The Nieuwe Wiskrant ( New Mathpaper )

Transcriptie

1 28e JAARGANG NR. 1 september 2008

2 De Nieuwe Wiskrant Tijdschrift voor Nederlands Wiskundeonderwijs is een publicatie van het Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education. De Nieuwe Wiskrant verschijnt viermaal per schooljaar, in een omvang van minstens 40 pagina s, en bericht over ontwikkelingen in het wiskundeonderwijs; het zwaartepunt ligt bij het voortgezet onderwijs. Artikelen Artikelen worden bij voorkeur digitaal ontvangen, vergezeld van een afdruk op papier en eventuele illustraties van een zo goed mogelijke kwaliteit. Het redactieadres is: Freudenthal Instituut, t.a.v. Nathalie Kuijpers Postbus 9432, 3506 GK Utrecht, tel fax , Homepage Nieuwe Wiskrant Abonnementen De abonnementsprijs voor 2008/2009 bedraagt 24,-. Studentenabonnementen 17,50 (onder overlegging kopie collegekaart). Collectief abonnement 15,- per abonnement bij minimale afname van 20 stuks. Losse nummers 7,50 exclusief verzending. Abonneren kan uitsluitend schriftelijk of via . Betaling pas na ontvangst van de acceptgirokaart. Abonnementen lopen van augustus tot augustus en worden zonder tegenbericht verlengd. Opzeggingen dienen vóór 1 juli schriftelijk te worden doorgegeven. The Nieuwe Wiskrant ( New Mathpaper ) is published four times a year by the Freudenthal Institute for Science and Mathematics education. It reports on developments in Mathematics Education, more in particular in secondary education. Articles Articles should be sent to: Freudenthal Institute attn. Nathalie Kuijpers P.O. Box 9432, 3506 GK Utrecht the Netherlands Subscriptions Subscriptions should be sent to the publisher: Freudenthal Institute Utrecht University P.O. Box GK Utrecht the Netherlands The annual subscription rate is 34,-. International banking details/internationale betalingsgegevens: IBAN: NL79 PSTB BIC: PSTBNL21 o.v.v. Nieuwe Wiskrant Ledenadministratie Wil Hofman-de Ruiter Advertenties Het is mogelijk een advertentie in de Nieuwe Wiskrant te plaatsen. Tarieven op aanvraag bij het redactieadres. Bureauredactie Nathalie Kuijpers ISSN: Drukwerk Wilco, Amersfoort 2008 Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht Faculteit Bètawetenschappen, Departement Wiskunde Niets in deze uitgave mag zonder schriftelijke toestemming van de uitgever worden overgenomen of verveelvoudigd. Redactie Tom Goris en Lidy Wesker Leesredactie Rijkje Dekker, Paul Drijvers, Aad Goddijn, Frank van den Heuvel Gerard Koolstra, Martha Witterholt, André Zegers

3 TIJDSCHRIFT VOOR NEDERLANDS WISKUNDE ONDERWIJS 28e JAARGANG NUMMER 1 INHOUD september 2008 H. van Dissel & S. de Vries J. Heijn & J. Krüger M. Kindt P. Vaandrager T. Lecluse N. Oosterling P.W.H. Lemmens A. Zaal P. Drijvers E. van Winsen S. Wepster Inhoudsopgave 2 Over het laatste nieuws 3 Wielen spaken 4 Wiskunde in NLT 10 Wat te bewijzen is (42) 15 Het nieuwe schoolbord 18 De geschiedenis van een opgave 20 DisWis 24 Alternatieve Euclidesachtige bewijzen voor de existentie van oneindig veel priemgetallen 29 Wiskunde D geeft leerlingen a beautiful mind 31 Tests en tools: technologie in landelijke eindexamens 35 De grafische rekenmachine en algebraïsche vaardigheden 40 Van Ceulens veelhoeken en veeltermen 43 Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education Bij de omslag (foto: Tom Ellen Goris): Wissink): Wiskunde Voordat (ver)licht jullie mij op beschuldigen straat. van sluikreclame voor de natuurkunde: ik vind het niet erg om theoretische natuurkunde even als toegepaste wiskunde te labelen,

4 Inhoudsopgave Wielen spaken 4 H. van Dissel & S. de Vries Toegepaste wiskunde kom je niet zelden op verrassende plaatsen tegen, zoals in het clubblad van de Norton Club Nederland: de Unapproachable. Motorliefhebber en oudleraar Autotechniek en Werktuigbouwkunde Sieb de Vries rekent voor hoe je de lengte van spaken kunt berekenen, mocht je de ambitie hebben een wiel helemaal zelf te spaken. Hans van Dissel legt vervolgens uit hoe je te werk gaat. Wiskunde in NLT 10 J. Heijn & J. Krüger Vanaf augustus 2007 kunnen scholen het interdisciplinaire examenvak natuur, leven en technologie (NLT) aanbieden. Wiskunde is een van de deelnemende vakken in NLT. Josien Heijn en Jenneke Krüger laten iets zien van de plaats van wiskunde in dit jonge vak, zowel in de ontwikkeling als in het lesmateriaal en de (mogelijke) rol van wiskundedocenten in ontwikkeling en uitvoering. Mogelijkheden voor afstemming met wiskunde D worden aangestipt. Wat te bewijzen is (42) 15 M. Kindt In reactie op een door lezers gevonden fout in aflevering 40 van deze rubriek weidt Martin Kindt uit over Pythagorese drietallen. Het nieuwe schoolbord 18 P. Vaandrager Je ziet ze steeds meer, de digitale schoolborden. Maar kun je die borden ook goed inzetten bij wiskundelessen? Die vraag kun je het beste laten beantwoorden door iemand die er zelf heel enthousiast over is. Naast wiskundedocent is Peter Vaandrager ook trainer voor het gebruik van deze borden. De geschiedenis van een opgave 20 T. Lecluse Soms begint het leren pas ná de toets. Dat overkwam Ton Lecluse bij het nakijken van een toets van zijn leerlingen. Uitgaande van de opgave (die hij zelf bedacht had) doken er nog meer vraagstellingen op, en antwoorden die niet helemaal bleken te kloppen, maar daardoor juist weer stof tot verder denken opleverden. DisWis 24 N. Oosterling DisWis was het initiatief van Lex Schrijver om wiskunde populairder te maken in het voortgezet onderwijs. Onderwijsbureau De Praktijk ontwerpt de modulen in samenwerking met docenten; wiskundestudenten gaan de klas in om de lessen te verzorgen. Zo is DisWis het ultieme win-winproject. Niels Oosterling, een van de uitvoerende studenten, bericht. Alternatieve Euclidesachtige bewijzen voor de existentie van oneindig veel priemgetallen 29 P.W.H. Lemmens Laten zien dat er oneindig veel priemgetallen zijn, is niet zo moeilijk. Maar daarmee héb je ze nog niet. Piet Lemmens laat zien hoe je bij een gegeven verzameling priemgetallen nieuwe kunt genereren. Wiskunde D geeft leerlingen a beautiful mind 31 A. Zaal Een van de eerste onderwerpen waar een econometrist in zijn studie mee te maken krijgt, is het Nash-evenwicht. Met behulp van speltheorie is dit Nash-evenwicht inzichtelijk te maken. Arjan Zaal laat zien dat, in het kader van wiskunde D, deze boeiende wiskunde ook voor het voortgezet onderwijs toegankelijk is. Tests en tools: technologie in landelijke eindexamens 35 P. Drijvers In 1994 schreef Paul Drijvers een artikel in de Wiskrant over het gebruik van ICT bij eindexamens in het buitenland. In het licht van de programmaherzieningen in Nederland vraagt hij zich af hoe de situatie vandaag de dag is en wat er sindsdien is veranderd. In dit artikel worden landelijke strategieën in kaart gebracht en worden enkele voorbeeldopgaven bekeken. De conclusie is dat ICT-gebruik in examens meer is toegestaan, maar dat het ontwerpen van geschikte toetsopgaven niet meevalt. De grafische rekenmachine en algebraïsche vaardigheden 40 E. van Winsen Het gebruik van een grafische rekenmachine hoeft niet te leiden tot minder algebraïsche vaardigheden. Het kan juist aanleiding zijn tot een oefening in deze vaardigheden. Het staat en valt met het stellen van de juiste vragen. Epi van Winsen laat zien welke vragen dat zijn. Van Ceulens veelhoeken en veeltermen 43 S. Wepster Ludolph van Ceulen, rekenmeester. Naast het berekenen van decimalen van π heeft hij zich ook beziggehouden met het berekenen van zijden van regelmatige n-hoeken. En hoe. Steven Wepster bericht vol respect. 2 Inhoudsopgave

