CONCEPTVOORSTELLEN LEERGEBIED REKENEN EN WISKUNDE

Transcriptie

1 CONCEPTVOORSTELLEN LEERGEBIED REKENEN EN WISKUNDE 7 mei 2019 INLEIDING In dit document vindt u de conceptvoorstellen van de leraren en schoolleiders van het ontwikkelteam Rekenen & Wiskunde. Het team vraagt hierop uw feedback vóór 11 augustus. Ga voor de samenvatting van de voorstellen en om feedback te geven naar Wat zijn dit voor voorstellen? De leraren en schoolleiders hebben een visie op het leergebied opgesteld, op basis daarvan de essenties van het leergebied benoemd (grote opdrachten) en die vervolgens uitgewerkt in kennis en vaardigheden voor het primair onderwijs en de onderbouw van het voortgezet onderwijs. Dit zijn de bouwstenen. Voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs heeft het team aanbevelingen geformuleerd voor de herziening van de eindtermen. De voorstellen gaan over de onderwijsinhoud (wat), niet over didactiek (hoe). Op basis van uw feedback werkt het team hieraan verder, om het vervolgens te overhandigen aan de minister voor Basis- en Voortgezet onderwijs. De voorstellen van alle ontwikkelteams van leraren en schoolleiders voor de 9 leergebieden vormen de basis voor de actualisatie van de huidige kerndoelen en eindtermen. Waarom deze actualisatie van het curriculum? Voor het eerst worden de kerndoelen van het primair en voortgezet onderwijs door leraren zelf en in samenhang geactualiseerd. Dit draagt bij aan doorlopende leerlijnen, de samenhang in het onderwijs, het terugdringen van overladenheid en de balans in de hoofddoelen van het onderwijs: kwalificatie, socialisatie en persoonlijke vorming. Lees verder op en bekijk de animatie op 1

2 INHOUDSOPGAVE VISIE OP HET LEERGEBIED REKENEN & WISKUNDE... 3 GROTE OPDRACHTEN 1 t/m 6 (inhouden)... 8 GROTE OPDRACHTEN 7 t/m 13 (denk- en werkwijzen)...27 RAAMWERK GROTE OPDRACHTEN EN BOUWSTENEN REKENEN & WISKUNDE...46 GENERIEKE AANBEVELINGEN BOVENBOUW VMBO, HAVO en VWO...47 BOUWSTENEN...48 Bouwsteenset 1.1: Getallen...48 Bouwsteenset 2.1: Verhoudingen...56 Bouwsteenset 3.1: Meten...59 Bouwsteenset 3.2: Vorm en ruimte...62 Bouwsteenset 3.3: Rekenen in de meetkunde...65 Bouwsteenset 4.1: Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen...67 Bouwsteenset 4.2: Speciale verbanden...70 Bouwsteenset 5.1: Kansen en kansverdelingen...73 Bouwsteenset 5.2: Data en statistiek...76 Bouwsteenset 6.1: Veranderingen...80 Bouwsteenset 6.2 Benaderingen...83 Bouwsteenset 7.1: Gereedschap en technologie gebruiken...86 Bouwsteenset 8.1: Probleemoplossen...89 Bouwsteenset 9.1: Abstraheren...92 Bouwsteenset 10.1: Logisch redeneren...95 Bouwsteenset 11.1: Representeren en communiceren...98 Bouwsteenset 12.1: Modelleren Bouwsteenset 13.1: Algoritmisch denken BIJLAGE 1: BEGRIPPENLIJST BIJLAGE 2: BRONNENLIJST

3 VISIE OP HET LEERGEBIED REKENEN & WISKUNDE Het project Curriculum.nu Doelstelling van het project Curriculum.nu is ontwikkeling van de curricula in negen leergebieden (uit: werkopdracht aan de ontwikkelteams): dat toekomstgericht is en waarbij de ontwikkeling van de leerling centraal staat; dat samenhangend is; waarbij er meer balans is tussen de drie hoofddoelen in het onderwijs: kwalificatie, socialisatie en persoonsvorming; dat een heldere doorlopende leerlijn po-vo kent, waarbij er ook sprake is van een goede aansluiting op de voorschoolse periode en het vervolgonderwijs; waarin de door de overheid vast te leggen kern voor alle leerlingen in het po en vo beperkt is, zodat overladenheid wordt teruggedrongen en er voldoende keuzeruimte is voor scholen en leerlingen; de gedachten gaan naar een kern van 70% van het huidige curriculum; dat scholen voldoende houvast biedt om op schoolniveau tot een samenhangend en doorlopend curriculum te komen. Het ontwikkelteam hecht het meeste belang aan de toekomstgerichtheid van het curriculum en de doorlopende leerlijn van po naar vo. Daarnaast acht ze het van belang dat een nieuw curriculum een stevig fundament van kennis en vaardigheden heeft, het leerlingen plezier verschaft, ertoe leidt dat leerlingen de wereld door een wiskundebril leren bekijken en zich wiskundige denk- en werkwijzen eigen maken. Met dit nieuwe curriculum moet maatwerk en differentiatie mogelijk zijn. Het bovenstaande vormt het uitgangspunt voor deze visie. A. Relevantie van het leergebied Positie van het leergebied Onder het leergebied Rekenen & Wiskunde worden alle vakken en leerdomeinen gerekend met rekenen en/of wiskunde in hun naam. Het leergebied vormt samen met Nederlands een basis voor alle andere vakken en leergebieden in het primair, speciaal en voortgezet onderwijs. Het fundament moet voor alle leerlingen van alle niveaus, van praktijkonderwijs tot vwo, op orde zijn zodat zij zelfredzaam kunnen zijn in de maatschappij. Voor de wijze waarop berekeningen en andere reken- en wiskundige bewerkingen uitgevoerd worden, is rekenen en wiskunde faciliterend voor andere vakken en leergebieden. Dat wil zeggen dat wat aan leerstof en denk- en In het primair en speciaal onderwijs gaat het om rekenen en wiskunde. De onderbouw van het voortgezet onderwijs kent een leergebied dat rekenen en wiskunde heet. In de bovenbouw wordt onderscheid gemaakt tussen rekenen en wiskunde, dat in havo en vwo op zijn beurt een aantal varianten kent. werkwijzen bij rekenen en wiskunde wordt geleerd, toegepast kan worden in de meeste andere leergebieden. Relevantie van het leergebied en onderdelen daarvan De taal van rekenen en wiskunde is voor iedereen hetzelfde. In geschreven taal zullen cijfers en symbolen er anders uitzien, maar de wiskundige principes blijven altijd hetzelfde. Deze universele vaktaal is voor ons allemaal, niet alleen voor reken- en wiskundigen. 3

4 In het dagelijks leven komen leerlingen automatisch in aanraking met rekenen en wiskunde. Rekenen en wiskunde hebben een belangrijke rol bij het begrijpen van de wereld om ons heen, dicht bij huis en verder weg; denk hierbij onder andere aan ontwikkelingen op het gebied van duurzaamheid en globalisering. Het leergebied nodigt verder uit tot veel gebruik van informatietechnologie. Het leergebied is dan ook onmisbaar voor socialisatie en persoonsvorming. Hiertoe dragen rekenen in contexten en het onderdeel data en onzekerheid bij. Daarnaast dragen rekenen en wiskunde bij aan kwalificatie voor de (onderwijs)loopbaan van elke leerling. Het onderdeel rekenen ten slotte heeft twee functies: bevorderen van het functioneel rekenen voorbereiden van leerlingen op wiskunde (formeel rekenen). Beide functies zijn niet voor alle leerlingen even relevant. De drie hoofddoelen van het onderwijs Het primair, speciaal en voortgezet onderwijs kent volgens de uitgangspunten van Curriculum.nu drie hoofddoelen: kwalificatie, socialisatie en persoonsvorming. De huidige curricula Rekenen & Wiskunde richten zich afhankelijk van de onderwijssector, leerweg en variant in meer of mindere mate op kwalificatie en socialisatie. In de vernieuwde curricula zal daarnaast ook (meer) aandacht zijn voor persoonsvorming. Hieronder wordt onder meer verstaan dat leerlingen de wereld door een wiskundebril leren bekijken en plezier beleven aan rekenen en wiskunde. Ook begrijpt de leerling de Voorbeelden van Rekenen & Wiskunde ten behoeve van socialisatie zijn: informatie en onzekerheid, meten, tijd en geld, analyseren van gegevens en gebruik van rekenen en wiskunde bij het oplossen van toepassingsproblemen. wereld en is daar, indien dat tot zijn of haar mogelijkheden behoort, kritisch over. Vooral het onderdeel 'Data en onzekerheid' draagt hieraan bij. Ook draagt dit onderdeel bij aan de socialisatie van leerlingen. Een toekomstgericht curriculum Een toekomstgericht curriculum voor het leergebied Rekenen & Wiskunde bereidt leerlingen voor op een flexibele invulling van hun plek in de maatschappij in een toekomst die nu nog onbekend is. Uitgangspunten voor een toekomstgericht curriculum zijn: het curriculum is uitdagend en motiverend voor elke leerling op elk niveau. Het curriculum biedt ruimte om talenten te ontdekken en te ontwikkelen en is vanuit de belevingswereld van de leerling interessant en betekenisvol. Ze biedt gelegenheid aan de leerling om zich voor te bereiden op zijn vervolgopleiding en gemotiveerd keuzes te maken. het curriculum kent een doordachte balans tussen de inhouden die gaan over de vakdomeinen en inhouden die gaan over de domeinoverstijgende denk- en werkwijzen (probleemoplossen, modelleren, logisch redeneren, abstraheren, representeren en communiceren en algoritmisch denken) en richt zich op een verwevenheid van kennis en vaardigheden. De wijze waarop leerlingen een resultaat van een reken- en wiskundetaak tot stand brengen, is tenminste zo belangrijk als het resultaat zelf. Via de genoemde wiskundige denk- en werkwijzen biedt het curriculum ruimte voor toepassing van brede vaardigheden als probleemoplossend denken en handelen, creatief denken, kritisch denken, samenwerken, oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan, communiceren en zelfregulering. gereedschap- en technologiegebruik zijn onlosmakelijk verbonden met rekenen en wiskunde. ICT neemt steeds meer reken- en wiskundewerk uit handen. Rekenen en wiskunde zijn vaak, onzichtbaar, ingebouwd in apparaten en 4

5 software. Leerlingen die kennis van de voorhanden zijnde gereedschappen en technologieën hebben, kunnen leren er beredeneerd gebruik van te maken. Deze vaardigheid heeft een directe relatie met brede vaardigheden als probleemoplossend denken en handelen, creatief denken, kritisch denken, samenwerken, oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan, communiceren en zelfregulering. B. Inhoud van het leergebied Karakteristiek van het leergebied Leerlingen verwerven in het onderwijs inhouden die gaan over de vakdomeinen en inhouden die gaan over de domeinoverstijgende denk- en werkwijzen: Bij de inhouden over de vakdomeinen staan één of meer reken- en wiskundige concepten centraal. De inhouden over de domeinoverstijgende denk- en werkwijzen kunnen op verschillende niveaus uitgeoefend worden. Deze niveaus beschrijven in welke mate een bekwaamheid in leerlinggedrag zichtbaar is of moet zijn. In de onderstaande figuur staat welke inhouden onderscheiden worden. Niet alle leerstof wordt in alle onderwijssectoren en wiskundevarianten aangeboden. Ook bevatten wiskundevarianten (A, B, C, D) in havo/vwo en wiskunde in leerwegen vmbo verschillende leerstof. 5

6 Versterken van samenhang binnen het leergebied Rekenen & Wiskunde Versterking van de samenhang tussen inhouden die gaan over de vakdomeinen en inhouden die gaan over de denk- en werkwijzen: verwante inhoud zo mogelijk in combinatie aan te bieden. Optellen en aftrekken zijn bijvoorbeeld aan elkaar verwante basisbewerkingen. In plaats van optellen en aftrekken als afzonderlijke basisbewerkingen aan leerlingen te presenteren, kunnen ze ook in gezamenlijkheid aangeboden worden. relevante denk- en werkwijzen gelijktijdig te koppelen aan de inhouden die gaan over de vakdomeinen. Probleemoplossen en representeren & communiceren zijn denk- en werkwijzen die natuurlijkerwijs passen bij het domein verhoudingen. Door het accent te verleggen van de verhouding sec naar de combinatie van verhoudingen en wiskundige denk- en werkwijzen kan de kennis van de inhoud en vaardigheid van het probleemoplossen groeien. denk- en werkwijzen niet los van elkaar te zien. Bijvoorbeeld bij het schatten van de orde van grootte van het te betalen bedrag kan er sprake zijn van de denk- en werkwijzen probleemoplossen, abstraheren, logisch redeneren en representeren & communiceren. begripsvorming en toepassing als een onderdeel van verwerving van de leerstof te zien. de onderlinge aansluiting van verschillende leerlijnen binnen en tussen de onderwijssectoren te verstevigen, in het bijzonder die tussen vmbo-gt en havo en tussen het primair en voortgezet onderwijs. De rol van informatietechnologie in het leergebied Informatietechnologie gericht leren inzetten valt onder de denk- en werkwijze 'Gereedschappen en technologie gebruiken'. Zolang dat niet ten koste gaat van noodzakelijke begripsvorming, kan informatietechnologie een deel van het reken- en wiskundewerk voor zijn rekening nemen, rekenkundige en wiskundige problemen inzichtelijk maken en extra mogelijkheden bieden voor bijvoorbeeld exploratief onderzoek. Informatietechnologie kan verder een toepassingsdomein zijn voor andere wiskundige denk- en werkwijzen zoals algoritmisch denken. Hier is samenhang met het leergebied Digitale geletterdheid. De positie van het leergebied in het curriculum Andere voorbeelden van verwante inhouden zijn: verhoudingen, breuken en procenten decimale getallen en meten de wetenschappelijke notatie en letterrekenen met machten Creëren van doorlopende leerlijnen po-vo We maken onderscheid tussen leerlijnen en ontwikkelingslijnen. Een leerlijn bestaat uit een beredeneerde volgordelijkheid van leerdoelen en inhouden die tot een bepaald einddoel leiden (SLO, z.j.). De lijnen waarlangs een leerling daadwerkelijk concepten verwerft, worden ontwikkelingslijnen genoemd. Leerlijnen lopen van groep 1 tot en met het einde van het voortgezet onderwijs (en verder ). Het is belangrijk dat deze leerlijnen van po via vo naar vervolgonderwijs doorlopend zijn zodat een ononderbroken ontwikkelingslijn mogelijk wordt. Daarmee wordt het ontstaan van overlap en hiaten voorkomen. Bij het verbeteren van doorlopende leerlijnen worden de volgende uitgangspunten gehanteerd: Als basis dient een stevig fundament van inhoudelijke kennis en wiskundige denk- en werkwijzen, waarop voortgebouwd kan worden met abstracte diepgang. De verhouding tussen de functionele basis en meer abstracte diepgang verschilt tussen uitstroomperspectieven. 6

