4 lektrische netwerken 4.1 Netwerkelementen lektrische netwerken bestaan uit componenten die meestal twee aansluitklemmen hebben. Zo n component met twee klemmen wordt een tweepool genoemd. v + lk netwerkelement wordt beschreven door een relatie tussen stroom i door het element en het potentiaalverschil (spanning) v over het element. 1 2 i Wanneer dit verband lineair is, spreken we over een lineaire tweepool. De referentie voor de spanning over het element wordt aangeduid met een plus- en min-teken. Wanneer v een positieve waarde heeft, dan is er een potentiaalstijging wanneer we van klem 2 naar klem 1 gaan, of een potentiaaldaling (-val) van klem 1 naar klem 2. De referentie voor de stroom wordt aangeduid met een pijl: bij conventie is de stroom positief wanneer deze bestaat uit positieve ladingen die zich bewegen in de zin van de pijl. Sommige netwerkelementen verbruiken elektrische energie: de stroom doorloopt de tweepool in de zin van een spanningsdaling. en voorbeeld is een weerstand: bij het verbruik van elektrische energie wordt deze omgezet in warmte. ndere netwerkelementen leveren elektrische energie: de stroom doorloopt de tweepool in de zin van een spanningsstijging. en voorbeeld is een batterij die zich ontlaadt. Referentiestelsel. Omdat men bij berekeningen niet altijd van tevoren weet met welke van de twee situaties men te maken heeft, moet men het onderlinge teken van spanning en stroom ondubbelzinnig kunnen bepalen. De positieve referenties van spanning en stroom moeten dus vooraf vastgelegd worden. i + v RS i + v GRS 1. Wanneer men de referentiezin voor de stroom kiest in de richting van een spanningsval (linkse figuur), dan zal het beschouwde element bij positieve waarden van spanning en stroom energie verbruiken. Dit referentiestelsel wordt het verbruikersreferentiestelsel (RS) genoemd: een verbruikt vermogen heeft in dit stelsel een positief teken. Indien de berekeningen in dit referentiestelsel leiden tot een negatieve waarde van het vermogen, dan moet men dit interpreteren als een negatief verbruikt vermogen, d.i. een geleverd vermogen. 2. Indien men daarentegen de referentiezin voor de stroom kiest in de zin van een spanningsstijging (rechtse figuur), dan zal het beschouwde element bij positieve waarden van spanning en stroom energie leveren. Deze conventie wordt het generatorreferentiestelsel (GRS) genoemd: een geleverd (of gegenereerd) vermogen heeft hier een positief teken; een verbruikt vermogen heeft hier uiteraard een negatieve waarde. In de praktijk wordt meestal spontaan het meest geschikte referentiestelsel gekozen: men spreekt van een motor van 10 kw (RS) en een centrale van 1000 MW (GRS). Maar bij berekeningen waar niet bij voorbaat duidelijk is of het beschouwde element vermogen verbruikt of vermogen levert, is het van het grootste belang te weten in welk referentiestelsel men zich bevindt. oorbeelden. In vorig hoofdstuk zijn een paar tweepolen aan bod gekomen: een spanningsbron, een stroombron, een weerstand,... en ideale schakelaar is een tweepool die zich in twee toestanden kan bevinden. In gesloten toestand maakt een schakelaar een ideale verbinding tussen zijn twee klemmen: de weerstand 17
ertussen is nul. In open toestand is er geen verbinding tussen de twee klemmen, de weerstand ertussen is dan oneindig groot. S S r open gesloten ideaal R = R = 0 Ω r r reeël R = (heel)groot R = r Ω ij een reële weerstand is tussen de klemmen in gesloten toestand een (meestal) kleine weerstand aanwezig. In open toestand is de weerstand zeer groot, maar niet oneindig. 4.2 Definities 2 1 R3 R 5 R 6 R4 knoop of knooppunt: een punt in het netwerk waar meer dan twee geleiders samenkomen; tak: een verbinding tussen twee knopen; lus of kringloop: een gesloten pad in het netwerk. 3 R 7 en netwerk oplossen komt overeen met het bepalen van de spannningen over en de stromen door de netwerkelementen. Het is voldoende om de onbekende takstromen in een netwerk te bepalen; tesamen met de waarde van de netwerkelementen kunnen dan de spanningen over de elementen bepaald worden. { kiezen van de richting/zin van de stromen, Referentiestelsel: spanningen: voor de bronnen is GRS gekozen, voor de weerstanden RS. I + 1 + I2 2 1 + I 4 R 5 R3 + + I3 R 6 + + I 5 R4 + D 3 R 7 + + I 6 18
