CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opaven: 7 Lees onderstaande aanwijzinen s.v.p. oed door voordat u met het tentamen beint. Zet uw naam op alle in te leveren antwoordbladen. Bein elke opave op een nieuw antwoordblad. Laat bij elke vraa door middel van een redenerin, een berekenin, of, indien toeestaan, een toelichtin op het ebruik van de rafische rekenmachine zien hoe het antwoord is verkreen. Zonder redenerin of berekenin worden aan het antwoord meestal een punten toeekend. Schrijf leesbaar en met inkt. Gebruik een tipp-ex o.i.d.. Gebruik van een potlood is alleen toeestaan bij het tekenen van rafieken. Bij het tentamen kunt u ebruik maken van een (rafische) rekenmachine van een type dat oedekeurd is voor het Centraal Examen Wiskunde van het vwo. Overie hulpmiddelen, zoals formulekaart, BINAS en tabellenboek zijn NIET toeestaan. Op de laatste bladzijde van dit tentamen is een lijst met formules afedrukt. Tabellen voor de binomiale en de normale kansverdelin zijn verkrijbaar bij de surveillanten. Het ebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen is verboden. Op www.ccvx.nl vindt u vanaf bein volende week: - de uitwerkinen van dit tentamen; - de stand van zaken van de correctie van dit tentamen. Te behalen punten per onderdeel: Opave 1 2 3 4 5 6 7 a 4 3 5 4 2 6 4 b 4 3 6 5 2 6 4 c 4 2 4 4 5 d 3 4 e 1 f 5 Totaal 12 17 11 9 8 16 17 Cijfer = behaald aantal punten + 1 10 U bent eslaad als uw cijfer 5,5 of hoer is. Wiskunde A 16 januari 2015 paina 1 van 7 CCVW
Opave 1 Drie functies Geeven de functie f(x) = x 3 8x 2 + 5x. 4pt a Bereken alebraïsch de x-coördinaten van de punten op de rafiek van f waar de raaklijn aan die rafiek horizontaal loopt. A is het punt op de rafiek van f met x A = 1. B is het punt op de rafiek van f met x B = 6. is de eersteraads functie waarvan de rafiek door de punten A en B aat. 4pt b Geef een formule voor de functie. De rafiek van de exponentiële roeifunctie h aat door de punten (2,9) en (4,16). 4pt c Geef een formule voor de functie h. Opave 2 Griep we? Het farmaceutisch bedrijf Pilfit brent een nieuwe pil op de markt onder de naam Griepwe. Het bedrijf claimt dat bij 10% van de ebruikers de riep na één da verdwenen is. Ga er bij de beantwoordin van vraa a, b, c en d van uit dat deze claim waar is. Geef de antwoorden van vraa a en b aferond op vier decimalen. 20 rieppatiënten ebruiken de Griepwe pil. 3pt a Bereken de kans dat bij een enkele van deze 20 ebruikers de riep na één da verdwenen is. 3pt b Bereken de kans dat bij minstens drie van deze 20 ebruikers de riep na één da verdwenen is. Pilfit wil een roep willekeuri ekozen ebruikers van Griepwe volen om het effect van deze pil te onderzoeken. Daarbij wil Pilfit dat de kans dat er tenminste één patiënt uit deze roep is waarbij de riep na één da verdwenen is, roter is dan 95%. 2pt c Laat zien dat deze kans voor een roep van n ebruikers elijk is aan 1 0,9 n. 3pt d Hoe root moet de roep ebruikers minimaal zijn om te bereiken dat deze kans roter is dan 95%? Pilfit zet in een reclamefolder dat bij 50% van de ebruikers van Griepwe de riep binnen twee daen verdwenen is. De Gezondheidsraad heeft haar twijfels. Zij verwacht dat de riep bij minder dan 50% van de ebruikers verdwenen is en besluit dit te toetsen. 1pt e Formuleer de nulhypothese en de alternatieve hypothese voor deze toets. Vijfti mensen met riep worden behandeld met Griepwe. 32 van hen hebben na twee daen no steeds riep. 5pt f Wordt de nulhypothese verworpen bij een sinificantieniveau van α = 0,05? Wiskunde A 16 januari 2015 paina 2 van 7 CCVW
