Het prijzen van arbeidsongeschiktheidsverzekeringen.

Transcriptie

1 Het prijzen van arbeidsongeschiktheidsverzekeringen. 14 juni 2011 Dr. K. Antonio Bachelorscriptie Actuariële Wetenschappen Vera Makhan

2 Inhoudsopgave 1. Inleiding De context van arbeidsongeschiktheidsverzekeringen Arbeidsongeschiktheidsverzekeringen voor zelfstandigen Premie Studies naar AOV Multiple state-modellen en AOV Tariferen en reserveren bij multiple state modellen Multiple state modellen: notaties en aannames Multiple state modellen: tarifering Multiple state modellen: reservering Voorbeeld tarifering en reservering van een multiple state model Tarifering en reservering van een AOV Conclusie Bibliografie Appendix A Appendix A.1. Formularium AOV A.2. Het multiple state model voor het AOV Appendix B B.1. Afleiding van Formule B.2. Afleiding van Formules 10 en

3 1. Inleiding In augustus 2004 is de Wet Arbeidsongeschiktheid Zelfstandigen (WAZ) afgeschaft (Uitvoeringsinstituut Werknemersverzekeringen, 2011). Deze wet was een verplichte arbeidsongeschiktheidsverzekering (hierna AOV genoemd) voor zelfstandigen, zoals ondernemers. Door deze verandering in de wetgeving heeft de zelfstandige de keus gekregen of hij/zij zich verzekert tegen het inkomensverlies als gevolg van arbeidsongeschikt worden. Voorheen werd deze verzekering door de overheid verzorgd, maar na de afschaffing van de WAZ kan een zelfstandige een particuliere AOV afsluiten bij een verzekeringsmaatschappij. De afschaffing kwam er op verzoek van onder andere de brancheorganisatie voor het midden- en kleinbedrijf. Uit hun onderzoek naar de WAZ bleek onder meer dat bij de privatisering van de WAZ, zelfstandigen zich goedkoper zouden kunnen verzekeren aan de hand van een AOV product aangeboden door een private verzekeraar (Ministerie van Sociale Zaken en Werkgelegenheid, 2003). Interessant is om te onderzoeken hoe deze AOV-producten geprijsd worden. Er zijn verschillende modellen die een verzekeraar kan gebruiken om zijn AOV te prijzen. Een heel algemeen kader wordt beschreven door Dickson et al. (2009). Zij beschrijven de theorie rond multiple state models en hoe die gebruikt kunnen worden om premies en voorzieningen te berekenen voor allerhande verzekeringsproducten, waaronder AOV. Voor AOV bekijken we op die manier een model met drie toestanden: ziek, gezond en dood. Een individu kan invalideren van een gezonde toestand naar een zieke toestand en revalideren van een zieke toestand naar een gezonde toestand. Van zowel de gezonde toestand als de zieke toestand kan een individu ook komen te overlijden. De overgangsintensiteiten die hiermee gepaard gaan, moeten geschat worden op basis van beschikbare data. Terwijl Dickson et al. (2009) een continu model beschrijven aan de hand van overgangsintensiteiten, gebruikt het Nederlandse standaard model voor AOV (het KAZO model, zie paragraaf ) een discrete versie van dit algemene kader. In dit discrete model worden transities gemodelleerd aan de hand van overgangskansen. In Nederland is onderzoek gedaan naar deze overgangskansen door het Verbond van Verzekeraars (VvV). In 1

4 1992 publiceerde zij een eerste studie omtrent tariferen en reserveren met betrekking tot AOV, genaamd het KAZO-Tarief Vervolgens werd in 2000 het vervolgmodel uitgebracht, onder de naam AOV Daarna heeft het VvV de meest recente studie gepubliceerd. Dit was in 2009 en deze draagt de naam AOV In deze studie staat onder andere beschreven hoe de invaliderings- en revalideringskansen geschat kunnen worden. In deze scriptie wordt hierop ingegaan. Onderzocht wordt hoe een verzekeraar zijn AOVproducten kan tariferen en reserveren en hoe dit specifiek voor het Nederlands standaard model voor AOV gedaan kan worden. Om dit te onderzoeken wordt eerst in hoofdstuk 2 een beschrijving gegeven van de AOV. In dit hoofdstuk worden tevens verschillende onderzoeken naar AOV besproken. Dit hoofdstuk sluit af met een algemene beschrijving van een AOV-model. Met deze achtergrondinformatie wordt vervolgens in hoofdstuk 3 het model van Dickson, Hardy en Waters besproken. Ter verduidelijking wordt hierin ook een rekenvoorbeeld gegeven voor het berekenen van overgangskansen en intensiteiten, premies en voorzieningen van een multiple state model. Vervolgens wordt in hoofdstuk 4 specifiek voor het Nederlands standaard AOV model premie- en voorzieningsformules gegeven waarin de invaliderings- en revalideringskansen van het AOV-2009 gebruikt kunnen worden. Waarna tot slot in hoofdstuk 5 conclusies en aanbevelingen volgen. 2. De context van arbeidsongeschiktheidsverzekeringen Om te weten te komen hoe arbeidsongeschiktheidsverzekeringen (AOV) geprijsd worden, moet eerst onderzocht worden wat deze verzekering in Nederland precies inhoudt. Dit wordt in paragraaf 2.1 uitgelegd. Vervolgens worden in paragraaf 2.2 verschillende studies met betrekking tot AOV besproken. Tot slot geven we multiple state kader voor AOV. in paragraaf 2.3 een algemeen 2

5 2.1. Arbeidsongeschiktheidsverzekeringen voor zelfstandigen In augustus 2004 is de Wet Arbeidsongeschiktheid Zelfstandigen (WAZ) afgeschaft (Uitvoeringsinstituut Werknemersverzekeringen, 2011). Deze wet was een verplichte AOV voor zelfstandigen 1. Door de afschaffing van de WAZ hebben zelfstandigen zelf de keuze of en hoe zij zich willen indekken tegen inkomensverlies door arbeidsongeschiktheid. Het Ministerie van Sociale Zaken en Werkgelegenheid heeft in 2008 een brochure over AOV voor startende zelfstandigen uitgegeven. Hierin staan vier manieren beschreven waarop een zelfstandige zich kan verzekeren tegen arbeidsongeschiktheid. Hij/zij kan een particuliere verzekering afsluiten bij een verzekeraar. Hij/zij kan zich aansluiten bij een collectieve verzekering via branche- en beroepsorganisaties of via organisaties voor zelfstandigen. Als de zelfstandige minstens 1 jaar verplicht verzekerd was als werknemer in de Ziektewet, de WAO of de WIA, kan hij/zij deze verzekering vrijwillig voortzetten bij het UWV. De zelfstandige moet zich hiervoor binnen drie maanden na het einde van de verplichte verzekering aanmelden. Als een startende zelfstandige geen AOV kan krijgen bij een verzekeraar doordat hij/zij moeilijk verzekerbare risico s heeft, of alleen tegen hoge premies en/of uitsluitingen, dan is er de vangnetverzekering. Dit is een verzekering die met een wachttijd van 12 maanden maximaal 70 procent van het minimumloon uitkeert. De zelfstandige moet binnen drie 2 maanden na de start als zelfstandige zich hiervoor aanmelden bij een verzekeraar. Een van de verzekeringsmanieren is het afsluiten van een AOV bij een particuliere verzekeringsmaatschappij. In deze scriptie wordt ingegaan op deze optie. Deze verzekering zorgt ervoor dat de zelfstandige een uitkering krijgt als hij/zij arbeidsongeschikt wordt. Doordat een zelfstandige zelf kan kiezen hoe hij/zij zich verzekert, heeft hij/zij zelf invloed op de premie die hij/zij periodiek zal moeten betalen. In de hier opvolgende paragraaf 2.2. wordt beschreven hoe de hoogte van de premie beïnvloed wordt. 1 Onder zelfstandigen vallen ondernemers, Zelfstandigen Zonder Personeel (ZZP ers), directeurengrootaandeelhouders (DGA) en vrije beroepsoefenaars. 2 Sinds 1 november 2010 is deze periode verlengd naar 15 maanden. (Stichting ZZP, 2010) 3

