Eindhoven University of Technology MASTER

Transcriptie

1 Eindhoven University of Technology MASTER Buigings- en dwarskrachtvervorming van sandwichpanelen ontwikkelen van een eenvoudig toepasbare rekenmethode voor statisch onbepaalde sandwichconstructies, vergeleken met laboratoriumexperimenten de Groot, W.H. Award date: 28 Disclaimer This document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Student theses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the document as presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the required minimum study period may vary in duration. General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain Take down policy f you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Download date: 16. Mar. 217

2 Afstudeerrapport Buigings- en dwarskrachtvervorming van sandwichpanelen W.H. de Groot

3 Afstudeerrapport Buigings- en dwarskrachtvervorming van sandwich pane len 'Ontwikkelen van een eenvoudig toepasbare rekenmethode voor statisch onbepaalde sandwichconstructies, vergeleken met laboratoriumexperimenten' W.H. de Groot S41635 Eindhoven, juli 28 Afstudeercommissie: prof. dr. ir. A.J.M. Jorissen dr. ir. M.C.M. Bakker ing. J.L.G. van Rie Rapport: A Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Architecture, Building and Planning Unit Structural Design & Construction Technologie Den Dolech AZ Eindhoven

4 Voorwoord Voor u ligt het afstudeerrapport van de auteur over buigings- en dwarskrachtvervorming van sandwichpanelen. Aanleiding van dit rapport is het afronden van de studie bouwkunde aan de Technische Universiteit Eindhoven. Na de invoering van de bachelor-master structuur enkele jaren geleden is de vijfjarige opleiding als volgt opgebouwd. Na een driejarige algemene bacheloropleiding is er een tweejarige specialisatie in de vorm van een masteropleiding. Met een afgeronde HBOopleiding, de zogenaamde 'praktische bachelor' is het mogelijk om via een 'schakelprogramma' in te stromen in een aansluitende masteropleiding. lkzelf ben na het afronden van de Bachelor of Built Environment in Haarlem, afstudeerrichting bouwtechniek en constructie, via het schakelprogramma ingestroomd in de master. De master van mijn keuze is 'Constructief Ontwerpen' (Structural Design) van de Unit Structural Design & Construction Technologie. Het afstudeerproject wordt gevolgd bij de vakgroep 'Houtconstructies' van professor A.J.M. Jorissen. Voor het afstudeerproject is een samenwerking aangegaan met Unidek B.V. te Gernert. Dit rapport beschrijft de resultaten binnen mijn afstudeerproject. Het doel van mijn afstudeerproject is het ontwikkelen van een eenvoudige rekenmethode voor het beschrijven van statisch onbepaalde sandwichconstructies. Hierbij wordt er aangenomen dat de lezer bekend is met het gebruik van vergeet-me-nietjes. Deze rekenmethode, gebaseerd op de bekende vergeet-me-nietjes maar dan met dwarskrachtvervorming, is vervolgens vergeleken met experimenteel onderzoek in het Pieter van Musschenbroek laboratorium te Eindhoven. Hierbij wil ik graag aile medewerkers van het laboratorium, met name Johan van den Oever en Theo van Loo, bedanken voor hun inzet en prettige samenwerking. Voor de experimenten is gebruik gemaakt van sandwichpanelen van de firma Unidek B.V. te Gernert. Voor het produceren en leveren van de proefstukken ben ik zeer dankbaar. Hierbij wil ik dan ook de firma Unidek B.V. bedanken. Daarnaast wil ik aile medewerkers bedanken voor de prettige samenwerking en een fijne tijd. De afstudeercommissie wil ik graag bedanken voor aile nuttige adviezen tijdens de afstudeerbijeenkomsten. Ook vrienden en familie wil ik bij deze bedanken. n het bijzonder mijn ouders voor de geboden kansen en mogelijkheden om te gaan studeren. De jarenlange ondersteuning heeft er zeker toe bijgedragen om tot zover te komen. Beste pap en mam bedankt! Tot slot wil ik Maartje Dijk bedanken voor de nuttige schrijftips en natuurtijk de dagelijkse ondersteuning en aanmoedigingen. Wim de Groot Eindhoven, Juni 28

5 Dankbetuiging lk wil graag mijn dankbetuiging uitspreken aan de volgende personen: Technische Universiteit Eindhoven: prof. dr. ir. A.J.M. (Andre) Jorissen dr. ir. M.C.M. (Monique) Bakker dr. ir. A.J.M. (Ad) Leijten ir. J.C.M. (Dennis) Schoenmakers ir. H.M. (Hans) Lamers ing. J.J.P. (Johan) van den Oever T.J. van de (Thea) Lao ing. H.L.M. (Eric) Wijen C.F.P. (Cor) Naninck ing. M.A.C.M. (Martien) Ceelen M.P.F. (Rien) Canters Unidek B. V. te Gernert: ing. J.L.G. (Johhny) van Rie ir. G.J. (Gerrit-jan)Kuiper ir. D.M. (Dirk) van Dinter J.L.M. (Bert) School M.A.M. (Mark) Manders Medewerkers Hal 1 Medewerkers kwaliteitsdienst Medewerkers 'projectbureau BCC' Wilhemus Hubertus de Groot Eindhoven juli 28

6 Samenvatting Binnen dit afstudeerverslag wordt ingegaan op de vervorming van sandwichpanelen bij statisch onbepaalde constructies. De sandwichpanelen uit dit project worden uitsluitend toegepast als hellende daken in de woningbouw. De sandwich is opgebouwd uit een kern van Extruded Polystyreen (EPS) en aan de onder- en bovenzijde een huid van spaanplaat. EPS bestaat voor 2% uit polystyreen en voor 98% uit ucht en is daarmee uitstekend geschikt als isolatiemateriaal. Het materiaal heeft echter een zeer lage elasticiteitsmodulus en daarmee oak een zeer lage afschuivingsmodulus. Ten gevolge van de aanwezige dwarskracht in een constructie zal de kern gaan vervormen. n tegenstelling tot de meeste bouwkundige constructies bestaat de vervorming nu niet enkel en aileen uit buigingsvervorming maar oak uit dwarskrachtvervorming. Bij statisch bepaalde constructies is het toegestaan om deze twee vervormingen bij elkaar te superponeren om zodoende de totale vervorming te verkrijgen. Bij statisch onbepaalde constructies is dit niet toegestaan. Om nu tach op eenvoudige wijze statisch onbepaalde sandwichconstructies te kunnen berekenen wordt door Berner een methode beschreven voor het berekenen van een- twee- en drieveldoverspanningen. n de literatuur worden de vervormingen voor meerveldsoverspanningen berekend volgens deze methode aangeduid als een benadering. Met de methode volgens Berner kunnen aileen constructies met gelijke overspanningen worden berekend. Zander (dak)overstekken en zonder het aanbrengen van puntlasten. Het meerekenen van manlasten zoals voorgeschreven in de Eurocode en de TGB is hiermee niet mogelijk. Het doel van dit afstudeeronderzoek is om een rekenmethode te ontwikkelen waarmee het mogelijk wordt om op eenvoudige wijze statisch onbepaalde sandwichconstructies te berekenen met ongelijke overspanningen en overstekken. Oak moet het mogelijk zijn om puntlasten mee te nemen in de berekening. De methode moet makkelijk hanteerbaar zijn en geschikt voor een handberekening. De eerste orde balktheorie met dwarskrachtvervorming is geschikt voor het beschrijven van sandwichconstructies met zogenaamde 'dunne huiden' zoals toegepast binnen dit project. Deze methode maakt gebruik van een differentiaalvergelijking volgens Timoshenko en wordt dan oak de balktheorie volgens Timoshenko genoemd. Het gebruik van differentiaalvergelijkingen is echter geen gemeengoed onder bouwkundig en civiel ingenieurs. Dit komt doordat er voor balken met aileen buiging er een veel eenvoudigere methode beschikbaar is: de vergeet-me-nietjes. De werking ervan wordt in menig studieboek beschreven en het gebruik is dan oak zeer bekend onder ingenieurs. Met behulp van de balktheorie volgens Timoshenko zijn er in dit verslag vergeet-me-nietjes afgeleid voor balken met dwarskrachtvervorming. De nieuwe rekenmethode werkt in principe hetzelfde als de vergeet-me-nietjes voor buiging en sluit daarmee uitstekend aan op de huidige kennis. De methode voldoet aan de eisen wat betreft ongelijke overspanningen, overstekken en puntlasten, is eenvoudig hanteerbaar en geschikt voor een handberekening. Daarmee wordt er voldaan aan de onderzoeksopdracht van dit afstudeerproject. Hiernaast is de rekenmethode vergeleken met experimenteel onderzoek in het van Musschenbroek laboratorium te Eindhoven. Hiervoor is een statisch onbepaalde testopstelling ontworpen, genaamd de vijfpuntsbuigproef, waarmee sandwichpanelen van de firma Unidek B.V. van het type 'Kolibrie 3.5' zijn getest. Dit sandwichpaneel met een breedte van 12 mm is opgebouwd uit een kern van EPS 6 en huiden van spaanplaat P5. De kern heeft een dikte van 137 mm en de huiden zijn beiden 3,2 mm dik. Eerst zijn de belangrijkste eigenschappen met betrekking tot de sandwichwerking bepaald van de individuele materialen. Van het spaanplaat is de buig- druk- trekstijfheid en de buig- druk- treksterkte bepaald. Van het EPS is de afschuivingsmodulus bepaald met behulp van een vierpuntsbuigproef. De uitkomsten van de vijfpuntsbuigproeven komen goed overeen met de rekenmethode en bevestigen daarmee de achterliggende theorie en het gebruik van de rekenmethode. Tijdens het experimenteel onderzoek is echter een bijzonder bezwijkmechanisme waargenomen. Ten gevolge van de drukspanning in de huid en het inleiden van de belasting is het sandwichpaneel lokaal bezweken. Dit bezwijkmechanisme wordt in dit verslag 'wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting' genoemd. Het bezwijkgeval is tweemaal geconstateerd, eenmaal bij de vierpuntsbuigproef en eenmaal bij de vijfpuntsbuigproef. Met behulp van SKH publicatie 94-2 'Houtachtige dakconstructies- rekenprogramma voor sandwichelementen en enkelhuidige ribpanelen' zijn controleberekeningen gemaakt voor de bijbehorende momenten en belastingen. Hieruit is gebleken dat bij de gemeten belasting geen bezwijken had mogen optreden ten gevolge van het zojuist genoemde bezwijkmechanisme. Verder onderzoek naar dit onderwerp is dan oak gewenst. 11

7 Trefwoorden Sandwichpanelen, EPS, Spaanplaat, dwarskrachtvervorming, statisch onbepaald, Timoshenko balktheorie, vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming, wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting.

8 Symbolenlijst Latijn hoofdletters A opppervlak (mm 2 ) C; integratieconstante bij met indexnummer E elasticiteitsmodulus (N/mm 2 ) E~ elasticiteitsmodulus beton (1\l/mm 2 ) Eb elasticiteitsmodulus bij buiging (N/mm 2 ) Eb;ser elasticiteitsmodulus bij buiging m.b.t. bruikbaarheidsgrenstoestand (N/mm 2 ) E c elasticiteitsmodulus bij druk (N/mm 2 ) E c;ser elasticiteitsmodulus bij druk m.b.t. bruikbaarheidsgrenstoestand (N/mm 2 ) E, elasticiteitsmodulus bij trek (N/mm 2 ) E,;ser elasticiteitsmodulus bij trek m.b.t. bruikbaarheidsgrenstoestand (N/mm 2 ) E buigstijfheid (N/mm 2 mm 4 ) 1,, buigstijfheid totale sandwich (N/mm 2 mm 4 ) F puntlast in (kn) G afschuivingsmodulus (N/mm 2 ) G, afschuivingsmodulus bovenhuid (N/mm 2 ) G 2 afschuivingsmodulus kern(n/mm 2 ) G 3 afschuivingsmodulus onderhuid (N/mm 2 ) G,.P representatieve waarde afschuivingsmodulus (N/mm 2 ) Gser;rep representatieve waarde afschuivingsmodulus m.b.t. bruikbaarheidsgrenstoestand (N/mm 2 ) Gkem afschuivingsmodulus van de kern (N/mm 2 ) GA afschuifstijfheid (N/mm 2 mm 2 ) GA,, afschuifstijfheid totale sandwich (N/mm 2 mm 2 ) traagheidmoment in (mm 4 ) M moment (Nmm) M, moment ter plaatse van het steunpunt (Nmm) M. berekend moment in de uiterste grenstoestand (Nmm) N normaalkracht (N) N, normaalkracht in de boven- of onderhuid ter plaatse van het steunpunt (N) S v statisch moment om y-as (mm 3 ) R Rc U.C. V v;, Y reactiekracht (kn) isolatiewaarde (m 2 KJW) eenheidscontrole (Unity Check) dwarskracht (kn) berekende dwarskracht in de uiterste grenstoestand (kn) aandeel buigingsvervorming bij een vierpuntsbuigproef (mm) Latijn kleine letters a afstand (mm) b breedte sandwichpaneel of proefstuk (mm), afstand (mm) breedte bovenhuid (mm) b 1 breedte kern (mm) breedte onderhuid (mm) c afstand (mm) of veerconstante (N/mm) bgt bruikbaarheids grenstoestand d dikte totale sandwichconstructie (mm) d, dikte bovenhuid (mm) b 2 b 3 d 2 dikte kern (mm)

9 d 3 e e e 1 e 2 dikte onderhuid (mm) afstand tussen hartlijn bovenhuid en hartlijn onderhuid (mm) afstand hartlijn van de sandwich tot hartlijn van de kern (mm) afstand hartlijn van de sandwich tot hartlijn van de bovenhuid (mm) afstand hartlijn van de sandwich tot hartlijn van de onderhuid (mm) k factor volgens Berner. k = ~E (dimensieloos), of fractielfactor GA k,. veerstijfheid van de kern (N/mm 3 ) k 1 m m(x) n dwarskracht-vormfactor (dimensieloos) lengte (mm) massa (kg) gemiddelde waarde van een eigenschap van het getrokken monster aantal proefstukken q gelijkmatig verdeelde belasting (kn/m 1 ) s (x) standaardafwijking van een eigenschap u ugt verplaatsing op x-as uiterste grenstoestand v verplaatsing op z-as w verplaatsing (doorbuiging vervorming) op y-as (mm) w,, totale vervorming (doorbuiging) (mm) wm w mtu wmm:ser w ser wv x, 5 xw;mtu doorbuiging ten gevolge van het moment (mm) maximale doorbuiging (mm) maximaal toelaatbare waarde doorbuiging in de bruikbaarheidsgrenstoestand (mm) berekende doorbuiging in de bruikbaarheidsgrenstoestand (mm) doorbuiging ten gevolge van de dwarskracht (mm) 5-percentielgrens plaats van de maximale doorbuiging (mm) x; meetwaarde van het proefstuk i y 1 y 2 y 2 z 1 z 2 afstand bovenkant sandwichpaneel tot hartlijn bovenhuid (mm) afstand bovenkant sandwichpaneel tot hartlijn kern (mm) afstand bovenkant sandwichpaneel tot hartlijn onderhuid (mm) afstand tussen bovenkant sandwichpaneel en zwaartelijn sandwichpaneel (mm) afstand tussen onderkant sandwichpaneel en zwaartelijn sandwichpaneel (mm) Grieks kleine letters a onbekende factor fj onbekende factor y hoekverdraaing ten gevolge van dwarskracht, de zogenaamde afschuifhoek. K kromming v Poisson-verhouding p dichtheid in (kg/m 3 ) a druk- of trekspanning (N/mm 2 ) a b buigspanning (N/mm 2 ) ab;rep;u representatieve buigspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) ac drukspanning (1\l/mm 2 ) ac;rep representatieve drukspanning (N/mm 2 ) a c;" berekende drukspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) a c; u; Engesser berekende drukspanning volgens Engesser in de uiterste grenstoestand. bepaald volgens: Ns < zjkw (N/mm 2 ) ac; max:" maxim ale drukspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 )

10 representatieve drukspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) CTmax; u maximale spanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) trekspanning (N/mm 2 ) representatieve trekspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) berekende trekspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) maximale trekspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) representatieve treksterkte (N/mm 2 ) T'max.; u afschuifspanning (N/mm 2 ) maximale afschuifspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) berekende afschuifspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) z maximale spanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) totale hoekverdraaing volgens Timoshenko balktheorie: rjj =f/+ r. hoekverdraaing ten gevolge van buiging, de zogenaamde buigingshoek. afstand van de neutrale lijn tot de uiterste vezel (mm) Grieks hoofdletters M toename van de kracht (N) ~w toename van de verplaatsing (mm) <> dimensielose parameter voor het beschrijven van het effect van de dwarskrachtstijfheid op de.. fh.d.,.,... 12El stij e1 smatnx. w = -- 2 GA l n dwarskrachtfactor of 'shear factor': n = 2 / (dimensieloos) GA ndices j_ loodrecht op de vezelrichting evenwijdig aan de vezelrichting c druk (compression) d rekenwaarde (design) e elementindex matrices u uiterste grenstoestand (ultimate state) indexnummer: 1: bovenhuid 2: kern 3: onderhuid rep representatieve waarde ser bruikbaarheidsgrenstoestand (serviceability state) trek (tension) V

11 lnhoudsopgave Voorwoord Dankbetuiging Samenvatting Symbolenlijst lnhoudsopgave 1 lnleiding 1.1 Algemeen 1.2 Ontwikkeling van de sandwichconstructie 1.3 lnvloed van de dwarskrachtstijfheid 1.4 Classificatie van balken 1.5 Vervormingen van Timoshenko sandwichbalken 1.6 Aanleiding van het onderzoek 1.7 Probleemstelling en onderzoeksopdracht 1.8 Onderzoeksdoel, onderzoeksmethodiek en afbakening onderzoek 1.9 Opbouw rapport 2 Timoshenko sandwichbalken 2.1 lnleiding 2.2 Classificatie van inhomogene gelaagde constructies 2.3 Voorwaarden voor geldigheid Timoshenko sandwichtheorie 2.4 Doorsnede-eigenschappen Timoshenko sandwichbalk 2.5 Spanningen 3 Analytisch onderzoek 3.1 lnleiding 3.2 Euler-Bernoulli balktheorie 3.3 Timoshenko balktheorie 3.4 Uitwerkingen differentiaalvergelijkingen 3.5 Controleberekening differentiaalvergelijkingen 3.6 Eindige elementenmethode 3.7 Benaderingsmethode volgens Berner 3.8 Vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming 3.9 Voorbeeldberekening met vergeet-me-nietjes Voorbeeldberekening met vergeet-me-nietjes Voorbeeldberekening met vergeet-me-nietjes Superpositie van buigings- en dwarskrachtvervorming 3.13 Evaluatie analytisch onderzoek 4 Experimenteel onderzoek 4.1 lnleiding 4.2 Gebruikte formules en eigenschappen 'Kolibrie 3.5' 4.3 Materiaaleigenschappen volgens de literatuur 4.4 Buigingsmodulus en buigsterkte van het spaanplaat 4.5 Drukmodulus en druksterkte van het spaanplaat 4.6 Trekmodulus en treksterkte van het spaanplaat 4.7 Afschuifstijfheid van de kern 4.8 Vervorming van statisch onbepaalde sandwichconstructies 4.9 Wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting 4.1 Evaluatie experimenteel onderzoek 5 Conclusies en aanbevelingen Bijlagen Literatuur Bijlage A - Differentiaalvergelijkingen volgens Timoshenko balktheorie Bijlage B - Berekeningen volgens Timoshenko balktheorie Bijlage C - Eindige e/ementenmethode Bijlage D - Vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming Bijlage E- Tekeningen proefopste/lingen Bijlage F - Uitkomsten experimenteel onderzoek ii iii v ix

12 1 lnleiding n dit inleidende hoofdstuk wordt een overzicht gegeven van het onderzoek. Na een beschrijving van de onderzoeksomgeving en de ontwikkeling van de sandwichconstructie wordt de huidige stand van de techniek behandeld. Vervolgens wordt de aanleiding van het onderzoek en de probleemstelling beschreven, waarna de onderzoeksvraag wordt geformuleerd. Hierna volgt een paragraaf waarin het onderzoeksdoel, onderzoeksmethodiek en de afbakening van het onderzoek worden beschreven. Tot slot wordt het belang van het onderzoek aangegeven en de opbouw van het rapport weergegeven. 1.1 Algemeen Dit rapport vormt de afsluiting van de mastertrack Constructief Ontwerpen van de faculteit bouwkunde aan de Technische Universiteit Eindhoven. Het afstudeerproject wordt gevolgd bij de vakgroep 'Houtconstructies' van professor A.J.M. Jorissen. Voor het afstudeerproject is een samenwerking aangegaan met Unidek B.V. te Gernert Unidek bv. te Gernert Unidek B.V. is een bedrijf uit Gernert (Noord Brabant) dat zich richt op het ontwikkelen en produceren van bouwproducten. Het bedrijf is ontstaan uit de handelsonderneming in hout- en bouwmaterialen Gebr. Van Dijk dat in 1969 is opgericht door de toen vijfentwintigjarige Hendrik van Dijk. Drie jaar na oprichting startte het bedrijf met de productie van Extruded Polystyreen (EPS), in de volksmond oak wet bekend als 'tempex' of 'piepschuim'. n 1977 ontwikkelde Unidek het eerste zelfdragende isolerende sandwichelement voor hellende daken. Hiemaast bestaat het assortiment nu onder andere uit vloer- dak- en gevelisolatie van EPS, EPS funderingsbekistingen, EPS-elementen voor in combinatievloeren (zogenaamde broodjesvloeren), prefab dakelementen zoals de zogenaamde scharnierkappen en grondaanvullingen in EPS. n 23 is het bedrijf overgenomen door CRH Nederland. Deze onderneming is een onderdeel van 'CRH Europe Products & Distribution'. CRH is gespecialiseerd in de productie, distributie en handel van bouwmaterialen. Het hoofdkantoor is gevestigd in Dublin, lerland. De activiteiten vinden verspreid over 31 anden plaats. Er werken ruim 9. medewerkers in meer dan 3.3 locaties wereldwijd. Met een productiecapaciteit van zo'n 3,5 miljoen m 3 per jaar mag Unidek B.V. zich thans de grootste producent van EPS in de Benelux en een van de grootste ter wereld noemen. De onderneming is in Europa de meest toonaangevende producent op het gebied van zelfdragende isolerende elementen voor hellende daken. Voor het afstudeerproject is een werkplek ingericht op de Research en Development (R&D) afdeling bij Unidek B.V. in Gernert. De R&D afdeling maakt onderdeel uit van projectbureau BCC, de afdeling die verantwoordelijk is voor de engineering van hellende daken. Het afstudeerproject richt zich specifiek op sandwichelementen toegepast als hellende daken in de woningbouw zoals afgebeeld in Figuur 1.1 a. Deze sandwichelementen zijn opgebouwd uit een onder- en bovenhuid van spaanplaat en een kern van EPS, zie Figuur 1.1 b. De onderzijde van het element is afgewerkt met een witte folie en de bovenzijde is afgewerkt met een groene folie voorzien van het Unidek B.V. logo. CJ spaanplaat PS c:::::::j EPS 6 Figuur 1.1 b: Sandwichconstructie.

13 1.2 Ontwikkeling van de sandwichconstructie Het vliegtuig 'Mosquito uit de tweede wereldoorlog wordt vaak aangehaald als eerste op grate schaal toegepaste sandwichconstructie [1]. Door de wedloop in de vliegtuigbouw is gezocht naar een constructie met hoge stijfheid en sterkte en een laag eigen gewicht. Bij een op buiging belaste massieve doorsnede wordt aileen het materiaal in de uiterste vezel volledig benut. Terwijl de volledige doorsnede bijdraagt aan het gewicht. De massieve doorsnede is op twee manieren te optimaliseren: door het materiaal dat niet volledig wordt benut weg te hal en of te vervangen door een materiaal met een zeer laag eigen gewicht. lndien het materiaal in het hart wordt vervangen door een icht materiaal ontstaat de sandwichconstructie. Deze constructie bestaat uit een relatief dikke kern van een icht materiaal met aan de boven- en onderzijde een dun materiaal met een in verhouding tot de kern een zeer hoge (trek- en druk-) stijfheid en (trek- en druk-) sterkte. De twee buitenlagen, de onder- en bovenhuid, worden met een lijmverbinding verbonden aan de kern. Van Dale zegt over de term 'sandwich' het volgende: sand wich (dem; sandwiches) 1 twee dunne sneetjes brood met beleg ertussen 2 (in Belgie) zacht puntbroodje 3 (sport) (ongeoorloofde) vorm van mandekking, waarbij een speler tussen twee tegenspelers gemangeld wordt Uit: [2]. De term 'sandwich' duidt er dus op dat een object of persoon aan twee zijden wordt ingesloten door een ander object of persoon. Vandaar dat de zojuist beschreven constructie, bestaande uit een kern en twee identieke materialen aan de buitenzijde, in de dagelijkse praktijk wordt aangeduid met de term 'sandwichconstructie'. Reeds voor de tweede wereldoorlog zijn er op kleine schaal enkele sandwichconstructies toegepast. Bij deze eerste ontwikkelingen van de sandwichconstructie wordt de kern gemaakt van bijvoorbeeld kurk, balsa hout en rubber. Later is oak karton in de vorm van een honingraat toegepast als kern. n 1951 wordt in een Duits laboratorium van BASF een nieuw materiaal ontdekt, onder de naam styropor wordt het op de markt gebracht. Dit materiaal, wat wij nu kennen als EPS: Extruded polystyreen wordt al snel grootschalig geproduceerd. EPS wordt gemaakt van de vloeistof monostyreen, een aardolieproduct. Van deze vloeistof worden bolletjes, met een doorsnede van,5 mm, expandeerbaar polystyreen gemaakt met daarin de vloeistof pentaan. Onder stoomdruk wordt het polystyreen week en het pentaan gasvorming, waardoor het bolletje wordt 'opgeblazen' tot een diameter van ongeveer 5 mm. n een autoclaaf worden de bolletjes nogmaals onder stoomdruk aan elkaar gehecht tot blokken, platen of vormdelen. Het materiaal EPS bestaat voor 98% uit ucht en voor 2% uit polystyreen. Door de stilstaande ucht is het uitstekend geschikt als isolatiemateriaal. Omdat het eigen gewicht gering is, maar het materiaal voldoende stijfheid bezit is het uitermate geschikt als kern in een sandwichconstructie. Met de prefabricage van bouwelementen in de jaren zestig doet de sandwichconstructie oak zijn intrede in de bouw. Sindsdien worden sandwiches met stalen huiden toegepast voor industriele toepassingen en de sandwich met een huid van houtachtig plaatmateriaal zoals OSB, multiplex en spaanplaat als hellende daken in de woningbouw. De ontwikkeling van de sandwichconstructie is naast de raket en de computertechnologie mede verantwoordelijk voor de succesvolle landing van de 'Apollo' op de maan op 2 Juli De literatuur uit deze periode is dan oak vaak afkomstig van instituten met een achtergrond in de ucht- en ruimtevaart [3]. Literatuur uit een latere periode is vaak afkomstig van instituten met een bouwkundige en- of civieltechnische achtergrond, bijvoorbeeld [4] en [1] Toetsen van bouwconstructies Het toetsen van een bouwconstructie moet uitgevoerd worden volgens de geldende normen. Momenteel vindt er een overgang plaats van de huidige norm Technische Grondslagen Bouwconstructies (TGB's) naar de nieuwe norm: de Eurocode. De TGB is geldig tot 15 januari 21. Vanaf 15 januari 28 is het toegestaan om bouwwerken volgens de Eurocode te toetsen. n het overgangsgebied, dus van 1 januari 28 tot 1 januari 21, is het toegestaan om van beide normen gebruik te maken. De opzet van beide normen is grotendeels gelijk aan elkaar. Een bouwconstructie wordt getoetst aan de uiterste grenstoestand (ugt) en een bruikbaarheids grenstoestand (bgt). n de uiterste grenstoestand wordt, bij de te verwachten maximale belasting tijdens de levensduur van het gebouw, de constructie getoetst op sterkte en stabiliteit. De vervormingen spelen hierbij geen rol, deze worden gecontroleerd in de bruikbaarheids grenstoestand. Deze laatste controle wordt uitgevoerd bij een momentane belasting, wat wil zeggen een te verwachten overwegend aanwezige belasting tijdens de levensduur van het gebouw.

14 n de praktijk komt het erop neer dat constructies in de uiterste grenstoestand worden gecontroleerd op het overschrijden van maximaal toelaatbare spanningen en op stabiliteit. De maximale spanningen worden gecontroleerd aan de hand van de dwarskrachten- en momentenlijn. n principe maakt de sandwich, zoals toegepast in dit afstudeeronderzoek geen deel uit van de hoofddraagconstructie. Het zelfdragende element heeft dus geen stabiliserende functie in de totale constructie en wordt niet belast door andere constructiedelen. De sandwich moet echter wei in staat zijn om in de uiterste grenstoestand zijn dragende functie te blijven vervullen. Lokaal bezwijken, met verlies van de zelfdragende functie tot gevolg, mag dus niet optreden. De vervormingen spelen in de uiterste grenstoestand geen rol, deze worden gecontroleerd aan de voorgeschreven eisen in de bruikbaarheids grenstoestand. 1.3 lnvloed van de dwarskrachtstijfheid Bij een reguliere constructie bestaande uit kolommen en balken van beton, staal of hout speelt de vervorming van een constructieonderdeel ten gevolge van de dwarskracht een aan buiging ondergeschikte rol. De dwarskrachtstijfheid van dit type constructies is dermate groat dat vervormingen ten gevolge hiervan verwaarloosbaar klein zijn. Bij een sandwichconstructie worden de afschuifspanningen voornamelijk door de kern opgenomen. De kern van de sandwichconstructie bestaat uit een zeer icht materiaal met een lage buigstijfheid en afschuifstijfheid ten opzichte van de materialen beton, staal en hout. Zie oak Tabel 1.1. sy een reguliere houtconstructie opgebouwd uit slanke balken van bijvoorbeeld C18 ( G = 56 N/mm ) is het aandeel dwarskrachtvervorming in de totale vervorming, bij een gelijkmatig verdeelde belasting en een overspanning van drie meter, ongeveer 3%. n de praktijk worden deze vervormingen niet meegenomen voor het berekenen van de vervormingen in de bruikbaarheids grenstoestand. De invloed van de dwarskrachtvervorming bij deze constructies op de dwarskrachten- en momentenlijn zijn nauwelijks van invloed. Materiaal: Staal S235 Beton 825* Hout C18 met: '~= 285 G rep v=,15 G ser ;rep Afschuifstijfheid in N/mmL Tabel 1.1: Afschuifstijfheid verschillende material en. Uit [5] en (6]. *uitgaande van isotroop materiaal. EPS 6 G.ser ;rep 1,8 Voor veel reguliere constructies wordt daarom gebruik gemaakt van de elementaire buigingstheorie. De elementaire buigingstheorie is gebaseerd op de hypothese van Bernoulli. Deze luidt: 'vlakke doorsneden blijven na belasten vlak en loodrecht op de as van de ligger' Met deze aanname wordt verondersteld dater geen vervorming door dwarskracht optreedt. Binnen deze theorie ontstaan er aileen vervormingen door kromming. Echter door de lage afschuifstijfheid van het EPS, zoals aangegeven in Tabel 1.1, is het aandeel dwarskrachtvervorming in de totale vervorming van een sandwichconstructie aanzienlijk. Voor een statisch bepaalde constructie, zoals toegepast in de praktijk, is het aandeel dwarskrachtvervorming ongeveer 3% (berekend bij een overspanning van 3 meter). Bij statische onbepaalde constructies is de dwarskrachtstijfheid van de sandwichconstructie niet aileen van invloed op de vervormingen, maar oak op de totale krachtsverdeling. De totale vervorming bestaat dus niet aileen uit buiging zoals aangegeven in Figuur 1.2a maar oak uit dwarskrachtvervorming zoals aangeven in Figuur 1.2b op de volgende bladzijde. De hypothese van Bernouilli en daarmee de buigingstheorie gaat zodoende niet op voor sandwichconstructies. q mrrrrrrn rrmt11]. q v v Figuur 1.2: (a) buiging, (b) afschuiving. (b)

15 De afschuifstijfheid van de kern, in dit project gemaakt van EPS, kan niet als oneindig stijf worden aangenomen. De kern zal daarom ten gevolge van de dwarskracht een niet te verwaarlozen vervormen ondergaan. lndien het materiaal in de kern eenzelfde (hogere) afschuifstijfheid heeft als het materiaal in de huiden zal er geen dwarskrachtvervorming in de kern optreden. Dit is weergegeven in Figuur 1.3b. De sandwichconstructie zal vervormen zoals weergegeven in Figuur 1.3a [7]. F we/ afsclmifoervorming in de kern < G, < x t 1 ~ (a) ~ scharnier A roloplegging c:::=:j kern c::::j] huid geen afschuifi:ervorming in de kern G, =X (b) ' Figuur 1.3: Sandwichtheorie. 1.4 Classificatie van balken Balktheorieen n de literatuur worden een drietal verschillende balktheorieen beschreven [8]. Deze balktheorieen beschrijven de vervormingen dwars op de lengterichting van de balk. Oplopend in nauwkeurigheid worden genoemd de Euler-Bernoulli balktheorie, de eerste orde 'vervorming met afschuiving' balktheorie van Timoshenko en tot slot de derde orde balktheorie van Reddy and Bickford. De twee laatste balktheorieen nemen het effect van vervorming door afschuiving mee in de afleidingen welke is verwaarloosd in de balktheorie volgens Euler-Bernoulli. De theorie volgens Timoshenko neemt een constante rek door afschuiving aan, dus een constante schuifspanning, over de hoogte van de balk. lndien deze rek over de hoogte niet constant is, zoals bijvoorbeeld het parabolisch verloop bij een rechthoekige massieve doorsnede, wordt de effectieve doorsnede berekend met: ( 1.1) Waarbij k 1 de dwarskracht-vormfactor is voor het verdisconteren van de werkelijke schuifspanningsverdeling over de doorsnede. Voor een rechte doorsnede geldt bijvoorbeeld k, =615. Waarden voor andere typen doorsnede worden gegeven in [9]. Voor sandwichelementen worden geen waarden gegeven voor de dwarskracht-vormfactor. Het gebruik van de dwarskracht-vormfactor wordt vermeden door meteen de effectieve dwarskrachtstijfheid van de sandwichconstructie te berekenen. Dit is mogelijk door de schuifspanning over de kern als constant aan te nemen, zoals aangegeven in Figuur De afschuifstijfheid van de sandwich is nu te berekenen door het oppervlak van de kern plus de helft van het oppervlak van de huid te vermenigvuldigen met de afschuifstijfheid van de kern. Dit geeft een ondergrens voor de afschuifstijfheid van de sandwich en is gebruikelijk binnen de sandwichtheorie. Op andere, hogere orde theorieen, voor het bepalen van de afschuifstijfheid wordt ingegaan in hoofdstuk 2. De derde orde balktheorie volgens Reddy and Bickford breidt de Timoshenko balktheorie verder uit door niet uit te gaan van een constante schuifspanningsverdeling over de doorsnede. Hogere orde balktheorieen dan de derde orde worden nauwelijks toegepast omdat de nauwkeurigheid van de oplossing niet opweegt tegen de inspanning die benodigd is om de extra vergelijkingen op te lassen. Bij toepassing van de sandwichtheorie zoals beschreven in paragraaf 1.4 wordt aangenomen dat de eerste orde 'vervorming met afschuiving' balktheorie van Timoshenko geldig is. Deze Timoshenko balktheorie is over het algemeen geschikt om balken met dwarskrachtvervorming voldoende nauwkeurig te kunnen beschrijven. J.

16 1.4.2 Overzicht van de verschillende balktheorieen toegepast op sandwichconstructies De theorie voor balkconstructies kan worden onderverdeeld naar een homogene en inhomogene doorsneden en een al dan niet gelaagde opbouw. Het berekenen van balkconstructies kan nu als volgt geschematiseerd worden: Balk met homoqene doorsnede Z6nder dwarskrachtvervorming----. Euler-Bernoulli balktheorie (aileen El) Met dwarskrachtvervorming: o Timoshenko balktheorie, constante schuifspanning over de dikte ( El en GA ) o Reddy -Bickford balktheorie, varierende schuifspanning over de dikte ( El en GA ) Balk met inhomogene gelaagde doorsnede Z6nder dwarskrachtvervorming----. Euler-Bernoulli balktheorie met inhomogene doorsnede ( ] 11 ) Met dwarskrachtvervorming o n kern en huiden o Aileen in kern: - Sandwichbalk met '(zeer) dunne huid' Timoshenko balktheorie ( 1,, + GA,, ~ - Sandwichbalk met 'dikke huid' Binnen dit verslag wordt aileen uitgegaan van sandwichconstructies met 'dunne huiden' berekend volgens de Timoshenko balktheorie. De sandwichconstructie zoals toegepast in dit project wordt dan ook in het vervolg aangeduid als een Timoshenko sandwichbalk. 1.5 Vervormingen van Timoshenko sandwichbalken Sandwichtheorie volgens de Timoshenko balktheorie Het grate verschil met de theorie voor een rechthoekige massieve doorsnede is dat bij een sandwichconstructie de afschuivingsvervorming niet verwaarloosd mag worden. De zogenaamde sandwichtheorie houdt hier rekening mee. De buiging wordt opgenomen door de huiden, waarbij wordt aangenomen dat de afschuifstijfheid oneindig is. De dwarskracht wordt opgenomen door de kern, waarbij de buigstijfheid oneindig wordt aangenomen. De buiging wordt dus opgenomen in de huiden en de dwarskracht in de kern. Dit principe is weergegeven in Figuur 1.4. F -l\ aileen buiging in de h1tiden aileen dwarskrachtvervorming in de kern Figuur 1.4: Sandwichtheorie: opname moment door de huiden en dwarskracht door de kern. Het principe van de sandwichtheorie voor sandwiches met zogenaamde 'dunne huiden', zoals toegepast binnen dit project, wordt door verschillende personen beschreven. Onder andere door Davies [1], Plantema [3], Jungbluth & Berner[4], Allen [1] en Stamm & Witte [11]. De theorie wordt dan ook algemeen aanvaard. De toegepaste theorie is gebaseerd op de balktheorie volgens Timoshenko [9, 12, 13]. Deze balktheorie gaat uit van een ligger geschematiseerd door een systeemlijn met buigstijfheid, aangeduid met El, en een afschuifstijfheid, aangeduid met GA. lndien in het vervolg van het verslag over sandwichconstructies wordt gesproken worden sandwichconstructies berekend volgens de Timoshenko balktheorie bedoeld. Deze sandwichconstructies worden dan ook wei aangeduid als een Timoshenko sandwichbalk. ld!"'q

17 1.5.2 Vervorming van statisch bepaalde Timoshenko sandwichconstructies De referenties uit de vorige paragraaf beschrijven dat bij statisch bepaalde constructies de dwarskrachtvervorming bij de buigingsvervorming gesuperponeerd mag worden. De totale doorbuiging van een sandwichconstructie kan dan schematisch worden weergeven zoals in Figuur 1.5 hieronder. r 1 = X: G...l = x: El +G.-i ll' ~ + 11' ~ + l l' ~ + Figuur 1.5: Superpositie van buigings- en dwarskrachtvervorming. De knik onder de puntlast kan aileen ontstaan bij een sandwich waarvan de 'eigenbuiging' van de huiden een verwaarloosbare bijdrage aan de totale buigingstijfheid evert. Voor aile referenties geldt dan ook dat de theorie aileen geschikt is voor sandwiches met zogenaamde 'dunne huiden'. De totale vervorming bij statisch bepaalde sandwichconstructies kan nu als volgt berekend worden: (1.2) Met: W 11 wm wv totale vervorming in mm. doorbuiging ten gevolge van buiging in mm. doorbuiging ten gevolge van dwarskracht in mm Vervorming van statisch onbepaalde Timoshenko sandwichconstructies Het bepalen van de vervormingen van statisch bepaalde sandwichconstructies is betrekkelijk eenvoudig. Bij een ligger over meer dan twee steunpunten wordt de constructie echter statisch onbepaald. Dit wil zeggen dat de krachtsverdeling afhankelijk wordt van de stijfheid van de ligger. Dit principe is goed voor te stellen door te kijken naar het middensteunpunt van een ligger op drie steunpunten, zoals afgebeeld in Figuur 1.6b hieronder. /~ q (a) i statisch bepaald (b) Ji (c) _ q ----~--- i Figuur 1.6: Statisch bepaald en statisch onbepaald. i statisch onbepaald Wat gebeurt er als dit middensteunpunt gaat zakken zoals afgebeeld in Figuur 1.6c? Zal de ligger verplaatsen en op het steunpunt gaan rusten, en zo ja hoeveel rust de ligger dan op de oplegging? Of zal de ligger boven het steunpunt blijven zweven? Dit alles is afhankelijk van de stijfheid van de ligger. Bij een rechthoekige massieve doorsnede van beton, staal of hout geldt de hypothese van Bernoulli en wordt deze stijfheid aileen afhankelijk van de buigstijfheid verondersteld. Oplossingen hiervoor zijn te vinden in menig tabellenboek (5, 14]. Bij een sandwichconstructie is deze stijfheid echter niet aileen afhankelijk van de buigstijfheid maar 66k van de afschuifstijfheid. Dit maakt het niet eenvoudig om het

18 gedrag van statisch onbepaalde sandwichconstructies te voorspellen. Hierin zit hem dan oak de moeilijkheid bij het berekenen van sandwichconstructies. De eenvoudigste en meest toegepaste methode voor het analyseren van statisch onbepaalde sandwichconstructies wordt beschreven door Berner [7]. Deze methode werkt als volgt. Met behulp van een dimensielose factor k wordt de volgende verhouding beschreven: 3 k = / (1.3) GA/ 2 Met deze factor worden vervolgens de reactiekrachten, momenten en doorbuiging bepaald met de formules in Tabel 1.2. De juistheid van deze formules wordt in paragraaf 3.7 aangetoond. R eindoplegging < q. q A 1 A A 1 A A A l ql ql {1--1-) ql {1--1-) k 2 5+2k Rmiddensreunpunt - q/{1+-1-) q/{1+-1-j 4+4k 1+4k Mveld q/ M midden:rteunpunt - ~{-1 J -qf (-1 J 8 1+k 1+4k 5 / 4 qt 1 ( 2) qt 1 ( 2) wmax _q- (1+3 2 k) :;::, k+2k :;::, k+2k 384 / ' 48 / 1+k ' ' k ' ' Tabel1.2: Methodevolgens Berner[?]. 1.6 Aanleiding van het onderzoek n de voorgaande paragraaf is de huidige stand van de techniek beschreven. Door Bernerwordt een methode geschikt voor handberekening beschreven voor het bepalen van de sterkte en stijfheid van statisch onbepaalde Timoshenko sandwichconstructies. Het is echter aileen mogelijk om twee- en drieveldsoverspanningen te berekenen met gelijke overspanningen. Wordt van deze geometrie afgeweken dan moet er worden overgestapt op een eindige elementenprogramma of wordt de constructie berekend door deze op zeer vereenvoudigde wijze te schematiseren. Bijvoorbeeld door van een meerveldsoverspanning met ongelijke overspanningen de grootste overspanning te beschouwen als eenveldsoverspanning. De eerste oplossing is duur en werkt omslachtig doordat de controles volgens de norm niet eenvoudig zijn uit te voeren en de tweede leidt door de grove benadering tot een oneconomische constructie. Momenteel is het niet mogelijk om met een eenvoudige handberekening de volgende constructies te analyseren : Meerveldsoverspanningen met ongelijke velden en ongelijke belastingen, bijvoorbeeld door het aanbrengen van een dakkapel. Constructies met uitkragingen zoals bij dakoverstekken. Constructies waarbij een belasting wordt aangebracht in de vorm van een puntlast zoals voorgeschreven in de normen ten gevolge van een manlast. Naast deze tekortkomingen geeft de methode volgens Berner aanleiding tot een aantal vragen. De methode is aileen geschikt voor sandwiches met 'dunne huiden'. Wanneer dit geldig is wordt niet aangegeven. n de literatuur [1] en ook door Bernerzelfwordt aangegeven dat de methode een benaderingsoplossing is. Waarom dit zo is en of het een goede benadering is wordt niet aangegeven. De vragen over de methode val gens Berner en de genoemde tekortkomingen zijn aanleiding geweest om een onderzoeksproject op te starten. 1.7 Probleemstelling en onderzoeksopdracht Probleemstelling De methode beschreven door Berner is geschikt voor handberekeningen. Wordt er afgeweken van de voorgeschreven geometrie en belastingen dan moet er worden uitgeweken naar eindige elementenprogramma's. Het is niet mogelijk om statisch onbepaalde sandwichconstructies die niet lr* ding

19 voldoen aan de voorgeschreven geometrie en belastingen volgens Berner te analyseren met een eenvoudige handberekening Onderzoeksopdracht De in paragraaf aangehaalde probleemstelling leidt tot de volgende onderzoeksopdracht: ' Ontwikkel een algemene rekenmethode om de dwarskrachten, momenten en vervormingen van statisch onbepaalde Timoshenko sandwichconstructies met ongelijke overspanningen, overstekken en puntlasten te analyseren middels een handberekening ' Naast het beantwoorden van de onderzoekvraag wordt er een experimenteel onderzoek opgestart. Het doel van het experimenteel onderzoek is tweeledig. Enerzijds worden de vervormingen gemeten en vergeleken met de theorie en anderzijds wordt een verkennend onderzoek uitgevoerd naar de bezwijkmechanismen van sandwichconstructies zoals toegepast in dit project. Uit de onderzoeksopdracht en de vragen voortvloeiend uit het experimenteel onderzoek kunnen meerdere deelvragen geformuleerd worden. Deze deelvragen zijn: s het mogelijk om meerveldsoverspanningen van sandwichpanelen met ongelijke velden en ongelijke belastingen op eenvoudige wijze te berekenen, en zo ja hoe? (berekend volgens Timoshenko balktheorie) s het mogelijk om overstekken van sandwichconstructies op eenvoudige wijze te berekenen, en zo ja hoe? (berekend volgens Timoshenko balktheorie) s het mogelijk om belasting in de vorm van een puntlast bij sandwichpanelen op eenvoudige wijze te berekenen, en zo ja hoe? (berekend volgens Timoshenko balktheorie) Wat is de nauwkeurigheid van de benaderingsmethode volgens Berner? Hoe be'invloeden de dwarskrachtvervorming en buigingsvervorming elkaar bij statisch onbepaalde sandwichconstructies? (berekend volgens Timoshenko balktheorie) Wat zijn de bezwijkmechanismen van sandwichpanelen zoals toegepast binnen dit project. Wat is de invloed van de dikte van de huiden op het constructief gedrag? Kan het theoretisch onderzoek worden bevestigd met behulp van experimenteel onderzoek? 1.8 Onderzoeksdoel, onderzoeksmethodiek en afbakening onderzoek Onderzoeksdoel Het doel van dit onderzoek bestaat uit een aantal onderdelen. Deze zijn: Het ontwikkelen van een voor handberekening geschikte methode voor het beschrijven van dwarskrachten, momenten en vervormingen van statisch onbepaalde sandwichconstructies anders dan voor twee- en drieveldsoverspanningen met een gelijkmatig verdeelde belasting en gelijke overspanningen. (berekend volgens Timoshenko balktheorie) Bepalen tot in hoeverre de sandwichtheorie voor 'dunne huiden' (gebaseerd op de Timoshenko balktheorie) geschikt is voor sandwichconstructies voor huiden met een grotere dikte dan 'heel erg' dun. Bepalen van de nauwkeurigheid van de benaderingsmethode volgens Berner voor de vervormingen van statisch onbepaalde constructies. Onderzoeken van de bezwijkmechanismen bij sandwichconstructies zoals toegepast binnen dit project. Onderzoeken of de resultaten van het experimenteel onderzoek overeenkomen met de nieuw te ontwikkelen methode. Bevestigt experimenteel onderzoek de theorie? Onderzoeksmethodiek Er wordt gestart met een literatuuronderzoek naar de materiaaleigenschappen van de materialen uit de sandwich en de verschillende balktheorieen. Aan de hand van deze theorie wordt een nieuwe methode ontwikkeld die voldoet aan de gestelde voorwaarden in de onderzoeksvraag en aansluit bij de bestaande (sandwich)theorie. Vervolgens wordt er een experimenteel onderzoek opgestart. Binnen dit experimenteel onderzoek wordt de buig- druk- trekstijfheid en buig- druk- treksterkte bepaald van het spaanplaat en de afschuivingsmodulus van het EPS. Deze worden vervolgens vergeleken met de materiaaleigenschappen uit de literatuurstudie. Hierna wordt een statisch onbepaalde opstelling Huofds::.tk

20 ontworpen waar de vervorming van het sandwichpanelen wordt gemeten. Deze vervormingen worden vervolgens, met behulp van de experimenteel bepaalde eigenschappen, vergeleken met de uitkomsten volgens de theorie. Aan de hand van de uitkomsten wordt bekeken of het experimenteel onderzoek de theorie bevestigd Afbakening van het onderzoek Voor de uitvoering van het onderzoek gelden de volgende randvoorwaarden: De verplaatsing van de gordingen, die in de praktijk als ondersteuning voor de sandwichelementen dienen, wordt niet meegenomen in het onderzoek. Middensteunpunten worden beschouwd als een starre ondersteuning. De indrukking van het sandwichpaneel bij de steunpunten wordt niet meegenomen in de berekeningen. Dezelfde indrukking wordt ook niet meegenomen tijdens het verwerken van de resultaten van het experimenteel onderzoek. Er wordt aileen lineair elastisch gerekend (wet van Hooke is geldig). Aileen de vervormingen haaks op de lengterichting van het sandwichelement in verticale richting worden beschouwd. De plaat wordt hierbij ge"idealiseerd als een balk. Er wordt geen zadelbuiging meegenomen. Het is dus niet van belang of de toegepaste materialen isotroop zijn. Aileen de materiaaleigenschappen in de lengterichting van de overspanning worden in beschouwing genomen. Er wordt aangenomen dat het sandwichpaneel berekend mag worden als een balk in plaats van als een plaat. ndirect wordt hiermee dus verondersteld dat de toegepaste materialen isotroop zijn. Er wordt aileen gerekend met een korte duur belasting. Het materiaal EPS en in mindere mate het spaanplaat vertonen kruipgedrag. Duurproeven voor het bepalen van kruipcoefficienten nemen minimaal een jaar in beslag. De omvang en de duur van dit afstudeerproject zijn niet als zodanig om op dit onderwerp in te gaan. Mogelijke kruip van het EPS of spaanplaat wordt in dit project dan ook niet in beschouwing genom en. Om de resultaten van berekeningen en Ansys modellen eenvoudig met elkaar te kunnen vergelijken wordt voor de bruikbaarheidsgrenstoestand en uiterste grenstoestand een elasticiteitsmodulus aangehouden. Voor de berekeningen in de uiterste grenstoestand wordt gebruik gemaakt van de elasticiteitsmodulus in de bruikbaarheidsgrenstoestand. Voor houtconstructies wordt hiervoor het gemiddelde aangehouden. [15,16] De buigstijfheid en afschuifstijfheid is constant over de gehele lengte van het sandwichpaneel. Voor liggers over meerdere steunpunten geldt dus voor iedere overspanning eenzelfde buigstijfheid en afschuifstijfheid. Dakplaten toegepast als hellende daken in de woningbouw worden omwille van de afwatering van de dakpannen onder een hoek aangebracht. De belastingen ten gevolge van wind, sneeuw en personen hebben een verticale of horizontale richting en dus een component haaks op de lengterichting van het paneel en een component evenwijdig aan de lengterichting. n dit project wordt aileen uitgegaan van een belasting haaks op de lengterichting van het paneel, de belastingcomponent evenwijdig aan de lengterichting wordt niet meegenomen in dit project. Om deze reden en omwille van de eenvoud worden daarom de opstellingen en belastingen steeds in horizontale positie weergegeven. De belasting is steeds loodrecht. Consequentie van deze aanname is dat er niet wordt gerekend met drukkrachten, en de bijbehorende drukspanningen, in de lengterichting van het sandwichpaneel. Met het belastinggeval knik, en de zo ontstane vervormingen en aanvullende afschuifspanningen door deze drukkracht, wordt in dit project geen rekening gehouden. Vervormingen en spanningen door vocht en warmte worden niet meegenomen in dit onderzoek. Andere onderwerpen met betrekking tot warmte en vocht worden ook niet behandeld in dit afstudeerproject. Manlasten worden als puntlast geydealiseerd bij het schematiseren van de constructie. Binnen dit verslag wordt niet ingegaan op het werkelijke spanningsvertoop ter plaatse van de manlast. Er wordt uitgegaan van kleine rotaties. Maten in mm, tenzij anders vermeld. nlelcthg

21 1.8.4 Kolibrie 3.5 Binnen dit project wordt uitgegaan van het sandwichpaneel 'Kolibrie 3.5'. Dit paneel bestaat uit een boven- en onderhuid van 3, mm spaanplaat P5 en een kern van EPS 6 met een dikte van 137 mm. Voor verdere specifaties van het sandwichpaneel zie paragraaf De afmetingen van de 'Kolibrie 3.5' zijn weergegeven in Figuur 1.7 hieronder Figuur 1.7: Afmetingen Kolibrie 3.5. Laag 1: Bovenhuid, spaanplaat P5 Laag 2: Kern, EPS 6 Laag 3: Onderhuid, Spaanplaat P Opbouw rapport Het rapport is opgebouwd uit twee delen. n het eerste deel, hoofdstuk 2 en 3, wordt ingegaan op het theoretisch onderzoek. Hoofdstuk 2 bevat de eigenschappen van Timoshenko sandwichbalken. n hoofdstuk 3 wordt de hoofdvraag verder uitgewerkt. Het tweede deel gaat in op het experimenteel onderzoek. Voor beide delen is de literatuur, met daarbij de verwijzingen, apart opgenomen. Voor het theoretisch onderzoek is de opgenomen literatuur verwerkt in hoofdstuk 2. Aan het eind van het rapport zijn de voornaamste conclusies en aanbevelingen opgenomen. ) ~-' ' c.f1stuk

22 2 Timoshenko sandwichbalken 2.1 lnleiding n dit hoofdstuk wordt de Timoshenko sandwichtheorie beschreven. n paragraaf 2.2 worden inhomogene gelaagde constructies geclassificeerd. Vervolgens worden in paragraaf 2.3 de voorwaarden voor een sandwichconstructie beschreven om deze te kunnen berekenen volgens de Timoshenko sandwichtheorie. Deze voorwaarden worden vervolgens toegepast op de in dit project toegepaste sandwichconstructie de 'Kolibrie 3.5' van Unidek B.V [17]. Vervolgens wordt in paragraaf 2.4 beschreven hoe de doorsnede-eigenschappen bepaald kunnen worden voor een Timoshenko sandwichbalk. Voor dezelfde constructie wordt in de laatste paragraaf beschreven hoe de verschillende spanningen kunnen worden bepaald. 2.2 Classi"ficatie van inhomogene gelaagde constructies Balktheorieen n deze paragraaf worden de verschillende balktheorieen behandeld voor het berekenen van constructies waarvan de lengte groat is ten opzichte van de breedte en dikte. De tekst en de overgenomen benamingen zijn grotendeels gebaseerd op het boek: 'shear deformable beams and plates' van Wang [8]. n de volgende paragraaf worden deze theorieen toegespitst op inhomogene constructies opgebouwd uit drie lagen, de zogenaamde sandwichconstructie. De eerste en eenvoudigste balktheorie is de eerste orde balktheorie van Euler-Bernoulli oak wei de elementaire balktheorie genoemd. Deze buigingstheorie is erop gebaseerd dat vlakke doorsneden na belasten vlak blijven en bij optredende rotaties loodrecht op de as van de ligger blijven georienteerd.. Zie Figuur 2.1 a. Binnen deze theorie treedt enkel en aileen buiging op en wordt de vervorming door dwarskracht verwaarloosd. Deze theorie is het over het algemeen geschikt voor slanke balkconstructies. Gedrongen balken en sandwichconstructies kunnen vanwege de dwarskrachtvervorming niet met deze theorie worden beschreven. De eerste orde balktheorie met dwarskrachtvervorming is de balktheorie volgens Timoshenko [13]. Deze balktheorie, zoals de benaming al aangeeft, neemt wei dwarskrachtvervorming mee. De tweede aanname bij de Euler-Bernoulli balktheorie, doorsneden blijven bij optredende rotaties loodrecht op de as van de ligger, wordt hiermee losgelaten. De eerste voorwaarde, doorsneden blijven vlak, blijft echter gewoon geldig. Zie Figuur 2.1 b. Binnen deze theorie wordt een constante afschuifrek, en dus een constante spanning, over de hoogte van de doorsnede aangenomen. Het werkelijke verloop van de afschuifrek over de hoogte van de doorsnede wordt verdisconteerd met behulp van dwarskrachtvormfactoren. Zie formule (1.1 ). Voor rechthoekige doorsneden is deze bijvoorbeeld 6/5. Voor meer informatie over dwarskracht-vormfactoren zie [9, 18]. Deze balktheorie is wei geschikt voor sandwichconstructies. Het gebruik van dwarskrachtvormfactoren wordt binnen dit project omzeild door meteen de dwarskrachtstijfheid van een doorsnede te berekenen. n de derde orde balktheorie van onder andere Reddy en Bickfordwordt afgeweken van de aanname van een constante afschuifrek over de hoogte van de doorsnede. De doorsnede zal gaan welven. Zie Figuur 2.1 b. Hiermee wordt de eerste eis van Bernouilli, doorsnede blijven vlak, oak losgelaten. Het gebruik van dwarskracht-vormfactoren is binnen deze balktheorie niet meer nodig. Deze theorie is oak geschikt voor het beschijven van sandwichconstructies met dikke huiden. Hogere orde theorien dan de derde orde worden zelden gebruikt omdat de extra verkregen nauwkeurigheid niet opweegt tegen de geleverde inspanning. De Timoshenko balkteorie is voor gebruik in de praktijk geschikt voor het beschrijven van sandwichconstructies met 'dunne huiden'. De in dit project toegepaste theorie is volledig gebaseerd op de Timoshenko balktheorie. n de komende paragrafen wordt aangetoond waarom dit is toegestaan voor de 'Kolibrie 3.5'. Voor een afbeelding van de verschillende balktheorieen, met de daarbij horende vervormingen van de doorsnede, zie Figuur 2.1 op de volgende bladzijde.

