Logic for Computer Science

Transcriptie

1 Logic for Computer Science 01 Intro Wouter Swierstra University of Utrecht 1

2 Vandaag Organisatie Wat is logica? Bewijstechnieken 2

3 Organisatie 3

4 Logica voor Informatica Docent: Wouter Swierstra, BBG-572 Werkcollege begeleiders: 1. Vedran Kasalica & Amber Elferink 2. Nina Rosa & Werre Timmer 3. Iwan Boksebeld 4. Hessel Withagen De verdeling in groepen kan niet gewijzigd worden 4

5 Website Alle informatie over het vak kun je vinden op de website: 5

6 Website Alle informatie over het vak kun je vinden op de website: Hou de website in de gaten 5

7 Website Alle informatie over het vak kun je vinden op de website: Hou de website in de gaten Voor zaken als: Het laatste nieuws Slides van de hoorcolleges Rooster Opgaven voor werkcolleges Literatuur 5

8 Diktaat We gebruiken het diktaat Logica voor Alfa s en Informatici Verzamelingen (3 hoorcolleges) Propositielogica (3 hoorcolleges) Predicatenlogica (5 hoorcollegs) Logisch programmeren & Programma correctheid (2 hoorcolleges) Links naar achtergrond materiaal te vinden op de website en de slides. De exacte inhoud en indeling van de colleges kan nog veranderen 6

9 Engels of Nederlands? Vanaf volgend jaar wil ik het vak volledig in Engels geven: Veel werkcollege begeleiders spreken geen Nederlands; Veel MSc instromers die dit vak als deficiëntie moeten volgen spreken geen Nederlands; Veel literatuur is in het Engels. Maar ik spreek natuurlijk wel gewoon Nederlands je mag mij altijd in het Nederlands mailen of vragen stellen in het Nederlands. 7

10 Boek Modelling Computing Systems: Mathematics for Computer Science; Moller and Struth Vanaf volgend jaar zullen we ook een ander boek gebruiken. De.pdf versie van dit boek is gratis te lezen via de bibliotheek. Voor een aantal slides heb ik het collegemateriaal al aangepast die baseer op de hoofdstukken uit dit boek en geef ik in het Engels. 8

11 Colleges en werkcolleges 2 hoorcolleges en 2 werkcolleges per week dinsdag 13:15 15:00 werkcollege dinsdag 15:15 17:00 hoorcollege vrijdag 11:00 12:45 werkcollege vrijdag 13:15 15:00 hoorcollege Zeven vrijdagen worden mini-toetsen (multiplechoice) afgenomen tijdens de werkcolleges om 12:00 uur. Deze mini-toetsen tellen mee voor je eindcijfer! En zijn een prima manier om inzicht te krijgen over de stof die je niet beheerst. 9

12 Eindcijfer berekening Twee tentamens (week 51 en 5) Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee tentamens (80%) + het gemiddelde cijfer van zeven mini-toetsen (20%) Een herkansing (week 16) deelname mogelijk als eindcijfer een onafgeronde eindcijfer minstens een 4 is 10

13 Tentamens De tussentoets en tentamen worden digitaal afgenomen. De vragen zullen bestaan uit een mix van gesloten en open vragen. Er zijn laptops aanwezig zijn in de tentamenzaal om de toets te maken. 11

14 Hoe haal ik dit vak? 12

15 Hoe haal ik dit vak? Het is misschien overbodig maar jij kan heel veel doen om het vak in één keer te halen: 13

16 Hoe haal ik dit vak? Het is misschien overbodig maar jij kan heel veel doen om het vak in één keer te halen: Kijk voor het college in het diktaat waar gaat het college van vandaag over? 13

17 Hoe haal ik dit vak? Het is misschien overbodig maar jij kan heel veel doen om het vak in één keer te halen: Kijk voor het college in het diktaat waar gaat het college van vandaag over? Kom naar elke hoorcollege en stel vragen als je iets niet snapt! 13

18 Hoe haal ik dit vak? Het is misschien overbodig maar jij kan heel veel doen om het vak in één keer te halen: Kijk voor het college in het diktaat waar gaat het college van vandaag over? Kom naar elke hoorcollege en stel vragen als je iets niet snapt! Lees de stof rustig thuis nog eens na. Snap je alles echt? 13

