WISKUNDE. Jef De Langhe, Hilde De Maesschalck, Luc De Wilde. voor alle leraren

Transcriptie

1 WISKUNDE Jef De Langhe, Hilde De Maesschalck, Luc De Wilde voor alle leraren Didactiek van de wiskunde Dit is de titel van een boek geschreven door G. Janssens en F. Stoffelen en dat in 1956 (!) werd uitgegeven door de Uitgeverij Plantyn. In deze mededelingen selecteren we twee fragmenten uit dit boek. Het taalgebruik geeft aan dat de tekst niet meer recent is, maar de ideeën en suggesties zijn nog actueel. 1 Over procesevaluatie en het persoonlijk werk van de leerling Verbeteren en waarderen (p ) Verbeteren en waarderen zijn twee verschillende dingen, hoewel er een nauw verband tussen bestaat. Bij het verbeteren wijst men fouten aan, herstelt ze of doet ze door de leerlingen te corrigeren. Bij het waarderen spoort men vooral de positieve kwaliteiten op en prijst door middel van cijfers of woorden. Het corrigeren moet de leerlingen op het juiste pad brengen, terwijl de fouten tevens de leraar vaak een kijk op zijn eigen tekortkomingen geven. Maakt een groot aantal leerlingen het werk fout, dan was er in de les iets mis of was de opgave al te zwaar. Waarderen is onmisbaar om de prestatie van de leerlingen op te voeren; als men geen cijfers geeft daalt het resultaat zeer spoedig. De bedoeling van het waarderen is dus niet zozeer het objectief afwegen van de prestatie, althans wanneer het niet over examens gaat, dan wel te prikkelen tot beter presteren. In de regel ziet de leraar het werk persoonlijk na en duidt hij op het werk de fouten aan. Wanneer een zeker aantal leerlingen dezelfde fout maakte, is een klassikale bespreking en correctie noodzakelijk. Belangrijk is het in bepaalde gevallen een leerling apart te nemen en zijn fouten en hun oorzaak met hem te bespreken. Een klassikale bespreking, waarmee bedoeld wordt dat de leraar het werk van de leerling vooraf niet gezien heeft, doch bij aankondiging van de fouten de oefening voor de hele klas oplost, vraagt meestal te veel tijd. De leraar mag zich aan het onplezierig maar onmisbaar aan huis corrigeren niet onttrekken. Het is praktisch het werk steeds op één zijde te laten maken, bijv. rechts. Links komen dan, naast bijv. de tekeningen, als het een oefening van meetkundige aard betreft, de correcties en komt ook, als de oefening goed is gemaakt, een eventuele tweede interessante oplossingsmethode. Van belang is het formaat van het gebruikte schrift. Het mag niet te klein zijn, omdat dan een bewijs zich soms over meer dan één bladzijde uitstrekt, wat de overzichtelijkheid schaadt. Het is noodzakelijk onderscheid te maken tussen redeneringsfouten en rekenfouten. De correctie van een redeneringsfout vereist verklaring, liefst langs heuristische weg om de fout te laten ontdekken. Bij rekenfouten zal een hernieuwd indrillen der DM november 2010 Wiskunde pagina 1

2 rekentechniek noodzakelijk zijn als er een onvoldoende beheersing van de techniek in t spel is en het geen slordigheid of toevallige vergissing betreft. 2 Over samenhang en doelstellingen ( leren leren ) Overzichten (p. 36) In een halssnoer zijn de parels belangrijk doch zonder de draad die ze bij elkaar houdt is er geen snoer. De leraar moet niet louter stellingen doceren, doch de leerling zover brengen dat hij de samenhang ziet. Een goed wiskundeleraar moet zijn leerlingen iets van de wiskundige opbouw leren. Daarom zal men na elk deel een synoptisch overzicht moeten geven, dat toelaat de gouden draad in het hoofdstuk te ontdekken, terwijl men vooraleer een onderwerp uit te werken de leerlingen duidelijk zal maken waarover het gaan zal. Waardevolle overzichten zijn de stambomen (*) en steekkaarten (**) zijn goede