Financiële rekenkunde voor het HEO

Transcriptie

1 Financiële rekenkunde voor het HEO Met toepassingen voor Excel en grafische rekenmachine Hans Gruijters 7 e druk

2 Toegang tot online studiehulp Als koper van dit e-book kun je een unieke code aanmaken die toegang geeft tot de website bij het e-book.. Ga naar: 2. Voer de gegevens van je Bookshelf-account in ( adres + wachtwoord). 3. Download je persoonlijke code. 4. Volg de instructies voor het aanmaken van een Noordhoff-account en het invoeren van je code. Let op: de code kun je slechts één keer invoeren.

3 Noordhoff Uitgevers bv Financiële rekenkunde voor het HEO Met toepassingen voor Excel en grafische rekenmachine J.C.M. Gruijters Zevende druk Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten

4 Noordhoff Uitgevers bv Ontwerp omslag: G2K designers, Groningen/Amsterdam Omslagillustratie: Stocksy - Beatrix Boros Eventuele op- en aanmerkingen over deze of andere uitgaven kunt u richten aan: Noordhoff Uitgevers bv, Afdeling Hoger Onderwijs, Antwoordnummer 3, 9700 VB Groningen, info@noordhoff.nl 0 / Noordhoff Uitgevers bv Groningen/Houten, The Netherlands. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 92 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6h Auteurswet 92 dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (postbus 3060, 230 KB Hoofddorp, Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6 Auteurswet 92) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatieen Reproductierechten Organisatie, postbus 3060, 230 KB Hoofddorp, All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN (ebook) ISBN NUR 782

5 Noordhoff Uitgevers bv Woord vooraf bij de zevende druk Financiële rekenkunde is gericht op het verwerken van rente. Berekeningen met rente of interest hebben grote invloed op allerlei bedrijfseconomische beslissingen. Dit geldt bijvoorbeeld voor ondernemingen bij besluiten inzake investeren, voor regeringen bij het aangaan of verstrekken leningen via het IMF en voor particulieren bij het afsluiten van hypotheken of consumptief krediet. Recente ontwikkelingen omtrent de schuldenpositie van een aantal EU-landen en de aftrekbaarheid van hypotheekrente voor de eigen woning betekenen dat het goed kunnen verwerken van interest belangrijker is dan ooit. Na bestudering van dit boek ben je in staat zelfstandig vrijwel alle interestberekeningen te maken. Na een introductie over het begrip rente volgt een korte behandeling van enkelvoudige interest. Daarna wordt overgegaan naar samengestelde interest inclusief investeringsselectie, annuïteiten en omzetting van schulden. Waardebepaling van leningen waarbij rekening wordt gehouden met de hoogte van de marktrente wordt in het hoofdstuk Rentabiliteitswaarde behandeld. Rentestanden wisselen vrijwel permanent. Dit zou tot gevolg hebben dat voorbeelden, opgaven en uitwerkingen in dit boek voor wat betreft rentepercentages ook steeds aangepast zouden moeten worden. Hier is vanuit kostenoverwegingen niet voor gekozen omdat de hoogte van het rentepercentage voor de berekeningswijze niets uitmaakt. Dit boek kenmerkt zich door competentiegerichte voorbeelden, verschillende oplossingsstrategieën en een grote hoeveelheid oefenmateriaal. De gebruiker kan voor zijn oplossingsmethode kiezen uit de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel. Een aantal opgaven is vanuit de adviesrol opgesteld. De beknopte antwoorden van alle opgaven staan achter in het boek. Circa 20 *opgaven zijn volledig op de gratis toegankelijke website uitgewerkt. Dat maakt deze methode, samen met de heldere uitleg en de verschillende oplossingsstrategieën, uitstekend geschikt voor de actuele onderwijsvormen en zelfstudie. Bij het boek is een gratis website beschikbaar waarop aanvullend studiemateriaal staat zoals samenvattingen en extra opgaven per hoofdstuk maar ook geïntegreerde cases. Voor diverse onderwerpen worden op de website ten behoeve van daarin geïnteresseerden alternatieve oplossingen met behulp van Excel behandeld. De bij de uitwerking van de voorbeelden uit het boek gebruikte Excel-modellen zijn op de website te vinden evenals voor een aantal opgaven voorgeprogrammeerde Excel-modellen.

6 Noordhoff Uitgevers bv Kritiek die tot verbetering van de methode kan leiden, is altijd van harte welkom: J.C.M. (Hans) Gruijters Eindhoven

7 Noordhoff Uitgevers bv Inhoud Inleiding 9. De plaats van de financiële rekenkunde in de economie 0.2 Wat is rente? 0.3 De ontwikkeling van rente 0.4 Interesttheorieën 2.5 Tijdvoorkeur 3 Definities 5 2 Enkelvoudige interest 7 2. Berekening van de interest Huurkooptransacties Enkele begrippen bij huurkoop Berekening van de gemiddelde looptijd en de kredietprijs Berekening van de grootte van de termijnen Financieringsinstellingen Disconto 22 Definities 24 Opgaven 25 3 Samengestelde interest: de eindwaarde Berekening van de eindwaarde Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel Bepaling van de looptijd Bepaling van het percentage Gelijkwaardige procenten Interest over delen van een periode 46 Definities en formules 48 Opgaven 49 4 Samengestelde interest: de contante waarde Berekening van de contante waarde Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel Voorbeeld uit de praktijk 59 Definities en formules 6 Opgaven 62

8 Noordhoff Uitgevers bv 5 Renten Indeling renten Berekening van de eindwaarde Berekening van de contante waarde Uitgestelde renten Eeuwigdurende renten Bepaling van het percentage Bepaling van de looptijd Schuldomzetting Investeringsbeoordeling Voorbeelden uit de praktijk 99 Definities en formules 04 Opgaven 05 6 Annuïteiten 6. Begripsvorming Berekening van de annuïteit Het verband tussen de aflossingen Berekening van de schuldrest Afgeronde annuïteiten Het onderlinge verband Voorbeeld uit de praktijk 28 Definities en formules 3 Opgaven 32 7 Rentabiliteitswaarde Begripsvorming Berekening van de rentabiliteitswaarde Rentabiliteitswaarde van renten Rentabiliteitswaarde van annuïteiten Rentabiliteitskoers Halfjaarcoupons Aflossingspremie 5 Definities en formules 53 Opgaven 54 8 Uitgewerkte casussen Hypotheek Obligaties Aanbod leningen 70

9 Noordhoff Uitgevers bv 9 Formules, functies en hun afleidingen Inleiding Eindwaarde van één kapitaal Contante waarde van één kapitaal Eindwaarde van een rente Contante waarde van een rente Annuïteit Overzicht financieel-rekenkundige functies in Excel en grafische rekenmachine 85 Beknopte antwoorden van de opgaven 86 Hoofdstuk 2 86 Hoofdstuk 3 86 Hoofdstuk 4 87 Hoofdstuk 5 87 Hoofdstuk 6 88 Hoofdstuk 7 89

10 8 Noordhoff Uitgevers bv

11 Noordhoff Uitgevers bv 9 Inleiding. De plaats van de financiële rekenkunde in de economie.2 Wat is rente?.3 De ontwikkeling van rente.4 Interesttheorieën.5 Tijdvoorkeur Definities Elke dag wordt geld geleend, wordt geld gespaard en worden beslissingen genomen die financiële gevolgen voor meerdere jaren hebben, bijvoorbeeld door bedrijven die investeren. Dat wil zeggen dat een ondernemer nu geld in zijn zaak steekt. Als het goed gaat levert die investering de komende jaren winst op. Daar moet echter wel op gewacht worden en bovendien is er geen sprake van zekerheid. Het kan zijn dat de ondernemer over voldoende liquide middelen beschikt, maar vaak zal hij geheel of gedeeltelijk een beroep op vreemdvermogenverschaffers moeten doen. Dat betekent dat er rente en aflossing betaald moeten worden. Wat voor een ondernemer geldt, gaat ook op voor de consument. Zo zal bij de aankoop van een eigen woning vaak een lening worden gesloten waarover rente en aflossing betaald moeten worden. De investering in zijn huis krijgt de eigenaar pas terug als hij zijn huis verkoopt. Pas dan blijkt of hij winst of verlies heeft gemaakt. Investeren, lenen, sparen en aflossen leiden op verschillende momenten tot ontvangsten en uitgaven. Er is sprake van tijdvoorkeur omdat we liever nu 00, willen ontvangen dan over een paar jaar. Vanwege de tijdvoorkeur betalen we ook het liefst zo laat mogelijk. Om het verschil in tijd te overbruggen wordt rente, ofwel interest, in rekening gebracht. Dit hoofdstuk gaat in op de betekenis van rente en geeft een beeld van het denken over rente in de loop van de geschiedenis.

12 0 Noordhoff Uitgevers bv. De plaats van de financiële rekenkunde in de economie Economie is een wetenschap die zich bezighoudt met de voortbrenging en verdeling van schaarse goederen en diensten. In het streven naar welvaart moeten keuzes gemaakt worden. Omdat dit zo veelzijdig is, wordt de economische wetenschap opgesplitst in een aantal onderdelen. Zo kennen we de macro- en micro-economie maar ook de leer van de openbare financiën, zowel nationaal als internationaal. Een van de onderdelen van micro-economie is bedrijfseconomie. Binnen bedrijfseconomie wordt weer onderscheid gemaakt in cost en management accounting, externe verslaggeving en financiering. Bedrijfseconomie kent allerlei berekeningen die gemaakt worden om beslissingen te onderbouwen. Dit boek gaat vooral over berekeningen waarbij tijdvoorkeur een rol speelt en die daarom te maken hebben met rente. De technieken die daarvoor gebruikt worden, vormen de financiële rekenkunde. Ze worden dagelijks wereldwijd ontelbare keren gebruikt. Bij elke lening, elke investering, elke spaarvorm, elk pensioen, enzovoort is tijdvoorkeur een element en vinden berekeningen met rente plaats..2 Wat is rente? Rente of interest is een vergoeding voor geleend of gespaard geld. Het is de vergoeding die een spaarder ontvangt van de bank omdat hij zijn geld tijdelijk op de bank zet. Het is ook de vergoeding die een geldlener betaalt aan de bank omdat hij voor een bepaalde tijd geld van de bank ter beschikking krijgt. De hoogte van de vergoeding is onder meer afhankelijk van het overeen gekomen rentepercentage, de looptijd van de lening en de hoogte van het bedrag. Het rentepercentage bestaat uit drie delen. Het eerste element is compensatie voor inflatie. Daarnaast zit er een stuk risicopremie in. Het is namelijk niet 00% zeker dat de lener altijd volledig terugbetaalt. Een ondernemer kan failliet gaan, een bezitter van een eigen woning kan werkloos raken. Ten slotte wil de bank winst maken. Daarnaast is de hoogte van de rentestand ook afhankelijk van de economische omstandigheden en dus vaak onvoorspelbaar. De hoogte van de rente is ook een gevolg van monetair beleid van Europa en de Verenigde Staten en van beslissingen van de Europese Centrale Bank en de Federal Reserve. Het begrip interest is afkomstig van het Latijnse inter est, wat zoveel betekent als dat wat er tussen ligt. Bijvoorbeeld 30, als jaarrente op een 3% spaarrekening met een beginsaldo van.000,..3 De ontwikkeling van rente In het algemeen zal een geldgever alleen bereid zijn geld tijdelijk aan een ander uit te lenen als hij daar rente voor ontvangt. Wij vinden dat nu heel gewoon, maar vroeger was dat niet zo vanzelfsprekend. Met name vanuit de diversie religies werd daar kritisch tegenaan gekeken. In het Nieuwe

13 Noordhoff Uitgevers bv INLEIDING Testament staat geen verbod op rente, maar staat in Lukas 6:35: Heb je vijanden lief, doe wel en leen uit, en verwacht daarvoor niets terug. Het Concilie van Nice uit 325 na Christus verbood geestelijken rente op leningen te vragen. Vanaf de vijfde eeuw gold dit verbod voor iedereen. In 806 maakte Karel de Grote het vragen van rente tot een misdaad. In 3 deed paus Clemens V de rente in de ban. Ook de Koran verbiedt het vragen van rente. In Soera 2, vers 275 staat:. terwijl Allah de handel wettig en de rente onwettig heeft verklaard. Achtergrond van dit verzet tegen rente was het feit dat veel armen en boeren geld leenden om in hun levensonderhoud te voorzien. Vanuit de gedachte van naastenliefde werd het door de grote godsdiensten immoreel beschouwd om aan arme en hulpbehoevende mensen te verdienen. Eerder nog verzette Aristoteles ( v. Chr.) zich tegen het vragen van rente. Geld was vooral een ruilmiddel en een rekeneenheid. Geld met geld verdienen was een onnatuurlijke bezigheid. Leningen vonden in die tijd plaats in natura. Als er een koe werd geleend kreeg men een kalf als vergoeding. Of als een stuk grond werd geleend werd een deel van de oogst als vergoeding afgedragen. Maar geld kent volgens Aristoteles geen natuurlijke opbrengst. Het werpt geen jongen zei hij letterlijk. In de loop van de middeleeuwen kwam er een kentering. Thomas van Aquino ( ) vindt ook dat er met geld geen geld verdiend mag worden, maar hij maakt een uitzondering voor de beheerders van het geld van weduwen en wezen. Die mochten wel rente vragen omdat zonder deze inkomsten weduwen en wezen niet in hun levensonderhoud konden voorzien. In het begin van de 5 e eeuw werd het toegestaan een vergoeding te vragen voor een lening die gelijk is aan het bedrag dat men anders met het geld had kunnen verdienen. De opportunity costs, zouden we tegenwoordig zeggen. Ondanks al deze bezwaren is er nooit een renteloos tijdperk geweest. Men zocht en vond altijd weer argumenten om het renteverbod te omzeilen. Ook de kerk, die over steeds meer geld en bezittingen ging beschikken, deed daaraan mee. Verder namen niet alle geleerden de aangevoerde argumenten serieus. Vrij vertaald merkte een middeleeuws schrijver laconiek op: Als ik het goed begrijp, gaat iemand die rente vraagt naar de hel, maar als hij het niet doet komt hij in het armenhuis. Tenslotte was het Calvijn ( ) die veel twijfel wegnam door te stellen dat het nemen van interest nergens door de Bijbel werd verboden, de Bijbel keert zich alleen tegen woekerrente. Inmiddels is het vragen van rente zo goed als algemeen geaccepteerd. Toch zijn er nog landen zoals Iran en Pakistan die officieel vasthouden aan een renteverbod. Daarnaast wordt er ook nog wel eens getwijfeld aan de rechtvaardigheid van het vragen van rente door het Westen aan ontwikkelingslanden. Er is veel veranderd in de acceptatie van rente. Vond men vroeger dat de tijd van God was en niet door mensen met geld kon worden gekocht, tegenwoordig stelt men vaak tijd is geld. Soms komt men opmerkelijke zaken tegen. In 2003 haalde de Triodos Bank het nieuws met de introductie van een zogenaamde kip-en-ei-spaarrekening. De spaarder stort eenmalig een bedrag van.000,. Met die inleg wordt vijf jaar lang de biologische landbouw gesteund. Na vijf jaar wordt de inleg voor 00% uitgekeerd. Intussen krijgt de spaarder maandelijks zes biologische eieren als rente.

14 2 Noordhoff Uitgevers bv Jeroen van IJzerloo van de Rabo-bank heeft een interessant artikel gepubliceerd met de titel Rente door de eeuwen heen. Dit is op website die bij dit boek hoort te vinden..4 Interesttheorieën Nadat de vooroordelen tegen het nemen van interest waren weggenomen, ging men zich bezighouden met de vraag waarom er nu eigenlijk interest moest worden betaald en ontvangen. Dit doet in de huidige tijd wellicht enigszins merkwaardig aan, maar het is een feit dat nooit iemand zich afvraagt waarom er eigenlijk arbeidsloon moet worden betaald, terwijl iedere auteur over het verschijnsel interest begint met het stellen van de bovengenoemde vraag. Hierdoor zijn er in de 9 e en 20 e eeuw vele zogenoemde interesttheorieën ontworpen. Hiervan zullen er twee kort worden besproken. Deze twee vertonen onderling op enkele punten overeenkomsten en hun actuele betekenis wordt nog steeds niet in twijfel getrokken. Beide theorieën haken in op de zogenaamde tijdvoorkeur. Tijdvoorkeur houdt in dat men het bezit van huidige (consumptie)goederen prefereert boven dat van toekomstige. Met geld kan men die goederen aanschaffen en dus prefereert men ook huidig geld boven toekomstig geld. Op dit thema zijn de theorieën gebaseerd van Eugen Von Böhm-Bawerk uit de 9 e eeuw en die van Irving Fisher uit het begin van de 20 e eeuw. De theorie van Von Böhm-Bawerk wordt aangeduid als de zogenoemde agiotheorie. Hij stelt dat tegenwoordige goederen (en dus ook geld) meer waard zijn dan toekomstige. Voor deze meerwaarde of agio noemt hij drie redenen: a Mensen verwachten in het algemeen in de toekomst een hoger inkomen te zullen hebben zodat zij gemakkelijker in hun behoeften kunnen voorzien dan nu. Dit maakt het onaantrekkelijk nu geld uit te lenen. b Veel mensen hebben de neiging hun toekomstige behoeften te onderschatten. Met andere woorden: zij zien hun toekomstige behoeften perspectivisch verkleind. c Men kan met tegenwoordige goederen en geld een productieomweg inslaan, met als gevolg een stijging van de hoeveelheid toekomstige goederen. Daarom kunnen ondernemers aan kapitaalverschaffers een interestvergoeding geven. In de 20 e eeuw zijn er twee interesttheorieën bij gekomen die nogal de aandacht hebben getrokken. De eerste is van Fisher en de tweede van Keynes. Deze theorieën verklaren niet alleen het waarom van interest, maar ook de hoogte van de interestvoet. De theorie van Keynes geeft een algemeen economische visie op interest en valt buiten het bestek van dit boek. De theorie van Fisher komt op het volgende neer: Als men geld uitleent, kan men er een bepaalde periode niet over beschikken. Men kan het dus voorlopig niet gebruiken voor consumptie. Met andere woorden: men is gedwongen eventuele consumptie uit te stellen tot later. Fisher is echter van mening dat de meeste mensen liever nu consumeren dan later. Daarvoor noemt hij de volgende redenen:

15 Noordhoff Uitgevers bv INLEIDING 3 a Niemand weet hoelang hij zal leven; als huidige consumptie niet mogelijk is omdat men de geldmiddelen uitleent, bestaat de mogelijkheid dat men helemaal niet meer aan consumeren toekomt. b De meeste mensen nemen aan dat hun inkomenspositie in de toekomst zal verbeteren (door promotie, anciënniteit, enz.), waardoor hun toekomstige consumptie hoger kan zijn dan de huidige. (Zie het eerste motief bij Von Böhm-Bawerk.) c De waarde van geld is in de meeste tijden onderhevig aan daling of inflatie, zodat men bij aflossing van het nominale bedrag dat men heeft uitgeleend, in feite minder koopkracht terugontvangt dan men eertijds heeft afgestaan. Zowel Von Böhm-Bawerk als Fisher noemt dus redenen die het niet aantrekkelijk maken geld uit te lenen. Beide schrijvers benadrukken de voorkeur voor het hebben van huidige financiele middelen. Doet men er desondanks toch voor een bepaalde tijd afstand van, dan zal men daar een vergoeding voor verlangen. Deze vergoeding moet minimaal zo hoog zijn, dat de som van lening en interest aan het eind van de periode gelijkwaardig wordt geacht aan het bedrag van de lening aan het begin van de periode..5 Tijdvoorkeur Tijdvoorkeur is de voorkeur voor huidige beschikbaarheid van geld ten opzichte van toekomstige beschikbaarheid. Het verschil wordt door rente overbrugd. Voorbeeld. A heeft geld op de bank staan dat hij niet direct nodig heeft en eventueel kan uitlenen. Zijn buurman B is hiervan op de hoogte en heeft dringend behoefte aan.000, die hij wil gebruiken voor de aankoop van een machine voor zijn bedrijf. Tijdvoorkeur houdt in dat A die.000, liever zelf houdt. Hij is pas bereid dat aan zijn buurman uit te lenen als hij over een jaar meer dan.000, terugkrijgt. Hij mist immers de rente op de bank, hij loopt het risico van inflatie en het is bovendien niet 00% zeker dat de buurman over een jaar terug kan betalen. A vraagt daarom 6% interest. Tijdvoorkeur voor B houdt in dat hij liever nu.000, heeft om in zijn bedrijf te investeren dan over een jaar. Hij verwacht met zijn investering winst te maken en is bereid straks meer terug te betalen dan dat hij nu heeft geleend, stel.060,. B wil 6% interest betalen. A en B zijn het samen eens en de lening kan worden aangegaan. Het zal duidelijk zijn dat tijdvoorkeur een steeds grotere rol gaat spelen naarmate de periode langer wordt. Als de lening uit dit voorbeeld voor 0 jaar zou zijn aangegaan, krijgt tijdvoorkeur via een interestvergoeding een waarde van 79,. Samenvattend: tijdvoorkeur wordt verrekend met een interestvergoeding. Berekening wordt in hoofdstuk 3 uitgelegd

16 4 Noordhoff Uitgevers bv Rekening houden met tijdvoorkeur betekent ook dat bedragen die op verschillende tijdstippen betaald of ontvangen worden niet zonder meer bij elkaar mogen worden geteld. Voorbeeld.2 Als A op dit moment 5.000, aan liquide middelen bezit en daarnaast over 0 jaar.79, van zijn buurman tegoed heeft, is het onjuist te stellen dat nu A 6.79, bezit. Uitgaande van 6% interest bezit A op dit moment 5.000, contant en.000, aan vorderingen. Samen 6.000,. Hiermee is een begin gemaakt met de interestberekeningen die in de volgende hoofdstukken aan de orde worden gesteld, en wel als volgt. In hoofdstuk 2 worden berekeningen met enkelvoudige interest behandeld, alsmede het begrip disconto. In de volgende hoofdstukken gaat het steeds om berekeningen met samengestelde interest. De Spaanse theoloog en econoom Martín de Azpilcueta (49-586) ontwikkelde als eerste een wiskundig model om tijdvoorkeur met samengestelde interest te verwerken. hoofdstuk 3: berekeningen van eindwaarden; hoofdstuk 4: berekeningen van contante waarden; hoofdstuk 5: berekeningen met renten; hoofdstuk 6: berekeningen met annuïteiten; hoofdstuk 7: berekeningen met de rentabiliteitswaarde; hoofdstuk 8: uitgewerkte casussen In hoofdstuk 9 ten slotte wordt een aantal formules afgeleid die men voor het uitvoeren van berekeningen met de rekenmachine nodig heeft.

17 Noordhoff Uitgevers bv 5 Definities Rente of interest Tijdvoorkeur Vergoeding voor geleend of gespaard geld. Voorkeur voor huidige beschikbaarheid van geld ten opzichte van toekomstige beschikbaarheid. Het verschil wordt door rente overbrugd.

18 6 Noordhoff Uitgevers bv

19 Noordhoff Uitgevers bv 7 2 Enkelvoudige interest 2 2. Berekening van de interest 2.2 Huurkooptransacties 2.3 Enkele begrippen bij huurkoop 2.4 Berekening van de gemiddelde looptijd en de kredietprijs 2.5 Berekening van de grootte van de termijnen 2.6 Financieringsinstellingen 2.7 Disconto Definities Opgaven Veel koop- en verkooptransacties komen tot stand waarbij de klant de koopsom niet in één keer betaalt, maar in delen. Bij het vaststellen van de grootte van de betalingen speelt interest een belangrijke rol. Er bestaan twee fundamenteel verschillende wijzen van verrekening van interest, namelijk enkelvoudige interest en samengestelde interest. In dit hoofdstuk komen enkelvoudige interestberekeningen aan de orde die met name van toepassing zijn bij koop op afbetaling en huurkoop, waarbij de looptijd maximaal één jaar bedraagt.

20 8 Noordhoff Uitgevers bv 2. Berekening van de interest Als iemand op januari een bedrag van 0.000, op een spaarrekening stort en dit het hele jaar ongewijzigd laat, kan hij op 3 december van dat jaar een groter bedrag bij de bank opnemen dan 0.000,. De bank zal rente vergoeden. Als de bank 3% rente geeft, is het saldo per 3 december: , 0, , = 0.300, De rentevergoeding is dus 0, , = 300,. Als het bedrag twee jaar ongewijzigd op de bank staat wordt de rentevergoeding: I = 2 0, , = 600, In dit voorbeeld wordt geen rente over de rente berekend. De interest wordt elke periode berekend over het oorspronkelijke beginkapitaal. Dit wordt enkelvoudige interest genoemd. Bij looptijden langer dan een jaar is dat niet gebruikelijk. Enkelvoudige interestberekeningen worden meestal gebruikt bij looptijden tot een jaar. De Engelse term voor enkelvoudige interest is simple interest. Als men het rentepercentage voorstelt met p, het beginkapitaal met K en de tijd met t, dan wordt de formule voor de enkelvoudige interestberekening: I = t p 00 K waarin I het interestbedrag voorstelt. De looptijd wordt veelal uitgedrukt in jaren, maar dit kan ook in maanden of dagen. Als het bovengenoemd bedrag niet één jaar, maar slechts acht maanden uitstaat tegen 3% interest per jaar, wordt het interestbedrag: I = , = 200, 00 De formule voor enkelvoudige interestberekening is: t p K I = c waarin: I = het interestbedrag; t = de looptijd; p = het interestpercentage, of rentepercentage; K = het kapitaal; c = een constante, namelijk:

21 Noordhoff Uitgevers bv ENKELVOUDIGE INTEREST 9 00 als t is uitgedrukt in jaren; 200 als t is uitgedrukt in maanden; als t is uitgedrukt in dagen. 2.2 Huurkooptransacties Het komt vaak voor dat bedrijven of particulieren duurzame productiemiddelen of consumptiegoederen willen aanschaffen zonder dat ze daarvoor over voldoende financiële middelen beschikken. Het ontbrekende geld zal dan moeten worden geleend. Daarvoor bestaan allerlei mogelijkheden: huurkoop, koop op afbetaling, lease, persoonlijke lening, rekening-courantkrediet, enzovoort. Via internet bieden vooral veel autohandelaren hun occasions met huurkoopmogelijkheid aan. Zo meldt een autoverkoper op zijn site: Bent u op zoek naar een manier om een auto te financieren? Via de huurkoop kunt meteen van uw auto genieten. Met een vast maandbedrag en een vaste looptijd komt u bovendien niet voor verrassingen te staan. 2 Het verschil tussen huurkoop en koop op afbetaling is alleen van juridische aard. Bij koop op afbetaling gaat het eigendom van het gekochte goed direct over op de koper, bij huurkoop gebeurt dit pas nadat de koper aan alle financiële verplichtingen heeft voldaan. Voordeel van huurkoop is dat men direct over het product kan beschikken. Daar staat tegenover dat het vanwege de hoge interestkosten een dure vorm van lenen is. Bovendien heeft de verkoper het recht het product terug te vorderen in geval van betalingsachterstand. De lening zal in aantal meestal gelijke bedragen worden terugbetaald. Vaak zijn dat maandbedragen, maar er komen ook andere vormen voor. Zo n te betalen maandbedrag wordt een termijn genoemd. Behalve aflossing bevatten deze termijnen ook een opslag voor rente en kosten. De rente en overige kosten, de kredietprijs, wordt uitgedrukt in een percentage per jaar, waardoor de kosten van huurkoop vergelijkbaar zijn met die van andere leningsvormen. 2.3 Enkele begrippen bij huurkoop Bij huurkoop hebben we te maken met een aantal begrippen: contante prijs: de verkoopprijs; aanbetaling: het gedeelte van de contante prijs dat bij aflevering van het goed direct moet worden betaald; krediet: de contante prijs min de aanbetaling, de feitelijke lening; kredietkosten: het totaal van de termijnen plus aanbetaling min de contante prijs; ofwel het totaal van de termijnen min het krediet; kredietduur: de gemiddelde looptijd van de termijnen; kredietprijs: de kredietkosten (op jaarbasis) uitgedrukt als percentage van het krediet. De kredietprijs wordt meestal uitgedrukt in een percentage per jaar.