5 Over het laatste nieuws Wat een geluksvogels zijn de docenten die wiskunde D mogen geven! Is het niet prachtig om leerlingen les te geven die wiskunde leuk vinden? De manier waarop je deze leerlingen wiskunde laat ervaren, staat niet voorgeschreven en zelfs de verplichte onderdelen zijn tot een minimum te beperken. Hoe anders was dat bij de invoering van wiskunde D. Tijdens de introductie waren er maar heel beperkt verplichte eindtermen, maar de wiskundedocenten hebben destijds in groten getale gevraagd om meer houvast. Die houvast is gegeven door meer verplichtingen en de methodeschrijvers hebben mooie wiskunde D-boeken geschreven. Dat betekent dat je je kunt houden aan wat de boeken voorschrijven, maar je kunt ook kiezen voor de vrijheid die er toch nog steeds in het programma zit. Het samenwerkingsmodel geeft bijvoorbeeld de mogelijkheid om in samenwerking met hogescholen, universiteiten en bedrijven wiskunde in de praktijk te zien. Door voor dit model te kiezen, vallen verplichte eindtermen uit het schoolmodel af, waardoor er meer vrije ruimte ontstaat om samen met de leerlingen het wiskundige pad op te gaan. Maar ook in het schoolmodel is er sprake van keuzeonderwerpen en keuzes tussen eindtermen. Op dit moment lijkt het erop alsof veel docenten toch gaan genieten van de vrijheid die wiskunde D hen en hun leerlingen biedt. Er wordt veel buiten het boek gewerkt, of zelfs helemaal zonder. De roep om houvast bij wiskunde D is nu gelukkig achterhaald, we maken er zelf een nog veel rijker programma van. Wiskunde C kan ook een mooi wiskundevak worden, als de staatssecretaris niet al te veel luistert naar de roep om alleen maar meer algebra. In Leeuwarden is de conferentie Bridges gehouden. Op die conferentie komen wiskunde, kunst, muziek, architectuur en wetenschap samen. Wiskunde C op wetenschappelijk niveau, zeg maar. Nieuwsgierig? Zie en de komende Wiskranten. Wiskunde C en D vragen beide om een aanpak waarin de schoonheid van wiskunde aan de orde komt. Wiskunde A en B kunnen daar niet bij achterblijven. De grootste groep leerlingen volgt wiskunde A of B. Het kan niet zo zijn dat we in 2013 deze grote groep alleen de basiswiskunde laten zien. Laten we ervoor waken dat de staatssecretaris haar handtekening gaat zetten onder een programma met alleen algebra. Het algebragedeelte is in de vernieuwde tweede fase meer dan voldoende, dat hoeft echt niet meer te worden ten koste van de echte wiskunde. Dirk Siersma, voorzitter van de commissie ctwo, heeft in zijn afscheidsrede onderstaande visie op wiskundeonderwijs uiteengezet: Nieuwe onderwijsprogramma s dienen tot stand te komen in samenspraak met vakdeskundigen, leraren en vakdidactici, die elk vanuit hun achtergrond een inbreng hebben. Wij zitten nu in Nederland in een uniek vernieuwingsproces voor wiskundeonderwijs, waarbij de betrokkenen op basis van gelijkwaardigheid bij elkaar aan tafel zitten in de commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (ctwo). Deze commissie werd ingesteld door het zogenaamde Voorzittersoverleg Wiskunde en kreeg kort daarna de opdracht van de Minister van Onderwijs om ondermeer een samenhangend eindexamenprogramma wiskunde voor HAVO en VWO te maken (Wiskunde A, B, C en D). De commissie, waarvan ik de eer heb om voorzitter te zijn was verre van homogeen. Aan tegenstrijdige standpunten dus geen gebrek, met name in het begin van de rit. Door duidelijk naar elkaar te luisteren en zich te willen verdiepen in het standpunt van de ander kon men tenslotte komen tot een gemeenschappelijke visie en uitwerking in de vorm van (concept) examenprogramma s. Werkelijk een uniek proces in Nederland. Dit is de enige manier om tot een goed resultaat te komen! Zoals bij velen van u bekend, is dit nog niet het einde van het verhaal. Er zijn ernstige stoorzenders, die goed bedoeld, maar uitgaande van eenzijdige opdracht of invalshoek en soms onjuiste interpretatie op een aantal punten andere accenten wensen. De discussie is opgelaaid en kent een duidelijke polarisatie, waarbij in eerste instantie kleine verschillen van inzicht worden uitvergroot. Het is erg makkelijk om kritiek te hebben. Iets anders is het om een samenhangend programma te maken, dat voldoet aan de eerder genoemde reële doorstroomeisen, onderwijsbaarheid en samenhang. Er is nu tijd om alles nog eens te bezien en in experimenten uit te proberen. Tenslotte komt alles wel op zijn pootjes terecht. Vergeet niet dat het hier gaat om programma s die pas vanaf 2013 in de vierde klas worden ingevoerd. Bij een dergelijke discussie verdwijnen andere belangrijke punten naar de achtergrond. Zo is de omvang van het vak wiskunde op HAVO en VWO voor aanstaande bètastudenten de afgelopen jaren verminderd en lager dan in vele andere landen. Wil men een voldoende breed scala van wiskundeonderwerpen met een verantwoord begrip- en beheersingsniveau op HAVO en VWO dan dient het aantal contacturen wiskunde te worden uitgebreid. Ook is het van groot belang om de doorgaande leerlijn te benadrukken. Die begint al met vierjarigen in de basisschool. Het gaat er steeds om inzicht en vaardigheden te koppelen, maar ook om de band te leggen met de wereld om ons heen. Dit moet in samenhang meer aandacht krijgen in het onderwijs en dat is iets heel anders dan de discussie realistisch rekenonderwijs versus algoritmen oefenen. Tom Goris, Lidy Wesker Nieuwe Wiskrant 28-1/september

6 Toegepaste wiskunde kom je niet zelden op verrassende plaatsen tegen. Bijvoorbeeld in het clubblad van de Norton Club Nederland: de Unapproachable. Motorliefhebber en oud-leraar Autotechniek en Werktuigbouwkunde Sieb de Vries rekent voor hoe je de lengte van spaken kunt berekenen, mocht je de ambitie hebben een wiel helemaal zelf te spaken. Hans van Dissel legt vervolgens uit hoe je te werk gaat. Wielen spaken Bepalen van de spaaklengte Voor het berekenen van de spaaklengte is enig inzicht in de wiskunde noodzakelijk. Maar vandaag de dag is het mogelijk om de spaaklengte met een eenvoudige rekenmachine te berekenen. Dus schrik nu niet van de afleiding van de formule voor het berekenen van de spaaklengte, want aan het einde van het verhaal is het voor een ieder mogelijk om de lengte van een spaak voor iedere naaf, velg en vlechtpatroon uit te rekenen. Velgen zijn er in iedere maat en uitvoering, maar wij werken alleen met het Westwood velgpatroon, omdat dit voor dit onderwerp het eenvoudigst is. Men moet zich er wel rekenschap van geven dat velgprofielen zijn vastgelegd in normbladen, evenals hun afmetingen. Deze normbladen kan men verkrijgen bij de Hoofdcommissie voor de Normalisatie in Nederland. Voor het afdrukken van deze bladen moet men toestemming vragen, hetgeen wij dus niet doen omdat dit een prijskaartje met zich meebrengt, hetgeen mijns inziens niet nodig is. Westwood velgprofiel schouderdiameter velgbed diameter velgbed schouder kraal draagt de band, met andere woorden: de hiel van de band rust op de schouder. De schouderdiameter is daarom ook van belang voor de maat van de te monteren band. Er zijn namelijk bandentabellen waarin de diameter van schouders vermeld wordt, alsmede de omtrek hiervan. Bezitten wij zo n tabel niet, dan is het zaak om de schouderdiameter van de velg te meten en deze met π te vermenigvuldigen, waardoor we de schouderomtrek van de velg krijgen. Evenzo nemen we de gemiddelde diameter van de band. Let wel: dit is de diameter van de hiel die bij montage rust op de schouders van de velg. Corresponderen deze twee maten, dan heeft u de juiste velg bij de juiste band wat betreft de diameter. Want ook de breedte van de velg is bepalend voor de band of omgekeerd. Advies is dus: zoekt u een band bij een bepaalde velg, neem dan een rolmaat mee met millimeter- en inch-aanduiding en een meetlint (centimeter) om de omtrek van de velgen te meten. Nu een kort verhaal over spaken De spaken worden aangegeven door een nummer als het over de dikte (diameter) gaat. Deze nummers zijn ontstaan in Engeland, waarbij de trekplaten waar men het draad doorheen trok, voorzien waren van een nummer. Dit nummer geeft dus ook de dikte van de spaak aan en is natuurlijk afgeleid van het Engelse maatstelsel. In de loop van de tijd is onder invloed van de Duitse en andere Europese industrieën een afronding van de Engelse maten naar de metrische maten tot stand gekomen. Het gevolg is dat ten gevolge van deze invloeden bijvoorbeeld nippels van Duitse origine niet hoeven te passen op spaken van Engelse herkomst en omgekeerd. Het materiaal waarvan spaken gemaakt worden, is staal met een treksterkte van 110 tot 120 kg/mm 2 met een minimum rek van vijf procent en een laag fosfor- en zwavelgehalte. Voor ons is de lengte en de dikte van de spaak van belang. In de schets zijn de volgende benamingen belangrijk. De kraal van de velg zorgt voor de stijfheid van de velgen en voorkomt dat de band van de velg afglijdt. De schouder L d 4 Wielen spaken

