Data Mining: similariteit en visuele data exploratie

Transcriptie

1 Data Mining: similariteit en visuele data exploratie docent: dr. Toon Calders Gebaseerd op slides van Tan, Steinbach, and Kumar. Introduction to Data Mining Overzicht: wat zagen we vorige les? Data karakteristieken Soorten attributen Nominaal, ordinaal, interval, ratio Data-formaten Record data, transactie data, grafen, Dimensie van de data Curse of dimensionality 1

2 Overzicht: wat zagen we vorige les? Data kwaliteit Ruis Ontbrekende waarden Duplicaten Overzicht: wat zagen we vorige les? Data preprocessing: Aggregatie Sampling Dimensionality Reduction Feature subset selectie Feature creatie Discretizatie and Binarizatie Attribuut Transformatie 2

3 Wat zien we deze les? Laatste onderdeel van data Meten van afstand en similariteit Belangrijke input voor vele algoritmes Exploreren van data Samenvattende statistieken Visuele methodes Deel 1: Similariteit en afstand Wat? Voor 1 attribuut Meerdere attributen van hetzelfde type Meerdere attributen, verschillende types 3

4 Similariteit en Dissimilariteit Similariteit Numerieke maat van gelijkenis tussen objecten. Hoger als objecten meer gelijk. Vaak in het interval [0,1] Dissimilariteit Numerieke maat voor verschil tussen objecten. Lager als objecten meer gelijk. Minimale dissimilariteit is vaak 0. Bovengrens is variabel Proximity verwijst naar beide Deel 1: Similariteit en afstand Wat? Voor 1 attribuut Meerdere attributen van hetzelfde type Meerdere attributen, verschillende types 4

5 Similariteit/Dissimilariteit voor 1 attribuut p en q zijn de attribuutwaarden voor twee records. Deel 1: Similariteit en afstand Wat? Voor 1 attribuut Meerdere attributen van hetzelfde type Numeriek Binair Meerdere attributen, verschillende types Similariteiten voor sequenties, strings 5

6 Euclidische afstand Euclidische afstand dist = n ( k= 1 p k q k ) 2 n = aantal dimensies, p k en q k : k-de component van resp. object p en q. Standaardisatie is noodzakelijk als de schaal ongelijk is. Vraag Standaardisatie is noodzakelijk als de schaal ongelijk is --- Waarom? 6

7 Vraag Standaardisatie is noodzakelijk als de schaal ongelijk is --- Waarom? Anders kunnen enkele dimensies een te grote rol spelen en de andere dimensies irrelevant maken. Vb: attributen Leeftijd (L) en Inkomen (I) d((30,1900), (32,2000) ) = Genormaliseerd (op 100 en op 5000): d((0.30,0.38), (0.32,0.40) ) = (0.02) 2 + (0.02) 2 Euclidische afstand 3 2 p1 p3 p4 1 p point x y p1 0 2 p2 2 0 p3 3 1 p4 5 1 p1 p2 p3 p4 p p p p Distance Matrix 7

8 Minkowski afstand Minkowski afstand is een veralgemening van de Euclidische dist n = ( p k q k k= 1 r : parameter n : aantal dimensies p k, q k : k-de component van resp. object p en q. r ) 1 r Minkowski afstand: Voorbeelden r = 1. City block (Manhattan, taxicab, L 1 ) Hamming distance; aantal bits verschillend in twee binaire vectoren. r = 2. Euclidische afstand r. supremum (L max norm, L norm) Maximale verschil tussen de componenten van twee vectoren. Opgepast! Verwar r niet met n; al deze afstandsmaten zijn gedefinieerd voor alle aantallen dimensies. 8

9 Minkowski afstand point x y p1 0 2 p2 2 0 p3 3 1 p4 5 1 L1 p1 p2 p3 p4 p p p p L2 p1 p2 p3 p4 p p p p L p1 p2 p3 p4 p p p p Afstandsmatrices Vraag: Wat gebeurt er indien er correlatie bestaat tussen de verschillende attributen? Helpt normalisatie? Worden sommige attributen overbodig? Welke? Hoe voorkom je mogelijke problemen? 9

