Vakgroep Mechanische Constructie en Productie Voorzitter: Prof. Dr. Ir. Joris Degrieck

Transcriptie

1 Vakgroep Mechanische Constructie en Productie Voorzitter: Prof. Dr. Ir. Joris Degrieck Onderzoek naar torsietrillingen in oliegesmeerde lamellenkoppelingen door dynamische studie van de wrijving door Tim Vertriest Promotoren: Prof. Dr. Ir. Patrick De Baets Prof. Dr. Ir. Mia Loccufier Begeleider: Dr. Ir. Wouter Ost Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk werktuigkundig-elektrotechnisch ingenieur Academiejaar

2

3 Vakgroep Mechanische Constructie en Productie Voorzitter: Prof. Dr. Ir. Joris Degrieck Onderzoek naar torsietrillingen in oliegesmeerde lamellenkoppelingen door dynamische studie van de wrijving door Tim Vertriest Promotoren: Prof. Dr. Ir. Patrick De Baets Prof. Dr. Ir. Mia Loccufier Begeleider: Dr. Ir. Wouter Ost Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk werktuigkundig-elektrotechnisch ingenieur Academiejaar

4 Voorwoord Dit afstudeerwerk is tot stand gekomen mede dankzij de steun van een aantal personen, waaraan ik bij deze mijn oprechte dank wil betuigen. In eerste instantie wil ik mijn dankbaarheid uitdrukken over de vrijheid die ik heb mogen ervaren tijdens het verrichten van mijn onderzoekswerk. Dr. Ir. W. Ost wil ik graag bedanken voor zijn beschikbaarheid, zijn hulpvaardigheid en zijn immer spitsvondige antwoorden op mijn lastige vragensalvo s. Prof. Dr. M. Luccufier is er steeds voor mij geweest wanneer ik haar hulp nodig had. Prof. Dr. P. De Baets wens ik te bedanken voor zijn bereidwilligheid. Mijn dank gaat tevens uit naar mijn ouders, die me steeds in mijn project hebben gesteund, en alles voor me hebben mogelijk gemaakt. Mijn vriendin, Flore, dank ik voor haar eindeloze steun, liefde, begrip en geduld. Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. Datum: Getekend Tim Vertriest

5 Universiteit Gent, Faculteit Toegepaste Wetenschappen Vakgroep Mechanische Constructie en Productie Voorzitter: Prof. Dr. Ir. Joris Degrieck Onderzoek naar torsietrillingen in oliegesmeerde lamellenkoppelingen door dynamische studie van de wrijving door Tim Vertriest Promotoren: Prof. Dr. Ir. Patrick De Baets, Prof. Dr. Ir. Mia Loccufier Begeleider: Dr. Ir. Wouter Ost Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk werktuigkundigelektrotechnisch ingenieur Academiejaar Samenvatting Het wrijvingsgedrag van de oliegesmeerde lamellenkoppelingen in een automatische transmissie bepaalt sterk het schakelcomfort van een voertuig. Bij het sluiten van deze lamellenkoppelingen kunnen namelijk torsietrillingen ontstaan; het wrijvingsgedrag ligt hiervan aan de basis. Dit afstudeerwerk heeft tot doel om de wrijving in model te brengen en dit toe te passen op een lamellenkoppeling. Er wordt verdergebouwd op de doctoraatsthesis van W. Ost, van wie eveneens de proefstand overgenomen werd. Hoofdstuk 1 is het resultaat van een literatuurstudie. Men maakt in de literatuur melding van twee verschillende mechanismen voor torsietrillingen, met name stick-slip en oscillerend glijden. De drijvende kracht achter stick-slip is een statische wrijvingskracht die groter is dan de dynamische. Oscillerend glijden wordt in de hand gewerkt door een voldoende negatieve helling van het verloop van de wrijvingscoëfficiënt in functie van de relatieve snelheid. Voor beide mechanismen is het ontstaan van trillingen afhankelijk van zowel mechanische parameters als van het wrijvingsgedrag. Over dit wrijvingsgedrag zijn in de literatuur heel wat gegevens terug te vinden; de betrachting is geweest om hier een bondig overzicht van te geven. In hoofdstuk 2 wordt een beschrijving gegeven van de proefstand en van de hierop aanwezige meetapparatuur, terwijl in hoofdstuk 3 het proefprogramma wordt opgesteld en gemotiveerd. Het is ook hier dat voor alle proeven de acquisitie en de verwerking van data de nodige toelichting krijgt.

6 In totaal zal men twee types van proeven uitvoeren. Een eerste type proeven, waarvan men de resultaten in hoofdstuk 4 kan vinden, heeft men uitgevoerd bij wijze van referentie. Het is namelijk zo dat het precieze wrijvingsmateriaal waaruit de monsters werden gemaakt, het enige punt van verschil is tussen ons onderzoek en dat van Ost. De besluiten liggen dan ook in elkaars verlengde. Naast het trekken van gelijkaardige conclusies over de invloed van de mechanische parameters, stellen ook wij vast dat de trillingen van oscillerend glijdende aard zijn. Een tweede type proeven vloeit voort uit de veronderstelling dat het wrijvingsgedrag een dynamische natuur heeft. Om deze dynamica te achterhalen zal men een stap proberen aan te leggen in de relatieve snelheid, en de wrijving die van deze manipulatie het resultaat is, trachten te identificeren. Een studie van de dynamica van de aandrijving van de proefstand, uitgevoerd in hoofdstuk 5, leert dat we net niet kunnen slagen in het opzet om voldoende snel de relatieve snelheid te variëren. Doch, er wordt een gedachtegang opgezet om toch met de dynamische proeven verder te kunnen gaan. In hoofdstuk 6 wordt inzicht verworven in hoe de wrijving op de stapproeven reageert. Het beeld blijkt niet eenvoudig te zijn. De dynamica van de wrijving gedraagt zich niet-lineair en wordt daarenboven verstoord door een parasitaire trillingsverschijnsel. In hoofdstuk 7 worden lessen getrokken uit de manier waarop de trillingen aangroeien. Dit leert ons dat in de gevallen waarvoor het theoretische model kan toegepast worden, dit model ook meestal een correcte voorspelling oplevert van de manier waarop de trillingen zich opbouwen. Het is ook hier dat een belangrijk item uit de literatuur weerlegd wordt, namelijk dat naarmate de wijziging van de relatieve snelheid vlugger gebeurt, de curve van de wrijvingscoëfficiënt in functie van deze relatieve snelheid minder vlug zou gaan dalen. Hoofdstuk 8 gaat nog iets technischer in op de dynamica van de wrijving, en leert ons dat stapproeven niet zullen volstaan om deze dynamica te destilleren. Dit vormt meteen de aanzet voor hoofdstuk 9, waar een aanvullend type proeven voorgesteld wordt om de moeilijkheden te overwinnen op de weg naar een goed wrijvingsmodel. Tot slot vindt men in hoofdstuk 10 een overzicht van de besluiten die uit dit afstudeerwerk kunnen worden geformuleerd. Trefwoorden wrijving, wrijvingsdynamica, lamellenkoppeling, oscillerend glijden, torsietrilling

7 Research into torsional vibrations in wet disc clutches through study of friction dynamics Vertriest Tim Abstract The frictional behaviour of wet disc clutches determines the comfort of gearing up while driving a vehicle equipped with an automatic transmission. During the engagement of these disc clutches, the frictional behaviour can give rise to torsional vibrations, causing fluctuations in the transferred engine torque. This master dissertation aims at the understanding of how these vibrations arise. The endeavour will be to model the friction dynamics, in order to apply the resulting model to a disc clutch. T I. INTRODUCTION he outgrowth of a literature search encompasses two dif-ferent mechanisms that can arouse torsional vibrations: stick-slip and oscillatory sliding. Stick-slip is caused by a static friction force which is higher than the dynamic friction force. Oscillatory sliding is provoked by a sufficiently negative slope of the curve of the friction coefficient versus the relative velocity. For both mechanisms, the origination of vibrations depends on the mechanical parameters of the mechanical model, as well as on the frictional behaviour. Most authors accept a mechanical model according to what is shown in figure 1. It consists of a mass-spring-damper configuration with one degree of freedom, and in spite of its simplicity it is proved whereas dynamic experiments can lead to an explanation for the observed oscillations. II. TEST PROCEDURE A. Test rig Experiments are performed on the pin-on-disc test rig repre-sented in figure 2. A steel ring is rigidly attached in a rotating oil bath. Two sliding shoes, retained in an arm by means of a linear guided pin, rub against the revolving ring. The arm has the same centre of rotation as the oil bath and is restricted in its movement by a spring and an oil damper. The function of the linear guided pins is to pass the load, which is effectuated by weights attached to a leverage, on to the sliding surface. The dynamics of this test rig are equivalent to the mechanical model as previously introduced. Fig. 1. Generally accepted mechanical model in literature to be very accurate. Friction can be affected by loads of factors, which can exhibit a very complex and correlated influence. Different friction models are proposed in literature. Most of these models are based on measurements in steady-state conditions, whereas it is generally accepted that only dynamic friction models can interact with the swift torsional vibrations. We chose the option to do both steady-state and dynamic tests. The steady-state tests were done mostly to provide a point of reference with literature, and are henceforth called quasi-static - as for a steady-state v disc oscillations can appear, a steady-state sliding speed can not be guaranteed. The dynamic tests ensue from the assumption that friction behaviour is of a dynamic nature. This assumption is merely based on what is claimed by certain authors. It will be clarified that indeed steady-state measurements will not lead to a satisfactory friction model, Fig. 2. Picture of the pin-on-disc test rig B. Quasi-static tests A number of velocities is chosen to be imposed on the rotating ring. Once a steady-state condition is reached, the movement of the arm is measured by means of laser interferometry. The sample rate was chosen to be 10 khz. All of these speeds are imposed for different combinations of mechanical parameters. We have two springs at our disposal, and three possible normal loads. The damping can be varied as desired, by adapting the valve opening of the oil damper.

8 A. Dynamic tests The goal of these tests is to establish a step in the rotational speed of the oil bath. If we would manage to identify the reaction of the friction force, we would be able to deduce a dynamic friction model. The speeds in between which the rotating ring is impelled to leap, are selected in such way that we would be able to observe all kinds of developments in the oscillatory behaviour. Only one setup is used for the mechanical parameters, except for damping, to which we apply a very low and a very high value. The velocity of the oil bath is measured at a sampling rate of 2 khz, whereas the movement of the arm is registrated synchronously by the same laser measurement system as before, but now set at a sampling rate of 1kHz. A. Quasi-static tests II. TEST RESULTS The mechanism that gives rise to the oscillations is found to be of oscillatory sliding nature. The amplitude of the measured oscillations diminished with decreasing imposed speeds, where stick-slip is supposed to intensify. The frequency of the oscillation is, for a given combination of damping, mass and stiffness, independent of the imposed disc speed, and matches the natural frequency of the mechanical mass-spring-damper system. These observations are all in favour of oscillatory sliding. An example of an oscillation can be found in figure 3. It is validated that the damping has a strong influence on the oscillations: increased damping causes oscillations to cease. The influences of stiffness and normal load are rather unclear; the effect of the normal load on the oscillatory behaviour is coupled with its effect on the friction coefficient. As expected by claims in literature, the observed oscillations can t be explained by the measured slope of the curve of the friction coefficient versus the relative velocity. Fig. 4. Displacement of the arm for a step from 21 to 42 mm/s, normal load 100 N, stiffness 65 N/mm, damping 21 kg/s dynamics. These appear to be non-linear. Lessons are being drawn from how the oscillations grow towards a stable condition. An example is given in figure 4. In case the simple theoretic model of oscillatory sliding can be applied, this model provides a rather good prediction of the way oscillations grow. Furthermore, in some cases the slope of the dynamic curve of the friction coefficient versus the relative velocity can be determined, starting from the envelope curve around the measured displacement of the arm. This slope is found to account for the observed oscillations, in contrast to the quasi-static measured slope. An important issue in literature is hereby proved false: a higher rate of change of the relative speed should make the slope of the curve of the friction coefficient versus the relative speed, less negative. In our experiments, the contrary is detected. For the friction, first order dynamics might be suspected, although no exact relationship can be concluded from the experiments for the step is disturbed by a parasitical vibration. The latter is caused by a shock spread throughout the test rig by the motor. An additional effect of this shock is, that it takes a long time for the friction to reach a steady-state value after the step. An exact time can not be concluded from the tests, but the expectation is to the extent of one minute. The relationship between the friction coefficient and the relative velocity seems to depend on the way the relative velocity is varied. It is to be concluded that, in order to deduce the friction dynamics, step tests won t do. Fig. 3. Relative velocity and coefficient of friction vs. time for disc speed 30,3 mm/s, normal load 100 N, stiffness 416,2 N/mm, damping 34,8 kg/s, giving proof for the oscillation to be of the nature of oscillatory sliding B. Dynamic tests An examination of the dynamics of the drive of the test rig shows that we re unable to vary the relative speed quick enough to achieve a step. In spite of this, it is argued that the dynamic tests are still useful to gain insight in the friction III. CONCLUSION The quest for a dynamic friction model goes on. By means of additional tests, we wish to examine further the connection between the relation of the friction coefficient versus the relative velocity and the way the relative velocity is varied. We also want to overcome two practical problems: first, the change in relative speed must by quick enough to utterly challenge the friction dynamics, and second, parts of the drive system oughtn t to produce measurement noise. To this end, we propose to enforce a relative movement on the rotating arm and observe the friction. We will oblige this relative movement by means of an electrodynamic shaker. The imposed changes in relative speed can be way quicker than before, without implying measurement noise.

9 Inhoudsopgave 1. Literatuurstudie Inleiding Werking van een oliegesmeerde lamellenkoppeling Beschrijving Werkingsmodes Toepassingen Torsietrillingen en mogelijke mechanismen Mechanisch model Stick-slip Oscillerend glijden Bespreking van een aantal belangrijke proefopstellingen Mechanisme achter wrijvingsgeïnduceerde trillingen: enkele voorbeelden uit de literatuur Voorbeeld van stick-slip Voorbeeld van oscillerend glijden Empirische onderzoeksresultaten over wrijvingsmodellen Typisch beeld van een F(v rel )-relatie Invloedsfactoren op F(v rel )-karakteristieken Tijdsafhankelijkheid van de wrijvingscoëfficiënt Uitdiepen van het mechanisme voor oscillerend glijden Oscillerend glijden bij niet-lineaire F(v rel )-karakteristiek Correct gebruik van de F(v rel )-gradiënt Bereiken van een stabiele tangentiële oscillatieamplitude Uitdoven van wrijvingsgeïnduceerde trillingen aan de hand van een hoogfrequente externe excitatie Beschrijving van proefstand en meetapparatuur Inleiding Beschrijving van de proefstand Beschrijving van de proefmonsters, wrijvingsring en smeerolie Kalibratie van de mechanische parameters Kalibratie van de veerstijfheid Kalibratie van de massa en de demping Beschrijving van de meetapparatuur Lasermeetsysteem Meetkaart Encoder: kalibratie van het meetsignaal Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking Inleiding Quasi-statische experimenten Doel Beschrijving van de proeven Data-acquisitie Verdere verwerking Uitgevoerde proeven Dynamische experimenten: stapproeven Doel Beschrijving van de proeven Data-acquisitie Verdere verwerking Uitgevoerde proeven 52

10 Stapproeven type Stapproeven type Resultaten van quasi-statische experimenten Inleiding Trillingsgedrag Invloed van de mechanische parameters Invloed van de demping Invloed van de normale belasting Invloed van de veerstijfheid Besluiten Dynamica van de aandrijving Inleiding Reactie van de aandrijving bij stapproeven zonder demper Reactie van de aandrijving bij stapproeven met demper Uitbreiden van de gedachtegang tot het opstellen van een wrijvingsmodel Identificatie van de dynamica van de aandrijving Modelvoorstel voor de dynamica van de aandrijving Optimalisatie van de parameters van het model Besluiten Reactie van de wrijving op een stapproef Inleiding Kwalitatieve studie van het wrijvingsgedrag tijdens de gedempte stapproeven type Kwantitatief overzicht van het wrijvingsgedrag tijdens de gedempte stapproeven type Kwalitatieve studie van het wrijvingsgedrag tijdens de gedempte stapproeven type Kwantitatief overzicht van het wrijvingsgedrag tijdens de gedempte stapproeven type Besluiten Reactie van het systeem op een stapproef Inleiding Kwalitatieve beschrijving van systeemgedrag Verband tussen de geoptimaliseerde d en de F(v rel )-relatie Kwantitatief overzicht van het systeemgedrag Besluiten Modelleren van de wrijvingsdynamica Inleiding Moeilijkheden met de identificatie van de wrijvingsdynamica Invloed van de tijd op de wrijvingsdynamica Hysteresis van de wrijving Aantal denkpistes voor wrijvingsmodellen Polynomiale F(v rel )-relatie Dynamische F(v rel )-relatie Besluiten Perspectieven voor verder onderzoek Inleiding Drijfveren voor het voortgezet onderzoek Fundamenten van het voortgezet onderzoek Principe Aangepast mechanisch model Kalibratie van de mechanische parameters Aard van de proeven 120

11 Type Type De elektrodynamische shaker Principe Beschikbare shaker in het laboratorium Praktische aspecten bij de uitbreiding van de proefstand Besluiten Besluiten 124 Appendix A: Meetfout en kleinst detecteerbare verschil voor de wrijvingscoëfficiënt A-1 A.1 meetfout van de wrijvingscoëfficiënt A-1 A.2 kleinst detecteerbare verschil in wrijvingscoëfficiënt A-2 Appendix B: Matlabcodes voor verwerkingsprogramma s B-1 B.1 Verwerkingsprogramma voor quasi-statische experimenten B-1 B.2 Verwerkingsprogramma voor dynamische experimenten B-5 B.3 LS-algoritme: identificatie van de dynamica van de aandrijving B-11 B.4 Fouriertransformatie van µ(t) B-13 B.5 LS-algoritme : identificatie van de omhullende B-14

12 Lijst van symbolen # volgnummer van het sample [-] A,B coëfficiënten in vergelijkingen voor positie die beginvoorwaarden bevatten [m] A 0 ongedempte amplitude van de oscillatie op de arm bij vrije oscillatieproef [m] c demping [kg/s] d helling van de F(v rel )-relatie [Ns/m = kg/s] E elasticiteitsmodulus van Young [Pa] f n eigenfrequentie [Hz] f s samplefrequentie [Hz] F wrijvingskracht [N] F gemiddelde wrijvingskracht [N] F 0 amplitude van de externe excitatiekracht [N] F D dynamische wrijvingskracht [N] F ext externe excitatiekracht [N] F k dynamische wrijvingskracht op een bepaald tijdstip [N] F S statische wrijvingskracht [N] g 1, g 2 parameters van de tijdsafhankelijkheid van de wrijvingscoëfficiënt [-] H normale afstand tussen de wrijvingsoppervlakken [m] k veerstijfheid [N/m] m massa [kg] N 1 natuurlijk getal dat toerental wrijvingsring representeert [-] N 2 natuurlijk getal dat stuursignaal naar invertor [-] R dimensieloze frequentie [-] r 1 overbrengingsverhouding van de schakelbare koppeling [-] r 2 overbrengingsverhouding van de V-riemoverbrenging [-] R a gemiddelde ruwheidswaarde [µm] R V oscillatieindex [-] So dimensieloze Sommerfeldgetal [-] t tijd [s] t 1 einde van een stick-episode [s] t 2 eind van een stick-episode [s] T temperatuur [ C] T n eigenperiode [s] T R stijgtijd van de snelheid van het oliebad [s] V 0 amplitude van de snelheidsoscillatie in hoofdstuk 1, grootte van de snelheidsstap in hoofdstuk 5 [m/s] v disc snelheid van de wrijvingsring ter hoogte van de glijschoenen [m/s] v rel relatieve snelheid van de wrijvingsoppervlakken ter hoogte van de glijschoenen [m/s] v rel,min minimum van de relatieve snelheid [m/s] v rel,max maximum van de relatieve snelheid [m/s] v krit kritische snelheid waarboven stick-slip niet meer kan optreden [m/s] x absolute positie van de glijdende massa [m] x tr transiënt gedeelte van de vergelijking voor de absolute positie van de glijdende massa [m] x ss regime gedeelte van de vergelijking voor de absolute positie van de glijdende massa [m] x 1 absolute positie van de glijdende massa op t = t 1 [m] x& absolute snelheid van de glijdende massa [m/s] & x& absolute versnelling van de glijdende massa [m/s²] x relatieve positie van de glijdende massa in hoofdstuk 1, gemiddelde positie van de glijdende massa in hoofdstuk 7 [m] x& relatieve snelheid van de glijdende massa in hoofdstuk 1, gemiddelde snelheid van de glijdende massa in hoofdstuk 7 [m/s]

13 & x& relatieve versnelling van de glijdende massa in hoofdstuk 1, gemiddelde versnelling van de glijdende massa in hoofdstuk 7 [m/s²] α hoek van de arm ten opzichte van de neutrale positie [ ] β coëfficiënt in dynamisch wrijvingsmodel van Ost [s²/m] ζ dimensieloze dempingscoëfficiënt [-] ζ totale dempingscoëfficiënt [-] µ wrijvingscoëfficiënt [-] µ gem gemiddelde wrijvingscoëfficiënt [-] µ min minimum van de wrijvingscoëfficiënt [-] µ max maximum van de wrijvingscoëfficiënt [-] µ s statische wrijvingscoëfficiënt [-] µ D dynamische wrijvingscoëfficiënt [-] µ k dynamische wrijvingscoëfficiënt op bepaald tijdstip [-] τ φ ω ω n dode-tijd [s] faseverschuiving [rad] frequentie [rad/s] natuurlijke frequentie [rad/s]

14 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie Hoofdstuk 1 : Literatuurstudie 1.1 Inleiding De bedoeling van dit hoofdstuk is om op een systematische manier literatuurgegevens samen te vatten en zo inzicht te verwerven in het ontstaan van torsietrillingen in oliegesmeerde lamellenkoppelingen. In paragraaf 1.2 wordt uitgelegd hoe een lamellenkoppeling werkt en wat de toepassingen zijn die voor dit afstudeerwerk van belang zijn. Paragraaf 1.3 brengt vervolgens het verschijnsel van de wrijvingsgeïnduceerde trillingen aan. De aandacht wordt gevestigd op twee mechanismen die wrijvingstrillingen kunnen veroorzaken. Voor beide wordt het allereenvoudigste wrijvingsmodel gebruikt om het trillingsfenomeen te begrijpen. De eerste verworven inzichten worden onmiddellijk aan beschikbare experimentele gegevens getoetst. Paragraaf 1.4 stelt de belangrijkste proefopstellingen in het daglicht. In paragraaf 1.5 wordt uit de literatuur kennis genomen van empirische gegevens over de mechanismen die achter de trillingen schuilgaan. Daarnaast wordt in paragraaf 1.6 nagedacht over waarheidsgetrouwe F(v rel )-relaties. De kennis van beide laatste paragrafen wordt gebundeld om in 1.7 het trillingsmechanisme van oscillerend glijden nauwkeuriger uit te werken. In de laatste paragraaf wordt een interessante mogelijkheid ter sprake gebracht om trillende systemen te stabiliseren. 14

15 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie 1.2 Werking van een oliegesmeerde lamellenkoppeling Beschrijving De structuur van een lamellenkoppeling wordt geschetst in figuur 1.1. De koppeling bevat frictieplaten (2) en separatorplaten (3) die men alternerend naast elkaar plaatst. De uitwendige vertanding verbindt de frictieplaten met de ene as door middel van een bus met spiegleuven (1). Op gelijkaardige wijze past de inwendige vertanding van de separatorplaten in de spiegleuven van de andere as. Wanneer de koppeling in open toestand staat, roteren beide assen met een verschillende snelheid. Door olie onder druk achter de piston (4) te brengen, worden de platen tegen elkaar gedrukt en kunnen de twee assen niet langer onafhankelijk van elkaar bewegen. De interne energie wordt gedissipeerd, de relatieve snelheid neemt af tot ze in vergrendelde toestand uiteindelijk nul wordt. Het koppel wordt door wrijving van de ene as op de andere overgedragen Figuur 1.1: structuur van een lamellenkoppeling Figuur 1.2 toont enkele separator- en frictieplaten. Separatorplaten zijn stalen platen met een geslepen en gepolijst oppervlak. Frictieplaten zijn staalplaten bedekt met een wrijvingsmateriaal, en hebben een gegroefd oppervlak (zie 1.2.2) Werkingsmodes Algemeen onderscheidt men twee smeringsregimes [1]: grenssmering en hydrodynamische smering. Grenssmering wordt gekenmerkt door lokaal contact tussen de 15

16 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie ruwheidspieken van de wrijvende oppervlakken. De wrijvingscoëfficiënt is groot; een goede orde van grootte is µ 0, 1. Wanneer het echter zo is dat tussen beide oppervlakken een smeerfilm kan ontstaan (afhankelijk van onder meer snelheid, zie verder) die elk materiaalcontact verhindert, dan spreekt men over hydrodynamische smering. De wrijvingcoëfficiënt is enkel afhankelijk van de viscositeit van de smeerolie, en ligt twee grootte-ordes lager dan bij grenssmering: µ 0, 001. Het overgangsregime, waarbij er weliswaar een smeerfilm tussen beide oppervlakken bestaat, maar het contact tussen de ruwheidspieken niet kan vermeden worden, duidt men aan als gemengde smering. Figuur 1.2: separatorplaten (links) en frictieplaten (rechts) Het is duidelijk dat een oliegesmeerde lamellenkoppeling overheersend in het regime met de hoogste wrijving, d.i. het grenssmeringsregime, moet werken. Voor steady-state omstandigheden, dit wil zeggen, eens een evenwichtssmeringstoestand bereikt is bij een welbepaalde constante snelheid, worden wrijvingscoëfficiënt en regime weergegeven op de Stribeck-curve (zie figuur 1.3). Vaak wordt dit weergegeven als een functie van het dimensieloze Sommerfeldgetal: So = dynamische viscositeit relatieve snelheid normale belasting per eenheid van contactbreedte Aangezien de werking van een lamellenkoppeling uit cycli bestaat, is steady-state zelden aan de orde. Deze curve is dus slechts een benadering van de realiteit. De kwaliteit van deze benadering is afhankelijk van de duur van de cycli, die voor de beschouwde toepassing (zie 1.2.3) eerder kort zijn. 16