22 20 Noordhoff Uitgevers bv 2.4 Berekening van de gemiddelde looptijd en de kredietprijs Bij de bepaling van de door de kredietverstrekker in rekening gebrachte kredietprijs wordt uitgegaan van de gemiddelde looptijd. Voorbeeld 2. maakt duidelijk waarom dat zo is. 2 Voorbeeld 2. Iemand leent.000, en moet dit bedrag op basis van 20% rente per jaar aflossen in 5 maandelijkse termijnen van elk 20,. De eerste termijn vervalt na maand. Er is geen aanbetaling. Elke termijn bevat dus.000, = 200, aflossing. 5 Nadat de eerste termijn is betaald, is de schuld gereduceerd tot 800,, na de tweede tot 600,, enzovoort. Nadat de vierde termijn is vervallen, bedraagt de schuld nog slechts 200,. De gemiddelde schuld is dus:.000, 800, 600, 400, 200, = 3.000, 5 600, en niet:.000, = Daarom gaat men dus uit van de gemiddelde looptijd. Deze is hier: = 5 5 = 3 maanden of: 5 = 3 maanden. 2 De kosten bedragen hier: 5 20,.000, = 50, Op jaarbasis is dit: , = 200, Kredietprijs: 200 % = 20% % van.000 Een andere berekeningswijze kan dit nog duidelijker maken. Rentekosten in 5 maanden: 50,. Gemiddelde schuld in 5 maanden: 600,. Kosten in 5 maanden: Kosten in 2 maanden: 50 % van 600 % = 8 3 % % = 20%

23 Noordhoff Uitgevers bv ENKELVOUDIGE INTEREST 2 In voorbeeld 2. is te zien dat de gemiddelde looptijd bepaald is als het ongewogen rekenkundig gemiddelde. Hiertoe neemt men de som van alle waarnemingen en deelt deze door het aantal waarnemingen. In dit voorbeeld dus 5 5 = 3. Als de tussenpozen gelijk zijn, kan men volstaan met het nemen van de som van de eerste en de laatste waarneming, en deze te delen door 2, dus 5 = 3. 2 Hiermee moet men overigens wel voorzichtig zijn. Dit geldt namelijk alleen bij gelijke termijnen en gelijke tussenpozen. Op de website is uitgewerkt hoe men te werk moet gaan als niet aan deze voorwaarden is voldaan Berekening van de grootte van de termijnen Voorbeeld 2.2 Een motorhandelaar verkoopt met een contante prijs van 2.000, een bepaald type motor in huurkoop onder de volgende voorwaarden: De aanbetaling is 2.000,. Het krediet plus kosten wordt betaald in 9 gelijke maandelijkse termijnen waarvan de eerste na maand vervalt. De kredietprijs is 9,2% per jaar. Bereken de grootte van de termijnen plus de totale huurkoopprijs. Uitwerking Krediet = 2.000, 2.000, 0.000,. De gemiddelde looptijd is 9 5 maanden. 2 De kosten in 5 maanden bij 9,2% per jaar zijn 5 9,2% 0.000, = 800,. 2 Krediet kosten is 0.000, 800, = 0.800,. Elke termijn is dan : =.200,. 9 De totale huurkoopprijs is 2.000, 9.200, = 2.800,. 2.6 Financieringsinstellingen In het voorafgaande is er steeds van uitgegaan dat de verkoper het huurkoopkrediet verstrekt. In de praktijk echter laten bijvoorbeeld autodealers relatief grote financieringen meestal over aan daarin gespecialiseerde banken. Deze gaan bij de kostenberekeningen veelal niet uit van de gemiddelde maar

24 22 Noordhoff Uitgevers bv van de volle looptijd. Men gaat dan wel uit van een lager kredietpercentage. Hierdoor kan een wat vertekend beeld ontstaan. Wat hiermee wordt bedoeld, wordt in onderstaande voorbeeld aangetoond. Voorbeeld Iemand laat zijn nieuwe auto gedeeltelijk financieren door een bank. Gegevens: De nieuwprijs is ,. De aanbetaling bedraagt 7.500,. De kosten bedragen 8% per jaar en worden berekend over de gehele looptijd. Er wordt terugbetaald in 2 gelijke maandelijkse termijnen. De eerste termijn vervalt na maand. Bereken de werkelijke kredietprijs. Uitwerking Het krediet bedraagt , 7.500, = , , De kosten van het krediet zijn: = 2.600,..200 Hier dus 2 maanden, want dat is de volle looptijd. De gemiddelde looptijd is 2 2 = 6,5 maanden. Dit brengt de kosten op jaarbasis op , = 4.800,. 6, , De werkelijke kredietprijs is % = 4,77%. % van , Dit is wel wat anders dan de 8% waar men van is uitgegaan! In paragraaf 2.4 is uiteengezet waarom van de gemiddelde looptijd moet worden uitgegaan om de juiste kredietprijs te bepalen. 2.7 Disconto Interest is de vergoeding die men ontvangt voor het uitlenen van geld. De verrekening van deze interest kan op verschillende tijdstippen plaatsvinden. Het gebruikelijkst is dat dit gebeurt aan het eind van een periode. In dat geval spreekt men van interest. Deze interest wordt uitgedrukt in een percentage van het beginkapitaal. Soms vindt verrekening plaats aan het begin van een periode. In dat geval is er sprake van disconto. Dit disconto wordt uitgedrukt in een percentage van het eindkapitaal.

25 Noordhoff Uitgevers bv ENKELVOUDIGE INTEREST 23 Samengevat Interest: vergoeding voor kapitaal, achteraf verschuldigd en berekend over het beginkapitaal. Disconto: vergoeding voor kapitaal, vooraf verschuldigd en berekend over het eindkapitaal. Disconto is een Italiaans woord, afgeleid van het Latijnse discomputare, hetgeen verminderen betekent. Voorbeeld 2.4 Een bedrag van 0.000, wordt gedurende jaar uitgeleend tegen 5% interest. De kredietnemer ontvangt van de bank een bedrag van 0.000,. Hij moet over jaar inclusief rente 0.000, 0, , = 0.500, terugbetalen. 2 Als de lening op basis van 5% disconto zou zijn afgesloten, ontvangt de kredietnemer 0.000, 0, , = 9.500,, terwijl hij inclusief rente 0.000, terug moet betalen. Als de financieringsbehoefte exact 0.000, bedraagt, zal bij een lening op basis van disconto een hoger bedrag moeten worden geleend. In dit voorbeeld bedraagt de lening dan: , = 0.526,32 Discontoberekeningen worden in dit boek buiten beschouwing gelaten.

26 24 Noordhoff Uitgevers bv Definities 2 Enkelvoudige interest (Eng. Simple interest) Kredietprijs Disconto Interestberekening waarbij de interest elke periode opnieuw berekend wordt over het oorspronkelijke beginkapitaal. De kredietkosten van huurkoop (op jaarbasis) uitgedrukt in een jaarpercentage van het krediet. Vergoeding voor geleend of gespaard kapitaal, vooraf verschuldigd en berekend over het eindkapitaal.

27 Noordhoff Uitgevers bv 25 Opgaven 2 Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven staan de volledige uitwerkingen op de website. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met volledige uitwerking. * 2. Bereken de interest die wordt vergoed over een bedrag van.225, dat uitstaat tegen 5% per jaar gedurende: a 3,5 jaar; b 5 maanden; c 4 jaar en 7 maanden. 2.2 Bereken de gegevens die in de onderstaande tabel ontbreken. Kapitaal Procent Maanden Interest a ,75 b 4.780, 4 26 c 9.600, , d 6.500, 7,25 294, Een kapitaal van 7.500, heeft gedurende 5 jaar uitgestaan tegen 4% interest per jaar. Met ingang van het 6de jaar heeft de bank het rentepercentage verhoogd tot 6% per jaar. Daarna is het percentage niet meer gewijzigd. Er wordt alleen interest vergoed over de hoofdsom, terwijl de interest per 3 december wordt bijgeschreven. a Bereken tot welk bedrag dit kapitaal is aangegroeid na 8 jaar. b Bereken de genoten interest van het 3de tot en met het 7de jaar. c Bereken het gemiddeld ontvangen interestpercentage. * 2.4 Iemand leent op april 5.000, tegen 7,25% per jaar. Per augustus leent hij nog eens 9.000, bij tegen een ander interestpercentage. Op 3 oktober betaalt hij in totaal, inclusief de verschuldigde interest, ,76 terug. Bereken het interestpercentage (per jaar) dat voor de tweede lening werd overeengekomen. 2.5 Iemand stort gedurende 6 jaar telkens op januari 300, op een spaarrekening. De bank vergoedt 4,5% interest per jaar over de ingelegde som exclusief interest. Aan het eind van het 6de jaar geeft de bank een spaarpremie van 0% over de gekweekte interest. a Bereken het saldo op deze spaarrekening per het einde van het 6de jaar. b Hoeveel bedraagt de totaal genoten interest?

28 26 Noordhoff Uitgevers bv 2 * * * 2.6 Een rijwielhandelaar verkoopt een luxe sportfiets contant voor.700, of in huurkoop met de volgende condities: een aanbetaling groot 200, ; 5 kwartaaltermijnen van elk 345,, waarvan de eerste na 3 maanden vervalt. Bereken de kredietprijs voor de koper. 2.7 Een winkelier levert saxofoons in huurkoop onder de volgende condities: een aanbetaling van 300, gevolgd door 8 gelijke maandelijkse termijnen groot 33,25. De eerste termijn vervalt na maand. Voor interest, kosten en risico gaat men uit van 6% per jaar. a Bereken het verleende krediet. b Bereken de contante prijs. 2.8 Een financieringsmaatschappij verleent onder de volgende voorwaarden krediet aan iemand voor de aanschaf van een duurzaam consumptiegoed dat contant 2.500, kost. Er wordt ingehouden: 2.500, voor de aanbetaling plus 4,5% interest, berekend over de volle duur van de overeenkomst. Verder wordt overeengekomen dat moet worden terugbetaald in 9 gelijke maandelijkse termijnen waarvan de eerste na maand vervalt. a Bereken de werkelijke kredietprijs op jaarbasis (op decimaal nauwkeurig). b Bereken de grootte van de maandelijkse termijnen. c Bereken het bedrag dat de koper uiteindelijk in totaal kwijt is. 2.9 Voor de nieuwe inrichting van zijn keuken heeft iemand 8.000, nodig. Daarvan heeft hij zelf al 6.000, gespaard. Voor de financiering van het ontbrekende heeft hij twee mogelijkheden: Huurkoop. Hij doet in dat geval een aanbetaling van 6.000, en betaalt vervolgens 2 tweemaandelijkse termijnen van elk.20,, waarvan de eerste vervalt na maand. Persoonlijke lening. In dit geval moet worden afgelost in 2 tweemaandelijkse termijnen, waarvan de eerste vervalt na maand. De interest bedraagt 5,74% per jaar berekend over de volle looptijd en over het gehele bedrag van de lening en wordt bij het afsluiten van de lening in mindering gebracht. a Bereken de kredietprijs per jaar in geval van huurkoop. b Bereken het bedrag van de persoonlijke lening. Bedenk daarbij dat de koper netto 2.000, in handen moet krijgen. c Bereken de grootte van de termijnen in geval van de persoonlijke lening. NB: nu blijkt dat door afronding het berekende leningbedrag onder b met 0,05 omhoog moet; ga daar verder van uit. d Bereken in geval van de persoonlijke lening de kredietprijs per jaar en bepaal welke financieringswijze deze koper zal kiezen. e Becijfer het verschil tussen de totale kosten bij huurkoop en de persoonlijke lening met behulp van het verschil in de kredietprijzen.

29

30 28 Noordhoff Uitgevers bv

31 Noordhoff Uitgevers bv 29 3 Samengestelde interest: de eindwaarde 3 3. Berekening van de eindwaarde 3.2 Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel 3.3 Bepaling van de looptijd 3.4 Bepaling van het percentage 3.5 Gelijkwaardige procenten 3.6 Interest over delen van een periode Definities en formules Opgaven Als bedragen langer dan één jaar op de bank staan, of betalingen langer dan één jaar worden uitgesteld, zal in de praktijk altijd rente over rente worden verrekend. Uitgaande van op de bank gestorte bedragen betekent dit dat er ook interest wordt vergoed over de interest die inmiddels al is ontstaan. We noemen dit samengestelde interest. Het banksaldo wordt steeds groter naarmate het bedrag langer op de bank staat. De eindwaarde is altijd hoger dan de beginwaarde als gevolg van interest. In dit hoofdstuk komen diverse technieken aan de orde om de interest te berekenen. Met behulp van die technieken is het ook mogelijk om van een transactie het rendement of de looptijd te bepalen. Als de rente over delen van een jaar wordt berekend, ontstaat een specifieke problematiek die in de paragrafen 3.5 en 3.6 aan de orde komt.

32 30 Noordhoff Uitgevers bv 3. Berekening van de eindwaarde 3 Eindwaardeberekeningen kan men bijvoorbeeld aantreffen bij het vergelijken van diverse spaarvormen. Ze geven antwoord op de vraag: Als ik nu een kapitaal K op een bank uitzet tegen een percentage p per jaar, wat bezit ik dan na een aantal jaren n? Als men geld voor verschillende perioden, meestal jaren, bij een bank uitzet, kan de interestverrekening op verschillende wijzen geschieden. Aan het eind van elke periode wordt de interest berekend over het beginkapitaal, de zogenoemde hoofdsom. De interest wordt dan vervolgens: opgenomen, of overgeheveld naar een andere rekening, of bijgeschreven, terwijl in het vervolg geen interest wordt vergoed over de eerder bijgeschreven interest. Met andere woorden: alleen de hoofdsom is rentedragend. Deze vorm van interestberekening wordt enkelvoudig genoemd. 2 Aan het eind van elke periode wordt de interest toegevoegd aan de hoofdsom en in de volgende perioden wordt interest berekend over de hoofdsom plus de toegevoegde interest. Deze vorm van interestberekening wordt samengesteld genoemd. Bij dit systeem ontstaat dus wat rente op rente wordt genoemd. De Engelse term voor samengestelde interest is compound interest. Voorbeeld 3. Marianne stort.000, op een spaarrekening bij een bank die 3% rente vergoedt. Op verzoek van Marianne bereken je als klantadviseur van de bank: a het saldo op deze spaarrekening aan het einde van het 5de jaar als de bank de interest berekent volgens de methode van enkelvoudige interest; b het saldo op deze spaarrekening aan het einde van het 5de jaar als de bank de interest berekent volgens de methode van samengestelde interest. Uitwerking a Het saldo van de spaarrekening is in 5 jaar toegenomen tot: na jaar:.000, 0,03.000,.030, na 2 jaar:.030, 0,03.000,.060, na 3 jaar:.060, 0,03.000,.090, na 4 jaar:.090, 0,03.000,.20, na 5 jaar:.20, 0,03.000,.50, Elk jaar wordt de rente opnieuw berekend over het oorspronkelijke bedrag van.000,. In het algemeen geldt de volgende formule voor de berekening van de eindwaarde bij enkelvoudige interest: EW n K ( n i)

33 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE 3 waarin: EW n de eindwaarde na een aantal perioden n; K het beginkapitaal; i het interestperunage (p/00); n het aantal perioden. p is het symbool voor het interestpercentage (3%) en i voor het zogenoemde interestperunage (0,03). In voorbeeld 3.a valt de eindwaarde na 5 jaar bij enkelvoudige interest via deze formule als volgt te bepalen: EW 5.000, ( 5 0,03).50, 3 Voorbeeld 3. (vervolg) b Gevraagd wordt de eindwaarde na 5 jaar van een beginbedrag van.000, onder verrekening van 3% samengestelde interest per jaar. Een tijdlijn geeft dat als volgt weer:.000 3% EW 5 Het saldo van de spaarrekening is in 5 jaar toegenomen tot: na jaar:.000,00 0,03.000,00.030,00 na 2 jaar:.030,00 0,03.030,00.060,90 na 3 jaar:.060,90 0,03.060,90.092,73 na 4 jaar:.092,73 0,03.092,73.25,5 na 5 jaar:.25,5 0,03.25,5.59,27 Deze manier van berekenen kost erg veel tijd. De volgende redenering leidt sneller tot het resultaat. Als men 3% bij een getal optelt, is dat gelijk aan vermenigvuldiging van dat getal met,03. Voor ieder jaar dat een kapitaal uitstaat wordt de grootte van dat kapitaal vermenigvuldigd met,03. Gedurende 5 jaar derhalve met:,03,03,03,03,03 (,03) 5, De eindwaarde van.000, na 5 jaar te hebben uitgestaan tegen 3% samengestelde interest per jaar is dan:.000 (,03) 5.000, ,27

34 32 Noordhoff Uitgevers bv Voor de berekening van de eindwaarde bij samengestelde interest geldt de volgende formule: EW n K ( i) n waarin: EW n de eindwaarde na een aantal perioden n; K het beginkapitaal; i het interestperunage (p/00); n het aantal perioden. 3 Het ranggetal van de EW is steeds gelijk aan de exponent van de factor ( i). De factor ( i) n wordt in de financiële rekenkunde genoteerd als S n p (lees: grote S en pee). S n p ( i) n Het symbool S is afgeleid van slotwaarde, terwijl de index n p betrekking heeft op het aantal perioden en het gehanteerde interestpercentage. In voorbeeld 3.b valt de eindwaarde na 5 jaar bij samengestelde interest via deze formule als volgt te bepalen: S 5 3,03 5, EW 5.000, S ,, ,27 In dit boek zal telkens de schrijfwijze met symbolen uit de financiële rekenkunde worden gebruikt om aan te geven wat berekend moet worden, bijvoorbeeld EW n K S n p. Het hoe kent verschillende mogelijkheden die in de volgende paragrafen worden uitgewerkt. 3.2 Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel Bij de berekening van eindwaarden bepaalt men eerst de waarde van ( i) n en vervolgens vermenigvuldigt men deze met het beginkapitaal K. De bepaling van de eindwaarde kan op de volgende manieren geschieden: met behulp van de rekenmachine; 2 met behulp van de grafische rekenmachine; 3 met behulp van Excel. Ad Bepaling van de eindwaarde met behulp van de rekenmachine Hiervoor is een rekenmachine nodig waarbij machtsverheffen tot de mogelijkheden behoort. Afhankelijk van het gebruikte merk kan de toets voor machtsverheffen zijn [^] of [x y ] of [y x ]. In het vervolg wordt voor de notatie uitgegaan van de Casio fx-82ms. Er zijn overigens vaak meerdere oplossingsmethoden mogelijk waardoor eventueel kleine onderlinge afrondingsverschillen kunnen optreden.

35 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE 33 In voorbeeld 3. werd de eindwaarde na 5 jaar gevraagd van.000, als de bank 3% interest per jaar biedt. EW 5.000, (,03) 5.000, S 5 3 ( i) n, toets in: [ i][^][n][ ] (,03) 5, toets in: [,03][^][5][ ] uitkomst:, EW 5.000,, ,27 Ad 2 Bepaling van de eindwaarde met behulp van de grafische rekenmachine Bij de uitwerking wordt gebruikgemaakt van de TVM-Solver (Time, Value, Money) uit het FINANCE-menu van de Texas TI-83/84 plus. Deze solver (oplosser) kent vijf variabelen. Als er vier bekend zijn, kan de vijfde worden berekend. De vijf variabelen zijn: looptijd 2 interestpercentage 3 contante waarde 4 eindwaarde 5 betalingen 3 De TVM-Solver wordt geactiveerd door middel van de APPS-toets (APPS is de afkorting van applications) gevolgd door tweemaal enter. Invulmogelijkheden: N Het aantal perioden, looptijd I% Het interestpercentage PV Present value, contante waarde, huidige waarde, beginkapitaal PMT Payment, periodieke betaling, termijn, annuïteit FV Future value, eindwaarde, toekomstige waarde P/Y Payment periods per year, aantal betalingen per jaar ( jaarbetaling) C/Y Compounding periods per year, aantal samengestelde interesttermijnen per jaar. De invoer bij P/Y wordt automatisch overgenomen voor C/Y. Deze kan daarna wel aangepast worden. PMT: END/BEGIN De betalingswijze, post of prenumerando (zie hoofdstuk 5). Bij de uitwerking van voorbeeld 3. gelden de volgende invoergegevens: APPS, enter, enter N 5 I% 3 PV 000 PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat Opmerking Als de PV positief is, wordt dit als een ontvangst beschouwd. Daar staat tegenover dat de FV dan als een verplichting wordt gezien en daarom negatief wordt weergegeven. Storting en opname zijn tegenpolen.

36 34 Noordhoff Uitgevers bv Ad 3 Bepaling van de eindwaarde met behulp van Excel Stel hiervoor het volgende werkblad op. Geef cel C4 het percentageformaat. 3 In feite verschilt deze wijze van berekenen niet veel van de wijze waarbij gebruikgemaakt wordt van een rekenmachine. Met behulp van Excel is het mogelijk snel de eindwaarden te berekenen indien een of meer variabelen (beginkapitaal, rente en/of looptijd) veranderen. Excel kent echter ook een aantal voorgeprogrammeerde financiële functies, waarbij standaard gebruikgemaakt wordt van onderliggende formules. Dat levert een groot gebruikersgemak op. Typ in cel C7: Zoek in de formulebalk via meer functies naar de financiële functies. Kies: TW (toekomstige waarde) Vul vervolgens de celverwijzingen op het invulscherm in: Rente: C4 Aantal termijnen: C5 Bet (betalingen): blanco (er is in dit voorbeeld geen sprake van periodieke betalingen) HW (huidige waarde): C3 Type_getal: blanco Na invulling verschijnt het resultaat. Klik op OK en de eindwaarde van.59,27 verschijnt in cel C7. De functie TW is hier gebruikt voor de berekening van de eindwaarde van één kapitaal. Deze functie is ook te gebruiken om de eindwaarde te berekenen in geval er meerdere stortingen plaatsvinden (zie hoofdstuk 5). In dat geval moeten de hier blanco gelaten onderdelen wel ingevuld worden. Als bij HW C3 ingevuld wordt in plaats van C3, zal het resultaat van de berekening.59,27 worden. Dit komt doordat Excel de storting (de huidige waarde) aan het begin positief waardeert en de eindwaarde als een soort schuld beschouwt die aan het eind van de looptijd betaald moet worden. Wenst men echter een positieve uitkomst, dat moet in de formule de huidige waarde negatief worden ingevoerd. Dit is in dit voorbeeld gebeurd door het invullen van C3.

37 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE 35 3

38 36 Noordhoff Uitgevers bv 3 Tot een aantal jaren geleden werd bij het maken van interestberekeningen vrijwel uitsluitend gebruikgemaakt van zogenoemde interesttafels. Volledigheidshalve laten we hier de werking van deze interesttafels zien. De interesttafels staan op de website. De interesttafel geeft de uitkomst van ( i) n bij verschillende waarden van n en i of p. Hier volgt een stuk van de S n p -tafel voor de waarden, 2, 3, 4 en 5 van n en 3%, 4% en 5% van p. n p 3% 4% 5%,030000,040000,050000,060900,08600,02500,092727,24864,57625,25509,69859,25506,59274,26653, In feite zijn de bovenstaande waarden eindwaarden van een kapitaal van, dat gedurende een aantal perioden n tegen een percentage p op samengestelde interest heeft uitgestaan. Dus een beginkapitaal van, dat gedurende 5 jaar heeft uitgestaan tegen 3% per jaar, groeit aan tot, Het beginkapitaal uit voorbeeld 3. was.000,. De eindwaarde is dan ook 000 maal zo groot, dus: EW 5.000,, ,27 Let erop dat n in de tafels perioden voorstelt. In het algemeen zal dit een aantal jaren zijn, maar dat is niet noodzakelijk. Als men bijvoorbeeld 2% interest per maand moet betalen, stelt n in de tafel maanden voor.

39 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE 37 Voorbeeld 3.2 J. Smit gaat over 7 jaar met pensioen. Hij heeft 2.500, beschikbaar die hij wil sparen. De rente is 2,5% per jaar. De bank verwacht de komende 3 jaar geen verandering. Daarna verwacht men dat de rente zal stijgen naar 3% per jaar. In verband met een geplande wereldreis wenst Smit van de bank een opgave van het bedrag dat hij over 7 jaar naar verwachting op zijn bankrekening heeft staan. Uitwerking De onderstaande tijdlijn geeft het gevraagde weer: 2,5% 3% EW 3 EW 7 Allereerst wordt de eindwaarde na 3 jaar berekend. EW , (,025) , S 3 2, ,, ,3 Dit wordt vervolgens weer 4 jaar uitgezet tegen 3% per jaar, dus: EW ,3 (,03) ,3 S ,3, ,62 Het bovenstaande kan ook in één keer worden berekend: EW , (,025) 3 (,03) , S 3 2,5 S ,, , ,62 Bij de uitwerking van voorbeeld 3.2 met de grafische rekenmachine gelden de volgende invoergegevens: APPS, enter, enter N 3 I% 2,5 PV 2500 PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat APPS, enter, enter N 4 I% 3 PV 346,328 PMT 0

40 38 Noordhoff Uitgevers bv FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat 550,62357 Ook bij de uitwerking met Excel wordt eerst de waarde na 3 jaar bepaald, daarna de waarde na 7 jaar. Gebruikmakende van de functie TW ziet de uitwerking er als volgt uit: 3 Voorbeeld 3.3 Rob heeft een bedrag van 5.000, 5 jaar vaststaan op een 3% spaarrekening. Hij wil graag weten hoeveel interest hij heeft ontvangen over: a het 5de jaar; b het 2de tot en met het 4de jaar. Uitwerking Uiteraard kan van elk jaar apart de interest worden bepaald. Bij een looptijd van 5 jaar is de hoeveelheid werk van deze methode nog te overzien maar dat verandert bij langere looptijden. De onderstaande tijdlijn geeft schematisch de stappen aan die nodig zijn bij de uitwerking. Interest 2de t.e.m. 4de jaar Interest 5de jaar % EW EW 4 EW 5

41 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE 39 a EW , (,03) , S ,37 EW , (,03) , S ,54 Interest 5de jaar: 68,83 b EW , (,03) , S ,54 EW 5.000, (,03) 5.000, S ,00 Interest 2de tot en met 4de jaar: 477,54 Dit had ook als volgt berekend kunnen worden: Interest 2de tot en met 4de jaar: 5.000, {(,03) 4 (,03)} 477,54 Controle: Beginkapitaal 5.000, Interest ste jaar: 0, , - 50, Interest 2de t/m 4de jaar - 477,54 Interest 5de jaar - 68,83 Eindwaarde na 5 jaar 5.796, Bepaling van de looptijd Men kan zich afvragen hoelang men een bepaald bedrag tegen een gegeven interestpercentage moet uitzetten om een bepaalde eindwaarde te realiseren. Voorbeeld 3.4 Marieke Peters stort via online bankieren 2.500, op een 5% spaarrekening. Via de mail vraagt zij de bank hoelang het duurt voordat het saldo inclusief interest 4.000, zal bedragen. Uitwerking EW n 4.000, 2.500, (,05) n (,05) n,600 Voor de bepaling van de looptijd (n) staan drie mogelijkheden open: bepaling van n met behulp van de rekenmachine; 2 bepaling van n met behulp van de grafische rekenmachine; 3 bepaling van n met behulp van Excel. Ad Bepaling van de looptijd met behulp van de rekenmachine Hiervoor moet worden gebruikgemaakt van logaritmen. (,05) n,600 n log,05 log,600 n log,600 log,05

42 40 Noordhoff Uitgevers bv Op de rekenmachine worden de volgende toetsen ingedrukt: [log][,6][ ][log][,05][ ] uitkomst: 9,633 0,633 jaar 0, dagen n is dus exact 9,633 jaar, ofwel 9 jaar plus 23 dagen. 3 Ad 2 Bepaling van de looptijd met behulp van de grafische rekenmachine De oplossingsmethode is vrijwel identiek aan die van paragraaf 3.2. APPS, enter, enter N 0 I% 5 PV 2500 PMT 0 FV ( )4000 Opmerking: denk aan het minteken ( ) P/Y C/Y PMT: END Cursor naar N, ALPHA, enter resultaat Opgemerkt moet worden dat het bij dit soort probleemstellingen in het algemeen voldoende is om een benadering te geven. Ad 3 Bepaling van de looptijd met behulp van Excel Om de looptijd met behulp van Excel te bepalen kan gebruikgemaakt worden van de financiële functie NPER; dit staat voor n perioden. Stel hiervoor het volgende werkblad op: In de formulebalk is via meer functies (zie paragraaf 3.2) bij financiële functies gekozen voor NPER. Vul vervolgens de celverwijzingen op het invulscherm in. Daarna verschijnt het resultaat.

43 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE 4 3 Ook nu beschouwt Excel de toekomstige waarde als een schuld. Daarom is deze negatief. Omdat er sprake is van slechts één storting kan bij Bet niets ingevuld worden. Excel kent nog een andere mogelijkheid, namelijk door gebruik te maken van de optie doelzoeken. Deze methode is op de website uitgewerkt. 3.4 Bepaling van het percentage Wat is het gemiddeld rendement geweest voor beleggers of spaarders die na een aantal jaren hun belegging verkopen of het spaarsaldo opnemen? Welk percentage hebben zij gemiddeld per jaar gerealiseerd? Diezelfde vraag kan worden gesteld door een huiseigenaar die zijn huis na een aantal jaren verkoopt. Voorbeeld 3.5 Een belegger heeft 5 jaar geleden 5.000, geïnvesteerd in een beleggingsfonds. Hij verkoopt zijn belegging nu voor 7.053,82 en vraagt zich af welk rendement hij heeft gerealiseerd. Omdat rekening gehouden moet worden met tijdvoorkeur is het fout om te stellen dat hij 2.053,82 00% 4,08% rendement heeft behaald. De belegging heeft een looptijd van 5 jaar gehad. Ook het simpel delen van 4,08% door 5 jaren is niet goed, omdat rekening moet worden gehouden met samengestelde interest, ofwel rente op rente, de groei is immers in de loop van die 5 jaar ontstaan.

