Notitie Breukmechanica

Ministerie van Verkeer en Waterstaat Directoraat-Generaal Rijkswaterstaat Dienst Weg- en Waterbouwkunde Notitie Breukmechanica 10 Auteur Nummer Datum mvv. ir. M.I. Arbouw EL-N-9S.040 28juni 1998

Inhoudsopgave Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 Breukmechanica 5 Vermoeiing 9 Initiatie en propagatie 9 Kruip en vermoeiing 11 Literatuur. 15

Elastische spanningsverdeling Aangelegde spanning Scheurtip Figuur 1 : Spanningsconcentraties aan een scheurtip Spanningsverdeling na lokaai vioeien CXI Aangelegde spanning Scheurtip Plastische zone Figuur 2 : Spanningsverdeling aan de scheurtip na lokaai vioeien.

Notitie breukmechanica Inleiding Wanneer we een materiaal willen gebruiken in een constructie, moeten we een aantal dingen van dat materiaal weten voordat we het kunnen toepassen. We moeten bijvoorbeeld weten of het materiaal sterk genoeg is om bij de gebmiksspanning te kunnen functioneren en of bijvoorbeeld de hardheid van het materiaal voldoet voor de gevraagde toepassing. Daarvoor meten we eigenschappen als treksterkte en hardheid, meestal bij standaardomstandigheden of bij omstandigheden die aansluiten bij de gevraagde toepassingsomstandigheden. Wanneer er echter een verstoring in de constructie aanwezig is, in de vorm van een gat, een scheur of een scherpe overgang, is karakterisering op basis van deze eigenschappen niet meer voldoende. Als gevolg van de verstoring van de continu'iteit van de constructie zullen rond de verstoring nl. spanningsconcentraties optreden, zoals weergegeven in figuur 1. De spanning is hier lokaal dus hoger dan de spanning in de rest van het materiaal. Wanneer men een constructie ontwerpt, dient men dus rekening te houden met dit soort verstoringen en de spanningconcentraties die ze opleveren om te voorkomen dat een constructie bezwijkt bij een gebmiksspanning die in principe onder de trekspanning ligt. Als gevolg van de concentraties, kan de spanning lokaal nl. wel boven de vloeispanning komen. We verkrijgen dan bijvoorbeeld een situatie zoals weergegeven in figuur 2, waar de spanning aan een oneindig scherpe scheurtip weergegeven is. In principe zou de spanning hier oplopen tot oneindig. Aangezien het materiaal echter een eindige sterkte heeft, zal de spanning in de praktijk maximaal de grootte van de vloeispanning van het materiaal aannemen. In de figuur zien we ook dat voor de scheurtip een zone is waar (plastische) vervorming optreedt, welke wordt aangeduid met plastische zone (in het geval van zeer brosse materialen is er geen sprake van plasticiteit, maar van bezwijken, wat resulteert in een schadezone voor de tip). Aangezien er veel verwarring bestaat over de definitie voor plastisch gedrag e.d., wordt er in deze notitie een indeling gebmikt die goed aansluit met de begrippen zoals deze in de GWW sector worden gehanteerd. Onder plasticiteit wordt het verschijnsel verstaan dat een materiaal gaat vervormen (vloeien) indien een zogeheten vloeispanning wordt overschreden. Vervorming is dus alleen afhankelijk van de hoogte van de spanning en treedt pas op vanaf een bepaalde (vloei)spanning. Deze vervorming is blijvend en kan niet meer teniet worden gedaan. In figuur 3 is voor een metaal aangegeven wat verstaan wordt onder de vloeispanning van een materiaal. Ook is hierin de treksterkte grafisch weergegeven. Voor asfalt geldt dat het elastisch gebied over het algemeen minder goed gedefinieerd is, maar ook hier geldt de vloeispanning als die spanning waar voor het eerst plastische (blijvende) vervorming optreedt. Onder viscositeit wordt het verschijnsel verstaan dat een materiaal gaat vervormen c.q. kruipen indien er gedurende enige tijd een (constante)spanning optreedt. De vervorming is hier afhankelijk van de hoogte van de spanning en van de tijd. Vervorming treedt ook op onder de vloeispanning van het materiaal. In theorie kan door een tegengestelde belasting de vervorming ongedaan worden gemaakt. In een hypothetisch geval zou een zuiver sinusvormige belasting in principe dus niet tot een blijvende visceuze vervorming leiden. In de praktijk zien we vaak slechts het resultant van een van beide processen, nl. een vervormde zone aan de scheurtip en is het moeilijk aan te geven of dit veroorzaakt is door een plastisch of een visceus mechanisme. Het mechanisme is vaak afhankelijk van de aard van het materiaal. We spreken daarom in het hier volgende over een plastische zone, ook als de vervorming het geval 3