7 De niveaus van denken en handelen zijn de basis voor het vormgeven van de leerlijnen in elk van deze perspectieven. Wat precies deel uit maakt van het fundament en hoe leerlijnen van uitstroomperspectieven op basis van denk- en handelingsniveaus vormgegeven worden, komen later in het traject aan bod. Versterken van de samenhang met andere leergebieden De leergebieden leveren aan Rekenen & Wiskunde concepten die voor Rekenen & Wiskunde contexten vormen. Dit leergebied levert vervolgens reken- en wiskundig instrumentarium aan andere leergebieden. Op deze wijze krijgt het leergebied Rekenen & Wiskunde meer betekenis voor de leerlingen dan nu het geval is. Uitgangspunt is dat leerlingen reken- en wiskundige leerstof verwerven en zich wiskundige denk- en werkwijzen eigen maken in het leergebied Rekenen & Wiskunde en toepassen in andere leergebieden. Deze leergebieden dienen daarbij de verantwoordelijkheid te nemen om rekenen en wiskunde op dezelfde manier te gebruiken als leerlingen dat geleerd hebben bij rekenen en wiskunde om zo de samenhang te borgen, bijvoorbeeld via rekenbewust vakonderwijs in het voortgezet onderwijs. Dit wil niet zeggen dat álle toepassing van rekenen en wiskunde in andere leergebieden plaatsvindt. De curricula Rekenen & Wiskunde bieden zelf ook ruimte voor toepassingen. Tijdens het verwerven van het fundament van rekenen en wiskunde is het van belang dat er aandacht besteed wordt aan vaktaal. Zij moeten deze taal niet alleen "op papier" kunnen interpreteren, maar ze ook bij het oplossen van problemen zelf productief kunnen gebruiken en de relatie kunnen leggen tussen reken- en wiskundetaal, school(boek)taal en dagelijkse taal (Van Eerde, 2009). Een compact curriculum Een belangrijke doelstelling van Curriculum.nu is reductie van de overladenheid van de verschillende curricula. Daartoe is het noodzakelijk dat de curricula compacter worden. Om dit te realiseren worden onderstaande uitgangspunten gehanteerd: verwante inhoud wordt zo mogelijk in samenhang aangeboden, zoals elders beschreven is. aan automatiseren en memoriseren wordt gepast aandacht geschonken, in de ene onderwijssector soms meer dan in andere. Voor complexe berekeningen wordt gebruik gemaakt van technologie in combinatie met schattend rekenen. als gevolg van het bovenstaande wordt de moeilijkheidsgraad van reken- en wiskundetaken die uitgevoerd kunnen worden met alleen kennis van rekenfeiten en beheersing van routines, beperkt. ook herschikking van leerstof tussen primair en voortgezet onderwijs behoort tot de mogelijkheden. 7

8 GROTE OPDRACHTEN 1 t/m 6 (inhouden) Grote opdracht 1: Getallen en bewerkingen Relevantie Deze Grote opdracht vormt een belangrijk fundament voor het leergebied Rekenen & Wiskunde en de meeste andere leergebieden in alle fases van het primair en voortgezet onderwijs en binnen alle andere Grote opdrachten. De wereld om ons heen zit vol getallen: in het verkeer, de winkel, de keuken, in de beroepspraktijk, op internet en op de beurs. In onze maatschappij zijn steeds meer digitale hulpmiddelen die het complexere rekenwerk kunnen overnemen. Deze verandering heeft impact op de aard van op te lossen problemen en op de wijze waarop we problemen oplossen, de wijze van redeneren en op de wijze van communiceren. Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken, zien we dat getallen verschillende betekenissen en functies kunnen hebben. Getallen kunnen namen (buslijn 7), aantallen of maten aanduiden; denk bijvoorbeeld aan tijd, geld, getallen op displays/meetinstrumenten, op verpakkingen en in gebruiksaanwijzingen. Maar met getallen kan ook gerekend worden. Inzicht hebben in getallen en bewerkingen en ermee kunnen werken is een noodzakelijke voorwaarde om te kunnen functioneren in onze voortdurend veranderende maatschappij. De toename van digitale hulpmiddelen die het complexere rekenwerk van ons overnemen maakt dat schattend rekenen een belangrijkere vaardigheid wordt. Het is van belang dat een leerling zich ervan bewust is in welke situaties schattend rekenen volstaat, bijvoorbeeld bij de vraag hoeveel mensen er ongeveer op het perron staan te wachten, maar ook wanneer niet. Als het bijvoorbeeld gaat om het doseren van medicijnen, de hoogte van het salaris of de hoeveelheid wisselgeld vraagt dat om een nauwkeurige berekening en is schatten niet toereikend. Met schattend rekenen kan een leerling zijn antwoorden en die van anderen controleren. Ook al vermindert deze ontwikkeling de nadruk op vlot cijferend kunnen rekenen met grote getallen, begrip van en vaardigheid in het uitvoeren van bewerkingen volgens vaste of meer flexibele procedures blijft van groot belang voor de verdere wiskundige ontwikkeling en voor de redzaamheid. Bedenk alleen maar waarop men terug moet vallen als (digitale) hulpmiddelen even niet beschikbaar zijn en om te controleren of de invoer juist was. Hoewel er verschuivingen optreden in de vaardigheden die leerlingen moeten leren om goed om te gaan met getallen en bewerkingen, is er door de komst van digitale hulpmiddelen wel een reductie van de leerstof mogelijk. Van goed kunnen omgaan met getallen en bewerkingen heb je een leven lang plezier: in andere leergebieden, in het beroepenveld, als privépersoon en als burger. Inhoud van de opdracht Bij deze Grote opdracht 'Getallen en bewerkingen' gaat het enerzijds om het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden op het gebied van getallen en bewerkingen, anderzijds gaat het om het ontwikkelen van het vermogen op de wiskundige denk- en werkwijzen: Probleemoplossen, Abstraheren, Logisch redeneren, Representeren en communiceren, Modelleren, Algoritmisch denken en Gereedschap en technologie gebruiken. 8

9 Jonge kinderen Kinderen komen al op jonge leeftijd in aanraking met aantallen, nummers, cijfers en getallen. Aanvankelijk worden getallen nog gekoppeld aan hoeveelheden. In het volgende stadium abstraheren leerlingen: ze gaan getallen zien als objecten, die je los kunt zien van een context ('drie', in plaats van 'drie appels'). Langzamerhand gaan de getallen voor het kind leven. Ze zien dat getallen bepaalde betekenissen en functies hebben en er ontstaat bij kinderen elementair getalbegrip, zoals hoeveelheden kunnen tellen en vergelijken. Hierbij kunnen de kinderen ook de juiste reken-/wiskunde taal toepassen. Ze gaan getalsymbolen herkennen en weten dat er een vaste volgorde is. Getallen en getalbegrip De leerlingen ontwikkelen inzicht in eigenschappen van en relaties tussen getallen. Zo leren ze de tientallige structuur in ons talstelsel en denken na over bijvoorbeeld deelbaarheid en priemgetallen. Vanuit deze basis breidt het getalbegrip van leerlingen zich uit naar grotere getallen, decimale getallen en breuken. Ook voor deze getallen geldt dat getallen aanvankelijk aan betekenisvolle contexten gekoppeld worden, zoals aan geld: 1,28. Vervolgens wordt het getal losgekoppeld van de context (abstraheren) en wordt 1,28 een object waarmee gerekend kan worden. Ook daar waar breuken in eerste instantie aanduidingen zijn voor 'deel van een geheel', en resultaat van een deling, worden breuken ook getallen waarmee gerekend kan worden (rationale getallen). Nog later breidt het getalbegrip van leerlingen zich uit met negatieve getallen en irrationele getallen (bijvoorbeeld π of 2). Deze representatie met cijfers kan vervolgens aangevuld worden met andere representaties, bijvoorbeeld Romeinse cijfers, binaire getallen en wetenschappelijke notaties. Getallen kennen meer dan één representatie en lenen zich daarom voor verwerving van een denk- en werkwijze als Representeren en communiceren. Bijvoorbeeld: Welke representatie gebruik je in welke situatie? Bewerkingen Een eerste begrip van getallen en hoeveelheden biedt de basis voor het leren rekenen. Bij het leren van de bewerkingen is het essentieel dat leerlingen niet alleen de eigenschappen van bewerkingen leren, maar deze ook in samenhang aangeboden krijgen. Het splitsen van getallen is voorwaardelijk voor het vlot kunnen uitvoeren van de bewerkingen optellen en aftrekken. De relaties tussen die bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) leren ze doorzien en gebruiken. Bijvoorbeeld de relatie tussen optellen en aftrekken of tussen vermenigvuldigen en delen, maar ook tussen bijvoorbeeld optellen en vermenigvuldigen en aftrekken en delen. Leerlingen leren de bijbehorende rekenen-wiskundetaal, verschillende rekenstrategieën en rekenprocedures zowel voor exact rekenen als voor schattend rekenen. Ze leren basisvaardigheden automatiseren (vlot uitvoeren) en in sommige gevallen te memoriseren (direct weten, zoals bijvoorbeeld de tafels van vermenigvuldiging). Ze kunnen met hun verworven kennis, inzicht en vaardigheden 9

10 nieuwe, nog onbekende problemen oplossen, al dan niet ondersteund met schema's en plaatjes. Dat laatste kan als eerste kennismaking dienen met de denk- en werkwijze Modelleren. De getallen waarmee leerlingen rekenen worden steeds groter, en ze leren rekenen met decimale getallen en breuken. Ook het aanbod van bewerkingen wordt uitgebreid met machtsverheffen, worteltrekken en logaritmen. Ook hier is het van belang dat leerlingen niet alleen de eigenschappen van deze bewerkingen leren, maar ook de relaties tussen die bewerkingen doorzien en gebruiken (bijvoorbeeld de relatie tussen machtsverheffen en worteltrekken en de voorrangsregels die gelden bij meerdere bewerkingen in een opgave). Berekeningen met getallen kunnen uitgevoerd worden door middel van standaardprocedures. Het beheersen daarvan is er één. Maar als een leerling gevraagd wordt te beschrijven hoe zo'n procedure in zijn werk gaat, ontwikkelt hij zijn algoritmisch denkvermogen. Bovendien lenen getallen zich om te leren logisch te redeneren. Een vraagstuk om aan te tonen dat het product van twee oneven getallen altijd oneven is, biedt gelegenheid om verschillende niveaus van redeneren toe te passen (een paar voorbeelden uitschrijven, een rechthoek tekenen en daarmee de bewering aantonen of (2n + 1)(2k + 1) = 4kn + 2n + 2k + 1 = even getal + 1 = oneven getal. Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote opdracht 'Getallen en bewerkingen': Probleemoplossen In de bus zitten voor de halte 28 mensen en na de halte 31 mensen. Er zijn 7 mensen ingestapt. Hoeveel mensen zijn er uitgestapt? Abstraheren Leerlingen leren vanuit een verhaal of situatie een bewerking te formuleren; jonge leerlingen leren te praten over 'drie' zonder daarbij nog te denken aan een hoeveelheid. Logisch redeneren De telrij of getallenrij is oneindig. Die rij ken je niet uit je hoofd. Hoe weet je toch altijd wat het volgende getal is? Leg eens uit. Representeren en communiceren Welk getal staat hier: 9,6 x 10 7? En hier: CIX? Modelleren Een busrit begint met 4 passagiers. Gegeven is hoeveel passagiers op elke halte in- en uitstappen. Maak een schema waaruit je kunt afleiden hoeveel passagiers er op het einde van de busrit uitstappen. Algoritmisch denken Leg stap voor stap hoe je een vermenigvuldiging als 28 x 67 cijferend oplost. Gereedschap en technologie gebruiken - Gebruik je je rekenmachine om 6,99 + 7,95 op te tellen? Waarom wel/niet? Brede vaardigheden Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden aan bod: 10

