Examen Verkeerskunde (H01I6A)

Transcriptie

1 Examen Verkeerskunde (H01I6A) Katholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrastructuur atum: vrijdag 31 augustus 2012 Tijd: Instructies: uur Er zijn 3 vragen over het gedeelte van het vak gedoceerd door prof. Immers. e gereserveerde tijd hiervoor is van tot uur en gesloten boek. Er zijn 2 vragen over het gedeelte van het vak gedoceerd door prof. Beeldens. e gereserveerde tijd hiervoor is van tot uur en open boek. e vragen van prof. Beeldens worden apart uitgedeeld. Voor beide examendelen vult u het groene formulier in en krijgt u een ontvangstbewijs. Start de beantwoording van elk van de vragen op een nieuw blad. Schrijf op elk blad uw naam en het nummer van de vraag. Weet u het antwoord niet op een vraag, lever dan een leeg blad in (wel met uw naam en het nummer van de vraag!). e bundel met vragen kunt u behouden. Enige tijd na het examen vindt u op de website van Verkeer en Infrastructuur ( een overzicht van mogelijke oplossingen van de examenvragen. Louter een formule of een getal zijn geen antwoorden: wij willen weten of u het begrijpt. Geef dus kort redenering, motivatie, interpretatie bij een formule of getal. Als u dan een rekenfout maakt, kunnen we nog de redenering belonen! Puntenverdeling gewichten: 2/3 Immers, 1/3 Beeldens. Puntenverdeling deel Immers per vraag: 6, 7, 7 (=20) Puntenverdeling deel Beeldens per vraag: 5, 5 (=10) Vragen prof. Immers Vraag 1. Structuur verkeersmodel a) Het traditionele verkeersmodel bestaat uit een aantal submodellen. Geef in een diagram schematisch de samenhang weer tussen deze submodellen. Vermeld ook de input en output van elk submodel. b) Op welke wijze kunnen de uitkomsten van de verschillende submodellen aan de hand van waarnemingen worden gecontroleerd? c) Is het voldoende de berekeningen in de opeenvolgende submodellen sequentieel en eenmalig uit te voeren, of is het noodzakelijk terugkoppelingen in het berekeningsproces uit te voeren? Indien terugkoppelingen gewenst zijn tussen bepaalde berekeningsstappen, geef aan waar en waarom? d) Met gebruikmaking van het traditionele verkeersprognosemodel willen we de effecten van invoering van een aantal maatregelen berekenen. Hieronder worden deze maatregelen weergegeven. Wij vragen u aan te geven of het verkeersprogonosemodel geschikt is om de effecten van de voorgestelde maatregel te berekenen en uw antwoord te motiveren (indien niet: waarom 1

2 niet; indien wel: geef aan op welke wijze u met het model het effect kunt berekenen). Voorgestelde maatregelen: Uitbreiding van de capaciteit van een belangrijke wegverbinding in het studiegebied Invoering van tol op een brug die onderdeel is van het netwerk Invoering van nieuwe trams die meer comfort bieden dan de bestaande trams e bereikbaarheid van het centrum van de stad voor de auto wordt fors beperkt, wat zijn de gevolge? In het centrum van de stad wordt de woonfunctie versterkt en in samenhang daarmee wordt een deel van de kantoren verplaatst naar de buitenring van de stad, wat zijn de gevolge? Vraag 2. Toedeling en vervoerseconomie Gegeven een netwerk met 2 HB paren, A en B 4 B 1 A 2 e kostfuncties van schakels 1, 2 en 4 zijn respectievelijk, en. e vraag B is vast en gelijk aan 1000 vtg/u. Indien de vraag A =0, verifieert men eenvoudig dat een deterministisch evenwicht tussen B ontstaat bij q 1 =320 vtg/u en q 2 = 680 vtg/u. Echter, in de hierna volgende vragen is vraag A niet vast maar elastisch. a) Als de vraagfunctie Q(t) die de stroom van A weergeeft als functie van de reistijd A, gegeven wordt door en de kostfunctie, bereken dan alle schakelstromen en kosten in een elastisch deterministisch gebruikersevenwicht. b) Zelfde vraag als in a), maar met kostfuncie. c) Zelfde vraag als in a), maar met vraagfunctie en kostfunctie 3 d) Kan je aan de hand van je antwoord uit vraag c) een selected link analyse doen voor schakel 2? Verklaar je antwoord. e) Stel dat we een stochastisch evenwicht willen uitrekenen op dit netwerk (veronderstel de vraag A constant en >0). Schrijf symbolisch de routefracties voor beide HB paren als je mag veronderstellen dat de stoortermen op de utiliteit van de schakelkosten identiek en onafhankelijk Gumbel verdeeld zijn. 2

