puntbron Figuur 1: Een isotrope puntbron zendt in alle richtingen evenveel geluid uit.

Transcriptie

1 B.1.1 THEORIE VAN DE PUNTBRON Waarnemer en bron In deze serie van webagina's wordt de theorie uitgelegd van de voortlanting van geluid door een ruimte. Dat geluid manifesteert zich in onze hersenen, nadat trillende luchtmoleculen onze trommelvliezen in beweging hebben gebracht [1] []. We gaan er vanuit dat de effectieve geluiddruk de geluidsensatie in onze hersenen beste manifesteert. Het doel van deze webagina's is daarom om de effectieve geluiddruk zo goed mogelijk te voorsellen ter laatse van een waarnemer. Echter, de meeste waarnemers hebben twee oren maar de berekening is hier slechts bij uitzondering stereofonisch / binauraal [3]. De mens wordt in dit theoriedeel dus geabstraheerd tot één drukgevoelige mikrofoon. Aan de bronzijde wordt steeds gewerkt met een "". Alle geluidvermogen komt daarbij uit één denkbeeldig unt. Dat model werkt in de zaalakoestiek; een menselijke sreker voldoet ruim voldoende aan dat model. De nauwkeurigheid van het model hangt ook af van de afstand tussen bron en mikrofoon. Een viool is o een aar meter afstand wel als een te beschouwen, maar o een aar centimeter niet. Indien een bron zeer groot wordt, een symfonieorkest bijvoorbeeld, kunnen we eventueel onze toevlucht nemen tot een model bestaande uit meerdere nen. De afzonderlijk geluiddrukken van meerdere geluidbronnen mogen simelweg worden gesommeerd. Diegenen die de volgende afleiding nog onvoldoende grondig vinden zij verwezen naar (bijvoorbeeld) Beranek en Pierce [4] [5]. De isotroe Een die in alle richtingen even sterk geluid afstraalt wordt een "isotroe " genoemd. In het akoestisch jargon wordt de term "omni directionele bron" echter vaker gebruikt. Figuur 1 toont het model. Die bronnen bestaan alleen in theorie, maar toch is het theoretische model vruchtbaar om de akoestische theorie af te leiden. De "anisotroe " met voorkeursrichtingen (de menselijke sraak, een luidsreker, een muziekinstrument) komt later aan de orde. r mikrofoon Figuur 1: Een isotroe zendt in alle richtingen evenveel geluid uit. 1 Die bestaan overigens niet. Lucht is een mengsel van stikstof en zuurstof, maar in de akoestiek is er geen verschil tussen die gassen en mag er met luchtmoleculen worden gerekend met een atoomgewicht van 0% maal 3 en 80% maal 8, hetgeen dus gelijk is aan 8.8. In onze dromen horen we allerlei geluiden zonder dat de trommelvliezen signaal krijgen aangeboden. Is dat ook geluid? Hier blijft dat onbesroken. 3 Rekenmodellen werken wel degelijk in stereo. De meeste geluidfragmenten o de site moeten dan ook in stereo worden beluisterd. 4 Leo, L. Beranek, "Acoustics", American Institue of Physics, Allan D. Pierce, "Acoustics", Acoustical Society of America, New York, TU Delft, Faculteit Bouwkunde Pagina 1/

