Rekentoetswijzer 2F, voortgezet onderwijs, veldraadpleging maart 2011 Voorwoord De rekentoetswijzer en de bijbehorende voorbeeldtoets stellen docenten in staat zich een beeld te vormen van wat er in de rekentoetsen rekenen 2F voor het voortgezet onderwijs (vmbo) wel en niet gevraagd kan worden. De rekentoetsen vo worden voor het eerst afgenomen in schooljaar 2013/14. De aspecten die de afname van de toetsen betreffen, zoals protocollen voor de afname, regels voor aanpassingen voor kandidaten met een handicap, regels voor omzetten van scores in cijfers en dergelijke, worden in opdracht van het College voor Examens (CvE) bij regeling vastgesteld. Betrokkenen worden hierover tijdig, via een ander medium dan de toetswijzer, geïnformeerd. Wat is een rekentoetswijzer? De rekentoetswijzer 2F vormt het kader voor de eisen die in de rekentoets(en) voor het vmbo gesteld worden, geformuleerd in termen van kennen en kunnen. Referentieniveau 2F is opgenomen in het Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen (27 april 2010), zoals vastgesteld na een advies van de expertgroep doorlopende leerlijnen Taal en Rekenen, ook wel de commissie Meijerink genoemd. Het referentiekader 2F rekenen is als bijlage bij deze rekentoetswijzer opgenomen. In deze rekentoetswijzer wordt beschreven hoe de (sub)domeinen uit het referentiekader rekenen 2F kunnen voorkomen in de rekentoetsen die zullen worden gemaakt door leerlingen in het vmbo. Aan de rekentoetswijzer is een voorbeeldtoets toegevoegd die weergeeft hoe een rekentoets 2F in het centraal examen vmbo er ongeveer uit zou kunnen zien. De rekentoets 2F in het centraal examen vmbo Een rekentoets 2F wordt afgenomen in alle niveaus van het vmbo, dus zowel BB, KB als GL/TL. De rekentoets 2F is onderdeel van het centraal examen vmbo. De rekentoets wordt geconstrueerd met inachtneming van de uitgangspunten uit deze rekentoetswijzer, maar niet alles uit de toetswijzer zal in elke toets voorkomen. Het College voor Examens (CvE) is verantwoordelijk voor de centrale examens in het voorgezet onderwijs en stelt ook de rekentoets 2F vast. De domeinen waaruit opgaven worden geconstrueerd zijn alle vier de domeinen van het referentiekader rekenen: Getallen, Verhoudingen Meten/Meetkunde en Verbanden. Veel van de opgaven, met name als ze betrekking hebben op functioneel gebruik, zullen meer dan één domein betreffen. 1
Uitgangspunten bij de constructie van een rekentoets 2F Algemeen Deze toetswijzer heeft betrekking op referentieniveau 2F, algemeen maatschappelijk niveau. Hierbij moet worden bedacht dat niveau 2F, voor 16-jarigen, voortbouwt op het fundamentele niveau 1F dat aan het einde van de basisschool moet zijn bereikt en dat in het vervolgonderwijs is onderhouden. Niveau 2F wordt beschouwd als het niveau dat alle Nederlanders zouden moeten beheersen om op het gebied van rekenen maatschappelijk goed te kunnen functioneren. De aandacht voor functioneel gebruiken staat centraal in het spoor 1F 2F 3F dat door leerlingen in vmbo (en aansluitend mbo) zal worden gevolgd. Het spoor 1S 2S 3S (streefniveau) leidt naar aansluiting bij wiskunde en andere vakgebieden. Aanbeveling 6.9 bij het rapport Meijerink stelt: Alle leerlingen (in het vmbo) moeten minimaal het basale referentieniveau 2F (burgerschapsniveau bereiken, wat kan worden gerealiseerd door ze minimaal het rekendomein uit het vmboexamenprogramma wiskunde vmbo KB te laten volgen. De rekentoets wordt digitaal aangeboden en is geheel computerscoorbaar. Het taalgebruik dat gehanteerd wordt voor de vragen uit de rekentoets is afgestemd op de groep leerlingen voor wie de toets bestemd is. Minder gangbare begrippen kunnen worden verduidelijkt in woorden dan wel met geschikt beeldmateriaal. Voorkennis Bij referentieniveau 1F, dat aan het eind van de