Pas op voor defectieve matrices
|
|
- Valentijn van Dijk
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Pas op voor defectieve matrices Bosch, A.J. Gepubliceerd: 01/01/1984 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted manuscript is the author s version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher s website. The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers. Link to publication Citation for published version (APA): Bosch, A. J. (1984). Pas op voor defectieve matrices. (Memorandum COSOR; Vol. 8413). Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven. General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal? Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Download date: 17. Jan. 2017
2 TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling der Wiskunde en Informatica COSOR-Memorandum Pas op voor defectieve matrices door A.J. Bosch Eindhoven, the Netherlands november 1984
3 PAS OP VOOR DEFECTIEVE MATRICES A.J. Bosch O. Inleiding Defectieve matrices zijn vierkante matrices die niet diagonaliseerbaar zijn, d.w.z. niet te schrijven als B1\.B- 1 met 1\. een diagonaalmatrix. Op mondelinge examens is mij gebleken dat veel studenten er nooit van gehoord hadden of geen voorbeeld konden geven van een defectieve matrix. Dit is vreemd, daar het een essentieel begrip is in de matrixtheorie. Ook in de literatuur wordt er niet veel aandacht aan besteed. Deze defectieve matrices geven vaak moeilijkheden. Ik citeer Bellman: " The fact that diagonalization may not be always available, greatly complicates the study of general matrices - and, in return, adds equally to their interest ". Zoals we nog in 5 zullen zien, zijn er vele stellingen die wei gelden voor diagonaliseerbare matrices, maar niet voor defectieve. Men moet steeds op z'n hoede zijn, getuige het volgende: Kortgeleden moest ik een artikel refereren (niet van een student, maar van een wiskundige). Daar kwam ik het volgende tegen: " Zij A positief semi-definiet en B symmetrisch. Stel de rang van AB is r, dus er zijn r eigenwaarden (.i.c. multipliciteit) ongelijk nul... " Helaas, dat is onjuist als AB defectief is, hetgeen best mogelijk is (zie 5.6). Vandaar dit artikel.
4 Notaties A = (a i.) is een matrix met elementen a.. = (A).., 1 ~ i. j ~ n. J 1J 1J a.. = (A).. is het element op de i e rij en je kolom. 1J 1J T T A is de getransponeerde van A d.w.z. (A )ij = a. ji T T x is een kolomvector, x de bijbehorende rijvector. Analoog a, b ed. A is de complex geconjugeerde van A d.w.z. (A)ij = a ij is de hermitisch geconjugeerde van A d.w.z. (A*)ij = 1 is een eenheidsmatrix d.w.z. (1).. = 0 voor i ~ j en (1).. = 1. 1J 11 o is een nulmatrix d.w.z. (0).. = 0 voor aile i,j 1J A is een diagonaalmatrix met op de diagonaal de eigenwaarden A1...,A n. sp A is het spoor van A = I a a.. J1 II All = /;P(A*A), is de Euclidische norm van A. r(a) is de rang van A = aantal onafhankelijke kolommen van A. N(A) is de nulruimte van A = {x E ~n I Ax = O}. R(A) is de beeldruimte van A E A = N(A-U) is de eigenruimte van eigenvectoren (i.e. de 0) van A bij de eigenwaarde A. E A (±) E is de direkte som van E en E d.w. z. E ' E zijn deelruimten A A A A A n van ~, E A n E = {O} en A 1 2
5 - 3 - A ~ F, A is gelijkvormig met F, d.w.z. er iseen reguliere matrix B zodat A = B F B- 1. Opmerking. dit niet verwarren met 2 nauwverwante begrippen: 1) A ~ F, A is equivalent met F als er reguliere matrices B l, B bestaan zodat A 2 = B F B l 2 ii) A ~ F, A is congruent met F als er een reguliere B bestaat zodat A = B F B* De 3 relaties zijn equivalentierelaties Definities In het vervolg beschouwen we aileen n x n-matrices met elementen uit a: of :R Een matrix A heet normaal unitair als A* A = A A* als A* A = A A * = I. In het vervolg met U aangeduid; U * = U -1 orthogonaal hermitisch symmetrisch als A reeel unitair is, dus als ATA = AA T = I; AT = A-I. als A * = A (met H aangeduid); antihermitisch als A * = -A. AT T als A reeel hermitisch is, dus = A; scheefsymmetrisch als A =-A. idempotent als A2 = A nilpotent als A k = 0 voor een k E :N. diagonaal als a ij = 0 voor i ~ j rechterdriehoeksmatrix als a.. = 0 voor i > j l.j met D aangeduid. en A niet diagonaal, voortaan n -T positief definiet als A hermitisch is en voor aile x ~ 0 E C : x Ax > 0. n -T positief semi-definiet als A hermitisch is en voor aile x E C : x Ax ~ 0.