23 .:-.v '!'----' -".... 1". 11 '..:::) ( o) 11/er -Berno11//i Balkiheorie (b) Timoshi!nko Balki/Jeorie (c) Redd1 - Bid1imi Balkilteoril! 1' ' Figuur 2.1: Euler-Bernouilli, Timoshenko en Reddy-Bickford balktheorie. De symbolen Figuur 2.1 stellen het volgende voor: r hoekverdraaing ten gevolge van dwarskracht, de zogenaamde afschuifhoek. totale hoekverdraaing volgens Timoshenko balktheorie: =f/+ Y. f/ hoekverdraaing ten gevolge van buiging, de zogenaamde buigingshoek Tekenafspraken n dit verslag is gebruik gemaakt van een rechtsdraaiend assenstelsel. De snedekrachten zijn hierbij positief zoals weergegeven in Figuur 2.2 hieronder. 1'. 11'.:-.v r------'- '... '---.L positieve snedelmtchten <""1:::...:..., ~, ' M r:::// ;r> t'vl '( v ~ mrrrrrm 1 </ --.. X. / ! \1 Figuur 2.2: Tekenafspraken- positieve snedekrachten. Een positief moment geeft bij een positief snedevlak een trekspanning in het gedeelte van de doorsnede met een positieve y-coordinaat. Een positieve snede wordt hierbij gedefinieerd als een vlakje in de richting van de positieve x-coordinaatas. De richting met de klok mee is in dit assenstelsel vastgesteld als een positieve hoekverdraaiing. Op de x-as wordt de verplaatsing aangeduid met u. Op de y-as wordt de verplaatsing aangeduid met w. Op de z-as wordt de verplaatsing aangeduid met v. rcjqfastl _

24 2.2.3 Balktheorieen toegepast op sandwichconstructies Voor een sandwichconstructie kunnen nu de snedekrachten per laag worden aangegeven zoals weergegeven in Figuur 2.3 hieronder. breedte h, hreedre h, breedte b, A 1 ==h, d, A,== h, d,,1,, == h,. d_; == 1/ h d' /12 1, == ){2. h,. d;' - 1/ h d ' '-112" '. ' materiualojinetingen positieve doorsnede - eigenschappen snedegrootheden eigenschappen Figuur 2.3: Materiaaleigenschappen, snedegrootheden en doorsnede-eigenschappen sandwichelementen. lndien er geldt: G, = G 2 = G 3 = oo (2.1) Hebben we te maken met een Euler-Bernoulli balk met inhomogene doorsnede ( E 11 ) n perking Neem aan: G, = G 3 = oo -> geen dwarskrachtvervorming huiden E 2 == ( N 2 == en M 2 == ) -> kern draagt niet bij aan buigstijfheid en axiale stijfheid sandwichconstructie ('anti plane core' zie Allen [1 OJ) C/assificering binnen inperking Binnen de inperking uit paragraaf kan de volgende classificering worden gemaakt: 'zeer dunne huid': Y == Y 2,, == 3 = -> M, = M 3 = Timoshenko bal ktheorie: 4 e orde DV met Eitot, GA,ot 'dunne huid': y ot- y 2,, = 3 == -> M, = M 3 = Ti moshen ko bal ktheorie: 4 e orde DV met Eitot, GA,ot, 'dikke huid': y ot- y 2,, ot-, 3 ot- -> M, ot- O(M 3 ot- 6e orde DV, inclusief 'eigenbuiging' van de huiden, DV= differentiaalvergelijking. lndien we te maken hebben met een ~andwichconstructie met een zogenaamde 'dunne huid' is het toegestaan om deze te berekenen met de Timoshenko balktheorie. n de voorgaande opsomming vet weergegeven. De sandwichconstructie met een 'zeer dunne huid' of 'dunne huid' wordt aangeduid als een Timoshenko sandwichconstructie. n de volgende paragraaf wordt aangegeven waaraan deze constructie moet voldoen. 2.3 Voorwaarden voor geldigheid Timoshenko sandwichtheorie Randvoorwaarden classificering sandwiches volgens Allen. Uit [1 ] De totale buigstijfheid van een symetrisch sandwichprofiel kan berekend worden volgens: E = E. bd, 13 +E. bd113e 2 +E. bd/ tot 1/J ll (2.2) Verondersteld dat, == 3 en d, = d 3 De eerste term in formule (2.2) is de 'eigenbuiging' en de tweede term de 'steinerbuiging' van de huiden. De laatste term is de 'eigenbuiging' van de kern. De tweede term is dominant bij sandwiches. De eerste term uit formule (2.2) is minder dan 1% van de tweede term als geldt: 3 (_.!.._] 2 > 1 di/j of e ->5,77 di/j (2.3) T.mosnHnKc S3nO'Ai icntalken L

25 De derde term uit formule (2.2) is minder dan 1% van de tweede term als geldt: 6., /3. d 113. [.!._] 2 > 1 2 d2 d2 (2.4) lndien wordt voldaan aan formule (2.3) en (2.4) mogen de termen consequent verwaarloosd worden. De verhouding tussen de maximale en de minimale afschuifspanning in de kern wijkt niet meer dan 1% van elkaar af en kan dus als constant worden aangenomen als geldt: d 113..!... > 1 (2.5) 2 d2 d2 lndien aan deze voorwaarde wordt voldaan hebben we te maken met een 'anti plane core' waarbij de afschuifrek en dus de afschuifspanning over de hoogte van de kern als constant kan worden beschouwd. Omdat el d 2 gewoonlijk dicht bij een ligt komen formule (2.4) en (2.5) op hetzelfde neer. n [1] wordt dan ook het volgende geconcludeerd: 'where a core is too weak to provide a significant contribution to the flexural rigidity of the sandwich, the shear stress may be assumed constant over the depth of the core'. Dus als de bijdrage van de kern aan de buigstijfheid minimaal is dan kan de afschuifspanning over de hoogte van de kern als constant worden aangenomen. lndien niet wordt voldaan wordt aan: _e_ > 1 (2.6) d l/3 Maar aan: e 1 > - > 5,77 d,/3 (2.7) Dan is de theorie voor sandwiches met 'dunne huiden' wei geldig, en daarmee ook de Timoshenko sandwichtheorie, maar moet het oppervlak voor het bepalen van de afschuifstijfheid, volgens Allen, als volgt bepaald worden: bd 2 A=- (2.8) d2 lndien niet wordt voldaan aan formule (2.7) maar aan: e - < 5,77 dl/3 (2.9) Dan is de theorie voor 'dunne huiden' niet meer geldig en moet de sandwichtheorie voor dikke huiden toegepast worden. De verschillende rekenmodellen voor sandwiches volgens Allen, kunnen nu als volgt worden samengevat: 'Very thin' face _e_> 1 A =be Verwaarloos 'eigenbuiging' van de huiden dl /3 e bd 2 'Thin' face 1 > - > 5,77 A=- Verwaarloos 'eigenbuiging' van de huiden dl /3 d2 e bd 2 'Thick' face - < 5,77 A=- 'eigenbuiging' van de huiden meenemen d,/3 d2 Tabel 2.1: Voorwaarden voor versch1llende typen sandwiches volgens [1 ]. De indeling komt overeen met die in paragraaf maar dan uitgebreid met voorwaarden waaraan voldaan moet worden. Met de genoemde voorwaarden kan QU bepaald worden of een sandwichconstructie berekend kan worden volgens de Timoshenko sandwichtheorie. n de volgende paragraaf wordt dit toegepast op de 'Kolibrie 3.5' Bepalen classificatie 'Kolibrie 3.5' n deze paragraaf wordt beschreven volgens welke theorie de 'Kolibrie 3.5' berekend mag worden. Uitgaande van een elasticiteitsmodulus van 2 N/mm 2 [19] voor spaanplaat P5 en een Hcofdsluk 2

26 elasticiteitsmodulus van 4 N/mm 2 voor het EPS 6 [6] is volgens Allen [1 ] te bepalen met wat voor 'type' sandwich we te maken hebben. De eigenbuiging van de huiden is bij reguliere sandwichconstructies zeer klein ten opzichte van de 'Steinerbuiging' van de huiden. De eigenbuiging van de huiden is kleiner dan 1% van de 'Steinerbuiging' als formule (2.3) geldt: 14...!.._ > 5, 77 > > 5 77 d 3 ' ' ' 113 Aan deze voorwaarde wordt voldaan. De sandwichtheorie voor 'dikke huiden' hoeft niet te worden toegepast. Dit vereenvoudigt de berekeningsmethode aanzienlijk. De sandwichconstructie kan nu berekend worden als sandwich met zogenaamde 'dunne huiden' dus volgens de Timoshenko sandwichtheorie. Nu moet er nog worden gekeken of we te maken hebben met een 'antiplane core' Hiervoor wordt er eerst gekeken naar de bijdrage van de stijfheid van de kern ten opzichte van de 'Steinerbuiging' van de huiden. De 'eigenbuiging' van de kern is minder dan 1% van de 'Steinerbuiging' van de huiden als formule (2.4) geldt: d (_!_J > _2_.( 14 2 ) > 1 68,6 > 1 geldt niet! E 2 d 2 d Aan deze voorwaarde wordt niet voldaan. De term is echter wei grater dan 5 en de 'eigenbuiging' van de kern maakt dus minder dan 2% uit van de 'Steinerbuiging' van de huiden. Het aandeel van de kern aan de totale buigstijfheid is dus relatief klein. lndien aan formule (2.5) wordt voldaan dan hebben we te maken met een 'antiplane core' oftewel een kern waarvan de afschuifrek en de bijbehorende spanning over de hoogte als constant kan worden beschouwd. 4 E 1 n. d 1 n..!!._ > > 1 67,1 > 1 geldt niet! E 2 d 2 d Ook nu wordt niet voldaan aan de voorwaarde. De afwijkingen zijn echter weer kleiner dan 2% (67, 1 > 5) en worden ook nu geaccepteerd. De afschuifrek kan nu als constant over de hoogte worden aangenomen. Hierbij kan alvast worden opgemerkt dat bij het experimenteel onderzoek een hogere elasticiteitsmodulus van het spaanplaat is gevonden. Met deze experimentele waarden wordt wei rechtstreeks voldaan a an formule (2.4) en (2.5). Er kan dus inderdaad (zie paragraaf 2.3.1) geconcludeerd worden dat indien de kern een verwaarloosbare bijdrage aan de totale buigstijfheid evert de afschuifrek als constant over de hoogte van de kern kan worden verondersteld. n het vervolg zal blijken dat de afwijkingen in de afschuifstijfheid van de doorsnede ten gevolge van de aanname van een constante rek over de hoogte van de kern, inderdaad klein is. De 'Kolibrie 3.5' kan dus worden voorgesteld als een sandwich zonder 'dikke huid' en met een constante afschuifspanning in de kern. De buiging wordt dus grotendeels opgenomen door de huiden en de dwarskracht grotendeels door de kern. Met formule (2.4) is aangetoond dat de buigstijfheid van de huiden de vervormingen van de kern niet be"lnvloeden. De sandwich kan dus worden voorgesteld door een systeemlijn met buigstijfheid ( E ) en een afschuifstijfheid ( GA ). De balktheorie volgens Timoshenko is op dit principe gebaseerd en is dus geschikt om te gebruiken als rekenmodel. De constructie kan dus berekend worden volgens de Timoshenko sandwichtheorie. Dan volgt er nog een opmerking over dit onderwerp. Volgens Kollar [2] hebben we te maken met een sandwich met 'Thin faces' en mag er met behulp van de Timoshenko balktheorie gerekend worden indien er geldt: (2.1 ) Hierbij is de linkerterm de dikte van de huiden en de rechterterm de dikte van de kern. Met «wordt 'veel kleiner dan' bedoeld. Omdat dit erg relatief is wordt er in dit verslag uitgegaan van de meer wetenschappelijke benadering volgens Allen. Hiermee wordt er antwoord gegeven op de deelvraag: 'Wat is de invloed van de dikte van de huiden op het constructief gedrag?' Voor een uitbreiding naar spanningen is verder onderzoek gewenst. Bijvoorbeeld met behulp van de eindige elementenmethode. Voor de doelstelling van dit project is het toepassen van de formule volgens Allen voldoende De ideale sandwichconstructie n de meest ideale situatie bestaat de kern van een sandwich uit een anisotroop materiaal zonder buigstijfheid, oneindige drukstijfheid in verticale richting en een eindige dwarskrachtstijfheid. De huiden van deze ideate sandwich bestaan uit oneindig dunne membramen met een zeer hoge rekstijfheid en breuksterkte maar zonder eigen buigstijfheid. Deze ideate sandwich heeft, vanwege de verwaarloosbare buigstijfheid van de kern, een constante afschuifrek over de hoogte van de 15

27 doorsnede en dus een constante afschuifspanning. De huiden leveren geen bijdrage aan de afschuifstijfheid van de sandwich, deze zijn immers oneindig dun en hebben geen buigstijfheid. Zie Figuur 2.4. F, d.... = ::d:rhoog a, d... = ::eer hoog + _ _.. + J d =. Eo.x =. G 1 = E, d. <-> = ::eer hoog a,,~_..., = ::dtr hoog breedre Figuur 2.4: ldeale sandwichconstructie. Doordat de kern geen buigstijfheid heeft wordt aile buiging opgenomen door de membramen. Samengevat wordt bij deze ideale sandwich de dwarskracht opgenomen door de kern en de buiging door de huiden. De opname van buiging en dwarskracht werkt onafhankelijk van elkaar. Het sandwichelement kan nu worden voorgesteld als een systeemlijn met een buigstijfheid en een dwarskrachtstijfheid zoals afgebeeld in Figuur 2.5. cr r JS;< -- EJ +GA X A s- lw Figuur 2.5: Sandwichelement geschematiseerd als een systeemlijn met een buigstijfheid ( / ) en afschuifstijfheid ( GA ). Het is duidelijk dat het systeem nu berekend kan worden met behulp van de Timoshenko balktheorie die eveneens uitgaat van een systeemlijn met dezelfde eigenschappen. De Timoshenko sandwichtheorie is een benadering van dit systeem die, binnen de gestelde afwijkingen uit de voorgaande paragraaf, geschikt is om te gebruiken als rekenmodel. 2.4 Doorsnede-eigenschappen Timoshenko sandwichbalk Buigstijfheid Voor het bepalen van de buigstijfheid van een samengesteld element moet eerst de zwaartelijn van de doorsnede bepaald worden. n de volgende paragraaf wordt aangegeven hoe deze berekend kan worden voor een sandwichconstructie. Bepalen zwaartelijn van een samengeste/d element. Uit [21] De zwaartelijn van een samengesteld element, waarin geen verschuivingen tussen de lagen plaats vindt, kan bepaald worden door het statisch moment te delen door het totale oppervlak. Voor afmetingen zie Figuur 2.6. n formulevorm: S :ta;. Y; z =-y :=...:.: 1 A, :ta; 1 i=:.:._l i= l (2.11) Voor een samengestelde doorsnede opgebouwd uit materialen met verschillende stijfheden gaat formule (2.11) over in:,.

28 (2.12) i=l ;::.., ~r~t~+ + : :--_---~ l i~-1 : -~---~ - -=- - =~ - ~---~-- ]- ~-r r -:,1 ~ ~ <):: ~ ~ 2 2 ~~ ~ <' ~ [] "' ~ E ====~====== ~-~ b b Figuur 2.6: Afmetingen sandwichelement (links) en berekende zwaartelijn (rechts). Uitgeschreven voor een sandwichelement, een samengestelde constructie opgebouwd uit 3 lagen, gaat formule (2.12) over in: uit [6] (2.13) Waarin is: y, afstand bovenkant sandwichpaneel tot hartlijn bovenhuid y 2 afstand bovenkant sandwichpaneel tot hartlijn kern afstand bovenkant sandwichpaneel tot hartlijn onderhuid y 3 Bepalen buigstijfheid van een samengestelde doorsnede. Uit [21] De buigstijfheid van een samengestelde doorsnede, waarin geen verschuivingen tussen de lagen plaats vindt, kan als volgt bepaald worden: 1 11 =;+ A;e/ (2.14) i=l i=l Voor een samengestelde doorsnede opgebouwd uit materialen met verschillende stijfheden gaat deze formule over in: Eliot=!,Eb;); +!,Et!c;i A; e/ (2.15) i=j i=l Controleberekening classificatie 'Kolibrie 3. 5' Oat formule (2.3), (2.4) en (2.5) gelden voor de 'Kolibrie 3.5' en dat dus gebruik gemaakt mag worden van de Timoshenko sandwichtheorie wordt extra duidelijk als wordt gekeken naar het verschil tussen een sandwichligger met 1% samenwerking en de afzonderlijke delen zonder samenwerking. Dit is schematisch weergegeven is Figuur 2.7. aeen samenwerkina b l 1 %J samenwerking : : : l lifmverbinding Figuur 2.7: Sandwichligger met en zonder samenwerking. Kijken we nu naar de bijdrage aan de buigstijfheid voor beide liggers uitgezet in een staafdiagram zoals weergegeven op de volgende bladzijde dan wordt de bijdrage van de 'Steinerbuiging' in het -irncsnenk:j sancwtt:nualken.-

29 geheel extra inzichtelijk. De 'Steinerbuiging' wordt berekend door het oppervlakte te vermenigvuldigen met de afstand van de eigen zwaartelijn tot de gemeenschappelijke zwaartelijn in het kwadraat. Het overgrote deel van de buigstijfheid van de 'Kolibrie 3.5' wordt bijgedragen door de 'Steinerbuiging'. Met dit inzicht is overduidelijk dat we te maken hebben met een sandwichconstructie die berekend kan worden volgens de Timoshenko sandwichtheorie. Vergelijken stijfheid liggers 1,2E+11 N 1,OE+11 E z 8,E+1..,... E 6,E+1 r:::!"""-" f-- buiging huiden + kern /kem = E".){2bhl CJ buiging Steiner w '1,( + 'tl "iii 4,E+1 f-- ~ /onderhuid :=. = E" ){2bhl + Ay2 -en JilL 2,E+1 ' r-----: + O,OE+OO % 1% Soort samenwerking Het traagheidsmoment kan nu oak eenvoudig worden berekend met de inwendige hefboomsarm tussen de boven- en onderhuid. n formulevorm is deze methode opgenomen in hoofdstuk Afschuifstijfheid n deze paragraaf worden aan de hand van een rekenvoorbeeld de verschillende formules voor het bepalen van de afschuifstijfheid van de doorsnede vergeleken. Het verloop van de afschuifspanningen en dus de bijbehorende spanningen kunnen volgens Allen op drie verschillende manieren worden voorgesteld. De werkelijke spanningsverdeling is afgebeeld in Figuur 2.8a. Om de afbeelding te verduidelijken is de afschuifspanning van de huiden in ordegroote van de kern afgebeeld. lndien de kern een verwaarloosbare bijdrage evert aan de totale buigstijfheid van de doorsnede kan de afschuifrek en de bijbehorende afschuifspanning over de hoogte van de kern als constant worden beschouwd. n de literatuur wordt dit aangeduid met een 'anti plane core'. Dit is afgebeeld in Figuur 2.8b. Als nu oak nag de bijdrage van de 'eigenbuiging' van de huiden verwaarloosbaar is kan de rekverdeling over de huiden als lineair worden aangenomen. Zo ontstaat de rekverdeling in Figuur 2.8c. r r r Figuur 2.8: Verdeling afschuifspanning sandwich balk (a) werkelijke spanningsverdeling. (b) 'antiplane core' formule (2.4) en (2.5) geldig. (c) 'antiplane core' en eigenbuiging huiden verwaarloosd, formule (2.4), (2.5) en (2.9) geldig. Uit [1 ]

30 i _::Jt Bepalen afschuifstijfheid van de doorsnede De afschuifstijfheid ( GA,, ) kan berekend worden door het oppervlak van de afschuifspanningen te vermenigvuldigen met de breedte van het paneel. Een en ander is weergegeven in Figuur 2.9 op de volgende bladzijde. De verschillen in afschuifstijfheid ontstaan door het aannemen van wei of geen dwarskrachtvervorming in de huiden. lndien er aileen dwarskrachtvervorming in de kern wordt aangenomen onstaan de verschillen door een verschillende aanname van de afschuivingshoeken over de dikte van de doorsnede. Dit wordt in de volgende paragraaf duidelijk gemaakt met de afleiding van de verschillende methoden voor het bepalen van de afschuifstijfheid. r b D v r =- GA,v, V =reb r reb GA,o, =-=y y Figuur 2.9: Bereken afschuifstijfheid met het oppervlak van de schuifspanningen. Afleiding afschuifstijfheid volgens verschillende methoden Aileen dwarskrachtvervorming in de kern: tr~t1{ r>r, = ~, ~ ( ~A reb h( ~ J =--= e.r, 'v' r -.. (,, J Figuur 2.1: Afleiding formule voor de afschuifstijfheid volgens TCHN 3185 [22]. :::: -t-f y:d, 1 y,d, CiA = reb = e 2 bg, 1 2,, ~ ~.,.:..., r -'t /. 1,. ;-: 1"\:;-1 i, 1 :. ( "' "' e j{ c, c, ~ -- '-' J, Y c. -, - ' ~ ~ ' t Figuur 2.11 : Afleiding formule voor de afschuifstijfheid volgens Kollar [2]. y,d, y -::: d -'t GA 1 = reb _d: = edhg2 d, 1 r/ j G, / / d - dunne huid -'t e:::: d CrA = c(h(1 -:. ror d, Figuur 2.12: Afleiding formule voor de afschuifstijfheid volgens Allen [1]. Dwarskrachtvervorming in de kern en in de huid: 1 2 Aannome: lineoi re dwarskrochtvervorming in de / wid Figuur 2.13: Afleiding formule voor de afschuifstijfheid volgens TR19 [6]. - mosrer.<j -~..:lndwtcnbalket 19

31 De aanname voor de lineaire dwarskrachtvervorming in de huid is niet geheel correct door de buigspanningen ten gevolge van de eigen buigstijfheid van de huid. Dit leidt tot een overschatting van de dwarskrachtvervorming in de huid en dus tot een te kleine GAtot. De formule voor de dwarskrachtstijfheid kan nu verder worden afgeleid: h h r r 2 r d + - d + - d 3 r= Ji r,d,+rzdz+/ir3d3= 2 G, G2 2 G3 e e r ( d, d 2 d 3 J y =;. 2G 1 + G 2 + 2G 3 GA =reb= reb tot r r ( d, d2 d3 J ;. 2G, + G 2 + 2G ( d, d2 d3 J G4ot = e 2 b. 2G, + G 2 + 2G 3 Nu wordt de formule opgenomen in de TR19 [6] verkregen. lndien geldt: G, = G 3 = oo dan gaat de formule over in de vergelijking volgens Kollar. Samenvatting formules voor bepalen afschuifstijfheid volgens verschillende methoden De afschuifstijfheid van een sandwichpaneel kan op verschillende manieren berekend worden. De afleidingen zijn gegeven in voorgaande paragraaf. De meest veilige en eenvoudigste benadering gaat uit van een constante afschuifrek over de hoogte van de kern en een lineair vertoop over de dikte van de huiden. De afschuifstijfheid van het sandwichpaneel kan dan berekend worden met: uit [22] d1 d3) ( GAwt = b 2+d 2 +2 G 2 = ebg 2 (2.16) Volgens Kollar kan de afschuifstijfheid berekend worden met: e 2 bg GAtot =--2 d2 (2.17) Vol gens Allen [1 ] kan de afschuifstijfheid van een sandwichpaneel met zogenaamde 'Thin faces' berekend worden met: bd 2 (2.18) GAtot = G2.d 2 Aan de kwalificatie Thin faces' wordt voldaan als formule (2.7) geldt. Volgens de TR19 [6] kan de afschuifstijfheid van een sandwichpaneel berekend worden met: 1 1 ( d, d 2 d 3 J (2.19) GA,ot = e 2 b. 2 G 1 + G G 3 Volgens Baiant [23] kan de buigstijfheid en afschuifstijfheid ook berekend worden met de volgende vergelijking: b [ d11/ 1 d (d d )2 d/ ] El,,= /3. 1/ o (2.2) - 1/3 2 ( 2 2 f d c +- --! d 2 2 c f 3 J 2 1/ /3 ( 1,,) G 2 5,; (2.21) 2 hoofdstuk ~

32 Waarin is d 1 = d 3, 1 = 3 en met: d2 a=dl/ dl/3 +d2 C=-----'-'---'--=- 2 f= d2 2 (2.22) (2.23) (2.24) n deze formule wordt het buigingsaandeel van de kern en de huiden meegenomen. Er wordt van deze formule een afleiding gegeven door Huang in [24]. Hierna wordt in gegaan op de verschillen tussen deze formules aan de hand van een rekenvoorbeeld. Rekenvoorbeeld afschuifstijfheid volgens verschillende methoden Uitgaande van de volgende gegevens: E113 = 2 N/mm 2 Uit: [19] 2 = 4 N/mm 2 Uit: [6] G 2 = 1,8 N/mm 2 Uit: [6] G 113 = 2 N/mm 2 Uit: [6, 19] Bij een standaardbreedte van een meter worden voor de verschillende methoden de volgende uitkomsten verkregen: TCHN 3185 (2.16) GAror =b (5..+d2 + d 3 J Gke =1 (~+137+~] 1,8=252. N/mm 2 mm m 2 2 Kollar (2.17) GA, = e 2 bg2 = ,8 = 257 _ 518 N/mm2. mm2. 1 d Allen (2.18) GAror = G 2 bd = 1,8-1 " 1432 = ,9927"" N/mm 2 mm 2. d2 137 TR19 (2.19) 1 1 ( dl d2 d3 J = e 2 b.l2 G 1 + G G 3 GA, 1 1 ( ) GA,O = , GA,or = ,564"" N/mm 2 mm 2. dl// 1 ( )2 d/] Huang (2.2) Efror=b [ E/ E/3.dl/3. dln+d E = (3+137) [ ] ror Efror = N/mm 2 mm 4 d2 137 a= d =3+- = 71,5 2 2 c=d113 +d2 =3+137 = (2.21) f = d2 = 137 = ' 2 E ( 2 ( 4(E )2 G. a dl/3-3 a. a - f +S a - f 1 tot 113 GAO = 2b. 3 3 ) ( 5 5 )J [-9, ]-l GA,or =-- = ,3, N/mm 2 mm , T.rnosnenl<o sandw1cnbalken

33 Samengevat in een tabel: N/mm' mm' TCHN Kollar Allen TR Huang Tabel 2.2: Afschu1fst1Jfhetd 'Kol1bne 3.5' volgens verschtllende methoden. De methode volgens TCHN rapport 3185 [22], waarbij de afschuifrek over de hoogte van de kern constant wordt aangenomen en het verloop over de dikte van huiden lineair, is de meeste eenvoudige en veiligste benadering. De theorie volgens Huang geeft een exacte oplossing en is ongeveer 7 a 8% hager dan de waarde volgens de methode in het TCHN rapport. De uitkomst volgens Allen komt vrij goed overeen met de uitkomst val gens Huang. De uitkomst val gens Kollar komt nagenoeg overeen met de uitkomst volgens de TR19 en ligt ongeveer tussenin de twee uitersten. De afwijkingen van de formules ten opzichte van elkaar zijn klein. De formule volgens TCHN rapport 3185 geeft een veilige en eenvoudige benadering. n vervolg van dit verslag wordt dan oak deze formule voor het bepalen van de afschuifstijfheid aangehouden. De afwijking bij het berekenen van de afschuifstijfheid van de kern met behulp van deze formule is minimaal. De formule geeft in ieder geval een veilige benadering voor de afschuifstijfheid van de kern. Het gebruik van deze methode is eveneens overeenkomstig met het verwerken van de testresultaten in eerdere literatuur [6,22]. 2.5 Spanningen Buigspanningen in een Timoshanko sandwichconstructie De buigstijfheid en afschuifstijfheid van de kern is veel kleiner dan die van de huiden. Dit verschil in stijfheid is van invloed op de krachtswerking van een statisch onbepaalde sandwichconstructie. Bij een op buiging belaste sandwich wordt de buiging door het verschil in stijfheden voornamelijk opgenomen door de huiden. De buigrek over de hoogte van de doorsnede kan als lineair worden verondersteld. De bijbehorende spanningen, aangeduid met a, zijn echter niet constant. De spanning kan immers berekend worden met de wet van Hooke: a=& E (2.25) De rek, aangeduid met e, is ter plaatse van de aansluiting tussen het spaanplaat en het EPS voor beide materialen gelijk. De elasticiteitsmodulus, aangeduid met E, is voor de kern zeer laag en de bijbehorende spanningen zijn zodoende ook zeer laag. De spanning in de kern ten gevolge van buiging, aangeduid met 1J 2, kan dus bij sandwichconstructies worden verwaarloosd. 1J 2 =, zie Figuur 2.14 op de volgende bladzijde Afschuifspanningen in een Timoshenko sandwichconstructie Oak bij de opname van de dwarskracht speelt het verschil in afschuifstijfheid, aangeduid met G, tussen de kern en huiden een rol. De zwakste schakel, in dit geval de kern, is verantwoordelijk voor het totale gedrag bij de opname van de dwarskracht. Bij een op buiging belaste rechthoekige massieve doorsnede is het verloop van de afschuifspanning parabolisch over de doorsnede. De spanning is maximaal in het hart en nul aan de boven- en onderzijde. Dit parabolisch verloop wordt veroorzaakt door de buiging in de doorsnede. Zoals zojuist aangehaald wordt bij een sandwich aangenomen dater in de kern geen spanningen ten gevolge van buiging optreden. De afschuifrek ( y 2 ) in de kern wordt volledig bepaald door de dwarskracht en kan als constant over de hoogte van de kern worden aangenomen. De afschuifrek aan het oppervlak van het spaanplaat moet nul zijn. Omdat het aandeel van de 'eigenbuiging' van de huiden in de opname van de totale buigstijfheid relatief klein is kan worden aangenomen dat het verloop van de afschuifrek lineair over de hoogte is, zoals aangegeven in Figuur 2.14b. Dit komt tevens overeen met de aanames voor formule (2.16). De afschuifspanning in de huiden, aangeduid met 'u, wordt bepaald door de afschuifrek in de kern. Anallog aan het bepalen van de spanningen bij buiging kunnen de spanningen ten gevolge van afschuiving bepaald worden met formule (2.26): =r G (2.26) 22 :c(.jstuk. _

34 Met behulp van de materiaalgegevens van het EPS en het spaanplaat kunnen nu de bijbehorende spanningen worden berekend. cr +-- X./1 (a) 1".11' 3 X. (b) v r -- + ).~o-- -::.: \ \ )'.11' 3 Figuur 2.14: Normaalspanning en rekverdeling van de kern. Laag 1: Bovenhuid, spaanplaat P5 Laag 2: Kern, EPS 6 Laag 3: Onderhuid, Spaanplaat P Berekenen buig- en afschuifspanningen in een Timoshenko sandwichbalk. Uit [21] Voor een massieve rechthoekige doorsnede geldt voor het berekenen van de buigspanning: M M z (}' =-=- (2.27) ric W J Waarbij z de afstand vanaf het zwaartepunt is in verticale richting. Voor een sandwichconstructie met zogenaamde 'dunne huiden' (Thin faces----+ zie formule (2.3)) geldt: (}' (z) M z E = lokaal (2.28) ric ] ror Deze formule is ook af te leiden met behulp van de formules uit de TR19 [6]. En wordt ook beschreven door Allen [1 ]. Met E,okaal wordt de elasticiteitsmodulus van het materiaal in de doorsnede behorende bij de afstand z bedoeld. Deze formule is aileen geschikt voor sandwiches met zogenaamde 'dunne huiden' en niet voor sandwiches met 'dikke huiden'. De extra buigspanningen in de huiden ten gevolge van 'eigenbuiging' mag dan niet verwaarloosd worden. Deze spanningen worden in formule (2.28) niet meegenomen. Bij sandwiches met 'dunne huiden' is de bijdrage van de 'eigenbuiging' aan de totale buiging door het verschil in stijfheid minimaal. De bijbehorende spanningen kunnen daarom verwaarloosd worden. De afschuifspanning in de kern kan bepaald worden met: Uit [1 ] v r =- (2.29) " b e Het berekenen van de afschuifspanning volgt uit het evenwicht in de doorsnede. n paragraaf is het te verwachten verloop van de afschuifspanningen beschreven voor een sandwichconstructie met zogenaamde 'dunne huiden'. Hieruit volgt dat de afschuifstijfheid ( GAror) berekend kan worden volgens formule (2.16). De aanwezige dwarskracht ( V ) gedeeld door de afschuifstijfheid geeft de afschuifrek ( r ). n formulevorm: v r=- GA,or Zie ook Figuur 2.1 voor een afbeelding van de aangenomen afschuifhoek en Figuur 2.9 voor de afschuifspanningen over de hoogte van de doorsnede. Formule (2.3) ingevuld in formule(2.26) geeft de maximale afschuifspanning uitgedrukt in formi.jie (2.29). (2.3) 2

35 3 Analytisch onderzoek 3.1 lnleiding n dit hoofdstuk wordt ingegaan op de onderzoeksopdracht van dit afstudeerproject: ' Ontwikkel een algemene rekenmethode om de dwarskrachten, momenten en vervormingen van statisch onbepaalde Timoshenko sandwichconstructies met ongelijke overspanningen, overstekken en puntlasten te analyseren middels een handberekening ' n de tweede paragraaf wordt de differentiaalvergelijking afgeleid volgens de Euler-Bernoulli balktheorie. n de daaropvolgende paragraaf wordt ditzelfde gedaan maar dan voor de Timoshenko balktheorie, dus voor balken met dwarskrachtvervorming. Van enkele constuctiesystemen zijn de differentiaalvergelijkingen volgens de Timoshenko balktheorie uitgewerkt. De uitkomsten hiervan zijn samengevat in paragraaf 3.4. n de volgende paragraaf is een van deze differentiaalvergelijkingen uitgewerkt middels een handberekening. De rest van de uitwerkingen is uitgevoerd met een spreadsheet. De uitkomsten zijn samengevat aan het eind van de paragraaf. n paragraaf 3.6 zijn dezelfde constructiesystemen uitgewerkt met behulp van het Eindige elementenprogramma Ansys, waarna deze zijn vergeleken met uitkomsten uit de voorgaande paragraaf. Vervolgens wordt in paragraaf 3. 7 besproken waarom Berner zijn methode een benaderingsmethode noemt en hoe goed deze benadering is. Aanvankelijk was het de bedoeling om een antwoord te geven op de onderzoeksopdracht door de verschillende differentiaalvergelijkingen uit te werken. Echter bij een constructiesysteem met drie ongelijke overspanningen worden de uitkomsten zodanig groot dat deze niet meer hanteerbaar zijn. Om toch een antwoord te bieden op de hoofdvraag is een andere oplossing ontwikkeld. Deze uiterst toegankelijke en zeer bruikbare methode wordt gepresenteerd in paragraaf 3.8. n de drie daaropvolgende paragrafen worden voorbeeldberekeningen uitgewerkt volgens deze nieuwe methode. n het laatste voorbeeld wordt een statisch onbepaald systeem met een puntlast en een overstek uitgewerkt. Tot slot wordt in de laatste paragraaf het verschil tussen superpositie van buigingsvervorming en dwarskrachtvervorming bij statisch bepaalde en statisch onbepaalde constructies besproken. 3.2 Euler-Bernoulli balktheorie De meest eenvoudige eerste orde balktheorie wordt beschreven door Euler-Bernoulli [25]. Deze theorie maakt gebruik van een vierde orde differentiaalvergelijking waarin aileen buiging wordt beschouwd. n de Euler-Bernoulli balktheorie wordt verondersteld dater geldt: 'vlakke doorsneden blijven na belasten vlak en loodrecht op de as van de ligger' Hierbij wordt aangenomen dat een doorsnede aileen kan vervormen ten gevolge van buiging en niet kan vervormen ten gevolge van afschuiving. Op gedrongen balken en sandwichconstructies na is deze theorie (over het algemeen) voldoende om de dwarskrachten, momenten en vervormingen van slanke balken kunnen te kunnen beschrijven. De vormverandering bestaat dus aileen uit een hoekverandering ten gevolge van buiging. n het assenstelsel x, y is de vormverandering ten gevolge van buiging, in vervormde toestand, weergegeven in Figuur 3.1 a. De onvervormde toestand is weergegeven in Figuur 3.1 b. Z5

36 (a) X. normoal in vervormde toestand ".11' (h) X !---' normcwl in onvervormde toestand.! L l l' Figuur 3.1: Buigingsvervorming volgens Euler-Bernoulli balktheorie. De elementaire buigingstheorie is gebaseerd op de volgende relaties: Zakking w Kinematische relatie Hoekverdraaiing f/ dw f/=dx Kinematische relatie Kromming K Constitutieve relatie M=-El K Moment M Evenwichtsrelatie Dwarskracht V Evenwichtsrelatie Belasting q V=dM dx dv d 2 M q=--=--- dx dx 2 Met deze relaties kan de differentiaalvergelijking volgens Euler-Bernoulli worden opgesteld. De eerste afgeleide van de verplaatsing ( w) is de hoekverdraaiing (f/). De hoekverdraaiing kan nu beschreven worden volgens de kinematische relatie: dw lfl(x) = dx (3.1) De eerste afgeleide van de hoekverdraaiing is de kromming ( K ). De kromming kan nu beschreven worden volgens de kinematische relatie: dlfl d 2 w K(x)=d; ~ K(x) = dx 2 (3.2) Het moment ( M) is gelijk aan de negatieve waarde van de buigstijfheid ( E) maal de kromming. De moment kan nu worden beschreven met de volgende constitutieve relatie: d 2 w M(x )=-El K ~ M(x )=-El dx 2 (3.3)

37 De eerste afgeleide van de moment is de dwarskracht V. De dwarskracht kan nu beschreven worden volgens de evenwichtsrelatie: V(x)= dm dx (3.4) De eerste afgeleide van de dwarskracht is de belasting ( q ). De belasting kan nu beschreven worden volgens de evenwichtsrelatie: dv q(x)=- dx d 4 w q(x)=el dx 4 (3.5) De belasting kan nu uitgedrukt worden volgende differentiaalvergelijking: d 4 w q(x)= El dx 4 (3.6) Vergelijking (3.6) wordt de differentiaalvergelijking volgens Euler-Bernoulli genoemd. Rekening houdend met formule (3.3) is de doorbuiging te beschrijven door de belasting vier maal te integreren. Bij elke keer integreren wordt een onbekende constante verkregen, welke wordt aangeduid met c. De vier verkregen constanten zijn op te lossen met behulp van de randvoorwaarden van de constructie. De dwarskracht kan nu worden beschreven met de integraal van de belasting, met daarbij de onbekende constante c, : V(x)= f(-q)dx+c, (3.7) De vergelijking voor het beschrijven van de dwarskracht wordt hiermee: V =-qx+c, (3.8) Het moment kan worden beschreven met de integraal van de dwarskracht, met daarbij de onbekende constante C 2 : M(x)= f(v)dx+c 2 (3.9) De vergelijking voor het beschrijven van het moment wordt hiermee: qx2 M=--+Cx+C 2 (3.1 ) 2 De hoekverdraaiing kan worden beschreven met de integraal van de kromming. Rekening houdend met formule (3.3) met daarbij de onbekende constante C 3 wordt verkregen: Vf(x)= (- ~)dx+c3 (3.11) De vergelijking voor het beschrijven van de hoekverdraaiing wordt hiermee: = qx3 - Ctx2 - C2x +C 3 (3.12) V 6El 2El El De verplaatsing kan worden beschreven met de integraal van de hoekverdraaiing, met daarbij de onbekende con stante c. : (3.13) De vergelijking voor het beschrijven van de verplaatsing wordt hiermee: qx 4 C 1 x 3 C 2 x 2 w= cx+c El 2E (3.14) Zoals reeds aangehaald kunnen de integratieconstanten C 1, C 2, C 3 en C 4 worden opgelost met behulp van de randvoorwaarden van de constructie. Voor de Euler-Bernoulli balktheorie zijn de Ana1v!lsc en 1er:::oek

38 voorgeschreven rand- en tussencondities voor verschillende soorten opleggingen en overstekken opgenomen in Tabel 3.1. De aangegeven richtingen in het assenstelsel zijn de positieve richtingen.,,r; X. / x=o J;; w=o M=O Jr w=o M=O ~ w=o \f/ = M=O V=O ~ w=o M =M inks rechts :;r w=o M =M links rechts.. Tabel 3.1: Rand- en tussencond1t1es voor versch1llende soorten oplegg1ngen volgens Euler-Bernoulli balktheorie. 3.3 Timoshenko balktheorie n tegenstelling tot de Euler-Bernoulli balktheorie is het met de Timoshenko balktheorie [9, 12, 13] wei mogelijk om de vervorming door dwarskracht te beschrijven. Het opstellen van de differentiaalvergelijking volgens Timoshenko verloopt grotendeels hetzelfde als in de vorige paragraaf. Tot aan het beschrijven van het moment is de afleiding identiek aan elkaar. De totale hoekverdraaiing, aangeduid met, bestaat nu echter niet enkel en aileen uit de hoekverdraaiing ten gevolge van buiging ( \f/) maar oak uit een hoekverdraaiing ten gevolge van afschuiving ( y ). Deze hoek gamma wordt de zogenaamde afschuivingshoek genoemd. Binnen dit verslag wordt ten aile tijden de buigingshoek aangegeven met \f/, en de afschuivingshoek met r. De totale hoek wordt steeds aangeduid met. n tegenstelling wat op enkele plaatsen in de literatuur wordt beschreven [26] wordt in dit rapport aangenomen dat de buigingshoek en de afschuivingshoek beiden positief zijn. Ze veroorzaken immers beiden een positieve zakking in de richting w. n het assenstelsel x, y is de vormverandering ten gevolge van buiging en dwarskracht, in vervormde toestand, weergegeven in Figuur 3.2 a op de volgende bladzijde. De onvervormde toestand is weergegeven in Figuur 3.2 b. Ho.wf tstuk J

39 (a) X,/1 normaa/ in vervormde toestand --- ] ', 11' (b) X. normaal in onvervormde toestand.--'" ].', 11' Figuur 3.2: Buigings- en dwarskrachtvervorming volgens Timoshenko balktheorie. De eerste afgeleide van de verplaatsing wordt nu: dw -=t/j ='f+r dx Voor de hoekverdraaiing ten gevolge van afschuiving geldt het volgende: v r= GA (3. 15) (3. 16) Waarin GA de dwarskrachtstijfheid van de betreffende doorsnede is. De verplaatsing volgens Timoshenko kan nu worden beschreven met de integraal van de totale hoekverdraaiing, met daarbij de onbekende constante c. : (3. 17) Formule (3.8) ingevuld in formule (3. 16) en sa men met formule (3. 12) geeft de totale hoekverdraaiing. Seide uitkomsten ingevuld in formule (3. 17) geeft de vergelijking voor het beschrijven van de verplaatsing: qx 4 ( x 3 x J C2x 2 qx 2 w= C, GA C3x - 2GA +C 4 (3.18) Ook nu kunnen de integratieconstanten C,, C 2, C 3 en C 4 worden opgelost met behulp van de randvoorwaarden van de constructie. Voor de Timoshenko balktheorie zijn de voorgeschreven randen tussencondities voor verschillende soorten opleggingen en overstekken opgenomen in Tabel 3.2 op de volgende bladzijde. Ook nu zijn de positieve richtingen aangegeven in het assenstelsel. 21)

40 ,,r; X. / x=o ~ w=o M=O ~ w =O M=O ~ w =O \f/ = M=O V=O wlink> = wrechl> = ;A; \f/ links = \f/ rechrs M link> = M rechrs wlink> = wrech<> = A \!/links = \f/ rechts M -M links - rechrs Tabel 3.2: Rand- en tussencond1t1es voor verschlilende soorten oplegg~ngen volgens de Timoshenko balktheorie. 3.4 Uitwerkingen differentiaalvergelijkingen Met behulp van de differentiaalvergelijkingen volgens de Timoshenko balktheorie en de randvoorwaarden uit de vorige paragraaf kunnen de oplossingen voor verschillende constructies worden verkregen. Er is gestart met de meest voor de hand liggende constructies zoals de een- tweeen drieveldoverspaning waarvan de oplossingen oak gegeven worden door Berner. Daarnaast zijn een ligger op twee steunpunten met daarop aangebracht een puntlast en de benodigde systemen voor het experimenteel onderzoek uitgewerkt. De uitwerkingen zijn opgenomen in Bijlage A. n de uitwerkingen wordt de dwarskrachtfactor, aangeduid met n, gegeven door de volgende vergelijking: n =! GA/ 2 (3.19) Deze factor beschrijft de invloed van de dwarskrachtstijfheid op de uitkomsten van de differentiaalvergelijkingen. Let op! Dit is niet dezelfde factor die wordt beschreven door Berner. Deze is weergegeven in formule (1.3). De belangrijkste uitkomsten van de differentiaalvergelijkingen zijn samengevat in Tabel 3.3 Um 3.9. op de volgende bladzijden. De richting w is steeds in de verticale richting, met omlaag aangehouden als positief. Hocfds,uk 3

41 / -- q X.. Tabel 3.3: Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting q X.. ( ) - 3q/(4+1) V x --qx + ( ) M(x )=- qx 2 + 3ql(4+1) x 2 8(3+ 1) qx 4 qx 2 3ql(4+1) ( x 3 x J q/ 3 (12+1) w(x)=24ej-2ga+ 8(3+1). -6 i+ga + 48E1(3+1) x Tabel 3.4: Eenveldsoverspanning eenzijdig ingeklemd, met gelijkmatig verdeelde belasting. J;;A a r B A ' b X Fa V dee/ a =--+F / M dee/ a (x)=(-fa+f}x / ( Fa J ( x 3 x J ( Fa 3 Fa 2 Fa! J Wdeela (x ) = --, +F GA X V =-Fa deelb / Fa M deelb (x ) = --,- x+ Fa ( ( Fa J ( x 3 x J x 2 ( Fa 3 Fa!) Fa Fa 3 wdeeib x ) = --, GA -Fa x+ GA- 6 1 Tabel 3.5: Eenveldsoverspann1ng met puntlast. 21

42 Wdee/ a (X)= [ F JX' a r B (' h X, v =F- 3D.Fa + Fa 3 3Fa dee/ a / ( 3Q + 1) 2/ 3 ( 3Q + 1) 2(3n+ 1) l M ( ) [ F 3D.Fa Fa 3 3Fa dee/ a X = -/( 3Q + 1) + 2/3 (( 3Q + 1) + 2/ ( 3Q + 1). X x 3 x J l 3D.Fa Fa 3 3Fa ( 3Q + 1) + 2/ 3 ( 3Q + 1) + 2/ ( 3Q + 1). - 6 / + GA [ + - 3Fa' + 3Fal + GAFa' l 2(3 / +GA1 1 ) 2(3 / +GA1 1 ) 4E(3E +GA/ 2 ) vdedb (x) = 3D.Fa Fa3 3Fa + l(3f2+1) 2/ 3 (3f2+1) 2(3n+ l 1) M ( ) [ 3D.Fa Fa 3 3Fa F deelb X = /(3f2+1) + 2/3(3f2+1)- 2/(3f2+1) X+ a l GAFa' J' GAFal' 2E(3E + GA1 1 ) + 4E(3E + GA/ 1 ) l [ 3D.Fa Fa 3 3Fa wdeelb(x)= l(3f2+1) + 2/ 3 (3f2+1)- 2/(3f2+1). -6 / l + GA - 2 / [ 3Fa Fa 3 Fa/ Fa 3 Fa + 2GA/(3f2+1) + 4 /l(3f2+1) + 4 /(3f2+1) x- 6 / + GA ( x 3 x J Fax 1... Tabel 3.6: Eenveldsoverspann1ng eenzjdlg mgeklemd, met puntlast.. X JX ~ r B l c 1i 2 X V (x = _!._) = F ( Q) n V (x =!._ -/) = _ F ( Q) Q M (x =!._) = Fl ( Q) Q M(x=l)=- 3Fl 16+48Q w(x=!._)= F/ 3.l~+l5f2+36n 2 ) 2 48 / 3f2+1 Tabel 3.7: Eenveldsoverspann1ng eenzijdig ingeklemd, met puntlast in het midden van de overspanning.

43 Ji~ _, ~ q ic a b : : X c = q ( a 3 + 2a 2 l + / 3-4al 2 ( 1 + 3)) 8(a 2 -al-31 2 ) C2 = o c - J - C 4 = o q( as- 4a 4 l + 4a 3 / 2 (1-3)- 24al 4 + 6/sO + a 2 / 3 ( )) 48E1(a 2 -al-3fo) c - aq( a2 + 3al-sf) -12/ 2 q( a+!) s - 8( a 2 - al-31 2 ) c - alq ( -a2 +a!+ 1 2 ( )) 6-8 ( a 2 -a! ) c - q( -as+ a4 l + 4a 2 / al 4-6ls+ a 3 / 2 ( )) ( a 2 -a!- 3/ 2 ) Cs= alq( a ) ( a 2 -al-1 2 (1 + 12)) 48 1 ( a 2 -a! ) Vdeel a (X) = -qx + Cl 2 Mdeeta(x)=-q~ +C 1 x+c2 w x =-----+C qx 4 qx 2 ( --+- x 3 x J ---+Cx+C C2x dee/ a ( ) GA 6 1 GA 2 1 Vdeel b (X) = -qx + Cs ( qx2 Mdeetb x)=-l+csx+c6 qx 4 qx 2 ( x 3 x J C6x 2 wdeet b ( x) = GA + Cs GA C7x + Cs.. Tabel 3.8: Tweeveldsoverspanmng met geil]kmat1g verdeelde belastmg..-- q JiA JlE a b c : X!l_ ) ( w(x=!_ a=!_ b=!_j=~ ' 3' Tabel 3.9: Drieveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, met gelijke velden. Enkele van deze resultaten worden oak gegeven door Wang [27]. Hij geeft echter steeds aileen aan wat het aandeel ten gevolge van de dwarskrachtstijfheid is voor de dwarskrachten, momenten, hoekverdraaingen en vervormingen. Hij verondersteld hierbij dat het deel buigingsvervorming bekend is. : -'.nalyl1scn onder~nek

44 n de literatuur [25,28] worden veelal symetrische voorbeelden gegeven van statisch onbepaalde systemen. Deze zijn op te lassen door een extra verkregen randvoorwaarden vanwege de symetrie. Zo kunnen op een eenvoudige manier oplossingen worden verkregen van statisch onbepaalde systemen. Helaas worden hierdoor de minder eenvoudige voorbeelden vermeden. Bij de uitwerking van de drieveldsoverspanning is gebleken dat de uitkomsten niet meer hanteerbaar zijn. De uitkomsten zijn simpelweg zo lang dat het geen werkbare oplossing geeft. Er is dan ook niet verder gegaan met het uitwerken van ingewikkeldere systemen, met bijvoorbeeld overstekken en puntlasten. Met deze uitwerkingen wordt er nog niet voldaan aan de onderzoeksopdracht. Daarom is er gezocht naar een andere oplossing. Hier wordt verder op ingegaan in paragraaf 3.8 en verder. Nu worden eerst de uitkomsten van de differentiaalvergelijkingen vergeleken met eindige elementen berekeningen. 3.5 Controleberekening differentiaalvergelijkingen De uitwerkingen van de differentiaalvergelijkingen uit het vorige hoofdstuk kunnen gecontroleerd worden met het eindige elementenprogramma Ansys. Hiervoor zijn voor de verschillende gevallen concrete waarden nodig om een berekening uit te kunnen voeren. Daarom zijn in deze paragraaf voorbeeldberekeningen uitgevoerd van de differentiaalvergelijkingen uit de vorige paragraaf. De gebruikte waarden zijn opgenomen in Tabel 3.1 hieronder. Aan de hand van een voorbeeld wordt voorgedaan hoe de berekeningen zijn uitgewerkt. De overige berekeningen zijn uitgewerkt met een spreadsheet en opgenomen in Bijlage B. Spaanplaat PS uit: [19] N/mm~ 1;1+3; rep; 2 Eb;l+l;rep 35 Gl+3;l..;rep 2 Gl+l;ll;rep 96 (]" d;rep 12,7 (J"t;rep 9,4 EPS 6 uit: [6] N/mm" Eb; 2;rep 4 G2;rep 1,8 Trep,5 Geometrie m overspanning 3 breedte paneel 1 Belasting gelijkmatig verdeelde belasting 1 kn/m puntlast 3 ki'j sanwichpaneel Kolibrie 3.5, voor afmetingen zie Figuur 1.7 Tabel 3.1: GebrUikte gegevens voorbeeldberekenmgen. :}..1 Hooldstuk 3

45 3.5.1 Voorbeeldberekening bepalen spanningen en vervormingen Van het systeem in Figuur 3.3 wordt een voorbeeldberekening gemaakt. ~- q = 1 kn m 1 X l = 3 Figuur 3.3: Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeerde belasting voor voorbeeldberekening. Buigstijfheid en dwarskrachtstijfheid De buigstijfheid kan bepaald worden met formule (2.15): Efror =! Eb;/i +! Erlc;i. A;. e/ i=l i=l Ef 11 = Eb ){ 2 bh 3 + EcAe 2 = 35 ){ = Eb -){ 2 bh 3 +E 1 Ae 2 =4-){ = Eb ){ 2 bh 3 + E 1 Ae 2 = 35 ){ = 2, , De afschuifstijfheid kan worden bepaald met formule (2.16): GA, dl d3 J or =b [ -+d G kern 2 2 GA = 1 (137 +~+~J ' GAror = 252. mm 2 N/mm 2 Spanningen De maatgevende spanningen in een sandwichconstructie zijn onder te verdelen in de trek- en drukspanning in de huiden en de afschuifspanning in de kern. Met behulp van de gegevens uit paragraaf 3.4 kunnen deze spanningen voor een eenveldsoverspanning met een gelijkmatig verdeelde belasting bepaald worden. De maximaal aanwezige dwarskracht is: ql 1 3 = -q O+T = 1,5 kn V(x = ) =-qx+ 2 Met formule (2.29) wordt de afschuifspanning in de kem: r =~= 1 ' = ~o 11 N/mm 2 " b-e 14. ' ' Het maximale moment is: M(x=!_J=- qx 2 + qlx =-J_!_+~-~=-~+~=~=1125kNm ' Met formule (2.28) wordt de trek- en drukspanning in de huiden: a-= Ec!r M -z = 2-1, ,5 = ~ N/mm2 Efror ' ' Analvil:scn ander::aek 35

46 w (x =! ) =!L [_!_-!: +!: ] + _.!1_ [-[_ + 12 ] ror 2 EJ GA 8 4 1) 5qr ql 2 w,o, ( x = 2 = GA ) w,o, x = 2 =. _ _ = 17, , = 22, ~ 22,139 mm ( Voor de andere uitgewerkte differentiaalvergelijkingen zijn deze berekeningen oak uitgevoerd. De uitkomsten zijn samengevat in tabel 3.6 en 3.7 hieronder. De momenten en vervormingen in het veld zijn steeds halverwege de overspanning berekend Samenvatting uitkomsten De overige uikomsten zijn samengevat in Tabel 3.11 tot en met Tabel 3.13 hieronder. De uitwerking met behulp van spreadsheets is opgenomen in Bijlage C. Ji. ~ ' _ q - i s Mu uu w vu r, in knm in Nlmm 2 inmm in kn in Nlmm 2 X= X = X=- x=- X= ,5,11 1,125 2,696 22,139 _l 1 J;;m~ a r 8 A c -1,5, 11 2,25 5,392 37,28 b _l 1 ' Tabel 3.11 : Uttkomsten spannmgen en vervormtngen voor stattsch bepaalde constructtes, bepaald met behulp van differentiaalvergelijkingen. i ~ X ~,-- q : 8 Mu uu ~. ru 2 Mu u, in knm in Nlmm in kn in Nlmm 2 in knm in Nlmm 2 x=l X = X=- x=- X = X = 2 2-1,848,13,64 1,447-1,43 2,499 JX-~ X a r (' w inmm X=- 2 12,31 8-2,21,14 1,468 3,518-1,564 3,748 b l Tabel 3.12: Uttkomsten spannmgen en vervormtngen voor stattsch onbepaalde constructtes, bepaald met behulp van differentiaalvergelijkingen. 22,464

47 Ji/ ~ _.- q ic a b : : : X v r. M. (jll M. (Ju w in in in in in in kn inmm N/mm 2 knm N/mm 2 knm N/mm 2 X=- x=- 2 X=- x=- X=- X=- X= ,848,13,64 1,447-1,43 2,499 12,31 Tabel 3.13: U1tkomsten spannmgen en vervorm1ngen voor tweeveldoverspanmng met geiljkmallg verdeelde belastmg, bepaald met behulp van differentiaalvergelijkingen. 3.6 Eindige elementenmethode De berekeningen in voorgaande paragraaf zijn nagerekend met behulp van het eindige elementenprogramma Ansys. Hierbij is er gebruik gemaakt van het BEAM3 element. Dit element is gebaseerd op de Timoshenko balktheorie en daarmee geschikt voor het beschrijven van dwarskrachtvervorming. Voor een BEAM3 element ziet de stijfheidsmatrix er als volgt uit: l (K]= Ef. -61 (4+<1>) (2-<1>)1 2 (3.2) ( +<>) ( 2 -<>) ( 4 + <>) f Waarin het effect van de afschuifstijfheid wordt uitgedrukt met de term <>. Deze dimensielose parameter, niet te verwarren met k en n, bestaande uit de verhouding tussen de buigstijfheid en de dwarskrachtstijfheid luidt als volgt: <> = 12 / GA-1 2 (3.21) De stijfheidsmatrix in formule (3.2) is overgenomen uit [25], maar wordt vele malen, zij het in een iets andere vorm, aangehaald in de literatuur. Bijvoorbeeld in [1,18]. n tegenstelling tot wat staat vermeld in het dictaat mechanica 5b: matrixmethode [18] is het BEAM3 element en de daarbij behorende stijfheidsmatrix wei in staat om een verlopende dwarskracht exact te beschrijven. Testen met het programma Ansys waarbij, in het geval van een constructie met een gelijkmatig verdeelde belasting, het aantal elementen wordt vergroot van een enkel element naar meerdere elementen onderschrijven dit. De uitwerkingen met behulp van het eindige elementenprogramma zijn opgenomen in Bijlage C. De uitkomsten zijn samengevat in Tabel 3.14 tot en met Tabel 3.16 hieronder. Het uitrekenen van de afschuif- en trekspanning is handmatig uitgevoerd op dezelfde wijze als in de voorgaande paragraaf. Omdat de oplossing van Ansys onafhankelijk is van de netfijnheid is deze exact. De uitkomsten komen overeen met de uitkomsten van de differentiaalvergelijkingen uit de vorige paragraaf. ~na r;11scn oncerzoel< '"

48 - L A / / -- q is M. **au w v;, *r in knm in Nlmm 2 inmm in kn in Nlmm 2 X = X = x=- x=- X= ,5,11 1,125 2,696 22,139 J);A! (/ r B J1c -1,5,11 2,25 5,392 37,28 b Tabel 3.14: U1tkomsten spannmgen en vervormmgen voor stat1sch bepaalde construct1es, bepaald met behulp van het eindige elementenprogramma Ansys. *Bepaald met formule (2.29). **Bepaald met formule (2.28). ia.\" J); A X ll - / - - lj r B b B (" v. M. (J"" ** (J" * ' in knm in N/mm 2 M. in kn in Nlmm 2 in knm in Nlmm 2 X = X = X=- x=- X = x=l 2 2-1,848,13,64 1,447-1,43 2,499-2,21,14 1,468 3,518-1,564 3,748 w inmm X=- 2 12,31 22,464 Tabel 3.15: U1tkomsten spanmngen en vervorm1ngen voor stat1sch onbepaalde construct1es, bepaald met behulp van het eindige elementenprogramma Ansys. *Bepaald met formule (2.29). **Bepaald met formule (2.28). Ji, : X a --~ q ~ib b ic : V * '~~ Mil (J"" Mil in in in in in kn Nlmm 2 knm Nlmm 2 knm X=- 2 X=- x=- x=- x= ,848,13,64 1,447-1,43 ** (J"u in Nlmm 2 X=- 2 2,499.. Tabel 3.16: U1tkomsten spannmgen en vervorm1ngen voor tweeveldoverspannmg met gehjkmatlg verdeelde belastmg, bepaald met behulp van het eindige elementenprogramma Ansys. *Bepaald met formule (2.29). **Bepaald met formule (2.28). w inmm X=- 4 12,31 - oof :lstu,; 3

49 3. 7 Benaderi ngsmethode volgens Berner Met behulp van de differentiaalvergelijkingen uit paragraaf 3.4 kan de methode volgens Berner worden geanalyseerd. De belangrijkste vraag hierbij is: 'waarom noemt Berner zijn methode een benaderingsoplossing en is dit een goede benadering?' Om deze vraag te kunnen beantwoorden wordt een ligger op twee steunpunten met een gelijkmatig verdeelde belasting bekeken. De maximale buigingsvervorming en dwarskrachtvervorming vindt nu voor beiden plaats in het midden van de overspanning. Wordt de ligger nu aan de rechterzijde ingeklemd dan zal de plaats van de maximale doorbuiging bij aileen buigingsvervorming naar links verplaatsen. Bij aileen dwarskrachtvervorming blijft de plaats van de maxim ale vervorming in het midden van de ligger. De plaats van de maximale vervorming is dus afhankelijk van de verhouding tussen de buigstijfheid en afschuifstijfheid van de ligger. n de oplossing volgens Berner wordt echter een oplossing gegeven voor de vervorming. Zie Tabel 1.2. Deze oplossing is niet afhankelijk van een afstand x. Het vermoeden bestaat dan oak dat de oplossing voor de doorbuiging is benaderd door ten aile tijden uit te gaan van een maximale doorbuiging in het midden van de overspanning. Daarom wordt nu met behulp van de uitkomsten van de differentiaalvergelijkingen bekeken of dit het geval is voor de tweevelds- en drieveldsoverspanningen Tweeveldsoverspanning De tweeveldsoverspanning kan worden vergeleken met behulp van de uitkomst van de differentiaalvergelijking van het systeem afgebeeld in Tabel 3.4 hieronder. - q X.. Figuur 3.4: Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd. De doorbuiging van het systeem afgebeeld in Figuur 3.4 kan worden beschreven met: qx 4 qx 2 3ql( 4+ 1) ( x 3 x J q/ 3 (12+ 1) w(x)= 24 /- 2GA + 8(3+1) GA + 48 /(3+1) x (3.22) Deze formule is afgeleid met behulp van de differentiaalvergelijking opgenomen in Bijlage A. n het verslag is deze uitkomst opgenomen in Tabel 3.4. De doorbuiging op x = 2 wordt: ) qx4 qx 2 3q1(4!l+l) ( x 3 x) q1 3 (12!1+1) w X=2 = 24 /- 2GA + 8(3!1+1) GA (3!1+1) X ( ) q 1 4 q 1 2 3q1(4!1+1) 1 3 3ql(4!1+1) q1 3 (12Q+l) w ( x=2 =24E 24"-2GA zr- 8(3!1+1).6EJ ""i!+ 8(3!1+1).GA (3!1+1).2 ) ql4 ql 2 3ql 4 (4!l+l) 3q1 2 (4!1+1) ql 4 (12!1+1) w x=2 = 384 /- 8GA 384 /(3!1+1) + 16GA(3!1+1) + 96 /(3!1+1) ( ( ) GAql 4 (3!l+l) 48Elql 2 (3!l+l) 3GAql 4 (4!1+1) 72Elql 2 (4!1+1) 4GAql 4 (12!l+l) w X= 2 = 384EGA(3!l+ 1) 384 /GA(3!1+ 1) 384 /GA(3!1+ )+ 384EGA(3!l+ )+ 384 /GA(3!1+ ) w(x =! ) = GAql 4 (3!1 + 1)-48Elql 2 (3!1+ ) -3GAql 4 ( 4!1+ 1)+ 72Elql 2 ( 4!1+ 1)+4GAqr (12!1 + 1) /GA(3!1+1) w(x =! ) = 3GAqi 4 Q + GAql 4-144Elqi 2 Q-48Elql 2-12GAql 4!l-3GAql /ql 2!1+ 72ElqP +48GAql 4!l+4GAql /GA(3!1+1) w(x =! ) = 39GAqr!l+ 2GAql Elqi 2 Q + 24Elql /GA(3!1+1) ! /Q + 24 / w(x-! ) - _!f!. GA GA / 8(3!1+1) Analynsch onder::oek 9

50 (3.23) Formule (3.23) is uitgedrukt met de term n. Berner maakt gebruik van de term k welke een factor drie verschilt met de term n. De uitkomst uitgedrukt in k met behulp van formule (1.3) wordt: W X=- ) =-- -- ql 4 1 (-+-+2k 1 21k 2) Of.. W ( X=- ) =-- -- q r 1 ( ( k+2k 2 ) tot 2 48 / k tot 2 48 / k + 1,, (3.24) Op wat afrondingen na komt dit goed overeen met de uitkomst volgens Berner: q1 4 1 ( 2) w "' k+2k mat k ' ' Hiermee is aangetoond dat de methode volgens Berner een benaderingsmethode is door uit te gaan van een maximale doorbuiging halverwege de overspanning. Het tweede deel van de vraag luidt 'Hoe goed is deze benadering?'. De maximale doorbuiging ten gevolge van aileen buiging vindt plaats op x =,4215 [5]. De plaats van de werkelijke maximale doorbuiging wijkt maximaal, 5 -, 4215 =, 785 af van de berekende doorbuiging. Bij een sandwichpaneel met een overspanning van 3 meter is dit maximaal een afstand van 235,5 mm. Door de bijdrage van de dwarskracht zal de werkelijke afstand kleiner zijn. De afwijking die dit tot gevolg heeft is minimaal en wordt in de praktijk geaccepteerd. Oak binnen dit verslag wordt van hetzelfde principe uitgegaan Drieveldsoverspanning Hetzelfde als in de vorige paragraaf is oak te doen voor een drieveldsoverspanning. n Tabel 3.9 wordt gegeven: Q_ + 15n + 18n2) ( w (x =! a=! b =! ) =!!{_ tot 6' 3' (3.25) De uitkomst uitgedrukt in k met behulp van formule (1.3) wordt: w x=- a=- b=- ) =-- -- ql 4 1 (-+-+2k 13 45k 2) Of.. w =-- -- qr 1 ( ( k+2k 2) tot 6' 3' 3 24 / 2k tot k+5,, Oak dit komt nagenoeg overeen met de uitkomst volgens Berner: q1 4 1 ( 2) w "' k+2k max k ' ' Oak nu geldt hetzelfde met betrekking tot de afwijkingen als besproken in de vorige paragraaf. De afwijking door de benadering is minimaal.