19 Hoe haal ik dit vak? Het is misschien overbodig maar jij kan heel veel doen om het vak in één keer te halen: Kijk voor het college in het diktaat waar gaat het college van vandaag over? Kom naar elke hoorcollege en stel vragen als je iets niet snapt! Lees de stof rustig thuis nog eens na. Snap je alles echt? Ga naar de werkcolleges en maak opgaven. Loop je vast? Vraag om hulp! 13

20 Hoe haal ik dit vak? Het is misschien overbodig maar jij kan heel veel doen om het vak in één keer te halen: Kijk voor het college in het diktaat waar gaat het college van vandaag over? Kom naar elke hoorcollege en stel vragen als je iets niet snapt! Lees de stof rustig thuis nog eens na. Snap je alles echt? Ga naar de werkcolleges en maak opgaven. Loop je vast? Vraag om hulp! Kom goed voorbereid naar de tentamens en minitoetsen laat zien hoe veel je geleerd hebt! 13

21 Wat is Logica? 14

22 Vraag: wat is een bewijs? 15

23 Logica voor informatica Logica bestudeert de regels van het redeneren. Door deze regels precies te maken, kunnen we objectief vaststellen of een bewering volgt uit bepaalde aannames of niet. 16

24 Logica voor informatica Logica bestudeert de regels van het redeneren. Door deze regels precies te maken, kunnen we objectief vaststellen of een bewering volgt uit bepaalde aannames of niet. Maar het wel of niet accepteren van aannames kan tot hevige discussies leiden, immers jet fuel can t melt steel beams. En niet elke context is hetzelfde een bewijs in een strafzaak is heel anders dan in een logica diktaat. 16

25 Abstractie Bij het bestuderen van redeneringen moeten we heel precies zijn. In Nederlandse zin als: Iedereen gelooft mij niet. Heeft twee verschillende betekenissen! 17

26 Abstractie Bij het bestuderen van redeneringen moeten we heel precies zijn. In Nederlandse zin als: Iedereen gelooft mij niet. Heeft twee verschillende betekenissen! Het is niet zo dat iedereen mij gelooft. Voor alle mensen geldt, dat zij mij niet geloven. 17

27 Abstractie Sla het diktaat maar open het staat vol met formules. Om precies te zijn, moeten we soms op een abstracter niveau werken in plaats van in het Nederlands met elkaar te communiceren, zullen we een preciezere taal voor de logica ontwikkelen. Communiceren in het Nederlands kan leiden tot onduidelijkheid. 18

28 Toepassingen van de logica Als je éénmaal de fundamentele principes van de logica beheerst, kom je ze keer op keer tegen in de informatica: 19

29 Toepassingen van de logica Als je éénmaal de fundamentele principes van de logica beheerst, kom je ze keer op keer tegen in de informatica: Het resultaat van deze functie is altijd groter dan 0, want 19

30 Toepassingen van de logica Als je éénmaal de fundamentele principes van de logica beheerst, kom je ze keer op keer tegen in de informatica: Het resultaat van deze functie is altijd groter dan 0, want De wensen van de eindgebruiker zijn onverenigbaar met die van de opdrachtgever, want 19

31 Toepassingen van de logica Als je éénmaal de fundamentele principes van de logica beheerst, kom je ze keer op keer tegen in de informatica: Het resultaat van deze functie is altijd groter dan 0, want De wensen van de eindgebruiker zijn onverenigbaar met die van de opdrachtgever, want Er zit een bug in de implementatie van deze klasse, want 19

32 Toepassingen van de logica Als je éénmaal de fundamentele principes van de logica beheerst, kom je ze keer op keer tegen in de informatica: Het resultaat van deze functie is altijd groter dan 0, want De wensen van de eindgebruiker zijn onverenigbaar met die van de opdrachtgever, want Er zit een bug in de implementatie van deze klasse, want Er zijn zijn vijf mensen in deze zaal met een verjaardag op dezelfde dag van de maand, want 19

33 Logica voor informatica De naam van dit vak Logica voor informatica suggereert dat er andere logica vakken zijn die gegeven worden aan de Vraag Bij welke andere opleidingen zou je verwachten om zo n vak tegen te komen? 20