4.3 Wetten van Kirchoff In een stroomnet met meerdere geleiders die met elektrische stroom worden doorlopen, voldoen de stroomsterkten en spanningen aan de wetten van Kirchoff. 4.3.1 Stromenwet Ook wel eerste wet genoemd: de totale stroom die in een willekeurig punt van een circuit ingaat, moet gelijk zijn aan de totale stroom die dat punt uitgaat. I 4 I 5 In punt komen verschillende stromen samen: en lopen naar het vertakkingspunt,, I 4 en I 5 verwijderen zich van dit punt. angezien in punt de elektrische ladingen zich niet kunnen ophopen, moet de hoeveelheid lading die per tijdseenheid wordt aangevoerd, in dit zelfde tijdsinterval worden afgevoerd. + = + I 4 + I 5 Wanneer de stroomintensiteiten die naar het vertakkingspunt toelopen als positief beschouwd worden en de intensiteiten die uit het vertakkingspunt vertrekken als negatief: I k = 0 k In een vertakkingspunt van een stroomnet is de algebraïsche som van de intensiteiten gelijk aan nul. Parallelschakeling van weerstanden: weerstanden zijn in parallel geschakeld wanneer dezelfde spanning op alle weerstanden aanwezig is. R2 I R3 I R v Met de stromenwet kan de vervangingsweerstand berekend worden. ij een vervangingsweerstand geldt dat bij eenzelfde spanning de stroom door deze vervangingsweerstand dezelfde is als de stroom bij de oorspronkelijke schakeling: I = + + I + 3 of I = + + R 3 angezien I = R v = + + R v R 3 De vervangingsweerstand kan dus berekend worden uit de samenstellende weerstanden: 1 R v = 1 + 1 + 1 R 3 19
Twee parallelle weerstanden, handig om te gebruiken bij het vereenvoudigen van complexe netwerken. 1 = 1 + 1 of R v = R v + De equivalente parallelweerstand van twee weerstanden vindt men door hun product te delen door hun som. Stroomsplitser of stroomdeler. en parallelschakeling van weerstanden wordt vaak gebruikt om een fractie van een gegeven stroom door te geven. ijvoorbeeld bij een parallelschakeling van twee weerstanden: + I R1 R2 De regel van de stroomsplitsing I = of = I + + I = of = I + + Om de stroom door één van de parallelle weerstanden te vinden, deelt met de toekomende stroom I door de som van beide weerstanden en vermenigvuldigt mem dit met de andere weerstand. 4.3.2 Spanningenwet Ook wel tweede wet genoemd: in een gesloten lus in een circuit moet de som van potentiaalverhogingen gelijk zijn aan de som van de potentiaalverlagingen. ertrekkende vanuit punt, met een stroom in uurwijzerzin is er bij weerstand een potentiaaldaling, bij de spanningsbron is er een potentiaalstijging en bij weerstand terug een potentiaaldaling. angezien er in punt een bepaald potentiaalniveau is, moet de som van de wijzigingen nul zijn: I + I = 0 Wanneer potentiaaldalingen als negatief en potentiaalstijgingen als positief beschouwd worden: k = 0 k In een gesloten elektrische stroomkring is de algebraïsche som van de potentiaalverschillen gelijk aan nul. Serieschakeling van weerstanden: weerstanden zijn in serie geschakeld wanneer dezelfde stroom achtereenvolgens door alle weerstanden vloeit. 1 2 2 R 3 R v 20