3 Er is geruit papier beschikbaar voor vraag 3 Vraag 3. Verkeersstroomtheorie: cirkelvormige weg Gegeven: een cirkelvormige weg met een lengte(=omtrek) van m. voertuigen hebben een maximale snelheid van en vertonen allen een identiek volggedrag gekenmerkt door (zoals hiernaast afgebeeld) initieel bevinden er zich voertuigen op het cricuit, met gelijke tussenafstanden neem een willekeurig referentiepunt op het circuit. Op begint een agent op verkeer te doseren zodat er nog 1 voertuig per seconden voorbij rijdt op staakt de agent zijn actie en evolueert het systeem weer spontaan zonder externe beperkingen 3000 m m/s 8 m 26/15 s 10/3 s kies gelijk welke waarde 100 s (>50s is in feite genoeg, maar een grotere waarde rekent handiger) Gevraagd a) Geef het fundamenteel diagram van intensiteit tegen dichtheid en duid daarop alle relevante grootheden aan b) Uiteindelijk zullen lang nadat de agent verdween twee verkeerstoestanden op het circuit stationair blijven ronddraaien. Voorspel zonder - diagram welke deze toestanden zijn en hoeveel lengte die respectievelijk op het circuit innemen (ik wil een eenvoudige redenering zien waaruit blijkt dat je dit zonder - hebt opgelost!) c) Schets het - diagram vanaf tot voldoende lang nadat de agent verdween (zodat het stationair gedrag duidelijk is) d) bonus: teken wat een detector in de stationaire toestand na de ingreep van de agent zou meten als functie van de tijd (snelheid, intensiteit en dichtheid), mochten er initieel voertuigen op het circuit hebben gereden (op te lossen zonder - diagram op te stellen!) 3

4 Vragen prof. Beeldens Examen H01I6a: Verkeerskunde deel Wegenbouwkunde 31 augustus 2012 it deel van het examen bestaat uit twee vragen. Begin uw antwoord voor elke vraag op een nieuw blad. Plaats steeds uw naam en examennummer bovenaan elk blad. Antwoord bondig, maar volledig. Geef uitleg bij uw antwoord, met andere woorden geef ook de gevolgde redenering weer en niet enkel het eindresultaat. VRAAG 1: Wegverharding Op de E40 wil men de pechstrook gebruiken als spitsstrook (open voor verkeer tijdens spitsuren), wat zijn de voorwaarden waaronder dit kan gebeuren? Benader dit alsof je de pechstrook zou moeten dimensioneren. VRAAG 2: Afwatering Wat is het verschil tussen een beton aangelegd met een slipformpaver en beton dat gepompt wordt en met de helikopter behandeld wordt zoals vaak bij industriële buitenverhardingen in beton toegepast wordt? Veel succes! 4

5 Uitwerking Verkeerskunde examen augustus 2012 Vraag 1. Structuur verkeersmodel Zie cursusteksten deel 1: Verkeersmodellen. Het belangrijkste onderdeel is hoofdstuk 2, maar de andere hoofdstukken zijn ook nodig om te weten. Vraag 2. Toedeling en vervoerseconomie 4 B 1 A 2 3 a) Als de vraagfunctie Q(t) die de stroom van A weergeeft als functie van de reistijd A, gegeven wordt door en de kostfunctie, bereken dan alle schakelstromen en kosten in een elastisch deterministisch gebruikersevenwicht. There are three routes from A to with flow (A 4 1 ), (A 4 2 ) and (A 3 ), the total demand. The route costs are respectively, and. You could start by assuming that all routes are used, solve the corresponding equilibrium equations and if flows turn out to be negative, remove routes from the set. However, this is a computationally expensive way to discover unused routes and it will take too much time to solve the problem. It is smarter to first check whether there exist simpler solutions with less routes, and correspondingly simpler sets of equations to solve. Only if this fails, will we be obliged to solve the larger problem. Because in other words: any route exceeding a cost of 20 will cause all demand to be suppressed, so there cannot be a solution with routes having cost >20 being used. Let s thus check what the minimum cost over the various routes is (i.e. cost even before any flow A is loaded). only route 3 will be used 5

6 Check The route 3 is only used for O pair A. find that yields market equilibrium. and now it is easy to The flows on the respective links:,,,,,,, b) Zelfde vraag als in a), maar met kostfuncie Now route 3 has a minimum cost, so route 3 is not used either. Another way to find this is to consider from question a), route 3:, and the flow on which clearly cannot be a solution. The demand is 0 for the O pair A and the flows on the respective link are,,,,,,, c) Zelfde vraag als in a), maar met vraagfunctie en kostfunctie The demand function now does allow flow over all routes having cost <33, as Because, route 3 is not used. An alternative way to see this is to directly substitute into, which gives negative demand. So under the assumption of an empty route 3, demand would even try to be lower than 0, in other words: route 3 does not allow any demand. Without additional load over the other routes, their minimum cost for A would be 20.4, which entered in clearly invokes demand. So there will be a solution with positive demand over the northern routes. As both links 1 and 2 are already in use by O pair B, they will certainly both be used with even a higher load on them. The simplest way to solve the problem now is to consider it as a basic two-route problem. emand from A and B can be combined into a demand function. Cost functions of the routes become: and. Considering that in equilibrium and, one easily finds that 6