34 Logica voor informatica De naam van dit vak Logica voor informatica suggereert dat er andere logica vakken zijn die gegeven worden aan de Vraag Bij welke andere opleidingen zou je verwachten om zo n vak tegen te komen? Bij Wiskunde klopt dit bewijs geldig? Bij Wijsbegeerte klopt deze argumentatie? Bij Taalkunde wat betekent deze zin? En misschien nog wel meer 20

35 Wat is Logica? Logica bestudeert de regels van het redeneren. Door deze regels precies te maken, kunnen we objectief vaststellen of een bewering volgt uit bepaalde aannames of niet. 21

36 Wat is een bewijs? En wat niet? 22

37 Voorbeeld: een badkamer betegelen Kun je bovenstaande badkamer betegelen met 2x1 tegels? Je mag geen tegels snijden of breken. Vraag: Probeer dit zelf. 23

38 Voorbeeld: een badkamer betegelen Het lijkt heel lastig om dit voor elkaar te krijgen. Om te bewijzen dat het wél kan is het voldoende om een succesvolle betegeling te vinden. Maar hoe kunnen we bewijzen dat het niet mogelijk is? 24

39 Voorbeeld: een badkamer betegelen Het lijkt heel lastig om dit voor elkaar te krijgen. Om te bewijzen dat het wél kan is het voldoende om een succesvolle betegeling te vinden. Maar hoe kunnen we bewijzen dat het niet mogelijk is? We zouden elke mogelijke betegeling kunnen opsommen en dan één voor één nalopen dat ze vakjes onbetegeld laten. Maar dat zijn er veel te veel! Het is saai en onmogelijk om effectief te controleren. 24

40 Voorbeeld: een badkamer betegelen Het lijkt heel lastig om dit voor elkaar te krijgen. Om te bewijzen dat het wél kan is het voldoende om een succesvolle betegeling te vinden. Maar hoe kunnen we bewijzen dat het niet mogelijk is? We zouden elke mogelijke betegeling kunnen opsommen en dan één voor één nalopen dat ze vakjes onbetegeld laten. Maar dat zijn er veel te veel! Het is saai en onmogelijk om effectief te controleren. Kunnen we niet iets beters verzinnen? 24

41 Voorbeeld: een badkamer betegelen Als we de badkamer kleuren als een schaakbord, valt het op dat er meer zwarte vakken (18) zijn dan witte vakken (16). 25

42 Voorbeeld: een badkamer betegelen Als we de badkamer kleuren als een schaakbord, valt het op dat er meer zwarte vakken (18) zijn dan witte vakken (16). Hoe we ook de eerste tegel leggen, we bedekken één zwart vak en één wit vak. 25

43 Voorbeeld: een badkamer betegelen Als we de badkamer kleuren als een schaakbord, valt het op dat er meer zwarte vakken (18) zijn dan witte vakken (16). Hoe we ook de eerste tegel leggen, we bedekken één zwart vak en één wit vak. Dit geldt ook voor de tweede tegel, en de derde, 25

44 Voorbeeld: een badkamer betegelen Als we de badkamer kleuren als een schaakbord, valt het op dat er meer zwarte vakken (18) zijn dan witte vakken (16). Hoe we ook de eerste tegel leggen, we bedekken één zwart vak en één wit vak. Dit geldt ook voor de tweede tegel, en de derde, Op het laatst blijven we dus altijd met twee zwarte vakken over. 25

45 Voorbeeld: een badkamer betegelen Waarom laat ik dit bewijs zien? Niet omdat ik het onderwerp belangrijk vind maar eerder omdat het laat zien hoe inzicht schier onmogelijke problemen toch kan oplossen. Het zoeken naar zulk inzicht is nou juist wat informatica leuk maakt; En zo n inzicht vertalen naar een sluitende redenering is waar dit vak over gaat. 26

46 Bewijstechnieken Bewijs door gevalsonderscheid; Bewijs uit het ongerijmde en niet-constructieve bewijzen; Bewijzen met inductie; Uniciteitsbewijzen; 27

47 Notatie verschillende soorten getallen Natuurlijke getallen N 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Gehele getallen Z..., 2, 1, 0, 1, 2,... Rationale getallen Q..., ( 2) 3, 1 ( 2), 0 4, 1 8, 9 2,... Reële getallen R 2, π, 2, 0, 1 8,