11 Kritisch denken Creatief denken en praktisch handelen Probleemoplossend denken Zelfregulering Communiceren 11

12 Grote opdracht 2 : Verhoudingen Relevantie Denken in en omgaan met verhoudingen speelt een belangrijke rol in ons leven. In het nieuws en via de politiek krijgen we berichten over allerlei verhoudingen: de balans privé/werk, de stijging van consumentenprijzen met 2%, de machtsbalans of de bevolkingssamenstelling. Ook in het persoonlijke leven en de beroepspraktijk gebruiken we veelvuldig verhoudingen. Bijvoorbeeld bij het in- en uitzoomen op je laptop, bij recepten, bij schoonmaakmiddeldoseringen en bij schaalmodellen die je met een 3D printer kunt maken. Verhoudingen zijn zo nabij en overal aanwezig dat een goed begrip ervan noodzakelijk is. Als we met een wiskundige bril kijken zien we dat er bij verhoudingen steeds sprake is van twee of meer grootheden die ten opzichte van elkaar vergeleken worden. Verhoudingssituaties kunnen kwalitatief of schattend benaderd worden, zoals in de zin van: 'Mijn vader heeft grotere voeten dan ik, maar in verhouding heb ik grotere voeten dan hij', of kwantitatief zoals bij schaal of percentages. In het dagelijks gebruik is begrip van en vaardigheid in het omgaan met verhoudingssituaties volgens vaste of meer flexibele procedures van groot belang, bijvoorbeeld bij prijsvergelijkingen (Is de grote pot pindakaas in verhouding wel echt goedkoper dan de kleinere pot?). Begrip van verhoudingen is belangrijk voor het kunnen rekenen met samengestelde grootheden (bijvoorbeeld snelheid in km/uur, dosering in ml/l), met vergrotingen binnen de meetkunde en bij kansen. Digitale technologie, bijvoorbeeld werken met spreadsheets, kan het oplossen van verhoudingsproblemen ondersteunen en vergemakkelijken. Grootheden in verhouding tot elkaar leren zien draagt naast een verdere wiskundige ontwikkeling bij aan de persoonsvorming en maatschappelijke redzaamheid. Binnen het leergebied is er een sterke verbinding met de Grote opdrachten: 'Meten en meetkunde' (het vergroten/verkleinen van figuren, rekenen met schaal, de guldensnede, goniometrie) en 'Data, statistiek en kans'. Ook in andere leergebieden en de beroepsvakken komen verhoudingen voor bij de toepassingen van het vak. Vanuit het faciliterende karakter van het leergebied Rekenen & Wiskunde voor andere leergebieden onderstrepen we hier wat in de visie beschreven is over een samenhangende aanpak: toepassing van reken- en wiskundig instrumentarium op het gebied van verhoudingen kan het begrip van verhoudingen vergroten bij alle leergebieden. Inhoud van de opdracht Bij deze Grote opdracht 'Verhoudingen' gaat het enerzijds om het verwerven van begrip, kennis, en vaardigheden op het gebied van verhoudingen, anderzijds gaat het om het ontwikkelen van het vermogen op de wiskundige denk- en werkwijzen: Probleemoplossen, Abstraheren, Logisch redeneren, Representeren en communiceren, Modelleren en Gereedschap en technologie gebruiken. De denk- en werkwijze Algoritmisch denken past minder bij deze grote opdracht. 12

13 Jonge kinderen komen al vroeg met kwalitatieve verhoudingen in aanraking. Er kan gedacht worden aan uitdrukkingen als 'kleiner dan' en 'ouder dan' in verhouding tot iets anders. Als leerlingen dit fundament begrijpen is een overstap naar een kwantitatieve benadering met getalsmatige verhoudingen mogelijk. Dus niet meer 'hij is ouder dan ik ben', maar 'hij is twee keer zo oud als ik ben'. Contexten uit het dagelijks leven zoals het werken met recepten en de juiste hoeveelheid voer aan verschillende aantallen dieren ondersteunen het begrip van en rekenen met verhoudingen. Het domein Verhoudingen leent zich goed om de denk- en werkwijzen Probleemoplossen en Logisch redeneren te ontwikkelen. Veel situaties in het dagelijks leven rond verhoudingen vragen om niet routinematige aanpakken. Denk bijvoorbeeld aan prijsvergelijkingen met allerlei varianten zoals bijvoorbeeld aanbiedingen van verschillende abonnementen voor mobiele telefoons. Het gaat dan zowel om het berekenen van het goedkoopste abonnement als om het best passende abonnement, afhankelijk van het gebruik door de persoon in kwestie. Een verhouding kent verschillende representaties, zoals een percentage, een breuk, een schrijfwijze als '1 van de 8' of een notatie als 1 : 8. Welke representatie wanneer gebruikt wordt hangt af van de situatie en de doelgroep is onderdeel van Representeren en communiceren. Het is belangrijk dat breuken, procenten, verhoudingen en decimale getallen in samenhang worden aangeboden evenals het hanteren van een gemeenschappelijke taal voor het hele gebied van verhoudingen. Dit draagt ook bij aan Abstraheren. Modelleren met bijvoorbeeld de strook, dubbele getallenlijnen en verhoudingstabellen helpt bij het structureren van wiskundige verhoudingsproblemen. Bij het rekenen met verhoudingen bepaalt de fase waarin een leerling zit, of naast deze modellen ook een meer formele manier van rekenen nodig is, zoals rekenen met een verhoudingsfactor. Bij gebruik van de rekenmachine of Excel is deze factor van belang. In het vo komen herhaalde procentberekeningen, exponentiële verbanden en evenredigheid aan de orde. Bij het vak economie leren leerlingen bijvoorbeeld rekenen met rente over rente (samengestelde interest). Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote opdracht 'Verhoudingen': Probleemoplossen De BTW is verhoogd van 6% naar 9%. Met hoeveel procent nemen de prijzen toe? Abstraheren Op elke brildrager zijn er twee mensen die geen bril dragen. Welk deel van de mensen draagt geen bril? Logisch redeneren Als je eerst iets verhoogt met 10% en daarna weer verlaagt met 10%, kom je dan weer op het oorspronkelijke bedrag uit? Leg je redenering uit. Zowel in groep 7 als in groep 8 is 40% van de leerlingen een meisje. Mag je dan zeggen dat er in beide groepen evenveel meisjes zitten? Noem eens voorbeelden. Representeren en communiceren Een Engelse landkaart heeft een schaal van 1 inch : 3 mijl. Hoe schrijf je dat in normale schrijfwijze? 13

14 Modelleren In de supermarkt zijn veel verschillende verpakkingen cola verkrijgbaar. Geef met behulp van verhoudingstabellen aan welke verpakking de hoogste literprijs heeft. Gereedschap en technologie gebruiken - Het vergroten en verkleinen van plaatjes op een tablet. Brede vaardigheden Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden aan bod: Kritisch denken Creatief denken en praktisch handelen Probleemoplossend denken Zelfregulering Communiceren 14

15 Grote opdracht 3: Meten en meetkunde Relevantie Meten en meetkunde komen we overal tegen in de wereld. Van de technische sector tot de creatieve industrie en van de zorg tot de agrarische sector. Maar ook in het persoonlijk leven. Al sinds de oudheid maken maten, ruimte, vormen en patronen deel uit van onze wereld, van knutselen en bouwen tot aan het begrijpen van de ruimtevaart. Het herkennen, verklaren en beschrijven van situaties in de ruimte om ons heen (routebeschrijvingen, dag en nacht) horen tot het domein van de meetkunde. Meten gaat over grootheden als lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, temperatuur en tijd. Nieuwe (digitale) hulpmiddelen als de elektrische fiets, gezondheidsapps en virtual reality veranderen het handelen in het persoonlijk leven, de maatschappij, de studie en het beroep op het gebied van meten en meetkunde. Dit draagt bij aan de persoonsvorming. Door met een wiskundige bril naar de wereld te kijken ontwikkelt de leerling een gevoel voor ruimte, grootte, omvang en plaats. Het domein Meten en meetkunde bevat contexten en onderdelen die de nieuwsgierigheid prikkelen en zo een onderzoekende houding uitlokken. De beschikbaarheid van (digitale) hulpmiddelen die het fysieke handelen uit handen kunnen nemen en/of tekeningen maken, geeft het zelf construeren en meten met wiskundige gereedschappen een andere functie. Denk bijvoorbeeld aan het meten van lengtes met behulp van een laser tot op de millimeter nauwkeurig in plaats van met bijvoorbeeld een rolmaat. Ook al vermindert deze ontwikkeling de nadruk op het zelf kunnen uitvoeren, begrip van en vaardigheid in meten en het construeren van vormen en figuren volgens vaste of meer flexibele procedures blijft van groot belang voor verdere wiskundige ontwikkeling, voor maatschappelijke redzaamheid en (na)controle. En er verdwijnen eenheden verschijnen nieuwe eenheden. Oude eenheden als 'duim' en 'ons' hebben plaatsgemaakt voor de standaard-eenheden als 'meter' en 'kilogram'. Tegenwoordig gebruiken we ook nieuwe grootheden als filedruk, BMI en downloadsnelheid. In de toekomst zal kennis uit Meten en meetkunde in combinatie met andere onderdelen van het leergebied Rekenen & Wiskunde en andere leergebieden toegepast worden in nieuwe situaties. Denk aan zelfrijdende auto s, navigatiesystemen en het meten van de omvang van ijskappen. Het domein Meten leent zich ook goed als context voor een verder begrip van het getalsysteem, met de tientallige structuur. Denk bijvoorbeeld aan de tientallige structuur van het metriek stelsel. Het goed benutten van de samenhang tussen de grote opdrachten 'Getallen en bewerkingen' en 'Meten en meetkunde' kan bijdragen aan een reductie van de leerstof. 15

16 Inhoud van de opdracht Bij deze Grote opdracht 'Meten en meetkunde' gaat het enerzijds om het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden op het gebied van meten en meetkunde, anderzijds gaat het om het ontwikkelen van het vermogen op de wiskundige denk- en werkwijzen: Probleemoplossen, Abstraheren, Logisch redeneren, Representeren en communiceren, Modelleren, Algoritmisch denken en Gereedschappen en technologie gebruiken. Meten gaat om het bepalen van grootte en omvang van grootheden, hetgeen de leerling tot uitdrukking brengt in maten. Het betreft dan de volgende grootheden: lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijd. Geld zou ook een maat genoemd kunnen worden, maar dat is zo minimaal dat we die hier buiten beschouwing laten. Leerlingen maken kennis met verschillende maten en (digitale) meetinstrumenten, en in welke situaties die gebruikt worden. Een maat bestaat uit een combinatie van een maatgetal en een eenheid. Omdat eenheden in elkaar omgerekend kunnen worden, kent een maat verschillende representaties. Leerlingen leren deze kennen en begrijpen en in elkaar omrekenen. Ze ontwikkelen maatgevoel en verzamelen referentiematen (een grote stap is ongeveer een meter; een deur is ruim twee meter hoog). Bij het leren doorzien van het metriek stelsel en omrekenen van eenheden maken leerlingen gebruik van hun begrip van het tientallig stelsel. Bij het onderwerp 'Tijd' verloopt dit anders. De klok en kalender passen niet in het tientallig stelsel. Tijd is ook een onderwerp waarbij leerlingen kunnen werken aan de denk- en werkwijze Representeren en communiceren. Denk bijvoorbeeld aan het omgaan met kalenders, agenda's en hoe je met elkaar afstemt bij het maken van afspraken of het maken van een reis. Meetkunde beschrijft en verklaart vorm en ruimte. Dit gebeurt zowel in twee als in drie dimensies. Daarnaast is er overlap tussen meten en meetkunde. Het bepalen van de hoogte van een huis is meten, het maken van een zijaanzicht is meetkunde. Het tekenen vanuit verschillende perspectieven (plattegronden, zijaanzichten) draagt bij aan de ontwikkeling van de denk- en werkwijze Modelleren. De opbouw gaat van herkennen en benoemen van vormen, het indelen van vormen zoals driehoeken, vierkanten en rechthoeken naar het definiëren van deze vormen. Leerlingen leren hierbij abstraheren. Daarnaast leert de leerling ermee redeneren en rekenen. Bijvoorbeeld bij het berekenen van de oppervlakte van een vlak figuur. Of het berekenen van de inhoud van samengestelde figuren met behulp van formules (de inhoud van een huis = de inhoud van een balk + inhoud van een prisma). Meten en meetkunde lenen zich ook goed om de denk- en werkwijzen Probleemoplossen en Logisch redeneren te ontwikkelen: Wat is de grootste oppervlakte die je kunt maken met een omtrek van 60 m 2 en hoe weet je dat dit de grootste oppervlakte is? Logisch redeneren in de meetkunde kan variëren van het gebruik van een schetsje tot een formeel wiskundig bewijs, denk bijvoorbeeld aan het werken met kijklijnen. Algoritmisch denken kan in de meetkunde aan bod komen bij het beschrijven van de wijze waarop een meetkundige constructie met passer en liniaal uitgevoerd wordt. Sommige leerlingen, afhankelijk van het uitstroomperspectief, werken aan analytische meetkunde en vectormeetkunde (zowel twee- als driedimensionaal), bij andere 16