7 In figuur stelt L de lengte van de spaak voor en d de diameter van de spaak. Hieronder volgen enige maten: nr. 8: d = 4,064 mm 32 gangen/duim nr. 9: d = 3,658 mm 40 gangen/duim nr. 10: d = 3,251 mm 40 gangen/duim nr. 11: d = 2,946 mm 44 gangen/duim nr. 12: d = 2,642 mm 56 gangen/duim nr. 13: d = 2,337 mm 56 gangen/duim nr. 14: d = 2,032 mm 56 gangen/duim nr. 15: d = 1,829 mm 56 gangen/duim nr. 16: d = 1,626 mm 56 gangen/duim De spaken nummer 8 en 9 worden gebruikt voor motorfietsen. De spaken nummer 10 en 11 voor lichte motorrijwielen, bakfietsen en transportfietsen. Spaak nummer 12 voor transportfietsen en de nummers 13, 14 en 15 voor toerfietsen. Spaak 16 is voor sportfietsen. De schroefdraadsoort behoort tot de Engelse, Whitworth genaamd, met een tophoek van 55 graden. Het spaakpatroon Stel, men beschikt over een velg en een naaf en ook nog over spaken van een zekere lengte, dan kan men de spaken volgens een bepaald patroon aanbrengen. Er zijn mensen die het aantal spaken tellen dat één spaak passeert in tegenovergestelde richting. Anderen tellen het aantal spaakgaten in de naaf die liggen tussen twee elkaar gekruiste spaken. De eenvoudigste methode is mijns inziens de eerstgenoemde. 1 b a 2 Met andere woorden: de spaak maakt een hoek van 90 o met de hartlijn over het spaakgat en de wielas. Deze richting heet de tangentiaalrichting. Tracht men aan dit systeem te voldoen, dan treedt het nadeel op dat de spaken op de koppen van de andere spaken lopen. Daardoor is er kans op slijtage en breuk. Bij gewone rijwielvelgen treft men geboorde gaten aan. In zware velgen, zoals die van bakfietsen en motorrijwielen, ziet men op de velg verhogingen met daarin een geboord gat. Deze verhogingen noemt men doppingen. De dopping met daarin het gat dwingt de wielmaker het wiel te vlechten zoals de fabrikant het wil. In het algemeen wordt kruis over één of kruis over twee gebruikt. Heeft men een blinde gedopte velg, dan is het zaak te weten welk kruis men gaat maken en hoe groot de spaakhoek wordt bij het betreffende kruis. Reden hiervan is, dat met het boren het gat in de dopping onder de juiste hoek geboord wordt. Voldoet men hier niet aan, dan zullen de spaken direct voor de nippel gaan knikken, hetgeen de sterkte niet ten goede komt. Bovendien ziet het er ook niet zo mooi uit. 3 spaak met nippel De figuur laat spaak 1, 2 en 3 zien die naar rechts wijzen. De spaken a en b wijzen naar links. Spaak a passeert spaak 1 en 2. Wij zeggen nu: het patroon is kruis over twee. velg geodriehoek De laatstgenoemde methode laat zien dat er dan tussen de gekruiste spaken twee gaten op de naafflens openblijven. Bij het vlechten van wielen gaat men ervan uit dat het wiel het sterkst is als de spaken worden aangebracht in de raaklijn-richting van de spaakgaten-steekcirkel van de naafflens (ook wel tangentiaal-richting genoemd) De figuur laat de spaak zien, rakend aan de spaakgatsteekcirkel. Deze staat haaks op de hartlijn van de as (of naaf) en het betreffende spaakgat in de naafflens. Beschikt men nog over een compleet wiel (velg met naaf), dan moeten eerst de spaakhoeken worden gemeten. De spaakhoek aan de trommelremzijde is altijd groter dan die aan de kleine naafzijde. Bij het spaken van een wiel met een trommelremnaaf wordt aangevangen met een spaak met nippel in een dopping met gat(en) en wordt de stompe hoek gemeten. Deze hoek is het grootst aan de trommelremzijde. Verzuimt men dit te controleren, dan gaat het meestal fout en krijgt men geknikte spaken. Nieuwe Wiskrant 28-1/september

8 Waar ook aan gedacht moet worden, is het aantal spaakgaten in de naafflenzen. Meestal zijn dit er zesendertig, maar het kunnen er ook wel veertig zijn. Dus overtuigt u altijd van het aantal spaakgaten in de naaf en in de velg. Nu nog iets van praktische aard. Zorg ervoor dat bij het vlechten van het wiel er bij het ventielgat geen spakenkruis komt, maar altijd twee evenwijdige spaken. Anders wordt het moeilijk de band op te pompen als het ventiel tussen een spakenkruis ligt, zeker bij een kinderfiets. velgbed Ingevuld in de bovenste formule: L s = R v + R n + L n 2R v R n cosβ Ofwel de spaaklengte is: L spaak = 2 R velg 2 + R naaf + 2 L naaf 2R velg R naaf cosβ Dit is de formule waarmee men alle spaaklengten kan berekenen. Er is echter een addertje onder het gras en dat is de hoek β. Deze wordt namelijk bepaald door het spaakpatroon (kruis over drie etcetera) en het aantal spaakgaten in de velg. Hieronder enige waarden van cosβ voor zesendertig-gaats velgen: R n L n β L s R v L p kruis over één: cosβ = 0, L s = R velg + R naaf + L naaf 18R, velg R naaf = mm kruis over twee: cosβ = 0, L s = R velg + R naaf + L naaf 153R, velg R naaf = mm kruis over drie: cosβ = 0, L s = R velg + R naaf + L naaf R velg R naaf = mm kruis over vier: cosβ = 0, L s = R velg + R naaf + L naaf 0, 348R velg R naaf = mm L s = lengte van de spaak L p = projectie van L s op het velgbedvlak L n = halve hartafstand van de flenzen van de naaf R v = halve velgdiameter over het bed gemeten R n = halve steekcirkeldiameter van de spaakgaten in de naafflens β = hoek, afhankelijk van het gekozen spaakpatroon We leiden nu de formule af voor het berekenen van de spaaklengte met gebruikmaking van de schets hierboven. Hierin wordt dus de materiaaldikte van de velg en/of de diepte van de dopping buiten beschouwing gelaten (in berekeningen wel meetellen). Volgens de schets: L s 2 L p 2 = L p 2 + L n 2 = ( R v R n cosβ) 2 + ( R n sinβ) 2 Uitgewerkt geeft de laatste: L p = R v 2R n R v cosβ + R n cos β + R n sin β 2 2 met: sin β + cos β = 1. volgt hieruit: L p = R v + R n 2R v R n cosβ Voor veertiggaats velgen: kruis over één: cosβ = 0,951 kruis over twee: cosβ = 0,809 kruis over drie: cosβ = 0,588 kruis over vier: cosβ = 0,309 NB: de spaaklengte verkrijgt men in mm, als alle maten in mm worden ingevuld. Rekenvoorbeelden velgbed diameter = 570 mm doorsnede van de velg 70 mm aanzicht van de naaf φ 35 mm Eerste voorbeeld: Gegeven een zesendertiggaats velg voor een 26 x 1 ½ band en een naaf waarvan de hartafstand van de naafflenzen 70 mm bedraagt. De steekcirkel van de spaakgaten in de flenzen is 35 mm. De spaaknippelkoppen hebben een hoogte van 2 mm. De materiaaldikte van de velg is 2 mm. Wij nemen een spaakpatroon kruis over twee. Het midden van de naaf wordt in het midden van de velg geplaatst. De velgbeddiameter is 570 mm. Dan wordt: 6 Wielen spaken

9 570 R velg = mm velgdikte + 2mm nippelkop = 289 mm 2 35 R naaf = = 17,5 mm L 2 naaf = = 35 mm 2 Voor de spaaklengte kruis over twee moeten wij de tweede formule bij een zesendertig-gaats velg gebruiken, dus: L s = R velg + R naaf + L naaf 153R, velg R naaf = mm L s = + 17, , , 5 = 278, 145mm neem een spaaklengte van 278 mm. Tweede voorbeeld: Gegeven een 21 velg, zesendertiggaats met een beddiameter van 510 mm en een materiaaldikte van 2 mm. De spaaknippels hebben een kopdikte van 3 mm. De naaf is een trommelremnaaf. De steekcirkel van de spaakgaten aan de trommelzijde is 140 mm en aan de kleine naafzijde 80 mm. De hartafstand van de beide naafflenzen is 100 mm, het velgvlak ligt uit het midden van de naaf en wel op 23 mm vanaf de kleine naafflens. Als spaakpatroon nemen we kruis over drie. Berekening: let op, de naaf ligt uit het midden: L n heeft twee maten: L 1 2 n = 23 mm en L n = 77 mm. Evenzo hebben we R 1 80 n = = 40 mm en R n = = 70 mm. 2 2 De maat voor het velgbed moet met de materiaaldikte van de velg en de kopdikte van de nippel worden vermeerderd, dus: 510 R velg = mm + 3 mm = 260 mm 2 Neem de derde formule bij zesendertig-gaats velg en kruis over drie: L s = R velg + R naaf + L naaf R velg R naaf = mm L s, kleineflens = = 243, 57mm Neem een spaaklengte van 242 of 244 mm. L s, trommelzijde = = 260, 82mm Neem een spaaklengte van 260 of 262 mm. Wielen spaken Vlechtwerk Liggen de (nieuwe) velg, spaken en nippels klaar, samen met de opgeknapte naaf en een papiertje met alle genoteerde maten, dan kunnen we het wiel weer opbouwen. Als je geluk hebt, is je naaf voorzien van min of meer wigvormige spaakopeningen, de zogenaamde lissen, waardoor je zowel de binnen- als buitenliggende spaken gemakkelijk in kunt haken. Zo niet, dan moet je eerst de spaken aan een zijde van de naafflens insteken; uiteraard gaan de binnen- en buitenliggende spaken er om en om in. Voor de goede orde: een buitenliggende spaak is een spaak die je van binnenuit door de naaf naar buiten toe hebt gestoken; voor de binnenliggende spaak geldt het omgekeerde verhaal. Naven met aan één zijde een trommelrem hebben aan de andere zijde altijd lissen in de naafflens, want vanwege Deze richt- en balanceerbok is gemaakt van een hoeklijn van mm en de maten zijn zodanig gekozen dat wielen tot 21 er in gaan. De bok kan op elk horizontaal werkvlak neergezet worden; door de naar beneden wijzende hoeklijn van de voorste dwarsverbinding op de rand van het werkvlak te zetten, staat de bok stevig genoeg en hoeft dus niet meer op de tafel geschroefd te worden. De bok op de foto is gelast, maar de hoeklijnen kunnen ook prima met bouten en moeren aan elkaar gezet worden. In de top van één drager is een schuivende vork bevestigd, want wielassen hebben vaak niet links en rechts dezelfde diameter en met de schuifvork zet je in een handomdraai het wiel toch zuiver verticaal in de bok. Aan beide dragers 2 (de staande driehoeken) zijn op -- van de hoogte draaibare strippen bevestigd (via een boutje door de staan- 3 der plus strip en een vleugelmoer of machineknop), waaraan weer pennen zitten die je tegen de velgrand kunt schuiven om zo de hoogteslag en de zijdelingse slag nauwkeurig te bepalen. Het losse uiteinde van de strippen is haaks omgezet; door het haakse stukje gaat een boutje waarin weer een gat is geboord ter dikte van een richtpen. Een vleugelmoertje houdt ten slotte de pen in de gewenste positie. Gebruik je de bok om een wiel te balanceren, dan heb je de richtpennen uiteraard niet nodig. Nieuwe Wiskrant 28-1/september

