Vergelijkingenstelsels

Vergelijkingenstelsels We willen de vergelijking van de lijn door de punten (-1, 6) en (3, 8) bepalen. De algemene gedaante van een vergelijking van een rechte lijn luidt: y = a x + b. Omdat het punt (-1, 6) op de lijn ligt moet die algemene vergelijking kloppen als we voor x = -1 en y = 6 invullen, dus: 6 = a -1 + b -a + b = 6 (1) Als het punt (3, 8) op de lijn ligt moet de vergelijking ook kloppen als we voor x = 3 en y = 8 invullen, dus: 8 = a 3 + b 3a + b = 8 (2) We hebben nu twee vergelijkingen (1) en (2) met twee onbekenden a en b. Omdat die twee vergelijkingen bij elkaar horen spreken we van een vergelijkingenstelsel. -a + b = 6 3a + b = 8 Dit stelsel is heel eenvoudig op te lossen. Als we beide vergelijkingen van elkaar aftrekken valt b weg: -a + b = 6 3a + b = 8 - -4a = -2 a = -2 / -4 a = 0,5 Door vervolgens de gevonden waarde van a in te vullen in bijvoorbeeld de bovenste vergelijking volgt: -0,5 + b = 6 b = 6 + 0,5 b = 6,5 We kunnen ook de waarde van a in de tweede vergelijking invullen: 3 0,5 + b = 8 1,5 + b = 8 b = 8 1,5 b = 6,5. Nu we a en b hebben gevonden volgt voor de vergelijking van de lijn y = 0,5 x + 6,5. Meestal kunnen we bij een vergelijkingenstelsel niet direct aftrekken om een onbekende kwijt te raken, zoals bij: 2a + 3b = 8 3a - b = 1 We mogen wel een vergelijking links en rechts met hetzelfde vermenigvuldigen. We gaan de bovenste vergelijking met 3 en de onderste vergelijking met 2 vermenigvuldigen. In beide vergelijkingen krijgen we dan de term 6a: 2a + 3b = 8 3 6a + 9b = 24 3a - b = 1 2 6a - 2b = 2 Nu raken we door aftrekking a kwijt en kunnen we b berekenen: Blz 1 van 8

2a + 3b = 8 3 6a + 9b = 24 3a - b = 1 2 6a - 2b = 2-11b = 22 b = 2 a = 1 ( hoe komen we daaraan?) Deze methode staat bekend onder de naam schoorsteenmethode. We kunnen natuurlijk ook proberen om eerst b kwijt te raken: 2a + 3b = 8 1 2a + 3b = 8 3a - b = 1 3 9a - 3b = 3 + 11a = 11 a = 1 b = 2 Merk op dat we in dit geval moeten optellen om b kwijt te raken. Tip: zet in de schoorsteen altijd positieve getallen om fouten bij het vermenigvuldigen met negatieve getallen te vermijden! Los de volgende vergelijkingenstelsels op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma: 1 a) 2x - 4y = 2 b) 4s + 3t = -2 c) 2q - 3r = 1 3x + 2y = 7 3s - 2t = 7 4q + 6r = 6 2 a) 2x - 3y = 2 b) 4s + 3t = -2 c) 2q - 3r = 1 -x + 2y = 7 3s - 5t = 7 -q + 2r = 6 3 a) 4x - 3y = 3 b) 4v + 3w= -5 c) 2q - 3r = 7 3x + 2y = 7 3v 2w = 7 4q + 6r = 6 4 a) 4a + 3b = 3 b) 4s + 3t = -5 c) 2q - 3r = 7 3a - 2b = 7 3s - 2t = 7-4q + 6r = -14 We weten nu hoe we twee vergelijkingen met twee onbekenden kunnen oplossen. Drie vergelijkingen met drie onbekenden kunnen we herleiden tot twee vergelijkingen met twee onbekenden. Daartoe isoleren we een willekeurige onbekende uit een van de vergelijkingen en vullen hem in de overige twee vergelijkingen in: 4a + 2b - c = 4 c = 4a + 2b - 4 invullen in de overige twee vgl: -a + 3b - 2c = -2 2a - b + 3c = 7 -a + 3b - 2( 4a + 2b - 4) = -2 -a + 3b - 8a - 4b + 8 = -2-9a - b = -10 2a - b + 3(4a + 2b - 4) = 7 2a - b + 12a + 6b - 12 = 7 14a + 5b = 19 Blz 2 van 8