2 Stel nu dat de een continu signaal uitzendt met een akoestisch vermogen W. Dan willen we becijferen wat de geluiddruk is ter lekke van de mikrofoon o een afstand r van de bron. Daarvoor moet gebruik worden gemaakt van de "intensiteit", aangeduid met de letter I av. Dat is een lastige grootheid die ook niet altijd even nauwkeurig wordt gebruikt [6]. De intensiteit I av is nu het vermogen door een beaald oervlak en heeft een richting [7]. Het is dus een vector. Het vermogen is maximaal als de intensiteit loodrecht o het vlak staat. De hoek tussen de normaal en de intensiteit introduceert een cosinusfactor [8]. De figuren en 3 maken dat duidelijk. 1 m intensiteit I av Figuur : De intensiteit geeft het vermogen in grootte en richting door een standaardoervlak. intensiteit normaal Figuur 3: Omdat de intensiteit een richting heeft is er een afhankelijkheid van de stand van het vlak. Als gelijk is aan nul, is het vermogen door het oervlak maximaal. Bij = 90º is het vermogen door het oervlak gelijk aan nul. Bij ingewikkelde bronnen (een auto bijvoorbeeld die uit meerdere bronnen bestaat) is het totale vermogen door een vlak tamelijk ingewikkeld. Een gewone drukmikrofoon faalt om het effect te meten, maar er bestaan seciale meetinstrumenten die laatselijk de vector bealen en alle vectoren kunnen sommeren (integreren) over het oervlak. Figuur 4 geeft een voorbeeld. 6 O het web wemelt het van de halve definities. Als het echt netjes moet raadlege men vooral het boek van Pierce. Uit alle verwarring blijkt ook hoe lastig het begri is. 7 De letters av slaan o "average". De intensiteit zoals hier gegeven is gemiddeld over de tijd. Die middeling gaat o dezelfde manier als bij de overgang van de tijdafhankelijke (t) naar de gemiddelde eff. We komen daaro later terug 8 Het helt om de intensiteit te vergelijken met een stromende rivier. Als er een draad van 1 m in wordt gehouden kan het vlak worden gedraaid. Als het evenwijdig aan de stroom wordt gehouden, gaat er helemaal geen water doorheen. TU Delft, Faculteit Bouwkunde Pagina /

3 vector zelfs naar binnen gericht Figuur 4: Het vermogen door een beaald oervlak is de som van alle normaalvectoren van de intensiteit. Bij een ingewikkelde bron kan o sommige laatsen de vector zelfs naar binnen gericht zijn. De cosinusfunctie wordt dan automatisch negatief. Het totale vermogen W S door een vlak S kan nu worden geschreven als: W I. nds, S av S waarbij I av en n dus als vectoren worden geschreven. Het inwendig roduct leidt tot de cosinusfunctie. De akoestische theorie leert ons nu dat alle uitgezonden vermogen kan worden berekend door een gesloten oervlak rondom de bron te slaan: Wtotaal I av. n ds. () S (1) Figuur 5: Het vermogen van de bron is gelijk aan de integraal over alle vectoren o een gesloten oervlak. We mogen ons gelukkig rijzen dat het vectorenbeeld een stuk simeler is voor een ideale. Allereerst staan alle Intensiteitsvectoren radiaal gericht en ten tweede is het oervlak makkelijk te becijferen. Voor een anisotroe bron zijn niet alle vectoren even groot, maar voor een isotroe bron wel. Dat staat in figuur 6. Figuur 6: Bij een isotroe staan alle vectoren radiaal gericht en zijn ze allemaal even groot. TU Delft, Faculteit Bouwkunde Pagina 3/

4 Nu kunnen we de integraal uit vergelijking () olossen: W 4 r I. (3) De volgende sta is om I te koelen aan de geluiddruk. Daartoe doen we een sta terug naar de tijdafhankelijke vector I(t). Dan geldt, net als bij de geluiddruk dat een effectieve waarde kan worden becijferd. 1 Iav T T 0 I() t dt. Verder geldt: It () t () vt (). (4a) (4b) Hierin is de geluiddruk en v (een vector dus) de deeltjessnelheid. De olossing van de integraal hangt vooral af van de onderlinge fasen van en v. In een zuivere staande golf bijvoorbeeld loen en v steeds 90º achter elkaar aan. Zo'n verschijnsel transorteert dan ook geen vermogen. In een vlakke loende golf daarentegen zijn en v altijd in fase, waardoor v in kan worden uitgedrukt en een tamelijk simel verband ontstaat: () t It (), c (5a) en dus na olossing van vergelijking (4a): I av eff. c (5b) Bij het model uit figuur 6 wordt niet voldaan aan de voorwaarde dat de golf vlak is. Met name vlak bij de bron is de kromming van het oervlak te sterk en gaat het fout. O wat grotere afstand [9] mag formule (5b) wel worden ingevuld in formule (3). We vinden dan: W c 4 r, (6) waarbij ook voor de effectieve geluiddruk staat maar de index eff wordt nu (en in de volgende agina's) uit gemakzucht weggelaten. Als de vergelijking wordt omgedraaid staat er: cw, 4 r (7) waarbij nu ook nog de index sneuvelt Formule (7) is de basis van de zaalakoestiek en alle rekenmodellen maken er gebruik van. Daarbij bekommert zich niemand erom dat de formule niet helemaal correct is. Kennelijk zijn bij metingen nooit significante verschillen gevonden die de theorie o losse schroeven zetten. 9 Beranek geeft bijvoorbeeld aan wat die afstand is. Binnen 50 cm van een sreker klinkt een snelheidsmikrofoon duidelijk anders dan een drukmikrofoon. Beranek, L..L, Acoustics. TU Delft, Faculteit Bouwkunde Pagina 4/