Opave 3 Pillen we? Een nieuwe medewerker van Pilfit stopt per oneluk twee Griepwe pillen in een doosje waarin al drie pepermuntjes zitten, die heel er veel op de pillen lijken. Hij wil zijn fout uiteraard zo snel moelijk herstellen en daarom pakt hij blindelins en zonder teruleen objecten (dat wil zeen pillen of pepermuntjes) uit het doosje, net zo lan totdat hij de twee pillen teru heeft. Het aantal objecten dat hij pakt totdat hij de twee pillen teru heeft, is een toevalsvariabele X. 5pt a Laat zien dat P(X = 3) = 0,2 en P(X = 4) = 0,3. 6pt b Bereken E(X). Opave 4 Pijn we! Pilfit produceert ook pijnstillertabletten. Deze tabletten worden machinaal eproduceerd en de ewichten zijn normaal verdeeld, met een emiddelde van 2,0 ram en een standaardafwijkin van 0,1 ram. De tabletten aan per 50 in een doosje. De ewichten van de doosjes zijn ook normaal verdeeld, met een emiddelde van 10 ram en een standaardafwijkin van 0,5 ram. De 50 tabletten in een doosje worden willekeuri ekozen. Geef de antwoorden van vraa a en b aferond op vier decimalen. 4pt a Bereken de kans dat het emiddelde ewicht van 50 willekeuri ekozen pijnstillertabletten laer is dan 1,95 ram. 5pt b Bereken de kans dat het totale ewicht (inclusief het doosje) van een doosje met 50 tabletten hoer is dan 111 ram. Wiskunde A 16 januari 2015 paina 3 van 7 CCVW
Opave 5 Op en neer Een koel is door middel van een veer opehanen aan het plafond. Aanvankelijk is de koel in rust. Op een zeker moment wordt de koel een stukje omlaa etrokken en vervolens loselaten. Hierdoor aat de koel op en neer beween. Een student bestudeert de bewein van de koel. Uit nauwkeurie metinen blijkt dat de afstand van het middelpunt van de koel en het plafond wordt weereeven door de formule y(t) = 12,5 + 4,5 cos( 1 3 πt). In deze formule is t de tijd in seconden en y de afstand tot het plafond in centimeters. 2pt a Wat is de minimale en de maximale afstand van het middelpunt van de koel tot het plafond edurende de bewein? 2pt b Bereken de afstand van het middelpunt van de koel tot het plafond op t = 1. 4pt c Gebruik de periode van y(t) om de eerste drie tijdstippen na t = 1 te bepalen waarop de koel op dezelfde hoote is als op t = 1. Opave 6 Vlees van Vis, da s niet mis! Marktkoopman Vis staat iedere da met eersteklas vlees op de markt. Zijn broer, een bekend econoom, heeft de omzeteevens van marktkoopman Vis bestudeerd en hij heeft daarbij twee modellen opesteld voor het verband tussen de winst die Vis op een da maakt en de hoeveelheid vlees die hij voor die da inkoopt. Bij het eerste model hoort de formule W = 18 3Q 64 3Q + 2 Hierin is W de winst in honderden euro s en is Q de inekochte hoeveelheid vlees in honderden kilo s. In de fiuur hiernaast ziet u een schets van de rafiek van W als functie van Q. 6pt a Bereken alebraïsch de waarden van Q waarvoor eldt W = 0. Wat is de economische betekenis van deze waarden van Q? 6pt b Bereken alebraïsch de maximale winst die Vis op een da kan maken. Het tweede model eeft het volende verband tussen W en Q: 2 lo Q 2 = 2 lo(w + 4) 4pt c Werk deze formule alebraïsch om tot de vorm W = a Q n + b. 5 Wiskunde A 16 januari 2015 paina 4 van 7 CCVW