dwarsdoorsneden. (*) Stambomen (p.32) Herhaling is onmisbaar; men lette er goed op, dat bij de herhaling het denken behouden blijft. Herlezen en herzeggen moeten samengaan met herdenken. Daarom is het in de meetkunde bijv. aan te raden andere figuren en andere letters te gebruiken, of zelfs eenvoudig de figuur anders te oriënteren. Geldt het een mondelinge herhaling in de klas, dan moet de leraar hier en daar naar een motivering vragen, om zich ervan te overtuigen, dat er inderdaad nog gedacht wordt. Een belangrijke vorm van herhaling is het opstellen van een stamboom van een stelling. (**) Steekkaarten (p. 97) Wiskundige kennis mag niet als verworven gelden als ze niet toegepast kan worden. Een criterium voor het verworven zijn van de leerstof is dat zij vruchten voortbrengt, nl. dat zij in oefeningen aangewend wordt om tot nieuwe kennis te komen. Bij een oefening beschikken leerlingen na enige tijd over uitgebreid en veelsoortig materiaal. Vandaar de keuze van juist die elementen die nuttig kunnen zijn, hun zeer moeilijk is. Zij krijgen soms de indruk dat het gaat om een toeval of om een gelukkige inval. Deze indruk moet bij de leerlingen voorkomen worden door de aandacht op de vruchtbaarheid der verworven kennis te vestigen als men haar systematisch weet af te zoeken met het oog op een toepassing. Een zeer geschikt middel om de kennis waarover men passief beschikt, te kunnen activeren, ligt in het geleidelijk aanleggen van een kaartsysteem. Bovenaan elke kaart staat een bepaald onderwerp, bijv. twee driehoeken zijn congruent. Die lijstjes regelmatig bijschrijven vergt een minimum van tijd en werk, terwijl zij de leerlingen voortreffelijk helpen hun kennis te ordenen, een eerste eis voor economisch en productief denken. Ervaringen met het nieuwe leerplan in het eerste leerjaar A Vakgroepen van de eerste graad die eind vorig schooljaar hebben gereageerd op een bevraging over het nieuwe leerplan in het eerste leerjaar hebben van hun resp. vakbegeleider via mail ondertussen een reactie gekregen. Contacteer je vakbegeleider als dit niet het geval zou zijn. DM november 2010 Wiskunde pagina 2

3 Alvorens verder in te gaan op deze bevraging, vermelden we een drietal belangrijke krachtlijnen van dit leerplan. De aansluiting met het basisonderwijs versterken door bijv. meteen te rekenen met de getallen waarmee leerlingen in het basisonderwijs al in contact zijn gekomen, door bij de begripsvorming voldoende rekening te houden met wat leerlingen al kennen enz. Belangrijke uitdagingen in het eerste leerjaar die het basisonderwijs overstijgen, liggen ondermeer op het vlak van geleidelijke abstrahering, aandacht voor exactheid, nauwkeurigheid en volledigheid, voor het argumenteren (de waarom -vraag) en het opbouwen van eenvoudige redeneringen door de leerlingen. Het werken met beheersingsniveaus voor de basisdoelstellingen waardoor via differentiatie zwakkere leerlingen zich bij de verwerking voornamelijk richten op de beheersingsniveaus elementair en basis en sterkere leerlingen ook voldoende uitgedaagd worden door het beheersingsniveau verdieping dat meer wiskundige diepgang en hogere vaardigheden nastreeft. Meer aandacht voor het ontwikkelen van vaardigheden zoals probleemoplossende vaardigheden, rekenvaardigheden, wiskundige taalvaardigheden, denk- en redeneervaardigheden en leervaardigheden met onder meer veranderingen in de vakdidactische aanpak als gevolg. Samenvattende commentaar bij de resultaten van de bevraging Dat het leerplan vanuit het basisonderwijs spiraalsgewijs opgebouwd wordt, vinden de meeste leraren een positieve zaak. Het gevaar daarbij is wel dat men aan bepaalde onderdelen, die herhaling zijn van het