6 - 4 - diagonaliseerbaar als A ~ A, d.w.z. A is gelijkvormig met een diagonaal- -1 matrix A. Er bestaat een reguliere B zodat A = B A B. defectief als A niet diagonaliseerbaar is. Tevens spelen de volgende 2 begrippen in deze theorie een belangrijke rol: de meetkundige multipliciteit van een eigenwaarde A. 3. = dim EA. -. n i ' 3. de algebraische multpliciteit van een eigenwaarde A. = m waarbij m. 3. i 3. gede- finieerd is door: m. det(a-ai) = (Ai-A) 3. g(a) met g(a ) # 0 i m.a.w. Ai is een mi-voudige wortel van de ne-graads karakteristieke vergelijking in A : det(a~ AI) = O Enkele hulpstellingen De eerste vijf bewijzen zijn niet gegeven, daar deze of reeds bekend zijn of zeer eenvoudig zijn sp(ab) = sp(ba); sp(a+b) = spa+ spb (AB)* = B*A*; (A- 1 )* = (A*)-l. sp A = LA. (som e igenw.) Als A ~ F dan is r(a) = r(f); A en F hebben dezelfdeeigenwaarden Als U 1 'U unitair, dan ook U U Is A reeel, d.w.z. a E H, en A eigenw. van A, dan ook Xeigenw. van A. ij De eigenwaarden van een positief definiete matrix H zijn positief. Bewijs: Voor x # 0 geldt dus ithx > O. Zij x eigenvector van H bij eigenw. A. Dan is ithx = AiTx > O. Daar itx > 0 is ook A > 0
7 Is A regulier, dan is A* A (eveneens AA) * positief definiet. -T * - T Bewijs: x A Ax = (Ax) (Ax) > 0 voor x ~ 0 (dus Ax ~ 0) Zij H positief definiet. Dan bestaat er een positief definiete B (ook als H" 2 aangeduid) zodat H = B2. Bewijs: H = UII. U * (zie 4.3) met A. > 0 (volgens 1.3.6) 1. H = U II.tU*UII.1u* =: B2 met B := U li.iu* weer positief definiet IIABil ~ IIA II lib II (A,B beide n x n-matrices). Bewijs: IIABI12 =.L.I(AB) 1 2 =.L. la:b.12~.l. la.1 2 Ib.12 (Cauchy-Schwarz) l.j ij l.j 1. J l.j 1. J = t l a Hierin is a. de i e rij van A, i l 2 ~ Ib j l 2 = IIA!1 2 I1BII2. van B; Ia. 2 1 = a. * a., analoog = b. * b J (Lemma van Schur): Elke n x n-matrix A is te schrijven als A rechterdriehoeksmatrix en U unitair. Bewijs: (met volledige inductie naar n). J J b. de je kolom = U D U* met D i) n = 2. Zij AX = AX, met x 1 1 * x = 1. Kies x.lx1 (d.w.z. x * x = 0) 1 en x 2 * x 2 = 1. Dan is U.- (x x ) 1 2 inderdaad unitair. U* AU * = [ :;J = [: :]-. D een rechterdriehoeksmatrix. ii) Zij nu A een (n+1) x (n+1) -matrix. Neem AX 1 Construeer U o := (x 1...x n ) met xix i U is unitair. o A *... * * = 1 en = AX met x 1 1 * x 1 = 1. x.x. * = 0 voor i ~ j 1. J d.w.z. Dan is * UOA U o = 0 B * daar xi AX 1 0
8 - 6 - Nu de inductiestap voor B (die van de orde n x n is): Er is een U 1 en een D zodat U 1 1 * B U = D. 1 1 Definieer U o o t weer unitair. Dan wordt UOA U o = U 2 A * * 0 * * * t 0 D 1 U 2 -. U 2 D U 2. (D is weer rechterdriehoeksmatrix) t oftewel I Opmerking: Daar A ~ D heeft A dezelfde eigenw. als D (zie 1.3.3) = A. voor aile i. J (Jordan normaalvorm): Elke n x n-matrix A is te schrijven als A = B D B- 1 waarbij D een bijzondere rechterdriehoeksmatrix is: D k (1. 1 ) A A 1 0 D.- Dk(A).- een k x k-matrix A 1 0 D k Or) 0 r J A r L: k = n. 1 i Evenals in is d.. = A.. J.J. J. Voor het bewijst zie literatuur o.a.: Zurmuhl: Matrizen und ihre Anwendungen t deel I. Springerverlag, Berlijn 1984.
9 Hoe kan men nagaan of een matrix defectief is? Dit kan via de stelling: Ais d.efectief d.e.s.d. als A een eigenwaarde A bezit waarvoor geldt: n. < m. oftewel: meetk. multipliciteit < alg. multipliciteit Bewijs: Stel A is diagonaliseerbaar: A = B A B- 1 oftewel AB = BA ; Ab. = A. b.. De kolommen van B zijn dus n onafhankelijke eigenvectoren, A is de matrix van eigenwaarden. Stel A heeft k verschillende eigenwaarden A 1,...,A k met alg. multipl. m1""'~ (dus I m i = n) en meetk. multipl. resp. n 1,...,n k Evident is dat EA. n EA. = {O } voor i #- j 1. J (een vector kan niet 2 verschillende eigenw. hebben). k n Dus moet E A... E I aile i. A = a: oftewel n. = n, dus m. = n. voor k Om na te gaan of een matrix A defectief is, berekent men de eigenwaarden. Zijn er eigenwaarden met alg. multipliciteit > 1, dan bepaalt men daarbij de eigenruimte en zijn dimensie. Is voor minstens een eigenwaarde A. 1. < m. 1. dan is A defectief. 3.~elke matrices zijn defectief en hoe kan men een defectieve matrix construeren? Het construeren van een diagonaliseerbare matrix A is uiteraard triviaal: A = B AB- 1 met B willekeurig regulier en A willekeurig diagonaal. Maar hoe construeren we een defectieve matrix? We geven 2 manieren:
10 Zij D een rechter (of linker) driehoeksmatrix met d.. = A voor aile i 11 en D niet diagonaal. Deze is defectief. Bewijs: Nu is A = AI. Stel D is niet defectief d.w.z. D = BA B- 1 = AI dus diagonaal. Strijdig oftewel D is defectief. Omdat wellicht zo'n driehoeksmatrix gemakkelijk te herkennen is (bijv. bij -1 examens) als defectief, kunnen we ook F D F beschouwen, die ook defectief is (zie 3.4). De eenvoudigste defectieve matrix, waaraan men alles kan demonstreren is D = [~ ~J; dim EO = 1; alg. multo van A = 0 is Stel a,b vectoren # 0 en bta = O. Dan is A = ab T defectief. Bewijs: Ax = AX geeft abtx = AX. Is btx = 0 dan is A = O. dim EO = n - 1 nl. EO = verzameling vectoren ~ b. Echter sp A= sp(ab T ) = sp(bta) = 0 (zie 1.3.1) en daar sp A=LA. = 0 1 zijn er dus n eigenw. 0, dus n i < m i oftewel A defectief. Voorbeeld: Neem at = (1,1); b T = (1,-1) dan is A = (~ - ~J defectief. EO = a(i,i); dim EO = I, doch 2 eigenw. O Er geldt: A # 0 nilpotent ~A is defectief en aile eigenwaarden zijn O. Bewijs: i) k k k Stel A # 0 nilpotent. Dus A = 0; stel Ax = AX; A X = A x = 0; A = O. Stel A niet defectief: A = B A B- 1 = BO B- 1 = 0 strijdig, dus A defectief.