10 de trommel kun je aan die andere kant geen spaken van binnenuit doorsteken. Begin bij een dergelijke naaf altijd met het insteken van de spaken aan de trommelkant. Let ook op de spaakhoek: liggen de spaakkoppen niet goed in de naafgaten, dan gaan de spaken krom staan als je ze door de velggaten gaat steken en vastdraait. Dat is geen gezicht en, belangrijker, het is slecht voor de sterkte van het wiel. Is één kant van spaken voorzien, dan herhaal je de handeling aan de andere kant. Een lastig karweitje omdat de zesendertig (bij Europese en Japanse motoren) of veertig (bij de meeste Engelse motoren) spaken nog volstrekt losliggen en met name bij de lisgaten er steeds weer uit willen vallen. Alleen rust en kalmte kunnen hier redding brengen, of de oude truc om stukjes rubber of karton tussen de spaakkoppen in de lissen te steken. Belangrijk is dat de spaakkoppen de juiste hoek maken met de spaak, anders liggen ze niet goed aan in de naaf. Een binnenliggende spaak heeft een grotere hoek dan een buitenliggende spaak. Erboven enkele speciale spaaksleutels. groeien. Smeer het schroefdraad van de spaken lichtjes in met olie en draai alle nippels handvast aan. Het losjes gemonteerde wiel kan nu in een richtbok worden gezet, of in de vork van de motorfiets (al is dat behelpen). Vier dingen moeten nu in orde gemaakt worden: de concentriciteit ofwel de hoogteslag, de zijdelingse slag, de offset en de spanning van de spaken. Hoogteslag Met behulp van de richtpennen aan de richtbok kun je zien in hoeverre het wiel op en neer gaat als je het langzaam ronddraait. Waar de velg het hoogst komt en dus omlaag moet, draai je de spaken wat aan, terwijl je aan de exact tegenoverliggende kant de spaken iets losser draait. Voor het aandraaien zijn speciale spaaksleutels te koop, of je gebruikt een goed passend klein steeksleuteltje. Hou dit vol tot het wiel geen op- en neergaande beweging meer vertoont bij het ronddraaien; tot het wiel mooi concentrisch draait dus. Er is mogelijk één punt waar het niet lukt en waar je niets aan kunt doen: de plek waar overdwars de lasnaad in de velg zit. Waarschijnlijk krijg je de zaak niet in één keer zuiver rond, maar de aanhouder wint. Zuiver wil overigens niet zeggen dat de afwijking absoluut naar nul wordt teruggebracht. Een verschil van 3 3,5 mm voor een gewone straatfiets is mooi. Gaat het om een racer, dan zou ik van die drie millimeter nog wat af proberen te snoepen. Zijdelingse slag Wat ook werkt, is de naaf vlakhouden en de spaken er als een waaier uit laten steken. Zitten de spaken er allemaal in, leg dan de naaf met spaken vlak op de werkbank, in het midden van de velg. Begin met de onderzijde van de naaf en laat de spaken uitwaaieren, waarbij je zorgt dat een binnenliggende spaak steeds de naastliggende buitenliggende kruist. De doppen ofwel gaten in de velg wijzen in verschillende richtingen en je zorgt bij je startpunt (het ventielgat) dat een buitenliggende spaak van de benedenzijde van de naaf strak in lijn komt te liggen met een gat aan de benedenzijde van de velg. Schuif de spaak door het velggat en draai er een nippel een paar slagen op. Sla één spaak over (dat is de binnenliggende) en steek de volgende buitenliggende spaak door zijn in lijn liggende velggat. Nadat je zo rond bent gegaan, herhaal je de klus met de binnenliggende spaken vanaf de benedenzijde van de naaf, waarbij je niet vergeet dat ze gekruist liggen met de spaken die je al gedaan hebt. Refereer aan de schets die je gemaakt hebt van het spaakpatroon. Herhaal het werk met de binnen- en buitenliggende spaken aan de bovenzijde en je ziet uit je vlechtwerk een compleet wiel Als de naaf omhoog moet, draai je de spaken bij A aan en los je de spaken bij B. Sta je recht voor het wiel, dan kan je met behulp van de richtpennen zien hoeveel, waar en naar welke kant de zijdelingse slingering optreedt. Wiebelt het wiel op een bepaalde plaats naar links, dan draai je op die plaats de rechterspaken wat aan, terwijl je de spaken aan de linkerkant eventueel wat lost. Draai het wiel steeds rond en werk met kleine beetjes tegelijk, want je zal merken dat naarmate het wiel zuiverder draait je op een gegeven moment met één hele slag van de spaaksleutel de slingering naar de andere kant trekt in plaats van naar nul. 8 Wielen spaken

11 nippel nog wat aandraaien. Zoals met het hele richtwerk geldt ook hier: werk rustig en voorzichtig. Is het wiel helemaal naar je zin, dan kunnen de stukjes spaak die eventueel uit de nippels steken weggehaald worden met een zaag, slijptol en/of vijl. Steken er geen (scherpe) stukjes meer uit, veeg dan de velg van binnen schoon en monteer het velglint of als je dat niet hebt, wikkel een rolletje breed isolatieband af. Met de richtpennen bepaal je hoeveel zijdelingse slag het wiel nog maakt en ook of er nog een hoogteslag is. Offset Als alle spaken van de juiste lengte op de juiste plaatsen zijn gemonteerd, dan heb je de offset al bijna aan de gewenste maat zitten. Moet de velg naar rechts opschuiven ten opzichte van de naaf, dan draai je alle spaken aan die kant wat aan, en omgekeerd. Eventueel los je de spaken aan de tegenoverliggende kant een tikje. Vermijd dat je nu alle spaken muurvast aandraait; heb je spaken van de juiste lengte gekocht (niet te korte dus), dan zal dat ook niet gebeuren Spaken op spanning Zijn de vorige drie punten naar tevredenheid afgerond, breng dan de spaken op spanning door ze allemaal gelijkmatig steeds verder aan te draaien, waarbij je ook regelmatig de hoogte- en zijdelingse slag checkt. Ga door tot de spaken, als je er met een schroevendraaier langs tokkelt, allemaal een even heldere klank geven. Klinkt een spaak dof, dan is die nog niet op spanning en moet je de Ten slotte Een reactie van Albert Rorije van Wielservice Hasselt: Het lijkt mij wel een heel omslachtig gebeuren om zo je spaken te berekenen. Nu ik de proef op de som heb genomen, blijkt uit mijn berekening dat niet alle uitkomsten juist zijn. Ik kan er de vinger niet op leggen waar de fout in de berekening zit, of dat deze bij mij moet zitten. Zelf werk ik met een meetmal en deze zegt soms iets anders dan de berekening. Ik ben ook van mening dat het met de hand uitmeten nooit afwijkt, maar ik gebruik hiervoor een meetmal. Deze is (gelukkig) niet te koop. Ook Simon Poelma en Arie Haan werken hiermee. Ik denk dat deze heren ook niet het geheim van de smid prijs zullen geven. Maar het is het vermelden waard om deze berekening in jullie blad te zetten. Zet er echter wel een noot bij: bezint voor je begint (bij deze dan, red.) Een set spaken butted kost al snel 60 euro voor 40 stuks en als ze niet passen, kun je er niets meer mee dan alleen je oren ermee schoonmaken (mits je er een watje omheen wikkelt). Sieb de Vries, Heemstede, Hans van Dissel, Den Haag Dit artikel is een bewerking van het artikel Wielen spaken uit de Unapproachable (clubblad van de Norton Club Nederland), maart/april Met dank aan Hans Mijnders en Nancy Koorn (NCN). Nieuwe Wiskrant 28-1/september