17 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie Figuur 1.3: Stribeck curve De koppeling start vanuit geopende toestand van de frictie- en separatorplaten, die snel draaien ten opzichte van elkaar. De normale belasting wordt gestaag opgevoerd, zodat de olie uit de steeds kleiner wordende vrije zones, en gedeeltelijk ook in de poriën van het frictiemateriaal wordt geperst. De normaalbelasting wordt aanvankelijk gedragen door de druk in de oliefilm; de wrijvingscoëfficiënt is laag. Men heeft het over het squeeze -stadium, met een typische duur van ongeveer 0,1 s. In de frictieplaten komen groeven voor, waarmee men zoveel mogelijk de oliefilm wenst te verstoren om het hydrodynamische regime versneld te verlaten. Wanneer de eerste ruwheidspieken met elkaar in contact komen, spreekt men van het squash -stadium. Het verdwijnen van de smeerfilm wordt nog even uitgesteld doordat olie die zich eerder in materiaalporiën bevond, naar buiten wordt geperst door de immer toenemende belasting. De wrijvingscoëfficiënt blijft toenemen totdat de ruwheidspieken de volledige belasting dragen: grenssmering is bereikt, hoewel de volle belasting nog niet tot stand is gekomen. Deze laatste neemt nog enigszins toe met als effect dat resterende olie uit de materiaalporiën wordt geperst en het contact tussen beide materialen nooit volkomen droog gebeurt. Poriën in de frictieplaten raken verstopt naarmate de levensduur van de koppeling verder verstrijkt, waardoor vrijwel alle olie radiaal naar buiten moet worden gestuwd. Dit vereist meer tijd en een hogere druk, m.a.w. hydrodynamische smering wordt langer in stand gehouden bij verouderende lamellenkoppelingen. 17

18 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie Toepassingen De toepassing die voor dit afstudeerwerk van belang is, betreft de automatische transmissie (zie figuur 1.4). In wezen bestaat deze uit een hydrodynamische koppeling en twee of meerdere planetaire systemen. Met twee planetaire systemen kan men vier voorwaartse overbrengingsverhoudingen realiseren en tevens één achterwaartse [7]. Lamellenkoppelingen worden in de automatische transmissiekast aangetroffen om twee functies te vervullen. Figuur 1.4: automatische versnellingsbak [16] In eerste instantie voorzien de lamellenkoppelingen op elk moment de juiste samenwerking tussen de planetaire systemen, alsook de correcte verbinding met de assen. Ten tweede treft men vaak een overbruggingskoppeling aan ter hoogte van de hydrodynamische koppelomvormer, bestaande uit slechts 1 wrijvings- en separatorplaat [1,3,7]. Deze is ontworpen om zuiniger met de brandstof om te springen. Wanneer de wagen traag rijdt wordt de hydrodynamische koppelomvormer gebruikt om een hogere motorsnelheid toe te laten, wat overeenkomstig de koppelkarakteristiek van de omvormer resulteert in een verhoogd koppel, dat ter beschikking staat voor acceleratie. Daarnaast worden fluctuaties in het motorvermogen opgevangen. Bij hogere snelheden van het voertuig 18

19 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie wenst men het motorkoppel rechtstreeks over te dragen om verliezen in de hydrodynamische koppeling te beperken. De overbruggingskoppeling wordt gesloten en slip tussen de rotor en impeller van de hydrodynamische koppeling uitgesloten. De lamellenkoppeling staat nu in voor de volledige koppeloverdracht. Nog optimaler rendement wordt bekomen met slipgecontroleerde overbruggingskoppelingen. Hier wordt de koppeloverdracht bij elk toerental optimaal verdeeld tussen de hydrodynamische en de overbruggingskoppeling. In recente transmissies, zoals onderstaande zevenversnellingsbak (figuur 1.5), treedt de overbruggingskoppeling reeds in werking vanaf de eerste versnelling. Figuur 1.5: automatische zevenversnellingsbak Mercedes 7G-Tronic [17] 1.3 Torsietrillingen en mogelijke mechanismen Men heeft vastgesteld dat er zich tijdens het inschakelen van een lamellenkoppeling trillingsfenomenen kunnen voordoen die door de wrijving geïnduceerd worden. Het betreft trillingen in de omtreksrichting, die plaatsgrijpen onafhankelijk van uitwendige excitaties in deze richting. Deze torsietrillingen staan het schakelcomfort van een automatische transmissie sterk in de weg. Men is dan ook geïnteresseerd in het waarom van dit gedrag. Deze sectie is een vertrekpunt. De aandacht wordt gevestigd op twee mechanismen die wrijvingstrillingen kunnen veroorzaken: stick-slip en oscillerend glijden. Om deze mechanismen op te bouwen, heeft men enerzijds een mechanisch model nodig, anderzijds een wrijvingsmodel. Voor elk van beide mechanismen wordt het allereenvoudigste 19

20 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie wrijvingsmodel gebruikt om het trillingsfenomeen te begrijpen. Het mechanisch model is voor allebei hetzelfde, en wordt door het leeuwendeel van de auteurs gebruikt [1,2,5,11,13,15] Mechanisch model Het spreekt voor zich dat men een volledig aandrijfmechanisme niet eenvoudig kan modelleren. Men zal deze dan ook zelden in hun geheel beproeven. Experimenten worden meestal uitgevoerd op kleinschalige testopstellingen, waarvan men kan aantonen dat ze equivalent zijn aan onderstaand eenvoudig lineair model met één vrijheidsgraad (figuur 1.6). k m x c F F v disc Figuur 1.6: lineair mechanisch model met één vrijheidsgraad Dit eenvoudige model volstaat om alle trillingsfenomenen te begrijpen. De bewegingsvergelijking van het systeem is m & x + cx& + kx = F (1.1) waarin m, c en k constant verondersteld worden. Verdere veronderstellingen over de wrijvingskracht F zullen nog worden gemaakt, naargelang ze van pas komen in het beredeneren van een trillingsmechanisme Stick-slip We vertrekken vanaf de eenvoudigste F(v rel )-relatie waarmee we stick-slip kunnen begrijpen, weergegeven in figuur 1.7, en toegeschreven aan Coulomb. De dynamische 20

21 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie wrijvingscoëfficiënt is onafhankelijk van de relatieve snelheid, maar kleiner dan de statische wrijvingscoëfficiënt. F F s F D v rel Figuur 1.7: Coulomb wrijvingsmodel Eenvoudig verwoord, gebeurt bij stick-slip het volgende. Veronderstel dat aanvankelijk de relatieve snelheid tussen de massa en de plaat nul is. Onder invloed van de statische wrijvingskracht F S, die men groter onderstelt dan de dynamische F D, beweegt de massa mee met de plaat naar rechts. Men spreekt over een stick-episode. Terwijl de kracht van de demper constant blijft, neemt de kracht van de veer lineair toe. Deze situatie is slechts houdbaar tot de som van de krachten afkomstig van veer en demper gelijk wordt aan F S. Op dit ogenblik zal de massa over de plaat terugglijden, en valt de wrijvingskracht terug tot de kleinere dynamische waarde. Deze glijbeweging tussen de oppervlakken noemt men slip. Nu zal de kracht van de veer en demper terug afnemen, tot wanneer ze overtroffen wordt door de dynamische wrijvingskracht. De massa wordt vanaf dat ogenblik terug naar rechts versneld. Wanneer opnieuw de snelheid v disc kan bereikt worden, vangt een nieuwe stick-fase aan. Dit proces van stick gevolgd door slip zal zich dan blijven herhalen. We werken dit nu iets nauwkeuriger uit. Neem aan dat op t = 0 de massa m zich op de positie x = 0 bevindt, en beweegt met constante snelheid v disc statische wrijving met elkaar verbonden (stick-episode), dus geldt. De massa en de plaat zijn via x = v t, x& = v, & x = 0 (1.2) disc disc De kracht die de veer uitoefent op de massa neemt lineair toe met de tijd, terwijl de demper een constante kracht uitoefent op de massa. Op het tijdstip t 1 wordt de som van deze krachten gelijk aan de statische wrijvingskracht, en kunnen massa en plaat niet langer verbonden blijven. 21

22 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie cv disc + kv = F FS cv t1 = kvdisc x( t ) = x = v 1 1 t disc 1 S disc t disc 1 = F S cv k disc (1.3) De netto kracht is nu naar links gericht, zodat de massa in die richting versneld wordt. De wrijvingskracht gaat onmiddellijk over naar de kleinere dynamische waarde. Er ontstaat een relatieve beweging tussen de glijdende oppervlakken, de eerste slipepisode grijpt plaats. Definiëren we de veranderlijken x = x x1 en t = t t1, dan kunnen we de bewegingsvergelijking (1.1), rekening houdend met F = D S disc FD, herschrijven als: m & x + cx& + kx = F F + cv (1.4) om te komen tot && 2 F x + 2ζω x& + ω x = ω = n n k m n, ζ = 2 c km D F m S cv + m disc Ondergedempte geval ( 0 ζ < 1): de oplossing van vgl (1.5) met beginvoorwaarden (1.5) ( ) = 0, x( 0) vdisc x 0 & = heeft de vorm Met x x& ( ) [ ( ) ( ) ] t FD FS cv t = e ζωn 2 A 1 ζ ωnt + Bsin 1 ζ 2 ωnt + k + k disc cos (1.6) ζωn ( t ) e [( ) ( ) t 2 2 = ζωn A + 1 ζ ωn B cos 1 ζ ωnt ( ζωnb 1 ζ ωn A) sin( 1 ζ ωnt )] en beginvoorwaarden x ( t = ) = 0, x( t = 0) = vdisc 0 & volgt: (1.7) c v ( F F cv ) F F cv disc + S D disc S D disc A =, B = 2km (1.8) k k 2 c k 1 4km m Hiermee kan de uitdrukking voor de tijdsafgeleide herschreven worden als cvdisc F ( ) = ( ) ( ) S FD x& t e ζω n t 2 vdisc cos 1 ζ ω t 2 n sin 1 ζ 2 ωnt (1.9) 2 c km 4 22

23 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie wat herschikt wordt tot een exponentieel gedempte sinus x& V ( t ) 0 = = V v 0 2 disc sin( F + 1 ζ S 2 ω t + ϕ) e n cv FD 2 2 c km 4 disc ζωnt 2 (1.10) Ost [1] voorziet een amplitude V 0 die niet volledig in overeenstemming is met (1.10), maar wel een zeer goede benadering is in geval van kleine c. Door de beweging van de massa naar links, vermindert de veerkracht en wordt de nettokracht op een bepaald moment nul. De massa zal vervolgens naar links versneld worden. De eerste slipepisode eindigt en de tweede stick-episode begint op tijdstip t 1 + t2 wanneer de relatieve snelheid terug nul wordt: ( t = t + t ) = x& 1 2 ( t = t2 ) vdisc x & = (1.11) Deze vergelijking is niet analytisch oplosbaar. Bij wijze van illustratie ontwikkelden we met Maple een stabiele stick-slipcyclus. Het gebruikte wrijvingsmodel vindt men terug op figuur 1.8a. Gebruikte gegevens voor de simulatie vindt men terug in tabel 1.1. Vanuit de initiële toestand kom je onmiddellijk in een cyclus terecht, zoals aangeduid door de pijlen in figuur 1.8b. parameters beginvoorwaarden m = 9 kg k = 430 kn/m F N = 200 N x(t=0) = 0 mm c = 28 kg/s v disc = 0.1 mm/s v rel (t=0) = 0 mm/s Tabel 1.1: gegevens voor simulatie figuur 1.8a: gebruikte wrijvingsmodel figuur 1.8b: ontwikkeling van een stick-slipcyclus Als conclusie kunnen we stellen dat de drijvende kracht achter stick-slip het verschil is tussen statische en dynamische wrijvingskracht. Voor het bespreken van de invloed van de 23

24 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie mechanische parameters (m, c, k, v disk ) en van de parameters van het wrijvingsmodel verwijzen we naar [1]; het merendeel is echter eenvoudig in te zien adhv formule (1.10). Een samenvatting vindt men terug in tabel 1.2. wijziging parameter snelheid v disc neemt toe invloed op stick-slip stick-slip wordt bemoeilijkt en vanaf bepaalde kritische snelheid mechanisch model demping c neemt toe stijfheid k neemt toe massa m neemt toe onmogelijk gemaakt V 0 neemt toe, een weinig minder dan lineair stick-slip vermeden indien hoog genoeg tijdsverloop van de veerkracht minder symmetrisch amplitude van trilling vermindert stick-slip cyclus verloopt sneller (sticktijd korter wegens hogere veerkracht, sliptijd korter wegens toename van dempingscoëfficiënt ζ daalt amplitude neemt toe ω n ) wrijvingsmodel µ S µ D neemt toe toename van de amplitude V 0 µ afh. van relatieve snelheid indien voldoende dalende F(v rel ) - karakteristiek: omkering van de invloed van v disc Tabel 1.2: invloed van parameters op stick-slip Kritisch- en overgedempte geval ( ζ 1): de relatieve snelheid tussen de massa en de schijf kan nooit opnieuw nul worden (zie hiervoor [2]), en een tweede stick-episode kan dus niet meer plaatsvinden. Dit geval wordt dus niet verder beschouwd Oscillerend glijden We vertrekken vanaf de eenvoudigste F(v rel )-relatie waarmee we oscillerend glijden kunnen begrijpen, weergegeven in figuur 1.9. De dynamische wrijvingscoëfficiënt is op lineaire wijze afhankelijk van de relatieve snelheid. Er geldt, met d de negatieve helling van de wrijvingskarakteristiek, F ( v ) = F d v = ( F dv ) d v v ) = F( v ) d( v v ) rel S rel S disc ( (1.12) rel disc disc rel disc We brengen dit in de bewegingsvergelijking, rekening houdend met v rel = v x& : disc ( v ) = F( v ) d v v = F( v ) + d x& m& x + cx& + kx = F ( ) (1.13) rel disc rel disc disc 24

25 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie F F s v rel Figuur 1.9: wrijvingsmodel Op deze manier vinden we ( c d ) x + kx F( ) m && x + & = Mits het invoeren van ( v ) v disc (1.14) F disc k c d x = x, ω n =, ζ = (1.15) k m 2 km wordt de bewegingsvergelijking & 2 x + 2ζ ω n x& + ω x = 0 (1.16) n wat, analoog aan voorgaande stick-slip redenering, opgelost wordt als x ζ ω t ( t) e ( A ( nt) B ( nt ) n 2 2 = cos 1 ζ ω + sin 1 ζ ω (1.17) waarin de coëfficiënten A en B andermaal afhangen van de beginvoorwaarden. Wanneer nu de negatieve helling van de karakteristiek groot genoeg is, of de demping voldoende klein is, zo dat d > c of ζ < 0, is het enige stel beginvoorwaarden dat niet tot exponentieel groeiende oscillaties leidt, en dus een stabiele oplossing heeft: ( 0 ) = 0, x( 0) = 0 x & (1.18) Deze toestand is niet eens asymptotisch stabiel: een kleine perturbatie vanuit rust zal eveneens een oscillatie in de hand werken. De frequentie is steeds 2 1 ζ ω n ω. De amplitude van de aldus ontstane oscillatie beoordeelt men aan de hand van een dimensieloos getal, dat men de oscillatieindex noemt (symbool: R V ), en definieert als R V v = rel,max 2 v v disc rel,min n (1.19) Aanvankelijk zal de amplitude van de oscillatie exponentieel toenemen. Op deze manier zal op een bepaald moment de relatieve snelheid tussen de massa en de schijf nul worden. De massa zal echter in theorie nooit een snelheid kunnen bereiken groter dan die van de schijf, of 25

26 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie anders geformuleerd, de relatieve snelheid kan nooit negatief worden. Om dit te motiveren, onderscheiden we twee gevallen: 1 Wanneer F S groter is dan lim F ( v ) v rel 0 D rel, bestaat er een drijvende kracht die een eerste stick-episode zal teweegbrengen overeenkomstig paragraaf Wanneer dit niet zo is, veronderstel dan dat de snelheid van de massa een infinitesimale hoeveelheid groter is dat deze van de plaat. Onmiddellijk keert het teken van de wrijvingskracht om, zodat de massa afgeremd wordt in plaats van aangedreven. Verder weten we dat de snelheid x& (t) oscilleert rond x & = x& = 0, wat het punt is waar v rel = v disc. Dit betekent dat de relatieve snelheid oscilleert rond de waarde v disc. Als de relatieve snelheid niet kleiner kan worden dan nul, kan ze dus ook niet groter worden dan twee maal v disc. De oscillatieindex is dan 1. Hiermee is aangetoond dat de oscillatieindex R V volgens dit wrijvingsmodel slechts twee waarden kan aannemen: ofwel 0 (trillingsloos), ofwel 1(er ontstond trilling, ze is exponentieel gegroeid tot op het punt waarop de relatieve snelheid nul werd, maar er ontstond geen stickslip). Bij wijze van illustratie ontwikkelden we met Maple een stabiele cyclus. Het gebruikte wrijvingsmodel vindt men terug op figuur 1.10a. Gebruikte gegevens voor de simulatie vindt men terug in tabel 1.3. parameters beginvoorwaarden m = 9 kg k = 430 kn/m F N = 200 N x(t=0) = 0,03 mm c = 28 kg/s v disc = 45 mm/s v rel (t=0) = 5 mm/s Tabel 1.3: gegevens voor simulatie figuur 1.10a: gebruikte wrijvingsmodel figuur 1.10b: ontwikkeling van een limietcyclus 26

27 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie Vanuit het vertrekpunt gegeven door de beginvoorwaarden, evolueert het systeem onder de vorm van een naar buiten gaande spiraal (fig 1.10b). Wanneer het systeem op een punt komt waar v rel = 0, is de limietcyclus bereikt. Deze cyclus kan dus worden voorgesteld door de uitwendige ellips aan de spiraal in figuur 1.10b. We zien dat de amplitude van de snelheid gegeven wordt door v disc = 45 mm/s. In de realiteit is er steeds een zekere speling in de aandrijvingsonderdelen aanwezig, met als gevolg dat soms wel negatieve waarden mogelijk zijn voor de relatieve snelheid. Als conclusie kunnen we stellen dat de drijvende kracht achter oscillerend glijden het verschil is tussen de demping en de helling van de wrijvingskracht versus de relatieve snelheid. Voor het bespreken van de invloed van de mechanische parameters (m, c, k, v disk ) wordt verwezen naar [1]; dit wordt in tabel 1.4 samengevat. De invloed van het wrijvingmodel is iets ingewikkelder, daar wordt in paragraaf op teruggekomen. mechanisch wijziging parameter snelheid v disc neemt toe demping c neemt toe stijfheid k neemt toe massa m neemt toe geen invloed invloed op oscillerend glijden oscillerend glijden vermeden indien groter dan d geen invloed op frequentie, ω ωn geen invloed geen invloed Tabel 1.4: invloed van mechanische parameters op oscillerend glijden Niet-lineaire F(v rel )-karakteristiek Wanneer de karakteristiek een niet-lineair verloop heeft, kunnen we deze in eerste instantie lineariseren rond de evenwichtssituatie ( v = v ). Doch, wanneer oscillaties optreden en hun amplitude neemt toe, wordt de linearisatie inaccuraat. Hogere orde termen kunnen niet langer kunnen verwaarloosd blijven. Dit komt nog aan bod in sectie 1.7.3, maar het is nuttig nu reeds twee belangrijke consequenties te vermelden [11]: 1 bestaan van stabiele limietcycli met amplitude lager dan v disc (en minimale v rel groter dan 0) 2 wijzigingen van de mechanische parameters m, k en v disc hebben nu wel een invloed op het oscillerend glijden; geen algemene besluiten kunnen worden getrokken omdat er een koppeling bestaat met het verloop van de F(v rel )-karakteristiek rel disc 27

28 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie 1.4 Bespreking van een aantal belangrijke proefopstellingen In de voor dit afstudeerwerk doorgenomen literatuur waren de drie meest gebruikte proefstanden de SAE#2, de plate-on-plate en de pin-on-disc configuraties. Hieronder wordt een bondige beschrijving gegeven van de eerste twee proefopstellingen. Voor meer details wordt naar [1] verwezen. De pin-on-disc opstelling echter verdient extra aandacht, omdat dit ook het type opstelling is dat voor onze experimenten wordt gebruikt. Deze proefstand wordt dan ook uitvoeriger besproken in hoofdstuk 2. Op een SAE#2 opstelling wordt een gehele lamellenkoppeling beproefd (zie figuur 1.11). Een wisselstroommotor (2) drijft een vliegwiel (1) aan tot wanneer een welbepaalde snelheid bereikt is; nadien wordt de motor afgekoppeld en de koppeling (3) ingeschakeld om het wiel af te remmen. Het koppel wordt opgemeten met een sensor (5) vastgemaakt aan een starre wand (4). De olie in de koppeling wordt onder druk gebracht (pomp, 6), gefilterd (7) en op een constante temperatuur (warmtewisselaar, 8) gehouden. Het geheel wordt door een computer bestuurd. De traagheid kan slechts twee waarden aannemen, afhankelijk van het al dan niet aangekoppeld zijn van de motor. Een plate-on-plate testopstelling vindt men schematisch weergegeven in figuur Het beeld is zeer gelijkaardig als bij de SAE#2, al beproeft men hier slechts 1 separator- en wrijvingsplaat. Het vermogen kan aangeleverd worden door een hydraulische motor, door een op toeren gebracht vliegwiel, of door een combinatie van de beide. Het voordeel van inertie aan te brengen op de proefstand, is dat men naast het aandrijfkoppel ook de inertie van een voertuig kan simuleren in laboratoriumcondities. Figuur 1.11: SAE#2 testopstelling 28

29 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie Figuur 1.12: plate-on-plate testopstelling 1.5 mechanisme achter wrijvingsgeïnduceerde trillingen: enkele voorbeelden uit de literatuur In wat nu volgt, wordt de theorie aan de praktijk getoetst. De resultaten van twee onderzoekers die metingen verrichtten op een pin-on-disc proefopstelling, worden samengevat. Daarbij stelt één onderzoeker stick-slip vast (Van De Velde, [2]), en één onderzoeker oscillerend glijden (Ost, [1]), afhankelijk van materiaal en smeermiddel voorbeeld van stick-slip In [2] wordt de beweging van nat wrijvende metalen oppervlakken bestudeerd. Men komt tot de vaststelling dat er zich stick-slip voordoet. Tijdens de slip-fase van een stick-slip beweging komt hysterisis voor in de F(v rel )-relatie, die in wijzerzin wordt doorlopen. De stabiele stick-slip cyclus ontstaat uit oscillerend glijdende trillingen, die in amplitude toenemen totdat de relatieve snelheid tussen de metalen platen nul wordt voorbeeld van oscillerend glijden In [1] bootst men in een pin-on-disc proefstand zoveel mogelijk de applicatie van oliegesmeerde lamellenkoppeling na. Gebruikte materialen en mechanische parameters tracht 29

30 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie men zo dicht mogelijk te laten aanleunen bij de werkelijke situatie in een lamellenkoppeling. Men stelt vast dat de trilling zich manifesteert met een oscillerend glijdende natuur. Hiervoor zijn twee belangrijke argumenten voorhanden: 1 De invloed van de mechanische parameters op torsietrillingen werd gemeten op een pin-on-disc testopstelling. Tabel 1.5 maakt de vergelijking tussen de gemeten en de op basis van de theoretische trillingsmechanismen verwachte invloeden. Afgezien van het feit dat uit de tabel blijkt dat een lineaire µ(v rel )-relatie niet volstaat om de observaties te verklaren, wordt duidelijk dat de invloeden van de mechanische parameters overeenstemmen met een oscillerend glijdende aard. De invloed van de temperatuur en van de normaalbelasting werden in deze tabel weggelaten. Deze beïnvloeden immers de F(v rel )-relatie op ingewikkelde wijze, zodat het ons erg ver zou leiden om een theoretische voorspelling te maken van hun effect op wrijvingsgeïnduceerde trillingen. 2 Het opgemeten patroon wordt vergeleken met een typisch stick-slip patroon. Het uitzicht is niet te verzoenen, zoals weergegeven in figuur figuur 1.13a: gemeten trilling figuur 1.13b: typische meting stick-slip 30

31 31 Tabel 1.5: vergelijking theorie en meetresultaten uit [1] invloed van v disc niet-lineariteit F(v rel ) demping c stijfheid k theoretische invloed op stick-slip - stick-slip wordt bemoeilijkt en vanaf bepaalde kritische snelheid onmogelijk gemaakt - snelheidsamplitude tijdens slip-fase (V 0 ) - effecten van mechanische parameters op stick-slip kunnen omkeren - minder symmetrisch verloop van veerkracht - als hoog genoeg: stick-slip vermeden - amplitude theoretische invloed op oscillerend glijden - ω ω n onafhankelijk van v disc - zie 1.7.1: of oscillaties ontstaan of niet, hangt af van de helling van de F(v rel ) karakteristiek gelineariseerd in het punt v disc ; dit varieert dus met v disc - stabiele oscillatie kan bestaan met 0 < R V < 1 onder invloed van hogere orde termen - mechanische parameters wel invloed op amplitude - waneer c > d valt drijvende kracht weg (bij lineair of gelineariseerd F(v rel )-verband) - geen invloed op frequentie, ω ω n - geen invloed gemeten invloed - ω ω n onafhankelijk van v disc - de oscillatieindex R V vertoont voor een bepaald interval van v disc een opslingering, buiten dit interval is R V = 0 - stabiele oscillaties met 0 < R V < 1 komen voor - de mechanische parameters hebben een invloed op de amplitude van de oscillatie - oscillaties verdwijnen bij hogere c - linearisatie van F(v rel ) is onbruikbaar om oscillaties te voorspellen - oscillatieindex R V Hoofdstuk 1. Literatuurstudie - tijdsduur van de stick-slipcyclus BELANGRIJK: dit kan ook te maken hebben met het feit dat bij een hogere stijfheid onrechtstreeks ook de dempingscoëfficiënt toeneemt - de helling van F (v disc ) wordt niet beïnvloed