Met de spanningenwet kan de vervangingsweerstand berekend worden. = 1 + 2 + 3 = I + I + I R 3 = = I R v dus I R v = I + I + I R 3 R v = + + R 3 Onbelaste spanningsdeler. Men beschikt over een gelijkspanningsbron van 100. Om een vaste spanning van 40 te realiseren worden weerstanden en in serie op de gegeven bron geschakeld. Deze weerstanden moeten zodanig gekozen worden dat de deelspanning over gelijk is aan 40. Daaruit volgt dat de deelspanning over gelijk moet zijn aan 60. angezien de weerstanden in serie staan, vloeit door beide weerstanden dezelfde stroom. 1 = I of 60 = I = 100 R1 R2 40 hieruit volgt dus 2 = I of 40 = I 60 40 = R2 = 2 3 Wanneer voor 60Ω genomen wordt, dan moet gelijk zijn aan 40Ω. Wanneer voor 600Ω genomen wordt, dan moet gelijk zijn aan 400Ω. Deze keuze wordt bepaald door het vermogen. Toepassing: potentiometer: een driepool: een netwerkelement met drie aansluitklemmen. Twee van deze klemmen (,) zijn vaste klemmen en hiertussen bevindt zich een weerstand van een gekende waarde R. De derde klem () maakt door middel van een glijcontact verbinding met een plaats op de weerstand ergens tussen de twee vaste klemmen. Deze klem verdeelt de totale weerstand R in twee deelweerstanden en. Door het verschuiven van deze derde klem veranderen beide weerstandswaarden maar hun som blijft steeds gelijk aan R. R R2 R1 Door over de potentiometer een vaste spanning 0 aan te leggen, kan men over en een veranderlijke spanning bekomen, gelegen tussen 0 en 0. 1 = R 0 met [0, R] 2 = R 0 met [0, R] In de praktijk wordt een potentiometer gekenmerkt door een nominale stroom, d.i. een maximale stroom die door de potentiometer mag gaan. ijvoorbeeld een potentiometer van 100 Ω/2 : tussen de vaste klemmen is een weerstand van 100 Ω aanwezig en de maximale stroom bedraagt 2. 21
elaste spanningsdeler: bij een belasting R tussen klemmen en daalt de uitgangsspanning 2. I R P : equivalente parallelweerstand van en R 0 R1 I R P = R R + 0 en R P in serie: I = + R P R2 R 2 Uitgangsspanning: 2 = R P + R P 0 2 = + + R1R2 R 0 ij een belaste spanningsdeler is de uitgangsspanning gedaald; deze daling is groter naarmate R kleiner is. 4.4 ircuits met meerdere stroomkringen Door combinatie van de wetten van Kirchoff kunnen stromen en spanningen in een circuit berekend worden. oorbeeld: 4Ω 6 12 In punt kan men de stromenwet toepassen = + De spanningenwet kan toegepast wordt op de drie gesloten lussen: de twee kleine lussen en de grote, algehele lus. Maar één van de drie resulterende vergelijkingen zou identiek zijn met de twee andere. De spanningenwet moet dus maar op twee gesloten lussen toegepast worden. Hierbij neemt men best de meest eenvoudige gesloten lussen, namelijk die met zo weinig mogelijk spanningsbronnen. De bovenste kleine lus geeft 6 = 4 + 2 Omdat in de onderste kleine lus twee spanningsbronnen aanwezig zijn, wordt de spanningenwet beter toegepast op de grote lus 12 = 6 + 2 Dit geeft volgend stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden: + = 0 +4 +2 = 6 6 +2 = 12 Oplossing hiervan is = 15 11, = 6 11 en = 21 11. 22
Merk op. ij ingewikkelde netwerken kent men de stroomzin en de spanningszin niet. Om de wetten van Kirchoff te kunnen toepassen, moet men overal de stroomzin kennen. Dit kan door voor de stroomzin in een bepaalde tak een keuze te maken. Indien na de berekeningen blijkt dat de gevonden waarde voor de stroom negatief is, keert men de eerder gekozen stroomzin om. 4.5 Superpositiemethode Deze methode kan gebruikt worden wanneer in een netwerk meerdere bronnen aanwezig zijn. Hierbij gaat men na welke stromen door de verschillende takken gaan wanneer er slechts één bron aanwezig is. In de verschillende deelstappen wordt alle bronnen behalve één inactief gemaakt: ideale spanningsbronnen worden vervangen door een kortsluiting; ideale stroombronnen worden weggenomen; reële bronnen worden vervangen door hun bronweerstand. In zo n eenvoudig netwerk kunnen de verschillende stromen gemakkelijk berekend worden. Wanneer de verschillende deelstromen berekend zijn, worden deze algebraïsch opgeteld. oorbeeld: Spanningsbron van 6 wordt weggelaten: 4Ω 12 Weerstand van en 4Ω staan in parallel. Deze vervangingsweerstand staat in serie met weerstand van. = 18 11 = 6 11 = 12 11 Spanningsbron van 12 wordt weggelaten: 4Ω 6 Weerstand van en staan in parallel. Deze vervangingsweerstand staat in serie met weerstand van 4Ω. = 3 11 = 12 11 = 9 11 Optellen van de stromen geeft: 4Ω 6 = 18 11 3 11 = 15 11 12 = 12 11 6 11 = 6 11 = 12 11 + 9 11 = 21 11 23