10 Vraag: Wat gebeurt er indien er correlatie bestaat tussen de verschillende attributen? Extreem geval: attribuut A 1 = A 2 en een attribuut B: d(o 1,o 2 ) = (o 1.A 1 - o 2.A 1 ) 2 + (o 1.A 2 -o 2.A 2 ) 2 + (o 1.B -o 2.B) 2 = 2 (o 1.A - o 2.A) 2 + (o 1.B -o 2.B) 2 Komt vaak voor; dit trekt de verhoudingen tussen de attributen scheef Vraag: Wat gebeurt er indien er correlatie bestaat tussen de verschillende attributen? Mogelijke oplossing: dimensionality reduction bvb. Principal component analysis; ontbind de dimensies in orthogonale componenten. Volgende slide bevat andere mogelijke oplossing 10

11 Mahalanobis afstand 1 mahalanobi s( p, q) = ( p q) ( p q) T Σ is de co-variantie matrix van de input matrix X Σ 1 n j, k = ( X ij X j)( X ik X k ) n 1 i= 1 Voor de rode punten is de Euclidische afstand 14.7, de Mahalanobis afstand is 6. Mahalanobis afstand Co-variantie matrix: Σ = B A C A: (0.5, 0.5) B: (0, 1) C: (1.5, 1.5) Mahal(A,B) = 5 Mahal(A,C) = 4 11

12 Mahalanobis afstand: interpretatie Mahalanobis afstand: interpretatie 12

13 Vraag Waarom lost Mahalanobis het probleem van de gecorreleerde attributen op? Illustreer met het extreme voorbeeld Vraag Waarom lost Mahalanobis het probleem van de gecorreleerde attributen op? Illustreer met het extreme voorbeeld Twee objecten met bijna gelijke A 1 waarde zullen ook slechts klein verschil hebben op A 2. Door de sterke correlatie tussen die twee attributen, echter, is de bol die de distributie beschrijft erg plat in het A 1 -A 2 vlak met breedte in de richting van gelijke A-waarden. 13

14 Metrieken Afstanden zoals de Euclidische, hebben een aantal eigenschappen: 1. voor alle p en q: d(p, q) 0 d(p, q) = 0 asa p = q. (Positief definiet) 2. voor alle p en q: d(p, q) = d(q, p) (Symmetrie) 3. voor alle p, q en r : d(p, r) d(p, q) + d(q, r) (Driehoeksongelijkheid) Een afstandsmaat die hieraan voldoen noemen we een metriek Eigenschappen van een similariteit Enkele vaak voorkomende eigenschappen: 1. s(p, q) = 1 (of de maximale similariteit) asa p = q. 2. s(p, q) = s(q, p) voor alle p en q. (Symmetrie) 14

15 Similariteit tussen binaire vectoren Vaak voorkomend: p en q hebben enkel binaire attributen. We gebruik volgende getallen in de definities: M 00 = aantal attributen met p = 0 en q = 0 M 01 = aantal attributen met p = 0 en q = 1 M 10 = aantal attributen met p = 1 en q = 0 M 11 = aantal attributen met p = 1 en q = 1 Simple Matching en Jaccard Coefficient SMC = aantal gelijken / aantal attributen = (M 11 + M 00 ) / (M 01 + M 10 + M 11 + M 00 ) J = aantal 11 matches / aantal niet 0-0 paren = (M 11 ) / (M 01 + M 10 + M 11 ) SMC versus Jaccard: Voorbeeld p = q = M 01 = 2 M 10 = 1 M 00 = 7 M 11 = 0 SMC = (M 11 + M 00 )/(M 01 + M 10 + M 11 + M 00 ) = (0+7) / ( ) = 0.7 J = (M 11 ) / (M 01 + M 10 + M 11 ) = 0 / ( ) = 0 15