17 uitstroomprofielen ligt de nadruk op functioneel gebruik in de dagelijkse (beroeps- )praktijk. Denk aan de bouw, koken, reizen. Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote opdracht 'Meten en meetkunde': Probleemoplossen Hoeveel blikken van 2 liter verf heb je nodig om een muur van 8 bij 3,2 meter te verven? Abstraheren Leg uit dat als de lengte en breedte van een rechthoek verdubbelen, de oppervlakte van die rechthoek vier keer zo groot wordt. Logisch redeneren Leg uit dat elk vierkant ook een rechthoek is. Representeren en communiceren Teken de route die we gelopen hebben op Ontwerp op een fietsroute van ongeveer 50 km waarbij we ook weer terugkomen op het punt van vertrek. De luchtdruk in een fietsband is 80 pounds per square inch. Hoeveel atmosfeer is dat? Modelleren Maak een bouwtekening (op schaal) van het konijnenhok dat je gaat maken met je groep. Algoritmisch denken Beschrijf hoe je met passer en liniaal het midden van twee gegeven punten kunt bepalen. Gereedschap en technologie gebruiken Teken de middelloodlijn van een lijnstuk met behulp van passer en liniaal. Brede vaardigheden Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden aan bod: Kritisch denken Creatief denken en praktisch handelen Probleemoplossend denken Zelfregulering Communiceren 17

18 Grote opdracht 4: Variabelen, verbanden en formules Relevantie In de huidige samenleving is het belangrijk dat mensen snel op de hoogte kunnen zijn van allerlei zaken en gebeurtenissen in de wereld, bijvoorbeeld bij rampen. Door de informatie te ordenen en te vertalen in bijvoorbeeld grafieken kunnen we gebeurtenissen beter begrijpen, verbanden leggen en een ontwikkeling voorspellen. De technologie hierbij ontwikkelt zich in een rap tempo. Ontwikkelingen op het gebied van bijvoorbeeld mobiele telefonie, duurzame energie, domotica (huisautomatisering) en de beurshandel zorgen voor veel verschillende informatiestromen die niet altijd overzichtelijk of te controleren zijn. Denk bijvoorbeeld ook aan misleidende grafieken die een vertekend beeld schetsen omdat er een deel van de informatie niet zichtbaar is. Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken, zien we in informatie allerlei verbanden. Denk bijvoorbeeld aan het verband tussen het aantal bananen en het gewicht, tussen de tijd en de afgelegde afstand of tussen het aantal mensen waaronder de kosten verdeeld moeten worden met het te betalen bedrag. Het gaat steeds om twee (of meer) grootheden (die verschillende waarden kunnen hebben) die met elkaar samenhangen. Wanneer bijvoorbeeld de kosten over meer mensen verdeeld worden, neemt het te betalen bedrag per persoon af. Bij het omzetten van informatie naar verbanden en formules spelen schematische voorstellingen en modellen al van oudsher een grote rol. Wiskunde is betekenisvol omdat het van belang is dat leerlingen leren met gegevens om te gaan, verbanden leren zien en deze weer te geven in een formule met variabelen. Denk bijvoorbeeld aan een (woord-)formule die de totaalkosten van een concertbezoek weergeeft met een prijs per kaartje van 25,- en daar bovenop de administratiekosten van 10,-. De woordformule wordt dan: totale kosten kaartjes = aantal kaartjes x Formules zijn een wiskundige weergave van verbanden. Zij vormen een universele taal die de communicatie wereldwijd vergemakkelijkt. Deze Grote opdracht vertoont een sterke samenhang met de Grote opdrachten Getallen en Bewerkingen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde, en Veranderingen en benaderingen. Bij het ontdekken van patronen, voor het leggen van verbanden en het opstellen van formules is een goed fundament van getalbegrip essentieel. Ook spelen verhoudingen vaak een grote rol evenals het kunnen interpreteren van schematische weergaves. In de leergebieden Mens & Natuur en Mens & Maatschappij wordt veelvuldig gewerkt met verbanden en formules. Deze Grote opdracht Variabelen, verbanden en formules leent zich voor uitwisseling tussen leergebieden en voor samenvoeging van leerstof. 18

19 Inhoud van de opdracht Bij deze Grote opdracht 'Variabelen, verbanden en formules' gaat het enerzijds om het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden op het gebied van variabelen, verbanden en formules en anderzijds om het ontwikkelen van het vermogen op de wiskundige denk- en werkwijzen: Probleemoplossen, Abstraheren, Logisch redeneren, Representeren en communiceren, Modelleren, Algoritmisch denken en Gereedschappen en technologie gebruiken. Leerlingen zijn al vroeg bezig met het concept verbanden door een regelmaat te zoeken in geordende rijen getallen, deze regelmaat voort te zetten en met woorden te beschrijven. Dit doen ze eerst door verder te tellen. Bij bepaalde situaties kun je niet blijven tellen om tot een oplossing te komen zoals bij: hoeveel handen hebben alle kinderen van de hele school samen? Bij grotere aantallen ontstaat de noodzaak om een regelmaat te herkennen en dit verband te beschrijven in een (woord)formule, zoals: aantal handen = aantal kinderen x 2. Een formule is een middel om efficiënter met complexere situaties om te kunnen gaan. Zij beschrijft volgens welke rekenstappen de waarde van een variabele berekend kan worden als die van de andere variabele bekend is. Leerlingen leren dat de plaats van een getal in een (woord)formule bepalend is voor de betekenis van het getal. Voorbeeld: Wanneer je met oppassen drie euro per uur verdient en een vast bedrag van vijf euro per keer, moet de drie gekoppeld worden aan de variabele 'aantal uren' om uiteindelijk een correct eindbedrag te krijgen. De variabelen in een formule kunnen worden weergegeven door middel van een woord, een betekenisvolle letter (bijvoorbeeld de h van handen) of een willekeurige letter (y). Ook bij de formule y = ax + b leert de leerling de betekenis en invloed van a en b om y te berekenen. Het kunnen omzetten van situaties in (woord)formules behoort tot de werk- en denkwijze Modelleren. De leerling maakt kennis met en kan rekenen aan allerlei verbanden en verschijningsvormen ervan. Hij leert zelf verbanden te beschrijven met behulp van (woord-)variabelen. Afhankelijk van het uitstroomperspectief gebeurt dit binnen contexten (loon = uurloon x aantal gewerkte uren) en/of binnen de wiskunde (y = x 2 + 5). Aan bod komen vooral het herleiden van formules, oplossen van verschillende soorten vergelijkingen met verschillende methoden en standaardverbanden en varianten daarop. Van standaardverbanden leren leerlingen verschillende representaties kennen, zoals (de vorm) van formules en van grafieken. Verbanden kunnen Representeren en er met begrip over kunnen communiceren met anderen is het doel. Hiervoor leren leerlingen werken met tabellen, formules en grafieken en waar zinvol met behulp van digitale technologie. Verbanden en formules bieden ruim gelegenheid tot abstraheren, zoals bij formules: in het denken van een leerling evolueert een formule van een rekenvoorschrift tot een object waarover geredeneerd kan worden (Hoe kun je aan de formule zien dat y kwadratisch toeneemt bij een verandering van x?) of waarmee probleemoplossen mogelijk is (Bij welke omzet is er sprake van maximale winst?). 19

20 Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote opdracht 'Variabelen, verbanden en formules': Probleemoplossen Leerlingen bedenken reeksen getallen. Andere leerlingen moeten de reeksen getallen afmaken en kunnen uitleggen welk patroon er te zien is. Abstraheren Van welk van de volgende verbanden lopen de grafieken evenwijdig? Beantwoord deze vraag zonder de grafieken te tekenen. y = 2x + 3, y = 2x + 3, y = 2x 3 en y = 2x 3. Logisch redeneren Als je het aantal handen weet, weet je dan ook hoeveel kinderen er zijn? Leg eens uit. Representeren en communiceren Teken een machientje waarbij je het verband weergeeft tussen het aantal consumpties en het totaalbedrag. Modelleren In elk boeket zit 4 euro aan groen, de rozen kosten 1,50 euro per stuk en de gerbera's 1 euro per stuk. Maak een formule voor het totaalbedrag per boeket. Algoritmisch denken Beschrijf de stappen die je moet doen om een lineaire vergelijking op te lossen. Gereedschap en technologie gebruiken Los deze ongelijkheid op met behulp van ICT. Brede vaardigheden Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden aan bod: Kritisch denken Creatief denken en praktisch handelen Probleemoplossend denken Zelfregulering Communiceren 20

21 Grote opdracht 5: Data, statistiek en kans Relevantie Zijn alle berichten die met getallen onderbouwd worden, waar? Hoe weet je dat? De tegenwoordige rekenkracht van computers maakt het mogelijk om sneller, eenvoudiger en met minder kans op fouten zeer grote hoeveelheden gegevens te verwerken. Het vermogen van burgers om gegevens te ordenen en te verwerken en representaties te begrijpen is dan ook van steeds groter belang. Statistiek gaat over het verzamelen, verwerken, juist interpreteren en representeren van gegevens en er conclusies aan verbinden. Om greep te krijgen op onzekerheid en toeval is er de kansrekening. Hiermee kunnen we bepalen welke uitkomsten mogelijk zijn en hoe waarschijnlijk uitkomsten zijn. Door via een wiskundige bril te kijken, leren leerlingen kritisch te reflecteren op informatie. Deze reflectie stimuleert een onderzoekende houding en versterkt de nieuwsgierigheid van leerlingen. Met deze houding neemt hun bewustzijn van de wereld om hen heen toe. De beschikbaarheid van steeds meer en diverse informatie, verandert ook het maken van afwegingen. Daarom is begrip van en vaardigheid in het omgaan met gegevens volgens vaste of meer flexibele procedures van groot belang. Met de groei van de omvang van informatie, groeien ook de verwachtingen over wat we ermee kunnen. Maar informatie komt niet altijd overeen met de werkelijkheid. Bewust leren omgaan met (een grote hoeveelheid) talige en cijfermatige informatie of representaties zorgt ervoor dat informatie op de juiste waarde geschat kan worden. Deze vaardigheid is voor leerlingen in alle leergebieden, bij (vervolg)opleidingen, in het werkveld en het dagelijks leven van groot belang. In de toekomst zal meer kennis hierover toegepast worden in nieuwe situaties. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de journalistiek, voorspellingen rondom het klimaat en het verwerken van data op velerlei terreinen. Inhoud van de opdracht Bij deze Grote opdracht 'Data, statistiek en kans' gaat het enerzijds om het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden op het gebied van data, statistiek en kans en anderzijds om het ontwikkelen van de wiskundige denken werkwijzen: Probleemoplossen, Abstraheren, Logisch redeneren, Representeren en communiceren, Modelleren en Gereedschap en technologie gebruiken. Leerlingen leren al op vroege leeftijd gegevens te ordenen tot overzichtelijke hoeveelheden, bijvoorbeeld als ze bespreken welk dier ze op 4 oktober in de klas willen hebben: Iedereen legt een plaatje van zijn voorkeur in de juiste rij en zo ontstaat een eenvoudig beelddiagram dat ze zelf kunnen interpreteren. Later leren ze hoe ze gegevens op papier kunnen verwerken tot bijvoorbeeld een staafdiagram. Het maken van schematische weergaven gebeurt niet alleen handmatig, maar ook met inzet van ICT. Dit is een uiting van de denk- en werkwijze Representeren en communiceren. Met behulp van deze representaties leren leerlingen kritisch denken en redeneren over deze gegevens: 'Welk dier zouden we nu moeten uitnodigen en waarom denk je dat?' 21

22 Leerlingen leren meerdere visualisaties te maken om informatie geordend weer te geven, onder andere tabellen, diagrammen en grafieken. Hieruit kunnen ze gegevens aflezen en analyseren. Daarna conclusies trekken, trends herkennen en voorspellingen doen. Voorbeeld: Maak een staafdiagram van de schoenmaten van alle kinderen uit je groep. Welke schoenmaat komt het meest voor? Hoe ziet een staafdiagram hiervan er over twee jaar uit? Leerlingen leren ook dat gegevens soms uit toeval kunnen zijn ontstaan en dat ze daar dus bij het interpreteren en trekken van conclusies rekening mee moeten houden: Als je een verkeerstelling houdt bij de straat van je school en er zijn heel veel fietsers geteld, kan dat bijvoorbeeld toeval zijn (doordat er een schoolklas langs kwam fietsen). Kritisch denken en conclusies trekken gaan hierbij hand in hand. Bij sommige uitstroomperspectieven komt het exploreren (onderzoeken en interpreteren) van informatiebronnen aan bod, bijvoorbeeld bij misleidende grafieken. Leerlingen leren dat ze misleidende grafieken kunnen herkennen bijvoorbeeld doordat er gemanipuleerd is met de indeling van de assen. De Grote opdracht 'Getallen en bewerkingen' vormt een belangrijke basis om getalsmatige informatie te verzamelen, visualisaties te maken en te kunnen begrijpen. Door steeds complexere informatie en grotere getallen te gebruiken, maar ook door grotere verzamelingen in combinatie met statistiek toe te passen, bereiken de leerlingen een hogere mate van abstract denken. Dit gaat van het maken van een staafdiagram over de hoeveelheid regen die er gevallen is per dag tot het logisch redeneren over een bevolkingspiramide. (Als de hoeveelheid geboortes afneemt en mensen ouder worden, hoe ziet de bevolkingspiramide er over 50 jaar uit?) De leerling leert om de grote hoeveelheid talige en cijfermatige informatie kritisch te bekijken en op waarde in te schatten. In eerste instantie op basis van eigen waarneming. Daarna door met logische opeenvolgende redeneerstappen een bewering aan te tonen of te weerleggen. Nog later kan dat met beweringen op een hoger abstractieniveau. De leerling leert na te denken over kans, zoals de kans op regen en of een bepaald spelletje eerlijk is of niet. Nadien volgt een meer formele aanpak van kansrekening. Kansrekening biedt talrijke vraagstukken die uitnodigen tot probleemoplossen, zoals het driedeurenprobleem (Stel dat je mag kiezen uit drie deuren: achter een van deur staat een auto, achter de andere twee staan geiten. Je kiest een deur, bijvoorbeeld nr. 1, en de presentator, die weet wat er achter de deuren staat, opent een andere deur, bijvoorbeeld nr. 3, met een geit erachter. Hij zegt dan tegen je: 'Zou je deur nr. 2 willen kiezen?' Is het in je voordeel om van deur te wisselen?) Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote opdracht 'Data, statistiek en kans': Probleemoplossen Je rapportcijfer is gelijk aan het gemiddelde van drie proefwerkcijfers. Je hebt op het eerste proefwerk een 4 en op het tweede proefwerk een 6 gehaald. Welk cijfer moet je ten minste op het derde proefwerk halen om op je rapport een 5,5 of hoger te krijgen? Je doet met een vriend een spelletje en gooit een keer of wat met een dobbelsteen. Als er een 2 of een 5 gegooid wordt, krijg jij van je vriend 0,50. Als er iets anders gegooid, betaal jij je vriend 0,20. Wie houdt er naar verwachting geld over aan dit spelletje? Abstraheren Als in een dataset alle getallen met een vaste waarde verhoogd worden, verandert dan het gemiddelde, de spreiding of beide? Logisch redeneren 22