basisschool wordt bereikt door leerlingen die verdergaan in de richting vmbo en mbo, gaat het onder andere om de beheersing van een groot aantal basistechnieken. Daarom wordt in de rekentoets 2F een aantal rekenvragen van het type 25 : 2,5 =. opgenomen die toetsen of de basistechnieken inderdaad nog beheerst worden. (Zie ook de vragen 1 t/m 10 van de voorbeeldtoets). Deze vragen voldoen aan de criteria die vermeld staan in referentieniveau 1F. Bij het beantwoorden van deze vragen is het gebruik van een rekenmachine niet toegestaan. Naar schatting 15% - 20% van de score kan behaald worden met het juist beantwoorden van dit type vragen. Er worden geen vragen gesteld die toetsen of een specifieke rekenprocedure wordt beheerst. van de rekenvaardigheden Omdat functioneel gebruik van rekenvaardigheden bij niveau 2F centraal staat, zullen de overige vragen uit de toets gesteld worden binnen een bepaalde situatie. Zie hiervoor de vragen 11 t/m 30 uit de voorbeeldtoets. Deze opgaven vereisen dat de kandidaat ook domeinoverstijgende vaardigheden uit deze rekentoetswijzer kan hanteren om het antwoord te vinden. Een (eenvoudige) rekenmachine is digitaal beschikbaar voor het beantwoorden van deze vragen, ook bij opgaven die zonder rekenmachine kunnen worden opgelost. Dit gebeurt om geen aanwijzing te geven betreffende het gebruik ervan. Van de kandidaten wordt verwacht dat ze zelf een keuze 2
kunnen maken tussen hoofdrekenen, een (eigen) rekenprocedure gebruiken of de rekenmachine inzetten. Domeinoverstijgende vaardigheden In het referentiekader is elk referentieniveau uitgewerkt voor de vier domeinen: Getallen, Verhoudingen, Meten en meetkunde, Verbanden. Complexere situaties bestaan echter zelden uit een enkel domein. Domeinoverstijgende vaardigheden hebben betrekking op het proces van het oplossen van een probleem met inzet van bij het betreffende niveau behorende rekenkennis en vaardigheden. De volgende domeinoverstijgende vaardigheden worden daarom getoetst in relatie tot de in de referentieniveaus genoemde vaardigheden. 1. Relevante gegevens uit een situatie identificeren. 2. De gegevens weergeven in een geschikte representatie (bijvoorbeeld tekening, tabel, grafiek) of in een geschikt rekenmodel. 3. De noodzakelijke vaardigheden toepassen om een gewenst resultaat te verkrijgen. 4. De resultaten interpreteren in termen van de situatie. Voor functioneel rekenen is het een belangrijke vaardigheid om zelf de situatie te kunnen vertalen naar een rekenkundig probleem. Om vervolgens het probleem op te lossen zullen vaak meerdere denk- en rekenstappen nodig zijn. Dat betekent dat de verschillende vaardigheden, zoals genoemd bij referentieniveau 2F, meestal in onderlinge samenhang getoetst zullen worden. Zie als voorbeeld de opgave perengelei (vraag 25 in de voorbeeldtoets). Leerlingen moeten eerst de informatie vinden die nodig is voor het beantwoorden van de vraag. Het rekenwerk is tamelijk simpel. Lengte en tijdsduur van de toets Voor het maken van de toets is 90 minuten beschikbaar. Toegestane hulpmiddelen Leerlingen mogen tijdens de gehele toets een kladblaadje en pen/potlood gebruiken. Het gebruikte kladpapier moet na afloop ingeleverd worden. Een (eigen) rekenmachine mag niet gebruikt worden. Voor het deel van de vragen waarbij het gebruik van een rekenmachine is toegestaan, zal een digitale rekenmachine beschikbaar zijn. Geodriehoek en/of liniaal zijn niet nodig. Waar deze gebruikt moeten worden zijn ze beschikbaar via een (digitale) applicatie. Verdeling over de domeinen De vragen die gesteld worden, zijn verdeeld over de domeinen die in de referentieniveaus worden genoemd, namelijk Getallen, Verhoudingen, Meten/Meetkunde en Verbanden aangevuld met de domeinoverstijgende vaardigheden. Een globale indicatie van de verdeling is ongeveer 30% voor Getallen, 30% voor Verhoudingen, 20% voor Meten/Meetkunde en 20% voor Verbanden. 3