Dienst Weg-en Waterbouwkun.de, afdeling Laboratorium Materialen treksterkte vloeispanning ^elastisch Figuur 3 : Trekkromme van een normaal metaal. Aangegeven zijn de ligging van de vloeispanning, treksterkte en de elastische rek Figuur 4 : 3 verschillende belastingswijzen.

Dienst XVeg-en Waterbouwkunde, afdeling Laboratorium Materialen zou zijn van visceuze vloei. Met plastische zone wordt dan dus een vloei- of vervormingszone bedoeld. Bij zeer brosse materialen treedt nauwelijks plastische vervorming op. Wanneer de spanning hier een bepaalde waarde overschrijdt, bezwijkt het materiaal onmiddellijk. Aan de scheurtip betekent dit dat er een zogenaamde schade zone gevormd wordt, waar het materiaal lokaal en vaak op microschaal, bezweken is. Een dergelijke zone is vaak een verzameling kleine scheurtjes. Breukmechanica Bij het ontwerpen van een constructie is het zaak dat we de spanningsconcentraties als gevolg van verstoringen kunnen beschrijven, zodat we er mee rekening kunnen houden. Dit kan met behulp van de breukmechanica. We kunnen onderscheid maken tussen de lineair elastische breukmechanica en de elastische plastische breukmechanica. De lineair elastische breukmechanica (LEFM, Lineair Elastic Fracture Mechanics) wordt toegepast op materialen die lineair elastisch gedrag vertonen. Bij materialen waarbij weinig lineair elastisch gedrag en vaak een zeer grote mate van plastische vervorming optreedt (bijvoorbeeld bij sommige polymeren), wordt gebruik gemaakt van de elastisch plastische breukmechanica, de EPFM. In de LEFM, in de praktijk dus bij een kleine plastische zone, kan de grootte (intensiteit) van het spanningsveld rond de scheurtip beschreven worden met de spanningintensiteitsfactor K, die als volgt is gedefinieerd : waarin : a a f(a/w) = W aangelegde spanning [MPa] de scheurlengte [m] een geometrie factor die corrigeert voor de eindigheid en de afmetingen (geometrie) van het proefstuk [-/-] breedte van het proefstuk [m]. Met de K-waarde kunnen we nu de heersende spanning op een bepaald punt voor de scheurtip of rond een gat berekenen. Wanneer deze spanning groter is dan de vloeispanning van het materiaal, zal het hier dus gaan vervormen (vloeien), doch niet bezwijken. Wanneer we een constructie belasten kunnen we een drietal verschillende belastingswijzen onderscheiden, welke grafisch zijn weergegeven in figuur 4 : Mode I Mode II Mode m The opening mode'. Hierbij wordt de constructie uit elkaar getrokken. Dit is normale (of pure) trek 'The sliding mode'. Hierbij wordt de constructie over of in elkaar geschoven. Dit is een afschuifspanning. 'The tearing mode'. Hierbij wordt de constructie zijdelings uit elkaar geschoven. Dit is een torsie spanning De waarde van K waarbij het materiaal faalt door instabiele scheumitbreiding noemen we de kritische spanningsintensiteitsfactor Ki c. De index I geeft hierbij de belastingsmode aan. Voor