44 42 Noordhoff Uitgevers bv Ook nu staan in principe drie methoden open om het percentage (p) te bepalen, namelijk: bepaling van p met behulp van de rekenmachine; 2 bepaling van p met behulp van de grafische rekenmachine; 3 bepaling van p met behulp van Excel. Ad Bepaling van het percentage met behulp van de rekenmachine EW , , ( i) 5 ( i) 5,40764 i (,40764) 5 3 Op een rekenmachine worden de volgende toetsen ingedrukt: [,40764][^][0,2][ ] Of [,40764][^][(][][ ][5][)][ ] uitkomst:,0725 Het gevraagde rendement is dus 7,25% per jaar. Ad 2 Bepaling van het percentage met behulp van de grafische rekenmachine APPS, enter, enter N 5 I% 0 PV 5000 PMT 0 FV ( )7053,82 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar I%, ALPHA, enter resultaat Oplossing met een rekenmachine leidt tot het exacte percentage, maar ook hier geldt dat in het algemeen kan worden volstaan met een benadering. Ad 3 Bepaling van het percentage met behulp van Excel Om de looptijd met behulp van Excel te bepalen, kan gebruikgemaakt worden van de financiële functie RENTE. Stel hiervoor het volgende werkblad op:

45 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE 43 3 Let op: de instelling van het aantal decimalen in cel C7 beïnvloedt de weergave van het resultaat. In het bovenstaande is het aantal decimalen in C7 op 3 ingesteld. Excel kent nog andere mogelijkheden, bijvoorbeeld door gebruik te maken van worteltrekken of van de optie doelzoeken. Deze methoden zijn op de website uitgewerkt. 3.5 Gelijkwaardige procenten In het voorafgaande is er steeds van uitgegaan dat interest betrekking had op een vol jaar, terwijl het interestpercentage ook steeds een percentage per jaar was. Interestberekeningen vinden echter ook plaats bij percentages per maand, kwartaal of welke andere tijdsindeling dan ook. Met andere woorden: n staat niet exclusief voor het aantal jaren, maar voor het aantal perioden. Als bijvoorbeeld wordt gevraagd wat de eindwaarde is van.000, die gedurende twee jaar tegen 3% per kwartaal op samengestelde interest uitstaat, berekent men dat als volgt: EW 8.000, (,03) 8.000, S ,77 (2 jaren 8 kwartalen) en dus niet: EW 2.000, (,2) 2.000, S ,40 (3% per kwartaal 2% per jaar)

46 44 Noordhoff Uitgevers bv Met nadruk wordt erop gewezen dat men een bepaald percentage per jaar niet mag herleiden tot een percentage per kwartaal of per maand door het eenvoudig door 4 of 2 te delen. Met andere woorden: 5% per halfjaar is niet gelijk aan 0% per jaar. Dit blijkt uit het volgende: Als.000, op samengestelde interest tegen 5% per halfjaar uitstaat, dan is de eindwaarde na één jaar: 3 Beginkapitaal.000, Interest eerste halfjaar 0,05.000, - 50, Eindwaarde na een halfjaar.050, Interest tweede halfjaar 0,05.050, - 52,50 Eindwaarde na jaar.02,50 Zou men de.000, hebben uitgezet tegen 0% per jaar, dan zou de eindwaarde na één jaar.00, zijn geweest. Het verschil ontstaat doordat men in het eerste geval 5% interest over 50, ( 2,50) extra ontvangt. Welk percentage per jaar is dan wel gelijkwaardig met 5% per halfjaar? Schematisch kan men dat met behulp van een tijdlijn verduidelijken. 5% per halfjaar: 5% 5% eerste halfjaar tweede halfjaar p% per jaar: p% jaar Wil de eindwaarde in het eerste geval gelijk zijn aan de eindwaarde in het tweede geval, dan geldt: S 2 5 = S p (,05) 2 i,025 i, dus i 0,025 en p 0,25% Met behulp van de grafische rekenmachine kan de oplossing worden gevonden door uit te gaan van een beginkapitaal (PV) van,. Dit wordt 2 perioden à 5% uitgezet. In de eindwaarde (FV) zit de interest besloten. Dit is eenvoudig te herleiden tot een percentage. APPS, enter, enter N 2 I% 5 PV PMT 0 FV 0

47 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE 45 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat.025 dus i 0,025 en p 0,25% Men kan zich natuurlijk ook afvragen welk percentage per halfjaar gelijkwaardig is aan 0% per jaar. Schematisch kan dat met behulp van de volgende tijdlijnen worden weergegeven. 0% per jaar: jaar 0% 3 p% per halfjaar: p% p% eerste halfjaar tweede halfjaar Om het percentage per halfjaar te bepalen stelt men het volgende aan elkaar gelijk: ( i) 2 S 0,0 2 i,0 i,048809, dus p is 4,88% 4,88% per halfjaar is dus gelijkwaardig met 0% per jaar. Controle: Beginkapitaal.000, Interest eerste halfjaar 0, , - 48,8 Eindwaarde na een halfjaar.048,8 Interest tweede halfjaar 0, ,8-5,9 Eindwaarde na jaar.00,00 Met behulp van de grafische rekenmachine kan de oplossing worden gevonden door uit te gaan van een beginkapitaal (PV) van,. Na 2 perioden wordt een eindwaarde van,0 bereikt. Vervolgens is het interestpercentage per halfjaar te vinden onder I%. APPS, enter, enter N 2 I% 0 PV PMT 0 FV ( ).0 P/Y

48 46 Noordhoff Uitgevers bv C/Y PMT: END Cursor naar I%, ALPHA, enter resultaat Interest over delen van een periode 3 In de praktijk staat een kapitaal niet altijd een geheel aantal perioden uit, maar vaak een geheel aantal perioden plus een deel van een periode, bijvoorbeeld zes jaar en vijf maanden. Voor de interestberekening zijn er dan twee gangbare methoden: Over delen van een periode wordt enkelvoudige interest vergoed, terwijl over de hele perioden zoals gebruikelijk samengestelde interest wordt vergoed. 2 Over delen van een periode wordt ook samengestelde interest vergoed. Voorbeeld 3.6 Piet van der Kruis heeft 3,5 jaar geleden 0.000, op een 3% bankrekening gestort. De bank schrijft elk jaar per 3 december de rente bij. Bereken volgens de twee hierboven beschreven varianten het bedrag dat Piet na 3,5 jaar van zijn rekening kan opnemen. Schematisch kan dit met behulp van de volgende tijdlijn worden weergegeven: % 2 /2 j /2 j 3 4 EW 3.5 Over delen van een periode enkelvoudige interest De eerste 3 jaar staan uit tegen samengestelde interest. De eindwaarde na 3 volle jaren is: EW , (,03) , S ,27 Het laatste halfjaar levert enkelvoudige interest op. Bij een jaarpercentage van 3% is dat,5% voor een halfjaar. EW 3, ,27,05.09,8 Het maakt voor de berekening overigens niet uit als eerst begonnen wordt met een halfjaar enkelvoudige interest over.000, en daarna pas 3 jaren samengestelde interest. EW 3, ,,05 (,03) , S ,8 Over delen van een periode samengestelde interest EW 3, , (,03) 3, , S 3, ,97

49 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE 47 Excel en het financemenu van de grafische rekenmachine gaan uit van samengestelde interest en kennen geen standaardfuncties voor enkelvoudige interest. De oplossing met enkelvoudige interest over delen van een periode levert,2 meer rente op. Dat is logisch als bedacht wordt dat 3% per jaar gelijkwaardig is aan,4889% per halfjaar en dat is dus lager dan,5% bij enkelvoudige interest. Vergelijk hiertoe ook onderstaande tabel voor bijvoorbeeld 8% per jaar: Samengestelde interest Enkelvoudige interest na maand, <, na 3 maanden,09427 <, na 6 maanden, <, na 9 maanden,05949 <, na jaar,080000, na 2 jaar,66400 >,60000 na 5 jaar, >, na 0 jaar 2,58925 >, na 40 jaar 2,72452 > 4, Over delen van een periode biedt enkelvoudige interest meer rente dan samengestelde, maar over hele perioden levert samengestelde interest meer op. In verband met de tijdvoorkeur zal men een zo hoog mogelijke vergoeding verlangen om huidig geld te vervangen door toekomstig geld. Dit is dan ook de reden waarom men in de praktijk meestal calculeert op basis van enkelvoudige interest wat delen van perioden betreft, en met samengestelde interest voor zover het hele perioden betreft. Dit wordt geïllustreerd door figuur 3.. FIGUUR 3. Periode versus interest S.I. E.I. Interest,08 jaar

50 48 Noordhoff Uitgevers bv Definities en formules 3 Samengestelde interest (S.I.) (Eng. Compound interest) Eindwaarde S n p Eindwaarde bij S.I. Enkelvoudige interest (E.I.) (Eng. Simple interest) Interestberekening waarbij de interest aan de hoofdsom wordt toegevoegd en rente op rente wordt vergoed. De waarde van een kapitaal na een aantal perioden inclusief interest. Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor de berekening van de eindwaarde (slotwaarde) van één kapitaal over n perioden tegen p procent. EW n K S n p EW n K ( i) n Interestberekening waarbij de interest elke periode opnieuw berekend wordt over het oorspronkelijke beginkapitaal. Eindwaarde bij E.I. EW n K ( n i) TW NPER RENTE Gelijkwaardige procenten Excel-functie voor het berekenen van de eindwaarde (toekomstige waarde). Excel-functie voor het berekenen van de looptijd (n perioden). Excel-functie voor het berekenen van het rentepercentage (het rendement). Herberekening van rentepercentages op basis van samengestelde interest waarbij percentages over een langere periode (een jaar) gelijkwaardig worden aan percentages over een kortere periode (maand, kwartaal of halfjaar).

51 Noordhoff Uitgevers bv 49 Opgaven Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven staan de volledige uitwerkingen op de website. Van de opgaven die met zijn gemarkeerd, zijn op de website speciale Excel-sheets beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. 3 * 3. Bereken de eindwaarde van: a 7.000, na 7 jaar tegen 7% samengestelde interest per jaar; b 2.000, na 2 jaar tegen 4% samengestelde interest per halfjaar. 3.2 Bereken de totaal ontvangen interest van: a 8.000, na 5 jaar tegen 8% samengestelde interest per jaar; b 4.500, na 7 jaar tegen 5% enkelvoudige interest per jaar. * * * * 3.3 Iemand huurt een huis van een woningbouwvereniging voor 600, per maand. De algemene verwachting is dat in de volgende jaren de huur steeds 3% hoger zal zijn dan in het voorafgaande jaar. Bereken hoe hoog de verwachte huur per maand over 0 jaar zal bedragen. 3.4 Bereken tot welk bedrag 6.950, aangroeit, als het van juli 204 tot en met 3 maart 208 tegen,5% per kwartaal op samengestelde interest wordt uitgezet. 3.5 Bereken de eindwaarden van: a 6.000, na 5 jaar tegen 3,4% samengestelde interest per jaar; b 3.000, na 0 jaar tegen % samengestelde interest per maand; c 7.2,48 na 7 jaar tegen,25% samengestelde interest per maand. 3.6 Een kapitaal van 0.000, wordt gedurende 8 jaar uitgezet tegen 7% samengestelde interest per jaar. Gevraagd: a de eindwaarde; b de totaal ontvangen interest; c de interest in het laatste jaar; d de interest in het 2de tot en met het 5de jaar. 3.7 Een kapitaal van 7.500, heeft 5 jaar op een spaarbankrekening gestaan tegen samengestelde interest. De eerste 5 jaar vergoedde de bank 3% per jaar, daarna 5 jaar lang 2% per jaar en vervolgens gedurende de laatste 5 jaar 4% per jaar. Tot welk bedrag is dat kapitaal van 7.500, in 5 jaar aangegroeid?

52 50 Noordhoff Uitgevers bv * 3.8 Een kapitaal staat gedurende 2 jaar op basis van samengestelde interest uit tegen 7% per jaar. In die tijd wordt er in totaal 5.008,77 interest aan de hoofdsom toegevoegd. Bereken het beginkapitaal. 3.9 Bepaal aan de hand van de onderstaande tabel de looptijden. Beginkapitaal Eindwaarde Interestpercentage a , , 7% per jaar b.700, 2.883, 4,5% per jaar 3 c , , 6% per jaar * 3.0 Bepaal aan de hand van de onderstaande tabel de gehanteerde interestpercentages. Beginkapitaal Eindwaarde Looptijd a 7.500, ,8 20 jaar b 3.750, 7.984, 2 jaar c , 66.24,20 40 jaar 3. Een projectontwikkelaar heeft 0 jaar geleden een kantoorpand gekocht voor ,. Hij heeft het zojuist verkocht voor ,. Bereken het rendement dat de projectontwikkelaar heeft gerealiseerd op dit pand. 3.2 Een bank biedt klanten een vorm van sparen aan, waarbij de klant eenmalig een bedrag inlegt en waarbij de interestvergoeding ieder jaar hoger wordt. De looptijd is 6 jaar. Een klant legt.000, in. Over het eerste jaar is de interestvergoeding %, over het tweede jaar 2% en zo vervolgens ieder jaar % hoger. a Bepaal het saldo aan het eind van de looptijd van 6 jaar. b Bepaal het gemiddeld gerealiseerde rendement. * * 3.3 Een aandeelhouder heeft een halfjaar geleden voor 3.750, een pakketje aandelen gekocht van een aantal AEX-genoteerde bedrijven. De huidige waarde bedraagt 4.042,50. Bereken het rendement op basis van samengestelde interest op jaarbasis op deze belegging. 3.4 Bereken in 4 decimalen nauwkeurig de gelijkwaardige percentages per jaar voor een interestpercentage van: a 2% per kwartaal; b 5,5% per halfjaar; c,5% per maand.

53 Noordhoff Uitgevers bv OPGAVEN Een bank biedt hypotheken aan met een maandpercentage van 0,5%. Bereken het percentage op jaarbasis waarmee klanten dit aanbod kunnen vergelijken met andere offertes (bereken op decimaal nauwkeurig). * 3.6 Bereken de eindwaarde van 4.000,, als dat kapitaal gedurende 8,5 jaar tegen 5% interest per jaar heeft uitgestaan en de bank: a over delen van kalenderjaren enkelvoudige interest vergoedt; b over delen van kalenderjaren samengestelde interest vergoedt. 3.7 Iemand stort per september , op een spaarrekening. De interestvergoeding bedraagt 6% per jaar. De bank gaat uit van samengestelde interest, maar vergoedt over delen van een kalenderjaar enkelvoudige interest. Bereken over welk bedrag deze persoon per 3 maart 2023 kan beschikken. 3 * 3.8 Een studente is na haar studie vertrokken naar Nepal. Tijdens haar verblijf in Nepal overlijdt een oudtante. De notaris kon de studente niet bereiken. Pas na 0 jaar hoort ze dat de erfenis van 3.000, bij de notaris is op te vragen. a Bereken het bedrag dat de notaris moet uitkeren als hij die 3.000, op een spaarrekening heeft gezet die % samengestelde interest per maand vergoedt. Na deze meevaller besluit ze terug te gaan naar Nepal, waar het haar uitstekend bevalt. Het door de notaris uitgekeerde bedrag stort zij op een spaarrekening tegen 7% per jaar. b Bereken het saldo op die spaarrekening als ze na 5 jaar terugkomt naar Nederland. c Bereken de interest over het laatste (5de) jaar. Veronderstel dat de notaris 9.950, heeft uitgekeerd en dat, op het moment dat ze terug in Nederland komt, het saldo op de 7%-spaarrekening 8.000, bedraagt. d Bereken hoelang ze in Nepal heeft gezeten (aantal jaren plus maanden). 3.9 Marco is er na zijn studie aan toe om zelfstandig te gaan wonen. Hij kan een appartement huren voor 550,- per maand. Hij heeft ook een aanbod om een appartement te kopen waarbij zijn netto maandlasten 600,- per maand bedragen. Marco weet niet goed wat te doen. Hij heeft wat extra informatie ingewonnen waaruit blijkt dat er voor de komende 0 jaar een jaarlijkse huurverhoging van 4% wordt verwacht. De lening die hij voor de aankoop kan afsluiten heeft een rentevaste periode van 0 jaar. Marco vraagt jou als onafhankelijk financieel adviseur om een advies wat hij het beste kan doen. Indien mogelijk onderbouw je het advies met een berekening.

54 52 Noordhoff Uitgevers bv

55 Noordhoff Uitgevers bv 53 4 Samengestelde interest: de contante waarde 4 4. Berekening van de contante waarde 4.2 Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel 4.3 Voorbeeld uit de praktijk Definities en formules Opgaven In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat bedragen op basis van samengestelde interest in de loop van de tijd groeien. Dit hoofdstuk volgt de omgekeerde redenering, namelijk dat bedragen nu lager zullen zijn dan toekomstige bedragen. Deze contantewaardebepalingen worden bedrijfseconomisch veel toegepast, met name bij het beoordelen van investeringen. Deze leveren immers in de toekomst een bijdrage waarvoor nu moet worden geïnvesteerd. Men zal zich dan afvragen wat die toekomstige bedragen nu waard zijn om ze te kunnen vergelijken met het op dit moment te investeren bedrag. Ook in de particuliere sfeer treft men contantewaardebepalingen aan. Zo kan men zich afvragen wat er nu op een bankrekening moet worden gestort om te zijner tijd (bijvoorbeeld bij pensionering) over een bepaald bedrag te beschikken.

56 54 Noordhoff Uitgevers bv 4. Berekening van de contante waarde In het vorige hoofdstuk is besproken hoe men van een bepaald beginkapitaal de eindwaarde na een aantal perioden kan bepalen. Men kan zich natuurlijk ook afvragen hoeveel een bepaald bedrag dat pas over een aantal perioden vervalt, nu waard is. Voorbeeld 4. 4 Van Raak bv heeft een schuld van 5.000, aan Boelens bv die zij over 3 jaar in één keer terug moet betalen. Boelens heeft momenteel geldzorgen en vraagt Van Raak of ze bereid is nu al te betalen. De kaspositie van Van Raak laat dat wel toe, maar de controller is niet van plan om nu al de volle 5.000, te betalen. Hij realiseert zich dat ze nog 3 jaar rente zullen ontvangen als ze het geld tot aan de afgesproken aflossingsdatum op de bank laten staan. Rekening houdend met interest van 5% komen de beide ondernemingen overeen nu een bedrag af te rekenen van 2.957,56. Dit bedrag is 3 jaar uitgezet tegen 5% per jaar precies aangegroeid tot 5.000,. EW ,56 S ,56 (,05) , Een tijdlijn geeft dit als volgt weer: 2.957, % 2 3 CW EW 3 Bij de berekening van de eindwaarde wordt een bepaald bedrag vooruitgebracht in de tijd. In voorbeeld 4. is het tegengestelde gedaan: er wordt een bedrag teruggebracht in de tijd. Vooruitbrengen en terugbrengen kan men illustreren met behulp van een tijdlijn: p% EW 0 In de tijd vooruitbrengen, eindwaarde bepalen (slotwaarde)

57 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE CONTANTE WAARDE 55 p% CW In de tijd terugbrengen, contante waarde bepalen (aanvangswaarde) Dit terugbrengen in de tijd noemt men contant maken. De teruggebrachte waarde is dan ook de contante waarde. De berekening van de contante waarde is een eenvoudige zaak. In de formule voor de berekening van de eindwaarde EW n = K ( + i) n komen vier variabele grootheden voor, namelijk EW n, K, i en n. Zijn er daar drie van bekend, dan kan de vierde worden berekend. Als EW n, i en n bekend zijn, kan K (dit is de contante waarde) als volgt uit de formule voor de eindwaarde worden herleid: 4 EW n K ( i) n K EW n ( i) n K EW n ( i) n In voorbeeld 4. geldt: CW 5.000, 5.000, 2.957,56 (,05) 3,57625 of CW 5.000, 5.000, 0, ,56 (,05) Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel De waarde wordt in de financiële rekenkunde weergegeven door ( i) n het symbool A n p (lees: grote A en pee).

58 56 Noordhoff Uitgevers bv Het symbool A is afgeleid van de aanvangswaarde. Bij contantewaardeberekeningen zal men dus eerst de waarde bepalen van A n p, en deze vervolgens vermenigvuldigen met de gegeven eindwaarde. Bepaling van de contante waarde kan op de volgende manieren geschieden: met behulp van de rekenmachine; 2 met behulp van de grafische rekenmachine; 3 met behulp van Excel. Ad Bepaling van de contante waarde met behulp van de rekenmachine Bij bepaling van A n p met behulp van een rekenmachine wordt gebruikgemaakt van het feit dat: 4 ( i) n de reciproke waarde is van ( i)n. Deze laatste factor is eenvoudig met de rekenmachine te bepalen (zie hiervoor paragraaf 3.2). A 3 5 = (,05) 3 Toets in: [,05][^][ 3][=] Uitkomst: 0, , 2.957,56 In voorbeeld 4. is sprake van 5.000, die over 3 jaar zou vervallen. Dit bedrag heeft een contante waarde van: CW 5.000, A , 2.957,56 (,05) 3 Dit betekent dat, rekening houdende met 5% interest per jaar, 2.957,56 nu gelijkwaardig is aan 5.000, over 3 jaar. De contante waarde van voorbeeld 4. was eerder al berekend met deling door S 3 5. De symbolen S n p en A n p vormen elkaars reciproke waarde, met andere woorden: S n p A n p = ( i) n ( i) n = S 3 5 A 3 5 = (,05) 3 3 =, , = (,05) Ad 2 Bepaling van de contante waarde met behulp van de grafische rekenmachine Bij de uitwerking van voorbeeld 4. gelden de volgende invoergegevens:

59 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE CONTANTE WAARDE 57 N 3 I% 5 PV 0 PMT 0 FV 5000 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat Opmerking Als de FV positief is, wordt dit als een ontvangst beschouwd. Daar staat tegenover dat de PV dan als een verplichting wordt gezien en daarom negatief wordt weergegeven. Ad 3 Bepaling van de contante waarde met behulp van Excel Om de contante waarde met behulp v an Excel te bepalen, wordt gebruikgemaakt van de financiële functie HW, huidige waarde. Stel hiervoor het volgende werkblad op. Geef cel C4 het percentageformaat. 4 In de formulebalk is via meer functies (zie paragraaf 3.2) bij financiële functies gekozen voor HW (huidige waarde). Vul vervolgens de celverwijzingen op het invulscherm in. Daarna verschijnt het resultaat.

60 58 Noordhoff Uitgevers bv 4 Tot een aantal jaren geleden werd bij het maken van interestberekeningen vrijwel uitsluitend gebruikgemaakt van zogenoemde interesttafels. Volledigheidshalve laten we deze oplossingsmethode zien. De interesttafels staan op de website. De A-tafel geeft de uitkomst van bij verschillende waarden van n ( i) n en p of i. In de tabel volgt een stuk van de A n p - tafel voor de waarden, 2, 3, 4 en 5 van n, bij 3%, 4% en 5% van p. n p 3% 4% 5% 0, , , , , , ,9542 0, , , , , , , , In feite zijn de waarden in de tabel de contante waarden van een kapitaal van, dat over een aantal perioden n vervalt, verrekend met een percentage p samengestelde interest per periode. Een bedrag van, dat over 3 jaar vervalt is, verrekend met 5% interest per jaar, nu 0, waard.

61 Noordhoff Uitgevers bv SAMENGESTELDE INTEREST: DE CONTANTE WAARDE 59 Voorbeeld 4.2 Op een 4% spaarrekening is 0 jaar geleden een bedrag gestort. Inmiddels staat er een saldo op van ,. De spaarder is zijn oude bankafschriftjes kwijtgeraakt en vraagt zich af hoeveel hij 0 jaar geleden op deze spaarrekening heeft gestort. De onderstaande tijdlijn geeft het gevraagde schematisch weer: 4%?? CW EW 0 De berekening kan op twee manieren: 4 ste manier: CW , A 0 4 = , , (afgerond) (,04) 0 2 de manier: EW , CW S 0 4 CW , : S , : (,04) , Berekening van een contante waarde kan, zoals is aangetoond, op diverse wijzen geschieden. In het algemeen zal men echter kiezen voor oplossing met behulp van A n p. Alle waarden van S n p zijn groter dan en dus zijn alle waarden van A n p kleiner dan. Het effect van het contant maken is sterker naarmate het interestpercentage hoger is en naarmate de tijd waarover contant wordt gemaakt, langer is. 4.3 Voorbeeld uit de praktijk Betaal de helft nu en de rest over twee jaar Een Koreaans automerk adverteert met een actie waarbij de koper nu 6.995, moet betalen voor een nieuwe auto en over twee jaar ook nog eens 6.995,. Ten tijde van deze actie is de rente die een particulier bij de bank op een spaarrekening kon krijgen 2,5%. Wat betekent deze actie nu?

62 60 Noordhoff Uitgevers bv Uitwerking De koper heeft de keuze om nu ineens 3.990, te betalen of gebruik te maken van de betalingsregeling. Op een tijdlijn ziet die regeling er als volgt uit: ,5% 2 CW CW 6.995, 6.995, 3.652,94 = 6.995, 6.657,94 (,025) 2 4 Dit betekent een korting van 3.990, 3.652,94 337,06 ofwel 2,4% van 3.990,.

63 Noordhoff Uitgevers bv 6 Definities en formules Contante waarde A n p Contante waarde bij S.I. HW De huidige waarde van een kapitaal dat over een aantal perioden inclusief interest vervalt. Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor de berekening van de contante waarde (aanvangswaarde) van één kapitaal over n perioden tegen p procent. CW EW A n p EW ( i) n Excel-functie voor het berekenen van de contante waarde (huidige waarde). 4

64 62 Noordhoff Uitgevers bv Opgaven 4 * Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven zijn de volledige uitwerkingen via de website beschikbaar. Van de opgaven die met zijn gemarkeerd, zijn op de website speciale Excel-sheets beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. 4. Bereken de contante waarde van de hieronder gegeven kapitalen als zij gedurende de onderscheiden looptijden tegen de bijbehorende percentages op samengestelde interest hebben uitgestaan. Kapitaal Looptijd Percentage a ,4 2 jaar 7,5% per jaar b 2.597,88 4 jaar 2,5% per kwartaal c 5.000, 8 jaar 8% per jaar * * 4.2 Stel dat de afgelopen 4 jaar de inflatie gemiddeld,5% per jaar is geweest. Voor een bepaald pakket levensmiddelen betaalt men nu 637,. Wat betaalde men voor dat pakket 4 jaar geleden? 4.3 Iemand heeft op 3 december 2023 recht op een betaling van ,. Hij verzoekt zijn debiteur hem het bedrag op januari 207 te betalen. Bereken welk bedrag hij ontvangt op januari 207 als men rekening houdt met: a 8% samengestelde interest per jaar; b 4% samengestelde interest per halfjaar. 4.4 Iemand heeft op januari 2009 een kapitaal uitgezet tegen samengestelde interest. De intereststand in de jaren 2009 tot en met 205 was 5,5% per jaar; daarna werd de interest verlaagd tot 4% per jaar. Het kapitaal is per 3 december 208 aangegroeid tot een bedrag van ,95. Bereken welk kapitaal er op januari 2009 werd gestort. 4.5 Iemand moet over 5 jaar een bepaalde schuld aflossen. Hij kan deze schuld nu al voldoen onder aftrek van 0.09,68. Bij de berekening van deze aftrek gaat men uit van 6% samengestelde interest per jaar. Bereken het bedrag van de aanvankelijke schuld.

65 Noordhoff Uitgevers bv OPGAVEN 63 * 4.6 Iemand moet over 7 jaar en 8 maanden een bedrag betalen van ,. Bereken met welk bedrag hij deze schuld contant kan voldoen, als men rekening houdt met 7% interest per jaar, waarbij over delen van een jaar enkelvoudige interest wordt toegepast. * 4.7 Een kapitaal wordt gedurende 7 jaar op basis van samengestelde interest uitgezet. Bereken de contante waarde als: a in het laatste jaar 2.298, interest wordt bijgeschreven en de interestvoet gedurende de gehele looptijd 6% per jaar is; b in het laatste jaar.94,49 interest wordt bijgeschreven en de interestvoet in de eerste 3 jaar 7% per jaar is en gedurende de laatste 4 jaar 5% per jaar. 4.8 Bij de bouw van bepaalde installaties ontstaat uit hoofde van milieuvoorschriften reeds bij de investering de verplichting om aan het eind van de gebruiksduur over te gaan tot ontmanteling. Hiervoor dient een voorziening te worden getroffen. De voorziening kan ineens op het moment van investeren worden gevormd. Het chemieconcern PBchem investeert per januari 206 in een nieuwe installatie. De verwachte gebruiksduur is 25 jaar. Deze installatie moet daarna worden ontmanteld. De geschatte kosten van ontmanteling bedragen 250 miljoen per januari 204. PBchem hanteert bij de contantewaardebepaling 4% samengestelde interest op jaarbasis. De gehele voorziening voor ontmanteling wordt direct op basis van contante waardering gevormd per januari 206. Bereken: a de hoogte van de voorziening die per januari 206 wordt gevormd; b het bedrag dat eind 206 aan de voorziening moet worden toegevoegd. 4.9 Henk heeft een schuld die hij in 3 termijnen moet terugbetalen aan zijn vriend Frits. Afgesproken is dat de eerste betaling van 6.000, aan het begin van het eerste jaar vervalt. Henk betaalt 3 jaar later 5.000, en weer 3 jaar later 4.000,. De overeengekomen interest is 7% per jaar. a Bereken de contante waarde van deze schuld. Frits zet de ontvangen bedragen op een spaarrekening die jaarlijks 3,4% interest vergoedt. b Bereken het saldo van die spaarrekening aan het eind van het 9de jaar. 4.0 Eric heeft een schuld van 2.500,- die hij in één keer over 2 jaar moet aflossen. Als hij nu meteen betaalt mag hij 3% op het bedrag in mindering brengen. Eric beschikt over voldoende banksaldo om nu al te betalen, maar krijgt bij zijn bank 2% rente. Hij belt met de bank en vraagt advies wat hij het beste kan doen: nu betalen en de korting pakken of het geld op de bank laten staan en over 2 jaar betalen. Formuleer een advies dat voor Eric financieel het beste uitpakt. 4

66 64 Noordhoff Uitgevers bv

67 Noordhoff Uitgevers bv 65 5 Renten 5 5. Indeling renten 5.2 Berekening van de eindwaarde 5.3 Berekening van de contante waarde 5.4 Uitgestelde renten 5.5 Eeuwigdurende renten 5.6 Bepaling van het percentage 5.7 Bepaling van de looptijd 5.8 Schuldomzetting 5.9 Investeringsbeoordeling 5.0 Voorbeelden uit de praktijk Definities en formules Opgaven In de praktijk komt het vaak voor dat niet één bedrag wordt gestort, of dat er maar één bedrag hoeft te worden betaald, maar dat een hele reeks van stortingen of betalingen moet plaatsvinden. In dat geval spreken we van een rente. Met behulp van de technieken uit de vorige hoofdstukken zouden eindwaarde- en contantewaardebepalingen erg omslachtig worden. Dit hoofdstuk behandelt eerst de verschillende soorten renten, waarna wordt ingegaan op de berekening van de eindwaarde en de contante waarde. Daarna komen berekeningen ter bepaling van het behaalde rendement en de looptijd aan de orde. Vervolgens wordt aandacht besteed aan het omzetten van een schuld, waarbij de overeengekomen vorm van aflossen wordt vervangen door een andere. Dit doet zich met name voor wanneer er betalingsproblemen zijn ontstaan, waardoor de schuld alleen maar oploopt als er geen regeling wordt getroffen. De in dit hoofdstuk behandelde

68 66 Noordhoff Uitgevers bv interestberekeningen worden binnen het vakgebied van de bedrijfseconomie veelvuldig gebruikt bij het beoordelen van investeringen. Tot slot van dit hoofdstuk maken we hier kort kennis mee. 5. Indeling renten 5 In de vorige hoofdstukken is het begrip interest in de zin van een vergoeding voor het (uit)lenen van geld, ter sprake gebracht. In het dagelijks gebruik wordt dit begrip interest vaak met rente aangeduid, maar in de financiële rekenkunde heeft het begrip rente ook nog een geheel andere betekenis, namelijk een aantal periodiek, met gelijke tussenpozen vervallende bedragen. Ieder periodiek vervallend bedrag wordt een termijn genoemd. Berekeningen met renten hebben een grote praktische betekenis: Een ondernemer die investeert, zal uit zo n investering in het algemeen gedurende meerdere jaren opbrengsten genieten. De reeks van opbrengsten vormt een rente. Een lening zal in het algemeen in delen worden terugbetaald. De reeks van betalingen vormt een rente. Als een particulier elke maand een bepaald bedrag spaart, vormt de reeks van spaargelden een rente. Bij een huurkooptransactie zal de koper gedurende een aantal maanden het overeengekomen maandbedrag moeten voldoen. De reeks van huurkoopbetalingen vormt een rente. Een gepensioneerde zal maandelijks een bepaald bedrag aan pensioen ontvangen. De reeks van pensioenbedragen vormt een rente. Een student zal na afloop van zijn studie het geleende gedeelte van zijn studiebeurs in termijnen moeten aflossen. De reeks van aflossingen vormt een rente. Een voorbeeld van een rente vindt men ook in het volgende geval. Een onderneming schaft een transportmiddel aan en komt met haar leverancier overeen de koopsom in vijf termijnen van , te voldoen. De eerste termijn wordt onmiddellijk bij levering voldaan, de tweede termijn na één maand, enzovoort. Schematisch kan men dit als volgt met een tijdlijn voorstellen: Deze rente bestaat uit vijf termijnen, elk groot ,, die met tussenpozen van één maand betaalbaar worden gesteld. Renten kunnen op verschillende manieren worden onderscheiden: A naar vervaldatum B naar looptijd C naar ingangsdatum D naar bedrag