11 - 9 - ii) Stel A is defectief en A = O. Volgens is A = BDB- 1 met A. = O. Daar en een ken is zodat D k = 0 (eenvoudig na te gaan), 1 k -1 = B D B = 0 oftewel A is nilpotent Is A ~ F en A is defectief, dan ook F,A T,A- 1 (mits deze bestaat), aa + SI (a ~ 0) defectief. 4. Welke matrices zijn zeker niet defectief? 4.1. Uiteraard zijn matrices met aile eigenwaarden verschillend niet defectief. Dan is nl. n i = m i = 1 voor aile i Idempotente matrices A2 = Aj Stel Ax = AXj A2 X = A 2 X = AX dus A(A-1)x = OJ A =' 0 of 1. Nu is EO' de eigenruimte bij A = 0, juist = N(A) en E 1, de eigenruimte bij A = 1, juist R(A). Dus E 1 = a: n. Dus er is een reguliere matrix B -1 bestaande uit eigenvectoren van A zodat A = B A B Normale matrices (i.h.b. unitaire, orthogonale, (anti)-hermitische, (scheef)symmetrische). Bewijs: Volgens het Lemma van Schur ( ) is A = UD U *. AA * = UDU* UD* U = UDD* U * = A* A = UD* DU* dus DD * = D* D Dus L k d 1k d 1k = d 11 d 11 oftewel d 1k = 0 voor k > 1. Eveneens. L d 2k d 2k = d 22 d 22 geeft d 2k = 0 voor k > 2. Etc., zodat d ik = 0 voor k > i. Er gold reeds d ik = 0 voor k < i dus D = A (diagonaal) en A = UAU. *
12 Opmerking: Normale matrices zijn dus zelfs unitair diagonaliseerbaar (A ~ A en A ~ A). Het zijn ook de enige. Gevolg: Is A hermitisch (dus ook normaal), dan geldt: A = UA U * = A * = UA* U* dus A = A * = X oftewel A is reeel. Is A symmetrisch (reeel hermitisch) dan is A = B AB T met A reeel diagonaal en B orthogonaal. T Is A ~ F en F is diagonaliseerbaar, dan is ook F,A,A (mits bestaand), eta + SI diagonaliseerbaar. 5. Enkele stellingen die gelden voor diagonaliseerbare matrices, doch niet voor defectieve. We onderstellen in deze paragraaf steeds dat A diagonaliseerbaar is; D :: (~ ~] is defectief A2 = 0 ~ A : O. Bewijs: A: BAB- 1 ; A 2 = BA 2 B- 1 = 0 dus A 2 = 0; A = 0 dus A = O. TegenvoorbeeZd: D 2 = 0 doch D ~ O. k 5.2. rca ) = rca) = rca) = aantal eigenw. (i.e. multipl.) ~ 0 voor ken. k k -1 k k Bewijs: A : B A B dus rca ) = rca ) (zie 1.3.3) = rca) = r(a). TegenvoorbeeZd: r(d 2 ) = 0 doch red) = 1.
13 A heeft aile eigenw. 0 of 1 + A is idempotent. Bewijs: dus 1\2 = 1\; A 2 = B1\2 B-1 = BI\B- 1 = A. TegenvoorbeeZd: D heeft aile eigenw. 0, toch is D2 # D, dus D is niet idempotent A heeft 1\ = 0 ~ A = O. Bewijs: 1\ -1 =O;A=BI\B =0. TegenvoorbeeZd: Voor D geldt ook 1\ = 0, doch D # O Als er een k E :N bestaat met A k dan is A idempotent. Bewijs: A k = B I\k B- 1 = A k + 1 = B I\k+1 B- 1 dus I\k = I\k+1 oftewel 1\ = 1\2. A 2 = B 1\2 B- 1 = B 1\ B- 1 = A. TegenvoorbeeZd: D2 = D3 = 0 echter D2 # D, dus D is niet idempotent A ~ 1\ en 1\ reeel ~ A = H 1 H 2 waarbij HI of H 2 positief definiet is. Bewijs: i) Stel A = en H := 2-1 * * -1-1 * B 1\ B = BB (B) I\B =: HIH 2 met HI : = BB * -1-1 * (B) I\B hermitisch, daar 1\ = 1\. ii) Stel HI positief definiet, dus HI = BB (zie 1.3.8). positief definiet H I H 2 = BBH 2 BB- 1 = B(BH 2 B)B- 1. Nu is BH 2 B hermitisch dus met (4.3) = U 1\ U *, 1\ reeel. * -1-1 Oftewel H H = B UI\ U B.- F 1\ F oftewel A ~ 1\ (1\ reeel) 1 2 Opmerking: Stel A = H 1 H 2 waarbij HI slechts positief semi-definiet is, dan kan A defectief zijn. Voorbeeld: (~~] (~ ~) = (~ ~) is defectief.
14 c E R, Vk E N Bewijs: i) -1 k k-l Stel A = B A B dus A = B A B ; geeft II A k II = IIB- 1 A k BII ~ lib-iii c IIBII = ~ voor aue k I kl2 dus f \ ~ C 2 oftewel IAi I ~ 1 voor aue i. ii) Dus IA.I ~ 1 voor aue i oftewel IIA k ll ~ ~ als A 1 nxn IIA k li = lib A k B ~ IIBIlIIA k IlIlB ~ In IIBIIIIB = c. TegenvooY'bee Ld: Neem D = (~ ~) dan is Al = A 2 = 1.. k k [1 k) k 2 Toch 1S lid II onbegrensd nl. D = Olen lid II = 2 + k 2
Published in: Onderwijs Research Dagen 2013 (ORD2013), mei 2013, Brussel, Belgie
Samenwerkend leren van leerkrachten : leeropbrengsten gerelateerd aan activiteiten en foci van samenwerking Doppenberg, J.J.; den Brok, P.J.; Bakx, A.W.E.A. Published in: Onderwijs Research Dagen 2013
Nadere informatieWelke factoren beïnvloeden het gezamenlijk leren door leraren? Een systematische literatuurreview Thurlings, M.C.G.; den Brok, P.J.