4.6 Ster-driehoektransformatie (Y ) Om een complex netwerk te vereenvoudigen kan men gebruikmaken van de ster-driehoek- of driehoek-stertransformatie. In een driehoeksschakeling ( ) zijn drie weerstanden aanwezig die samen een driehoek vormen waarvan de hoekpunten de knopen 1, 2 en 3 vormen (linkse figuur). Deze driehoeksschakeling kan vervangen worden door een equivalente sterschakeling (Y) met drie andere weerstanden (rechtse figuur) waarbij een extra knoop (sterpunt 0) ingevoerd wordt. Deze transformatie heeft geen effect op de rest van het netwerk, d.w.z. de stromen, en blijven ongewijzigd. 2 2 2 1 R23 1 0 R 3 R 31 3 3 In beide netwerken moet tussen de bestaande knooppunten dezelfde weerstand aanwezig zijn: tussen knoop 1 en knoop 2: bij een parallelschakeling van 2 en de serieschakeling van R 31 en 3 bij Y : een serieschakeling van en tussen knoop 2 en knoop 3: bij een parallelschakeling van 3 en de serieschakeling van 2 en R 31 bij Y : een serieschakeling van en R 3 tussen knoop 3 en knoop 1: bij een parallelschakeling van R 31 en de serieschakeling van 3 en 2 bij Y : een serieschakeling van en R 3 Gelijkstellen geeft + + R 3 + R 3 = R12(R31+R23) 2+R 31+3 = R23(R12+R31) 3+2+R 31 = R31(R23+R12) R 31+3+2 of R 3 = R12(R31+R23) 2+R 31+3 = R23(R12+R31) 3+2+R 31 R 3 = R31(R23+R12) R 31+3+2 In de vergelijking van vervangen op basis van de 2e vergelijking, waarin R 3 vervangen wordt op basis van de 3e vergelijking: r blijft over = 2(R 31 + 3 ) 2 + R 31 + 3 3(2 + R 31 ) 3 + 2 + R 31 + R 31(3 + 2 ) R 31 + 3 + 2 2 = 2 R 31 2 + R 31 + 3 + 2 R 31 2 + R 31 + 3 Door wat algebra kan ook 2 uitgedrukt worden in functie van, en R 3. Dit geeft de transformatieformules: 24
Y Y = = R 3 = 2R 31 2+3+R 31 3 = R1R2+R2R3+R3R1 23 2+3+R 31 R 31 = R1R2+R2R3+R3R1 R 313 2+3+R 31 2 = R1R2+R2R3+R3R1 R 3 oorbeeld. 7 Ω 32 2 Ω 3 Ω 5 Ω 6 Ω 4 Ω I 4 I 5 I 6 Tussen knopen, en is er een driehoek van weerstanden die kan omgezet worden naar een sterschakeling (netwerk langs links): R 0 = R 0 = R 0 = 6 2 6 + 2 + 4 = 1 Ω 6 4 6 + 2 + 4 = 2 Ω 2 4 6 + 2 + 4 = 0.67 Ω ovenaan, links en rechts is er telkens een serieschakeling van twee weerstanden: in het netwerk in het midden zijn de vervangingsweerstanden hiervan weergegeven. In dit netwerk kunnen de twee weerstanden in parallel vervangen worden door één weerstand: zie netwerk langs rechts. 7 Ω 2 Ω 1 Ω 0 8 Ω 8 Ω 32 0.67 Ω 3 Ω 32 5 Ω 5 Ω 5.67 Ω 32 2.67 Ω I 5 I 6 I 5 I 6 25
De stroom kan nu berekend worden: Op basis van de regel van de splitser: = 32 8 + 2.67 = 3 I 5 = 5.67 5 + 5.57 3 = 1.59 I 6 = Op basis van het originele netwerk: 5 5 + 5.57 3 = 1.41 spanning over de weerstand van 3Ω : 3 = 3 I 5 = 4.78 spanning over de weerstand van 5Ω : 5 = 5 I 6 = 7.03 spanning over de weerstand van 4Ω : 4 = 5 3 = 2.25 stroom door de weerstand van 4Ω : I 4 = 4 4 = 0.56 De twee resterende stromen kunnen dan berekend worden op basis van de stromenwet: = I 4 + I 6 = 1.97 = = 1.03 4.7 Thévenin en Norton equivalenten Soms moet de stroom in één bepaalde tak van het netwerk berekend worden. Ofwel is het niet nodig om de andere stromen te kennen, ofwel kunnen deze gemakkelijk berekend worden uit die ene stroom. Om zo n enkele stroom in een bepaalde tak te berekenen, kunnen de methodes van Thévenin en Norton gebruikt worden. 