12 Vanaf augustus 2007 kunnen scholen het interdisciplinaire examenvak natuur, leven en technologie (NLT) aanbieden. Wiskunde is een van de deelnemende vakken in NLT. Josien Heijn en Jenneke Krüger laten iets zien van de plaats van wiskunde in dit jonge vak, zowel in de ontwikkeling als in het lesmateriaal en de (mogelijke) rol van wiskundedocenten in ontwikkeling en uitvoering. Mogelijkheden voor afstemming met wiskunde D worden aangestipt. Wiskunde in NLT Leerling: Wat heb je eigenlijk aan wiskunde? Docent: Wiskunde is heel nuttig, je hebt het later nodig als je gaat studeren. Inleiding Alle studierichtingen die, al is het maar in de verte, iets met bèta te maken hebben, stellen wiskunde verplicht. Hoe komt het dat leerlingen die een N-profiel volgen op VWO en HAVO zo weinig van nut en noodzaak van wiskunde merken? Over het algemeen moeten leerlingen maar geloven dat wiskunde een belangrijk vak is voor andere bètarichtingen; binnen het gangbare onderwijs van HAVO en VWO is daar weinig van terug te vinden. Bij wiskunde worden sommen gemaakt. Bij andere vakken wordt wel eens wat berekend, er staat wel eens een formule, maar veel lijken wiskunde en de overige vakken niet met elkaar te maken te hebben. Hoe zit dat bij natuur, leven en technologie (NLT), een nieuw interdisciplinair profielkeuzevak voor de N-profielen? Enkele citaten: NLT-onderwijs laat leerlingen ondervinden dat:... in wetenschap en technologie gebruik van begrippen, algoritmes en heuristieken uit wiskunde en informatica vaak noodzakelijk is. Uit: Contouren van een nieuw bètavak (2007). Domein B: Fundament van wetenschap en technologie De kandidaat kan een aantal voor de natuurwetenschap belangrijke wiskundige technieken en ontwikkelingen toepassen, dan wel enkele recente theorieën uit de fundamentele natuurwetenschap uitleggen. Uit: examenprogramma HAVO:( Domein B: Taal van de natuurwetenschap De kandidaat kan relevante concepten en technieken uit wiskunde en/of informatica toepassen op natuurwetenschappelijke of technologische vraagstukken. Uit: examenprogramma VWO ( Een ambitieuze doelstelling voor wiskunde dus, waarbij men zich moet realiseren dat het niet in de eerste plaats de bedoeling van NLT is om alleen interessante of diepe wiskunde te laten zien. Er is plaats voor modules die in hoofdzaak wiskundig verdiepend zijn, maar in de meeste gevallen zal wiskunde als gereedschap voorkomen. Gereedschap waarvan een leerling goed moet weten hoe het te gebruiken, op verschillende niveaus, afhankelijk van de doelgroep. Die doelgroep kan variëren van leerlingen in 4 HAVO met wiskunde A tot leerlingen in 6 VWO met wiskunde B. Wat zien we terug in de lesmaterialen van de wiskundige ambities voor NLT? Welke rol spelen docenten wiskunde in NLT? Wat zijn ervaringen van leerlingen ten aanzien van het belang van wiskunde? NLT? NLT is een interdisciplinair profielkeuzevak voor leerlingen met een N-profiel, waarin tenminste biologie, fysische geografie, natuurkunde, scheikunde en wiskunde vertegenwoordigd zijn. Informatica speelt een belangrijke rol. Het heeft de omvang van een groot examenvak (320 uur op HAVO, 440 uur op VWO) en wordt in zijn geheel afgesloten met een schoolexamen. De doelstellingen bepalen mede enkele karakteristieken van NLT. Enkele doelstellingen die we in dit verband willen noemen zijn: leerlingen zich laten oriënteren op een breed spectrum van vervolgstudies en beroepen, leerlingen het belang laten ervaren van interdisciplinaire samenhang in de ontwikkeling van wetenschap en technologie, meer keuzemogelijkheden bieden voor docenten en leerlingen in het bètaonderwijs op school, aansluitend op de expertise van docenten, de interesse van leerlingen en de mogelijkheden die de regio biedt (vanwege aanwezige instituten en bedrijven), bètaonderwijs beter laten aansluiten op nieuwe ontwikkelingen in samenleving, wetenschap en technologie in wisselwerking met het hoger onderwijs, onderzoeksinstituten en het bedrijfsleven. De Stuurgroep NLT heeft er voor gekozen om de vakinhoud te laten ontwikkelen in de vorm van vijftig modules van elk 40 slu, en om bij de ontwikkeling van elke module zowel docenten VO als experts uit HO of relevante be- 10 Wiskunde in NLT

13 roepen te betrekken. De ontwikkeling van modules wordt gecoördineerd en aangestuurd door een projectgroep, het Landelijk Ontwikkelpunt (LOP). De onderwerpen voor de modules (die gezamenlijk de vakinhoud vormen) passen binnen het examenprogramma (zie figuur 1) en zijn vaak afkomstig uit hoger onderwijs of bedrijfsleven. Het examenprogramma van HAVO bestaat uit de volgende domeinen: Domein A: Vaardigheden Domein B: Taal van de natuurwetenschap Domein C: Bedreiging en behoud van de leefomgeving Domein D: Zorgen en genezen Domein E: Opsporen en beschermen Domein F: Verbetering van de kwaliteit van leven Domein G: Grenzen verleggen Domein H: Communiceren en navigeren Domein I: Gemak dient de mens Het HAVO-schoolexamen heeft betrekking op het gehele domein A in combinatie met domein B tenminste twee van de domeinen C t/m E tenminste twee van de domeinen F t/m I Het examenprogramma van VWO bestaat uit de volgende domeinen: Domein A: Vaardigheden Domein B: Fundament van wetenschap en technologie Domein C: Aarde en klimaat Domein D: Stellaire informatie en processen Domein E: Biofysica, -chemie en -informatica Domein F: Biomedische technologie en biotechnologie Domein G: (Duurzaam) gebruik van grondstoffen, energie en ruimte Domein H: Materialen, proces- en productietechnologie Domein I: Werktuigen, voertuigen en producten Het VWO-schoolexamen heeft betrekking op het gehele domein A in combinatie met domein B tenminste twee van de domeinen C t/m E tenminste drie van de domeinen F t/m I NLT-modules Een evaluatie van alle tot nu toe ontwikkelde modules levert op dat veel modules een flinke natuurkundige en/of biologische component hebben, maar wel duidelijk interdisciplinair zijn. Ook zijn er modules die hoofdzakelijk bestaan uit een van de betrokken vakken met een kleine inbreng van andere vakken. Er is een veelheid aan onderwerpen, waarbij een groot deel van de modules uit het oogpunt van wiskundeonderwijs interessant is, ook als er geen directe, voor de leerling nieuwe, wiskundige kennis in voorkomt. Wiskunde leren gebruiken is per slot een belangrijke doelstelling van ons wiskundeonderwijs. Er bestaan grote verschillen in niveau, diepgang en aanpak van modules: in de ene module worden leerlingen stap voor stap aan de hand meegenomen, in een andere worden bredere opdrachten aangeboden waarbij leerlingen zelf de benodigde kennis moeten vergaren om tot een oplossing te komen. Zo is er ook variatie in de hoeveelheid open en gesloten opdrachten. Dit biedt de mogelijkheid als school en als docent de modules te selecteren die aansluiten bij de interesse en mogelijkheden van docententeam en leerlingen. In de modules worden, naast vakkennis, veel vaardigheden van leerlingen aangesproken: samenwerken, presenteren, het uitvoeren van practica (en verwerken van resultaten), logisch denken, leren door doen en het toepassen van nieuwe kennis. Wiskunde in NLT-modules Bij de ontwikkeling van NLT-modules zijn docenten van de verschillende vakken betrokken, ook docenten wiskunde. De eerste versie van een module wordt geëvalueerd door verschillende belanghebbenden, onder andere leerlingen, docenten van verschillende vakken en inhoudelijke experts. Om de kwaliteit van het lesmateriaal voor dit nieuwe vak te waarborgen, hanteert de Stuurgroep een keurmerk; het NLT-certificaat (zie figuur 2). fig. 1 de domeinen van het examenprogramma Scholen kunnen NLT aanbieden vanaf augustus Het onderwijs in NLT wordt verzorgd door een team van eerstegraadsdocenten met bevoegdheid in een of meer van bovengenoemde vakken. Op het moment van schrijven (juli 2008) zijn 21 modules gecertificeerd (11 HAVO, 10 VWO). Het plan is om in 2010 tenminste 50 gecertificeerde modules beschikbaar te hebben (20 HAVO, 30 VWO). Leerlingenmateriaal van de modules is vrij beschikbaar voor onderwijsdoeleinden via de website van NLT ( fig. 2 het NLT-certificaat Om voor certificering in aanmerking te komen, worden modules geanalyseerd op zo n 25 items, waaronder twee expliciet wiskundig. Zie figuur 3. Nieuwe Wiskrant 28-1/september

14 Werken met formules Werk met formules als weergave van de werkelijkheid in plaats van als rekenvoorschrift. Als leerlingen zien wat formules betekenen (waarom ze er zo uitzien), leidt dat tot begrip; als ze alleen moeten invullen en uitrekenen leidt het tot trucjes uitvoeren. Kijk steeds kritisch welke formules leerlingen zelf kunnen afleiden, kijk ook welke formules met een beetje uitleg in elk geval te begrijpen moeten zijn (zonder het zelf te kunnen afleiden). Zichtbaarheid wiskunde Een van de doelen van NLT is leerlingen te laten zien dat wiskunde de taal is van wetenschap en technologie. Maak dat expliciet op de plekken waar dat mogelijk is. Bron: Analyserapport LOP-NLT fig. 3 wiskundige criteris voor certificering Dit betekent niet dat er koste wat kost wiskunde in een module moet zitten: wiskunde moet passen in het onderwerp. Nu (juli 2008) zijn de meeste modules uit de eerste drie series ontwikkeld en getest (er worden vier series modules ontwikkeld). In het merendeel van de modules komt wiskunde voor, maar de hoeveelheid en het niveau van de wiskunde wisselen sterk per module. Waar aanwezig, wordt wiskunde gebruikt en toegepast in praktische situaties, het biedt hulp bij het verwerken van (meet)gegevens, het inzien van wat nodig is voor het maken van berekeningen en het leggen van verbanden. Soms is dit in een aparte paragraaf, maar meestal is de wiskunde ingebed in het onderwerp. Een enkele keer wordt nieuwe of echt diepgaande wiskundige kennis opgenomen. Wiskundige vaardigheden die in het merendeel van de modules voorkomen, zijn: rekenen met, afleiden en herschrijven van (veelal natuurkundige) formules, het tekenen en aflezen van grafieken en diagrammen, het verwerken van meetresultaten en -gegevens, en het vinden van en werken met verbanden en verhoudingen tussen grootheden. Ook wordt bij een deel van de modules gebruikgemaakt van de grafische rekenmachine of verwerkingsprogramma s als Coach, Excel of Powersim. Een vaak gehoorde klacht uit het hoger onderwijs is dat leerlingen gebrekkige formulevaardigheid tonen. NLT biedt volop gelegenheid de formulevaardigheid te verbeteren, op een vanzelfsprekende manier. Onderwerpen die in meerdere modules terugkomen, zijn bijvoorbeeld periodieke bewegingen/functies (in het geval van licht, beeld en geluid), kansrekening en statistiek (combinaties, conditionele kansen, kansverdelingen), exponentiële en logaritmische functies en het werken met hoeken, doorsneden en plattegronden. Ook zijn er modules die specifieke nieuwe onderwerpen uit de wiskunde behandelen, zoals dynamisch programmeren, lineair programmeren en het Bayes-model in de statistiek. NLT en wiskunde D Er is enige overlap tussen NLT en wiskunde D. De mogelijkheid bestaat modules in de vrije ruimte uit te wisselen. We noemen enkele voorbeelden: In de vrije ruimte bij NLT kan op het VWO gebruikgemaakt worden van voor wiskunde D ontwikkelde modules, zoals de modules Beslissen, Complexe getallen en Cryptografie (zie Op het ogenblik zijn er tenminste vier NLT-modules, drie HAVO en één VWO, die binnen wiskunde D gebruikt kunnen worden. Deze worden beschreven in Voorbeelden van wiskundige modules. Voorbeelden van wiskundige modules Zoals al aangegeven, zijn er veel modules waarin wiskunde ondersteunend is, maar geen hoofdrol speelt en ook enkele waar geen wiskunde in voorkomt. Daarnaast zijn er echter ook modules die hoofdzakelijk wiskunde bevatten of die een zo grote hoeveelheid wiskunde bevatten dat een wiskundedocent vrijwel onmisbaar is. Eerst volgt een beschrijving van een aantal van deze meer wiskundige modules, daarna van enkele modules waarin wiskunde een rol speelt die minder groot is. Het betreft voorbeelden van de stand van zaken in juli 2008, de ontwikkeling van modules is nog in volle gang. Modules vrijwel geheel wiskundig, geschikt voor keuzeruimte wiskunde D H002 Dynamisch modelleren (eind 4 HAVO, begin 5 HAVO). In deze module wordt het bouwen van en werken met dynamische modellen behandeld in contexten vanuit diverse vakgebieden. Er wordt gestart met een eenvoudig model, wat aangepast wordt tot een meer realistisch model. Ook worden de modellen getest aan de werkelijkheid met behulp van metingen van experimenten of beschikbare gegevens op internet. Er wordt gebruik gemaakt van Powersim of Coach. H018 Beter door praktische logistiek (eind 4 HAVO of 5 HAVO). In deze module leren leerlingen stapsgewijs praktische (logistieke of transport)problemen te vertalen naar een wiskundig model met (stelsels van) lineaire vergelijkingen en ongelijkheden. Bij het oplossen wordt gebruikgemaakt van lineair programmeren (en dus ook de Simplex methode) en Excel Solver. H019 Statistiek en technologie 1 (4 HAVO). Deze module geeft inzicht in het bepalen van de verdeling van gegevens, vooral de normale verdeling (een groot deel herhaling, maar toch ook verdieping, voor wiskunde A en D leerlingen), en gaat hierin verder wat betreft het nemen van steekproeven, statistische significantie en het toetsen van hypothesen. Aan het eind van de module kan de leerling op grond 12 Wiskunde in NLT

