1 INLEIDING 1.1 ACHTERGROND 1.2 DOELSTELLING

Transcriptie

1 1 INLEIDING 1.1 ACHTERGROND De laatste decennia zijn leraren, lerarenopleiders en onderzoekers meer en meer geïnteresseerd geraakt in de geschiedenis van de wiskunde.in tijdschriften wordt veel over dit onderwerp geschreven.verscheidene auteurs voeren allerlei argumenten aan waarom de geschiedenis van de wiskunde een waardevol onderdeel is van het wiskundeonderwijs.een van de redenen om de geschiedenis van de wiskunde een plaats te geven binnen het wiskundeonderwijs is dat de geschiedenis kennis geeft over hoe wiskundige begrippen zich hebben ontwikkeld.het biedt de mogelijkheid om de wiskunde te onderwijzen in de lijn van de historische ontwikkeling.daarnaast maakt de geschiedenis van de wiskunde duidelijk hoe de wiskunde in de loop der eeuwen een bijdrage heeft geleverd aan het oplossen van maatschappelijke vraagstukken.verschillende wiskundige onderwerpen kunnen door concrete voorbeelden uit de geschiedenis gemakkelijker worden begrepen door leerlingen.bronnen uit het verleden kunnen ook de interesse en betrokkenheid van leerlingen bevorderen. De Nederlandse wetenschapshistoricus Dijksterhuis benadrukt het belang van kennis van de geschiedenis van de wiskunde voor hen die zich voorbereiden op het ambt van leraar in wiskunde op een middelbare school : Hun bezigheid zal voornamelijk bestaan in het overdragen van kennis der wiskunde op jongeren, zo mogelijk in het wekken van liefde en bewondering voor wat de mens in de loop der eeuwen op dit gebied tot stand heeft gebracht. Voor hen is kennis van de historische ontwikkeling van het vak een niet slechts waardevol, maar rondweg onmisbaar bezit, dat hen, uiteraard in combinatie met een goede beheersing van de hedendaagse wiskunde, eerst in staat zal stelen, aan de eisen die hun werkkring stelt, te voldoen. Zij hebben voortdurend te maken met fasen uit de ontwikkeling der wiskunde die reeds lang tot de geschiedenis zijn gaan behoren en ze moeten die fasen duidelijk en aantrekkelijk maken voor jeugdige personen die op deze wijze in wiskundig denken moeten worden geoefend. (Dijksterhuis, 1962) Ondanks de groeiende belangstelling voor het betrekken van de geschiedenis van de wiskunde in het onderwijs is er echter aanzienlijk minder geschreven over hoe je de geschiedenis in de wiskundelessen kunt inpassen.in dit proefschrift gaat het daarom niet alleen om de vraag waarom de geschiedenis van de wiskunde in het onderwijs gebruikt zou kunnen ofzelfs moeten worden, maar vooral om de vraag hoe de geschiedenis van de wiskunde ingezet kan worden als didactisch gereedschap.de verwachting is dat het inpassen van historische wiskundige probleemstellingen in het moderne wiskundeonderwijs leidt tot betere motivatie en betere leerresultaten. 1.2 DOELSTELLING Alhoewel in de vorige paragraafal is geschreven dat in tijdschriften veel over de geschiedenis van de wiskunde wordt geschreven, is er toch weinig samenhang tussen de verschillende artikelen.er is niet systematisch onderzocht ofde geschiedenis van de wiskunde bruikbare 11