23 Beredeneer dat jouw oma (waarschijnlijk) een grotere kans heeft om 100 jaar oud te worden dan jij. Representeren en communiceren Maak een steelbladdiagram van de cijfers in de klas van de laatste rekentoets. Modelleren Veel kansexperimenten kun je met de normale verdeling goed modelleren: Bijvoorbeeld de kansverdeling van de som van de ogen van een aantal dobbelstenen. Gereedschap en technologie gebruiken Bereken de gemiddelde lengte van de leerlingen in de klas. Brede vaardigheden Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden aan de orde: Kritisch denken Creatief denken en praktisch handelen Probleemoplossend denken Zelfregulering Communiceren 23

24 Grote opdracht 6: Veranderingen en benaderingen Relevantie We hebben in de wereld te maken met verschillende nieuwe maatschappelijke ontwikkelingen zoals een veranderend klimaat en daardoor het smelten van de ijskap, de toenemende afvalberg en afnemende fossiele brandstoffen. Om veranderprocessen te begrijpen is kennis nodig van veranderingen. In de wetenschap worden veranderingsprocessen vaak gemodelleerd. Als je het startpunt van een proces weet en de richting en grootte van de verandering, dan kan geprobeerd worden om de toekomstige situatie te benaderen zodat we erop kunnen anticiperen. Denk bijvoorbeeld aan 'code rood' bij een stormwaarschuwing. Vanuit een praktisch perspectief zien we dat benaderingen van steeds grotere waarde worden dan exacte uitkomsten. Door de toenemende rekenkracht van computers liggen de technieken van de numerieke wiskunde (het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met benaderend rekenen) voor het benaderen van uitkomsten met een zeer hoge nauwkeurigheid binnen handbereik. Door toepassing van numerieke wiskunde zijn computersimulaties mogelijk bij praktische vragen en complexe problemen als weersvoorspellingen en stromingsleer. Kennis van numerieke wiskunde is nodig om digitale hulpmiddelen goed te hanteren en te begrijpen, denk hierbij vooral ook aan het effect van (tussentijdse) afrondingen. Alle leergebieden hebben te maken met veranderingen. Of het nu gaat om cultuur, politieke veranderingen, migratie, (cyber)oorlog of het omgaan met elkaar, persoonlijk of via de social media. Er zijn wiskundige technieken beschikbaar die veranderingen beschrijven en soms ook kunnen voorspellen. Kennis van deze technieken is voor leerlingen in alle leergebieden, bij (vervolg)opleidingen, in het werkveld en het dagelijks leven van groot belang. In de toekomst zal er meer kennis over menselijk gedrag in de (digitale) samenleving toegepast worden, bijvoorbeeld in het huishouden, de zorg (robotisering), de landbouw en bij digitale platforms. Inhoud van de opdracht Bij deze Grote opdracht 'Veranderingen en benaderingen' gaat het enerzijds om het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden op het gebied van veranderingen en benaderingen en anderzijds om het ontwikkelen van het vermogen op de wiskundige denk- en werkwijzen: Probleemoplossen, Abstraheren, Logisch redeneren, Representeren en communiceren, Modelleren, Algoritmisch denken en Gereedschap en technologie gebruiken. Een belangrijk fundament voor het kunnen werken aan deze Grote opdracht ligt in andere Grote opdrachten waarbij leerlingen leren werken met (hele) kleine getallen, gemiddelden, verhoudingen, formules, tabellen en grafieken. In eerste instantie leert de leerling een model of visualisatie, zoals een grafiek of een tabel, te interpreteren en vast te stellen welke verandering zichtbaar is. De leerling kan kritisch denken en redeneren over deze verandering. Bijvoorbeeld: 'Wat betekent het als de lijn op een bepaald punt in een tijd-afstand lijngrafiek heel steil loopt?'. Hierbij is 24

25 een leerling ook bezig met de denk- en werkwijze Logisch redeneren: 'Wat gebeurt er met het verloop van de grafiek als de temperatuur daalt? Leg je antwoord uit.' Vervolgens leert de leerling werken met verschillen op intervallen die steeds kleiner worden, zowel discreet (stapjes per eenheid) als continu. Bijvoorbeeld: 'Op welk moment van de dag daalt de temperatuur het snelst?. Door steeds kleinere intervallen te bekijken, die niet meer realistisch en voorstelbaar zijn, is de leerling bezig met de wiskundige denk- en werkwijze Abstraheren. In een later stadium leert de leerling een model te maken om een verandering te visualiseren, ermee te rekenen en onderzoek te doen. Hiermee wordt een beroep gedaan op de wiskundige denk- en werkwijze Modelleren. Daarvoor zijn wiskundige technieken als interpoleren (wanneer denk je dat Nederland ongeveer 8 miljoen inwoners had?) en extrapoleren (wanneer denk je dat Nederland zo'n 20 miljoen inwoners zal hebben?) belangrijke vaardigheden. Deze Grote opdracht leent zich goed voor de wiskundige denk- en werkwijze Probleemoplossen. Het kiezen van een zo goedkoop mogelijk telefoonabonnement bij een veranderend verbruik van de hoeveelheid MB's is een voorbeeld hiervan. Ook optimalisatieproblemen als 'wat is de oppervlakte van de grootste rechthoek die je kunt maken met 30 meter prikkeldraad?' vallen onder deze wiskundige denk- en werkwijze. Wiskundige technieken om veranderingen te leren begrijpen zijn: benaderen, inklemmen (bijvoorbeeld de zijde van een vierkant van 20 m 2 bepalen door middel van proberen: eerst 5, dan 4, dan 4,4, dan 4,45, enzovoort), differentiaalrekenen, optimaliseren en lineair programmeren. Deze technieken kunnen in de vorm van een of meer algoritmen weergegeven worden. Bij het begrijpen en toepassen van deze technieken wordt een beroep gedaan op de wiskundige denk- en werkwijze algoritmisch denken. Algoritmisch denken komt vooral sterk aan de orde bij numerieke wiskunde. Dit onderdeel bevat een groot aantal benaderingsprocedures die zich goed lenen om door middel van algoritmen beschreven te worden. Bij deze grote opdracht wordt ook een beroep gedaan op de denk- en werkwijze Representeren en communiceren: Veranderingen worden immers vaak visueel gepresenteerd in grafieken, diagrammen en tabellen. Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote opdracht 'Veranderingen en benaderingen': Probleemoplossen In een staafdiagram staat hoeveel regen er elke dag gevallen is. Bepaal hoeveel regen er in totaal gevallen is. Abstraheren Leg uit hoe je in een staafdiagram kunt zien waar zich de grootste verandering voordoet. Gegeven is een grafiek die de plaats van een object weergeeft op een bepaald tijdstip. Wijs het punt op de grafiek aan waar de snelheid van het object gelijk is aan de gemiddelde snelheid vanaf t = 0. Logisch redeneren Wat gebeurt er met de lengte van je remweg als je harder gaat rijden en vervolgens remt? Leg eens uit. Leg Zeno's paradox uit: waarom haalt Achilles de schildpad uiteindelijk toch in? Representeren en communiceren Laat in een grafiek zien hoe de ontwikkeling van een hoeveelheid bacteriën er uit ziet. Je start met 1 bacterie en deze splitst zich elk uur in tweeën. Voor differentiaalquotiënt en afgeleide functie bestaan verschillende 25

26 representaties, zoals dy/dx, y en y. Modelleren Modellen uit de economie voor het berekenen van de totale opbrengst: TO = -3q q met q = aantal producten. Wat is de marginale opbrengst voor q = 3? Algoritmisch denken Beschrijf de stappen om de oplossing van een vergelijking met behulp van inklemmen te vinden. Gereedschap en technologie gebruiken Los de lineaire vergelijking met inklemmen op. Bepaal of je hiervoor een rekenmachine nodig hebt. Brede vaardigheden Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden aan bod: Kritisch denken Creatief denken en praktisch handelen Probleemoplossend denken Zelfregulering Communiceren 26

27 GROTE OPDRACHTEN 7 t/m 13 (denk- en werkwijzen) Grote opdracht 7: Gereedschap en technologie gebruiken Relevantie De moderne technologie reikt gereedschap aan waarmee wiskundig handwerk verlicht en verricht kan worden. Daarnaast biedt ze mogelijkheden om wiskundige vraagstukken te verkennen, te onderzoeken en soms ook op te lossen. In de huidige tijd is het gebruik van technologie niet meer weg te denken. Denk bijvoorbeeld aan het gebruik van navigatie in het verkeer of gebruik van spreadsheets. Het heeft voor leerlingen meerwaarde in te zien dat deze technologie ook zijn dienst kan bewijzen in het leergebied Rekenen & Wiskunde. En dat ze in staat en bereid zijn dit op doordachte en verantwoorde wijze te gebruiken. Sommige digitale gereedschappen zijn een welhaast ideale omgeving om wiskundige modellen vorm te geven. Een spreadsheet met formules is in feite een wiskundig model. Dat geldt ook voor simulatieprogramma's waar een leerling het model zelf moet invullen, zoals die ook bij het leergebied Mens & Natuur gebruikt worden. Bij het modelleren vormen digitale gereedschappen een welkome aanvulling. Veel digitale technologie heeft wortels in de wiskunde. Kennen en begrijpen wat de functie van wiskunde is in digitaal gereedschap, is voor leerlingen relevant. Ze krijgen hiermee inzicht in en waardering voor de rol van wiskunde in het algemeen in digitale technologie in het bijzonder. Ook verdiept dit hun kennis van de mogelijk- en onmogelijkheden van digitale gereedschappen. Inhoud van de opdracht Het gaat hier in eerste instantie om doordacht en verantwoord gebruik van gereedschappen en technologie. Aan bod komen vragen als: Wanneer gebruik ik welk gereedschap? En wanneer niet? Hoe kan ik beoordelen of gereedschap betrouwbare uitkomsten biedt? Wat is de nauwkeurigheid en foutmarge van de uitkomsten? Het kunnen bedienen en hanteren van gereedschap is hiervoor noodzakelijk. In tweede instantie gaat het er om de wiskunde te kennen en begrijpen waarop technologie gebaseerd is. Dit gaat minder ver dan kennis van de werking van een stuk technologie. Vergelijk het met autorijden. Kennis van de functie van het koppelingspedaal is voor elke automobilist relevant. De precieze werking van koppelingsplaten en de versnellingsbak is voor automobilisten minder van belang. Voorbeelden van Gereedschappen en technologie gebruiken in de verschillende domeinen: Getallen en bewerkingen met behulp van een rekenmachine of computer bewerkingen uitvoeren en de uitkomsten kritisch beschouwen; waarom kan Excel niet uitrekenen? 27

28 Verhoudingen met behulp van een rekenmachine bewerkingen uitvoeren en de uitkomsten kritisch beschouwen; hoe zorg je er voor dat lengte en breedte van een digitale foto op je beeldscherm in de juiste verhouding blijven als je de foto vergroot of verkleint? Door een van de hoekpunten onder een hoek van 45 te verslepen. Meten & meetkunde Meetinstrumentarium gebruiken, zoals passer, liniaal, lasermeter, thermometer, (digitale) klok, display van de e-bike, GPS, kompas en hoekmeter en uitspraken doen over de nauwkeurigheid van de meetresultaten; digitale tekenprogramma's gebruiken om twee- en driedimensionale objecten te modelleren en vervolgens vanuit verschillende perspectieven te bekijken; is het mogelijk de exacte plaats te bepalen van een mobiele telefoon waarvan de locatiemodus op 'uit' staat? Nee, je kunt wel met een (kruis)peiling het gebied bepalen waar de telefoon zich bevindt. Als een telefoon zich bij veel zendmasten heeft aangemeld, is het gebied tamelijk klein. Variabelen, verbanden en formules gebruik maken van grafische apps om snijpunten van grafieken te bepalen en daarbij overwegingen te hanteren over de ligging van snijpunten; gebruik maken van grafische apps om families van verbanden in beeld te brengen; spreadsheets en simulatieprogrammatuur gebruiken om modellen te maken en door te rekenen; computeralgebra gebruiken om complexe algebraïsche bewerkingen uit te voeren; samplen van geluidsfragmenten. Geluid is een periodiek verband tussen de druk van de lucht ter hoogte van je oor en de tijd. Een sample is niet veel meer dan een tabel van dit verband. Data, statistiek & kansrekening spreadsheets gebruiken om kansexperimenten te simuleren; hoe kunnen systemen leren van gegevens die ze verzamelen en opslaan? Veranderingen en benaderingen gebruik maken van grafische apps en andere software om minima en maxima van grafieken te bepalen en daarbij overwegingen hanteren over de ligging van deze extremen; spreadsheets en simulatieprogrammatuur gebruiken om modellen te maken en door te rekenen; benaderingsmethoden programmeren of modelleren met behulp van computers; hoe werkt beeldherkenning? Op het beeld wordt een aantal vaste punten aangewezen en die punten worden vergeleken met een referentiebeeld. Brede vaardigheden Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod: Creatief denken en handelen Kiezen voor passend gereedschap en technologie. 28