16 Cosinus similariteit Als d 1 and d 2 bvb. document-vectoren zijn cos( d 1, d 2 ) = (d 1 d 2 ) / d 1 d 2, is het scalair produkt tussen vectoren en d is de lengte van vector d. Voorbeeld: d 1 = d 2 = d 1 d 2 = 3*1 + 2*0 + 0*0 + 5*0 + 0*0 + 0*0 + 0*0 + 2*1 + 0*0 + 0*2 = 5 d 1 = (3*3+2*2+0*0+5*5+0*0+0*0+0*0+2*2+0*0+0*0) 0.5 = (42) 0.5 = d 2 = (1*1+0*0+0*0+0*0+0*0+0*0+0*0+1*1+0*0+2*2) 0.5 = (6) 0.5 = cos( d 1, d 2 ) =.3150 Tanimoto Coefficient Voor continue of count-attributen 16

17 Vraag Met welke maat komt Tanimoto overeen indien we ons beperken tot binaire attributen? Vraag Met welke maat komt Tanimoto overeen indien we ons beperken tot binaire attributen? Jaccard. Daarom is deze maat ook bekend als extended Jaccard 17

18 Correlatie Correlatie meet de mate van lineair verband tussen twee attributen Correlatie berekenen = vectoren normaliseren en vervolgens het scalair produkt nemen. p k q k = ( p mean( p)) / std( p) k = ( q mean( q)) / std( q) k correlatio n( p, q) = p q Visueel correlatie herkennen Scatter plots tonen correlaties van 1 tot 1. 18

19 Opgelet! Correlatie meet enkel in welke mate er een lineair verband is! Deel 1: Similariteit en afstand Wat? Voor 1 attribuut Meerdere attributen van hetzelfde type Numeriek Binair Meerdere attributen, verschillende types Similariteiten voor sequenties, strings 19

20 Combineren van similariteiten Soms hebben attributen verschillende types, maar is er toch een similariteitsmaat nodig. Gebruik van gewichten bij combinaties Indien niet alle attributen even belangrijk. Gebruik gewichten w k tussen 0 en 1 die sommeren tot 1. 20

21 Deel 1: Similariteit en afstand Wat? Voor 1 attribuut Meerdere attributen van hetzelfde type Numeriek Binair Meerdere attributen, verschillende types Similariteiten voor sequenties, strings Andere afstandsmaten Voor strings Edit distance (Levenshtein distance) DNA sequences Voor sequenties Time-warping distance 21

22 Edit distance Afstand tussen twee strings: minimale aantal operaties om de ene in de andere om te zetten Invoegen van een karakter (insert) Verwijderen van een karakter (delete) Substituteren van een karakter Voorbeeld: paard paad parad parade afstand = 3 eauivlaent equivlaent equivaent equivalent afstand = 3 Edit distance Afstand tussen twee strings: minimale aantal operaties om de ene in de andere om te zetten Invoegen van een karakter (insert) Verwijderen van een karakter (delete) Substituteren van een karakter Relatief duur om uit te rekenen Dynamisch programmeren 22

23 Edit distance: algoritme _ P A A R D _ P A R A vullen van matrix entry i,j: edit distance tussen t[1..i] en s[1..j] D E Edit distance: algoritme _ P A A R D _ P 1 A 2 R 3 Invullen van matrix: recursief d[i,j] = min { d(i-1, j) + 1 (del) A 4 d(i,j-1) + 1 (ins) d(i-1,j-1) + cost } D 5 (match of subst.) E 6 23

24 Edit distance: algoritme _ P A A R D _ P A R A D E Afstand voor DNA sequenties Matching in BLAST (Basic Local Alignment and Search Tool) is gebaseerd op soort match die we hier beschrijven Similarity gedefinieerd als maximale match ATGGCGT ***!** ATG-AGT 24