69 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 67 Ad A Verdeling naar vervaldatum De verdeling vindt plaats naar het moment waarop elk van de termijnen vervalt. Er zijn twee mogelijkheden: Prenumerando renten. Hiervan is sprake als de opeenvolgende betalingen steeds aan het begin van een periode plaatsvinden. Schematisch kan men dat als volgt illustreren: T T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T n n perioden 2 Postnumerando renten. Hiervan is sprake als de opeenvolgende betalingen steeds aan het einde van een periode plaatsvinden. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: T T 2 T 3 T 4 T 5 T n T n n perioden Ad B Verdeling naar looptijd De verdeling vindt hier plaats naar het aantal termijnen waaruit de rente bestaat. Er bestaan drie mogelijkheden: Tijdelijke renten. Bij een tijdelijke rente is het aantal termijnen beperkt. Bijvoorbeeld een schuld die in tien termijnen wordt terugbetaald. 2 Renten met onzekere looptijd. Dit is een bijzonder soort tijdelijke rente, zoals een lijfrente, waarbij het aantal termijnen wel beperkt is, maar ook onbekend. Bij een lijfrente betaalt iemand bijvoorbeeld tot zijn 67 e jaar jaarlijks een premie aan een verzekeringsmaatschappij en ontvangt daarna tot zijn overlijden een bepaald bedrag per maand of jaar. Omdat een dergelijke periodieke uitkering verband houdt met het leven van de verzekerde, noemt men dit een lijfrente. 3 Eeuwigdurende renten. Eeuwigdurende renten komen minder vaak voor. Eeuwigdurend zijn bijvoorbeeld de interestbetalingen op bepaalde staatsobligaties die de overheid in de vorige eeuw heeft geplaatst. Ad C Verdeling naar ingangsdatum Verdeling vindt hier plaats naar het moment waarop de eerste termijn vervalt. Er zijn twee mogelijkheden: Dadelijk ingaande renten. Hier vervalt de eerste termijn onmiddellijk, of aan het begin van de periode (prenumerando), of aan het eind van de periode (postnumerando). 2 Uitgestelde renten. Hier vindt de eerste betaling pas plaats nadat er een aantal perioden is verstreken. Een twee jaar uitgestelde postnumer ando rente met vier termijnen kan men schematisch als volgt voorstellen: T T 2 T 3 T perioden

70 68 Noordhoff Uitgevers bv Opmerking Een drie jaar uitgestelde prenumerando rente met vier termijnen levert dezelfde tijdlijn op. Ad D Verdeling naar bedrag Verdeling vindt hier plaats op basis van het te betalen bedrag. Er zijn twee mogelijkheden: Renten met constante termijnen. Hierbij is elke betaling even hoog. Bijvoorbeeld, als een obligatielening in vijf jaar met gelijke bedragen wordt afgelost, of als een particulier elke maand 50, spaart. 2 Renten met wisselende termijnen. Hierbij zijn de betalingen niet aan elkaar gelijk. Voorbeelden hiervan zijn de premiebetalingen die een koper van een premiewoning gedurende een reeks jaren ontvangt, en de groeiannuïteit waarbij de periodieke betalingen geleidelijk stijgen. Deze vorm van het betalen van de koopsom van een huis was in het begin van de jaren tachtig van de vorige eeuw zeer populair. 5 In de praktijk zullen renten zoals ze hierboven zijn onderverdeeld, door elkaar heen lopen. Zo is een veelvoorkomende aflossingsvorm van een lening, een dadelijk ingaande postnumerando rente met gelijkblijvende termijnen. In het kader van dit boek wordt niet ingegaan op renten met onzekere looptijd. 5.2 Berekening van de eindwaarde De eindwaarde van een rente bestaat uit de eindwaarden van alle afzonderlijke bedragen per dezelfde einddatum op basis van een bepaald interestpercentage. Voorbeeld 5. Piet Cardol stort gedurende 4 jaar elk jaar op januari.500, op een 3% spaarbankrekening. Welk bedrag kan Piet op 3 december van het vierde jaar van zijn spaarbankrekening opnemen? Uitwerking Allereerst kan worden vastgesteld dat het hier een dadelijk ingaande prenumerando rente betreft. De tijdlijn vertoont het volgende beeld:.500 3% EW 4

71 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 69 In feite gaat het om 4 beginkapitalen van elk.500, die respectievelijk 4, 3, 2 en jaar tegen 3% per jaar uitstaan. Men krijgt dan:.500, S , (,03) 4.500,, ,26.500, S , (,03) 3.500,, ,09.500, S , (,03) 2.500,, ,35.500, S 3.500, (,03).500,, ,00 Totaal na 4 jaar 6.463,70 De berekening had ook als volgt uitgeschreven kunnen worden: EW 4.500, (S 3 S 2 3 S 3 3 S 4 3 ) 6.463,70 of EW 4.500, {(,03) (,03) 2 (,03) 3 (,03) 4 }.500, (, , , ,255088).500, 4, ,70 In feite is er sprake van een meetkundige reeks, waarbij elke volgende term,03 keer zo hoog is. De somformule van een meetkundige reeks luidt: 5 Som a r n r Hierbij is a de eerste term, r de reden en n het aantal termijnen. In voorbeeld 5. geldt dat a is (,03), r is eveneens (,03) en n is 4. EW 4.500, a,03,03 4,03 b, , a,03 0,03.500, 4, ,70 b Algemeen geldt dat de eindwaarde van een rente van, de optelling is van afzonderlijke waarden van S n p. In de financiële rekenkunde noteert men dat als s n p (lees kleine s en pee). Ook hier geldt de somformule van een meetkundige reeks waarbij ( i) de eerste term is, de reden is ( i) en n het aantal termijnen, ofwel: s n p ( i) ( i)n ( i) ( i) ( i)n i EW 4.500, s , 4, ,70

72 70 Noordhoff Uitgevers bv De interesttafels met daarin de diverse waarden van s n p vindt u op de website. Bepaling van de eindwaarde met behulp van de rekenmachine De bepaling van de eindwaarde met behulp van de rekenmachine ziet er in eerste instantie wat ingewikkeld uit. Als men echter inmiddels enige vaardigheid heeft opgedaan met het bepalen van S n p en A n p, zal dit ook lukken. Men kan de uitkomsten, voor zover gewerkt wordt met percentages die ook in de tafels staan, in die tafels controleren. s n p ( i) ( i) 2 ( i) 3 ( i) n s n p = ( i) ( i)n i s n p = ( i)n i ( i) of anders geschreven: 5 s n p Toets in: [ i][^][n][ ][ ][ ][i][ ][ i][ ] s 4 3 Toets in: [,03][^][4][ ][ ][ ][0,03][ ][,03][ ] uitkomst: 4, Bepaling van de eindwaarde met behulp van de grafische rekenmachine Bij de uitwerking van voorbeeld 5. gelden de volgende invoergegevens: N 4 I% 3 PV 0 PMT 500 FV 0 P/Y C/Y PMT: BEGIN (het betreft namelijk een prenumerando rente) Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat Bepaling van de eindwaarde met behulp van Excel Het eindsaldo van de bankrekening uit voorbeeld 5. kan eenvoudig met behulp van Excel worden bepaald. Hiervoor maken we gebruik van de financiële functie TW (toekomstige waarde). Stel hiervoor het volgende werkblad op. Geef cel C3 het percentageformaat.

73 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 7 Bij Type_getal wordt een ingevuld. Dit betekent dat de stortingen prenumerando plaatsvinden, ofwel zoals in dit voorbeeld aan het begin van het jaar. Bij postnumerando termijnen kan gekozen worden om niets in te vullen dan wel een 0 in te voeren. 5 Als de stortingen jaarlijkse willekeurige bedragen zijn, moet van elke storting de eindwaarde worden bepaald. De som van alle op deze wijze berekende waarden is het eindsaldo. Op de website staat een uitgewerkt voorbeeld. Voorbeeld 5.2 Bereken het saldo van een spaarrekening per 3 december van het 0de jaar, als men jaarlijks per januari.250, op deze rekening heeft gestort. De bank vergoedt 5% interest per jaar. Uitwerking Het betreft hier een dadelijk ingaande prenumerando rente met termijnen van.250, per jaar. Met behulp van een tijdlijn kan men dat als volgt voorstellen: % EW 0 Alle termijnen staan dus op interest uit.

74 72 Noordhoff Uitgevers bv EW 0.250, {(,05) (,05) 2 (,05) 9 (,05) 0 }.250, s , (,05) (,05)0 0,05.250, 3, ,48 Voorbeeld 5.3 Veronderstel dat men niet op januari van elk jaar, maar op 3 december van elk jaar.250, stort. Bereken ook nu EW 0. Uitwerking Het betreft nu een dadelijk ingaande postnumerando rente met termijnen van.250, per jaar. Met behulp van een tijdlijn kan men dat als volgt voorstellen: 5 5% EW 0 Hier vindt de eerste storting pas aan het eind van het eerste jaar plaats en deze termijn staat dus een jaar korter uit tegen interest dan de eerste termijn bij een prenumerando rente. Dit geldt ook voor alle volgende termijnen. De laatste termijn bijvoorbeeld levert hier (postnumerando) geen interest meer op, terwijl de laatste termijn van een prenumerando rente nog een vol jaar interest oplevert. Er zijn dus 9 termijnen die interest opleveren. EW 0.250, { (,05) (,05) 2 (,05) 9 }.250, (s 9 5 ).250, a(,05) (,05)9 b 0,05.250, (, ) 5.722,37 Opmerkingen Er hebben 0 stortingen van.250, plaatsgevonden. De eerste 9 zijn door interest aangegroeid, de 0de niet. Deze moet echter wel worden meegenomen in de berekening van de eindwaarde. Het cijfer tussen de haakjes is nodig om de waarde van de laatste termijn mee te nemen. Samen zijn er dus 9 0 termijnen in de eindwaarde verwerkt. De eindwaarde is immers:.250, s ,.250, (s 9 5 )

75 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 73 2 Er bestaat verband tussen de uitkomsten van de voorbeelden 5.2 en 5.3, immers: 5.722,37, ,49 Ofwel: EW postnumerando ( i) EW prenumerando Uitwerking met behulp van de grafische rekenmachine N 0 I% 5 PV 0 PMT 250 FV 0 P/Y C/Y PMT: END (postnumerando rente) Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat Voorbeeld 5.4 Bert van de Berg heeft op januari 200 een 3% spaarrekening geopend bij de bank waarop hij meteen 0.000, heeft gestort. Jaarlijks ontvangt Bert in december een zogenaamde dertiende maand. Hiervan stort Bert aan het eind van elk jaar, voor het eerst op 3 december 200 en voor het laatst op 3 december 208, 600, bij op zijn spaarrekening. Er wordt nooit iets opgenomen. Wat is het saldo op deze rekening per 3 december 208, nadat op die datum de laatste 600, is gestort? 5 Uitwerking Het gaat hier in feite om de berekening van de eindwaarde van een kapitaal ter grootte van 0.000, plus de eindwaarde van een postnumerando rente bestaande uit 9 termijnen, elk groot 600,, waarvan de laatste geen interest oplevert. Een tijdlijn geeft een en ander schematisch weer % EW =? EW , (,03) 9 600, { (,03) (,03) 2 (,03) 8 } 0.000, S , (s 8 3 ) 0.000, (,03) 9 600, a(,03 ) (,03) 8 0,03 b 0.000,, , 0, ,20

76 74 Noordhoff Uitgevers bv Uitwerking met behulp van de grafische rekenmachine APPS, enter, enter N 9 I% 3 PV 0000 PMT 600 FV 0 P/Y C/Y PMT: END (postnumerando rente) Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat Uitwerking met behulp van Excel 5 Voorbeeld 5.5 Iemand stort op januari , op een bankrekening waarop de bank 4% interest per jaar vergoedt. Ingaande januari 203 wordt daarvan steeds 500, per jaar opgenomen.

77 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 75 Over welk bedrag kan de eigenaar van die bankrekening per 3 december 2020 beschikken, nadat de laatste opname op januari 2020 heeft plaatsgevonden? Uitwerking Men kan de jaarlijkse interestbijschrijving en de jaarlijkse opname beschouwen als twee los van elkaar staande zaken, bijvoorbeeld door zich voor te stellen dat er niet één maar twee rekeningen zijn. Op de eerste staat het beginbedrag van 0.000, en daar wordt jaarlijks interest op bijgeschreven, en op de andere rekening worden de jaarlijkse opnamen als schuld geboekt plus de daarover verschuldigde interest. De onderstaande tijdlijn geeft een en ander schematisch weer. 2de rekening (jaarlijkse opname van 500,-) % ste rekening (storting van 0.000) EW =? 5 ste rekening: EW , (,04) 9 2de rekening: EW 9 500, {(,04) (,04) 2 (,04) 3 (,04) 8 } Op de gebruikelijke manier uitgeschreven krijgt men dan: EW , S , s , (,04) 9 500, (,04) (,04)8 0, ,, , 9, ,2 4.79, ,72 Uitwerking met behulp van de grafische rekenmachine Om dit vraagstuk met de grafische rekenmachine op te lossen, moet de uitwerking in twee delen worden gesplitst. Dit geldt overigens ook voor de uitwerking met behulp van Excel. Het beginkapitaal van 0.000, staat immers 9 jaar, terwijl het aantal opnames 8 bedraagt. Zowel Excel als de grafische rekenmachine kan niet in één handeling twee verschillende looptijden verwerken. ste rekening: N 9 I% 4

78 76 Noordhoff Uitgevers bv PV 0000 PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: BEGIN Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat de rekening: N 8 I% 4 PV 0 PMT 500 FV 0 P/Y C/Y PMT: BEGIN (prenumerando rente) Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat EW , , , Berekening van de contante waarde De contante waarde van een rente bestaat uit de contante waarden van alle afzonderlijke bedragen op basis van een bepaald interestpercentage. Dit komt in de praktijk vaak voor, bijvoorbeeld als men voor de balanswaardering de huidige waarde van een reeks toekomstige betalingen wil bepalen, of als men de afkoopwaarde van reeks verplichtingen wil vaststellen. Voorbeeld 5.6 Handelsonderneming Oslo bv heeft nog recht op 4 jaarlijkse betalingen van 900, van een van haar oud directeuren. De eerstvolgende termijn van 900, vervalt over een jaar. Oslo bv verzoekt de oud-directeur alle 4 de betalingen nu in één keer te voldoen. De oud- directeur is hiertoe wel bereid maar hij is niet van plan om 4 900, 3.600, te betalen. Hij realiseert zich dat als hij zich aan de oorspronkelijke afspraak houdt nog een aantal jaren interest kan ontvangen. De controller van Oslo bv krijgt de opdracht een contantewaardeberekening te maken op basis van 4% interest per jaar. Uitwerking Allereerst kan worden vastgesteld dat het een dadelijk ingaande postnumerando rente betreft. Schematisch:

79 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 77 CW In feite gaat het om 4 kapitalen die respectievelijk, 2, 3 en 4 jaar moeten worden teruggebracht onder verrekening van 4% interest per jaar. Men krijgt dan: 900, A 4 900, 900, A , 900, 0, ,39 (,04) 900, 0, ,0 (,04) 2 900, A , 900, 0, ,0 (,04) , A , 900, 0, (,04) 4-769,32 Totale contante waarde 3.266,9 De berekening had ook als volgt uitgeschreven kunnen worden: CW 900, (A 4 A 2 4 A 3 4 A 4 4 ) 3.266,9 of CW 900, b (,04) (,04) 2 (,04) 3 (,04) r 4 900, (0, , , ,854804) 900, 3, ,9 In feite is er sprake van een meetkundige reeks, waarbij elke volgende term keer lager is. De somformule van een meetkundige reeks luidt: (,04) Som a rn r

80 78 Noordhoff Uitgevers bv 5 Hierbij is a de eerste term, r de reden en n het aantal termijnen. In voorbeeld 5.6 geldt dat a is CW 900, CW 900, (,04), r is eveneens en n is 4. (,04),04,04 4,04,04,04,04 4,04,04 CW 900, 4 0,04 CW 900, 3, ,9 = = Algemeen geldt dat de contante waarde van een rente van, de optelling is van afzonderlijke waarden van A n p. In de financiële rekenkunde noteert men dat als a n p (lees kleine a en pee). CW 900, a , 3, ,9. De interesttafels met daarin de diverse waarden van a n p staan op de website. Bepaling van de contante waarde met behulp van de rekenmachine a n p = ( i) ( i) 2 ( i) + c+ 3 ( i) n Dit is in voorbeeld 5.6 herleid tot: ( i) n a n p = i a n p Toets in:[( )][ i][^][ n][ ][][ ][ ][i][ ] a 4 4 Toets in:[( )][,04][^][ 4][ ][][ ][ ][0,04][ ] uitkomst: 3, , Bepaling van de contante waarde met behulp van de grafische rekenmachine N 4 I% 4 PV 0 PMT 900 FV 0 P/Y C/Y PMT: END (ste termijn vervalt over een jaar) Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat

81 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 79 Bepaling van de contante waarde met behulp van Excel De contante waarde van de 4 betalingen in voorbeeld 5.6 kan met behulp van de financiële Excel-functie HW (huidige waarde) worden berekend. 5 Voorbeeld 5.7 Een belegger heeft geïnvesteerd in een project waarvan hij verwacht dat het hem 0 jaarlijkse bedragen van.250, zal opleveren. De ste termijn van.250, ontvangt hij meteen per het begin van het ste jaar. De andere bedragen ontvangt hij jaarlijks aan het begin van elk jaar. Hij vraagt zijn administrateur de contante waarde van deze 0 termijnen te berekenen op basis van een rente/risicopercentage van 6% per jaar. Uitwerking Er is sprake van een dadelijk ingaande prenumerando rente. De tijdlijn wordt:

82 80 Noordhoff Uitgevers bv % CW =? De ste termijn hoeft niet contant te worden gemaakt. De contante waarde daarvan is uiteraard.250,. De overige 9 termijnen worden teruggebracht naar het begin van het ste jaar. CW.250, a,06,06 2,06 + c+ 3,06 b 9 (,06) 9.250, ( a 9 6 ).250, ( ) 0, , ( 6, ) 9.752,2 Bij de berekening van de contante waarde van een prenumerando rente met behulp van Excel moet in het dialoogscherm bij Type_getal een worden ingevuld. Dit betekent dat de betalingen aan het begin van de periode plaatsvinden. Bij berekening met behulp van de grafische rekenmachine moet bij PMT: gekozen worden voor BEGIN. Voorbeeld 5.8 Als de belegger uit voorbeeld 5.7 de 0 bedragen van.250, niet aan het begin van een jaar zou ontvangen, maar aan het einde van elk jaar, wat is dan de contante waarde? Uitwerking Er is nu sprake van een dadelijk ingaande postnumerando rente. Nu moeten wel alle termijnen teruggebracht worden naar het begin van het ste jaar. De tijdlijn wordt: 6% CW =? CW.250, a,06, , a ,.250, ,,06 + c+ b 3,060 (,06) 0 0,06

83 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 8 De contante waarde van de prenumerando rente is hoger dan die van de postnumerando rente. Dit is logisch, omdat bij een prenumerando rente alle bedragen één periode eerder worden ontvangen. De eerste termijn wordt onmiddellijk ontvangen en de laatste over negen jaar, terwijl bij een postnumerando rente de eerste termijn pas over een jaar wordt ontvangen en de laatste over tien jaar. Opmerking Merk op dat ook hier verband bestaat tussen de uitkomsten van de twee bovenstaande voorbeelden: 9.200,, ,2 Ofwel: CW postnumerando ( i) CW prenumerando 5.4 Uitgestelde renten Bij uitgestelde renten vindt de eerste betaling pas plaats nadat een aantal perioden is verstreken. Voorbeeld Johan de Wit heeft recht op 6 jaarlijkse uitkeringen van zijn voormalige werkgever HRC bv ter waarde van 5.000, per jaar. De eerste uitkering vervalt per januari Johan vraagt HRC bv per januari 207 alles in één keer uit te keren. HRC bv is hiertoe, onder verrekening van 5% interest, wel bereid en geeft de financiële administratie opdracht een en ander voor te bereiden en de uitkoopsom vast te stellen. Uitwerking Omdat er in de reeks van termijnen nu een aantal ontbreekt, moet de berekening van de contante waarde in twee stappen worden gesplitst. Als eerste wordt de contante waarde per januari 209 van de 6 termijnen van 5.000, berekend. Vervolgens berekenen we van dit bedrag de contante waarde per januari 207. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: CW =? 5% stap 2 A 2 5 stap a 6 5 CW 5.000, a 6 5 A , a,05 (,05) , 0,05,05 2,05 3 c ,,052,05 6 b,05 2 Er zijn ook nog andere oplossingsmethoden.

84 82 Noordhoff Uitgevers bv Alternatieve uitwerking Zo kan men ook beginnen met het berekenen van de contante waarde per januari 2020 om vervolgens dit bedrag 3 jaar terug te brengen naar januari 207. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: CW =? 5% 207 stap 2 A stap (a ) CW 5.000, (a 5 5 ) A , a,05,05 2,05 c 3,05 b 5, , 5 Alternatieve uitwerking 2 Men kan ook de contante waarde van 8 termijnen berekenen en daar vervolgens de contante waarde van de 2 niet bestaande termijnen van aftrekken. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: a 8 5 5% a 2 5 CW 5.000, (a 8 5 a 2 5 ) 5.000, e a 23.09, (,05) (,05) + c+ 2 (,05) b a 8 (,05) (,05) bf 2 Bepaling van de contante waarde bij uitgestelde renten met behulp van de grafische rekenmachine Het vraagstuk van voorbeeld 5.9 zal ook met de grafische rekenmachine in twee stappen moeten worden opgelost. Allereerst worden de 6 betalingen van 5.000, contant gemaakt per januari N 6 I% 5 PV 0 PMT 5000 FV 0 P/Y C/Y PMT: BEGIN (prenumerando) Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat

85 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 83 Vervolgens wordt dit bedrag over een periode van 3 jaar contant gemaakt per januari 207. N 3 I% 5 PV 0 PMT 0 FV P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat Bepaling van de contante waarde bij uitgestelde renten met behulp van Excel Excel heeft geen standaardfunctie om de in voorbeeld 5.9 gevraagde berekening uit te voeren. De functie HW kan niet zonder meer worden gebruikt omdat die geen onderbrekingen in de betalingen accepteert. Daarnaast kan de functie NHW ook niet gebruikt worden omdat deze uitgaat van postnumerando betalingen. Een mogelijke oplossing is het opstellen van een werkblad zoals hieronder is weergegeven E6 ƒx =D6/(+$D$3)^(B6-) A B C D E Berekening contante waarden bij uitgestelde renten Rentepercentage: 5% jaren jaartal betaling per januari Û - Û - Û - Û 5.000,00 Û 5.000,00 Û 5.000,00 Û 5.000,00 Û 5.000,00 Û 5.000,00 contante waarde per januari 207 Û - Û - Û - Û 4.39,9 Û 4.3,5 Û 3.97,63 Û 3.73,08 Û 3,553,4 Û 3.384,20 Û 23.09,0 Voer in cel E6 de volgende formule in: D6/( $D$3)^(B6 ). Door (B6 ) in te voeren is de rente prenumerando. De min één betekent dat telkens een jaar minder interest verrekend wordt dan bij een postnumerando rente. Kopieer de formule uit E6 naar de cellen E7 tot en met E4. Sommeer in E5 de uitkomsten.

86 84 Noordhoff Uitgevers bv Ook kan als alternatief eerst de contante waarde per januari 209 worden bepaald, om vervolgens dit bedrag in één keer terug te brengen naar januari 207. Voer daarvoor in cel E8 de volgende functie in: HW(D3;6;D9;;0). Vervolgens in cel E6 de functie: HW(D3;2;;E8). Op een soortgelijke wijze kan ook de eindwaarde worden berekend. Op de website staat een uitwerking op basis van voorbeeld 5.0. Voorbeeld 5.0 Marjolein van Hees is op januari 200 begonnen om jaarlijks 750, op een 2,5% spaarrekening te storten. Als gevolg van financiële problemen is zij hier in 205 mee gestopt. De laatste storting was op januari 205. Marjolein heeft nog geen geld van deze rekening opgenomen. Over welk bedrag kan zijn per 3 december 208 beschikken? 5 Uitwerking Omdat er in de reeks van stortingen een aantal ontbreekt, moet de berekening van de eindwaarde in twee delen worden gesplitst. Als eerste wordt de eindwaarde per 3 december 205 van de 6 stortingen van 750, berekend. Vervolgens berekenen we van dit bedrag de eindwaarde per 3 december 208. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: % EW =? stap s stap 2 S EW , s 6 2,5 S 3 2,5 750, (,025,025 2,025 3,025 6 ), , a,025,0256 b, ,5 0,025 Er zijn ook nog alternatieve oplossingsmogelijkheden. Alternatieve uitwerking Zo kan men ook starten met het berekenen van de eindwaarde per januari 205. Dit bedrag staat dan vervolgens nog 4 jaar uit tegen 2,5% tot 3 december 208. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: % EW =? stap (s ) stap 2 S 4 2.5

87 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 85 EW , (s 5 2,5 ) S 4 2,5 750, (,025,025 2,025 5 ), ,5 Alternatieve uitwerking 2 Men kan ook de eindwaarde van 9 stortingen berekenen en daar vervolgens de eindwaarde van de 3 niet-bestaande stortingen van aftrekken. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: % s EW =? s EW , (s 9 2,5 s 3 2,5 ) 750, {(,025,025 2,025 9 ) (,025,025 2,025 3 )} 5.288,5 5 Bepaling van de eindwaarde bij uitgestelde renten met behulp van de grafische rekenmachine Evenals het contant maken van uitgestelde betalingen moet ook het bepalen van de eindwaarde in dergelijke gevallen met behulp van de grafische rekenmachine in twee stappen worden gesplitst. Uitgaande van de gegevens van voorbeeld 5.0 wordt allereerst de eindwaarde van de 6 stortingen van 750, berekend per 3 december 205. N 6 I% 2,5 PV 0 PMT 750 FV 0 P/Y C/Y PMT: BEGIN (prenumerando) Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat Vervolgens wordt van dit bedrag de eindwaarde over 3 jaar bepaald per 3 december 208. N 3 I% 2,5 PV PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: BEGIN Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat

88 86 Noordhoff Uitgevers bv 5.5 Eeuwigdurende renten Het is eenvoudig voorbeelden te geven van tijdelijke renten; eeuwigdurende renten doen zich minder vaak voor. Toch zijn ook daar wel voorbeelden van. Er zijn gemeenten waar de koper van een huis de grond niet in eigendom, maar in erfpacht krijgt. Dit houdt in dat die koper, en daarna de volgende eigenaren, periodiek aan de gemeente een bepaalde erfpachtcanon moeten voldoen. In de vorige eeuw heeft de Nederlandse overheid diverse grootboekobligaties uitgegeven die nooit zullen worden afgelost, maar waarop jaarlijks interest wordt uitbetaald. In 930 werd door het Duitse Siemens-concern een converteerbare obligatielening uitgegeven, die, als er tijdens de conversieperiode niet zou worden geconverteerd, pas over duizend jaar ineens zou worden afgelost. Hoewel dit natuurlijk een tijdelijke rente (van duizend jaar) betreft, is het qua intentie een eeuwigdurende rente. 5 Eeuwigdurende renten eindigen nooit. Het is daarom niet mogelijk de eindwaarde van een dergelijke rente te berekenen. Op het eerste gezicht zou men zeggen dat het ook niet mogelijk is de contante waarde van zo n rente te berekenen, het gaat hier immers ook om een oneindig aantal termijnen. Toch is het wel mogelijk. Men moet bedenken dat de contante waarde van verder in de toekomst vervallende termijnen snel afneemt. Als zo n rente bestaat uit termijnen van.000, die contant worden gemaakt onder verrekening van 0% interest per jaar, dan is de contante waarde van de termijn die over één jaar vervalt, 909,09. De contante waarde van de termijn die over vijftig jaar vervalt, is dan 8,52 en van de termijn die over honderd jaar vervalt, slechts 0,07! Voorbeeld 5. Iemand krijgt een 4 % onaflosbare grootboekobligatie van nominaal.000, aangeboden. De eerstkomende interestbetaling vindt over een jaar plaats. Wat zal hij bereid zijn te betalen voor deze obligatie als hij minimaal 5% interest per jaar over zijn geïnvesteerd vermogen wenst te behalen? Uitwerking In feite gaat het hier om een eeuwigdurende rente met postnumerando jaartermijnen van 40,. Als deze persoon de nominale waarde van.000, voor die obligatie zou betalen, ontvangt hij slechts 4% rendement over zijn geïnvesteerd vermogen. Dit houdt dus in dat hij minder dan.000, voor die obligatie zal betalen. Aangezien hij weet dat hij nooit meer dan 40, per jaar zal ontvangen, stelt hij die opbrengst gelijk aan 5% van zijn investering. Ofwel: 0,05 CW 40, CW 40, 800, 0,05

89 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 87 Immers, als hij 800,- op een spaarbank uitzet tegen 5% interest per jaar, kan hij in het vervolg ook 40, per jaar aan rente ontvangen. Hij bereikt daarmee hetzelfde rendement als met de aankoop van die obligatie. Zou de eerste interestbetaling al direct bij de aankoop van de obligatie worden ontvangen, met andere woorden zou het een prenumerando rente zijn, dan zal de belegger voor die grootboekobligatie 840, willen betalen. Immers: CW 800, 40, 840, Ook hier geldt het al eerder aangetoonde verband tussen de contante waarde van een postnumerando en een prenumerando rente: CW postnumerando ( i) CW prenumerando 800,,05 840, Uit dit voorbeeld kan worden afgeleid dat de algemene formule voor de contante waarde van een eeuwigdurende postnumerando rente is: 5 CW T i waarin: CW de contante waarde; T de jaarlijkse termijn; i het interestperunage. Voorbeeld 5.2 Een huiseigenaar heeft de grond waarop zijn huis is gebouwd in erfpacht van de gemeente. Jaarlijks moet hij hiervoor per 3 december.000, betalen. De eigenaar wil nu een bedrag op een spaarrekening zetten dat voldoende groot is om jaarlijks.000, interest op te leveren, waarmee hij dan zijn erfpachtcanon kan voldoen. De bank vergoedt hem 5% interest per jaar. Bereken de grootte van het te storten bedrag. Uitwerking CW T i = :.000, 0, , Dit kan men ook vinden door de contante waarde uit te schrijven als: CW.000,,05.000,.000, c.000, (.05) 2 (,05) 3 (,05)

90 88 Noordhoff Uitgevers bv Dit is een oneindig afdalende meetkundige rij. De somformule van zo n reeks is: a Som r waarin: a de eerste termijn, hier:.000,,05 r de reden, hier:,05 Ingevuld in de formule geeft dit: 5 CW.000,,05,05 =.000,,05 =.000, , 0,05 De contante waarde wordt lager naarmate de betalingen verder in de toekomst liggen. Zo is bijvoorbeeld de contante waarde van de 500ste betaling van.000, verrekend tegen 5% 0, , en de som van de contante waarden van de 500ste tot en met de.000ste betaling slechts 0, en dus verwaarloosbaar. Dit betekent dat, ondanks het feit dat betalingen eeuwigdurend doorgaan, een contante waarde met behulp van de grafische rekenmachine of Excel valt te berekenen door uit te gaan van een looptijd van bijvoorbeeld.000. Een uitwerking hiervan staat op de website. 5.6 Bepaling van het percentage Als van een bepaald aantal termijnen de eindwaarde of contante waarde bekend is, kan men het (gemiddeld) gehanteerde interestpercentage berekenen. Voorbeeld 5.3 Een belegger heeft op januari 200 en verder steeds op januari van de volgende jaren een pakketje aandelen gekocht voor.500,. Op 3 december 207 is de waarde van zijn belegging gegroeid tot 6.274,29. De belegger vraagt zijn beleggingsadviseur bij de bank te bepalen wat zijn gemiddeld rendement over de afgelopen jaren is geweest.