32 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie 1.6 Empirische onderzoeksresultaten over wrijvingsmodellen Er is een grote verscheidenheid aan empirische gegevens voorhanden, waarbij verschillende onderzoekers voor hun metingen uiteenlopende proefstanden en wrijvingsmaterialen gebruiken. Sommige proefstanden zijn van nature uit cyclisch (bijvoorbeeld SAE#2), andere kunnen gebruikt worden om zowel statische als cyclische metingen te verrichten (bijvoorbeeld plate-on-plate en pin-on-disc). Er zijn dus onderzoeksresultaten voorhanden zowel van het statische type (bijvoorbeeld Stribeck-curves) als van cyclische aard. Zoals reeds in paragraaf 1.3 opgemerkt, zijn Stribeckcurves slechts beperkt toepasbaar op lamellenkoppelingen gezien hun werking bestaande uit kortstondige cycli. Enkele auteurs nemen dit niet in beschouwing. Sterker nog, bepaalden leggen de stabiliteit (het al dan niet voorkomen van wrijvingsgeïnduceerde trillingen) vast aan de hand van de helling van de opgemeten F(v rel )-relatie in steady-state omstandigheden, waar dat zoals in sectie uitgelegd zal worden, onjuist is. Sommigen teksten zijn vaag in het vermelden van de aard van de verrichte metingen. In de zoektocht naar een wrijvingsmodel wordt soms stick-slip vastgesteld, en een zeer beperkt aantal auteurs stelt ook oscillerend glijden vast. Het optreden van deze verschijnselen hangt sterk samen met de toegepaste mechanische parameters en de vorm van de F(v rel )- relatie. In onderstaande paragrafen wordt een overzicht gegeven van hoe een typische F(v rel )- relatie eruit ziet en wat de factoren zijn die de relatie kunnen beïnvloeden. De invloed van de tijd wordt wegens haar grote belang in verdere hoofdstukken in een aparte paragraaf uitgewerkt Typisch beeld van een F(v rel )-relatie Een typisch resultaat volgend uit een cyclische inschakeling van een SAE#2 en een pinon-disc opstelling worden weergegeven op de respectievelijke figuren 1.14 en

33 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie Figuur 1.14: typische µ(v rel )-relatie volgend uit SAE#2 meting Figuur 1.15: typische µ(v rel )-relatie volgend uit cyclische pin-on-disc meting Invloedsfactoren op F(v rel )-karakteristieken De grote verscheidenheid aan invloedsfactoren van de F(v rel )-karakteristieken wordt samengevat en toegelicht in tabel 1.6. Merk de nuances tot zelfs tegenstrijdigheden van de resultaten volgens de aard van de metingen. 33

34 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie invloed van invloed op de wrijvingskarakteristiek aard van de metingen bron µ s en µ D wanneer T gevolg: inschakeltijd, koppelcapaciteit voor lage T kunnen wrijvingsadditieven inactief worden de helling van de µ(v)-karakteristiek neemt af als T cyclische meting met LVFA (low velocity friction apparatus, voor lage snelheden) en SAE#2 [3] temperatuur µ s en µ D wanneer T cyclische meting met een plate-on-plate opstelling de helling van de µ(v)-karakteristiek neemt toe als T steady-state Stribeck meting [10] [4] verklaring: oliefilm wordt moeilijker gevormd, op een continue slip-tester die adsorptie van additieven wordt gehinderd nog niet ingelopen is noot: oppervlaktebehandeling kan het effect ongedaan maken viscositeit smeerolie bij hogere viscositeit: µ daalt vlugger bij grenssmering en stijgt vlugger bij hydrodynamische smering steady-state Stribeck meting op een pin-on-disc opstelling [2] elasticiteitsmodulus E van normaalkracht FN het frictiemateriaal porositeit van het frictiemateriaal µ D daalt lichtjes met toenemende F N, invloed eerder beperkt opmerking: dit kan een onrechtstreeks temperatuureffect zijn µ daalt voor alle ingestelde v disc de helling van de µ(v)-karakteristiek blijft dezelfde µ neemt toe als het materiaal slapper wordt noot: in dit geval wordt energie ook beter geabsorbeerd de helling van de µ(v)-karakteristiek krijgt een grotere tot zelfs een positieve waarde verklaring: oliefilm wordt moeilijker gevormd, adsorptie van additieven wordt gehinderd cyclische meting op een limited-slip opstelling (voor hogere nauwkeurigheid bij lagere snelheden en voor hogere normale belastbaarheid) cyclische meting op pin-ondisc opstelling (met 1 glijschoen) [3] [1] niet vermeld [3] steady-state Stribeck meting op een continue slip-tester die nog niet ingelopen is hogere porositeit E µ, onrechtstreeks effect niet vermeld [3] hoe hoger de %porositeit, des te hoger µ voor So>10-7 indien zelfde basismateriaal, en voor So>10-6 indien het andere materialen betreft porositeitseffecten zijn verwaarloosbaar buiten het hydrodynamische smeringsgebied steady-state Stribeck meting met een plate-on-plate-achtige opstelling met separator in oliebad zowel cyclische als statische meting op een pin-on-disc [4] [6] [8] 34

35 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie fricieadditieven in de smeerolie µ s en µ D dus koppeloverdracht lager µ S µ D wat beter is om stick-slip te vermijden afhankelijk van de olie, kunnen er bij So<10-9 trillingen ontstaan cyclische meting op een limited-slip opstelling (voor hogere nauwkeurigheid bij lagere snelheden en voor hogere normale belastbaarheid) steady-state Stribeck meting met een plate-on-plate achtige opstelling met separator in [3] [6] oliebad hardheid separatorplaten µ is onafhankelijk cyclische meting op pin-ondisc opstelling (met 1 glijschoen) [1] veroudering, slijtage, toenemend aantal cycli N µ s µ D (zie ook 1.2, blijft langer in hydrodynamisch regime) gevolg: gevoeliger aan wrijvingsgeïnduceerde trillingen niet vermeld, het betreft onderzoek naar veroudering van smeerolie met additieven en van frictieopppervlakken µ gem bij rodage, daalt terug na ong cycli cyclische SAE#2 meting [1] µ gem bij rodage, nadien constant cyclische meting op pin-ondisc opstelling (met 1 glijschoen) [3] [1] langdurige stilstand koppeling plotse sprong van µ cyclische SAE#2 meting [1] gem heeft invloed op temperatuursverdeling en dus op niet vermeld [3] duurzaamheid hoe poreuzer hoe minder de invloed groefpatroon µ stijgt als er groeven zijn voor So>10-6 steady-state Stribeck meting met een plate-on-plate achtige opstelling met separator in oliebad [6] µ onafhankelijk van de groefrichting behalve bij de allereerste cyclische meting op pin-on- [1] cycli disc opstelling (met 1 glijschoen) degradatie frictiemateriaal µ onafhankelijk van gematigde degradatie cyclische meting op pin-ondisc opstelling (met 1 glijschoen) [1] 35

36 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie bij eerste cycli een soort hysteresis in positieve klokrichting cyclische meting op pin-on- [1] versnelling of vertraging waargenomen hysteresislussen komen voor, beïnvloed door mechanische parameters disc opstelling (met 1 glijschoen) steady-state Stribeck meting op een pin-on-disc opstelling [2] adsorptie wrijvings materiaal hogere adsorptie helpt frictie-additieven de helling van de µ(v)-karakteristiek krijgt een grotere tot een positieve waarde steady-state Stribeck meting op een continue slip-tester die nog niet ingelopen is [4] demping van wrijvingsmateriaal als de demping toeneemt (bijvoorbeeld door E, of oppervlak van de dempende bestanddelen van het frictiemateriaal ) dan krijgt de helling van de µ(v)-karakteristiek een grotere tot een positieve waarde steady-state Stribeck meting op een continue slip-tester die nog niet ingelopen is [4] voor eenzelfde gedissipeerde energie per eenheid van opp. is cyclische meting op een plate- [9] inertie van het mechanisme dat het lastkoppel voorziet de wrijvingskarakteristiek dezelfde, onafhankelijk van de traagheid van het mechanisme dat het lastkoppel voorziet desondanks: schakeltijd, max. vermogen en max. temperatuur hoger bij meer inertie in de aandrijving noot (!!): deze invloedsfactor heeft een reëel belang, gezien in de praktijk lastkoppel op de lamellenkoppeling gegenereerd wordt door zowel het aandrijfkoppel van de motor als de traagheid van diezelfde motor bij de gangwissel on-plate opstelling; men kan op de hydraulische motor extra traagheden aanbrengen Tabel 1.6: invloedsfactoren op F(v rel )-relaties Tijdsafhankelijkheid van de wrijvingscoëfficiënt Heel wat auteurs hebben melding gemaakt van een tijdsafhankelijkheid van de wrijvingscoëfficiënt. Het gaat hier om zowel de statische als de dynamische. Wat de statische wrijving betreft, worden in de literatuur een aantal modellen voorgesteld (zie onder andere [2]). Omdat wij enkel experimenten zullen uitvoeren voor oliegesmeerde oppervlakken, zullen we enkel het model bespreken dat in deze context voorgesteld wordt. De tijdsafhankelijkheid wordt hier toegeschreven aan het uitknijpen van de olie vantussen de ruwheidspieken. Zoals in paragraaf beschreven, wordt de oliefilm tussen de platen uitgeperst, zodat de wrijvingscoëfficiënt toeneemt. Daarnaast zouden ook juncties kunnen ontstaan tussen ruwheidspieken, of zouden deze laatste kruip kunnen vertonen. Op theoretische zowel als empirische basis stelde men voor: 36

37 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie g2 1t g µ = µ ( µ µ ) e (1.20) S waarbij S S S D µ : de statische wrijvingscoëfficiënt voor t µ D : de dynamische wrijvingscoëfficiënt in regime g 1, g 2 : constanten afhankelijk van olieviscositeit en oppervlakteruwheid Men is ook tot het inzicht gekomen dat de toename van de statische wrijvingscoëfficiënt belangrijker wordt naarmate de luchtvochtigheid stijgt. Als verklaring hiervoor wordt aangevoerd dat er tussen de ruwheidspieken meniscussen ontstaan van condensvocht, die door capillaire werking de oppervlakken sterker aan elkaar vasthechten. Ook voor de dynamische wrijvingskracht stelt men een afhankelijkheid van de tijd vast. Op zuiver proefondervindelijke gronden is men tot het besluit gekomen dat de dynamische wrijvingskracht op een bepaald tijdstip (wat we hier verder F k zullen noemen) bepaald wordt door een karakteristieke tijd van, en de maximale snelheid tijdens, de relatieve beweging. Deze twee bepalen de toenemende scheiding tussen de oppervlakken en dus de daling van de wrijvingscoëfficiënt tijdens de relatieve beweging. Daarnaast is ook de statische wrijvingscoëfficiënt voorafgaand aan de relatieve beweging (µ S ) van belang, daar zij duiding geeft over de initiële scheiding tussen de wrijvingsoppervlakken. Men stelt een erg analoge betrekking voor: g2 1t g µ = µ ( µ µ ) e (1.21) k waarbij D S D µ S : de statische wrijvingscoëfficiënt voorafgaand aan de relatieve beweging µ D : de dynamische wrijvingscoëfficiënt in regime g 1, g 2 : constanten t 1 T 2 n met T n de natuurlijke periode van de relatieve beweging (1.22) Het feit dat men de tijd vastlegt aan de hand van een natuurlijke frequentie, en werkt met een initiële statische wrijving, wijst erop dat dit verband is opgesteld voor een slip-fase tijdens een stick-slip beweging. Uit de betrekkingen (1.20) en (1.21) volgt dat de statische en de dynamische wrijvingscoëfficiënt elkaar wederzijds beïnvloeden. 37

38 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie 1.7 Uitdiepen van het mechanisme voor oscillerend glijden Uit wat voorafging is het reeds duidelijk dat de µ(v rel )-relatie niet lineair is. Dit zal ook in verder hoofdstukken uitvoerig worden aangetoond. Voor stick-slip maakt dit geen fundamenteel verschil uit aangezien de drijvende kracht het verschil is tussen F S en lim F ( v ) v rel 0 D rel, maar men dient wel het mechanisme voor oscillerend glijden verder uit te werken voor een niet-lineair wrijvingsmodel. In wat volgt wordt tevens een belangrijke opmerking gegeven over het gebruik van de helling van de F(v rel )-relatie om oscillerend glijden te voorspellen, en geeft men een verklaring voor het optreden van stabiele oscillaties met een oscillatieindex kleiner dan Oscillerend glijden bij niet-lineaire F(v rel )-karakteristiek Om het mechanisme verder uit te werken behouden we het mechanisch model zoals eerder geïntroduceerd, en combineren dit met een wrijvingskarakteristiek zoals voorgesteld in figuur F F S v rel Figuur 1.16: wrijvingskarakteristiek De bewegingsvergelijking is nog steeds gelijk aan m & x + cx& + kx = F v ) (1.1) ( rel Wanneer we F(v rel ) lineariseren rond een werkingspunt v rel = v disc (verwaarlozing van de hogere ordetermen), komt er F ( v ) F( v ) rel ( vrel ) ( v v ) = F( v ) d( v v ) = F( v ) + dx & df = disc + rel disc disc rel disc disc (1.23) dv rel 38

39 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie met df( vrel ) dµ ( vrel ) d = = 2Fn bij v rel = v disc (1.24) dv dv rel Dus wordt de bewegingsvergelijking gelijk aan rel ( c d ) x + kx F v ) m & x + & = (1.25) ( disk Bijgevolg kan de afleiding van paragraaf terug opgenomen worden vanaf vergelijking (1.15). Men zou kunnen besluiten dat de helling van de gelineariseerde F(v rel )-relatie in elk werkingspunt de stabiliteit in dat punt bepaalt. Immers, aanvankelijk is de amplitude van een trilling zeer klein, waardoor de hogere orde termen in alle gevallen te verwaarlozen zijn. Experiment spreekt dit tegen; een voorbeeld daarvan is wat er gebeurt in [1]. Op een pinon-disc opstelling brengt men een demping aan zodat er zich geen oscillaties voordoen. Bij afwezigheid van trillingen geldt dat v rel gelijk is aan v disc. Voor verschillende waarden van v disc meet men nu de wrijvingscoëfficiënt op; het resultaat daarvan is een µ(v rel )- karakteristiek, die men vervolgens fit aan een vierdegraadskromme. Vervolgens neemt men de demper weg, het resultaat daarvan is dat nu wel oscillerend glijdende trillingen voorkomen, met een oscillatieindex R V die rond de 1 ligt in een bepaald gebied van v disc. Men stelt echter vast dat c-d<0 geen betrouwbare voorwaarde is om te voorspellen of trillingen zullen optreden. In een verder stadium wordt het wrijvingsmodel uitgebreid met een dynamisch, destabiliserend element in de wens om een betrouwbaarder wrijvingsmodel te bekomen. Het dynamische element brengt naast een versnellingsterm tevens een dode-tijd in rekening. Het nieuwe model wordt uitgewerkt met een asymptotische methode gekend als perturbatietheorie. Hierin wordt een relatie opgesteld tussen de afmetingen van de trillingscyclus en bepaalde modelparameters, doch men komt vast te zitten in de berekening van deze parameters. Om na te gaan of het model geldig is, zou men ervoor kunnen kiezen om een numerieke methode aan te wenden; dit werd in [1] echter niet verder uitgewerkt Correct gebruik van de F(v rel )-gradiënt Als men het heeft over de helling van de F(v rel )-relatie, spreekt met vaak ook over de F(v rel )-gradiënt. We nemen voor deze gradiënt dezelfde tekenconventie aan als voor d, we stellen ze namelijk gelijk aan de negatieve helling van de F(v rel )-relatie. 39

40 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie In overeenstemming met [2], is het nodig een aantal begrippen in te voeren. De stationaire F(v rel )-gradiënt wordt afgeleid van een stationaire wrijvingsmeting, zoals er bijvoorbeeld de Stribeck curve bestaat. Een dynamische F(v rel )-gradiënt bekomt men uit een niet-stationaire wrijvingsmeting, bijvoorbeeld bij tangentiële oscillaties (oscillerend glijden) of stick-slip. Dit kan bijvoorbeeld ook een meting betreffen bij dermate hoge versnelling/vertraging dat de wrijving beïnvloed wordt. De ogenblikkelijke F(v rel )-gradiënt wordt bepaald door de ogenblikkelijke verandering van de wrijvingskracht bij een infinitesimale wijziging van de relatieve snelheid. Experimenteel heeft men vastgesteld dat de stationaire F(v rel )-gradiënt de meest negatieve is, en de ogenblikkelijke de minst negatieve. Precies door de wederzijdse beïnvloeding tussen veranderingen van de wrijvingskracht en het dynamisch gedrag van het mechanisch systeem, wordt het ontstaan van wrijvingstrillingen niet bepaald door de stationaire F(v rel )-gradiënt. Men kan dit staven aan de hand van testen waaruit is gebleken dat viskeuzere smeermiddelen de kleinste kritische snelheid hebben (de beste weerstand tegen stick-slip) terwijl hun stationaire F(v rel )-gradiënt in grenssmering het meest negatief is. Smeermiddelen met merkelijk betere antistick-slip eigenschappen kunnen een stationaire F(v rel )-gradiënt hebben die weinig verschilt van andere. Trage veranderingen van de wrijvingskracht zoals voorgesteld in de Stribeck curve, kunnen niet interageren met de dynamica van het mechanisch systeem, waarvan de tijdsconstante veel kleiner is. Het is de F(v rel )-gradiënt bij een relatieve beweging met dezelfde tijdsconstante als deze van het mechanisch systeem die beschouwd moet worden voor het bestuderen van wrijvingstrillingen. Systemen met een grote oscillatieperiode reageren traag, waar die met een kleine oscillatieperiode snel reageren. Voor relatief slappe systemen wordt de tijdsconstante van het mechanisch systeem bepaald door de halve natuurlijke oscillatieperiode π/ω n (zie bijvoorbeeld ook formule (1.22)). Voor relatief stijve systemen is de reactietijd voldoende klein om de ogenblikkelijke F(v rel )-gradiënt in beschouwing te nemen Bereiken van een stabiele tangentiële oscillatieamplitude Uit leerden we dat d df ( v ) rel = (1.26) dv rel men brengt nu de normale afstand H in rekening tussen de wrijvende oppervlakken [14]: 40

41 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie df d = dv ( v, H ) F( v, H ) dh F( v, H ) rel rel = rel H dv rel + rel v rel (1.27) De verschillende componenten in deze vergelijking worden besproken in tabel 1.7 (naar [2,14]). component teken bespreking ( v H ) F, <0 verhoging van de normale afstand vermindert de werkelijke contactoppervlakte in rel H grens- en gemengd smeringsgebied en dus ook de wrijvingskracht dh >0 grotere hydrodynamische drukopbouw in de contactzone dv minder tijd om smeermiddel uit contactzone te persen rel minder tijd voor kruip van de ruwheidspieken ( v H ) rel v rel meer normale trillingen die door ruwheidspieken worden gegenereerd F, >0 schuifspanning neemt toe met de afschuifsnelheid (voor oliën bepaald door viscositeit, voor metalen omdat meer energie nodig is om juncties sneller te verbreken of te vervormen) Tabel 1.7: componenten in vergelijking (1.27) Nu volgt dus dat d uit een positieve eerste term en een negatieve tweede term bestaat. Veronderstel nu dat de verplaatsingsamplitude toeneemt, dan nemen navenant ook de snelheids- en versnellingsamplitudes toe. Als de versnelling groter wordt, neemt dh/dv rel af, omdat de smeerfilm moeilijk tot stand kan komen bij versnelling en moeilijk uit de contactzone kan geknepen worden bij vertraging. Deze vermindering van dh/dv rel leidt op haar beurt tot een afname van d. Het optreden van stabiel oscillerend glijden kan nu als volgt begrepen worden. Initiële kleine oscillaties nemen toe in de tijd door de negatieve totale dempingscoëfficiënt (zie vergelijking 1.15). Terwijl de oscillatieamplitude toeneemt, wordt d kleiner, zoals hierboven uitgelegd, en dus de totale dempingscoëfficiënt minder negatief. Dit proces duurt tot wanneer één van volgende situaties zich voordoet: 1. De totale dempingscoëfficiënt wordt gelijk aan nul. Een verdere toename is niet mogelijk omdat die terug tot het afnemen van de amplitude zou leiden. Een evenwichtsamplitude is bereikt en de tangentiële trilling is stabiel. De oscillatieindex varieert tussen de grenzen 0 < R V < De snelheid van de roteerbare arm evenaart de opgelegde schijfsnelheid nog voor evenwicht bereikt is; hier wordt de relatieve snelheid 0. Ofwel blijft R V = 1, ofwel kan stick-slip verwacht worden als daarvoor en drijvende kracht bestaat (F S >F D ). 41

42 Hoofdstuk 1. Literatuurstudie 1.8 Uitdoven van wrijvingsgeïnduceerde trillingen aan de hand van een hoogfrequente externe excitatie In [13] stelt men voor droge wrijving op theoretische wijze vast dat wrijvingseigenschappen, en meerbepaald de µ(v rel )-relatie, wijzigen onder invloed van hoogfrequente trillingen. Men brengt op het klassieke mechanische model uit paragraaf een tangentiële excitatie aan op de massa met een zeer kleine amplitude en een hoge frequentie, zo dat het product van deze beide in de grootte orde van de eenheid ligt. Voor wat de µ(v rel )- karakteristiek betreft, neemt men aan dat er een minimum bestaat voor een bepaalde glijsnelheid 1. Een creatieve denkpiste zou zijn om de energie voor de hoogfrequente excitatie van het systeem zelf te laten komen, zoals bijvoorbeeld door middel van een oppervlakteruwheid met een periodisch karakter, al is dit moeilijk te controleren. 1 In [2] wordt eveneens melding gemaakt van auteurs die het ontstaan van wrijvingsgeïnduceerde trillingen verklaren aan de hand van een minimum in de wrijvingskarakteristiek. Dit is echter zeer logisch. Men weet dat men voor hoge snelheden in een toestand van hydrodynamisch smeren terechtkomt. Daar weet men voor Newtoniaanse fluïda dat de wrijvingscoëfficiënt lineair toeneemt. Wil men dus voor lagere snelheden een dalende µ(v rel )-relatie, dan impliceert dit het bestaan van een minimum in deze relatie. 42

43 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur Hoofdstuk 2 : Beschrijving van proefstand en meetapparatuur 2.1 Inleiding Dit hoofdstuk stelt de proefopstelling en de monsters voor die voor dit afstudeerwerk gebruikt worden om het trillingsgedrag van oliegesmeerde lamellenkoppelingen te bestuderen. De proefstand wordt herleid tot het eenvoudig lineair model zoals voor het eerst geïntroduceerd in figuur 1.6. Dit model laat toe de wrijvingskracht te berekenen uitgaande van verplaatsingsmetingen. Tot slot komt de instrumentatie van de proefstand aan bod. 2.2 Beschrijving van de proefstand De proefstand is een pin-on-disc opstelling waarvan een principeschets is weergegeven in figuur 2.1. Een separatorplaat (verder ook wrijvingsring genoemd) wordt hierbij aangedreven in een oliebad (1) waarmee het star verbonden is. Aan de hand van twee symmetrisch tegenover elkaar geplaatste glijschoenen (2) waaraan telkens een snede uit een frictieplaat is vastgemaakt (zie 2.3), wordt een constante normale belasting (3) op deze separatorplaat overgedragen. De glijschoenen zijn in de normale richting lineair gelagerd in een roteerbare arm via een pin. Op het bovenste uiteinde van elke pin brengt men de normale belasting aan; dit gebeurt met behulp van een hefboomsarm waaraan een gewicht kan vastgemaakt worden. 43

44 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur Aan de roteerbare arm is een stijfheid (5) en een oliedemper (4) bevestigd. Laserinterferometrie (7, 8) staat in voor de meting van de hoekverplaatsing van de arm. Figuur 2.1: principeschets pin-on-disc testopstelling Wanneer de relatieve snelheid tussen de roteerbare arm en de wrijvingsring nul wordt, kan de wrijvingskracht van teken omkeren. Dit kan de aandrijving ertoe aanzetten door haar speling te gaan. Zo kan dit resulteren in een oscillatieindex groter dan 1, aangezien de relatieve snelheid kleiner kan worden dan nul. Men stelt algemeen vast dat het toestaan van speling in de aandrijving de metingen verstoort. Men zal dit tegengaan door een remband aan te brengen die men aanspant omheen het oliebad. Deze wordt met vet gesmeerd om inductie van trillingen te vermijden. Wanneer de wrijvingskracht van teken wil omkeren, is er op die manier nog het lastkoppel afkomstig van de remband, die de aandrijving verhindert door haar speling te gaan. Een en ander wordt duidelijk gemaakt in figuur 2.2. Een tweetal foto s geven een beeld van hoe de proefstand er werkelijk uitziet. Het oliebad wordt aangedreven door een asynchroonmotor, zij het dan niet rechtstreeks. Om in een groot en zinvol snelheidsbereik van het oliebad te kunnen voorzien, komen tussen de motor en het oliebad een aantal overbrengingen voor. Ze worden hieronder op een rijtje ge- 44

45 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur bout die FN overbrengt op pin gewicht hefboomsarm lineair lager met daarin pin naaldlager van hefboomsarm oliedemper separotorplaat oliebad remband lasermeetsysteem veer schakelbare koppeling V-riemschijf Figuur 2.2: foto pin-on-disc opstelling zet, zoals men ze tegenkomt vanaf de motor tot aan het oliebad: De uitgaande as van de motor is via een elastische klauwkoppeling verbonden met een worm-wormwieloverbrenging met overbrengingsverhouding 41/2 Vervolgens treft men een V-riemoverbrenging aan met mogelijke overbrengingsverhoudingen 5,15/1; 1/1 en 1/5,15; symbool: r2 Hierna is een koppeling geplaatst die men manueel kan schakelen op de overbrengingsverhoudingen 1/1 en 20,25/1; symbool: r1 Een haakse tandwieloverbrenging brengt uiteindelijk het koppel van de motor over op het oliebad met een overbrengingsverhouding 59/15 45