6 2.2. Premie Uitgaande van het AOV-2009, wordt de premiehoogte beïnvloed door de volgende drie kansen: Invalideringskans, de kans dat de zelfstandige arbeidsongeschikt raakt. Revalideringskans, de kans dat de arbeidsongeschikte zelfstandige weer herstelt. Sterftekans, de kans dat de zelfstandige voortijdig komt te overlijden. Deze drie kansen hangen samen met risicofactoren. Een van de belangrijkste risicofactoren is de leeftijd van de zelfstandige. Hoe ouder de zelfstandige is, hoe groter de invalideringskans zal zijn en dus hoe hoger de premie zal worden. Daarnaast is ook het beroep van groot belang. Elk beroep heeft zijn eigen beroepsrisico. Hoe hoger dit beroepsrisico, hoe hoger de invaliderings- en sterftekans zullen zijn en dus hoe hoger ook de premie zal zijn. Daarnaast is ook geslacht een risicofactor. Uit de data van het AOV-2009 is gebleken dat vrouwen een hoger arbeidsongeschiktheidsrisico hebben dan mannen. Deze risicofactor mag echter niet meegenomen worden in het berekenen van de premie voor de zelfstandige, omdat een verzekeraar niet mag discrimineren op geslacht. Dit zou namelijk betekenen dat als de zelfstandige een vrouw zou zijn, zij een hogere premie moet betalen dan als deze een man was. Daarnaast zijn er factoren die de zelfstandige zelf kan kiezen. Zo kunnen onder andere het verzekerd bedrag en de uitkeringsduur door de zelfstandige bepaald worden. Hoe hoger het bedrag en hoe langer de duur, hoe hoger de premie zal zijn. De zelfstandige kan ook de tijdsperiode tussen het arbeidsongeschikt worden en het ontvangen van de uitkeringen kiezen. Deze risicofactor wordt de eigen risicotermijn of wachttijd genoemd. Hoe korter deze wachttijd wordt gekozen, hoe hoger de premie zal zijn. Gedurende deze wachttijd hoeft de zelfstandige geen premie te betalen, maar hij ontvangt ook geen uitkering. De AOV is opgedeeld in twee rubrieken, namelijk rubriek A en rubriek B. Rubriek A heeft betrekking tot het eerste arbeidsongeschiktheidsjaar. Voor rubriek A kunnen de hierboven genoemde wachttijden variëren van zeven dagen tot een jaar. De uitkering voor deze rubriek is beperkt tot maximaal een jaar minus de wachttijd. Onder rubriek B vallen de 4

7 arbeidsongeschiktheidsjaren na het eerste jaar. Voor deze rubriek is er maar één wachttijd mogelijk, namelijk een wachttijd van 1 jaar. Deze scriptie gaat niet verder in op de rubriek-a verzekeringen. Dit wegens de complexiteit van de wachttijden. De bovengenoemde factoren voor de premie zijn gebaseerd op het AOV-2009 model. In de volgende paragraaf 2.3. wordt dit model en de voorafgegane modellen beschreven Studies naar AOV In Nederland doet het Verbond van Verzekeraars (VvV) onderzoek naar individuele arbeidsongeschiktheidsverzekeringen. Deze luiden als advies voor verzekeraars in Nederland. In paragraaf wordt het eerste onderzoek beschreven, het KAZO-Tarief Vervolgens wordt het vervolgonderzoek AOV-2000 in paragraaf beschreven. Tot slot komt het AOV-2009, het meest recente onderzoek van het VvV, aan bod in paragraaf Het KAZO-Tarief 1990, AOV-Individueel In 1992 publiceerde de Kontactcommissie voor Arbeidsongeschiktheids-, Ziekte- en Ongevallenverzekeraars (KAZO) een model voor de risicostructuur van de AOV. Met behulp van data verkregen van het Centrum voor Verzekeringsstatistiek (CVS), heeft de KAZO invaliderings- en revalideringskansen ingeschat door gebruik te maken van risicofactoren leeftijd, beroepsklasse en wachttijd. De factor leeftijd is opgedeeld in negen klassen 3. Voor de factor wachttijd heeft de KAZO vijf waarden genomen, variërend van 7 dagen tot 6 maanden 4. De beroepen hebben ze naar risico ingedeeld in vier beroepsklassen. Met de invaliderings- en revalideringskansen hebben zij vervolgens een formularium gemaakt voor premies, Wiskundig Vastgestelde Voorzieningen (WVV) en Voorzieningen voor Periodieke Uitkeringen (VPU). 3 Leeftijdsklassen: jaar, jaar, jaar, jaar,, jaar. 4 Wachttijdden: 7 dagen, 14 dagen, 1 maand, 3 maanden, 6 maanden. 5

