Weerwolven van Wakkerdam Jorritsma Joost 0748615 Swevels Barry 0716899 24 oktober 2011 1
Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Opdracht 4 3 Rollen 5 3.1 Gewone burgers................................. 5 3.2 Weerwolven................................... 5 3.3 Burgemeester.................................. 5 3.4 Cupido...................................... 5 3.5 Jager....................................... 6 4 Visualisatie Spel 7 5 Urn-model Burgers tegen Weerwolven 9 6 Simulatie: Burgers tegen Weerwolven 12 7 Vervolg Project 13 2
1 Inleiding Weerwolven van Wakkerdam, ook wel bekend als Maffia is een gezelschapsspel om met een grotere groep te spelen. In het spel zijn er 2 type spelers, de burgers en de weerwolven. Voor iedere groep is het doel om de andere soort uit te moorden. De weerwolven weten wie de andere weerwolven zijn. De burgers kennen niet de functies van andere deelnemers, zij weten dus niet wie weerwolf is en wie burger is. Iedere ronde worden er een aantal mensen gedood. In de nachtronde moeten de weerwolven samen één iemand aanduiden die te overlijden komt, in de daar op volgende dagronde mogen alle spelers iemand aanduiden die zal sterven. Op deze manier zullen er dus iedere ronde 2 mensen sterven. Het spel is afgelopen op het moment dat ofwel de burgers zijn uitgestorven ofwel de weerwolven zijn uitgestorven. Indien gewenst kunnen de spelers er voor kiezen om een aantal speciale functies toe te voegen aan het spel. Dit zorgt er voor dat het spel een stuk diepzinniger wordt en dat de spelers met veel meer dingen rekening moeten houden. Zo kunnen er bijvoorbeeld een ander aantal mensen sterven tijdens een ronde. In dit tussenverslag hebben we enkel de jager en cupido toegevoegd, ze zijn echter nog niet geïmplementeerd in de berekening en simulatie. Wat deze rollen precies inhouden wordt besproken in Hoofdstuk 3. 3
2 Opdracht Het idee van deze opdracht is om het spel te modelleren aan de hand van een urn-model en om vervolgens te kijken hoe eerlijk het spel daadwerkelijk is. We beschouwen het spel eerlijk wanneer de burgers een even grote kans hebben om te winnen als de weerwolven. We gaan het spel vanuit verschillende perspectieven bekijken. Zo gaan we het spel bekijken als de spelers telkens willekeurig hun stem uitbrengen, verder gaan we enkele tactieken bekijken die de spelers kunnen toepassen. Aan de hand van die resultaten kunnen we dus ook verifiëren welke tactiek het best wordt toegepast in een bepaalde situatie. 4
3 Rollen De jager en cupido zijn nog niet in de simulaties en berekening opgenomen, dit zal wel het geval zijn bij het eindverslag. 3.1 Gewone burgers De burgers zijn de goeden in dit spel. Onder de burgers zitten een aantal verschillende functies. de burgers zonder functie,ook wel de gewone burgers genoemd, hebben geen speciale gaven en mogen niks speciaals uitvoeren tijdens de nachtronden. Tijdens de dagronden stemmen alle deelnemers, dus ook de gewone burgers. De persoon met de meeste stemmen wordt vermoord. De burgers hebben gewonnen op het moment dat alle weerwolven zijn vermoord. 3.2 Weerwolven De weerwolven zijn de slechten in het spel. De weerwolven kennen elkaar. De weerwolven mogen iedere nacht samen iemand uitkiezen die sterft, verder stemmen de weerwolven ook mee op de dagronde. De weerwolven hebben gewonnen op het moment dat alle burgers zijn vermoord. De weerwolven hebben echter ook gewonnen wanneer ze met meer zijn dan de burgers of met evenveel als de burgers (zolang er geen jager in zit). De weerwolven stemmen dan namelijk iedere nachtronde een burger eruit, waarna ze in de meerderheid zijn en vervolgens in de dagronde weer een burger kunnen vermoorden. 3.3 Burgemeester De burgemeester wordt aangesteld tijdens de eerste dagronde. De burgemeester is een additieve rol die enkel van toepassing is als er tijdens de stemming een ex aequo is. Op dit moment zal de burgemeester de knoop doorhakken en bepalen wie er sterft. Op het moment dat de burgemeester wordt vermoord mag hij zelf een nieuwe burgemeester aanstellen. 3.4 Cupido Cupido is één van de speciale burgers in het spel. Cupido duidt vóór de eerste nachtronde 2 personen aan. Deze 2 personen worden intens verliefd op elkaar. Dit heeft als gevolg dat wanneer één van de twee geliefden sterft, de andere ook direct sterft. De geliefden behouden hun oorspronkelijke functie, dit wil zeggen dat ze nog steeds vanuit hun soort opereren. Een weerwolf blijft dus een weerwolf en een gewone burger blijft een gewone burger,... Indien de geliefden bestaan uit één weerwolf en één burger verandert het doel voor deze twee spelers. De geliefden winnen in dit geval enkel als zij twee als enigen over blijven. Wanneer de geliefden twee burgers zijn, winnen zij als de burgers winnen, en als ze twee 5