1. Isoleer de tak waarvan de stroom moet berekend worden van de rest van het netwerk; 2. deze tak wordt uit het netwerk weggenomen: de rest van het netwerk kan aanzien worden als een tweepool die energie levert aan de bewuste tak; 3. deze resterende tweepool wordt vervangen door een equivalent schema: Thévenin: een equivalente reële spanningsbron; Norton: een equivalente reële stroombron; 4. de weggenomen tak wordt terug in het equivalente schema opgenomen en de stroom door de tak kan berekend worden. oorbeeld: berekening van de stroom in tak 4Ω 6 12 12 26
Thévenin equivalent Norton equivalent De resterende tweepool wordt vervangen door één van de twee nevenstaande equivalenten. TH R TH IN RN erste methode: om het Thévenin equivalent te gebruiken moet de spanning TH en de weerstand R TH berekend worden. epalen van TH : om TH te vinden, berekenen we de spanning tussen de open klemmen van het resterende netwerk, TH =. Deze open klemspanning kan gevonden worden door de potentiaalvariaties te inventariseren, vertrekkende van de potentiaal aan klem gaande naar de potentiaal aan klem. 12 Weerstanden 2 Ω en 6 Ω staan in serie Stroom : I = 12 2+6 of I = 3 2 Langs boven: + (2)( 3 2 ) = Langs onder: + 12 (6)( 3 2 ) = In beide gevallen geeft dit een spanning van 3. De ideale equivalente Théveninbron TH heeft dus een waarde van 3. epalen van R TH De aanwezige bronnen worden inactief gemaakt: ideale spanningsbronnen worden vervangen door een kortsluiting; ideale stroombronnen worden weggenomen; reële bronnen worden vervangen door hun bronweerstand. Weerstanden 2 Ω en 6 Ω staan in parallel De vervangingsweerstand is (2)(6) 2+6 of 3 2 Ω Het Thévenin equivalent schema of spanningsequivalent schema: 1.5 Ω 1.5 Ω 4 Ω 3 3 6 27
Wanneer in dit equivalent schema de geïsoleerde tak terug opgenomen wordt, kan de stroom door deze tak berekend worden. De twee weerstanden staan in serie, vervangingsweerstand is 3 2 + 4 of 11 2 Ω. De stroom = (63) 11 of = 6 11. 2 Tweede methode: om het Norton equivalent te gebruiken moet de stroom I N en de weerstand R N berekend worden. epalen van I N : om I N te vinden worden de klemmen en kortgesloten en wordt de kortsluitstroom I berekend. I = 12 6 = 2 I 12 De ideale equivalente Nortonbron I N heeft dus een waarde van 2. epalen van R N : de waarde van deze weerstand tussen de klemmen en is dezelde als bij het Thévenin schema: R N = R TH. Het Norton equivalent schema of stromingsequivalent schema: 4 Ω 2 1.5 Ω 2 1.5 Ω 6 Wanneer in dit equivalent schema de geïsoleerde tak terug opgenomen wordt, kan de stroom door deze tak berekend worden. In punt kan de stromenwet toegepast worden: 2 + = In de rechterlus kan de spanningenwet gebruikt worden : 6 = 4 + 1.5 In deze vergelijking kan vervangen worden: 6 = 4 + 1.5(2 + ) n daaruit volgt dat = 63 4+1.5 of = 6 11. Merk op. De equivalente Théveninweerstand heeft dezelfde waarde als de equivalente Nortonweerstand, R TH = R N. r is ook een verband tussen de spanning in het Thévenin equivalent schema en de stroom in het Norton equivalent schema: I N = TH R TH of TH = I N R N Dus wanneer het ene euivalent schema berekend is, kan daaruit het andere equivalent schema afgeleid worden. 28