46 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur Rekening houdende met het feit dat de motor een snelheidsbereik heeft van 145 tot 2900 rpm, en dat de glijschoenen op een straal van 100 mm liggen, zijn de snelheden die de wrijvingsring (star verbonden met het oliebad) kan bereiken ter hoogte van de glijschoenen, weergegeven voor alle mogelijke combinaties van schakelbare overbrengingen in figuur 2.3. riem 1/5,15 en koppeling 1/1 96, riem 1/1 en koppeling 1/1 18,38 376,6 4,790 3,565 95,78 73,13 riem 1/5,15 en koppeling 20,25/1 riem 5,15/1 en koppeling 1/1 0, ,60 riem 1/1 en koppeling 20,25/1 0,1806 3,611 riem 5,15/1 en koppeling 20,25/1 0, Snelheid van wrijvingsring ter hoogte van glijschoen [mm/s] Figuur 2.3: snelheidsbereik van de wrijvingsring voor elke combinatie van overbrengingsverhoudingen De motor wordt gevoed vanuit een invertor die op twee verschillende wijzen kan bediend worden. Enerzijds kan men via een display en een aantal knoppen de frequentie op het juiste niveau brengen. Anderzijds kan de invertor ook aangestuurd worden vanaf een terminal. Legt men als ingang aan deze terminal een bepaalde spanning aan, dan zal de invertor hieruit, afhankelijk van een aantal in te stellen parameters, besluiten welke frequentie naar de motor dient gestuurd te worden. 2.3 Beschrijving van de proefmonsters, wrijvingsring en smeerolie Er werd voor de experimenten gebruik gemaakt van frictieplaten van het type Raybestos met een vierkant groefpatroon geproduceerd door Hoerbiger. De precieze oriëntatie van de groeven is, zoals in [1] werd bewezen, van weinig belang. Het specimen is zo gemaakt 46

47 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur (zie figuur 2.4) dat er geen aanvalshoek bestaat bij rotatie over de wrijvingsring; er ontstaat met andere woorden geen krachtmoment omheen de lineair gelagerde pin. Figuur 2.4: werktuigkundige tekening van snede uit frictieplaat De wrijvingsring (zie figuur 2.5) is een ring gemaakt uit 42CrMo4 staal, en werd gepolierd tot een ruwheid met een R A -waarde gelegen tussen 0,1 en 0,2 µm. Deze ruwheid werd op de straal van 100 mm gemeten op vier plaatsen (over een hoek van 90 verdraaid t.o.v. elkaar) met een Perthen S5P-toestel, in overeenstemming met DIN Telkens de veer werd losgemaakt, werd de wrijvingsring opnieuw gepolierd en werden de monsters vervangen en ingelopen. Het smeermiddel is ATF Texamatic 7045 geproduceerd door Texaco. 2.4 Kalibratie van de mechanische parameters Om de proefstand te herleiden tot het eenvoudige massa-veer-dempersysteem van figuur 1.6, is het nodig de mechanische parameters ervan te bepalen. Hiervoor zijn twee tests nodig. De veerstijfheid wordt gekalibreerd door middel van een test met gewichten. De massa en de demping kan men vinden aan de hand van een vrije oscillatieproef. 47

48 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur Figuur 2.5: werktuigkundige tekening van de separatorplaat kalibratie van de veerstijfheid De veerstijfheid bepaalt men door de veer te belasten met gewichten (zie figuur 2.6). Er zijn geen glijschoenen aangebracht. Tijdens de proef zet men twee zaken ten opzichte van elkaar uit: De belasting van de veer wordt tot stand gebracht met een serie geijkte gewichten. Aan de hand van een katrolletje oefenen deze veren een tangentiële kracht op de arm uit. Aangezien dit op een straal van 132,5 mm gebeurt, dient men een factor 1,325 in rekening te brengen om de belasting om te rekenen naar de glijschoen. Voor elke belasting wordt de verplaatsing van de arm gemeten door het lasermeetsysteem in graden. Deze verplaatsingshoek wordt omgerekend tot een tangentiële verplaatsing van de glijschoen in [mm]. 48

49 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur Figuur 2.6: proefopstelling tijdens kalibratieproef voor veerstijfheid De proef wordt driemaal uitgevoerd. Alle metingen worden uitgezet in een grafiek. De helling van de best passende rechte bepaalt de stijfheid. Een voorbeeld wordt gegeven in figuur 2.7. tangentiële belasting [N] y = 416,21x + 0, ,05 0,1 0,15 0,2 verplaatsing glijschoen [mm] Figuur 2.7: tangentiële belasting versus de verplaatsing van de glijschoen Uit deze grafiek kan men ook de meetfout (MF) van kx vinden. Hiervoor dient men de afwijking van de meetpunten ten opzichte van de best passende rechte te bekijken. Tweemaal 49

50 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur de deviatie van deze afwijking levert een 95% betrouwbaarheidsinterval. Voor dit voorbeeld bedraagt dit 0,12 N; voor een maximale belasting van 78 N is dit een relatieve fout (RF) van amper 0,15%. Men heeft beschikking over een drietal veren; de slapste veer bleek onbruikbaar (zie 3.2.5). Kalibratiegegevens hiervan vindt men terug in tabel kalibratie van de massa en de demping Hier past men een vrije oscillatieproef toe. Men brengt de arm, waaraan de normale belasting is vastgemaakt maar geen glijschoenen zijn bevestigd, aan het trillen door een tik met een hamer. Het is geweten dat het antwoord van het systeem een gedempte sinus zal zijn. Men meet bijgevolg de trilling met het lasermeetsysteem in graden en aan de hand van een kleinste kwadratenmethode (geprogrammeerd in MATLAB, zie appendix????) wordt een best passende gedempte sinuscurve bepaald volgens α ζω 2 ( ) = t t e A sin( 1 ζ ω t + ) n (2.1) 0 n φ Dit algoritme optimaliseert 4 parameters: de natuurlijke frequentie van het mechanisch systeem: ω n de ongedempte trillingsamplitude: A 0 de dimensieloze dempingscoëfficiënt van het mechanisch systeem: ζ defasering: φ Aangezien we de stijfheid reeds kennen uit voorgaande proef, kunnen we de massa en de demping berekenen uit de natuurlijke frequentie en de dempingscoëfficiënt aan de hand van formule (2.2) en (2.3). k ω n = (2.2) m c ζ = (2.3) 2 km Net zoals bij het kalibreren van de stijfheid, wordt de vrije oscillatieproef in drievoud uitgevoerd. Men bepaalt hieruit een gemiddelde massa en demping. Bij wijze van voorbeeld zijn voor de normaalbelasting F N = 200 N een tweetal best passende gedempte sinuscurves weergegeven in figuur 2.8, één voor het geval met demper en één voor het geval zonder. 50

51 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur Figuur 2.8: vrije oscillatieproef, F N = 200 N, stijfste veer, zonder demper (boven) en met demper (onder) Aangezien men deze meting drie keer uitvoert, bepaalt men telkens drie waarden voor m en c. Het tweevoud van de deviatie ten opzichte van de gemiddelde m en c, geeft de respectieve meetfout. Omwille van de kleine steekproefgrootte is dit een zeer ruwe schatting voor de meetfout; bij gebrek aan alternatief zullen we ze toch gebruiken. Kalibratiegegevens voor alle uitgevoerde proeven vindt men terug in tabel 3.4. De bijbehorende eigenfrequenties van het systeem worden opgelijst in tabel Beschrijving van de meetapparatuur Lasermeetsysteem Het lasermeetsysteem is een dynamische kalibrator 5529A van HP. Hetzelfde systeem wordt ook in [1] en [2] gebruikt. Specificaties van het systeem zijn: Resolutie: 2, rad Relatieve fout: 0,2 % 51

52 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur Meetbereik: ong. 20 Bemonsteringsfrequentie: minstens 1kHz (afhankelijk van PC) Meetkaart De meetkaart is van het type DAP 3200e/x1x. Deze is voorzien van een buffergeheugen en een eigen processor. Specificaties van de meetkaart zijn: processor 486SX (24MHz), 1MB RAM-geheugen 16 analoge ingangskanalen, 2 analoge uitgangskanalen aantal bits: 16 ingesteld meetbereik: -10/+10 V maximale bemonsteringsfrequentie: 769 khz Belangrijk is op te merken dat de kaart niet werkt volgens een sample-and-hold-systeem. Het is niet zo dat op één en hetzelfde tijdstip alle ingangen naar een buffer worden gestuurd, waarna deze buffers sequentieel worden ingelezen. De ingangen worden sequentieel afgetast zonder dat ze eerst werden gebufferd, en inlezen gebeurt bijgevolg niet op exact hetzelfde tijdstip. Men krijgt een lichte defasering van de metingen Encoder: kalibratie van het meetsignaal Het toerental van het oliebad wordt gemeten aan de hand van een encoder. Deze snelheidsencoder is principe niets meer dan een pulsteller; de frequentie van het uitgangssignaal is dan ook evenredig met het toerental. Op deze encoder is nog een stuk elektronica aangesloten: de grootte van diens uitgangsspanning is evenredig met datzelfde toerental. De encoder is niet rechtstreeks op de wrijvingsring of het oliebad aangebracht, alswel op de as van de riemschijf die met het oliebad verbonden is via een schakelbare koppeling en een haakse overbrenging. Wanneer men er rekening mee houdt dat deze laatste zeer stijf zijn, en verder de speling in de aandrijving weggenomen wordt door de remband op het oliebad aan te spannen, kan men stellen dat het nadeel erg beperkt blijft. Gezien de encoder bevestigd is aan de as van de riemschijf die het dichtst bij het oliebad ligt, bepalen we de evenredigheidsfactor tussen het toerental van deze as in rpm en de 52

53 Hoofdstuk 2. Beschrijving van proefstand en meetapparatuur gemeten spanning in Volt. Dit doen we door de motor in onbelaste toestand te laten draaien op verschillende snelheden en telkens de uitgangsspanning te meten met een voltmeter. Onbelaste toestand betekent dat de motor draait bij nominale snelheid. Het toerental van de riemschijf wordt berekend uit het nominale motortoerental rekening houdende met de tussenliggende overbrengingsverhoudingen, waarbij deze van de riem op 1/1 gelegd is. In tabel 2.1 worden de meetwaarden weergegeven. frequentie (Hz) nominaal toerental motor (rpm) toerental riemschijf (rpm) gemeten spanning (V) 0,0 0,00 0,00 0,00 10,0 300,00 14,63 0,62 20,0 600,00 29,27 1,25 30,0 900,00 43,90 1,88 40,0 1200,00 58,54 2,52 50,0 1500,00 73,17 3,16 60,0 1800,00 87,80 3,80 70,0 2100,00 102,44 4,44 80,0 2400,00 117,07 5,07 90,0 2700,00 131,71 5,72 100,0 3000,00 146,34 6,36 Tabel 2.1: metingen ter calibratie van toerentalmeting Wanneer we deze data in een grafiek uitzetten, krijgen we een resultaat zoals in figuur 2.8 gegeven. De evenredigheidsfactor of gain bedraagt 0,0435. uitgangsspanning encoder (V) y = 0,0435x - 0, toerental riemschijf (rpm) Figuur 2.8: bepaling evenredigheidsfactor toerentalmeting Het tweevoud van de spreiding van de meetpunten ten opzichte van de rechte levert ons de meetfout (95% betrouwbaarheidsinterval, zie voorheen). Hier bedraagt deze (voor een 95% betrouwbaarheidsinterval) 0,02V en 0,42 rpm. 53

54 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking Hoofdstuk 3 : Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking 3.1 Inleiding In het kader van de studie van wrijvingstrillingen in lamellenkoppelingen werden twee soorten experimenten uitgevoerd. Enerzijds quasi-statische, anderzijds dynamische. Dit hoofdstuk heeft tot doel een overzicht te bieden van: De doelstelling van deze experimenten De gemeten grootheden De acquisitie van de data De verwerking van de verworven data De gebruikte parametercombinaties 3.2 Quasi-statische experimenten Doel Ost [1] gebruikte dezelfde proefopstelling voor zijn onderzoek naar het trillingsgedrag in oliegesmeerde lamellenkoppelingen. Ook de separatorplaat en de smeerolie zijn identiek. 54

55 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking Een belangrijk aspect van zijn onderzoek richtte zich op de invloed van de mechanische parameters op de wrijvingsgeïnduceerde trillingen, die van oscillerend glijdende aard bleken te zijn (zie hoofdstuk 1). Zijn resultaten kwamen tot stand door quasi-statische experimenten (voor beschrijving zie verder). Aangezien het wrijvingsmateriaal op de frictieplaat is het enige is wat in beide onderzoeken van elkaar verschilt, zou men verwachten dat de resultaten in elkaars verlengde liggen. Het verdient dus sterk de aanbeveling om voor ons wrijvingsmateriaal Osts quasistatische testen te hernemen en onze besluiten naast de zijne te leggen. We wensen te weten te komen of: de trillingen van dezelfde aard zijn de trillingen op dezelfde wijze afhangen van de mechanische parameters Beschrijving van de proeven Men kiest een aantal discrete snelheden waarop men de wrijvingsring zal laten draaien. Eens een snelheid ingesteld wacht men ongeveer 1 minuut om het systeem in regime te laten komen. Vervolgens meet men met het lasermeetsysteem de beweging van de arm gedurende 3 seconden Data-acquisitie Het lasermeetsysteem wordt via de interface van de PC bemonsterd aan 10 khz Verdere verwerking Het verwerkingsprogramma werd geschreven in MATLAB en is terug te vinden in appendix B.1. De plaats, snelheid en versnelling van de arm worden gemeten door het lasermeetsysteem. Om ruis uit de snelheid en de versnelling weg te nemen, wordt gebruik gemaakt van een butterworth filter. Dit gebeurt via het MATLAB commando filtfilt, hetgeen de data door de filter stuurt, de sequentie omdraait, en de gefilterde data nogmaals door de filter stuurt. Dit heeft als duidelijk voordeel het vermijden van defasering voor de verschillende frequenties 55

56 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking die voorkomen in de data. De amplitudereductie wordt door het tweevoudig filteren gekwadrateerd. Massa, demping en stijfheid worden gekalibreerd zoals in vorig hoofdstuk besproken. De wrijvingscoëfficiënt wordt nu voor elk tijdstip bepaald door de betrekking mx && + cx& + kx µ = (3.1) 2 F N waarbij de factor 2 in de noemer voortkomt uit de structuur van de proefstand. Een goede maat voor de amplitude van de trillingen is de in hoofdstuk 1 ingevoerde oscillatieindex R V, die berekend wordt volgens R V v = rel,max 2 v v disc rel,min en in theorie varieert tussen de grenzen 0 en 1. (3.2) Uitgevoerde proeven Voor elke combinatie van de mechanische parameters (k, c en m) wordt het trillingsfenomeen onderzocht bij dezelfde 13 snelheden v disc, die in tabel 3.1 gegeven worden. overbrengingsverhouding overbrengingsverhouding v disc [mm/s] riem schakelbare koppeling 1/1 1/ /1 1/ /1 1/ /1 1/1 97,4 5,15/1 1/1 60,5 5,15/1 1/1 30,3 5,15/1 1/1 15,1 5,15/1 1/1 12,1 5,15/1 1/1 7,56 5,15/1 20,25/1 3,74 5,15/1 20,25/1 1,87 5,15/1 20,25/1 0,934 5,15/1 20,25/1 0,374 Tabel 3.1: gebruikte waarden voor de schijfsnelheid v disc Men beschikt over een drietal veren, waarvan de slapste een torsieveer is en deze onbruikbaar bleek omdat ze onvoldoende aan de proefstand kon geklemd worden. Kalibratiegegevens over de gebruikte veren vindt men in tabel 3.2 en werden bekomen zoals in paragraaf besproken. 56

57 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking veer stijfheid [N/mm] MF (kx) [N] (kx) RF [%] stijve veer 416,21 0,12 0,15 middelste veer 65,012 1,49 1,9 Tabel 3.2: kalibratiegegevens voor veerstijfheden Men kan een normaalbelasting F N aanbrengen van 50 N, 100 N en 200N. Er werden 2 quasi-statische experimenten uitgevoerd voor alle beschikbare combinaties van veren en normaalbelastingen: 1 experiment met demper en 1 zonder. De gegevens voor massa en demping van alle toegepaste parametercombinaties vindt men in tabel 3.4. De waarden voor massa en demping van het systeem haalt men uit kalibratie van de eigenfrequenties en de dempingscoëfficiënten, zoals uiteengezet in paragraaf De gemiddelde waarden van de eigenfrequenties en dempingscoëfficiënten, volgend uit de drie kalibratieproeven per gebruikte parametercombinatie, worden weergegeven in tabel 3.3. veer F N [N] demper? f n [Hz] ζ [-] stijfste veer 50 zonder demper 34,62 0,0071 met demper 28,99 0, zonder demper 33,94 0,0089 met demper 28,77 0, zonder demper 31,84 0,017 met demper 27,18 0,20 middelste veer 50 zonder demper 12,87 0,013 met demper 11,07 0, zonder demper 12,86 0,013 met demper 10,99 0, zonder demper 12,07 0,016 met demper 10,19 0,36 Tabel 3.3: kalibratiegegevens voor gemiddelde eigenfrequentie en dempingscoëfficiënt 3.3 Dynamische experimenten: stapproeven Doel In paragraaf werd voor het eerst rekening gehouden met een niet-lineair F(v rel )- verband. Uit hoofdstuk 4 zal echter blijken dat ook een niet-lineair wrijvingsmodel niet volstaat om het trillingsgedrag te begrijpen. Vandaar dat we ons op de denkpiste van een dynamisch wrijvingsmodel begeven, en we op zoek gaan naar middelen om die dynamica te achterhalen. We wensen het systeem aan de hand van een stap in de snelheid van de wrijvingsring (v disc ) voldoende uit te dagen om hieruit de dynamica van de wrijving te destilleren. Wanneer geen 57

58 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking veer F N [N] test n c [kg/s] m [kg] MF (c) [kg/s] MF (m) stijve veer middelste veer zonder demper met demper zonder demper met demper zonder demper met demper zonder demper met demper zonder demper met demper zonder demper met demper 1 26,9 8, ,8 8, ,2 8,795 gem. 27,3 8,794 0,9 0, gem ,5 9, ,0 9, ,9 9,17 gem. 34,8 9,15 0,5 0, gem , , ,4 gem ,4 7 0, gem , , ,95 gem. 21 9,93 1 0, , , ,3 gem ,4 59 0, , , ,4 gem ,4 4 0, , , ,6 gem ,6 36 0, , , ,28 gem ,30 4 0, , , ,9 gem ,9 97 0,6 Tabel 3.4: kalibratiegegevens voor massa en demping [kg] trillingen voorkomen (zoals onder meer het geval zal zijn wanneer men een demper gebruikt, zie hoofdstuk 4), geldt dat v = v ( v = v x& met x& = 0). Zo kan men in het gedempte rel disc rel disc 58

59 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking geval een stap in v disc zien als een stap in v rel. Het is precies het dynamisch verband tussen v rel en de wrijvingscoëfficiënt µ dat we wensen te achterhalen. Wanneer we er zouden in slagen de wrijving te identificeren bij het aanleggen van een stap in de relatieve snelheid, kunnen we hieruit de transfertfunctie bepalen uit figuur 3.1. Het is precies deze transfertfunctie die de dynamica van de wrijving in zich draagt. Dit wrijvingsmodel willen we vervolgens aanwenden om te proberen voorspellen wat er gebeurt in het geval wanneer we geen demper inschakelen. v rel (t) Dynamica van de wrijving µ (t) Figuur 3.1: blokschema wrijvingsdynamica Beschrijving van de proeven Na een voldoend lange periode (ongeveer 2 minuten) met constante snelheid om een beginsituatie in regime te garanderen, wordt de snelheid van de wrijvingsring in het oliebad zo bruusk mogelijk gewijzigd. De beweging van de arm wordt geregistreerd met een lasermeetsysteem gedurende ongeveer 3 seconden voor en 5 seconden na de stap. De tangentiële snelheid van de wrijvingsring wordt ondertussen opgemeten met de encoder Data-acquisitie Het lasermeetsysteem wordt via de interface van de PC bemonsterd aan 1 khz. De DAPmeetkaart zorgt voor: het inlezen met een samplefrequentie van 2 khz en het gedeeltelijk verwerken van het meetsignaal afkomstig van de encoder via ingang S0 het synchroniseren van het lasermeetsysteem met de meting van de encoder via uitgang A1 het stuursignaal voor de invertor, dat resulteert in het opleggen van het snelheidsverloop van de wrijvingsring, met een samplefrequentie van 2 khz 59

60 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking via uitgang A0 het inlezen met een samplefrequentie van 2 khz en het gedeeltelijk verwerken van het teruggekoppelde stuursignaal voor de invertor via ingang S1 Een schema van hoe de proef gebeurt, vindt men terug in figuur 3.2. Er wordt gemeten van 3s voor tot 5s na de bruuske snelheidsverandering. Het moment waarop het DAPprogramma begint te lopen stelt men t = 0. De uitgang A0 van de DAP-kaart wordt bevestigd aan de terminal van de invertor die de wisselspanningsmotor aanstuurt. De spanning aan de uitgang A0 kan gewijzigd worden tussen de grenzen 0 en 10 V, en wordt verondersteld de frequentie van de invertor op lineaire wijze te laten variëren tussen 0 en 100 Hz, waarbij 0 V overeenstemt met 0 Hz en 10 V met 100 Hz. Deze stuurspanning wordt tevens teruggekoppeld naar ingang S1. Voor de stapproef werd de uitgang A0 reeds op een constante initiële waarde gebracht om regimetoestand te bereiken; gedurende deze periode werd echter niet gemeten. Uitgang A0 van kaart f s = 2 khz # [-] Uitgang A1 van kaart f s = 2 khz # [-] Inlezen via ingang S0 en S1 van kaart f s = 2 khz # [-] Inlezen van lasermeetsysteem f s = 1 khz # [-] 0 0,08 0,09 0, t [s] figuur 3.2: overzichtsschema van meet- en stuursignalen voor stapproeven 60

61 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking Na 80 ms wordt aan de uitgang A1 een 10 ms durende spanning (5V) aangelegd om het lasermeetsysteem te starten. Uit Van De Velde [2], die met hetzelfde lasermeetsysteem werkte, leren we dat de meting start met enige vertraging: pas op t = 119, 0 ms begint de laser te meten. Aangezien de meetkaart reeds op t = 0 start met het inlezen van het encoder- en het stuursignaal, dienen we de eerste 119,0 ms (dubbelgearceerde zone in figuur 3.1) van deze meting te verwijderen om de metingen van de DAP-kaart en het lasermeetsysteem te synchroniseren. Nadat het dubbelgearceerde blok is weggesneden, is het aangewezen om het punt t = 0 opnieuw te kiezen, en wel op het begin van de enkelgearceerde blokken. Dit is van belang voor de verdere verwerking van de metingen. Figuur 3.3 toont een blokschema van het DAP-programma, het programma zelf is weergegeven en uitgelegd in code 3.1. De programmeertaal is DAPL, geschreven in een DAPVIEW omgeving. Modernere meetkaarten maken gebruik van LABVIEW. Snelheid wrijvingsring Sturing motorsnelheid S0 S1 TGEN IPIPE0 SKIP P3 IPIPE1 SKIP P4 T1 TSTAMP P1 SCALE FORMAT P2 INTERP U,V INTERP W,X OIPIPE0 OIPIPE1 A0 A1 Sturing motorsnelheid Startsignaal lasermeetsysteem figuur 3.3: blokschema van het meetprogramma voor stapproeven 61

62 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking RESET VECTOR U=(0,6000,6000,16000) VECTOR V=(V1,V1,V2,V2) VECTOR W=(160,160,180,180) VECTOR X=(0,16383,16383,0) PIPES P1 LONG, P2,P3,P4 TRIGGER T1 IDEFINE A 2 SET IPIPE0 S0 SET IPIPE1 S1 TIME 250 COUNT END ; definitie van vector U ; definitie van vector V ; definitie van vector W ; definitie van vector X ; aanmaken van 4 pipes type long ; aanmaken van 1 triggersignaal ; definitie van 2 ingangssignalen ; toerentalmeting ; terugkoppeling stuursignaal ; sampleperiode µs (f s = 2 khz) ; samples nemen PDEFINE B ; definitie van de pipes TGEN(10,T1) ; na 10 samples wordt het triggersignaal hoog TSTAMP(T1,P1) ; deze trigger wordt omgezet tot pipe P1 SCALE(P1,0,1,10,P2) ; P1 wordt herschaald tot P2 (gedeeld door 10) SKIP(IPIPE0,238,1,0,P3) ; in figuur 3.3 dubbelgearceerde blok weggeknipt van de toerentalmeting en in P3 gestoken SKIP(IPIPE1,238,1,0,P4) ; in figuur 3.3 dubbelgearceerde blok weggeknipt van het teruggekoppelde stuursignaal en in P4 gestoken INTERP(P2,U,V,OPIPE0) ; adhv. vectoren U en V wordt door interpolatie outputpipe 0 gevormd INTERP(P2,W,X,OPIPE1) ; adhv. vectoren W en X wordt door interpolatie outputpipe 1 gevormd FORMAT(#,P3,P4) ; het volgnummer, P3 en P4 worden naar.log-file geschreven END ODEFINE C 2 SET OPIPE0 A0 SET OPIPE1 A1 TIME 250 END START A,B,C ; definitie van 2 uitgangssignalen ; sturing motorsnelheid ; start lasermeetsysteem ; sampleperiode µs (f s = 2 khz) Code 3.1: DAPL-programma voor stapproeven In het DAPL-programma komen in vector V twee parameters V1 en V2 voor. Dit zijn de natuurlijke getallen die de spanning bepalen waarmee de kaart de invertor zal aansturen. Deze kunnen eenvoudig bepaald worden uit de gewenste begin- en eindsnelheid van de stapproef indien men een lineaire stuurkarakteristiek van de invertor vooropstelt. Hiermee wordt bedoeld dat de spanning tussen 0 en 10 V waarmee men de invertor aanstuurt, de frequentie van de invertor op lineaire wijze laat variëren tussen 0 en 100 Hz, waarbij 0 V overeenstemt met 0 Hz en 10 V met 100 Hz. In de praktijk stelt men een tweetal onnauwkeurigheden vast: 1. De stuurkarakteristiek van de invertor is echter niet perfect lineair. Op figuur 3.4 wordt het verschil weergegeven tussen de frequentie waarmee de invertor de motor werkelijk voedt, en de frequentie die men zou verwachten uitgaande van een invertor 62