91 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 89 Als we de beleggingen op een tijdlijn plaatsen krijgen we het volgende beeld: ? % EW = 6.274,29 EW , s 8 p 6.274,29.500, {( i) ( i) 2 ( i) 3 ( i) 8 } 6.274,29 Met een gewone rekenmachine is dit alleen via de zogenaamde trial and error methode op te lossen. De grafische rekenmachine biedt hier hulp. N 8 I% 0 PV 0 PMT 500 FV 6.274,29 P/Y C/Y PMT: BEGIN Cursor naar I%, ALPHA, enter resultaat ofwel 6,74% rendement 5 Bepaling van het percentage met behulp van Excel In paragraaf 3.4 hebben we kennisgemaakt met de RENTE-functie van Excel. Met deze functie is, ook bij renten, het bepalen van het gemiddeld gerealiseerde percentage eenvoudig. Houd bij het invullen van de functieargumenten rekening met het feit dat in Excel de jaarlijkse stortingen negatief moeten worden weergegeven omdat ze als betalingen op een schuld worden beschouwd. Men kan er ook voor kiezen de stortingen positief weer te geven en het eindsaldo negatief. Op basis van voorbeeld 5.3 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld:

92 90 Noordhoff Uitgevers bv 5.7 Bepaling van de looptijd 5 Bepaling van de (resterende) looptijd komt voor bij het aangaan van een lening waarbij voor interest en aflossing samen een mooi afgerond bedrag wordt afgesproken. Ook kan men dit soort berekeningen aantreffen als een schuldenaar een gedeelte van zijn schuld vervroegd heeft afgelost. Voorbeeld 5.4 Harrie van Eck begint een zaak in natuurvoeding. Hij huurt een mooie locatie in het buitengebied en heeft bij de bank een 8% lening afgesloten van ,. Met de bank is afgesproken dat hij jaarlijks aan aflossing en interest samen 5.000, betaalt. De eerste maal over een jaar. Harrie vraagt zich hoelang het duurt voordat de hele lening van , zal zijn terugbetaald. Uitwerking In feite gaat het om een postnumerando rente met n jaartermijnen van 5.000, die tegen 8% interest per jaar nu contant , waard is. De volgende tijdlijn geeft dit schematisch weer: 8% n =? CW = , 5.000, a n 8 : , , a,08,08 2,08 3 c,08 n b =

93 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 9,08 : , , n 0,08,08 n 5 0,08 0,4,08n 0,6,08n,08 n 0,6,08 n, Door gebruik te maken van logaritmen is de looptijd met behulp van een rekenmachine te bepalen. 5 n log,08 log, Toets in: [log][,666667][ ][log][,08][ ]: uitkomst 6, ,63746 jaar 0, dagen 233 dagen De exacte looptijd is derhalve 6 jaar plus 233 dagen. Bepaling van de looptijd met behulp van de grafische machine N 0 I% 8 PV PMT 5000 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar N, ALPHA, enter resultaat Bepaling van het percentage met behulp van Excel In paragraaf 3.3 hebben we kennisgemaakt met de NPER-functie van Excel. Met deze functie is, ook bij renten, het bepalen van de looptijd (aantal termijnen) eenvoudig. Op basis van voorbeeld 5.4 kan in Excel het volgende werkblad worden opgesteld:

94 92 Noordhoff Uitgevers bv 5 Voor de praktijk is deze exacte looptijd niet zo relevant. Nadat zes maal 5.000, is betaald, is er een restant. Dit kan op twee manieren worden verrekend: Men spreekt af dat de laatste betaling van de volle 5.000, wordt verhoogd met het restant. 2 Men spreekt af dat het restant een jaar na betaling van de laatste volle 5.000, wordt voldaan. Ad Betaling restant tegelijk met de laatste termijn Bereken het bedrag waarmee de laatste betaling van 5.000, moet worden verhoogd. Het restant wordt op X gesteld en wordt eind van het 6de jaar samen met de afgesproken termijn van 5.000, betaald. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: 8% X CW = Per het begin van het eerste jaar geldt: , 5.000, a 6 8 X A 6 8

95 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN , 5.000, a,08, , 5.000, 6 0,08,08 2 X,08 + c+ 3,08 b X 6,08 6, , 5.000, 4, ,63070 X , 23.4,40 0,63070 X X 2.992,2 De laatste betaling wordt in totaal 5.000, 2.992, ,2 Met de grafische rekenmachine kan X als volgt worden bepaald: N 6 I% 8 PV PMT 5000 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat Ad 2 Betaling restant een jaar na de laatste termijn Bereken het bedrag dat een jaar na betaling van de laatste termijn van 5.000, moet worden voldaan. Het restant X wordt hier dus aan het eind van het 7de jaar betaald. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: 8% X CW = Per het begin van het eerste jaar geldt: , 5.000, a 6 8 X A , 5.000, a,08,08 2,08 + c 3,08 b + X 6,08 7

96 94 Noordhoff Uitgevers bv, , 5.000, 6 0,08 X,08 7 : , = 5.000, a 6 8 X A , 5.000, 4, , X , 23.4,40 0, X X 3.23,59 Dit laatste bedrag had ook anders bepaald kunnen worden. Het restant wordt namelijk exact jaar later betaald dan bij het eerste alternatief, ofwel 2.992,2, ,59. 5 Dat is ook de wijze waarop X met de grafische rekenmachine wordt bepaald: N I% 8 PV PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat Schuldomzetting Particulieren en bedrijven kunnen in betalingsproblemen komen. De oorzaak hiervan kan divers zijn, zoals tegenvallende omzetten, kredietcrisis, onverwacht noodzakelijke uitgaven, verlies van werk, en echtscheiding. Dit treft niet alleen bedrijven en particulieren maar ook landen. Zuid-Europese landen en met name Griekenland zijn hiermee uitvoerig in het nieuws geweest. Om een faillissement te voorkomen kan men met de schuldeiser proberen tot overeenstemming te komen en de schuld om te zetten. De kern van de oplossing is vaak een verlenging van de looptijd waardoor de acute betalingsproblemen worden verkleind. Het is ook mogelijk dat een contante schuld wordt omgezet in een schuld met aflossing in termijnen. Voorbeeld 5.5 Investeringsmaatschappij PréInvest heeft op januari 202 geld uitgeleend aan Van Diepen bv. De lening zal op basis van 9% rente in 5 jaarlijkse betalingen van 0.000, worden terugbetaald, voor de eerste maal op 3 december 202. In december 206 raakt Van Diepen bv in liquiditeitsproblemen. Nadat met de grootste moeite de termijn van 3 december 206 is voldaan, verzoekt Van Diepen bv PréInvest de resterende (nog 0 jaar durende) schuld om te zetten in een 20-jarige schuld met gelijke jaartermijnen, waarvan de eerste vervalt op

97 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 95 3 december 207. PréInvest is hiertoe op basis van 9% interest per jaar bereid. De afdeling Financiën van PréInvest krijgt de opdracht de nieuwe jaarlijkse termijnen vast te stellen. Voer deze berekening uit. Uitwerking Essentieel bij de oplossing van dit soort vraagstukken is de gelijkstelling van beide betalingsmethoden. De contante waarde van de resterende 0 termijnen van 0.000, moet gelijk zijn aan de contante waarde van de 20 nieuwe termijnen. Zouden die twee contante waarden niet aan elkaar gelijk zijn, dan zou bijvoorbeeld de debiteur vergeleken met de oorspronkelijke afspraak te veel betalen, of zou de crediteur te weinig ontvangen. In beide gevallen zou de omzetting door een van de partijen worden afgewezen. Stelt men de nieuwe jaartermijn op X, dan zijn met behulp van een tijdlijn beide betalingsmethoden als volgt voor te stellen: De oorspronkelijke situatie per januari 207 9% De situatie na schuldomzeting per januari 207 9% X X X X X X , a 0 9 X a , a,09 +,09 + c+ b X a 2,090,09 +,09 + c+ 2,09 b 20, , 0 0, ,58 9,28546 X X 7.030,32,09 X 20 0,09

98 96 Noordhoff Uitgevers bv Voorbeeld 5.6 A heeft een schuld aan B van 2.500, die nu zou moeten worden betaald. Door omstandigheden beschikt A niet over dit bedrag en hij verzoekt B zijn schuld te mogen aflossen in 6 jaarlijkse bedragen, waarvan de eerste over jaar. B stemt toe, maar berekent wel 5% interest per jaar. Bereken de jaarlijkse termijn. Uitwerking Hier wordt dus een contante schuld omgezet in een postnumerando rente met 6 jaartermijnen. Stelt men de jaartermijn op X, dan wordt de tijdlijn: % X X X X X X , X a , X a,05 X X 2.462,72,05 6 0,05, c+,05 6 b A betaalt dus 6 maal 2.462,72 om zijn schuld van 2.500, te voldoen. Dit is overigens een annuïteitenberekening waarop in het volgende hoofdstuk verder wordt ingegaan. Ook bij het omzetten van een schuld kan Excel gebruikt worden. Ten eerste wordt met behulp van de functie HW de contante waarde van de restantschuld bepaald, op de wijze die in paragraaf 5.3 is behandeld. Vervolgens wordt voor het bepalen van de nieuwe reeks betalingen gebruikgemaakt van de financiële functie BET. Deze bepaalt de periodieke betalingen. Voorbeeld 5.7 Op grond van voorbeeld 5.5 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld:

99 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 97 5 Uitgaande van de gegevens van voorbeeld 5.5 kan met de grafische rekenmachine X als volgt worden bepaald: N 0 I% 9 PV 0 PMT 0000 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat Pas nu de waarden van N, PV en PMT aan naar de nieuwe situatie. N 20 I% 9 PV PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter resultaat Investeringsbeoordeling Bij investeren wordt geld uitgegeven aan een machine die, of project dat in de toekomst ontvangsten oplevert. Er is sprake van onzekerheid en tijdvoorkeur. Er wordt immers nú geld uitgegeven terwijl de ontvangsten op zich laten wachten. Financiële rekenkunde wordt veelvuldig toegepast bij de beoordeling of een investering zinvol is. Bij het beoordelen van investering gaat het om

100 98 Noordhoff Uitgevers bv vergelijking van uitgaven en ontvangsten, de zogenaamde cashflows. Behalve de investeringsuitgave en eventuele restwaarde bestaan cashflows uit de nettowinst plus de afschrijvingen. Methoden waarbij tijdvoorkeur bij een investeringsbeoordeling wordt verwerkt, worden ook wel discounted cashflow methoden genoemd. Voorbeeld Van Lier bv wil investeren in een nieuwe machine. Deze kost ,- en heeft naar verwachting over 5 jaar een restwaarde van ,-. De controller van Van Lier verwacht 5 jaar een jaarlijkse cashflow van ,-. Bij het beoordelen of deze investering economisch verantwoord is, vereist de directie minimaal 8% rendement en veronderstelt ze dat de investeringsuitgave aan het begin van het e jaar wordt gedaan en dat de jaarlijkse cashflows en de restwaarde aan het einde van een jaar ontvangen worden. De directie weet niet of ze in deze machine moet investeren en vraagt de controller om advies. Uitwerking In feite gaat het hier om de vergelijking van een aantal ontvangsten en uitgaven in de tijd. De volgende tijdlijn geeft dit schematisch weer: % NCW =? In plaats van de contante waarde wordt hier de netto contante waarde (NCW) berekend, waarbij uitgaven en ontvangsten worden gesaldeerd. NCW , ,- a ,- A ,72 Dit betekent dat de contante waarde van de ontvangsten 32.48,72 groter is dan de contante waarde van de uitgave. Conclusie: de investering is economisch verantwoord. Ze voldoet aan het minimale rendement van 8% dat de directie van Van Lier wenst. In plaats van de netto contante waarde te bepalen had ook het gerealiseerd rendement berekend kunnen worden. Als dit 8% of meer is, mag de investering als economisch verantwoord worden bestempeld , ,- a 5 p ,- A 5 p Om dit te berekenen maken we gebruik van de Excel-functie IR. Dit staat voor Interne Rentevoet. Op basis van voorbeeld 5.8 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld:

101 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 99 C2 ƒx =IR(C5:C0) A B C Bepaling rendement investering Investeringsuitgave Cashflow Û Û Cashflow 2 Û Cashflow 3 Û Cashflow 4 Û Cashflow 5 (inclusief restwaarde) Û Gerealiseerd rendement: 0,00% 5 IR Waarden C5:C0 = { ;55000;55000;55000;55... Schatting = getal Berekent de interne rentabiliteit voor een reeks cashflows. Resultaat formule = 0,00% = 0, Waarden is een matrix of verwijzing naar cellen die getallen bevatten waarvoor u de interne rentabiliteit wilt berekenen. Help-informatie over deze functie OK Annuleren Ook op basis van bepaling van het gerealiseerd rendement, de zogenaamde interne rentabiliteit, kan de controller van Van Lier een positief advies uitbrengen. 5.0 Voorbeelden uit de praktijk Interestberekeningen kom je in de praktijk in allerlei vormen tegen. We behandelen aan de hand van voorbeelden: de (bank)spaarhypotheek; het rood staan bij de bank; het behalen van een rijbewijs op afbetaling; de bepaling van het rendement van een belegging.

102 00 Noordhoff Uitgevers bv Voor het bepalen van de spaarpremie kan ook de grafische rekenmachine worden gebruikt. (Bank)Spaarhypotheek Tijdens de looptijd van een bankspaarhypotheek wordt niets afgelost. De geldnemer betaalt de volle looptijd rente over de hoofdsom. Daarnaast betaalt hij maandelijks een spaarpremie. Dit bedrag wordt door de geldgever belegd, en wel tegen hetzelfde percentage als de overeengekomen hypotheekrente. Voordeel van deze hypotheekvorm is dat de geldnemer over de volle looptijd kan profiteren van belastingvoordeel over de betaalde rente en tegelijkertijd op een aantrekkelijke wijze vermogen opbouwt. Spaarhypotheken waren erg populair. Met ingang van 203 is het door de Wet herziening fiscale behandeling eigen woning niet meer toegestaan om nieuwe leningen op deze voorwaarden af te sluiten. Er zijn echter nog veel huishoudens met dit soort hypotheken. Voorbeeld Voor de aankoop van een nieuwe woning sluit de eigenaar een 6,6%- spaarhypotheek af van ,. De looptijd is 30 jaar. Zowel de interest als de spaarpremie moet maandelijks aan het begin van de maand worden betaald. Bereken de maandelijks te betalen bedragen aan interest en spaarpremie. Uitwerking 0, , De interest per maand bedraagt:.650, 2 Voor de berekening van de spaarpremie wordt uitgegaan van 6,6% 0,55% per maand: , X (,0055) (,0055)360 0, , 34,22947X X 264,52 Met de grafische rekenmachine kan de spaarpremie als volgt worden bepaald: APPS, enter, enter N 360 I%.55 PV 0 PMT 0 FV P/Y C/Y PMT: BEGIN Cursor naar PMT, ALPHA, enter resultaat

103 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 0 Totaal bedraagt de maandelijkse (bruto)hypotheeklast:.650, 264,52.94,52 De effectieve interest bedraagt: ( i) (,0055) 2 i (,0055) 2, , ofwel 6,8% Na een rentevaste periode van 5 jaar wordt de interest opnieuw voor 5 jaar vastgesteld, en wel op 9%. Bereken de nieuwe maandelijks te betalen bedragen aan interest en spaarpremie. Uitwerking 0, , De interest per maand bedraagt: 2.250, 2 Voor de berekening van de spaarpremie wordt uitgegaan van 9,0% 0,75% per maand: , 264,52 (,0055) (,0055)60 (,09) 0, X (,0075) (,0075)300 0, , 62.5,09.29,530352X X 2,72 5 Totaal bedraagt de maandelijkse (bruto)hypotheeklast: 2.250, 2, ,72 Hier wordt een van de voordelen van de spaarhypotheek zichtbaar. Ondanks een rentestijging van 36,4% zijn de maandelijkse (bruto)lasten maar met 23,9% gestegen. Rood staan bij de bank Als iemand meer uitgeeft dan zijn banksaldo, komt hij in de min te staan. Hij heeft dan een schuld op zijn betaalrekening aan de bank. Officieel noemt men dit een rekening-courantkrediet, maar het is ook bekend onder de term rood staan. Banken staan dit toe en dat biedt klanten de mogelijkheid om op een eenvoudige wijze geld te lenen. Er wordt wel afgesproken hoeveel je rood mag staan (kredietlimiet) en hoe aflossing plaatsvindt. Voorbeeld 5.20 Een bank geeft op haar website de volgende informatie: De ene maand pakt soms wat duurder uit dan de andere. U kunt rood staan wanneer het u uitkomt. De bank heeft daarvoor het Privélimiet Plus in het leven geroepen.

104 02 Noordhoff Uitgevers bv Privélimiet Plus Rentepercentages Privélimiet Plus De verschillende mogelijkheden met de bijbehorende rentepercentages Limiet in EUR Maandlast (o.b.v. 2,5% van de kredietlimiet) Effectieve rente op jaarbasis Theor. looptijd in maanden Totale prijs van het krediet in EUR ,9% 3,5% 2,3%,8% EUR.000,- EUR 2.500,- EUR 4.500,- EUR 7.500,-.375, , , ,- Controleer de door de bank aangegeven theoretische looptijd bij een limiet van.000,. 5 Uitwerking Het interesttarief per maand bedraagt: ( i) 2,49 ( i),49 /2 i,49 /2,064 0,064 ofwel,64% per maand (,064) n.000, 25, 0,064 (,064) n 40 0,064 0,4656 (,064) n 0,5344 (,064) n,064 n,87257 n log,064 log,87257 n 54,4 maanden De looptijd bedraagt dus inderdaad 55 maanden, waarin 54 maal 25, betaald moet worden en een restant in de 55ste maand. Rijbewijs op afbetaling Aanbiedingen waarbij auto s, meubels, audio- en videoapparatuur te koop worden aangeboden, waarbij de klant de aankoopprijs in termijnen kan betalen, zijn algemeen bekend. Soms wordt ook de mogelijkheid gecreëerd om een dienst op afbetaling aan te schaffen. In het volgende voorbeeld wordt het aanbod van een rijschool behandeld. Voorbeeld 5.2 Een autorijschool biedt studenten de volgende regeling aan: een pakket van 36 lessen inclusief theorie en examen, voor.800,. Het is mogelijk om niet in één keer maar in termijnen van 40, per maand

105 Noordhoff Uitgevers bv RENTEN 03 te betalen. In de kleine lettertjes staat dat er dan een rente van,5% per maand in rekening wordt gebracht. Wat is de interest op jaarbasis, en wat is de looptijd? Uitwerking Per jaar wordt in rekening gebracht: ( i) (,05) 2 i (,05) 2,9568 0,956 ofwel 9,56%.800, 40, a n,5 (,05) n.800, 40, 0,05 (,05) n 45 0,05 0,675 (,05) n 5 (,05) n 0,325,05 n 3, n log,05 log 3, n 75,48 ofwel ruim 75 maanden (meer dan 6 jaar!) Beleggingsrendement Als geld op een spaarrekening wordt gestort is het interestpercentage dat de spaarder kan verdienen in vrijwel alle gevallen vooraf bekend. Als geld echter in aandelen of beleggingsfondsen wordt omgezet is vooraf nooit bekend wat verdiend zal worden. Achteraf kan op eenvoudige wijze berekend worden wat het behaalde rendement is geweest. Voorbeeld 5.22 Een belegger ontvangt van een grote landelijke beleggingsinstelling onderstaand bericht: Binnenkort vallen uw participaties vrij. Met deze belegging hebt u in vijf jaar tijd een totaalrendement van 7,5% behaald. Dit is relatief hoog gezien de slechte beursjaren. Wat is het gemiddeld per jaar gerealiseerde rendement? Uitwerking ( i) 5,75 ( i),75 /5 i,75 /5, ,0328 ofwel 3,3% Dit is wellicht ook een mooi rendement, maar het komt anders over dan het in het bericht gestelde.

106 04 Noordhoff Uitgevers bv Definities en formules 5 Renten Termijn Prenumerando Postnumerando s n p TW a n p HW Uitgestelde renten Eeuwigdurende renten Schuldomzetting Een aantal periodiek, met gelijke tussenpozen vervallende bedragen. De hoogte van het periodiek vervallend bedrag van de rente. De termijnen vervallen aan het begin van een periode. De termijnen vervallen aan het eind van een periode. Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor de berekening van de eindwaarde (slotwaarde) van een rente over n perioden tegen p procent. Excel-functie voor het berekenen van de eindwaarde (toekomstige waarde). Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor de berekening van de contante waarde (aanvangswaarde) van een rente over n perioden tegen p procent. Excel-functie voor het berekenen van de contante waarde (huidige waarde). Een vorm van aflossen van een lening waarbij de eerste betaling pas na een aantal perioden plaatsvindt. Periodieke betalingen die blijven voortduren door het ontbreken van aflossingen. Aanpassing van de voorwaarden van interest-en aflossingsverplichtingen van een bestaande lening, veelal als gevolg van liquiditeitsproblemen bij de schuldenaar.

107 Noordhoff Uitgevers bv 05 Opgaven Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven zijn de volledige uitwerkingen via de website beschikbaar. Van de opgaven die met zijn gemarkeerd, zijn op de website speciale Excel-sheets beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. * * * * 5. Bereken de eindwaarde na 5 jaar van een rente met 5 jaartermijnen van.200, op basis van 6% samengestelde interest per jaar als: a de termijnen prenumerando vervallen; b de termijnen postnumerando vervallen. c Toon aan dat de uitkomsten van a en b van elkaar kunnen worden afgeleid. 5.2 Bereken de eindwaarde aan het eind van het 7de jaar van een halfjaarlijkse rente groot 375, als de eerste termijn per het begin van het ste jaar wordt voldaan en men zich baseert op 3% samengestelde interest per halfjaar. 5.3 Iemand stort jaarlijks met ingang van januari , op een bankrekening. De laatste storting vindt plaats op januari De bank schrijft jaarlijks 4% interest op de rekening bij. Bereken het saldo op deze spaarrekening per: a januari 2023; b januari 2022; c 3 december Iemand stort op 3 december , op een bankrekening. Met ingang van 3 december 200 voegt hij daar jaarlijks 5.000, aan toe. Bereken het saldo op deze bankrekening per januari 2024 als men zich baseert op 5% interest per jaar. 5.5 Iemand stort op 3 december , op een depositorekening. Met ingang van 3 december 204 neemt hij jaarlijks 2.500, op. Bereken het saldo op deze depositorekening per januari 2026, als de bank 6% interest per jaar vergoedt. 5.6 Om de zilveren bruiloft groots te kunnen vieren wil een echtpaar op 3 december 2025 beschikken over 0.000,. Daartoe wordt jaarlijks, te beginnen op januari 209, een bedrag op een rekening bij een bank gestort. De bank schrijft op 3 december van elk jaar 6% interest bij. Bereken het bedrag dat elk jaar op de rekening moet worden gestort om het gewenste doel te bereiken. 5.7 Een vader opent op september 207 een spaarrekening ten gunste van zijn dochter die volgens de planning op september 209 gaat studeren. Hij is goed op de hoogte van het bestedingspatroon van zijn dochter. 5

108 06 Noordhoff Uitgevers bv 5 * * * * * Hij stort daarom jaarlijks, te beginnen op september 207 en voor het laatst op september 202, een bedrag van 2.96,34 op een rekening waarop 6% interest per jaar wordt vergoed. De dochter, die geen rekening met studievertraging houdt, neemt jaarlijks, voor de eerste maal op september 209, 3.000, van de rekening op. De laatste maal neemt zij dit bedrag per september 2022 op. Bereken op basis van samengestelde interest het saldo op deze rekening: a per september 209, na de storting op die datum maar vóór de opname op die dag; b per september 2022 na de opname van die dag. 5.8 Een spaarder besluit met ingang van januari 2009 ieder halfjaar een bedrag van 250, te sparen. Hij is van plan dit voor de laatste maal op juli 2020 te doen en het hele tegoed op januari 202 op te nemen. De bank garandeert hem de volgende interest: gedurende de jaren 2009 t/m 20:,25% per halfjaar; gedurende de jaren 202 t/m 205:,50% per halfjaar; gedurende de jaren 206 t/m 202: 3,53% per jaar. a Bereken het tegoed waarover de spaarder kan beschikken op januari 202. In afwijking van de plannen besluit de spaarder met ingang van januari 206 te stoppen met de periodieke stortingen. In plaats daarvan neemt hij elk halfjaar 00, op, voor de eerste maal op januari 206 en voor de laatste maal op juli b Bereken het tegoed waarover de spaarder nu kan beschikken op januari Een bedrijf moet jaarlijks per 3 december een bedrag van , betalen. Het besluit hiervoor maandelijks op de laatste dag van de maand een gelijk bedrag op een spaarrekening te zetten, zodat het saldo van deze rekening per 3 december precies gelijk is aan de betalingsverplichting. De rente op de spaarrekening bedraagt 0,5% samengestelde interest per maand. Bereken welk bedrag maandelijks gestort moet worden. 5.0 Bereken de contante waarde van 5 termijnen groot.000, per jaar op basis van 6% interest per jaar als: a de termijnen prenumerando vervallen; b de termijnen postnumerando vervallen. Toon aan dat de uitkomsten van a en b van elkaar kunnen worden afgeleid. 5. Bereken de contante waarde per juli 2020 van een rente groot 3.000, per halfjaar, waarvan de eerste termijn vervalt op januari 202 en de laatste op juli 2020, bij een interestvergoeding van 4% per halfjaar. 5.2 Bereken de contante waarde van 20 termijnen groot 700, per halfjaar op basis van 8% interest per jaar als de termijnen postnumerando vervallen. 5.3 Iemand heeft op januari 209 een schuld van ,. Met de schuldeiser maakt hij de afspraak dat deze schuld als volgt zal worden verrekend: Hij betaalt met ingang van januari 2020 en vervolgens op januari van de volgende 4 jaren 8.000,. De schuldeiser berekent 5% interest per jaar en de totale interest wordt afgerekend op januari 209. Bereken het bedrag dat de schuldenaar op januari 209 moet voldoen.

109 Noordhoff Uitgevers bv OPGAVEN 07 * * * 5.4 Een student heeft door zijn studie een flinke studieschuld opgebouwd, die hij in een aantal jaren gespreid moet aflossen. Omstandigheden maken het hem mogelijk de gehele schuld nu ineens af te lossen. De schuldeiser in Groningen is bereid hierover te onderhandelen. Is het in het belang van de student om het hierbij toe te passen interestpercentage zo hoog of zo laag mogelijk overeen te komen? Antwoord motiveren. 5.5 Bereken de eindwaarde per 3 december 209 van een rente groot 850, per jaar, waarvan de eerste termijn wordt betaald op januari 2000 en de laatste op januari 204. De berekening moet plaatsvinden op basis van 5% interest per jaar. 5.6 Bereken de contante waarde van een 4 jaar uitgestelde prenumerando rente, bestaande uit 7 jaarlijkse termijnen die elk 2.350, groot zijn, bij een interestvoet van 6% per jaar. 5.7 Een vader stort ten behoeve van zijn pasgeboren zoon jaarlijks 500, op een spaarrekening, voor het eerst op januari In augustus 206 wordt hij werkloos en stopt hij met de jaarlijkse stortingen. De bank vergoedt 5% interest per jaar. Over welk bedrag kan de zoon per januari 2022 beschikken? 5 * 5.8 De ouders van een studente sparen jarenlang de kinderbijslag die zij ontvangen. We gaan ervan uit dat de kinderbijslag telkens op de verjaardag van de studente wordt ontvangen. De eerste jaar ontvangen haar ouders 750, kinderbijslag per jaar. Van haar 2de t/m haar 7de verjaardag ontvangen zij.000, per jaar. De bank vergoedt 2,5% rente per jaar. a Bereken het saldo op de spaarrekening direct na de ontvangst van de 7de kinderbijslag. Veronderstel dat het saldo in vraag a exact 7.000, is. Dit bedrag heeft de studente meteen op haar 7de verjaardag op een internetspaarrekening weggezet. Zij gaat pas studeren als ze 20 jaar wordt. Op haar 20ste verjaardag bedraagt het saldo 8.793,62. b Welk rentepercentage heeft de studente gemiddeld per jaar ontvangen? De studente is van plan 5 jaar te gaan studeren. Ze wil ieder jaar op haar verjaardag een bedrag opnemen. Het eerste bedrag neemt zij direct op haar 20ste verjaardag op. Ze ontvangt 3% interest per jaar. c Welk bedrag kan de studente jaarlijks op haar verjaardag van de spaarrekening opnemen? 5.9 Bereken de contante waarde van een dadelijk ingaande eeuwigdurende rente van 4.000, per jaar op basis van 8% interest als: a de termijnen postnumerando vervallen; b de termijnen prenumerando vervallen. * 5.20 Iemand wil een 4%-grootboekobligatie kopen met een nominale waarde van.000,. Deze obligaties zijn onaflosbaar en de interest wordt eenmaal per jaar uitgekeerd. Bereken wat hij voor deze obligatie zal willen betalen als de eerste interestuitkering over een jaar plaatsvindt en hij 8% over geïnvesteerd vermogen wil maken.