48 Bewijzen door gevalsonderscheid Om een stelling te bewijzen met behulp van een bewijs door gevalsonderscheid in twee stappen: 1. Identificeer alle mogelijke gevallen. 2. Laat zien dat de stelling geldt in elk denkbaar geval. 29

49 Voorbeld: de dagen van de week Stelling: De enige dagen van de week die met de letter z beginnen vallen in het weekend. Er zijn zeven dagen in de week: maandag, dinsdag, woensdag, donderdag, vrijdag, zaterdag en zondag. De stelling geldt voor elk van deze dagen: maandag begint met de letter m ; dinsdag begint met de letter d ; zaterdag begint met de letter z en valt in het weekend; zondag begint met de letter z en valt in het weekend; 30

50 Toepassingen: bewijzen door gevalsonderscheid Bewijzen door gevalsonderscheid kom je vooral tegen bij een stellingen die een klein aantal mogelijkheden beschrijven. Bijvoorbeeld, op dit Sudoku moet wel een 3 staan Maar door de toegenomen rekenkracht van computers zie soms bewijzen door gevalsonderscheid met duizenden gevallen: Vier kleuren stelling; Het vermoeden van Kepler; De stelling van Feit-Thompson; Is een bewijs met duizenden gevallen, elk nagerekend door een computer, wel een geldig bewijs? 31

51 Bewijs uit het ongerijmde Soms kan het lastig zijn om een rechtstreeks bewijs te vinden. Een bewijs uit het ongerijmde begint door aan te nemen dat iets niet waar is, en leidt dan een tegenspraak af. Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen. 32

52 Bewijs uit het ongerijmde Soms kan het lastig zijn om een rechtstreeks bewijs te vinden. Een bewijs uit het ongerijmde begint door aan te nemen dat iets niet waar is, en leidt dan een tegenspraak af. Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen. Bewijs: Stel er zijn eindig veel. Dan kunnen we altijd een nieuw priemgetal vinden door ze te vermenigvuldigen en er één bij op te tellen. Maar dat is in tegenspraak met de aanname dat we ze allemaal al gevonden hadden. 32

53 Bewijs uit het ongerijmde Als we over een paar weken naar propositionele logica kijken, leer je de volgende regel: om te bewijzen dat iets niet waar is, neem je aan dat het waar is en leidt je een tegenspraak af. 33

54 Bewijs uit het ongerijmde Als we over een paar weken naar propositionele logica kijken, leer je de volgende regel: om te bewijzen dat iets niet waar is, neem je aan dat het waar is en leidt je een tegenspraak af. Bewijzen uit het ongerijmde gaan een stapje verder: om te bewijzen dat iets wel waar is, neem je aan dat het onwaar is en leidt je een tegenspraak af. Maar als iets onmogelijk onwaar is, is het dan wel waar? Zo n bewijs heet niet constructief. 33

55 Bewijzen met inductie: voorbeeld Vraag: wat is de som van de getallen van 1 tot en met 100? 34

56 Bewijzen met inductie: voorbeeld Vraag: wat is de som van de getallen van 1 tot en met 100? Dat kunnen we gewoon uitrekenen: int sum = 0; for (int i = 1; i <= 100; i++) { sum += i} Bewering: de som van de getallen van 1 tot en met n altijd is gelijk aan n (n+1) 2 Hoe kunnen we dit vaststellen? 34

57 Poging 1 brute rekenkracht for (int n = 0; n <= ; n++){ int sum = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { sum += i;} assert(sum == (n * (n + 1)) / 2); } Vraag: is dit een geldig bewijs? 35

58 Poging 2 inductie We willen een bewering toetsen voor alle natuurlijke getallen. Hoe kan dat? 36

59 Poging 2 inductie We willen een bewering toetsen voor alle natuurlijke getallen. Hoe kan dat? Een bewijs met inductie laat in twee stappen zien dat een stelling geldt voor elk getal: laat zien dat de stelling waar is voor 0; neem aan dat de stelling geldt voor een getal n (de inductiehypothese). Bewijs dat de stelling geldt voor n + 1. Samen geeft dit een sluitend bewijs dat de stelling geldt voor elk natuurlijk getal. Immers, gegeven een willekeurig getal, kunnen we een bewijs construeren dat de stelling geldt voor dit getal door herhaaldelijk de tweede regel toe te passen op de eerste. 36