63 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking met lineaire stuurkarakteristiek. In het interval [7,9 Hz; 77Hz] waarin men in de praktijk steeds zal werken, bedraagt de fout steeds ongeveer 1,6%. Hiermee werd rekening gehouden bij het aansturen van de invertor teneinde de gevraagde snelheden zo nauwkeurig mogelijk na te streven. 2. Het stuursignaal voor de stap verwacht men (na het synchroniseren van het lasermeetsignaal en de DAP-kaart, d.i. het wegsnijden van het dubbelgearceerde blok uit figuur 3.2) op het tijdstip 3-0,119 s = 2,881 s. In de praktijk stelt men hierop een vertraging vast: de stap wordt pas uitgestuurd op het t = 2,927s. Dit heeft hoogst waarschijnlijk te maken met een beperking in de capaciteit van de kaart. Het is zelfs zo dat deze vertraging afhankelijk is van de frequentie waaraan de kaart bemonstert. Men kan zich nu afvragen of ook op het inlezen van een meetsignaal een vertraging voorkomt. Om dit te weten te komen, werd een aantal maal dezelfde stap uitgestuurd, maar bij een verschillende bemonsteringsfrequentie. De vertraging die op het stuursignaal zat, was dus telkens verschillend. Men stelde echter vast dat de snelheid van het oliebad, die men aan ingang S0 inleest, steeds even snel op een stap reageerde. Op de ingang komt dus geen onregelmatigheid voor. Mocht dat wel zo zijn, zou de gemeten tijdsvertraging van de reactie van het oliebad immers afhankelijk zijn voan de bemonsteringsfrequentie van de kaart. verschil tussen te verwachten en gemeten invertorfrequentie verschil werkelijke - verwachte frequentie (Hz) 2 1,5 1 0,5 0-0, verwachte frequentie (Hz) Figuur 3.4: afwijking van de lineaire aanstuurkarakteristiek van de invertor Verdere verwerking Het verwerkingsprogramma werd geschreven in MATLAB en is terug te vinden in appendix B.2. 63

64 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking Voor wat betreft de snelheid en de versnelling van de arm past men dezelfde filtering toe als besproken voor het quasi-statische geval in Ook hier wordt de wrijvingscoëfficiënt uit betrekking (3.1) berekend. De uitgangsspanning van de encoder voor de toerentalmeting van de wrijvingsring wordt ingelezen als een natuurlijk getal N 1 dat varieert tussen (-2 15 ) tot (2 15-1) hetgeen overeenstemt met een spanning van -10V tot +10V. De snelheid van de wrijvingsring ter hoogte van de glijschoenen wordt berekend uit rad 10 V 1 rpm π v N toer disc = 1 0, 100 m (3.3) ,0435 V r s 1 min De eerste factor in het rechterlid is het ingelezen natuurlijk getal, de tweede een schaalfactor afkomstig van de meetkaart en de derde een schaalfactor afkomstig van de encoder. De vierde factor in vergelijking (3.3) bevat r 1, de overbrengingsverhouding van de schakelbare koppeling (r 1 = 1 of 20,25), de vijfde de overbrengingsverhouding van de haakse overbrenging. Tot slot wordt het toerental omgezet in radialen per seconde, en vermenigvuldigd met de radiale afstand tot de glijschoen om uiteindelijk de snelheid op deze straal te kennen in [m/s]. De benamingen oliebadsnelheid en snelheid van de wrijvingsring worden door elkaar gebruikt en slaan precies op de snelheid ter hoogte van de glijschoenen. Dit staat ons vrij omdat het oliebad en de wrijvingsring star met elkaar verbonden zijn. Het teruggekoppelde stuursignaal voor de invertor wordt ingelezen als een natuurlijk getal N 2 dat varieert tussen (-2 15 ) tot (2 15-1) hetgeen overeenstemt met een spanning van -10V tot +10V. De snelheid waarnaar de wrijvingsring wordt aangestuurd ter hoogte van de glijschoenen, kan men berekenen uit v = N 10 V 100 Hz rpm V Hz 41 r r rad 15 2π toer s min disc, stuur 2 0, m (3.4) De eerste factor in het rechterlid is het ingelezen natuurlijk getal, de tweede een schaalfactor afkomstig van de meetkaart, de derde een schaalfactor afkomstig van de invertor en de vierde een schaalfactor om voor een gegeven frequentie het nominale toerental van de motor te bepalen. De vijfde factor in vergelijking (3.4) bevat de overbrengingsverhouding van de worm-wormwieloverbrenging, de zesde deze van de schakelbare koppeling (r 1 = 1/1 of 20,25/1), de zevende deze van de riemoverbrenging (r 2 = 1/1 of 5,15/1 of 1/5,15), de achtste deze van de haakse overbrenging. Tot slot wordt het toerental omgezet in radialen per 64

65 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking seconde, en vermenigvuldigd met de radiale afstand tot de glijschoen om uiteindelijk de stuursnelheid van de schijf op deze straal te kennen in [m/s]. Uit paragraaf en figuur 3.4 is gebleken dat de stuurkarakteristiek van de invertor niet volkomen lineair is. De spanning waarmee men de invertor moet aansturen om de gewenste snelheid te bekomen, is over het algemeen iets hoger dan de uit een lineaire karakteristiek vooropgestelde waarde. Bij het terugkoppelen van dit stuursignaal echter wordt met deze afwijking geen rekening meer gehouden: de derde factor uit betrekking (3.3) maakt duidelijk dat men hier wel uitgaat van een lineaire stuurkarakteristiek. In de wetenschap dat we zo steeds een fout maken die steeds dicht bij 1,6% ligt, getroosten we ons de moeite om het verwerkingsprogramma aan te passen teneinde deze beperkte en a priori gekende fout goed te maken Uitgevoerde proeven Dezelfde monsters werden gebruikt als voor de proeven voor de middelste veer uit paragraaf 3.2. Alle stapproeven werden uitgevoerd met deze middelste veer en dit bij een normaalbelasting van 100N. Er werden metingen gedaan met en zonder demper; waarden voor de mechanische parameters vindt men terug in tabel 3.5 en werden reeds in paragraaf gegeven. m [kg] c [kg/s] k [N/mm] met demper 13, ,012 zonder demper 10, ,012 Tabel 3.5: mechanische parameters voor stapproeven Er werden een tweetal types van stapproeven uitgevoerd Stapproeven type 1 Men kiest een zevental snelheden uit, verspreid over een groot deel van het snelheidsbereik van de wrijvingsring. Waarden voor deze snelheden vindt men terug in tabel mm/s 8 mm/s 20 mm/s 40 mm/s 100 mm/s 200 mm/s 300 mm/s Tabel 3.6: snelheden waartussen men stapproeven uitvoert 65

66 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking Men voert stapproeven uit door bruusk over te springen tussen deze opeenvolgende snelheden (1 2,2 3,...). Dit gebeurt zowel bij wijze van versnelling als bij wijze van vertraging (1 2,2 3,..., 6 7 waarna 7 6,..., 2 1), en zowel met als zonder demper. Aan de hand van deze zeven snelheden voert men dus 24 stappen uit. Om een idee te hebben welke trilling zal ontstaan of verdwijnen na de stap, bepaalden we de curve voor de oscillatieindex in functie van de snelheid van de wrijvingsring in quasistatische omstandigheden. Deze curve is het resultaat van een experiment zoals in paragraaf 3.1 beschreven, zij het dan echter voor meerdere meetpunten. De curve wordt weergegeven in figuur 3.5. De zeven snelheden waartussen men overspringt, werden aan de hand van deze figuur gekozen en zijn er eveneens op weergegeven. Bij de keuze werd rekening gehouden met volgende aspiraties: De sprongen in snelheid mogen niet te groot zijn en geen wijziging van overbrengingsverhouding vereisen; dit zou te lang duren. Voor de evolutie van de oscillatieindex tijdens een stapproef zijn er verschillende mogelijkheden. Trillingen kunnen uitblijven, ontstaan, in intensiteit afnemen/constant blijven/toenemen,... Men wil alle mogelijk evoluties bestuderen zonder hierbij in herhaling te vallen. met demper zonder demper oscillatieindex [-] 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, , snelheid wrijvingsring [mm/s] Figuur 3.5: verloop oscillatieindex Door in het ongedempte geval meer meetpunten te nemen, blijkt dat zich een bifurcatie voordoet. Of er in een bifurcatiezone oscillerend glijdende trillingen zullen voorkomen bij een bepaalde v disc is afhankelijk van de toestand waarvan men voortkomt. Komt men van een 66

67 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking toestand van oscillerend glijden, dan zullen deze oscillaties stabiel blijven bestaan. Komt men echter van een trillingsloze toestand, dan zullen geen trillingen ontstaan. De totale c d dempingscoëfficiënt ζ = is hier nul, in overeenstemming met betrekking (1.17) blijft 2 km een initiële oscillatie hierdoor stabiel bestaan. De literatuur onderbouwt dergelijke bifurcaties. In [11] treft men een typisch scenario aan voor een bifurcatie, dat bij wijze van voorbeeld als figuur 3.6 is overgenomen. Op de abscis staat v disc, op de ordinaat de maximale waarde voor x(t). CS staat voor Continuous Sliding (geen trilling), OS voor Oscillatory Sliding, SS voor Stick-Slip. Om de gedachten te vestigen is op deze figuur het traject weergegeven voor een wrijvingsring die, te beginnen vanaf een bepaalde begintoestand, van snelheid v 1 naar v 2 gaat en vervolgens terug naar v 1. Hieruit is duidelijk welk belang deze begintoestand speelt. Dit voorbeeld is bekomen mits aanname van een wrijvingsmodel zoals weergegeven in figuur 3.7, dat niet strikt geldig is voor ons geval. Dat is onder meer duidelijk omwille van het feit dat wij geen stick-slip vaststellen (dit zal blijken uit hoofdstuk 4). Het gebruikte mechanische model is het klassieke massa-veer-dempersysteem zoals ook wij het hanteren (zie figuur 1.6) Stapproeven type 2 Het is belangrijk om na te gaan of de dynamica van de wrijving zich lineair gedraagt. Om dit te onderzoeken, voert men stapproeven uit waarin men telkens vertrekt van dezelfde initiële snelheid maar de grootte van de snelheidssprong verhoogt met een bepaalde factor. Hiermee wenst men na te gaan of de sprongen in de wrijvingscoëfficiënt ook in een bepaalde verhouding staan tot elkaar. Er werden in totaal 2 testen uitgevoerd elk bestaande uit 4 stappen. De demper werd ingeschakeld. Meer details over de uitgevoerde proeven vindt men terug in tabel 3.7. stapnr. snelheid (mm/s) stapnr. snelheid (mm/s) stap stap stap stap stap stap stap stap Tabel 3.7: proeven ter onderzoek van lineariteit van het wrijvingsgedrag testreeks 1 testreeks 2 67

68 Hoofdstuk 3. Proefprogramma, data-acquisitie en verwerking Ook nu werd bij de aansturing van de invertor rekening gehouden met de niet perfect lineaire stuurkarakteristiek. Dit om de snelheden terug zo nauwkeurig mogelijk na te streven. v 1 v 2 Figuur 3.6: typisch bifurcatiescenario [11] Figuur 3.7: aangenomen wrijvingsmodel tot bekomen van figuur

69 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten Hoofdstuk 4 : Resultaten van quasi-statische experimenten 4.1 Inleiding Aangezien (zie 3.2.1) het wrijvingsmateriaal op de frictieplaat het enige punt van verschil is tussen dit onderzoek en dat van Ost [1], zou men verwachten dat de resultaten in elkaars verlengde liggen. We wensen dan ook Osts quasi-statische testen te hernemen voor ons wrijvingsmateriaal en onze besluiten naast de zijne te leggen. We onderzoeken of: de trillingen van dezelfde aard zijn de trillingen op dezelfde wijze afhangen van de mechanische parameters 4.2 Trillingsgedrag Een eerste inzicht in de wijze waarop de wrijvingsgeïnduceerde trillingen zich manifesteren, verwerft men aan de hand van figuur 4.1. Figuur 4.1a toont dat bij een lage snelheid v disc geen trillingen op de arm voorkomen. Wanneer men een hogere snelheid voor de wrijvingsring instelt (figuur 4.1b), stelt men vast dat er zich een oscillatie voordoet. Dit kan geen stick-slip zijn; de relatieve snelheid wordt niet nul. Bij een nog hogere snelheid wordt deze oscillatie intenser (figuur 4.1c): de relatieve snelheid kan uiteindelijk nul worden. Een stick-episode wordt echter nooit waargenomen. Immers, tijdens een stick-episode zou de 69

70 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten wrijvingscoëfficiënt toenemen terwijl de relatieve snelheid op nul blijft (zoals te zien is op figuur 1.14b). De afwezigheid van stick is nog duidelijker zichtbaar op figuur 4.2; de harmonische trilling wordt niet onderbroken door stick-episodes. Wanneer de snelheid van de wrijvingsring te groot wordt zal de oscillatie terug verdwijnen, zoals men merkt op figuur 4.1d. De wrijvingscoëfficiënt blijft echter niet mooi constant. De riemoverbrenging is niet goed uitgebalanceerd, en brengt de proefstand bij hogere snelheden nogal aan het trillen. Het lawaai komt eveneens op de roteerbare arm, en vindt zijn weg naar de wrijvingscoëfficiënt via vergelijking (3.1). (a) v disc = 3,74 mm/s (b) v disc = 12,1 mm/s (c) v disc = 30,3 mm/s (d) v disc = 312 mm/s Figuur 4.1: wrijvingscoëfficiënt i.f.v. de relatieve snelheid bij verschillende v disc, F N = 100 N, stijfste veer (k = 416,2 N/mm) en zonder demper (ζ = 0,0089) 70

71 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten Figuur 4.2: relatieve snelheid en wrijvingscoëfficiënt i.f.v. de tijd bij v disc = 30,3 mm/s, F N = 100 N, stijfste veer (k = 416,2 N/mm) en zonder demper (ζ = 0,0089) Voor elke v disc uit tabel 3.1 werd de oscillatieindex R V bepaald. Wanneer men deze uitzet in een grafiek bekomt men figuur 4.3. Dit beeld komt goed overeen met wat men bekomt in [1], de opslingering van de curve komt daar echter bij ietwat lagere snelheden voor. oscillatieindex [-] 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0, v disc [mm/s] Figuur 4.3: oscillatieindex i.f.v. v disc, F N = 100 N, stijfste veer (k = 416,2 N/mm) en zonder demper (ζ = 0,0089) Uit voorgaande kunnen we nu enkele conclusies trekken. Allereerst stelt men vast dat heel wat zaken in het nadeel spreken van stick-slip: 71

72 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten De trilling manifesteert zich bij hogere snelheden, terwijl die in het geval van stickslip enkel bij lage snelheden (< v krit ) te verwachten is. De frequentie van de trilling wordt niet beïnvloed door v disc en ligt steeds heel dicht in de buurt van de eigenfrequentie van het systeem (34 Hz). Het uitzicht van de trilling is niet te verzoenen met dat van stick-slip. Men acht hiermee bewezen dat het verschijnsel niet anders kan zijn dan van oscillerend glijdende natuur. Verder stelt men vast dat er stabiele trillingen voorkomen met 0 < R V < 1. Deze waarneming kan enkel verklaard worden door een niet-lineaire F(v rel )-relatie (zie 1.3.3). Dit wordt bevestigd door [1], waar bewezen wordt dat niet-lineariteiten in de F(v rel )-relatie amplitudepieken veroorzaken in de fouriergetransformeerde van de wrijvingscoëfficiënt bij frequenties die een veelvoud zijn van de natuurlijke. Deze amplitudepieken worden daadwerkelijk vastgesteld, figuur 4.4 is hiervan een voorbeeld. Elk van voorgaande conclusies is volkomen in overeenstemming met [1]. Figuur 4.4: power spectrum voor het geval uit figuur Invloed van de mechanische parameters invloed van de demping 72

73 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten Uit tabel 3.3 blijkt dat de eigenfrequentie licht afneemt in het geval met demper. Het grootste effect evenwel is de dempingscoëfficiënt ζ die het twintigvoud van zijn oorspronkelijke waarde aanneemt (ζ = 0,19). Om de invloed van de demping te onderzoeken blijven we in het geval met de stijfste veer en F N = 100 N, en plaatsen we de proeven zonder demper naast deze met demper. Het resultaat kan men zien op figuur 4.5. De oscillaties verdwijnen volledig. Dat de waarden voor R V niet exact nul zijn is te verklaren doordat de draaiende proefstand wat trilt en op die manier de arm wat kan exciteren, met ruis tot gevolg. zonder demping met demping 1,2 oscillatieindex [-] 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0, v disc [mm/s] Figuur 4.5: oscillatieindex i.f.v. v disc, F N = 100 N, stijfste veer, met demper en zonder (ζ = 0,19 resp. 0,0089) Aangezien we bij het inschakelen van de demper niet te maken krijgen met trillingen, geldt dat v disc gelijk is aan v rel. Het wordt nu zinvol om de gemiddelde wrijvingscoëfficiënten te bepalen en in grafiek uit te zetten. De µ(v rel )-relatie wordt weergegeven in figuur 4.6. wrijvingscoëfficiënt [-] 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0, v disc [mm/s] Figuur 4.6: gemiddelde wrijvingscoëfficiënt i.f.v. v disc, F N = 100 N, stijfste veer, met demper 73

74 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten Oscillerend glijden komt volgens het gelineariseerde model van tot stand door het negatief zijn van de totale dempingscoëfficiënt, hetgeen neerkomt op d > c, met d de negatieve helling van de F(v rel )-relatie in het punt v rel = v disc, en c de demping. Net zoals in [1] stelt men vast dat de helling d niet volstaat om te ontstane trilling te verklaren. De helling van de F(v rel )-relatie neemt zowel positieve als negatieve waarden aan in het interval voor v disc waar trillingen voorkomen. Dit euvel werd voorspeld door Van De Velde [2], zoals in paragraaf werd uitgewerkt. Het is nu erg belangrijk om het volgende in te zien. Het gelineariseerde model van paragraaf is hier niet geldig om trillingen te voorspellen. De hogere ordetermen worden pas belangrijk wanneer de amplitude van de trillingen voldoende groot is; deze maken dus bij het voorspellen van oscillaties niet veel uit. Bijgevolg is zelfs een niet-lineaire F(v rel )-relatie niet voldoende om de waargenomen oscillaties te verklaren. Vandaar dat men hoopt een beter wrijvingsmodel te vinden aan de hand van dynamische proeven (zie verdere hoofdstukken) invloed van de normale belasting We onderzoeken de invloed van de normale belasting door bij alle combinaties van beide beschikbare veren met alle drie de beschikbare normaalbelastingen, proeven te doen. We werken eerst zonder demper. De resultaten voor de stijfste veer vindt men in figuur 4.7, voor de middelste veer in figuur 4.8. Zoals eerder gezegd bleek de slapste veer niet bruikbaar te zijn voor tests. Het is niet onmiddellijk duidelijk wat de trend is. Voor de middelste veer is er weinig invloed, voor de stijfste veer verdwijnen de oscillaties bij F N = 50 N. Men kan deze laatste vaststelling verklaren aan de hand van een onrechtstreeks effect van de demping. Wanneer de stijfheid toeneemt, is de verandering in de dempingscoëfficiënt ζ erg klein (zie tabel 3.3). Bijgevolg neemt de demping c toe bij toenemende stijfheid volgens formule (2.3). Wanneer men de demper inschakelt, verdwijnen alle oscillaties. Net zoals in vorige paragraaf wordt het nu zinvol om de gemiddelde wrijvingscoëfficiënten uit te zetten om zo de µ(v rel )-relatie te bekomen. Dit gebeurt in figuren 4.9 en Uit 4.9 kunnen geen besluiten worden getrokken. De wrijvingscoëfficiënt wordt hier op een complexe wijze beïnvloed door de normaalkracht. De invloed van F N op de oscillaties is gekoppeld met deze op de wrijvingscoëfficiënt. Vandaar dat we niet onmiddellijk besluiten 74

75 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten kunnen trekken over de invloed van de normaalbelasting op de oscillerend glijdende trillingen. Voor de middelste veer (figuur 4.10) wordt de helling niet erg beïnvloed door de normale belasting; men ziet de wrijvingscoëfficiënt wel dalen voor toenemende belasting. Omdat de helling dezelfde is, neemt d toe voor hogere F N (formule 1.24), waardoor de situatie bij hoge F N gevoeliger zou zijn aan oscillaties. Dit is ietwat merkbaar in figuur 4.8. Elk van deze vaststellingen is volkomen in overeenstemming met [1]. 1,2 50N 100N 200N oscillatieindex [-] 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0, v disc [mm/s] Figuur 4.7: oscillatieindex i.f.v. v disc voor verschillende F N (zie legende), stijfste veer, zonder demper 1,2 50N 100N 200N oscillatieindex [-] 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0, v disc [mm/s] Figuur 4.8: oscillatieindex i.f.v. v disc voor verschillende F N (zie legende), middelste veer, zonder demper 75

76 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten wrijvingscoëfficiënt [-] 50N 100N 200N 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0, v disc [mm/s] Figuur 4.9: gemiddelde wrijvingscoëfficiënt i.f.v. v disc voor verschillende F N (zie legende), stijfste veer, met demper 0,20 50N 100N 200N wrijvingscoëfficiënt [-] 0,15 0,10 0,05 0,00 0, v disc [mm/s] Figuur 4.10: gemiddelde wrijvingscoëfficiënt i.f.v. v disc voor verschillende F N (zie legende), middelste veer, met demper invloed van de veerstijfheid We onderzoeken de impact van de stijfheid door de metingen uit vorige paragraaf te hergroeperen voor de verschillende normaalbelastingen. In het geval zonder demper kunnen we zo per normaalbelasting observeren wat de stijfheid uithaalt met de trilling. Dit gebeurt in figuren 4.11, 4.12 en In het geval met demper zetten we per normaalbelasting de wrijvingscoëfficiënt uit in functie van v disc = v rel. Dit gebeurt in figuren 4.14, 4.15 en

77 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten Ost besloot in [1] dat een hogere stijfheid een amplitudeverlaging met zich meebracht, en dat het beeld onafhankelijk was van de normale belasting. Dit wordt nu tegengesproken door figuur 4.12, waarin men een hogere amplitude vaststelt voor de hoogste stijfheid. Zoals reeds werd geargumenteerd in vorige paragraaf, heeft een grotere stijfheid een grotere demping tot gevolg, en is dat de reden waarom bij de stijfste veer de oscillaties uitblijven indien F N = 50 N. 1,2 stijfste veer middelste veer oscillatieindex [-] 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0, v disc [mm/s] Figuur 4.11: oscillatieindex i.f.v. v disc voor F N = 200 N, beide veren (zie legende), zonder demper oscillatieindex [-] 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 stijfste veer middelste veer 0,0 0, v disc [mm/s] Figuur 4.12: oscillatieindex i.f.v. v disc voor F N = 100 N, beide veren (zie legende), zonder demper 77

78 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten 1,2 stijfste veer middelste veer oscillatieindex [-] 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0, v disc [mm/s] Figuur 4.13: oscillatieindex i.f.v. v disc voor F N = 50 N, beide veren (zie legende), zonder demper Uit figuren 4.14 t.e.m blijkt dat de wrijvingscoëfficiënt beïnvloed wordt door de stijfheid (of onrechtstreeks door de demping). Een logische verklaring schuilt in het feit dat de metingen voor de verschillende stijfheden niet onmiddellijk na elkaar werden gedaan, en deze metingen gebeuren met andere monsters en gewijzigde oppervlakte-eigenschappen van de wrijvingsring. Immers, telkens een andere veer werd gemonteerd, werd de separatorplaat opnieuw gepolierd, werden nieuwe monsters aangebracht en ingelopen, en werden de parameters opnieuw gekalibreerd. Men observeert dat de vorm van de µ(v rel )-relatie voor de verschillende veerstijfheden niet ingrijpend wijzigt, met uitzondering van het geval met normaalbelasting F N = 100 N. Wanneer men bijvoorbeeld figuur 4.13 en 4.16 naast elkaar legt, springt het in het oog dat ondanks het feit dat de helling van de µ(v rel )-relatie zeer weinig verandert, de trilling voor de stijfste veer zelfs volledig verdwijnt. Dit is een bevestiging van wat reeds voorheen als oorzaak werd aangewezen, namelijk dat dit enkel kan te wijten zijn aan de onrechtstreekse toename van de demping onder invloed van de hogere stijfheid. 78

79 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten stijfste veer middelste veer wrijvingscoëfficiënt [-] 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0, v disc [mm/s] Figuur 4.14: gem. wrijvingscoëfficiënt i.f.v. v disc voor F N = 200 N, beide veren (zie legende), met demper stijfste veer middelste veer wrijvingscoëfficiënt [-] 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0, v disc [mm/s] Figuur 4.15: gem. wrijvingscoëfficiënt i.f.v. v disc voor F N = 100 N, beide veren (zie legende), met demper stijfste veer middelste veer wrijvingscoëfficiënt [-] 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0, v disc [mm/s] Figuur 4.16: gem. wrijvingscoëfficiënt i.f.v. v disc voor F N = 50 N, beide veren (zie legende), met demper 79

80 Hoofdstuk 4. Resultaten van quasi-statische experimenten 4.4 Besluiten De belangrijkste besluiten volgend uit de experimentele resultaten in dit hoofdstuk zijn: Het trillingsmechanisme is oscillerend glijden. Een niet-lineaire F(v rel )-relatie volstaat niet om het onstaan van trillingen te voorspellen. Gebruik van de demper doet de oscillaties telkens verdwijnen. De invloed van de normaalbelasting op de wrijvingscoëfficiënt is onduidelijk. Voor de middelste veer daalt deze met toenemende belasting, voor de stijfste veer is er een grilliger trend. De vastgestelde invloed van de stijfheid op de dempingscoëfficiënt is fictief; het is een onrechtstreeks effect door gewijzigde oppervlaktekenmerken. De invloed van de normaalbelasting op de oscillaties is onduidelijk. Voor de middelste veer verlaagt de wrijvingscoëfficiënt met toenemende normaalbelasting. Het effect van de belasting op de oscillatie is gekoppeld met haar effect op de wrijvingscoëfficiënt. De invloed van de stijfheid op de oscillaties en de wrijvingscoëfficiënt is onduidelijk. Soms is het effect rechtstreeks afkomstig van de stijfheid, soms onrechtstreeks via de demping. Het is namelijk zo dat een toename van de stijfheid weinig weerslag heeft op de dimensieloze dempingscoëfficiënt, maar via vergelijking (2.3) des te meer een verhoging van de demping met zich meebrengt. 80