51 3.8 Vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming Onder ingenieurs is het gebruik van de buigingstheorie een bekende en gebruikelijke theorie. Wie kent niet de hypothese van Bernoulli: 'vlakke doorsneden blijven na belasten vlak en loodrecht op de as van de ligger'? Het gebruik van differentiaalvergelijkingen voor het oplossen van dwarskrachtenmomenten en vervormingslijnen is echter geen gemeengoed. Dit komt natuurlijk omdat menig oplossing wordt beschreven in tabellenboeken en afwijkende situaties kunnen worden opgelost met de wijdverbreide vergeet-me-nietjes. Het succes van deze laatste methode ligt in de eenvoud, het is snel en eenvoudig en wordt daarom veel meer toegepast dan de veel ingewikkeldere differentiaalvergelijkingen. Voor sandwichconstructies, dus voor balken met dwarskrachtvervorming, leidt dit tot de volgende vraag: 's het mogelijk om vergeet-me-nietjes af te leiden met de differentiaalvergelijking volgens Timoshenko?' Op het eerste gezicht lijkt de afleiding wei mogelijk, maar zijn deze vergeet-me-nietjes wei bruikbaar?. Het gebruik van de vergeet-me-nietjes bij de buigingstheorie is erop gebaseerd dat een statisch onbepaald systeem wordt opgedeeld in statisch bepaalde delen. Zonder de onderdelen te koppelen ontstaat er een gaping op de aansluitingen, terwijl het in werkelijkheid een doorgaande ligger is. Nu worden de vormveranderingsvoorwaarden opgesteld, de zogenaamde gaapvergelijkingen. Dit houdt in dat de hoekverdraaing, de eerste afgeleide van w, op de aansluiting aan elkaar gelijk wordt gesteld. Uit deze vergelijkingen worden de oplossingen voor de momenten verkregen. De eerste afgeleide van de vervorming bij de balktheorie van Timoshenko bestaat echter niet aileen uit een hoekverdraaing ten gevolge van buiging (aangeduid met J ), maar ook uit de afschuivingshoek ten gevolge van de dwarskracht (aangeduid met r ). Uitgedrukt in formulevorm is de eerste afgeleide van w: (aangeduid met ) dw -= =fll+ r dx s het wei mogelijk om bij balken met dwarskrachtvervorming de eerste afgeleide van w ter plaatse van de aansluitingen aan elkaar gelijk te stellen? Het deel hoekverdraaiing ten gevolge van buiging is links en rechts gelijk aan elkaar. Voor de afschuivingshoek geldt dit echter niet!. Dit is eenvoudig voor te stellen door de hoekverdraaingen van het middensteunpunt te bekijken in Figuur 3.5 hieronder. (3.26) -~ Lfsc \ Figuur 3.5: Hoekverdraaiingen ter plaatse van middensteunpunt B. Bij een ligger met enkel buiging is de hoekverdraaiing links en rechts in punt B aan elkaar gelijk. Bij een ligger met enkel afschuiving is de afschuivingshoek direct afhankelijk van de belasting. De belasting is in dit geval niet gelijk aan elkaar dus de afschuivingshoek links is niet gelijk aan de afschuivingshoek rechts. Voor een ligger met buigingsvervorming en dwarskrachtvervorming geldt nu: (3.27) De eerste afgeleide van w is niet gelijk in punt B. Hoe is het nu mogelijk om toch vergeet-me-nietjes op te stellen? De oplossing hiervoor is heel eenvoudig. Druk de vergeet-me-nietjes voor balken met dwarskrachtvervorming enkel en aileen uit in de hoekverdraaing ten gevolge van buiging. Dus zonder de hoekverdraaing ten gevolge van de dwarskracht. De buigingshoeken links en rechts van punt B

52 moeten bij een ligger met dwarskrachtvervorming nag steeds gelijk aan elkaar zijn. Het is dus wei mogelijk om vergeet-me-nieljes af te leiden mits deze maar worden uitgedrukt in buigingshoeken. Eigenlijk is dit eenvoudig in te zien door te kijken naar de stijfheidsmatrix van een balkelement met dwarskrachtvervorming. Deze stijfheidsmatrix, weergegeven in formule (3.2), is oak aileen uitgedrukt in buigingshoeken. n Bijlage D zijn deze vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming voor de meest voorkomende gevallen uitgewerkt. De uitkomsten zijn samengevat in Tabel 3.17 op de volgende bladzijde. Over de vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming kan het volgende worden opgemerkt: Bij een eenveldsoverspanning met een moment aan het uiteinde bestaat de buigingshoek (zie Tabel 3.17) uit een deel ten gevolge van buiging en een deel ten gevolge van dwarskracht. Bij doorgaande liggers zorgt dit ervoor dat de dwarskrachtstijfheid van invloed is op de grootte van het negatieve steunpuntsmoment. Hoe lager de dwarskrachtstijfheid hoe lager het steunpuntsmoment. Bij een overheersend lage dwarskrachtstijfheid zal het steunpuntsmoment afnemen tot nul. We hebben dan in feite te maken met afzonderlijke liggers. De vervorming w bestaat uit een deel buigingsvervorming en een deel dwarskrachtvervorming. Omdat we bij de vergeet-me-nietjes te maken hebben met statisch bepaalde delen is superpositie van de vervorming toegestaan. De vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming gaan over in de bekende vergeet-menietjes voor aileen buiging, indien de dwarskrachtstijfheid ( GA ) oneindig groat wordt. * Deze informatie heeft betrekking op de eenveldsoverspanningen waarbij op een van de steunpunten een moment is aangebracht. Zie Tabel Het verloop van het moment is in deze gevallen een lineaire functie. Het moment is maximaal bij het steunpunt waarop het moment is aangebracht en nul bij het tegenovergelegen steunpunt. De eerste afgeleide van een lineaire functie is constant. De dwarskrachtenlijn bij dit systeem is dus constant. Kijken we naar de vervorming dan is er geen dwarskrachtvervorming terwijl de dwarskracht niet gelijk aan nul is. Er is dus wei dwarskracht maar geen dwarskrachtvervorming? Dit kan doordat de vervorming optreedt in een andere richting dan w. n Figuur 3.6 hieronder wordt dit duidelijk gemaakt. Zie oak Allen [1] voor meer informatie... r :.~~~ s '- y.wl Figuur 3.6: Dwarskrachtvervorming bij een moment op het uiteinde van een ligger. ** Deze informatie heeft betrekking op een eenveldsoverspanningen waarbij een puntlast excentrisch van het midden is aangebracht. Zie Tabel Voor enkel buiging wordt in de literatuur voor dit systeem geen oplossing gegeven voor de vervorming. Dit komt natuurlijk doordat de plaats van de maximale doorbuiging een onbekende is. Voor een ligger met dwarskrachtvervorming is het nag moeilijker om de plaats van de maxim ale doorbuiging te bepalen. Er is er dan oak voor gekozen om dit voorbeeld niet verder uit te werken. i-1 ci.stuk ~

53 A l'.ll'f2j X, )M, Vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming Mal f/ a=- E Mf w =--a- : X a 2EJ _, r F/2 : X ~ q q/3 -- a f/ a= 6 1 A /4 /2 Wa =!f._+ _q_ X 8 / 2GA )M, Mal Ma lfia = 6 1- GAl JS; - ~ 7,61 Mal Ma f/ a =- 3EJ - GAl X.. * w(x=~)= ~~; M,c JS; Jka M) MA JiA X M) MA f/a = 3 1 +GAl f/ a =- 6EJ +GAl ( 1 ) M / 2.. * w x=2 = 16~/../ i X lj q/3 B ( f/ A = 24 / q/3 f/ a= ( 1) sqr q/ 2.. r w X=2 = 384 / + 8GA Fab(! +b) f/ A = a 6 11 Jk l' JS; a h r F/2 8 f/ a= 2E a F/3 Fl w =-+- a 3 1 GA Fab(!+a) lfla=- 6E w ** X : JS;~ 2 f/ A= i6e ~ Jk l' F/2 lfla=-!6 1 ( ) F/ 3 Fl : X w X=2 = 48 / + 4GA Tabel 3.17: Vergeet-me-metjes met dwarskrachtvervormmg.

54 3.9 Voorbeeldberekening met vergeet-me-nietjes - 1 Met behulp van de vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming uit paragraaf 3.8 is het nu mogelijk om op een eenvoudige manier statisch onbepaalde sandwichconstructies te berekenen. De methode met de gaapvergelijkingen is alom bekend onder bouwkundig- en civiel ingenieurs. De uitbreiding voor liggers met dwarskrachtvervorming is betrekkelijk eenvoudig. Met behulp van het volgende voorbeeld wordt aangetoond dat op een eenvoudige manier dezelfde oplossing als Berner verkregen kan worden voor een tweeveldsoverspanning. Een afbeelding van de tweeveldsoverspanning is opgenomen in Figuur 3.7 hieronder. X.. Figuur 3.7: Tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. De methode van gaapvergelijkingen wordt nagenoeg in elk boek over toegepaste mechanica beschreven. De oplossingsstrategie is als volgt: 1. Deel de constructie op in statisch bepaalde onderdelen 2. Breng de nag onbekende snedekrachten als uitwendige belasting aan op de delen. 3. Stel de vormveranderingsvoorwaarde op. 4. Los de statisch onbepaalden op. Uit: [29] Voor de methode van de vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming kan dezelfde oplossingsstrategie worden aangehouden. Met de oplossing van de statisch onbepaalde momenten kunnen de vervormingen van de afzonderlijke liggers verder worden uitgewerkt. Stap 1 en 2: c M' J=~> -_/----,~.i c _ q Figuur 3.8: Opdelen ligger in statisch bepaalde del en. Stap 3 Het opstellen van de vormveranderigsvoorwaarde is analoog aan het opstellen van de vormveranderingsvoorwaarde voor liggers met aileen buigingsvervorming. Er kan worden verondersteld dat de hoekverdraaing ten gevolge van buiging gelijk is in punt B. Het moment is immers gelijk in dit punt. De vormveranderinsvoorwaarden worden nu uitgedrukt in buigingshoeken. De vormveranderingsvoorwaarde in punt B luidt dan als volgt: f/ BA = f/ BC ij.

55 De uitwerking ve rl oopt ana oog aan d e b e k en d e met h o d e: /- q q/3 4 J -- : t ~ f/ aa =- / B 24 ' lf/8.41 _, ' '.A>------>A )M, Mal Ma lf/ba2 ' f/ aa 2 =- 3E - GAl.--- q q/3 f/ ac = 24 / B J -t ~----ir: ' lf/sc1 ',A;-!: -A, M,c Mal Ma f/ ac 2 = 3E + GAl ' lf/sc: ' Tabel 3.18: Opstellen hoekverandenngen 1n punt B met behulp van vergeet-me-metjes met dwarskrachtvervorming. f/ aa = f/ ac q/3 Mal Ma q/3 Mal Ma = / 3E GAl 24E 3E GAl 2 2 ) q/ 3 -Mal( 3El + GA/ 2 = 12 / M (1+ 3 / )=-!lt_ a GA/ 2 8 q/2 1 M =-- -- a E met.=-- 2 GAl Het moment op - 2 wordt: Met behulp van de momentenlijn zijn de reactiekrachten te berekenen. Er moet gelden: l:m=o 1) De verticale reactiekrachten in punt A en B kunnen bepaald worden door het evenwicht te beschouwen van het linkerdeel. Het linkerdeel met de actie- en reactiekrachten is afgebeeld in Figuur 3.9 hieronder. Figuur 3.9: : Actie- en reactiekrachten op deel A-B. De reactiekrachten in A en B zijn: R = ql + Ma A;v 2 / R = ql- Ma a;v 2 /

56 Uitrekenen geeft: ql MB RA;v =2+-~q/ 1 q/ 2 1 R = A:v 2 f Q R = ql [1 1 l A;v 2 4(1+ 3D.) R = ql- MB B;v 2 [ ql 1 q/ 2 R s.v 2 l D. R = ql [1 + 1 l B;v 2 4(1 +3D.) Voor het complete systeem blijft de reactiekracht in A gelijk en wordt de reactiekracht in punt B twee maal zo groat: RB;v = 2. ~ { 1 + 4(1 ~ 3Q) l = q/ { 1 + 4(1 ~ 3Q) J De verkregen dwarskrachten- en momentenlijn is weergegeven in Figuur 3.1 hieronder. - q X RB =ql [ 1+ 4(1~3) ) v! ~ ~ ~ L..~ + ~ R - ql (1-1 J R _ ql ( 1 1 J c - 2 4( 1 + 3) j --z l -4(1 +3) -.. 'Ji 1+3~.. qt 1 1 M =-- -- M!~ ~ + '.<:f._ \.. _:f._ 8 8 Figuur 3.1: Mom en ten- en dwarskrachtenlijn tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. De plaats van het maximale moment is afhankelijk van dwarskrachtstijfheid. Bij een lage dwarskrachtstijfheid wordt het moment in het veld het grootst, bij een hoge dwarskrachtstijfheid is het moment boven het middensteunpunt het grootst. De doorbuiging in het midden van de overspanning is nu te berekenen als: 2 w(x=!_)= w +w =~+..!1!_+ Ms/ tgvmoment tgvgelijkmatigverdeeldebelasting GA 16 1 M et n = -- E! d.. 2 gaat eze op ossmg over m: GAl

57 De uitkomst is hetzelfde als verl<regen met de differentiaalvergelijking (formule (3.23)). Deze formule is reeds vergeleken met Berner in paragraaf en komen nagenoeg met elkaar overeen. 3.1 Voorbeeldberekening met vergeet-me-nietjes - 2 Oak uitgebreidere systemen zoals de drieveldsoverspanning zijn eenvoudig uit te werken. De drieveldsoverspanning afgebeeld in Figuur 3.11 hieronder wordt in deze paragraaf uitgewerkt..-- q Stap 1 en 2: l l l X Figuur 3.11 : Drieveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. Figuur 3.12: Opdelen ligger in statisch bepaalde delen. Stap 3 Voor het opstellen van de vormveranderigsvoorwaarde geldt hetzelfde als in de vorige paragraaf aileen nu voor de punten B en C. De vormveranderingsvoorwaarden luiden nu als volgt: n punt B: f/sa= lf/sc n punt C: lf/cs =f/co

58 Deze vergelijkingen kunnen als volgt worden uitgewerkt: - q ~ ----=,--ci 8 ' lf/8al _, ' { ql] f BA =- 24 /,A;--- ca )M, MB MB ' 1 f/8a: ' f BA 2 = GAl / /- q s -t j ql] ql] f BC = 24 / f CB =- 24 / MB MB f CB 2 = GAl Lie ' lf/8-:1- -v;;81 _,, M, (,A;-L _c~, ' f/ 8C: 'f/('8: _, ' M 8 / MB f BC 2 = GAl Mel Me 8 Jrr-t_- ---LA(' Me Mel Me f BCJ = GAl 1 f/ BC-' 1 f/c8-' ' f CBJ = GAl ' L 1 ql] f CD = 24 / Mel Me M,c - q ' ( -t--=---i [) ' f/<.'[> _, ',;t-r: A " f CD2 = GAl ' lf/c o: ' l L Tabel 3.19: Opstellen hoekverandenngen 1n punt B en C met behulp van vergeet-me-n1etjes met dwarskrachtvervormmg. f BA = f BC q/ 3 MB MB q/ 3 MB/ MB Mel Me = / 3E GAl GAl 6 1 GAl 2MB/ 2MB M el Me q/ = GAl 6 1 GAl / 2 ) ( ) q/ 3 MB. ( GAl +Me GAl = 12 / f CB = f CD q/ 3 M 8 / M 8 Mel Me q/ 3 Mel Me = / 6 1 GAl 3 1 GAl GAl MB M 8 2Mcl 2Mc q/ = GAl 3 1 GAl 12 1 ) ( 2/ 2 ) q/ 3 MB ( -6E+GA/ +Me -3 1-GA/ =12 1 :ioofdsluk 3

59 1+ q/3 M fj fj+m a fj=- fj 8 c 12 / q/3 M a a+m fj a=-- a 8 c 12 / qp M = --..., , ( 2/ 2 ) GAl GAl E met=-- 2 GAl M8 =-ql 2 ( 12 ) M =M = qf c 1+12 Het moment in deel A-Bop 12 wordt: M = M8 + q/2 (±) 2 8 M =- q/2 J._+q/2 (±) M = _ q/2 + q/2 (~ ) 4(5+6) 8 M _!if (!- 2 ) (±) - 8 (5+6) Dit moment geldt oak voor deel C-D op 12. Met behulp van de momentenlijn zijn de reactiekrachten te berekenen. n ieder punt van het systeem moet gelden: LM=O!) De verticale reactiekrachten in punt A en B kunnen bepaald worden door het evenwicht te beschouwen van het linkerdeel. Het linkerdeel met de actie- en reactiekrachten is afgebeeld in Figuur 3.13 hieronder. De reactiekrachten in A en B zijn: R = ql + M8 ' l;v 2 / R = ql_ M8 8 ;v 2 / Figuur 3.13: Actie- en reactiekrachten op deel A-B. Analyttsch onderzoo::k

60 Uitrekenen geeft voor het systeem in Figuur 3.13: R = ql + MB A;v 2 R = ql- MB B;v 2 R = ql +! ql2 R = ql _!._ ql2 A,v B;v R = ql ( ) R = ql ( ) A; v B; v Voor het complete systeem blijft de reactiekracht in A gelijk en wordt de reactiekracht in punt B: R =q1 (1+ 1 J B;v 2 l 2(5+6.) De verkregen dwarskrachten- en momentenlijn is weergegeven in Figuur 3.14 hieronder. ~- q X.. R 8 = Rc = ql l + 1 l 2( v -! ~ A ~ [57" v ~ R _ q; (1-1 J Ro = q; (l- (5 +16 )J < - 2 (5 + 6) lvf = - qf!v = - qf Q c 1+1 2Q M! / t( ~-A ~,..~ 2!_ ~ ~ 8 8 ' 8 Figuur 3.14: Momentenlijn drieveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. De plaats van het maximale moment is afhankelijk van dwarskrachtstijfheid. Bij een lage dwarskrachtstijfheid wordt het moment in veld A-B en C-D het grootst, bij een hoge dwarskrachtstijfheid is het moment boven steunpunt B en C het grootst. De doorbuiging in het midden van het veld A-B is met behulp van de vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming eenvoudig te berekenen: ( ) 5ql4 ql2 MB2 w X = 2 = w,gvmomenl + w,gv g<lijkmotig -.rdreldeb<iasting = 384 / + 8GA + 16 / ) ) De uitkomst is hetzelfde als verkregen met de differentiaalvergelij king (form ule (3.25)). Deze formule is reeds vergeleken met Berner in paragraaf en komen nagenoeg met elkaar overeen. jcofdsuj 3

61 3.11 Voorbeeldberekening met vergeet-me-nietjes- 3 Oak systemen met puntlasten en overstekken zijn nu te berekenen. De tweeveldsoverspanning met overstek in Figuur 3.15 wordt in dit voorbeeld uitgerekend. Vervolgens worden de verkregen uitkomsten gecontroleerd met het programma Ansys. r Stap 1 en 2: X ~ Figuur 3.15: Tweeveldsoverspanning met puntlast op het uiteinde van het overstek. Figuur 3.16: Opdelen ligger in statisch bepaalde delen. Stap 3 De vormveranderingsvoorwaarden luiden als volgt: n punt B: f/ ea =f/ ec n punt C: f/ Ce = f/ CD D eze verge _q_) J mgen k unnen als volgt worden uitgewerkt: 1 q/ 2 Mel =-q 3 2 3=-18 A~ B M B '' an F 1~~)M, Fl M =-F -=-- JiJ e2 3 3 ql] --- q / ql] f/ eel = 24 E lf/ce1 =- 24 / aji-t - C~/ ' f/ B~ - - r;;;b _, ' M,(,;;;-z: M el Me f/ CB 2 = 3 1 +GAl _c~, ' f/ BC2 lf/("82 _, ' Mel Me f/ sc 2 = GAl M el M e ',A;-'C. ~~ )M, Mel Me f/ ecj = 6 1 -GAl ' f/ Be.1 f 1 f/c a.1 ' f/ CBJ = GAl Anc!lyus..:n nd~::r::oe~

62 q/3 f/ CD! = 24 1 M,C Mel Me f/ C 2 = 3 1 +GAl - q c Ji-c_-~~--~: ' 1flci! _, ',JX-C --:A., ' 1 flcd: ' Tabel 3.2: Opstellen hoekverandenngen 1n punt B en C met behulp van vergeet-me-n1et]es met dwarskrachtvervormmg. Het moment in punt B is: M = _9!.. Fl Uit de tweede vorrnveranderingsvoorwaarde kan het moment in punt C worden opgelost: f/ C8 = f/ CD q/3 M8! M8 Mel Me q/3 Mel Me = GAl 3 1 GAl GAl M 8l M 8 2Mcl 2Mc q/ = GAl 3 1 GAl J ( 2/ 2 J q! 3 M 8.( GAl +Me GAl = 12 1 ( GAl +Me GAl = 12 1 q/ 2 F! J (! 1 J ( 2/ 2 J q/ 3 q/ 2 q/ 2 1 Fl Fl 1 ( 2/ 2 J q/ GA! GAl +Me GAl = 12 1 _!l!!l!. + F/2!} +M (-_3! 2_]=3! GA/ GA! c 3 1 GAl ql 3 q/ 2 F/ 2 Fl M = GA/ GA! c ( u 2 J 3 1 GAl Hierrnee zijn de vervorrningen van de afzonderlijke delen te bepalen. Als voorbeeld wordt de vervorrning in punt A berekend. H' b".. d T b 3 21 hieronder aangehouden. 1er 11 ZJn e gegevens m a e E1ror = mm 4 N/mm 2 Het moment in punt B wordt: GAror = 252. mm2. N/mm2 = 3 mm q = 1 kn/m F=3 N Tabel 3.21: Gegevens voor voorbeeldbereken1ng voor een breedte van een meter. M =-!l! Fl=_ =_ , knm Het moment in punt C wordt: M = =-O 3597 knm c ( ) r1oofc!s!uk 3

63 De hoekverdraaing in punt B wordt: (met de klok mee is positief!) ql 3 M 8 1 M 8 M el M e ' Be = GAl GAl , = + ' + ' + _:... ' -----:-- ' Be f1 8 e =, , , , , = -, De doorbuiging in punt A is nu te berekenen als: 4 qg) q ( ~Y F ( ~ J FG) wa = GA +----:;EJ+~-'Be 3 oo) 1-( 3 J 1 -( 3 y 3 -( 3 J 3 { w = '---~ A WA = 79, ' 3 Met dezelfde gegevens als in Tabel 3.21 is een berekening te maken met het eindige elementenprogramma Ansys. De uitkomsten zijn weergegeven in Figuur 3.17 tim Figuur 3.19 hieronder. - -"---- _j, Figuur 3.17: Geometrie- eindige elementenberekening met behulp van Ansys. Afmetingen en belastingen volgens Tabel3.21 en Figuur3.15. ST i'ci< l SJB "l 'lin lt.., 1 MY l7 2 8 H: i6: 27 r n cttent.n1hen1' PU N :: KA:< ' ELt"'i -. J:"AJ..u;l -. J. Ol ij-+{1"7 t\oleeveld!'love r!'l pemn i n g met ove r 3 t ek: e; n punt ld!'l t - E:+GA Figuur 3.18: Momenten- eindige elementenberekening met behulp van Ansys. KAY l7 2 8 LB :3B:S7 cweeve l d~overspanning mec over~cel:' e n pum::la!!t: - B -+GA Figuur 3.19: Vervormingen - eindige elementenberekening met behulp van Ansys. n al t1scr en.::r::qs.< 53

64 Omdat de oplossing van Ansys onafhankelijk is van de netfijnheid is deze exact. De oplossing voor de maximale doorbuiging is weergegeven in de linkerbovenhoek van Figuur 3.19 (rood omcirkeld) en komt overeen met de doorbuiging in punt A. De berekende oplossing is hetzelfde als de oplossing verkregen met Ansys. n deze paragraaf is aangetoond dat het mogelijk is om op een eenvoudige manier statisch onbepaalde sandwichconstructies te berekeken. Ook overstekken en puntlasten zijn eenvoudig mee te nemen in de berekening. Hiermee wordt er voldaan aan de onderzoeksopdracht van dit afstudeerproject. De onderzoeksopdracht is beschreven in paragraaf Superpositie van buigings- en dwarskrachtvervorming n de inleiding is reeds aangehaald dat het voor statisch bepaalde sandwichconstructies gebruikelijk is om de dwarskrachtvervorming te superponeren bij de buigingsvervorming (volgens formule (1.2)). Uit de uitkomst van de differentiaalvergelijkingen voor statisch bepaalde constructies is duidelijk op te maken dat dit is toegestaan. n het volgende voorbeeld wordt dit nogmaals duidelijk gemaakt. Voor een eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting kan de doorbuiging worden beschrevende met de formule uit Tabel 3.3. Omwerken van deze formule onderverdeeld naar buigingsvervorming en afschuivingsvervorming geeft het volgende resultaat: qx 4 qx 2 ql ( x 3 x ) q/ 3 w(x ) = 24 /- 2GA +2-6E + GA + 24 / x qx 4 qx 2 x 3 ql x ql q/ 3 w(x )= 24 /- 2GA- 6E 2+ GA 2+x 24 / qx 4 x 3 ql q/ 3 qx 2 x ql w(x)= 24 / x 24 /- 2GA + GA 2 w(x) =-1 (qx4 _.. ql +x g!_)+-1- (- qx2 +x ql ) E GA 2 2 n deze formule is het deel dwarskrachtvervorming (met GA) duidelijk gescheiden van het deel buigingsvervorming (met E ). Onafhankelijk berekenen van de buigingsvervorming en dwarskrachtvervorming en deze bij elkaar te superponeren voor de totale vervorming is dus toegestaan. Door nu hetzelfde voorbeeld aan een zijde in te klemmen wordt het systeem statisch onbepaald. Met behulp van de differentiaalvergelijkingen kan de vervorming nu met de formule uit Tabel 3.4 worden beschreven. Omwerken van deze formule naar een deel buigingsvervorming en een deel afschuivingsvervorming geeft het volgende resultaat: qx 4 qx 2 3q/(4f2+1) ( x 3 x) ql 3 (12f2+1) w(x) = 24 /- 2GA + 8(3f2+1) GA (3f2+1) x qx 4 qx 2 x 3 3q/{4f2+1) x 3ql(4f2+1) ql 3 (12f2+1) w(x ) = GA (3f2+1) +GA. 8(3f2+1) +x 48 1(3f2+1) w(x) = _1 [qx 4 _ x 3 3ql( 4f2+ 1) +x q/ 3 (12f2+ 1) ] +-1 [ - qx 2 + x 3ql( 4f2+ 1)] EJ (3f2+1) 48(3f2+1) GA 2 8(3f2+1) n beide delen, dus het deel buigingsvervorming en het deel dwarskrachtvervorming, komt de dwarskrachtfactor voor. De dwarskrachtfactor is opgebouwd uit een breuk met daarin de buigstijfheid en de dwarskrachtstijfheid, zoals is weergegeven in formule (3.19). Het deel buigingsvervorming is nu afhankelijk geworden van de dwarskrachtstijfheid en andersom is het deel dwarskrachtvervorming afhankelijk geworden van de buigstijfheid. Bij een statisch onbepaald systeem zijn de buigings- en dwarskrachtvervormingen dus afhankelijk van elkaar geworden. Superpositie door beide delen afzonderlijk te berekenen en daarna op te tellen is dus niet meer mogelijk. Fysisch is dit voor te stellen met het voorbeeld uit de inleiding van een statisch onbepaald systeem, zie Figuur 1.6. Het gedrag van dit systeem is afhankelijk van de stijfheid van de Jigger. Zoals al eerder aangehaald bestaat deze stijfheid niet enkel en aileen uit de buigstijfheid maar ook uit de afschuifstijfheid. De krachtsverdeling en dus de vervormingen zijn ook van beide afhankelijk. Consequentie hiervan is dat de afzonderlijke delen niet meer apart berekend kunnen worden om ze vervolgens te superponeren. Zo wordt dezelfde conclusie getrokken als uit het voorgaande rekenvoorbeeld. Hierover kan nog worden opgemerkt dat voor de extremen, dus aileen buiging of aileen afschuiving, de oplossing overgaat in de bekende oplossingen. Voor statisch onbepaalde constructies kan de totale vervorming dus niet berekend worden met formule (1.2). De totale vervorming bestaat nog steeds uit een deel vervorming ten Hocidsl!.l 3

65 gevolge van de dwarskrachtstijfheid en een deel vervorming ten gevolge van de buigstijfheid aileen nu beinvloeden beiden elkaar. De totale vervorming bij statisch onbepaalde systemen kan dus als volgt beschreven worden: (3.28) Met: a p totale vervorming in mm. doorbuiging ten gevolge van buiging zonder dwarskrachtvervorming in mm. onbekende factor doorbuiging ten gevolge van dwarskracht zonder buigingsvervorming in mm. onbekende factor De onbekende factoren a en p kunnen opgelost worden volgens de twee hiervoor beschreven methoden. De eerste is volgens de differentiaalvergelijkingen uit paragraaf 3.3 en de tweede volgens de vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming uit paragraaf 3.8. Bij enkel buigingsvervorming of dwarskrachtvervorming vervallen de onbekende factoren a en p. Voor statisch bepaalde systemen is dit oak het geval en gaat formule (3.28) over in formule (1.2). Dat het superpositiebeginsel bij statisch onbepaalde constructies niet meer geldt wordt oak deels beschreven in [26} Evaluatie analytisch onderzoek De benaderingsmethode voor het bepalen van de doorbuiging volgens Berner geeft minimale afwijkingen. De afwijkingen ontstaan doordat de maximale doorbuiging ten aile tijden wordt berekend in het midden van de overspanning. Bij statisch onbepaalde constructies treedt de maximale vervorming door het buigingsaandeel niet exact op in het midden van de overspanning. De ontstane afwijkingen zijn echter maar klein en worden geaccepteerd. Oak in dit verslag wordt van deze aanname gebruik gemaakt. Voor het bepalen van het kracht-vervormingsgedrag van statisch onbepaalde Timoshenko sandwichconstructies zijn er drie mogelijkheden: Oplossen differentiaalvergelijking -> lastig voor balken over meer dan twee steunpunten Matrixmethode: verplaatsingsmethode Vergeet-mij-nietjes met dwarskrachtvervorming: krachtenmethode n paragraaf 3.4 hebben we gezien dat het oplossen van de differentiaalvergelijkingen voor sandwichbalken over meer dan twee steunpunten niet eenvoudig is. Uitgebreidere systemen zijn dan oak niet uitgewerkt. Van de matrixmethode gebaseerd op de verplaatsingsmethode is bekend dat deze veel meer vergelijkingen geeft dan de op de krachtenmethode gebaseerde vergeet-me-nietjes. De laatste methode is dan oak het meest geschikt voor een handberekening. De vergeet-me-nietjes kunnen worden afgeleid door de differentiaalvergelijking voor balken met dwarskrachtvervorming op te lassen. Deze differentiaalvergelijking is gebaseerd op de Timoshenko balktheorie en is geschikt voor balken met dwarskrachtvervorming. Dit geeft de vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming, welke zijn uitgewerkt in paragraaf 3.8. n paragraaf 3.9 tot en met 3.11 is aan de hand van voorbeeldberekeningen aangetoond dat met deze methode statisch onbepaalde constructies middels een handberekening eenvoudig kunnen worden geanalyseerd. Analyseren van constructies met ongelijke overspanningen is geen probleem en oak het meenemen van overstekken en puntlasten in de berekening is eenvoudig mogelijk. Hiermee wordt er voldaan aan de onderzoeksvraag van dit af stud eerproj ect. Anal tts: on ier_oek

66 4 Experimenteel onderzoek 4.1 lnleiding n dit hoofdstuk wordt het experimenteel onderzoek besproken. Het doel van het experimenteel onderzoek is een vergelijking te maken tussen de theorie uit de vorige paragraaf en het werkelijke vervormingsgedrag van statisch onbepaalde sandwichconstructies. Hiermee kan de juistheid van de theorie worden aangetoond. Ten einde een vergelijking te kunnen maken zijn er eerst materiaalproeven uitgevoerd. De buig- druk- trekstijfheid en buig- druk- treksterkte zijn bepaald van spaanplaat P5, zie hiervoor paragraaf 4.4 tot en met 4.6. Met behulp van de materiaalgegevens van het spaanplaat is middels een vierpuntsbuigproef de afschuifstijfheid bepaald van het materiaal in de kern van de sandwich. Als kernmateriaal is in dit project Extruded Polystyreen toegepast van de kwaliteit EPS 6. De aanpak en de uitkomsten van deze testen worden besproken in paragraaf 4.7. Ten slotte is het sandwichpaneel getest in een statisch onbepaalde testopstelling, genaamd de vijfpuntsbuigproef. De resultaten hiervan worden besproken in paragraaf 4.8. Vervolgens wordt nag een bijzonder bezwijkgeval besproken genaamd 'wrinkling stress gecombineerd met plaatselijk inleiden van de belasting'. Tot slot in paragraaf 4.1 de evaluatie waarin de resultaten worden samengevat en besproken. Bij de testen is gebruik gemaakt van een codering bestaande uit drie letters en aan het eind een cijfer. De eerste letter staat voor het overeenkomstige proefstuk voor de vierpuntsbuigproef, de tweede letter voor de bovenhuid of onderhuid van dit overeenkomstige proefstuk, de derde letter voor buig- druk- of trekproef, en het laatste cijfer voor het proefnummer. Samengevat ziet dit er als volgt uit: Positie 1: A tim G: overeenkomstig proefstuk vierpuntsbuigproef. Positie 2: B = proefstuk uit bovenhuid, = proefstuk uit onderhuid. Positie 3: B = buigproef, D = drukproef, T = trekproef. Positie 4: 1 tim 5: proefnummer. De proefstukken van de vijfpuntsbuigproef hebben een eigen onafhankelijke nummering in de vorm van hoofdletters. 4.2 Gebruikte formules en eigenschappen 'Kolibrie 3.5' Niet elke ingenieur is bekend met de formules voor sandwichconstructies. Om het geheel goed leesbaar te maken zijn hier de formules opgenomen die gebruikt zijn voor het experimenteel onderzoek. De lezer met meer achtergrondkennis kan deze paragraaf overslaan. lndien tijdens het lezen van het verslag meer achtergrondinformatie is gewenst kan via deze paragraaf worden teruggegrepen op de literatuur Momenten en vervormingen bij een vierpuntsbuigproef J;;; c~ Ow t A a a a Figuur 4.1: Doorbuiging vierpuntsbuigproef. De maxim ale vervorming ten gevolge van buiging voor de vierpuntsbuigproef uit Figuur 4.1: Uit: [5] F f {a = ~) F {a = ~J F.f3 F.f3 23 F.f3 F.f3 Wmax;M = --- =- --= (4.1) 16 EJ 12 EJ 48 E 324 E 1296 E 56, E 57

67 Het maximale moment van de vierpuntsbuigproef in Figuur 4.1 kan berekend worden met: Uit: [5] M=!_ F l 6 De doorbuiging ten gevolge van dwarskracht bij statisch bepaalde constructies kan volgens [1 ] berekend worden met: M w ==.!!!!!!_ v GA (4.2) (4.3) Formule (4.3) is aileen geldig voor statisch bepaalde constructies. Voor enkele uitzonderingen, zoals asymetrische constructies, is het gebruik van deze formule uitgesloten. Beter is het dan ook om gebruik te maken van: X f(v)dx w =-"- v GA Ook deze formule geldt aileen voor statisch bepaalde constructies. Formule (4.2) ingevuld in formule (4.3) geeft opgeteld bij formule (4.1) de totale vervorming, bestaande uit buigingsvervorming en dwarskrachtvervorming,van de vierpuntsbuigproef in het midden van de overspanning: F/ 3 23 Fl w= (4.5) E11, GA,O( Bepalen afschuivingsmodulus van de kern met behulp van de vierpuntsbuigproef [22] Het rapport TCHN nr [22] beschijft een methode voor het bepalen van de afschuivingsmodulus van de kern met behulp van de vierpuntsbuigproef. Hierbij wordt de buigstijfheid van het sandwichpaneel op vereenvoudigde wijze berekend met behulp van de inwendige hefboomsarm. De trek- en drukmodulus van het spaanplaat wordt bekend verondersteld. Afmetingen volgens Figuur 4.2 hieronder. (4.4) Figuur 4.2: Afmetingen proefstukken. Volgens TCHN Rapport Nr Laag 1: Bovenhuid, spaanplaat P5 Laag 2: Kern, EPS 6 Laag 3: Onderhuid, Spaanplaat P5. De berekeningsmethode voor het bepalen van de afschuivingsmodulus van de kern werkt als volgt. De toename van de doorbuiging in het midden van de overspanning, in Figuur 4.2 aangegeven met het meetklokje, bij een toenemende belasting kan bepaald worden met formule: M l M / 3 ~w= GA 56,34 1 Met behulp van de inwendige hefboomsarm kan het traagheidsmoment van de sandwich berekend worden met: b (4.6) (4.7) Het aandeel, aangeduid met de term Y, verantwoordelijk voor de buigingsvervorming is: M /3 Y=--- 56,34 1 (4.8) HcddslU' 4

68 Door nu uit te gaan van superpositie van buigingsvervorming en dwarskrachtvervorming bij statisch onbepaalde systemen is het resterende deel van de doorbuiging toe te schrijven aan de dwarskrachtvervorming. Met behulp van vergelijking (4.8) is de afschuivingsmodulus van de kern als volgt te berekenen: Waarin is: GA = M l tot 6 (~w -f) (4 9). (4.1 ) De verklaring van de symbolen is, indien nag niet opgenomen in de tekst, opgenomen in de symbolenlijst aan het begin van het verslag. De term 56,34 in de noemer van formule (4.8) lijkt een wat vreemde waarde. Deze term is eigenlijk een breuk, zie hiervoor formule (4.5). Dezelfde methode wordt oak beschreven door Davies in [1], en oak in pren 1459 'Self-supporting double skin metal faced insulating sandwich panels' [3]. Zoals gebruikelijk voor houtconstructies wordt voor het bepalen van de afschuivingsmodulus het gebied tussen 1 en 4% van de maximale belasting bekeken. Zie oak Figuur 4.4 op de volgende bladzijde NEN 6764 Houtachtige plaatmaterialen - Bepaling van de karakteristieke waarden van de mechanische eigenschappen, de volumieke massa en de weerstand tegen vochtinvloeden [15] De verwerking van de testresultaten gebeurd op statistische wijze. n [15] wordt hierover het volgende beschreven. De karakteristieke waarde voor het bepalen van de bruikbaarheidsgrenstoestanden van de elasticiteitsmodulus en van de afschuivingsmodulus is gedefineerd als het gemiddelde van de beproevingsresultaten, en moet worden bepaald volgens formule (4.11 ). Waarin is: m(x) gemiddelde waarde van een eigenschap van het getrokken monster; x; is de meetwaarde vanhet proefstuk i; n is het aantal proefstukken. (4.11) NEN 676 Houtconstructies- Basiseisen- Eisen en bepalingsmethoden [31] De karakteristieke waarde voor het bepalen van de sterkte, de elasticiteitsmodulus, de afschuivingsmodulus en de volumieke massa in de uiterste grenstoestand is gedifineerd als de 5- percentielgrens en moet bepaald worden volgens formule: x _ 5 =m(x)-k s(x) (4.12) Waarin is: m( x) gemiddelde waarde van een eigenschap van het getrokken monster; s ( x) is de standaardafwijking van een eigenschap bepaald volgens formule (4.13); k is de fractielwaarde die afhankelijk van het aantal proefresultaten n wordt bepaald volgens Tabel4.1: Aantal proefresultaten n Fractielwaarde k * voor tussenliggende waarden mag lineair geinterpoleerd worden. De standaardafwijking moet worden bepaald volgens formule: s(x) = (x; -m(x)) 2 i=l n- Waarin is: x, is de meetwaarde van het proefstuk i; n is het aantal proefstukken. (4.13) E. ::Ji:!nmenteel nder.:oek

69 4.2.5 NEN-EN 31- Houtachtige plaatmaterialen- Bepaling van de elasticiteitsmodulus bij buiging en van de buigsterkte [32] r 8 Figuur 4.3: Driepuntsbuigproef volgens NEN-EN 31 [32]. De elasticiteitsmodulus in N/mm 2 van ieder teststuk wordt bepaald met: 1 3 ( F 2 - F;) Eb = 3 ( ) 4bd w 2 -w 1 (4.14) Waarin is: is de afstand tussen het hart van de opleggingen, in mm. b is de breedte van het teststuk in mm. d is de dikte van het teststuk in mm. F - 2 F; is de toename van de belasting over het lineaire gedeelte van het belasting - vervormingsdiagram. F; ongeveer 1% en F; ongeveer 4% van de maximale belasting. w 2 - w 1 is de toename van de doorbuiging in het midden van de overspanning overeenkomstig met F; en F 2. Zie Figuur 4.4 hieronder: F, / /, 4 ' F:na.T / / L--- Vervorming w 1 w, l F ' max Figuur 4.4: Belastingsvervormingsdiagram volgens [32]. De buigsterkte in N/mm 2 van ieder teststuk wordt bepaald met: 3F"",) a=-- b 2bd 2 Waarin is: F,_ is de maximale belasting in Newton. (4.15) 6 HooidS[Lil<. ~

70 4.2.6 EN 789 Determination of mechanical properties of wood-based panels [33] Drukproef F 1 - bolschornier o----o lvdt = Lineor Vorioble Dlj{erentiol Transformer Figuur 4.5: Drukproef volgens [33]. De drukmodulus in N/mm 2 van ieder teststuk wordt bepaald met: (F -F)! E = 2 c ( w2- wl ) A (4.16) Waarin is: F 2 -F., is de toe name van de belasting tussen, 1 Fmm en, 4 Fmax. w 2 - w 1 is de toe name van de vervorming overeenkomstig met F; -F.,. is de lengte waarover derek is gemeten, in mm. A is het oppervlak van het proefstuk in mm 2. De druksterkte in N/mm 2 van ieder teststuk wordt bepaald met: F (j = max c A (4.17) Trekproef F! ~ c -- ~ o----o lvdt = Lineor Vorioble Dlj{erentiol Tronsj(mner Figuur 4.6: Trekproef volgens [33]. E

71 De trekmodulus wordt bepaald met: (F-F) l E = 2 ( w2 - w~) A (4.18) Waarin is: F2 - F; is de toename van de belasting tussen O, l Fm= en O, 4. F =. w 2 - w 1 is de toename van de vervorming overeenkomstig met F 2 - F;. is de lengte waarover de rek is gemeten, in mm. A s het oppervlak van het proefstuk in mm 2. De treksterkte wordt bepaald met: F a=~ A (4.19) Wrinkling stress [1] Wrinkling is het plooien of rimpelen van de huid ten gevolge van een drukspanning in diezelfde huid. Het plooien of rimpelen ten gevolge van wrinkling wordt berekend met: Waarin is: N s < 2~k.. El 113 Ns Normaalkracht in de boven- of onderhuid ter plaatse van het steunpunt (N perm 1 ) k,. veerstijfheid van de kern (N/mm 3 ) Deze formule maakt geen gebruik van een kniklengte. De formule gaat, voor een verwaarloosbare veerstijfheid van de kern, niet over in de bekende knikformule volgens Euler. De formule geeft een ondergrens voor plooien ten gevolge van wrinkling. Voor afleiding en meer informatie zie [12] Wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting Het berekenen van het onderwerp genoemd in de titelkop van deze paragraaf kan op twee verschillende manieren, welke hier kart worden samengevat. n paragraaf 4.9 wordt verder ingegaan op de verschillen. SKH publicatie 94-2 'Houtachtige dakconstructies - rekenprogramma voor sandwichelementen en enkelhuidige ribpanelen' Uit: {34] Deze berekening kan aileen worden uitgevoerd indien de belasting als een puntlast wordt aangenomen, zoals afgebeeld in Figuur 4.7 hieronder. N '-~--lo~.f--~,:=l's (4.2) =. ' N N, Figuur 4.7: Belasting bij wrinkling stress gecombineerd met plaatselijk inleiden van de belasting volgens [34]. Een puntlast activeert in verhouding tot een gelijkmatig verdeelde belasting een grotere bedding. De grotere veerstijfheid in geval van een puntlast wordt op de volgende manier verdisconteerd: k = 657,; 2 ~ c; 2 > c; 2 (4.21).. ' d d Eb;l 2 lndien er dus geldt: d < l5368 d 2 ' 3 2 (4.22) Gaat de vergelijking voor de veerstijfheid over in: Ec-2 k =-'.. d2 (4.23)

72 Waarin is: Ec;z drukstijfheid kern (N/mm 2 perm 1 ) d 3 dikte huid (mm) Eb;J buigstijfheid onderhuid (N/mm 2 perm 1 ) d 2 dikte kern (mm) Het moment onder de puntlast wordt: M=_!_ 4A (4.24) Waarin is: (4.25) Ten gevolge van de drukkracht Ns wordt het moment onder de puntlast grater. lndien formule (4.2) geldt kan het maximale moment worden berekend met een vergrotingsfactor. Het maximale moment wordt dan: (4.26) De spanningen kunnen dan gecontroleerd worden met de volgende Unity Check (U.C.): Mmax Ns Mu;d Nu;d (4.27) Daarnaast kan de oplegbreedte voor een gelijkmatig verdeelde belasting nogmaals verdisconteerd worden door de afstand tot het momentennulpunt, aangeduid met bs, aan te passen. De momentenlijn en de afstand bs bij een puntlast op een ligger met een verende bedding is afgebeeld in Figuur 4.8 hieronder. F De afstand bs kan berekend worden met: M -lijn!---=~:--:---:--..?""==~ + Figuur 4.8: Momentenlijn met afstand b. b =.!!_ s 4A (4.28) De afstand bs kan nu als volgt worden aangepast: b = b +blast s; q-last s 2 (4.29) Hiermee wordt aangegeven dat er, met behulp van de aangepaste bs; q-last, een nieuwe A is te berekenen. Deze nieuwe, aangepaste Aq-lrut, kan berekend worden met: blast b +- s 2 Aq-lrut = A --b...::..._ (4.3) s Waarin b, wordt berekend met formule (4.28). Het maximale moment kan nu nogmaals met formule (4.24) berekend kan worden. Formule (4.24) gaat dan over in:

73 M! b, - 4A, b + blast s 2 (4.31) Voor de herkomst voor het aanpassen van de afstand b, wordt in het SKH-rapport verwezen naar rapport APA 875. n dit rapport wordt echter over dit specifieke onderwerp niets vermeld. Mijns inziens is het vreemd dat de oplegbreedte eerst wordt verdisconteerd aan de hand van de veerconstante (formule (4.21 )) en vervolgens nogmaals door de karakteristieke waarde voor de verende bedding A. aan te passen. Het is nu mogelijk geworden om met de hoge veerconstante een gelijkmatig verdeelde belasting uit te rekenen met een zeer grate afmeting van blast. Mijns inziens kan dit niet de bedoeling geweest zijn bij het opstellen van de publicatie. Blijkbaar is er vanuit gegaan dat dit in de praktijk niet voor komt. n paragraaf 4.9 wordt verder op dit onderwerp ingegaan. Hetenyi- 'Lightweight sandwich construction' Uit: [1] Oeze theorie is gebaseerd op een 'winkler foundation' welke wordt beschreven in door Hetenyi in [35]. n het boek wordt aangegeven dat deze theorie als eerst is ontwikkeld door Winkler [36]. Een balk op een elastische bedding wordt dan ook wei een 'Winkler foundation' genoemd. F -Pt rrrn q, =T -q,. M,( N, - N '-'='> ' /~ N, N / - -==-- ' ;::::/ J)A( Figuur 4.9: Afmetingen en belastingen bij wrinkling stress gecombineerd met plaatselijk inleiden van de belasting. Het probleem aangegeven in Figuur 4.9 kan met de volgende differentiaalvergelijking worden beschreven: d 2 w d 2 w El -+N -k w=q(x) (4.32) dx4 s dx2 w Met: N =M, s e (4.33) (4.34) Waarin is: El 1 buigstijfheid van de bovenhuid per strekkende meter (N/mm 2 mm 4 ) M, moment ter plaatse van het steunpunt per strekkende meter (Nmm perm 1 ) e afstand tussen hartlijn bovenhuid en hartlijn onderhuid (mm) N, normaalkracht in de boven- of onderhuid ter plaatse van het steunpunt (N perm 1 ) k,. veerstijfheid van de kern (N/mm 3 ) Ec:z drukstijfheid kern (N/mm 2 per m 1 ) d 2 dikte kern (mm) w vervorming (doorbuiging) (mm) q ( x) gelijkmatig verdeelde belasting (N/mm perm 1 ) Zander het inleiden van reactiekrachten kan er ook wrinkling optreden, daarom moet er in eerste instantie worden voldaan aan formule (4.2). Anders wordt er geen reele oplossing voor de differentiaalvergelijking verkregen. De reele oplossing van de differentiaalvergelijking uit formule (4.32) luidt: (4.35) Hootcstuk..l

74 Waarin is: (4.36) (4.37) Voor een gelijkmatig verdeelde reactiekracht met -Ls 2 ~ x :::; Ls 2 wordt de oplossing voor het moment in de onderhuid: Met: F El -Pol:,. - t 2 e 2 J; (x), L,. ~4k.. E1 1 - Ns F Ell -Po X " ( ) - e 11 x Ls ~4k El -N 2 6 w s J;(x) = e ' 2 sin a x+-t" -e 2 sin a x--t ' Ls Ls -- :::;X:::; A!:,_ ( ( L JJ Po!:,_ ( ( L JJ -Po!:,_ ( ( L JJ A.!:,. ( ( L JJ f 6 (x) = e 2 sin a x+ ; -e' 2 sin a x --t (4.38) (4.39) (4.4) Eigenschappen 'Kolibrie 3.5' Voor het experimenteel onderzoek wordt gebruik gemaakt van een type sandwichpaneel. Er wordt niet gevarieerd in dikte van het paneel, dikte van het huiden, soort materiaal voor de huiden en verschillende soorten EPS. Er is er voor gekozen om de laboratoriumtesten uit te voeren op het meest gangbare toegepaste sandwichpaneel. Dit is een sandwichpaneel met een dikte van 143 mm en heeft bij Unidek de productnaam 'Kolibrie 3.5'. De verdere specificaties van dit product zijn opgenomen in Tabel 4.2 hieronder Kolibrie 3.5 tengellatten 2 st. 2 x 3 mm. h.o.h. 51 mm. buitenplaat 3,2 mm spaan_qiaat P5, voorzien van groene folie binnenplaat 3,2 mm spaanplaat P5, voorzien van witte folie lengte 4 tim 8 mm. breedte 12 mm. _geluidsisolatiewaarde 23 db(a) kerndikte 137 mm. totaaldikte excl. tengel 143 mm. gewicht 7,3 kg/m" Rc-waarde 3,64 m"kw Prijs/m" 33, (April 28) levertijd 5 werkdagen.. Tabel 4.2: Productspectftcattes Kollbne 3.5. Uti [17]. Er is voor gekozen om de laboratoriumtesten uit te voeren op de meest eenvoudige vorm van de sandwich. De tengels die gewoonlijk op de elementen worden aangebracht voor het bevestigen van de panlatten zijn niet meegenomen in dit onderzoek. Om zo min mogelijk te varieeren is ervoor gekozen om aileen spaanplaat met een greene folie toe te passen, dus aan de onder- em bovenzijde. De afmetingen van de 'Kolibrie 3.5' zijn weergegeven in Figuur 4.1 hieronder. 2 C:==============:::::;:=====:::J 12 Figuur 4.1: Afmetingen Kolibrie 3.5. laag 1: Bovenhuid, spaanplaat P5 laag 2: Kern, EPS 6 laag 3: Onderhuid, spaanplaat P5 3 ~T:!l r~.* 65

75 4.3 Materiaaleigenschappen volgens de literatuur n deze paragraaf worden de materiaaleigenschappen samengevat uit de voor de auteur beschikbare literatuur. n deze samenvatting worden aileen de gegevens opgenomen die van belang zijn voor het onderzoek. Eerst worden de normen behandeld en daarna oak andere publicaties. Zo nodig wordt er commentaar opgenomen. De gevens zijn samengevat aan het einde van het hoofdstuk waar een vergelijking wordt gemaakt met de uitkomsten van het experimenteel onderzoek Eurocode 5 Design of timber structures - 24 [37] n Eurocode 5 wordt voor materiaalgegevens verwezen naar EN 312-5: Particleboards- Specifications. Part 5 Requirements for load-bearing boards for use in humid conditions. Deze norm is oak uitgegeven in het nederlands en heet dan: EN 312-5: Spaanplaat- specificaties. Deel 5. Eisen voor platen voor constructieve toepassingen in vochtige omstandigheden EN 312-5: Spaanplaat- specificaties. Deel 5. Eisen voor platen voor constructieve toepassingen in vochtige omstandigheden [38] De spaanplaatindustrie in Europa evert voor 8 a 9% aan de meubelindustrie. Het spaanplaat dat door Unidek B.V. wordt ingekocht heeft een lengte tot 1 meter. Deze lengtes worden gemaakt met een kalanderpers of Mendepers [39]. n Europa zijn er twee leveranciers die deze lengtes leveren, de firma Fritz Egger GmbH & Co in Oostenrijk en de firma Wilhelm Mende GmbH & Co uit Duitsland. Het merendeel van de productie wordt geleverd aan de meubelindustrie, het product wordt dus weinig toegepast in een constructieve bouwkundige toepassing. Vanuit de industrie is de interesse voor de constructieve eigenschappen daarom zeer laag. De materiaaltesten die worden uitgevoerd hebben met name betrekking op beheersing van het productieproces. n de EN worden dan oak aileen de eisen gegeven voor de buigingsmodulus, buigsterkte en de interne binding. De laatste wordt gebruikt voor het controleren van het lijmprocede. Voor een spaanplaatdikte van 3 tot 4 mm worden de karakteristieke waarden, dus de 5% onderscheidingsgrens, gegeven in Tabel 4.3. De buigingsmodulus en buigsterkte gelden voor elke richting in het vlak van de plaat. N/mm" buigsterkte 2 buiginsmodulus 255 Tabel 4.3: Karakterist1eke e1genschappen spaanplaat P5 volgens EN De materiaaleigenschappen genoemd in de productbladen van de fabrikanten Wilhelm Mende GmbH & Co. en Fritz Egger GmbH & Co. zijn overeenkomstig met deze waarden. Om het productieproces te controleren worden deze testen, samen met het vochtgehalte, oak bij Unidek B.V. uitgevoerd. Echter het aandeel van de buigsterkte van het spaanplaat in de totale buigstijfheid van een sandwichpaneel is ongeveer 1%. De totale buigstijfheid wordt voornamelijk opgenomen door de zogenaamde 'Steinerbuiging' van het spaanplaat, oftewel door een druk- en trekkracht in de boven- en onderhuid. De bepalende eigenschappen voor toepassing van het spaanplaat in een sandwich zijn dus de druken trekmodulus en de bijbehorende druk- en treksterkte en niet de buigingsmodulus en buigsterkte. De trek- en drukmodulus en trek- en druksterkte worden echter niet getest, noch door de fabriek, noch door Unidek. B.V. De bepalende eigenschappen van spaanplaat P5 voor toepassing in een sandwichconstructie zijn dus onbekend Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken- BEKS 24 [19] Als voorbereiding op de komst van de Eurocode is er in Duitsland door de heren Bla(l,, Ehlbeck, Kreuzinger en Steck een overgangsdocument geschreven. n de volksmond wordt dit document 'BEKS' genoemd. n dit document worden wei uitgebreidere materiaaleigenschappen gegeven voor spaanplaat P5. De eigenschappen worden echter aileen gegeven voor een dikte van 6 tot 13 mm. Bij het gebruik van deze gegevens voor spaanplaat met een dikte van 3 mm wordt aangenomen dat de eigenschappen gelijkwaardig zijn. De eigenschappen aan het oppervlak van de doorsnede zijn beter dan in de middenzone door een hardere persing. Een dunnere plaat heeft minder middenzone en dus is het aannemelijk dat de eigenschappen gelijkwaardig zijn. n tabel F.16 uit [19] is dit oak waar te nemen uit de afnemende eigenschappen voor dikkere platen. De gegeven eigenschappen voor spaanplaat P5 zijn opgenomen in Tabel 4.4 hieronder. Het is in de lijn der verwachtingen dat deze gegevens in de toekomst worden opgenomen in de Eurocode. Hcd :;tuk J.

