Communicatietheorie: Project

Transcriptie

1 Faculteit Ingenieurswetenschappen Communicatietheorie: Project Floris Van den Abeele Stijn De Clerck Jeroen De Smedt 1 November 2009

2 Inhoudsopgave 1 Kanaalcodering 2 2 Retransmissie 12 3 Modulatie 13 1

3 Hoofdstuk 1 Kanaalcodering Voor het coderen van informatie maken we gebruik van een (15,7) BCH code. Deze lineaire blokcode zet informatiewoorden van 7 bits om in codewoorden van 15 bits. De BCH code wordt gedefinieerd aan de hand van de generatorveelterm, g(x). g(x) = x 8 + x 4 + x 2 + x + 1 (1.1) De checkveelterm,h(x), wordt bepaald aan de hand van volgend verband: x 15+1 = h(x) g(x) (1.2) Waarbij alle bewerkingen modulo 2 worden uitgevoerd. Na een Euclidische deling wordt de checkveelterm bekomen : h(x) = x 7 + x 3 + x + 1 (1.3) Vertrekkende van de generatorveelterm(1.1) en de checkveelterm(1.3) worden de generatormatrix(1.4) en de checkmatrix(1.5) bepaald : G = (1.4) 2

4 HOOFDSTUK 1. KANAALCODERING 3 H = (1.5) Wensen we alle 128(= 2 7 ) codewoorden te bepalen dan gebruiken we volgende formule: c = b G sys (1.6) met G sys de generator matrix in systematische vorm. We verkiezen deze vorm omdat zo de informatiebits behouden worden in het codewoord. Tabel 1.1: Codewoorden

5 HOOFDSTUK 1. KANAALCODERING Gewicht Aantal Tabel 1.2: Gewicht en aantal van codewoorden De minimale hamming afstand is gelijk aan het kleinste gewicht van alle codewoorden. d H,min = 5 (1.7) Het gegarandeerd fout detecterend vermogen van de code is gelijk aan 4. Dit wil zeggen dat alle fouten die optreden met een foutvector van gewicht maximaal gelijk aan 4 kunnen gedetecteerd worden. Het fout corrigerend vermogen is gelijk aan 2. De code kan tot 2 bitfouten corrigeren. Voor het opstellen van de codewoorden hebben we reeds de generatormatrix in systematische vorm gebruikt, de uitdrukkingen voor de generator- en checkmatrix in hun systematisch vorm worden gegeven door : G sys = H sys = (1.8) (1.9)

6 HOOFDSTUK 1. KANAALCODERING 5 Bij het versturen van codewoorden over een binair symmetrisch kanaal met bitfoutprobaliteit p kunnen we de BCH code aanwenden voor foutdetectie. We vinden volgende uitdrukkingen voor de probaliteit van een fout die wordt gedetecteerd en een fout die niet wordt gedetecteerd. P rob[niet gedetecteerdef out] = 2 k j=1;c (j) 0 p w(c(j)) (1 p) n w(c(j) ) = 18p 5 (1 p) p 6 (1 p) p 7 (1 p) 8 +15p 8 (1 p) p 9 (1 p) p 10 (1 p) 5 +p 15 Waarbij de sommatie loopt over alle codewoorden verschillend van het nul codewoord. P rob[gedetecteerdefout] = 1 [(1 p) 15 + = 1 2 k j=1 2 k j=1,c (j)!=0 p w(c(j)) (1 p) n w(c(j) ) p w(c(j)) (1 p) n w(c(j)) ] = 1 (1 p) 15 18p 5 (1 p) 10 30p 6 (1 p) 9 15p 7 (1 p) 8 15p 8 (1 p) 7 30p 9 (1 p) 6 18p 10 (1 p) 5 p 15 = (p + 1 p) 15 (1 p) 15 18p 5 (1 p) 10 30p 6 (1 p) 9 = 15p 7 (1 p) 8 15p 8 (1 p) 7 30p 9 (1 p) 6 18p 10 (1 p) 5 p ( ) 15 p k (1 p) 15 k (1 p) 15 18p 5 (1 p) 10 k k=0 Waarbij we tabel (1.2) hebben gebruikt. 30p 6 (1 p) 9 15p 7 (1 p) 8 15p 8 (1 p) 7 30p 9 (1 p) 6 18p 10 (1 p) 5 p 15 = 15p(1 p) p 2 (1 p) p 3 (1 p) p 4 (1 p) p 5 (1 p) p 6 (1 p) p 7 (1 p) p 8 (1 p) p 9 (1 p) p 10 (1 p) p 11 (1 p) p 12 (1 p) p 13 (1 p) p 14 (1 p) Indien p <<1 dan worden bovenstaande formules herleid tot : P rob[niet gedetecteerdefout] = 18p 5 (1.10) P rob[gedetecteerdefout] = 15p (1.11)

