Gelijkvormigheid in de 17 de - en 18 de -eeuwse landmeetkunde Heb jij enig idee hoe hoog dat gebouw of die boom is die je uit het raam van je klaslokaal ziet? Misschien kun je de hoogte goed schatten, maar misschien kun je ook wel een manier bedenken om de hoogte exact te berekenen. Of kun je de afstand tot de overkant van de straat of het schoolplein bepalen? En hoe zit dat met de breedte van een rivier? Dit zijn praktische problemen waar 17 de - en 18 de -eeuwse landmeters zich vroeger mee bezig hielden. In de volgende opdrachten nemen we je een aantal eeuwen terug in de tijd en verplaatsen we ons in het leven en het werk van Nederlandse landmeters uit die tijd. Je zult steeds werken met gelijkvormige driehoeken. Verder zul je ook kennis maken met een aantal meetkundige instrumenten die het bepalen van de hoogte eenvoudiger maakten. a. De hoogte van een toren bepalen met behulp van een stok Het eerste probleem dat we bekijken, komt uit een wiskundeboek dat speciaal voor ingenieurs en landmeters is geschreven. Het boek is in 1744 verschenen en was de 2 de druk van de Werkdadige Meetkonst van Johannes Morgenster. De eerste druk is van 1703. Morgenster had dit boek speciaal voor zijn leerlingen laten drukken. Allereerst beschrijft Morgenster welk werk de landmeter moet doen voordat hij aan de berekeningen kan beginnen. In de 18 de eeuw was het Nederlandse schrift nog niet zoals wij het nu kennen, dus je zult misschien eerst een beetje moeten wennen aan het Oudnederlands. De taal is nog wel te herkennen als Nederlands, maar de spelling, grammatica en woordkeuze zijn heel anders dan tegenwoordig. Voor je aan deze opgave gaat beginnen, krijg je eerst een paar algemene regels die je kunnen helpen bij het maken van een vertaling: zelfstandig naamwoorden worden met een hoofdletter geschreven de letter 's' wordt als een 'f' gespeld soms wordt een 't' gespeld waar we nu een 'd' schrijven in plaats van 'ch' wordt een 'g' geschreven sommige werkwoorden worden anders vervoegd (b.v. 'kont' is kunt en 'afgeveerdigt' is afgewerkt) de zinnen zijn langer (veel komma's, puntkomma's en dubbele punten) men gebruikt een naamval (des = van de) 1. Herformuleer de opgave in modern Nederlands. 2. Bekijk de figuur die Morgenster gebruikt en maak hiervan een schets in je werkschrift. Geef de letters bij de hoekpunten van de driehoeken duidelijk weer. 1
3. Waarom zijn de driehoeken AED en BEC gelijkvormig? 4. Welke metingen moet de landmeter uitvoeren volgens de opgave? Tijdens het veldwerk worden de volgende maten opgemeten: In de 18 de eeuw rekenden de landmeters nog niet in centimeters en meters, maar in voeten. Deze voet was een standaardmaat van 31,4 cm. Nu kan de hoogte van de toren worden bepaald. Morgenster beschrijft dit in het kort als volgt: 5. Laat aan de hand van een berekening zien hoe Morgenster aan zijn antwoord komt. b. Het bepalen van de breedte van een gracht of rivier Een tweede probleem uit de Werkdadige Meetkonst van Johannes Morgenster behandelt het berekenen van de breedte van een gracht of een rivier. Door gebruik te maken van gelijkvormige driehoeken kan de landmeter gewoon aan wal blijven. Na het benodigde veldwerk verkrijgt hij onderstaande schets: 1. Neem de figuur over in je werkschrift. Zet de belangrijke letters erbij. 2. Welk veldwerk heeft de landmeter moeten doen om de figuur te krijgen? Hoe is hij aan de punten gekomen? De landmeter meet vervolgens de volgende maten op: DE = 20, BC = 5 en CE = 8, waarbij de afstanden zijn gegeven in roeden (een roede is 10 voeten). 3. Om de breedte van de gracht of rivier te berekenen kan de landmeter nu gebruik maken van de gelijkvormigheid van twee driehoeken. Van welke? 4. Bereken de breedte van de rivier. 2