HHt 2a n mu Centre cracked plate: or C = 1 + 0.256 (^) or C = 1-1 ( # )2 Kj = Cav 77 ' 2 1.152 ( r) 2 + 12.200 ( :) 3 w w C = Jsec(^) (Feddersen) (Dixon) & o u U ^J f(-) V W Single edge notched bend specimen (SENS PS T- f( ) - v w' B W' 3( ) 2 [1 99 _ (1 _ X2.15 L W W 9(1 + 2 X 1 - v ) 2 W W Figuur 5 : a : Centraal gescheurde plaat (CCT-proefstuk) met bijbehorende geometriefactoren b : Eenzijdig gekerfd (driepunts)buigproefstuk met bijbehorende geometriefactoren

lineair elastische materialen kan de Ki c beschouwd worden als een materiaal parameter [5]. Er meet dan wel aan bepaalde criteria, zoals het heersen van een zogenaamde plane strain situatie, worden voldaan. Dit resulteert in het opleggen van bepaald minimum afmetingseisen, welke verderop besproken zullen worden. De waarde van Ki c is onafhankelijk van de proefstuk geometrie. Correctie voor verschillende geometrien gebeurt m.b.v. de geometriefactor f(a/w). Onder geometrie wordt verstaan : het geheel van proefstuk vorm, wijze van belasting en vorm van de verstoring. Voorbeelden van twee verschillende geometrien met de bijbehorende geometriefactoren, zijn gegeven in figuur 5. Geometriefactoren worden vaak bepaald m.b.v. eindige elementen berekeningen en zijn te vinden in diverse stress intensity factors handboeken (zoals bijv. Mourakami en Paris & Tada) [1-3]. Doordat de K Ic onafhankelijk is van de geometrie kan met behulp van deze parameter voorspeld worden welke combinaties van aangelegde spanningen en scheurlengtes kritiek zijn. Berekend kan worden welke scheurlengte bij een bepaalde spanning of omgekeerd, welke spanning bij een gegeven scheurlengte, kritiek is. Dus : bij een gegeven Ki c en een gegeven (gebruiks)spanning kan uitgerekend worden wat de maximale kritieke scheurlengte is waarbij het materiaal nog gebruikt kan worden en bij een gegeven scheurlengte (en gegeven Kic) kan berekend worden bij welke aangelegde spanning het materiaal zal bezwijken. Let op : de spanning waarbij het materiaal met een bepaalde scheurlengte bezwijkt is niet gelijk aan de trekspanning van het materiaal! Doordat de K lc voor een bepaald materiaal constant is, zal een andere scheurlengte (of bijv. een verstoring in de vorm van een gat) ook een andere spanning leveren waarbij het materiaal faalt! Voor het bepalen van de K [c van een materiaal bestaan standaard voorschriften, waarin precies beschreven staat onder welke omstandigheden gemeten moet worden en hoe de Ki c uit deze metingen bepaald moet worden [4], Herder werd genoemd dat de Ki c alleen als materiaal parameter gebruikt mag worden als voldaan is aan de plane strain eis. Dit wil zeggen dat er in het proefstuk een driedimensionale spanningstoestand moet heersen als gevolg van de verhindering van dwarscontractie, een zogenaamde plane strain (vlakken rek). Dit resulteert in een aantal afmetingseisen voor het proefstuk. Zoals gezegd wordt de driedimensionale spanningstoestand veroorzaakt doordat het proefstuk in de dikte richting verhinderd wordt in vervorming ( constraint ). De rek in de z-richting is dan dus 0 waardoor er een spanning in deze richting optreedt. Dit kan alleen maar als het materiaal daar een bepaalde minimum dikte heeft (anders wordt dwarscontractie niet verhinderd, c.q. mag deze niet verwaarloosd worden). De afmetingseisen voor het heersen van een plane strain toestand zijn de volgende [5]: a > 2.5 V a y s J B > 2.5 V a y s J W >5.0 'KD2 V a y s J Waarin : a B W Gy S K[ C scheurlengte dikte van het proefstuk breedte van het proefstuk vloeispanning van het materiaal spanningsintensiteitsfactor Aangezien de waarde van K [c bekend moet zijn om de minimum afmetingseisen te kunnen berekenen, wordt vaak in eerste instantie een KJQ bepaald. Over het algemeen wordt dan gebruik gemaakt van een zo dik mogelijk proefstuk. Na bepaling van een eerste experimentele waarde kunnen dan de afmetingseisen berekend worden. Voldoet het proefstuk niet aan de eisen, dan kan op basis van de eerste schatting van de KJQ de juiste proefstukmaat berekend worden. Dit levert in principe zelfs een overschatting van de afmetingen op, omdat het proefstuk in een nietplane strain situatie (dit is een plane stress situatie, waar de spanning in de z-richting 0 is), een 7