Welke factoren beïnvloeden het gezamenlijk leren door leraren? Een systematische literatuurreview Thurlings, M.C.G.; den Brok, P.J. Published in: Onderwijs Research Dagen(ORD), 11-12 Juni 2014, Groningen,
Nadere informatieTilburg University. Technieken van kwalitatief onderzoek 1 Verhallen, T.M.M.; Vogel, H. Published in: Tijdschrift voor Marketing
Tilburg University Technieken van kwalitatief onderzoek 1 Verhallen, T.M.M.; Vogel, H. Published in: Tijdschrift voor Marketing Publication date: 1982 Link to publication Citation for published version
Nadere informatieMarkt- en marketingonderzoek aan Nederlandse universiteiten Verhallen, T.M.M.; Kasper, J.D.P.
Tilburg University Markt- en marketingonderzoek aan Nederlandse universiteiten Verhallen, T.M.M.; Kasper, J.D.P. Published in: Tijdschrift voor Marketing Publication date: 1987 Link to publication Citation
Nadere informatieTilburg University. Energiebesparing door gedragsverandering van Raaij, Fred; Verhallen, T.M.M. Published in: Psychologie. Publication date: 1982
Tilburg University Energiebesparing door gedragsverandering van Raaij, Fred; Verhallen, T.M.M. Published in: Psychologie Publication date: 1982 Link to publication Citation for published version (APA):
Nadere informatieTilburg University. Dienstenkeurmerken misbruikt Roest, Henk; Verhallen, T.M.M. Published in: Tijdschrift voor Marketing. Publication date: 1999
Tilburg University Dienstenkeurmerken misbruikt Roest, Henk; Verhallen, T.M.M. Published in: Tijdschrift voor Marketing Publication date: 1999 Link to publication Citation for published version (APA):
Nadere informatieTilburg University. Hoe psychologisch is marktonderzoek? Verhallen, T.M.M.; Poiesz, Theo. Published in: De Psycholoog. Publication date: 1988
Tilburg University Hoe psychologisch is marktonderzoek? Verhallen, T.M.M.; Poiesz, Theo Published in: De Psycholoog Publication date: 1988 Link to publication Citation for published version (APA): Verhallen,
Nadere informatieHet opschorten van de handel op de Amsterdamse Effectenbeurs Kabir, M.R.
Tilburg University Het opschorten van de handel op de Amsterdamse Effectenbeurs Kabir, M.R. Published in: Bedrijfskunde: Tijdschrift voor Modern Management Publication date: 1991 Link to publication Citation
Nadere informatieTilburg University. Huishoudelijk gedrag en stookgasverbruik van Raaij, Fred; Verhallen, T.M.M. Published in: Economisch Statistische Berichten
Tilburg University Huishoudelijk gedrag en stookgasverbruik van Raaij, Fred; Verhallen, T.M.M. Published in: Economisch Statistische Berichten Publication date: 1980 Link to publication Citation for published
Nadere informatieBegrip image kent in wetenschap allerlei uiteenlopende definities Verhallen, T.M.M.
Tilburg University Begrip image kent in wetenschap allerlei uiteenlopende definities Verhallen, T.M.M. Published in: Adformatie Publication date: 1988 Link to publication Citation for published version
Nadere informatieProcrustes analyse (1) Steenkamp, J.E.B.M.; van Trijp, J.C.M.; Verhallen, T.M.M.
Tilburg University Procrustes analyse (1) Steenkamp, J.E.B.M.; van Trijp, J.C.M.; Verhallen, T.M.M. Published in: Tijdschrift voor Marketing Publication date: 1989 Link to publication Citation for published
Nadere informatieTilburg University. Canonische analyse in markt- en marketingonderzoek Kuylen, A.A. A.; Verhallen, T.M.M. Published in: Tijdschrift voor Marketing
Tilburg University Canonische analyse in markt- en marketingonderzoek Kuylen, A.A. A.; Verhallen, T.M.M. Published in: Tijdschrift voor Marketing Publication date: 1980 Link to publication Citation for
Nadere informatieTilburg University. Huisvuilscheidingsproeven in Nederland Pieters, Rik; Verhallen, T.M.M. Published in: Beswa-Revue. Publication date: 1985
Tilburg University Huisvuilscheidingsproeven in Nederland Pieters, Rik; Verhallen, T.M.M. Published in: Beswa-Revue Publication date: 1985 Link to publication Citation for published version (APA): Pieters,
Nadere informatieTilburg University Het voorkomen van merkverwarring General rights Take down policy
Tilburg University Het voorkomen van merkverwarring Hacker, T.W.F.; Verhallen, T.M.M. Published in: Tijdschrift voor Marketing Publication date: 1988 Link to publication Citation for published version
Nadere informatieTilburg University. Technieken van kwalitatief onderzoek 2 Verhallen, T.M.M.; Vogel, H.P. Published in: Tijdschrift voor Marketing
Tilburg University Technieken van kwalitatief onderzoek 2 Verhallen, T.M.M.; Vogel, H.P. Published in: Tijdschrift voor Marketing Publication date: 1983 Link to publication Citation for published version
Nadere informatieDe invloed van preferente beschermingsaandelen op aandelenkoersen Cantrijn, A.L.R.; Kabir, M.R.
Tilburg University De invloed van preferente beschermingsaandelen op aandelenkoersen Cantrijn, A.L.R.; Kabir, M.R. Published in: Maandblad voor Accountancy en Bedrijfseconomie Publication date: 1992 Link
Nadere informatieOver de restspanningen die optreden na het koud richten van een zwak gekromde as Esmeijer, W.L.