29 Probleemoplossend denken en handelen Bepalen bij welke stappen in een oplossingsstrategie gereedschappen en technologie hun dienst kunnen bewijzen. Kritisch denken Nagaan of uitkomsten van (digitaal) gereedschap betrouwbaar zijn. 29

30 Grote opdracht 8: Probleemoplossen Relevantie Het belang van het kunnen probleemoplossen kan nauwelijks overschat worden. Veel maatschappelijke en andere vraagstukken kunnen beschouwd worden als een probleem, waarvoor een oplossing gewenst is. Denk aan klimaatverandering, bodemdaling in het gaswinningsgebied van Groningen, waterhuishouding, enzovoorts. Welke oplossing het beste past, hangt af van verschillende factoren: politiek, sociaal, fysiek, enzovoort. Het leergebied Rekenen & Wiskunde draagt ertoe bij keuzen op onderbouwde wijze te maken. Ook in het dagelijks leven doen zich situaties voor die als probleem beschouwd kunnen worden. Voorbeelden zijn: berekenen hoeveel belasting je moet betalen over een vermogen, op hoeveel vakantiedagen je recht hebt, of hoeveel studieschuld je opgebouwd hebt. Probleemoplossen is daarmee een belangrijke werkwijze in dit leergebied en draagt bij aan socialisatie van de leerling. Ook het hoofddoel van kwalificatie is gediend bij het vermogen problemen op te kunnen lossen, in het bijzonder als het gaat om problemen in het leergebied Rekenen & Wiskunde zelf. Denk bijvoorbeeld aan een slimme oplossing voor berekening van de som van de getallen 1 tot en met 100 of in de onderbouw: het vinden van alle splitsingen van 10. Door problemen uit het leergebied zelf en uit andere leergebieden aan de orde te stellen verdiept het wiskundig inzicht en denken van leerlingen zich. En daar heeft een leerling baat bij met het oog op het vervolg van zijn loopbaan. Ten slotte doet probleemoplossen een beroep op analytisch en creatief denken en dat draagt bij aan persoonsvorming. In verschillende andere leergebieden komen problemen met een wiskundecomponent voor, die om een oplossing vragen. Daarvoor is het essentieel dat een leerling over relevante vakkennis beschikt, over probleemoplossingsvaardigheden in het algemeen en voor wiskundeproblemen in het bijzonder, en voldoende (routine)vaardigheid heeft in het uitvoeren van reken- en wiskundebewerkingen. De werkwijze Probleemoplossen in dit leergebied kan daarin deels voorzien. Inhoud van de opdracht Het onderscheid tussen een probleem en een routinematig oplosbaar vraagstuk is dat bij een probleem niet direct duidelijk is op welke wijze het kan worden opgelost. Bij een routinematig oplosbaar vraagstuk is dat wel duidelijk. Dit onderscheid is relatief. Wat voor de één een routinematig oplosbaar vraagstuk is, kan voor een ander een probleem zijn en omgekeerd. Bovendien kan wat eerst een probleem vormt voor iemand, in een later stadium routinematig oplosbaar zijn voor hem. Problemen kunnen verdeeld worden in wiskundeproblemen, bijvoorbeeld "Bereken de som van de getallen 1 tot en met 100", en toepassingsproblemen, bijvoorbeeld "Met hoeveel procent stijgen de prijzen als de BTW stijgt van 6% naar 9%?". Niet elk 30

31 toepassingsvraagstuk is een probleem. Als je een toepassingsvraagstuk kunt oplossen op routinematige wijze, is het (voor jou) een routinevraagstuk. Voor veel leerlingen zal op een bepaald moment een vraagstuk als "Wat moet je betalen als je 20% korting op een kledingstuk van 69,95 krijgt?" een routinevraagstuk zijn. Om een probleem op te lossen kun je gebruik maken heuristieken (methoden bij het aanpakken van problemen). Voorbeelden daarvan zijn: trial-and-error: iets uitproberen en kijken hoe dat uitpakt; alle mogelijkheden opsommen en daaruit een keuze maken; van achter naar voren werken; een verband leggen met (eenvoudiger) verwante problemen die je al eerder hebt opgelost; het probleem opdelen in deelproblemen, die afzonderlijk oplossen en de oplossingen samenstellen tot een oplossing van het hoofdprobleem. Als onderdeel van het probleemoplossingsproces kunnen wiskundige modellen gebruikt worden. Een wiskundig model is een weergave van een situatie met behulp van wiskundige formalismen. Dat kan gebruikt worden om de probleemsituatie en de vraagstelling te beschrijven. Het gebruik van modellen is echter niet beperkt tot het oplossen van problemen. Evenmin vereist elk probleem dat er een wiskundig model wordt opgesteld. We zien onder leerlingen verschillende aanpakken van probleemoplossen. Die illustreren we aan de hand van het volgende probleem: Een man beweert van zichzelf, zijn zoon en zijn kleinzoon: Mijn zoon is 24 jaar jonger dan ik; mijn zoon is 35 jaar ouder dan mijn kleinzoon. Samen zijn wij 100 jaar oud. Hoe oud zijn we elk?" Een leerling probeert met trial-and-error of 'handelend' een oplossing van het probleem te construeren. Bij contextproblemen hebben zijn of haar probeersels betekenis binnen de context. Deze aanpak in het voorbeeld: Een leerling neemt voor de opa een bepaalde leeftijd, bijvoorbeeld 70 jaar. Dan is de zoon 46 jaar en de kleinzoon 11 jaar oud. Totaal = 127 jaar. Dan probeert hij 65 jaar. Dan is de zoon 41 jaar en de kleinzoon 6 jaar oud. Totaal = 112 jaar, enzovoort. Een leerling lost het probleem op met behulp van een schematische beschrijving van de probleemsituatie. Deze aanpak in het voorbeeld: Een leerling tekent de situatie uit met balkjes en ontdekt zo dat drie keer de leeftijd van opa 24 ( ) gelijk moet zijn aan 100. Een leerling lost het probleem op door waar nodig de probleemsituatie wiskundig te modelleren, een oplossingsstrategie te bedenken, de handelingen uit de strategie uit te voeren, de uitkomsten daarvan te bewerken tot een of meer oplossingen (bijvoorbeeld: afronden, eenheden toevoegen, conclusies trekken) en de juistheid van deze oplossing(en) te controleren. Deze aanpak in het voorbeeld: Een leerling maakt een wiskundig model met x = 31

32 leeftijd van opa, y = leeftijd van de zoon en z = leeftijd van de kleinzoon en met drie vergelijkingen. De moeilijkheidsgraad van een probleem wordt onder andere door de volgende factoren bepaald: uit hoeveel verschillende handelingen de oplossingsstrategie bestaat; hoeveel gegevens er gebruikt worden bij deze handelingen; in hoeverre er sprake is van dingen als overbodige gegevens, ontbrekende gegevens, de noodzaak om de uitkomsten te bewerken tot oplossingen, verschillende bronnen waaruit gegevens betrokken moeten worden, ; in hoeverre het noodzakelijk is een wiskundig model van de probleemsituatie op te stellen. Voorbeelden van Probleemoplossen in de verschillende domeinen: Getallen en bewerkingen Vind alle splitsingen van 10 (wiskundige probleem). Bereken de som van de getallen 1 tot en met 100 (wiskundig probleem). Verhoudingen Met hoeveel procent stijgen de prijzen als de BTW stijgt van 6% naar 9%? (toepassingsprobleem) Meten & meetkunde Hoeveel blikken van 2 liter verf heb je nodig om een muur van 8 bij 3,2 meter te verven? (toepassingsprobleem) Variabelen, verbanden en formules Leerlingen bedenken een reeks getallen. Andere leerlingen moeten bedenken wat het volgende getal van die reeks is (wiskundig probleem). Informatie, statistiek & kansrekening Je doet met een vriend een spelletje en gooit een keer of wat met een dobbelsteen. Als er een twee of een vijf gegooid wordt, krijg jij van je vriend 0,50. Als er iets anders wordt gegooid, betaal jij je vriend 0,20. Wie houdt er naar verwachting geld over aan dit spelletje? (toepassingsprobleem) Veranderingen en benaderingen In een staafdiagram staat hoeveel water er dagelijks verbruikt is. Bepaal hoeveel water er in een maand gebruikt is (toepassingsprobleem). Hoeveel water zou een persoon ongeveer gebruiken op een dag? (toepassingsprobleem) Brede vaardigheden Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod: Probleemoplossend denken en handelen Creatief denken en handelen Welke oplossingsstrategie leidt tot het gewenste resultaat? Kritisch denken Klopt mijn strategie? Moet ik niet een andere aanpak proberen? Zelfregulering Voer ik mijn strategie nog correct en volgens plan uit? 32

33 Grote opdracht 9: Abstraheren Relevantie Abstraheren in de betekenis van generaliseren vormt een belangrijke denkwijze in de wiskunde. Wie niet kan abstraheren zal moeite hebben met de andere denk- en werkwijzen van het leergebied en eveneens met het doorgronden van de inhouden van het leergebied. Zijn of haar wiskundekennis is in dat geval oppervlakkig en instrumenteel van aard. Dit strekt zich ook uit tot andere leergebieden waar wiskunde een rol speelt. Het belang van abstraheren richt zich in het bijzonder op persoonsvorming; het vermogen tot generaliseren maakt dat iemand in staat is afstand te nemen van concrete situaties, verbanden kan leggen met vergelijkbare situaties en daar lering uit kan trekken. Hij kan doordringen tot de essentie van situaties en vraagstukken en kan hoofd- van bijzaken onderscheiden. Hier kan iemand zijn hele leven voordeel van ondervinden. Inhoud van de opdracht Abstraheren heeft betrekking op enerzijds concrete objecten en anderzijds op bewerkingen. Hieronder staan twee voorbeelden die verschillende niveaus van abstraheren beschrijven. Stel dat we leerlingen vragen een cirkel te karakteriseren. 1. Een leerling wijst een aantal cirkelvormige objecten in de directe omgeving aan of geeft voorbeelden van voorwerpen die een cirkelvorm hebben (een euromunt, een ronde tafel, een fietswiel). 2. Een leerling tekent met een passer een cirkel en zegt (desgevraagd) dat alle punten op een cirkel gelijke afstand hebben tot het middelpunt. 3. Een leerling zegt daarnaast dat een cirkel de enige figuur is die lijnsymmetrisch is met oneindig veel symmetrieassen. Of: dat een cirkel de figuur is met de grootste oppervlakte bij een gegeven omtrek. 4. Een leerling zegt dat een cirkel een kromme is met een vergelijking van de vorm (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 en legt verbanden met andere krommen. Deze leerling legt desgevraagd uit waarom krommen met deze vergelijking cirkels zijn. Stel dat we leerlingen vragen berekeningen met procenten te karakteriseren 1. Een leerling geeft een voorbeeld van hoe je % van iets berekent. 2. Een leerling laat ook andere procentberekeningen zien, zoals: "hoeveel procent is iets van iets" en terugrekening van BTW. Deze leerling legt desgevraagd verbanden tussen deze berekeningen en vertelt wat de betekenis ervan is. 33

34 3. Een leerling spreekt daarnaast over percentages, geeft een omschrijving van een percentage en vertelt bijvoorbeeld dat een klein percentage van het één meer kan zijn dan een groter percentage van het ander. 4. Een leerling zegt dat een percentage een voorstellingswijze is van een verhouding en noemt andere voorstellingswijzen van verhoudingen, zoals breuken en omschrijvingen als "1 van de " of "op elke zijn er ". Deze leerling legt verbanden tussen deze voorstellingswijzen en redeneert over verhoudingen in het algemeen. In deze voorbeelden zien we hoe abstraheren in het denken van leerlingen kan verlopen. Zowel cirkels als procentberekeningen worden in het denken van leerlingen zelfstandige denkobjecten met een betekenis. Leerlingen kunnen praten en redeneren over denkobjecten en onderkennen hun bestaan. Ze vormen een nieuwe werkelijkheid voor de leerling. En op basis van deze nieuwe werkelijkheid kunnen leerlingen nieuwe objecten in hun denken vormen. Voorbeelden van Abstraheren in de verschillende domeinen: Getallen en bewerkingen Jonge leerlingen leren te praten over 'drie' zonder daarbij nog te denken aan een hoeveelheid. Verhoudingen Een Engelse landkaart heeft een schaal van 1 inch : 3 mijl. Als een leerling schaal als een denkobject beschouwt, heeft hij/zij weinig moeite de schaal van deze kaart in een metrieke schaal te schrijven. Meten & meetkunde Een leerling die een rechthoek kan karakteriseren aan de hand van zijn kenmerken, kan ook uitleggen dat elk vierkant ook een rechthoek is. Een leerling die een meetkundige figuur als een denkobject beschouwt, begrijpt dat twee congruente figuren dezelfde oppervlakte hebben. Variabelen, verbanden en formules Een leerling die een vergelijking als een denkobject beschouwt, kan onderstaande vraag beantwoorden zonder de vergelijkingen op te lossen. Welke vergelijkingen hebben dezelfde oplossing? 0,55x 4,2 = 23,1 55x 420 = x = ,55x + 4,2 = 23,1 0,55x 3,2 = 24,1 0,11x 0,64 = 4,82 Informatie, statistiek & kansrekening Een leerling die een verzameling van getallen als een denkobject beschouwt, kan onderstaande vraag beantwoorden: als in een verzameling getallen alle getallen met een vaste waarde verhoogd worden, verandert dan het gemiddelde, de spreiding of beide? Veranderingen en benaderingen Leerlingen met abstraheervermogen onderkennen het bestaan van oneindig kleine veranderingen die niet gelijk zijn aan 0. Brede vaardigheden Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod: Oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan Abstraheervermogen is een belangrijke factor voor succes in studie en loopbaan. 34