25 Sequence alignment Voor elke mogelijke alignment wordt een score gegeven: Gebaseerd op de scores tussen residuen plus strafpunten voor gaps A-A score kan lager zijn dan een C-C score Score van een A-G fout kan zwaarder zijn dan een A-C fout Gebaseerd op tabellen Alignment van een gap met een gap is zinloos De alignment score is de som van de scores voor de residuen min de strafpunten Sequence alignment Simpel score mechanisme: match = 1, nietmatch = -1, gaps niet bestraft Beste alignment: ATGGCGT ATG-AGT = 4 Alternatief: ATGGCGT A-TGAGT = 2 25

26 Sequence alignment De substitutie matrix geeft aan wat de score is voor een bepaalde match C T A G C T A G Er bestaan vaste tabellen waarbij de score gebaseerd is op evolutionaire theorieen; het kan zijn b.v.b. dat een A C mutatie veel waarschijnlijker is dan een A G BLOSUM62 substitutie matrix 26

27 Afstand voor DNA sequenties Gaps moeten ontmoedigd worden Verstoren de alignment Veranderen het volledige time-frame Beter 1 grote gap i.p.v. meerdere kleintjes Voorbeeld: gap van lengte n krijgt strafpunten: gap_penalty(n) = x n Afstand voor DNA sequenties Similariteit van twee sequenties kan nu gedefinieerd worden als de maximale score over alle alignments. Er kan opnieuw een dynamisch algoritme gebruikt worden: Needleman-Wunsch Opnieuw duur; bestaan vele benaderende algoritmes 27

28 Time warping afstand voor sequenties Vaste tijd Punten van de sequenties 1 per 1 matchen Geen vasts tijd; Warped Niet-lineaire alignments mogelijk Samenvattend Verschillende afstandsmaten Belangrijk voor visualisatie, clustering, classificatie, Voor numerieke attributen Klasse van Minkowski metrieken Mahalanobis voor gecorreleerde attributen Binaire en count attributen Jaccard, Simple matching Cosine, extended Jaccard Combinaties 28

29 Deel 2: Data Exploratie Wat is data exploratie? Eerste onderzoek om karakteristieken van de data te leren kennen Motivatie Betere selectie van pre-processing en analyse tools Gebruik maken van menselijke capaciteit om patronen te herkennen Visuele patronen Gerelateerd aan Exploratory Data Analysis (EDA) 29

30 Technieken in data exploratie Origineel gedefinieerd door Tukey: Focus op visualisatie Omvat clustering en anomalie detectie In tegenstelling tot de DM wereld: eigen onderzoeksgebieden In deze uiteenzetting, vooral focus op: Summary statistics Visualisatie Online Analytical Processing (OLAP) Inhoud Summary statistics Visualisatie Online Analytical Processing (OLAP) 30

31 Iris Sample Data Set Veel voorbeelden worden geillustreerd met de Iris Plant data set (UCI ML Repository) Drie bloemtypes (klassen): Setosa Virginica Versicolour Vier andere attributen breedte en lengte van het kelk- en bloemblad Virginica. Robert H. Mohlenbrock. USDA NRCS Northeast wetland flora: Field office guide to plant species. Northeast National Technical Center, Chester, PA. Courtesy of USDA NRCS Wetland Science Institute. Summary Statistics Samenvattende statistieken: getallen die de data samenvatten in 1 getal O.a. Locatie: mediaan, gemiddelde, modus Spreiding: standaard afwijking frequentie De meeste samenvattende statistieken kunnen berekend worden in 1 data scan. 31

32 Frequentie en modus Frequentie van een waarde = aantal maal deze waarde voorkomt Bvb. man komt ongeveer 50% voor als geslacht = frequentie van man is 50% De modus is de meest voorkomende waarde Frequentie en modus worden meest gebruikt bij categorische data Eerst discretiseren Percentielen Voor continue data zijn percentielen meer geschikt. Gegeven een geordend attribuut X in dataset D. Het p-de percentiel voor X in D is een getal x p zodat p% van de punten in D een X- waarde hebben die kleiner of gelijk is aan X p. Bvb. 50% van de waarden zijn kleiner of gelijk en 50% zijn groter dan het 50-ste percentiel. 32