240 PLANE STRESS TRANSITIONAL BEHAVIOUR PLANE STRAIN 200 (MPa/m) I^Q 120 80 He 40 10 20 50 ioo SPECIMEN THICKNESS (mm) Figuur 6 : Kritische K als functie van de proefstukdikte. Scheuiiengle, s Aantal wisselingen, N Figuur 7 : Typisch verloop van de scheurlengte als functie van het aantal wisselinaen.

grotere kritische K heeft, zoals te zien in figuur 6 voor een hogesterkte smeedstaal. Met behulp van de juiste afmetingen kan dan de definitieve Ki c uitgerekend worden en daarmee ook de definitieve afmetingseisen. Wanneer er sprake is van een grote plastische vervorming aan de scheurtip, kan er geen gebruik meer gemaakt worden van de K-factor. In dat geval gebruikt men de Elastisch Plastische Breukmechanica. Het spanningsveld wordt dan beschreven aan de hand van de J-integraal of de Crack Opening Displacement (COD). Dit zijn vrij ingewikkelde parameters, die niet zonder meer toegepast kunnen worden. In geval van kleine plastische vervorming, gaan de beide parameters over in de K-factor. Vermoeiing Wanneer bij het ontwerpen van een constructie rekening gehouden wordt met de Ki c van het materiaal, zou deze de gebruiksspanning in principe zonder problemen moeten doorstaan. In de praktijk gebeurt het echter vaak dat een constructie die blootgesteld wordt aan wisselende krachten (en dat geldt voor erg veel constructies) bezwijkt bij een spanning ver onder de trekspanning of onder de kritische spanning die volgt uit de K Ic. Dit verschijnsel noemt men vermoeiing. In vroeger dagen, toen nog weinig over de microstructuur en processen op microschaal bekend was, ging men er vanuit dat een materiaal bij wisselende belasting letterlijk vermoeid raakte en daardoor minder sterk werd, wat resulteerde in bezwijken bij een lagere spanning. Met de komst van het inzicht in processen aan de scheurtip en daarmee het opkomen van de breukmechanica, bleek deze visie niet geheel te kloppen. Het bleek dat bij wisselende belasting kleine imperfecties of scheurtjes in het materiaal uitgroeien, als gevolg van de daar heersende spanningsconcentraties. Door het groter worden van de scheurtjes gaan deze ook sneller groeien (immers de spanningsconcentratie wordt dan hoger) tot een macroscheur zichtbaar wordt. Deze groeit op dezelfde wijze verder, totdat een kritische lengte (bij de heersende spanning) bereikt wordt en de constructie bezwijkt. Vermoeiing is dan dus het uitgroeien van (micro)scheurtjes in een materiaal onder invloed van een niet kritische, wisselende belasting. Merk op het onderscheid met de heersende definitie in de wegenbouw, waarbij zeker voor de initiatiefase (zie volgende alinea), vermoeiing het verlies van stijfheid van het materiaal sec onder invloed van een wisselende belasting is. Dit verlies wordt ook hier in feite veroorzaakt door het vormen van microscheurtjes. In het volgende wordt met vermoeiing bedoeld : scheurgroei onder invloed van een wisselende belasting. Scheurinitiatie en -propagatie In vermoeiingsscheurgroei kunnen we een aantal fasen onderscheiden : een initiatie fase, een propagatie fase en een fase van instabiele scheuruitbreiding. Tijdens de initiatiefase vormen zich microscheurtjes in het materiaal doordat imperfecties, zoals bijv. microholtes of krasjes, gaan groeien onder invloed van de wisselende belasting. Drijvende kracht voor het uitgroeien van deze imperfecties is het vrijkomen van energie als gevolg van het wisselen van de K- waarde aan de scheurtip. Tijdens de propagatiefase groeien deze microscheurtjes verder uit tot zichtbare scheuren die langzaam door het materiaal gaan groeien. Als een kritische scheurlengte is bereikt zal de scheur instabiel worden en het materiaal bezwijkt. De initiatie fase is vaak moeilijk te beschrijven, aangezien bijna elk materiaal wel imperfecties bevat die als scheurinitiator kunnen dienen. Deze imperfecties zijn echter niet regelmatig en vaak zelfs niet zichtbaar, wat de initiatie ondoorzichtig en zeer variabel maakt. In de praktijk van de breukmechanica wordt de initiatiefase vaak buiten beschouwing gelaten omdat men ervan uitgaat dat elk materiaal plekken bevat waar scheurgroei kan starten. Opgemerkt moet worden dat in de asfalt wereld de (vermoeiings)levensduur van een asfalt laag nog steeds gekoppeld c.q. gerelateerd wordt aan de duur van deze initiatie fase. Gezien 9