7 HOOFDSTUK 1. KANAALCODERING 6 Wensen we de code ook aan te wenden om fouten te corrigeren dan maken we gebruik van een zogenaamde syndroomtabel. Deze tabel bevat paren van syndromen en foutvectoren die aanleiding geven tot het syndroom. De ontvanger bepaalt het syndroom van het ontvangen woord adhv. van de checkmatrix (1.5) : s = rh T = (c + e)h T = eh T (1.12) Indien het syndroom verschillend is van nul dan wordt het ontvangen woord gecorrigeerd met de bijhorende foutvector. De syndroomtabel is gereduceerd tot foutvectoren met maximaal gewicht 1. Syndroom Foutvector Syndroom Foutvector Tabel 1.3: Gereduceerde syndroomtabel met w(e) 1 Er bestaan andere foutvectoren (met w(e) 1) die ook aanleiden geven tot de syndromen uit bovenstaande tabel. We geven het gewicht van deze foutvectoren weer in onderstaande tabel, deze gewichten zijn gelijk voor alle syndromen uit tabel (1.3) met uitzondering van het nulsyndroom. Syndroom Gewicht van andere foutvectoren w(5),30w(6),15w(7),15w(8),30w(9),18w(10),1w(15) andere 6w(4),12w(5),19w(6),26w(7),26w(8),19w(9),12w(10),6w(11),1w(14) Tabel 1.4: Gewichten andere foutvectoren met w(e) 2 De kans dat de decoder een correcte beslissing neemt is gelijk aan de kans dat er een foutvector uit tabel (1.3) optreed: P rob[correctebeslissing] = (1 p) p(1 p) 14

8 HOOFDSTUK 1. KANAALCODERING 7 De kans op een gedetecteerde fout is gelijk aan de kans dat er een foutvector optreed die niet in tabellen (1.3) en (1.4) voorkomt. P rob[retransmissie] = P rob[gedetecteerdef out] = 105p 2 (1 p) p 3 (1 p) p 4 (1 p) p 5 (1 p) p 6 (1 p) p 7 (1 p) p 8 (1 p) p 9 (1 p) p 10 (1 p) p 11 (1 p) p 12 (1 p) p 13 (1 p) 2 Gebruik makend van de som de kansen vinden we voor de kans op een decodeerfout: P rob[correctebeslissing] + P rob[retransmissie] + P rob[decodeerf out] = 1 P rob[decodeerf out] = 1 P rob[correctebeslissing] P rob[retransmissie] = 1 (1 p) 15 15p(1 p) p 2 (1 p) p 4 (1 p) p 5 (1 p) p 6 (1 p) p 7 (1 p) p 8 (1 p) p 9 (1 p) p 10 (1 p) p 11 (1 p) 4 455p 12 (1 p) 3 105p 13 (1 p) 2 Ter verificatie berekenen we de kans op een decodeerfout nogmaals. De kans op een decodeerfout is gelijk aan de kans dat de opgetreden foutvector voorkomt in tabel (1.4). Bemerk dat er 15foutvectoren van gewicht 1 behoren tot de categorie andere in tabel (1.4). P rob[decodeerfout] = 90p 4 (1 p) p 5 (1 p) p 6 (1 p) p 7 (1 p) p 8 (1 p) p 9 (1 p) p 10 (1 p) p 11 (1 p) p 14 (1 p) + p 15 Indien p <<1 dan worden bovenstaande formules herleid tot : P rob[gedetecteerdefout] = 105p 2 (1.13) P rob[decodeerfout] = 90p 4 (1.14)

9 HOOFDSTUK 1. KANAALCODERING 8 Breiden we de syndroomtabel uit met foutvectoren met een gewicht gelijk aan 2 dan bekomen we tabel (1.5). Syndroom Foutvector Syndroom Foutvector

