Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. ls bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. ls er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-05-a-6--o eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige plaatsen: middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. riehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pthagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken: hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. irkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek. Goniometrie + = + sin( t) + sin( u ) = sin t+ u ( ) cos t u ( ) = sin( t) sin( u) = sin t u ( ) cos t+ u ( ) + = cos( t) + cos( u ) = cos t+ u ( ) cos t u ( ) = + cos( t) cos( u ) = sin t+ u ( ) sin t u ( ) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) VW-05-a-6--o / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
VW-05-a-6--o 3 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
Kettinglijn e functie f is gegeven door f( ) = e + e +. In figuur is de grafiek van f, een zogenaamde kettinglijn, op het domein [0,6] getekend. Punt T is het laagste punt van de grafiek en punt is het gemeenschappelijke punt van de grafiek met de -as. e -coördinaat van T is ongeveer,4. 4p ereken eact de waarde van de -coördinaat van T. figuur T f 6 an twee verticale palen met bevestigingspunten en is een fleibele, niet elastische kabel opgehangen. oor het eigen gewicht hangt de kabel in de vorm van een kettinglijn. In figuur is deze situatie in een assenstelsel getekend. e -as valt samen met de grond. e getekende kettinglijn is de grafiek van de functie f op het domein [0,6]. figuur e kabel schiet los bij punt. 5p nderzoek of de loshangende kabel de grond raakt. 6 VW-05-a-6--o 4 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
In figuur 3 zijn de grafiek van de functie f en de parabool door met top T getekend. In deze figuur is te zien dat de parabool de kettinglijn aanvankelijk goed benadert, maar dat voor grotere waarden van de benadering minder goed wordt. Van de parabool door met top T kan een vergelijking van de vorm = a( b) + c worden opgesteld. 6p 3 ereken de waarde van waarvoor het (verticale) hoogteverschil tussen de kettinglijn en deze parabool gelijk is aan. Rond je antwoord af op één decimaal. figuur 3 T kettinglijn parabool 6 VW-05-a-6--o 5 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
utomotor In een automotor wordt de op- en neergaande beweging van een zuiger via een drijfstang omgezet in een draaiende beweging. In figuur zijn twee standen getekend. In de eerste stand beweegt de zuiger omlaag en in de tweede stand omhoog. figuur cilinder zuiger cilinder In figuur zijn vier standen schematisch getekend. is een vast punt, beweegt verticaal over en draait over een cirkel met straal en middelpunt waarbij een vaste lengte 4 heeft. e grootte van hoek (in radialen) noemen we α. Punt E is de loodrechte projectie van op lijn. drijfstang figuur 4 E α E α E E α Punt beweegt op en neer tussen zijn hoogste punt ( α= 0 en α= π) en zijn laagste punt (α =π). e afstand van tot noemen we s. s hangt af van α. Er geldt: s = 5 cos( α) 6 sin (α), met 0 α π. 5p 4 ewijs dit voor de meest linkse van de in figuur getekende standen (dus voor 0 <α< π). VW-05-a-6--o 6 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
In de techniek wordt s soms benaderd met behulp van de formule z = cos( α)+ sin (α). 8 m te onderzoeken of de formule z = cos( α) + sin 8 (α) een goede benadering voor s geeft, wordt het maimale verschil tussen s en z berekend. 3p 5 ereken in drie decimalen nauwkeurig dit maimale verschil. Zowel in als in is de snelheid van de zuiger gelijk aan 0. Tijdens de beweging wordt voor een waarde van α, met 0 <α<π, de maimale zuigersnelheid bereikt. 4p 6 Stel een formule voor de afgeleide van z op en bereken hiermee de maimale zuigersnelheid. Rond je antwoord af op twee decimalen. VW-05-a-6--o 7 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
mgeschreven cirkel Punt M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de scherphoekige driehoek. p deze cirkel ligt punt zo dat straal M zijde in punt E loodrecht snijdt. Zie figuur. eze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. 4p 7 ewijs dat de bissectrice van hoek is. figuur M E In figuur is de omgeschreven cirkel getekend van een andere driehoek. p deze cirkel met middelpunt M liggen de punten H, en Z. figuur Voor driehoek geldt: ligt zodanig op de cirkel dat M loodrecht staat op ; H is het snijpunt van het verlengde van de hoogtelijn vanuit met de cirkel; Z is het snijpunt van de lijn door en het snijpunt E van M en met de cirkel. H M Z 4p 8 Teken driehoek in de figuur op de uitwerkbijlage. Licht je werkwijze toe. VW-05-a-6--o 8 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