35 Grote opdracht 10: Logisch redeneren Relevantie In veel situaties in beroepen en daarbuiten moeten mensen een logische redenering kunnen volgen of geven en redeneerfouten kunnen herkennen, zoals drogredenen en misleidende redeneringen. In het kader van persoonsvorming en socialisatie is logisch redeneren daarom een belangrijke vaardigheid. Verder is het vermogen om logisch te redeneren van belang om je verder te bekwamen in het leergebied Rekenen & Wiskunde. Logisch redeneren in dit leergebied gaat over beweringen, stellingen, eigenschappen, het aantonen of weerleggen daarvan én over het opsporen van stellingen en eigenschappen. Met een logische redenering kan worden aangetoond of een bewering of stelling waar is of niet. In een dergelijke redenering kunnen redeneerprincipes (zoals "het bewijs uit het ongerijmde"), eigenschappen, stellingen en definities gebruikt worden. Redeneerprincipes zijn buiten het leergebied en in het analyseren van redeneringen van iemand anders ook goed bruikbaar. Inhoud van de opdracht Bij logisch redeneren gaat hem om beweringen in algemene zin, zoals: toon aan (of: leg uit, verklaar, ) dat van élke driehoek de som van de hoeken samen 180 o is en niet: toon aan dat van deze driehoek de som van de hoeken samen 180 o is. In het geval een leerling nog nooit kennis gemaakt heeft met de hoeksomeigenschap van driehoeken, is het laatste voor hem een probleem. De eerste bewering gaat over élke driehoek. Aantonen dat dit klopt, wordt tot logisch redeneren gerekend. Sommige beweringen zijn van de vorm "als A dan B", bijvoorbeeld: "Als het regent, zijn de straten nat". In dat geval vormt A het uitgangspunt van een keten van redeneerstappen, die op hun beurt moeten leiden tot B. In een enkel geval kent de leerling een redenering voor een stelling uit het hoofd, denk bijvoorbeeld aan een bewijs van de Stelling van Pythagoras. Dit uit het hoofd weten valt niet onder logisch redeneren. In het leergebied Rekenen & Wiskunde zien we een aantal manieren om stellingen en eigenschappen op het spoor te komen: inductief redeneren (vanuit voorbeelden of data zoeken naar overeenkomsten, hier regels of eigenschappen uit halen en deze met nieuwe voorbeelden of data controleren, bijvoorbeeld: "De kinderen uit mijn groep hebben allemaal tien vingers aan hun hand. Dus alle mensen op aarde hebben tien vingers."); deductief redeneren (uitgaan van wat al bekend/bewezen is en van daaruit andere zaken afleiden; bijvoorbeeld de als-dan-redenering: "Als het regent, dan zijn de straten nat" en "Als de straten nat zijn, dan is fietsen gevaarlijk". Hieruit volgt: "Als het regent, dan is fietsen gevaarlijk."); analoog redeneren (op basis van vergelijkbare situaties beredeneren hoe het is in andere situaties, bijvoorbeeld: "De kinderen uit mijn groep hebben allemaal 35

36 tien vingers aan hun hand. Dat geldt daarom ook voor kinderen uit de parallelgroep.") Deze manieren van redeneren zien we in meer of mindere mate terug in de wijze waarop een leerling een stelling, eigenschap of bewering aantoont of weerlegt. We komen het volgende tegen. Een leerling rekent een aantal voorbeelden door en als die de bewering staven of weerleggen, veronderstelt hij/zij dat de bewering (on)waar is. Dit heeft verwantschap met inductief redeneren. Een leerling tekent een plaatje of schema en geeft naar aanleiding daarvan een redenering. Of: hij/zij toont aan dat de bewering in een bepaalde context (niet) klopt en veronderstelt dat dat in het algemeen ook zo is. Dit heeft ook verwantschap met inductief redeneren en enigszins met analoog redeneren. Een leerling geeft een wiskundig bewijs. Dit heeft verwantschap met deductief redeneren. Hieronder staan twee voorbeelden bij de stelling dat van elke driehoek de som van de hoeken gelijk is aan 180 o. "Plaatje en praatje" Knip de driehoek uit, maak twee kopieën en leg de drie driehoeken neer zoals hieronder is te zien. Dat past precies. De som van de drie hoeken staat in de rode boog en dat is precies een gestrekte hoek. Formeel bewijs Bekend veronderstelde stellingen en definities: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 graden. Stelling van de Z-hoeken. Bewijs: (1) C 1 + C 2 + C 3 = 180 (gestrekte hoek) (2) A = C 1 (Z-hoeken) (3) B = C 3 (Z-hoeken) (4) A + B + C 2 = 180 (volg uit 1, 2 en 3) Q.E.D. De moeilijkheidsgraad van een redeneervraagstuk wordt onder andere door de volgende factoren bepaald: 36

37 hoeveel verschillende eigenschappen, definities, stellingen er noodzakelijk zijn om de redenering op te zetten; of er specifieke redeneerprincipes gebruikt moeten worden; of vooraf bekend is dat de bewering weerlegd of aangetoond moet worden of dat de leerling dat vooraf niet weet. Voorbeelden van Logisch redeneren in de verschillende domeinen: Getallen en bewerkingen Toon aan dat oneven getal x oneven getal = oneven getal Wat weet je van oneven getal + oneven getal? Verhoudingen Als je eerst iets verhoogt met 10% en daarna weer verlaagt met 10%, kom je dan weer op het oorspronkelijke bedrag uit? Leg je redenering uit. Meten & meetkunde Leg uit dat als de afmetingen van een figuur verdubbelen, de oppervlakte van die figuur vier keer zo groot wordt. Verder kent meetkunde talrijke stellingen die zich als redeneervraagstuk lenen. Variabelen, verbanden en formules Als je het aantal handen weet, weet je dan ook altijd hoeveel kinderen er zijn? Leg eens uit. Informatie, statistiek & kansrekening Beredeneer dat iemand een grotere kans heeft om een bepaalde leeftijd te bereiken te worden dan iemand die jonger is. Veranderingen en benaderingen Toon de volgende stelling aan: tussen elk twee nulpunten van een (continue) functie ligt ten minste één punt waar diens verandering gelijk is aan 0. Brede vaardigheden Bij deze bekwaamheid komen de volgende brede vaardigheden aan bod: Creatief denken en handelen Welke redeneerstappen leiden tot het gewenste resultaat? Kritisch denken Klopt mijn redeneertrant? Zelfregulering Mijn redeneerproces aansturen, reguleren en evalueren; volhardend zijn. 37

38 Grote opdracht 11: Representeren en communiceren Relevantie Representeren is het weergeven van wiskundige objecten en bewerkingen met behulp van symbolen en benamingen. Het belang van het gebruik van correcte termen en symbolen is vooral gelegen in de noodzaak over wiskunde te kunnen communiceren. Wiskundetaal omvat begrippen, benamingen en symbolen. Het gebruik hiervan vereenvoudigt communicatie met deskundigen die hierin zijn ingewijd. Maar communicatie over wiskunde omvat meer dan dat. Ook is van belang wiskunde uit kunnen leggen aan anderen. En daarvoor is het noodzakelijk symbolen en benamingen te gebruiken die afgestemd zijn op doel en publiek. Representeren en communiceren dragen bij aan kwalificatie correct gebruik van symbolen en benamingen is in vervolgopleidingen en beroep noodzakelijk en aan socialisatie. De wijze waarop leerlingen in staat zijn objecten en bewerkingen weer te geven, weerspiegelt hun wiskundig denken en handelen. Representaties bieden leerlingen de mogelijkheid hun wiskundig denken en wiskundig handelen tot uitdrukking te brengen. In alle leergebieden waar rekenen en wiskunde wordt gebruikt, is representeren en communiceren van belang. Het gebeurt dat in andere leergebieden afwijkende symbolen en notaties gebruikt worden, bijvoorbeeld 'doorsnede' van een cirkel in plaats van 'diameter' van een cirkel. Hier flexibel mee om te gaan en waar nodig verbindingen te leggen tussen afwijkende en wiskundige symbolen en notaties is eveneens van belang. Inhoud van de opdracht Representeren betreft het weergeven van objecten en bewerkingen in de vorm van visualisaties, formules en symbolen. Het gaat er om hoe wiskundige objecten en bewerkingen worden weergegeven en genoemd. Ook verwante begrippen en notaties vallen hieronder. Zo geven we een breuk weer in de vorm of ; het getal boven de streep heet 'teller' en het getal er onder heet 'noemer'. Of: de lijnstukken die de hoekpunten van een driehoek met elkaar verbinden heten de 'zijden' van de driehoek. Bij ruimtelijke figuren spreken we over 'ribben'. Wiskundig communiceren heeft als doel wiskunde begrijpelijk te maken voor een breed publiek en de universele taal van wiskunde onder ingewijden te kunnen spreken. Bij het representeren zien we dat leerlingen verschillende namen en symbolen gebruiken. We illustreren dit aan de hand van de vraag hoe je de uitkomst van de optelling van twee getallen noemt. Ze gebruiken zelf bedachte benamingen en informele taal, bijvoorbeeld 'erbijgetal.'. Ze gebruiken formele wiskundetaal, namelijk de som van beide getallen. 38

39 In sommige gevallen is het wenselijk van weergave te wisselen, bijvoorbeeld als blijkt dat een bepaalde weergave niet past bij een bepaald publiek of voor een bepaalde situatie. Dit omzetten van weergaven wordt tot Representeren en communiceren gerekend, voor zover dit volgens op min of meer vaste wijze plaats vindt, zoals bij omzetting van 2 op de 5 naar 40% of twee vijfde deel. Voorbeelden van Representeren en communiceren in de verschillende domeinen: Getallen en bewerkingen Welk getal staat hier: 9,6 10 7? En hier: CIX? En hier: ? Verhoudingen 2 op de 5 mensen draagt een bril. Hoeveel procent is dat? Welk van beide voorstellingswijzen zou je gebruiken om je ouders te vertellen welk deel van de mensen een bril draagt? Meten & meetkunde Hoe zou je aan een breed publiek duidelijk kunnen maken hoe een cilinder er uit ziet? Teken de cirkel met vergelijking (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25. Variabelen, verbanden en formules Teken de grafiek van het verband die weergegeven wordt met de formule y = 2x + 6. Beschrijf de betekenis van de variabelen in een formule. Informatie, statistiek & kansrekening Maak een staafdiagram van de lengtes van de leerlingen in de klas. Veranderingen en benaderingen Schrijf de oppervlakte onder een grafiek met een gegeven formule als een integraal. Brede vaardigheden Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod: Communiceren 39

40 Grote opdracht 12: Modelleren Relevantie Modelleren gaat over het beschrijven van een situatie met behulp van schematische voorstellingen en/of wiskundige formalismen, zoals formules, vergelijkingen, grafieken, meetkundige figuren en kansverdelingen. Een beschrijving van een situatie met behulp van wiskundige formalismen is een wiskundig model. Schematische voorstellingen en wiskundige modellen kennen verschillende functies en die beschrijven op hun beurt het belang van modelleren, zoals Een schematische voorstelling en een wiskundig model kunnen worden gebruikt bij het oplossen van problemen. Met behulp van een wiskundig model kan een theorie (in een ander leergebied) worden getoetst, zoals de theorie dat de planeten om de zon draaien of dat populaties samenlevende prooi- en roofdieren elkaar in de tijd afwisselen qua omvang. Men bedenkt een theorie en een of meer experimenten om die theorie te toetsen. Op basis van de theorie wordt een wiskundig model opgesteld. Aan de hand daarvan kunnen de uitkomsten van de experimenten voorspeld worden. Blijken uitkomsten en voorspellingen in redelijke mate aan elkaar gelijk, dan is dat een aanwijzing dat de theorie 'klopt'. Met behulp van wiskundige modellen kunnen voorspellingen worden gegeven, zoals de planbureaus van de overheid dat doen met macro-economische en andere modellen en het KNMI dit doet ten aanzien van het weer. En ten slotte worden in sommige gevallen beslismodellen, aan de hand waarvan standaardbeslissingen genomen kunnen worden, in de vorm van een schematische voorstelling of wiskundig model weergegeven. Wiskunde ontleent haar bestaansrecht aan de toepasbaarheid daarvan, die je door middel van wiskundige modellen kunt weergeven. Modelleren draagt er aan bij dat leerlingen wiskunde als betekenisvol en voorstelbaar ervaren. Kunnen modelleren draagt bij aan beter inzicht in de wereld om ons heen en in verschijnselen die zich in die wereld en daarbuiten voordoen. Dit inzicht draagt op zijn beurt bij aan persoonsvorming. Modelleren komt in sommige andere leergebieden ook aan bod. Daarbij valt te denken aan wiskundige modellen die het verloop van natuurwetenschappelijke verschijnselen beschrijven, die het gedrag van populaties prooi- en roofdieren beschrijven en aan economische modellen. Inhoud van de opdracht Ter illustratie van hoe modelleren in zijn werk kan gaan, staat hieronder een voorbeeld. Het gaat om een deel van de spoorbrug in Deventer waarvan alle balken even lang zijn. Gevraagd wordt een wiskundig model te maken voor het aantal balken waaruit deze brug bestaat. 40