Binnen het domein meten/meetkunde heeft het onderdeel meten een grotere plaats dan het onderdeel meetkunde. Contextloze opgaven De rekentoets bevat een gedeelte met contextloze ( kale ) opgaven. Onder een contextloze vraag wordt elke vraag verstaan die uitsluitend bestaat uit een rekenkundig probleem waarbij een direct antwoord past. Daarom hoort de vraag bereken 19% van 14,45 niet bij de contextloze vragen omdat de leerling bij een antwoord in euro s ook nog moet bedenken dat het antwoord moet worden afgerond op 2 decimalen. De contextloze opgaven dienen zonder gebruik van een rekenmachine te worden beantwoord. Het niveau van deze opgaven beperkt zich tot referentieniveau 1F. De kandidaat kan hoofdbewerkingen op papier of uit het hoofd uitvoeren met eenvoudige gehele getallen en decimale getallen. (Zie bijvoorbeeld vraag 9 uit de voorbeeldtoets) een getal afronden op een gegeven aantal decimalen. (Zie bijvoorbeeld vraag 8 uit de voorbeeldtoets) eenvoudige breuken omzetten in decimale getallen. (Zie bijvoorbeeld vraag 10 uit de voorbeeldtoets) rekenen met eenvoudige percentages. (Zie bijvoorbeeld vraag 4 uit de voorbeeldtoets) Bovenstaande lijst is niet uitputtend. De berekeningen die nodig zijn voor dit type opgaven kunnen uitgevoerd worden door toepassing van een 'handig reken'-strategie. Toepassing van een cijferprocedure is mogelijk maar niet strikt noodzakelijk. 4
Toelichting per domein Voor een uitgebreide beschrijving, ook van de eisen die voor het bereiken van referentieniveau 1F worden gesteld, wordt verwezen naar de eerder genoemde Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen (27 april 2010) 1. Getallen Verstand hebben van getallen en ermee kunnen werken is een noodzakelijke voorwaarde om te kunnen functioneren in de maatschappij en in de meeste beroepen. Getallen zullen zich meestal voordoen als aantallen of maten (grootheden); denk aan tijd, geld, getallen op displays en meetinstrumenten, op verpakkingen en gebruiksaanwijzingen etc. Er is overlap met onderdelen uit andere domeinen, in alle domeinen worden immers berekeningen uitgevoerd. De kandidaat kent en gebruikt de notatie en betekenis van gehele getallen, decimale getallen en breuken. Hij/zij kan getallen met elkaar in verband brengen en kan ermee rekenen. De kandidaat kan (handig) rekenen in alledaagse situaties en daarbij schattingen maken over hoeveelheden. getalnotaties met miljoen en miljard gebruiken en eenvoudige berekeningen met getallen in dergelijke notaties uitvoeren. aantallen, hoeveelheden en maten (weergegeven als gehele of decimale getallen) met elkaar in verband brengen, vergelijken, ordenen en plaatsen op een schaal. negatieve getallen ordenen en vergelijken. Alleen in zinvolle situaties en met eenvoudige getallen negatieve getallen optellen en aftrekken. het resultaat van een berekening afronden in overeenstemming met de situatie. bewerkingen (onder andere optellen, aftrekken, vermenigvuldigen delen, machtsverheffen en worteltrekken) al dan niet met de rekenmachine uitvoeren en waar nodig haakjes gebruiken. bewerkingen met breuken en procenten uitvoeren al dan niet met de rekenmachine en waar nodig het resultaat noteren als een afgerond getal. 1 www.taalenrekenen.nl. Zie ook de publicaties Een nadere beschouwing. Over de drempels met taal en rekenen (SLO 2009) en Concretisering 2F en 2S (SLO 2010). 5