2 1 Inleiding didactische aanknopingspunten biedt en wat de meest effectieve manier zou zijn om historische elementen te gebruiken. De meeste publicaties zijn anekdotisch en vertellen het verhaal van een specifieke leraar, waarbij het onduidelijk is of en hoe de (overwegend)positieve ervaringen van nut zouden kunnen zijn voor andere leraren, andere klassen en andere schooltypes. In dit proefschrift is de centrale vraag (in)hoe(verre)de geschiedenis van de meetkunde gebruikt kan worden, door leerling en leraar, bij het opnieuw ontdekken van meetkunde. De door Hans Freudenthal (1973) geïntroduceerde term reinvention staat hierbij centraal. Freudenthal beschouwt het leren van wiskunde als een proces waarin de leerling opnieuw uitvindt wat anderen al eerder hebben uitgevonden. Het onderzoek is als volgt opgezet: - een systematisch onderzoek naar recente literatuur over het gebruik en de waarde van de geschiedenis in het onderwijzen van meetkunde - een onderzoek naar de geschiedenis van twee meetkundige onderwerpen: 17 e -eeuwse Nederlandse landmeetkunde en niet-euclidische meetkunde - het ontwikkelen van materiaal voor leerlingen en docenten dat op scholen in het meetkundeonderwijs gebruikt kan worden - het nagaan van de invloed van het behandelen van de bovengenoemde twee onderwerpen op de kwaliteit van het onderwijs - het trekken van conclusies waardoor leraren, lerarenopleiders, schoolboekenschrijvers en curriculumontwikkelaars op weg worden geholpen bij de vraag op welke manier de geschiedenis gebruikt kan worden in de wiskundeles Een deels vergelijkbaar onderzoek is uitgevoerd op het gebied van algebra (Van Amerom, 2002). In dit onderzoek wordt het aspect van de didactische waarde van de geschiedenis van de wiskunde gecombineerd met het aspect van leerproblemen op het gebied van algebra. Aan de hand van een lessenreeks voor 11- tot 14-jarigen over vergelijkingen is ontwikkelingsonderzoek uitgevoerd bij de overgang van rekenen naar aanvankelijk algebra en de rol die de geschiedenis daarbij zou kunnen spelen. In de experimentele lessenreeks zijn enkele belangrijke elementen uit de historische ontwikkeling van de algebra gebruikt. Uit reacties van leerlingen en docenten binnen dit onderzoek is gebleken dat de integratie van de geschiedenis van de wiskunde in de brugklas meer effect heeft dan op de basisschool. Het zet brugklasleerlingen aan tot nadenken over hun eigen strategieën. Volgens Van Amerom zijn er in de brugklas - onder meer dankzij de grote betrokkenheid van de docent - meer momenten van reflectie en hebben de leerlingen een actievere leerhouding dan in groep 8. Vooral de zwakkere leerlingen blijken door de voor hen ongebruikelijke formulering van de vragen te worden afgeleid en ontmoedigd. 1.3 UITVOERING LITERATUURONDERZOEK In samenwerking met Klaske Blom heb ik systematisch onderzoek gedaan naar literatuur over het gebruik en de waarde van de geschiedenis van de meetkunde in het onderwijs in een aantal 12

3 1.3 Uitvoering toonaangevende Nederlandse, Belgische, Engelstalige, Duitse en Franse tijdschriften. Dit heeft geresulteerd in het artikel A historical angle, a survey of recent literature on the use and value of the history in geometrical education. Dit artikel is gepubliceerd in het tijdschrift Educational Studies in Mathematics (47(2), 2001) en is opgenomen in hoofdstuk 2. De verschillende in de literatuur genoemde positieve effecten die de geschiedenis van de wiskunde kan hebben op het wiskundeonderwijs worden in het artikel gerangschikt. De argumenten worden onderverdeeld in conceptuele, (multi-)culturele en motivationele argumenten om zo structuur aan te brengen en een beter overzicht te krijgen in de verschillende argumenten. De appendix van het artikel, waar onder andere op de historische inhoud, de didactische methode en de praktische bruikbaarheid van de artikelen wordt ingegaan, is een eenvoudig te raadplegen informatiebron ONDERW IJSONTW ERP Voor het onderzoek heb ik twee verschillende onderwijsontwerpen ontwikkeld: De 17 e -eeuwse Nederlandse landmeter (zie hoofdstuk 5) en De geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde (zie hoofdstuk 6). De onderwijsontwerpen verschillen qua doelgroep, onderwerp en wijze waarop de geschiedenis van de meetkunde is geïntegreerd en wordt aangeboden De 17 e -eeuwse Nederlandse landm eter Het onderwijsontwerp De 17 e -eeuwse Nederlandse landmeter is geschreven voor onderbouwleerlingen in 2 e en 3 e klassen havo en vwo. Het wiskundig onderwerp is gelijkvormigheid. Het onderwijsontwerp heeft de volgende kenmerken: - De geschiedenis wordt ingebed in de gewone leerstof. - Leerlingen gaan zich verplaatsen in het leven en het werk van de Nederlandse landmeter in de 17 e eeuw. Aan de hand van oorspronkelijke 17 e -eeuwse wiskundige teksten moeten de leerlingen in historische contexten rekenen met gelijkvormige driehoeken. - Door het opnemen van historische bronnen biedt dit onderwijsontwerp de mogelijkheid voor een vakoverstijgend project met het vak Nederlands. - Het onderwijsontwerp sluit af met een praktische opdracht, waarin de leerlingen in groepjes van twee zelf meetwerk verrichten om vervolgens met behulp van gelijkvormige driehoeken de hoogte van een gebouw of de breedte van een sloot uit te rekenen. Ik heb voor dit onderwerp gekozen omdat de geschiedkundige kant van dit onderwerp nog niet zo uitgebreid beschreven is als bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras of het getal. Daarnaast is het onderwerp historische gezien interessant en heeft het een praktische waarde. Door de mogelijkheid om de geschiedenis in te bedden in de gewone leerstof kost het onderwijsexperiment docenten geen extra lestijd. 13