8 De KAZO beschouwt een AOV tegen gelijkblijvende premie. Hierdoor wordt in het begin van de verzekering meer premie betaald dan nodig is om de risico te dekken. Dit premieoverschot is nodig om het latere tekort aan premie te dekken die ontstaat door risicostijging door met de leeftijd toenemende invalideringskansen. Het overschot wordt bewaard door middel van de WVV. Het WVV dient ter dekking van dit toenemende risico bij gelijkblijvende premies. De VPU is de voorziening die aangehouden moet worden voor de arbeidsongeschiktheidsuitkeringen. De KAZO heeft deze voorzieningen voor zowel Rubriek A als Rubriek B bepaald. De jaarlijkse invalideringskansen voor rubriek B zijn afgeleid uit de ongewogen invalideringspercentages 5 die uit de waarnemingen zijn verkregen. Deze percentages zijn vervolgens aangepast aan de regressielijn: (1) Met de gewogen kleinste kwadraten-regressie, waarbij gewogen is met de aantallen verzekerden, zijn de parameters a en b bepaald. Hieruit volgen a=0,23015 en b=1,0468. Vervolgens is de vergelijking kloppend gemaakt, door het gewogen gemiddelde van de invalideringspercentages volgens de formule gelijk te stellen aan het totaalpercentage, ontleend aan de waarnemingen. Hieruit volgt de formule voor invalideringskansen voor rubriek B (Gregorius, 1992, p. 43): (2) De revalideringskansen voor rubriek B worden bepaald door de gesommeerde uitkeringspercentages 6 aan het begin en aan het eind van desbetreffende waarnemingsjaar 5 Het ongewogen invalideringspercentage is gelijk aan de som van de uitkeringspercentages van de verzekerden die in de eerste 9 maanden van het betreffende jaar arbeidsongeschikt zijn geworden en dat aan het eind van het jaar nog zijn, gedeeld door het aantal actieve verzekerden medio het jaar. (Verbond van Verzekeraars, 2000, p.5) 6 Een uitkeringspercentage is het gedeelte van het verzekerd bedrag dat, samenhangend met de mate van arbeidsongeschiktheid, wordt uitgekeerd. 6

9 te vergelijken. Om hiervoor vervolgens een formule voor te bepalen, is gebruik gemaakt van een lineair model: (3) In deze formule zijn a(s) en b(s) parameters afhankelijk van de arbeidsongeschiktheidsduur. Om de parameters a(s) en b(s) te schatten, is ook hier gebruik gemaakt van een gewogen kleinste kwadraten-regressie, maar nu gewogen met uitkeringspercentages aan het begin van het jaar. In dit schattingsmodel is aangenomen dat de revalideringskans zowel met de leeftijd als met de ziekteduur moet dalen. Dit geeft de uiteindelijke revalideringskansen (Gregorius, 1992, p. 44): (4) Een minpunt van dit model is dat bij de berekeningen voor rubriek B de KAZO verondersteld heeft dat er geen afhankelijkheid is tussen de risicofactoren: invalideringskans, beroepsklassefactor, reactiveringskans, sterftekans en rentevoet. Zo is bijvoorbeeld de verdeling over de leeftijden van de invaliderings- en revalideringskans voor alle beroepsklassen gelijk verondersteld (Gregorius, 1992, p. 8). Ook wordt er verondersteld dat de sterftekansen voor arbeidsongeschikten en voor actieven gelijk zijn, terwijl het aannemelijker is dat deze kans voor arbeidsongeschikten hoger zal zijn. Door een beperkt aantal waarnemingen van sterfgevallen bij arbeidsongeschikten, kon de KAZO geen goede schatting van deze sterftekans maken. Daardoor hebben zij de sterftekans van arbeidsongeschikten gelijkgesteld aan die van de actieven (Gregorius, 1992, p. 45). De KAZO heeft sinds dit onderzoek ervoor gezorgd dat er jaarlijks enquêtes onder verzekeraars worden gehouden, om zo meer informatie te winnen over de datagegevens. Met deze 7

10 datagegevens kunnen in te toekomst betere schattingen gemaakt worden (Gregorius, 1992, p. 1) Het AOV-individueel 2000 In opvolging van het KAZO-Tarief 1990 is het Verbond van Verzekeraars in 2000 met de resultaten van een vervolgstudie gekomen, genaamd AOV Aanleiding voor dit vervolgonderzoek waren een tweetal ontwikkelingen. Op de eerste plaats zijn er in de tien jaar genoeg data verzameld om een vernieuwd model op te baseren. Met deze data verkregen van het Centrum voor Verzekeringsstatistiek (CVS), heeft het Verbond nieuwe inschattingen gemaakt voor invaliderings- en revalideringskansen, beroepsklasseverhoudingen en wachttijdfactoren. Bij deze inschattingen is de rekenrente aangepast. In het KAZO-onderzoek was uitgegaan van een rekenrente van 4%. Bij het AOV is dit bijgesteld naar 3%, conform de aanwijzingen van de Verzekeringskamer 7. Ten opzichte van het KAZO-model, heeft het VvV een aantal aanpassingen in het onderzoek gemaakt. Te weten, in het AOV-2000 is wel rekening gehouden met trendmatige ontwikkelingen in de in- en uitstroom die in de voorafgegane jaren zijn waargenomen. Deze ontwikkelingen zijn vervolgens gebruikt voor toekomstige ontwikkelingen. Ook heeft het AOV-2000 model meer gewicht aan de meest recente jaren toegekend. Het VvV geeft geen beschrijving van hoe deze ontwikkelingen in het model zijn verwerkt (Verbond van Verzekeraars, 2000, p.5) Het AOV-Individueel 2009 De daaropvolgende, en tevens meest recente studie naar arbeidsongeschiktheidsverzekeringen, is de AOV Zoals uit de naam op te maken is, presenteerde het Verbond van Verzekeraars in 2009 dit advies. Doordat tussen 2000 en 2009 verschuivingen binnen de beroepsbevolking hebben plaatsgevonden en beroepen veranderd zijn met betrekking tot 7 De Verzekeringskamer was een instelling die toezicht hield op de verzekeringsmaatschappijen. In 2004 is de Verzekeringskamer gefuseerd met de Nederlandsche Bank (De Nederlandsche Bank, 2006) 8

11 risico, is AOV-2000 herzien. Tevens zijn de invaliderings- en revalideringskansen tijdens de tussenliggende 9 jaar opnieuw geschat. Ook in het AOV-2000 zijn doorgevoerd ten opzichte van zijn voorganger. Ten eerste heeft dit nieuwe model de beroepsklassen opnieuw ingericht en vergroot van vier naar vijf klassen. Met de verkregen data heeft het VvV de risico s per beroep ingeschat en vervolgens deze beroepen in vijf groepen met ongeveer gelijke risico s verdeeld. In tegenstelling tot het AOV hebben zij voor rubriek A en rubriek B verschillende beroepsklassefactoren gehanteerd. Ten tweede houdt het AOV-2009 als enige rekening met de factor: geslacht. Uit de data is namelijk gebleken dat vrouwen een hoger risico hebben dan mannen. Hoewel er geen onderscheid gemaakt mag worden tussen mannen en vrouwen, kan de verzekeraar hierdoor wel een beter beeld krijgen van de risico s in zijn portefeuille. Het Verbond heeft namelijk een formule gemaakt waarmee de verzekeraar de kosten voor zijn dekking van de eventuele hogere risico s kan bepalen. De derde en laatste verbetering is de dataset. De dataset die het Verbond voor het AOV-2009 heeft gebruikt, is groter dan die gebruikt zijn bij de voorgaande studies. Hierdoor zijn de schattingen nauwkeuriger (Verbond van Verzekeraars, 2009, p.3). Daarnaast zijn de invaliderings- en revalideringskansen voor zowel rubriek A als rubriek B opnieuw geschat. Waar het AOV-2000 meer gewicht toekende aan data uit de meest recente jaren, doet de AOV-2009 dit niet. Dit omdat er over de afgelopen negen jaar geen duidelijke trend was waargenomen (Verbond van Verzekeraars, 2009, p.8). Uit deze nieuwe schattingen is gebleken dat de invalideringskans significant sterker stijgt voor oudere leeftijden voor beroepsklasse 1 in rubriek B, dan voor de overige beroepsklassen in deze rubriek. Hierdoor heeft het AOV-2009 voor deze beroepsklasse een aparte schatting van de invalideringskans gemaakt (Verbond van Verzekeraars, 2009, p.11). Naast deze verbeterpunten, heeft het AOV-2009 een aantal aannames moeten doen. Zo zijn de revalideringskansen niet verschillend per beroepsklasse. Dit omdat het model anders te complex zou worde. De verschillen waren in de laatste drie jaren minimaal tussen deze kansen. Daarnaast is in het AOV-2009 aangenomen dat de indeling van beroepen naar 9