4.8 Schakelingen met condensatoren 4.8.1 Parallelschakeling Drie condensatoren met capaciteiten 1, 2 en 3 zijn in parallel aangesloten op een spanning. + 1 2 3 Deze drie condensatoren nemen verschillende ladingen Q 1, Q 2 en Q 3 op bij eenzelfde spanning : Q 1 = 1 Q 2 = 2 Q 3 = 3 De totale lading is de som van de drie ladingen Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 De drie condensatoren kunnen vervangen worden door één condensator die dezelfde totale lading Q opneemt bij eenzelfde spanning : Dus Na delen door spanning : Q = = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 De capaciteit van de vervangcondensator is gelijk aan de som van de capaciteiten van de condensatoren die in parallel staan. 4.8.2 Serieschakeling Drie condensatoren met capaciteiten 1, 2 en 3 zijn in serie aangesloten op een spanning. + 1 1 2 2 3 3 Wanneer de linkerplaat van de eerste condensator een lading +Q opneemt, dan zal de rechterplaat van die condensator tot een lading Q komen, door afstoting vanwege de lading op de linkerplaat. De rechterplaat van de eerste condensator en de linkerplaat van de tweede condensator vormen samen met de verbinding tussen beide condensatoren een geleider die volledig geïsoleerd staat opgesteld. Noch links, noch rechts kan lading bijkomen of afvloeien. De totale lading van deze geleider kan niet veranderen en blijft dus 0. De lading +Q die op de rechterplaat van de eerste condensator wordt weggedrukt, komt terecht op de linkerplaat van de tweede condensator. eide condensatoren hebben dezelfde lading. Dezelfde redenering geldt voor de tweede en de derde condensator. Dus, de elektrische ladingen van alle in serie geschakelde condensatoren zijn gelijk, onafhankelijk van de capaciteit van elke condensator. oor de spanningen over elke condensator geldt: 1 = Q 1 2 = Q 2 3 = Q 3 De vervangingscondensator met capaciteit neemt, bij een zelfde spanning, eveneens een lading Q op: = Q 29
De totale spanning is gelijk aan de som van de deelspanningen: = 1 + 2 + 3 Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 De lading Q is voor elke condensator dezelfde, ook voor de vervangingscondensator. 1 = 1 1 + 1 2 + 1 3 ij een serieschakeling van condensatoren is er een spanningsdeling. Over de kleinste condensator staat de grootste spanning. 4.9 Het R circuit ondensatoren kunnen een lading opnemen, en deze lading terug afgeven. oor dit transport van ladingen zijn er verbindingsdragen nodig. + en weerstand R en een condensator worden aangesloten aan een bron met spanning. Men zorgt er voor dat de verbindingsdraden tussen bron, weerstand en condensator bijna geen weerstand hebben, door een zeer goede geleider te gebruiken. r is ook een schakelaar voorzien. De condensator is ongeladen en de schakelaar is open. r vloeit geen stroom. De condensator kan geen lading ontvagen. i R Laden van de condensator. ij het sluiten van de schakelaar kan er wel stroom vloeien. i R + + De stroom, een transport van ladingen, zorgt er voor dat de bovenste plaat een lading +Q krijgt. De positieve lading van de bovenste plaat oefent een elektrische kracht uit op de positieve ladingen van de onderste plaat en duwt deze weg. Positieve ladingen op de onderste plaat vloeien weg en komen aan bij de negatieve klem van de bron. Door het verdwijnen van positieve ladingen wordt de onderste plaat negatief geladen. Noteer dat de ladingen die vertrekken bij de condensator (onderste plaat) niet dezelfde zijn als de ladingen die aankomen (bovenste plaat). De isolerende middenstof belet transport van ladingen doorheen de condensator. oor de rest van de schakeling is het wel alsof de stroom door de condensator vloeit. Opmerking. In werkelijkheid gebeurt het transport van ladingen door elektronen, negatieve ladingen: elektronen komen aan op de onderste plaat en duwen elektronen weg uit de bovenste plaat; en deze komen vervolgens aan bij de positieve klem van de bron. Wanneer de condensator opgeladen wordt, krijgt men een spanning over de condensator: = Q. Naarmate de lading groter wordt, wordt ook de spanning op de condensator groter. De stroom ondervindt een tegenwerkende spanning vanwege de condensator. Deze tegenspanning op de condensator wordt groter en groter; en daardoor vermindert de stroom. Om aan te duiden dat de stroom niet constant blijft, noteert men deze met een kleine letter, i. Ook de spanning op de 30
