Korte console en tandoplegging

Berekenen en detailleren van betonconstructies () Korte console en tandoplegging ing. A. Middeldorp, ABT BV, Velp/Delft/Antwerpen ir. P. Lagendijk (co-auteur), Aronsohn Constructies raadgevende ingenieurs BV, Rotterdam Consoles moeten relatief grote geconcentreerde lasten (soms horizontaal en excentrisch) afdragen. Door de betrekkelijk geringe afmetingen van consoles moet veel zorg worden besteed aan het detailleren van de wapening. Om tot een goede constructie te komen, moet bij berekening en uitvoering van consoles op een aantal punten worden gelet. Eerst wordt ingegaan op de krachtswerking en vervolgens wordt een aantal ontwerpregels gegeven. Er bestaan andere typen consoles (zoals hangende) die in dit artikel niet worden uitgewerkt, maar waarvan wel de principes worden besproken. Tot slot volgen rekenvoorbeelden van een console en een tandoplegging. Krachtswerking in de console Volgens artikel. van de VBC 1995 is een console een als ligger te beschouwen uitkragend constructie-onderdeel. Indien de theoretische overspanning van een console niet groter is dan tweemaal de totale hoogte, is sprake van een gedrongen ligger. De belasting op de console wordt via een krachtenspel van trek- en drukdiagonalen in de wand of kolom afgevoerd. In figuur zijn twee mogelijke vakwerkanalogieën gegeven. Hetzelfde krachtenspel ontstaat bij eindopleggingen van balken, poeren en wandliggers en bij puntlasten dicht bij randen van een constructie-element. Als de belasting via het oplegmateriaal wordt ingeleid, ontstaat in de console een drukkolom met de afmeting a l ab. Deze drukkolom gaat onder de wapening over in een drukdiagonaal die een hoek α maakt met de wand of kolom. De grootte van α wordt bepaald door de in de VBC voorgeschreven waarde van de inwendige hefboomsarm z (zie ook de toelichting bij art. 8.1.4). De drukdiagonaal uit de console gaat over in een drukkolom aan de dagzijde van de betonwand of kolom en een drukdiagonaal onder een hoek β. De drukkracht in de wand 1 Korte console aan kolom en een tandoplegging a-b Krachtenspel in een gedrongen console (overgenomen uit []) a. a l b. b a b F h d l l cement 004 5 6

Krachtenspel in een hangende console (figuur overgenomen uit []) maakt evenwicht met de resultante uit de verankering en de eventuele bovenbelasting op de wand (fig. a) of de verticale wapening (fig. b). Hangende consoles Bij hangende consoles geldt in principe hetzelfde krachtenspel. De overgang van de verticale belasting uit de drukdiagonaal zal niet naar een drukkolom aan de dagzijde van de wand kunnen worden afgevoerd, maar de belasting wordt door middel van trekwapening aan de dagzijde van de wand naar boven gevoerd, de zogenaamde ophangwapening (fig. ). Uiteraard moet de verankeringslengte van de trekwapening worden berekend, waarbij verankering in een kolom speciale aandacht verdient. Afhankelijk van de grootte van het uitwendig moment, kan een omslag plaatsvinden in het moment in de kolom. Dit betekent dat een groot gedeelte van de trekwapening voor de console zich waarschijnlijk zal bevinden in de gescheurde zone van de kolom. Het verdient daarom aanbeveling de trekwapening voor de console om te zetten in het vlak van de wapening aan de buitenzijde van de kolom. Het uitwendig moment uit de console moet worden meegenomen in de berekening van de kolomwapening. Consoles met excentrische belastingen Bij consoles waar de verticale