15 van een steekproefresultaat een (statistisch) verantwoorde beslissing nemen bij problemen die een rol spelen in de technologie. Er wordt gebruik gemaakt van Excel en de grafische rekenmachine. V102 Dynamisch modelleren (5 VWO). Leerlingen ontdekken in deze module hoe complexe natuurwetenschappelijke verschijnselen met behulp van dynamische modellen wiskundig beschreven kunnen worden, en hoe deze modellen gebruikt kunnen worden om de verschijnselen te voorspellen en beter te begrijpen. Hierbij wordt Powersim gebruikt. Bij deze module is ook natuurkundige kennis (mechanica, eigenschappen van krachten) nodig; er is ook een biologische uitwerking (keuzeopdrachten). Modules waarbij wiskunde een flinke rol speelt H003 Aërosolen en vuile lucht (4 HAVO). Deze module gaat in op aërosolen, welke stoffen een rol spelen bij luchtvervuiling en de factoren bij klimaatverandering. Er wordt veel natuurkundige kennis aangeboden (en er worden metingen verricht, die verwerkt moeten worden), maar ook algemene wiskundige vaardigheden worden aangesproken, het rekenen aan goniometrische formules en hun eigenschappen, werken met logaritmische schaalverdeling en het gebruik van Excel. H009 Plaatsbepaling en navigatie (4 HAVO). In deze module werken leerlingen met kaarten (Google Earth), windrichtingen, geografische en rechthoekige coördinaten, het bepalen van een route en het uitrekenen van een kortste route. Ze leren plaatsbepaling met behulp van hemellichamen en GPS. Er is een keuzeopdracht die ingaat op driehoeksmetingen en de sinusregel. De module heeft een sterk aardrijkskundig karakter, met wiskunde en een beetje natuurkunde. V104 MP3-speler (5 VWO). Deze module gaat in op meerdere kanten van de MP3- speler: signaalverwerking van analoog naar digitaal, geluid, sinusoïden en muziek. Er komt veel wiskunde in voor, met name periodieke functies, maar ook rekenen met logaritmische schaal en functie, en wat statistiek. Ook wordt er gewerkt met het binaire getalstelsel en wordt modulo-rekenen ingeleid en toegepast. V108 Meten aan melkwegstelsels (5 of 6 VWO). Met gebruikmaking van zeer precieze sterrenkundige waarnemingen wordt door leerlingen aangetoond dat er zich een immens grote massa in het centrum van ons melkwegstelsel moet bevinden. Deze module is vooral natuurkundig. Wiskunde is erg zichtbaar in de vele berekeningen die het begrip van de natuurkundige formules vergroten en in het gebruik ervan om de juistheid van formules te bevestigen en uitspraken te kunnen doen over het melkwegstelsel. V112 Waterstofauto (5 of 6VWO). De leerlingen verdiepen zich in het hart van een waterstofauto: de brandstofcel en zijn mogelijke opslagvormen. Ze maken een natuurkundig en wiskundig model van de krachten op de auto en bepalen hoeveel brandstofcellen nodig zijn voor een bepaalde snelheid. Er wordt veel gerekend met en aan formules. Er moeten regelmatig veel gegevens gecombineerd worden, en leerlingen moeten uit een veelheid van data de benodigde gegevens halen om de gevraagde berekeningen uit te voeren. Ook moeten ze schattend rekenen. V116 Leven met robots (VWO). Leerlingen raken vertrouwd met sensoren en reactief gedrag bij robots, gebaseerd op kennis over gedrag bij dieren. Ook wordt meer complex gedrag bestudeerd aan de hand van eenvoudige, zelf te ontwikkelen computermodellen, in de vorm van een practicum met kleine robots die de leerlingen zelf leren programmeren. Leerlingen krijgen te maken met logica en werken met getalstelsels en een algoritme. Het programmeren vereist een stelselmatige manier van denken, een meer algemene vaardigheid onder andere opgedaan bij wiskunde. V119 Holografie (6VWO). In deze module wordt theorie behandeld die nodig is om de werking van een hologram te begrijpen. Leerlingen leren hoe ze zelf een hologram kunnen maken. Hierbij is veel natuurkundige kennis nodig, maar naast scheikunde speelt ook wiskunde een grote rol. Leerlingen werken met formules en grafieken en rekenen veel aan goniometrische functies (inclusief formules van Simpson) en hun eigenschappen. Wiskundedocenten in NLT Wiskundedocenten dragen bij aan de ontwikkeling van lesmateriaal. Hoe staat het met hun bijdrage aan onderwijs in NLT? Uit eerdere onderzoeken naar samenwerking tussen docenten van bètavakken komt naar voren dat wiskundedocenten relatief weinig samenwerken met collega s van andere vakken. NLT kan niet door één docent gegeven worden; daarvoor zijn de onderwerpen te divers en is het inhoudelijk niveau van een aantal modules te hoog. De Stuurgroep heeft voor scholen die NLT aanbieden de eis gesteld dat het onderwijs verzorgd wordt door een team van minimaal drie docenten, met tenminste drie verschillende eerstegraadsbevoegdheden in de volgende vakken: biologie, geografie (met specialisatie fysische geografie), natuurkunde, scheikunde, wiskunde. Het is dus mogelijk om een NLT-team te vormen zonder docenten wiskunde. Als scholen melden dat ze NLT willen invoeren, wordt op het registratieformulier onder andere gevraagd naar de geplande samenstelling van het NLT-team. In het voorjaar van 2008 is een survey naar scholen gestuurd met onder andere de vraag naar de actuele samenstelling van het NLT-team. Voor een overzicht van de gerealiseerde samenstelling (april 2008) zie figuur 4. Nieuwe Wiskrant 28-1/september

16 van de invoering relatief veel leerlingen voor NLT kozen, verrassend gezien de onbekendheid met het vak. Uit een nog niet gepubliceerd survey van het LOP blijkt dat van de scholen die reageerden 19% tenminste twee HAVO-klassen NLT en 27% tenminste twee VWO-klassen NLT had gevormd. Bron: LOP (Berenice Michels, ongepubliceerd) fig. 4 samenstelling docententeam NLT (april 2008) De deelname van wiskundedocenten aan docententeams NLT is conform de geplande deelname zoals door scholen tot juni 2007 is gemeld. En ze is dus hoger dan op basis van eerdere onderzoeken te verwachten was (zie SONa- TE). Docenten NLT, ook wiskundedocenten, blijken desgevraagd de samenwerking met collega s van andere vakken een positief aspect van NLT te vinden. Een deel van de meerwaarde voor een docent wiskunde om mee te werken in het NLT-docententeam is gelegen in de mogelijkheid zicht te krijgen op de kennis en vaardigheden van leerlingen in andere vakgebieden, de mogelijkheid mee te kijken in de keuken van de collega s van andere (NLT-)vakken en de mogelijkheid diezelfde collega s te laten delen in concepten en werkwijzen bij wiskunde. Evenzo belangrijk is de kans om de leerlingen wiskunde te laten gebruiken in situaties die veel lijken op wat ze in een studie of beroep tegenkomen. Voorwaarde is wel dat de schoolleiding enige compensatie biedt voor de extra tijd en energie die zowel het leren werken in een team als de introductie van een nieuw vak kosten. Leerlingen Over de ervaringen van leerlingen is nog niet veel bekend, we kunnen er nog niet veel over melden.. Het LOP zal in de komende periode zowel bij docenten als leerlingen peilingen naar de ervaringen uitvoeren. We weten dat bij de start Docenten geven aan dat hoewel de eerste indruk van NLT (bij de startmodules) vaak die van een makkelijk vak is, leerlingen daarna ervaren dat NLT behoorlijke inspanning vereist. Maar leerlingen vinden met name het sterk praktische aspect van NLT vaantrekkelijk. Inspanning eisen kan overigens positief zijn, zoals enkele leerlingen die we spraken lieten weten. Wat betreft vakaspecten signaleren docenten tot nu toe voornamelijk problemen van leerlingen met gebrek aan natuurkundige voorkennis; over problemen op dit gebied met wiskunde zijn er tot nu toe geen berichten. Het komende jaar zal het LOP een aantal activiteiten ondernemen om de gang van zaken en met name ervaringen van leerlingen, te peilen en te evalueren. Daarbij zullen we ook de ervaringen met de wiskundige component betrekken. Na één jaar Het aantal scholen dat NLT aanbiedt, neemt nog steeds toe. Dit vak biedt interessante mogelijkheden, ook voor docenten wiskunde. Een aantal scholen biedt overigens zowel wiskunde D als NLT aan, dat schept voor docenten wiskunde, en niet te vergeten de leerlingen, nog meer kansen om twee interessante en verrijkende vakken te volgen; vakken die docenten, mede door het ontbreken van het keurslijf van een centraal examen, volop mogelijkheden bieden om samen met collega s kwalitatief hoogstaand onderwijs te verzorgen. Een onderwerp waar we niet op in konden gaan, is de rol die Regionale Steunpunten NLT aan scholen bieden bij het onderwijs in NLT. Voor meer informatie daarover zie de website van het LOP ( Josien Heijn SG Huizermaat, Huizen Jenneke Krüger SLO, Enschede, j.kruger@slo.nl 14 Wiskunde in NLT

