Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Reader Periode Leerjaar J. Kuiper Transfer Database
ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulenhoff.nl of via onze klantenservice (088) 800 0 16. ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 014. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet j o het Besluit van augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 060, 10 KB Hoofddorp (www.cedar.nl/pro). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 191) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
1 Uitzetting 1 1.1 Lineaire uitzetting 1 1. Volume-uitzetting 4 Materiaalspanning bij temperatuurverandering 9.1 Elasticiteit 9. Materiaalspanning door uitzetting of krimp 1
1 Uitzetting 1 Lineaire uitzetting Als de temperatuur van een stof stijgt, gaan de moleculen met grotere snelheid om hun evenwichtsstand trillen. Zij nemen daardoor meer ruimte in beslag, waardoor de stof uitzet. Bij lange voorwerpen, zoals kabels, spoorrails en stoombuizen, zijn we meestal alleen geïnteresseerd in de uitzetting in de lengterichting. We spreken dan over lineaire uitzetting. Uit experimenten blijkt dat de lengteverandering l van een staaf evenredig is met de temperatuurverandering T en de oorspronkelijke lengte l van de staaf. De lengteverandering hangt ook nog af van het materiaal waarvan de staaf gemaakt is. In formulevorm: l = α l T (1) De evenredigheidsconstante α heet de lineaire uitzettingscoëfficiënt. De waarde van α staat in het tabellenboek. De eenheid is 1/K, meestal geschreven als K 1. De lineaire uitzettingscoëfficiënt van bijvoorbeeld staal is 1 10 6 K 1. Dit wil 6 zeggen dat een stalen staaf met een lengte van 1 m 1 10 m = 1 µm uitzet als de temperatuur 1 C stijgt. De lengteverandering l en de temperatuurverandering T berekenen we altijd door de beginwaarde van de eindwaarde af te trekken. Dus: l = leind l T = T T eind begin begin Als de temperatuur daalt, treedt krimp op. Voor berekening van krimp geldt dezelfde formule als voor uitzetting, l en T zijn dan echter negatief! In de techniek wordt rekening gehouden met de uitzetting van materialen om materiaalspanning te voorkomen. Tussen bijvoorbeeld twee spoorrails werd vroeger een open ruimte gelaten om de uitzetting op te vangen. Hetzelfde gebeurt
Uitzetting nog steeds bij betonnen wegdekplaten (dilatatievoeg). De open ruimten worden vaak gevuld met een elastisch materiaal. Figuur 1 Bimetaal In de techniek maken we ook gebruik van uitzetting, bijvoorbeeld in bimetalen. Een bimetaal bestaat uit twee op elkaar geperste metalen met een verschillende uitzettingscoëfficiënt. Zie figuur 1. Bimetalen worden toegepast in thermometers en als schakelelement in bijvoorbeeld strijkijzers en thermostaten. Vb. 1 Een koperen draad heeft bij 0 C een lengte van 5, 00 m. We verwarmen de draad tot 50 C. Bereken de lengtetoename van de koperen draad. Gegeven l = 5, 00 m T begin = 0 C en T eind = 50 C α koper = 17 10 6 C 1 (Zie tabellenboek.) Gevraagd l Oplossing 6 1 l = α l T l = 17 10 K 5, 00 m ( 50 0) K = 0, 0055m =, 55mm Vb. We willen een stalen ring met warmte op een stalen as van 100, 0 mm krimpen. Het gat in de ring heeft bij 0 C een diameter (middellijn) van 99, 9 mm. We willen bij montage de ring met een speling van 0, mm om de as kunnen schuiven. Bereken tot welke temperatuur we de ring moeten verwarmen. Gegeven d as = 100, 0 mm, d gat = 99, 9 mm en speling = 0, mm = 1 10 6 K 1 (Zie tabellenboek.) α staal Gevraagd T Oplossing Een gat in een stalen ring blijkt net zoveel uit te zetten als een stalen schijf met dezelfde diameter (middellijn). We gaan dus voor de uitzetting uit van een stalen schijf met een diameter van 99, 9 mm. We mogen l en l vervangen door d en d (diameter). Zie formule 1.
