinden we de volgende 27 mogelijke resultaten: 1

2 Tabel 1 Bij deze 27 gevallen zijn er drie speciale gevallen, namelijk de codes 000, 111 en 222. Bij de overige codes is er een soort dualiteit. Zo zijn bijvoorbeeld de codes 211 en 122 het spiegelbeeld van elkaar. We maken nu een nieuwe tabel met de codes samen met hun duaal bij mekaar. We vinden Tabel 2: waarde kolom 2 duaal : speciale gevallen: 000, 111, 222 Tabel 2 De 12 gevallen geven we de waarde 1; 2; :::; 12. Naast de 12 gevallen hebben we de drie speciale gevallen die we geen waarde toekennen. We kunnen de 12 bollen nu identi ceren met de waarden 1, 2 tot en met 12. Om nu 3 wegingen van telkens 2 groepen van 4 bollen te bepalen gaan we als volgt te werk. We zien dat de codes in kolommen 2 en 3 telkens uit 3 symbolen (0, 1 of 2) bestaan. We herschikken nu de rijen in Tabel 2 zodanig dat in elk kolommetje van kolom 2 precies vier keer het getal "0" staat, precies vier keer het getal "1" en precies vier keer het getal "2". Indien nodig vervangen we een code door zijn spiegelbeeld. Als resultaat vinden we Tabel 3: 2

3 waarde kolom 2 duaal Tabel 3 De bollen die we zullen wegen stemmen overeen met de codes "1" en "2" in de kolommetjes van kolom 2 in Tabel 3. Zo zien we de code "1" bij de bollen 5; 6; 7; 8 en zien we de code "2" bij de bollen 9; 10; 11; 12. Onze eerst weging zal dus de weging zijn van (5; 6; 7; 8) versus (9; 10; 11; 12). De getallen in het tweede kolommetje van kolom 2 leidt tot de weging (8; 10; 11; 12) versus (2; 3; 4; 9). Voor de codes in het derde kolommetje van kolom 2 vinden we (4; 6; 9; 12) versus (1; 3; 7; 11). We vinden dus de volgende wegingen: 1) 5; 6; 7; 8 versus 9; 10; 11; 12 2) 8; 10; 11; 12 versus 2; 3; 4; 9 3) 4; 6; 9; 12 versus 1; 3; 7; 11 Stel bijvoorbeeld dat bol 9 zwaarder is dan de andere bollen. Bij de drie wegingen vinden we dan de code 221. Volgens Tabel 3 is de bol die bij deze code hoort de bol met waarde 9. Stel bijvoorbeeld dat bol 6 lichter is dan de andere bollen. In dit geval leiden de drie wegingen tot de code 202. Volgens Tabel 3 komt deze code overeen met de bol 6: Stel dat we bij de wegingen als code de code 102 vinden. In dit geval toont Tabel 3 dat de gezochte bol de bol is met nummer 7. Uit de code 102 kunnen we a eiden dat bol 7 zwaarder is dan de andere bollen! 3 Uitbreiding bollen? Indien we het probleem bekijken waarbij we nu 13 bollen hebben, dan kunnen we één bol opzij houden en de procedure van de vorige paragraaf toepassen met de andere 12 bollen. Indien één van deze bollen "anders" is,dan ontdekken we dat zoals in de vorige paragraaf. Indien de bol met nummer 13 de "andere" bol 3

4 is, dan vinden we na het wegen de code 000. In deze situatie kunnen we niet te weten komen of de 13de bol zwaarder is of lichter is. Er is een vierde weging nodig om dit te vinden. 3.2 De gevallen 3, 39, 120,...,(3 n 3)=2 aantal bollen bollen? Wanneer we over 3 bollen beschikken waarbij er één bol zwaarder of lichter is, dan moeten we twee maal 2 bollen afwegen tegenover elkaar om de "andere" bol te vinden. Via codes verloopt dit als volgt: Stap 1. Twee keer twee bollen wegen tegenover mekaar leidt tot de volgende 9 mogelijkheden: 00; 01; 02; 10; 11; 12; 20; 21; 22; Stap 2. Met behulp van dualiteit vinden we de volgende Tabel 4: waarde kolom 2 duaal speciale gevallen: 00; 11; 22 Tabel 4 Stap 3. Door in de rijen gevallen om te wisselen met hun duaal zorgen we ervoor dat er in elk kolommetje in kolom 2 telkens één 1 en één 2 komt. We vinden Tabel 5: waarde kolom 2 duaal Tabel 5 Stap 4. De wegingen die we uitvoeren zijn: 2 versus 3 3 versus 1 Tabel 6 Wanneer bijvoorbeeld bol 3 zwaarder is, dan vinden we de code 21 wat inderdaad overeenstemt (volgens Tabel 5) met bol ; 120; :::; (3 m 3)=2 bollen Wanneer we over 39 bollen beschikken dan zijn vier wegingen nodig om de "verkeerde" bol te identi ceren. Bij vier keer wegen vinden we in totaal 3 4 = 81 verschillende codes. Hierbij zijn er drie speciale gevallen (de codes 0000, 1111 en 2222). Er resten 78 codes die we via dualiteit kunnen herleiden tot 78=2 = 39 gevallen. Door vier wegingen uit te voeren van telkens 2 groepen van 39=3 = 13 bollen kunnen we opnieuw achterhalen welke bol zwaarder of lichter is. 4