Over de restspanningen die optreden na het koud richten van een zwak gekromde as Esmeijer, W.L. Gepubliceerd: 01/01/1966 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the
Nadere informatieTilburg University. Economische psychologie Verhallen, T.M.M. Published in: De Psycholoog. Publication date: 1977. Link to publication
Tilburg University Economische psychologie Verhallen, T.M.M. Published in: De Psycholoog Publication date: 1977 Link to publication Citation for published version (APA): Verhallen, T. M. M. (1977). Economische
Nadere informatieTilburg University. Deelname aan huisvuilscheidingproeven Pieters, Rik; Verhallen, T.M.M. Published in: Toegepaste sociale psychologie 1
Tilburg University Deelname aan huisvuilscheidingproeven Pieters, Rik; Verhallen, T.M.M. Published in: Toegepaste sociale psychologie 1 Publication date: 1985 Link to publication Citation for published
Nadere informatieEen klaverbladknoop in de vorm van een ruimtelijke negenhoek met rechte hoeken en diëdrische symmetrie
Een klaverbladknoop in de vorm van een ruimtelijke negenhoek met rechte hoeken en diëdrische symmetrie Citation for published version (APA): Bruijn, de, N. G. (1974). Een klaverbladknoop in de vorm van
Nadere informatieTilburg University. Domein-specifieke marktsegmentatie van Raaij, Fred; Verhallen, T.M.M. Published in: Handboek marketing, 3e ed.
Tilburg University Domein-specifieke marktsegmentatie van Raaij, Fred; Verhallen, T.M.M. Published in: Handboek marketing, 3e ed. Publication date: 1990 Link to publication Citation for published version
Nadere informatieVerbeteringsvoorstel ten aanzien van de akoestiek van de zaal in het gemeenschapshuis " De Klosterhof" te Arcen Deelen, van, Eric
Verbeteringsvoorstel ten aanzien van de akoestiek van de zaal in het gemeenschapshuis " De Klosterhof" te Arcen Deelen, van, Eric Gepubliceerd: 01/01/1992 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als
Nadere informatieWij zijn de toekomst : Jos Lichtenberg over Eco-Cities
Wij zijn de toekomst : Jos Lichtenberg over Eco-Cities Lichtenberg, J.J.N. Published in: Eco-Cities Gepubliceerd: 01/01/2012 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check
Nadere informatieDe spaarder Alessie, R.J.M.; Camphuis, H.; Kapteyn, A.; Klijn, F.; Verhallen, T.M.M.
Tilburg University De spaarder Alessie, R.J.M.; Camphuis, H.; Kapteyn, A.; Klijn, F.; Verhallen, T.M.M. Published in: Financiele advisering aan de consument Publication date: 1993 Link to publication Citation
Nadere informatieBedieningsvoorschrift en schema video recording
Bedieningsvoorschrift en schema video recording Groot, de, M.Th. Gepubliceerd: 01/01/1966 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:
Nadere informatieDe wet van de grote(re) getallen Jacobs, Daan; van Zuydam, Sabine; van Ostaaijen, Julien; de Brouwer, Leon
Tilburg University De wet van de grote(re) getallen Jacobs, Daan; van Zuydam, Sabine; van Ostaaijen, Julien; de Brouwer, Leon Document version: Publisher's PDF, also known as Version of record Publication
Nadere informatieOnderzoek rapport Lenting & Partners
Onderzoek rapport Lenting & Partners Wijnen, J.T.M. Gepubliceerd: 01/01/1995 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted
Nadere informatieEen toepassing van de elementgenerator volgens rapport PRGL-SYST R71-2, 71-1 Schoofs, A.J.G.
Een toepassing van de elementgenerator volgens rapport PRGL-SYST R71-2, 71-1 Schoofs, A.J.G. Gepubliceerd: 01/01/1971 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document
Nadere informatie"Draaiboek" onderwijssysteem "Analyse van werktuigkundige constructies"
"Draaiboek" onderwijssysteem "Analyse van werktuigkundige constructies" Citation for published version (APA): Janssen, J. D. (1969). "Draaiboek" onderwijssysteem "Analyse van werktuigkundige constructies".
Nadere informatieBepaling van de sterkte en de stijfheid van werktuigkundige constructies met behulp van de methode der eindige elementen
Bepaling van de sterkte en de stijfheid van werktuigkundige constructies met behulp van de methode der eindige elementen Janssen, J.D.; Schoofs, A.J.G. Gepubliceerd: 01/01/1971 Document Version Uitgevers
Nadere informatieTilburg University. Publication date: 2005. Link to publication
Tilburg University Naar een Optimaal Design voor Investeringssubsidies in Milieuvriendelijke Technieken Aalbers, R.F.T.; van der Heijden, Eline; van Lomwel, A.G.C.; Nelissen, J.H.M.; Potters, n; van Soest,
Nadere informatieTilburg University. Chapters 1-7 Bouckaert, L.; Sels, A.T.H.
Tilburg University Chapters 1-7 Bouckaert, L.; Sels, A.T.H. Published in: Waarden-in-Spanning. Conflicterende Keuzen bij Zelfstandige Ondernemers, Land en- Tuinbouwers Publication date: 2001 Link to publication
Nadere informatieGepubliceerd: 01/01/1997. Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record. Link to publication
Redevoering gehouden ter gelegenheid van de opening van het academisch jaar 1997/1998 aan de TU Eindhoven en de start van de opleiding biomedische technologie Rem, M. Published in: Redevoeringen gehouden
Nadere informatieDe exergetische gebouwschil
Citation for published version (APA): Ritzen, M. J., Geurts, C. P. W., & Vroon, Z. A. E. P. (2011).. conference; Scientific Committee Presentation Dutch Organisation for Scientific Research; 2011-10-24;
Nadere informatieHet schatten van marktpenetratie en marktaandeel
Het schatten van marktpenetratie en marktaandeel Wijnen, J.T.M. Gepubliceerd: 01/01/1994 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:
Nadere informatieBepaling van de sterkte en de stijfheid van werktuigkundige constructies met behulp van de methode der eindige elementen
Bepaling van de sterkte en de stijfheid van werktuigkundige constructies met behulp van de methode der eindige elementen Citation for published version (APA): Janssen, J. D., & Schoofs, A. J. G. (1971).