STRESS. a (T NUMBER OF CYCLES, n Figuur 8 : Grafische voorstelling van Ac, a^n en a ma. x bij een cyclisch signaal n da/dn AK Figuur 9 : Scheurgroeisnelheid als functie van AK, dubbel loganthmisch uitgezet. K^, is de threshold (drempel) waarde van de K, waaronder geen vermoeiingsscheurgroei optreedt.

het onregelmatig oppervlak van een asfaltlaag verdient het aanbeveling om deze filosofie met meet voorzichtigheid toe te passen. Bij het ontwerp verdient het aanbeveling om beperking van scheurgroei als een belangrijk vermoeiingscriterium op te nemen. In de propagatiefase is er sprake van het groeien van een zichtbare scheur. De scheurgroeisnelheid van deze scheur blijkt men te kunnen relateren aan het aantal lastwisselingen en de scheurlengte. Wanneer men de scheurlengte uitzet als functie van het aantal lastherhalingen, wordt een grafiek als in figuur 7 verkregen. We zien hier dat bij grotere scheurlengte het materiaal sneller gaat scheuren. De K-factor blijkt een bepalende waarde hierin te zijn. Dit laatste kan beschreven worden met de Paris-relatie, welke als volgt wordt geformuleerd: d /cln = AAK " Waarin : ^/cin = scheumitbreiding per cycle (scheurgroeisnelheid) AK = spanningsintensiteitstraject ; AK = AaVrta, zie ook figuur 8. A,m = (materiaal)constanten Deze relatie heeft alleen betrekking op de propagatie fase en levert dan op log-log schaal een lineair verband op. Een voorbeeld van een dergelijke Paris-curve is gegeven in figuur 9. Hierbij zijn ook de andere twee fases (I en HI) aangegeven, waarbij duidelijk is dat hier het verband niet lineair is (scheurgroei in fase I is nog op microschaal, maar kan gemeten worden met technieken als Akoestische Emissie of Ultrasoon meten) Kruip en vermoeiing Zoals hierboven beschreven, groeit in het geval van vermoeiing een scheur onder wisselende, niet kritische belasting door het materiaal. In een aantal materialen, waaronder niet in het minst asfalt (en eigenlijk polymeren in het algemeen) kan een materiaal onder zijn kritische spanning echter ook door een ander scheurgroeimechanisme bezwijken. In dat geval is er geen sprake van een wisselende belasting, maar van een constante belasting. Dit verschijnsel noemen we kruipscheurgroei. Ook hierbij groeit dus een scheur in het materiaal uit. Het mechanisme wat eraan ten grondslag ligt, is echter anders. Bij vermoeiing wordt de drijvende kracht voor scheumitbreiding geleverd door het wisselen van de K-waarde aan de scheurtip. In het geval van kruip is de drijvende kracht juist het gelijkblijven van deze waarde. Wanneer