Chaos uit de automaat

Transcriptie

1 Chaos uit de automaat Prof. dr. Sylvia Wenmackers KU Leuven HIW Centrum voor Logica en Filosofie v/d wetenschappen

2 Conus textile

3 Chaos Chaos is een eigenschap van dynamische systemen: de vergelijkingen drukken eigenschappen uit in functie v/d tijd. Bovendien zijn de vergelijkingen: - Deterministisch - Niet-lineair (som van opl.n hoeft geen opl. te zijn) - Gevoelig voor kleine variaties in beginvoorwaarden Aristoteles (De caelo, Boek I, deel 5): [D]e kleinste afwijking van de waarheid wordt later duizendvoudig vermenigvuldigd [D]at wat klein was bij het begin blijkt een reus te zijn aan het einde. E. Lorenz (1972): Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?! Dit is een nodige, maar geen voldoende voorwaarde voor chaos!

4 Chaos Deterministische vergelijkingen in combinatie met beginvoorwaarden hebben een unieke oplossing voor alle andere momenten. In principe perfect voorspelbaar, dus. In de praktijk zijn er beperkingen in meetresolutie en kunnen er afrondingsfouten optreden tijdens berekeningen. In combinatie met gevoeligheid voor kleine variaties in beginvoorwaarden zorgt dit ervoor dat chaotische systemen in de praktijk vaak onvoorspelbaar zijn.

5 Chaos Met andere woorden: een benadering v/d huidige situatie en/of een benaderende berekening volstaan niet om de situatie in de verre toekomst ongeveer te voorspellen. Er is een karakteristieke tijdsschaal (Lyapunov) waarbinnen een chaotisch systeem wél goed voorspelbaar is. Ons zonnestelsel is bijvoorbeeld chaotisch, maar de Lyapunov tijdsschaal in de orde van miljoenen jaren. De onzekerheid neemt exponentieel toe, dus op langere tijdsschalen is de toestand van het systeem praktisch onvoorspelbaar. (Wat overigens niet betekent dat we er helemaal niets over kunnen zeggen.)

6 Chaos Voorbeeld van een chaotisch systeem: het weer Voorspelling van woensdag 16/5: max. temp 12u UT (14u) Brussel. Gebaseerd op prognoses op supercomputer van het European Centre for Medium-Range Weather Forecasts. 80% van de prognoses zitten in de spreidingsband.

7 Chaos We kunnen de karakteristieke tijdsschaal zien als we naar banen in de faseruimte kijken.

8 Chaos De faseruimte is een abstracte ruimte waarin elk punt correspondeert met een mogelijke toestand van het systeem op een gegeven moment. Voorbeeld: massa aan een slinger. Toestand wordt gegeven door positie en snelheid. Stabiele baan, geen chaos.

9 Chaos De faseruimte is een abstracte ruimte waarin elk punt correspondeert met een mogelijke toestand van het systeem op een gegeven moment. Voorbeeld: baan van chaotisch systeem in 3D faseruimte.

10 Chaos We kunnen de karakteristieke tijdsschaal zien als we naar banen in de faseruimte kijken (max. Lyapunov exponent λ>0).

11 Chaos Chaos is een eigenschap van dynamische systemen: de vergelijkingen drukken eigenschappen uit in functie v/d tijd. Bovendien zijn de vergelijkingen: - Deterministisch - Niet-lineair - Gevoelig voor kleine variaties in beginvoorwaarden En de faseruimte heeft volgende eigenschappen: - Positieve Lyapunov exponent. - Regio s v/d faseruimte raken vermengd (strekken+vouwen) - Willekeurig dicht bij ieder punt in een regio v/d faseruimte is er een periodieke baan.

12 Chaos Mengen - zoals bladerdeeg maken: uitrollen + vouwen Dit vierkant stelt een faseruimte voor

13 Conus textile: dynamisch systeem tijd

14 Cellulaire Automaten Eén-dimensionaal In het bijzonder: elementair twee mogelijke waarden voor elke cel (0 of 1) regels hangen enkel af van naaste buren

15 Cellulaire Automaten: 1D, elementair

16 Cellulaire Automaten: 1D, elementair

17 Cellulaire Automaten: 1D, elementair Wolfram (1984) stelt een indeling voor van de patronen in vier klassen: Klasse I: Uniform Na enkele stappen wordt elke cel constant. Bijvoorbeeld Regel 222 Klasse II: Repeterend De toestand van elke cel oscilleert in een regelmatig patroon. Bijvoorbeeld Regel 190 Klasse III: Chaotisch Er is geen gemakkelijk benoembaar patroon. Bijvoorbeeld Regel 30: wordt gebruikt als pseudo-random generator in Mathematica. Klasse IV: Complex Mix tussen klasse 2 en klasse 3: er zijn repeterende patronen, maar waar en wanneer die patronen verschijnen is zelf schijnbaar random. Bijvoorbeeld Regel 110

18 Conus textile: Regel 30 (klasse III)

19 Regel 30 (klasse III)

20 Regel 30 (klasse III)

21 Regel 110 (klasse IV)

22 Regel 110 (klasse IV) Analogie: Patronen in onze ruimtetijd Humeaanse mozaïek

23 Cellulaire Automaten: chaos? Bij continue, dynamische systemen zijn er oneindige veel decimalen vereist om de begintoestand exact te specifiëren. In chaotische systemen worden kleine verschillen door de evolutie opgeblazen naar de significante cijfers (meetbaar), met praktische onvoorspelbaarheid tot gevolg. In cellulaire automaten gebeurt er iets soortgelijks: als de ruimte oneindig groot is, kunnen we in de praktijk slechts een eindig aantal cellen specifiëren. We beperken dan onze verdere studie tot deze regio, maar de (willekeurig ingevulde) cellen ernaast kunnen na verloop van tijd voor grote verstoringen zorgen. Dat gebeurt als de regel chaotisch is. (Studie ten gronde vereist het berekenen van Lyapunov exp.)

24 Cellulaire Automaten Twee-dimensionaal

25 Cellulaire Automaten Twee-dimensionaal Conway carefully examined various rule combinations according to the following three criteria: There should be no initial pattern for which there is a simple proof that the population can grow without limit. There should be initial patterns that apparently do grow without limit. There should be simple initial patterns that grow and change for a considerable period of time before coming to an end in the following possible ways: 1. Fading away completely (from overcrowding or from becoming too sparse) 2. Settling into a stable configuration that remains unchanged thereafter, or entering an oscillating phase in which they repeat an endless cycle of two or more periods. Martin Gardner, Scientific American 223 (Oct. 1970) pp

26 Cellulaire Automaten Twee-dimensionaal Conway s game of life Rules A dead cell with exactly three live neighbors becomes a live cell (birth). A live cell with two or three live neighbors stays alive (survival). In all other cases, a cell dies or remains dead (overcrowding or loneliness).

27 Cellulaire Automaten

28 Cellulaire Automaten

29 Cellulaire Automaten Two dimensional Conway s game of life It's possible to create patterns which emulate logic gates (and, not, or, etc.) and counters. Building up from these, it was proved that the Game of Life is Turing Complete, which means that with a suitable initial pattern, one can do any computation that can be done on any computer. Later, Paul Rendell actually constructed a simple Turing Machine as a proof of concept.

30 Prof. dr. Sylvia Wenmackers