Nadere informatieTilburg University. Publication date: Link to publication
Tilburg University Beëindigen en wijzigen van overeenkomsten. Een horizontale vergelijking. Monografie nieuw BW A10 (2e uitgebr. druk) Hammerstein, A.; Vranken, J.B.M. Publication date: 2003 Link to publication
Nadere informatieTilburg University. Succesmaatstaven voor beursondernemingen Kabir, M.R.; Douma, S.W. Published in: Maandblad voor Accountancy en Bedrijfseconomie
Tilburg University Succesmaatstaven voor beursondernemingen Kabir, M.R.; Douma, S.W. Published in: Maandblad voor Accountancy en Bedrijfseconomie Publication date: 1996 Link to publication Citation for
Nadere informatieAfwaterings- en bevriezingsproblemen te Best
Afwaterings- en bevriezingsproblemen te Best Technische Hogeschool Eindhoven (THE). Bouwkundewinkel Gepubliceerd: 01/01/1985 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check
Nadere informatieTilburg University. Psychologisch marktonderzoek Verhallen, T.M.M. Publication date: 1988. Link to publication
Tilburg University Psychologisch marktonderzoek Verhallen, T.M.M. Publication date: 1988 Link to publication Citation for published version (APA): Verhallen, T. M. M. (1988). Psychologisch marktonderzoek.
Nadere informatieOver een balanceringsprobleem bij een 2-cilinder compressor in V-uitvoering Esmeijer, W.L.
Over een balanceringsprobleem bij een 2-cilinder compressor in V-uitvoering Esmeijer, W.L. Gepubliceerd: 01/01/1965 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document
Nadere informatieHergebruik moet vanzelfsprekend worden
Hergebruik moet vanzelfsprekend worden Moonen, S.P.G. Published in: 360, het kan wel! Gepubliceerd: 01/01/2013 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document
Nadere informatieSekseverschillen op de werkvloer
Sekseverschillen op de werkvloer Verkerk, M.J. Published in: RMU-NU : ledenmagazine van de Reformatorisch Maatschappelijke Unie Gepubliceerd: 01/01/2014 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version
Nadere informatieTilburg University. De portefeuillekeuze van Nederlandse huishoudens Das, J.W.M.; van Soest, Arthur
Tilburg University De portefeuillekeuze van Nederlandse huishoudens Das, J.W.M.; van Soest, Arthur Published in: De Rol van het Vermogen in de Economie. Preadviezen van de KVS Publication date: Link to
Nadere informatieThermische comfortonderzoek nabij de balie in Flux Technische Universiteit Eindhoven van Aarle, M.A.P.; Diepens, J.F.L.
Thermische comfortonderzoek nabij de balie in Flux Technische Universiteit Eindhoven van Aarle, M.A.P.; Diepens, J.F.L. Gepubliceerd: 17/04/2015 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of
Nadere informatieBepaling van de ISA uit de gegeven snelheden in drie, niet op één rechte gelegen, gegeven punten
Bepaling an de ISA uit de gegeen snelheden in drie, niet op één rechte gelegen, gegeen punten Citation for published ersion (APA): Meiden, an der, W. (1978). Bepaling an de ISA uit de gegeen snelheden
Nadere informatieThermografisch onderzoek aan de gebouwschil van de panden aan de Insulindelaan nr. 111 en nr. 113 te Eindhoven van Aarle, M.A.P.
Thermografisch onderzoek aan de gebouwschil van de panden aan de Insulindelaan nr. 111 en nr. 113 te Eindhoven van Aarle, M.A.P. Gepubliceerd: 01/01/2013 Document Version Het geaccepteerde manuscript inclusief
Nadere informatieOnder druk : Multidisciplinaire richtlijn Werkdruk
Onder druk : Multidisciplinaire richtlijn Werkdruk Oerlemans, W.G.M.; Bakker, A.B.; Vuuren, van, C.V.; Veldhoven, van, M.J.C.M.; Bekkum, van, P.W.J.; Lith, van, P.M.P.; Siegert, H.S.; Tweehuysen, H.; Velde,
Nadere informatieErvaringen met ICTonderzoek in HBO
Ervaringen met ICTonderzoek in HBO van Leeuwen, H.; Teeuw, W.; Tangelder, R.; Griffioen, R.; Krose, B.; Schouten, B.A.M. Published in: Proceedings Nederlands Informatica Congres, 7-8 April 2011, Heerlen,
Nadere informatieVoorziening voor de integratie van zonwering
Voorziening voor de integratie van zonwering Lichtenberg, J.J.N.; Timmermans, A.W.C.; Willems, M.H.P.M. Gepubliceerd: 07/01/2003 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please
Nadere informatieEnige vraagvormen die worden gebruikt om kennis en vaardigheid van een student te onderzoeken, toegelicht aan voorbeelden
Enige vraagvormen die worden gebruikt om kennis en vaardigheid van een student te onderzoeken, toegelicht aan voorbeelden Citation for published version (APA): Esmeijer, W. L. (1970). Enige vraagvormen
Nadere informatieFlexibel bouwen : technisch én commercieel interessant
Flexibel bouwen : technisch én commercieel interessant Gijsbers, R. Published in: InstallateursZaken Gepubliceerd: 01/01/2013 Document Version Het geaccepteerde manuscript inclusief aanpassingen uit het
Nadere informatieDe concurrerende universiteit
De concurrerende universiteit de Wilt, H.G.J. Gepubliceerd: 01/01/1997 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted
Nadere informatieVoorlichting aan aankomende studenten
Voorlichting aan aankomende studenten Braak, L.H. Gepubliceerd: 01/01/1984 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted
Nadere informatieDefinitie en berekening van determinanten met behulp van grafen Cvetkovic, D.M.
Definitie en berekening van determinanten met behulp van grafen Cvetkovic, D.M. Gepubliceerd: 01/01/1976 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version
Nadere informatieVerslag van de resultaten op de retentietoets "massa-veer systemen" vd Elst, J.H.A.M.