5 Bij vijf wegingen vinden we in totaal 3 5 = 243 codes die we kunnen herleiden tot (243 3)=2 = 120 gevallen. Door 5 wegingen uit te voeren van telkens 40 bollen tegenover elkaar kunnen we achterhalen welke bol zwaarder of lichter is. 3.3 Meer bollen: de andere gevallen? Wanneer we 3 bollen moeten beoordelen, dan hebben we precies 2 wegingen nodig om de "slechte" bol te identi ceren en te ontdekken of deze bol lichter of zwaarder is. Bij 12 bollen zijn er precies 3 wegingen nodig. We vermoeden dat 3 wegingen zullen volstaan indien we 4 of 5 of... of 11 bollen moeten beoordelen en dat 4 wegingen volstaan bij een aantal bollen tussen 13 en 119. Maar hoe kunnen we dit nu concreet uitvoeren? Voor n = 4; 5; :::; 11 gebruiken we opnieuw de coderingstechniek van 2 en de codes uit Tabel 2. We onderzoeken geval per geval welke wegingen we zullen uitvoeren. Aantallen vanaf n 14 kunnen op een vergelijkbare manier bestudeerd worden maar dan is het wel even puzzelen om de goede decodeertabel te vinden! Aantal bollen is n = 4 Dit geval is eenvoudig: we isoleren één bol en noemen deze bol 4. De overige drie bollen wegen we volgens Tabel 6. Wanneer we nu als resultaat de code 00 vinden, dan is bol 4 "anders". Er is nog nu nog één weging nodig om te zien of bol 4 zwaarder is of lichter Aantal bollen is n = 5 Bij n = 5 bollen proberen we groepjes van 2 bollen te vergelijken met elkaar. In Tabel 2 kiezen we in kolom 2 of kolom 3 de volgende drietallen: waarde kolom 2 duaal Tabel 7 Tabel 7 is zodanig geconstrueerd dat er in de kolommetjes van kolom 2 telkens twee keer een "1" en twee keer een "2" staat. Tabel 7 leidt tot de volgende wegingen: 1) 1; 2 versus 3; 4 2) 3; 4 versus 2; 5 3) 2; 4 versus 1; 5 Tabel 8 5

6 Indien bol 3 zwaarder is, dan leiden de wegingen van Tabel 8 tot de code 210. Volgens Tabel 7 is dit precies de code van bol 3. Bemerk dat de wegingen uit Tabel 8 enkel codes kunnen geven die aanwezig zijn in Tabel 7. Zo kan Tabel 8 bijvoorbeeld nooit leiden tot de code 110. In dit geval zou de derde weging ("0") tonen dat bollen 2; 4; 1 en 5 gelijk zijn. Maar dan kunnen wegingen 1) en 2) onmogelijk leiden tot "11" Aantal bollen is n = 6 Wanneer n = 6 dan kunnen we minstens één keer 3 bollen wegen tegenover 3 andere bollen. In Tabel 2 kiezen we drietallen zodanig dat we als resultaat codes vinden waarin in het eerste kolommetje precies 3 keer een "1" en 3 keer een "2" voorkomt. We vinden bijvoorbeeld de volgende tabel: In het eerste kolommetje vinden we drie maal "1" en drie maal "2". In het tweede kolommetje vinden we drie maal "1" en één keer "2". Door gebruik te makan van de duale codes wijzigen we de vorige tabel zodat er in de kolommetjes 2 en 3 precies twee maal een "1" en tweemaal een "2" komt. We vinden (we vermelden de dualen niet meer) en de volgende wegingen: waarde code Tabel 9 1) 1; 2; 3 versus 4; 5; 6 2) 3; 5 versus 2; 6 3) 1; 4 versus 3; 5 Tabel 10 Tabellen 9 en 10 laten ons toe de "slechte" bol te vinden. 6

7 3.3.4 Aantal bollen is n = 7 We gaan te werk zoals in de vorige paragraaf en vinden de volgende codeersleutel en wegingen: Wegingen: waarde code Tabel 11 1) 1; 2; 3 versus 4; 5; 6 2) 3; 4; 5 versus 2; 6; 7 3) 1; 4; 7 versus 3; 5; 6 Tabel 12 Bemerk dat we in Tabel 11 ook de speciale code 222 gebruikten Aantal bollen is n = 8; 9; 10; 11 We vatten het eindresultaat samen in de volgende tabellen. waarde codes (8) codes (9) codes (10) codes (11) NV T NV T NV T NV T NV T NV T 021 Tabel 13: codeertafel (NV T = niet van toepassing) Wegingen. n = 8 1) 1; 2; 3 versus 4; 5; 6 2) 4; 5; 7 versus 2; 3; 8 3) 1; 7; 8 versus 3; 5; 6 7

8 n = 9 n = 10 n = 11 1) 1; 2; 3; 4 versus 5; 6; 7; 8 2) 4; 5; 7 versus 6; 8; 9 3) 1; 7; 9 versus 2; 4; 6 1) 1; 2; 3; 4 versus 5; 6; 7; 8 2) 1; 4; 5; 6 versus 7; 8; 9; 10 3) 1; 3; 6; 10 versus 2; 4; 8; 9 1) 1; 2; 3; 4 versus 5; 6; 7; 8 2) 4; 6; 7; 9 versus 5; 8; 10; 11 3) 2; 7; 9; 11 versus 3; 4; 6; 10 Tot slot willen we erop wijzen dat er wellicht nog andere werkwijzen zijn om de "slechte" bol te vinden. Het voordeel van de werkwijze in dit artikel is dat er een uniforme aanpak is die steeds toepasbaar is. 4 Referenties 1. F. Drapier (2001).Le problème de treizes billes. Mathématique et Pédagogie 133, E. Omey (2002). Le probléme de treize billes: un autre point de vue. Mathématique et Pédagogie 135,