We hebben nu drie vergelijkingen met drie onbekenden herleid tot twee vergelijkingen met twee onbekenden. Hierna volgt weer met de schoorsteenmethode a = 1 en b = 1. Tenslotte berekenen we c = 4a + 2b - 4 = 4 1 + 2 1-4 = 2 Opmerking 1: we hadden bijvoorbeeld ook uit de derde vergelijking de onbekende b kunnen isoleren en in de bovenste twee vergelijkingen kunnen invullen. Opmerking 2: bij bijvoorbeeld tien vergelijkingen met tien onbekenden kunnen we een willekeurige onbekende uit een van de vergelijkingen isoleren en in de overige vergelijkingen invullen. Daardoor krijgen we negen vergelijkingen met negen onbekenden, enzovoort. Los de volgende vergelijkingenstelsels op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie met twee cijfers achter de komma: 5 3a - 2b + 4c = 3 6a + b - 5c = -2-3a - b + 2c = 0 6 2x - 5y + z = 2 4x + y - 3z = -1-2x - 2y + 3z = 2 7 -x + 3y - 2z = -4 2x + 3y + z = 5 3x - 6y + 2z = 5 We merken dat drie vergelijkingen met drie onbekenden al veel rekenwerk is. Als we vier vergelijkingen met vier onbekenden moeten oplossen zijn we daar nog langer mee bezig. Gelukkig bestaan er rekenmachines en computerprogramma s die dat voor ons kunnen doen: Hierboven zien we een schermbeeld van de TI-Voyage 200, een van de meest geavanceerde symbolische rekenmachines. Met de Losop-opdracht kunnen we een willekeurig vergelijkingenstelsel oplossen. In dit geval betreft het ons voorbeeld onderaan de vorige bladzijde. We voeren in dat geval de volgende opdracht in: Losop(4x+2y-z=4 and -x+3y-2z=-2 and 2x-y+3z=7,{x,y,z}) gevolgd door ENTER.. Het resultaat verschijnt op het display: x = 1, y = 1 en z = 2. Blz 3 van 8

Hierboven zien we schermbeelden van de grafische rekenmachine TI-83+. Met het programma PolySmlt kunnen we meergraadsvergelijkingen en vergelijkingenstelsels oplossen. Allereerst geven we het aantal vergelijkingen en onbekenden, hier drie. Daarna vullen we een zogenaamde matrix in met de diverse coëfficiënten (middelste scherm). Na het drukken op SOLVE verschijnt de oplossing: x 1 = 1, x 2 = 1 en x 3 = 2. We kunnen op deze manier tot 30 vergelijkingen met 30 onbekenden oplossen! Het programma PolySmlt (Polynomial Root Finder and Simultaneous Equation Solver for TI- 83 Plus) kunnen we gratis downloaden van de volgende Texas Instruments-site http://education.ti.com/us/global/latest.html en met een link-kabel in de TI-83plus opslaan. Moderne grafische rekenmachines zoals de TI-83+ zijn met FLASH-technologie uitgerust. We kunnen van deze machines het besturingssysteem upgraden, het menu Nederlandstalig maken en nieuwe toepassingen van internet downloaden en installeren. Ook bestaan er diverse computerprogramma s waarmee we dergelijke vergelijkingenstelsels kunnen oplossen zoals het wiskundecomputerprogramma DERIVE. Na het openen van DERIVE klikken we in de werkbalk op Oplossen en vervolgens op Stelsel. In het volgende instelscherm stellen we het aantal in op drie: Na het klikken op OK kunnen we onze drie vergelijkingen invoeren: Blz 4 van 8

Na het invoeren van de eerste vergelijkingen gaan we telkens met de TAB op ons toetsenbord naar het volgende invoerveld. Tenslotte klikken we op Oplossen: Derive levert altijd de exacte oplossing, vaak is dat een breukvorm. Klikken op het benaderen-ikoon ( ) geeft de oplossing in decimale vorm. Kijk maar eens hieronder voor de oplossing van een ander stelsel: Blz 5 van 8