Verslag van de resultaten op de retentietoets "massa-veer systemen" vd Elst, J.H.A.M. Gepubliceerd: 01/01/1985 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document
Nadere informatieKoerseffecten van aandelenemissies aan de Amsterdamse Effectenbeurs Arts, P.; Kabir, M.R.
Tilburg University Koerseffecten van aandelenemissies aan de Amsterdamse Effectenbeurs Arts, P.; Kabir, M.R. Published in: Financiering en belegging Publication date: 1993 Link to publication Citation
Nadere informatieOplossing van een vraagstuk van G.R. Veldkamp
Oplossing van een vraagstuk van G.R. Veldkamp Citation for published version (APA): Meiden, van der, W. (1975). Oplossing van een vraagstuk van G.R. Veldkamp. (Eindhoven University of Technology : Dept
Nadere informatieBerekening van dimensieloze getallen ten behoeve van het electro-erosief onderzoek Kerstens, C.
Berekening van dimensieloze getallen ten behoeve van het electro-erosief onderzoek Kerstens, C. Gepubliceerd: 01/01/1965 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the
Nadere informatieVervormingsmetingen Z-profiel
Vervormingsmetingen Z-profiel Kortman, J.C. Gepubliceerd: 01/01/1964 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted
Nadere informatieTilburg University. Omgaan met verschillen Kroon, Sjaak; Vallen, A.L.M.; Van den Branden, K. Published in: Omgaan met verschillen
Tilburg University Kroon, Sjaak; Vallen, A.L.M.; Van den Branden, K. Published in: Publication date: 2002 Link to publication Citation for published version (APA): Kroon, S., Vallen, T., & Van den Branden,
Nadere informatieTilburg University. De Wet Gelijke Behandeling E-handtekeningen Koops, Bert Jaap. Published in: Informatie : Maandblad voor de Informatievoorziening
Tilburg University De Wet Gelijke Behandeling E-handtekeningen Koops, Bert Jaap Published in: Informatie : Maandblad voor de Informatievoorziening Publication date: 2000 Link to publication Citation for
Nadere informatieBerekening omvang extreme armoede in Nederland
Berekening omvang extreme armoede in Nederland 1820-1913 Citation for published version (APA): Lintsen, H. W., Anthonissen, M. J. H., & Gales, B. (2017). Berekening omvang extreme armoede in Nederland
Nadere informatieBeknopte handleiding voor het oplossen van een stelsel vergelijkingen Ax=b op het B 7700 systeem
Beknopte handleiding voor het oplossen van een stelsel vergelijkingen Ax=b op het B 7700 systeem Citation for published version (APA): Doomen, F. H. A. M. (1980). Beknopte handleiding voor het oplossen
Nadere informatieRapportage m.b.t. analyses van een klepzitting
Rapportage m.b.t. analyses van een klepzitting Citation for published version (APA): Schoofs, A. J. G. (1980). Rapportage m.b.t. analyses van een klepzitting. (DCT rapporten; Vol. 1980.009). Eindhoven:
Nadere informatieMr. C. Asser's handleiding tot de beoefening van het Nederlands burgerlijk recht, Algemeen deel [2] Asser, C.; Vranken, J.B.M.
Tilburg University Mr. C. Asser's handleiding tot de beoefening van het Nederlands burgerlijk recht, Algemeen deel [2] Asser, C.; Vranken, J.B.M. Publication date: 1995 Link to publication Citation for
Nadere informatieThermografisch onderzoek aan de gebouwschil van de woning aan de Thorbeckelaan nr. 24 te Eindhoven van Aarle, M.A.P.
Thermografisch onderzoek aan de gebouwschil van de woning aan de Thorbeckelaan nr. 24 te Eindhoven van Aarle, M.A.P. Gepubliceerd: 01/01/2013 Document Version Het geaccepteerde manuscript inclusief aanpassingen
Nadere informatieTilburg University. Wat in het vak zit verzuurt niet Oei, T.I. Published in: Mededelingenblad van de Nederlandse Vereniging voor Psychoanalyse
Tilburg University Wat in het vak zit verzuurt niet Oei, T.I. Published in: Mededelingenblad van de Nederlandse Vereniging voor Psychoanalyse Document version: Peer reviewed version Publication date: 2013
Nadere informatieEnquête werkbeleving ABAB
Enquête werkbeleving ABAB Wijnen, J.T.M. Gepubliceerd: 01/01/1995 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted manuscript
Nadere informatieHoe schadevergoeding kan leiden tot gevoelens van erkenning en gerechtigheid Mulder, J.D.W.E.
Tilburg University Hoe schadevergoeding kan leiden tot gevoelens van erkenning en gerechtigheid Mulder, J.D.W.E. Published in: Nederlands Juristenblad Document version: Publisher final version (usually
Nadere informatieVan 'gastarbeider' tot 'Nederlander' Prins, Karin Simone
Van 'gastarbeider' tot 'Nederlander' Prins, Karin Simone IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version
Nadere informatieHet binnen planning en budget realiseren van werkzaamheden in een buitendienststelling bij zowel spoor- als wegverkeer door de projectorganisatie
Eindhoven University of Technology MASTER Het binnen planning en budget realiseren van werkzaamheden in een buitendienststelling bij zowel spoor- als wegverkeer door de projectorganisatie Braspenning,
Nadere informatieVerslag van de onderzoeksopdracht voor het schrijven van een handleiding voor de assemblies-module van Unigraphics 10.2 Brouwer, de, Erwin A.M.