4 1 Inleiding Naast het lesmateriaal voor leerlingen heb ik ten behoeve van docenten historische achtergrondinformatie geschreven over 17 e -eeuwse Nederlandse landmeetkunde (zie hoofdstuk 3). Hierbij heb ik mij vooral gericht op de historische contexten waarbinnen het lesmateriaal wordt gebruikt. Het biedt docenten inzicht in de geschiedenis van de landmeetkunde, hoofdzakelijk voor zichzelf en eventueel voor gebruik in de klas. Aan de orde komen onder andere het beroep van landmeter, de opleiding daartoe, de bevoegdheid om het beroep uit te oefenen, de benodigde theoretische kennis en de gebruikte instrumenten. Ook belangrijke landmeetkundeboeken die ik voor het lesmateriaal heb gebruikt beschrijf ik in het kort. De nadruk ligt op de 17 e eeuw, maar om een goed beeld te geven van de geschiedenis passeren ook voorgaande en latere eeuwen kort de revue De geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde Het onderwijsontwerp De geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde is geschreven voor bovenbouwleerlingen in klas 5 en 6 vwo. Het wiskundig onderwerp is vlakke meetkunde. Het onderwijsontwerp heeft de volgende kenmerken: - Het ontwerp kan worden gebruikt als keuzeonderwerp voor leerlingen met W iskunde B12 in hun profiel. - Het onderwijsontwerp presenteert de geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde in de lijn van de historische ontwikkeling. Leerlingen leren niet alleen meer over meetkunde, maar ook meer van meetkunde. - Na het herontdekken van de niet-euclidische meetkunde maken de leerlingen kennis met een model voor de niet-euclidische meetkunde, waarvan de resultaten onderzocht kunnen worden met behulp van de computer. - Het onderwijsontwerp eindigt met een aantal onderzoeksopdrachten die door de leerlingen zelfstandig kunnen worden uitgevoerd. Naast bovengenoemde aspecten heb ik voor dit onderwerp gekozen omdat er weinig kant en klaar lesmateriaal in het Nederlands over deze doorbraak in de meetkunde beschikbaar is. Bovendien biedt het de mogelijkheid om de meetkunde te exploreren aan de hand van de computer. In hoofdstuk 4 wordt historische achtergrondinformatie over de geschiedenis van de niet- Euclidische meetkunde gegeven, vanaf de Elementen van Euclides rond 300 v. C. tot de meetkunde van Loba evski en Bolyai in de 19 e eeuw. Naast verschillende modellen van de niet-euclidische meetkunde komen ook enkele toepassingen daarvan ter sprake TESTEN VAN HET ONDERWIJSONTWERP Beide hierboven genoemde onderwijsontwerpen zijn getest in klassen op verschillende scholen in Nederland. Om na te gaan welke invloed de onderwijsontwerpen hebben op de kwaliteit van het onderwijs zijn enquêtes afgenomen onder leerlingen en docenten. Daarnaast heb ik lessen bezocht en leerlingen geobserveerd. De resultaten worden besproken in hoofdstuk 5 (over De 17 e -eeuwse Nederlandse landmeter in de klas ) en hoofdstuk 6 (over De geschiedenis van de 14

5 1.4 Leeswijzer niet-euclidische meetkunde in de klas ). In de onderzoeksopzet komen de onderzoeksvragen, verwachtingen en voorbeelden uit het onderwijsontwerp aan de orde. Daarna worden enkele observaties uit de klassen besproken. Beide hoofdstukken eindigen met conclusies over de uitvoerbaarheid van het onderwijsontwerp, en een antwoord op de onderzoeksvragen. In hoofdstuk 7 worden naar aanleiding van het literatuuronderzoek en het testen van de onderzoeksontwerpen algemene conclusies getrokken over de invloed van de implementatie van de geschiedenis van de meetkunde op de kwaliteit van het onderwijs. Tevens worden er aanbevelingen gedaan aan ontwerpers van historisch getinte onderwijsontwerpen, schrijvers van onderwijsmethoden, curriculumontwikkelaars, leraren in het voortgezet onderwijs en lerarenopleiders. 1.4 LEESWIJZER De proefschrift is geschreven voor historici, wiskundigen, onderzoekers op onderwijskundig gebied, ontwerpers van historisch getint lesmateriaal, schrijvers van onderwijsmethoden, curriculumontwikkelaars, leraren in het voortgezet onderwijs, lerarenopleiders en andere geïnteresseerden. In het schema op de volgende pagina is aangegeven welk hoofdstuk voor wie interessant is. 15

6 1 Inleiding Leeswijzer Doelgroep Hoofdstuk 2 A historical angle Hoofdstuk 3 De 17 e - eeuwse Nederlandse landmeter Hoofdstuk 4 De geschiedenis van de niet- Euclidische meetkunde Hoofdstuk 5 De 17 e - eeuwse Nederlandse landmeter in de klas Hoofdstuk 6 De geschiedenis van de niet- Euclidische meetkunde in de klas Hoofdstuk 7 Algemene conclusies en aanbevelingen Bijlage Gelijkvormigheid Historici X X X Wiskundigen X X X Onderzoekers op X X X X onderwijskundig gebied Ontwerpers van historisch X X X X getint lesmateriaal Schrijvers van X X X X onderwijsmethoden Curriculumontwikkelaars X X Leraren in het voorgezet X X X X X X onderwijs Lerarenopleiders X X X X X X 16