basisonderwijs, te veel tijd besteedt. Deze onderdelen komen vooral voor in het begin van het schooljaar. Hier is het zeker niet nodig om het aanbrengen van de leerstof te laten voorafgaan door tijdrovende 'verkenningen' (Bij het aanbrengen van nieuwe leerstof zijn dergelijke verkenningen uiteraard wel nuttig). Als men er rekening mee houdt dat de rekenvaardigheid toch cumulatief aan bod komt in de loop van het schooljaar kan het aantal herhalingsoefeningen in de lessen bij de aanvang beperkt worden. Op die manier vermijdt men dat men snel achter raakt op de planning. Belangrijk is wel dat leerlingen in de loop van het schooljaar voldoende kansen krijgen om hun rekenvaardigheden, indien nodig, bij te sturen en verder te trainen en te onderhouden. Aan rekenvaardigheden en wiskundige taalvaardigheden wordt, vanuit verschillende invalshoeken, heel wat kwaliteitsvolle aandacht besteed. Leerlingen krijgen de kans en de tijd om tijdens de les definities, eigenschappen, redeneringen, oplossingsmethodes, correct te verwoorden. Vele collega's oefenen rekenvaardigheid spiraalsgewijs op geregelde tijdstippen en korte oefenmomenten doorheen het schooljaar. Ze maken hierbij onder andere gebruik van rekenfiches, opdrachten met antwoordsleutels en het oefenen via websites of een leerplatform. Positief is ook dat men de zakrekenmachine enkel toelaat, waar het nuttig is. Zo komen hoofdrekenen, cijferrekenen en machinerekenen evenwichtig aan bod. Ook schattend rekenen moet de nodige aandacht krijgen. Zoals de meeste collega's terecht opmerken, is er inhoudelijk aan het leerplan weinig veranderd. De minieme wijzigingen worden doorgaans positief beoordeeld, bijv. de verplaatsing van nevenhoeken en overstaande hoeken naar het tweede DM november 2010 Wiskunde pagina 3

4 jaar. Twee vakgroepen uiten wel hun zorg over het niveau of de moeilijkheidsgraad, onder meer bij het oplossen van vergelijkingen en het gebruiken van letters. Als men echter de doelstellingen i.v.m. de vermelde leerinhouden vergelijkt in het vorige en in het nieuwe leerplan, dan kan men vaststellen dat de doelstelling i.v.m. het oplossen van vergelijkingen identiek is en dat er ook voor het gebruiken van letters geen wijzigingen zijn in de formulering van de doelstelling, behalve een verdiepingsniveau dat is toegevoegd i.v.m. het omvormen van een formule door ze op te lossen naar een veranderlijke. Het is geenszins de bedoeling van dit nieuwe leerplan dat wiskundig sterkere leerlingen op hun honger blijven zitten. Integendeel, het werken met beheersingsniveaus, het meer gedifferentieerd werken, heeft precies als doelstelling om wiskundig sterkere leerlingen voldoende te blijven uitdagen en zo ook hun wiskundige competenties (verder) te ontwikkelen Het nieuwe leerplan biedt daartoe meer dan voldoende mogelijkheden. Kansen liggen er bijv. bij het ontdekken van regelmaat en het beschrijven ervan met formules, het geven van geïntegreerde toepassingen, het werken vanuit open problemen en vraagstukken waarbij ook verschillende oplossingsstrategieën aan bod kunnen komen. Ook denk- en redeneervaardigheden en het verwerven van wiskundige vaktaal zijn in het eerste jaar essentieel in de wiskundevorming. Denk bijv. aan het onderscheid tussen een definitie en een eigenschap, het argumenteren of het geven van een verklaring, het gebruik van een tegenvoorbeeld om het niet geldig zijn van een uitspraak te staven, het wiskundig correct noteren. Ook hier liggen voldoende kansen voor verdiepend werken. Wat ICT-implementatie betreft, blijkt jammer genoeg dat er hier en daar nog steeds gebrek is aan adequate ICT-logistieke ondersteuning. In een eerste fase kan de PC in de klas als demonstratiemiddel