76 P5, dikte 6-13 mm uit het vlak N/mm 2 buiging 15, druk 1, elasticiteitsmodulus 35* afschuivingsmodulus 2 in het vlak trek 9,4 druk 12,7 elasticiteitsmodulus 2* Tabel 4.4: E1genschappen spaanplaat P5 volgens BEKS 24 (19]. *gemiddelde waarde (voor berekeningen in de bruikbaarheidsgrenstoestand) 5% onderscheidingsgrens van deze waarden kan berekenend worden met: E. =, 8 Egemiddetd TR 19 [6] De waarden voor spaanplaat P5 voorgesc h reven d oar d e TR19 ZJn.. opge nomen in Tabel 4.5. P5, dikte 6-13 mm uit het vlak N/mm 2 buiging 14,2 elasticiteitsmodulus 32* afschuivingsmodulus 2 in het vlak trek 8,9 druk 12, elasticiteitsmodulus 18* Tabel4.5: E1genschappen spaanplaat P5 volgens TR 19 (6]. *gemiddelde waarde (voor berekeningen in de bruikbaarheidsgrenstoestand) n dit document wordt overigens beweerd dat het spaanplaat P5 middels deze waarden is ingeschaald volgens EN n dit document staan echter andere waarden vermeldt en wordt aileen de buigsterkte en buigingsmodulus voorgeschreven. De waarden verschillen overigens iets met die van BEKS 24 [19]. Voor EPS 6 worden de waarden in Tabel 4 6 hieronder voorgeschreven. EPS 6 sterkte in N/mm" druk (Jc;rep,6 trek a-,;rep,1 afschuiving (Jv;rep,5 stijfheid in N/mm" Er(c).gem 4 Ggem 1,82 dichtheid in kg/m.j Prep 15 Tabel4.6: Waarden voor EPS 6 volgens TR19.(6] Prufbericht. Auftrag-Nr. 725 [4] Om de Unidek dakelementen oak op de Duitse markt aan te mogen bieden is er door de Fachhochschule Mainz een onderzoek uitgevoerd. De individuele materiaaleigenschappen zijn steeds bepaald middels een aantallaboratoriumproeven. De proeven op het spaanplaat zijn uitgevoerd op een dikte van 1 mm en volgens EN 789 [33]. De resultaten van de trekproeven op het spaanplaat met groene folie zijn we ergegeven m T a b e 4 7 h' 1eron d er. treksterkte trekstijfheid in N/mm 2 in N/mm 2 aantal proefstukken 1 1 standaardafwijking,398,7 fractielfactor 2,1 2,1 gemiddelde 1, minimum 1, maximum 11, % onderscheidingsgrens 9, Tabel4.7: Trekmodulus en treksterkte spaanplaat d1kte 1 mm met groene folie volgens prufbencht... Auftrag-Nr. 725 [4]. 67

77 Voor 1 mm spaanplaat met witte folie zijn deze testen oak uitgevoerd. Hiervoor zijn, in tegenstelling tot de andere testen, 8 proefstukken gebruikt. De resultaten zijn hieronder weergegeven in Tabel 4.8. treksterkte trekstijfheid in N/mm 2 in N/mm 2 aantal proefstukken 8 8 standaardafwijking,222,1111 fractielfactor 2,19 2,19 gemiddelde 11, minimum 11 ' maximum 11, % onderscheidingsgrens 1, Tabel 4.8: Trekmodulus en treksterkte spaanplaat d1kte 1 mm met w1tte folie volgens prufbencht. Auftrag-Nr. 725 [4]. Oak de druksterkte van het spaanplaat is getest. Voor het spaanplaat met groene folie zijn de uitkomsten weergegeven in Tabel 4.9 hieronder. druksterkte drukstijfheid in N/mm 2 in N/mm 2 aantal proefstukken 5 5 standaardafwijking,317,957 fractielfactor 2,46 2,46 gemiddelde 16, minimum 15, maximum 16, % onderscheidingsgrens 14, Tabel 4.9: Druksterkte en drukst1]fhe1d spaanplaat d1kte 1 mm met groene folie volgens prufbencht. Auftrag-Nr. 725 [4]. Voor dezelfde proeven maar dan met een witte folie zijn de uitkomsten weergegeven in Tabel 4.1 hieronder. druksterkte drukstijfheid in N/mm 2 in N/mm 2 aantal proefstukken 6 6 standaardafwij king,269,22 fractielfactor 2,34 2,34 gemiddelde 17, minimum 16, maximum 17, % onderscheidingsgrens 16, Tabel4.1: Druksterkte en drukstijfheld spaanplaat d1kte 1 mm met w1tte folie volgens prufbencht. Auftrag-Nr. 725 [4]. Voor het bepalen van de afschuifsterkte van EPS 6 is een vierpuntsbuigproef gebruikt met een totale overspanning van 8 mm en drie gelijke tussenafstanden. De krachten zijn ingeleid op blokken van foamrubber met een breedte van 15 mm. De testresultaten zijn weergegeven in Tabel 4.11 hieronder. Er is geen afschuivingsmodulus bepaald van het EPS. N/mm" gemiddelde,94 minimum,87 maximum,99.. Tabel 4.11: Afschuifsterkte EPS 6 volgens prufbencht. Auftrag-Nr. 725 [4] Materiaaleigenschappen spaanplaat- Rapport Adviesbureau lr H. Ploos van Amstel ci [41] n dit rapport worden een aantal testen beschreven op spaanplaat met een dikte van 3, en 3,2 mm afgewerkt met een witte en een groene folie. Aileen de testresultaten van de trekproeven op spaanplaat met een dikte van 3, mm worden samengevat in dit verslag. De testmethode van deze trekproeven is grotendeels gelijk aan de methode beschreven in EN 789. De proeven werden uitgevoerd op proefstukken met een lengterichting evenwijdig aan de lengterichting van de plaat en op proefstukken met een lengterichting loodrecht op de lengterichting van de plaat. Aileen de uitkomsten evenwijdig aan de lengterichting zijn weergegeven in Tabel 4.12 op de volgende bladzijde. 68

78 _groene folie N/mm Trekmodulus* 2217** Treksterkte* 8,5 witte folie Trekmodulus* 322** T reksterkte * 11,4 Tabel 4.12: Overzicht proefresultaten- spaanplaat PS, d1kte 3, mm- APA 8911 [41]. gemiddelde waarden **in dit rapport word! verondersteld dat de trekmodulus gelijk is aan de drukmodulus Met de relaties tussen de verschillende materiaaleigenschappen uit het 824 onderzoek [42] worden in dit rapport oak nag andere eigenschappen bepaald. De belangrijkste zijn weergegeven in Tabel 4.13 hieronder. Hierbij dient nogmaals opgemerkt te worden dat dit berekende waarden zijn met behulp van bekend veronderstelde relaties uit het 824 onderzoek, dit zijn geen testresultaten. groene folie N/mm buigingsmodulus 321 buigsterkte 18,2 druksterkte 16,4 witte folie buigingsmodulus 4417 buigsterkte 22,7 druksterkte 2,4 Tabel 4.13: Berekende eigenschappen met relalles Ull onderzoek 824- spaanplaat PS, dikte 3, mm- APA 8911 [41]. Oak worden de gebruikswaarden gegeven, deze zijn opgenomen in Tabel 4.14 hieronder: groene folie N/mm trekmodulus 25 treksterkte 2,6 buigingsmodulus 295 buigsterkte 5,7 druksterkte 5,1 witte folie trekmodulus 29 treksterkte 3,4 buigingsmodulus 41 buigsterkte 7,1 druksterkte 6,4 Tabel 4.14: Overzicht gebru1kswaarden- spaanplaat PS, d1kte 3, mm- APA 8911 [41]. Hierbij moet worden opgemerkt dat de orientatie van de folie bij de waarden voor de buigsterkte en buigingsmodulus in Tabel 4.14 niet van invloed is op de resultaten. De sterkte van de groene of witte folie wordt natuurlijk wei in de trekstijfheid en treksterkte van de trekproeven meegenomen. Maar het is natuurlijk niet mogelijk om de buigsterkte en buigstijfheid met folie aan de onder- of bovenzijde met behulp van bekende relaties te berekenen. Vandaar dater maar een waarde gegeven wordt, onafhankelijk van dat er wei of geen folie aanwezig is Technisch Centrum der HoutNijverheid (TCHN)- Rapport Nr [22] Voor spaanplaat met een dikte van 3,2 mm wordt een gemiddelde elasticiteitsmodulus voorgeschreven van 24 N/mm 2. Hierbij wordt aangenomen dat de gegeven waarde geldt voor de druk- en trekmodulus. De gemiddelde afschuivingsmodulus voor de kern, bestaande uit EP8 6, is volgens dit rapport 2, N/mm

79 4.4 Buigingsmodulus en buigsterkte van het spaanplaat lnleiding n deze paragraaf worden de buigingsmodulus en buigsterkte bepaald van spaanplaat van het type P5 met behulp van experimenteel onderzoek. De uitkomsten zoals bepaald in dit onderzoek gelden aileen voor deze deelpopulatie. Desondanks wordt er tach geprobeerd om met deze gevens iets meer te kunnen zeggen over de gehele populatie dus over spaanplaat P5, met een dikte van 3, mm, in het algemeen. Bij de sandwichpanelen is folie aangebracht op het spaanplaat. Om een zo representatief mogelijke waarde te verkrijgen wordt het spaanplaat met daarop de folie getest. Omdat er aileen sandwichpanelen getest worden met een groene folie worden er oak aileen buigproeven uitgevoerd met groene folie. Omdat aan de bovenzijde de folie boven is aangebracht en aan de onderzijde aan de onderkant worden testen met folie aan de onder- en bovenzijde uitgevoerd. De invloed van de folie op de buigsterkte en buigstijfheid kan zo oak onderzocht worden. Van beiden, dus folie aan de bovenzijde en folie aan de onderzijde, worden 35 testen uitgevoerd. De proefstukken zijn genom en van de overlengte van de proefstukken voor de vierpuntsbuigproef. De proefstukken zijn genomen in de lengterichting van het sandwichpaneel. Van deze zeven proefstukken zijn van de boven- en onderplaat steeds vijf proefstukken genomen. n totaal dus twee maal 35 proefstukken. De testen worden uitgevoerd volgens NEN-EN 31- Houtachtige plaatmaterialen- Bepaling van de elasticiteitsmodulus bij buiging en van de buigsterkte [32]. n deze methode wordt gebruik gemaakt van de driepuntsbuigproef. Het is oak mogelijk om gebruik te maken van de vierpuntsbuigproef volgens EN 789 Determination of mechanical properties of wood-based panels [33]. Het voordeel van deze methode is natuurlijk het constante moment tussen de puntlasten waardoor er een grotere kans is op een zwakke plek dan bij de driepuntsbuigproef. De zo verkregen spreiding zal kleiner zijn. De afmetingen van de proefopstelling zijn zodanig klein dat er vanwege uitvoeringstechnische redenen gekozen is voor de driepuntsbuigproef. Hierna volgend wordt de maximaal te verwachten doorbuiging, maximale belasting en belastingssnelheid bepaald Voorbereiding op de experimenten volgens NEN-EN 31 n NEN-EN 31 worden een aantal aandachtspunten genoemd voor het gebruik en toepassen van de norm. Voor deze aandachtspunten wordt verwezen naar de betreffende norm. De gebruikte formules uit NEN-EN 31 zijn voor de volledigheid opgenomen in paragraaf n Figuur 4.11 hieronder is een schematische weergave van de proefopstelling met de afmetingen van de proefstukken weergegeven. Een complete tekening van de opstelling is opgenomen in Bijlage E. Ter voorbereiding van de proeven zijn de proefstukken 2 weken in de klimaatkamer ondergebracht. De laatste 2 dagen zijn wegingen uitgevoerd welke zijn vergeleken met de gestelde voorwaarden in [32]. Bij de verwerking van de meetresultaten bleek dater werd voldaan aan de vereisten voor een constant vochtgehalte. = 1 meetklokje tbvverplootsing w O krochtsin/eidmg: 3mm.Q. rolopleggmg : 15 mm ojinetingen proef~tukken: ~-t -~::+ 1'[=15 Figuur 4.11: Schematische weergave proefopstelling buigtesten en afmetingen proefstukken. Maximaal te verwachten doorbuiging tot breuk Voor het bepalen van het meetbereik van de benodigde instrumenten is de maximaal te verwachten doorbuiging benodigd. De doorbuiging wordt bepaald met de hoogst bekende breukspanning (uit: [41]) in combinatie met de laagst bekende elasticiteitsmodulus (uit: [38]). De maximaal te verwachten doorbuiging wordt: 22, = 24 3 N. 3 1, =-bd =- 5 3 =112 5 mm ,

80 F/3 24,3 13 = mm ,5, Het meetbereik van een Mitutiyo opnemer is 5 mm. Het meetbereik van dit instrument is dus ruim voldoende voor het meten van de doorbuiging in het midden van de overspanning. Maximaal te verwachten belasting Met formule (4.15) kan de maximaal te verwachten belasting bepaald worden: Fmax ab2bd 2 22, = 24 3 N. 3! 3 1, Voor het inleiden van de krachten is gebruik gemaakt van de 25 kn druk- trekbank in combinatie met een krachtmeetdoos van 5 N. Belastingsnelheid Voor het bepalen van de meest reele te verwachten belastingsduur wordt gebruik gemaakt van de gegevens uit [41]. De te verwachten doorbuiging wordt met deze gegevens: F = ab2bt 2 18, = N max 3/ ' F/ ,8 1 3 = 9 48 mm ,5, n NEN-EN 31 wordt een gemiddelde belastingduur voorgeschreven van 5 minuten. De berekende testsnelheid wordt dus: 9,48. --= 1,896 ""2 mm mm Uitvoering Met behulp van een aantal reserveproefstukken is de berekende belastingduur getest. Door de invloed van de folie aan de onder- of bovenzijde en mogelijke afwijkingen in de gegevens is de belastingsnelheid aangepast. De uiteindelijke belastingssnelheid is ingesteld op: 5 mm /min. Figuur 4.12 en Figuur 4.13 op de volgende bladzijde geeft een duidelijk beeld van de uitvoering van de testen. Van ieder proefstuk is de dikte en de breedte in het midden van het proefstuk opgenomen. Figuur 4.12: Overzicht proefopstelling buigtesten Verwerking van de resultaten De uitkomsten zijn verwerkt volgens NEN-EN 31 [32], zie paragraaf De statistische uitwerkingen zijn uitgevoerd volgens NEN 6764 [15], zie paragraaf Van ieder proefstuk is in principe de oorsprong bekend. Van bijvoorbeeld de bovenplaat van proefstuk A is bekend wat de vijf bijbehorende proefstukken voor de buigtesten zijn. Mogelijk hebben deze vijf testen een veel kleinere spreidingsbreedte, het verschil tussen minimale en maximale testwaarde, als de spreidingsbreedte van de totale testserie. lndien dit het geval is zou dit er op duiden dat deze 'individuele' materiaaleigenschappen veel beter overeenkomen met de werkelijke eigenschappen per proefstuk voor de vierpuntsbuigproef dan de gemiddelde eigenschappen. De berekening van de afschuivingsmodulus met de vierpuntsbuigproef zou dan uitgevoerd moeten worden met de

81 materiaaleigenschappen per proefstuk en niet met de gemiddelde materiaaleigenschappen. Echter de spreidingsbreedte van de 'individuele' resultaten per proefstuk voor de vierpuntsbuigproef zijn in enkele gevallen half zo groat als de spreidingsbreedte van het totaal. Hiermee kan dus niet worden aangetoond dat de 'individuele' testresultaten nauwkeuriger zijn dan de gemiddelde testresultaten. Het gemiddelde, de minimale en maximale waarde en de standaardafwijking is daarom bepaald voor de populatie als geheel. Berekening van de afschuivingsmodulus met behulp van de vierpuntsbuigproef is uitgevoerd met het gemiddelde van de waarden voor de gehele populatie Resultaten NEN-EN 31 Voor verwerking van de resultaten is gebruik gemaakt van een Excel-sheet. De verwerking van de uitkomsten is opgenomen in Bijlage F Evaluatie Zoals vermeld in het hoofdstuk literatuurstudie is voor de bruikbaarheidsgrenstoestand de gemiddelde elasticiteitsmodulus en voor de uiterste grenstoestand de karakteristieke sterkte vooral van belang. Voor de folie aan de gedrukte en getrokken zijde is dit samengevat in Tabel Waarin is: 'folie aan gedrukte zijde' N/mm 2 'folie aan getrokken zijde' l\l/mm 2 Eb;ser (J' h;rep;u 16,6 22,68.. Tabel4.15: Samenvattlng u1tkomsten bu1g1ngsmodulus en bu1gsterkte. Eb;ser elasticiteitsmodulus bij buiging m.b.t. bruikbaarheidsgrenstoestand (N/mm 2 ) ryb;rep;u representatieve buigspanning in de uiterste grenstoestand (N/mm 2 ) n eerste instantie valt op dat het verschil in buigsterkte tussen de folie aan de boven- of onderzijde aanzienlijk is terwijl dit verschil voor de elasticiteitsmodulus relatief klein is. De aangebrachte folie heeft dus vrijwel geen invloed op de stijfheid maar wei een grate invloed op de treksterkte. Voor berekeningen waarbij de treksterkte van belang is moet dus de orientatie van de folie worden meegenomen. Voor de overige evaluatie wordt verwezen naar paragraaf Drukmodulus en druksterkte van het spaanplaat lnleiding n deze paragraaf wordt de drukmodulus en druksterkte bepaald van spaanplaat P5 met behulp van experimenteel onderzoek. De uitkomsten gelden aileen voor deze deelpopulatie. Desondanks wordt er tach geprobeerd om met deze gevens iets meer te kunnen zeggen over de gehele populatie dus over spaanplaat P5, met een dikte van 3, mm, in het algemeen. Omdat er aileen sandwichpanelen getest worden met een groene folie worden er oak aileen drukproeven uitgevoerd met groene folie. De proefstukken zijn genomen van de overlengte van de proefstukken voor de vierpuntsbuigproef. De proefstukken zijn genomen in de lengterichting van het sandwichpaneel. Van deze zeven proefstukken zijn van de bovenplaat steeds twee proefstukken genomen. n totaal dus 14 proefstukken. De testen worden uitgevoerd volgens EN 789 Determination of mechanical properties of wood-based panels [33]. Hiernavolgend wordt de maximaal te verwachten belasting en belastingssnelheid bepaald Voorbereiding op de experimenten volgens EN 789 n EN 789 worden een aantal aandachtspunten genoemd voor het gebruik en toepassen van de norm. Voor deze aandachtspunten wordt verwezen naar de betreffende norm. De gebruikte formules uit EN 789 zijn voor de volledigheid opgenomen in paragraaf n Figuur 4.14 op de volgende bladzijde is een schematische weergave van de proefopstelling met de afmetingen van de proefstukken weergegeven. Een complete tekening van de proefopstelling is opgenomen in Bijlage E. Ter voorbereiding van de proeven zijn de proefstukken 4 weken in de klimaatkamer ondergebracht. De laatste 2 dagen zijn wegingen uitgevoerd welke zijn vergeleken met de gestelde voorwaarden in [32]. Bij de verwerking van de meetresultaten bleek dater werd voldaan aan de vereisten voor een constant vochtgehalte. 7]. 1---lc-oidsluk -4

82 F 1 ~~ 4 ++ Q bolscharnier o <> lv dt afmetingen proefstukken: N N / 14/agen x 3mm =42mm Figuur 4.14: Schematische weergave proefopstelling druktesten en afmetingen proefstukken. Maten in mm. De onderlinge delen zijn gelijmd met langzaam drogende lijm uit de fabriek bij Unidek B.V. Doel van de lijm is een proefstuk te verkrijgen met dusdanige doorsnedeafmetingen dat knik tijdens de proef uitgesloten is. Voor het meten van de rek kan er gekozen worden voor rekstrookjes of met behulp van lvdt's (lvdt = Lineair variable differential transformer). Vanwege de eenvoud en de kosten wordt er gekozen voor lvdt's. De nauwkeurigheid is voldoende voor deze toepassing [43]. Bevestiging door middel van lijmen. Maximaal te verwachten belasting Met formule (4.17) kan de maximaal te verwachten belasting bepaald worden: gegevens uit: [4]. Fmax =O"c A=16, =27.838:d8 kn. Voor het inleiden van de krachten is gebruik gemaakt van de 25 kn druk- trekbank. Vanaf 3 kn is de afwijking in de uitgevoerde belasting en gemeten belasting maximaal 1%. Dit wordt voldoende geacht voor deze toepassing. Belastingsnelheid Voor het bepalen van de meest reele te verwachten belastingsduur wordt gebruik gemaakt van de gegevens uit [4]. De verwachtte drukbelasting wordt met deze gegevens: Fgem = O"c A= 16, = 26,897 N. De verplaatsing over 22 mm, uitgaande van lineair gedrag tot breuk, die bij deze belasting zal optreden is: M =. =. cr = f. F = = mm E E A ' n EN 789 wordt een gemiddelde belastingduur voorgeschreven van 5 minuten. De berekende belastingsnelheid wordt dus: '-- =, 25 mm/mm. 5min Uitvoering Met behulp van een aantal reserveproefstukken is de berekende belastingsnelheid getest. De uiteindelijke belastingssnelheid is ingesteld op:,6 mm /min. Figuur 4.15 en Figuur 4.16 op de volgende bladzijde geven een duidelijk beeld van de uitvoering van de testen.

83 4.5.4 Resultaten De uitkomsten zijn verwerkt volgens EN 789 [33]. De statistische uitwerkingen zijn uitgevoerd volgens NEN 676 [3'1], welke kart is samengevat in paragraaf Voor verwerking van de resultaten is gebruik gemaakt van een spreadsheet. De uitkomsten zijn opgenomen in Bijlage F. Zoals vermeld in het hoofdstuk literatuurstudie is voor de bruikbaarheidsgrenstoestand de gemiddelde elasticiteitsmodulus en voor de uiterste grenstoestand de karakteristieke sterkte vooral van belang. Voor de drukmodulus en druksterkte is dit samengevat in Tabel 4.16 hieronder. Waarin is: N/mm" c;ser 3183 crc;rep;u 14,38 Tabel4.16: Samenvatt1ng u1tkomsten drukmodulus en druksterkte. Ec;ser elasticiteitsmodulus bij druk m.b.t. bruikbaarheidsgrenstoestand (N/mm 2 ) CYc;rep;u representatieve druksterkte in de uiterste grenstoestand (l\l/mm 2 ) Evaluatie Vrijwel aile proefstukken zijn bezweken op de lijmverbindingen tussen de verschillende lagen spaanplaat. Bij het belasten blijft de verbinding intact tot plots bij bezwijken onthechting optreedt. n Figuur 4.17 is het bezweken proefstuk CBD1 afgebeeld. De onthechting tussen de lagen spaanplaat is duidelijk zichtbaar. Doordat de lijmverbinding intact is gebleven tot aan het bezwijken zal dit hoogstwaarschijnlijk geen noemenswaardige invloed gehad hebben op de gemeten elasticiteitsmodulus. De verkregen druksterkte is vrijwel zeker lager dan wanneer er geen onthechting op was getreden. De waarde die nu is verkregen voor de druksterkte is in ieder geval een veilige benadering van de werkelijkheid. Voor de overige evaluatie wordt verwezen naar paragraaf 4.1. Figuur 4.17: Onthechting bij proefstuk CBD1.

84 4.6 Trekmodulus en treksterkte van het spaanplaat lnleiding n deze paragraaf wordt de trekmodulus en treksterkte bepaald van spaanplaat P5 met behulp van experimenteel onderzoek. De uitkomsten gelden aileen voor deze deelpopulatie. Desondanks wordt er tach geprobeerd om met deze gevens iets meer te kunnen zeggen over de gehele populatie dus over spaanplaat P5, met een dikte van 3, mm, in het algemeen. Omdat er aileen sandwichpanelen getest worden met een groene folie worden er oak aileen trekproeven uitgevoerd met groene folie. Bij het onderzoek naar de buigsterkte van het spaanplaat is aangetoond dat de aanwezigheid van de folie invloed heeft op de resultaten. lndien de folie aan de onderzijde is aangebracht be'lnvloedt dit de buigsterkte aanzienlijk. De aanwezigheid van de folie is hoogstwaarschijnlijk oak van invloed op de testresultaten bij de trekproeven. De invloed van de folie op de trekstijfheid en treksterkte wordt in dit project niet onderzocht. Er wordt aileen gekeken naar spaanplaat met groene folie. De resultaten hebben dus oak aileen betrekking op spaanplaat P5 met een dikte van 3 mm en afgewerkt met groene folie. De proefstukken zijn genomen van de overlengte van de proefstukken voor de vierpuntsbuigproef. De proefstukken zijn genomen in de lengterichting van het sandwichpaneel. Van de zeven proefstukken zijn van de onderplaat steeds twee proefstukken genomen. n totaal zijn er dus 14 proefstukken. De testen worden uitgevoerd volgens EN 789 Determination of mechanical properties of wood-based panels [33]. Hierna volgend wordt de maximaal te verwachten belasting en belastingssnelheid bepaald Voorbereiding volgens EN 789 n EN 789 worden een aantal aandachtspunten genoemd voor het gebruik en toepassen van de norm. Voor deze aandachtspunten wordt verwezen naar de betreffende norm. De gebruikte formules uit EN 789 zijn voor de volledigheid opgenomen in paragraaf n Figuur 4.18 is een schematische weergave van de proefopstelling met de afmetingen van de proefstukken weergegeven. Een complete tekening van de proefopstelling is opgenomen in Bijlage E. Voor het meten van de rek kan er gekozen worden voor rekstrookjes of voor lvdt's. Vanwege de eenvoud en de kosten wordt er gekozen voor lvdt's. De nauwkeurigheid is voldoende voor deze toepassing [43]. Bevestiging door middel van lijmen. Ter voorbereiding van de proeven zijn de proefstukken 2 weken in de klimaatkamer ondergebracht. De laatste 2 dagen zijn wegingen uitgevoerd welke zijn vergeleken met de gestelde voorwaarden in [32]. Bij de verwerking van de meetresultaten bleek dat er werd voldaan aan de vereisten voor een constant vochtgehalte.

85 F n 1 [ <>-<> lvdr (hkre proej.\;tuk 3mm spoonploat of.~ewerkt met groene.f(die 15o ± 5 1 dmkpers - mox 1 bor +---t--" / / ~;~ / d/ 25 c n 1 Figuur 4.18: Schematische weergave proefopstelling trektesten en afmetingen proefstukken. Maten in mm. Maximaal te verwachten be/asting Met forrnule (4.19) en de maximaal bekende trekbelasting uit [4] kan de maximaal te verwachten belasting worden bepaald: Fma.x =O", A =ll, =5.146:::::5 kn. Voor het inleiden van de krachten is gebruik gemaakt van de 25 kn druk- trekbank. Vanaf 3 kn is de afwijking in de uitgevoerde belasting en gemeten be lasting maximaal 1%. Dit wordt voldoende geacht voor de deze toepassing. Belastingsnelheid Voor het bepalen van de meest reele te verwachten belastingsduur wordt gebruik gemaakt van de gemiddelde gegevens uit [4]. De te verwachten gemiddelde waarde voor de trekbelasting is: ~em = O"c A = 1, = N. 1/5 deel van de plaat is verdikt met aan twee zijden 7 mm spaanplaat in verband met het inleiden van de krachten. Daarom wordt met 4/5 deel meegerekend voor het bepalen van de te verwachten rek van het proefstuk. De te verwachten verplaatsing van het proefstuk tussen de bevestigingen (12 mm) die bij deze belasting zal optreden is:

86 ~ M=l &=l a- = l F = 5 =341 mm E E A ' n EN 789 wordt een gemiddelde belastingduur voorgeschreven van 5 minuten. De berekende belastingsnelheid wordt dus: 3 41 = 56, 6 mm/min. 5 ' ' Uitvoering Met behulp van een aantal reserveproefstukken is de berekende belastingsnelheid getest. De uiteindelijke belastingssnelheid is ingesteld op:,6 mm min. Gelijk aan de berekende belastingsnelheid. Figuur 4.19 en Figuur 4.2 op de volgende bladzijde geven een duidelijk beeld van de uitvoering van de testen. Van ieder proefstuk is de dikte en breedte opgenomen. Figuur 4.19: Overzicht proefopstelling trektesten Resultaten De uitkomsten zijn verwerkt volgens EN 789. De statistische uitwerkingen zijn uitgevoerd volgens NEN 6764 [15], welke kort is samengevat in paragraaf Voor verwerking van de resultaten is gebruik gemaakt van een Excel-sheet. De uitkomsten zijn opgenomen in Bijlage F Evaluatie Zoals verrneld in het hoofdstuk literatuurstudie is voor de bruikbaarheidsgrenstoestand de gemiddelde elasticiteitsmodulus en voor de uiterste grenstoestand de karakteristieke sterkte vooral van belang. Voor de treksmodulus en treksterkte is dit samengevat 1n T a bel 4.16 hieronder. N/mm~ t;ser 3397 al;rep;u 6,24 Tabel4.17: Samenvatting uitkomsten trekmodulus en treksterkte in de bgt en de ugt. Waarin is: E,;ser elasticiteitsmodulus bij trek m.b.t. bruikbaarheidsgrenstoestand (N/mm 2 ) a-t;rep;u representatieve trekspanning in de uiterste gr.enstoestand (N/mm 2 ) Voor de overige evaluatie wordt verwezen naar paragraaf ,,

87 4. 7 Afschuifstijfheid van de kern n deze paragraaf wordt met behulp van experimenteel onderzoek de afschuifstijfheid van de kern bepaald. Het gaat hierbij om EPS 6. Hiervoor wordt een sandwichelement belast onder buiging. Zoals reeds in de inleiding van dit hoofdstuk is aangehaald wordt dit gedaan met behulp van de vierpuntsbuigproef. Het systeem van de vierpuntsbuigproef is met twee opleggingen statisch bepaald. n de inleiding is reeds aangehaald dat bij statisch bepaalde constructies de dwarskrachtvervorming bij de buiginsvervorming gesuperponeerd mag worden. Meerdere bronnen zoals Davies [1], Plantema [3], Jungbluth & Berner [4], Allen [1 ] onderschrijven dit en deze aanname wordt dan oak ajgemeen aanvaard. Met behulp van de differentiaalvergejijkingen is dit nogmaajs aangetoond in paragraaf Jndien nude buigstijfheid van een sandwichpaneej bekend is kan met behujp van deze theorie de afschuifstijfheid berekend worden. De extra doorbuiging naast de buiginsvervorming kan immers toegeschreven worden aan de dwarskrachtstijfheid van het sandwichejement. De theorie beschreven in rapport 3185 van de TCHN [22], wejke is samengevat in paragraaf 4.2.2, is op het zojuist beschreven principe van superpositie van buiginsvervorming en dwarskrachtvervorming gebaseerd. Deze theorie wordt overigens oak beschreven in pren 1459 [3] en in 'Lightweight sandwich construction' [1] door Davies. Met de bekende dwarskrachtstijfheid van een sandwichpaneej kan de afschuivingsmodujus van het materiaaj in de kern bepaajd worden. Bij de berekeningen in deze paragraaf wordt uitgegaan van de meest eenvoudige methode waarbij de rek over de hoogte van de kern constant wordt aangenomen en het verloop van de afschuifrek over de dikte van de huid Jineair. Zie paragraaf 2.4 voor meer achtergrondinformatie hierover. De dwarskrachtstijfheid kan dan berekend worden vojgens formuje (2.16) Het grate voordeej van de vierpuntsbuigproef, waarbij een Jigger op twee steunpunten wordt belast door twee puntlasten, is dat er een constant moment optreedt tussen de puntlasten, zonder de aanwezigheid van dwarskracht. Met behujp van de dwarskrachten- en momentenjijnen is dit weergegeven in Figuur 4.21 hieronder. v l + (5(52) A ("1 <""') "T :=> :=> ~ ~ ~ ~ J.. «9 meerklokje M l + i.._ Buiging zonder dwarskracht Figuur 4.21: Dwarskrachten- en momentenlijn vierpuntsbuigproef Anders dan bij de driepuntsbuigproef, waarbij een Jigger op twee steunpunten wordt bejast door een puntjast, geeft de vierpuntsbuigproef een Jagere spreiding in de testresujtaten voor de breukbejasting. Dit komt doordat de uitkomst niet uitsjuitend afhankelijk is van de materiaaleigenschappen ter plaatse van het maximale moment, dus onder de puntlast, maar van de materiaaleigenschappen over een grater gebied. Een ander voordeej van de vierpuntsbuigproef is dat met behulp van het constante moment (zonder dwarskracht) tussen de puntlasten, de eigenschappen van de sandwich bepaald kunnen worden bij enkel buiging. De op deze wijze verkregen eigenschappen van de sandwich kunnen vervojgens worden vergeleken met de eigenschappen berekend met de individueje materiaaleigenschappen verkregen uit het experimenteej onderzoek. (zie paragraaf 4.4 tot en met 4.6) De meting van de kromming tussen de puntlasten gebeurt met drie metingen aan de onderzijde van het paneel, twee naast de puntlasten en een in het midden. Zie oak Figuur De twee buitenste metingen worden buiten het invjoedsgebied van de puntlasten gepjaatst waarbij dit invjoedsgebied bepaald is vojgens het principe van Saint Venant [9]. 78 Hoof!.Jslt.,k.1.

88 De afmetingen van de vierpuntsbuigproef zijn afhankelijk van het omslagpunt voor bezwijken ten gevolge van dwarskracht. Het omslagpunt is als volgt voor te stellen. Bij een kleine gedrongen overspanning treedt bezwijken ten gevolge van dwarskracht op in de kern. Wordt nu, bij gelijkblijvende belasting, de overspanning grater gemaakt dan blijft de dwarskracht constant maar neemt het moment toe. Bij een voldoende grate overspanning zal het proefstuk ten gevolge van het moment bezwijken op trekspanning in de onderhuid, voordat bezwijken op dwarskracht zal optreden. De overspanning waarbij nag net bezwijken op dwarskracht kan optreden wordt hierbij als het omslagpunt gedefineerd. Daarom wordt de vierpuntsbuigproef met een overspanning van 8 a 9 mm gebruikt voor het bepalen van de afschuifsterkte van het materiaal in de kern [4] (een experimentele methode voor het bepalen van de overspanning wordt beschreven in [3]). En een proef met een grotere overspanning dan het omslagpunt voor het bezwijken op treksterkte van de huiden. Het omslagpunt voor het sandwichpaneel zoals toegepast in dit project wordt berekend in de volgende paragraaf en ligt op ongeveer 1, meter. Om bezwijken op trekspanning in de onderhuid te garanderen moet een grotere overspanning worden aangehouden. De afmetingen waarop sandwichpanelen worden getest bij Unidek B.V. zijn hiervoor geschikt. De totale overspanning van deze proefopstelling is drie meter waarbij de drie tussenafstanden gelijk aan elkaar zijn. Dezelfde afmetingen worden oak in dit project aangehouden en zijn weergegeven in Figuur 4.22 hieronder. Een overspanning van drie meter geeft tevens een voldoende grate doorbuiging voor een voldoende nauwkeurige meting. J;;;,WC oo 1oo 3 b Figuur 4.22: Afmetingen vierpuntsbuigproef. Maten in mm Voorbereiding op de experimenten Met behulp van de gegevens uit paragraaf 4.4 tot en met 4.6 kunnen nu de te verwachten belastingen, vervormingen en de belastingduur bepaald worden. n principe is per individueel proefstuk voor de vierpuntsbuigproef bekend wat de bijbehorende materiaaleigenschappen zijn. De naamgeving van een proefstuk uitgevoerd op het spaanplaat is immers direct gekoppeld aan een proefstuk voor de vierpuntsbuigproef. Omdat de spreidingsbreedte voor de proefstukken uit een plaat aanzienlijk is, soms meer dan de helft van de spreidingsbreedte van aile proefstukken, worden voor de berekeningen aileen de gemiddelde eigenschappen gebruikt van aile proefstukken (zie paragraaf 4.4 tot en met 4.6). De dwarskrachtstijfheid (G) van het EPS wordt dus aileen berekend met de gemiddelde eigenschappen voor buig- trek- en drukstijfheid. En niet met de individuele eigenschappen, behorende bij de overeenkomstige proefstukken voor de vierpuntsbuigproef. n de praktijk worden sandwichelementen overwegend opgelegd op houten balken met ronde kanten. Het inleiden van de belasting geschiedt dan oak met een houten strook met afgeronde hoeken over een breedte van 5 mm. Hiernavolgend worden de te verwachten belastingen, doorbuiging en belastingsnelheid berekend. Tot slot wordt oak nag het omslagpunt voor bezwijken op dwarskracht berekend. Te verwachten belastingen Allereerst wordt de buigstijfheid bepaald van het sandwichpaneel ( El,, ). Doordat de drukstijfheid van de bovenhuid niet gelijk is aan de trekstijfheid van de onderhuid ligt de zwaartelijn niet in het midden van de doorsnede. De afstand van de zwaartelijn tot de bovenzijde van het paneel kan berekend worden met formule (2.13): A 1 y 1 E 1 +A 2 y 2 E 2 +A 3 y 3 E 3 z, = A, E, + A 2 E 2 + A 3 E 3 z, = (~) ( ) ( ~) z 2 =d-z 1 =143,-73,7=69,3 mm =73,7151~73,7 mm

89 De buigstijfheid kan nu met formule (2.15) berekend worden: E/,, = Eb){2bh 3 +E"Al =3713 }1' (73,7-%J = Eb ){2bh 3 + EcAl = 4 }1' (73, 7-71,5) 2 = E ){ bh 3 + E Ay 2 = 386 ){ (69 3 -~) b O 2 2 5, , Voor de vierpuntsbuigproef uit Figuur 4.22 kan het maximale moment berekend worden met formule (4.2). Samen met formule (2.28) kan nu belasting F worden uitgedrukt in de spanning in de onderste vezel van de doorsnede: M - F l z E Z. 6 2 lok U = 2 lok = -" ' E,o, E,o, 6 F f Z2 Elok = ' F = 6 u, E/,, f. 2 2 Elok Met formule (4.41) en de minimale, gemiddelde en maximale uitkomsten voor de trekproeven uit paragraaf 4.6 kan nu de te verwachten minimale gemiddelde en maximale belasting berekend worden. Met E 1 ok = 3 bepaald in paragraaf 4.6 zijn deze: (4.41) 6 ut;min E,o, f. 2 2 Elok F = 6 u El t;gem tol gem / z2. /ok 6 u,;max E,o, f. 2 2 Elok 6 5, = 4233 N = 42 kn 3 69, ' 6 8, = 763 N = 7 1 kn 3 69, ' 6 9, = 8238 N = 8 2 kn 3 69, ' De maximaal te verwachten belasting is 8,2 kn. n de proefopstelling is een krachtmeetdoos tot 3 kn opgenomen voor het meten van de belasting. Te verwachten gemidde/de en maximale doorbuiging Met behulp van de afschuifstijfheid van het sandwichelement kan nu de te verwachten maxim ale en gemiddelde doorbuiging berekend worden. De afschuifstijfheid wordt berekend met formule (2.16): GA,, = b {; + d 2 +;} Gkern = 12{% %} 1,8 = N/mm 2 mm 2. De gemiddelde en maximaal te verwachten doorbuiging kan nu berekend worden met formule (4.5). De gemiddeld te verwachten doorbuiging wordt nu: w = F/3 E_+_f!_ = _E_ = = ""48 mm gem E/,, GA ' ' ' De maximaal te verwachten doorbuiging wordt nu: w = FP _E_+_f!_= _E =w = =5571,56 mm max / GA max ' ' ' n het verleden zijn door Unidek soortgelijke testen uitgevoerd. Bij deze testen, uitgevoerd met PR als kern, is plastisch gedrag waargenomen. Het proefstuk ondergaat dan een grate vervorming voordat het werkelijk bezwijkt. n de testopstelling wordt hier rekening mee gehouden door een maximale vervorming van 1 mm aan te houden. 9 HooiiJs:uw +

90 Be/astingssnelheid Uitgaande van een gemiddelde breukbelasting en een belastingduur van 5 min wordt de belastingsnelheid: 7 63 = kn/min. 5 min ' Er wordt een voorzichtige belastingsnelheid van 1 kn per minuut aangehouden. De kracht wordt met behulp van een vijzel en een hand pomp aangebracht op het proefstuk. De proef wordt, vanwege het onbekende vervormingsgedrag, krachtsgestuurd uitgevoerd. Oms/agpunt bij bezwijken op dwarskracht Het omslagpunt is te berekenen door de krachtswerking ten gevolge van buiging van het sandwichelement te vereenvoudigen. Het opgenomen moment door de sandwich is voor te stellen als een inwendige hefboomsarm zoals afgebeeld in Figuur 4.23 hieronder: ~ ]! ---t ~ a _2 ""(::) N b --- ~ Figuur 4.23: lnwendige hefboomsarm. De normaalkracht in de huid, aangeduid met N, is afhankelijk van het uitwendige moment, aangeduid met M, en kan als volgt berekend worden: N = M e De spanning in de huiden kan worden berekend met: N N cr=-=-- A b d 3 (4.42) (4.43) Formule (4.42) ingevuld in (4.43) geeft de volgende vergelijking voor het bepalen van de spanning in de huiden: M cr=--- (4.44) b d3 e Het optredend moment bij een vierpuntsbuigproef wordt gegeven door formule (4.2). Deze vergelijking ingevuld in formule (4.44) geeft de volgende vergelijking: F l cr 6 b d e CJ=--- l= 3 (4.45) 6 b d 3 e F lndien de bijdrage van de huiden in de opname van de afschuifrek worden verwaarloosd kan de afschuifspanning, aangeduid met r, in de kern kan als volgt berekend worden: V F r=-=-- F=r 2 b d 2 (4.46) Akem 2 b d2 lngevuld in vergelijking (4.45) geeft dit de volgende formule voor het bepalen van het omslagpunt: cr 6 d 3 e l= (4.47) T 2 d 2 Met behulp van de volgende waarden: Afschuifspanning: 'min=,87 N/mm 2 uit [4]. Trekspanning: crmax = 9, 75 N/mm 2 uit het experimenteel onderzoek, zie paragraaf 4.6 Kan nu het omslagpunt voor bezwijken op dwarskracht berekend worden: <> -

91 = a 6 d 1 3 e = 9, = "" mm omslogpunl r 2 d ' 2 ' De overspanning van de proefopstelling is 3 meter en daarmee grater dan het omslagpunt. De verwachting is dat uitsluitend bezwijken ten gevolge van de trekspanning in de onderhuid (spaanplaat) zal optreden Uitvoering Het eerste proefstuk, proefstuk E, is bezweken ten gevolge van wrinkling stress (beschreven in paragraaf 4.2.7) gecombineerd met het inleiden van de belasting (beschreven in paragraaf 4.2.8). n paragraaf 4.9 wordt op dit bezwijkgeval verder ingegaan. Hierna is de opstelling aangepast door de krachtsinleiding over een grater oppervlak te spreiden. Er is ervoor gekozen om de krachtsinleiding zoveel mogelijk te spreiden zonder dat de krachtsinleiding de meting aan de onderzijde be"lnvloed. n Figuur 4.24 hieronder is te zien dat een maximale oplegbreedte van 18 mm aangehouden kan worden. Voor de overige testen is deze oplegbreedte aangehouden. Het genoemde bezwijkgeval is vervolgens niet meer opgetreden. F F ) meetklokje r - rondstaal: 3mm - staalstrip: 1x5mm multplex: 18mm ~ ~/_/_/_/_/ '_,_'_,_'~ ~ ~j_ ~~~,.WC-1!4 C..JDC o 9o o 25o Figuur 4.24: Bepalen nieuwe oplegbreedte voor inleiden belasting. Tijdens de uitvoering is van ieder proefstuk op drie plaatsen de breedte en op zes plaatsen de dikte gemeten. Deze meetgegevens zijn gebruikt voor het berekenen van de afschuivingsmodulus per proefstuk. n de volgende paragraaf is hiervan een voorbeeldberekening gemaakt. De afmetingen van de proefstukken zijn opgenomen in Tabel 4.18 hieronder. De maximale vervorming is gemeten in het midden van de ligger met meetklokje ADC-3. Zie oak Bijlage E. Proefstuk A B c D E F G breedte links midden rechts gemiddeld dikte links voor 141, 142,27 142,57 142,4 142,46 141,9 141,84 midden voor 14,99 142,54 142,42 142, 142,36 142,6 141,83 rechts voor 14,96 142,5 142,28 142,2 142,25 141,23 141,25 links achter 14,9 141,73 141,91 142,22 14,41 142,55 141,12 midden achter 14,52 141,37 141,65 141,81 141,1 142,66 14,91 rechts achter 14,7 141,48 141,39 142,16 141,33 142,22 14,56 gemiddeld 14,85 141,91 142,4 142,7 141,64 142,1 141,25 Tabel 4.18: Afmetmgen proefstukken vrerpuntsbuigproef. Hoorastuk.l

92 4.7.3 Verwerking van de uitkomsten Voor het narekenen van de proeven is gebruik gemaakt van de resultaten uit de buig, druk- en trektesten. Er is aileen gebruik gemaakt van de gemiddelde resultaten. De gebruikte uitkomsten zijn samengevat in Tabel 4.19 hieronder. N/mm" Eb;gem 'folie aan gedrukte zijde' 3713 Eb:gem 'folie aan getrokken zijde' 386 Ec;gem 3183 El;gem Tabel 4.19: Gemiddelde testresultaten voor het berekenen van de afschuifsiijfheld met behulp van de vierpuntsbuigproef. Naast deze resultaten is voor het berekenen van de buigstijfheid van de totale doorsnede gebruik gemaakt van waarden uit de literatuur voor EPS 6. Volgens de TR19 [6] kan voor de gemiddelde buig- trek- en drukmodulus voor EPS 6 een waarde van 4, N/mm 2 worden aangehouden. Met behulp van de theorie uit [22], is nu de afschuivingsmodulus van het EPS te berekenen. Aan de hand van proefstuk A wordt in de volgende paragraaf een voorbeeldberekening uitgewerkt. De afmetingen van de proefopstelling en het sandwichelement zijn volgens Figuur 4.25 hieronder. );); ~~DC-.~ 1oo 1oo 1oo 3 h Figuur 4.25: Afmetingen vierpuntsbuigproef. De resultaten van de overige proefstukken zijn met behulp van een spreadsheet uitgewerkt. Deze zijn opgenomen in Bijlage F. De resultaten worden in paragraaf samengevat. Voorbeeldberekening voor het bepalen van de afschuivingsmodu/us van proefstuk A De afmetingen en testgegevens voor proefstuk A zijn aangegeven in Tabel 4.2 hieronder. dikteaem in mm 14,85 dikte kern in mm 134,85 elementbreedte in mm 117 Fmax in kn 8,3144 F..o% in ki\j,8314 ~o% in kn 3,3258 w!o',~, in mm 6,67 w 4 % in mm 23,4871 Tabel 4.2: Afmetmgen en testgegevens proefstuk A. n tegenstelling tot wat vermeld staat in rapport 3185 van de TCHN wordt de totale buigstijfheid, aangeduid met E, niet berekend met de inwendige hefboomsarm volgens formule (4.7) maar met behulp van de 'eigenbuiging' van de afzonderlijke delen met daarbij opgeteld de 'Steinerbuiging' volgens form ule (2.15). Allereerst dient hiervoor het zwaartepunt van de doorsnede bepaald te worden volgens formule (2.13): A 1 y, E 1 +A 2 y 2 E 2 +A 3 y 3 E 3 z, = A, E, + A 2 E 2 + A 3 E {% } ,85{ ~ 85 } { ,85 +%}3397 z = = "" mm , ' ' z 2 =d-z 1 =14,85-72,61 =68,24mm

93 De buigstijfheid kan nu met formule (2.15) berekend worden: E(O = Eb ){2bh 3 +ECA/ =3713 ){ (72,61-%J = 4, Eb ){2 bh 3 + Ec 11 Ay 2 = 4 ){ , ,85 (72,61-68, 24) 2 = , mm 4 -N/mm 2 Om de term Y, voor het aandeel buigingsvervorming, te kunnen berekenen moet eerst de belastingtoename, aangeduid met M, bepaald worden. De belastingstoename wordt bepaald met de voor houtconstructies gebruikelijke 1 en 4% van de maximale belasting. Met de gegevens uit Tabel 4.2 wordt de belastingtoename: M=F 4 %-F;o% =3,3258-,8314=2,4943 kn Het aandeel buigingsvervorming volgens formule (4.8) wordt nu: Y= 3l M P = 3l = ::::< mm ' ' De toename in de doorbuiging is: ~w=w 4 %-w 1 % =23,4871-6,67=17,421 mm Met formule (4.9) is nude afschuifstijfheid van het sandwichpaneel te berekenen: GA, = M l 2, = 25 _ N (~w-Y) 6 (17,421-12,433) Het oppervlak verantwoordelijk voor de afschuifstijfheid van de doorsnede wordt berekend met formule (4.1 ): d d ) (3 3J 2 A 11 =b (...J...+d l. = ,85+- = mm De afschuivingsmodulus van de kern, in dit geval EPS 6, wordt daarmee: G = GA 11 = = 1, = 1, 7838 \J/mm 2 A,O Uitkomsten De bezwijkbelastingen van de testen voor de vierpuntsbuigproef zijn opgenomen in Tabel Hierbij dient nogmaals opgemerkt te worden dat proefstuk E is bezweken ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting. De overige testen zijn bezweken ten gevolge van de trekspanning in de onderhuid. Proefstuk Bezwijkbelasting in kn A 8,3144 B 8,639 c 8,3673 D 8,795 E* 6,873 F 6,1477 G 8, Tabel 4.21: BezWJkbelastmg proefstukken v1erpuntsbuigproef. bezweken op wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting, bij een oplegbreedte van 5 mm. Tijdens de voorbereiding, zie paragraaf , is de minimale, gemiddelde en maximaal te verwachten bezwijkbelasting berekend aan de hand van de testresultaten van de trekproeven. De resultaten hiervan zijn opgenomen in Tabel Hooidstul<.1

94 kn Fmin 4,233 Fgem 7,63 Fmax 8,238 Tabel 4.22: Minimale, gemiddelde en maj<maal te verwachten bezwijkbelasting bij de vierpuntsbuigproef Het proefstuk dat bezweken is ten gevolge van 'wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting' buiten beschouwing gelaten, zijn aile proefstukken, op proefstuk F na, bezweken bij een belasting nabij of boven de maximaal te verwachten bezwijkbelasting. Bij de testen op trekbelasting is bij een enkele test een flink lagere bezwijkbelasting waargenomen als bij de overige testen. Deze test, test DOT2 corresponderend met proefstuk D van de vierpuntsbuigproef, komt niet overeen met proefstuk F en verklaard hiermee niet de gevonden lagere bezwijkbelasting. De hoge gevonden bezwijkbelasting in verhouding tot de voorspelde bezwijkbelasting kan verklaard worden door de geometrie van proefstukken voor het bepalen van de trekmodulus en treksterkte volgens EN 789 [33]. Hierbij worden testen uitgevoerd op een breedte van 15 mm spaanplaat, bij de vierpuntsbuigproef is de breedte van een sandwichpaneel aangehouden, namelijk 12 mm. Door de grotere breedte bij de vierpuntsbuigproef is er meer mogelijk tot spreiding van de belasting over de aanwezige vezels. Meer spreiding van de belasting geeft een lagere spreiding van de testresultaten, en een hogere bezwijkbelasting. Beide zijn waargenomen bij de vierpuntsbuigproef, een hoge bezwijkbelasting in verhouding tot voorspeld en een lagere spreiding. Hieruit kan geconcludeerd worden dat dat de testmethode volgens EN 789 [33] door een smallere testbreedte veilige uitkomsten geeft. Hieruit kan tevens geconcludeerd worden dat de testresultaten voor trekproeven volgens EN 789 [33] oak geschikt zijn voor doorsneden met een smallere breedte dan een sandwichpaneel. Voorbeelden hiervan zijn panelen met inkepingen ten behoeve van dakramen, of aansluitingen ter plaatse van schoorstenen. Vol gens dezelfde methode als beschreven in de voorgaande paragraaf is van de overige uitgevoerde testen de afschuivingsmodulus bepaald. Bij de uitwerking is gebruik gemaakt van een Excel-sheet. De resultaten zijn opgenomen in Tabel 4.23 hieronder en in tevens in Bijlage F. N/mm A 1,7838 B 1,899 c 2,525 D* 1,8431 E** 1,5645 F 2,544 G 1,7769 Tabel 4.23: Afschuivingsmodulus EPS 6 bepaald met de v1erpuntsbuigproef en berekend volgens TCHN rapport berekend met 2-4% van Fmax.... bezweken op wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting, bij een oplegbreedte van 5 mm. Met de waarden uit Tabel 4.23 en met behulp van NEN 6764 is nu de standaarddeviatie en de 5% onderscheidingsgrens te bepalen.de gebruikte methode is kart samengevat in paragraaf De uitkomsten zijn samengevat in Tabel 4.24 hieronder. Aantal testen 7 Standaardafwijking,178 F ractielfactor k 2,95 gemiddelde 1,847 max 2,544 min 1,5645 5% breukgrens 1, Tabel 4.24: Statistische uitkomsten van de afschulvtngsmodulus bepaald met de vierpuntsbuigproef Evaluatie De TR19 geeft voor EPS 6 een gemiddelde waarde voor de afschuivingsmodulus en de trek- en drukmodulus. Hoe deze waarden omgerekend kunnen worden tot representatieve waarden dus voor berekeningen in de uiterste grenstoestand wordt niet aangegeven. Mogelijk is de elasticiteitsmodulus in uiterste grenstoestand veellager dan de gebruikelijke 8% [6] bij houtconstructies door plastisch gedrag. Er wordt wei aangegeven volgens welke norm de waarden zijn bepaald. Voor het bepalen van de afschuivingsmodulus is gebruik gemaakt van EN hoofdstuk A.5.6. [44]. Hierin wordt een vierpuntsbuigproef beschreven met een aangeraden overspanning van 1 mm. lndien het proefstuk as