Verhoudingen Veel toepassingsproblemen uit beroep en maatschappij hebben betrekking op het domein verhoudingen. Hierbij hoort ook het werken met procenten en het gebruiken van de samenhang tussen verhoudingen, procenten en breuken. De kandidaat kent en gebruikt de schrijfwijze, taal en betekenis van procenten, breuken en verhoudingen en kan verhoudingen, procenten, breuken en decimale getallen in elkaar omzetten. De kandidaat kan in betekenisvolle situaties de taal van verhoudingen herkennen en gebruiken. rekenen met samengestelde grootheden zoals km/u rekenen met percentages het begrip schaal gebruiken in berekeningen en de schaalnotatie herkennen en gebruiken. rekenen met verhoudingen, onder andere het vergelijken van verhoudingen. Meten/meetkunde Dit domein kent twee onderscheiden subdomeinen: meten en meetkunde. In functionele situaties in maatschappij en beroep zijn vaardigheden uit dit domein van groot belang. Voorbeelden van vaardigheden uit deze (sub)domeinen zijn het aflezen van schalen van meetinstrumenten, maateenheden gebruiken en voorkomende maten omrekenen, oriëntatie in de ruimte, interpreteren van aanzichten, plattegronden en werktekeningen en werken met lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd en geld etc. De kandidaat kan hierbij gangbare maten en (eigen) referentiematen gebruiken afmetingen bepalen met afpassen, schaal en berekening; passende maateenheden en voorvoegsels gebruiken. (Berekeningen met de stelling van Pythagoras worden hier niet toe gerekend.) routes beschrijven en lezen eenvoudige problemen oplossen die te maken hebben met grootheden zoals geld en tijd, lengte, oppervlakte en inhoud veel voorkomende (standaard)maten vergelijken, in elkaar omzetten en ordenen maten aflezen uit (werk)tekeningen, plattegronden. 6
gangbare meetkundige termen en begrippen gebruiken, zoals plaatsaanduidingen met alledaagse coördinaten (rij 7 stoel 5); hoeken of richtingen; afstanden; namen van vormen zoals bol, cilinder, vierkant, cirkel; termen als evenwijdig, haaks, horizontaal etc.) kennen en gebruiken om vormen, voorwerpen, plaatsen in de ruimte en routes te beschrijven. rekenen met gangbare maten voor bijvoorbeeld lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd temperatuur, geld en snelheid afmetingen zoals: afstand, lengte, hoogte, omtrek, oppervlakte en inhoud schatten of berekenen en aan elkaar relateren in betekenisvolle situaties oppervlakte en omtrek berekenen van 2D-figuren, eventueel met behulp van een (gegeven) formule of rekenregel. Verbanden Dit domein gaat over het omgaan met tabellen, grafieken, formules en vuistregels. In het dagelijks leven, in beroepssituaties en in de media komen met name tabellen en grafieken veelvuldig voor. Dat geldt in mindere mate voor vuistregels en (woord)formules. De kandidaat kan numerieke informatie uit diverse soorten tabellen, diagrammen en grafieken analyseren, interpreteren en gebruiken; de kandidaat begrijpt vuistregels en alledaagse formules horend bij specifieke situaties en kan er eenvoudige berekeningen mee uitvoeren. De kandidaat kan hierbij in betekenisvolle situaties gegevens overzichtelijk in een tabel weergeven eenvoudige regelmaat in een tabel herkennen en beschrijven in woorden en woordformules. op een kritische manier diverse soorten diagrammen en grafieken lezen en interpreteren, eventueel misleidende informatie herkennen. Het verloop van een grafiek beschrijven, interpreteren en het snijpunt van twee grafieken en van een grafiek met de coördinaatassen interpreteren. betekenis beschrijven van variabelen in een (woord)formule waarden in een formule of vuistregel invullen en de waarde van de ontbrekende variabele berekenen. Opmerkingen 1. Bij het laatste punt is ook begrepen het 'terugrekenen' van een formule. 2. Een lineair of een exponentieel verband herkennen aan zijn formule en de vorm van zijn grafiek noemen zal niet gevraagd worden binnen de rekentoetsen. 7