7 q 1 =500, q 2 =1400 with. Total demand Q is thus 1900, of which 1000 are, hence 900 are. An alternative way to see this is to consider the given equilibrium loads resulting from as a pre-load on the network for. Then the pre-loaded cost functions become: and with demand function. This again yields a simple set of equations leading to and, from which the same solution as above is calculated. d) Kan je aan de hand van je antwoord uit vraag c) een selected link analyse doen voor schakel 2? Verklaar je antwoord. No, we cannot do a selected-link analyse (analyse the route flows on that link) for Link 2 in that case. The equilibrium only require that the link flows on link 1 and link 2 are respectively 500 veh/hour and 1400 veh/hour, but no additional requirements for the route flows. In the question c), the exact route-flow-based equations are { There are three equations but four variables, so we cannot get the exact value of the four equations but we can only get { Note that there exist some approaches to obtain the link flows by adding other assumptions, such as MEUE (Maximum Entropy User Equilibrium). We refer to Evenwichtstoedeling: routestromen zijn niet éénduidig bepaald on the Section on the lecture book of Verkeersmodellen. However, we did not ask you to calculate this solution as this was not discussed in the lectures this year. f) Stel dat we een stochastisch evenwicht willen uitrekenen op dit netwerk (veronderstel de vraag A constant en >0). Schrijf symbolisch de routefracties voor beide HB paren als je mag veronderstellen dat de stoortermen op de utiliteit van de schakelkosten identiek en onafhankelijk Gumbel verdeeld zijn. * Lecture book Verkeersmodellen Section and Section 8.1.6, Section 8.1.8: Logit model, Nested Logit model and stochastic equilibrium For the route choice probabilities between O pair B, there are two routes with respective one link, so both route costs are independent. In the stochastic equilibrium, the route choices probability may follow a standard logit model. and 7

8 For the route choice probabilities between O pair A, there are three routes. The error terms of the utility functions of switching the links are independent Gumbel distribution but one link (Link 4) is used by two of three routes, so the unity functions of those two routes are not independent. A standard logit model is not suitable here and a nested logit model has to be employed. (Refer to Section 3.7 and 3.8) The route AB1 and AB2 are the lower level, and the probabilities are respectively: { And the probabilities for the upper level are Where { ( ) Vraag 3. Verkeersstroomtheorie: cirkelvormige weg a) Geef het fundamenteel diagram van intensiteit tegen dichtheid en duid daarop alle relevante grootheden aan k q dcap kcap d 60 cap w kv k f w

9 A C 30 60/13 15/7 B 1/100 1/75 1/60 3/50 1/8 b) Uiteindelijk zullen lang nadat de agent verdween twee verkeerstoestanden op get circuit stationair blijven ronddraaien. Voorspel - zonder x-t diagram - welke deze toestanden zijn, en hoeveel lengte die respectievelijk op het circuit innemen. Het aantal voertuigen op het circuit ligt vast. e lengte maal de dichtheid geeft het aantal voertuigen dat op dit circuit rijdt. Er zijn twee toestanden. e vraag is nu welke deze toestanden zijn, en wat hun bijhorende dichtheden zijn. Als de agent lang genoeg blijft staan, ontstaan in het circuit twee toestanden (merk op dat er kortstondig nog een derde toestand k 0 heeft bestaan, die echter snel in de file geabsorbeerd werd): één afwaarts van de agent in vrij verkeer met dichtheid k v, en één opwaarts van de agent in congestie met dichtheid k f. In beide toestanden is de intensiteit 1 voertuig per seconden. Omdat het een cirkel is, moet k v ergens overgaan in k f wat altijd gebeurt in een schokgolf, die hier echter stationair zal zijn aangezien de intensiteit in beide zones gelijk is. Zodra de agent weggaat, zal k f expanderen tot capaciteitssuitstroom met kritische dichtheid k c, zoals altijd als een file oplost (met driehoekig F!). eze kritische toestand kan nooit heel het circuit vullen, want daarvoor is het initiële (subkritische) aantal voertuigen niet groot genoeg. us blijft er naast k c nog een restant aan k v over. Kortom: de voertuigen zijn door de ingreep van de agent herschikt van een initiële dichtheid k 0, naar een verdichte zone k c en een ijlere zone k v die over het circuit blijven cirkelen. e lengte van deze zones vinden we eenvoudig door behoud van voertuig op het circuit: k. L k ( L L ) k L 40 L v v c v v k c L k 1 1 v kc c) Schets het x-t diagram vanaf t 0 tot voldoende lang nadat de agent verdween. 9

10 x L=0 L/2 A C B C C 0 t0 t0+100 t t0+280/3 t /3 d) bonus: teken wat een detector in de stationaire toestand na de ingreep van de agent zou meten als functie van de tijd (snelheid, intensiteit en dichtheid), mochten er initieel voertuigen op het circuit hebben gereden (op te lossen zonder - diagram op te stellen!) e initiële dichtheid is nu overkritisch, dus initiëel heerst er al congestie. e agent maakt die nog wat erger, en lost ze dan weer, waardoor er nu naast de kritische dichtheid een restant file aan k f zal overblijven. Uit behoud van voertuig volgt nu: k. L k ( L L ) 60 f f c f k c L L 60 f m k 3 1 f kc t s w 10

11 k kf kc 50 s 650 s t 11