een materiaal dat gevoelig is voor kruipscheurgroei (dit is vaak materiaal bepaald) onderworpen wordt aan een cyclische belasting, kan toch kruipscheurgroei optreden in plants van vermoeiingsscheurgroei. Het verschil tussen de mechanismen (op macro-schaal) ligt dan in de frequentie-afhankelijkheid, aangezien de scheurgroeisnelheid voor beide mechanismen wel aan de hand van de K-factor gemodelleerd kan worden. Wanneer er sprake is van een vermoeiingsmechanisme is de scheurgroeisnelheid onafhankelijk van de frequentie. De scheumitbreiding vindt plants per cycle (of wisseling) en is onafhankelijk van de tijdsduur van deze wisseling. 11

Scheurgroeisnelheid wordt dus uitgedrukt in scheuruitbreiding per cycle (da/dn) : Wanneer er sprake is van een kruipmechanisme is de scheurgroeisnelheid wel afhankelijk van de frequentie. Scheuruitbreiding wordt nu bepaald door de tijdsduur dat de belasting aangehouden wordt en de snelheid wordt uitgedrukt in scheuruitbreiding per tijdseenheid (da/dt) volgens het volgende kruipmachtsverband: Bij asfalt lijkt het scheurgroei mechanisme in hoofdzaak bepaald te worden door kruip [6], Echter bij zuivere sinusbelasting blijft de kruip (visceus!) achterwege en bepaalt vermoeiing het mechanisme. Scheurgroei kan in elk geval wel gemodelleerd worden met het Parisverband, maar men moet in de gaten houden dat er in veel gevallen sprake is van frequentie afhankelijkheid en afhankelijkheid van de vorm van het signaal. Om het effect van de frequentieafhankelijkheid te elimineren kan de f gemodelleerd worden in plants van de alleen. Waarin : C,n : (materiaal)constanten voor kruipmachtsverband Er moet echter nog meer onderzoek naar het mechanisme onder verschillende omstandigheden gedaan worden, voordat een eenduidige uitspraak over het scheurgroeigedrag van asfalt gedaan kan worden. 13

Literatuur [1] Tada, H., Paris, P.C., and Irwin, G.R., Thet Stress Analysis of Cracks Handbook, Del Research Corporation (1973): Hellertown, Pennsylvania. [2] Rooke, D.P. and Cartwright, D.J., Compendium of Stress Intensity Factors, Her Majesty s Stationery Office (1976): London. [3] Murakami, Y., Stress Intensity Factors Handbook, Pergamon Press New York (1987). [4] ASTM Designation E399-90, Standard Test Method for Plane-Strain Fracture Toughness of Metallic Materials (1991) [5] Ewalds, H.L. and Wanhill, R.J.H., Fracture Mechanics, Delftse Uitgevers Maatschappij (1993), ISBN 90 6562 024 9. [6] Arbouw, M.I., Vermoeiingsscheurgroei in CCT en SCB proefstukken, afstudeerverslag, TU Delft, oktober 1997. 15