95 niet bezwijkt op afschuiving mag, volgens dit rapport, in stappen van 1 mm de overspanning worden ingekort tot dit wei het geval is. Volgens de TR19 mag de afschuivingsmodulus ook bepaald worden volgens pren 129: 'Thermal insulating products for building aplications- Determination of shear behaviour" [45]. n deze norm wordt een testopstelling toegepast volgens Figuur 4.26 hieronder. F 6 meetklokje tbv verplaatsing w D isolatiemateriaal, bijvoorbeeld EP S 6 D metaal met een dikte van 16 mm Figuur 4.26: Testopstelling volgens pren 129 [45]. n het doel van deze norm staat echter duidelijk aangegeven dat deze testopstelling bedoeld is voor het bepalen van de eigenschappen van het kernmateriaal bij twee tegenovergestelde krachten in de huiden en niet bij buiging van het element. Het wezenlijke verschil met de vierpuntsbuigproef is, naar het inzicht van de auteur, dat bij de testopstelling in Figuur 4.26 er storingsverschijnselen optreden bij de rechte overgangen aan de uiteinden. Een elementje belast op afschuiving in het midden van de doorsnede is immers voor beide opstellingen gelijk aan elkaar. De voorgeschreven waarden voor EPS 6 volgens de TR19 [6] zijn opgenomen in Tabel 4.6. Hieronder nogmaals weergegeven in Tabel sterkte in N/mm" EPS 6 druk O"c; rep,6 trek " 1 ;rep,1 afschuiving O"v;rep,5 stijfheid in N/mm" Et(c ).gem 4 Ggem 1,82 dichtheid in kg/m" P rep 15 Tabel4.25: Waarden voor EPS 6 volgens TR19 [6]. Het gemiddelde testresultaat van de vierpuntsbuigproef voor de afschuivingsmodulus komt goed overeen met de waarde gegeven door de TR19. Er wordt echter geen representatieve waarde gegeven voor de afschuivingsmodulus van EPS 6. Het berekenen van de krachtsverdeling voor statisch onbepaalde sandwichconstructies in de uiterste grenstoestand is volgens dit rapport niet mogelijk. Uit de TR19 wordt niet duidelijk of de auteur zich ervan bewust is dat de krachtsverdeling van statisch onbepaalde sandwichconstructies afhankelijk is van de afschuivingsmodulus of dat hij het opnemen van representatieve waarden voor EPS 6 simpelweg is vergeten. Als benadering voor de representatieve afschuivingsmodulus kan de 5% breukgrens uit Tabel 4.24, berekend met behulp van de vierpuntsbuigproeven, worden aangehouden. Aangezien deze waarde is bepaald aan de hand van maar 7 testen is meer onderzoek gewenst naar de representatieve afschuivingsmodulus van EPS 6 en naar de andere kwaliteiten voor EPS. Ook wordt er aanbevolen om EPS zwaarder te belasten op afschuiving, bijvoorbeeld tot de afschuifsterkte is bereikt. Eventueel plastisch gedrag van het EPS wordt zo waargenomen. Het gedrag van de afschuivingsmodulus in de uiterste grenstoestand zal dan veellager zijn. n eerste instantie was de opzet om de buigstijfheid van de sandwichpanelen te bepalen met de kromming tussen de puntlasten van de vierpuntsbuigproef. Tussen de puntlasten treedt immers zuivere buiging op z6nder dwarskracht (zie Figuur 4.21 ). Een methode om deze buigstijfheid te

96 berekenen wordt beschreven in EN 48 [46]. Deze norm is bedoeld voor houten balkconstructies, maar de methode is oak geschikt voor deze toepassing. Met behulp van deze extra verkregen buigstijfheid kan de berekende buigstijfheid van het sandwichpaneel worden vergeleken. Hiernaast kan het berekenen van de afschuivingsmodulus volgens TCHN rapport 3185 met deze uitkomsten nogmaals worden uitgevoerd. De uitkomsten voor de berekende buigstijfheid met behulp van de kromming vertonen echter een zeer grate spreidingsbreedte (van 1,61x1 11 tot 1,684x1 11 ) dat deze methode geen realistische uitkomsten zal geven. Mogelijke oorzaken voor deze grate verschillen zijn: Er is aileen aan de onderzijde van het sandwichpaneel gemeten. En niet aan de onder en bovenzijde zodat de kromming ter plaatse van de neutrale lijn bepaald kan worden. n het laboratorium waren helaas niet meer opnemers beschikbaar om dit te realiseren. Het meten van de kromming is een zeer nauwkeurige bezigheid waarvoor een zeer klein meetbereik van ongeveer van,3 mm van toepassing is. Een kleine afwijking in de nauwkeurigheid van een opnemer of het niet verticaal plaatsen van de opnemer onder meting geeft meteen al grate afwijkingen in de testresultaten. De methode volgens EN 48 [46] is dan oak niet gebruikt voor verdere verwerking van de testresultaten. Andere berekeningen, zoals het bepalen van de afschuivingsmodulus aan de hand van deze resultaten, zijn dan oak niet opgenomen in dit verslag. De eerste test van de vierpuntsbuigproef, proefstuk E, is bezweken op wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting. Evaluatie van dit bezwijkcriterium en andere proeven bezweken ten gevolge hiervan is opgenomen in paragraaf 4.9 'Wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting'. Een samenvatting van de resultaten en bevindingen wordt gegeven in paragraaf 4.1. De gemeten indrukking ter plaatse van de steunpunten is zodanig klein(< 1, mm) dat deze niet zijn meegenomen in de berekening. 4.8 Vervorming van statisch onbepaalde sandwichconstructies lnleiding Met gegevens van de vierpuntsbuigproef zijn nu de buigstijfheid en afschuifstijfheid van het sandwichpaneel Kolibrie 3.5 bekend. Met de theorie uit hoofdstuk 3 'Analytisch onderzoek' is het mogelijk geworden om statisch onbepaalde sandwichconstructies te analyseren. Met deze kennis kunnen nu experimenten worden opgezet waarbij de vervormingen van een statisch onbepaalde sandwichconstructie worden vergeleken met de beschikbare theorie. Het doel van deze paragraaf is dan oak een vergelijking te maken tussen de theorie en de experimenten in geval van een statisch onbepaald systeem. Voor dit doel is een nieuwe testopstelling ontworpen. Bij de vierpuntsbuigproef is gebruik gemaakt van puntlasten om de krachten in te leiden. Om dezelfde reden, het aanbrengen van gelijkmatig verdeelde belasting is moeilijk uitvoerbaar in het laboratorium, wordt oak nu gekozen voor puntlasten. Voor een statisch onbepaalde constructie zijn twee aan elkaar gekoppelde overspanningen nodig. Wordt nu op ieder veld een puntlast aangebracht dan krijgt men de testopstelling in Figuur Om een en ander goed te kunnen vergelijken met de vierpuntsbuigproef is per overspanning eveneens een lengte van 3, meter aangehouden. Vanwege drie opleggingen en twee puntlasten wordt de proef, analoog aan de vierpuntsbuigproef, aangeduid met de vijfpuntsbuigproef. De afmetingen van de vijfpuntsbuigproef zijn weergegeven in Figuur :zs:c D oo 15 6 Figuur 4.27: Afmetingen vi_ifpuntsbuigproef. n Figuur 4.28 zijn voor de vijfpuntsbuigproef de dwarskrachten, momenten en vervormingen weergegeven voor een sandwichpaneel met dwarskrachtvervorming en een ligger met dezelfde buigstijfheid maar z6nder dwarskrachtvervorming. Hierbij is de maximaal gemeten belasting bij de vierpuntsbuigproef aangehouden per puntlast (8, 79 kn). Voor de ligger zonder E~pan~en!eE: onderzoek

97 dwarskrachtvervorming is in de grafiek de kleur zwart gebruikt en voor het sandwichpaneel de kleur blauw. Aan de dwarskrachtenlijn valt op te maken dat het middensteunpunt in geval van het sandwichpaneel met dwarskrachtvervorming minder belasting afdraagt dan de ligger zonder dwarskrachtvervorming. Het verschil tussen beide dwarskrachtenlijnen is klein. Kijken we naar de momenten dan is de invloed grater. Door de afschuifstijfheid zakt de momentenlijn zodanig dat het maximale moment niet meer boven het middensteun zal optreden. Bij het sandwichpaneel is het moment in het veld even groat als boven het middensteunpunt. Kijken we naar de vervormingen dan is de invloed aanzienlijk. De vervormingen van het sandwichpaneel zijn ruim twee maal grater dan van de ligger met dezelfde buigstijfheid maar zonder dwarskrachtvervorming. Het aandeel dwarskrachtvervorming is dus ongeveer 5%. lndien het sandwichpaneel uit dit project, de Kolibrie 3.5, in een statisch bepaalde constructie wordt toegepast (dus eenveldsoverspanningen) maakt het aandeel dwarskrachtvervorming ongeveer 3% uit van de totale vervorming (bij een overspanning van 3m). Het aandeel dwarskrachtvervorming in de totale vervorming van een statisch onbepaalde constructie ten opzichte van een statisch bepaalde constructie is dus flink toegenomen. De reden hiervoor is dat het aandeel dwarskrachtvervorming niet aileen bestaat uit de dwarskrachtvervorming veroorzaakt door de aanwezige dwarskracht maar oak doordat de dwarskrachtstijfheid meespeelt in de krachtsverdeling. De momentenlijn zakt daardoor ter plaatse van het middensteunpunt, de ligger is als het ware minder ingeklemd, waardoor de vervorming in het veld toeneemt. "E Q) E E s:::z Dwarskracht, momenten en doorbuiging -6 V-El V- EJ+GA M-El M-E+GA w - El w-ej+ga ~.. Q)~.s::: - - s::: 1 "" u ~..:,~.... f!... ~ 2 VJ ca ~ 3 " ~---~----~---~---~----~---~ afstand x -2 Cl s::: :~ E : E -e s::: - 2 " Figuur 4.28: Dwarskrachten, momenten en doorbuiging van de vijfpuntsbuigproef voor een ligger zonder dwarskrachtvervorming (E = zwart) en een sandwichpaneel met dezelfde El maar met dwarskrachtvervorming (E+GA = blauw) Net als bij de vierpuntsbuigproef was het mogelijk geweest om twee puntlasten per overspanning aan te brengen. De bijbehorende theorie van deze mogelijkheid is niet aileen ingewikkelder oak het beoogde doel, het bepalen van de buigstijfheid van het sandwichpaneel tussen de twee puntlasten, is moeilijk haalbaar (gebleken bij de vierpuntsbuigproef). Doordat het systeem statisch onbepaald is zal het middensteunpunt evenredig meer belasting afdragen dan de buitenste twee steunpunten, daardoor zal de dwarskracht tussen de twee puntlasten niet gelijk aan nul zijn en treedt er geen zuivere buiging op zonder dwarskracht. Zoals we bij de vierpuntsbuigproef zagen dat het bepalen van de buigstijfheid met behulp van de kromming tussen de puntlasten niet eenvoudig is, is het nu door de aanwezige dwarskracht helemaal niet mogelijk Voorbereiding op de experimenten n eerste instantie was het de bedoeling om binnen het afstudeerproject aileen statisch bepaalde sandwichconstructies te onderzoeken, waarbij de mogelijkheid is opengelaten om bij voldoende voortgang oak statisch onbepaalde sandwichconsructies te onderzoeken. Na de uitvoering van de testen voor de vierpuntsbuigproef is besloten om oak experimenten uit te voeren met sandwichelementen in een statisch onbepaalde opstelling. Hiervoor is een nieuwe serie sandwichelementen geproduceerd in de fabriek van Unidek B.V. Het gebruikte spaanplaat P5 en EPS

98 6 voor deze proefstukken komt niet uit dezelfde productieserie als van de proefstukken voor de vierpuntsbuigproef. Wei is spaanplaat van dezelfde fabrikant, in dit geval Wilhelm Mende GmbH & Co, gebruikt. Desondanks worden de verkregen gegevens uit de voorgaande experimenten op het spaanplaat gebruikt om met behulp van de theorie de vervormingen te voorspellen. Hoewel niet geheel juist, we hebben immers te maken met verschillende populaties, worden de gegevens gebruikt voor het vergelijken van de experimenten met de theorie. Hiernavolgend wordt bepaald of het maximale moment halverwege de overspanning of ter plaatse van het middensteunpunt zal optreden. Daarna wordt de maximaal te verwachten doorbuiging berekend.tot slot wordt nag de belastingsnelheid bepaald. Bepalen plaats van het maximale moment en de te verwachten maximale bezwijkbelasting Met behulp van de formules uit Tabel 3.7 is de te verwachten doorbuiging en maximale belasting te bepalen. Voor de plaats van het maximale moment en de doorbuiging is de term D. van belang. Om deze term te kunnen berekenen is de buigstijfheid en afschuifstijfheid van het sandwichpaneel van belang. De buigstijfheid wordt bepaald met de gegevens uit de buig- druk- en trektesten en is reeds berekend bij het voorbereiden van de vierpuntsbuigproef. Deze is: mm 4 N/mm 2 De afschuifstijfheid kan, met de gemiddelde afschuivingsmodulus bepaald met de vierpuntsbuigproef uit Tabel 4.24, en formule (4.1 ) berekend worden: GA = Gkern Aor = Gkern. b {~ + d2 +;) = 1, {% %) = N/mm 2. mm 2 De term D. is nu te berekenen met form ule (3.19): r. E O 4239 (d.. ) ~~=--= = 1mens1eoos GA/ ' Met de formules uit Tabel 3.7, en de eenheidsbelasting voor FinN, is nude plaats van het maximale momenten te bepalen: M(x=!...)= Ft(5+24D.) = 1 3 (5+24,4239) = "" 5 Nmm D ,4239, M(x = t) =- 3Ft = = "" -5 Nmm 16+48D ,4239, Het moment in het veld en boven het steunpunt zijn nagenoeg gelijk aan elkaar. Voorspellen van de plaats van de breuk is niet mogelijk. De plaats met de meest zwakke plek in het spaanplaat zal de plaats van de breuk bepalen. Uit de gegevens van de vierpuntsbuigproef is de maximale bezwijkbelasting bekend, namelijk proefstuk D met 8,795 kl\1. Het bijbehorende maximale moment op het sandwichpaneel is te bepalen met formule (4.2): Mm~ =.._F -t =..!_ = ""4 35 knm - 6 6,,, Met dit maximaal te verwachten moment is met de formule uit Tabel 3.7 de te verwachten belasting voor een half systeem te berekenen: 3Ft M= 16+48D. -3Ft=M (16+48D.) M (16+48D.) F t 4,35. ( ,4239) -----'------'- = -8,79 = 8, 7 kn 3 3 Deze belasting is voor een half systeem (zie Tabel 3.7) de totaal te verwachten maximale belasting is dus 17,4 kn. n de proefopstelling is een krachtmeetdoos tot 3 kn opgenomen voor het meten van de belasting. Minimale, gemiddelde en maximaal te verwachten bezwijkbelasting Oak de minim ale, gemiddelde en maximaal te verwachten belasting is met behulp van formule (2.28) en de formules uit Tabel 3.7 te bepalen: Exoenrnentee! onderzook 89

99 M = a,. E,o, Z 2 Etok F = _ M ( Q) = ( Q). a,. E/,, z 2 E,o* F. = ( Q) (J";min. /lol mm 31 Fmin = = 8237 = 8, 2 kn ( Q) a,, 8.m E,o, F gem = = 3/ z2. Elok F gem =2 77=1414=14,1 kn (16+48,4239) 5, = N , (16+48,4239). 8, = N , ( Q). (J";max /lor _,_ (1_6_+_48_ _,_4_2 39-'-). 9, = N / z2. Etok , F max = = = 16, 5 kn Maximaal te verwachten doorbuiging Met de formule voor de doorbuiging uit Tabel 3.7 voor een half systeem wordt de maximaal te verwachten doorbuiging: w x=- / ) =~- 16 = 8, =49 452, 49 mm ( 2 48 / , ' / 3 (2+t5D+36n 2 J 3 3 (2+15, , J Oak bij deze proefopstelling wordt voor het antwerp een maximaal te verwachten doorbuiging van 1 mm aangehouden. Uit de formule voor het bepalen van de doorbuiging is overigens de invloed van de dwarskrachtstijfheid duidelijk waar te nemen. lndien de dwarskrachtstijfheid naar oneindig gaat, en dus de vervorming door dwarskracht is te verwaarlozen, wordt de term n nul. Dan blijft van het rechterdeel van de formule de breuk 7/16 over. n onze berekening met de invloed van de dwarskrachtstijfheid is deze term ongeveer gelijk aan een. Ten opzichte van een verwaarloosbare dwarskrachtvervorming is de invloed dus aanzienlijk. Het aandeel dwarskrachtvervorming is nu ongeveer 5% zoals al eerder besproken in de inleiding, zie oak Figuur Belastingsnelheid Bij de vierpuntsbuigproef is een enkele overspanning getest met een belastingsnelheid van 1 kn/min. De vijfpuntsbuigproef heeft een dubbele overspanning en wordt een twee maal zo grate belastingsnelheid aangehouden. De aangehouden belastingsnelheid is 2 kn/min. De kracht wordt met behulp van een vijzel en een handpomp aangebracht op het proefstuk. De proef wordt krachtsgestuurd uitgevoerd Uitvoering Tijdens de uitvoering is van ieder proefstuk op drie plaatsen de breedte en op tien plaatsen de dikte gemeten. Deze meetgegevens worden gebruikt voor berekening van de vervormingen. Er worden steeds de gemiddelde waarden gebruikt. n de volgende paragraaf wordt een voorbeeldberekening uitgewerkt aan de hand van proefstuk B. De eerste proef, proefstuk A, is bezweken ter plaatse van het middensteunpunt ten gevolge van 'wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting'. Op dit onderwerp wordt verder ingegaan in paragraaf 4.9. De oplegbreedte van het middensteunpunt is hierna aangepast van 1 mm naar een breedte van 22 mm. Na aanpassen van de opstelling is het genoemde bezwijkmechanisme niet meer waargenomen. De afmetingen van de proefstukken voor de vijfpuntsbuigproef zijn opgenomen in Tabel 4.18 op de volgende bladzijde..:o i-jocfdstuk..i

100 Proefstuk A B c D E F G breedte breedte links midden rechts gemiddeld dikte dikte voor 141,6 142,7 142,6 141,77 141,58 141,99 142,1 15 voor 14,43 141,96 142,8 142,5 141,9 142,7 141,99 3 voor 141,5 142,3 142,36 142,12 142,11 142,51 142,16 45 voor 141 '19 142,14 142,24 141,92 142,2 142,28 142,11 6 voor 141,46 142,8 142,7 141,89 141,85 141,9 141,66 achter 141, 142,36 142,1 141,71 142,4 141,95 142,78 15 achter 139,51 142,27 142,24 142,13 142,21 142,35 142,36 3 achter 141,26 142,6 142,16 142,32 142,58 142,52 142,49 45 achter 141,2 142,4 124,36 142,1 142,38 142,43 142,3 6 achter 141,17 142,14 142,1 141,71 142,4 141,96 142,17 gemiddeld 141,1 142,23 14,38 141,97 142,11 142,2 142,2.. Tabel 4.26 : Afmettngen proefstukken vrjfpuntsburgproef Verwerking van de uitkomsten Voor het berekenen van de vervormingen is gebruik gemaakt van de resultaten uit de buig, druk- en trektesten en de afschuivingsmodulus bepaald met de vierpuntsbuigproef. Er is aileen gebruik gemaakt van de gemiddelde resultaten. De gebruikte uitkomsten zijn samengevat in Tabel 4.27 hieronder. N/mmL Eb,gem 'folie aan bovenzijde' 3713 E b;gem 'folie aan onderzijde' 386 c;gem 3183 t;gem 3397 Ggem 1,847 Tabel 4.27: gebrurkte testresultaten voor berekenrngen vrerpuntsbuigproef. Naast deze resultaten is voor het berekenen van de buigstijfheid van de doorsnede gebruik gemaakt van waarden uit de literatuur voor EPS 6. Volgens de TR19 [6] kan voor de gemiddelde buig- treken drukmodulus voor EPS 6 een waarde van 4, N/mm 2 worden aangehouden. Samen met de beschikbare eigenschappen bepaald in voorgaande paragrafen en de formules uit Tabel 3.7 is nu met een berekening de gemiddelde doorbuiging onder de puntlasten te voorspellen. Deze voorspelling wordt gedaan bij een voor houtcon~tructies gebruikelijke 4% van de bezwijkbelasting. Aangenomen kan worden dat de belasting onder beide puntlasten van de vijfpuntsbuigproef gelijk aan elkaar is, de belasting is immers precies in het midden van de evenaar aangebracht. Voor verwerking van de resultaten kan dus gebruik gemaakt worden van de gemiddelde doorbuiging onder de puntlasten. Wordt nu gebruik gemaakt van de halve belasting gemeten met de krachtmeetdoos dan is de doorbuiging onder de puntlasten te controleren met de formule uit Tabel 3.7. Aan de hand van proefstuk B wordt in de volgende paragraaf een voorbeeldberekening uitgewerkt. De afmetingen zijn volgens Figuur 4.25 hieronder. r:- ti X EJi AA s: Jlic.JDC- 2 7A/ LC-5 {~2: oo b Figuur 4.29: Afmetingen vijfpuntsbuigproef. 21

101 Voorbee/dberekening bepa/en afschuivingsmodu/us proefstuk 8 De afmetingen en testgegevens voor proefstuk B zijn aangegeven in Tabel 4.28 hieronder: dikteqem in mm 142,23 dikte kernaem in mm 136,23 elementbreedteqem in mm 12 Fmax in kn 17,514 w4o%; Aoc-o2 in mm 18,891 w4o%; Aoc-o5 in mm 18,98 Tabel 4.28: Afmellngen en testgegevens proefstuk B. n tegenstelling tot wat vermeldt staat in rapport 3185 van de TCHN [22] wordt de totale buigstijfheid, aangeduid met E, niet berekend met de inwendige hefboomsarm volgens formule (4.7) maar met behulp van de 'eigenbuiging' van de afzonderlijke delen met daarbij opgeteld de 'Steinerbuiging' volgens formule (2.15). Dit omdat de elasticiteitsmodulus van de boven- en onderhuid niet gelijk aan elkaar is met als gevolg dat het zwaartepunt niet in het midden van de doorsnede ligt. Het zwaartepunt van de doorsnede is volgens formule (2.13): A, y, E, +A2 Y2 E2 +A3 y3 E3 z, = A, E, +A2 E 2 +A3 E ( %) , 23. ( ; 23 ) ( ,23 +%) 3397 z, = , =73, :::::<73,32mm z 2 =d-z, =142,23-73,32=68,91mm De buigstijfheid kan nu met formule (2.15) berekend worden: El E ){ bh 3 +E Ay 2 =3713 ){ (73 32-~) tot - h 12 c 12 ' 2 2 5, Eb ){2 bh 3 + Eci,A/ = 4 ){ , , 23 (73,32-68,91) 2 = E ){ bh 3 +E Ay 2 =386 1/ ( ~) b , mm 4 N/mm 2 Met de gemiddelde afschuivingsmodulus van de kern, bepaald met de vierpuntsbuigproef, en formule ( 4.1 ) kan de afschuifstijfheid van het sandwichpaneel berekend worden: GAo,= G b{; + d 2 +;) = 1,847 12{%+ 136,23+%) = mm 2 De term omega wordt hiermee:,... El (d.. ) "~ = --= = 1mens1e 1 oos GAl ' 4% van de maximale belasting is: 17,514,4=7,6 kn Met de helft hiervan, voor een half systeem, kan nude gemiddelde doorbuiging met de formule uit Tabel 3.7 voorspeld worden: z) Fe c7 J c7 6 ( n2..!...7, J , , W X=- = -- = 2 = :::::< / , ', 2, , De gemiddeld gemeten doorbuiging onder puntlasten van de vijfpuntsbuigproef is: 18, ,98 = mm 2 '

102 De afwijking van het testresultaat ten opzichte van de berekening in procenten is: wgem; res/ - wberekend. 1 = 18,495-2,549 1 = ""-8 2 % w 2,549,, berekend De overige resultaten zijn met behulp van een spreadsheet uitgewerkt. Deze zijn opgenomen in Bijlage F. De resultaten worden in de volgende paragraaf samengevat Uitkomsten Het eerste proefstuk, proefstuk A, is bezweken ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting, ter plaatse van het middensteunpunt. Hierna is de opstelling aangepast door de reactiekracht op het middensteunpunt over een grater oppervlak te spreiden. n het vervolg is een oplegbreedte aangehouden van 22 mm. Het bezwijken ten gevolge van het genoemde bezwijkgeval is niet meer waargenomen. De proefstukken zijn vervolgens bezweken ten gevolge van de trekbelasting in de huiden. Afwisselend werd breuk ter plaatse van het middensteunpunt, in het veld of beide waargenomen. De bezwijkbelastingen van de testen zijn opgenomen in Tabel 4.29 hieronder. Proefstuk Bezwijkbelasting in kn A* 13,5658 B 17,514 c 17,2955 D 17,5296 E 16,2911 F 17,5877 G 15, Tabel 4.29: Bezwljkbelastmg proefstukken v1erpuntsbuigproef. *bezweken op wrinkling stress, bij een oplegbreedte van 1 mm. Tijdens de voorbereiding is de minimale, gemiddelde en maximaal te verwachten bezwijkbelasting berekend aan de hand van de testresultaten van de trekproeven. De resultaten zijn nogmaals opgenomen in Tabel4.3 hieronder. kn Fmin 8,237 Fgem 14,14 Fmax 16,492 Tabel 4.3: Minimale, gemiddelde en max1maal te verwachten bezwijkbelasting bij de vijfpuntsbuigproef. Proefstuk A uitgezonderd vanwege het afwijkend bezwijkgeval, is ook nude bezwijkbelasting van de proefstukken ongeveer even groat als de voorspelde maximale bezwijkbelasting. De spreiding is redelijk laag in ieder geval veel lager als van de trekproeven. Volgens dezelfde methode als beschreven in de voorgaande paragraaf is van de overige proefstukken de afwijking in procenten van de geteste doorbuiging ten opzichte van de berekening bepaald. Bij de uitwerking is gebruik gemaakt van spreadsheet. De resultaten zijn opgenomen in Bijlage F en tevens in Tabel 4.23 hieronder. W4Q%; testgemiddelde Wberekend afwijking test tov berekening inmm inmm in% A* 14, ,7445-9,5 B 18,495 2,548-8,2 c 18,516 2,268-1,7 D 18, ,1416-9,9 E 16,698 18, '1 F 17,5288 2,16-13,1 G 15, ,155-12, Tabel 4.31: AfWJkmg van de gem1ddelde gemeten doorbu1g1ng ten opz1chte van de berekende waarde. *bezweken op wrinkling stress, met een oplegbreedte van 1 mm Evaluatie Het spaanplaat en EPS gebruikt voor de proefstukken van de vijfpuntsbuigproef komt niet per se uit dezelfde serie waarop de testen in voorgaande paragrafen zijn uitgevoerd. Er is wei steeds gebruik

103 gemaakt van spaanplaat van dezelfde fabrikant, namelijk Wilhelm Mende GmbH & Co. Het trekken van conclusies dient dus met enige voorzichtigheid te gebeuren. Uit Tabel 4.31 blijkt dat de testwaarden ongeveer tien procent lager zijn dan de berekeningen. De testresultaten lijken dus goed te kloppen met de berekeningen. Met redelijke zekerheid kan gezegd worden dat de theorie overeenkomt met de resultaten uit het experimenteel onderzoek. Een korte samenvatting van de resultaten en bevindingen wordt gegeven in paragraaf Wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting lnleiding Tijdens het experimenteel onderzoek is twee maal het bezwijkgeval beschreven in de titelkop opgetreden. Eenmaal bij de vierpuntsbuigproef en eenmaal bij het middensteunpunt van de vijfpuntsbuigproef. Hierna is voor beide de testopstelling aangepast door de oplegdruk te verlagen door de oplegbreedte te vergroten. Hierna is het bezwijken niet meer waargenomen. Het opgetreden bezwijkmechanisme is een combinatie van wrinkling stress en het plaatselijk inleiden van de belasting. Wrinkling is het plooien of rimpelen van de huid ten gevolge van een drukspanning in diezelfde huid. Dit is weergegeven in Figuur 4.3. N N ~, /~ - ' M (( :-:_':::-... ' N N ~.,._ ~ ;:. o- D D EPS6 spaanplaat PS Figuur 4.3: Wrinkling, het plooien of rimpelen van de huid. Bij een sandwich met dunne stalen huiden is dit rimpelen goed waar te nemen door de elasticiteit van het staal. Bij een sandwich met huiden van houtachtige materialen treedt breuk op voordat het rimpelen waargenomen kan worden. lndien nu naast de aanwezige drukspanning oak nag plaatselijk de belasting wordt ingeleid ontstaat een gecombineerd bezwijkmechanisme. Dit bezwijkmechanisme wordt in dit verslag voortaan 'wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting' genoemd. Binnen dit verslag wordt geen onderscheid gemaakt of de plaatselijk ingeleide belasting een actiekracht of een reactiekracht is. Een reactiekracht ontstaat bijvoorbeeld bij het middensteunpunt van de vijfpuntsbuigproef. Over het algemeen is het gebruikelijk om sandwichelementen op te leggen op houten balken met afgeronde hoeken. Daarom is er in eerste instantie voor gekozen om de belasting bij de vierpuntsbuigproef in te leiden via een strook met een voor balken gebruikelijke breedte van 5 mm. De hoeken van de strook zijn hierbij afgerond. Een tekening is opgenomen in Figuur Aan de rechterzijde van het figuur zijn de belastingen schematisch weergegeven. +2t /~q.---: ' )- M((, /'-~, '"""""--~ ' < S... ~) M N run N = = p ~1 c:7 <= - / M N N D EPS6 D spaanplaat PS Figuur 4.31: Wrinkling stress gecombineerd met het lokaal inleiden van de belasting. Met de geometrie uit Figuur 4.31 is het eerste proefstuk (proefstuk E) van de vierpuntsbuigproef getest. Dit proefstuk (proefstuk E) is bezweken ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting. Dit was bij een belasting van 6,873 kn voor beide puntlasten. n Figuur 4.32 is een afbeelding getoond van het bezweken proefstuk. Er is duidelijk te zien dat het spaanplaat onder de belasting is weggeknikt en bezweken. g.:.

104 De tweede mogelijkheid is een berekening volgens het boek 'lightweight sandwich construction' van Davies [1]. Hierbij is het wei mogelijk om de in te leiden belasting te beschouwen als een gelijkmatig verdeelde belasting. Hierbij wordt er geen onderscheid gemaakt in veerstijfheden bij verschillende oplegbreedtes. lndien de afstand Ls nul is gaat de oplossing over in de oplossing bij een puntlast, maar zonder het verdisconteren van de spreidingsbreedte. Er wordt oak geen vergrotingsfactor toegepast ten gevolge van het moment. De opgetreden buig- en drukspanningen zijn nu te berekenen volgens de twee besproken methoden. Dit wordt uitgewerkt voor de bezwijkgevallen ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting en voor de proefstukken uit de aangepaste proefopstelling bij de maximaal gemeten belasting. Van deze proefstukken is bekend dat deze op een andere manier zijn bezweken. Met een unity check (u.c.) zijn de opgetreden spanningen te vergelijken met de testwaarden uit het experimenteel onderzoek. lndien bekend is dat de proefstukken zijn bezweken zoals genoemd in de titel van deze paragraaf moet de u.c. op ongeveer een uitkomen. Van de proefstukken waarvan bekend is dat deze op een andere manier zijn bezweken moet de u.c. lager zijn dan een. Met de bekende formules uit hoofdstuk 3 zijn de opgetreden momenten en belastingen te berekenen. Deze gegevens zijn samengevat in Tabel 4.32 hieronder. belasting per oplegdruk Belasting per Moment Normaalkracht Normaalkracht twee per oppervlak M,. N,. in kn N,l A in puntlasten oplegging in N/mm 2 in knm ( e= 14) N/mm 2 in kn in kn (A= 12 3) Vierpuntsbuigproef Oplegbreedte: 6,873 3,43515,674 3, ,5368 8,19 5 mm. (test E) Vierpuntsbuigproef Oplegbreedte: 8,795. 4,35475,237 4, '154 1, mm. (test D) Vijfpuntsbuigproef Oplegbreedte: 13, ,4162,886 6, ,412 15,817 1 mm. (testa) Vijfpuntsbuigproef Oplegbreedte: 17, '72222,522 8, ,759 2,57 22 mm. (test F).. Tabel 4.32: Samenvattlng belangnjkste testresultaten. maximaal gemeten waarde, niet bezweken ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting... bezweken bij grote vervormingen, indrukking ongeveer 1 mm, dus bij plastisch gedrag van de kern. De waarden uit Tabel 4.32 zijn berekend met formule (4.2), (4.42),en de gegevens uit Tabel 3.7. Omega is nu te berekenen als: A E (d'. 't f4 8 2) ~~ = -- 2 = =, 2 3 1mens1e oos, overgenomen u1 paragraa.. 2 GAl n het navolgende wordt een voorbeeldberekening gemaakt van de vierpuntsbuigproef met een oplegbreedte van 5 mm volgens SKH publicatie 94-2 en volgens Hetenyi met behulp van het boek 'Lightweight sandwich construction' van Davies. Bij de testen op de sandwichpanelen is steeds waargenomen dat de plaat bezwijkt onder een spanning die ongeveer gelijk is aan de maximaal gemeten trekspanning bij het experimenteel onderzoek. Dit kan doordat de testbreedte van de proefstukken lager is dan de breedte van het paneel. Oak voor de buigproeven is de testbreedte (5 mm) lager dan de plaatbreedte. Het is dus reeel om aan te nemen dat de proefstukken zijn bezweken onder de maximaal gemeten testwaarde van de buigproeven. Er kan dus minimaal gerekend worden met de gemiddelde testwaarde. Mogelijk kunnen de unity checks nag lager uitvallen door de hogere buigsterkte. (en is de norm onveiliger dan nu berekend) Berekening vo/gens SKH pub/icatie 94-2 Vierpuntsbuigproef, oplegbreedte 5 mm. gegevens volgens Tabel Met formule (4.22) kan bepaald worden volgens welke formule de veerstijfheid bepaald worden: d < d. 137 < f?p < 45 2 ' 3 ' A 2 De veerstijfheid kan dus bepaald worden met formule (4.21 ): 6 Hoci<;JshJ'<..t

105 Figuur 4.32: Proefstuk E (vierpuntsbuigproef) bezweken ten gevolge van 'wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting' bij een totale belasting van 6,873 kn. Na deze test is de proefopstelling aangepast. Er is gekeken naar de maximale oplegbreedte die de metingen aan de onderzijde niet be"lnvloeden. Dit is schematisch weergegeven in Figuur Deze breedte is vastgesteld op 18 mm. De overige testen uitgevoerd met deze oplegbreedte zijn allemaal bezweken op trekspanning in de onderhuid en niet zoals afgebeeld in Figuur De andere keer dat dit bezwijkmechanisme is opgetreden is bij de eerste proef van de vijfpuntsbuigproef. Dit was bij het middensteunpunt met een oplegbreedte van 1 mm en een totale be lasting voor de twee puntlasten van 13,5658 kn. Oak hier is de oplegbreedte aangepast en wei naar een breedte van 22 mm. Oak nu is het gecombineerde bezwijkmechanisme niet meer opgetreden. Aan de hand van de zojuist genoemde gegevens wordt er in de volgende paragraaf gekeken of er iets te zeggen valt over de verschillende berekeningsmethoden. Vanwege de weinige gegevens, het zijn 'maar' twee proeven, kunnen er geen harde conclusies worden getrokken. Het geeft natuurlijk wei een eerste indicatie Berekeningsmethoden Voor de duidelijkheid worden eerst de verschillende spanningen in de huid opgesomd bij het gecombineerde bezwijkmechanisme. De spanningen in de huid bestaan uit de volgende onderdelen: Normaalkracht ten gevolge van het uitgeoefende moment op het sandwichpaneel Buigspanning veroorzaakt door eigenbuiging ten gevolge van het uitgeoefende moment op het sandwichpaneel. lndien we te maken hebben met een sandwich met 'dunne huiden' is deze bijdrage verwaarloosbaar. n dit verslag wordt deze bijdrage dan oak verwaarloosd. Buigspanning ten gevolge van het plaatselijk inleiden van de belasting. Hierbij kan het systeem worden geschematiseerd als een ligger op een verende bedding met daarop de belasting. Deze belasting kan als puntlast, twee halve puntlasten op een afstand x, of een gelijkmatig verdeelde belasting worden geschematiseerd. Vergroting van de buigspanning, genoemd in het vorige punt, door de aanwezige normaalkracht. n de voor mij beschikbare literatuur zijn er twee mogelijkheden voor het berekenen van de wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting. De eerste is volgens de SKH publicatie 94-2 'Houtachtige dakconstructies- rekenprogramma voor sandwichelementen en enkelhuidige ribpanelen' [34]. Met deze methode, welke kart wordt beschreven in paragraaf 4.2.8, kunnen aileen situaties worden berekend als de in te leiden belasting wordt beschouwd als een puntlast. De extra ontstane buigspanningen in de huid ten gevolge van de aanwezige normaalkracht worden verdisconteerd met behulp van een vergrotingsfactor. Hierbij moet worden opgelet dat de vergrotingsfactor niet wordt vermenigvuldig met het moment op het sandwichpaneel maar met het maxim ale moment in de huid ten gevolge van de puntlast, aangeduid met M. Het verschil tussen de veerstijfheid bij een puntlast en een gelijkmatig verdeelde belasting wordt op twee manieren verdisconteerd. De eerste is via de veerstijfheid zelf volgens formule (4.21 ). Bij een puntlast wordt immers een grotere bedding geactiveerd. De tweede is volgens een aangepaste spreidingsbreedte waarna er een nieuw gereduceerd moment berekend wordt. Tweemaal verdisconteren van de spreidingsbreedte is, mijns inziens, onlogisch.

106 k = = = 889 N/mm "' ' d E ' ' b;l c 2 ~c 2 4 ~ 3 Met formule (4.25) kan de karakteristieke waarde voor verende beddingen berekend worden A.= = 889 ' 1 1 =,439 mm per mm _! Het moment onder de puntlast is te berekenen met formule (4.24): M =. :_.!_=3, _=2845 Nmm ermm1 42 b 4, ' p lndien nu formule (4.2) geldt: N'< 2~ A ">J"-.., r < _! ' 12 8,19 < 54,5 N/mm 2 Kan het maximale moment berekend worden met formule (4.26): 1 Mmax =Mo - N, =2, ,19 = 22,567 Nmm per mm 1 2J k..,. Ell _! 3 3 ' 12 De Unity Check luidt nu (4.27): U.C. = Mmax +~= Mmax N, '-- + =,768+,48= 1,248 M N 2 u;d u;d - b h (J" A (J"d ;gem.! ,7 b; gem 6 6 ' Het proefstuk is bezweken bij de opgegeven belasting. De U.C. zou dus uit moeten komen op een. De U.C. is iets hager dan een dus tot zover is de norm is aan de veilige kant. Echter nu is het volgens SKH publicatie 94-2 toegestaan om met een aangepaste spreidingsbreedte te rekenen, waarmee het moment M verlaagd kan worden. (zie ook literatuurstudie, paragraaf 4.2.8) De afstand b, kan hiervoor berekend worden met formule (4.28): b =!!_ = " = mm s 42 4,439 ' Het maxim ale moment wordt dan volgens formule (4.31 ): F b M =- 'b =2,845 ' =9,12 Nmm permm 42 b +~ s 2 ' 2 Het maximale moment is weer te bepalen met formule (4.26): 1 1 M max -M N - '. 8, Q s 1--r============= 2.Jk.., E !_ ' 12 =9,875 Nmm permm 1 De Unity Check luidt nu (4.27): U.C. = Mmax.+ N,. = Mmax M N 2 u;d u;d - b h (J" 6 b;gem N, +----"-- A (J"d;gem =,336+,48=,816.! ,7 6 ' Met deze aangepaste spreidingsbreedte is de U.C. lager dan een en is de norm dus aan de onveilige kant. n de evaluatie wordt hier verder op ingegaan. g;

107 Hetenyi- 'Lightweight sandwich construction' Hetzelfde bezwijkgeval uit de vorige paragraaf is oak te berekenen volgens het boek 'Lightweigth sandwich construction'. Hiervoor zijn eerst de veerconstante volgens formule (4.34) en de constanten a en /] volgens formule (4.36) en (4.37) benodigd: k = E< ; 2 = i_ =, 292 N/mm 3 per mm 1 w d2 137 E 1 = !._ = N/mm 2 mm 4 per mm 1 12 N = = N per mm 1 s 12 ' Eerst moet er worden voldaan aan formule (4.2): Ns<2~ A V K.w C,lJ < ' 12 8,19 < 31,237 N/mm 2, ,19 = 3427 mm-2 per mm ' ' - ' =,2636 mm per mm Het maximale moment kan plaats vinden op x = en op x = Ls. Met deze afstanden wordt formule 2 (4.4): -p, -~ ( ( L )) A ~ ( ( L )) h(x=o)=e ' 2 -sin a x+-:{ -e ' 2 sin a x--:{ ( = e -o.2636 ~ 2 sin (,3427 ( 5 )J,2636-~ ( ( 5 )J + -e 2 -sin,3427 o- 2 2 =,391--1,467 = 1,8517 L ) -fj,~ ( ( L )) P, ~ ( ( L )) h x = -:{ = e 2 sin a x +-:{ - e 2 sin a x--:{ =e -Q,2636 -~ 2 -sin (, 3427 (5 5 )J,2636 -~ ( (5 5)) e -sin, =, 5121 Het moment op deze plaatsen is nu te berekenen met formule (4.38): F 3, N 1 = = ~rmm 12 ' F E 1 MF2(x=)=--~ -e-flo " f 6 (x) L 4k -E -N 2 s w 1 s 3, e-o.o2636o _ ~4 -, ,19 2 ' =34,5146 Nmm permm 1 98

108 Ls ) F El1 -A x ' ( ) M F2 ( x =- =-.. e o J 6 x 2 Ls ~ 4kw El 1 - N; 3, ,2636~ =-- e 2, ~4-, ,19 2 = 4, 938 Nmm per mm 1 Het maximale moment vindt plaats op x =. Hier is de huid ingeklemd tussen de oplegging en de kern. Daarom wordt het maxim ale moment op de rand ( x =Ls 2) aangehouden. De u.c. wordt nu: M N 1 2 A ~ u;d u;d - b h a. '"'d;g''"' ' b,gem 6 6 ' U.C. = Mmax +~ = Mmax + Ns =,168+,48 =, Uitkomsten berekeningen De overige gevallen uit Tabel 4.32 zijn op dezelfde manier als in de vorige paragraaf te berekenen. De deeluitkomsten voor de twee verschillende methoden zijn weergegeven in Tabel 4.33 en Tabel 4.34 hieronder. kw =,889 Mo Mo Mmtu M.,~ Normaalkracht X =,439 Nmm per mm 1 Nmm permm 1 Nmm permm 1 Nmm permm 1 N, A in N/mm 2 Excl. b1as1 ncl. b1as1 Excl. b1as1 ncl. b1as1 (A= 12 3) Vierpuntsbuigproef Oplegbreedte: 2,845 9,12 22,567 9,875 8,19 5 mm. (test E) Vierpuntsbuigproef Oplegbreedte: 26,426 11,562 29,299 12,819 1, mm. (test D*) Vijfpuntsbuigproef Oplegbreedte: 54,867 24,5 65,124 28,493 15,817 1 mm. (testa) Vijfpuntsbuigproef Oplegbreedte: 71 '134 31' 122 9,68 39,46 2,57 22 mm. (test F*).. Tabel 4.33: Deelu1tkomsten bereken1ngen wnnkhng stress gecombineerd met het plaatselljk nle1den van de belasling, voor berekening volgens SKH *niet bezweken ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting. kw =,889 N ormaal kracht ao flo f 6 (x=o) F MFZ(x=O)!,(x=;) M (x= L,) N,l A in mm 2 mm 2 EJ, = 8354 F2 2 Nmm per mm 1 N/mm 2 per per mm 1 Nmm per (A= 12 3) mm 1 mm 1 mm 1 Vierpuntsbuigproef Oplegbreedte: 8,19,3427,2636 1,8517,5121 3,368 34,5146 4,938 5 mm. (test E) Vierpuntsbuigproef Oplegbreedte: 1,165,352,2511 -,253,51 4,269-1,7159,4 18 mm. (test D*) Vijfpuntsbuigproef Oplegbreedte: 15,817,3753,2148-2,4656 -,1961 8,864-67,781-1, mm. (testa) Vijfpuntsbuigproef Oplegbreedte: 2,57,3935,1792-6,7859,967 11, ,6742, mm. (test F*).. Tabel 4.34: DeeiUitkomsten berekemngen wnnkhng stress gecombineerd met het plaatsehjk 1nle1den van de belast1ng, voor berekening volgens Hetenyi- 'Lightweigth sandwich construction'. *niet bezweken ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting. De uiteindelijke uitkomsten, uitgedrukt in unity checks, zijn voor beide methoden samengevat in Tabel 4.35 op de volgende bladzijde. 99

109 U.C. M, U.C. M, U.C. N, U.C. U.C. U.C. U.C. U.C. SKH 94- SKH 94- SKH 94- SKH 94- SKH 94- M, N, Hetenyi Hetenyi Hetenyi Excl. boast ncl. btast Excl. btaso ncl. boast Vierpuntsbuigproef Oplegbreedte:,768,336,48 1,248,816,168,48,648 5 mm. (test E) Vierpuntsbuigproef Oplegbreedte:,998,436,69 1,67 1,45,1,69,61 18 mm. (test D*) Vijfpuntsbuigproef Oplegbreedte: 2,217,97,947 3,164 1,917,63,947 1,1 1 mm. (test A) Vijfpuntsbuigproef Oplegbreedte: 3,67 1,342 1,228 4,294 2,57,8 1,228 1, mm. (test F*).. Tabel 4.35: Resultaten berekenmgen wnnkhng stress gecomb1neerd met het plaatsehjk 1nle1den van de belastmg. *niet bezweken ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting Evaluatie Om de resultaten uit Tabel 4.35 goed te kunnen beoordelen wordt er eerst gekeken naar bezwijken op drukbelasting. Bij de vijfpuntsbuigproef met een oplegbreedte is een maximale drukbelasting waargenomen tot bezwijken van 2,57 N/mm 2. De gemiddelde drukbelasting die is aangehouden is 16,7 N/mm 2. De opgetreden drukbelasting is dus hoger dan de gemiddeld gemeten druksterkte. Dit kan twee oorzaken hebben. Ten eerste is bij het bepalen van de druksterkte reeds opgemerkt dat de druksterkte mogelijk hoger is doordat er onthechting is opgetreden tussen de lijmverbinding. Ten tweede hebben we tijdens de proeven steeds geconstateerd dat bezwijken optreedt rond de maximaal berekende belasting. Met de eerste oorzaak is op dit moment moeilijk rekening te houden. De tweede oorzaak betekent mogelijk dat de gemiddelde breuksterkte een onderschatting is. De berekende unity checks zijn mogelijk dus nog lager. (en daarmee onveiliger) De samengevoegde unity checks (in Tabel 4.35 vet gemaakt) bestaande uit buig- en druksterkte moeten dus met enige zorg bekeken worden. Het beoordelen van de resultaten kan worden gesplitst naar proefstukken die zijn bezweken ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting en de proefstukken die dat niet zijn. n Tabel 4.35 zijn de proefstukken in de tweede en vierde rij bezweken op trekspanning in de huiden en niet op wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting. n de eerste en derde regel moet de u.c. uitkomen op ongeveer een. n de tweede en vierde regel moet de u.c. lager zijn dan een. Wat als eerst opvalt aan de unity checks zijn de verschillen tussen de berekeningen met en zonder breedte blast lndien er met de breedte b 1 ast wordt gerekend zijn de unity checks behoorlijk lager, zo laag zelfs dat de test in de eerste rij voldoet volgens de norm maar in werkelijkheid is bezweken. Vervolgonderzoek naar dit onderwerp is dan ook zeer gewenst. Aangezien de norm voorziet in een veiligheidsfactor voor de belastingen van 1,2 tot 1,5 en een materiaalfactor voor spaanplaat van 1,3 vormt deze uitkomst niet direct gevaar voor de praktijk. Nadat er bij de eerste proef van de vierpunts- en vijfpuntsbuigproef bezwijken op wrinkling stress gecombineerd met het inleiden van de belasting was geconstateerd is er steeds besloten om de oplegdruk te ver1agen, door de oplegging te verbreden. Het buiginsaandeel neemt dan af zodat er meer drukspanningen opgenomen kunnen worden. n de kolom buigsterkte M,, berekend volgens Hetenyi, is te zien dat het aandeel bij de oplegging van 18 en 22 breed minimaal is. Het doel, de buigspanningen verlagen door de oplegdruk te vergroten, is hiermee bevestigd. Kijken we nu naar de berekening van de buigsterkte volgens SKH publicatie 94-2 in de tweede kolom dan zien we dat deze berekeningsmethode hier niet in voorziet. Oat komt natuur1ijk door het op een andere wijze verdisconteren van de oplegbreedte en op een andere manier bepalen van de beddingsconstanten kiv. Samengevat kan er worden geconcludeerd dat er bij het experimenteel onderzoek bezwijken is opgetreden bij een bezwijkbelasting die volgens SKH publicatie 94-2 voldoet. Ondanks dat dit een enkele proef betreft is verder onderzoek gewenst. 1 Hcotd::.tuk4

110 4.1 Eva uatie experimenteel onderzoek n deze paragraaf wordt allereerst een samenvatting gegeven van de testresultaten uit het experimenteel onderzoek voor spaanplaat P5 en EPS 6 samen met de waarden voor de materiaaleigenschappen uit de literatuur. Hierna wordt voor de uitgevoerde testen kart ingegaan op de verschillen tussen experimenten en literatuur. Tot slot wordt er kart ingegaan op de resultaten van de vijfpuntsbuigproef en het bezwijken ten gevolge van wrinkling stress gecombineerd met het lokaal inleiden van de belasting Samenvatting testresultaten en materiaaleigenschappen volgens de literatuur n paragraaf 4.3 'Materiaaleigenschappen volgens de literatuur' zijn volgens verschillende bronnen de materiaaleigenschappen voor spaanplaat P5 en EPS 6 gepresenteerd. n de voorgaande paragrafen van dit hoofdstuk is de buig- druk en trekstijfheid en buig- druk en treksterkte bepaald van spaanplaat P5. Oak is de afschuifstijfheid bepaald van EPS 6. Deze gegevens zijn samengevat in Tabel 4.36 hieronder buigingsmodulus buigsterkte drukmodulus druksterkte trekmodulus treksterkte Literatuur inn/mm 2 inn/mm 2 inn/mm 2 inn/mm 2 in N/mm 2 in N/mm 2 EN * 2* BEKS 24 - P5, dikte 6-13 mm 35** 15,* 2** 12,7* 2** 9,4* Pti.ifbericht. Auftrag-Nr. 725, dikte 1 mm 2833** 14,8* 338** 9,92* TCHN -Rapport Nr dikte 3,2 mm 24** 24** TR 19 32** 14,2* 18** 12,* 18** 8,9* APA groene folie dikte 3 mm, gemiddelde waarden 321*** 18,2*** APA witte folie dikte 3 mm, qemiddelde waarden 4417*** 22, 7*** APA groene folie dikte 3 mm, Qebruikswaarden 295*** 5,7*** 5,1 2,6 APA witte folie 41 *** 7' 1 *** dikte 3 mm, gebruikswaarden Atschuivingsmodulus inn/mm 2 2,** 1,82** Experimenten Spaanplaat P5, dikte 3 mm 3183** 14,38* 3397** 6,24* 'folie aan Qedrukte zijde' 3713** 16,6* 'folie aan oetrokken ziide' 386** 22,68* EPS6 Tabel 4.36: Samenvatttng ltteratuuronderzoek vergeleken met uttkomsten expenmenten. *5% onderscheidingsgrens (gebruikswaarde) **gemiddelde waarde (voor berekeningen in de bruikbaarheidsgrenstoestand) ***waarden bepaald met relaties uit S24 onderzoek. 1,4828* 1,847** Buigstijfheid en buigsterkte spaanplaat P5 Wat opvalt aan de resultaten voor buiging is de extreem lage gebruikswaarde voor de buigsterkte uit het APA rapport Deze is maar 31% van de gemiddelde waarde uit hetzelfde onderzoek. Vergelijken we de resultaten van de experimenten met de uitkomsten van literatuurstudie (zie Tabel 4.36), de invloed van de folie buiten beschouwing gelaten, valt het volgende op. De 'gebruikswaarden' oftwel de karakteristieke waarden volgens APA 8911 zijn niet reeel. De minimale buigsterkte voorgeschreven in EN wordt niet gehaald (16,6 in plaats van 2 N/mm\ de buigingsmodulus is echter flink hager dan vereist (3713 N/mm 2 in plaats van 255 N/mm\ De resultaten uit BEKS 24 komen het meest overeen met de gevonden resultaten uit het experimenteel onderzoek N/mm 2 in plaats van 35 N/mm 2 voor de buiginsmodulus en 16,6 N/mm 2 in plaats van 15, l'l/mm 2 voor de buigsterkte. Oak de waarden uit de TR19 die veel lijken op die uit BEKS 24 komen redelijk overeen. Het lijkt dan oak het meest voor de hand liggend om de waarden uit BEKS 24 of de TR19 aan te houden voor constructieberekeningen Drukstijfheid en druksterkte spaanplaat P5 Vergelijken we de resultaten van de experimenten met de uitkomsten van de literatuurstudie (zie Tabel 4.36) valt, net als bij de buigproeven het volgende op. De 'gebruikswaarden' oftwel de karakteristieke waarden voor de druksterkte volgens APA 8911 zijn niet reeel (5,1 in plaats van 14,38

111 N/mm\ De druksterkte volgens BEKS 24, TR19 en het Pri.ifbericht. Auftrag-Nr. 725 komen beter overeen. De drukmodulus is echter voor aile literatuur flink lager als getest. Mogelijk komt dit doordat de waarden gelden voor een dikte van 6-13 mm. Bekend is dat de kwaliteit van het spaanplaat erop vooruit gaat bij een kleinere dikte. De hardste persing onstaat aan het oppervlak en heeft bij een kleinere dikte een grater aandeel. n het S24-onderzoek [42] is hiernaar onderzoek gedaan en is aangetoond dat dit klopt. De waarden uit BEKS 24 worden echter wei gebruikt in praktijk. De drukmodulus verkregen uit het experimenteel onderzoek is echter ruim de helft hager. De uitkomsten uit dit onderzoek zijn natuurlijk niet een op een over te nemen voor de gehele populatie spaanplaat P5 met een dikte van 3 mm, het geeft echter wei een eerste indicatie. De veel hogere stijfheid kan benut worden door voor het toegepaste spaanplaat voldoende laboratoriumtesten te doen tijdens het productieproces, zoals dat al wei gebeurt voor buiging. Voor de interne kwaliteitscontrole van Unidek B.V. is het veel verstandiger om de druktesten uit te voeren in plaats van buigtesten. De buigstijfheid van het spaanplaat is immers maar voor een zeer klein aandeel verantwoordelijk voor de buigstijfheid van de sandwichconstructie, deze is immers voornamelijk opgebouwd uit de druk- en trekstijfheid van de huiden Trekstijfheid en treksterkte spaanplaat P5 Oak nu kunnen we de resultaten vergelijken met de waarden uit de literatuurstudie (zie Tabel 4.36). De 'gebruikswaarden' oftwel de karakteristieke waarden voor de treksterkte volgens APA 8911 zijn niet reeel (2,6 in plaats van 6,24 N/mm\ De treksterkte uit het experimenteel onderzoek is maar ongeveer 6% van de waarden gegeven door EN 312-5, BEKS 24 en de TR 19. De materiaalfactor vertaagt de waarden uit de literatuur met 1/1,3 =,769 %. De uitkomst uit het experimenteel onderzoek is nag bijna 2% lager. De uitkomsten uit de literatuur zijn dus erg onveilig en geven een onveilige situatie voor de praktijk. Verder onderzoek naar dit onderwerp is dan oak gewenst. Net als bij de drukmodulus is de trekmodulus flink hager dan aile waarden uit de literatuurstudie. De gegeven waarde volgens het Pri.ifbericht komt nag enigzins in de buurt (338 in plaats van 3397 N/mm\ De in de praktijk gebruikte waarde volgens BEKS 24 en de TR19 is net als bij de druksterkte behoorlijk lager. Oak nu kan dezelfde reden als bij de druksterkte aangedragen worden. De waarden volgens BEKS 24 gelden voor een dikte van 6-13 mm en niet voor 3 mm. Het advies luidt oak nu hetzelfde, met behulp van voldoende laboratoriumtesten tijdens het productieproces zijn de eigenschappen opnieuw in te schalen. Oak nu geldt dat deze testen veel nuttiger zijn als de nu uitgevoerde buigtesten bij de interne kwaliteitsdienst van Unidek B.V Afschuivingsmodulus EPS 6 De gemiddelde uitkomst uit het experimenteel onderzoek van 1,847 N/mm 2 komt goed overeen met de voorgeschreven waarde volgens de TR19 (1,82 N/mm 2 zie Tabel 4.36). n dit rapport wordt echter geen 5% onderschreidingsgrens gegeven voor gebruik in de uiterste grenstoestand. Verder literatuuronderzoek hiernaar heeft niets opgeleverd. Deze waarde is natuurlijk wei nodig aangezien de krachtsverdeling bij statisch onbepaalde constructies niet enkel afhankelijk is van de buigstijfheid maar oak van de afschuifstijfheid. De in dit onderzoek bepaalde waarde van 1,4828 N/mm 2 is een eerste inschatting voor de 5% onderscheidingsgrens van de afschuivingsmodulus. Aangezien deze waarde gebaseerd is op 7 testen is verder onderzoek naar dit onderwerp gewenst. Oak testen waarbij wordt belast tot een maximale afschuifsterkte moeten worden uitgevoerd. Mogelijk plastisch gedrag, en daardoor een lagere afschuivingsmodulus, kan zo worden onderzocht Vijfpuntsbuigproef De conclusies uit deze testen moeten met enige onzekerheid gepresenteerd worden. Het gebruikte spaanplaat en EPS voor de proefstukken van de vijfpuntsbuigproef komen niet uit dezelfde serie als waarop de materiaaltesten zijn uitgevoerd. De uitkomsten van de materiaaltesten zijn echter wei gebruikt voor het voorspellen van de vervormingen van de vijfpuntsbuigproef. Het voorspellen van de vervormingen is gebaseerd op de oplossing van de differentiaalvergelijking uitgewerkt in hoofdstuk 3. De theorie uit hoofdstuk 3, gebaseerd op de Timoshenko balktheorie, is een geacepteerde methode voor het beschrijven van sandwichconstructies. De testresultaten met de vijfpuntsbuigproef bevestigen het gebruik van deze theorie voor statisch onbepaalde sandwichconstructies. Door het gebruik van materiaalgegevens uit een andere populatie moet deze conclusie echter met enige voorzichtigheid gesteld worden Wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting Bij een test van de vierpuntsbuigproef en een test van de vijfpuntsbuigproef is bezwijken op wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting waargenomen. Een berekening volgens SKH voorschrift 94-2 [34] geeft aan dat de vierpuntsbuigproef bij de bezwijkbelasting zou moeten voldoen (u.c. =,8). Verder onderzoek naar dit onderwerp is dan oak gewenst. '2