Bijlage: referentieniveau 2F Getallen A Notatie, taal en betekenis Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties Wiskundetaal gebruiken schrijfwijze negatieve getallen: -3 C, -150 m symbolen zoals < en > gebruiken gebruik van wortelteken, machten getalnotaties met miljoen, miljard: er zijn 60 miljard euromunten geslagen getallen relateren aan situaties; Ik loop ongeveer 4 km/u, Nederland heeft ongeveer 16 miljoen, inwoners 3576 AP is een postcode, Hectometerpaaltje 78,, 0,543 op bonnetje is gewicht, 300 Mb vrij geheugen nodig B Met elkaar in verband brengen Getallen en getalrelaties Structuur en samenhang negatieve getallen plaatsen in getalsysteem getallen met elkaar vergelijken, bijvoorbeeld met een getallenlijn: historische tijdlijn, 400 v. Chr-2000 na Chr. situaties vertalen naar een bewerking: 350 blikjes nodig, ze zijn verpakt per 6 afronden op mooie getallen: 4862 m 3 gas is ongeveer 5000 m 3 binnen een situatie het resultaat van een berekening op juistheid controleren: totaal betaald aan huur per jaar 43,683. Klopt dat wel? C Gebruiken Berekeningen uitvoeren met gehele getallen, breuken en decimale getallen negatieve getallen in berekeningen gebruiken: 3 5 = 3 + -5 = -5 + 3 haakjes gebruiken met een rekenmachine breuken, procenten, machten en wortels berekenen of benaderen als eindige decimale getallen schatten van een uitkomst resultaat van een berekening afronden in overeenstemming met de gegeven situatie bij berekeningen een passend rekenmodel of de rekenmachine kiezen berekeningen en redeneringen verifiëren NB. 2F omvat de inhouden van 1F, 8
Verhoudingen A Notatie, taal en betekenis Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties Wiskundetaal gebruiken een kwart van 260 leerlingen kan worden geschreven als 1 / 4 260 of als 260 / 4 formele schrijfwijze 1 : 100 bij schaal herkennen 1 op de 5 Nederlanders is hetzelfde als een vijfde deel van alle Nederlanders notatie van breuken, decimale getallen en procenten herkennen en gebruiken B Met elkaar in verband brengen Verhouding, procent, breuk, decimaal getal, deling, deel van met elkaar in verband brengen eenvoudige stambreuken ( 1 / 2, 1 / 4, 1 / 10..), decimale getallen ( 0,50; 0,25; 0,10), percentages (50%, 25%, 10%) en verhoudingen (1 op de 2, 1 op de 4, 1 op de 10) in elkaar omzetten. met een rekenmachine breuken en procenten berekenen of benaderen als eindige decimale getallen C Gebruiken In de context van verhoudingen berekeningen uitvoeren, ook met procenten en verhoudingen rekenen met samengestelde grootheden (km/u, m/s en dergelijke): Een auto rijdt 50 km/u. Welke afstand wordt in 2 seconden afgelegd? bepalen op welke (eenvoudige) schaal iets getekend is, als enkele maten gegeven zijn uitvoeren procentberekeningen: Inkoopprijs is 75,-. Wat wordt de prijs inclusief btw? Verhoudingen met elkaar vergelijken en daartoe een passend rekenmodel kiezen, bijvoorbeeld verhoudingstabel: Welk sap bevat naar verhouding meer vitamine C? vergroting als toepassing van verhoudingen: Een foto wordt met een kopieermachine 50% vergroot. Hoe veranderen lengte en breedte van de foto? Waarom mag je soms percentages bij elkaar optellen bij berekeningen? NB. 2F omvat de inhouden van 1F, 9
Meten en Meetkunde A Notatie, taal en betekenis Maten voor lengte, oppervlakte, inhoud en gewicht, temperatuur Tijd en geld Meetinstrumenten Schrijfwijze en betekenis van meetkundige symbolen en relaties 1 ton is 1000 kg; 1 ton is 100.000 voorvoegsels van maten: megabyte, gigagbyte symbool voor rechte hoek, evenwijdig, loodrecht, haaks, bouwtekening lezen, tuininrichting namen vlakke figuren: vierkant, ruit, parallellogram, rechthoek, cirkel namen van ruimtelijke figuren cilinder, piramide, bol: een schoorsteen heeft ongeveer de vorm van een cilinder allerlei schalen (ook in beroepsituaties) aflezen en interpreteren: kilometerteller, weegschaal, duimstok situaties beschrijven met woorden, door middel van meetkundige figuren, met coördinaten, via (wind) richting, hoeken en afstanden; routebeschrijving geven, locatie in magazijn opgeven, vorm gebouw beschrijven eenvoudige werktekeningen interpreteren; montagetekening kast, plattegrond eigen huis B Met elkaar in verband brengen Meetinstrumenten gebruiken Structuur en samenhang tussen maateenheden Verschillende representaties, 2D en 3D structuur en samenhang belangrijke maten uit metriek stelsel; interpreteren en bewerken van 2D representaties van 3D objecten en andersom (aanzichten, uitslagen, doorsneden, kijklijnen). aflezen van maten uit een (werk) tekening, plattegrond, werktekening eigen tuin; samenhang tussen omtrek, oppervlakte en inhoud (hoe verandert de inhoud van een doos als alleen de lengte wordt gewijzigd, als alle maten evenveel vergroot worden?); tekenen van figuren en maken van (werk)tekeningen en daarbij passer, liniaal en geodriehoek gebruiken. uit voorstellingen en beschrijvingen conclusies trekken over objecten en hun plaats in de ruimte (hoe ziet een gebouw eruit?); samenhang tussen straal r en diameter d van een cirkel (in sommige beroepen wordt vooral met diameter (doorsnede) gewerkt). C Gebruiken Meten Rekenen in de meetkunde schattingen en metingen doen van hoeken, lengten en oppervlakten van objecten in de ruimte: een etage in een flatgebouw is ongeveer 3 m hoog; oppervlakte en omtrek van enkele 2D figuren berekenen, eventueel met gegeven formule; een rond terras voor 4 personen moet minstens diameter 3 m hebben. (Is een terras van 9 m 2 geschikt?); inhoud berekenen. juiste maat kiezen in gegeven context: Zand koop je per kuub (m 3 ), melk per liter. 10
redeneren op basis van symmetrie (regelmatige patronen) randen, versieringen eigenschappen van 2D figuren NB. 2F omvat de inhouden van 1F, 11
Verbanden A Notatie, taal en betekenis Analyseren en interpreteren van informatie uit tabellen, grafische voorstellingen en beschrijvingen Veel voorkomende diagrammen en grafieken beschrijven van verloop van een grafiek met termen als stijgend, dalend, steeds herhalend, minimum, maximum; snijpunt (twee rechte lijnen, snijpunten met de assen) negatieve en andere dan gehele coördinaten in een assenstelsel op een kritische manier lezen en interpreteren van verschillende soorten diagrammen en grafieken eventuele misleidende informatie herkennen, bijvoorbeeld door indeling assen, vorm van de grafiek etc. betekenis van variabelen in een (woord)formule B Met elkaar in verband brengen Verschillende voorstellingsvormen met elkaar in verband brengen Gegevens verzamelen, ordenen en weergeven Patronen beschrijven grafiek tekenen bij informatie of tabel regelmatigheden in een tabel beschrijven met woorden, grafieken en eenvoudige (woord)formules: Door elk winkelwagentje dat aan de rij wordt toegevoegd, wordt die rij 40 cm langer. uit het verloop, de vorm en de plaats van punten in een grafiek conclusies trekken over de bijbehorende situatie: De verkoop neemt steeds sneller toe. uit de vorm van een formule conclusies trekken over het verloop van de bijbehorende grafiek (alleen lineair en exponentieel): De grafiek die hoort bij lengte stok = 5 + 0,7 lengte persoon (Nordic Walking) is een rechte lijn. C Gebruiken Tabellen, diagrammen en grafieken gebruiken bij het oplossen van problemen Rekenvaardigheden gebruiken in een (woord) formule een variabele vervangen door een getal en de waarde van de andere variabele berekenen formules herkennen als vuistregel of als rekenvoorschrift en omgekeerd: Een mijl is ongeveer anderhalve kilometer; aantal mijlen 1,5 aantal km kwantitatieve informatie uit tabellen, diagrammen en grafieken gebruiken om berekeningen uit te voeren en conclusies te trekken: vergelijkingen tussen producten maken op basis van informatie in tabellen. overzicht van (evenredige) groei NB. 2F omvat de inhouden van 1F 12