Raaklijnen aan twee parabolen Gegeven zijn de twee parabolen met vergelijkingen = + 3 en =. Er zijn twee lijnen die aan beide parabolen raken. eze twee raaklijnen snijden elkaar in het punt dat midden tussen de toppen van de beide parabolen ligt. Zie de figuur. figuur 6p 9 Stel met behulp van eacte berekeningen van beide raaklijnen een vergelijking op. VW-05-a-6--o 9 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
Vierkant bij een grafiek e functie f is gegeven door f( ) 6 =. figuur Van vierkant liggen de hoekpunten en op de -as en het hoekpunt op de grafiek van f. Zie figuur. e -coördinaten van en noemen we respectievelijk a en b, met 0 < a< b. e 6 coördinaten van zijn dan ( a, ) a. f Voor a = ontstaat het vierkant met zijde 6. V is het deel van dit vierkant dat zich boven de grafiek bevindt. Vlakdeel V wordt gewenteld om de -as. 5p 0 ereken eact de inhoud van het bijbehorende omwentelingslichaam. In figuur zijn enkele mogelijke situaties voor vierkant getekend. figuur f f f b = 3,3 b =,53 b = 5,06 ij de getekende situaties is de afstand van punt tot de oorsprong aangegeven. eze afstand b hangt af van a, de -coördinaat van. ls a vanaf 0 toeneemt, neemt b eerst af en vervolgens weer toe. Er is dus een waarde van a waarvoor b minimaal is. 5p ruk b uit in a en bereken vervolgens eact deze minimale waarde van b. VW-05-a-6--o 0 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
Snelheid op een baan Voor 0 t π is de baan van het punt P gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ( t) = sin( t) + sin( t) t () = cos() t In de figuur is de baan van P weergegeven. figuur p t = 0 bevindt P zich in het hoogste punt (0,) van de baan. p t =π bevindt P zich in het laagste punt (0, ) van de baan. Tussen t = 0 en t =π snijdt de baan de -as één keer in het punt. e snelheid van P op tijdstip t is d d + dt dt. 7p ereken eact de snelheid van P in punt. VW-05-a-6--o / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
riehoek met dubbele hoek Gegeven is een driehoek, waarbij hoek twee keer zo groot is als hoek. Het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van driehoek ligt binnen deze driehoek. Middellijn E snijdt zijde in punt. Zie figuur. Figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur γ E M γ 4p 3 ewijs dat driehoek gelijkbenig is. VW-05-a-6--o / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
In figuur is opnieuw de driehoek getekend met zijn omgeschreven cirkel. e lijn door evenwijdig met zijde snijdt de cirkel behalve in ook in punt F. Lijn l raakt de cirkel in F. e hoek tussen l en lijnstuk F is α en de hoek tussen l en lijnstuk F is β. Figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur l F β α γ γ 5p 4 ewijs dat l evenwijdig is aan. VW-05-a-6--o 3 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
e kromme van gnesi e functie f is gegeven door f( ) = +. e grafiek van deze functie is onder andere bestudeerd door de Italiaanse wiskundige Maria gnesi (78-799). In figuur is de grafiek van f weergegeven. e top van de grafiek is (0,). ok is voor een zekere waarde van p, met 0 < p <, de lijn met vergelijking = p weergegeven. eze lijn snijdt de grafiek van f in twee punten en. figuur f = p e lengte van lijnstuk is p. 3p 5 ewijs dit. In figuur zijn opnieuw de grafiek van f en de lijn met vergelijking = p, met 0 < p <, weergegeven. ok is de lijn met vergelijking = p weergegeven. eze lijn snijdt de grafiek van f in twee punten en. figuur f = p = p Er geldt: = 4 4p 6 ewijs dit. VW-05-a-6--o 4 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).
e grafiek van f a ontstaat uit de grafiek van f door twee transformaties: een vermenigvuldiging van de grafiek van f ten opzichte van de -as met een positieve factor a en vervolgens een vermenigvuldiging van de zo verkregen grafiek ten opzichte van de -as met dezelfde factor a. 3p 7 Stel een functievoorschrift op voor f a. Schrijf je antwoord als één breuk. einde VW-05-a-6--o 5 / 5 lees verder eschikbaar gesteld door Stichting Studiebegeleiding Leiden (SSL).