112 5 Conclusies en aanbevelingen Conclusies Het gebruik van differentiaalvergelijkingen voor het beschrijven van balken met buiging is onder bouwkundig en civiel ingenieurs geen uiterst bekende methode. Deze theorie, gebaseerd op de balktheorie volgens Euler-Bernoulli, is meer geschikt voor gebruik in computerprogramma's en is hierin meestal verborgen voor de gebruiker. De veel eenvoudigere en meer voor handberekening geschikte methode met de vergeet-me-nietjes is echter wei zeer bekend. Voor balken met dwarskrachtvervorming, zoals de sandwichconstructie uit dit afstudeerproject, is deze theorie echter niet geschikt. De differentiaalvergelijking volgens Timoshenko is wei geschikt voor het beschrijven van balken met buigingsvervorming en dwarskrachtvervorming. Deze differentiaalvergelijking is echter niet geschikt voor handberekeningen. Om te voldoen aan de onderzoeksvraag is binnen dit afstudeerproject een andere methode ontwikkeld. De onderzoeksopdracht luidt immers: ' Ontwikkel een algemene rekenmethode om de dwarskrachten, momenten en vervormingen van statisch onbepaalde Timoshenko sandwichconstructies met ongelijke overspanningen, overstekken en puntlasten te analyseren middels een handberekening ' Om aan deze vraag te kunnen voldoen zijn in hoofdstuk 3 vergeet-me-nietjes afgeleid aan de hand van de differentiaalvergelijking volgens de Timoshenko balktheorie. Deze vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming zijn uitermate geschikt voor handberekeningen van balken met buigingsvervorming en dwarskrachtvervorming. Hiermee is de methode oak geschikt voor het beschrijven van sandwichconstructies met ongelijke overspanningen, overstekken en belastingen bestaande uit gelijkmatig verdeelde belastingen en puntlasten. Daarmee is er volledig voldaan aan de onderzoeksvraag uit dit afstudeerverslag. Oak de deelvragen kunnen worden beantwoord. De afwijkingen door de benaderingsmethode volgens Berner is minimaal (paragraaf 3.7). De afwijkingen ontstaan doordat de vervormingen altijd in het midden van de overspanning worden berekend terwijl dit door het buigingsaandeel niet per se noodzakelijk is. n dit verslag wordt voor het berekenen van de vervormingen van dezelfde benadering gebruik gemaakt. Het experimenteel onderzoek bevestigt de theorie uit hoofdstuk drie voor het beschrijven van statisch onbepaalde sandwichconstructies Aanbevelingen De druk- en trekmodulus getest bij het experimenteel onderzoek zijn veel hager dan de voorgeschreven waarden in de normen. Verder onderzoek hiernaar is dan oak gewenst. Het verdient aanbeveling voor Unidek B.V. om deze testen tijdens het productieproces uit te voeren. De mogelijk veel hogere elasticiteitsmodulus kan dan oak werkelijk benut worden in de constructieberekeningen. Dit leidt tot het effectiever gebruik van het materiaal waardoor grotere overspanningen mogelijk zijn. Wellicht is het mogelijk om relaties af te leiden tussen de trekfdrukmodulus en de buigingsmodulus. De gemakkelijk uitvoerbare buigtesten kunnen dan worden ingezet voor het testen van de buigingsmodulus. De treksterkte uit het experimenteel onderzoek is veel lager dan volgens de literatuur. Dit geeft een onveilige situatie voor de praktijk. Verder onderzoek is dan oak gewenst. EPS vertoont onder drukbelasting plastisch gedrag. Mogelijk is dit oak zo bij belasten op afschuiving bij buiging tot bezwijken. Dit heeft mogelijk een negatieve invloed op de afschuivingsmodulus van het EPS in de uiterste grenstoestand. (deze is immers nodig voor het berekenen van statisch onbepaalde sandwichconstructies in de uiterste grenstoestand). Verder (experimenteel) onderzoek hiernaar is gewenst. Na dit onderzoek kan de waarde worden opgenomen in de voorschriften. Tijdens het experimenteel onderzoek is een bijzonder bezwijkmechanisme waargenomen. Dit bezwijkmechanisme, in dit verslag aangeduid met wrinkling stress gecombineerd met het plaatselijk inleiden van de belasting, zorgt ervoor dat de huid onder een drukbelasting uitknikt. Het bezwijken is opgetreden bij een belasting die volgens SKH publicatie 94-2 [34] zou moeten voldoen. Verder onderzoek naar dit onderwerp is dan oak gewenst. Met behulp van de eindige elementenmethode is het mogelijk om de invloed van de dikte van de huiden op het gedrag (spanningen en vervormingen) van de sandwichconstructie te onderzoeken. De vraag tot welke huiddikte de Timoshenko balktheorie geldig is kan dan eenduidig beantwoord worden. Verder onderzoek hiernaar is dan oak gewenst. 3

113 Voor liggers met ongelijke velden kan de plaats van de maxim ale vervorming mogelijk meer gaan afwijken dan het geval is voor liggers met gelijke overspanningen. De benadering van de vervormingen kan hierdoor mogelijk meer gaan afwijken. Verder onderzoek hiernaar is dan oak gewenst. Hcotds uk 5

114 Bijlagen Bijlage A- Differentiaalvergelijkingen volgens Timoshenko balktheorie Bijlage B - Berekeningen volgens Timoshenko balktheorie Bijlage C- Eindige elementenmethode Bijlage D - Vergeet-me-nieljes met dwarskrachtvervorming Bijlage E - Tekeningen proefopstellingen Bijlage F - Uitkomsten experimenteel onderzoek 15

115 Literatuur [1] Davies J.M. Lightweight sandwich construction. 21. London: Blackwell Science. [2] van Sterkenburg P.G.J., C. Goossens, J. Parqui & P. Verhoeven. Van Dale groat woordenboek hedendaags Nederlands. 26. Utrecht: Van Dale Lexicografie. [3] Plantema F.J. Sandwich construction :the bending and buckling of sandwich beams, plates, and shells London: Wiley. [4] Jungbluth. & K. Berner. Verbund- und Sandwichtragwerke : Tragverhalten, Feuerwiderstand, Bauphysik Berlin: Springer. [5] Fortuin J.B., F. van Herwijnen & P.H.H. Leijendeckers. Polytechnisch zakboek. 26. Doetinchem: Read Business nformation. [6] EOTA. TR19: Calculation models for prefabricated wood-based loadbearing stressed skin panels for use in roofs. 25. Belgie, Brussel: European organisation for technical approvals. [7] Berner K. Praxisgerechte nachweise zur trag- und gebrauchsfahigkeit von sandwichbauteilen. Stahlbau 67, [8] Wang C.M., J.N. Reddy & K.H. Lee. Shear deformable beams and plates: relationships with classical solutions. 2. Amsterdam: Elsevier. [9] Gere J.M. & S.P. Timoshenko. Mechanics of materials London: PWS Publishing Company. [1] Allen H.G. Analysis and design of structural sandwich panels London: Pergamon Press. [11] Stamm K. & H. Witte. Sandwichkonstruktionen: Berechnung, Fertigung, Ausfuehrung Berlin: Springer. [12] Timoshenko S.P. & J.M. Gere. Theory of elastic stability S.l.: McGraw-Hill. [13] Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars. Philosophical Magazine 41 [245], [14] Briede K.J. & R. Blok. Tabellen voor bouwkunde en waterbouwkunde. 24. Utrecht: ThiemeMeulenhoff. [15] Nederlands Normalisatie lnstituut. NEN 6764 Houtachtige plaatmaterialen - Bepaling van de karakteristieke waarden van de mechanische eigenschappen, de volumieke massa en de weerstand tegen vochtinvloeden. 21. Delft: NEN. [16] l'lederlands Normalisatie lnstituut. TGB Houtconstructies - Basiseisen - Eisen en bepalingsmethoden. 21. Delft: NEN. [17] Unidek B.V. Leveringsprogramma prijslijst. 28. Gemert. [18] Bakker M.C.M. Matrixmethode: Mechanica Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven. [19] Bla~ H.J., J. Ehlbeck, H. Kreuzinger & G. Steck. Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken. 24. Duitsland, Berlijn: Deutsches lnstitut for Normung. [2] Kollar L. Structural stability in engineering practice London: E&FN Span.

116 [21] Janssen H.J.M. Mechanica 4: knik, vervolg spanningen en vervormingen : dictaat. 28. Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven. [22] van den Bossche P. rapport nr. 3185: Bepalen afschuivingsmodulus met behulp van de vierpuntsbuigproef. 23. Belgie, Brussel: Technisch centrum der houtnijverheid (TCHN). [23] Ba:zant Z.P. & A. Beghini. Sandwich buckling formulas and applicability of standard computational algorithm for finite strain. Composites- Part B: engineering, Elsevier. [24] Huang H. & G.A. Kardomateas. Buckling and initial postbuckling behavior of sandwich beams including transverse shear. AAA Journal4[11], [25] Krenk S. Mechanics and analysis of beams, columns and cables : a modern introduction to the classic theories. 21. Berlin: Springer. [26] Bouma A.L. Mechanica van constructies : elasto-statica van slanke structuren Delft: Delftse Uitgevers-Maatschappij. [27] Wang C.M. Timoshenko beam-bending solutions in terms of Euler-Bernoulli solutions. Journal of engineering mechanics 121 [6], Technical note No. 8366: ASCE. [28] Zenkert D. An introduction to sandwich construction UK, Warley: Engineering Materials Advisory Services. [29] Well em an J.W., A. Dolfing & J.W. Hartman. Basisboek toegepaste mechanica. 25. UtrechUZutphen: ThiemeMeulenhoff. [3] Technical Committee CEN TC 128. pren Self-supporting double skin metal faced insulating sandwich panels. 26. Belgie, Brussel: CEN. [31] Nederlands Normalisatie lnstituut. NEN 676- Houtconstructies- Basiseisen- Eisen en bepalingsmethoden. 21. Delft: NEN. [32] Nederlands Normalisatie lnstituut. NEN-EN 31 - Houtachtige plaatmaterialen - Bepaling van de elasticiteitsmodulus bij buiging en van de buigsterkte Delft: NE\J. [33] Technical Committee CEN TC 124. pren 789 Timber Structures- Test Methods- Determination of mechanical properties of wood-based panels Belgie, Brussel: CEN. [34] Stichting Keuringsbureau Hout. SKH publicatie 94-2 'Houtachtige dakconstructies rekenprogramma voor sandwichelementen en enkelhuidige ribpanelen ' Huizen: SKH. [35] Hetenyi M. Beams on elastic foundation : theory with applications in the fields of civil and mechanical engineering S.l. : University of Michigan press. [36] Winkler E. Die Lehre von der Elastizitat und Festigkeit. Prague [37] Technical Committee CEN TC 25. Eurocode 5- Design of timber structures. 24. Belgie, Brussel : CEN. [38] Normcommissie 'Piaatmaterialen'. EN 312-5: Spaanplaat- specificaties. Deel 5. Eisen voor platen voor constructieve toepassingen in vochtige omstandigheden Delft: NEN. [39] Kicken S. Vademecum plaatmaterialen- Houtachtige en andere plaatmaterialen voor de bouw. 26. Den Haag: Sdu Uitgevers. [4] Herold K. Prufbericht. Auftrag-Nr Mainz: Amtliche Prufstelle fur Baustoffe. [41] Ploos van Amstel H. Rapport Materiaaleigenschappen spaanplaat Maassluis: Adviesbureau lr. H. Ploos van Amstel ci. 8

117 [42] ABT. Studiecommissie S-24: Technische eisen dakplaten. 28. Arnhem: Adviesbureau voor bouwtechniek B.V. [43] Hiemstra P. Experimentele mechanica. 22. Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven. [44] Nederlands Normalisatie lnstituut. NEN-EN Producten voor thermische isolatie van gebouwen- Fabrieksmatig vervaardigde producten van geexpandeerd polystyreenschuim (EPS)- Specificatie. 26. Delft: NEN.. [45] Technical Committee CEN. pren 129: "Thermal insulating products for building aplications Determination of shear behaviour". 28. Belgie, Brussel: CEN. [46] Nederlands Normalisatie lnstituut. NEN-EN 48- Houtconstructies- Hout voor houtconstructies en gelijmd gelamineerd hout - Bepaling van enkele fysische- en mechanische eigenschappen. 23. Delft: NEN. l:s

118 Afstudeerrapport Buigings- en dwarskrachtvervorming van sandwich pane len 'Ontwikkelen van een eenvoudig toepasbare rekenmethode voor statisch onbepaalde sandwichconstructies, vergeleken met laboratoriumexperimenten' Bijlagen W.H. de Groot Eindhoven, juli 28 Afstudeercommissie: prof. dr. ir. A.J.M. Jorissen dr. ir. M.C.M. Bakker ing. J.L.G. van Rie Rapport: A Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Architecture, Building and Planning Unit Structural Design & Construction Technologie Den Dolech AZ. Eindhoven

119 lnhoudsopgave Bijlage A- Differentiaalvergelijkingen volgens de Timoshenko balktheorie Bijlage B - Berekeningen volgens Timoshenko balktheorie Bijlage C- Eindige elementenmethode Bijlage D- Vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming Bijlage E- Tekeningen proefopstellingen Bijlage F - Uitkomsten experimenteel onderzoek

120 Bijlage A- Differentiaalvergelijkingen volgens de Timoshenko balktheorie n deze bijlage worden de differentiaalvergelijkingen voor verschillende belastinggevallen afgeleid volgens de Timoshenko balktheorie. n tegenstelling tot de Euler-Bernoulli balktheorie waar de vervorming aileen bestaan uit buigingsvervorming wordt bij de Timoshenko balktheorie naast de vervorming door buiging ook de vervorming ten gevolge van dwarskracht meegenomen in de differentiaalvergelijking. Achtereenvolgens wordt in deze bijlage de afleiding van de differentiaalvergelijking volgens de Euler-Bernoulli balktheorie beschreven en vervolgens de afleiding van de differentiaalvergelijking volgens de Timoshenko balktheorie. Voor beide differentiaalvergelijkingen worden de randvoorwaarden gegeven voor de verschillende rand- en tussencondities. Met deze randvoorwaarden kunnen de intergratieconstanten c. c2 CJ en c4 voor verschillende situaties opgelost kunnen worden. Tot slot volgen de uitwerkingen van de differentiaalvergelijkingen voor verschillende soorten constructiesystemen. n het verslag wordt er verder ingegaan op de uitkomsten van de uitwerkingen. De constructiesystemen die hier zijn uitgewerkt zijn een mix van sandwichconstructies zoals deze in de praktijk worden toegepast en van de proefopstelling gebruikt bij het experimenteel onderzoek. Differentiaalvergelijking volgens Euler-Bernoulli De meest eenvoudige eerste orde balktheorie wordt beschreven door Euler-Bernoulli. n deze vierde orde differentiaalvergelijking wordt aileen buiging beschouwd. n de Euler-Bernoulli balktheorie wordt dan ook verondersteld dat er geldt: 'vlakke doorsneden blijven na belasten vlak en loodrecht op de as van de ligger' Hierbij wordt dus aangenomen dat een doorsnede aileen kan vervormen ten gevolge van buiging en niet kan vervormen ten gevolge van afschuiving. Op gedrongen balken en sandwichconstructies na is deze theorie over het algemeen voldoende om de dwarskrachtenl momenten en vervormingen van slanke balken kunnen te kunnen beschrijven. De vormverandering bestaat dus aileen uit een hoekverandering ten gevolge van buiging. n het assenstelsel x y is de vormverandering ten gevolge van buigingl in vervormde toestandl weergegeven in Figuur A.1 a hieronder. De onvervormde toestand is weergegeven in Figuur A.1 b. (a) X. normaa! in vervormde toestcmd..-- l". 11 ' (b) ~ nornwal in onvervormde toestand ) 1". 11' X./1 Figuur A.1: Buigingsvervorming volgens Euler-Bernoulli balktheorie. A-.

121 De elementaire buigingstheorie is gebaseerd op de volgende relaties: Zakking w Kinematische relatie Hoekverdraaiing f/ dw f/=dx Kinematische relatie Kromming K Constitutieve relatie M=-El K Moment M Evenwichtsrelatie Dwarskracht V Evenwichtsrelatie Belasting q V=dM dx dv d 2 M q=--=--- dx dx 2 Met deze relaties kan de differentiaalvergelijking volgens Euler-Bernoulli worden opgesteld. De eerste afgeleide van de verplaatsing ( w) is de hoekverdraaiing (f/). De hoekverdraaiing kan nu beschreven worden volgens de kinematische relatie: dw f/ (X) = dx (A. 1 ) De eerste afgeleide van de hoekverdraaiing is de kromming ( K ). De kromming kan nu beschreven worden volgens de kinematische relatie: dlf/ d 2 w K(x)=d; ~ K(x)= dx 2 (A.2) Het moment ( M) is gelijk aan de negatieve waarde van de buigstijfheid ( E ) maal de kromming. De moment kan nu worden beschreven met de volgende constitutieve relatie: d 2 w M(x) = -El K ~ M(x) = -El dx 2 (A.3) De eerste afgeleide van de moment is de dwarskracht V. De dwarskracht kan nu beschreven worden volgens de evenwichtsrelatie: V(x)= dm dx (A.4) De eerste afgeleide van de dwarskracht is de belasting ( q ). De be lasting kan nu beschreven worden volgens de evenwichtsrelatie: q(x)=-dv ~ dx d 4 w q(x) = El dx 4 (A.5) De belasting kan nu uitgedrukt worden volgende differentiaalvergelijking: d 4 w q (X) = El. dx 4 (A.6) Vergelijking (A.6) wordt de differentiaalvergelijking volgens Euler-Bernoulli genoemd. Rekening houdend met formule (A.3) is de doorbuiging te beschrijven door de belasting vier maal te integreren. Bij elke keer integreren wordt een onbekende constante verkregen, welke wordt aangeduid met c. De vier verkregen constanten zijn op te lossen met behulp van de randvoorwaarden van de constructie. De dwarskracht kan nu worden beschreven met de integraal van de belasting, met daarbij de onbekende constante c, : A-2 Bijlage

122 (A.7) De vergelijking voor het beschrijven van de dwarskracht wordt hiermee: V =-qx+c 1 (A. B) Het moment kan worden beschreven met de integraal van de dwarskracht, met daarbij de onbekende constante C 2 : M(x)= J(V)dx+C 2 De vergelijking voor het beschrijven van het moment wordt hiermee: qxz M =--+C 1 x+c 2 2 (A.9) (A.1 ) De hoekverdraaiing kan worden beschreven met de integraal van de kromming. Rekening houdend met formule (A.3) met daarbij de onbekende constante C 3 wordt verkregen: \lf(x)= J{-~)dx+C3 (A.11) De vergelijking voor het beschrijven van de hoekverdraaiing wordt hiermee: qx 3 C 1 x 2 C 2 x C \ = 6E - 2E - E + 3 (A.12) De verplaatsing kan worden beschreven met de integraal van de hoekverdraaiing, met daarbij de onbekende con stante C 4 : (A.13) De vergelijking voor het beschrijven van de verplaatsing wordt hiermee: qx 4 C 1 x 3 C 2 x 2 w= cx+c 3 4 (A.14) 24E 6E 2E Zoals reeds aangehaald kunnen de integratieconstanten C 1, C 2, C 3 en C 4 worden opgelost met behulp van de randvoorwaarden van de constructie. Voor de Euler-Bernoulli balktheorie zijn de voorgeschreven rand- en tussencondities voor verschillende soorten opleggingen en overstekken opgenomen in Tabel A.1. De aangegeven richtingen in het assenstelsel zijn de positieve richtingen. Dlft"erentiaalllergelljklnger Jolgr.ns de Tirnoshe!"lko balktheorie A-3

123 V, 11'.'C/1.!.) x=o ~ w=o M=O ~ w=o M=O ~ w=o f/= M=O V=O w=o ;z; M =M links rechts w=o M =M ~ Tabel A. 1: Rand- en tussencond1t1es voor versch1llende soorten opleggmgen volgens Euler-Bernoulli balktheorie. links rechts Timoshenko n tegenstelling tot de Euler-Bernoulli balktheorie is het met de Timoshenko balktheorie wei mogelijk om de vervorming door dwarskracht te beschrijven. Het opstellen van de differentiaalvergelijking volgens Timoshenko verloopt grotendeels hetzelfde als in de vorige paragraaf Tot aan het beschrijven van het moment is de afleiding identiek aan elkaar. De totale hoekverdraaiing, aangeduid met, bestaat nu echter niet enkel en aileen uit de hoekverdraaiing ten gevolge van buiging (f/ ) maar ook uit een hoekverdraaiing ten gevolge van afschuiving ( r ). Deze hoek gamma wordt de zogenaamde afschuivingshoek genoemd. Binnen dit verslag wordt ten aile tijden de buigingshoek aangegeven met f/, en de afschuivingshoek met r. De totale hoek wordt steeds aangeduid met. n tegenstelling wat op enkele plaatsen in de literatuur wordt beschreven [25] wordt in dit rapport aangenomen dat de buigingshoek en de afschuivingshoek beiden positief zijn. Ze veroorzaken immers beiden een positieve zakking in de richting w. n het assenstelsel x, y is de vormverandering ten gevolge van buiging en dwarskracht, in vervormde toestand, weergegeven in Figuur A.2a op de volgende bladzijde. De onvervormde toestand is weergegeven in Figuur A.2b. BiJiage A

124 (a) X. / normool in vervormde toestond --- \ '.11' (b).'c /1 normaal in onve1vormde toestand ".11' Figuur A.2: Buigings- en dwarskrachtvervorming volgens Timoshenko balktheorie. De eerste afgeleide van de verplaatsing wordt nu: dw -=r/j=jl+y dx (A.15) Voor de hoekverdraaiing ten gevolge van afschuiving geldt het volgende: v r= GA (A.16) Waarin GA de dwarskrachtstijfheid van de betreffende doorsnede is. De verplaatsing volgens Timoshenko kan nu worden beschreven met de integraal van de totale hoekverdraaiing, met daarbij de onbekende con stante C 4 : (A.17) Formule (A.8) ingevuld in formule (A.16) en samen met formule (A.12) geeft de totale hoekverdraaiing. Beide uitkomsten ingevuld in formule (A.17) geeft de vergelijking voor het beschrijven van de verplaatsi ng: qx 4 ( x 3 x J C2x 2 qx 2 w= C, GA C3x- 2GA +C 4 (A.18) Oak nu kunnen de integratieconstanten c,, C 2, C 3 en C 4 worden opgelost met behulp van de randvoorwaarden van de constructie. Voor de Timoshenko balktheorie zijn de voorgeschreven randen tussencondities voor verschillende soorten opleggingen en overstekken opgenomen in Tabel A.2 op de volgende bladzijde. Oak nu zijn de positieve richtingen aangegeven in het assenstelsel. A-5

125 X,// V. ll' -!) x=o ~ w=o M=O ~ w=o M=O ~ w=o f= M=O V=O wlinks = wrecht> = 7A7l f links = f rechts M finks =M rechis wlinks = wrechls = f links = f rechts Jl Mlinks =M rechrs. ' Tabel A.2: Rand- en tussencond1t1es voor verschlilende soorten opleggmgen volgens de Timoshenko balktheorie. -C BiJiage A

126 Belastinggevallen De constructiesystemen in Figuur A.3 hieronder zijn in de volgende paragrafen uitgewerkt met behulp van de differentiaalvergelijkingen volgens de Timoshenko balktheorie. k-< q i B X ~< ~ J q B J};< X a ~ J};< a X ~ r 8 A (' r B b b l C' L/ a X ~ _,,- q ( A: b i c JiA X ~, f,~ q A/ A7> a b c i D X ~ Figuur A.3: Uitgewerkte constructiesystemen met behulp van de differentiaalvergelijkingen volgens de Timoshenko balktheorie. Diff..,rentiaalv';r:;~el ijkingen ~olgens Je Tlmoshenl< balklileorfe A--7

127 A.1 Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde be lasting q X Figuur A.4: Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. Randvoorwaarden opstellen Voor dit systeem gelden de randcondities aangegeven in Tabel A-3: Vergelijkingen opstellen -q =-q V (X) = -qx + C 1 qxz M(x)=- 2 +C 1x+C 2 x) _ qx3 _ C1x 2 _ C ( 2x +C 3 f/ ~x=o) w=o B(x=l) w=o dlf/ = dlf/ = dx dx Tabel A-3: Randcondities eenveldsoverspann1ng met gelijkmatig verdeelde belasting. qx 4 qx 2 ( x 3 x J C2x 2 w(x) = GA + C GA C3x+ C4 lntegratieconstanten oplossen Met behulp van de randvoorwaarden uit Tabel A-3 kunnen de integratieconstanten worden opgelost: Op x = geldt: w=o dlf/ = dx qx 4 qx 2 ( x 3 x J C2x 2 w(x=o)=----+c Cx+C 3 4 = GA 6 1 GA 2 1 dlf/ (x=o)= qx 2 _ C1x _ C2 =O dx 2 1 E E Op x = geldt: w=o dlf/ = dx A-8 BJiage A

128 t 3 1 J qr qt 2 C,.(- 6E + GA + C/ =- 24 / + 2GA Cl=-3!.._+ qf +L_L 3 24 / 2GA 12 / 2GA Cl=-3!._+L 3 24 / 12 / C=L 3 24 / Oplossing uitwerken c = q/ 2 C 2 =O C=L 3 24 / C 4 = o V ( x) = -qx + C 1 q/ V(x) = -qx+- 2 (A.19) (A.2) (A.21) (A.22) Diff.arenua::llverg'illilkingen 1clgens de- TimosnenKo oalk~heone.-\ 9

129 A.2 Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd q X.. Figuur A.S: Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd. Randvoorwaarden opstellen Voor dit systeem gelden de randcondities aangegeven in Tabel A-4: Vergelijkingen opstellen -q =-q V (X) = -qx + C 1 qx2 M(x)=--+C 1 x+c2 2 x) _ qx3 _ C1x 2 _ C2x + C ( 3 f/ E1 ~x=o) w=o B(x=l) w=o f/= dlfl = dx Tabel A-4: Randcondities eenveldsoverspann1ng met gelijkmatig verdeelde belasting. qx 4 qx 2 ( x 3 x J C2x 2 w(x)= 24El- 2GA +C GA C3x+C4 lntegratieconstanten oplossen Met behulp van de randvoorwaarden uit tabel A.3 kunnen de integratieconstanten worden opgelost: Op x = o geldt: w=o qx 4 qx 2 ( x 3 x J C2x 2 w(x=o)=-----+c C 3 x+c 4 = GA 6 1 GA 2 1 dlfl (x=o)= qx2- Clx- C2 = dx 2 1 E1 E1 Op x = geldt: A.-1

130 Oplossing uitwerken Onbekenden oplossen met behulp van Wolfram Mathematica 6.: 3q1(4E +GAf) c = -,...:...---~ 8(3 / +GAf) C 2 =O ql 3 ( 12 / + GA 2 ) c = --'--;-----'-:- 3 48E(3E +GAf) Met n = 2 / wordt dit: GA c = _3q_l (_,_4._+ -'-1) 8(3. + 1) C 2 =O C = _q_l 3,_( _12_._+_1.:...) 3 48 / ( ) V ( x) = -qx + C ql ( ) V ( x ) - qx+ ( ) qx2 M(x) = --+ C 1 x+ C 2 2 M ( x) = _ qx 2 + 3q ( ). x 2 8(3.+ 1) (A.23) (A.24) (A.25) Op x =!.. wordt de doorbuiging: 2 ) qx 4 qx 2 3q1(4.+1) ( x 3 x J q1 3 (12.+1) w ( X=2 = 24 /- 2GA + 8(3.+1). -6 / + GA + 48 /(3.+1) X ) q 1 4 q f 3q1(4.+1) q1(4.+l) 1 q1 3 (12.+1) w ( X=2 =24E 2.i-2GA 2!- 8(3.+1).6EJ 13+ 8(3.+1). GA 2+ 48E/(3.+1).2 1 ) ql 4 ql 2 3qr(4n+1) 3qf(4n+1) qr(12.+1) w ( X =2 = 384 /- 8GA- 384 /(3.+ 1) + 16GA(3.+ 1) (3.+ 1) ) GAql 4 (3.+1) 48 /qf(3.+1) 3GAql 4 (4.+1) 72E!q1 2 (4.+1) 4GAql 4 (12.+1) w ( x=l = 384 /GA(3.+1)- 384 /GA(3.+1)- 384 /GA(3.+1) /GA(3.+1) /GA(3.+1) w(x =!._) = GAql 4 (3.+ 1)-48 /ql 2 (3.+ 1)-3GAqr ( 4.+ 1)+ 72E!ql 2 ( 4.+ 1)+4GAql 4 (12.+1) /GA(3.+ 1) w(x =!...) = 3GAqr.O+GAqr -144E!qi 2.-48E!ql 2-12GAqr.-3GAqr /ql E!ql 2 +48GAqr.+4GAqr /GA(3.+1) w(x =!...) = 39GAq GAql E!ql E!ql /GA(3.+ 1) / / ) ql GA GA W ( X=l = 48 /. 8(3.+1) / w(x=!...)=l GA +&GA 2 48 / (3.+1) A-1

131 (A.26) A.3 Eenveldsoverspanning met puntlast JSm' ( r B Jk'' b X.. Figuur A.6: Eenveldsoverspanning met puntlast. Randvoorwaarden opstellen Voor dit systeem gelden de randcondities aangegeven in Tabel A-5: ' Vergelijkingen opstellen Deel a: Vdeel " (X) = Cl Mdr:eta (x) = Clx+ C2 ( f/ dee/ a - x)-- Clx2- C2x +C 2 ] EJ 3 Arx=O) B(x=a) c(x=l) w=o (x)=c [-~+~]- C 2 2 x +C x+c w dee/a 6 ] GA 2 ] 3 4 wdeela = wdeelb w=o dlfl = f! dee/ a = f! dee/ b dlfl = dx dx Mdeela = Mdeelb Vdeet a -.. Tabel A-5 : Randcond11ies eenveldsoverspann1ng met puntlast. Vdeei b = F Deel b: Vdeel b (X) = C5 Mdeel b (X)= C5x + c6 f/ dee/ b - x) - - C5x2 - C6x + C ( 2 [ ] 7 w x =C --+- x 3 x J ---+C C6x 2 x+c deeth ( ) 5 [ 6El GA s A-1"" Bijlage A

132 lntegratieconstanten oplossen Met behulp van de randvoorwaarden uit tabel A.5 kunnen de integratieconstanten worden opgelost: Op x = geldt: w=o dlf/ = dx Op x = geldt: 2 w=o w d l b (x = 1) = C 5 ( -~+~]- C 6 x +C 7 x+c 8 = ee 6 / GA 2 / Op x = a geldt: W =W 3 / C J -- C 6 f 5 -+Cl+C = ( GA 2 1 dlf/deetb(x=l)=- Csx - C6 = dx EJ EJ - c5t- c6 = o El E +Cx+C GA 2 1 dee/ a deelb C (-~+~ ] +Cx=C (-~+~]- C x f/ dee/ a = f/ dee/ b C 6 / GA (-~+...::_]+C a+c (+~-...::.._]+ C 6 2 a 6 / GA 3 5 _C 1 x 2 _~ x +C=-~x 2 _~x+c 2 1 EJ 2 1 EJ - C,a2 + C + C5a2 + C6a - C = / E M deela =M deelb C 1 x=c 5 x +C 6 C 1 a-c 5 a-c 6 = Vd.., a - Vdeet b = F Cl - Cs = F n matrixvorm: 6 1 GA 2 1 /3 / GA 2 1 cl EJ EJ c) aj a aj a a2 Cs --+- a --- -a GA 6 1 GA 2 1 c6 a2 a2 a -1 c / E C8 F a -a -1-1 Oplossing uitwerken Onbekenden oplossen met behulp van Wolfram Mathematica 6.: Fa C =--+F C 2 =O Fa 3 Fa 2 Fa! c = /1 2 / 3 / C =-Fa 5 2 -C a-c = 7 8 C = Fa 3 +Fa! / C =Fa_ Fa 3 8 GA 6 1 DlflereniJaalvergelijkingen 11g:ns Je T mcshenko b.alklhecl'ie

133 Deel a: vdeela = cl Fa Vdeel a = --+ F (A.27) Mdeela (x) = C\x+ C2 Mdeela (x) = (-~a +F }x (A.28) (A.29) Deel b: Vdeel b (X) = C5 Fa vdeelb (x) = --1 (A.3) M dee/ b (X) = c5 X + c6 Fa Mdeel b (x) = --- x+ Fa 1 (A.31) (A.32) Op x =!... met a=!... wordt de doorbuiging: 2 2 (A.33) wdeelb ( x=~) =(-~a}(- 6~1 + 2~1 ;AJ-Fa +( ;;; 1 + ::n x+ ~~- :;~ wdeelb ( x = ~) = (- ~. ~} (- 6~1. ~: + da. ~ J- F.~. 2~1. ~: + ( 6:Jl. ~: + 3~1. ~} ~ + :w. ~- 6~1. ~: ) Fl 3 Fl Fl 3 Fl 3 Fl 3 Fl Fl 3 wdeelb ( X= 2 = GA- 16 / l2e + 2GA (A.34) Bijlag= A

134 A.4 Eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd Am' r B (' C/ b X.. Figuur A.7: Eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd. Randvoorwaarden opstellen Voor dit systeem gelden de randcondities aangegeven in Tabel A-6: Vergelijkingen opstellen Deel a: Vdeel a (X) = Cl Mdeeta (x) = Clx+ Cz ( x)-- Clxz - Czx + C f/ dee/ a - 2 / / J ~x=o) B(x=a) c(x=l) w=o w dee/ a =w w=o dee/ b dlfl f/= = lfl dee/ a = lfl dee/ b dx M dee/ a =M deelb Vdeet a - Vdeet b = F.. Tabel A-6: Randcond1t1es eenveldsoverspann1ng met puntlast, eenzijdig ingeklemd. w x =C --+- x 3 x J ---+C C2x 2 dee/a ( ) x+c ( 6 / GA 2 / 3 4 Deel b: Vdeetb(x)=C5 Mdeetb(x) = C5x+C6 2 ( x) C5x _ C6x + C lfl dee/ b - 2 / / 7 2 (x) = C (-~+~]- C 6 x +C x+ C w deelb 5 6 / GA 2 / 7 8 lntegratieconstanten oplossen Met behulp van de randvoorwaarden uit tabel A.6 kunnen de integratieconstanten worden opgelost: Op x = geldt: w=o dlfl = dx Op x = geldt: w=o wdeeta(x=)=c x 3 x J ---+C C2x 2 3 x+c 4 =. ( 6 1 GA 2 1 dlfldeela (x = ) =- Clx- Cz = dx El El x 3 x J C6x 2 ee ( 6 / GA 2 / wd tb (x = 1) = C C 7 x+c 8 = C J -- C C +C = [ GA 2 1 DlfferenllaalvF.rgelijkingen volgens de Timl"'..shenko bafk!h~re A-15

135 \V = ( Op x = a geldt: w =w -) - C5x2 C6x C - \V dee/ b X / - / C512 - C61 + C 7= 2 / E 2 6 / GA +C x+c 2 1 dee/a deel b C (-~+~ J +C x=c (-~+~]- C 6 x \V dee/ a = \V dee/ b M deela = Mdeetb V deel a - 6 / GA ) C (-~+~J+C a+c (+~-~ ] + C 6 a 6 / GA _Cix2_~x+C=-C5x2 _~x+c 2 / E 2 / E - Cla2 +C + C5a2 + C6a -C = 3 7 2E 2 / E Clx = C5x+ C6 C 1 a-c 5 a-c 6 = V deet b = F Cl - C5 = F n matrixvorrn: / GA 2 / 12 cl 2 / E c) aj 3 ' c5 a a a a a --- -a -1 6 / GA 6 / GA 2 / c6 2 a a2 a -1 c7 2 / 2 / El C8 F a -a C 7 a-c 8 = 6 / GA 2 1 Oplossing uitwerken Onbekenden oplossen met behulp van Wolfram Mathematica 6.: C = F _ 3 /Fa + GAFa 3 3GAFal 1(3E!+GA1 2 ) 21(3El+GA1 2 ) 2(3El+GA1 2 ) C 2 = o C =- 3Fa 2 + 3Fal + GAFa 3 1 GAFa GAFal 3 3 2( 3 / + GA 2 ) 2( 3 / + GA 2 ) 4 / ( 3 / +GAP) 2 1( 3 / + GA 2 ) 4 / ( 3 / + GA 2 ) C 4 =O C = 3 /Fa + GAFa 3 _ 3GAFal 5 1(3El+GA1 2 ) 21(3El+GA1 2 ) 2(3El+GA1 2 ) C 6 =Fa C = 3Fal + GAFa GAFal 3 7 2(3El+GA1 2 ) 4E(3El+GA1 2 ) 4E(3E!+GA1 2 ) C =-Fa 3 +Fa 8 6 / GA Met n = 2 / wordt dit: GA.1\-16 Bijlage A.

136 C = F _ 3.Fa + Fa 3 3Fa /(3Q+1) 2/ 3 (3Q+1) 2/(3Q+1) C =- Fa 3 +Fa GA 3Fa 2 3Fa Fa 3 Fa 2 Fa/ c = :------:- 3 2(3 1 +GA/ 2 ) 2GA1(3Q+ 1) 4E1(3Q+1) 2E1(3Q+ 1) 4E1(3Q+ 1) C = _ 3.Fa + Fa 3 3Fa 5 ( 3Q + 1) 2/ 3 ( 3Q + 1) 2/ ( 3Q + 1) C = 3Fa + Fa 3 + Fa/ 7 2GA/(3Q+1) 4E11(3Q+1) 4E1(3Q+i) Deel a: v deel a = cl V = F _ 3.Fa + Fa 3 _ 3Fa dee/ a /(3Q+1) 2/ 3 (3Q+l) 2/(3Q+1) (A.35) M deel a (x) = C1x+C2 M ( [F 3.Fa Fa 3 3Fa l dee/ a x)= f(3q+i) + 2/ 3 (3Q+1) + 2/(3Q+J) X (A. 36 ) Deel b: V deel b (X) = Cs V ( ) 3.Fa Fa 3 3Fa deel b x = 1(3Q+ 1) + 2/ 3 (3Q+ 1)- 2/(3n+ 1) (A.38) (A.39) (A.4) Diiferenuaalvergelijkingen volgens j~ T1mosnenko balktheone A-17

137 lndien a=!_ en b =!_, zoals aangegeven in Figuur A.8 hieronder, is met behulp van Wolfram 2 2 Mathematica 6. de dwarskracht, het moment en de vervormingen te bepalen. r /\~1 ~B ----iii c :&7>7;. / 2 12 X Figuur A.8: Eenveldsoverspanning met puntlast in het midden, eenzijdig ingeklemd. De dwarskracht tussen x = en x =- wordt: 2 V (x = _!_J = F ( ) De dwarskracht tussen x = - en x = wordt: 2 V (x =! tj = _ F ( ) Het moment op x =- wordt: 2 M(x =!_J = F/(5+ 24.) Het moment op x = wordt: 3Ft M (X =!) = (A.41) (A.42) (A.43) (A.44) De doorbuiging op x =!_ wordt: 2 w(x =!_ a=!._)=!!. ( ) 2' Fl (_2_ ) 16 2' ( J w x=- a=- =-- --' ~ (A.45) A-18

138 A.S Tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting ~ q a b X Figuur A.9: Tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. Randvoorwaarden opstellen Voor dit systeem gelden de randcondities aangegeven in Tabel A-7: Vergelijkingen opstellen Deel a: Vdeel a (X) = -qx + Cl qxz Mdeel a (x) = -l+cix+cz ~x=o} B(x=a) c(x=l} wdeela = w=o wdeel b = w=o dlj/ = dlj/ = f/ dee/ a = f/ dee/ b dx dx Mdeel a = Mdeel b.... Tabel A-7: Randcond1t1es tweeveldsoverspann1ng met gelljkmatlg verdeelde belasting. x) _ qx3 _ C1x 2 _ C2x + C f/dee! a ( - 6 / 2 / ] 3 qx 4 qx 2 ( x 3 x ) C2x 2 w (x)=-----+c Cx+C 3 4 dee/ a 24 / 2GA 6 / GA 2 ] Deel b: Vdeel b (X) = -qx + C5 qxz Mdeetb (x) = -l+csx+c6 x)- qx3 _ C5x 2 _ C6x +C f/dee/ b ( - 6 / 2 / ] 7 qx 4 qx 2 ( x 3 x ) C6x 2 w (x)=-----+c Cx+C deet b GA 6 1 GA lntegratieconstanten oplossen Met behulp van de randvoorwaarden uit Tabel A-7 kunnen de integratieconstanten worden opgelost: Op x = geldt: w=o w x=o =-----+C qx 4 qx 2 ( --+x 3 x ) ---+Cx+C C2x = dee/a ( ) 24 / 2GA 6 / GA 2 / dlf/deela (x=o)= qx2- Clx- Cz = dx 2 1 E E Op x = geldt: OlfierePllaalvergelljkmgP.rl volgenl> ~!e Til"lOShenko balkthmne A- 19

139 w=o dlfl = dx Op x = a geldt: wdeela = wdeel b = lfl dee/ a = lfl dee/ b M dee/ a =M dee/ b n matrixvorm: a 3 a --+-a 6 1 GA 2 1 a GA 1 a3 a GA a a /2 q/4 q/ GA c, qf 1 C3 2 1 cs qa4 qa a2 c GA qa4 qa Cs GA a a c7 Oplossing uitwerken Onbekenden oplossen met behulp van Wolfram Mathematica 6.: q ( a 3 + 2a 2 l + / 3-4al 2 ( 1 + 3Q)) c = -----'---., ,------'-'- 1 s(a 2 -a/-3/ 2 n) C 2 =O q( a 5-4a 4 l + 4a 3 / 2 (1-3Q )- 24al 4 Q + 6/ 5 Q+ a 2 / 3 ( Q)) c =------' ' ~ ' '-' ( a 2 - a!- 3/ 2 Q) C 4 = o 1~ -21] 81jlage A

140 aq(a 2 +3al-51 2 ) q(a+l) c =--~--~--~----~ (a 2 -al-3f) alq(-a 2 +a/+/ 2 (1+12)) C6=--~~ ~ 8(a 2 -al-3fo) q( -a 5 + a 4 / + 4a 2 / aro- 6/ 5 + a 3 2 / ( )) c =~ ~------~--~----~ 7 48 / ( a 2 -a!-31 2 ) alq(a 2-6! 2 ) (a 2 -a/-/ 2 (1+12)) c 8 =--~----~~------~----~ 48E(a 2 -al-31 2 ) Deel a: Vdeel a (X) = -qx + Cl Vdeel a (X) = -qx + Cl (A.46) (A.47) w x = C qx 4 qx 2 [ x 3 x ) ----+C C2x 2 x+c dee/ a ( ) 24 / 2GA 6 / GA 2 / w x = C qx 4 qx 2 [ x 3 x ) ----+C C2x 2 x+c dee/ ( ) 24 / 2GA 6 / GA 2 / (A.48) Deel b: Vdeel b (X) = -qx + Cs Vdeel b (X) = -qx + Cs (A.49) (A. 5) (A. 51) Op x =!... met a=!... wordt de doorbuiging met behulp van Wolfram Mathematica 6.: 4 2 w(x=!_ a=!...)= qf 4 _(1+126! ) 4, / 12+ 1!_ ) ( w(x =!_ a=!...)= _p: , 2 48 / (A. 52) Dlff~r~nllaalwrgeliJ<ingen 1igens de Timcshenku talkthecrie A-21

141 A.6 Drieveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting k 7k:S ~ -- q Ac a b c id X.. Figuur A.1 : Drieveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. Randvoorwaarden opstellen Voor dit systeem gelden de randcondities aangegeven in Tabel A-8: Vergelijkingen opstellen Deel a: Vdeet a (X) = -qx + Cl qx2 Mdeeta (x) = --+ Clx+C2 2 ~x=o) B(x=a) c(x=a+b) D(x=l) w=o x)- qxj - Clx2 - C2x + C f/ ( dee/ a wdeela = wdeelb = w=o wdeel b = wdeel c = dlf/ = dlf/ = f/ dee/ a = f/ dee/ b f/ dee/ b = f/ dee/ c dx dx M dee/ a = Mdeel b M dee/ b =M dee/ c.... Tabel A-8: Randcond1t1es dneveldsoverspann1ng met geiijkmatlg verdeelde belasting. qx 4 qx 2 [ x 3 x J C2x 2 w (x)=-----+c Cx+C 1 dee/ a GA 6 1 GA Deel b: Vdeet b (X) = -qx + Cs qx2 Mdeetb (x) = -2+ Csx+C6 x) - qxj - Csx2 - C6x + C f/ ( dee/ b qx 4 qx 2 [ x 3 x J C6x 2 w (x)=-----+c C x+c 7 8 deet b GA 6 1 GA 2 1 Deel c: Vdeel c (X) = -qx + C9 qx2 Mdeelc (x) = -2+ C9x+ CO x) _ qx3 _ C9x 2 _ C1x + C f/ ( dee/ c qx 4 qx 2 ( x 3 x J C1 x 2 w (x)=-----+c C x+c 9 dee/ c GA 6 1 GA A-22 Bij l ag~

142 lntegratieconstanten oplossen Met behulp van de randvoorwaarden uit Tabel A-8 kunnen de integratieconstanten worden opgelost: Op x = geldt: w=o dlfl = dx w x=o =-----+C qx 4 qx 2 (--+- x 3 x J ---+C C2x x+c 4 = dee/a ( ) GA 6 1 GA 2 1 dlfldeeta (x = O) = qx 2 _ C1x _ C2 = O dx 2 1 E1 E1 Op x = geldt: w=o Op x =a geldt: w = dee/a wdeel b = lfl dee/ a = lfl dee/ b M dee/ a = Mdeel b ~3-~x2+C=~3 -~x2_~x+c E1 - Cla2 +C + C5a2 + C6a -C = E1 qx2 qx2 --+Cx=--+Cx+C C 1 a-c 5 a-c 6 = 7 Op x = a+b geldt: wdeelb = qx 4 qx 2 ( x 3 x J C6x 2 w (x=a+b)=-----+c C x+c = deet b GA 6 1 GA 2 1 C [-(a+b) (a_+_b)]- C6 (a+b) +C (a+b)+c = q(a+bf + q(a+b) GA "--'--2-G_A : w = dee/ c lfl dee/ b = lfl dee/ c w x=a+b =-----+C qx 4 qx 2 (--+- x 3 x J ---+C C1x 2 9 x+c = 12 dee/ c ( ) GA 6 1 GA [- (a+b) (a+b)]- C1 C9 + (a+b) +C ( a+b ) +C2- _ 6 1 GA 2 1 ~3-~x2_~x+C=~3-~x2_~ox+C E E1 q(a+bf q(a+b) 2 -"--'--- : +-"--'----'-- 24E1 2GA Dlff~renllaalvergelljkm :;~er 1olgens Je ;Mcshenk balktheorie "' -23

143 Mdeel b = Mdeel c c5 (a+b ) 2 c6 (a+ b) qx2 2 1 E1 qxz --+C 5 x+c 6 =--+C 9 x+c c5 (a+ b)+ c6 - c9 (a+ b)- CO = c9 (a+b ) 2 CO (a+b) +C C = 2 1 E1 n matrixvorm: ' ' --+ql' ql' 6 1 GA 2 / / 2GA -- El El - ql' a' a c, 2 / --+- a 6 1 GA c, qa 4 qa ' --+a' a a' c, 24 / 2GA --+- a 6 1 GA 2 / c, qa 4 qa' ---+a' a' a - c, 24 / 2GA - 2 / 2 / El c, a -a - c, (a + b ) 3 (a+ b) _ (a+b)' a+b C,o q(a+b)' q(a+b)' + 6 / GA 2 / 24 / 2GA c" (a+b) 3 (a+b) _(a+ b)' a+b c, q(a+b}' q(a+b)' GA 2 / 24 / 2GA _(a+b)' _ (a+b) (a+ b)' (a+ b) - 2 / El 2 / El a+b -a-b - Oplossing uitwerken De oplossing voor de constanten C 1 tot en met C 12 geeft een dermate lange oplossing dat deze niet meer geschikt is voor toepassing in de praktijk. lndien de velden een gelijke overspanning hebben is het met behulp van Wolfram Mathematica 6. echter wei mogelijk om de formule voor de doorbuiging te bepalen. Op x =! met a=!, b =! wordt de doorbuiging: w(x=!_ a=!_ b=!_j= qf 4.( ) 6' 3' !l J ( w(x=!_ a=!_ b=!_j= g!_ ' 3' (A. 53) De maximale momenten en reactiekrachten worden berekend in een voorbeeldberekening in paragraaf 3.1. A-2~

144 Bijlage B - Berekeningen volgens Timoshenko balktheorie De oplossingen van de differentiaalvergelijkingen uit bijlage A zijn, op de drieveldsoverspanning na, verwerkt in een Excel-sheet. Voor de berekeningen zijn steeds dezelfde materiaaleigenschappen, overspanning en belasting aangehouden. Voor de gegevens zie paragraaf 3.5 in het verslag. Voor ieder belastinggeval is de dwarskrachten- momenten- en vervormingslijn geplot. Het maximale moment en de maximale doorbuiging is steeds berekend halverwege de overspanning. Hoewel de maximale doorbuiging niet exact op deze plaats zal optreden is hiervoor gekozen zodat de uitkomsten eenvoudig kunnen worden vergeleken met de uitkomsten van de eindige elementenmethode. Met behulp van de dwarskrachten en momenten zijn de bijbehorende spanningen berekend. Spanningen worden in principe berekend in de uiterste grenstoestand. n deze berekening is echter de elasticiteitsmodulus voor de bruikbaarheidsgrenstoestand aangehouden om een en ander eenvoudig met elkaar te kunnen vergelijken. Ook het gebruik van veiligheids- en materiaalfactoren is om deze reden achterwege gelaten. n paragraaf 3.5 van het verslag is een voorbeeldberekening gemaakt van een eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. De overige berekeningen zijn volgens dezelfde methode uitgevoerd. 8ereKen1ngen volgens TimosnenKo balktheorie 8-1

145 8.1 Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting X d T Facu [ '" invoer type element overspanning q-last elem en!breed te e1gensc h appen bovenhuid d1 Eb; 1; rep Ec; 1; rep Od:reo kern d2 Eb ~ 2; rep G2;rep T2 rep onderhuid d3 Eb; 3; rep E~ 3;rep Ot rep Kolibrie , 1 mm kn/m 1 mm spaanplaat P5 3 mm 35 N/mm 2 2 N/mm 2 12,7 N/mm 2 EPS mm 4 N/mm 2 1,8 N/mm 2,5 N/mm 2 spaanplaat P5 3 mm 35 N/mm 2 2 N/mm 2 9,4 N/mm 2 Controle bruikbaarheidsgrenstoestand Xw; max 15 Wser Wrnax. ser U.C.w 22,139 12, 1,84 uiterste grenstoestand* Xv; rrax 3 Vu -1,5 Tu,5952 T max: u,5 U.C. T.,.,..,12 XM: max 15 Mu 1 '125 Oc; u 2,696 Uc;max;u 12,7 U.C. Uc,21 Otu 2,696 t max:u 9,4 U.C. Ut,29 mm mm mm mm kn N/mm 2 N/mm 2 mm knm N/mm 2 N/mm 2 Nlmm 2 Nlmm 2 Kolibrie 3.5 dikte El GA 143 mm 5,967E+1 N/mm 2 mm N/mm 2 mm 2 *berekend met elasticiteitsmodulus voor de bruikbaarheidgrenstoestand S-2

146 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Eenvek:lsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting Dwarskracht, momenten en doorbuiging -3, D M w - lii -1 E E s:: Q) -.s::. u E..ll: til... C'CJ ~ -c ~ E -1 E s:: Cl s:: a, --~ :::1..c... 1 g -c 2 3~ _L L _L ~ ~ ~ afstand x Beraka'linger ml~ens l1moshenko call theone 8-3

147 8.2 Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. A fstudeerproject: 've rvorming van sa ndwichpan elen'. Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd ( /- q X ~} +-- T -- + invoer type element overs panning q-last elem en tbreed te e1gensc h appen bovenhuid d1 Eb; 1; rep Ec; 1; rep Od: reo kern d2 Eb t 2; rep G2;rep T2 reo onderhuid d3 Eb; 3; rep Et 3;rep Ot reo Kolibrie 3.5 dikte El GA Kolibrie , 1 mm kn/m 1 mm spaanplaat P5 3 mm 35 N/mm 2 2 N/mm 2 12,7 N/mm 2 EPS mm 4 N/mm 2 1,8 N/mm 2,5 N/mm 2 spaanplaat P5 3 mm 35 N/mm 2 2 N/mm 2 9,4 N/mm mm 5,967E+1 N/mm 2 mm N/mm 2 mm 2,26 Controle bruikbaarheidsgrenstoestand Xw 15 Wser Wmax: ser U.C. w 12,31 12, 1,3 uiterste grenstoestand* xv 3 Vu -1,848 Tu,7332 T max:u,5 U.C. lrmx,15 XM:l.J2 15 Mu;U2,64 ac; u; L/2 1,447 Oc; max: u 12,7 U.C. Oc; U2,11 at u: L/2 1,447 tmax:u 9,4 U.C. Ot l.j2,15 XM;L 3 Mu:L -1,43 ac; u; L 2,499 Oc; max; u 12,7 U.C. Oc:L, at u: L 2,499 Ot max;u 9,4 U.C. Ot L, mm mm mm mm kn Nlmm 2 N/mm 2 mm knm N/mm 2 N/mm 2 Nlmm 2 N/mm 2 mm knm Nlmm 2 N/mm 2 N/mm 2 N/mm 2 *berekend met elasticiteitsmodulus voor de bruikbaarheidgrenstoestand

148 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Eenveldsoverspanning met gelij<matig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd Dwarskracht, momenten en doorbuiging , -3 ~ -2 c -c Q) -1 E E c Q) -s:. t.j ~ -:!!! til ~ 2 " -... ~ ~ _, ,.,..,., Cl c "61 E :; E -e c - " 3 ~------~ ~ ~------~ ~ L afstand x 3 6~ en1ngen 1olgens Timoshenko ball<t eori<o 8 5

149 8.3 Eenveldsoverspanning met puntlast Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Eenveldsoverspanning met puntlast n a b X invoer Cant role type element Kolibrie 3.5 bruikbaarheidsgrenstoestand overspa nn ing 3 mm Xw. rmx 15 mm afstand a 15 mm W 5 er 37,28 mm afstand b 15 mm Wmax: ser 12, mm puntlast 3, kn U.C. w 3,1 elem en tbreed te 1 mm uiterste grenstoestand* eigenschappen Xv; max 3 mm bovenhuid spaanplaat P5 Vu -1,5 N d1 3 mm Tu,5952 N/mm 2 Eb: 1: rep 35 N/mm 2 T max:u,5 N/mm 2 Ec; 1; rep 2 N/mm 2 U.C. T max,12 Gd rep 12,7 N/mm 2 XM; rmx 15 mm Mu 2,25 knm kem EPS 6 Oc; u 5,392 N/mm 2 d2 137 mm Oc:max:u 12,7 N/mm 2 Eb/t2:rep 4 N/mm 2 U.C. ac,42 G2; rep 1,8 N/mm 2 O'~u 5,392 N!mm 2 T2 rep,5 N/mm 2 at max;u 9,4 N/mm 2 onderhuid spaanplaat P5 d3 3 mm Eb: 3: rep 35 N/mm 2 Et3:rep 2 N/mm 2 Gt rep 9,4 N/mm 2 Kolibrie 3.5 dikte 143 mm El 5,967E +1 N/mm 2 mm 4 GA 252. N/mm 2 mm 2 U.C. Gt,57 *berekend met elasticiteitsmodulus voor de bruikbaarheidgrenstoestand B-6 B111age 8

150 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Eenveldsoverspanning met puntlast Dwarskracht, momenten en doorbuiging -3, ~-3 z -2..1: c:: - -1 c:: Q) E E c:: Q) -..r::: ~ ~ 2 ra ~ "C '... -,.:, -...,.. '.. ~ 4 ~ ~ ~ _L L L ----~ afstand x L_ ~ --, E E c:: ---~ Cl _ c:: Cl "C 13 B--

151 8.4 Eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd ( b X invoer type element Kolibrie 3.5 overspanning 3 mm afstand a 15 mm afstand b 15 mm puntlast 3, kn elementbreedte 1 mm eigenschappen bovenhuid spaanplaat P5 d1 3 mm Eb: 1:reo 35 N/mm 2 Ec; 1; rep 2 N/mm 2 ad. rep 12,7 N/mm 2 kern EPS 6 d mm Eb/t 2; reo 4 N/mm 2 G2; rep 1,8 N/mm 2 T2 rep,5 N/mm 2 onderhuid spaanplaat P5 d3 3 mm Eb: 3; reo 35 N/mm 2 Et 3:reo 2 N/mm 2 al rep 9,4 N/mm 2 Kolibrie 3.5 dikte 143 mm El 5,967E+1 N/mm 2 mm 4 GA 252. n,26 N/mm 2 mm 2 Controle bruikbaarheidsgrenstoestand Xw 15 mm Wser Wmax: s er U.C. w 22,464 mm 12, mm 1,87 uiterste grenstoestand* Xv; max 3 mm Vu -2,21 kn Tu -,821 N/mm 2 T max: u,5 N/mm 2 U.C. T max -,16 XM; lr 15 mm Mu;U2 1,468 knm CJ c; u; L/2 3,518 N/mm 2 O c: max: u 12,7 N/mm 2 U.C. ac; U2,28 CJ~ u; Ll2 3,518 N/mm 2 a~ max;u 9,4 N/mm 2 U.C. al lr,37 XM;L 3 mm Mu;L -1,564 knm C1c: u: L 3,748 Nlmm 2 ac; max; u 12,7 N/mm 2 U.C. ac; L,3 CJ~ u; L 3,748 N/mm 2 a~ max;u 9,4 N/mm 2 U.C. ai L,4 *berekend met elasticiteitsmodulus voor de bruikbaarheidgrenstoestand

152 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd Dwarskracht, momenten en doorbuiging -3-3 z -2 v -2.lll: --- -M -c: w Q) -1 "" " -1 E Cl "" ",. c: E... Cl E c: ::J r-:-... E ~.c -.J::. u --- Q)..... : --,/,/.. 'C... c: -!!! lll: -... V "" nl. ~ 2. 'C afstand x Si!rekenir.gen volgens Ti moshent<o balktheorie 8-9

153 8.5 Tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde be lasting Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting -- q a b X a invoer Controle type element Kolibrie 3.5 bruikbaarheidsgrenstoestand overspanning 6 mm Xw: aj2 15 mm afstand a 3 mm wser 12,31 mm afstand b 3 mm Wmax; ser 12, mm q-last 1, kn/m 1 U.C. WaJ2 1,3 elem entbreedte 1 mm Xw; b/2 45 mm Wser 12,31 mm eigenschappen Wmax; ser 12, mm bovenhuid spa an plaat P 5 U.C. wh/? 1,3 d1 3 mm Eb: 1: rep 35 N/mm 2 u iterste grenstoestand* Ec; 1; rep 2 N/mm 2 Xv; max;o mm Od; rep 12,7 N/mm 2 Vu 1 '152 kn Tu,4573 N!mm 2 kern EPS 6 T max;u,5 N/mm 2 d2 137 mm U.C. lmax:o,9 Eb/t 2: rep 4 N/mm 2 Xv: max: a 3 mm G2; rep 1,8 N/mm 2 Vu -1,848 kn T2 rep,5 N/mm 2 Tu,7332 N!mm 2 T max;u,5 N/mm 2 onderhuid spaanplaat P5 U.C. lmax;a,9 d3 3 mm Xv; max;l 6 mm Eb: 3: rep 35 N/mm 2 Vu -1,152 kn Et3:rep 2 N/mm 2 Tu,4573 N/mm 2 Ot rep 9,4 N/mm 2 T max;u,5 N/mm 2 Kolibrie 3.5 dikte 143 mm El 5,967E +1 N/mm 2 mm 4 GA 252. N/mm 2 mm 2,658 U.C. lmax L,9 *berekend met elasticiteitsmodulus voorde bruikbaarheidgrenstoestand 8-1 Sr11aqe B

154 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting uiterste grenstoestand* XM; a/2 15 Mu; a/2,64 Oc: u: L/2 1,447 Oc; max: u 12,7 U.C. ac; a12,11 (7~ u; L/2 1,447 O tmax; u 9,4 U.C. a t: a/ 2,15 XM;a 3 Mu;a -1,43 Oc; u; a 2,499 O c;max: u 12,7 U.C. a c;a,2 Ot; u; a 2,499 a~ max ; a 9,4 U.C. at; a,27 XM; b/2 45 M u; b/2,64 Oc; u; b/2 1,447 O c; max: u 12,7 U.C. ac: b/2,11 a~ u: b/2 1,447 a ~ max;u 9,4 U.C. a 1, b12,15 mm knm N/mm 2 N/mm 2 N/mm 2 N/mm 2 mm knm Nlmm 2 N/mm 2 N/mm 2 N/mm 2 mm knm N/mm 2 N/mm 2 Nlmm 2 N/mm 2 Dwarskracht, momenten en doorbuiging -3 r ~ -3 ~ -2.: 'E Cl> -1 E E c Cl> -..r::: t.) ~ ~ ~ "' ~ ~,.. "": ~ ~ -2-1 CD c 1 2 ]E ::::~ E -e c - "C L ~------~------~ ~------~ L afstand x berekend met elasticiteitsmodulus voor de bruikbaarheidgrenstoestand 8 9k>;r.ingen V"Jig;;ms T'mcshenko balkthearie

155 Bijlage C - Eindige elementenmethode n Bijlage A zijn voor verschillende belastinggevallen de differentiaalvergelijkingen afgeleid. De uitkomsten hiervan zijn in Bijlage B gebruikt voor het maken van berekeningen met behulp van een spreadsheet. Hiervoor zijn steeds dezelfde materiaaleigenschappen, overspanning en belasting aangehouden. Rekening houdend met dezelfde uitgangspunten worden in deze bijlage dezelfde (controle)berekeningen uitgevoerd met behulp van het eindige elementen programma Ansys. Voor deze berekeningen is gebruik gemaakt van het element BEAM3 (Timoshenko beam). Dit is een 2- balkelement geschikt voor lineair elastische berekeningen met dwarskrachtvervorming, opgesteld volgens de Timoshenko balktheorie. Ook nu zijn de dwarskrachten en momenten berekend halverwege de overspanning, zodat deze eenvoudig met elkaar vergeleken kunnen worden. n het verslag worden de verkregen uitkomsten in paragraaf 3.6 met elkaar vergeleken.