5 De gerichte (anisotroe) Er is al eerder gemeld dat de isotroe bron niet bestaat. In de handel is bijvoorbeeld wel een dodekaeder van 1 afzonderlijke luidsrekers, maar zelfs zo'n bron vertoont ieken en dalen, met name vanaf 1000 Hz. Figuur 7: Een voorbeeld van een oging om een isotroe bron te maken. Figuur 8: Bij een anisotroe staan alle vectoren nog wel radiaal gericht, maar zijn ze niet meer even lang. Het beeld met intensiteitsvectoren uit figuur 8 komt veel meer met werkelijke bronnen overeen. De figuur geeft aan dat de lengte van de intensiteitsvectoren afhankelijk is van de richting. We nemen nu aan dat formule (5b) mag worden gehandhaafd, maar dat de grootte van nu afhangt van de laats o de. Dat betekent de introductie van twee hoeken en om aan te geven dat het een driedimensionaal effect is met hoeken ten ozichte van een horizontaal en een verticaal vlak. Formule () is dan te schrijven als: W (, ) ds. (8) c TU Delft, Faculteit Bouwkunde Pagina 5/

6 Het is nu gebruikelijk om een richtingscoëfficiënt Q in te voeren die de verhouding geeft tussen de geluiddruk van een isotroe en een anisotroe bron. isotroo is dan onafhankelijk van de hoek en mag dus buiten de integraal worden gehaald. isotroo Q(, ) isotroo W ds Q(, ) ds c c. (9) Nu wordt de isotroe waarde zo gekozen dat geldt: Q(, ) ds 1. (10) Omdat uiteindelijk veel wordt gewerkt met de logaritme van, bestaat er ook een logaritmische variant van Q die vaak DI (van directivity index) wordt genoemd. Er geldt dan: DI(, ) 10log Q(, ). (11) De meting en normering van Q is geen sinecure, temeer daar Q ook nog afhankelijk is van de frekwentie. Voor een luidsreker is Q nog wel te bealen. De seaker kan o een draaitafel worden gelaatst en worden gevoed met een continue toon. Bovendien mag vaak rotatiesymmetrie wordt verondersteld rond de as, zoals eigenlijk al was getekend in figuur 8. Voor de menselijke stem is een goede meting zeer lastig. Het signaal varieert, srekers variëren, de frekwentie varieert, enz, zodat alleen globale waarden bekend zijn. Vaak wordt een waarde Q =.5 aangehouden in de as van de mond. Die waarde is dan gekoeld aan het A gewogen geluidniveau. Bij rekenmodellen is de straalrichting en daarmee Q van de bron van groot belang. Daarom wordt er veel aandacht aan besteed [10]. Bij Catt Acoustic wordt bijvoorbeeld een bron gebruikt die "singer_onaxis" wordt genoemd en die wij graag gebruiken voor zalen, klaslokalen e.d. De Q in de as van de mond wordt dan wat lager gekozen omdat een srekend/zingend hoofd altijd wat beweegt waardoor er een zekere uitmiddeling ontstaat. 10 Men raadlege bijvoorbeeld de site van CattAcoustic: TU Delft, Faculteit Bouwkunde Pagina 6/