12 risico s voor rubriek A en B gelijk is. Het VvV heeft geen onderzoek naar gedaan of de beroepsrisico s per rubriek verschillend zijn en hebben daarom de beroepsklasse-indeling gelijk gehouden voor beide rubrieken. Tot slot is het model gebaseerd op passende arbeidsongeschiktheid, doordat 98 procent van de data uit deze vorm van arbeidsongeschiktheid bestond (Verbond van Verzekeraars, 2009, p.9). In appendix A staat het formularium van het AOV-2009 weergegeven. De formularia van de voorgaande studies zijn niet bijgevoegd. Deze niet relevant zijn voor deze scriptie, omdat de invaliderings- en revalideringskansen van de meest recente studie gebruikt zullen worden bij het opstellen van formules voor de reservering en tarifering van het Nederlands standaard AOV model Multiple state-modellen en AOV Voor het prijzen van een AOV beschrijven Dickson et al. (2009) premie- en voorzieningsberekeningen. Het prijzen van de AOV is gebaseerd op de actuariële equivalentie van de inkomsten en uitgaven van een verzekeraar. Bij de AOV bestaan de inkomsten uit premies die betaald worden door een verzekerde zolang deze gezond is. De uitgaven bestaan uit de uitkeringen die worden verstrekt zolang de verzekerde arbeidsongeschikt is. Wat een AOV complex maakt ten opzichte van een reguliere verzekering, is dat de revalideringskans zorgt voor recurrente 8 toestanden. In Figuur 1 staat het eenvoudigste model weergegeven voor een AOV. In dit model kan een zelfstandige zich bevinden in de toestand gezond, ziek of overleden, aangegeven met 0, 1 en 2. In dit model zijn de toestanden gezond en ziek recurrent. De zelfstandige kan invalideren naar de status ziek en revalideren naar status gezond. Dit houdt in dat een arbeidsongeschikte zelfstandige die een uitkering ontvangt, kan revalideren naar een premiebetalende actieve zelfstandige. Vervolgens kan hij/zij weer arbeidsongeschikt worden en een uitkering ontvangen etc. totdat hij/zij in komt te overlijden. De status overleden is een absorberende status. Eenmaal in deze toestand terechtgekomen, blijft de zelfstandige hierin. Dickson et al. (2009) 8 Toestand i is recurrent als er weer naar teruggekeerd kan worden. 10

13 beschrijven de premie en voorzieningsberekeningen voor dit model. In hoofdstuk 3. wordt dit algemene kader gedetailleerd uitgewerkt. 0: Gezond 1: Ziek 2: Overleden Figuur 1: Eenvoudig multiple state model voor AOV 3. Tariferen en reserveren bij multiple state modellen Voor het berekenen van de premies van een AOV zijn verschillende modellen in de omloop. De modellen maken allen gebruik van het actuariële equivalentieprincipe. Dit principe houdt in dat de huidige waarde van alle verwachte toekomstige uitgaven van een verzekeraar, gelijk moet zijn aan de huidige waarde van al zijn verwachte toekomstige inkomsten (Promislow, 2006, p. 13). Als deze uitgaven groter zijn dan deze inkomsten, dan zal de verzekeraar verlies lijden op de desbetreffende AOV. Als juist de inkomsten hoger zijn dan de uitgaven, dan zijn de premies een hoger bedrag zijn dan zij hoeven te zijn. Dickson et al. (2009) beschrijven een zeer algemeen continu kader voor het bepalen van premies en reserves in multiple state modellen door middel van actuariële equivalentie. Het model dat zij hiervoor geven wordt in dit hoofdstuk besproken. Om te beginnen worden in paragraaf 3.1. de aannames en notaties behandeld die zij gebruiken. Met deze aannames volgen in paragraaf 3.2. de premieberekeningen en in paragraaf 3.3. de voorzieningsberekeningen. Tot slot wordt in paragraaf 3.4. een rekenvoorbeeld gegeven om een duidelijker beeld te scheppen van hoe de premies, voorzieningen en overgangskansen bepaald kunnen worden. 11

14 3.1. Multiple state modellen: notaties en aannames Om berekeningen te kunnen uitvoeren binnen het kader van multiple state modellen, worden de volgende notaties ingevoerd., de kans dat een individu met leeftijd x op tijdstip nul zich in toestand i bevindt en in toestand j op tijdstip t. Toestand j kan gelijk zijn aan toestand i., de kans dat een individu met leeftijd x op tijdstip nul zich in toestand i bevindt en in deze toestand i blijft gedurende de periode tussen x en x+t., de overgangsintensiteit tussen toestand i en j op leeftijd x Daarnaast worden de volgende aannames gemaakt: De Markov-eigenschap. Deze eigenschap houdt in dat de overgangskans van een status i naar een status j op tijdstip t onafhankelijk is van het verleden. Er wordt alleen gekeken naar de toestand waar de individu zich op dat moment in verkeerd. Dit betekent dus dat de revalideringskans van een zelfstandige die ziek is op tijdstip t, in dit model onafhankelijk is van hoelang hij/zij ziek is en hoe vaak hij/zij al eerder ziek is geweest. Per tijdsinterval h kan maar één overgang plaatsvinden. In formulevorm ziet deze assumptie er als volgt uit: Kans[2 of meer overgangen binnen een periode met lengte h] = o(h), waarbij g(h) van orde h is als geldt: Voor alle toestanden i en j en alle leeftijden x 0 geldt dat een differentieerbare functie van t is. Deze veronderstelling vergemakkelijkt de wiskundige berekeningen. Onder deze assumpties kunnen de formules voor de overgangskansen, premies en voorzieningen bepaald worden. De overgangskans dat een individu op leeftijd x zich bevindt in status i en op leeftijd x+t+h zich in status j bevindt is in Formule 5 te zien. Deze kans is berekend door te kijken naar de verlangde status op tijdstip x+t+h, status j, met de conditie dat hij/zij op tijdstip x+t of in dezelfde status j was, of in een andere status k met een 12