17 Wat te bewijzen is (42) Rubriek Kort na het verschijnen van nummer 40 van deze rubriek werd ik via de elektronische post op aimabele wijze door Martinus van Hoorn en Hans Klein geattendeerd op een fout. Het betrof dit fragment: Terug naar de diophantische vergelijking: a 2 ab + b 2 = c 2 (*) Daarvan ken ik nu oneindig veel oplossingen: a = 2mn n 2, b = m 2 n 2, c = m 2 mn + n 2 met m, n natuurlijke getallen. Voor wie het niet vertrouwt, ligt hier een mooie algebra-oefening: substitueer deze vormen voor a, b en c en werk uit. Andere geheeltallige oplossingen dan die beschreven worden door bovenstaande formule, zijn er niet. Het venijn zit hem in de laatste uitspraak. Martinus en Hans merkten terecht op dat behalve (a, b, c) = (5, 8, 7) ook (3, 8, 7) voldoet aan de vergelijking (*) terwijl dit drietal niet geproduceerd wordt door bovengenoemde formules. In feite is het zo dat bij iedere geheeltallige oplossing (a, b, c) met a < b van (*) ook het trio (b a, b, c) een oplossing is. Dat wordt direct duidelijk als (*) herschreven wordt als: ab ( a) = b 2 c 2 Er is dus een tweede tabel van zeg complementaire oplossingen te maken die wordt gegenereerd door a = m 2 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 mn + n 2 Substitutie van m = 3, n = 1 geeft dan (a, b, c) = (3, 8, 7). De fout is minder ernstig dan zij op het eerste gezicht lijkt. Als ik in de bovenste parametervoorstelling voor (m, n) het paar (5, 1) invul, komt er (a, b, c) = (9, 24, 21) en dit trio is evenredig met (3, 8, 7). Doe ik dit in de tweede formule, dan komt er (a, b, c) = (15, 24, 21) en dat is weer evenredig met (5, 8, 7). Er kan wel degelijk worden volstaan met één parametervoorstelling, maar die moet dan niet als gelijkheid, maar als evenredigheid van tripels worden gezien en de laatste zin uit bovengenoemd fragment zou bijvoorbeeld zo kunnen worden verbeterd: geheeltallige oplossingen die niet evenredig zijn met de door de formule beschreven exemplaren, zijn er niet. Terugdenkend moet ik bekennen dat ik opkomende lichte argwaan bij het opschrijven van de gewraakte zin uit het fragment destijds heb weggewuifd met de gedachte aan de beroemde formule a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2 die de zogenaamde Pythagorese drietallen voortbrengt. Daarom ga ik daar nu eerst even op in. Pythagorese drietallen Het kleitablet Plimpton 322 (gedateerd zo n 1800 v.chr.) wordt wel eens beschouwd als de grootste prestatie van de Babylonische wiskunde. Het bevat vijftien geheeltallige oplossingen van de vergelijking a 2 + b 2 = c 2 die, op een enkele na, indrukwekkend groot zijn. Wat bijvoorbeeld te denken van: = ? Is het niet buitengewoon onwaarschijnlijk dat dit drietal tevoorschijn gekomen is na slim proberen? De deskundigen zijn het er wel over eens dat de Babyloniërs over een algoritme beschikten om zulke drietallen te vinden, zoiets als de formules onderaan in de vorige kolom. Substitutie van m = 81 en n = 40 in die formules levert inderdaad het drietal (4961, 6480, 8161) op. Die formules kunnen worden afgeleid via de methode: maak een rationale parametervoorstelling van de cirkel x 2 + y 2 = 1 met hulp van de draaiende lijn y = tx 1 en stel vervolgens t = m/n met m, n geheel. Zo kunnen de Babyloniërs echter onmogelijk hebben gehandeld. Hoe dan wèl? We weten dat zij beschikten over inversentabellen (van getallen met hun omgekeerde in het zestigtallig stelsel). Als we a 2 + b 2 = c 2 herschrijven als c a c a = 1 b b geeft dat een indicatie voor een mogelijke rekenwijze. Stel bijvoorbeeld: c a 81 = c a 40 en = b 40 b 81 Na respectievelijk optellen en aftrekken van deze twee breuken komt er -- c 8161 a = en = b 6480 b 6480 en dat verklaart de vondst (4961, 6480, 8161). Generalisatie van het voorbeeld levert op: c a = b -- c b m --- n m 2 + n 2 = mn en c a = b optellen en aftrekken en Dus: a, b en c moeten zich wel verhouden als m 2 n 2, 2mn en m 2 + n 2. Zo leveren m = 2 en n = 1 de bekende verhouding op; m = 3 en n = 1 doen dit trouwens ook, zij het in de gedaante (8, 6, 10). Een andere bekende van school, de rechthoekige driehoek (5, 12, 13), correspondeert met het paar m = 3, n = 2. a -- b --- n m m 2 n 2 = mn Nieuwe Wiskrant 28-1/september

18 Primitieve Pythagorese drietallen Om primitieve Pythagorese drietallen (a, b, c onderling ondeelbaar) te vinden, is het in de eerste plaats zaak om m en n onderling ondeelbaar te kiezen. Dat zo n keuze niet garant staat voor een primitief drietal, laat het voorbeeld (m, n) = (3, 1) zien. Wèl zeker is het dat 2 de enige kandidaat is om gemeenschappelijke priemdeler te zijn van a, b en c. Het bewijs is kort maar krachtig. Stel p is een priemdeler van zowel a = m 2 n 2 als b = 2mn (en dan automatisch ook van c). Uit p 2 volgt dat p deler is van m óf van n, maar niet van beide. Dit is echter in strijd met p is deelbaar op m 2 n 2. Ik onderscheid nu twee gevallen. (I) m is even en n is oneven (of omgekeerd). (II) m en n zijn beide oneven. In geval I is a het product van de oneven getallen m + n en m n en daarom niet deelbaar door 2, dus (a, b, c) zal nu een primitief drietal zijn. In geval II is a het product van twee even getallen, dus een viervoud terwijl b (het dubbele van het oneven getal mn) een viervoud + 2 is. Dus 2 is de ggd van a, b (en c). Na deling door 2 ontstaat er een primitief Pythagorees drietal (A, B, C). De vraag is nu: wordt dit drietal ook voortgebracht door onze parametervoorstelling? Wel, kies M 1 en en er komt = ( m + n) N = --( m n) 2 1 A = -- ( m 2 n 2 ) = 2MN en B = mn = M 2 N 2. 2 Het antwoord is dus ja en daarmee is aangetoond dat alle primitieve Pythagorese drietallen worden verkregen door in de parametervoorstelling voor m en n onderling ondeelbare getallen van verschillende pariteit te nemen. Ter illustratie: zie onderstaande tabel van Pythagorese drietallen bij onderling ondeelbare m en n. Categorie I Categorie II (m,n) (a, b, c) (m,n) (a, b, c) (2,1) (3, 4, 5) (3,1) (8, 6, 10) (3,2) (5, 12, 13) (5,1) (24, 20, 26 (4,1) (15, 8, 7) (5,3) (16, 30, 40) (4,3) (7, 24, 25) (7,1) (48,14, 50) (5,2) (21, 20, 29) (7,3) (40, 42, 58) Terug naar a 2 ab + b 2 = c 2 In de tabel hieronder staan naast elkaar de geheeltallige oplossingen (a, b, c) voortgebracht door de parametervoorstellingen a = 2mn n 2 links, a = m 2 2mn rechts, b = m 2 n 2 en c = m 2 mn + n 2 waarbij voor m en n onderling ondeelbare getallen zijn genomen met bovendien m > 2n. (m,n) (a, b, c) (m,n) (a, b, c) (3, 1) (5, 8, 7) (3, 1) (3, 8, 7) (4, 1) (7, 15, 13) (4, 1) (8, 15, 13) (5, 1) (9, 24, 21) (5, 1) (15, 24, 21) (5, 2) (16, 21, 19) (5, 2) (5, 21, 19) (6,1) (11, 35, 31) (6,1) (24, 35, 31) (7, 1) (13, 48, 43) (7, 1) (35, 48, 43) (7, 2) (24, 45, 39) (7, 2) (21, 45, 39) (7, 3) (33, 40, 37) (7, 3) (7, 40, 37) (8,1) (15, 63, 57) (8,1) (48, 63, 57) (8,3) (39, 55, 49) (8,3) (16, 55, 49) De voorwaarde m > 2n zorgt er in de linkerhelft van de tabel voor dat er geen doublures optreden door verwisseling van de uitkomsten van a en b en in de rechterhelft dat er geen negatieve uitkomsten voor a optreden. Evenmin als bij de Pythagorese drietallen staat de onderlinge ondeelbaarheid van m en n garant voor het primitief zijn van het tripel (a, b, c). In een merkte Hans Klein op dat a, b en c drievouden zijn als de som m + n een drievoud is. In de tabel wordt dat bevestigd in de grijs gemaakte regels. De waarheid volgt uit de twee identiteiten: 2mn n 2 = 3mn n(m + n) en m 2 n 2 = (m + n) (m n). Omgekeerd: als m en n onderling ondeelbaar zijn en als a en b beide deelbaar zijn door het priemgetal p, dan moet p = 3 en m + n een drievoud zijn. Bewijs: a = n(2m n) en b = (m + n ) (m n). Uit de onderlinge ondeelbaarheid van n en m volgt eenvoudig de onderlinge ondeelbaarheid van n en 2m n en ook van m + n en m n. Stel nu dat p deelbaar is op zowel a als b. Er zijn dan precies vier combinaties mogelijk, waarvan er drie tot tegenspraak leiden. p deler van n p deler van m + n (5,4) (9, 40, 41) (7,5) (24, 70, 74) p deler van 2m n p deler van m n (6,1) (35, 12, 37) (9,1) (80,18, 82) (6,5) (11, 60, 61) (9,5) (56, 90, 106) (7,2) (45, 28, 53) (9,7) (32, 126, 130) (7,4) (33, 56, 65) (11,1) (120, 22, 122) De beide combinaties met p is deler van n leiden tot p is deler van zowel m als n, hetgeen was uitgesloten. Uit p is deler van 2m n en van m n volgt dat p een deler is van (2m n) (m n) = m en vervolgens ook van n, opnieuw tegenspraak dus. Uit p is deler van 2m n en van m + n volgt dat p een deler 16 Wat te bewijzen is (42)