Uitzetting d = 99, 9 mm d = ( 100, 0 mm + 0, mm) 99, 9mm = 0, mm 6 1 d = α d T d = 1 10 K 99, 9 mm T = 0, 001199 T mm 0, 001199 T = 0, 0, T = = 50 K 50 C 0, 001199 T = 0 C + 50 C = 70 C Oefeningen 1 Zet de volgende materialen in volgorde van toenemende uitzettingscoëfficiënt. Vermeld de uitzettingscoëfficiënt erbij. aluminium beton glas staal Een zinken dakgoot heeft bij 0 C een lengte van, 00 m. Op een warme zomerdag krijgt het zink een temperatuur van 40 C. a Bereken de lengtetoename van de dakgoot. b In een koude winternacht daalt de temperatuur van het zink tot 0 C. Bereken het lengteverschil van de dakgoot tussen 0 C en 40 C. Een fietspad is gemaakt van betonplaten. Deze platen hebben bij 10 C een lengte van 6, 00 m. Tussen elke platen zit een dilatatievoeg van 5 mm. Bereken tot welke temperatuur de dilatatievoeg de uitzetting van 1 betonplaat kan opvangen.
4 Uitzetting 4 De diameter (middellijn) van een as is 150 mm. Om de as willen we een koperen ring monteren met een inwendige diameter van 149, 8 mm. Beide diameters zijn bij 0 C gemeten. Bij de montage willen we een speling van 0, mm. Bereken tot welke temperatuur we de ring moeten verwarmen. 5 Een bimetaalschakelaar bestaat uit twee op elkaar geperste metaalplaatjes. Zie figuur. Het ene plaatje is van koper gemaakt en het andere plaatje van INVAR. INVAR is een nikkelijzerlegering met een extreem lage uitzettingscoëfficiënt (1, 10 6 K 1 ). Figuur Bimetaalschakelaar a Bereken hoeveel mm een strip INVAR met een lengte van 1000 mm uitzet als de temperatuur met 50 C stijgt. b Als de temperatuur van het bimetaal te hoog wordt, moet het contact verbroken worden (Zie figuur.). Welk metaal moeten we op de oranjegekleurde plaats monteren? Verklaar! Volume-uitzetting Als vaste stoffen uitzetten, gebeurt dat in alle richtingen. Bijvoorbeeld bij een balk worden zowel de lengte, de breedte als de hoogte groter. Het volume wordt dus groter. De volumeverandering V is evenredig met de temperatuurverandering T en het oorspronkelijke volume V van de balk. In formule:
Uitzetting 5 V = γ V T () γ de evenredigheidsconstante K 1 of C 1 De evenredigheidsconstante γ noemen we de kubieke uitzettingscoëfficiënt. De eenheid is K 1 of C 1. De γ van vaste stoffen staat niet in het tabellenboek, maar kunnen we berekenen met: γ = α () Ook vloeistoffen zetten uit als de temperatuur stijgt. Maar vloeistoffen zijn niet vormvast; ze nemen de vorm aan van het lichaam waar ze inzitten. We spreken daarom bij vloeistoffen uitsluitend over volume-uitzetting. Voor de volume-uitzetting van vloeistoffen geldt formule. De waarden van γ moeten we weer in het tabellenboek opzoeken. Vloeistoffen zetten meer uit dan vaste stoffen. De kubieke uitzettingscoëfficiënt van bijvoorbeeld petroleum is 100 10 5 K 1 en die van staal slechts, 6 10 5 K 1. Vb. Een koperen bol heeft bij 0 C een volume van 500 cm. Bereken het volume bij 80 C. Gegeven V 0 = 500 cm ; α = 17 10 6 C 1 (Zie tabellenboek.) Gevraagd V 80 Oplossing V = γ V T = α V T V = 6 1 17 10 K 500 cm ( 80 0) K = 1, 5 cm V 80 = 500cm + 1, 5cm = 501, 5 cm Vb. 4 Een stalen tank heeft bij 0 C een inhoud van 00 dm en is gevuld met 180 dm petroleum van 0 C. Bereken hoeveel dm lege ruimte er nog in de tank over is bij 50 C. Gegeven = 00 dm ; V petroleum = 180 dm V tank α staal = 1 10 6 K 1 ; γ petroleum = 100 10 5 K 1 (Zie tabellenboek.)
6 Uitzetting Gevraagd V leeg bij 50 C Oplossing 6 Vtank = α V T Vtank = 1 10 K 00 dm 50 K = 0, 6 dm 5 1 Vpetr = γ V T Vpetr = 100 10 K 180 dm 50 K = 9,0 dm De inhoud van de tank wordt 0, 6 dm groter. De petroleum neemt 9, 0 dm meer ruimte in. V leeg = ( 00 180) dm + 0, 6 dm 9, 0 dm = 11, 6 dm Oefeningen 6 Een aluminiumbalk heeft bij 15 C een volume van 0, m. Bereken het volume van de balk bij 80 C. 7 Een stalen tank met een inhoud van 100 dm bevat bij 0 C 98 dm petroleum. Het geheel warmt in de zon op tot 60 C. Bereken hoeveel dm petroleum uit de tank stroomt. 8 Een koperen kan met een inhoud van, 0 l is gevuld met 1, 9 l vloeistof van 0 C. Bij 70 C is de kan volledig gevuld met de vloeistof. a Bereken de kubieke uitzettingscoëfficiënt van de vloeistof.