15 overgang naar status j voor tijdstip x+t+h. In appendix B.1. staat de precieze afleiding van Formule 5 gegeven. (5) Dit is een recursieve formule. Om de overgangskansen te kunnen berekenen, zijn startwaarden nodig. Voor de startwaarden wordt gebruikgemaakt van het volgende gegeven. De kans dat een overgang plaatsvindt binnen een tijdsinterval met lengte nul, is nul. En de kans dat een individu in een toestand blijft gedurende een tijdsinterval met lengte nul, is één. In Formule 6 staan deze kansen in notatievorm weergegeven. (6) Met deze overgangskansen kunnen de premies en voorzieningen voor multiple state modellen bepaald worden. In de volgende paragraaf 3.2 wordt deze premieberekening gegeven voor het multiple state model weergegeven in Figuur 1, paragraaf Multiple state modellen: tarifering Stel dat gedurende de tijd dat een individu gezond is, maandelijks een premie P betaald wordt. En stel vervolgens dat gedurende de tijd dat er in toestand ziek verkeerd wordt, maandelijks een uitkering B uitbetaald wordt. Voor deze situatie volgt hieronder de premiebepaling die door Dickson et al. (2009) gegeven wordt. Voor de maandelijkse premiebetalingen geven Dickson et al. (2009) de volgende annuïteit: (7) Dit is de annuïteit voor een maandelijkse betaling groot 1 aan het begin van de maand, gedurende n jaar. De premie wordt betaald als een individu op het moment van de 13

16 premiebetaling zich in toestand 0 bevindt en dus gezond is. Omdat ervan uitgegaan wordt dat bij aanvang van de polis de individu gezond is, is de starttoestand ook 0. Voor de maandelijkse premiebetalingen die een gezond individu moet betalen, heeft hij/zij het recht op een uitkering. De uitkeringen B worden ook maandelijks betaald zodra een individu ziek wordt en gedurende de tijd dat hij/zij ziek blijft. De annuïteit voor de contant making van deze uitkeringen is: (8) Dit is de annuïteit voor een maandelijkse betaling groot 1 aan het eind van de maand, gedurende n jaar. De uitkering wordt betaald als de individu op het moment van de uitkering ziek is. Hier wordt dus geen rekening gehouden met een eventuele wachttijd, zoals beschreven in het KAZO-onderzoek. De factor v is de disconteringsfactor en is gelijk aan, waarbij i de rekenrente is. Om de premiehoogte te kunnen berekenen, wordt gebruikgemaakt van de actuariële equivalentie tussen de te ontvangen premies P en de uit te keren uitkeringen B. Formule 9 laat deze equivalentie zien. (9) Naast het berekenen van de premiehoogte voor een bepaalde polis, is het bepalen van de voorziening ook een belangrijke taak van de verzekeraar. In de volgende paragraaf 3.3. wordt de reservering besproken. 14

17 3.3 Multiple state modellen: reservering De voorziening is het bedrag dat een verzekeraar op tijdstip t nodig heeft om aan zijn verplichtingen van de polis te kunnen voldoen, als een individu zich in status i bevindt (Promislow, 2006, p. 104). Zoals eerder beschreven, kan een zelfstandige in het model van Dickson et al. (2009) zich in drie toestanden bevinden: gezond, ziek en overleden. Als een individu overleden is, dan zijn er geen toekomstige uitkeringen en premiebetalingen meer. De verzekeraar hoeft dus geen voorziening meer aan te houden, daar hij geen verplichtingen meer heeft. De voorziening voor toestand dood is dus voor alle t gelijk aan nul. Als een individu gezond of ziek is, dan zijn er wel toekomstige premiebetalingen en uitkeringen waarvoor de verzekeraar een voorziening moet hebben. De voorzieningen en zijn daardoor ongelijk aan nul. Om deze twee voorzieningen te kunnen berekenen, geven Dickson et al. (2009) voor beiden een recursieve benaderingsformule. Deze staan weergegeven in Formules 10 en 11. (10) (11) In de laatste term staat het symbool S voor de uitkering bij overlijden. Tenzij anders vermeld, wordt er in deze scriptie vanuit gegaan dat deze een waarde nul heeft. δ is de interestintensiteit en is de overgangsintensiteit van status i naar status j. In appendix B.2. staat beschreven hoe de Formules 10 en 11 tot stand zijn gekomen. Om een beter beeld te krijgen hoe deze formules in de praktijk gebruikt kunnen worden en hoe de premie berekend kan worden voor een bepaalde polis, volgt in de volgende paragraaf 3.4. een rekenvoorbeeld. 3.4 Voorbeeld tarifering en reservering van een multiple state model Stel dat voor de overgangsintensiteiten de volgende formules gelden: 15

18 De overgangsintensiteit van gezond naar ziek: De overgangsintensiteit van ziek naar gezond: De overgangsintensiteit van gezond/ziek naar dood: De overgangsintensiteit van dood naar gezond/ziek: Waarbij geldt:,,,, Stel vervolgens dat een 45-jarige individu een verzekering wilt afsluiten met een polisduur van 20 jaar tegen een constante premie van 200. Deze verzekering keert een uitkering van 1500 indien ziek en bij overlijden uit. Om voor dit persoon de maandelijkse overgangskansen en te berekenen, is gebruik gemaakt van Formule 5. Door de startwaardes uit Formule 6 in te voegen, kunnen deze kansen vervolgens recursief berekend worden. In Figuur 2 staan deze overgangskansen weergegeven. Zoals te zien neemt zoals verwacht de kans om gezond te blijven af, naarmate de individu ouder wordt en de kans om ziek te worden neemt juist toe. 001, , , , , , , kpx00 kpx01 Figuur 2: Overgangskansen kpx00 en kpx01 Naast de overgangskansen, kunnen ook de overgangsintensiteiten berekend worden met behulp van de bovenstaande formules. In Figuur 3 staan de overgangsintensiteiten,, en weergegeven. Alle intensiteiten nemen exponentieel met de leeftijd toe. Vooral de invalideringsintensiteit vanuit een gezonde status heeft een sterke stijging. De 16

19 revalideringsintensiteit is relatief klein, maar neemt met de leeftijd wel toe. Dit is niet zoals verwacht, maar in dit voorbeeld zo gesteld. 000, , , , mx01 mx02/mx12 mx10 Figuur 3: Overgangsintensiteiten,, en. Tot slot is in figuur 4 het verloop van de voorziening voor de gezonde status te zien. Bij deze berekening zijn de waarden van deze voorziening en van de voorziening voor de zieke status op de einddatum van de polis, dus op tijdstip 20, op nul gesteld. Hierdoor kunnen de overige voorzieningen ook bepaald worden met behulp van de recursieformules 10 en V Figuur 4: Verloop voorziening bij een premie van 200 In Figuur 5 is te zien dat bij een premie van 200 geen sprake is van actuariële equivalentie op tijdstip nul. De voorziening van de gezonde toestand op tijdstip nul is namelijk niet gelijk aan nul. Er zou moeten gelden dat de te verwachten premies actuarieel equivalent zijn met de te verwachten uitkeringen. Om de premie te vinden die wel voor deze equivalentie zorgt, kan in Excel de functie doelzoeken gebruikt worden. Met deze functie wordt de voorziening op tijdstip nul van een gezonde toestand gelijkgesteld aan nul door de premie te 17