belasting excentrisch aangrijpt, zal de doorsnede conform artikel 8.5 van de VBC moeten worden gecontroleerd op wringing en dwarskracht. Een rekenvoorbeeld hierover is uitgewerkt in [6]. Aangestorte consoles met een stekkenbak in een dikke wand Een bijzondere situatie ontstaat wanneer een standaard-stekkenbak aansluit op een dikke wand. De verticale wapening aan de buitenzijde van de wand sluit dan niet aan op de wapening van de stekkenbak door de beperkte inbouwdiepte van de stekkenbak. Er zal aanvullende verticale wapening moeten worden toegepast die gedimensioneerd is op een fictieve gereduceerde a 1 a 1 F h d wanddikte (ter grootte van de diepte van de stekkenbak) die het buigend moment opneemt. Handzame dimensioneringsregels Artikel. van de VBC geeft als definitie van een gedrongen ligger: l ov / h. Bij een praktische maat l geldt dus een minimale h (circa 0,5 l ov ) om aan de definitie van een gedrongen ligger te voldoen. Boven een bepaalde hoogte h zal de inwendige hefboomsarm z niet meer toenemen, omdat de maximale hoek van de drukdiagonaal is bereikt. Het heeft dan geen zin grotere afmetingen te kiezen, tenzij dwarskracht maatgevend is. Enkele praktische aanwijzingen bij de berekening. De hoogte van een console kan variëren over de lengte. Dit kan om esthetische en/of praktische redenen het geval zijn. Een praktische reden kan zijn het gemakkelijk ontkisten van bijvoorbeeld een prefab kolom met een console. Bij de berekening van τ d behoeft bij een gedrongen console geen andere hoogte te worden aangehouden dan de hoogte bij de dag van de oplegging. Er moet zich dan wel een drukdiagonaal kunnen vormen. Bij consoles in het vlak van de wand, moet rekening worden gehouden met het tijdstip van belasten van de console. Als de bovenbelasting nog niet aanwezig is, zal kritisch gekeken moeten worden naar de verankering van de wapening. Eventueel moet verticale trekwapening worden aangebracht (vergelijk figuur a en b). De aangenomen trek- en drukstaven in de console moeten aansluiten op het aangenomen krachtenverloop in de dragende constructie. Het verdient aanbeveling om de oplegplaat niet te klein te kiezen. De grootte van de oplegplaat heeft invloed op de grootte van de drukdiagonaal. De bovengrens van het draagvermogen van de console wordt bepaald door de betonspanning in de drukdiagonaal. In de rekenregels van de VBC heeft geen expliciete toets van de drukdiagonaal plaats. De afmeting van de oplegplaat heeft via de term k λ in art. 8...1 wel invloed op de grootte van de opneembare dwarskracht. Als ontwerprichtlijn kan worden aanhouden [7]: opleglengte: a l 0,5 l oplegbreedte: a b 0,67 l afstand voorzijde oplegplaat tot voorzijde console minimaal 50 mm. Aanduidingen a l en a b verschillen van de VBC. Voor notaties zie figuur. 64 cement 004 5

Voorbeeldberekening console l ov h 600 = - - = 15, 400 4 Geometrie van een korte console Gegevens (fig. 4) staalsoort : FeB 500 geribd : hoofdwapening Ø1 : beugels Ø8 sterkteklasse beton : B 5 milieuklasse : veiligheidsklasse : (γ g = 1, en γ q =1,5) belastingen = 1, 100 + 1,5 60 = 10 kn = 1,5 15 =,5 kn : g rep = 100 kn en q rep = 60 kn : F h rep = 15 kn (bijvoorbeeld remkrachten of temperatuursinvloeden) Er is geen excentrische belasting op de console. Bepaling hoofdbuigwapening Eerst moet worden getoetst of het een gedrongen ligger betreft (artikel 8.1.4 VBC). Er moet gelden: l ov / h Hierin is l ov = a binnen de dag a = afstand tussen resultante van de belasting en een punt gelegen op 1 a 1 L 1 h b 4 4 binnen de rand van de constructie a b = breedte van het lastvlak (hier 00 mm = a l ) L = totale lengte van de console h = de hoogte van de console l = de overspanning; voor een console geldt l = a 0,5 a b = 0,5 00 = 100 mm 1 4 400 = 100 mm 1 4 400 = 100 mm a = 100 + 100 + (00/) = 00 mm. Hieruit volgt : l ov = 00 = 600 mm, h = 400 mm F h 100 00 100 zijaanzicht 400 40 0 40 400 400 vooraanzicht Conclusie: de console is gedrongen. Bepaling inwendige hefboomsarm z Volgens artikel 8.1.4. van de VBC bedraagt z voor consoles: z = 0, l + 0,4 h 0,8 l z = 0, 0,6 + 0,4 0,4 = 0,8 m 0,48 m (akkoord) z = 80 mm Wapening voor de verticale belasting M d = a = 10 0, = 6 knm. Benodigde wapening: M d = M u en M u = fs z (artikel 8.1.4. VBC 1995) Wapening voor de horizontale belasting M u 6 10 6 = - - - = - - = 518 mm z 45 80, 5 10 = - - - = - - = 5 mm 45 = 518 + 5 = 570 mm Kies Ø16 = 60 mm Opmerking: een extra moment, dat ontstaat als gevolg van de excentriciteit van de horizontale belasting, wordt verwaarloosd. Dit moment is groot: (dekking c + 1 / Ø hoofdwapening). In dit geval geeft dit 6 mm meer wapening. Een alternatief voor de wapening kan zijn: 5 Ø1. Dit houdt in: = 565 mm Toetsing scheurvorming Aan de hand van artikel 8.7. van de VBC (volledig ontwikkeld scheurpatroon) kan men de staafafstand en/of de maximale staafdiameter toetsen. Voldaan moet worden aan één van beide eisen: k 1 ξ ξ - - - o 100 ( -- 1), k σs Voor milieuklasse geldt: k 1 = 750 en k = 750 (zie tabel 8 van de VBC) Eerst wordt de aanwezige staalspanning berekend. cement 004 5 65

Door de verticale belasting: Door de horizontale belasting: = = 84 + 5 = 09 N/mm Er moet nu aan één van de volgende voorwaarden worden voldaan: kenmiddellijn: 750 1 - - 1, 1 mm 09 of staafafstand: 750 1 s 100 - - 1, = 09 Voor s geldt 400/ = 1 mm De gekozen wapening voldoet niet aan deze voorwaarden. Bij toepassen van 5 Ø1 wordt de staalspanning: = 0 + 7 = 0 N/mm. kenmiddellijn: Hieraan wordt niet voldaan. Of s 100 F rep F d F rep aanw ben - - - - - 45 aanw 160 518 = - - - - - 45 = 84 N/mm 10 60 15000 = - - = - - = 5 N/mm 60 750 1 - - = 11, mm 0 11 mm 750 1 - - 1, = 97 mm 0 s = 400/5 = 80 mm. Hieraan wordt voldaan. Conclusie De in eerste instantie gekozen wapening van Ø16 voldoet niet aan de scheurwijdte-eisen. Daarom wordt gekozen voor 5 Ø1. Toetsing verankeringslengte volgens art. 9.6. VBC Verankering in de wand Middellijn wapening is Ø1 en milieuklasse is van toepassing. Hieruit volgt voor de betondekking: c = 0 + 8 = 8 mm (tabel 44 VBC). Bij sterkteklasse B 5 is de rekenwaarde van de betondruksterkte f b = 15 N/mm. Voor de verankeringslengte van bovenstaven geldt (voor enkele bovenstaven maximaal Ø 5) volgens tabel 50 van de VBC: l v = 1,5 l vo l vo = α 1 Ø k α 1 = 0,40 (1-0,1 c/ø k ) 0,4 (geribd staal) α 1 = 0,40 (1-0,1 8/1) = 0,7 l vo = 0,7 1 - - f' b 45 - - = 64 mm 15 l v = 1,5 64 = 455 mm Omdat de toegepaste wapening hier vrijwel gelijk is aan de rekenkundig benodigde wapening, is er geen sprake van een gereduceerde verankeringslengte l vr. De verankering begint vanaf 100 mm van de dagmaat van het betonelement. De verankering aan de voorzijde: De staven worden omgebogen met een buigstraal van,5 Ø k =,5 1 mm = 0 mm (artikel 9.5.1. VBC 1995). De kendiameter is kleiner dan Ø16 dus kan een toets volgens artikel 9.6.. achterwege blijven. Er moet gelden: l v = l 1 + l = 455 mm Hierin is: l 1 = 00 0 = 170 mm Benodigde waarde voor l : 455 170 = 85 mm (fig.5). Conclusie: l v is kleiner dan de mogelijk toe te passen verankeringslengte. De staaf (met een middellijn < 16 mm) kan dus goed verankerd worden. 66 cement 004 5