156 C.1 Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde be lasting - q lnvoerfile /BATCH /PREP? X " Figuur C.1: Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. /itle, eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting- E+GA meshaantal = 1!maal twee, geeft lolaal aantal elementen! knopen defineren! K, knoopnumer, x-coordinaal (mm). y-coordinaat (mm). z-coordinaat (mm) K,1,, K,2,15, K,3,3,! lijnen defineren lussen knooppunlen! L, knooppunt begin vd lijn, knooppunl eind van de lijn, L,1,2 L,2,3 element defineren (BEAM3 = Timoshenko beam)! ET, type nummer, naam element, keyoplions per element ET,1,BEAM3! Eigenschappen opgeven BEAM3! R, identificatienummer, oppervlak (mm2), (mm4), hoogte (mm), Shear deflection constant R,1,14, ,143,1!materiaaleigenschappen opgeven elasticiteitsmodulus! MP,abel: E-moduli, materiaalreferentienummer, waarde maleriaaleigenschap (=1,maakt samen El) MP,EX,1,1! MP,abel: G-moduli, materiaalreferentienummer, waarde maleriaaleigenschap (=1.8,maakt samen GA) MP,GXY,1,1.8! lijnen meshen LESZE, Nr lijn of ALL,,. aantal elementen per lijn LESZE,ALL,,,meshaantal LMESH,ALL FNSH /SOLU! soort analyse opgeven! ANTYPE, analysis type: O=slatic ANTYPE,O! vrijheidsgraden opgeven per knoop! DK, knooppunl, verplaatsing, waarde (O=vasl) DK,1,ux,O DK,1,UY,O DK,3,UY,O! belasting aanbrengen!sf BEAM, welk element (ALL=allemaal), richting (1=verticaal), druk, waarde SFBEAM,ALL,1,PRES,1 SOLVE FNSH /POST1! plotten vervorming rows= ((meshaantal.2)+1) oim,graph,t ABLE.rows,2,1 vget,graph(1,1 ).node,all,loc,x vget,graph(1,2),node.all,u,y vplot,graph(1,1 ),graph(1,2) /axlab,x,lengte x in mm /axlab,y,verplaatsing win mm /COLOR,wbak,blac /COLOR,axes,whit /COLOR,axnum,whit /COLOR,axlab,whit /COLOR,curve,whit Ei11digr: ;;lemer~tenmethode C-J

157 /XRANGE,, 3 YRANGE,, -4 /replot Tabel C-1: lnvoerfile- eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. Dwarskracht L NB S T RESS ST B P:z l SUB = 1 T MS.= l S HBAR J S HEAR MN =-15 ELEH=l MAX,.15 EL EH=2 1\N APR :3:1.. ijj. J J) l eenve l dsovec~ p annlnq met ')el1 jlcmati9 vecdeel de be l a~ t1n 9 - E +GA. Figuur C.2: Dwarskrachtenlijn - eenveldsoverspanning met puntlast. 15 Moment t.l.ne STRS:SS STJ!:P l SU B 1 U HE l HOH BNT J'H OHENT H N = ELEH= l 1.AX "" 112E-+ 7 ELEH l 1\N ttar : '1.7: 17 3ooao 7 5 LZ HDOO eenveld 3ver-3panning met gel1 j lcmatig v e rdee l de be l a9ting - E +GA.1121!:+7 Figuur C.3: Momentenlijn - eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting.

158 Vervorming qrd.ph (1, 2) COL 2 J\N MAA :4.1:57 c c "'.. :; > - -lz -16 -lo -l4 _,. _,. - ' GOO Z4 3 JOO, eenveld~ovec~pe.nning mee qelijlonat:iq verdeelde bele.,ting - E:+GA. Figuur C.4: Vervormingslijn- eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting*_ *De vervormingen in de plot zijn lineair over de engie van een element n dit geval geven twee elementen een exacte oplossing. NODE ux... UY ROTZ E E-1 MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE E-1 Tabel C-2: Vervorming ten gevolge van buiging ( GA = oo) _ NODE ux... UY ROTZ E E-97 MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 3 VALUE E-97 Tabel C-3: Vervorrning ten gevolge van afschuiving ( El = oo) _ NODE ux... UY ROTZ E E-1 MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE E-1 Tabel C-4: Vervorming ten gevolge van buiging en afschuiving. 8ndise ele!"lenter.rnell1ccl& C-5

159 C.2 Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd - q lnvoerfile /BATCH /PREP7 X.. Figuur C.5: Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd. /title, eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasling- E+GA meshaantal = 1!maal twee, geeft totaal aantal elementen! knopen defineren K,1,, K,2,15, K,3,3,! lijnen defineren tussen knooppunten L,1,2 L,2,3! element defineren (BEAM3 = Timoshenko beam) ET,1,BEAM3! Eigenschappen opgeven BEAM3 R, 1,14, ,143,1!materiaaleigenschappen opgeven elasticiteitsmodulus MP,EX,1,1 MP,GXY,1,1.8! lijnen meshen LESZE,ALL,,,meshaantal LMESH,ALL FNSH /SOLU! soort analyse opgeven ANTYPE, analysis type: O=static ANTYPE,O! vrijheidsgraden opgeven per knoop DK,1,ux,O DK,1,UY,O DK,3,UY,O DK,3,ROTZ,O belasting aanbrengen SFBEAM,ALL, 1,PRES, 1 SOLVE FNSH /POST1! plollen vervorming rows= ((meshaantal*2)+1) *DM,graph,T ABLE,rows,2, 1 vget,graph(1, 1 ),node,all,loc,x vget,graph(1,2),node,all,u,y *vplot,graph(1, 1 ),graph(1,2) /axlab,x,lengte x in mm /axlab,y,verplaalsing win mm /COLOR,wbak,blac /COLOR,axes,whit /COLOR,a)(l1um 1 whit /COLOR,axlab,whit /COLOR,curve,whit /XRANGE,, 3 YRANGE,, -4 /replot Tabel C-5: lnvoerfile- eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd.

160 Dwarskracht LNg STRii:SS STBP=l SUB =1 THE""l!SHEAR JSHEAR HN =-1152 ELBH=l MAX =1848 J\N APR :37: , lsh SH ee nveld~ovecspanning met gelij k:matig vecdeelde belast:~ng - E+GA Figuur C.6: Dwarskrachtenlijn - eenveldsoverspanning met puntlast. Moment LNE STRESS STEP'='l SUH =1 T'E-=1 MOHE:NT JHOME:NT MN =-. 14E.7 ELE1=2 MAX =63651 ELBH=l J\N KAR :38: !+-(] liovt '1796 &36.51 eenveldsovecspanning met gelijklnatig V@'Cdeelde belasting - E+GA Figuur C.7: Momentenlijn- eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd. Vervorming l graph ( 1, 2 ) COL 2 J\N liar :26: < )6 - ol- 1; ZOO 18 HOO JOOO JOO Leng t e x in rnm eenveldsove t:"spanning met geli]kmatig vecdeelde belasting - E:+GA Figuur C.B: Vervormingslijn - eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting, eenzijdig ingeklemd*. * De vervormingen in de plot zijn lineair over de lengte van een element. n dit geval geven twee element en een exacte oplossing. Eir1drqe elememenmelt1de C-7

161 NODE ux... UY ROTZ E E-2. MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE E-2 Tabel C-6: VervDrming ten gevolge van buiging ( GA = oo). NODE ux... UY ROTZ MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE Tabel C-7: Vervorming ten gevolge van afschuiving ( EJ = oo). NODE ux... UY ROTZ E E-3. MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE E-1 Tabel C-8: Vervorming ten gevolge van buiging en afschuiving. C-8 Bijlage C

162 C.3 Eenveldsoverspanning met puntlast r 8 a h lnvoerfile /BATCH /PREP7 /title, eenveldsoverspanning met puntlast, E+GA meshaantal = 1! knopen defineren K,1,, K,2,15, K,3,3,! lijnen defineren tussen knooppunten L,1,2 L,2,3! element defineren (BEAM3 = Timoshenko beam) ET,1,BEAM3! Eigenschappen opgeven BEAM3 R, 1,14, ,143,1 materiaaleigenschappen opgeven elasticiteitsmodulus MP,EX,1,1 MP,GXY,1,1.8! lijnen meshen LESZE, Nr lijn of ALL,,, aantal elementen per lijn LESZE,ALL,,meshaantal LMESH,ALL FNSH /SOLU! soort analyse opgeven ANTYPE,O! vrijheidsgraden opgeven per knoop DK,1,ux,O DK,1,UY,O DK,3,UY,O! belasting aanbrengen FK,2,FY,-3 SOLVE FNSH /POST1 X.. Figuur C.9: Eenveldsoverspanning met puntlast.! plotten vervorming rows= ((meshaantal"2)+1) "DM,graph,TABLE,rows,2,1 vget,graph(1, 1 ),node,all,loc,x vget,graph(1,2),node,all,u,y "vplot,graph(1, 1 ),graph(1,2) /axlab,x,lengte x in mm /axlab,y,verplaatsing win mm /COLOR,wbak,blac /COLOR,axes,whit /COLO R,axnum, whit /COLOR,axlab,whit /COLOR,curve,whit /XRANGE,, 3 /YRANGE,, -4 /replot Tabel C-9: lnvoerfile- eenveldsoverspanning met puntlast. Emdi~e lement&nmelhc<le C-9

163 Dwarskracht LNE STRESS STSP=l SUB =1 tii'k=l!shear JSHEAR 1'\N =-15 ELElt=l MAX = 15 SLE'1=2 1\N APR : 41: JJ,J'J'J Di l6i -5 eenveldsov~c-spanninq met puntla3t - E+GA. Figuur C.1 : Dwarskrachtenlijn- eenveldsoverspanning met puntlast. Moment LNE STRESS STEP=l sue -..1 TNB"' l MOHEN'T JHOKEN1' HN "' HAX = ELEM= l 1\N liar :1:34 5. ' e l! nveld!5ovec-spanninq' met puntlast - E+GA.! ! U O'J Figuur C.11: Momentenlijn - eenveldsoverspanning met puntlast. Vervorming gnlph (1, 2) COL 2 1\N MAR : 3 '3: 1 -~ "' -~ ~! fr ~ > - - -~ -& l8 _, _,. - 4.SOO l ZOO 18 HOD 3 JOO 9 1soo 21 noo Lengce x in mm eenveldsoverspanning met puntlast - E+GA. Figuur C.12: Vervormingslijn- eenveldsoverspanning met puntlast. De vervormingen in de plot zijn lineair over de engle van Mn element. n dit geval geven twee elementen een exacte oplossing. C -1 81]lage -

164 NODE ux... UY ROTZ E E-1 MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE E-1 Tabel C-1: Vervorming ten gevolge van buiging ( GA = CFJ). NODE ux... UY ROTZ.28279E E E-57 MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 3 VALUE E-57 Tabel C-11: Vervorming ten gevolge van afschuiving ( El = CFJ). NODE ux... UY ROTZ E E-1 MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE E-1 Tabel C-12: Vervorming ten gevolge van buiging en afschuiving. Ern rge ~lejtlenlenmelhode C-

165 C.4 Eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd lnvoerfile /BATCH /PREP7 ~ -; r a 8 lc b X.. Figuur C.13: Eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd. /title, eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd - E+GA meshaantal = 1 knopen defineren K,1,, K,2,15, K,3,3,! lijnen defineren tussen knooppunten L.1.2 L.2.3! element defineren (BEAM3 = Timoshenko beam) ET,1,BEAM3! Eigenschappen opgeven BEAM3 R,1,14, ,143,1!materiaaleigenschappen opgeve) n elasticiteitsmodulus MP,EX,1,1 MP,GXY.1,1.8! lijnen meshen LESZE,All,,,meshaantal LMESH,All FNSH /SOLU! soort analyse opgeven ANTYPE,O! vrijheidsgraden opgeven per knoop DK,1,ux,O DK,1,UY,O DK,3,UY,O DK,3,ROTZ,O! belasting aanbrengen FK,2,FY,-3 SOLVE FNSH /POST1! plotten vervorming rows= ((meshaantal"2)+1) "DM,graph,T ABLE,rows,2,1 vget,graph(1,1 ).node,all,loc,x vget,graph( 1,2),node,all,u, y "vplot,graph( 1,1 ),graph( 1.2) /axlab,x,lengte x in mm /axlab,y,verplaatsing win mm /COLOR,wbak,blac /COLOR,axes,whit /COLOR,axnum,whit /COLOR,axlab,whit /COLOR,curve.whit /XRANGE,, 3 YRANGE,, -4 /replot Tabel C-13: lnvoerfile- eenveldsoverspanning met puntlast. eenzijdig ingeklemd. c - t 811lage c

166 Dwarskracht LNE STRESS STEP=l SUB =1 THE=l!SHEAR JSHEAR HN = LEH=l MAX o:221 B'LEH=2 1\N APR : 'i?:h X -64 ~. :ns 21.J4 9 eenveldsoverspanning met: puntlast, JH :ZOZl eenzljdig inqeklemd - E:+GA Figuur C.14: Dwarskrachtenlijn - eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd. Moment LNE STRESS STEP"' l SUB 1 THE"' l HOH!ENT J11MENT HN = RLEH 2 2 MAX =-.l'l7e+7 1\N HAR :9: ! b~9 ~57' :-+()7-55l37Z eenve ldsovec:!! p a nninq" met puntla:n:, eenzi]dl.g ing e l~l e md - E:+GA.lll!!-+() Figuur C.15: Momentenlijn- eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd. Vervorming gr-a.ph (1, 2) COL 2 1\N MAR :31: c "' c m u,,. ~. 8' > ~ _, lo _, ) 3 Joo goo tsoo 21 :noo Lengte x in mm eenveldsovecspanning met puntlast, eenzl]dig ingeklemd - E+GA Figuur C.16: Vervormingslijn- eenveldsoverspanning met puntlast, eenzijdig ingeklemd*. *De vervormingen in de plot zijn lineair over de engie van een element. n dit geval geven twee elementen een exacte oplossing. E.J nd i ;J~ alementenmethoae C- ;

167 NODE ux... UY ROTZ E E-2. MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE E-1 Tabel C-14: Vervorming ten gevolge van buiging ( GA = oo). NODE UX UY ROTZ... MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 VALUE Tabel C-15: Vervorming ten gevolge van afschuiving ( El = oo). NODE ux... UY ROTZ E E-2. MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE E-1 Tabel C-16: Vervorming ten gevolge van buiging en afschuiving. Bijlage C

168 C.S Tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting a b X Figuur C.17: Tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. lnvoerfile /BATCH /PREP? /title, tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting- E+GA meshaantal = 1!maal twee, geeft totaal aantal elementen! knopen defineren K,1,, K,2,15, K,3,3, K,4,45, K,5,6,! lijnen defineren tussen knooppunten L,1,2 L,2,3 L,3,4 L,4,5! element defineren (BEAM3 = Timoshenko beam) ET,1,BEAM3! Eigenschappen opgeven BEAM3 R, 1,14, ,143,1!materiaaleigenschappen opgeven elasticiteitsmodulus MP,EX,1,1 MP,GXY,1,1.8! lijnen meshen LESZE,ALL,,meshaantal LMESH,ALL FNSH /SOLU! soort analyse opgeven ANTYPE,O! vrijheidsgraden opgeven per knoop! DK, knooppunt, verplaatsing, waarde (O=vast) DK,1,ux,O DK,1,UY,O DK,3,UY,O DK,5,UY,O! belasting aanbrengen SFBEAM,ALL, 1,PRES, 1 SOLVE FNSH /POST1! plotten vervorming rows= ((meshaantal 4)+1) oim,graph,table,rows,2, 1 vget,graph(1, 1 ),node,all,loc,x vget,graph(1,2),node,all,u,y vplot,graph(1, 1 ),graph(1,2) /axlab,x,lengte x in mm /axlab,y,verplaatsing win mm /COLOR,wbak,blac /COLOR,axes,whit /COLOR,axnum,whit /COLOR,axlab,whit /COLOR,curve,whit /XRANGE,, 6 YRANGE,, -4 /replot Tabel C-17: lnvoerfile- tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. Eindtgs ;J!;mentenrnetllode C- 15

169 Dwarskracht LNE StRE SS St P::o l sua cl TM ::t SHS:AR JSHEAR MN ==-1848!!LEH 3 H.AX :::1848 SLE11=2.1\N APR : 44: l.26 -ZOS. Z u. an za~.z95 1Z tweeve l dsoverspanninq met ge ll] Janatiq vex:-deelde bela.stino - E+GA Figuur C.18: Dwarskrachtenlijn - tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. Moment LN str ESS BT P---l SU B -.1 TMB l HOHENT JHOMENT HN !L Ha2 MAX :::6365 l LEJ"':).1\N APR :43: 2 -]1!) '19771] -49J !1 7'16 ~3651 tweeveldsove-cspanninq met qell)lcma.tig verdeald.e bel i!ts t:ing - E+GA Figuur C.19: Momentenlijn- tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. Vervorming <;raph (1, 2> COL 2.1\N APR : 4 : 49 c "' c. ~ e-. :> JZ HOO CO 42 5-tOO Lengte x in mm cweeveldsover5pannino met gelijlcmatig verdeelde belasting - E+GA Figuur C.2: Vervormingslijn - tweeveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. De vervormingen in de plot zijn lineair over de engle van Mn element. n dit geval geven!wee elementen een exacte oplossing. 3rjlag <> C

170 NODE ux UY ROTZ E E E E E-2 MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 1 VALUE E-2 Tabel C-18: Vervorming ten gevolge van buiging ( GA = CJJ). NODE ux UY ROTZ E E E E-95 MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 2 5 VALUE E-95 Tabel C-19: Vervorming ten gevolge van afschuiving (E = CJJ). NODE ux UY ROTZ E E E E E-1 MAXMUM ABSOLUTE VALUES NODE 4 5 VALUE E-1 Tabel C-2: Vervorming ten gevolge van buiging en afschuiving. Eino1ge elemenlenme;thooe C-17

171 Bijlage D - Vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming Soortgelijk aan het bepalen van de bekende vergeet-me-nietjes voor buiging is het mogelijk om vergeet-me-nietjes te bepalen voor liggers met buigingsvervorming en dwarskrachtvervorming. Met behulp van de differentiaalvergelijking voor balken met dwarskrachtvervorming (uit Bijlage A, volgens Timoshenko) zijn deze 'uitgebreide' vergeet-me-nietjes af te leiden. Oeze nieuwe vergeet-menietjes worden voortaan aangeduid als de vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming. n deze bijlage worden voor de meest voorkomende gevallen de vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming afgeleid. n paragraaf 3.6 van het verslag worden de uitgewerkte vergeet-menietjes met dwarskrachyvervorming overzichtelijk samengevat. n de drie daaropvolgende paragrafen worden op zeer eenvoudige wijze voorbeeldberekeningen uitgewerkt. Eerst van een twee- en drieveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting en daarna van een tweeveldoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting en een overstek waarop een puntlast is aangebracht..1 Uitkraging met moment aan het uiteinde X.. Figuur.1 : Uitkraging met moment aan het uiteinde. ~x=o) w=o f/= B (x=l) M=MB V=O.. Tabel D-1: Randcond1t1es Ultkrag ng met moment aan het uiteinde. Op x = geldt: w=o x 3 x ) C2x 2 w(x=o)=c Cx+C = ( GA 2 1 f/= lfl(x =O) =-C/- C 2 x +C = Op x = l geldt: V=O V(x=l)=C 1 c. = M(x=l)=C 2 = M 8 C2 = M B Vergeet-me-nietje met dwarskrachtvervorming C 2 x lfib ( x=l ) =- 1 Ml lfl 8 (x=l)= (.1) (.2) -1

172 .2 Uitkraging met puntlast aan het uiteinde X.. Figuur.2: Uitkraging met puntlast aan het uiteinde. Op x = geldt: ~ x=o) B(x=l) w=o M=O f/= V=F Tabel D-2: Randcondities uitkraging met puntlast aan het uiteinde. w=o x 3 X J C x 2 w(x=o)=c, ( 2 -+C 3 x+c 4 = 6 1 GA 2 1 Op x = geldt: v = F C x 2 C x lf/(x=)= C 3 = 2 / E v (X= 1) = c, = F C, =F M = M (X = 1) = C,x + c2 = M ( x = 1) = Fl + C 2 = o C 2 =-F Vergeet-me-nietje met dwarskrachtvervorming lf/8 (x =l)=- ~;;-i: Fl2 Fl2 lf/ 8 (x = )= E El Fl2 lf/ 8 (x=)=- 2E (.3) W8 (X = 1) = C, ( - 6~/ + ;A J- ~~; 1 3 ) Fl 3 w 8 (x= ) =F ( 6 1 GA 2 1 F/ 3 Fl Fl 3 w 8 (x=)= El GA 2El Fl 3 Fl w 8 (x= ) = El GA (.4) - ~ Bijlage D

173 .3 Uitkraging met gelijkmatig verdeelde belasting / A ~ X.. Figuur.3: Uitkraging met gelijkmatig verdeelde belasting. ~ r=o ) B(x=l) w=o M=O f/= V=O Tabel D-3: Randcondities u1tkrag1ng met geiijkmatig verdeelde belasting. Op x = geldt: w=o qx 4 qx 2 ( x 3 x J C2x 2 w(x=o)=----+c Cx+C 24 / 2GA 6 / GA 2 / J 4 Op x = geldt: (x=o)= qxj- Clxz - C2x +C 3 f/ 6El 2El El V=O V(x=l)=-qx+C 1 = C 1 =ql qxz M(x=l)=--+Cx+C 2 = 2 q/ ql +C 2 = 2 c =-gf_ 2 2 (.5) (.6) Vsrgeet-me-nieiJes el dwarskracl\lvervorming D-3

174 .4 Eenveldsoverspanning met kopmoment aan rechterzijde. X Figuur.4: Eenveldsoverspanning met kopmoment aan rechterzijde. Arx=O) B(x=l) w=o w=o M=O M=M Tabel D-4: Randcondities eenveldsoverspanmng met kopmoment aan rechterzijde. Op x = geldt: w=o x 3 x J C2x 2 w(x=o)=c Cx+C = ( GA 2 1 M=O M(x=O)=C 1 x+c 2 = Op x = l geldt: w=o w(x=l)=c 1 (-~+~]+C3 x= 6 1 GA M=M 3 C l J +Cl=O ( GA M(x=l)=C 1 x=m C =M l C l J +Cl=O ( GA C=Ml_M GAl Vergeet-me-nietje met dwarskrachtvervorming C x 2 + C3 \f/ A (X = ) = - 2 ~ 1 Ml M \f/a (x = O) = 6 1- GAl (.7) C x 2 \f/ B (X= l) =- 2~1 + C3 M 1 2 Ml M \f/s (x = l) = -~ GAl Ml M \f/ B (X = l) = GAl (.8) w(x=!_j=c (-~+~]+Cx GA (.9) D-4 Bijla!ja D

175 .5 Eenveldsoverspanning met kopmoment aan linkerzijde. X ~ Figuur.5: Eenveldsoverspanning met kopmoment aan rechterzijde. Vergeet-me-nietje met dwarskrachtvervorming Oit belastinggeval is gelijk aan het vorige maar dan gespiegeld. Rekening houden met de tegenovergestelde hoeken worden de vergeet-me-nietjes met dwarskrachtvervorming nu: Ml M f/a = 3 1 +GAl (.1 ) (.11) (.12).6 Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting.- q X ~ Figuur.6: Eenveldsoverspanning met gelijkmatig verdeelde belasting. ~x=o) B(x=l) w=o w=o M=O M=O Tabel -5: Randcondities eenveldsoverspann1ng met gelijkmatig verdeelde belasting. Op x = geldt: w=o M=O qx 4 qx 2 ( x 3 x ) C2x 2 w(x=o)=-----+c Cx+C 3 4 = GA 6 1 GA 2 1 qxz M(x = ) = --+C 1 x+c 2 = 2 Op x = geldt: w=o M=O V~rgeet-Me-hie~~ mel dwarskrachiller'ormil'lg -5

176 (.13) (.14) (.15) o-o BJiage

177 D. 7 Eenveldsoverspanning met puntlast JX ' X a r 8 A '" Figuur.7: Eenveldsoverspanning met puntlast. b ' Deel a: Vdeel a (X) = Cl Mdeeta (x) = Clx+ C2 f/ dee/ a - ( x)-- Clx2- C2x +C 2 / / 3 w (x)=c [ -~+...::._J_C 2 x 2 +Cx+C dee/a 6 / GA 2 / 3 4 ~x=o) B(x=a) c(x=l) w=o W dee/a =W w=o deelb dlf/ = f/ dee/ a = f/ dee/ b dlf/ = dx dx M =M dee/a deelb V -V =F dee / a dee/ b.. Tabel D-6: Randcond1t1es eenveldsoverspannmg met puntlast. Deel b: Vdeel b (X) = C5 M deelb(x) = Csx+C6 ( x) C5x 2 _ C6x + C 2 / / 7 2 +C 7 x+c 8 ee 6 / GA 2 / f/ dee/ b - wd lb(x)=c5 (-~+...::._J- C 6 x Op x = geldt: w=o Op x = 1 geldt: w=o M=O Op x = a geldt: Vargeet -me-nieljes "1~1 dwar>kr~chtv~r Jorming -7

178 Mdeela = Mdeelb Vdeel a GA +C x+c 2 1 C [- i +~]+C x=c [- i +~J- C 6 x 6 1 GA 3 5 C [-~+~]+C a+c [+~-~]+ C 6 a 6 1 GA 3 5 _Cix2_~x+C=-C5x2_~x+C 2 1 El 2 1 E - Cla2 + C + C5a2 + C6a - C = / E Clx = C5x + C6 C 1 a-c 5 a-c 6 = Vdeel b = F Cl - C5 = F GA -C 7 a-c 8 = 2 1 n matrixvorrn: /3 / GA 2 1 a3 a a3 a a a GA 6 1 GA 2 1 a2 a2 a E a -a a -1-1 cl c3 c5 c6 c7 C8 F Oplossing uitwerken Onbekenden oplossen met behulp van Wolfram Mathematica 6.: Fa C =--+F C 2 =O C = Fa 3 _ Fa 2 + Fa! C 4 =O C =-Fa 5 C 6 =Fa (.16) C = Fa 3 +Fa! C =Fa_ Fa 3 8 GA 6 1 Vergeet-me-nietje met dwarskrachtvervorming C x 2 "' (x= ) = C 'f' A 2 / 3 x=o)= Fab(l+b) ( f/a 6 11 (.17) (.18) B1jlage

179 .8 Eenveldsoverspanning met puntlast in het midden r X.. Figuur.8: Eenveldsoverspanning met puntlast in het midden. Met a=! wordt de oplossing uit de vorige paragraaf: 2 (.19) (.2) 3 ( ) ( x w x=-=c --+-+Cx x J dee/a GA 3 (.21) w deelb 3 2 x=- ) ( =C (--+- x x J ---+Cx+C C 6 x GA Wdeelb ( ) Fl 3 Fl X = l = GA (.22) V argeet -ne-nle~as met uwarskracht,eriop11i ng -9

180 Bijlage E- Tekeningen proefopstellingen Voor het experimenteel onderzoek zijn verschillende testen uitgevoerd in het Pieter van Musschenbroek laboratorium te Eindhoven. De opzet, uitwerkingen en resultaten van deze testen zijn opgenomen in hoofdstuk 4 van het verslag. n deze bijlage zijn de tekeningen van de verschillende proefopstellingen opgenomen. De volgende tekeningen zijn opgenomen: Tekening 1: proefopstelling voor het bepalen van de buigingsmodulus en buigsterkte van spaanplaat P5. Tekening 2: proefopstelling voor het bepalen van de drukmodulus en druksterkte van spaanplaat P5. Tekening 3: proefopstelling voor het bepalen van de trekmodulus en treksterkte van spaanplaat P5. Tekening 4: proefopstelling voor het bepalen van de afschuivingsmodulus van EPS 6 (vierpuntsbuigproef). Tekening 5: proefopstelling voor het testen van sandwichpanelen in een statisch onbepaald systeem (vijfpuntsbuigproef). T"lk-anlnger proefop.s,.;,jlirlg~;;n E-

181 E-1 Sijlage: E

182 E.1 Tekening 1: proefopstelling voor het bepalen van de buigingsmodulus en buigsterkte van spaanplaat PS T.;kaningen uroefoostetlingen E-J

183

184 PRODUCED BY AN AUTODES'K EDUCATONAL PRODUCT T ekening 1: proefops telling buigingsmodu ' us + buigs terkte 1- ~ c ::: c.....j <( z ~ ~ c w ~ en w c 1- ~ <( z <( > m c w ~ c ::: c.. drukblok: 16 x 25 mm 2-4 kn /~---->... ~ { ( \\ ' "-C l \ \ ~ \.~' -~;/... ~ y krachtmeetdoos 5 N ~~===t~~~~~8~~ m m ~=i~~~~;:-;;~nl o )f ;roo 15 m m T==a;~~:b; ==" - i i M 't t' k _/ "' 1 u 1yo meet lokje / " meet be rei k 5 m m -1-7/" ;--; ~ proefstukken 15 Dikte spaanplaot: 3 mm. aantal: 7 stuks. groene folie! spaanplaat von fabrikant Wilhelm Mende Grr:bH & Co gebruiken! -tl [) ""C ;:;tl c c: m c o:j -< > z c: > -t c m en " m c c: ~ z > r- ""C ;:;tl c c: -t 1---rA ~r l i i i i i i f---l i , i f---l V/ - -','~ f---j f---j ~,\ /A '... _ l i ' - -~ i 1----l i i i i li ~ Project Vervorming van sandwichpanelen Opdrachtgever Wim de Groot - TU Eindhoven - Unidek B.V. UNDEK a proefopstelling buigpr. 28 Unid ei~ b.v. Scheiweg 26 Postbus AC Gemert Tel: Fax: i Status h definitief g Tekenaar wdg e Schaal d 1/1-1/1 c Dossier no. b Blad ~ ~ete Dat juni 28 1 l::>nao~d 1VNOil v::>na3 Deze lekening b~ j1t 9lgendom VBn Unldek b.v. en mag 2Df'lder sctlri Piclijko toeslcmming nief gereproduoeerd ol nan Omden 1er inulge ''Ofden g~ noch door Ol lou!r derden worden gebru lkl: s3ao1nv NV AS a3::>nao~d

185 E.2 Tekening 2: proefopstelling voor het bepalen van de drukmodulus en druksterkte van spaanplaat PS T ~dn 1 ngen proefopstelll ngen E-5

186 E-6 3ijlage '::

187 PRODUCED BY AN AUTODES[K EDUCATONAL PRODUCT Tekening 2: proefopstelling drukmodulus + druksterkte (.) ::::J ::: D.....J <( z t= <( (.) ::::J w ::.::: tj) w 1- ::::J <( z <( > a:l w (.) ::::J ::: D.. druk/trekblok: 16 x 25 mm 2-4 kn~ ~') '- ~ -~ /,.,--, ' (/ \\ f--l \ \ )) ~--~ \ ' '..._... / / kogelvorminge drukplaat~ ~~ ~""--7L.., -1' "-... r L ---r----y ' _ ~ 11-- LJ ;:==1-i-l=i ==;:-:L_ 1 i ~-.j ~~-- L ; ; ~ ~.r- i i!! = =:: ~ ~t ~ ~t- N N _j proefstukken ~ ~14 lagen x 3mm 42mm b=4 + Dikte spaanplaat: 3 mm. aantal: 14 stuk~3. groene folie! spaanplaat van fabrikant Wilhelm Mende ~~mbh & Co verlijmen met witte houtlijm gebruiken! ""C ::: c c: m c OJ -< )> z )> c: -t c m en " m c c: )> :::! z )> r- ""C ::: c c: -t Status 1 Project Vervorming van sandwichpanelen Proefopstelling drukmod. ~-'--- h --- antwerp l g Tekenaar Opdrachtgever Wim de Groot- TU Eindhoven - Unidek B.V. wdg 1 UN DE K 28Unide,<b.v. Scheiweg 26 Post bus AC Gemert e Schaal f- d /1-1/2 Dossier no. f-=-b Tel: Fax: a Blad Versie r:-oat---,-. iu---,ni-=2o=o Z8 tela!ning bl/t. 9Q9f1dom van Urudak b.v. en rtgg zorder!>dv'lflelijke toestemmlng nlet gcrej:yod.c9ld of aan derden tar inzbgo v.ordcn gegovon ncch door o f 'o'ock defden vooro!j' getrukl

188 E.3 Tekening 3: proefopstelling voor het bepalen van de trekmodulus en treksterkte van spaanplaat P5 Tt:keningen proefopstelllngen E-7

189 E-3!31jlag.; E

190 PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATONAL PRODUCT Tekening 3: proefopstelling trekmodulus + treksterkte t o ::l ::: Q...J < z ~ (.) ::l w ~ C/) w ~ ::l < z < > r::a w (.) ::l ::: Q. druk/trekblok: 16 x 25 mm 2-4 kn~ drukpers max: 1 bar drukpers max: 1 bar -6' ~ ~ ""'- r ~ ; /, ' - - L{) \\ ~ N \ ' / N 1- '...::_-.:./ N ~ 1- ~ ~ L{) N r _ali) -H o N {) N L{) N F/~\= 1- ~ L{) N 1- /...; :_..., - N \ \,_ \ ' ",,-_-:..." N '-- i i i c t i i i ~ 25±5 ~ proefstukken ' / ' / ' / ' / ' / ' / ' / ' X / / ' / ' / ' / ' / ' / ' / ' / ' ; L2=25 ' 25 + L1 =25± t L2=25 ; 125 L 1 ==lengte voor plaats rekstrookje L2==1engte voor bevestiging==25mm voor bevestiging tweezijdig 8 mm dikte spoonploot: oantol: 14 stuks. groene folie! in trekbonk spoonploot 3 mm. spoonplaat von fobrikant Wilhelm Mende GmbH & Co gebruiken! 7 oon uiteinden, verlijmen. Project Vervorming van sandwichpanelen proefopstelling trekmod. Opdrachtgever Wim de Groot - TU Eindhoven - Unidek B.V. UNDEK 28Unidekb.v. Scheiweg ~~6 Postbus AC Gernert Tel: Fax: j h g f e d c b a Dat. iuni 28 Status definitief Tekenaar wdg Schaal 1/1 Dossier no Blad ~~e1s i e 3 ""C ::a c m c OJ -< > z c > -4 c m en " m c ~ z > r- ""C ~ c -4 6ze tekanlng bijft eigendom va1 Unldekb.v. en mag zooder sdvifretijka toesiemrring nlet geteproduceefd or san detder tor inzage \'lorden gegeven nod1 door of\'1' detoerj...otden getr'u CJ l:>nao~d 1VNOil v:>na3 >ls3ao.lnv NV A a a3:>nao~d

191 E.4 Tekening 4: proefopstelling voor het bepalen van de afschuivingsmodulus van EPS 6 (vierpuntsbuigproef) E-9

192 E-111 BtJiage E

193 PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATONAL PRODUCT T ekening 4: proefops telling vierpuntsbuigproef T 3 l T 25 l l l l 25 l 25 l 25 T T T T T T T T T 25 1 T T 15 f ::::) c a::: D.....J <( z ~ ~ ::::) c w ~ tj) w c 1- :::l <( z <( > lx c w ::::) c a::: D.. l i i ~JtU ~ Ol.. J : r.-=-'-1-:rr====l.. : 1=. =. =.=.=. =. =.~r..;-'-1;-. -:1. : 9 - ~Ml"f. ""lb"-'rre,ed=tte_,o=plrea..,..,_alrn""---a:: -"18=-,_,_m,_,_m'-'~ ~ : breedte opleaalna: 18C mm breedte opreaalna: Ol mm breedte opleaalna: Ol mm Vooraanzlcht 3MM 1 : l-o o o o o o t 15 t t o_rr=~"" ""o o o T 15o T 1 o_ ~ ~ o o t 15 T t o o ~=~,.--o 1 t 25 T o o o o o o o o o o o o o : : o o o o o o o o o o o oflo o o o o o o_ : :,-----''---.J_j, ll f ' '--L._' , i l T,.., "' ->-->- """"'~'"""" o.9~ " ll! 2 ~ ~.. '---~ n 'i r.clkr=ac""h:..-:tm=ceet=dc=coos=---'3""..-:;knm].... :~:lr ~.-.l ~.1 :~:.o. ~ ~.o. - - : : [ J : : 18MM --, : ~ Zijaanzicht t) --<~ g "'tt ;;Q c c m c lx -< )> z )> c -1 c m en " m c ~ z )> r- "'tt ;;Q c -1 ~ ~~ ~ ~~~~ADC-41 ~ ~~ ~ ---- _p_--- -~--- --~ ~--- :: ~~ _ _i ~ _ _ ~~~ -~- ~?f_~_ ~~ ]." :?_- --- ~---- -~- --- _p - ooo 1- - ooo ~ ~ -~ ~ ;;; Bovenaanzicht f o---o--o---o--o---o--o-"'"~""'t"i:ro--o--o---o- ~ : --o--o---o-- o'"t'i:fo"": ~_o o---o--o---o---o-- OOOOOOOOOOOo oooooooooooo :.. :. o-l] i ~~- Project Vervorming van sandwichpanelen Opdrachtgever Wim de Groot- TU Eindhoven- Unidek B.V. UNDEK Tel: 1:>nao~d 1VNOil v:>na3 >1s3ao1nv NV AB a3:>nao~d i Status proefopstelling 4puntbp. c-h ldetinitiet 28 Unidek b.v. Scheiweg ~'6 Postbus AC Gemert Fax: Deze tekening b~~~ eigendom van UnkMtk b.v. en mag zondef sduiftelijke toestemmlng niet gereproci.jceerd of aan derdej'l ter m.age v.orden gegevoo noch door ol \QO' defden 'M)((ien gebruii< g Tekenaar r~ ~wdg e Sch6W f--d /2 c Dossier no. f-b a Blad Versie r-o-at.-j,...ru-,ni-=2c::--::-:8=------lo4 1

194 E.S Tekening 5: proefopstelling voor het testen van sandwichpanelen in een statisch onbepaald systeem (vijfpuntsbuigproef) E- ll

195 E-12

196 Tekening 5: proefopstelling vijfpuntsbuigproef PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATONAL PRODUCT ~ ,!215 JOOO 2t tiioo! t2 taoo ~~~~~~~.~~~~~:: : : : : : : : : :!2~W< : : : : : : : : 1- (.) ::l c ::: Q....J <( z ~ (.) ::l c w ~ tj) w c 1- ::l <( z <( > r::o c w (.) ::l c ::: Q.! r ]11 1r i7oomm " ~ ~ ;' ~::::::::::::::::::::::::::::::: :: + i 3 ~~:::::::::::::::::::::::::: l ~~mm~ -~~~ ol :ij oooooooij6 3MM 21MM 15MM, 'j?j S)(J! uso t3l5! teo! ]3l5! teo! tiioo tiioo! ; ' mm t mm tiioo 215! O!O o o o OjO OfO r:-h i i i o o o o o o o o o o o o o o ofo o o o o o o o o o o o o o o o o o o ofo o o o o o o o o o o o o o o ~ ~ r-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=r 1~:~:11========================~~~--~ _, ~ ~ ~ ::~~ ~ ~ ---- _f_ _!_ f_ ~~: -:-::~-:-:~~-:-:: ~-:-::~~::~-:-:~ ~ :,:~ 1---!!B!2 ~ ~ ~~ liii!!e!!:! lii!!b!z :-~--~ :-::~-:-::~~::~-:-: :~-:-:~~-:-: :~-:- -~-~:: ---- f! f --- :,:~ * t.r=: ~~!!!~! ~ ~ :.. ;! =~= ::::::::: 12~~~:::::::::. :~: 18MM ~ 8.. ::: c c m c DJ -< )> z )> c -t c m en,;; m c ~ z )> r- "'tj ::: c -t - ~ ~~L ~---L: :J !...!...! Project lvervorming van sandwichpanelen proefopstelling 5puntbp. 1'-~ l:'n~tief. 1' g Tekenaar Opdrachtgever 1 Wim de Groot- Tl l Eindhoven - Unidek B.V. 1 wdg UNDEK 28 Unidek b.v. Scheiweg 26 Poslbus AC Gernert Tel: t11 Fax: e Schaal l':d /2 F' loossier no. b E",.--,.-:==o; B~a 1Versie DaL uni l:>nao~d 1VNOil v:>na3 >ts3ao1nv NV AS a3:>nao~

197 Bijlage F- Uitkomsten experimenteel onderzoek n deze bijlage zijn de uitwerkingen van het experimenteel onderzoek bijgevoegd. Achtereenvolgens zijn de uitwerkingen van de buigproeven, drukproeven, trekproeven, vierpuntsbuigproef en de vijfpuntsbuigproef opgenomen. Overzichtstekeningen van de verschillende proefopstellingen zijn opgenomen in Bijlage E. Na een korte samenvatting van de resultaten per testopstelling zijn de verdere uitwerkingen opgenomen. Een korte samenvatting van de testresultaten is per proef opgenomen in hoofdstuk 4 van het verslag in de bijbehorende paragraaf. Uitkon":>ten axpenmen e-<~1 ~nderzoek

198 F.1 Buigingsmodulus en buigsterkte van spaanplaat PS Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Buigingsmcx:lulus en buigspanning blad: ABB ,8 AOB ,14 BBB ,4 BOB ,37 CBB ,12 COB ,76 DBB ,2 DOB ,73 EBB ,11 EOB ,19 FBB ,27 FOB ,43 GBB ,49 GOB ,26 Aantal testen Aantal testen Stand aardafwij king 351 2,3 Standaardafwijking 246 2,16 Fractielfactor k 1,73 1,73 Fractielfactor k 1,73 1,73 gemiddelde ,58 gemiddelde ,41 max ,45 max ,56 min ,7 min 343 2,82 5% breukgrens ,6 5% breukgrens ,68 r-2 Bijl:age r-

199 algemeen Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 2 ABB ,45 AOB1 431 ABB ,33 AOB ABB ,59 AOB ABB ,81 AOB ABB ,81 AOB gem : ,8 gem: 3943 BBB ,52 BOB BBB ,89 BOB BBB ,33 BOB BBB ,77 BOB4 383 BBB ,72 BOBS 3519 gem : ,4 gem: 3775 CBB ,45 COB CBB ,83 COB2 343 CBB ,94 COB CBB ,8 COB4 45 CBB ,58 COBS 3837 gem: ,12 gem: 3863 DBB ,88 DOB1 446 DBB ,19 DOB DBB ,48 DOB DBB ,75 DOB DBB ,7 DOB gem: ,2 gem: 3898 EBB ,43 EOB1 461 EBB ,81 EOB EBB ,7 EOB EBB ,7 EOB4 381 EBBS ,16 EOB5 49 gem: ,11 gem: 415 FBB ,73 FOB FBB ,97 FOB FBB ,5 FOB FBB ,91 FOB FBB ,68 FOBS 3992 gem: ,27 gem: 3789 GBB ,8 GOB GBB ,57 GOB GBB ,77 GOB GBB ,77 GOB GBB ,55 GOBS 3829 gem : ,49 gem: ,3 25,37 27,31 23, 26,97 26,14 26,3 25,58 29,74 25,59 24,9 26,37 27,2 22,86 26,91 27,47 24,34 25,76 3,56 26,91 29,23 2,82 26,14 26,73 27,72 27,92 29,3 27,49 28,81 28,19 23,94 28, 24,9 24,3 26,27 25,43 28,9 26,2 26,76 22,79 27,45 26,26 F- ~

200 ABB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 3 ABB Dikte Breedte Fmax Fo.4 Fo, wo,4 mm mm N N N mm ABB1 3,21 5,71 85,2 34,1 8,5 2,7 ABB2 3,22 5,75 6,8 24,3 6,1,92 ABB3 3,26 5,39 77,1 3,8 7,7 2,17 ABB4 3,21 5,2 61,4 24,6 6,1 2,1 ABB5 3,26 5,4 63,1 25,3 6,3 1,11 wo, mm 1,22,24 1,34 1,23,32 gem: Eb N/mm (Jb N/mm 2 24,45 17,33 21,59 17,81 17,81 19,8 Belasting-verplaatsingsdiagram ABB 1 8 z ca 4 -J: (,)..1: - ABB1 ABB2 - ABB3 - ABB4 - ABB verplaatsing in m m 7 ABB1 ABB2 ABB3 ABB4 Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. N mm N mm N mm N mm,,,,,,,,,152,,34, -,34, -,152, -,34,,,,34,2 -,152,,34,,,,34,1,,,34,,,,34,18,153,3,34,11,152,,152,27,69,12,456,19,,,34,35,457,2,152,28,,,456,44,69,28,34,37,456,,69,52,457,37,69,45,152,,761,57,761,46,913,53,34,,34,69,,55,761,62,,,69,75 -,152,63,761,71,34,,69,81,,71,69,78,,,69,89,,8,2436,89,,,69,98,5785,89 1,37,97,456,,913 1,6 1,749,97 2,9682 1,2,5632,3,8372 1,15 2,8922 1,6 4,6578 1,8 2,15,9 2,5573 1,2 4,212 1,14 ABB5 Kracht Verpl. N mm,, -,152, -,152, -,34, -,152,,,,, -,152,,,,, -,34, -,152,,, -,152,,34,,1675, 1,1112,7 2,3746,15

201 AOB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. UnK:lek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 4 AOB Fo.4 FO, Wo,4 mm mm N N N mm AOB1 3,19 5,96 96,9 38,8 9,7 1,56 AOB2 3,8 5,42 8,9 32,4 8,1 2,22 AOB3 3,2 5,26 93,7 37,5 9,4 1,93 AOB4 3,6 5,36 72,3 28,9 7,2 2,8 AOB5 3,17 5, ,4 9, Dikte Breedte Fm ax Wo,l mm,47 1 '12,93,98 1,25 gem : Eb N/mm (J'b N/mm 2 28,3 25,37 27,31 23, 26,97 26,14 Belasting -verplaatsingsdiagram AOB 1 8 z c: (,) : 2 - AOB1 AOB2 - AOB3 - AOB4 - AOB verplaatsing in mm 7 AOB1 AOB2 AOB3 AOB4 Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht N mm N mm N mm N Verpl. mm,,,,,,,,,,,153,,34,,456,,152, -,152,1,76,,76,1,152,,457,6,456,5,76,4,456,,457,7,913,9,165,11,34,4,69,13,68,9,1522,15,34,7,69,21,913,17,1827,16,1523,12,69,29,165,25,1827,24 1,46,18,913,38,165,34,1369,34 2,2985,22,913,47,1217,42,1827,42 3,7598,28,913,55 1,1112,51,1674,5 5,2362,34,198,63 2,3897,6,274,58 6,8497,4,959,72 3,792,7 1,655,67 8,7372,4 7 1,9941,81 5,3427,78 2,1766,77 1,5486,54 3,1814,89 7,1845,85 3,3639,84 12,5883,61 4,528,96 9,568,93 4,734,91 14,6432,68 5,9365 1,4 11,25 1, 6,278,98 16,7285,76 7,5348 1,12 12,9992 1,Q7 7,5195 1,6 18,9814,84 9,126 1,19 15,845 1,14 9,264 1,13 AOB5 Kracht N Verpl. mm,, -,456,,,1 -,456,,35,,761,1,913,8,913,16,69,25,69,33,1218,41,165,5,761,58,137,67,913,76,385,85 1,57,96 3,91 1,4 4,7492 1,1

202 BBB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 5 FnlllX Dikte Breedte Fo.4 BBB FO,l Wo,4 mm mm N N N mm BBB1 3,25 5,73 76,9 3,8 7,7 1,27 BBB2 3,25 5,63 74,5 29,8 7,4 2,42 BBB3 3,25 5,63 79,6 31,8 8, 2,7 BBB4 3,28 5,29 85,7 34,3 8,6 2,41 BBB5 3,25 5,25 76,9 3,7 7,7 1,96 Wo, l mm,43 1,57 1,24 1,56 1 '11 gem : Eh N/mm (J"b N/mm 2 21,52 2,89 22,33 23,77 21,72 22,4 Belasting-verplaatsingsdiagram BBB 1 8 z.e 6 1:: u ll.li! 4 - BBB1 BBB2 - BBB3 - BBB4 - BBB verplaatsing in mm 7 BBB1 BBB2 BBB3 BBB4 Kracht N mm N mm N mm N mm Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl.,,,,,,,,,34,,152,,152,,152,5,,,68,3,152,6,152,13,34,,68,9,152,13,913,21,,,34,24,,2,,3,,,68,31,34,27,165,36,152,,68,37,34,35,152,48,,,34,44 -,456,44 -,152,55,,,456,47,34,52,152,63,152,,,55,,6,457,73,,1,761,63,34,68,35,82,69,4,152,72,457,77,35,88,69,8,456,81,34,85,152,95,761,17,34,89,1217,93,69 1,1 1,46,25,761,97 1,44 1,4,152 1,9 2,422,3,761 1,6 3,125 1 '1,35 1,18 4,1555,36,761 1 '14 5,84 1,17,457 1,27 5,9973,43,1369 1,23 6,917 1,24 1,1112 1,36 7,9457,49,9437 1,35 8,859 1,31 2,8922 1,43 BBB5 Kracht N Verpl. mm,,,,1,152,7,152,16 -,152,24,152,33,152,41,152,5,456,55,152,62,,68,34,71,456,76,4262,81 1,6592,86 3,139,94 4,5513 1,2 6,256 1,11 7,9913 1,19 F-r.i

203 BOB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 6 BOB Dikte Breedte Fmax Fo,4 FO, Wo,4 mm mm N N N mm BOB1 3,6 5,91 82,7 33,1 8,3 2,1 BOB2 3,8 5,89 82,3 32,9 8,2 2,58 BOB3 3,11 5,69 97,2 38,9 9,7 2,59 BOB4 3,1 5,79 78,5 31,4 7,9 2,6 BOB5 3,5 5,63 78,2 31,3 7,8 2,37 Wo,J mm,98 1,48 1,38 1,49 1,21 gem: Eb N/mm (Jb N/mm 2 26,3 25,58 29,74 25,59 24,9 26,37 Belasting-verplaatsingsdiag ram BOB 1 8 z.5 6.:c tj nl....ll: 4 - BOB1 B verplaatsing in mm 7 BOB1 BOB2 BOB3 BOB4 Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht N mm N mm N mm N Verpl. mm,,,,,,,, -,152, -,34,,152,,34, -,152, -,152,,34,,152, -,34,,34,2,457,4,456,1,152,,34,11,34,12,913,4,152,3,913,2,34,19,1369,13,152,6,69,28,761,28,165,22,152,6,69,36,69,35 '1217,3,152,6,761,44,457,43 '1217,38,34,12,69,52,457,51,1369,47,456,2,69,61,152,6,1369,55,34,29,69,69,34,69,165,63,69,37,69,78,152,77,913,71,152,46,457,86,152,85,165,8,3196,54,69,95,69,94,1675,89 1,225,6,165 1,4 1,2177 1,2,1369,97 2,422,67 1,198 1 '11 2,5725 1,8,4567 1,5 3,6227,75 2, '19 4,49 1 '16 1,3852 1' 13 4,947,82 3,5314 1,26 5,6624 1,23 2,5116 1,2 BOB5 Kracht N Verpl. mm,, -,152, -,34,,152,,,5,34,13,456,21,152,29,34,38,152,47,456,54,34,63,69,71,913,8,7763,87 1,7657,94 2,8921 1,1 4,143 1,7 5, '15 UU<or-tsten exoeriment-9 _ onderz.oe k

204 CBB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervonning van sandwichpanelen'. Undek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 7 CBB Dikte Breedte Fmax F o,4 F O, Wo,4 mm mm N N N mm CBB1 3,25 5,84 66,1 26,4 6,6 2,23 CBB2 3,23 5,72 66,4 26,6 6,6 2,3 CBB3 3,28 5,83 72,7 29,1 7,3 1,45 CBB4 3,31 5,72 73,4 29,3 7,3 1,94 CBB5 3,3 5,58 68,2 27,3 6,8 1,86 WO, mm 1,38 1,25, ,9 gem: E b N/nun (J'b N/nun 2 18,45 18,83 19,94 19,8 18,58 19,12 Belasting-verplaatsingsdiagram CBB 1 z.= 8 6 l: u... cu 4..11: 2 - CBB1 CBB2 - CBB3 - CBB4 - CBB verplaatsing in mm 7 CBB1 CBB2 CBB3 CBB4 Kracht N mm N mm N mm N mm Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl.,,,,,,,,,34,,,,152, -,152, -D,152,,35,9,152,,68,4,,,69,14,,,456,12 -D,152,1,69,2,34,,34,19,,1,35,28,456,,456,28,152,18,35,37 -,152,,456,36,34,27,,46,68,,68,45,34,34,152,55,,,34,53,,43,152,63,34,,34,61,152,52,,71,152,,761,7,456,61,35,8,456,,456,78,69,7,457,88,913,5,68,86,69,78,457,96,913,13 1,198,95,913,87 1,2634 1,3,913,22 2,816 1,2,165,95 2, '1,913,3 4,6122 1' 1,913 1,3 4, '18,523,38 6,599 1 '17,913 1,13 6,531 1,25 2,71,45 8,6154 1,24 1,2481 1,24 8,3872 1,32 3,7749,53 1,77 1,31 CBB5 Kracht Verpl. N mm,,,456,,152,1,34,1,152,7,34,16,,3,152,38,152,43,34,5,34,58,456,67,548,76 1,755,84 3,227,93 4,6882 1,1 6,2256 1,9 7, '17 9,8636 1,25 ;:_8