110 08 Noordhoff Uitgevers bv 5 * * * * * 5.2 Iemand heeft per januari 2008 en verder telkens aan het begin van elk jaar 2.000, op een spaarrekening gestort. Het saldo van deze rekening blijkt op 3 december ,59 te zijn. Bereken het percentage per jaar dat de bank op deze rekening heeft vergoed, met behulp van Excel of de grafische rekenmachine Gelezen in een advertentie: Een lening van 3.500, kan in 50 maandelijkse termijnen van 00, worden terugbetaald. De eerste termijn vervalt één maand na de ontvangst van het leningsbedrag. Bereken hoeveel procent samengestelde interest per jaar in rekening wordt gebracht De contante waarde van een dadelijk ingaande prenumerando rente, waarvan elke termijn.730,25 groot is, blijkt onder verrekening van 7% interest per jaar 3.003,23 te zijn. Bereken het aantal termijnen van deze rente Een schuld met een contante waarde van , zal onder verrekening van 6% interest per jaar worden betaald in termijnen van 5.000, per jaar. De eerste betaling zal over een jaar plaatsvinden. Elke termijn bestaat uit aflossing en interest. Bereken: a hoeveel keer het volle bedrag van 5.000, moet worden betaald; b hoe hoog de laatste betaling wordt als het restant samen met de laatste betaling van 5.000, wordt voldaan; c wat er een jaar na de laatste betaling van 5.000, moet worden voldaan, als het restant op dat moment wordt verrekend Een gemeente ging op januari 204 een lening aan van 5.000,. De schuld zal worden afgelost in jaarlijkse termijnen van.000,, te beginnen op januari 205. Elke termijn bestaat uit aflossing en interest. Op de datum waarop voor de laatste maal de volle termijn moet worden betaald, zal tevens de rest van de schuld worden verrekend. Men baseert zich op 4% interest per jaar. a Bereken die datum. b Bereken het bedrag van het restant Iemand zet op januari , op een bankrekening tegen 4% interest per jaar, en voegt daar op 3 december 204, 205 en , aan toe. Vanaf 3 december 207 onttrekt hij jaarlijks 3.500, aan deze belegging. a Hoeveel keren zal hij dat bedrag kunnen opnemen? b Wat is het saldo van deze belegging onmiddellijk na de laatste opname van 3.500,? 5.27 Een contante schuld groot , zal onder verrekening van 7% interest per jaar worden omgezet in een dadelijk ingaande jaarlijkse rente, bestaande uit 8 termijnen waarvan de eerste over een jaar vervalt. Bereken de grootte van die termijnen.

111 Noordhoff Uitgevers bv OPGAVEN 09 * 5.28 Een instelling krijgt van het ministerie een boete opgelegd van 23 miljoen. Zij moet deze boete in 3 jaarlijkse, gelijke postnumerando bedragen terugbetalen onder verrekening van 7% interest. a Bepaal de hoogte van de jaarlijkse betalingen. * Direct na de eerste betaling komt de instelling in financiële problemen. Zij dient een verzoek in om de tweede betaling over te slaan en de verschuldigde rente bij de schuld bij te schrijven. Vervolgens is zij bereid het restant van de schuld in 6 jaar terug te betalen. b Bepaal de hoogte van de nieuwe jaarlijkse betalingen A moet op januari 209, 2020 en 202 telkens 2.000, aan B betalen. A wil deze verplichting omzetten en ziet kans om eind 206 al 500, te betalen en vervolgens telkens per 3 december 900,, voor de eerste maal op 3 december 207. A en B komen overeen om voor deze nieuwe betalingsregeling 8% interest per jaar te hanteren. a Hoe vaak zal A het volle bedrag van 900, moeten betalen? b Hoe groot is het restbedrag dat A precies een jaar na de laatste betaling van 900, nog zal moeten voldoen? 5.30 De onderneming Contacta bv heeft de keuze uit 2 investeringsprojecten, A en B. De investering voor project A bedraagt ,- en zal 5 jaar lang een netto-ontvangst van ,- per jaar opleveren. Project B vergt een investeringsuitgave van ,-. De eerste twee jaar levert project B jaarlijks een netto-ontvangst op van ,-. Daarna volgen nog drie jaar met een jaarlijkse netto-ontvangst van ,-. De investeringsuitgaven voor beide projecten vinden plaats aan het begin van het eerste jaar. De netto-ontvangsten worden aan het einde van een jaar ontvangen. Er zijn voor beide projecten geen restwaarden. a Bereken voor beide projecten de netto contante waarde als de directie van Contacta bv een minimum rendement van 8% vereist. b Geef een advies waarin je gemotiveerd aangeeft of de projecten acceptabel zijn. 5.3 Forward bv is van plan ,- te investeren in een project dat een looptijd van 5 jaar kent. Na afloop is de restwaarde nihil. De jaarlijkse netto-ontvangsten zijn naar verwachting ,-. a Bereken de netto contante waarde als de directie een minimumrendement van 0% vereist. Bij de begroting van de netto-ontvangsten was uitgegaan van een jaarlijks gelijkblijvende afschrijving. b Geef aan wat het effect op de netto contante waarde van dit project zou zijn als er degressief zou worden afgeschreven Een ondernemer verwacht ,- te moeten investeren voor een nieuwe machine. Na uiterlijk 5 jaar zal die weer aan vervanging toe zijn. De inruilwaarde wordt op 0% van de aanschafwaarde geschat. De cashflows zijn jaarlijks 7.500,- exclusief restwaarde. a Bereken de netto contante waarde van deze investering op basis van 0%, ervan uitgaande dat alle cashflows met uitzondering van de investering aan het eind van het jaar plaatsvinden. b Geef een gemotiveerd advies aan de ondernemer op de vraag of het bedrijfseconomisch verantwoord is te investeren in deze machine. 5

112 0 Noordhoff Uitgevers bv

113 Noordhoff Uitgevers bv 6 Annuïteiten 6 6. Begripsvorming 6.2 Berekening van de annuïteit 6.3 Het verband tussen de aflossingen 6.4 Berekening van de schuldrest 6.5 Afgeronde annuïteiten 6.6 Het onderlinge verband 6.7 Voorbeeld uit de praktijk Definities en formules Opgaven De meeste leningen worden niet in één keer afgelost maar door middel van een reeks betalingen gedurende de looptijd van de lening. Tot de jaren tachtig van de vorige eeuw was de annuïteitenlening dé vorm van lenen. Een annuïteitenlening bood de zekerheid dat aan het einde van de looptijd de schuld was afgelost. Eind vorige eeuw werden door banken steeds meer producten ontwikkeld die fiscaal aantrekkelijker waren en gezien het toen gunstige beursklimaat de kans boden op extra rendement. Hierdoor raakte de annuïteitenlening wat minder in trek. Vanaf januari 203 kan bij een nieuw af te sluiten hypotheek alleen nog gekozen worden voor een annuïteitenhypotheek of een lineaire hypotheek, als men in aanmerking wil komen voor hypotheekrenteaftrek. Voor alle andere vormen is de hypotheekrenteaftrek vervallen. Bij een annuïteitenlening worden het aflossingsdeel en het interestdeel op een zodanige manier berekend, dat de som van beide (de annuïteit) telkens gelijk is. Deze annuïteit is eigenlijk een bijzondere rente. De annuïteit bestaat uit een aflossingsdeel en een interestdeel, waarbij de samenstelling

114 2 Noordhoff Uitgevers bv verandert, maar het totaal gelijkblijft. Het voordeel van dit systeem is dat men altijd eenzelfde bedrag betaalt, hetgeen gunstig is voor bijvoorbeeld een liquiditeitsplanning. Veel onroerend goed wordt op deze wijze gefinancierd. In dit hoofdstuk komt uiteraard de bepaling van de annuïteit en de schuldrest aan de orde. Omdat de annuïteit vrijwel nooit een mooi afgerond bedrag vormt, wordt nader ingegaan op de problematiek van afgeronde annuiteiten. Bij die systematiek zal de schuldenaar niet te veel willen betalen, maar zal de schuldeiser ook niet te weinig willen ontvangen. De verschillende wijzen waarop men aan beide wensen tegemoet kan komen, worden in paragraaf 6.5 behandeld. 6. Begripsvorming 6 Wanneer men een lening aangaat, moet hierover niet alleen rente worden betaald, maar zal deze ook moeten worden afgelost. Dit aflossen kan op veel verschillende manieren plaatsvinden, zoals in één keer aan het einde van de looptijd; met jaarlijks gelijke bedragen (lineaire aflossing); met behulp van annuïteiten. Als we uitgaan van een 6%-lening van 0.000, die na vier jaar in één keer wordt afgelost zijn de jaarlijkse betalingen aan het einde van jaar tot en met 3 telkens 600, en aan het einde van vierde jaar 0.600,, namelijk rente en aflossing. Dit type leningen komt vanwege de hoge druk op de liquiditeitspositie aan het einde van de looptijd niet erg vaak voor. De bovenstaande lening kan ook in vier jaar worden afgelost door aan het einde van elk jaar 2.500, af te lossen. De betalingen worden dan: Jaar Aflossing Rente Totaal 2.500, 600, 3.00, , 450, 2.950, , 300, 2.800, , 50, 2.650, De daling van het in de achtereenvolgende jaren te betalen bedrag wordt veroorzaakt doordat men over de afgeloste bedragen geen interest meer verschuldigd is, terwijl de aflossingsbedragen gelijk blijven. Men kan ook kiezen voor een methode waarbij op een zodanige wijze wordt afgelost, dat elk jaar aan interest plus aflossing tezamen een gelijk bedrag wordt betaald. Dit wordt de annuïteitenmethode genoemd. De periodieke betalingen blijven dan, anders dan in het bovenstaande, ongewijzigd. Een annuïteit is een periodiek vervallend gelijkblijvend bedrag waarmee aflossing van een schuld en verrekening van interest plaatsvinden.

115 Noordhoff Uitgevers bv ANNUÏTEITEN Berekening van de annuïteit Een annuïteit bestaat dus uit een interestbestanddeel en een aflossingsbestanddeel. Door het contant maken van alle annuïteiten wordt in feite het interestdeel afgesplitst, zodat de waarde van de aflossingen overblijft. Nu zijn de gezamenlijke aflossingsbestanddelen uiteraard gelijk aan de schuld bij het aangaan van de lening. Met andere woorden: de contante waarde van de annuïteiten is gelijk aan het bedrag van de lening. Voorbeeld 6. Een lening van 0.000, wordt afgelost door middel van 4 gelijkblijvende jaarlijkse annuïteiten. De eerste annuïteit vervalt over jaar. Men baseert zich op 6% interest per jaar. Bereken de annuïteit. Uitwerking Als de jaarlijks te betalen annuïteit Ann wordt genoemd, kan men met behulp van een tijdlijn het verloop van de betalingen als volgt weergeven: Ann Ann Ann Ann 6% , Ann a 4 6, , Ann 0, , 3, Ann 0.000, Ann 3, , 2.885,9 3, In symbolen van financiële rekenkunde: Ann 0.000, In het algemeen geldt: a 4 6 Ann K a n p waarin: Ann de annuïteit; K het kapitaal (bedrag van de lening); n de looptijd; p het interestpercentage.

116 4 Noordhoff Uitgevers bv Bepaling van de annuïteit met behulp van de rekenmachine Aangezien de annuïteitenfactor de reciproke is van a n p, is de berekening met behulp van de rekenmachine niet ingewikkelder dan de bepaling van a n p zelf (zie paragraaf 5.3). a n p toets in: [( )][ i][^][ n][ ][][ ][ ][i][ ][^][ ][ ] a 4 6 toets in: [( )][,06][ 4][ ][][ ][ ][0,06][ ][^][ ][ ] uitkomst: 0, De annuïteit is derhalve: 0.000, 0, ,9. 6 Bepaling van de annuïteit met behulp van de grafische rekenmachine Met de grafische rekenmachine kan de annuïteit als volgt worden bepaald: N 4 I% 6 PV 0000 PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter resultaat Bepaling van de annuïteit met behulp van Excel Van voorbeeld 6. kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld. Met behulp van de financiële functie BET (betaling) kan de annuïteit worden bepaald.

117 Noordhoff Uitgevers bv ANNUÏTEITEN 5 6 Bepaling van het aflossingsplan Ieder jaar wordt in voorbeeld 6. de annuïteit van 2.885,9 betaald. Deze annuïteit bestaat uit een aflossings- en een interestbestanddeel. Het interestbestanddeel wordt steeds berekend over de schuld die men aan het begin van het betreffende jaar heeft. Het aflossingsbestanddeel is het verschil tussen de annuïteit en het interestbestanddeel. Het aflossingsplan van voorbeeld 6. komt er als volgt uit te zien: Jaar Schuld - Interest Aflossing Schuld , 600, ,9 7.74, ,09 462, , , ,02 37, , , ,56 63, ,56 0, , Het interestbestanddeel wordt steeds lager, doordat over de afgeloste bedragen geen interestvergoeding meer plaatsvindt. Hierdoor resteert er steeds meer voor aflossing. Het verloop van aflossings- en interestbestanddelen is als volgt weer te geven (figuur 6.).

118 6 Noordhoff Uitgevers bv FIGUUR 6. Verloop van interest- en aflossingsbestanddelen van een annuïteit Annuïteit Aflossing Interest Tijd De methode met gelijkblijvende annuïteiten wordt (weer) vaak gebruikt bij woninghypotheken. Soms realiseert men zich daarbij te weinig dat vooral bij langlopende leningen aanvankelijk zeer weinig wordt afgelost. Dit kan aanleiding geven tot teleurstellingen. Zo is van een dertigjarige 8% annuïteitenlening na vijftien jaar slechts 24% afgelost en resteert derhalve nog 76%, terwijl men al wel halverwege de looptijd is! 6 Excel kent twee financiële functies die het opstellen van een aflossingplan vereenvoudigen: de functie PBET berekent de aflossingen, terwijl IBET de interestbetalingen bepaalt. Het Excel-werkblad kan als volgt worden opgesteld: Verwijs in cel B0 naar C3. Selecteer in cel D0 de financiële functie PBET. Vul vervolgens de celverwijzingen op het dialoogscherm in. Maak de verwijzingen naar Rente, Aantal-termijnen en HW absoluut met behulp van functietoets F4, of door toevoeging van de $-tekens. Hierdoor kan de formule uit D0 gekopieerd worden voor de rest van de looptijd.

119 Noordhoff Uitgevers bv ANNUÏTEITEN 7 Selecteer vervolgens in cel C0 de financiële functie IBET. Vul vervolgens op gelijke wijze de celverwijzingen op het dialoogscherm in. Maak ook nu de verwijzingen naar Rente, Aantal-termijnen en HW absoluut met behulp van functietoets F4, of door toevoeging van de $-tekens. Hierdoor kan de formule uit D0 gekopieerd worden naar D tot en met D3. Geef in cel E0 de volgende formule in: B0 D0 (let op: het resultaat van de PBET-functie is negatief). Cel B is: E0 Nadat alle formules voor de volledige vier jaar zijn gekopieerd ziet het aflossingsplan er als volgt uit: 6

120 8 Noordhoff Uitgevers bv 6.3 Het verband tussen de aflossingen Uit voorbeeld 6. blijkt dat de som van de interest en aflossing telkens 2.885,9, ofwel de annuïteit is. De interestbestanddelen worden steeds kleiner, terwijl de aflossingen groeien. Zo is elke volgende aflossing 6% groter dan de voorgaande; 2.423,07, ,9. Dit verband kan worden aangetoond. Noemt men de opeenvolgende aflossingsbestanddelen a, a 2, a 3, en de opeenvolgende rentebestanddelen r, r 2, r 3,., dan geldt: Ann a r a 2 r 2 a 3 r 3. Is het interestperunage i, dan is r ik en r 2 i(k a ) Dus: r r 2 ik i(k a ) ia Uit a r a 2 r 2 volgt: a 2 a r r 2 6 Dus: a 2 a ia en a 2 a ia a ( i) Met andere woorden: het tweede aflossingsbestanddeel kan men uit het eerste berekenen door dit laatste met ( i) te vermenigvuldigen. Op dezelfde wijze geldt: r 3 i(k a a 2 ) en r 2 r 3 i(k a ) i(k a a 2 ) ia 2 Uit a 2 r 2 a 3 r 3 volgt: a 3 a 2 r 2 r 3 ia 2 En dus: a 3 a 2 ia 2 a 2 ( i) Met andere woorden: het derde aflossingsbestanddeel kan men uit het tweede berekenen door dit laatste met ( i) te vermenigvuldigen. In het algemeen: Het aflossingsbestanddeel in enig jaar kan men vinden door het aflossingsbestanddeel: uit het voorgaande jaar met ( i) te vermenigvuldigen, of uit het volgende jaar door ( i) te delen. Uit het verband ( i) tussen opeenvolgende aflossingsbestanddelen volgt verder: a 3 a 2 ( i) a ( i)( i) a ( i) 2 a 4 a 3 ( i) a 2 ( i) 2 a ( i) 3

121 Noordhoff Uitgevers bv ANNUÏTEITEN 9 De exponent van ( i) is steeds gelijk aan het verschil tussen de ranggetallen van de aflossingsbestanddelen. Bijvoorbeeld: a 2 a 9 ( i) 3 en a 9 Voorbeeld 6.2 a 2 ( i) 3 Van een 8%-annuïteitenlening, groot 0.000,, is het derde aflossingsbestanddeel 2.588,49. Bereken de annuïteit en de looptijd. Uitwerking De annuïteit is nu alleen te bepalen met het verband tussen de aflossingen. a 3 a (,08) ,49 a,664 a 2.29,2 Het rentebestanddeel in het eerste jaar r is: r 0, , 800, Ann a r 2.29,2 800, 3.09,2 6 Nu moet n nog worden berekend. Ann K K a n p Ann a n p 0.000, 3.09,2 a n 8, , 3.09,2 n 0,08,08 n 3, ,08 0,264970,08n 0,735030,08 n,08 n 0,735030,08 n, Door gebruik te maken van logaritmen kan men de looptijd met behulp van een rekenmachine bepalen. n log,08 log, n 4

122 20 Noordhoff Uitgevers bv Met de grafische rekenmachine kan de looptijd als volgt worden bepaald: N 0 I% 8 PV 0000 PMT 309,2 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar N, ALPHA, enter resultaat Bijzondere aandacht verdient in dit kader de laatste annuïteit. Het laatste rentebestanddeel wordt berekend over de schuldrest aan het begin van het laatste jaar. Na betaling van de laatste aflossing is deze schuldrest tot nul teruggebracht. Met andere woorden: het laatste aflossingsbestanddeel is gelijk aan de interest over het laatste aflossingsbestanddeel ( schuldrest aan het begin van het laatste jaar). Voor de laatste annuïteit geldt in het algemeen: Ann a n r n 6 r n ia n Ann a n ia n a n ( i) a n De annuïteit is dus te beschouwen als de, niet-bestaande, (n )de aflossing. Voorbeeld 6.3 Van een 5-jarige 0%-annuïteitenlening is het tweede aflossingsbestanddeel 8.07,69. Bereken de grootte van de lening. Uitwerking De annuïteit is als volgt te bepalen: Ann a (5 ) Ann a 2 (,0) 4 Ann 8.07,69, ,70 r Ann a r ,70 ( i) r , , , r 0,0 K K , a 2

123 Noordhoff Uitgevers bv ANNUÏTEITEN Berekening van de schuldrest Na iedere aflossing resteert een lagere schuld. De resterende schuld kan desgewenst worden afgelezen uit het aflossingsplan. De schuldrest kan op ieder willekeurig moment belangrijk zijn, bijvoorbeeld: Iemand verkoopt zijn woning waarop nog een hypotheek rust met een resterende looptijd van 2 jaar. Uit de verkoopopbrengst zal hij de schuldrest moeten aflossen. Het is gebruikelijk dat bij de verstrekking van een hypotheek een rentevaste periode wordt afgesproken van bijvoorbeeld 5 jaar. Na afloop van die 5 jaar wordt opnieuw aan de hand van de dan geldende rente en op basis van de schuldrest op dat moment de nieuwe periodiek te betalen annuïteit vastgesteld. Aangezien interest een kostenpost is die bovendien fiscaal in mindering op de winst of het inkomen mag worden gebracht, zal men jaarlijks het interestbestanddeel dat ten laste van het betreffende jaar komt, moeten bepalen. Dit wordt berekend over de schuldrest aan het begin van dat jaar. De schuldrest, weergegeven door het symbool R, kan, behalve via het aflossingsplan, op verscheidene andere manieren worden bepaald: De schuldrest is het oorspronkelijk geleende kapitaal verminderd met de reeds gedane aflossingen. 2 De schuldrest is de contante waarde van de nog komende annuïteiten. 3 De schuldrest is de som van de nog te betalen aflossingsbestanddelen. 6 Voorbeeld 6.4 Rob Vermeulen heeft 8 jaar geleden voor de financiering van zijn appartement een 9% hypothecaire annuïteitenlening gesloten van , met een looptijd van 30 jaar. Rob wil gaan verhuizen en vraagt zijn financieel adviseur hoe hoog zijn schuld nog is. Deze berekent de schuldrest R 8 op drie manieren. Uitwerking ste manier: R 8 K (a a 2 a 8 ) Allereerst moet de annuïteit worden bepaald. Ann , a ,60 Ann , 9.733,60 (,09) 30 0,09 Het eerste aflossingsbestanddeel bedraagt dan: a 9.733,60 0, , 733,60 a 2 a (,09) 733,60,09 a 3 a (,09) 2 733,60 (,09) 2

124 22 Noordhoff Uitgevers bv enzovoort a 8 a(,09) 7 733,60 (,09) 7 De som van de reeds verrichte aflossingen is derhalve: 733,60 733,60,09 733,60 (,09) 2 733,60 (,09) 7 733,60 ( s 7 9 ) 733,60 (,09) (,09) ,49 R , 8.090, ,5 0,09 6 Ook met de grafische rekenmachine kan de schuldrest worden bepaald door gebruik te maken van de ste manier. Als eerste wordt de annuïteit bepaald. N 30 I% 9 PV PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter resultaat Inclusief annuïteit ziet het scherm er als volgt uit: N 30 I% 9 PV PMT FV 0 P/Y C/Y PMT: END Verplaats de cursor nu naar N, APPS enter 0 Nu verschijnt: Prn( Vul in,8) enter resultaat (dit is de som van de ste tot en met de 8ste aflossing). Let op dat bij het invullen de komma (boven de 7) wordt gebruikt en niet de punt (onder de 2). De schuldrest is nu , 8.090, ,2. 2de manier: Het kapitaal, ofwel de schuldrest aan het begin van het ste jaar, is gelijk aan de contante waarde van alle nog komende annuïteiten. Voor de schuldrest op enig ander moment geldt dat die gelijk is aan de contante waarde van de resterende annuïteiten. In het voorbeeld resteren nog 22 annuïteiten. Derhalve is de schuldrest aan het einde van het 8ste jaar:

125 Noordhoff Uitgevers bv ANNUÏTEITEN 23 R ,60 a ,60 (,09) ,79 0,09 Deze methode is in het algemeen het eenvoudigst. Als gevolg van afrondingsverschillen kunnen er tussen de uitkomsten van de diverse wijzen van berekening kleine afwijkingen ontstaan. Ook de 2de manier is mogelijk met de grafische rekenmachine. In dat geval moet na de bepaling van de annuïteit, N op 22 worden gezet en PV op 0. Vervolgens kan met ALPHA, enter de contante waarde van de nog komende 22 annuïteiten worden bepaald. N 22 I% 9 PV 0 PMT FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat de manier: De schuldrest na 8 aflossingen is gelijk aan de som van de nog resterende 22 aflossingen. R 8 a 9 a 0 a a 30 6 a 9 a (,09) 8 733,60, ,74 R 8.46,74 ( s 2 9 ) R 8.46,74 (,09) (,09) ,47 0,09 De wijze van berekenen met behulp van de grafische rekenmachine lijkt op de ste manier. Na bepaling van de annuïteit verplaatsen we de cursor naar N. Toets APPS, enter, 0. Dan verschijnt: Prn( Vul in 9,30) Let op de komma in plaats van de punt. N Prn(9,30) enter resultaat I% 9 PV PMT FV 0 P/Y C/Y PMT: END

126 24 Noordhoff Uitgevers bv Met behulp van Excel is de berekening van de schuldrest via de eerste en derde methode eenvoudig af te leiden uit het aflossingsplan dat in paragraaf 6.2 is behandeld. Voor berekening via de contante waarde maken we gebruik van de eerder behandelde HW-functie. Op basis van voorbeeld 6.4 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld: Bereken in Cel C7 met behulp van de functie BET ten eerste de hoogte van de annuïteit. Selecteer vervolgens in cel C9 de financiële functie HW. Vul vervolgens de celverwijzingen op het invulscherm in. Geef bij Aantal-termijnen het aantal resterende annuïteiten in (hier dus ). Na invulling verschijnt het resultaat. Het resultaat wordt negatief weergegeven, omdat Excel dit als een schuld beschouwt. Het is mogelijk de formule te beginnen met het minteken zodat de schuldrest positief wordt weergegeven. 6

127 Noordhoff Uitgevers bv ANNUÏTEITEN Afgeronde annuïteiten Het komt nogal eens voor dat de exact op twee cijfers achter de komma berekende annuïteit wordt afgerond op een mooi rond bedrag. Met andere woorden, de annuïteit wordt naar boven of naar beneden afgerond. Uiteraard komt men dan aan het eind van de gehele looptijd niet precies uit. Gewoonlijk wordt dan het verschil dat door de afronding ontstaat, verrekend met de laatste annuïteit. Voorbeeld 6.5 Bij een lening van 0.000, tegen 8% per jaar, die met 4 jaarlijkse annuïteiten wordt afgelost, is de exacte annuïteit bepaald op 3.09,2. Besloten wordt dit bedrag af te ronden op 3.000, per jaar, en dat het restant verrekend zal worden met de laatste annuïteit. Bereken het restant dat aan het eind van het 4de jaar moet worden verrekend. Uitwerking Berekening van het restant kan op verschillende manieren geschieden. ste manier: Het aflossingsplan bij afgeronde annuïteiten wordt: 6 Jaar Interest Aflossing Schuld , 2.200, 7.800, 2 624, 2.376, 5.424, 3 433, , , , ,37 86, ,45 Aan het eind van het 4de jaar betaalt men 3.000, 86, ,55. 2de manier: Het verschil tussen de exacte en de afgeronde annuïteit bedraagt 3.09, , 9,2. Dit kan als volgt worden weergegeven: 8% 9,2 9,2 9,2 9, EW 4

128 26 Noordhoff Uitgevers bv De eindwaarde hiervan is: EW 4 9,2 ( s 3 8 ) 9,2 (,08) (,08)3 86,56 0,08 3de manier: Het restant na 4 jaar is: K (a a 2 a 3 a 4 ) 0.000, a {,08 (,08) 2 (,08) 3 } 0.000, 2.200, ( s 3 8 ) 0.000, 2.200, (,08) (,08)3 0, , 9.93,45 86,55 4de manier: De contante waarde van alle betalingen moet gelijk zijn aan het bedrag van de oorspronkelijke lening. De contante waarde van de 4 betalingen van 3.000, bedraagt: CW 3.000, a (,08) , 0, ,38 Het verschil met de lening is dus contant 0.000, 9.936,38 63,62. De eindwaarde daarvan is: EW 4 63,62 (,08) 4 86,55 5de manier: Men kan ook uitgaan van de eindwaarden van de lening en van de 4 betalingen van 3.000,. EW 4 lening 0.000, (,08) ,89 ) 3.58,34 EW 4 betalingen 3.000, ( s 3 8 Restant: 86,55 Soms verrekent men het restant niet met de laatste afgeronde annuiteit, maar een jaar later. In dat geval wordt aan het eind van het 5de jaar betaald: Restant 86,55,08 93,47. Zoals gezegd, worden annuïteiten niet alleen naar beneden afgerond, maar ook naar boven. Uiteraard wordt het te veel betaalde dan in mindering gebracht op de laatste annuïteit.