19 is van (2m n) + (m + n) = 3m (&). In samenhang met p is deelbaar op m + n leidt dit dan tot p = 3. De conclusie is nu: als m + n niet deelbaar is door 3, dan is (a, b, c) een primitief tripel. Zijn m en n onderling ondeelbaar en is m + n wèl deelbaar door 3, dan is 3 de ggd van a en b (en c). Immers in dat geval is n zeker geen drievoud, evenmin als m en m n. Is nu m + n een negenvoud, dan is 2m n weliswaar een drievoud, maar geen negenvoud, op grond van de identiteit (&). Laat (a, b, c) zo n trio met ggd 3 zijn dat in de linkerhelft van de tabel staat. Deling van a, b en c door 3 resulteert in een primitief drietal (A, B, C) dat zeker in de rechterhelft van de tabel is te vinden! Kies M 1 en = ( 2m n) N = --( m 2n) 3 M en N zijn geheel en onderling ondeelbaar, want 2m n en m 2n zijn beide drievoud, maar geen negenvoud. Er geldt dan: a MM ( 2N) = --( 2m n) n = = A 3 3 en 1 1 ( M N) ( M + N) = --( m + n) ( m n) = --b = B 3 Geheelzijdige driehoeken De oorsprong van de Pythagorese drietallen ligt in het zoeken naar geheelzijdige rechthoekige driehoeken. Net zo kan het oplossen van de diophantische vergelijking a 2 ab + b 2 = c 2 (*) worden gezien als het vinden van geheelzijdige driehoeken met een hoek van 60, denk maar aan de cosinusregel. En in samenhang daarmee kan de vergelijking a 2 + ab + b 2 = c 2 (**) worden beschouwd om geheelzijdige driehoeken met een hoek van 120 op te sporen. Er bestaat een innige relatie tussen deze beide laatste typen driehoeken (3, 8, 7) (3, 5, 7) Neem bijvoorbeeld de driehoek met a = 3, b = 5, c = 7. Omdat = 7 2 geldt γ = 120. Door aanplakken van gelijkzijdige driehoeken aan de beide zijden om de hoek van 120 ontstaan twee driehoeken met een hoek van 60. Iedere oplossing van (**) brengt aldus twee complementaire oplossingen van (*) voort. De algebraïsche bevestiging hiervan is een aardig oefensommetje (5, 8, 7) Afschuiving van de draaiende lijn Alle geheelzijdige en 60 -driehoeken kunnen worden gevonden door lijn y = tx 1 (t rationaal) te snijden met E*: x 2 xy + y 2 = 1 en E**: x 2 + xy + y 2 = 1. y O E* E** S Het snijpunt van de lijn t = 4 met de ellips E** is het punt 3 A -- 5 (, --), corresponderend met de driehoek (3, 5, 7) De snijpunten B (, ) en C -- 8 (, --) van de ellips E* met de lijnen t = 5 en t = 3 corresponderen met de driehoeken (3, 5 3 8, 7) en (5, 8, 7). Het punt D (--, --) is het spiegelbeeld van 7 7 A ten opzichte van de as x = y, is het snijpunt van E** met de lijn t = 2 en hoort bij het tripel (5, 3, 7). De relatie tussen geheelzijdige en 60 -driehoeken zoals die hiervoor is geschetst, wordt nu gerepresenteerd door een afbeelding van de ellips E** op E*. Daarbij gebruik ik twee punten (A en D) om de 120 -driehoek voor te stellen. De formule bij die afbeelding is ( x, y) ( x, x + y) Dit is een bekende affiene afbeelding die afschuiving heet. Elk punt wordt daarbij in verticale richting verschoven, waarbij de lengte en de richting van de vector wordt bepaald door de x-coördinaat van het punt. Deze afbeelding kan ook worden beschreven in termen van de richtingscoëfficiënt t van de lijn door S en heeft dan de voorstelling t t + 1. B t + 1 S A V t Ik merk nog op dat complementaire oplossingen van de vergelijking (*) corresponderen met twee punten van E* waarvan de verbindingskoorde horizontaal is (in bovenstaande figuur: B en C). Inderdaad, snijding van E* met een geschikte lijn y = r levert twee punten op waarvan de som van de x-coördinaten gelijk is aan r. B A 5 4 C D 3 BV SV 2 = Martin Kindt, martin@fi.uu.nl x AV SV Nieuwe Wiskrant 28-1/september

20 Je ziet ze steeds meer, de digitale schoolborden. Maar kun je die borden ook goed inzetten bij wiskundelessen? Die vraag kun je het beste laten beantwoorden door iemand die er zelf heel enthousiast over is. Naast wiskundedocent is Peter Vaandrager ook trainer voor het gebruik van deze borden. Het nieuwe schoolbord Inleiding Ruim twee jaar werk ik als wiskundedocent op CSG Liudger in Drachten met het ACTIV-board, voor mij het digitale schoolbord. Het is natuurlijk leuk zo n bord, maar hoe kun je dat bord nu in je les gebruiken, zullen velen zich afvragen. In het vervolg zal ik een beschrijving geven van een les die ik laatst gegeven heb in een lokaal met een AC- TIV-board. Vijfentwinting leerlingen V5 komen het lokaal binnen voor een les wiskunde B1. We zijn bezig met het hoofdstuk meetkundige berekeningen. Vandaag zijn we toe aan de sinusregel. Een paar lessen hiervoor hebben we het gehad over het vereenvoudigen van wortels. Met de klas was afgesproken dat we dat een keer zouden gaan testen. Na het welkom en de introductie krijgen alle leerlingen een kieskastje. Ondertussen heb ik via het bord het programma ACTIV-vote gestart. Dit programma zit standaard in het programma ACTIV-studio waarmee je alles op het bord kunt doen. Je bord is eigenlijk een groot computerscherm. De pen die je gebruikt, heeft dezelfde functies als je muis. Ondertussen toetsen de leerlingen de code in die achter hun naam op het bord verschijnt. Hierdoor weet de computer wie welk kieskastje heeft. En de toets kan beginnen. Een tiental wortels moet elk in vijftien seconden vereenvoudigd worden. Bij elke wortel staan vier mogelijke antwoorden. Zo n toets maken gaat vrij makkelijk. Je krijgt een scherm waarin je de vraag intoetst, aangeeft wat voor soort vraag het is (meerkeuze 2 tot en met 6; goed/fout vraag en dergelijke), wat het goede antwoord is, de tijdslimiet en uiteraard de mogelijke antwoorden. Deze keer heb ik ervoor gekozen om de vragen achter elkaar op het bord te laten verschijnen en het verbeteren van het antwoord binnen de tijd is uitgeschakeld. Na afloop exporteer je de antwoorden naar bijvoorbeeld een Excel-bestand. Het leukste/ spannendste moment voor leerlingen is altijd als het overzicht op het bord komt te staan. Deze keer blijkt dat een aantal leerlingen het nog niet snapt, dus met hen nog een keer om de tafel. Kieskastjes gaan weer terug in de koffer. Als iedereen zijn spullen voor zich heeft, beginnen we met een terugblik. Op het bord teken ik een driehoek met het menu voor lijnen en cirkels. Daarna vraag ik de leerlingen om eerst in hun eigen schrift de cosinusregel op te schrijven. Deze regel hebben we de vorige les behandeld. Een van de leerlingen vertelt mij wat ik op het bord moet schrijven. Regels schrijf ik altijd in blauw, zodat leerlingen weten dat dat de regels zijn die zij moeten kennen. Voor de rest schrijf ik berekeningen in groen en bij tekeningen gebruik ik veel groen en oranje. We gaan naar de volgende pagina. Gedurende een les schrijf je eigenlijk een boekje. Dat boekje kun je opslaan, en er eventueel een volgende les mee beginnen of mailen 18 Het nieuwe schoolbord