k h = 16, 04, = 1, 5 Verankering van de staaf l = 455 v 100 l = 170 1 100 aanw 100 565 ω 0 = - - = - - = 05, b d 400 400 l = 85 = 04, 115, 566, 1, 05, = 0, N/mm Aangezien er ook een horizontale trekkracht op werkt zal de doorsnede volgens artikel 8... verlaagd moeten worden met: τ n = 05, σ bmd Toetsing dwarskracht Bij het toetsen op dwarskracht hoort onlosmakelijk het bepalen of eventuele dwarskrachtwapening volgens VBC 8.. nodig is. b = 400 mm d = h = 400 mm (volgens artikel 8.1.4) V d = 10 000 N τ d V d 10 10 = - - = - - = 11, N/ mm > 046, N/mm b d 400 400 De optredende schuifspanning is groter dan de minimale. Voor gedrongen liggers mag worden verhoogd. In dit voorbeeld: 500 τ n = 05, - - - = 007, N/mm 400 400 =,0-0,07 =,1 > 1,1 Omdat > τ d is dwarskrachtwapening niet noodzakelijk. Praktisch worden 4 beugels Ø8 toegepast. Opmerking: volgens artikel 9.11.4. moet 10% van de hoofdbuigwapening worden toegepast als horizontale wapening. = 0,1 565 = 57 mm per zijvlak. Kies praktisch: haarspelden Ø8. ( = 100 mm ) Bepaling uiterst opneembare schuifspanning Volgens artikel 8.. VBC bepalen we de uiterst opneembare schuifspanning als volgt: = 04, f b k λ k h ω 0 04f, b λ v M d max 6 = - - = - - = 075, d V d max 04, 10 g λ = 1 + λ v = 1 + 0, 75 = 156, A 0 = 00 0 mm (A 0 = oppervlakte van het minimaal aanwezige lastvlak. In dit geval is de ondersteuning niet maatgevend.) 1 1 00 0 k λ = - -- - - = - - - - - - = 566, b d 156, 400 400 g λ A 0 cement 004 5 67

A 40 80 40 0 40 drukdiagonaal 0 40 F h ophangwapening 40 400 0 400 A 0 zijaanzicht doorsnede A-A 6 Geometrie van het voorbeeld en krachtswerking in de tand Voorbeeldberekening tandoplegging Het gekozen voorbeeld wordt vaak toegepast. In figuur 6 zijn de geometrie van de tandoplegging en het schema van de krachtswerking weergegeven. Gegevens staalsoort : FeB 500 geribd : hoofdwapening Ø1 : beugels Ø8 sterkteklasse beton : B 5 milieuklasse : veiligheidsklasse : (γ g = 1, en γ q = 1,5) belastingen : g rep = 100 kn en q rep = 60 kn F h rep = 15 kn (bijvoorbeeld remkrachten of temperatuur) = 1, 100 + 1,5 60 = 10 kn = 1,5 15 =,5 kn Er is geen excentrische belasting op de tand. Volgens artikel 9.11.7.. moet de tand worden uitgerekend als een console. Bepaling hoofdbuigwapening a b = 00 mm L = 80 mm h = 40 mm Ook hier geldt weer dat a de afstand is tussen de resultante van de belasting en een punt binnen de dag, gelegen op 1 / a b > 1 /4 L > 1 /4 h 1 / a b = 1 / 00= 100 mm > 1 /4 80 = 95 mm > 1 /4 40 = 85 mm a = 0 + 85 = 05 mm. Verder is l = l ov = 05 = 610 mm, h = 400 mm l ov /h = 610/40 = 1,79. Hieruit blijkt: de oplegtand is gedrongen. Bepaling inwendige hefboomsarm z z = 0, l + 0,4 h 0,8 l = 0,58 m < 0,488 m z = 0, 0,61 + 0,4 0,4 z = 58 mm (akkoord) M d = a = 10 0,05 = 64,1 knm. Wapening voor de verticale belasting: Benodigde wapening: M d = M u M u = A fs s z Wapening voor de horizontale belasting M u 64, 1 10 6 = - - = - - = 570 mm z 45 58, 5 10 = - - = - - = 5 mm 45 ben = 570 + 5 = 6 mm. Kies 6 Ø1 = 678 mm Een alternatief is 4 Ø16 ( = 804 mm ) Toetsing scheurvorming volgens VBC 8.7. k 1 ξ < - - - o k ξ 100 1, - - σ s Voor milieuklasse geldt: k 1 = 750 en k = 750 (zie tabel 8 van de VBC 1995) 68 cement 004 5