129 Noordhoff Uitgevers bv ANNUÏTEITEN Het onderlinge verband In het voorafgaande zijn de diverse grootheden die samenhangen met de annuïteiten, zoals K, p, n, R, a en r, met elkaar in relatie gebracht. In het onderstaande voorbeeld wordt dat nog eens nader uitgewerkt. Voorbeeld 6.6 Van een annuïteitenlening is het volgende gegeven: a 8 4.0,6 R ,27 r ,93 Bereken: het interestpercentage; de annuïteit; het kapitaal (veelvoud van.000, ); de looptijd. Uitwerking Het 6de rentebestanddeel wordt berekend over de schuld aan het begin van het 6de jaar. Deze schuld is gelijk aan de schuldrest die overblijft na betaling van de 5de annuïteit, ofwel R 5. 6 r 6 i R 5 i r 6 = 4.03,93 0,075 R ,27 Het interestpercentage is dus 7,5. De annuïteit bestaat uit een rente- en een aflossingsbestanddeel. De 6de annuïteit bijvoorbeeld bestaat uit: Ann a 6 r 6 Ann a 8, ,93 Ann 7.53, , ,75 De annuïteit is ook gelijk aan het eerste rente- plus aflossingsbestanddeel. Het eerste rentebestanddeel is ik. Ann a r a 8 a 2.47,75,0757 r 2.67, , , r 0,075 K K ,

130 28 Noordhoff Uitgevers bv De looptijd wordt nu als volgt bepaald: Ann K a n p K Ann a n p , = 2.67,75 a n 7,5, , = 2.67,75 n 0,075,075 n =, ,075,075 n = 0, ,075 n = 0, ,075 n = 8, Met behulp van logaritmen is de looptijd nu te berekenen. n log,075 = log 8, n = Voorbeeld uit de praktijk Vergelijking van een lineaire hypotheek met een annuïteitenhypotheek Voorbeeld 6.7 Een particulier wil voor de aankoop van een huis een hypotheek van , bij de bank afsluiten. Ter vergelijking krijgt hij twee offertes aangeboden, namelijk een 30-jarige annuïteitenlening tegen 5% of een lineaire hypotheek eveneens tegen 5%. De klantadviseur maakt de volgende vergelijking van beide hypotheekvormen, waarbij hij uitgaat van een belastingvoordeel van 42% en afziet van het eigenwoningforfait.

131 Noordhoff Uitgevers bv ANNUÏTEITEN 29 Uitwerking De annuïteit bedraagt: , Ann a 30 5 Ann 6.262,86 Totaal te betalen in 30 jaar: , ,80. Hiervan is , aflossing en ,80 rente. De rente is aftrekbaar en levert in totaal een fiscaal voordeel op van 42% ofwel 99.92,04. Totale nettolasten: , , ,76. Bij de lineaire hypotheek wordt elk jaar een gelijk bedrag afgelost. In dit voorbeeld , 8.333,33 30 De rente over het eerste jaar bedraagt: 5% over , Door de jaarlijkse aflossing daalt de rentebetaling elk jaar met 5% over 8.333,33 46,66. De rentebetalingen vormen een rekenkundige reeks met als somformule: ½ n (a + l). n aantal betalingen (hier 30) a de eerste termijn (hier de eerste rentebetaling van 2.500, ) l de laatste termijn (hier 5% over de laatste aflossing van 8.333,33 46,66) 6 Totaal rentebetalingen: ½ 30 ( 2.500, + 46,66) = ,. De rente is aftrekbaar en levert in totaal een fiscaal voordeel op van 42% ofwel 8.375, Totale nettolasten: , + ( , ) = De lineaire hypotheek is dus netto ,76 goedkoper dan de annuïteitenhypotheek. Alhoewel de rente van nieuwe bankspaarhypotheken fiscaal niet meer aftrekbaar is, hebben veel huizenbezitters nog zo n hypotheek. Toegepast binnen dit voorbeeld zou het volgende gelden. Bij de bankspaarhypotheek wordt elke maand een bedrag gespaard. Uitgezet tegen hetzelfde rentepercentage als dat voor de hypotheek geldt, groeit de spaarinleg aan tot , over 30 jaar. Maandelijks is de rente in dit voorbeeld 5 % 0,4666%. 2 Het maandelijks te sparen bedrag, uitgaande van betaling aan het einde van een maand is: , X s ,4666 X 300,39

132 30 Noordhoff Uitgevers bv Gedurende de volledige looptijd wordt er niets afgelost en wordt jaarlijks 2.500, rente betaald. Jaarlijkse uitgaven: 2 300, , 6.04,68. Totaal te betalen in 30 jaar: , ,40. Hiervan is 08.40,40 spaarpremie en , rente. De rente is aftrekbaar en levert in totaal een fiscaal voordeel op van 42% ofwel ,. Totale nettolasten: , , ,40. Bruto ontlopen beide hypotheekvormen elkaar niet zoveel. Netto biedt de bankspaarhypotheek echter een voordeel van ,36. Onderstaand overzicht laat duidelijk zien dat het belastingvoordeel bij de bankspaarhypotheek het grootst was en de nettolasten het laagst. 6 Lineair Annuïteiten Bankspaar Totale rente Aflossingen Uit de premie Spaarpremie Totaal bruto Belastingvoordeel Totaal netto

133 Noordhoff Uitgevers bv 3 Definities en formules Annuïteit Schuldrest Afgeronde annuïteiten Postnumerando R n BET IBET PBET Een periodiek vervallend gelijkblijvend bedrag waarmee aflossing van een schuld en verrekening van interest plaatsvinden. De hoogte van de schuld na betaling van een bepaald aantal annuïteiten. Annuïteiten die op hele euro s zijn afgerond. Het verschil wordt in het algemeen aan het einde van de looptijd verrekend. De termijnen vervallen aan het eind van een periode. Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor schuldrest na betaling van n annuïteiten. Excel-functie voor het berekenen van de annuïteit. Excel-functie voor het berekenen van de interestbestanddelen van een annuïteitenlening. Excel-functie voor het berekenen van de aflossingsbestanddelen van een annuïteitenlening. 6

134 32 Noordhoff Uitgevers bv Opgaven Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven zijn de volledige uitwerkingen via de website beschikbaar. Van de opgaven die met zijn gemarkeerd, zijn op de website speciale Excel-sheets beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. * 6. Een 9%-lening van , wordt in 5 jaar met gelijke jaarlijkse annuïteiten terugbetaald. a Bereken de annuïteit. b Stel het aflossingsplan samen Een lening van , zal in 2 jaar worden afgelost door middel van jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten. Daarbij wordt 8% interest per jaar berekend. Bereken de grootte van de jaarlijkse annuïteit. * * * * 6.3 De contante waarde van een dadelijk ingaande postnumerando-rente van 2 gelijke jaarlijkse termijnen, bedraagt onder berekening van 8% interest per jaar ,. a Bereken de grootte van de termijnen. b Geef aan welke conclusie kan worden getrokken uit de antwoorden sub a en van opgave Voor de aankoop van een woning wordt een hypothecaire lening van , afgesloten. Deze lening zal, onder berekening van 7% interest per jaar, worden afgelost in 5 gelijke jaarlijkse annuïteiten. a Stel het aflossingsplan voor de eerste 5 jaar op. b Bereken de grootte van het aflossingsbestanddeel van de 0de annuïteit. c Bereken de grootte van het interestbestanddeel begrepen in de 2de annuïteit. 6.5 Een 8,5%-lening van , wordt afgelost met 25 jaarlijkse annuïteiten. Bereken a 7, r 5 en a Op juli 206 wordt, onder berekening van 6% interest per jaar, een annuïteitenlening aangegaan ten bedrage van ,. Overeengekomen wordt dat tot en met juli 202 jaarlijks alleen interest zal worden betaald. Daarna zal, te beginnen op juli 2022 en voor het laatst op juli 2036, via annuïteiten worden afgelost. Bereken de grootte van de jaarlijkse betalingen.

135 Noordhoff Uitgevers bv OPGAVEN Een schuld van , wordt aangegaan per april 207. Overeengekomen wordt dat deze schuld onder verrekening van 6% per jaar zal worden terugbetaald via 20 jaarlijkse annuïteiten, waarvan de eerste vervalt per april De eerste 5 jaar hoeft echter alleen 3% interest te worden betaald en wordt de resterende verschuldigde interest toegevoegd aan de schuld. Bereken de grootte van de jaarlijkse annuïteit. * 6.8 Een schuld, groot ,, wordt aangegaan per april 204. Overeengekomen wordt dat deze schuld, onder berekening van 8% interest per jaar, zal worden terugbetaald via 0 jaarlijkse annuïteiten, waarvan de eerste vervalt per april 209. Voor april 209 behoeft niet te worden afgelost en wordt de verschuldigde interest toegevoegd aan de schuld van april 204. Bereken de grootte van de jaarlijkse annuïteit. 6.9 Voor de financiering van een huis heeft een echtpaar op januari 204 een 7%-lening gesloten van ,. De looptijd bedraagt 25 jaar. In het contract is opgenomen dat de eerste 5 jaar niets hoeft te worden afgelost en dat de eerste 5 jaar slechts 3% interest in rekening wordt gebracht. De resterende 4% wordt aan de schuld toegevoegd. In de daaropvolgende 20 jaar wordt de schuldrest afgelost met 20 jaarlijkse annuïteiten. Bereken: a de schuldrest van deze lening op januari 209 (afronden op hele euro s); b de jaarlijkse annuïteit; c de schuldrest op januari * * 6.0 Een schuld, groot ,, wordt onder berekening van 0% interest per jaar, terugbetaald met 7 jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten. Bereken de schuldrest direct na de betaling van de 4de annuïteit; a door de oorspronkelijke schuld te verminderen met de aflossingsbestanddelen van de reeds betaalde annuïteiten; b door de contante waarde te bepalen van de nog resterende annuïteiten; c op een andere manier dan die van a of b. 6. Iemand heeft ter financiering van de aankoop van een eigen huis een 30-jarige annuïteitenlening gesloten van ,. De interest is bepaald op 8,5% per jaar. De rentevaste periode bedraagt 5 jaar. Na 5 jaar is de rentestand gedaald tot 7%. Bereken: a de oorspronkelijke annuïteit; b de schuldrest na betaling van de 5de annuïteit; c de nieuwe annuïteit. 6.2 Per augustus 206 wordt , geleend tegen 9% interest per jaar. Deze lening zal worden afgelost met jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten, waarvan de eerste vervalt op 3 juli 207 en de laatste op 3 juli In verband met ontwikkelingen op de kapitaalmarkt wordt de interestvoet per augustus 2020 verlaagd tot 6% per jaar. a Bereken de schuldrest op augustus b Bereken de nieuwe annuïteit die geldt na augustus c Bereken de schuldrest op augustus 2022.

136 34 Noordhoff Uitgevers bv * * 6.3 Een 30-jarige 8%-lening, groot ,, wordt afgelost door middel van jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten. Bereken na hoeveel jaar de schuldrest voor het eerst minder dan , bedraagt. 6.4 Een lening van , wordt onder berekening van 7% interest per jaar afgelost met 0 gelijke jaarlijkse annuïteiten die naar beneden worden afgerond op een veelvoud van 500,. a Bereken de grootte van de afgeronde annuïteit. b Bereken de schuldrest die overblijft na betaling van de 0de annuïteit. c Veronderstel dat deze schuldrest wordt afgewikkeld aan het eind van het de jaar. Bereken welk bedrag dan moet worden betaald. d Veronderstel dat het door afronding ontstane verschil verrekend wordt bij het aangaan van de lening. Bereken het bedrag dat op de lening wordt ingehouden Een 8%-lening, groot ,, wordt terugbetaald met 5 jaarlijkse gelijkblijvende annuïteiten. Bereken: a de grootte van de annuïteit; b het interestbestanddeel in jaar 0; c de schuldrest direct na betaling van de 2de annuïteit. De dan nog resterende schuld wordt afgelost met 2 nieuwe afgeronde annuïteiten van , op het einde van het 3de en 4de jaar. d Bereken de schuldrest aan het eind van de gehele looptijd van 5 jaar. 6.6 Op januari 205 sluit een ondernemer een hypothecaire lening af op zijn bedrijfsgebouw ten bedrage van ,. Deze lening zal worden terugbetaald door middel van jaarlijkse annuïteiten, waarvan de eerste vervalt op 3 december 205 en de laatste op 3 december De interest bedraagt 8% per jaar. Door tegenvallers in 2020 kan de ondernemer de annuïteit van 3 december 2020 niet betalen. Dit wordt verrekend met de volgende annuïteiten. De betaling wordt hervat op 3 december 202. De laatste betaling blijft bepaald op 3 december Bereken de grootte van de nieuwe annuïteit per 3 december 202. * 6.7 Een ondernemer financiert op november 204 een uitbreiding van zijn bedrijf met een hypothecaire lening van ,. De rente bedraagt 3% per halfjaar en is voor een periode van 5 jaar vast. De lening wordt afgelost op basis van 50 halfjaarlijkse annuïteiten, die vervallen op 30 april en 3 oktober van elk jaar, voor het eerst op 30 april 205. Begin 207 krijgt de ondernemer een aanbod van een andere bank om per mei 207, nadat betaling van de oorspronkelijke annuïteit per 30 april heeft plaatsgevonden, een lening af te sluiten voor 5% per jaar. Deze is 25 jaar vast. De nieuwe lening zal worden afgelost met 25 jaarlijkse annuïteiten die op 30 april van elk jaar vervallen, voor het eerst op 30 april 208. De kosten van de nieuwe hypotheekakte bedragen 3.000, plus,5% afsluitprovisie van het te lenen bedrag. Volgens de leningsvoorwaarden van de op november 204 afgesloten lening luidt de boeteclausule bij vervroegde aflossing als volgt: Van de oorspronkelijke hoofdsom mag 0% boetevrij worden afgelost. Over het resterende vervroegd af te lossen bedrag moet 3% boeterente worden betaald.

137 Noordhoff Uitgevers bv OPGAVEN 35 Bereken: a de annuïteit die per 30 april 205 moet worden betaald; b de boeterente die per 30 april 207 moet worden betaald; c het bedrag van de nieuwe lening per mei 207, indien alle kosten inclusief boeterente worden meegefinancierd; d de nieuwe annuïteit die per 30 april 208 moet worden betaald. 6.8 Een lening, groot ,, wordt onder berekening van 6% interest per jaar, afgelost met jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten. Bekend is dat het aflossingsbestanddeel van de 6de annuïteit 4.327,85 bedraagt. a Bereken de annuïteit. b Bepaal het aantal annuïteiten. * 6.9 Van een annuïteitenlening zijn de volgende aflossingsbestanddelen bekend: a ,70 a ,90 a n 6.690,73 Bereken: a de interestvoet; b de looptijd; c de annuïteit; d het bedrag van de lening (afronden op een veelvoud van.000, ). 6 * 6.20 Aan het aflossingsplan van een annuïteitenlening zijn de volgende gegevens ontleend: R ,6 R ,3 R ,90 Bereken voor deze lening: a de interestvoet; b het bedrag van de lening; c de annuïteit; d de looptijd. 6.2 De balans van Entifer bv per januari vermeldt een 7,5% hypothecaire lening van ,27. Deze is afgesloten op het moment van oprichting van de onderneming in 200 als een lening met aflossing door middel van jaarlijkse gelijke annuïteiten. Uit de boekhouding blijkt dat de aflossing op deze lening in ,7 bedroeg. Jij komt als administrateur bij Entifer werken en moet de exploitatiebegroting voor 206 opstellen. a Bereken het bedrag dat moet worden opgenomen op de exploitatiebegroting voor 206 voor de interestkosten over deze hypothecaire lening. b Bereken de annuïteit van deze hypothecaire lening. De directie van Entifer heeft destijds gekozen voor een annuïteitenlening in plaats van een lineaire lening vanwege het grotere belastingvoordeel bij deze lening. c Welke andere reden kan men hebben gehad om voor een annuïteitenlening te kiezen?

138 36 Noordhoff Uitgevers bv

139 Noordhoff Uitgevers bv 37 7 Rentabiliteitswaarde 7. Begripsvorming 7.2 Berekening van de rentabiliteitswaarde 7.3 Rentabiliteitswaarde van renten 7.4 Rentabiliteitswaarde van annuïteiten 7.5 Rentabiliteitskoers 7.6 Halfjaarcoupons 7.7 Aflossingspremie Definities en formules Opgaven 7 De rentestand is vrijwel permanent aan schommelingen onderhevig. Dat betekent dat als een lening is gesloten tegen een bepaald interestpercentage, achteraf kan blijken dat het overeengekomen percentage te hoog of te laag is. Als gevolg hiervan zijn, gezien de veranderde rentestand, de interestbetalingen dus ook hoger of lager dan voor een nieuwe lening zou gelden. Deze discrepantie tussen de marktrente en de overeengekomen contractrente leidt tot berekeningen die de waarde van de oorspronkelijke contracten weergeeft. Deze berekeningen zijn ook nodig voor de waardering van vorderingen onder de rubriek Financiële vaste activa in de jaarrekening van een onderneming. Deze zogenoemde rentabiliteitswaarde is mede een verklaring voor de koers van obligaties. Obligaties kennen immers een lange looptijd en een vooraf vastgestelde interestvergoeding. Gedurende de looptijd van de lening zal deze als gevolg van wijzigingen in de marktrente koersstijgingen of koersdalingen van de obligaties veroorzaken.

140 38 Noordhoff Uitgevers bv 7. Begripsvorming Verhandelbare schuldbewijzen zoals obligaties zijn vaak in handen van beleggers. De waarde van zo n schuldbewijs of obligatie is afhankelijk van een aantal factoren, zoals: de interest die wordt vergoed; de wijze van aflossing; het door de belegger gewenste rendement. Uitgaande van een obligatie van.000, nominaal is het logisch dat een belegger die 8% rendement eist, de aanschaf van een 5%-obligatie alleen zal overwegen voor een prijs lager dan.000,, terwijl diezelfde belegger voor een 0%-obligatie bereid zal zijn meer dan.000, te betalen. De interest die wordt betaald (in dit voorbeeld 5% respectievelijk 0%), is de nominale interest, terwijl de interest die de belegger wenst (hier 8%), de effectieve interest wordt genoemd. Andere benamingen hiervoor zijn reële interest, gewenst rendement of marktrente. Als van een lening alle betalingen contant worden gemaakt tegen de effectieve interestvoet, spreekt men van de rentabiliteitswaarde van een lening. 7.2 Berekening van de rentabiliteitswaarde 7 Bij het bepalen van de rentabiliteitswaarde van een lening spelen dus twee interestpercentages een rol, te weten het nominale percentage en het effectieve percentage. Het nominale percentage gebruikt men om de jaarlijkse interestbetalingen te berekenen. Het effectieve percentage gebruikt men om zowel de aflossingen als de interestbetalingen contant te maken. Bij het uitwerken van vraagstukken wordt gebruikgemaakt van de volgende symbolen: p = nominaal interestpercentage; p = effectief interestpercentage, de marktrente; i = nominaal interestperunage; r = effectief interestperunage; C a = contante waarde aflossingen; C i = contante waarde nominale interestbetalingen; C r = contante waarde interestbetalingen op basis marktrente; RW = rentabiliteitswaarde; K = kapitaal. Voorbeeld 7. Vista bv heeft een aantal jaren geleden een 5%-lening van , afgesloten. De resterende looptijd is 5 jaar waarna het bedrag in één keer moet worden afgelost. Inmiddels is de marktrente gestegen tot 6%. De aandeelhouders van Vista realiseren zich dat zij nog een relatief goedkope lening hebben en vragen de financiële afdeling de rentabiliteitswaarde van de lening te berekenen.

141 Noordhoff Uitgevers bv RENTABILITEITSWAARDE 39 Uitwerking De aflossing en de jaarlijkse rentebetalingen ter hoogte van 5% over , zijn op onderstaande tijdlijn weergegeven. 6% RW=? In jaar tot en met 5 moet jaarlijks worden betaald: jaar rente 0, , = 2.000, jaar 2 rente 0, , = 2.000, jaar 3 rente 0, , = 2.000, jaar 4 rente 0, , = 2.000, jaar 5 rente 0, , = 2.000, aflossing , De rentabiliteitswaarde bestaat uit de contante waarde van de aflossingen en de contante waarde van de interestbetalingen op basis van de effectieve interest. RW = C a C i C a = , = ,33 (,06) 5 C i = 2.000, a 5 6 = 2.000, (,06) 5 = 8.424,73 0,06 RW = , ,73 = 38.35,06 7 Omdat de rentabiliteitswaarde lager is dan de nominale waarde van ,, is er sprake van een disagio. Dit geeft aan dat deze lening voor de bank minder waard is omdat het rendement lager ligt dan dat zij nu zou kunnen ontvangen. Voor Vista is het daarentegen voordelig. Zij heeft contant gemaakt een voordeel van , 38.35,06 =.684,94. Een disagio wordt veroorzaakt door het verschil tussen de nominale en effectieve rente. In het voorbeeld is het verschil tussen de nominale en de effectieve rente jaarlijks: 2.400, 2.000, = 400, Disagio = 400, a 5 6 = 400, (,06) 5 =.684,94 0,06 Als de effectieve interest lager zou zijn dan de nominale, ontstaat er een agio. Bepaling van de rentabiliteitswaarde met behulp van de grafische rekenmachine Bij de uitwerking van voorbeeld 7. gelden de volgende invoergegevens:

142 40 Noordhoff Uitgevers bv N 5 I% 6 PV 0 PMT 2000 FV P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat Bepaling van de rentabiliteitswaarde met behulp van Excel De rentabiliteitswaarde van een lening kan met behulp van de financiële Excel-functie HW (huidige waarde) worden berekend. Hiertoe moeten eerst zowel de aflossingen als de interestbetalingen berekend worden. Op basis van voorbeeld 7. kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld: 7

143 Noordhoff Uitgevers bv RENTABILITEITSWAARDE 4 Opmerking In C8 is de jaarlijkse rentebetaling berekend als C3*C5. Voorbeeld 7.2 Een belegger heeft tien 8%-obligaties van elk.000, groot in zijn bezit. Aflossing vindt plaats over 0 jaar. Bereken de rentabiliteitswaarde als de huidige marktrente 5% bedraagt. Uitwerking 5% RW=? C a = 0.000, = 6.39,3 (,05) 0 C i 800, a 0 5 = 800, (,05) ,39 0,05 RW 6.39,3 6.77, ,52 Het jaarlijkse renteverschil bedraagt: 800, 500, 300, Agio 300, a , (,05) ,52 0,05 In het algemeen geldt dat: als p < p, dan is RW < K en is er een disagio; als p > p, dan is RW > K en is er een agio; als p = p, dan is RW = K. 7 Een andere berekeningswijze van de rentabiliteitswaarde Meestal wordt de rentabiliteitswaarde op een andere wijze berekend. Deze kan als volgt worden afgeleid: RW = C a C i K Indien de rentebetalingen ook gebaseerd zouden zijn op de marktrente geldt: K = C a C r Hieruit volgt dat: C r = K C a

144 42 Noordhoff Uitgevers bv Uitgewerkt voor voorbeeld 7.: RW = , (0, , ) a (,06) = K = , ,73 = 38.35, , (0, , ) a (,06) = , ,67 = , Hieruit kan worden afgeleid dat: C i : C r = 0,05 : 0,06, ofwel p : p' C i kan dus ook als volgt worden bepaald: C i = 5 6 C r = 5 6 (K C a) = 5 ( , ,33) = 8.424,73 6 RW = C a C i kan dus ook geschreven worden als: RW = C a p p ' (K C a) Deze wijze van berekenen is met name makkelijk als de jaarlijkse rentebetalingen niet aan elkaar gelijk zijn Rentabiliteitswaarde van renten De rentabiliteitswaarde bestaat ook in geval de aflossing niet in één keer, maar in termijnen plaatsvindt uit de contante waarde van de aflossingen en de contante waarde van de interestbetalingen op basis van de effectieve interest. Er kan dus gebruikgemaakt worden van de algemene formule voor het berekenen van de rentabiliteitswaarde: RW = C a p p ' (K C a) In hoofdstuk 5 zijn de volgende renten onderscheiden: A renten met gelijke bedragen B uitgestelde renten C eeuwigdurende renten Ad A Renten met gelijke bedragen Voorbeeld 7.3 Freriks bv heeft op januari 206 een 4%-lening afgesloten van 0.000,. Aflossing vindt plaats in 0 jaarlijkse termijnen van.000,. De eerste termijn vervalt op 3 december 206. Bereken op basis van een marktrente van 5% de rentabiliteitswaarde per januari 206.

145 Noordhoff Uitgevers bv RENTABILITEITSWAARDE 43 Uitwerking Op basis van de gegevens kan onderstaande tijdlijn worden samengesteld: 5% rentebetalingen aflossingen RW=? Omdat de jaarlijkse rentebetalingen wisselende bedragen zijn, wordt gebruikgemaakt van de rentabiliteitswaardeformule: Rw = C a p p ' (K C a) De rentabiliteitswaarde per januari 206 bedraagt: C a =.000, a 0 5 =.000, (,05) 0 = 7.72,73 0,05 Rw = 7.72,73 4 ( 0.000, 7.72,73) 5 = 7.72,73.822,62 = 9.544,35 De rentabiliteitswaarde direct na het sluiten van de lening zal in de praktijk gewoonlijk slechts een klein agio of disagio opleveren omdat de afwijking in rente niet groot zal zijn. Gedurende de looptijd van de lening is de kans op verandering van de marktrente ten opzichte van de nominale rente groter. 7 Voorbeeld 7.4 Bereken de rentabiliteitswaarde van de lening in voorbeeld 7.3 per januari 2020 als de marktrente op dat moment 6% bedraagt. Uitwerking Nu geldt de volgende tijdlijn: 6% RW=? rentebetalingen aflossingen De rentabiliteitswaarde per januari 2020 bedraagt: C a =.000, a 6 6 =.000, (,06) 6 = 4.97,32 0,06

146 44 Noordhoff Uitgevers bv RW = 4.97,32 4 ( 6.000, 4.97,32) 6 = 4.97,32 72,79 = 5.639, Let op: het kapitaal (K) is nu uiteraard geen 0.000, meer, maar de schuldrest van 6.000,. Berekening van de rentabiliteitswaarde met behulp van Excel is ook bij renten mogelijk. Hierbij maken we gebruik van de mogelijkheden die in hoofdstuk 5 zijn behandeld. Een uitwerking van voorbeeld 7.3 staat op de website. Ad B Uitgestelde renten Voorbeeld 7.5 Een 7%-lening van , wordt in 5 jaarlijkse termijnen van 5.000, afgelost. De ste termijn vervalt op 3 december 202. Tot het moment van de ste aflossing wordt er jaarlijks alleen interest betaald. Bereken de rentabiliteitswaarde per januari 207 op basis van 6% effectieve interest. Uitwerking 7 C a = 5.000, c c (,06) (,06) 2 (,06) 5 (,06) = 4 Op basis van de gegevens kan onderstaande tijdlijn worden samengesteld: 6% rentebetalingen aflossingen RW=? Omdat de jaarlijkse rentebetalingen wisselende bedragen zijn, wordt gebruikgemaakt van de rentabiliteitswaardeformule: Rw = C a p p ' (K C a) In paragraaf 5.4 is een aantal methoden behandeld waarmee de contante waarde van uitgestelde renten kan worden bepaald. Het is het eenvoudigst om allereerst de waarde van de aflossingen per januari 202 te bepalen en vervolgens dat bedrag contant te maken per januari 207.

147 Noordhoff Uitgevers bv RENTABILITEITSWAARDE 45 C a = 5.000, a 5 6 A = 6.682, = 5.000, (,06) 5 0,06,06 4 RW = 6.682,93 7 ( , 6.682,93) = ,8 6 Ook kan C a ook als volgt worden berekend: Alternatieve uitwerking C a = 5.000, a 4 6 ) A 5 6 = 6.682,93 Alternatieve uitwerking 2 C a = 5.000, (a 9 6 a 4 6 ) = 6.682,93 Ad C Eeuwigdurende renten Eeuwigdurende renten kennen geen aflossingen. Er wordt alleen periodiek een vergoeding betaald. Zo wordt bij een aflossingsvrije lening jaarlijks alleen rente betaald en leveren aandelen jaarlijks alleen dividend op, terwijl ze nooit worden afgelost. Ook bij eeuwigdurende renten geldt: RW = C a p p ' (K C a) Echter C a is nihil, waaruit volgt dat: RW = p p ' K 7 Voorbeeld 7.6 Iemand krijgt een 4% aflossingsvrije obligatie van nominaal.000, aangeboden. De eerstkomende interestbetaling vindt over jaar plaats. Bereken de rentabiliteitswaarde als hij minimaal 5% interest per jaar over zijn geïnvesteerd vermogen wil behalen. Uitwerking RW = 4.000, = 800, 5 De rentabiliteitswaarde kon ook worden berekend op basis van de algemene formule voor het bepalen van de contante waarde van een eeuwigdurende rente, zoals die in paragraaf 5.5 is behandeld. De algemene formule voor de contante waarde van een eeuwigdurende postnumerando rente is: CW = T i Hiervan kan worden afgeleid:

148 46 Noordhoff Uitgevers bv RW = T r waarin: T = de jaarlijkse termijn In voorbeeld 7.6 bedraagt de jaarlijkse termijn: T = 0,04.000, = 40, RW = 40, 0,05 = 800, Voorbeeld 7.7 Een belegger bezit een aantal aandelen waarvan hij verwacht dat die jaarlijks 8, dividend per stuk op zullen leveren. Bereken de rentabiliteitswaarde van zo n aandeel als de belegger een effectieve interest hanteert van 5%. Uitwerking RW = 8, 0,5 = 20, Rentabiliteitswaarde van annuïteiten De rentabiliteitswaarde bestaat uit de contante waarde van de aflossingen en de contante waarde van de interestbetalingen op basis van de effectieve interest. Een annuïteit bestaat zowel uit een aflossingsbestanddeel als uit een interestbestanddeel, waardoor de rentabiliteitswaarde eenvoudig kan worden berekend als de contante waarde van de annuïteiten op basis van de effectieve interest. RW= Ann e ( r) ( r) +c 2 ( r) f =Ann a n n p ' waarin: Ann = de annuïteit; n = de looptijd. Voorbeeld 7.8 Een 6,5%-lening van , wordt afgelost in 5 jaar met annuïteiten. Bereken de rentabiliteitswaarde op basis van 8% effectieve interest.

149 Noordhoff Uitgevers bv RENTABILITEITSWAARDE 47 Uitwerking De jaarlijkse annuïteit is: Ann = , a 5 6,5 = , = 8.508,22 (,065) 5 0,065 8% 8.508, , , , , , , RW=? RW = 8.508,22 a 5 8 = ,93 Met behulp van de grafische rekenmachine wordt de rentabiliteitswaarde als volgt berekend: Als eerste wordt de annuïteit (PMT) bepaald. N 5 I% 6,5 PV PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter resultaat Verander vervolgens I% in 8 en stel de PV op 0. N 5 I% 8 PV 0 PMT FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat Met behulp van de algemene rentabiliteitswaardeformule zijn C a en C i te herleiden. RW = C a p p ' (K C a ) ,93 = C a 6,5 8 ( , C a ) ,93 =,5 8 C a , C a = 4.738,28 C i = RW C a = , ,28 = 3.087,65

150 48 Noordhoff Uitgevers bv 7.5 Rentabiliteitskoers De rentabiliteitskoers (RK) is de rentabiliteitswaarde uitgedrukt in een percentage van de schuld(rest). Voorbeeld 7.9 Een 5%-obligatielening groot , wordt in 20 jaar met gelijke bedragen per jaar afgelost. De ste aflossing vindt plaats per 3 december 206. Bereken op basis van 6% effectieve interest de rentabiliteitswaarde en de rentabiliteitskoers per: a januari 206; b januari 2026; c 3 december Uitwerking De jaarlijkse aflossing is , 20 = , a januari % i i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 i0 i i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 i20 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a0 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a RK=? C a = , a 20 8 = = , e (,06) c (,06) 2 (,06) f 20 (,06) 20 = , 0,06 = ,6 RW = ,6 5 ( , ,6) = ,0 RK = ,0 00% = 92,9% , b januari 2026 Er zijn inmiddels 0 aflossingen gedaan. De schuldrest bedraagt nog ,.