Verslag van de onderzoeksopdracht voor het schrijven van een handleiding voor de assemblies-module van Unigraphics 10.2 Brouwer, de, Erwin A.M. Gepubliceerd: 01/01/1995 Document Version Uitgevers PDF,
Nadere informatieGeometrie femur. Brekelmans, W.A.M.; Rens, van, P.P.T.G. Gepubliceerd: 01/01/1970. Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Geometrie femur Brekelmans, W.A.M.; Rens, van, P.P.T.G. Gepubliceerd: 01/01/1970 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:
Nadere informatieEindhoven University of Technology MASTER
Eindhoven University of Technology MASTER Zelfmonterend vliesgevelsysteem een zelfmonterend en zelfdemonterend vliesgevelsysteem, waarbij de aandrijftechniek tijdens zijn levenscyclus gebruikt wordt voor
Nadere informatieTilburg University. Boekbespreking R.J. van der Weijden van Dijck, G. Published in: Tijdschrift voor Insolventierecht
Tilburg University Boekbespreking R.J. van der Weijden van Dijck, G. Published in: Tijdschrift voor Insolventierecht Document version: Peer reviewed version Publication date: 2014 Link to publication Citation
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieKarakteristieken van een botgroeistimulator : meetrapport
Karakteristieken van een botgroeistimulator : meetrapport Citation for published version (APA): Verhoeks, J. J. T. C. (1984). Karakteristieken van een botgroeistimulator : meetrapport. Eindhoven: Technische
Nadere informatieKlimaatbeheersing in kerkgebouwen
Klimaatbeheersing in kerkgebouwen Schellen, H.L. Gepubliceerd: 01/01/2008 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted
Nadere informatieBankzitters : hoe krijg je ze online?
Bankzitters : hoe krijg je ze online? Schepers, J.J.L. Published in: Marktvisie: Tijdschrift voor de Marketeer Gepubliceerd: 01/01/2006 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Nadere informatieTilburg University. Internationaal marketingonderwijs Verhallen, T.M.M.; de Freytas, W.H.J. Published in: Tijdschrift voor Marketing
Tilburg University Verhallen, T.M.M.; de Freytas, W.H.J. Published in: Tijdschrift voor Marketing Publication date: 1992 Link to publication Citation for published version (APA): Verhallen, T. M. M., &
Nadere informatieEindhoven University of Technology MASTER. Een brug dichtbij de ontwikkeling van een micronetwerk. Ploegmakers, R.F.C.
Eindhoven University of Technology MASTER de ontwikkeling van een micronetwerk Ploegmakers, R.F.C. Award date: 2009 Disclaimer This document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored
Nadere informatieProductontwikkeling en comfortverbetering van naoorlogse woningbouw haalbaarheidsonderzoek naar de toepassing van polymeren op vloeren
Eindhoven University of Technology MASTER Productontwikkeling en comfortverbetering van naoorlogse woningbouw haalbaarheidsonderzoek naar de toepassing van polymeren op vloeren van Rede, P. Award date:
Nadere informatieVerkennend onderzoek inzake specificatie van elektromagnetische stimuli Scharten, T.
Verkennend onderzoek inzake specificatie van elektromagnetische stimuli Scharten, T. Gepubliceerd: 01/01/1988 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document
Nadere informatieOnderzoek naar de mogelijkheden voor een ambulante kapster Brentjens, Cecile
Onderzoek naar de mogelijkheden voor een ambulante kapster Brentjens, Cecile Gepubliceerd: 01/01/1991 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version
Nadere informatieBepaling van de snijsnelheidsexponenten p en q
Bepaling van de snijsnelheidsexponenten p en q Touwen, N.A.L. Gepubliceerd: 01/01/1961 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:
Nadere informatieMatrijsberekening. Braak, L.H. Gepubliceerd: 01/01/1979. Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record. Link to publication
Matrijsberekening Braak, L.H. Gepubliceerd: 01/01/1979 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted manuscript is
Nadere informatieTilburg University. De Trusted Third Party bestaat niet Koops, Bert Jaap. Published in: Informatie : Maandblad voor de Informatievoorziening
Tilburg University De Trusted Third Party bestaat niet Koops, Bert Jaap Published in: Informatie : Maandblad voor de Informatievoorziening Publication date: 1999 Link to publication Citation for published
Nadere informatieHet bepalen van een krommingsprofiel van een ketel
Het bepalen van een krommingsprofiel van een ketel ter Morsche, H.G. Gepubliceerd: 01/01/1993 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this
Nadere informatieUniversity of Groningen. Linear conic programming: genericity and stability Jargalsaikhan, Bolor
University of Groningen Linear conic programming: genericity and stability Jargalsaikhan, Bolor IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite
Nadere informatieWiskunde en operations research
Wiskunde en operations research Schandpaal, T.; Stier, de, B. Gepubliceerd: 01/01/1983 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:
Nadere informatieOnderzoekgebieden in de vakgroep produktietechnologie : informatief overzicht ten behoeve van de keuze van een afstudeerthema
Onderzoekgebieden in de vakgroep produktietechnologie : informatief overzicht ten behoeve van de keuze van een afstudeerthema Citation for published version (APA): Veenstra, P. C. (1980). Onderzoekgebieden
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieBouwen op een gemeenschappelijk verleden aan een succesvolle toekomst Welling, Derk Theodoor
University of Groningen Bouwen op een gemeenschappelijk verleden aan een succesvolle toekomst Welling, Derk Theodoor IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF)
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieOverzicht van de te hanteren begrippen
Overzicht van de te hanteren begrippen Kragt, H. Gepubliceerd: 01/01/1976 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted
Nadere informatieUniversity of Groningen. De afkoelingsperiode in faillissement Aa, Maria Josepha van der
University of Groningen De afkoelingsperiode in faillissement Aa, Maria Josepha van der IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it.
Nadere informatieSpeel niet met je krachten: over focussering in de transport & distributie sector Post, G.J.J.; Breekveldt, J.G.; Henstra, D.A.
Speel niet met je krachten: over focussering in de transport & distributie sector Post, G.J.J.; Breekveldt, J.G.; Henstra, D.A. Published in: Symposiumbundel "Logistiek Brabant op weg naar de top!", 18
Nadere informatieVerandering van de eigenwaarden van lineair dynamische systemen door viskeuze demping de Kraker, A.
Veranderng van de egenwaarden van lnear dynamsche systemen door vskeuze dempng de Kraker, A. Gepublceerd: 01/01/1983 Document Verson Utgevers PDF, ook bekend als Verson of Record Please check the document
Nadere informatie