Door de verticale belasting is: 160 6 = - - - - - 45 = 04 N/mm 10 678 Door de horizontale belasting is = 04 + = 6 N/mm. Aan één van de volgende voorwaarden moet worden voldaan: - kendiameter: 750 1 - - - = 11, 5 mm (voorwaarde A) 6 - staafafstand: 750 1 s 100 - - - 1, = 6 (voorwaarde B) De gekozen wapening voldoet niet aan voorwaarde A, maar wel aan voorwaarde B. s = 400/6 = 67 mm 100 mm Conclusie: de gekozen wapening van 6 Ø1 voldoet aan de scheurwijdte-eisen. z = 58 = F rep - - - - - 45 F d F rep 15000 = - - - = - - - = N/mm 678 aanw ben aanw a = 05 ophangwapening Krachten in het vakwerkmodel Voor de krachtswerking in het vakwerkmodel (fig. 7) wordt het volgende aangehouden: Uit figuur 7 is af te leiden dat de kracht in de ophangwapening gelijk is aan de verticale belasting. De hoek van de drukdiagonaal volgt uit: tan θ = 58/05, zodat θ = 40, Bepaling ophangwapening Gekozen wordt voor beugels Ø1 ( = 11 mm = 678 mm ). Volgens artikel 9.11.7.. van de VBC 1995 is ophangwapening noodzakelijk in een gebied ter breedte van: B = h cot.θ = 40 cot.40, = 40 mm. Toegepast worden beugels h.o.h. 150 mm. De beugels moeten worden geplaatst voorbij de buigstraal van de hoofdwapening, maar wel zo dicht mogelijk bij het verticale betonoppervlak (zie ook fig. 6). Uit ervaring blijkt dat bij toepassing van enkel rechte staven door grote dekkingen en buigstralen in de keeldoorsnede, een grote zone van het beton ongewapend blijft met (grote) scheurvorming tot gevolg. Het verdient daarom aanbeveling altijd diagonale wapening toe te passen als aangegeven in figuur 6. Toetsing dwarskracht Het bepalen van de schuifspanning volgens 8.. gaat als volgt: b = 400 mm d = h = 40 mm V d = 10 000 N τ d Minimale = 0,4 1,15 = 0,46 N/mm Bepaling uiterst opneembare schuifspanning volgens artikel 8.. VBC verloopt overeenkomstig als bij de console. λ v -- g λ 10 10 = - - = - - - = 48 mm 45 V d 10 10 = - - - = - -= 154, N/mm > 046, N/mm b d 400 40 M d max 64,1 = - - = - - = 089, > 0,6 d V d max 04, 10 = 1 + λ v = 1 + 0, 89 = 180, A 0 = 00 0 mm 7 Krachtswerking in het vakwerkmodel cement 004 5 69

1 1 00 0 k λ = - - - - = - - - - - = 518, b d 180, 400 40 g λ A 0 k h = 1,6 0,4 = 1,6 100 aanw 100 678 ω 0 = - - = - - = 050, b d 400 40 = 04, 115, 518, 16, 050, = 8, N/mm Ook hier volgt reductie als gevolg van de horizontale trekkracht. In dit voorbeeld: 500 τ n = 05, - - - = 008, N /mm 400 40 =,8 0,08 =, > 1,54 Omdat > τ d is dwarskrachtwapening niet noodzakelijk. Praktische keuze 4 beugels Ø8 mm. = 0,1 678 = 68 mm per zijvlak. Praktisch wordt gekozen voor haarspelden Ø8 ( =100 mm ). Toetsing verankeringslengte volgens VBC 9.6. De bepaling van de verankeringslengte van de trekwapening van de tand is overeenkomstig het voorbeeld van de console. Literatuur 1. Leonard, F., Vorlesungen über Massivbau, deel III hoofdstuk 1.. Sagel, R. en A.J. van Dongen, Constructieleer Gewapend Beton. Stichting ENCI Media, s-hertogenbosch, 000.. Bruggeling, A.S.G., Theorie en Praktijk van het gewapend beton, deel. 4. Boom, G.H. van, en J.W.Kamerling, Construeren in gewapend beton, deel. 5. NEN 670, VBC 1995 bijgewerkt december 001. 6. De VBC in de praktijk. Betonvereniging, Gouda, 1995. 7. Toepoel, L. Cement 1984 nr. 6 Artikel IV, console van gewapend beton. Opmerking: volgens artikel 9.11.4.. moet 10% van de hoofdbuigwapening worden toegepast als horizontale wapening. 70 cement 004 5