151 Noordhoff Uitgevers bv RENTABILITEITSWAARDE 49 6% i i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 i20 a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a RK=? C a = , a 0 6 = ,53 RW = ,53 5 ( , ,53) = ,26 RK = , , 00% = 95,6% c 3 december 2035 Er hoeft nog maar aflossing van ,- betaald te worden en wel per direct. De contante waarde van die aflossing is daarom eveneens ,-. De schuldrest bedraagt ,. i20 a20 6% RK=? C a = , RW = , 5 ( , , ) 6 = , 0,0 = , RK = , 00% = 00% , Naarmate het aflossingsmoment nadert, zal de rentabiliteitskoers dus naar de 00% tenderen. 7.6 Halfjaarcoupons Veel obligaties kennen een halfjaarlijkse interestbetaling in combinatie met een jaarlijkse aflossing. Uit paragraaf 3.5 is bekend dat bijvoorbeeld 8% per jaar niet gelijkwaardig is aan 4% per halfjaar.

152 50 Noordhoff Uitgevers bv Voorbeeld 7.0 Bereken de rentabiliteitswaarde van een 8%-obligatie met halfjaarcoupons als de effectieve interest 6% per jaar bedraagt. De obligatie is nominaal.000, en wordt over 5 jaar afgelost. Uitwerking Elk halfjaar levert deze obligatie 40, interest op. Op basis van 6% effectieve interest per jaar is 40, per halfjaar gelijkwaardig aan: 6% halfjaar 40. halfjaar 40. EW 2 EW = 40, (,06) 40, = 40,, , = 8,8 per jaar 7 Bij 6% effectieve interest per jaar is 4% per halfjaar gelijkwaardig aan: 2 8 {(,06) 2 } = 8,8252% Bij rentabiliteitsberekeningen geldt dat p% per halfjaar gelijkwaardig is aan: 2 p {( + r) 2 } per jaar In de rentabiliteitsformule: RW = C a p p ' (K C a) geldt nu: p = 8,8252% C a =.000, (,06) = 747,26 5 RW = 747,26 8,8252 (.000, 747,26) 6 = 747,26 34,97 =.089,23 In geval van jaarcoupons zou de rentabiliteitswaarde lager zijn, omdat een deel van de interest later wordt ontvangen dan bij halfjaarcoupons. De rentabiliteitswaarde is dan:

153 Noordhoff Uitgevers bv RENTABILITEITSWAARDE 5 RW = 747,26 8 (.000, 747,26) = 6 De formule: = 747,26 336,99 =.084,25 2 p {( r) 2 } RW = C a P ' (K C a ) kan ook worden geschreven als: RW = C a p p ' (K C a) 2 {( r) 2 } RW = 747, (.000, 747,26) 2 {(,06) 2 } = = 747,26 336,99,04785 = = 747,26 34,97 =.089, Aflossingspremie Als bij het sluiten van een lening de nominale interest lager ligt dan de marktrente, is de opbrengst van zo n lening voor de geldgever niet in overeenstemming met zijn gewenste rendement. De rentabiliteitswaarde zal kleiner zijn dan het geleende bedrag. In zo n geval kan de geldnemer de lening aantrekkelijker maken door meer dan het nominale schuldbedrag af te lossen. Hij betaalt dan een aflossingspremie ter (gedeeltelijke) compensatie van de lagere interest. 7 Voorbeeld 7. Een 7%-lening van , wordt over 0 jaar afgelost met een premie van 3%. De marktrente bedraagt 8%. Bereken de rentabiliteitswaarde. Uitwerking Op een tijdlijn kunnen alle betalingen als volgt worden weergegeven: 8% premie aflossing rente RW=?

154 52 Noordhoff Uitgevers bv De rentabiliteitswaarde bestaat nu uit de contante waarde van de aflossing, de contante waarde van de premie en de contante waarde van de interestbetalingen. RW = C a C i C p waarin: C p = contante waarde van de premie C a = , (,08) = , A = 46.39,35 (,08) C i = 0, , a 0 8 = 7.000, 0 = ,57 0,08 C p = 0, , (,08) = 3.000, A =.389,58 RW = 46.39, ,57.389,45 = ,50 De contante waarde van de aflossingspremie kon ook als volgt worden berekend: C p = 0,03 C a = 0, ,35 =.389,58 7 Deze laatste methode wordt gehanteerd als de rentabiliteitswaarde wordt berekend met behulp van de algemene rentabiliteitswaardeformule. Bedacht moet worden dat de aflossingspremie geen invloed heeft op de interestbetalingen; daarom heeft de premie ook geen invloed op de hoogte van C i. De contante waarde van de aflossingen betreft dus de nominale aflossingen. RW = C a p p ' (K C a ) C p RW = 46.39,35 7 ( , 46.39,35) 0, ,35 8 RW = 46.39, ,57.389,58 = ,50

155 Noordhoff Uitgevers bv 53 Definities en formules Rentabiliteitswaarde Nominale rente Effectieve of marktrente Rentabiliteitskoers Agio Disagio C a C i RW = C a p p ' (K C a) De rentabiliteitswaarde is de waarde die een belegger op een bepaald moment aan een lening of vordering toekent op basis van het rendement die hij op dat moment wenst. De rente die bij de leningvoorwaarde is vastgelegd en tot betalingen leidt. De rente die geldt op het moment van bepalen van de rentabiliteitswaarde, ofwel de marktrente van dat moment. De rentabiliteitswaarde uitgedrukt in een percentage van de schuld(rest). Positief verschil ten opzichte van de nominale waarde van een lening of vordering, veroorzaakt door een lagere marktrente ten opzichte van de nominale rente. Negatief verschil ten opzichte van de nominale waarde van een lening of vordering, veroorzaakt door een hogere marktrente ten opzichte van de nominale rente. De contante waarde van de aflossingen op basis van de effectieve rente. De contante waarde van de interestbetalingen, contant gemaakt tegen de effectieve rente. Formule voor het bepalen van de rentabiliteitswaarde. 7

156 54 Noordhoff Uitgevers bv Opgaven Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven zijn de volledige uitwerkingen via de website beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. * 7. Een 6%-lening van , wordt over 5 jaar in zijn geheel afgelost. De effectieve interest is 6,5%. a Bereken de rentabiliteitswaarde bij het sluiten van de lening. b Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 2de jaar Van een 8%-lening groot , is onder meer gegeven dat er in één bedrag over 0 jaar zal worden afgelost. De effectieve interest is 0%. a Bereken C a. b Bereken C i op twee manieren. c Bereken de rentabiliteitswaarde. d Bereken het disagio op twee manieren. 7.3 Martijn koopt een eigen woning. Bij de bank sluit hij daarvoor een hypotheek af. Omdat er bij de aankoop van het huis bijkomende kosten zijn, krijgt hij van zijn ouders een onderhandse lening van , tegen een kleine rentevergoeding. Zij komen overeen dat Martijn over 0 jaar in één keer , aan aflossing en interest zal betalen. a Bereken het rentepercentage dat over het bedrag moet worden betaald. Na 5 jaar wint Martijn een behoorlijke prijs in de loterij. Hij wil nu de lening direct aan zijn ouders aflossen. b Bereken het bedrag dat hij eind jaar 5 aan zijn ouders moet betalen, rekening houdend met het onder a berekende percentage. c Bepaal de rentabiliteitswaarde aan het eind van het 5de jaar indien de marktrente op dat moment 2% bedraagt. d Geef gemotiveerd aan of de ouders van Martijn een voor- of een nadeel hebben bij deze vervroegde aflossing. 7.4 De rentabiliteitswaarde van een 3%-lening groot , bedraagt ,55. Aflossing vindt plaats in jaarlijkse gelijke termijnen. De contante waarde van de aflossingen op basis van effectieve interest bedraagt 6.773,88. Bereken het effectieve interestpercentage. * 7.5 Een 6%-lening van , zal in 5 jaarlijkse gelijke termijnen worden afgelost. De eerste aflossing vindt plaats aan het einde van het 6de jaar na het sluiten van de lening. Bereken de rentabiliteitswaarde op basis van een effectieve interest van 8% op het moment van het sluiten van de lening.

157 Noordhoff Uitgevers bv OPGAVEN 55 * 7.6 Een 8%-lening van , wordt afgelost in 0 jaarlijkse gelijke termijnen. De eerste aflossing vindt plaats aan het einde van het 4de jaar na het sluiten van de lening. De effectieve interest bedraagt 7%. a Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het ste jaar. b Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 4de jaar. c Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 0de jaar. 7.7 Beantwoord de vragen van opgave 7.6 opnieuw bij een marktrente van 8%. * 7.8 Bereken de rentabiliteitswaarde van een 7% onaflosbare lening van , op basis van 8% marktrente. * 7.9 Een belegger kan een pakket aandelen kopen dat hem jaarlijks naar verwachting 8.000, dividend zal opleveren. Wat zal deze belegger in dit pakket aandelen willen investeren als hij 2% rendement vereist? 7.0 Ter financiering van een woning werd 5 jaar geleden een hypothecaire lening gesloten van , met een interestvoet van 9% met een looptijd van 30 jaar. Aflossing vindt plaats met gelijkblijvende annuïteiten. De eerste vervalt aan het eind van het ste jaar. a Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het ste jaar op basis van 9,5% marktrente. b Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 6de jaar op basis van een marktrente van 9,5%. c Bereken de schuldrest per het begin van het 6de jaar. d Hoe wordt het verschil tussen de antwoorden van vraag b en c genoemd, en verklaar waarom het positief of negatief is. 7 * 7. Een 7%-lening van , wordt afgelost met behulp van 20 jaarlijkse annuïteiten. De eerste vervalt aan het eind van het ste jaar. De effectieve interest is 8%. a Bereken de rentabiliteitswaarde per het begin van het ste jaar. b Bereken C a per het begin van het ste jaar. c Bereken C i per het begin van het ste jaar. * 7.2 Bereken de rentabiliteitskoers (in decimaal) van een 8%-lening van , die in 30 gelijke jaarlijkse termijnen wordt afgelost bij een marktrente van 6%: a per het begin van het ste jaar van de lening; b direct na de 0de aflossing; c direct na de 29ste aflossing. * 7.3 Bereken met behulp van de gegevens van opgave 7.0 de rentabiliteitskoers per het begin van het 6de jaar. * 7.4 De rentabiliteitskoers van een onaflosbare lening bedraagt 80% bij een effectief rendement van 5%. Bereken het nominale interestpercentage. 7.5 Een 6,5%-lening groot , wordt over 0 jaar ineens afgelost. De lening kent halfjaarcoupons. De effectieve interest bedraagt 7% per jaar. Bereken de rentabiliteitswaarde per het begin van het ste jaar.

158 56 Noordhoff Uitgevers bv * 7.6 Een 7%-lening van , met halfjaarcoupons zal in 5 jaarlijkse gelijke termijnen worden afgelost. De eerste aflossing vindt plaats aan het einde van het 6de jaar na sluiten van de lening. Bereken de rentabiliteitswaarde op basis van een effectieve interest van 8% per jaar op het moment van sluiten van de lening. * 7.7 Van een 9%-lening groot , is gegeven dat er in één bedrag over 0 jaar zal worden afgelost. De effectieve interest is 0%. Hoe groot moet de aflossingspremie zijn opdat de rentabiliteitskoers op het moment van aangaan van de lening 00% bedraagt? 7.8 Een 6%-lening van , wordt afgelost met behulp van 30 jaarlijkse annuïteiten. De eerste vervalt aan het eind van het ste jaar. De effectieve interest is 8%. Er wordt een aflossingspremie uitbetaald van,5%. Bereken de rentabiliteitswaarde per het begin van het ste jaar. 7

159

160 58 Noordhoff Uitgevers bv

161 Noordhoff Uitgevers bv 59 8 Uitgewerkte casussen 8. Hypotheek 8.2 Obligaties 8.3 Aanbod leningen 8 In dit hoofdstuk worden drie SPD-opgaven volledig uitgewerkt met behulp van de grafische rekenmachine en Excel. Per casus is aangegeven op welke hoofdstukken van het boek de opgave betrekking heeft.

162 60 Noordhoff Uitgevers bv 8. Hypotheek SPD-examen financiële rekenkunde 30 juni 200 (deze opgave heeft betrekking op de hoofdstukken 3, 5 en 6) Gegeven De financiële markten vertonen een voorzichtig herstel. Daarom overweegt Jan Oscar een nieuw appartement te kopen. Om zich te oriënteren, bezoekt Jan Oscar een financieel adviseur. De adviseur legt enige alternatieven aan hem voor. Uitgangspunt is dat Jan Oscar een hypotheek van , krijgt met een looptijd van 30 jaar. Hypotheekverstrekker A hanteert een percentage samengestelde interest van 6,4 per jaar en gaat uit van 30 jaarlijks gelijkblijvende betalingen voor aflossing en interest die aan het eind van het jaar moeten worden voldaan. Vraag Bereken de hoogte van de jaarlijkse betaling aan hypotheekverstrekker A. Uitwerking , = Ann a 30 6,4 8 Oplossing met de grafische rekenmachine: N 30 I% 6.4 PV PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter resultaat Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B Interestpercentage in cel B2 Looptijd in cel B3 Annuïteit = BET(B2;B3;B) = 5.57,03 Gegeven Omdat Jan Oscar de voorkeur heeft voor een meer gespreide betaling over het jaar, is het aanbod van hypotheekverstrekker B misschien aantrekkelijker. Deze instelling vraagt na afloop van elk halfjaar een bedrag voor aflossing en interest van 7.226,59. Vraag 2 Bereken het percentage samengestelde interest op jaarbasis dat hypotheekaanbieder B hanteert (drie decimalen). Uitwerking Jaarpercentage = {(+i) 2 } 00%

163 Noordhoff Uitgevers bv UITGEWERKTE CASUSSEN 6 Oplossing met de grafische rekenmachine: N 60 I% 0 PV PMT FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar I%, ALPHA, enter resultaat % per halfjaar is gelijkwaardig aan: ((, ) 2 ) 00% = 6, % In 3 decimalen: 6,090% Excel maakt gebruik van de financiële functie RENTE. Lening in cel B Looptijd (60) B2 Betaling B3 Interestpercentage per halfjaar (in cel B4): =RENTE(B2; B3;B) = Interestpercentage per jaar: =(+B4)^2 ) = 6,090 (geef cel percentageformat) Gegeven Hypotheekverstrekker C hanteert zelfs maandbetalingen en berekent de annuïteit die aan het eind van elke maand betaald moet worden op basis van 0,5% samengestelde interest per maand. Vraag 3 Bereken het gelijkwaardige percentage samengestelde interest op jaarbasis dat hypotheekaanbieder C hanteert (drie decimalen). 8 Uitwerking Jaarpercentage = {(,005) 2 } 00% = 6,677886% In 3 decimalen: 6,68% Vraag 4 Bereken de hoogte van de maandelijkse betaling aan hypotheekverstrekker C. Uitwerking Stel het maandbedrag op X , = X a 360 0,5 Oplossing met de grafische rekenmachine: N 360 I% 0.5 PV PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter resultaat

164 62 Noordhoff Uitgevers bv Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B Interestpercentage in cel B2 Looptijd in cel (360) B3 Annuïteit = BET(B2;B3;B) =.99,0 Vraag 5 Bereken het maandbedrag indien hypotheekverstrekker C, die 0,5% per maand hanteert, de betaling van het maandbedrag niet aan het eind maar aan het begin van de maand wil ontvangen. Uitwerking Stel het maandbedrag op X , = X ( + a 359 0,5 ) Oplossing met de grafische rekenmachine: N 360 I% 0.5 PV PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: BEGIN Cursor naar PMT, ALPHA, enter resultaat Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B Interestpercentage in cel B2 Looptijd in cel (360) B3 Annuïteit = =BET(B2;B3;B;;)=.93,4 Hier is Type_getal uit het dialoogscherm op gezet omdat de betaling aan het begin van de periode plaatsvindt. Gegeven Omdat Jan Oscar extra kosten voor het nieuwe appartement gaat maken, sluit hij bij bank BAMFORT een doorlopend krediet af van maximaal 5.000,. Zodra er geld wordt opgenomen, zal er een maandbetaling voor aflossing en interest aan het eind van de maand betaald moeten worden ter hoogte van 2% per maand van het maximale krediet. De interestvergoeding die BAMFORT in rekening brengt, is 0,8% per maand (samengestelde interest). Op juli 200 neemt Jan Oscar 0.000, op uit het krediet. Daarna vinden steeds de gelijke betalingen per maand plaats. Vraag 6 Bereken het bedrag dat Jan Oscar in 200 aan aflossing en het bedrag dat hij aan interest betaalt.

165 Noordhoff Uitgevers bv UITGEWERKTE CASUSSEN 63 Uitwerking Maandelijks wordt 2% van 5.000, = 300, betaald. Dit bedrag bestaat uit aflossing en rente. Na 6 betalingen is met behulp van de grafische rekenmachine de schuldrest te bepalen. Het verschil met het opgenomen bedrag van 0.000, vormt het bedrag van de aflossing. N 6 I% 0.8 PV 0000 PMT 300 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat Som betalingen: 6 300, =.800, Som aflossingen: 0.000, 8.653,32 =.346,68 Som interestbetalingen:.800,.346,68 = 453,32 In Excel kan eenvoudig een aflossingsplan worden samengesteld. 8 Vraag 7 Bereken de resterende schuld op 3 december 200. Zie uitwerking vraag 6. Vraag 8 Bereken hoeveel betalingen van het volledige bedrag van 2% moeten plaatsvinden om het doorlopend krediet af te lossen. Er kan van worden uitgegaan dat het interestpercentage dat BAMFORT in rekening brengt, ongewijzigd blijft.

166 64 Noordhoff Uitgevers bv Uitwerking 0.000, = 300, a n 0,8 Oplossing met de grafische rekenmachine: N 0 I% 0.8 PV 0000 PMT 300 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar N, ALPHA, enter resultaat ofwel 38 keer Excel maakt gebruik van de financiële functie NPER (n perioden). Lening in cel B Interestpercentage in cel B2 Betaling in cel B3 N=NPER(B2; B3;B)= ofwel 38 maal 8.2 Obligaties SPD-examen financiële rekenkunde 30 juni 200 (deze opgave heeft betrekking op de hoofdstukken 3, 4, 5 en 7) 8 Gegeven De Staat der Nederlanden schrijft een obligatielening uit ter grootte van ,. De storting zal juli 200 plaatsvinden. De lening zal na 0 jaar ineens afgelost worden. De couponrente bedraagt 4%. Vraag Bereken de theoretische koers van uitgifte die de geldgever een rendement van 4,5% op jaarbasis oplevert (drie decimalen). Uitwerking C a = , (,045) 0 (,045) C i = , a 0 4,5 0 = , 0,045 Oplossing met de grafische rekenmachine: N 0 I% 4.5 PV 0 PMT FV P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat

167 Noordhoff Uitgevers bv UITGEWERKTE CASUSSEN 65 Theoretische koers: , 00% = 96,044% Excel maakt gebruik van de financiële functie HW (huidige waarde). Lening in cel B Looptijd in cel B2 Nominaal interestpercentage in cel B3 Gewenst rendement in cel B4 Jaarlijkse couponbetaling ( ) in cel B5 Rentabiliteitswaarde in cel B7 = HW(B4;B2; B5; B) = Theoretische koers in cel B9 = B7/B = 96,044% Vraag 2 Bereken de theoretische koers van uitgifte die de geldgever een rendement van 3,5% op jaarbasis oplevert (drie decimalen). Uitwerking Identieke oplossing met een ander gewenst rendement. Oplossing met de grafische rekenmachine: N 0 I% 3.5 PV 0 PMT FV P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat Theoretische koers: % = 04,58% In Excel: Rentabiliteitswaarde in cel B7 Theoretische koers in cel B9 =B7/B = 04,58% =HW(B4;B2; B5; B) = Gegeven Veronderstel dat de lening in twee gelijke bedragen wordt afgelost op 30 juni 209 en 30 juni Vraag 3 Bereken dan de theoretische koers van uitgifte die een rendement van 3,5% op jaarbasis oplevert (drie decimalen).

168 66 Noordhoff Uitgevers bv Uitwerking Er is nu geen sprake meer van jaarlijks gelijke couponbetalingen. Bij de oplossing wordt gebruik gemaakt van de algemene formule van de rentabiliteit: Rw = C a p p ' (K C a) C a = , , (,035) 9 (,035) 0 Oplossing met de grafische rekenmachine: De eerste aflossing: N 9 I% 3.5 PV 0 PMT 0 FV P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat Oplossing met de grafische rekenmachine: De tweede aflossing: N 0 I% 3.5 PV 0 PMT 0 FV P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat C a = , ,90 = C i = ( ) = ,5 Rw = = Theoretische koers: % = 03,98% Excel maakt gebruik van de financiële functie NHW. Bepaal de jaarlijkse betalingen aan aflossing en couponrente. De eerste 8 jaar wordt er alleen 4% rente betaald ofwel ,. In 209 wordt er tevens , afgelost. In 2020 bedraagt de aflossing ,. De in 200 verschuldigde rente is: 0,04 ( , , ) = ,. In Excel kan het volgende model worden opgesteld:

169 Noordhoff Uitgevers bv UITGEWERKTE CASUSSEN 67 Rentabiliteitswaarde in cel D8 =NHW(B4;D7:D6) = Theoretische koers in cel D20 =D8/B = 03,98% Vraag 4 Bereken de theoretische koers van uitgifte die de geldgever een rendement van 3,5% op jaarbasis oplevert, aannemende dat de lening in plaats van jaarcoupons halfjaarcoupons heeft (drie decimalen) en twee gelijke aflossingen in 209 en Uitwerking Grafische rekenmachine Bij een gewenst rendement van 3,5% per jaar is 2% per halfjaar gelijkwaardig aan: 2 {(,035) 2 } = 4, % (afgerond 4,035%) De berekening van C a met behulp van de grafische rekenmachine is identiek aan die van vraag 3. C a = , ,90 = C i = 4,035 ( ) = ,5 Rw = = Theoretische koers: % = 04,260%

170 68 Noordhoff Uitgevers bv In Excel kan van de halfjaarcoupons de eindwaarde per jaar worden bepaald op basis van een gewenst rendement van 3,5% per jaar. De opstelling van het werkblad kan er dan als volgt uitzien: De formule in cel E7 luidt: =(C7*(+$B$4)^0,5)+D7 De formule in cel F8 luidt: =NHW(B4;F7:F6) De formule in cel F20 luidt: =F8/B 8 Er is sprake van een afrondingsverschil ten opzichte van de berekening met de grafische rekenmachine doordat daar niet met 4, % maar met 4,035% is doorgerekend. Gegeven Veronderstel dat de lening (met jaarcoupons en twee gelijke aflossingen in 209 en 2020) wordt uitgegeven tegen een uitgiftekoers van 97. Vraag 5 Bereken het rendement dat een geldgever behaalt (drie decimalen). Uitwerking Het TVM-Solver menu van de grafische rekenmachine kan de diverse betalingen niet verwerken. In dat geval resteert de trial and error -methode. Omdat de koers lager is dan 00% moet het gewenste rendement hoger dan 4% zijn. Bij een rendement van 4,3% komt de koers op 97,70% en bij een rendement van 4,4% is de koers 96,943%. Het gevraagde rendement ligt derhalve tussen de 4,3% en de 4,4%. Specifieker: 97,70 97 Gewenst rendement: 4,3% 0,% = 4,392% 97,70 96,943 In Excel maken we gebruik van de functie doelzoeken en stellen we onderstaand werkblad op waarbij de formule in cel D8 als volgt luidt: =NHW(B4;D7:D6)

171 Noordhoff Uitgevers bv UITGEWERKTE CASUSSEN 69 De variabele die gezocht wordt is het gewenst rendement in cel B4 Verplaats de cursor naar B4 en klik op het tabblad Gegevens. Kies nu de Wat-als analyse en selecteer Doelzoeken en vul het dialoogscherm als volgt in: 8 Het gewenst rendement in cel B4 wordt dan 4,393%. Gegeven In Griekenland is het vertrouwen in de staatsfinanciën minder. Een niet-aflosbare obligatielening heeft jaarcoupons van 4%.

172 70 Noordhoff Uitgevers bv Vraag 6 Bereken in procenten het agio of het disagio dat gerelateerd is aan een rendement van 7% op jaarbasis (drie decimalen). Uitwerking Hier is sprake van een eeuwigdurende verplichting van ,. De rentabiliteitswaarde bedraagt: , = , 0,07 Theoretische koers: Disagio: 42,857%. 8.3 Aanbod leningen % = 57,43% SPD-examen financiële rekenkunde 2 december 2009 (deze opgave heeft betrekking op de hoofdstukken 3, 4, 5 en 6) Gegeven Pauline gaat op kamers wonen. Ter financiering van de inrichting heeft zij extra liquide middelen nodig. Zij denkt ongeveer 7.500, nodig te hebben. Zij wil de lening in vier jaar terugbetalen met maandelijks gelijkblijvende bedragen, die steeds bestaan uit een aflossingsdeel en een interestdeel. Zij informeert bij verschillende aanbieders. De eerste aanbieder hanteert een interestpercentage van 0,65% (samengestelde interest) op maandbasis. De gelijkblijvende maandbedragen vervallen aan het begin van de maand. 8 Vraag Bereken het maandelijks te betalen bedrag. Uitwerking 7.500, = X ( + a 47 0,65 ) Oplossing met de grafische rekenmachine: N 48 I% 0,65 PV 7500 PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: BEGIN Cursor naar PMT, ALPHA, enter resultaat ,22 Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B Interestpercentage in cel B2 Looptijd in cel B3 Let op: omdat het een prenumerando-lening is, moet bij Type_getal het cijfer worden ingevuld.

173 Noordhoff Uitgevers bv UITGEWERKTE CASUSSEN 7 Maandbedrag = BET(B2;B3;B;;)= 8,22 Gegeven Voor het vervolg van deze opgave geldt dat de betalingen steeds aan het eind van een periode plaatsvinden. Het maandelijks gelijkblijvende bedrag wordt nu 82,39 op 0,65% samengestelde interest op maandbasis. Vraag 2 Bereken het gelijkwaardige jaarpercentage dat bij deze aanbieding wordt gehanteerd (drie decimalen nauwkeurig). Uitwerking Jaarpercentage= {(,0065) 2 } 00% Oplossing met de grafische rekenmachine: N 2 I% 0,65 PV PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat p = 8,085% Excel: Maandpercentage in cel B Jaarpercentage in cel (% format) B2 =(+B)^2 = 8,085% Vraag 3 Bereken het bedrag dat in het derde jaar in totaliteit aan interest moet worden betaald. 8 Uitwerking In totaal wordt betaald: 2 82,39 = 2.88,68 De aflossing in het derde jaar is het verschil tussen de schuld aan het begin en aan het einde van het jaar. Schuld begin derde jaar = 82,39 a 24 0,65 Oplossing met de grafische rekenmachine: N 24 I% 0,65 PV 0 PMT FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat Schuld einde derde jaar = 82,39 a 24 0,65

174 72 Noordhoff Uitgevers bv Oplossing met de grafische rekenmachine: N 2 I% 0,65 PV 0 PMT FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat Totaal betaald in derde jaar: 2.88,68 Aflossing: 4.040, ,95 =.94,94 Betaalde interest derde jaar: 246,74 In Excel kan eenvoudig een aflossingsplan worden samengesteld. 8 Gegeven De lening wordt op januari 2008 afgesloten. Daarbij wordt in overleg het maandelijks te betalen bedrag afgerond op 75, en als gevolg daarvan wordt de looptijd aangepast. Vraag 4 Bereken de schuldrest aan het einde van het vierde jaar. Uitwerking De schuldrest is 7.500, de som van de 48 aflossingen De eerste aflossing is: a = 75, 0, , = 26,25 De som van a t/m a 48 = a (s 47 0,65 )

175 Noordhoff Uitgevers bv UITGEWERKTE CASUSSEN 73 Oplossing met de grafische rekenmachine: N 48 I% 0,65 PV 7500 PMT 75 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat ,93 In Excel kan eenvoudig een aflossingsplan worden samengesteld, waarbij het maandbedrag op 75, wordt gesteld. Vraag 5 Bereken de grootte van de laatste betaling en geef aan op welke datum deze betaling vervalt. Uitwerking Als eerste wordt de nieuwe looptijd bepaald. Oplossing met de grafische rekenmachine: N 0 I% 0,65 PV 7500 PMT 75 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar N, ALPHA, enter resultaat Dit betekent dat er 50 75, wordt betaald en de 5 e maand het restant. De eerste betaling is op 3 januari 2008 de 5 e betaling is per 3 maart 202.

176 74 Noordhoff Uitgevers bv Per januari 2008 is de contante waarde van de 50 betalingen van 75, : N 50 I% 0,65 PV 0 PMT 75 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter resultaat ,05627 minder dan 7.500,. Deze 50,05627 wordt over 5 maanden betaald. Per 3 maart 202 moet worden betaald: N 5 I% 0,65 PV 50,05627 PMT 0 FV 0 P/Y C/Y PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter resultaat ,65 In Excel kan eenvoudig een aflossingsplan worden samengesteld, waarbij het maandbedrag op 75, wordt gesteld en tot en met de 5 e termijn wordt doorgerekend. 8 Rente + aflossing = 0, ,20 = 69,65 Gegeven Een tweede aanbieder hanteert een ander maandpercentage. Dit leidt bij een looptijd van 4 jaar tot betalingen van 85, per maand die aan het eind van de maand vervallen.