20 veranderen. Hiermee wordt de premie die zorgt voor actuariële equivalentie gevonden met een bedrag grootte 168,45. Figuur 6 laat zien dat de voorziening inderdaad begint en eindigt bij een waarde nul ,5 5 7, , ,5 20 V0 Figuur 6: Verloop voorziening bij een premie van 168,45. De voorziening is niet continu gelijk aan nul. De kans op invalideren en overlijden neemt met de leeftijd toe. De kans op uitkeren dus ook. De premie blijft echter gedurende de polis constant. Om te zorgen dat de verzekeraar in deze toenemende kosten kan voorzien, is de gelijkblijvende premie zo vastgesteld, dat de polishouder in het begin van de polis meer dan nodig betaald. Aan het eind van de polis betaald hij minder dan nodig en dus niet genoeg om de kosten te dekken. Het overschot aan premies in het begin van de polis wordt gebruikt om in dit tekort te voorzien. Hierdoor neemt de voorziening aan het begin van de polis toe en vervolgens weer af. Op de einddatum van de polis, zijn er geen toekomstige uitkeringen en premieontvangsten meer. Hierdoor is op dit tijdstip de voorziening gelijk aan nul. Dit verloop is in Figuur 6 te zien. 4. Tarifering en reservering van een AOV In het voorgaande hoofdstuk is besproken hoe de tarifering en reservering voor een algemeen continu multiple state model kan worden gedaan. De hierin genoemde formules maken gebruik van transitie-intensiteiten. Voor de premie- en voorzieningsberekeningen voor het Nederlandse standaard model voor AOV zijn niet 18

21 intensiteiten, maar overgangskansen nodig. Dit omdat het Nederlands standaard model een discrete versie is van het in hoofdstuk 3 besproken algemeen multiple state model. Om het model van Dickson et al. (2009) te kunnen gebruiken, moeten de overgangsintensiteiten omgeschreven worden naar overgangskansen. Deze omschrijving is echter complex, omdat de overgangskans wordt beschreven door een integraal van overgangsintensiteiten: (12) Om vervolgens hieruit de overgangsintensiteit te bepalen is te ingewikkeld om in deze scriptie te behandelen. Voor het tariferen en reserveren van het Nederlandse standaard AOV model kan hier dus niet gebruik worden gemaakt van het multiple state model die Dickson et al. (2009) geven. Pitacco en Haberman (1999) daarentegen, geven een discreet multiple state model voor het Nederlandse standaard AOV model. Zij nemen evenals Dickson et al. (2009) de Markov eigenschap aan, zie aanname 1 in paragraaf 3.1. Het Nederlands standaard AOV model is een multiple state model met acht toestanden 9 : a d De toestand actief De toestand ziek met ziekteduur s De toestand dood In dit model is de toestand ziek opgedeeld in zes toestanden naar ziekteduur. Als een zelfstandige langer dan 5 jaar arbeidsongeschikt is, dan wordt de kans op revalidatie op nul gesteld. Deze zelfstandige kan dan alleen in status ziek blijven of komen te overlijden naar status d. Door de opdeling van de status ziek van het algemene multiple state model 10 in zes toestanden naar ziekteduur, wordt in dit model wel deels rekening gehouden met het verleden. Hierdoor wordt het nadeel van de Markov eigenschap verminderd. 9 In Appendix A.2. staat het multiple state model van het Nederlands standaard AOV model 10 Het algemene multiple state model is in hoofdstuk 3 behandeld. 19

22 In onderstaand Tabel 1 staan de overgangskansen voor dit model weergegeven. a D a D Tabel 1: Matrix van k-jarige transitiekansen In dit model betaalt een gezonde zelfstandige een premie P gedurende de polis van n jaar. Deze premie moet de te verwachte arbeidsongeschiktheidsuitkeringen dekken. De kans op de premiebetalingen gedurende de polis, wordt met de volgende jaarlijkse annuïteit weergegeven: (13) De annuïteit voor maandelijkse premiebetalingen in Formule 7 in paragraaf 3.2. kan hier ook gebruikt worden. Alleen geeft het Verbond van Verzekeraars jaarlijkse invaliderings- en revalideringskansen. Met de aanname dat de gegeven formules niet alleen voor gehele leeftijden gelden maar ook voor leeftijdfracties, dan kunnen de overgangskansen van het VvV gebruikt worden in Formule 7 in paragraaf 3.2. De kans op maandelijkse uitkeringen kan echter niet bepaald worden met de gegeven annuïteit in Formule 8, paragraaf 3.2, als deze aanname gemaakt zou worden. In het Nederlands standaard AOV model is namelijk niet één toestand, maar zijn er zes toestanden waarin een zelfstandige een uitkering krijgt. Voor een jaarlijkse uitkering geven Pitacco en Haberman (1999) de volgende annuïteit: 20

23 (14) In deze annuïteit worden per tijdseenheid alle mogelijkheden op uitkering gesommeerd. Merk op dat bij een k<2, en bij een k<3, enzovoorts. Voor een k>5 zijn alle overgangskansen groter dan nul. Dit geldt omdat verondersteld is dat een zieke zelfstandige niet kan revalideren en vervolgens binnen hetzelfde jaar weer invalideren (Pitacco en Haberman, 1999, p. 124). Als de uitkeringen maandelijks betaald zouden worden, dan zou de annuïteit als volgt eruit zien: (15) In deze annuïteit is n uitgedrukt in maanden in plaats van jaren. Met de aanname dat de invaliderings- en revalideringsformules van het VvV niet alleen voor gehele leeftijden gelden, dan kunnen de overgangskansen van het AOV-2009 gebruikt worden in deze formule. Met de bovengenoemde annuïteiten in Formules 13 en 14 kan vervolgens de jaarlijkse premiehoogte bepaald worden, door de annuïteiten op elkaar te delen. (16) De maandelijkse premie kan bepaald worden, door de deling van Formules 7 en 15: (17) 21