33 Locatie: gemiddelde en mediaan Gemiddelde meest bekende voor locatie. Echter, gemiddelde is gevoelig voor outliers. Daarom: ook mediaan of trimmed mean. Spreiding: Bereik en variantie Bereik = verschil minumum en maximum Variantie en standaard afwijking: meest gebruikt om spreiding te geven. Ook gevoelig voor outliers, daarom: 33

34 Inhoud Summary statistics Visualisatie Online Analytical Processing (OLAP) Visualisatie technieken: Histogrammen Histogram Distributie van de waarden van 1 variabele Onderverdeling in bins; hoogte proportioneel aan frequentie. Vorm v/h histogram hangt af van aantal bins Voorbeeld: breedte bloemblad (10 vs 20 bins) 34

35 2D Histogrammen Toont de gezamelijke distributie van 2 var s. Vb: breedte en lengte v/d bloembladen Visualisatie techniek: Box Plots Box Plot (J. Tukey) Toont ook de distributie van de data outlier 90 ste percentiel 75 ste percentiel 50 ste percentiel 25 ste percentiel 10 de percentiel 35

36 Voorbeeld van Box Plots Visualisatie techniek: Scatter-plot Attribuutwaarden bepalen positie 2D of 3D Extra attributen via grootte, kleur, vorm, Matrix van scatterplots 36

37 Scatter-plot matrix van de Iris attributen Visualisatie techniek: Contour plot Continu attribuut op spatial grid Partitioneren van de ruimte Punten met gelijke waarde verbinden Cfr. hoogtelijnen Temperatuur, regenval, etc. 37

38 Voorbeeld: SST Dec, 1998 Celsius Visualisatie techniek: Matrix plot Plot van de data matrix Nuttig indien objecten geordend naar klasse Attributen worden typisch genormaliseerd Ook plots van similariteits- en afstandsmatrices zijn erg bruikbaar voor visuele inspectie van de relatie tussen objecten. 38

39 Visualisatie van de Iris data matrix standard deviation Visualisatie van de correlatie matrix 39

40 Visualisatie techniek: parallelle coordinaten Voor hoog-dimensionele data Parallelle assen i.p.v. loodrechte Attribuutwaarden van zelfde object worden verbonden door een lijn Ordening van attributen is belangrijk Vaak clusteren de lijnen samen in groepen voor een aantal attributen. Parallelle coordinaten voor de Iris data 40

41 Andere visualisatie technieken Star Plots Gelijkaardig aan parallelle coordinaten, maar nu zijn de assen radiaal (cfr. spaken in een wiel) De verbindingslijn is nu een polygoon Chernoff gezichten Elk attribuut is een karakteristiek van het gelaat De attribuutwaarden komen overeen met een uitdrukking van de geassocieerde karakteristiek Elk object is een gezicht Gebaseerd op gelaatsherkenning Star plots voor sample van de Iris data Setosa Versicolour Virginica 41

42 Chernoff gezichten Setosa Versicolour Virginica Inhoud Summary statistics Visualisatie Online Analytical Processing (OLAP) 42

43 OLAP On-Line Analytical Processing (OLAP) voorgesteld door E. F. Codd. Relationele databases zetten data in tabellen; OLAP gebruikt een multidimensionele array. Aantal analyse- en exploratie- taken zijn makkelijker uit te drukken wanneer de data als een cube gezien worden. Data Cube TV PC VCR sum Product Date 1Qtr 2Qtr 3Qtr 4Qtr sum Ireland France Germany Country sum 43

44 Data Cube - operaties Slice/dice: restricteer verschillende dimensies Roll-up en Drill-down: ga hoger resp. lager in de hierarchie (aggregatie) Pivoteren: construeer draaitabellen Samenvatting: Data exploratie Aantal Summary statistics Een enkel getal dat de data beschrijft (locatie, spreiding, ) Aantal visualisatie technieken 1 attribuut: histogram, box plot 2 attributen: scatter plot Meerdere attributen: matrix plot, parallelle coordinaten, star plots, Chernoff gezichten Online Analytical Processing (OLAP) 44