weerwolven zijn, dan winnen zij als de weerwolven winnen. Cupido zelf wordt een gewone burger nadat hij het koppel heeft aangesteld. Er is maximaal één cupido per spel. 3.5 Jager De jager is één van de speciale burgers. De jager moet op het moment dat hij vermoord wordt iemand meenemen in zijn graf. Hij mag zelf kiezen wie hij vermoordt, maar hij zal natuurlijk proberen om er een weerwolf uit te stemmen. Er is maximaal één jager per spel. Dankzij de jager zou het onbeslist kunnen eindigen. Stel dat er alleen nog een weerwolf en een jager in het spel zitten, dan zal de weerwolf de jager vermoorden in de nachtronde. Bijgevolg zal de jager dan de weerwolf omleggen. 6
4 Visualisatie Spel Vooraleer we het spel in een urn-model willen omzetten en de eerlijkheid van het spel behandelen, gaan we een mogelijk spel bespreken. Dit zal een spel zijn met vijf burgers (beige) en één weerwolf (rood). Het spel begint met de nachtronde, dit betekent dat de weerwolf direct een burger zal vermoorden. In de daar op volgende dagronde kunnen er twee dingen gebeuren. Er kan een weerwolf vermoordt worden, in dat geval winnen de burgers, de andere optie is dat er een burger sterft, in dat geval komen we in de tweede ronde met drie burgers en één weerwolf. De tweede nachtronde heeft tot gevolg dat er weer een burger zal sterven. In de tweede dagronde zijn er weer twee mogelijkheden: de weerwolf sterft (de burgers winnen), of een burger sterft, dit heeft tot gevolg dat de weerwolven winnen aangezien de weerwolf in de derde nachtronde de resterende burger zal vermoorden. Indien we het spel samenvatten aan de hand van een plaatje zal dat er als volgend uitzien. Figuur 1: Spelverloop 5 burgers tegen 1 weerwolf 7
We kunnen dus ook voor dit geval uitrekenen hoe groot de kans is dat de weerwolven winnen, omdat we aannemen dat iedereen willekeurig stemt. Figuur 2: Kansmodel 5 burgers tegen 1 weerwolf P(Weerwolven winnen) = 1 4 5 1 2 3 1 = 8 15 P(Burgers winnen) = 1 ( 1 5 + 4 5 1 1 3 ) = 7 15 8
5 Urn-model Burgers tegen Weerwolven Het zou natuurlijk fijn zijn als er een algemene functie is die aangeeft hoe groot de kans is dat de weerwolven winnen afhankelijk vanaf het aantal burgers en weerwolven in de beginsituatie. Zoals in Figuur 1 duidelijk te zien is, ontstaat er na een nacht- en dagronde weer een nieuw spel, maar dan met twee deelnemers minder. Stel dat er in de beginsituatie b burgers en w weerwolven zijn. Dan zijn er na de nachtronde nog b 1 burgers en w weerwolven over en dus b + w 1 deelnemers in totaal. De kansen dat er een burger of weerwolf uitgaat in de dagronde zijn dan (als we aannemen dat iedereen onafhankelijk van elkaar én onafhankelijk van de vorige ronde stemt): P(Burger eruit) = P(Weerwolf eruit) = b 1 b + w 1 w b + w 1 Figuur 3: Kansmodel b burgers tegen w weerwolven Na de dagronde is er in feite een een nieuw spel, met ófwel 2 burgers minder óf 1 burger en 1 weerwolf minder. De bewering dat we in een nieuw spel zitten, klopt omdat we er in dit model van uit gaan dat alle rondes onafhankelijk zijn. Dit houdt ook in dat er willekeurig wordt gestemd door alle spelers en dat de weerwolven dus ook niet noodzakelijk elkaar gaan redden. Stel dat f w (b, w) de functie is die aangeeft hoe groot de kans is dat de weerwolven winnen. Dan volgt uit bovenstaande vergelijkingen een nieuwe vergelijking voor f w (b, w): f w (b, w) = P(Weerwolf eruit) f w (b 1, w 1) + P(Burger eruit) f w (b 2, w) ofwel: f w (b, w) = w b + w 1 f w(b 1, w 1) + b 1 b + w 1 f w(b 2, w) 9