24 Herrinner dat voor Formule 17 de aanname gemaakt moet worden dat de formules gegeven door het VvV niet alleen voor gehele leeftijden geldt, maar ook voor deelleeftijden. Naast de formule voor het bepalen van de premie, geven Pitacco en Haberman (1999) ook discrete formules voor de reservering van het Nederlands standaard AOV model. Deze formules komen tot stand door de contante waarde van de lasten (uitkeringen) te verminderen met de contante waarde van de baten (premies). Dit geeft de voorziening voor een gezonde zelfstandige met leeftijd x+t: (18) Als de zelfstandige ziek is, dan is de voorziening: (19) Dit is een benadering die Pitacco en Haberman (1999) geven voor de voorziening voor een zieke toestand. Zij geven deze benadering, omdat deze volgens hen in praktijk vaak voorkomt (Pitacco & Haberman, 2009, p. 131). De annuïteit die in deze formule voorkomt, is de annuïteit dat een zelfstandige die s-jaar ziek is op leeftijd x+t, op leeftijd x+t+k ook ziek is. (20) De invaliderings- en revalideringskansen die het Verbond van Verzekeraars heeft berekend, kunnen in deze tariferings- en reserverings formules gebruikt worden. Het VvV heeft geen schattingen gemaakt voor de sterftekansen, daar zij te weinig data daarvoor hadden. Er wordt daarom verondersteld dat voor alle toestanden de sterftekans gelijk is. (Verbond van Verzekeraars, 2009, p. 12) In Tabel 2 staat een overzicht gegeven hoe de kansen in de bovenstaande formules vervangen worden door de transitiekansen van het VvV (Gregorius, 1992, p.85). 22

25 Pitacco en Haberman VvV Tabel 2: Omschrijvingen overgangskansen Pitacco en Haberman naar overgangskansen VvV. Met deze omschrijvingen kunnen de resultaten van het VvV samengebracht worden met de Formules 13 t/m 17 van Pitacco en Haberman (1999), om zo het Nederlands algemeen AOV model te tariferen en reserveren. Voor de overgangskansen van het VvV kunnen de formules van het AOV-2009 model gebruikt worden. Deze staan weergegeven in appendix A Conclusie In deze scriptie is onderzoek gedaan naar hoe een arbeidsongeschiktheidsverzekerings geprijsd kan worden met behulp van multiple state models. In hoofdstuk 3 is een eenvoudig continu multiple state model behandeld van Dickson et al. (2009). Dit model bestaat uitde drie toestanden gezond, ziek en dood. Met dit eenvoudige multiple state model kunnen arbeidsongeschiktheidsverzekeringen (AOV) getarifeerd en gereserveerd worden, als de transitieintensiteiten bekend zijn. Dickson et al. (2009) geven hiervoor formules. Het is belangrijk voor een verzekeraar om een premie te bepalen die voor kostendekking zorgt. Indien dit niet zo is, is de kans groot zijn dat de verzekeraar verlies lijdt. Daarnaast is het voor een verzekeraar ook van belang om tijdens de polisduur een voorziening aan te houden die hem indekt tegen de toekomstige kosten. De voorziening is het verschil tussen de toekomstige uitgaven en inkomsten van een verzekeraar. Dit verschil zal hij aan moeten houden om in zijn toekomstige verwachte kosten te kunnen voorzien. Bij een multiple state model kan er voor elke toestand een voorziening bepaald worden. Zolang een individu zich in een bepaalde status bevindt, moet de verzekeraar hiervoor een voorziening aanhouden. Zodra de individu naar een andere status overgaat, hoeft de verzekeraar niet meer de voorziening voor de oude status aan te houden. De uitkeringen en premies die zouden 23

26 plaatsvinden als de individu hierin zou blijven, vinden niet meer plaats. De voorziening voor de oude status valt dus vrij. De verzekeraar moet vervolgens een voorziening voor de nieuwe status opbouwen. Dickson et al. (2009) geven recursieve formules voor het berekenen van deze voorzieningen. Met behulp van deze voorzieningen kan de premie bepaald worden. De premie wordt zodanig bepaald dat de voorzieningswaarde voor een gezonde status op tijdstip nul gelijk aan nul is. Op tijdstip nul moet deze voorziening een waarde nul hebben, omdat er sprake moet zijn van actuariële equivalentie. Dit houdt in dat de contante waarde van de uitgaven gelijk moet zijn aan de contante waarde van de inkomsten. De voorziening is het verschil tussen deze twee waarden en daarom op tijdstip nul gelijk aan nul. Deze manier van premiebepaling kan in Excel gedaan worden met behulp van de functie Doelzoeken. Door de voorziening op tijdstip nul gelijk aan nul te stellen en de premie als variabele parameter te nemen, berekent Excel die premie waarvoor de voorziening nul is. Naast het gebruik van voorzieningen, kan de premie ook vastgesteld worden door direct de contante waarden van de toekomstige premies gelijk te stellen aan de contante waarde van de uitkeringen. Dit is de meest gebruikelijke vorm van premieberekening. Opvolgend op de tarifering en reservering van het algemene continu multiple state model, is er in deze scriptie gekeken naar het Nederlandse standaard AOV model. Voor dit model zijn tevens formules gegeven om de premies en voorzieningen te berekenen. In deze formules kunnen de overgangskansen, gegeven door het Verbond van Verzekeraars, gebruikt worden. Dit verbond doet in Nederland onder andere onderzoek naar AOV. In 1992 publiceerden zij haar eerste resultaten naar het schatten van invaliderings- en revalideringskansen voor AOV. Verzekeraars in Nederland kunnen van deze gegevens gebruik maken om hun eigen producten te prijzen. Met het AOV-1999 en vervolgens met het AOV-2009 heeft het VvV verbeteringen aangebracht in dit onderzoek. Deze scriptie heeft voor de tarifering en reservering voor het Nederlands standaard AOV model formules gegeven, waarin de overgangskansen van het AOV-2009 toegepast kunnen worden. Voor het bepalen van deze formules kon geen gebruik worden gemaakt van het model van Dickson et al. (2009), besproken in hoofdstuk 3. Hiervoor zijn immers overgangsintensiteiten nodig en die geeft 24

27 het VvV niet. Pitacco en Haberman (1999) geven formules voor het tariferen en reserveren van een verzekering, maar nu voor een discreet multiple state model en bovendien specifiek voor het Nederlands standaard AOV model. Met behulp van de formules die zij geven en de overgangskansen van het AOV-2009, zijn in hoofdstuk 4 formules voor de tarifering en reservering van het Nederlands standaard AOV model gegeven. Een nadeel van de formules die Pitacco en Haberman geven, is dat hiermee niet de maandelijkse premie bepaald kan worden. Pitacco en Haberman hebben de formules op jaarbasis gegeven, omdat in Nederland het VvV jaarlijkse transitiekansen geeft. Met de aanname dat deze formules voor de transitiekansen ook gebruikt kunnen worden voor fracties van jaren, bijvoorbeeld maanden, kan de maandelijkse premie bepaald worden. De annuïteiten voor de maandelijkse premiebetalingen en uitkeringen zijn tevens in hoofdstuk 4 gegeven. Door deze annuïteiten op elkaar te delen, kan zo de maandelijkse premie bepaald worden. Een ander nadeel is dat in het standaard Nederlands AOV model dat de sterftekansen voor alle toestanden gelijk zijn gesteld. Dit is gedaan doordat het VvV niet genoeg data had om deze sterftekansen per toestand in te schatten. Daarnaast wordt er ook geen rekening gehouden met verschillende ziekteoorzaken. Er wordt verondersteld dat alle zieke zelfstandigen dezelfde invaliderings-, revaliderings- en sterftekansen hebben. Als hiermee in het vervolg rekening gehouden wordt, kan het standaard Nederlands AOV model beter getarifeerd en gereserveerd worden. 25