door de leerkracht gebruikt worden (nood aan PC en beamer in de klas) om zo (wiskunde)prikkels over te brengen naar de leerlingen. In een tweede fase gaat de leerling dan zelf op ICT-exploratie, met de leerkracht als coach. Anderzijds is er ook een positieve noot zichtbaar: Cabri en Geogebra worden meer en meer gebruikt, er wordt gebruik gemaakt van digitale oefeningen bij het leerboek en van websites met oefenmogelijkheden, er wordt online geoefend via een leerplatform met opdrachten of oefeningen aangepast aan het niveau van de leerlingen. Een goed uitgebalanceerde leerlijn voor ICT kan maar zinvol opgebouwd worden indien de vakgroep vanaf het eerste jaar uit de startblokken schiet. Ook het probleemoplossend denken komt meer aan bod dan vroeger. Problemen en vraagstukken worden gespreid over het hele jaar en komen dus niet enkel aan bod bij vergelijkingen. Problemen worden niet enkel klassikaal opgelost, maar ook individueel en in groep. Een mooi initiatief is ook het invoeren van het 'probleem van de week', waarbij leerlingen gestimuleerd worden om thuis problemen op te lossen. Toch moeten we er over waken dat het probleemoplossend denken niet helemaal naar buiten de klas verschoven wordt. Door leerlingen in de klas problemen en vraagstukken te laten oplossen hebben we de zekerheid dat ze allemaal aan het werk zijn, zien we beter waar de problemen zitten, is er meer communicatie en leren leerlingen van elkaar. De gebruikte leermiddelen bepalen in hoge mate de perceptie op dit nieuwe leerplan. Leermiddelen zijn hulpmiddelen om de leerplandoelstellingen bij de leerlingen te bereiken. Het slaafs navolgen van een boek en/of leerwerkboek is niet wenselijk. Belangrijk is om de gebruikte leermiddelen te vergelijken met wat het leerplan expliciet vraagt. Zo kan misschien kostbare tijd gewonnen worden. DM november 2010 Wiskunde pagina 4

5 Misschien wel het meest hoopgevende is dat verschillende collega's melden dat de motivatie van de leerlingen voor wiskunde gestegen is. Dat leerlingen graag wiskunde doen is uiteraard prettig om horen. Belangrijk is ook dat leerlingen niet enkel oefenen op aparte leerstofonderdelen, maar ook op grote gehelen. De bufferruimten in het jaarplan bieden hier extra kansen. Ten slotte zien we ook dat de evaluatie een andere aanpak kent. Wat de productevaluatie betreft, zien we dat de uitslagen bij het nieuwe leerplan, vooral in het begin van het jaar hoger liggen. Belangrijk is natuurlijk dat hier een evenwicht over het hele jaar bereikt wordt. Mooi is dat ook procesevaluatie meer en meer aandacht krijgt: als bijsturing wordt er individuele commentaar gegeven op rapporten, leerlingen krijgen ook soms de gelegenheid om zichzelf te evalueren en in meer en meer scholen wordt ook werk gemaakt van het evalueren van vaardigheden en vakgebonden attitudes. Varia 3.1 Natuurwetenschappen, wiskunde en technologie: een sleutel voor onze toekomst! Leerkrachten in het domein van de natuurwetenschappen, wiskunde of technologie kunnen deelnemen aan de Koningin Paolaprijs voor het onderwijs. Deze prijs wil leerkrachten aanmoedigen en hun creativiteit en toewijding belonen door pedagogische modelprojecten beter bekend te maken. Meer informatie: zie Het Wiskundeboek Clifford A. Pickover, Het Wiskundeboek, Van Pythagoras tot de 57ste dimensie, 250 mijlpalen in de geschiedenis van de wiskunde, 2009, Librero Een interessant boek voor elke wiskundeleraar en een mogelijke inspiratiebron voor leerlingen derde graad aso om een onderzoeksdomein te bepalen in het kader van de onderzoekscompetentie. 3.3 Geogebra Applets aansluitend bij leerinhouden statistiek, reële functies, meetkunde: zie DM november 2010 Wiskunde pagina 5