condensator is veranderlijk, en wordt genoteerd met een kleine letter v. Daarnaast is er ook een spanning over de weerstand, v R. De bronspanning blijft constant. Op elk ogenblik geldt: = v R + v. Het opladen van de condensator is tijdsafhankelijk: de begintoestand (ongeladen condensator) is anders dan de toestand tijdens het opnemen van lading en anders dan bij de eindtoestand, waarbij de spanning over de condensator zo groot is dat de bronspanning volledig wordt gecompenseerd (en er geen stroom meer vloeit). Het kleiner worden van de stroom, en het groter worden van de spanning over de condensator kunnen in grafiek gebracht worden: i R v t t De waarde van de beginstroom I 0 is gelijk aan R, omdat op dat ogenblik de tegenspanning 0 is, condensator heeft namelijk nog geen lading. Tijdens het opladen van de condensator vermindert de stroom i tot de waarde 0: de toenemende lading op de condensator heeft als gevolg een toenemende tegenspanning. Wanneer de tegenspanning op de condensator uiteindelijk gelijk wordt aan de bronspanning kan er geen stroom meer vloeien, i = 0. Merk op dat bij een kleinere stroom de spanning over de condensator minder sterk stijgt. en kleinere stroom betekent minder ladingen die per tijdseenheid op de condensator aankomen, en dus een kleinere spanningsaangroei. Wanneer de condensatorspanning gelijk geworden is aan de bronspanning, verandert er niets meer: de stroom is nul, er komen geen ladingen meer bij. De lading op de condensator is evenredig met de spanning: q = v. Na het opladen vloeit er geen stroom meer: een condensator blokkeert gelijkstroom. Het verloop van de stroom kan als volgt berekend worden: v R + v Ri + 1 idt = = R di dt + i = 0 di = dt i R di dt = i R log i log i I 0 i I 0 = dt R + K stel K = log I 0 = dt R = exp dt R Het verloop van de stroom en de spanning over de condensator zijn dus exponentieel: i = R expt R en v = (1 exp t R ) 31
Het product R wordt de tijdsconstante genoemd en hiervoor wordt het symbool τ gebruikt (dimensie is tijd). Hoe kleiner de tijdsconstante τ, hoe sneller het oplaadproces verloopt. Men kan aantonen dat na een tijd gelijk aan τ ongeveer 66% van het laadproces verlopen is. Strikt wiskundig is het laadproces pas afgelopen na een oneindig lange tijd. In de praktijk wordt het laadproces als afgelopen beschouwd na een tijd gelijk aan 5τ; de waarde van de lading is dan 99.3% van de eindlading. De tijdsconstante τ is afhankelijk van de waarde van de weerstand en de capaciteit van de condensator: een kleinere weerstand laat een grotere laadstroom door en een kleinere condensator is sneller geladen, er is minder lading nodig om geladen te worden tot de bronspanning. Ontladen van de condensator. en geladen condensator kan men loskoppelen van de bron. Met een geopende schakelaar kan er geen lading wegvloeien, de lading en de spanning op de condensator blijven behouden. R i + + Om de condensator te ontladen wordt deze kortgesloten over een weerstand. De lading vloeit van de condensator weg, met een tijdsconstante τ = R. De stroom wordt beperkt door de weerstand. ij een voledig opgeladen condensator (op bronspanning ) wordt de differentiaalvergelijking v R + v = 0 of Ri + 1 idt = 0 Oplossen is gelijkaardig als bij het laden van de condensator. Op tijdstip t = 0 is de spanning over gelijk aan de bronspanning zodat de beginstroom I 0 = R. De stroom neemt exponentieel af met dezelfde tijdsconstante τ als bij het laden; de spanning over de condensator neemt exponentieel af met tijdsconstante τ van naar 0 : i = R expt R en v = exp t R Samenvatting. De condensator wordt eerst geladen (schakelaar in ) en dan ontladen (schakelaar in ). i, v R + R S i + R t oplading ontlading S in S in S in 32