10 HOOFDSTUK 1. KANAALCODERING Tabel 1.5: Gereduceerde syndroomtabel met w(e) 2 De gewichten van andere foutvectoren(met w(e) 3) die aanleiding geven tot de zelfde syndromen worden gegeven in tabel (1.6) : Syndroom Gewicht van andere foutvectoren w(5),30w(6),15w(7),15w(8),30w(9),18w(10),1w(15) andere(w(e)=1) 6w(4),12w(5),19w(6),26w(7),26w(8),19w(9),12w(10),6w(11),w(14) andere(w(e)=2) 2w(3),4w(4),11w(5),20w(6),26w(7),26w(8),20w(9) 11w(10),4w(11),2w(12),1w(13) Tabel 1.6: Gewichten andere foutvectoren met w(e) 3 De kans op een correcte beslissing is gelijk aan de kans dat er een foutvector optreed uit tabel (1.5) : P rob[correctebeslissing] = (1 p) p(1 p) p 2 (1 p) 13

11 HOOFDSTUK 1. KANAALCODERING 10 De kans op een gedetecteerde fout is gelijk aan de kans dat er een foutvector optreed die niet voorkomt in tabellen (1.5) en (1.6): P rob[retransmissie] = P rob[gedetecteerdef out] = 245p 3 (1 p) p 4 (1 p) p 5 (1 p) p 6 (1 p) p 7 (1 p) p 8 (1 p) p 9 (1 p) p 10 (1 p) p 11 (1 p) p 12 (1 p) 3 Gebruik makend van de som de kansen vinden we voor de kans op een decodeerfout: P rob[correctebeslissing] + P rob[retransmissie] + P rob[decodeerf out] = 1 P rob[decodeerf out] = 1 P rob[correctebeslissing] P rob[retransmissie] = 1 (1 p) 15 15p(1 p) p 2 (1 p) p 3 (1 p) p 4 (1 p) p 5 (1 p) p 6 (1 p) p 7 (1 p) p 8 (1 p) p 9 (1 p) p 10 (1 p) 5 855p 11 (1 p) 4 245p 12 (1 p) 3 Ter verificatie berekenen we de kans op een decodeerfout nogmaals. De kans op een decodeerfout is gelijk aan de kans dat de opgetreden foutvector voorkomt in tabel (1.6). P rob[decodeerfout] = 210p 3 (1 p) p 4 (1 p) p 5 (1 p) p 6 (1 p) p 7 (1 p) p 8 (1 p) p 9 (1 p) p 10 (1 p) p 11 (1 p) p 12 (1 p) p 13 (1 p) p 14 (1 p) + p 15 Indien p <<1 dan worden bovenstaande formules herleid tot : P rob[gedetecteerdefout] = 245p 3 (1.15) P rob[decodeerfout] = 210p 3 (1.16)

12 HOOFDSTUK 1. KANAALCODERING 11 We voeren simulaties uit ter bepaling van de kans op een gedetecteerde fout en een decodeerfout voor de drie strategieën. De kans op een bitfout is p=0.1. Simulaties Strategie s1 s2 s3 s4 s5 E[s] Analytisch Tabel 1.7: Simulaties Prob[gedetecteerde fout] Simulaties Strategie s1 s2 s3 s4 s5 E[s] Analytisch 1 6.2e-5 8.9e-5 5.9e-5 7.4e-5 9.1e-5 7.5e e Tabel 1.8: Simulaties Prob[decodeer fout] Uit bovenstaande simulaties blijkt dat het analytisch resultaat dicht aanleunt bij de empirisch bepaalde kansen. Ten slotte versturen we de afbeelding over een kanaal met p=0.05. We doen dit 3 keer, elke keer volgens een verschillend strategie: ongecodeerd tranmissie, gecodeerde transmissie met correctie indien w(e) 2, gecodeerde transmissie met correctie indien w(e) 3. Aangezien strategie 3 de laagste kans heeft op een gedetecteerde fout vertoont deze figuur het minst aantal fouten. (a) ongecodeerd (b) foutcorrectie 1 (c) foutcorrectie

13 Hoofdstuk 2 Retransmissie 12

14 Hoofdstuk 3 Modulatie 13