c. De schaduw door zonnelicht als hulpmiddel Een andere oude bekende methode om de hoogte van een toren te berekenen is met behulp van de schaduw door zonnelicht. Waar Morgenster bij de vorige twee voorbeelden mooie plaatjes gaf, geeft hij nu alleen maar een stukje tekst. 1. Maak nu zelf een schets bij dit veldwerk. Teken de toren met schaduw en de stok met schaduw. Morgenster schrijft ook een getallenvoorbeeld op in zijn boek: 2. Wat betekent: Men neme tot een exempel? 3. Bereken dan de hoogte van de toren. d. Het gebruik van de Jacobsstaf De Jacobsstaf is een winkelhaak met ongelijke benen. Het horizontale been van de Jacobsstaf noemen we de dwarsstok, het verticale been de wijzer. De Jacobsstaf was in de 17 de eeuw een handig hulpmiddel om o.a. de hoogte van gebouwen te bepalen. 1. Probeer zelf te verzinnen hoe je een Jacobsstaf kan gebruiken om de hoogte van een gebouw te bepalen. Je mag hierbij veronderstellen dat je de afmetingen van de Jacobsstaf en de afstand van jouw positie tot het gebouw kent. Petrus Ramus, een Franse wiskundige uit de 16 e eeuw, gaf in zijn boek een uitgebreide beschrijving van de Jacobsstaf. In 1622 is zijn boek in het Nederlands vertaald. In deze vertaling vinden we de volgende opgave. 3
2. Maak een tekening waarin je alle gemeten maten duidelijk aangeeft. 3. Welke driehoeken zijn gelijkvormig? 4. Laat met behulp van een berekening zien dat de te berekenen hoogte inderdaad 72 voeten is. 5. Wat is de hoogte van het hele gebouw? Ramus doet een verwijzing naar de Gulden Regel en het 9 de beginsel (een soort regel) van het 7 de boek om te laten zien dat zijn antwoord gerechtvaardigd is. 6. Wat denk je dat er in dit beginsel staat? En met welke rekenmethode kun je de Gulden Regel vergelijken? e. De hoogte van een gebouw bepalen met een spiegel De Amsterdamse rekenmeester Cardinael schreef omstreeks 1612 een boekje met praktische oefeningen: Hondert geometrische questien en hare solutien. Bij de opgaven uit dit boekje moet je telkens een lengte van een lijnstuk zoeken als andere lengten gegeven zijn. We werken hieronder een voorbeeld uit. Veronderstel dat je de hoogte wilt bepalen van een gebouw dat je niet kan benaderen. Cardinael gebruikte hierbij de volgende tekening: 4
[ DE ] stelt een landmeter voor die in C een spiegel heeft gelegd. Vanuit E kan hij de top A van de toren zien in de spiegel. De afstand BC kan de landmeter niet meten, omdat de toren onbereikbaar is vanuit C. Om de hoogte van de toren te berekenen, voert de landmeter eerst het volgende veldwerk uit: Hij meet de afstand van de spiegel (C) tot de plaats waar hij oorspronkelijk stond ( D ): 8 voeten. Hij past deze afstand af aan de andere kant. Dit levert hem het punt G op. Hij zoekt het snijpunt van de rechte AE met de grond. Dit punt noemt hij F. Hij meet de afstand van D tot F : 9 voeten. Uiteraard kent de landmeter ook zijn eigen lengte. Die bedraagt 6 voeten. Bovendien kent hij uit de fysica een wet die zegt dat, als je in een spiegel kijkt, de hoek van inval gelijk is aan de hoek van terugkaatsing. 1. Neem de figuur van Cardinael over in je werkschrift. Duid de belangrijkste letters aan. 2. Omschrijf met die letters de opgemeten lengten en geef aan welke hoeken even groot zijn. Duid deze gegevens ook aan op je tekening. We zoeken een methode om AB te vinden. 3. Waarom is ABC gelijkvormig met EDG? Uit deze gelijkvormige driehoeken kunnen we afleiden dat AC AB = ED. EG 4. Verklaar deze formule. Van het rechterlid van deze formule is enkel ED gekend. Als we AB willen berekenen, moeten we dus AC EG kunnen uitdrukken met gekende lengten. 5. De lijnstukken [ AC ] en [ EG ] zijn overeenkomstige zijden van de gelijkvormige driehoeken en EDG. Van welke twee andere gelijkvormige driehoeken zijn [ AC ] en [ ] overeenkomstige zijden? Verklaar waarom deze driehoeken gelijkvormig zijn. 6. Aan welke verhouding van gekende lengten is AC 7. Bereken dan de hoogte van de toren. EG dan gelijk? ABC EG ook 5