Gegeven is dat wanneer w = 0, de burgers hebben gewonnen: f w (b, 0) = 0. Daarnaast geldt ook dat wanneer b w de weerwolven hebben gewonnen, dus f w (b, w w b) = 1. Nu is er een recursieve functie gedefinieerd met beginvoorwaardes. Alle kansen kunnen worden uitgerekend als het aantal weerwolven en burgers in het begin gegeven is, m.b.v. bijvoorbeeld Java. In de onderstaande tabel staan de kansen dat de weerwolven winnen. In de kolommen staat het aantal weerwolven, in de rijen het aantal burgers. Vetgedrukt staan de eerlijkste verdelingen voor een bepaald aantal deelnemers. Voor 17 deelnemers is bijvoorbeeld de optimale verdeling 3 weerwolven en 14 burgers. Tabel 1: Berekening Urn-Model 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 2 50,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 3 66,67% 75,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 4 37,50% 86,67% 87,50% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 5 53,33% 62,50% 94,29% 93,75% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 6 31,25% 77,14% 78,13% 97,46% 96,88% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 7 45,71% 54,69% 88,57% 87,50% 98,85% 98,44% 100,00% 100,00% 100,00% 8 27,34% 70,16% 71,09% 94,23% 92,97% 99,47% 99,22% 100,00% 100,00% 9 40,63% 49,22% 83,55% 82,03% 97,07% 96,09% 99,75% 99,61% 100,00% 10 24,61% 64,79% 65,63% 90,94% 89,06% 98,51% 97,85% 99,88% 99,80% 11 36,94% 45,12% 79,22% 77,34% 95,03% 93,46% 99,24% 98,83% 99,94% 12 22,56% 60,51% 61,23% 87,82% 85,40% 97,28% 96,14% 99,61% 99,37% 13 34,10% 41,89% 75,48% 73,32% 92,91% 90,77% 98,52% 97,75% 99,80% 14 20,95% 56,99% 57,60% 84,91% 82,04% 95,90% 94,26% 99,20% 98,71% 15 31,83% 39,28% 72,21% 69,82% 90,80% 88,15% 97,64% 96,48% 99,56% 16 19,64% 54,03% 54,55% 82,24% 78,99% 94,44% 92,32% 98,66% 97,87% 17 29,95% 37,09% 69,34% 66,77% 88,76% 85,65% 96,67% 95,10% 99,24% 18 18,55% 51,49% 51,93% 79,78% 76,21% 92,96% 90,37% 98,02% 96,91% 19 28,38% 35,24% 66,79% 64,07% 86,81% 83,29% 95,63% 93,64% 98,83% 20 17,62% 49,29% 49,66% 77,52% 73,68% 91,49% 88,47% 97,31% 95,86% 10
Figuur 4: Eerlijke verdeling 11
6 Simulatie: Burgers tegen Weerwolven Om het probleem te benaderen hebben we ook een simulatie geschreven. Deze simulatie is een exacte kopie van het spel. De simulatie begint namelijk met een aantal deelnemers, verdeelt vervolgens de rollen. Vanaf dan wordt het spel een aantal keer gespeeld: De weerwolven stemmen een burger er uit, dit gebeurt volledig willekeurig. Vervolgens zal tijdens de dagronde iedereen gaan stemmen, iedereen stemt op iemand willekeurig behalve zichzelf, de persoon met de meeste stemmen zal het spel verlaten. Indien er een ex aequo is zal de burgemeester aangeroepen worden. Hij kijkt of zijn keuze bij de personen met de meeste stemmen zit, indien dat het geval is zal hij zijn stem doordrukken. Als de burgemeester zelf bij de meeste stemmen zit zal hij op de andere persoon stemmen. Wanneer beide gevallen niet van toepassing zijn zal hij willekeurig kiezen tussen de 2 andere personen. Deze exacte procedure is nog niet zo zeer van belang bij het simpelste geval (weerwolven tegen gewone burgers), maar wanneer we extra rollen gaan toevoegen zal dit wel degelijk verschil maken. De simulatie zal deze procedure herhalen tot dat één van de twee groepen heeft gewonnen. De gehele simulatie wordt een aantal (bijvoorbeeld 1000000) keer uitgevoerd. We houden bij hoeveel keer de burgers winnen en hoeveel keer de weerwolven winnen. Aan de hand van deze resultaten kunnen we dan verifi ëren hoe eerlijk het spel is onder onze aannames. Verder zullen we dan bekijken in hoeverre de resultaten in de simulatie overeenkomen met de exacte berekening. 12
7 Vervolg Project De komende twee maanden zullen we nog dieper ingaan op het project, we zullen o.a. de volgende dingen gaan uitzoeken: Vergelijken van urn-model t.o.v. e.d.). simulatie (denk aan betrouwbaarheidsintervallen Speciale rollen voor burgers toevoegen. We zijn nu al bezig met het toevoegen van Cupido en de Jager in de simulatie en met het toevoegen van de Jager in de berekening. Het toevoegen van andere rollen dan de jager zal lastig worden. Verder zullen we onderzoek doen naar hoe de optimale verdeling onder een gegeven aantal deelnemers is. Mogelijk is er een direct verband tussen (denk aan wortelverband, exponentieel, of kwadratisch). In de simulatie gaan we nog een aantal strategieën toevoegen die spelers mogelijk kunnen hebben, zoals: weerwolven stemmen niet op weerwolven tijdens dagrondes e.a.. Verwachte spelduur: Wat is het aantal ronde dat er gespeeld moet worden voordat er een bepaalde groep heeft gewonnen. 13