Opave 7 - Tsunami Een tsunami is een vloedolf die wordt veroorzaakt door een aardbevin onder de zee, ook wel een zeebevin enoemd. Voor de snelheid waarmee een tsunami zich verplaatst eldt bij benaderin de formule v = 34 d 9 In deze formule is v de snelheid in km/uur en is d de waterdiepte in meter. 4pt a Bereken de snelheid van de tsunami in meters per seconde als de waterdiepte 100 meter is. 4pt b Bereken alebraïsch de waterdiepte als de snelheid van de tsunami 170 km/uur is. Er is ook een verband tussen de hoote h van een tsunamiolf en de waterdiepte d. Dit verband wordt eeven door de formule h = 4 4 3 d met h en d in meters. De afeleide van h als functie van d eeft de snelheid (in hootemeter per dieptemeter) waarmee de hoote van de tsunamiolf verandert als de waterdiepte verandert. 5pt c Bereken deze snelheid alebraïsch voor het eval de waterdiepte 16 meter is. Lans een zekere kuststrook wordt de waterdiepte eeven door de formule d = 81x 2 met d de waterdiepte in meters en x de afstand tot de kust in km. 4pt d Geef een formule die h, de hoote van de tsunamiolf in meters, eeft als functie van x, de afstand tot de kust in km. Vereenvoudi deze formule zo ver moelijk. Wiskunde A 16 januari 2015 paina 5 van 7 CCVW
Lijst van formules voor het voortentamen wiskunde A Kansrekenin Voor alle toevalsvariabelen X en Y eldt: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y eldt: σ(x + Y) = σ 2 (X) + σ 2 (Y) n-wet: Bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten eldt voor de som S en voor het emiddelde X van de uitkomsten X: E(S) = n E(X) E(X) = E(X) σ(s) = n σ(x) σ(x) = σ(x) n Binomiale verdelin Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, eldt: P(X = k) = ( n k ) pk (1 p) n k Verwachtinswaarde: E(X) = np met k = 0, 1, 2,, n Standaardafwijkin: σ(x) = n p (1 p) Normale verdelin Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met emiddelde μ en standaardafwijkin σ eldt: Z = X μ σ is standaard normaal verdeeld en P(X < ) = P (Z < μ σ ) Differentiëren Naam van de reel Functie Afeleide Somreel s(x) = f(x) + (x) s (x) = f (x) + (x) Productreel p(x) = f(x) (x) p (x) = f (x) (x) + f(x) (x) Quotiëntreel q(x) = f(x) (x) q (x) = f (x) (x) f(x) (x) ((x)) 2 Kettinreel k(x) = f((x)) k (x) = f ((x)) (x) ofwel dk dx = df d d dx Meer formules op de volende paina. Wiskunde A 16 januari 2015 paina 6 van 7 CCVW
Lijst van formules voor het voortentamen wiskunde A (vervol) Loaritmen Reel lo a + lo b = lo ab lo a lo b lo a p = p lo a = lo a b voorwaarden > 0, 1, a > 0, b > 0 > 0, 1, a > 0, b > 0 > 0, 1, a > 0 lo a = p lo a p > 0, 1, a > 0, p > 0, p 1 lo Rijen rekenkundie rij: Som = 1 2 aantal termen (u e + u l ) meetkundie rij: Som = u l+1 u e r 1 (r 1) In beide formules eldt: e = rannummer eerste term; l = rannummer laatste term Einde van het tentamen. Staat uw naam op alle in te leveren blaadjes? Tabellen voor de binomiale en de normale kansverdelin zijn verkrijbaar bij de surveillanten. Wiskunde A 16 januari 2015 paina 7 van 7 CCVW