41 Het plaatje hierboven is een voorbeeld van een schematische voorstelling van de spoorbrug. Een andere voorstelling van de situatie is onderstaande tabel. Deze tabel kan enigszins als een wiskundig formalisme beschouwd worden. Lengte Aantal balken Vervolgens kan aan de hand hiervan een formule worden afgeleid tussen het aantal balken A en de lengte van de brug L. Die formule luidt A = 4L 1. Aan de hand van dit model zouden we bijvoorbeeld kunnen berekenen hoeveel balken nodig zijn voor een brug met lengte 20 of welke lengte we kunnen overspannen met 35 balken. Deze formule is een wiskundig formalisme en daarmee een voorbeeld van een wiskundig model. Een alternatieve aanpak is om geen tabel te maken, maar 'analytisch' te werk te gaan. Als de lengte van de brug gelijk is aan L, dan hebben we L 1 bovenbalken nodig. Voor elke onderbalk hebben we twee schuine balken nodig, dus in totaal 2L. Daarom is A = L + L 1 + 2L = 4L 1. Het model in het voorbeeld is tamelijk eenvoudig. Wat maakt modelleren moeilijk? Onder andere: hoeveel specifieke kennis van de context noodzakelijk is; welke wiskunde er bij komt kijken; uit hoeveel verschillende wiskundedomeinen kennis betrokken moet worden; of er zelfstandig (wiskundige) aannamen gemaakt moeten worden. Voorbeelden van Modelleren in de verschillende domeinen: Getallen en bewerkingen Een meisje heeft al 52 gespaard. Ze krijgt er 15 bij. Laat je berekening zien op de getallenlijn. Een tegelvloer bestaat uit 30 bij 50 tegels. Met welke som kun je uitrekenen hoeveel tegels er zijn? Verhoudingen In de supermarkt zijn veel verschillende verpakkingen cola verkrijgbaar. Geef met behulp van verhoudingstabellen aan welke verpakking relatief de hoogste literprijs heeft. Meten & meetkunde Maak een bouwtekening (op schaal) van het konijnenhok dat je gaat maken met je groep. Variabelen, verbanden en formules In elk boeket zit 4 euro aan groen, de rozen kosten 1,50 euro per stuk en de gerbera's 1 euro per stuk. Maak een formule voor het totaalbedrag van een boeket. Informatie, statistiek & kans Veel kansexperimenten kun je met de normale verdeling goed modelleren: Bijvoorbeeld de kansverdeling van de som van de ogen van een aantal dobbelstenen. 41

42 Veranderingen en benaderingen Modellen uit de economie voor het berekenen van de totale opbrengst: TO = -3q q met q = aantal producten. Wat is de marginale opbrengst voor q = 3? Brede vaardigheden Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod: Creatief denken en handelen Kritisch denken en handelen Voldoet mijn model? Zijn mijn modelaannamen terecht gebleken? Zelfregulering Ben ik nog op de goede weg? 42

43 Grote opdracht 13: Algoritmisch denken Relevantie Instellingen en bedrijven streven steeds meer naar het leren kennen en beschrijven van individuele voorkeuren en smaken van hun gebruikers, klanten of deelnemers. Dit met als doel ze persoonlijke aanbiedingen te kunnen doen, op hun interesse toegesneden nieuwsberichten te presenteren, enzovoorts. Dit gepersonaliseerd aanbod komt mede tot stand door middel van algoritmen. Deze algoritmen zijn niet publiek toegankelijk. Maar de denkwijze Algoritmisch denken kan er toe bijdragen dat leerlingen zich een voorstelling kunnen maken van hoe dergelijke algoritmen zouden kunnen werken. In het leergebied Rekenen & Wiskunde komen (standaard)bewerkingen voor, zoals het uitvoeren van bewerkingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, maken van uitslagen van meetkundige figuren, berekening van een gemiddelde van een aantal getallen en oplossen van vergelijkingen. Voor elk van deze bewerkingen kan een (standaard)procedure toegepast worden. Elk van deze procedures vormt een algoritme: een verzameling vaste stappen in een vaste volgorde die leiden tot een zeker resultaat. Tegenwoordig kunnen apparaten ook deze algoritmen uitvoeren. Het is van belang dat leerlingen inzicht verwerven in dat dit kan en hoe dat in zijn werk gaat of zou kunnen gaan. Als we verder een probleem moeten oplossen, kunnen we een oplossingsstrategie bedenken. Is het probleem eenmaal opgelost, heeft de oplossingsstrategie geen nut meer. Maar wat als we de oplossingsstrategie willen bewaren om in de toekomst soortgelijke problemen op te kunnen lossen? In dat geval is het mogelijk de oplossingsstrategie in de vorm van een algoritme te schrijven. Deze toepassing van algoritmisch denken biedt leerlingen handvatten om hun repertoire aan problemen en bijpassende oplossingsstrategieën uit te breiden. Dat draagt bij aan hun kwalificatie voor vervolgopleiding en beroep en aan vorming van hen als persoon. Algoritmisch denken kent een sterke verwantschap met computational thinking in het leergebied Digitale Geletterdheid. Algoritmisch denken vormt de basis van het programmeren. Inhoud van de opdracht Een algoritme is een verzameling vaste stappen in een vaste volgorde die vanuit een beginsituatie leiden tot een bepaald resultaat. Het beschrijven van algoritmen valt onder algoritmisch denken en heeft tot doel: inzicht bieden in de wijze waarop apparaten procedures kunnen uitvoeren; handvatten bieden om typen problemen te herkennen en op te kunnen lossen. Algoritmisch denken bestaat er uit algoritmen te ontwerpen en te beschrijven. Hiervoor is het kunnen uitvoeren van algoritmen voorwaardelijk. Dit laatste is te typeren als 43

44 algoritmisch handelen. Denk bijvoorbeeld aan het bouwen van een autootje met Lego of het in elkaar zetten van een IKEA-kast. Een leerling kan algoritmen op verschillende manieren beschrijven. Dit illustreren we aan de hand van een algoritme om het rekenkundig gemiddelde van een aantal getallen uit te rekenen: aan de hand van een voorbeeld met een toelichting; "Kijk maar: het gemiddelde van 1, 3, 4 en 7 is gelijk aan 15 (wijst de vier getallen aan) gedeeld door 4 en dat is 3,75." door middel van een tekstuele beschrijving zonder voorbeeld; "Dat gaat als volgt: Je telt alle getallen bij elkaar op Je telt hoeveel getallen er zijn en je deelt beide uitkomsten door elkaar." met behulp van een formele schrijfwijze met de basisstructuren opeenvolging, keuze en herhaling en waar nodig met gebruikmaking van variabelen. START De som van de verwerkte getallen is nog 0 Het aantal verwerkte getallen is nog 0 ZOLANG er nog getallen verwerkt moeten worden Neem het volgende getal Tel dit getal op bij de som van de al verwerkte getallen Verhoog het aantal verwerkte getallen met 1 EINDE ALS het aantal verwerkte getallen > 0 DAN Het gemiddelde = de som van de verwerkte getallen : aantal verwerkte getallen ANDERS "Het gemiddelde van nul getallen kan niet berekend worden" EINDE KLAAR Daarnaast kunnen algoritmen meer of minder moeilijk zijn. Factoren die daarbij een rol spelen zijn onder andere: het aantal stappen waaruit het algoritme bestaat; het voorkomen van structuren als ALS DAN ANDERS en ZOLANG en combinaties daarvan (= zogenaamde geneste structuren); de noodzaak gegevens tijdens de uitvoering van het algoritme tijdelijk te onthouden. Voorbeelden van Algoritmisch denken in de verschillende domeinen: Getallen en bewerkingen 44

45 Beschrijf hoe je stap voor stap een vermenigvuldiging van twee gehele getallen groter dan 10 cijferend uitvoert. Verhoudingen Beschrijf hoe je stap voor stap kunt uitrekenen welk bedrag je voor iets moet betalen als je een gegeven percentage aan korting krijgt. Meten & meetkunde Beschrijf hoe je met passer en liniaal het midden van twee gegeven punten kunt bepalen. Het is verder mogelijk meetkunde in verband te brengen met algoritmisch denken door een robot te programmeren zodat hij langs de randen van een bepaalde meetkundige figuur beweegt. Variabelen, verbanden en formules Beschrijf de stappen die je moet doen om een lineaire vergelijking exact en met inklemmen op te lossen. Een formule kan ook als een algoritme beschouwd worden. De afzonderlijke deelberekeningen vormen in dat geval de stappen van het algoritme. Informatie, statistiek & kansrekening Beschrijf stap voor stap hoe je het rekenkundig gemiddelde van een aantal getallen kunt berekenen. Beschrijf hoe je stap voor stap veel gegevens kunt visualiseren in een staafdiagram. Veranderingen en benaderingen Beschrijf stap voor stap hoe je de extremen van een functie kunt bepalen. Brede vaardigheden Bij deze bekwaamheid komen de volgende brede vaardigheden aan bod: Probleemoplossend denken en handelen Een oplossingsstrategie op een meer of mindere formele wijze beschrijven. Creatief denken en handelen Een algoritme bij een oplossingsstrategie van een probleem ontwerpen. 45

46 RAAMWERK GROTE OPDRACHTEN EN BOUWSTENEN REKENEN & WISKUNDE GO's Grote Opdrachten BS Bouwstenen Wiskundige inhouden 1 Getallen en bewerkingen 1.1 Getallen 1.2 Bewerkingen 2 Verhoudingen 2.1 Verhoudingen 3 Meten en meetkunde 3.1 Meten 4 Variabelen, verbanden en formules 3.2 Vorm en ruimte 3.3 Rekenen in de meetkunde 4.1 Verbanden, verschijningsvormen, en vergelijkingen 4.2 Speciale verbanden 5 Data, statistiek en kans 5.1 Kansen en kansverdelingen 6 7 Veranderingen en benaderingen Wiskundige denk- en werkwijzen Gereedschap en technologie gebruiken 5.2 Data en statistiek 6.1 Veranderingen 6.2 Benaderingen 7.1 Gereedschap en technologie gebruiken 8 Probleemoplossen 8.1 Probleemoplossen 9 Abstraheren 9.1 Abstraheren 10 Logisch redeneren 10.1 Logisch redeneren 11 Representeren en communiceren 12 Modelleren 12.1 Modelleren 11.1 Representeren en communiceren 13 Algoritmisch denken 13.1 Algoritmisch denken 46

47 GENERIEKE AANBEVELINGEN BOVENBOUW VMBO, HAVO en VWO In de bovenbouw van het voortgezet onderwijs is een consolidatie, voortzetting, en verdieping van alle bouwstenen noodzakelijk. De havoleerlingen die geen wiskunde in hun pakket hebben, zullen nog wel les in rekenen/wiskunde nodig hebben om het vereiste referentieniveau te halen. In de aanbevelingen die zijn opgenomen in de bouwstenen is enkel een indicatie gegeven over de onderwerpen die in de bovenbouw aan de orde komen en geen uitspraak gedaan over de diepgang. Uit de consultatie van 10 april 1 blijkt dat m.n. de analytische meetkunde in het huidige havo wiskunde-b- programma zo summier is dat het niet uit de verf komt en nauwelijks iets toevoegt anders dan nog meer algebraïsche vaardigheden. De aanbeveling om analytische meetkunde te vervangen door vectormeetkunde wordt overgenomen. Het wiskunde-c-programma voor vwo kan zo blijven met als extra aanvulling de normale verdeling. Het wiskunde-d-programma voor havo-vwo is een keuze en behoort niet tot de kern, de aanbevelingen hiervoor horen op een andere plek. Het OT onderschrijft het bestaansrecht van wiskunde D. Het wiskunde-a-programma voor havo-vwo wordt aangevuld met lineair programmeren waarbij digitale hulpmiddelen ondersteunend worden ingezet, zoals dat ook het geval is bij het berekenen van helling en differentiaalquotiënt. Het gaat meer over de inzichten dan het algebraïsch kunnen berekenen. Een zoektocht naar een uniek wiskunde-a-pakket en dit is niet een wiskunde-bminpakket. Nog in discussie is de koppeling van het profiel en de soort wiskunde: Voorstel: Een keuze uit WC of WA bij de profielen CM, EM en NG Een keuze uit WA of WB bij de profielen EM en NG WB verplicht bij profiel NT WD alleen mogelijk als ook voor WB is gekozen De gezamenlijke inhoud van de onderbouw en de bovenbouw in vmbo-gt komt overeen met de inhoud van de onderbouw van havo. Om leerlingen uit vmbo-bb gelegenheid te bieden in één jaar extra verblijf op school een kb-diploma te behalen komt het gezamenlijke programma vmbo-bb overeen met dat van de eerste drie leerjaren van vmbo-kb. 1 Op 10 april 2019 zijn 50 leraren en/of experts geraadpleegd en in de eerste drie consultatierondes zijn vele reacties gegeven. 47