81 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving Hoofdstuk 5 : dynamica van de aandrijving 5.1 Inleiding In het uitzetten van een strategie om de dynamica van de wrijving te onderzoeken (zie figuur 3.1) gingen we ervan uit dat de snelheid van het oliebad zich gedroeg als een stap. Dit is natuurlijk een theoretisch ideaalbeeld. Het gaat om de reactie van de aandrijving op een stuursignaal, dat een stap is. Daartussen zit vanzelfsprekend enige dynamica, waarvan wij hopen dat ze voldoende snel is. Ons doel is immers om het systeem voldoende uit te dagen om de wrijvingsdynamica eruit te destilleren. Aangezien de stapproeven gebeuren bij een normaalbelasting F N = 100 N en bij de middelste veer (k = 65 N/mm), is de eigenfrequentie van het systeem in het geval zonder demper 12,86 Hz en in het geval met demper 10,99 Hz (zie tabel 3.3). Men spreekt typisch over snel ten opzichte van het systeem wanneer het gaat over 0,4 tot 0,6 maal de eigenperiode. In dit hoofdstuk wordt onderzocht of de aandrijving snel genoeg reageert op het stuursignaal, en zoniet, welke maatregelen er kunnen getroffen worden om het werk verder te kunnen zetten. 5.2 Reactie van de aandrijving bij stapproeven zonder demper 81

82 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving Op figuur 5.1 wordt het resultaat weergegeven voor een stap van 2 3 zonder demper, waarbij alle snelheden omgerekend zijn naar de waarden voor de wrijvingsring ter hoogte van de glijschoenen in [mm/s], volgens de eerder besproken formules (3.3) en (3.4). Figuur 5.1: gemeten vs. stuursnelheid van het oliebad, stap 2 3 Op het eerste zicht worden twee zaken duidelijk: Op het meetsignaal van de snelheidsencoder (blauw) komt erg veel ruis voor De snelheid ligt in steady-state omstandigheden een weinig hoger dan de stuursnelheid Het eerste probleem wensen we op te vangen door de meetwaarden van het toerental, afkomstig van de encoder, per 20 uit te middelen. Het voordeel van uitmiddelen ten opzichte van filteren, is de afwezigheid van eindeffecten. Uit figuur 5.2 blijkt dat het uitmiddelen niet ten koste gaat van de nauwkeurigheid, ook niet ter hoogte van de sprong. Voortaan zal met dit uitgemiddelde signaal verder gewerkt worden. Het tweede punt onderzoeken we verder in tabel 5.1. Deze tabel vat een experiment samen, waarbij men de zeven snelheden 1 t.e.m. 7 telkens als setpoint instelt, en meet welke snelheid men werkelijk bekomt (er is hier een gemiddelde genomen over ongeveer 5s in toestand van regime). Als besluit kan men stellen dat wanneer men de riem op overbrengingsverhouding 5,15/1 legt er een afwijking is van ongeveer 6% waar die voor de overbrengingsverhouding 1/1 kleiner is dan 1%. De overbrengingsverhouding 5,15/1 is als 82

83 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving waarde dus niet erg correct; in principe dient ze herbemeten te worden. De verhouding 4,86/1 ligt binnen de lijn van de verwachting. Figuur 5.2: gemeten vs. uitgemiddelde oliebadsnelheid gewenste snelheid overbrengingsverh. r 2 overbrengingsverh. r 1 werkelijk gemeten afwijking (%) oliebad (mm/s) riemoverbrenging schakelbare koppeling snelheid oliebad (mm/s) 6 5,15/1 1/1 6,313 5,23 8 5,15/1 1/1 8,506 6, ,15/1 1/1 21,27 6, ,15/1 1/1 42,88 7, /1 1/1 40,02 0, /1 1/1 100,0 0, /1 1/1 201,3 0, /1 1/1 302,5 0,84 Tabel 5.1: onderzoeken van verschil tussen gewenste en gemeten oliebadsnelheid In figuur 5.3 zien we nu opnieuw het antwoord van het mechanisch systeem op de stap van 2 naar 3 zonder demper, maar dan met het uitgemiddelde encodersignaal. Dit is heel wat duidelijker dan in figuur 5.1. Er is een lichte overshoot die hoogst waarschijnlijk te wijten is aan de elasticiteit van de riem. 83

84 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving Figuur 5.3: antwoord van mechanisch systeem op stap 2 3 Figuur 5.4 is een vergelijking van de reactie van het mechanisch systeem op een stap die zowel in versnellingsrichting als in de richting van vertraging wordt uitgevoerd. De dynamica van versnellen en vertragen is een weinig verschillend. Het vertragen gaat iets vlugger en heeft een iets hoger percentage aan overshoot. De stijgtijd T R wordt gedefinieerd als de tijd die start wanneer 10% van de stap is overbrugd en eindigt nadat 90% van de stap is afgelegd. Voor de stap van 4 5 bedraagt deze ongeveer 0,1 seconden (zie figuur 5.4). Voor alle stappen wordt deze stijgtijd gegeven in tabel 5.2. In deze tabel vindt men voor elke stap eveneens de initiële snelheid, de eindsnelheid en de grootte van de sprong. De grootte van de sprong noemen we verder V 0. Bij één stap (7 6) gaf de invertor een foutmelding, en werd er een tijdsvertraging van ettelijke seconden vastgesteld. Deze stap wordt niet in beschouwing genomen. Ten opzichte van het systeem zijn de stijgtijden behoorlijk lang (typisch 1,5 keer de eigenperiode). Om snel te zijn ten opzichte van het systeem moeten deze kleiner zijn dan 0,4 tot 0,6 maal de eigenperiode. Men tracht dit euvel op te vangen; de gedachtegang hiertoe wordt gegeven in paragraaf

85 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving Figuur 5.4: antwoord van mechanisch systeem op stap 4 5 (bovenaan) en 5 4 (onderaan) stap r 1 r 2 initiële snelheid [mm/s] eindsnelheid [mm/s] grootte van de sprong V 0 [mm/s] stijgtijd [s] 1 2 1/1 5,15/1 6,284 8,390 2,106 0, /1 5,15/1 8,506 21,44 12,93 0, /1 5,15/1 21,33 43,05 21,72 0, /1 1/1 39,95 100,0 60,05 0, /1 1/1 100,0 201,3 101,3 0, /1 1/1 201,7 303,4 101,7 0, /1 1/1 303,4 202, /1 1/1 201,7 100,1-101,6 0, /1 1/1 100,1 40,09-60,01 0, /1 5,15/1 42,94 21,39-21,55 0, /1 5,15/1 21,39 8,424-12,966 0, /1 5,15/1 8,449 6,313-2,136 0,16 Tabel 5.2: overzicht van de reactie van de aandrijving op uitgevoerde stappen type 1 zonder demper 5.3 Reactie van de aandrijving bij stapproeven met demper In figuur 5.5 wordt de invloed van de demping onderzocht op de dynamica van de aandrijving. Deze invloed blijkt verwaarloosbaar. De stijgtijden uit tabel 5.2 blijven dus ook geldig in het geval met demper. 85

86 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving a. 3 4 b. 4 3 c. 5 6 d. 6 5 Figuur 5.5: invloed van demping op de reactie van het mechanisch systeem 86

87 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving 5.4 Uitbreiding van de gedachtegang tot het opstellen van een wrijvingsmodel Ten opzichte van het systeem reageert de aandrijving te traag om van een stap in de oliebadsnelheid te kunnen spreken. We zullen het schema van figuur 3.1 dan ook moeten uitbreiden om rekening te houden met de dynamica van de aandrijving. Dit gebeurt in figuur 5.6. Wanneer we erin slagen de dynamica van de aandrijving te identificeren, kunnen we nog steeds het beoogde doel bereiken. Door identificatie van de wrijving kunnen we dan nog steeds een wrijvingsmodel bekomen. Al mag men wel verwachten dat de wrijvingsdynamica zich niet volledig prijs zal geven, omdat het systeem net niet hard genoeg uitgedaagd wordt. Dynamica van Dynamica van v stuur (t) de aandrijving v disc (t) de wrijving µ (t) Figuur 5.6: uitgebreid blokschema wrijvingsdynamica 5.5 Identificatie van de dynamica van de aandrijving modelvoorstel voor de dynamica van de aandrijving Om de gedachten te vestigen hernemen we de voorbeelden uit figuur 5.4. Het stapantwoord vertoont een lichte overshoot die doet denken aan een ondergedempt tweedeordesysteem. Het is tevens duidelijk dat men zal moeten rekening houden met een dode-tijd. Om dit modelvoorstel verder uit te werken, zal men allereerst het assenstelsel voor elke stap verplaatsen: het nulpunt van de ordinaat komt op de initiële snelheid van de stapproef te liggen, het nulpunt van de tijdsas wordt verschoven naar het moment waarop de stap aangestuurd wordt. Een voorbeeld hiervan wordt gegeven in figuur 5.7. Grootheden worden ten opzichte van dit nieuwe assenstelsel aangeduid met een accent. 87

88 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving v disc [mm/s] t [s] Figuur 5.7: verplaatsing van het assenstelsel Het stuursignaal heeft nu in het tijdsdomein de vorm V Stap( ). In het frequentiedomein schrijven we bijgevolg 0 t ( s) = V s (5.1) V stuur 0 We poneren, zoals voorheen geargumenteerd, dat de dynamica van de aandrijving een ondergedempt tweede-ordesysteem is waar dode-tijd in voorkomt. Dit heeft in het frequentiedomein de vorm zoals in formule 5.2, waarbij ζ < 1. V V 2 disc ( s) ωn s = e τ 2 2 stuur ( s) s + 2ζω ns + ωn (5.2) Hierin komen drie parameters voor: een natuurlijke frequentie ω n een dempingscoëfficiënt ζ < 1 een dode-tijd τ Opgelet, de dempingscoëfficiënt en de natuurlijke frequentie uit betrekking (5.2) mogen niet verward worden met de dempingscoëfficiënt en de natuurlijke frequentie van de bewegingsvergelijking van het mechanisch systeem! Op deze manier komen we dus tot het blokschema van figuur 5.8. Omwille van de lineariteit van de Laplacetransformatie hoeven de accenten hier niet geschreven te worden. 88

89 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving V stuur (s) s 2 2 ωn + 2 ζω s + ω n 2 n e τ s V disc (s) Figuur 5.8: blokschema dynamica van de aandrijving In het frequentiedomein hebben we de oliebadsnelheid dus bepaald als V V ω 2 0 n τ s disc ( s) = e 2 2 s( s + 2ζω ns + ωn ) (5.4) optimalisatie van de parameters van het model In deze paragraaf wordt ernaar gestreefd om via een kleinste kwadratenalgoritme de parameters van het model voor de dynamica van de aandrijving te optimaliseren voor alle uitgevoerde stapproeven type 1. Hiertoe schrijven we V disc (s) in het tijdsdomein. Het symbolische pakket MAPLE is hierbij een handig hulpmiddel. Er komt v disc ω ζ ( t τ ) ( ) = 2 t V Stap( t τ ) 1 e cos ω 1 ζ ( t τ ) ζ ( ) + ( ω ζ ( τ )) n sin n t n ζ (5.5) Waarbij de demping ζ kleiner is dan 1. We fitten nu de gemeten curve aan dit tijdssignaal. De parameters ter optimalisatie zijn de demping, de eigenfrequentie en de dode-tijd, zoals reeds besproken in vorige paragraaf. Het kleinste kwadratenalgoritme werd geschreven in MATLAB en is opgenomen in appendix B.3. Met dit programma werden ook de respectievelijke stijgtijden berekend uit tabel 5.2. De resultaten worden op een rijtje gezet in tabel 5.3. Figuur 5.9 is een illustratie van hoe nauw de gefitte curve aan de werkelijke meting aansluit. Men middelt de resultaten uit voor de versnellende en voor de vertragende stappen. Voor de stappen die in versnellingsrichting werken, zien we dat de stap van 6 7 een buitenbeentje is omwille van de hoge dode-tijd. Dit heeft te maken met de hoge snelheid. We nemen deze dan ook niet op in het gemiddelde. Voor de stappen in vertragingsrichting, is de stap 7 6 zoals eerder vermeld niet gelukt omdat de invertor deze manipulatie niet aankan. 89

90 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving stap r 1 r 2 τ [s] ζ ω n [rad/s] 1 2 1/1 5,15/1 0,053 0,564 19, /1 5,15/1 0,050 0,653 20, /1 5,15/1 0,054 0,640 18, /1 1/1 0,052 0,707 21, /1 1/1 0,052 0,666 19, /1 1/1 0,095 0,639 18,68 gemiddelde voor versnelling 0,052 0,646 19, /1 1/ /1 1/1 0,050 0,597 17, /1 1/1 0,051 0,605 17, /1 5,15/1 0,050 0,610 16, /1 5,15/1 0,050 0,649 17, /1 5,15/1 0,045 0,523 16,52 gemiddelde voor vertraging 0,049 0,597 17,10 Tabel 5.3: overzicht van de resultaten van de kleinste-kwadraten optimalisatie van het dynamisch model van de aandrijving Figuur 5.9: vergelijking originele data en geoptimaliseerd model bij stap 4 5 (bovenaan) en 5 4 (onderaan) Het is duidelijk dat de parameters in de versnellingsrichting en in de richting van vertraging licht van elkaar verschillen. Ze verschillen van elkaar doordat het stapantwoord bij versnellen een minder overshoot vertoont dan bij vertragen en ook iets trager de piekwaarde bereikt. 90

91 Hoofdstuk 5. Dynamica van de aandrijving In wat volgt zal dit verschil verwaarloosd worden; we werken verder met parameters die een gemiddelde zijn tussen de beide: τ = 0,051 s, ζ = 0,621, ω rad n = 18, 39 (5.6) s Dat deze benadering nog steeds erg nauwkeurig is, kan men zien op figuur Figuur 5.10: vergelijking originele data en model met gemiddelde parameters (5 4) 5.6 Besluiten Uit dit hoofdstuk wordt een aantal besluiten getrokken, die men meeneemt naar volgende hoofdstukken: Om in het opzet van een stapproef, namelijk het identificeren van de wrijvingsdynamica, te kunnen slagen, moet men rekening houden met de dynamica van de aandrijving. De aandrijving slaagt er namelijk niet in om ten opzichte van het systeem voldoende snel de snelheid van de wrijvingsring te veranderen. De transfertfunctie, die de dynamica beschrijft van alle onderdelen inbegrepen tussen de invertorterminal en het oliebad, werd geïdentificeerd als V V disc stuur ( s) = ( s) s 2 338,19 e + 22,84s + 338,19 0,051 s (5.7) 91

92 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef Hoofdstuk 6 : Reactie van de wrijving op een stapproef 6.1 Inleiding In hoofdstuk 4 zagen we dat een niet-lineair wrijvingsmodel niet volstaat om oscillaties te voorspellen. Sindsdien werd een denkproces op gang gezet waarmee we hopen een dynamisch wrijvingsmodel te bekomen. Hiervoor is het onder meer noodzakelijk dat we het gedrag van de wrijving identificeren (zie hoofdstuk 8). Dit kan echter niet zonder hierin inzicht verworven te hebben. Dit is het doel van dit hoofdstuk. De stapproeven die men hiertoe interpreteert, zijn van gedempte aard. In deze toestand is v disc gelijk aan v rel, en komen geen trillingen voor op de arm die oscillaties in de wrijvingscoëfficiënt in de hand zouden werken. 6.2 Kwalitatieve studie van het wrijvingsgedrag tijdens de gedempte stapproeven type 1 Men stelt vast dat de wrijving veel vlugger reageert dan het oliebad zelf. Figuur 6.1 en 6.2 zijn hier een illustratie van. Figuur 6.2 is een detail van figuur 6.1, waarop tevens de stuursnelheid is aangegeven. 92

93 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef I II III Figuur 6.1: wrijvingsgedrag bij het aanleggen van een stap 2 3 I II III Figuur 6.2: detail van figuur

94 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef Men stelt op deze figuren vast dat er voor de wrijvingscoëfficiënt drie zones te onderscheiden zijn die elk een afzonderlijk oscillatiepatroon vertonen: Tijdens periode I, t [ 0;2, 927s] snelheid, is de wrijvingscoëfficiënt constant. Tijdens de periode III, t [ 3,25s;7, 881s] eindsnelheid, is de wrijvingscoëfficiënt constant. Tijdens de periode II, t [ 2,927s;3, 25s], wanneer het oliebad in regime draait op de initiële, wanneer het oliebad in regime draait op de, wanneer het oliebad versnelt van de initiële naar de uiteindelijke snelheid, gaat de wrijvingscoëfficiënt over van de initiële naar de uiteindelijke waarde (op het eerste zicht volgens een eerste-ordedynamica); op dit verloop komt een oscillatie voor. Wanneer in men inzoomt op zone II, wekt het verwondering dat de wrijving reeds een reactie vertoont op een moment wanneer het oliebad nog niet aan zijn snelheidswijziging begonnen is. Hier zijn andere factoren aan het werk die de wrijving beïnvloeden. Men stelt vast dat ogenblikkelijk na het aansturen van de stap, de motor een schok vertoont die, afhankelijk van de grootte van de snelheidssprong, de hele proefstand grondig dooreen kan schudden. Dit is niet onlogisch, gezien het grote vermogen van de motor. Deze schok wordt hier als verklaring aangegrepen voor de oscillatie van de wrijvingscoëfficiënt in zone II. De redenen daarvoor zijn Het is niet onlogisch om aan te nemen dat de motor zeer snel reageert op het stuursignaal; veel vlugger dan het oliebad. Tussen motor en oliebad komen immers een aantal elasticiteiten voor, denk hierbij vooral aan de V-riem, die de reactie van het oliebad vertragen ten opzichte van deze van de motor. De schokgolf die de motor doorheen de opstelling verspreidt kan dus snel genoeg zijn om het wrijvingsgedrag te verklaren. Van een dergelijke schok kan men verwachten dat ze een breed gebied aan frequenties exciteert, en in het frequentiespectrum typisch een aantal eigenfrequenties van de opstelling voorkomen. Om dit te testen werd een programma geschreven in Matlab (zie appendix B.4) om een fouriertransformatie te maken van µ(t) in het interval [2,927;3,1] waar de oscillatie het sterkst is. Een illustratie hiervan wordt gegeven in figuur 6.3a. Typisch terugkerende frequenties zijn 51,7; 68,0; 85,0 en 132 Hz. De wrijvingscoëfficiënt wordt berekend uit de bewegingsvergelijking (zie formule 3.1). Het gewicht van de afzonderlijke termen in de zone van oscillatie is ongeveer 5% voor m& & x, 15% voor kx en 85% voor c& x. De term met de snelheid overweegt; men verwacht dan ook dat 94

95 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef de pieken in het spectrum van de snelheid dezelfde zullen zijn als in die van de wrijvingscoëfficiënt. Dat dit het geval is, kan men zien in figuur 6.3b. a. µ(t) b. x& (t) Figuur 6.3: power spectrum in [2,927;3,1] voor stap 2 3 Bij wijze van illustratie komt: de stap 3 2 aan bod in figuur 6.4 en 6.5 de stap 4 5 aan bod in figuur 6.6 en 6.7 de stap 5 4 aan bod in figuur 6.8 en 6.9 de stap 6 7 aan bod in figuur 6.10 en 6.11 Algemeen stelt men vast dat: Voor elke stap die men aanlegt, de wrijvingscoëfficiënt analoog kan onderverdeeld worden in de tijd als het voorbeeld van hierboven (een zone I t.e.m. III). De dynamica van de wrijving eruit ziet als iets van eerste orde. De eigenfrequenties van de opstelling telkens terugkeren in de oscillatie van de wrijvingscoëfficiënt in zone II. De schok bij de stap in de vertragingsrichting telkens heviger is dan bij de corresponderende stap in versnellingsrichting. Het constant zijn van de wrijvingscoëfficiënt in zones I en III voor elke stap verdient enige nuance. Bij hoge snelheden (>100mm/s) is het zo dat het aandrijfmechanisme de opstelling wat kan doen rammelen. Hierdoor komt een stoorsignaal voor op x& (t), dat een erg sterke invloed heeft op µ(t) omwille van de hoge dempingscoëfficiënt. Het ernstigste scenario dat werd opgemeten, is weergegeven in figuren 6.10 en Dit fenomeen doet zich echter in een aantal gevallen voor (zie ook tabel 6.1 verder in de tekst). Een fouriertransformatie op x& (t) in het juiste tijdsdomein leert ons dat het stoorsignaal een lawaai is dat een breed frequentiebereik beslaat en waarin telkens pieken terugkomen op 51,5 Hz; 57 Hz; 126,2 Hz en 95

96 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef 132 Hz. De tweede en de vierde frequentie herkennen we als eigenfrequenties van de opstelling, de herkomst van de andere twee is niet onmiddellijk duidelijk. Figuur 6.4: wrijvingsgedrag bij het aanleggen van een stap 3 2 Figuur 6.5: detail van figuur

97 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef Figuur 6.6: wrijvingsgedrag bij het aanleggen van een stap 4 5 Figuur 6.7: detail van figuur

98 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef Figuur 6.8: wrijvingsgedrag bij het aanleggen van een stap 5 4 Figuur 6.9: detail van figuur

99 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef Figuur 6.10: wrijvingsgedrag bij het aanleggen van een stap 6 7 Figuur 6.11: detail van figuur

100 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef 6.3 Kwantitatief overzicht van het wrijvingsgedrag tijdens de gedempte stapproeven type 1 In tabel 6.1 wordt een overzicht gegeven van de resultaten van alle uitgevoerde stapproeven type 1 met demper. Uit appendix A volgt dat de meetfout voor de wrijvingscoëfficiënt in zones I en III 0,007 bedraagt, en het kleinst detecteerbare verschil in wrijvingscoëfficiënt in zones I en III 0, Opmerking: in de tabel gebruiken we een waardering van het gedrag van de wrijvingscoëfficiënt, puur uit opportuniteit ingevoerd. Onder constant verstaan we µ max -µ min < 0,005 ; onder lichte ruis 0,005 < µ max -µ min < 0,02; onder zware ruis 0,02 < µ max -µ min < 0,1. stap zone I zone II zone III interval gedrag µ(t) µ gem,i interval interval gedrag µ(t) µ gem,iii 1 2 [0;2,927] µ constant 0,157 [2,927;3,15] [3,15;7,881] µ constant 0, [0;2,927] µ constant 0,157 [2,927;3,25] [3,25;7,881] µ constant 0, [0;2,927] µ constant 0,156 [2,927;3,3] [3,3;7,881] lichte ruis 0, [0;2,927] µ constant 0,148 [2,927;3,3] [3,3;7,881] lichte ruis 0, [0;2,927] lichte ruis 0,140 [2,927;3,35] [3,35;7,881] zware ruis 0, [0;2,927] zware ruis 0,131 [2,927;3,4] [3,4;7,881] zware ruis 0, [0;2,927] zware ruis 0,126 [2,927;3,3] [3,3;7,881] zware ruis 0, [0;2,927] zware ruis 0,131 [2,927;3,3] [3,3;7,881] lichte ruis 0, [0;2,927] lichte ruis 0,143 [2,927;3,3] [3,3;7,881] µ constant 0, [0;2,927] µ constant 0,148 [2,927;3,3] [3,3;7,881] µ constant 0, [0;2,927] µ constant 0,151 [2,927;3,3] [3,3;7,881] µ constant 0, [0;2,927] µ constant 0,150 [2,927;3,15] [3,15;7,881] µ constant 0,150 Tabel 6.1: overzicht van wrijvingsgedrag bij stapproeven type 1 met demper In zone I van de stapproeven heerst er regime. De gemiddelde wrijvingscoëfficiënten die we daar vinden, zijn van dezelfde aard als dewelke we in hoofdstuk 4 bepaalden. De volle lijn uit figuur 6.12 is de curve van de gemiddelde wrijvingscoëfficiënt die in hoofdstuk 4 bepaald werd voor F N = 100N bij de middelste veer. De stippen op figuur 6.12 zijn de gemiddelde wrijvingscoëfficiënten in de zones I van de stapproeven. De waarden komen inderdaad zeer goed overeen. Dit is een extra controle die in ons voordeel spreekt. Men stelt voor alle stapproeven vast dat de gemiddelde wrijvingscoëfficiënt in zone III van een stapproef een weinig kleiner is dan die in zone I van de daaropvolgende stapproef. Tussen beide zones zit een tweetal minuten durende periode van steady-state. Er is bijgevolg 100

101 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef een toename van de dynamische wrijvingscoëfficiënt in de tijd. Dit komt uitgebreid aan bod in hoofdstuk 8 (8.2.1). wrijvingscoëfficiënt [-] 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0, v disc [mm/s] Figuur 6.12: vergelijking van de gemiddelde wrijvingscoëfficiënten in regimetoestand uit hoofdstuk 4 en tabel Kwalitatieve studie van het wrijvingsgedrag tijdens de gedempte stapproeven type 2 Zoals in paragraaf vermeld, worden een tweetal testreeksen van dit type verricht. Een eerste reeks van vier stappen bij lagere snelheden, en een tweede reeks van vier stappen bij hogere snelheden. Per reeks starten de stappen vanaf dezelfde snelheid en staan de sprongen in proportie tot elkaar. De noties van paragraaf 6.2 blijven ook hier van toepassing. Het resultaat van de eerste reeks stappen wordt gegeven in figuur Figuur 6.14 toont de uitkomst van de tweede reeks stappen. In het onderste luik van deze figuur merken we terug de ruis in de wrijvingscoëfficiënt op, die bij hoge snelheden te verwachten valt (zie paragraaf 4.2). Door de wrijvingscoëfficiënt uit te middelen per 20 waarden, wordt figuur 6.15 verkregen. 101

102 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef Figuur 6.13: wrijvingsgedrag bij eerste testreeks 102

103 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef Figuur 6.14: wrijvingsgedrag testreeks 2 103

104 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef Figuur 6.15: uitgemiddelde wrijvingscoëfficiënt bij testreeks Kwantitatief overzicht van het wrijvingsgedrag tijdens de gedempte stapproeven type 2 In tabel 6.2 wordt een overzicht gegeven van de resultaten van alle uitgevoerde stapproeven type 2 met demper. De nadruk ligt enkel op het natrekken van de lineariteit van de wrijvingsdynamica. Men kan zien op figuren 6.13 en 6.15 dat de wrijvingscoëfficiënt na de stap ongeveer 1 seconde constant blijft; eens daarna vertoont die een periodiek verloop die te maken heeft met het niet constant zijn van de wrijving over de omtrek van de wrijvingsring. De gemiddelde wrijvingscoëfficiënten in zone III werden bepaald op deze seconde gedurende dewelke ze op een constant niveau verkeren. testreeks 1 testreeks 2 zone I zone III Besluit v disc,gem, I (mm/s) µ gem,i v disc, gem, II (mm/s) µ gem,iii v disc,gem (mm/s) µ µ/ v (10-5 s/mm) stap 1 16,02 0,149 21,41 0,148 5,39-0,001-16,70 stap 2 16,17 0,150 26,68 0,151 10,51 0,001 4,757 stap 3 16,15 0,152 32,19 0,148 16,04-0,004-24,31 stap 4 16,15 0,152 37,52 0,145 21,37-0,007-31,35 stap 1 79,99 0, ,33 0,124 40,34-0,022-55,77 stap 2 79,86 0, ,62 0,126 80,76-0,022-27,24 stap 3 79,82 0, ,39 0, ,57-0,018-14,64 stap 4 79,96 0, ,75 0, ,79-0,014-8,592 Tabel 6.2: overzicht van wrijvingsgedrag bij stapproeven type 2 met demper 104