60 Voorbeeld: bewijs met inductie Stelling: de som van de eerste n getallen is n (n+1) 2 Bewijs: Inductie over n de som van de eerste 0 getallen is 0; net als, 0 (0+1) 2 we mogen aannemen dat k (k+1) 2 de som is van de eerste k getallen. Wat is de some van de eerste k + 1 getallen? 37

61 Voorbeeld: bewijs met inductie k + (k + 1) = = = = = k (k + 1) + k (1) k (k + 1) 2(k + 1) (2) k (k + 1) + 2(k + 1) 2 (3) (k + 1)(k + 2) 2 (4) (k + 1)((k + 1) + 1) 2 (5) Die laatste term heeft weer de gewenste vorm, n (n+1) 2, waar je voor n het getal k + 1 kiest. Vraag: Welke stap maakt gebruik van de inductiehypothese? 38

62 Maar waarom? Dit bewijs is zondermeer juist, maar verhult de intuitie waarom is dit waar? Stel we willen twee keer de getallen van 1 tot 100 bij elkaar optellen: Dus kunnen we 100 groepjes van 101 maken (of n groepjes van n + 1). Maar dat is te veel we delen door twee voor het eindresultaat: n (n+1) 2 39

63 Bewijs met inductie Er zijn veel varianten op zulke inductieve bewijzen. Bij sterke inductie stelt de inductiehypothese dat de stelling geldt voor alle kleinere getallen (in plaats van alleen het vorige getal). Structurele inductie gebruikt dezelfde technieken om te redeneren over andere structuren dan alleen getallen denk aan lijsten, bomen, datastructuren, of zelfs programma s. 40

64 Uniciteitsbewijzen Soms wil je bewijzen dat er maar één ding een bijzondere eigenschap heeft. Stelling: Er is maar één natuurlijk getal e zodanig dat voor elk ander getal n geldt, n + e = n. 41

65 Uniciteitsbewijzen Soms wil je bewijzen dat er maar één ding een bijzondere eigenschap heeft. Stelling: Er is maar één natuurlijk getal e zodanig dat voor elk ander getal n geldt, n + e = n. Bewijs: Stel er zijn twee zulke getallen, e 1 en e 2, dan moeten ze wel gelijk aan elkaar zijn. e 1 = e 2 + e 1 Eigenschap e 1 = e 1 + e 2 Eigenschap + = e 2 Eigenschap e 2 41

66 Non-bewijzen Soms kan een bewijs om hele simpele redenen verkeerd zijn: 2 4 = 16 = 4 2, dus a b = b a ; = 1 6 =

67 Non-bewijzen Soms kan een bewijs om hele simpele redenen verkeerd zijn: 2 4 = 16 = 4 2, dus a b = b a ; = 1 6 = Vool elke getallen a en b geldt dat als a = b dan: a 2 = ab a 2 b 2 = ab b 2 Vermenigvuldig met a b 2 aftrekken (a + b)(a b) = b(a b) herschrijven a + b = b delen door a b b + b = b gebruik a = b 2b = b 2 = 1 algebra 42

68 Logica voor informatica Organisatie Wat is logica? Bewijstechnieken Bewijs door gevalsonderscheid; Bewijs uit het ongerijmde en niet-constructieve bewijzen; Bewijzen met inductie; Uniciteitsbewijzen; 43

69 Volgende college Aanstaande vrijdag is een open dag dan is er dus geen college of werkcollege! Het eerste college op vrijdag, over twee weken, zal zijn in Megaron (en dus niet Cosmos). Het eerstvolgende college is dus volgende week dinsdag pas dit zal wel gewoon weer hier in Cosmos zijn. 44

70 Volgende keer propositielogica George Boole 45

71 Meer weten? Lees hoofdstuk 1 van het diktaat; Maar er zijn ook tal van populair wetenschappelijke teksten over logica: Logicomix An Epic Search for Truth door Apostolos Doxiadis and Christos Papadimitriou; The Art of Logic door Eugenia Chang 46