28 5. Bibliografie Promislow, S. David. (2006). Fundamentals of Actuarial Mathematics. John Wiley & Sons, Ltd. Dickson, C.M., Hardy, Mary R., Waters, Howard R. (2009). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. Cambridge University Press Haberman, S. & Pitacco, E. (1999). Actuarial Models for Disability Insurance. Chapman & Hall/CRC Gregorius, F.K. (1992). Het KAZO Tarief 1990, AOV-Individueel, Tariefherstructurering voor individuele arbeidsongeschiktheidsverzekeringen. ASTIN Nederland Verbond van Verzekeraars. (2000). Herziening premiegrondslagen en modelpolisvoorwaarden AOV-Individueel Verbond van Verzekeraars. (2009). Model kosten van de dekking Individuele Arbeidsongeschiktheidsverzekeringen (AOV) Ministerie van Sociale Zaken en Werkgelegenheid. (2003). Onderzoek naar de gevolgen van het afschaffen van de Wet Arbeidsongeschiktheidsverzekering Zelfstandigen Ministerie. Ministerie van Sociale Zaken en Werkgelegenheid. (2008). Zelfstandig ondernemer? Heb jij goed nagedacht over arbeidsongeschiktheid? Informatie over de WAZ op de website Opgevraagd op vrijdag 22 april Informatie over de vangnetregeling op de website Opgevraagd op maandag 11 april

29 Appendix A. In deze appendix staat het formularium en het multiple state model van het AOV-2009 weergegeven. Appendix A.1. Formularium AOV-2009 Dit is een kopie van het formularium van het AOV-2009 onderzoek. Rubriek A Risicopercentage: x ris( x) 0,01056*1,02791 * fba * fw* fmva, waarbij x de huidige leeftijd is, fba beroepsklassefactor rubriek A fw wachttijdfactor fmva factor verhouding mannen/vrouwen fva 1 fmva 1 *( pvm pvo), 1 ( fva 1) * pvo waarbij fva pvm pvo het relatieve effect van vrouwen ten opzichte van mannen op het risicopercentage, rubriek A het aandeel vrouwen in de maatschappijspecifieke portefeuille het aandeel vrouwen in de onderzochte totale populatie. Tabel 4 Factoren rubriek A Beroepsklasse fba fva pvo 1 0,63 1,87 14,7% 2 0,87 1,87 12,3% 3 1,00 1,87 9,3% 27

30 4 1,14 1,87 6,0% 5 1,40 1,87 13,9% Tabel 5 Wachttijdfactor rubriek A Wachttijd fw 7 1, , , , , ,12 Rubriek B Invalideringskansen Invalideringskans: 0,00149 *1,0362 i( x) 0,00330 *1,0293 x x * fmvb * fbb * fmvb waarbij x de huidige leeftijd is fbb beroepsklassefactor rubriek B fmvb factor verhouding mannen/vrouwen voor beroepsklasse1 voor overige beroepsklassen fvb 1 fmvb 1 *( pvm pvo), 1 ( fvb 1) * pvo waarbij fvb het relatieve effect van vrouwen ten opzichte van mannen op de invalideringskans rubriek B pvm het aandeel vrouwen in de maatschappijspecifieke portefeuille 28

31 pvo het aandeel vrouwen in de onderzochte totale populatie. Tabel 6 Factoren rubriek B met aparte schatting beroepsklasse 1 Beroepsklasse fbb fvb pvo 1 nvt 1,12 14,7% 2 0,78 1,52 12,3% 3 1,00 1,52 9,3% 4 1,26 1,52 6,0% 5 1,73 1,52 13,9% Revalideringskansen Voor de jongste leeftijdsklassen wijken de schattingen af van de realisatie. De realisatie is redelijk constant tot een bepaalde leeftijd. Daarom is onderzocht of de revalideringskansen tot bepaalde leeftijd constant moeten worden gehouden. Dit is het geval en de leeftijdgrens is op 30 jaar vastgesteld. Dat wil zeggen dat de revalideringskansen voor x 30 gebaseerd zijn op de revalideringskansen van een 30 jarige. Revalideringskansen: R R R R R x, 1 1, ,01838* x 1 x, 2 0, ,01076 * x 2 x, 3 0, ,00874 * x 3 x, 4 0, ,00429 * x 4 x, 5 0, ,00464 * x 5 R{ x,6} 0 R{ x, s} R{30, s}, x 30, s 1,..,6 waarbij x s de huidige leeftijd de toestand = s de jaar van arbeidsongeschiktheid, waarbij s = 6, indien langer dan 5 jaar arbeidsongeschikt 29

32 A.2. Het multiple state model voor het AOV-2009 Appendix B. In deze appendix staat de afleiding van een aantal formules weergegeven. B.1. Afleiding van Formule 5 De kans dat een zelfstandige op tijdstip x zich in toestand i bevindt en op tijdstip x+t+h in toestand j wordt als volgt berekend: (21) 30

33 Op tijdstip x+t+h moet de zelfstandig zich bevinden in status j en op tijdstip x+t moet hij of al in toestand j zijn, of in een andere toestand k en vervolgens voor tijdstip x+t+h overgaan naar toestand j. Dickson et al. (2009) geven voor de overgangsintensiteit Formule 22. Deze formule kan vervolgens omgeschreven worden naar Formule 23. (22) (23) Verder geldt Formule 24, omdat de kans dat een zelfstandige in toestand i blijft gedurende een periode t inbegrepen zit in de kans dat hij begint in toestand i, tussendoor van toestand verwisselt en vervolgens eindigt in toestand i. In deze laatste kans zit namelijk ook de kans dat de zelfstandige zich in een tijdsperiode t minimaal twee overgangen maakt, namelijk uit toestand i vertrekken en vervolgens weer terugkeren naar toestand i. Uit aanname twee blijkt dat deze kans gelijk is aan o(t). Dit resulteert in de kans die in Formule 24 weergegeven wordt. (24) Tot slot wordt Formule 25 gebruikt om tot Formule 5 te komen. De kans dat de zelfstandige toestand i verlaat tussen tijdstippen x en x+h, dan moet hij/zij op tijdstip x+h in een andere toestand dan toestand i, j zijn. Als hij op tijdstip x+h wel in toestand i is, dan betekent dit dat hij minstens twee overgangen heeft gemaakt. De kans hierop is volgens aanname twee o(h). (25) Door de voorgaande Formules 23, 24 en 25 in te vullen in Formule 21, wordt Formule 5 verkregen. 31