105 Hoofdstuk 6. Reactie van de wrijving op een stapproef In de tabel wordt µ/ v uitgerekend. Het doel is om te achterhalen of de wrijvingsdynamica zich lineair gedraagt. Wanneer dit het geval zou zijn, zou de sprong in µ evenredig zijn met de sprong in snelheid, wat een constante waarde voor µ/ v oplevert. In tabel 6.2 is duidelijk te zien dat deze waarde allesbehalve constant is; de wrijvingsdynamica is niet-lineair. 6.6 Besluiten Uit dit hoofdstuk kunnen volgende besluiten getrokken worden aangaande het gedrag van de wrijving tijdens een stapproef: Het is niet zo eenvoudig om voor de dynamica van de wrijving een model voor te stellen op basis van wat men ziet. De zone waar deze dynamica bovenkomt, namelijk de zone waar de snelheid van het oliebad bruusk verandert, wordt verstoord door een oscillatie. De oorzaak hiervan is dat de motor een schokgolf doorheen de opstelling stuurt die oscillaties op de wrijvingscoëfficiënt met zich meebrengt. Relatief gezien is deze schok heviger voor stappen in de vertragingsrichting. Aangezien de proefstand bij hogere snelheden van het oliebad aan het trillen gaat door de slechte uitbalancering van de riemoverbrenging, is deze schok bij deze hogere snelheden relatief van minder belang. Op het eerste zicht ziet de dynamica van de wrijving eruit als iets van de eerste orde. De dynamische wrijvingscoëfficiënt is tijdsafhankelijk. Na de stap zal de wrijvingscoëfficiënt steeds heel traag toenemen ook al lijkt die in regime (tijdsconstante van deze dynamica ligt in grootte-orde van een minuut). Dit dient nog verder uitgespit te worden; hierop wordt dan ook verdergewerkt in hoofdstuk 8. De dynamica van de wrijving is niet-lineair. De sprongen in de wrijvingscoëfficiënt staan niet in verhouding tot de sprongen in de snelheid. 105

106 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef Hoofdstuk 7 : Reactie van het systeem op een stapproef 7.1 Inleiding Na het bestuderen van de reactie van de aandrijving (hoofdstuk 5) en van de wrijving (hoofdstuk 6) op een stapproef, is het nu de beurt aan het systeem. Met systeem bedoelt men hetgeen beschreven wordt door zowel het mechanisch model (bewegingsvergelijking) als het wrijvingsmodel. Het is het systeem dat wrijvingsgeïnduceerde trillingen kan vertonen. De curve voor de oscillatieindex in functie van de snelheid, die in paragraaf reeds aan bod kwam, is nogmaals weergegeven in figuur 7.1. Wanneer we een bepaalde snelheid instellen, zien we op deze figuur welke trilling bij deze snelheid tot stand moet komen. Nu is het interessant iets meer in detail te treden over de manier waarop deze trillingen ontstaan dan wel uitdoven. Dit is het onderwerp van studie in dit hoofdstuk. Omdat we precies het trillingsgedrag wensen te bestuderen, spreekt het voor zich dat enkel stapproeven zonder demper onder de loep worden genomen. 93

107 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef 1, oscillatieindex [-] 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0, snelheid wrijvingsring [mm/s] Figuur 7.1: verloop van oscillatieindex (zonder demper, F N = 100 N, middelste veer) 7.2 Kwalitatieve beschrijving van het systeemgedrag Op figuur 7.2 ziet men het systeemgedrag tijdens de stapproef 1 2. Om een beschrijving te maken van wat er zich afspeelt, werken we met dezelfde drie zones als in vorig hoofdstuk, om de eenvoudige reden dat men vaststelt dat deze ook in het systeemgedrag terugkomen. Men neemt volgende zaken waar: Tijdens periode I, t [ 0;2, 927s], wanneer het oliebad in regime draait op de initiële snelheid, is de arm trillingsvrij, al komt een kleine rimpel voor. Tijdens de periode III, t [ 3,25s;7, 881s], wanneer het oliebad in regime draait op de eindsnelheid, is de arm opnieuw trillingsvrij, al stelt men een analoge rimpel vast. Tijdens de periode II, t [ 2,927s;3, 25s], wanneer het oliebad versnelt van de initiële naar de uiteindelijke snelheid, komt een lichte oscillatie voor op de arm omwille van het feit dat een schok, gegenereerd door de motor (zie hoofdstuk 6), de hele proefopstelling aan het trillen brengt. Laat ons deze rimpel eens van naderbij onderzoeken. Neem bijvoorbeeld periode III van deze stap. De periode van de rimpel lezen we af als 1,25 s, diens frequentie is bijgevolg 0,8 Hz. Het toerental van het oliebad bedraagt: v tabel 5.2 disc, III 8,390 mm s = 0,0133toeren s 2 π 100mm toer = 2 π 100mm toer 94

108 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef hetgeen overeenstemt met een frequentie van 0,0133 Hz. Men vindt dus dat de frequentie van de rimpel overeenstemt met het zestigvoud van het toerental van het oliebad. Wanneer men dezelfde uitwerking maakt voor zone I van deze stap (alsook voor andere stappen), vindt men deze factor zestig steeds terug. In de haakse overbrenging onder het oliebad komen 59 tanden voor op het tandwiel dat verbonden is met het oliebad. Dit tandwiel is bijgevolg met grote zekerheid verantwoordelijk voor de rimpel die op de arm wordt vastgesteld. Het lijkt zo te zijn dat de plaats van de arm in zone III gemiddeld gezien iets lijkt te stijgen in functie van de tijd. De oorzaak van dit verschijnsel is dat de wrijvingscoëfficiënt niet constant is over de omtrek van de wrijvingsring. I II III figuur 7.2: systeemgedrag bij stap 1 2 Figuur 7.3 is een voorbeeld van wat er gebeurt als er na de stap trilling ontstaat (stap 2 3). De omhullende aan deze trilling is eveneens op deze figuur geconstrueerd. Het is interessant om te zien hoe de trilling tot stand komt. De schok afkomstig van de motor initieert de oscillatie in het begin van zone II, die van daaruit verder aangroeit, maar pas stabiel wordt in zone III. I II III figuur 7.3: systeemgedrag bij stap

109 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef Men kan ook hier eenvoudig aantonen dat op de omhullende tevens de rimpel voorkomt afkomstig van de haakse overbrenging. Op basis van een gelineariseerd F(v rel )-verband voorspelt men (zie paragraaf 1.7.1) dat de oscillatie exponentieel aangroeit tot wanneer de oscillatieindex R V gelijk is aan 1. Men weet echter uit figuur 7.1 dat de oscillatieindex in de buurt zal liggen van 0,7. Het gelineariseerd model voor oscillerend glijden is dus a priori ongeldig. Nu stelt men ook vast dat de oscillatie in zone III niet groeit volgens een exponentiële; een extra doorn in het oog van dit trillingsmodel. Een kleine randbemerking is de volgende. In zone III stijgt de gemiddelde positie waarrond de arm slingert gevoelig. De wrijvingscoëfficiënt neemt, gemiddeld gezien, toe doorheen zone III van ongeveer 0,165 tot 0,17 (zie figuur 7.4). Deze twee waarnemingen hangen samen volgens de bewegingsvergelijking, die men hier zal uitmiddelen. m & x + cx& + kx = F v ) (7.1) ( rel m & x + cx& + kx = kx = F v ) (7.2) F ( v x = k ) 2 FN µ = k ( rel rel gem = µ gem mm (7.3) Vullen we de eerder vermelde wrijvingscoëfficiënten in vergelijking (7.3) in, vinden we dat de gemiddelde positie zou moeten variëren van 0,507 mm tot 0,523 mm. We zien in figuur 7.3 dat dit er niet ver naast zal zitten. Figuur 7.4: wrijvingscoëfficiënt bij stap 2 3 (ongedempt) We gaan nog even door op het model uit paragraaf dat de aangroei van oscillaties beschrijft. Dit model levert als enige twee mogelijkheden een trillingsloze toestand (R V = 0) en een toestand van oscillatie met R V = 1. Wanneer een oscillatie in amplitude toeneemt, groeit die volgens het model exponentieel aan tot wanneer R V = 1. Enkele regels eerder werd 96

110 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef een voorbeeld getoond waarvoor een exponentiële groei niet vastgesteld werd indien de uiteindelijke oscillatie een R V had die kleiner was dan 1. Nu kijken we dit na voor het geval wanneer een stabiele oscillatie tot stand komt met R V = 1. Figuren 7.5, 7.6 en 7.7 tonen alle stapproeven waarbij een trilling in amplitude toeneemt en stabiel wordt bij R V = 1. Voor elk van deze vermoedt men dat de groei van de oscillaties in zone III volgens een exponentiële gebeurt. I II III t Figuur 7.5: systeemgedrag bij stap 3 4 I II III Figuur 7.6: systeemgedrag bij stap 4 5 I II III Figuur 7.7: systeemgedrag bij stap

111 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef In MATLAB werd een kleinste kwadratenalgoritme geschreven om de omhullende aan een exponentiële te fitten (code kan men terugvinden in appendix B.5). De exponentiële wordt gegeven door (overeenkomstig formule (1.17)) A e ten opzichte van een verschoven ζ ωnt assenstelsel zoals aangegeven in figuur 7.5. Hierbij ligt de tijdsas op de lijn van de gemiddelde positie van de arm, en de ordinaat ligt op het begin van zone III. De parameter die in het kleinste kwadratenalgoritme geoptimaliseerd wordt is de totale dempingscoëfficiënt c d ζ =. 2 km De best passende exponentiële sluit wel degelijk zeer nauw aan bij de originele omhullende voor 3 4 en 4 5; figuur 7.8 is hier een voorbeeld van. Figuur 7.8: best passende exponentiële aan de omhullende voor stap 3 4 We willen nu nakijken hoe de F(v rel )-gradiënten van de best passende exponentiëlen (dit zijn dynamische F(v rel )-gradiënten, zie 1.7.2) in verhouding staan tot de stationaire F(v rel )- gradiënten die op basis van de gedempte resultaten uit hoofdstuk 4 verwacht worden. Hiertoe rakelden we de (gedempte) quasi-statische metingen terug op voor de middelste veer, F N = 100 N, zonder demper, en berekenden d volgens het differentiequotiënt d i = 2F N v µ + µ i 1 disc, i+ 1 v i disc, i Het resultaat hiervan wordt weergegeven in tabel 7.1. (7.4) 98

112 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef v disc [mm/s] µ [-] stationaire d [kg/s] 390 0, , , , , ,95 97,4 0, ,37 60,5 0, ,29 30,3 0, ,10 15,1 0, ,65 12,1 0, ,16 7,56 0, ,7 3,74 0, ,7 1,87 0, ,1 0,934 0, ,374 0,1466 / Tabel 7.1: quasi-statische metingen van de wrijvingscoëfficiënt en berekening van stationaire d voor F N = 100, middelste veer, met demper Door interpolatie vond men de verwachte stationaire d s in zone III van stap 3 4 en 4 5. Tabel 7.2 maakt de vergelijking tussen de stationaire en dynamische F(v rel )-gradiënt. Stap v disc, III [mm/s] d volgend uit ls-fit [kg/s] d voorspeld uit quasistatische resultaten [kg/s] ,0 37,24 14, ,3 31,62 13,62 Tabel 7.2: vergelijking stationaire en dynamische F(vrel)-gradient Tot onze grote consternatie stellen we vast dat de dynamische F(v rel )-gradiënten groter zijn de statische; dit is in strijd met de literatuur (zie 1.7.2) die claimt dat ze kleiner moeten zijn. Dit heeft een erg belangrijke consequentie. Wanneer de stationaire F(v rel )-gradiënt kleiner is dan c, komen volgens het gelineariseerde model van paragraaf geen oscillaties voor. In de praktijk stelt men vast dat dit soms wel gebeurt (zie hoofdstuk 4). Van De Velde [2] leert ons dat dynamische F(v rel )-gradiënten enkel kleiner kunnen zijn dan stationaire, met andere woorden, zelfs met een dynamische F(v rel )-gradiënt kan men de waargenomen oscillaties niet verklaren. Wat wij vaststellen is dat de dynamische F(v rel )-gradiënt wél groter kan zijn dan de statische en dus wél deze oscillaties kan verklaren. De dynamische F(v rel )-gradiënten zijn groter dan c (= 21 kg/s) en rechtvaardigen dus het ontstaan van oscillerend glijden volgens het gelineariseerd model van paragraaf Uit figuur 7.9 volgt dat de best passende exponentiële voor de stap 6 5 een minder groot succes is. De verwachte stationaire d is 14,40 en kan de oscillatie niet verklaren. De 99

113 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef geoptimaliseerde waarde voor de dynamische d is 27,88 kg/s en verklaart opnieuw het tot stand komen van een oscillatie. Figuur 7.9: best passende exponentiële aan de omhullende voor stap 6 5 Trillingen die uitdoven totdat R V = 0 moeten dat volgens vergelijking (1.17) ook doen volgens een gedempte exponentiële. Er zijn twee stappen waarbij de trilling uitdooft tot een oscillatieindex die nul is; beide worden gegeven op de figuren 7.10 (5 6) en 7.11 (3 2). Op figuur 7.10 is er geen sprake van een exponentiële omhullende. Voor deze stapproef wijzigt de oscillatieindex van 1 tot 0. Merk op dat men in deze stap de bifurcatie overbrugt. Dit brengt een vermoedelijk een bijzondere dynamica met zich mee. In de figuur 7.11 ziet men wel een exponentiële. Voor deze stap varieert R V van 0,7 tot 0. Op deze laatste valt het ook op dat de slag van de motor een defasering kan veroorzaken in de op de arm aanwezige oscillatie. De gefitte exponentiële sluit nauw aan; de waarde voor d werd hier geoptimaliseerd op -115,3 kg/s. De volgens hoofdstuk 4 voorspelde d is -114,5 kg/s. De overeenkomst is treffend. Een bijzonder geval van een trilling die uitdooft tot R V =0 is die bij stap 7 6. In principe zouden bij geen van de snelheden 6 en 7 oscillaties tot ontwikkeling mogen komen. Bij deze stap was het echter zo dat de invertor slecht reageerde op het stuursignaal. Er kwam een foutmelding dat de helling van het stuursignaal te groot was, en de motor gaf een bijzonder harde slag toe aan de opstelling. Wat er gebeurt is te zien op figuur De schok van de motor initieert een oscillatie die zo sterk is dat ze terug een tijdlang moet uitsterven. Dit gebeurt keurig volgens een exponentiële met als geoptimaliseerde parameter d = 3,52 100

114 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef kg/s. De volgens hoofdstuk 4 voorspelde d is 13,60 kg/s. Herinner u dat c = 21 kg/s; het uitsterven van oscillatie is dus gerechtvaardigd volgens beide d s. Figuur 7.10: systeemgedrag bij stap 5 6 Figuur 7.11: systeemgedrag bij stap 3 2 Figuur 7.12: systeemgedrag bij stap 7 6 Het kan ook gebeuren dat, wanneer de snelheid van de wrijvingsring v disc na de stap afneemt, de oscillatieindex 1 blijft. In absolute waarde neemt de trilling dan evenwel af. Dit wordt niet beschreven door het model uit Een voorbeeld is stapproef 5 4. Men ziet op figuur 7.13 dat dit voor het voorbeeld 5 4 zeer snel gebeurt; in zone II is het proces afgerond. De omhullende is ook niet erg gelijkend aan een exponentiële. 101

115 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef Figuur 7.13: systeemgedrag bij stap 5 4 Als laatste mogelijke evolutie in de oscillatieindex, is het geval waarbij de oscillatieindex van 1 afneemt naar een waarde lager dan 1 maar groter dan 0. Ook dit wordt niet ondersteund door het gelineariseerde model. Het enige voorbeeld is stap 4 3 (zie figuur 7.14). Omdat de in zone I aanwezige oscillatie erg in fase wordt verstoord door de schok van de motor, daalt ze eerst vlug, waarna ze weer toeneemt. Dit alles speelt zich enkel af in zone II. I II III Figuur 7.14: systeemgedrag bij stap 4 3 Om bovenstaande resultaten iets overzichtelijker te maken, vatten we alles nog eens samen in tabel 7.3. De nadruk ligt op de kwalitatieve beschrijving; exacte getalwaarden voor R V, vindt men terug in paragraaf 7.4. Belangrijke conclusie uit deze tabel is dat wanneer trillingen in intensiteit toenemen tot R V = 1 of uitdoven tot R V = 0, het gelineariseerde model een goede voorspelling levert van de omhullende aan de evolutie van de oscillatie. Eén uitzondering komt op deze regel voor, namelijk voor de stap die de bifurcatie in figuur 7.1 overbrugt. 102

116 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef stap systeem voor stap systeem na stap oscilleert de arm? R V evolutie van de oscillatie omhullende voorspeld uit gelineariseerd model uit omhullende zoals gemeten 1 2 neen 0 oscillatie blijft uit niet van toepassing NVT (NVT) 2 3 neen 0 er ontstaat oscillatie exponentiële stijging tot R V = 1 stijging tot 0 < R V < 1, niet volgens exp. 3 4 ja 0 < R V < 1 oscillatie versterkt exponentiële stijging tot R V = 1 exponentiële stijging tot R V = ja 1 oscillatie blijft exponentiële stijging tot R V = 1 exponentiële stijging tot R V = ja 1 oscillatie verdwijnt exponentiële afname tot R V = 0 afname tot R V = 0 maar niet volgens exp. 6 7 neen 0 oscillatie blijft uit NVT NVT 7 6 neen 0 oscillatie blijft uit NVT er is een belangrijk transiënt-verschijnsel 2 ; exponentiële afname tot R V = neen 0 er ontstaat oscillatie exponentiële stijging tot R V = 1 stijging tot R V = 1, min of meer volgens exp. 5 4 ja 1 oscillatie blijft niet toepasbaar erg vlugge overgang 4 3 ja 1 oscillatie verzwakt niet toepasbaar erg vlugge overgang 3 2 ja 0 < R V < 1 oscillatie verdwijnt exponentiële afname tot R V = 0 exponentiële afname tot R V = neen 0 oscillatie blijft uit NVT NVT Tabel 7.3: kwalitatief overzicht van het systeemgedrag 7.3 Verband tussen de geoptimaliseerde d en de F(v rel )-relatie Voor de stappen 3 4, 4 5, 7 6, 6 5 en 3 2 werd aan de hand van een kleinste kwadratenalgoritme een waarde voor d geoptimaliseerd. Deze d is volgens het model van paragraaf de (dynamische) F(v rel )-gradiënt, en werd in paragraaf 7.2 reeds zo genoemd. We moeten echter nakijken of dit wel zinvol is. Hiertoe zouden we voor deze stappen het trajectorie van de wrijvingscoëfficiënt willen uitzetten in functie van de relatieve snelheid. Volgende zaken spelen ons echter parten: Op de wrijvingscoëfficiënt komt een erg sterke ruis voor in zone II van de stapproef. Op de relatieve snelheid komt overal enige ruis voor die voortkomt van de ruis op de meting van de snelheid van het oliebad. Een grafiek maken van F(v rel ) heeft in zone II van de stapproef dus zeker geen zin. Indien echter de oscillatie in zone III nog niet stabiel geworden is, en de omhullende daar nog steeds volgens een exponentiële verloopt, zou de helling van het F(v rel )-verloop nog steeds d moeten zijn. In dit gebied hebben we enkel te maken met de ruis op de relatieve snelheid, die de 2 De manipulatie resulteerde in een abnormaal hevige schok van de motor en een fout van de invertor. 103

117 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef grafiek evenwel verstoort, maar niet waardeloos maakt. We kunnen dit nu doen voor de stappen 3 4, 4 5 en 6 5. Een voorbeeld is gegeven in figuur Wanneer men voor het F(v rel )-trajectorie gedurende 1 enkele oscillatie een rechte trekt die door de punten gaat bepaald door de uiterste waarden voor v rel tijdens die oscillatie, vindt men de beste benadering van d, aan de hand van de helling van deze rechte. Voor het voorbeeld van figuur µ 0,170 0, vindt men bijvoorbeeld d = 2 F kg kg N = = 37, 11 v 16,25 64,75 s s rel waar de geoptimaliseerde waarde 37,24 kg/s bedroeg. Dit is een sterke indicatie dat d wel degelijk overeenkomt met een karakteristieke helling van de dynamische F(v rel )-curve. Figuur 7.15: F(v rel ) trajectorie voor 1 oscillatie, voor de stap 3 4 voor t=4,31...4,38s 7.4 Kwantitatieve beschrijving van het systeemgedrag Tabel 7.4 geeft een aantal numerieke gegevens betreffende het systeemgedrag tijdens de ongedempte stapproeven type 1. De oscillatieindex werd gemeten op dezelfde wijze als dat in stap systeem vóór stap systeem na stap oscilleert de arm? R V gemeten R V voorspeld evolutie van de oscillatie regime bereikt na R V gemeten R V voorspeld 1 2 neen 0,052 0,047 oscillatie blijft uit 0,3 s 0,038 0, neen 0,035 0,048 er ontstaat oscillatie 1 s 0,64 0, ja 0,55 0,69 oscillatie versterkt 2 s 0,94 0, ja 0,93 0,95 oscillatie versterkt licht 2 s 1,03 1, ja 0,98 1,02 oscillatie verdwijnt >5 s / 0, neen 0,042 0,073 oscillatie blijft uit >5 s / 0, neen 0,020 0,019 oscillatie blijft uit;zelfde 2 s 0,041 0,073 opm als in tabel neen 0,033 0,073 er ontstaat oscillatie 3 s 1,01 1, ja 1,02 1,02 oscillatie verzwakt licht 0,25 s 0,87 0, ja 0,92 0,96 oscillatie verzwakt 1 s 0,54 0, ja 0,54 0,69 oscillatie verdwijnt 1 s 0,037 0, neen 0,033 0,048 oscillatie blijft uit 0,3 s 0,047 0,047 Tabel 7.4: kwantitatief overzicht van het systeemgedrag 104

118 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef het verwerkingsprogramma voor de quasi-statische metingen gebeurt, natuurlijk enkel voor oscillaties die in regime gekomen zijn. Deze wordt in tabel 7.4 naast de oscillatieindex gelegd die men zou verwachten door lineaire interpolatie in de quasi-statische meting uit hoofstuk 4. Dat de gemeten oscillatieindex telkens zeer goed overeenkomt met de verwachting, wordt duidelijk aan de hand van figuur quasi-statische meting waarden uit tabel 7.4 oscillatieindex [-] 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, , snelheid wrijvingsring [mm/s] Figuur 7.16: gemeten oscillatieindex tijdens stapproeven vs. de verwachting uit quasi-statische meting 7.5 Besluiten Belangrijke conclusies uit dit hoofdstuk zijn: De trillingen die na een stap ontstaan, liggen volkomen binnen de lijn van de verwachting eens regime is bereikt. Alvorens een oscillatie kan ontstaan, is een verstoring van de rusttoestand nodig. Net na het aansturen van de stap, geeft de motor een sterke schok aan de opstelling. Wanneer na de stap een oscillerend glijdende trilling tot stand komt, en er voor de stap nog geen voorkwam, wordt deze door de schok in gang gezet. Wanneer er voor de stap reeds een oscillatie op de arm aanwezig was, kan deze door de schok in fase worden verstoord. Wanneer na de stap een oscillerend glijdende trilling tot stand komt, is de wijze waarop ze evolueert tot een stabiele oscillatie in te schatten volgens: 1. Wanneer stabiele trillingen tot stand komen met R V = 1, ziet men een omhullende die meestal zeer goed door een exponentiële kan benaderd worden. 105

119 Hoofdstuk 7. Reactie van het systeem op een stapproef 2. Wanneer er trillingen uitdoven tot R V = 0, ziet men een omhullende die zeer goed door een exponentiële kan benaderd worden, behalve wanneer de stap te de bifurcatie overbrugt uit figuur In andere gevallen, kan men geen uitspraak doen. Ingeval de omhullende een exponentieel verloop vertoont, werd een best passende exponentiële gefit en de geoptimaliseerde waarde voor d berekend. Dit is een dynamische (en geen statische) F(v rel )-gradiënt. Het ontstaan of verdwijnen van oscillaties wordt telkens gerechtvaardigd door het verschil tussen de demping c en de dynamische F(v rel )-gradiënt. Dynamische F(v rel )-gradiënten kunnen wél groter zijn dan statische; dit in tegenspraak met de literatuur [2]. Dit heeft een erg belangrijke consequentie. Wanneer de stationaire F(v rel )-gradiënt kleiner is dan c, stelt men in de praktijk vast dat soms tóch oscillaties voorkomen. Van De Velde [2] beweert dat dynamische F(v rel )-gradiënten kleiner zijn dan stationaire, met andere woorden, zelfs met een dynamische F(v rel )- gradiënt kan men deze oscillaties niet verklaren. Wat wij vaststellen is dat de dynamische F(v rel )-gradiënt wél groter kan zijn dan de statische en wél deze oscillaties kan verklaren. 106