Los met behulp van het computerprogramma DERIVE de volgende vergelijkingenstelsels op en geeft de antwoorden in wetenschappelijke notatie met vier cijfers achter de komma: 8 a + 2b 5c + 4d = 12 9 2a 7b + 8c d = 5-2a + 3b 2c 6d = -6 a + 4b 5c + 4d = 12 2a 5b + 8c d = 5 4a 4b + c 3d = 17 4a 4b + c 2d = 7-5a + 3b 2c 6d = -6 10 5a + 2b 5c + 4d 2e = 12 11 3v 3w + 5x 2y = 6-3a 5b + 8c d + 3e = 5 5v + 12w 3z = 4 4a 4b + c 2d 6e = 7-3w + 4x 7y + 4z = 14-2a + 3b 2c 6d + 3e = -6 5x + 2y 8z = -6 7a 3b + 4d e = 5 3y 4x 2z + 12w = 0 Op internet zijn talrijke wiskundesites te vinden waar we onder andere vergelijkingenstelsels kunnen oplossen. Een veel geraadpleegde site is QuickMath http://www.quickmath.com/ Als we klikken op Equations / Solve / Advanced verschijnt het volgende invoerscherm waar we onze drie vergelijkingen kunnen intypen: Let erop dat de variabelennamen kloppen in het variabelen-invulvenster. Na het klikken op het Solve-ikoon zien we de volgende oplossing: Blz 6 van 8

Als we benaderde (decimale) resultaten willen hebben moeten we onder OPTIONS het vakje Approximate aanvinken. Los met behulp van QuickMath de volgende vergelijkingenstelsels op en geeft de antwoorden in vijf cijfers nauwkeurig. Dat betekent dat we onder OPTIONS het Approximate-vakje moeten aanvinken met vijf digits! 12 7a + 3b 5c + 4d = -12 13 8v 3w + 5x = 6-3a 5b + 8c d = 5 3v + 14w 3x + 4y= 4 4a 4b + c 3d = -7-3w + 4x = 14-2a + 3b 2c 6d = -6 7v + 2w 8y = -6 Opmerking : in QuickMath mogen we als variabelenamen niet pi, e of i gebruiken. Deze namen zijn namelijk gereserveerd voor constanten : pi = 3,14 ; e = 2,72 : i = imaginaire eenheid. Blz 7 van 8

Antwoorden vergelijkingenstelsels 1 a) x = 2,0000 ; y = 0,5000 b) s = 1,0000 ; t = -2,0000 c) q = 1,0000 ; r = 0,3333 2 a) x =25,0000 ; y = 16,0000 b) s = 0,3793 ; t = -1,1724 c) q = 20,0000 ; r = 13,0000 3 a) x = 1,5882 ; y = 1,1176 b) v = 0,6471 ; w = -2,5294 c) q = 2,5000 ; r = -0,6667 4 a) a = 1,5882 ; b = -1,1176 b) s = 0,6471 ; t = -2,5294 c) geen oplossingen. 5 a = 0,33 ; b = 1,00 ; c = 1,00 6 x = 0,50 ; b = 0,00 ; c = 1,00 7 x = 1,00 ; b = 0,33 ; c = 2,00 8 a = 9,7901 ; b = 8,5432 ; c = 3,6173 ; d = 0,8025 9 a = 4,8185 10 1 ; b = 7,0778 10 1 ; c = 4,8037 10 1 ; d = -1,9778 10 1 10 a = 7,3953 10 1 ; b = 1,7480 10 2 ; c = 1,5195 10 2 ; d = -7,2326 ; e = -4,0663 10 1 11 x = 2,1384 ; y = -5,2438 10-2 ; z = 2,0734 ; v = -5,2753 10-1 ; w = 1,0715 12 a = -2,6351 ; b = -2,2540 ; c = -1,6109 : d = 1,2883 13 v = -1,5985 : w = 1,7169 : x = 4,7876 : y = -0,2194 Blz 8 van 8