205 COB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 8 Dikte COB Breedte Fmax Fo.4 FO, Wo. 4 mm mm N N N mm COB1 3,21 49,83 93,1 37,2 9,3 2,8 COB2 3,14 49,77 74,8 29,9 7,S 1,28 COB3 3,22 49,78 92,6 37, 9,3 1,58 COB4 3,14 49,8S 9, 36, 9, 2,S2 COBS 3,14 49,87 79,8 31,9 8, 2,84 Wo,J mm 1,7,21,49 1,44 1,83 gem : Eb N/mm SO (jb N/mm 2 27,2 22,86 26,91 27,47 24,34 2S,76 Belasting-verplaatsingsdiagram COB 1 8 z.e 6 -.r: (,) Cll.....>:: COB1 COB2 - COB3 - COB4 - COBS s 6 verplaatsing in mm 7 COB1 COB2 COB3 COB4 Kracht N mm N mm N mm N mm Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl.,,,,,,,, -,4S6,,68,,, -,1S2,,153,4,34,,,,152,,457,11,152,,,,34,,457,12,456,,1S2,,69,5,457,19,1S2,,1S2,,69,14,166,27,1S2,,,,761,22,166,37,456,,34,,761,3,761,45,34,,4S6,,165,38,457 O,S4,68,,1S2,,165,46,4S7,62,34,,456,3,16S O,SSOO O,S328,69,34,,2131,9,913,63 1,8723,77,456, 1,3S47,17,913,72 3,442,84,34, 2,8312,26,913,81 5,1145,91,456, 4,3686,33,913,88 6,841,99,1217, 6,43,4,1523,97 8,7677 1,7 1' 1264,1 7,8848,49,4871 1,6 1,65S1 1 '14 2,2985 O,OSOO 9,655,56 1,9332 1' 16 12,72S3 1,21 3,S466,11 11,4466,64 3,48S8 1,23 COBS Kracht N Verpl. mm,, -,34,,152,,68,,456,8,68,17,456,25,34,34,68,42,761,5,68,58,165,67,761,7SOO,761,83,761,92,913 1,1,68 1,9,761 1 '18,68 1,26 _hu\ornst~'l axperime~"t.el nt.j"r~o~k ;::_-3

206 88 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek 8.V. 8uigingsmodulus en buigspanning blad: 9 DBB Oikte Breedte Fmax F o,4 F O,l W o,4 mm mm N N N mm 881 3,25 5,85 64, 25,6 6,4, ,21 5,85 63,5 25,4 6,4 1, ,25 5,78 73,2 29,3 7,3 2, ,26 5,96 64,1 25,6 6,4 1, , ,1 31,7 7,9 2,27 Wo, l mm,28,45 1,19 1, gem : Eb N/mm (jb N/mm 2 17,88 18,1 9 2,48 17,75 21,7 19,2 Belasting-verplaatsingsdiagram DBB 1 z.5 -.s::. u.: "' verplaatsing in mm 7 OBB1 DBB2 DBB3 OBB4 Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht N mm N mm N mm N Verpl. mm,,.,,,,, -,152,,34, -,34,,34,,,,,,,,1523,4,,,456,,,5,,12,152,,34, O,Q152,11,913,2,,,34,,456,2,34,29 -,34,,152,,,28,69,37,152,,34,,152,36,457,45,34,,152,,69,45,457,53,152,,34,,34,53,457,62,,,34,,34,62,34,7,152,,34,,456,7,913,78,,,,,,78,2131,87,152,,152,,274,9 1,5526,97,1675,,456, 1,8722,97 3,1357 1,5 1,2786,6,1217,8 3,5466 1,4 4,7644 1,12 2,773,1 3,1979,17 5, '12 6,4692 1,19 4,3838,2 1,2177,25 7,172 1 '19 8,2653 1,26 6,248,28 2,5724,31 8,988 1,28 1,2137 1,33 OBB5 Kracht N Verpl. mm,,,,,,,34,,,,456,6 -,152,19 -,1 52,26 -,152,33,,4,152,49,,58,,66, 152,75,,83,,92, 152 1,,2131 1,8 1,37 1,16 F -ll Bijlace F

207 DOB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorrning van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 1 DOB Dikte Breedte F max Fo,4 FO, Wo,4 mm mm N N N mm DOB1 3,7 5,97 97,9 39,1 9,8 2,57 DOB2 3,13 5,86 89,4 35,8 8,9 2,24 DOB3 3,14 5,6 97,2 38,9 9,7 1,82 DOB4 3,18 5,67 71,1 28,4 7,1 2,22 DOB ,71 92,2 36,9 9,2 2,23 WO, mm 1,34 1,13,62 1,35 1,2 gem: E b N/rrun (Yb N/rrun 2 3,56 26,91 29,23 2,82 26,14 26,73 8elasting-verplaatsingsdiagram DOB 1 z.!: -s::. u ns -"' 8 6 ' verplaatsing in mm 7 81 DOB Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. N mm N mm N mm N mm,,,,,,,,,35, -,152, -,152, -,152, -,152,8,34,,152,,152,,153,15,69,,,,152,,153 '18,913,1,,,,,153,18,69,9,,,456,4,153,18,34,17',152,,456,12,153,24,69,26,152,,69,21,,32,913,34,34,,69,3,457,41,165,42,,,761,38,69,49,761,5,152,,761,46,35,58,69,6,152,,913,54,457,66,4415,67,,,761,63,2132,74 1,5982,75,152,,165,72 1 '1569,91 2,8769,83,34,,913,8 2,2681 1,3 4,2621,91,,,419,88 3,5315 1,1 5,7995,99,456,2 1,5374,98 4,914 1,16 7,267 1,6,1369,11 2,973 1,9 6,484 1,22 8,7829 1,13,9589,2 4,2163 1,18 85 Kracht Verpl. N mm,,,152,,152,,34,,761,6,1217,13,165,22,913,3,1217,39,165,48,1217,57,1217,65,1217,73,7611,81 2,15,88 3,5923,96 5,535 1,4 6,6671 1,12 8,2653 1,2 F-ll

208 EBB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 11 Dikte EBB Breedte Fmax Fo,4 FO, Wo,4 mm mm N N N mm EBB1 3,22 S,6S 61, 24,4 6,1 2,23 EBB2 3,27 S,8 68,1 27,3 6,8 2,1 EBB3 3,29 S,6 73,3 29,3 7,3 1,94 EBB4 3,32 S,82 6, 24, 6, 2,S2 EBBS 3,29 S, ,7 2,2S Wo,J mm 1,47 1,32 1,8 1,61 1,48 gem: Eb N/nun 2 3S S46 26S9 3S (J"b N/nun 2 17,43 18,81 2,7 16,7 18,16 18,11 Belasting-verplaatsingsdiagram EBB 1 z.!:.e u nl :: - EBB1 EBB2 - EBB3 - EBB4 - EBBS verplaatsing in mm 7 EBB1 EBB2 EBB3 EBB4 Kracht N mm N mm N mm N mm Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl.,,,,,,,,,,,,,1S2,3 -,4S6, O,Q3S,5,34,2,,9 -,34,,4S7,12,34,13 -,1S2,1SOO,3S O,OSOO,761,2,456,2,1S2,17,3S,13,69,29,76,2SOO,1S2,2SOO,,21,69,37,76,33,1S2,34,1S2,31,69,44,68,41,4S7,42,,39,4S7 O,S2,456 O,SOOO, O,S1,4S7,47,4S7,61,912 O,S8,,59,913 O,SSOO,4S7,71,76,67,69,67,761,6SOO,4S7,78,456,76,,7SOO,69,73,4S7,86,68,84,9133,89,4S7,82,69,94,912,93 2,4SO,94,69,9,761 1,2,1674 1,1 4,946 1,1,913,98,137 1 '13 1,339S 1 '11 6,12S 1,8,457 1,7,9438 1,25 2, '18 7, '1SOO,761 1,16 2,3898 1,33 4,7947 1,2SOO 1,198S 1,23,74S9 1,29 3,9424 1,39 6,S99 1,32 12,2382 1,3 1,7962 1,4 EBBS Kracht N Verpl. mm,,,1s2,,,1,4s6,1,1s2,17,34,19,4s6,19,4s6,19,4s6,27,913,3soo,34,43,4s6 O,S2,1S2,61,34,7,4S6,78,913,87,69,95,69 1,OSOO,6S4S 1 '14 F-12 Bl)lage F

209 EOB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. UnK:lek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 12 Dikte EOB Breedte Fm ax. F o,4 F o.j Wo.4 mm mm N N N mm EOB1 3,16 5,76 93,7 37,5 9,4 2,13 EOB2 3,21 5,82 97,5 39, 9,7 2,41 EOB3 3,23 5,56 12,1 4,8 1,2 2,34 EOB4 3,2 5,79 95,3 38,1 9,5 2,51 EOB5 3, ,4 39,4 98 2,48 Wo.J mm 1,5 1,29 1,3 1,38 1,35 gem: E b N/mrn (jb N/mrn 2 27,72 27,92 29,3 27,49 28,81 28,19 Belasting-verplaatsingsdiagram EOB 1 z.5 ~ u : EOB1 EOB2 - EOB3 - EOB4 - EOB verplaatsing in mm 7 EOB1 EOB2 EOB3 EOB4 Kracht N mm N mm N mm N mm Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl.,,,,,,,, -,152,1 -,34,,152,1 -,34,,152, -,152,,,7 -,152,,,1 -,152,,456,15,,,152,1,35,7,456,22,152,1,34,7,457,15,456,31,34,9,457,16,69,23,152,4,457,11,,25,457,31,34,49,34,16,152,34,153,4,69,57,69,18,457,43,153,49,34,66,457,25,137,52,69,57,152,75,69,34 1,198,61,761,66,34,83,457,42 2,422,7,761,74,69,92,457,51 3,792,8,1827,82,7611,95,761,59 5,1754,89 1,88,9 2,131,99,69,67 6,6823,98 2,2681,98 3, ,7,34,77 8,3872 1,5 3,6532 1,6 5,7538 1,15,457,85 1,6 1,12 5,2972 1,14 7,887 1,22,457,93 11,7511 1,18 7,233 1,22 1,158 1,3,344 1,1 EOB5 Kracht N Verpl. mm,, -,68, -,34, -,152,1 -,34,1,,7 -,152,15,153,23,153,33 -,152,41,,5 -,152,58 -,152,67,,75,35,84,6241,91 1,6288,97 2,9378 1,5 4,3839 1,12 F-'3

210 FBB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmod ulus en buigspanning blad: 13 FBB Dikte Breedte Fmox F o,4 FO,l Wo,4 mm mm N N N mm FBB1 3,29 5,59 83, 33,2 8,3 2,9 FBB2 3,26 5,75 75,4 3,2 7,5 1,94 FBB3 3,26 5,76 64,9 26, 6,5 1,97 FBB4 3,24 5,73 74,2 29,7 7,4 2,4 FBB5 3,24 5,91 66,6 26,6 6,7 1,68 Wo,, mm 1,31 1 '1 1 '18 1,13,89 gem : Eb N/mm (Jb N/mm 2 22,73 2,97 18,5 2,91 18,68 2,27 Belasting-verplaatsingsdiagram FBB 1 8 z.5 6.:E: u ftl... ~ 4 - FBB1 FBB2 - FBB3 - FBB4 - FBB verplaatsing in mm 7 FBB1 FBB2 FBB3 FBB4 Kracht N mm N mm N mm N mm Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl.,,,,,,,,,69, -,152,,34,,,,456,5 -,152,,456,2,913,5,456,9,69,8,34,16,761,11,456,16,34,16,68,21,1522,19,69,22,457,25,,32,165,26,69,31,165,33,34,38,913,36,34,39,457,41,1217,45,761,45,152,48,913,5,34,55,761,53,34,67,165,58,152,62,913,61,456,74,,67,152,7,761,69,761,8,2436,76,152,79,913,78 O,Q152,86 1,4461,88,,89,913,86,34,92 3,443,94,419,97 1,2786,93,822 1,3 5,79 1,2 1,9179 1,3 2,7551,99 2,422 1 '12 6, ' 1 3,577 1 '11 4,4751 1,6 4, '18 8,9198 1,17 5, '18 6,139 1 '13 6,1343 1,25 1,99 1,23 7,2455 1,26 7,8696 1,21 8,251 1,31 13,449 1,31 9,125 1,34 9,6961 1,27 FBB5 Kracht N Verpl. mm,, -,34,,,,456,,,,34,,456,6,68,15,68,24,761,32,913,4,1979,48 1,2481,57 2,4354,65 3,6837,73 4,9927,81 6,317,89 7,8696,98 9,544 1,5 -.j.l 3 Jiage :=

211 FOB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 14 Dikte FOB Breedte F mox F o,4 FO, wo,4 mm mm N N N mm FOB1 3,18 5,76 81,9 32,8 8,2 1,93 FOB2 3,19 5,55 96, 38,4 9,6 2,51 FOB3 3,31 5,35 91,6 36,6 9,2 2,37 FOB4 3,31 5,65 88,9 35,6 8,9 2,2 FOB5 3,29 5,54 95,8 38,3 9,6 2,58 Wo.J mm,98 1,38 1,32 1,17 1,58 gem : Eb N/mm O'b N/mm 2 23,94 28, 24,9 24,3 26,27 25,43 Belasting-verplaatsingsdiagram FOB 1 z.5:.e u ll ll:: - FOB1 FOB2 - FOB3 - FOB4 - FOBS verplaatsing in mm 7 FOB1 FOB2 FOB3 FOB4 Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht N mm N mm N mm N Verpl. mm,,,,,,,,,34,,456, -,152,,152,,152,,34,5,35,4,34,,456,,152,12,457,12,456,3,456,,34,21,69,21,456,11,165,2,34,29,457,23,456,19,456,1,34,34,69,32,761,27,165 '19,69,38,35,45,761,35,165,28,456,45,457,54,456,45,761,36,69,51,152,63,761,54,1827,44,761,6,152,72,913,62,9894,54,69,67,152,8 1,1416,7 2,2224,68,761,75,35,87 2,422,85 3,5162,78,69,83,69,92 4,33,95 4,9166,84,456,92,152 1,1 5,4646 1,3 6,4235,91,385 1, 1,656 1,4 6,9867 1,1 7,9457,98 1,6135 1,7 2, ' 1 8,589 1,17 9,6657 1,5 3, '14 4, ' 17 1,1528 1,24 11, '12 4,81 1,22 6,887 1,25 11,7663 1,3 FOB5 Kracht N Verpl. mm,, -,34,,152, -,152,4 -,152,7,,16,,22,152,27,457,33,,41,152,52,457,59,69,65,152,76 -,152,84,,91,152 1,,35 1,8,8525 1,24 lhlkjr-~sten ex>:emnentael onaerzoek F-15

212 GBB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervonning van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 15 Dikte GBB Breedte Fmax F o.4 FO, Wo,4 mm mm N N N mm GBB1 3,22 5,88 59,1 23,6 5,9 1,84 GBB2 3,21 5,8 61,3 24,5 6,1 1,97 GBB3 3,27 5,87 71,7 28,7 7,2 1,83 GBB4 3,27 5,85 71,6 28,7 7,2 1,75 GBB5 3,18 5, ,5 64 1,49 wo.1 mm 1,9 1,12 1,4,97.71 gem: E b N/mm <Yb N/mm 2 16,8 17,57 19,77 19,77 18,55 18,49 Belasting-verplaatsingsdiagram GBB 1 z.5 -.r:. u 8 6 nl :: 2 - GBB1 GBB2 - GBB3 - GBB4 - GBB verplaatsing in mm 7 GBB1 GBB2 GBB3 GBB4 Kracht N mm N mm N mm N mm Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl.,,,,,,,,,152,,152,,34,,,,69,4,34,3,34,5,152,,761,12,1217,11,68,12,,,69,21,761,19,34,21,152,5,165,3,34,27,456,29,456,14,761,39,34,36,68,38,152,22,913,47,456,44,456,47,34,3,69,56,34,53,913,55,456,39,165,64,456,61,913,64,456,48,165,73,456,69,761,72,761,56,2892,85,913,78 1 '1264,81,1979,64 1,4156,96 1,87,91 2,9682,89 1,2329,73 2,9682 1,2 2,4354,98 4,7795,97 3,747,82 4,528 1,9 3,9271 1,5 6,6975 1,4 4,8252,89 6, '16 5,5711 1,12 8, '12 6,6214,97 8,37 1,24 7,2151 1,2 1, '19 8,3871 1,5 9,8179 1,3 8,8285 1,26 12,8623 1,27 1,5334 1,13 11,5989 1,38 1,4877 1,34 14,8715 1,35 12,5883 1,2 GBB5 Kracht Verpl. N mm,,,,,152,3,34,7,456,11,456,14,456,18,152,21,34,26,34,34,34,42,3196,46 1,5373,51 2,8921,57 4,3838,63 5,8755,71 7,4433,79 9,34,86 11,661,94 Bijlilge F

213 GOB Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Buigingsmodulus en buigspanning blad: 16 Dikte GOB Breedte Fm Fo,4 Fo, Wo,4 mm mm N N N mm GOB1 3,19 5,5 96,2 38,5 9,6 2,72 GOB2 3,22 5,48 91,4 36,6 9,1 2,42 GOB3 3,14 5,5 88,8 35,5 8,9 2,52 GOB4 3,13 5,85 75,7 3,3 7,6 2,48 GOB5 3, ,2 38,1 9,5 2,77 Wo, mm 1,68 1,25 1,34 1,45 1,65 gem : Eb Nlmm (Yb N/mm 2 28,9 26,2 26,76 22,79 27,45 26,26 Belasting-verplaatsingsdiagram GOB 1 8 z.5 6 -~ (.,) tel <: 2 - GOB1 GOB2 - GOB3 - GOB4 - GOBS verplaatsing in mm 7 GOB1 GOB2 GOB3 GOB4 Kracht N mm N mm N mm N mm Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl. Kracht Verpl.,,,,,,,,,34,2,,,,,456,,152,1,457,,152,3,34,3,152,17,,,152,4,456,7,456,23,152,2,34,4,68,11,34,3,,11,34,9,456,13,165,37,761,2,456,17,456,17,761,45,69,28,456,25,68,21,761,52,457,36,456,34,76,28,165,61,457,45,68,42,912,33,1369,69,35,54,34,51,68,41,913,78,457,63,761,6,165,44,913,87,69,71,913,68,912,49,761,95,761,79,68,77,1217,57,1217 1,4,274,91,68,85,1217,66, '12 1,4765,99,548,94,165,74,1369 1,21 2,89 1,5 1,8113 1,2,1217,83,868 1,29 4, '12 3, '11,165,92 2,2985 1,36 5,9517 1,18 4, '19,1369 1, GOB5 Kracht Verpl. N mm,,,69,,165,1,913,9,165,17,69,26,761,35,761,43,761,51,165,59,1369,68,761,77,165,86,1523,94,1369 1,2,761 1 ' 11,165 1,2,5936 1,27 1,6896 1,34 F-1"

214 :! - "' Drukmodulus en druksterkte Wim de Groot proefstuk breedte dikte in mm inmm 1 ABD1 42,2 4,12 2 ABD2 42,45 4,11 3 BBD1 43,15 4,1 4 BBD2 43,73 4,5 5 CBD1 44,21 39,79 6 CBD2 43,59 4,3 7 DBD1 42,57 4,8 8 DBD2 42,51 4, 9 EBD1 43,59 4,24 1 EBD2 41,78 4,12 11 FBD1 42,79 4,16 12 FBD2 42,18 4,22 13 GBD1 42,93 4,11 14 GBD2 42,26 4,46 dikte = dikte van de lagen op elkaar breedte = breedte van de lag en testsnelheid =,6 mm min,. Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. N Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. blad: 1.., c Fmax Fo.4 FO,J wo.4 wo,j Ed (Jd 3 in kn inn inn in mm inmm in mm N/mm 2 N/mm 2 31, ,561 3,1265,2324,527 1, ,47 c 3, ,1887 3,472,2352,534 1, ,9 - c 3,369 12,148 3,37,2225,492 1, 35 17,36 t/) 28, ,2671 2,8168,1875,424 1, ,8 CD 3, ,2315 3,579,278,457 1, ,38 :::l 24,9329 9,9732 2,4933,1715,352 1, ,29 a. 24,971 9,9884 2,4971,1742,386 1, ,64.., 31, ,5549 3,1387,2244,513 1, ,46 c 29, ,813 2,9526,272,47 1, ,83 ~ t/) 28, ,4258 2,8564,259,454 1, , ,9851 1,794 2,6985,1882,4 1, ,7 CD 27, ,1755 2,7939,1963,446 1, ,47 ~ 28, ,337 2,8259,2, , ,41 CD 28, ,4655 2,8664,1914,452 1, ,76 < Q) :::l Aantal testen t/) S tandaardafwijking 122 1,25 "C F rae tiel factor k 1,86 1,86 Q) gemiddelde ,7 Q) :::l max ,47 "C min ,29 -Q) 5% breukgrens ,38 Q) c ~ a...,... "'tj (11 2 5) <u m,.,

215 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad: 2 Testname: ABD1 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Testbegin: 16:9:4 Fm ax Fo,4 Fo,t in kn in kn in kn 31, ,561 3,1265 wo,4 in mm WO, inmm,2324, z ~2 l: E 15...: 1 5 Belasting-rekdiagram ABD1... AOC-3 AOC-4 gem 3-4.{),2,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 rek inmm 1,6 MultiplyFfactor Meas.nr. 1ime[sec] ,,, -,76, -,76 -,152 -,76,77 -,76 -,76 -,76 -,76,77 -,152 -,76,,77, -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,,, -,1 -,1 -,1 -,1 -,1,,, -,2,1 -,1 -,1 -,2 -,2,,, -,1,3,1,,1,1, -,1 -,1 -,1,2,1, -,3 -,2 -,1,2,1 -,1 -,1 -,1, -,2 -,1,,,,,2,1,1,,1, -,2 -,1 F- 19

216 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad: 3 Testname: ABD2 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Test begin: 11:5:51 Fmax Fo,4 FO,l in kn in kn in kn 3, ,1887 3,472 Wo,4 wo,l in mm inmm,2352,534 Belasting-rekdiagram ABD2 z :1: e 15 X ADC-3 ADC-4 gem {),2,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 rek in mm MultiplyFfactor Meas.nr. lime[ sec] ,,77 -,76, -,76,,,,,,153,77 -,76,,153,77,153,, -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,,1 -,1 -,2 -,2,,1,1,,1,1, -,1 -,1 -,1 -,1 -,1,,1,1,,,, -,2 -,1,1,,1,2 -,3 -,1,1 -,2 -,1,2 -,2, '>=-2ll

217 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad: 4 Testname: BBD1 Test description: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Test begin: 12:23:11 Fmax Fo,4 FO. in kn in kn in kn 3,369 12,148 3,37 wo,4 wo, in mm inmm,2225,492 8elasting-rekdiagram z ~ l: ~ 15.X AOC-3 AOC-4 gem 3-4 -,2,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 rek in mm MultiplyFfa ctor Meas.nr. lime[ sec] ,,,76, -,77,,152,,76,, -,77 -,77,,76,76,,, -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,,, -,1 -,1, -,1 -,1, -,2 -,1, -,2 -,1 -,1,1, -,1,2,1 -,1, -,1 -,1, -,1 -,1,2,1 -,2,2, -,2,2, -,2,3,1 -,2,2, -,2,1 -,1 -,3,3, -,3,2 -,1 -,3,3, -,3,3,

218 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek 8.V. blad: 5 Testname: 88 D2 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Test begin: 12:33:48 Fmax Fo,4 FO,l in kn in kn in kn 28, ,2671 2,8168 wo,4 Wo; in mm inmm,1875,424 8elasting-rekdiagram 882 z E e 15...: 1 5 ADC-3 ADC-4 gem 3-4 -,2,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 rek inmm MultiplyFfactor Meas.nr. Time[ sec] ,,76,153,76,76,76,153,76,76,229,153,229,229,229,153,153,229,153,153 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,,,,,,,,, -,2 -,1, -,2 -,1, -,2 -,1 -,1 -,1 -,1 -,1, -,1, -,2 -,1, -,2 -,1 -,1, -,1 -,1 -,2 -,2 -,1 -,1 -,1, -,2 -,1, -,4 -,2, -,4 -,2, -,5 -,3, -,5 -,3, -,4 -,2 c11laq ::: t'

219 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad : 6 Testname: CBD1 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Test begin : 12:44:57 Fmax F o.4 F O, in kn in kn in kn 3, ,2315 3,579 Wo.4 WO, in mm inmm,278, z ~2.t: ~ 15.lO: 1 5 Belasting-rekdiagram CB1... AOC-3 AOC-4 gem 3-4 {),2,,2,4,6,8 1, 1,2 rek inmm 1,4 1,6 MultiplyFfactor Meas.nr. Time[ sec] ,, -,76, -,152,,77,77,,,153,153 -,76 -,152,153,,,153, -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,, -,1, -,1 -,2, -,1 -,1 -,1 -,1 -,2 -,1 -,2 -,1 -,3 -,2 -,1 -,6 -,4 -,1 -,8 -,5 -,1 -,1 -,6 -,1 -,11 -,6 -,1 -,11 -,6 -,1 -,11 -,6 -,1 -,13 -,7 -,1 -,14 -,8, -,14 -,7, -,15 -,8, -,15 -,8 -,1 -,18 -,1 -,2 -,17 -,1

220 Wim de Groot Techn ische U n iversiteit E in dh oven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad: 7 Testname: CBD2 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8 _Nov_27 Testbegin: 12:55:39 Fmax Fo.4 FO,L in kn in kn in kn 24,9329 9,9732 2,4933 wo,4 in mm WO,L in mm,1715,352 Belasting-rekdiagram CBD z ~2 E ~ " 1 5 AOC-3 AOC-4 gem 3-4 -,2,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 rek inmm MultiplyFfactor Meas.nr. Time[ sec] , -,228 -,457 -,35 -,228 -,76,77 -,76,,,,77,77,,77,77,77,36,229 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,,,,,,,, -,1 -,1 -,1 -,1,2,1 -,1,5,2 -,1,6,3 -,1,6,3 -,1,5,2 -,1,4,2 -,1,5,2 -,2,4,1 -,1,4,2 -,2,3,1 -,1,3,1 -,1,2,1 -,1,1, -,1, -,1 -,1, -,1 i=-24

221 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Orukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad : 8 Testname: 81 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Testbegin : 13:9:31 F max Fo,4 FO,l in kn in kn in kn 24,971 9,9884 2,4971 Wo, 4 W OJ in mm in mm,1742,386 Belasting-rekdiagram DBD z ~2 E ~ 15 -" ADC-3 ADC-4 gem 3-4 -D,2,,2,4,6,8 1, 1,2 rek inmm 1,4 1,6 MultiplyFfactor Meas.nr. Time[sec] ,,76,,381,1297,1678,2365,2975,3433,3662,4349,5112,5646,6256,719,7629,8698,9384 1,71 -,8331 -,7873 AOC-3 AOC-4 gem,,, -,1, -,1 -,1 -,1 -,1 -,5,17,6 -,1,4,15 -,15,63,24 -,21,87,33 -,25,16,41 -,28,121,47 -,3,133,52 -,34,154,6 -,37,178,71 -,41,24,82 -,42,229,94 -,45,251,13 -,48,28,116 -,48,33,128 -,5,332,141 -,52,358,153

222 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterl<te Unidek B.V. blad: 9 Testname: DBD2 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Testbegin: 13:19:2 Fmax Fo,4 FO,l in kn in kn in kn 31, ,5549 3,1387 wo,4 wo,j in mm inmm,2244,513 Belasting-rekdiagram DBD z ~2 1: E ADC-3 ADC-4 gem 3-4 -,2,,2,4,6,8 1, 1,2 rek inmm 1,4 1,6 MultiplyFfactor Meas.nr. Time[ sec] ,,76,76,76,152,,76,76,228,152,35,228,381,381,381,35,534,35,35 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,, -,1 -,1 -,1 -,1 -,2 -,2 -,2 -,3 -,3 -,2 -,2 -,2 -,1 -,2 -,2 -,1 -,3 -,2 -,1 -,3 -,2 -,1 -,4 -,3 -,2 -,6 -,4 -,1 -,5 -,3 -,1 -,5 -,3 -,1 -,7 -,4 -,1 -,6 -,4 -,1 -,6 -,4 -,1 -,5 -,3 -,1 -,8 -,5 -,1 -,8 -,5 -,1 -,7 -,4

223 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad: 1 Testname: EBD1 Test description: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Test begin : 13:31: Fmax Fo 4 FO,l in kn in kn in kn 29, ,813 2,9526 wo,4 wo,t in mm inmm,272,47 Belasting-rekdiagram EBD " z ~2 l: ~ 15 "" 1 ADC-3 ADC-4 gem {),2,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 rek inmm 1,6 MultiplyFfador -,8331 -,7873 Meas.nr. Time[ sec] ADC-3 ADC-4 gem 1,,,, 2 1,35, -,1 -,1 3 2,76 -,1 -,2 -,2 4 3,229 -,1 -,3 -,2 5 4,76 -,1 -,5 -,3 6 5,381, -,4 -,2 7 6,35,1 -,5 -,2 8 7,381,1 -,7 -,3 9 8,381, -,6 -,3 1 9,35 -,1 -,5 -,3 11 1,35 -,1 -,5 -, ,457, -,6 -, ,35 -,1 -,7 -, ,152 -,1 -,7 -, ,457 -,1 -,8 -, ,457 -,1 -,8 -, ,381 -,2 -,6 -, ,457 -,1 -,7 -, ,381 -,1 -,7 -,4 F-2 <

224 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad: 11 Testname: EBD2 Test description: Client: Wim de Groot Lab. Member. Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Test begin: 13:5:43 Fmax Fo,4 FO, in kn in kn in kn 28, ,4258 2,8564 wo,4 wo,t in mm in mm,259,454 Belasting-rekdiagram EBD l 25 z. ~2 E ~ 15 -" 1 5 -,2,,2,4,6,8 1, 1,2 rek inmm 1,4 1,6 AOC-3 AOC-4 gem 3-4 MultiplyFfactor Meas.nr. Time[ sec] 1, 2 -, ,77 4 3, 5 4, 6 5,76 7 6,76 8 7,76 9 8,76 1 9, , , , , , , , , ,35 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,, -,1, -,1 -,2 -,1 -,2 -,2 -,1 -,2 -,3 -,1 -,2 -,3, -,2 -,4,1 -,2 -,4,1 -,2 -,5 -,2 -,4 -,4, -,2 -,4 -,3 -,4 -,5,1 -,2 -,5, -,3 -,6 -,2 -,4 -,6 -,1 -,4 -,11,4 -,4 -,12,4 -,4 -,13,5 -,4 -,14,5 -,5 F-28 E iiiage F

225 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad : 12 Testname: FBD1 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Testbegin: 14:3:54 F max Fo,4 Fo' in kn in kn in kn 26,9851 1,794 2,6985 wo,4 in mm W O, in mm,1882,4 Belasting-rekdiagram FBD z ~2 1: E 15...: 1 - AOC-3 AOC-4 gem {),2,,2,4,6,8 1, 1,2 rek inmm 1,4 1,6 MultiplyFfactor Meas.nr. Time[ sec] ,,76 -,77,152,229,35,152,35,152,35,35,381,458,534,458,686,61,61,458 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,, -,2 -,1 -,2 -,3 -,1 -,2 -,4,1 -,2 -,5, -,3 -,5 -,2 -,4 -,7, -,4 -,8 -,1 -,5 -,9,1 -,4 -,9 -,1 -,5 -,9 -,1 -,5 -,9,1 -,4 -,1 -,1 -,6 -,9, -,5 -,9 -,2 -,6 -,1,1 -,5 -,1 -,2 -,6 -,11,1 -,5 -,11,1 -,5 ;:-29

226 Wim de Groot Techn ische U n iversiteit E in dh oven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad: 13 Testname: FBD2 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Madline: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Testbegin: 14:15:37 Fmax Fo,4 FO,l in kn in kn in kn 27, ,1755 2,7939 Wo.4 wo,1 in mm inmm,1963,446 Belasting-rekdiagram FBD z ~2 :E ~ 15 -" 1 5 AOC-3 AOC-4 gem3-4 -,2,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 rek in mm MultiplyFfactor Meas.nr. Time[ sec] ,,76,,76,35,153,35,229,35,381,35,35,35,35,381,381,229,229,229 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,, -,1 -,1 -,1 -,1, -,1 -,2, -,1 -,1 -,1 -,1 -,3,1 -,1, -,2 -,1 -,1 -,2 -,2 -,2 -,1 -,2, -,1 -,1 -,1 -,3 -,2 -,1 -,2 -,2 -,1,1,,,, -,1 -,2 -,2 -,1, -,1 -,1 -,1 -,1 -,1, -,1 -,1 -,2 -,2 Btj iag;; F

227 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Drukmodulus en druksterkte Unidek B.V. blad: 14 Testname: GBD1 Test description: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Test begin : 14:27:29 Fmax Fo,4 FO, in kn in kn in kn 28, ,337 2,8259 Wo,4 WO ) in mm inmm,2,458 Belasting-rekdiagram GBD z ~2.E ~ 15 -" 1 5 ADC-3 ADC-4 gem 3-4 -,2,,2,4,6,8 1, 1,2 rek inmm 1,4 1,6 MultiplyFfactor Meas.nr. Trme[sec] ,,76 -,76,153,229,229,35,35,381,35,229,35,35,381,381,153,381,381,35 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 gem,,, -,1, -,1,,,,,,, -,2 -,1 -,1 -,1 -,1,,1,1, -,2 -,1,1,,1,1 -,1,,1 -,3 -,1,2 -,3 -,1,3 -,3,,3 -,4 -,1,3 -,5 -,1,3 -,6 -,2,4 -,6 -,1,5 -,9 -,2,5 -,8 -,2.;. -

228 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Drukmodulus en dr.uksterkte blad: 15 Testname: GBD2 Test description: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 8_Nov_27 Testbegin : 14:4:56 Fm ax Fo,4 FO,l in kn in kn in kn 28, ,4655 2,8664 wo,4 wo, in mm inmm,1914,452 F 32

229 r: ~ [') "l "' ;(,' ' "' >< ~ 3 i1l ::! t ~ ~ a. 1T1 tl l)... A- Trekmodulus en treks annn proefstuk breedte breedte boven midden nmm inmm AOT1 151,78 152,26 AOT2 151,98 152,13 BOT1 153,27 153,69 BOT2 153,45 153,74 COT1 153,8 153,5 COT2 153,78 154,13 DOT1 153,25 153,62 DOT2 153,74 154,2 EOT1 153,39 153,72 EOT2 153,49 153,9 FOT1 153,55 153,91 FOT2 153,42 153,76 GOT1 153,46 153,68 GOT2 153,3 153,74 breedte onder inmm 15,67 151,78 153,17 153,31 153,11 153,76 153,18 153,7 153,3 153,35 153,52 153,49 153,33 153,48 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. breedte di<te dikte dikte dikte Fmu gem boven midden onder gem in mm in mm inmm in mm inmm inn 151,57 3,31 3,7 3,3 3, ,96 3,15 3,8 3,7 3, ,38 2,99 3,4 3,14 3, ,5 3,5 3,7 3, ,23 3,1 3,6 3,9 3, ,89 3,18 3,13 3, ,35 3,1 3,8 2,99 3, ,82 3,15 3,17 3,6 3, ,47 2,96 2,93 3,13 3, ,58 3,3 3,2 3,17 3, ,66 3,12 3,9 2,99 3, ,56 3,12 3,6 3,5 3, ,49 3,2 3,14 3,12 3, ,51 3,4 3,1 3,16 3, Unidek B.V. Fo. F,,, Wo,4 WO, inn inn in mm in mm inmm ,997,215 1, ,1111,2885 1, ,132,24 1, ,885,274 1, ,175,27 1, ,97, ,111,282 1, ,586,178 1, ,186,277 1, ,128,31 1, ,975,235 1, ,1228,31 3 1, ,938,258 1, ,852,247 1, Aantaltesten Standaardafwijking Fraclielfactor k gemiddelde max min 5% breukgrens E, blad : N/mm , a, N/mm 2 8,73 8,2 8,93 8,26 9,43 8,5 9,19 5,1 8,7 8,73 8,58 9,75 8,74 7, ,14 1,86 8,36 9,75 5,1 6,24,. (,.) -1 ~ ~ 3 Q. s::::: -s::::: (/) CD :::::s..,... CD ~... CD.., ~ CD < Q) :::::s (/) "C Q) Q) :::::s "C -Q) Q)... "" CJ1 -n {.,,,;

230 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad: 2 Testname: AOT1 Test descriptk:ln: Fmax Fo,4 FO,l wo,4 WO, Client: Wim de Groot kn kn kn mm mm Lab. Member. 4,154 1,662,415,997,215 Test Machine: nterval [sec]: Test date: 24_ct_27 Test begin: 7:57:6 Belasting-rekd i agram A OT 1 5, 4, z ~ 3, : ~ 2, AOC-3 AOC-4 gem3-4 1,,.{),5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfador 25 -,8331 -,7873 Meas.nr. Time( sec) ADC- ADC-3 ADC-4 Mitu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1 gem 1 -,61 -,1,,27,1,, ,763 -,1,1,27,1 -,1, 3 2 -,687 -,1,1,27,1 -,1, 4 3 -,61 -,1,1,27,1 -,1, 5 4 -,61 -,1,1,27,1 -,1, 6 5 -,61 -,1,1,27,1 -,1, 7 6 -,534 -,1,1,27,1 -,1, 8 7 -,61 -,1,1,3,1 -,1, 9 8 -,61 -,1,1,3,1 -,1, 1 9 -,534 -,1,,3,1,, ,61 -,2,,3,2,, ,763 -,1,1,3,1 -,1, ,534 -,1,1,3,1 -,1, ,534 -,1,1,3,1 -,1, ,534 -,1,,3,1,, ,458 -,2,,32,2,, ,153 -,2,,39,2,, ,153 -,3 -,1,53,3,1, ,153 -,4 -,19,62,4,19,12 r=-: 8. Jlage

231 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad: 3 Testname: AOT2 Test descripton: Fmax Fo,4 FO,l wo,4 WO, Client: Wim de Groot kn kn kn mm mm Lab. Member: 3,7766 1,516,3777,1111,289 Test Machine: nterval [sec]: Test date: 24_ct_27 Test begin: 8:17:41 Belasting-rekdiagram AOT2 5, 4, z ~ 3, ADC-3.E ~ 2, ADC-4 gem 3-4 1,, -,5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 -,8331 -,7873 Meas.nr. Time[ sec] ADC- ADC-3 ADC-4 Mitu_O ADC-3'"-1 ADC-4'"-1 gem 1 -,534,,2,11, -,2 -, ,534 -,1,,11,1,, ,61,,,11,,, 4 3 -,534 -,1,,11,1,, ,61 -,1,1,11,1 -,1, 6 5 -,61,1,,14 -,1, -, ,458,,,14,,, 8 7 -,534,,,14,,, 9 8 -,534,,,14,,, 1 9 -,61,,,14,,, ,687 -,1 -,13,18,1,13, ,229 -,1 -,42,24,1,42, ,76 -,1 -,7,34,1,7, ,458 -,1 -,97,46,1,97, ,534 -,1 -,123,51,1,123, ,763 -,1 -,15,66,1,15, ,763 -,1 -,176,71,1,176, ,168 -,2 -,199,83,2,199, ,1297 -,8 -,221,94,8,221,115 F-:35

232 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspann ing blad: 4 Testname: BOT1 Test description: Fmax Fo,4 FO,l wo,4 WO) Client: Wim de Groot kn kn kn mm mm Lab. Member: 4,1885 1,6754,4189,132,24 Test Machine: nterval [sec]: Test date: 24_ct_27 Test begin: 8:49 :1 Belasting-rekdiagram BOT1 5, 4, - z ~ 3, ADC-3 E ADC-4 ~ 2, gem 3-4 1,, -D,5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 -,8331 -,7873 Meas.nr. Time[ sec] ADC- ADC-3 ADC-4 M t u_o ADC-3-1 ADC-4-1 gem 1 -,61,,1 13,638, -,1 -, ,61 -,1,1 13,638,1 -,1, 3 2 -,534,, 13,638,,, 4 3 -,534 -,1, 13,638,1,, ,687,, -3,528,,, 6 5 -,61,,1-2,446, -,1 -, ,687,,1-2,446, -,1 -, ,763,,,4,,, 9 8 -,687 -,1,,4,1,, ,534,,,4,,, ,458 -,2 -,1,15,2,1, ,35 -,1 -,1,23,1,1, ,76 -,64,26,33,64 -,26, , -,129,65,47,129 -,65, ,534 -,184,96,55,184 -,96, ,458 -,234,12,67,234 -,12, ,839 -,283,145,72,283 -,145, ,1297 -,332,169,84,332 -,169, ,1297 -,377,188,95,377 -,188,95 F-.313

233 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad: 5 Testname: BOT2 Test descripton: Fmax Fo,4 FO. wo,4 WOJ Client: Wim de Groot kn kn kn mm mm Lab. Member: 3,865 1,5442,3861,885,274 Test Machine: nterval [sec]: Test date: 24_ct_27 Test begin: 9:4 :8 Belasting-rekdiagram BOf2 5,. 4, z "" 3.:. ADC-3.E ADC-4 ~ 2, gem 3-4 1,, -,5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 -,8331 -,7873 Meas.nr. lime[ sec] ADC- ADC-3 ADC-4 Mitu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1 gem 1 -,61 -,1,1 12,51,1 -,1, 2 1 -,61,,1 12,51, -,1 -, ,687,, 12,51,,, 4 3 -,458 -,1 -,4 12,51,1,4, ,458, -,26 12,56,,26, ,229 -,1 -,48 12,71,1,48,25 7 6,229 -,6 -,64 12,79,6,64,35 8 7,229 -,16 -,78 12,88,16,78,47 9 8,534 -,26 -,91 12,97,26,91,59 1 9,61 -,37 -,12 12,111,37,12,7 11 1,839 -,5 -,112 12,116,5,112, ,916 -,63 -,123 12,131,63,123, ,1526 -,76 -,132 12,136,76,132, ,145 -,89 -,141 12,148,89,141, ,162 -,1 3 -,149 12,159,13,149, ,1984 -,116 -,158 12,167,116,158, ,2289 -,131 -,167 12,177,131,167, ,2518 -,146 -,176 12,191,146,176, ,267 -,161 -,184 12,196,161,184,173.; '" Sk - xpr;nmen\eel nderzofk

234 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad : 6 Testname: COT1 Test descripton: Fmax Fo,4 FO, wo,4 wo,1 Client: Wim de Groot kn kn kn mm mm Lab. Member: 4, '7822,4456,175,27 Test Machine: nterval [sec): Test date: 24_ct_27 Test begin: 9:21:37 Belasting-rekdiagram COT1 5, 4, z ~ 3, ADC-3 :!: ADC-4 u ~ 2, gem 3-4 1,, -,5.,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 -,8331 -,7873 Meas.nr. Time[sec] ADC- ADC-3 ADC-4 Miu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1 gem 1 -,534 -,1,5 17,825,1 -,5 -, ,61 -,1,5 17,825,1 -,5 -, ,61 -,1,4 17,825,1 -,4 -, ,35 -,2 -,6 17,831,2,6, ,229 -,8 -,24 17,841,8,24,16 6 5,153 -,2 -,37 17,849,2,37,29 7 6,229 -,29 -,51 17,859,29,51,4 8 7,534 -,37 -,69 17,871,37,69,53 9 8,763 -,44 -,84 17,876,44,84,64 1 9,763 -,54 -,99 17,888,54,99, ,168 -,64 -,113 17,899,64,113, ,162 -,74 -,128 17,911,74,128, ,1526 -,83 -,143 17,923,83,143, ,1678 -,94 -,157 17,929,94,157, ,197 -,14 -,171 17,939,14,171, ,2213 -,114 -,185 17,948,114,185, ,2213 -,124 -,197 17,956,124,197, ,267 -,135 -,21 17,971,135,21, ,267 -,147 -,224 17,977,147,224,186 Bi)ldge -

235 Wim de Groot T echn ische U n iversiteit E in dh oven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad: 7 Testname: COT2 Test descripton: Fmax Fo,4 FO,l wo,4 WO, Client: Wim de Groot kn kn kn mm mm Lab. Member. 3,891 1,5564,3891,97,247 Test Machine: nterval [sec]: Test date: 24_ct_27 Testbegin: 9:38:12 Belasting-rekdiagram COT2 5, 4, z ~ 3, ADC-3 E ADC-4 ~ 2, gem 3-4 1,, -,5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 -,8331 -,7873 Meas.nr. Time[ sec] ADC- ADC-3 ADC-4 M~u_O ADC-3*-1 ADC-4*-1 gem 1 -,534 -,4,8 2,11,4 -,8 -,2 2 -,763 -,3,8 2,11,3 -,8 -, ,534 -,4,9 2,11,4 -,9 -, ,763 -,4,9 2,11,4 -,9 -, ,458 -,6,8 2,11,6 -,8 -, ,458 -,2,3 2,11,2 -,3, ,381 -,3 -,9 2,11,3,9, ,153 -,39 -,26 2,8,39,26,33 9 8,229 -,49 -,41 2,8,49,41,45 1 9,381 -,6 -,56 2,8,6,56, ,687 -,71 -,69 2,8,71,69, ,763 -,83 -,83 2,9,83,83, ,168 -,95 -,96 2,9,95,96, ,1297 -,1 7 -,18 2,12,17,18, ,162 -,119 -,121 2,15,119,121, ,1755 -,132 -,135 2,15,132,135, ,1831 -,145 -,148 2,12,145,148, ,26 -,158 -,16 2,15,158,16, ,2289 -,171 -,173 2,16,171,173,172 F-3 ~i

236 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad : 8 Testname: DOT1 Test descripton: F max Fo.4 FO,l Wo,4 wo, Client: Wim de Groot kn kn kn mm mm Lab. Member. 4,2648 1,759,4265,111,282 Test Madline: nterval [sec] : Test date: 24_ct_27 Test beg in : 9:54:53 Belasting-rekdiagram DOT1 5, 4, z ~ 3, AOC-3 1: AOC-4 ~ 2, gem 3-4 1,, -{),5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 -,8331 -,7873 Meas.nr. Time[ sec] ADC- ADC-3 ADC-4 Mtu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1 gem 1 -,61,7 -,13 2,371 -,7,13, ,534,8 -,14 2,371 -,8,14, ,534,7 -,16 2,371 -,7,16, ,61,8 -,16 2,371 -,8,16, ,534,12 -,38 2,371 -,12,38, ,35,16 -,65 2,371 -,16,65,25 7 6,76,16 -,9 2,371 -,16,9,37 8 7,76,13 -,113 2,368 -,13,113,5 9 8,61,12 -,135 2,368 -,12,135,62 1 9,458,4 -,151 2,368 -,4,151, ,534 -,8 -,163 2,369,8,163, ,839 -,22 -,175 2,371,22,175, ,168 -,36 -,185 2,371,36,185, ,1526 -,51 -,195 2,372,51,195, ,162 -,66 -,25 2,373,66,25, ,1984 -,81 -,214 2,375,81,214, ,197 -,96 -,224 2,375,96,224, ,2289 -,112 -,233 2,375,112,233, ,2594 -,127 -,243 2,372,127,243,185 " -4 '

237 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad: 9 Testname: DOT2 Test description: Fmax Fo,4 FO,i wo,4 wo, Client: W im de Groot kn kn kn mm mm Lab. Member: 2,419,9644,2411,586,178 Test Machine: nterval [sec]: Test date: 24_ct_27 Test begin: 9:54:53 Belasting-rekdiagram DOT2 5, 4, z ~ 3, AOC-3.E AOC-4 u ~ 2, gem 3-4 1,, -,5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfa ctor 25 -,8331 -,7873 Meas.nr. Time[ sec] ADC- ADC-3 ADC-4 Mitu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1 gem ,61 -,1 -,6,36,1,6, ,534, -,7,36,,7, ,458 -,1 -,8,36,1,8, ,61 -,1 -,9,36,1,9, ,61 -,1 -,9,36,1,9, ,534 -,1 -,1,36,1,1, ,534 -,1 -,9,36,1,9, ,687 -,1 -,11,36,1,11, ,687 -,1 -,11,36,1,11, ,534 -,1 -,12,36,1,12, ,763 -,2 -,13,36,2,13, ,61 -,1 -,13,36,1,13, ,61 -,2 -,15,36,2,15, ,61 -,2 -,14,36,2,14, ,687 -,2 -,15,36,2,15, ,687 -,1 -,15,36,1,15, ,534 -,2 -,15,36,2,15, ,687 -,2 -,15,36,2,15, ,61 -,2 -,15,36,2,15,9

238 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad : 1 Testname: EOT1 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 24_ct_27 Test begin: 11 :3:23 Fmax Fo,4 FO, wo,4 kn kn kn mm 3,7231 1,4892,3723,186 wo,t mm,277 Belasting-rekdiagram EOT1 5, 4, z ~ 3, :E u ~ 2, ADC-3 ADC-4 gem 3-4 1,, -,5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 Meas.nr. Time[ sec] ADC- 1 -, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,267 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 Mitu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1,2 -,4,16 -,2,4,2 -,4,14 -,2,4,2 -,6,14 -,2,6,2 -,18,13 -,2,18,2 -,35,28 -,2,35, -,54,33,,54, -,76,44,,76, -,1,53,,1 -,1 -,123,61,1,123 -,1 -,148,76,1,148 -,2 -,171,82,2,171 -,3 -,197,96,3,197 -,6 -,222,15,6,222 -,1 -,245,113,1,245 -,13 -,268,122,13,268 -,16 -,292,136,16,292 -,19 -,318,141,19,318 -,21 -,342,156,21,342 -,22 -,368,161,22,368 gem,1,1,2,8,17,27,38,5,62,75,87,1,114,128,141,154,169,182,195

239 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad : 11 Testname: EOT2 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec] : Test date: 24 Oct_27 Test begin : 11 :47:1 Fmax FoA Fo,J wo,4 kn kn kn mm 4,1199 1,648,412,128 wo,j mm,31 Belasting-rekdiagram EOT2 5, 4, z "" 3 = ' 1: (J ~ 2, ADC-3 ADC-4 gem 3-4 1,, -,5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek in mm MultiplyFfactor 25 Meas.nr. Trme[sec] ADC- 1 -,687 2,96 -, ,99 -, , ,97 -,61 6 4,97 -, ,97,76 8 6,98, ,97, ,97, ,97, ,97, ,97, ,97, ,97, ,97, ,97, ,98, ,99,2518 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 Mitu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1,777,,,1,777, -,1,1,1,777 -,1 -,1 -,1 -,3,777,1,3 -,1 -,14,785,1,14 -,21 -,33,796,21,33 -,29 -,55,88,29,55 -,33 -,79,813,33,79 -,38 -,13,828,38,13 -,42 -,126,833,42,126 -,47 -,152,845,47,152 -,5 -,177,854,5,177 -,55 -,22,864,55,22 -,59 -,226,873,59,226 -,63 -,251,885,63,251 -,68 -,275,896,68,275 -,75 -,299,98,75,299 -,79 -,321,916,79,321 -,85 -,346,924,85,346 gem, -,1 -,1,2,12,27,42,56,71,84,1,114,129,143,157,172,187,2,216

240 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad: 12 Testname: FOT1 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Test date: 24_ct_27 Testbegin : 12::59 Fmax Fo.4 Fo 1 wo,4 kn kn kn mm 4,436 1,6174,444,975 WO, mm,235 Belasting-rekdiagram FOT1 5, 4, z ~ 3, :E t) ~ 2, ADC-3 ADC-4 gem 3-4 1,,.{),5,,5,1,15,2,25,3, rek inmm MultiplyFfactor 25 Meas.nr. Time[ sec] ADC- 1 -, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2289 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 Miu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1 -,2,2,265,2 -,2 -,3,,268,3, -,3,,268,3, -,3 -,1,268,3,1 -,1 -,1,268,1,1 -,33 -,1,268,33,1 -,56,,274,56, -,79 -,1,288,79,1 -,12 -,1,297,12,1 -,127 -,1,34,127,1 -,15 -,1,314,15,1 -,173 -,1,327,173,1 -,197 -,1,336,197,1 -,221 -,1,348,221,1 -,245 -,1,356,245,1 -,268 -,1,364,268,1 -,291 -,1,373,291,1 -,313 -,1,381,313,1 -,336 -,1,393,336,1 gem,,2,2,2,6,17,28,4,52,64,76,87,99,111,123,135,146,157,169

241 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad: 13 Testname: FOT2 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member. Test Machine: nterval [sec] : Test date: 24_ct_27 Testbegin : 12:12 :19 F max Fo,4 FO,l wo,4 kn kn kn mm 4,682 1,8433,468,1228 wo.1 mm,313 Belasting-rekdiagram FOT2 5, 4, z ~ 3, 1: u ~ 2, AOC-3 AOC-4 gem 3-4 1,,.{),5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 Meas.nr. Time[ sec] ADC- 1 -, ,61 3 2,3 -, , ,2 -, ,1 -,35 7 6,3,76 8 7,2, , , , , , , , , ,3, , ,1,2365 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 Mitu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1 -,3,2,792,3 -,2 -,3,2,792,3 -,2 -,4,1,792,4 -,1 -,3 -,4,792,3,4,37 -,69,793 -,37,69,72 -,13,82 -,72,13,95 -,18,816 -,95,18,111 -,223,824 -,111,223,123 -,26,833 -,123,26,131 -,294,841 -,131,294,134 -,326,856 -,134,326,138 -,354,861 -,138,354,138 -,381,876 -,138,381,137 -,45,881 -,137,45,135 -,43,896 -,135,43,131 -,45,92 -,131,45,125 -,471,912 -,125,471,119 -,49,921 -,119,49,112 -,58,932 -,112,58 gem,1,1,2,4,16,29,43,56,69,82,96,18,122,134,148,16,173,186,198

242 Wim de Groot Techn ische U n iversiteit E in dh oven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad: 14 Testname: GOT1 Test descripton: Client: Wim de Groot Lab. Member: Test Machine: nterval [sec]: Testdate: 23_ct_27 Testbegin : 16:11:51 Fmax Fo,4 FO,l W,4 kn kn kn mm 4,154 1,662,415,938 WO, mm,258 Belasting-rekdiagram GOT1 5, 4, z ~ 3,.1: <J ~ 2, AOC-3 AOC-4 gem 3-4 1,,.,5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 Meas.nr. Time[sec] ADC- 1 -, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,534 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 Mtu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1,1,,4 -,1,,1,,4 -,1,,1 -,1,4 -,1,1,1 -,1,4 -,1,1,1 -,1,4 -,1,1,2,,4 -,2,,1 -,1,4 -,1,1,1 -,1,4 -,1,1,1 -,1,4 -,1,1,2 -,1,4 -,2,1,2 -,1,4 -,2,1,2 -,1,4 -,2,1,2 -,1,4 -,2,1,2 -,1,4 -,2,1,1 -,1,4 -,1,1,2 -,1,2 -,2,1,2 -,1,2 -,2,1,3 -,1,2 -,3,1,3 -,1,2 -,3,1 gem -,1 -,1,,, -,1,,, -,1 -,1 -,1 -,1 -,1, -,1 -,1 -,1 -,1

243 Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Unidek B.V. Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Trekmodulus en trekspanning blad : 15 Testname: GOT2 Test descripton: Client: W im de Groot Lab. Member: Test Mach ine: nterval [sec] : Test date: 23_ct_27 Testbegin : 15:1:14 Fm ax Fo,4 FO,l wo,4 kn kn kn mm 3,5782 1,4313,3578,852 wo, mm,24 7 Belasting-rekdiagram GOT2 5, 4, z -" 3 = :c '..., ~ 2, AOC-3 AOC-4 gem 3-4 1,,.Q,5,,5,1,15,2,25,3,35,4,45 rek inmm MultiplyFfactor 25 Meas.nr. lime[ sec] ADC- 1 -, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1526 -,8331 -,7873 ADC-3 ADC-4 Mtu_O ADC-3*-1 ADC-4*-1,,,,,,1, -,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1, -,1 -,33,1,33 -,1 -,11,4,11 -,4 -,161,72,161 -,72 -,217,99,217 -,99 -,266,121,266 -,121 -,316,145,316 -,145 -,361,164,361 -,164 -,46,182,46 -,182 gem, -,1,,,,,,,, -,1,16,31,45,59,73,86,99,112 U11.\1.:Jmslen ;;xperimerteel 1r'ld-erc:ceK

244 F.4 Afschuivingsmodulus EPS 6 bepaald met de vierpuntsbuigproef Wim de Groot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Samenvatting testresultaten vierpuntsbuigproef blad : GFPS6<l F"""'- A 1,7838 8,3144 B 1,899 8,639 c 2,525 8,3673 o 1,8431 8,795 E 1,5845 6,873 F 2,544 6,1477 G Aantal testen 7 7 Standaardafwijking,178,9855 Fractielfactor k 2,95 2,95 gemiddelde 1,847 7,8961 max 2,544 8,795 min 1,5645 6,1477 5% breukgrens 1,4828 5,8314 berekend met 2-4% van Fma> bezweken op wrinkling stress Bijlage ~

245 WimdeGroot Technische Universiteit Eindhoven Afstudeerproject: 'vervorming van sandwichpanelen'. Unidek B.V. Berekening afschuivingsmodulus proefstuk A blad: 2 1oo 1 3 1oo l 3 h 1 "t vierpuntsbuiqproef elementbreedte overspanning diklegem bovenhuid ld, Ec;gem;1 Eb;gem;1 Elb,, kern ld2 Euc;gem;2 Eb;gem;2 Elb;2 117 mm 3 mm 14,85 mm 3, mm 3183 N/mm N/mm E+6 Nmm 2 134,85 mm 4 N/mm 2 4 N/mm E+8 Nmm 2 berekeninqen W1o% W4%?w y GA. at A tot GFP~RO 72,61 mm 68,24 mm 9,613E+1 Nmm 2 8,3144 kn,8314 kn 3,3258 kn 2,4943 kn 6,67 mm 23,4871 mm 17,421 mm 12,4331 mm 25.8 N mm N/mm 2 onderhuid 11:3 Et;gem;3 Eb;gem;3 Elb;J 3, mm 3397 N/mm N/mm E+6 Nmm 2 Testresultaat proefstuk A z.: ""' 5 ~ 4 e ""' verplaatsing n mm verplaatsing ADC-3 Uttk n st!y' ~>< enrnente91 onder.:oek