Uitzetting 7 b Welke vloeistof zou dit kunnen zijn?! Naast lineaire uitzetting en volume-uitzetting kennen we ook wel oppervlakte-uitzetting. Bijvoorbeeld de vraag hoeveel neemt de oppervlakte van een ruit toe als de temperatuur 0 C stijgt? zouden we met behulp van oppervlakte-uitzetting kunnen oplossen. In praktische gevallen moeten echter zowel de lengte als de breedte van de ruit in de beschikbare ruimte passen. We moeten dan toch zowel de lengte- als de breedtetoename uitrekenen. Oefeningen 9 We monteren een zinken dakplaat in een raamwerk. De afmetingen van de dakplaat zijn 000 mm 4000 mm bij 0 C. De ruimte in het raamwerk is 005 mm 4005 mm. Bereken of de dakplaat nog in het raamwerk past als de temperatuur van de dakplaat stijgt tot 60 C. Voor het gemak gaan we ervan uit dat het raamwerk niet uitzet.
8 Uitzetting Antwoorden 1 glas ( 8 10 6 K 1 ) beton (1 10 6 K 1 ) staal (1 10 6 K 1 ) aluminium ( 4 10 6 K 1 ) a 0, 00168 m b 5, 04 mm 70 C 4 16 C 5a 0, 06 mm b INVAR, omdat dat metaal de kleinste uitzettingscoëfficiënt heeft. 6 0, 15 m 7 1, 78 dm 8a 111 10 5 K 1 b alcohol 9 De lengte past wel na uitzetting, maar de breedte niet.
Materiaalspanning bij temperatuurverandering 1 Elasticiteit Als we een staaf aan beide kanten inklemmen en verwarmen, wil de staaf uitzetten. Omdat dat door de inklemming niet mogelijk is, oefent de staaf aan beide kanten een kracht uit op de inklemming. De inklemming oefent een even grote kracht uit op de staaf. In de staaf ontstaat daardoor een drukspanning. Als de ingeklemde staaf gekoeld zou worden, zou daarin een trekspanning ontstaan. Om iets te kunnen zeggen over de grootte van de spanningen, gaan we eerst kijken wat er gebeurt als we een kracht op een staaf uitoefenen. l A Figuur 1 F Als we een kracht F op een staaf uitoefenen, wordt de staaf langer. Bovendien ontstaat er een spanning in de staaf. De kracht per oppervlakte-eenheid noemen we de materiaalspanning, σ.
10 Materiaalspanning bij temperatuurverandering σ = F A (1) σ materiaalspanning N/m F kracht N A dwarsdoorsnede m A is de oppervlakte van de doorsnede van de staaf loodrecht op de kracht. De eenheid van σ is N/m. (MN/m ) 00 staal messing aluminium 0 0 0,001 Figuur Trek-rekdiagram l l Het trek-rekdiagram geeft de resultaten van trekproeven weer voor drie verschillende materialen. Zie figuur. In het trek-rekdiagram is de materiaalspanning σ uitgezet tegen de relatieve lengtetoename l/ l. De grafieken zijn rechte lijnen door ( 0, 0 ). Dit betekent dat de materiaalspanning evenredig is met de relatieve lengtetoename. In formule: σ = E l l () σ materiaalspanning N/m E elasticiteitsmodulus N/m l lengtetoename m l oorspronkelijke lengte m
Materiaalspanning bij temperatuurverandering 11 De evenredigheidsconstante noemen we de elasticiteitsmodulus E. Omdat l / l dimensieloos is, hebben E en σ dezelfde eenheid: N/m. De waarden van E staan in een tabel. (Zie tabellenboek.) Voor de elasticiteitsmodulus van bijvoorbeeld staal vinden we 0 10 10 N/m. De elasticiteitsmodulus van messing is kleiner dan die van staal, maar groter dan die van aluminium. Zie figuur. Het evenredige verband van σ en l / l geldt alleen als de trekkracht de zogenaamde elasticiteitsgrens niet overschrijdt. In de praktijk komen we de formule vaak in een andere afgeleide vorm tegen. F l l = E A () Deze formule kunnen we afleiden uit de formules 1 en. Vb. 1 Een koperen staaf met een lengte van 1, 50 m is aan de ene kant ingeklemd. Aan het andere uiteinde trekken we met een kracht van 500 N. De doorsnede van de staaf is 1 cm. a. Bereken de materiaalspanning in de staaf. b. Bereken de lengtetoename van de staaf. Gegeven l = 1, 50 m A = 1, 0 cm F = 500 N E = 0 10 10 N/m Gevraagd a. σ b. l Oplossing A = 1, 0 cm = 1, 0 10 4 m F 500 N a. σ = σ = A 1, 0 10 m 4 = 500 10 4 N/m F l 500 N 1, 5 m b. l = l = E A 0 10 N/m 1, 0 10 10 4 m 5 =, 75 10 m = 7, 5 µ m! In de techniek worden de materiaalspanning en de elasticiteitsmodulus meestal uitgedrukt in N/mm..
1 Materiaalspanning bij temperatuurverandering Oefeningen 1 Een aluminiumdraad heeft een lengte van 1, 50 m en een doorsnede van mm. We oefenen een trekkracht uit waardoor de draad mm langer wordt. a Bereken de materiaalspanning in de draad, uitgedrukt in N/mm. b Bereken de kracht waarmee aan de draad getrokken wordt. Aan een draad met een lengte van, 0 m en een doorsnede van mm hangt een fiets met een massa van 0 kg. De draad is daardoor mm langer geworden. a Bereken de elasticiteitsmodulus van het metaal. b Welk metaal zou gebruikt kunnen zijn? Materiaalspanning door uitzetting of krimp Als de temperatuur van een staaf toeneemt, zet de staaf uit. Voor de lengtetoename geldt de formule: l = α l T (4) l lengtetoename m α lineaire uitzettingscoëfficiënt K 1 l oorspronkelijke lengte m T temperatuurtoename K Als de staaf is ingeklemd, wordt deze lengtetoename verhinderd door de inklemming. Hierdoor ontstaat een drukspanning. Voor deze materiaalspanning geldt formule. Als we l (zie formule 4) invullen in formule krijgen we: α l T σ = E l = E α T
Materiaalspanning bij temperatuurverandering 1 Voor de materiaalspanning die in de ingeklemde staaf ontstaat door de temperatuurtoename geldt de formule: σ = E α T (5) Bij daling van de temperatuur geldt dezelfde formule. De materiaalspanning is dan een trekspanning. Omdat bij daling van de temperatuur T < 0 is, geldt ook σ < 0. Het minteken van σ betekent dat de materiaalspanning een trekspanning is. Vb. Een aluminiumbalk met een lengte van 80 cm en een doorsnede van 100 cm is ingeklemd. Bereken de materiaalspanning die in de balk ontstaat als de temperatuur 40 C stijgt. Gegeven l = 80 cm A = 100 cm T = 40 C E = 7 10 10 N/m (Zie tabellenboek.) α = 4 10 6 K 1 (Zie tabellenboek.) Gevraagd σ Oplossing l = 80 cm = 0, 80 m A = 100 cm = 0, 01 m T = 40 C 40 K 10 6 1 σ = E α T σ = 7 10 N/m 4 10 K 40 K = 6 67, 10 N/ m = 67, N/mm Oefeningen Een staalprofiel is aan beide kanten ingeklemd. Bereken de materiaalspanning in het profiel als de temperatuur 0 C daalt.
14 Materiaalspanning bij temperatuurverandering 4 In een ingeklemde aluminiumbalk willen we een maximale materiaalspanning van 1 10 8 N/mm toestaan. Dit mag zowel een druk- als een trekspanning zijn. Bij 0 C is de materiaalspanning 0, 0 N/mm. Bereken welke temperaturen de balk mag hebben. 5 Een messing staaf is ingeklemd. Bij 0 C is de drukspanning in de staaf 50 MN/mm. a Bereken de materiaalspanning in de staaf als we hem afkoelen tot 0 C. b Is het antwoord van a een druk- of een trekspanning?
Materiaalspanning bij temperatuurverandering 15 Antwoorden 1a 9, N/mm b 80 N a 9, 8 10 10 N/m b Messing of brons (zie tabellenboek). 7 10 6 N/m 4 De balk mag temperaturen tussen 59, 5 C en 59, 5 C hebben. 5a 6 MN/m b Trekspanning.