120 Hoofdstuk 8. Modelleren van de wrijvingsdynamica Hoofdstuk 8 : Modelleren van de wrijvingsdynamica 8.1 Inleiding De laatste etappe in de strategie om een wrijvingsmodel te identificeren, dient zich aan. De strategie werd in hoofdstuk 3 vooropgesteld en in hoofdstuk 5 vervolledigd tot het schema van figuur 8.1. Het stuursignaal werd gekozen in hoofdstuk 3 en de dynamica van de aandrijving werd geïdentificeerd in hoofdstuk 5. De wens is nu om de wrijving µ(t) te identificeren, het enige wat ons volgens dit schema nog rest om de dynamica van de wrijving te achterhalen. Dynamica van Dynamica van v stuur (t) de aandrijving v disc (t) de wrijving µ (t) Figuur 8.1: blokschema tot het vinden van de wrijvingsdynamica Dit blijkt helaas een droomscenario te zijn. In hoofdstuk 6 werd reeds geopperd dat het identificeren van de wrijving aan de hand van onze stapproeven niet evident is. Dit hoofdstuk is een denkproces over wat ons hindert op de weg naar een wrijvingsmodel. Het is tevens de aanloop naar het volgende hoofdstuk, waar hiervoor een mogelijke oplossing wordt geboden. 107

121 Hoofdstuk 8. Modelleren van de wrijvingsdynamica 8.2 Moeilijkheden met de identificatie van de wrijvingsdynamica In hoofdstuk 6 is men tot het besluit gekomen dat in de fase van de stapproef waar de wrijvingsdynamica naar buiten komt, een ernstige storing voorkomt afkomstig van een parasitair trillingsverschijnsel. Dit maakt het onmogelijk om de laatste stap in de strategie tot het bekomen van een wrijvingsmodel, namelijk het identificeren van de wrijving, te voltooien. Er is echter ook gebleken dat de wrijving aan een dynamica beantwoordt die tijdsconstanten heeft die in verschillende ordes van grootte liggen. Deze die in het kader van onze stapproeven werden vastgesteld, worden besproken in paragrafen en Invloed van de tijd op de wrijvingscoëfficiënt Wat hier volgt is een verdere interpretatie van de gegevens uit tabel 6.1 (volgend uit stapproeven met demper). Om in te zien wat er gebeurt, is het van belang om te weten hoe de stapproeven elkaar opvolgen. Voert men bijvoorbeeld de stap 1 2 uit, dan blijft na de proef het oliebad draaien op de constante snelheid 2. Na een tweetal minuten gaat de stap 2 3 door. In principe moet de wrijvingscoëfficiënt in zone III van de stap 1 2 dezelfde zijn als deze in zone I van 2 3, tussen beide zones komt immers geen onderbreking voor. Het tegendeel wordt echter vastgesteld. De wrijvingscoëfficiënt in zone III is telkens kleiner dan deze in zone I van de daaropvolgende stapproef. Om de impact hiervan te snappen, bekijken we opnieuw figuur Men verwacht dat wanneer we een stap uitoefenen die het oliebad vertraagt, de wrijvingscoëfficiënt zal toenemen. Maar dit ziet men pas gebeuren op lange termijn: aanvankelijk (in zone III van de stapproef) neemt de wrijvingscoëfficiënt af in plaats van toe. Pas na lange tijd in steady-state te verkeren (zone I van de daaropvolgende proef), wordt de wrijvingscoëfficiënt groter dan vóór de stap het geval was. Dit is een belangrijke constatatie. Men zou kunnen argumenteren dat het verschil in wrijvingscoëfficiënt binnen de meetfout valt (0,007). Dit is echter niet de juiste manier van denken. Het is niet de meetfout maar het kleinst detecteerbare verschil (0,000008) dat hier van toepassing is. Voor de meetfout van de wrijvingscoëfficiënt telt bijvoorbeeld ook de onzekerheid waarmee men de mechanische parameters kent mee. Indien het doel is om zeker te zijn of een gemeten verschil in wrijvingscoëfficiënt voor en na de stap zinvol is, doen mechanische parameters hier niets toe. Voor en na de stap zijn de mechanische parameters ongewijzigd. Ze moeten vanuit dit 108

122 Hoofdstuk 8. Modelleren van de wrijvingsdynamica oogpunt als constanten zonder meetonzekerheid beschouwd worden. Voor meer details verwijzen we naar appendix A. Aan de hand van de figuren 8.2 en 8.3 kan men de evolutie van de wrijvingscoëfficiënt in functie van de tijd bekijken. Figuur 8.2 behandelt de stapproeven in versnellingsrichting, figuur 8.3 deze in de zin van vertraging. Op beide figuren neemt, voor een bepaalde v disc, de wrijvingscoëfficiënt toe in de tijd van de waarde gesymboliseerd door het bolletje tot deze aangeduid met het vierkantje. Op grafische wijze is hier duidelijk dat de tijdsevolutie voor stappen in vertragingsrichting heel wat belangrijker is dan deze voor versnellingsrichting. Ze is voor kleinere snelheden ook groter dan voor grote snelheden. na 2 minuten steady-state net na de stap 0,18 0,16 wrijvingscoëfficiënt [-] 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0,001 0,01 0,1 1 v disc [m/s] Figuur 8.2: tijdsafhankelijkheid van de wrijvingscoëfficiënt voor stappen in versnellingsrichting na 2 minuten steady-state net na de stap 0,18 0,16 wrijvingscoëfficiënt [-] 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0,001 0,01 0,1 1 v disc [m/s] Figuur 8.3: tijdsafhankelijkheid van de wrijvingscoëfficiënt voor stappen in vertragingsrichting 109

123 Hoofdstuk 8. Modelleren van de wrijvingsdynamica Het loont de moeite na te denken over het waarom van deze vaststelling. Reeds in paragraaf had men het over de tijdsafhankelijkheid van de wrijving. In betrekking (2.21) komen als parameters naar voren: een karakteristieke tijd van de relatieve beweging de maximale snelheid tijdens de relatieve beweging de statische wrijvingscoëfficiënt voorafgaand aan de relatieve beweging De twee eerste bepalen de toenemende scheiding tussen de oppervlakken en dus de daling van de wrijvingscoëfficiënt tijdens de relatieve beweging. De derde geeft informatie over de initiële scheiding tussen de wrijvingsoppervlakken. Dit model, dat zich toespitst op de slipepisode van een stick-slip beweging, is spijtig genoeg niet goed bruikbaar voor deze toepassing. We kunnen geen duiding geven over een statische wrijvingscoëfficiënt voorafgaand aan de relatieve beweging bij een stapproef. Een ander model is beter bruikbaar. De betrekking die Tolstoi [14] afleidde, en Van De Velde [2] uitbreidde voor het geval van smering tussen de wrijvingsoppervlakken, kwam reeds aan bod als formule (1.27) en helpt ons in te zien wat er gebeurt. df d = dv ( v, H ) F( v, H ) dh F( v, H ) rel rel = rel H dv rel + rel v rel (1.27) De wrijvingskracht is functie van H, de normale afstand tussen de wrijvende oppervlakken. Deze hangt op haar beurt af van de relatieve snelheid, onder invloed van hydrodynamische effecten en interactie tussen ruwheidspieken. De factor hogere dv rel geldt: er is een grotere hydrodynamische drukopbouw in de contactzone er is minder tijd om smeermiddel uit contactzone te persen dh dvrel is positief, immers bij er zijn meer normale trillingen die door ruwheidspieken worden gegenereerd We weten dat op het moment dat de stap wordt aangestuurd, de motor een hevige schok verspreidt door de opstelling, die de arm aan het trillen brengt en een bruuske verhoging van de relatieve snelheid 3 tot gevolg heeft (tot 10% op 0,01s). Daar dv rel groot is en dvrel 0, neemt de normale afstand toe, nog voor de snelheid van het oliebad is gewijzigd. dh > Men kan intuïtief aanvoelen dat de normale afstand zal toenemen onder invloed van de trilling die voortkomt van de motor. Deze trilling zal namelijk onder invloed van de 3 Ideaal zou zijn mochten we de verandering van de relatieve snelheid kunnen observeren in een grafiek. Omdat er op de meting van de snelheid van het oliebad zeer veel ruis voorkomt, kunnen we geen nauwkeurige grafiek maken; het gaat hier immers om zeer snelle veranderingen van de relatieve snelheid. We moeten ons helaas beperken tot een kwalitatieve beschrijving. 110

124 Hoofdstuk 8. Modelleren van de wrijvingsdynamica ruwheidspieken resulteren in een normale trilling. De ruimte tussen de wrijvingsoppervlakken die hierbij vrijkomt, kan zich nu opvullen met smeermiddel. Men herinnert zich uit hoofdstuk 6 dat een stap in de richting van vertraging blootstond aan een hevigere schok dan de corresponderende stap in de richting van versnelling. Ook was het zo dat het relatieve belang van de schok kleiner werd naarmate men bij hogere snelheden ging werken, omwille van het feit dat onbalans van de aandrijving daar ook al de opstelling aan het rammelen bracht. Hoe groter het belang van de schok, des te meer zal de normale afstand toenemen. De trilling van de arm begint in hevigheid af te nemen min of meer vanaf het moment waarop de stap plaatsgrijpt. De stap zelf geeft ook een verandering in relatieve snelheid, maar dv rel is ongeveer vijftien keer kleiner. De invloed van de stap zelf op de toename van de normale afstand zal dus van gering belang zijn, en wordt hier verwaarloosd. Aangezien de normale trillingen na de stap terug afnemen, zal ook de normale afstand terug verminderen. De smeerfilm zal geleidelijk aan terug wat worden uitgeknepen. Men schrijft: dh dt v rel < 0 We schrijven nu (8.1) df( vrel, H ) dt F( vrel, H ) = H dh dt vrel v rel (8.2) Uit tabel 1.7 herinneren we ons dat F( v rel, H ) < 0 (8.3) H Immers, verhoging van de normale afstand vermindert de werkelijke contactoppervlakte in grens- en gemengd smeringsgebied en dus ook de wrijvingskracht. Er volgt dus dat df( v rel dt, H ) v rel > 0 (8.4) ongeacht of de stap nu versnellend of vertragend is. De groei van de wrijvingscoëfficiënt in de tijd wordt hier dus verklaard door de schok afkomstig van de motor. Hoe groter het belang van de schok, des te groter is de toename van de wrijvingskracht in de tijd. De toename van de wrijvingskracht is traag, te verwachten dat deze in de grootte-orde van een minuut valt. 111

125 Hoofdstuk 8. Modelleren van de wrijvingsdynamica Hysteresis van de wrijving We keren even terug naar de quasi-statische metingen, meerbepaald figuren 4.1b en 4.1c. Wanneer een oscillerend glijdende trilling op de arm voorkomt (geval zonder demper op de arm), neemt men een hysteresis op de wrijvingscoëfficiënt waar volgens de positieve richting van de klok. Hier kan volgens [2] men een dynamica verwachten met een tijdsconstante die van de grootte-orde is van de eigenperiode van het mechanische systeem. 8.3 Aantal denkpistes voor wrijvingsmodellen Polynomiale F(v rel )-relatie Uit hoofdstuk 4 was reeds duidelijk dat de trillingen in quasi-statische omstandigheden niet kunnen voorspeld worden op basis van een gelineariseerde F(v rel )-relatie. Wanneer de trillingen nog pril zijn, zijn hogere orde termen verwaarloosbaar, zodat die niet nodig zijn bij het voorspellen van oscillaties. Zelfs een polynomiale F(v rel )-relatie kan dus geen valabel trillingsmodel zijn Dynamische F(v rel )-relatie Ost [1] doet het voorstel van een wrijvingsdynamica van de vorm die weergegeven is in figuur 8.4. De f(v rel ) is een polynoom die de best passende veeltermfunctie (van een bepaalde graad) is aan de stribeckcurve in een bepaald gebied van de snelheid v disc. Daaraan wordt een dynamisch element toegevoegd dat een dode-tijd en een invloed van de versnelling in rekening brengt. v rel (t) f(v rel ) ( 1 + βs) e τ µ (t) Figuur 8.4: voorstel van wrijvingsdynamica volgens [1] Ost komt niet tot een besluit over de geldigheid van dit modelvoorstel. 112

126 Hoofdstuk 8. Modelleren van de wrijvingsdynamica Wij kiezen ervoor deze voorspelling te controleren aan de hand van het pakket SIMULINK. Een polynoom f(v rel ) bepalen we met de wrijvingscoëfficiënten bepaald in zone I van de stapproeven (in regime). De best passende derdegraadskromme wordt getoond in figuur 8.4 en luistert naar de vergelijking f ( v rel ) 2 3 [ ] = 0,1563 0,1856v + 0,3449v 0,207v met v [ m / s] (8.5) rel rel Vergeet niet dat voor deze wrijvingsmetingen een demper gebruikt werd en dat dus v rel = v disc. rel rel f(v rel ) [-] 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0,001 0,01 0,1 1 v disc [m/s] Figuur 8.4: best passende derdegraadskromme door wrijvingscoëfficiënten in steady-state Dit stoppen we nu in SIMULINK om het systeem te simuleren in het geval zonder demper. Het opgebouwde blokschema kan men bekijken op figuur 8.5. Het is volgens ons niet mogelijk om een combinatie van parameters τ en β te vinden waarvoor de oscillerend glijdende trillingen kunnen voorspeld worden voor quasi-statische omstandigheden (constante v disc gelegen binnen het interval waarvoor de derdegraadskromme is opgesteld). v disc µ(t) x& (t) Figuur 8.5: simulink blokschema ter simulatie van het ongedempte systeemgedrag 113

127 Hoofdstuk 8. Modelleren van de wrijvingsdynamica 8.4 Besluiten Het is ten zeerste de vraag of men de volledige dynamica van de wrijving kan achterhalen met een stapproef. Het effect besproken in heeft een grote tijdsconstante (in de grootteorde van een minuut) en wordt toegeschreven aan een parasitair trillingsverschijnsel (de schok die de motor afgeeft bij het aansturen van een stap). Bovendien zorgt deze schok ervoor dat identificatie van de wrijving onmogelijk wordt. Daar willen we dus vanaf. Verder is het ook zo dat de dynamica besproken in een heel kleine tijdsconstante heeft (die van het mechanisch systeem). Wij missen dit deel van de dynamica omdat we het systeem net niet snel genoeg exciteren. Met onze stapproeven zijn we dus niet volledig op het goede spoor. Ook al zouden we erin slagen om de stap snel genoeg aan te leggen zodat die in de grootte orde ligt van de reactietijd van het systeem, zelfs dan nog kunnen we geen besluiten trekken indien we het parasitaire trillingsverschijnsel niet wegkrijgen. We zouden dus best uitkijken naar een ander type proeven. Dit wordt verder uitgewerkt in hoofdstuk 9. Het is verder erg waarschijnlijk dat het dynamisch wrijvingsmodel van Ost [1] onjuist is. 114

128 Hoofdstuk 9. Perspectieven voor verder onderzoek Hoofdstuk 9 : Perspectieven voor verder onderzoek 9.1 Inleiding Het onderzoek naar een model voor de wrijving, dat in voorgaande hoofdstukken gevoerd werd, vertoont heel wat onvolmaaktheden. In dit hoofdstuk worden de noden naar aanvullend onderzoek toe, op een rijtje gezet. Aan de hand hiervan worden nieuwe proeven en een aanpassing aan de proefstand voorgesteld. Men zoekt voor de gewijzigde proefopstelling een passend mechanisch model, en werkt een procedure ter kalibratie van de mechanische parameters in dat model uit. De praktische wijzigingen die nodig zijn aan de proefstand, worden op schematische wijze weergegeven. 9.2 Drijfveren voor het voortgezet onderzoek Het voortgezet onderzoek heeft als doel volgende hiaten op te vullen: 1 Wat wij in hoofdstuk 4 trachtten te doen, en wat Ost [1] ons ook heeft voorgedaan, was op basis van een gelineariseerd wrijvingsmodel het ontstaan van oscillerend glijdende trillingen voorspellen. Dit kwam neer op het bepalen van de helling van de F(v rel )-relatie in het werkingspunt. Er is duidelijk gebleken dat het model hiertoe niet bruikbaar was. 115

129 Hoofdstuk 9. Perspectieven voor verder onderzoek Uit de literatuur hadden we echter a priori kunnen weten dat dit niet zou lukken. Wij maakten immers gebruik van de statische F(v rel )-gradiënt volgend uit een meting type Stribeck. Dit is in strijd met Van De Velde [2] (zie paragraaf 1.7.2). Deze laatste wijst erop dat het de dynamische F(v rel )-gradiënt is, bij een relatieve beweging met dezelfde tijdsconstante als deze van het mechanisch systeem, waarvan rekenschap moet genomen worden bij het bestuderen van wrijvingstrillingen. Er is namelijk een nauwe samenhang tussen de µ(v rel )-relatie en de wijze waarop de v rel gevarieerd wordt. Verder onderzoek naar de exacte samenhang van de µ(v rel )-relatie en de wijze waarop v rel gevarieerd wordt, is hier dus nodig. 2 Om bij de stapproeven het systeem voldoende uit te dagen, wilden we een zeer bruuske verandering in de snelheid van het oliebad opleggen. De motor slorpte hiertoe een erg groot vermogen op, met als neveneffect een hevige schok die de hele opstelling aan het trillen bracht. Hierdoor kwam net in de zone waar de dynamica van de wrijving naar boven kwam, een storend trillingsverschijnsel voor. In paragraaf werd aangetoond dat de dynamica van de wrijving hierdoor vertekend werd. We willen af van deze parasiet. 3 Om de wrijvingsdynamica ten volle aan de oppervlakte te laten komen, moeten we ten opzichte van het systeem snel genoeg exciteren (tijdsconstante 0,4 à 0,6 maal de eigenperiode van het mechanisch systeem). Met onze stapproeven kwamen wij weliswaar dicht in de buurt (typisch een tijdsconstante die anderhalve keer bedraagt van wat we eigenlijk nodig hebben), maar we kwamen er net niet. We wensen dus aanvullende proeven die snel genoeg zijn. 4 In hoofdstuk 4 merkten we dat als men, eens oscillerend glijden tot stand is gekomen, het trajectorie uitzet van de wrijvingscoëfficiënt in functie van de relatieve snelheid, er hierin hysteresis te observeren is. Dit wijst er terug op dat de µ(v rel )-relatie afhangt van de wijze waarop v rel gevarieerd wordt. Als conclusie stellen we, dat we de invloed van de wijze waarop de relatieve snelheid gevarieerd wordt op de µ(v rel )-relatie willen opmeten. Hiertoe wensen we een externe excitatie aan te brengen die ten opzichte van het systeem snel is, en geen parasitaire trillingen opwekt. 9.3 Fundamenten van het voortgezet onderzoek 116

130 Hoofdstuk 9. Perspectieven voor verder onderzoek Principe Om het opzet van de aanvullende proeven waar te maken, denken we aan het opmeten van µ(v rel ) bij een opgelegde variatie van v rel door een extern aangebrachte oscillatie. Men kan deze oscillatie opleggen met een elektrodynamische shaker (zie 9.5). De kracht F ext wordt continu gemeten door een loadcell. De oscillatie is sinusoïdaal, en de frequentie wordt bepaald door de instelling van de stroombron van de shaker, die stroomgestuurd is (zie 9.5.1) Aangepast mechanisch model Het mechanisch model komt tot stand door op figuur 1.6 een externe excitatie aan te brengen. k x m F ext c F F v disc Figuur 9.1: uitgebreid mechanisch model voor verdergaande proeven De bewegingsvergelijking wordt: m & x + cx& + kx = F + (9.1) F ext Kalibratie van de mechanische parameters Voor het bepalen van de stijfheid k verandert er in principe niets; men kan terug werken aan de hand van dode gewichten, zoals in paragraaf uitgewerkt werd. Voor het bepalen 117

131 Hoofdstuk 9. Perspectieven voor verder onderzoek van de massa en de demping dient men evenwel een nieuw procédé op te stellen. Dit wordt hieronder ontwikkeld. De elektrodynamische shaker is in principe stroomgestuurd (zie 9.5.1). We veronderstellen dat hij gevoed wordt vanuit een regelbare stroombron met een gekende frequentie ω, die we als parameter op de stroombron zelf kunnen kiezen. We nemen de glijschoenen weg uit de proefstand, zodat de roteerbare arm enkel de externe oscillatie ondervindt. De bewegingsvergelijking in dat geval is m& x + cx& + kx = Fext = F 0 cos( ωt) (9.2) De amplitude van de excitatie F 0 meten we met een loadcell gepositioneerd tussen de shaker en de roteerbare arm. Eens de amplitude gekend, is de excitatie volledig bepaald en komen enkel in het linkerlid nog onbekenden voor (de stijfheid veronderstellen we reeds gekalibreerd). We voeren nu opnieuw in: k c ω n =, ζ = (9.3) m 2 km om te komen tot 2 F0 & x&+ 2ζω n x& + ωn x = cos( ωt) (9.4) m De oplossing van deze differentiaalvergelijking bevat een transiënte term en een oplossing in steady-state: x( t) = x ( t) x ( t) (9.5) tr + ss De transiënte term bevat de beginvoorwaarden, vervat in coëfficiënten A en B. x tr ( t) = e ζωnt 2 2 ( Acos( 1 ζ ωnt) + B sin( 1 ζ ωnt) ) In het transiënte gedeelte van de oplossing zijn we niet geïnteresseerd. We laten het overgangsverschijnsel uitsterven tot we overhouden: F0 x ss ( t) = X cos( ωt + π φ) (9.7) k waarin (9.6) X = r (2ζ 1) r (9.8) 2ζ r φ = arctan( ) (9.9) 2 1 r 118

132 Hoofdstuk 9. Perspectieven voor verder onderzoek ω r = (9.10) ω n Een handige visualisatie van de verplaatsing van de arm x ss (t) is het Bode diagram, dat men vindt in figuur 9.2, en waarbij de amplitudeversterking en het faseverschil ten opzichte van de sinusoïdale excitatie op een semi-logaritmisch diagram worden weergegeven. ζ = 0,1 ζ = 0,2 ζ = 0,3 ζ = 0,5 ζ = 0,7 ζ = 1,0 ω ω n [-] ζ = 0,1 ζ = 0,2 ζ = 0,3 ζ = 0,5 ζ = 0,7 ζ = 1,0 ω ω n [-] Figuur 9.2: Bode diagram van de verplaatsing van de arm 119

133 Hoofdstuk 9. Perspectieven voor verder onderzoek De praktische aanpak zal de volgende zijn. Men stelt een ω in op de stroombron van de shaker. Men meet synchroon de verplaatsing van de arm x ss (t) en de kracht F ext (t), respectievelijk met het lasermeetsysteem en een loadcell. Uit deze metingen zal men aan de hand van een MATLAB-programma de waarden voor X en φ kunnen bepalen. Volgens het stelsel gegeven door vergelijkingen (9.8) en (9.9) bepaalt men ω n en ζ. Men herhaalt dit voor een tiental goed gekozen frequenties ω. Van de aldus bepaalde ω n en ζ neemt men de gemiddelde waarde om aan de hand van (9.3) de demping en de massa te berekenen Aard van de proeven Hieronder worden twee types van proeven voorgesteld. De wrijvingscoëfficiënt wordt voor elk van deze types overeenkomstig de bewegingsvergelijking (9.1) uitgerekend volgens de betrekking µ ( t) = mx && + cx& + kx F 2 F N cos( 0 ω t) (9.11) Type 1 Een bepaald aantal goed gekozen frequenties ω wordt ingesteld. De µ(v rel )-relatie wordt voor elke excitatiefrequentie opgemeten. In eerste instantie probeert men hiermee de samenhang van de µ(v rel )-relatie en de wijze waarop v rel gevarieerd wordt onder invloed van de shaker, te begrijpen. Metingen zullen met demper geschieden, zodat de arm de oscillatie van de shaker volgt zonder dat er bijkomende wrijvingsgeïnduceerde trillingen voorkomen. Zinvol zou ook zijn om na te trekken wat er gebeurt met de helling van de F(v rel )-relatie wanneer het systeem vlugger wordt geëxciteerd. Van De Velde [2] (zie paragraaf 1.7.2) beweerde dat hoe sneller de relatieve snelheidswijziging zich afspeelt ten opzichte van het systeem, des te langzamer zal de F(v rel )-relatie dalen. In hoofdstuk 7 zagen wij dat het anders was: de parameter d bij de stapproeven was groter dan de statische, wat gezien de tekenconventie voor d betekent dat de F(v rel )-relatie in het dynamische geval sterker zou dalen. Het zou interessant zijn meer in detail te onderzoeken wat er gebeurt met de helling. Men zou moeten nakijken indien er een frequentie bestaat waarvoor geldt dat als men exciteert aan deze frequentie, men de bekomen F(v rel )-relatie en meerbepaald de helling ervan kan gebruiken om trillingen te voorspellen. Zou dit misschien de eigenfrequentie kunnen zijn? 120

134 Hoofdstuk 9. Perspectieven voor verder onderzoek Type 2 We trekken na of wat in paragraaf 1.8 vermeld wordt, ook effectief kan vastgesteld worden. Het gaat om het milderen van wrijvingsgeïnduceerde torsietrillingen door het opleggen van een hoogfrequente trilling. [13] stelt dat het mogelijk is, maar zonder experimenteel bewijs. Het zou dus goed zijn om na te kijken, of men erin zou slagen een oscillatie - die ontstaat bij een bepaalde snelheid van het oliebad - te doen verdwijnen door het systeem (hoogfrequent) te exciteren. Vanzelfsprekend zal men hier geen demper inschakelen. 9.4 De elektrodynamische shaker Principe Figuur 9.3 is een principeschets van een elektrodynamische shaker [18]. Een spoel is omheen een beweegbare kern gewikkeld en dit geheel bevindt zich in een magnetisch veld. De kern kan een translatie ondergaan naargelang de stroom die door de spoel gestuurd wordt. De shaker is dus stroomgestuurd. [18] waarschuwt ervoor dat de input/output karakteristiek niet lineair is over het gehele frequentiebereik. Indien een specifieke excitatie, zoals een sinusoïdale, gewenst is, dient men dit met de nodige omzichtigheid te doen. Figuur 9.3: principeschema van een elektrodynamische shaker [18] 121

135 Hoofdstuk 9. Perspectieven voor verder onderzoek Beschikbare shaker in het laboratorium In het laboratorium is een elektrodynamische shaker beschikbaar van het Amerikaanse merk Vibration Test Systems. De catalogusgegevens kan men terugvinden in tabel 9.1. geschatte amplitude van de kracht F 0 65 lbf = 29,5 kg = 290 N piek tot piek waarde van de dynamische slag 0,75 = 19 mm limietslag 1 = 25,4 mm geschatte snelheid 70 in/s = 1,78 m/s maximale versnelling 100g = 981 m/s² laagste resonantiefrequentie 4500 Hz nuttig frequentiebereik Hz nominale impedantie 6 Ω benodigd vermogen (éénfasig) bij 50 Hz net 14 A bij 120 V Tabel 9.1: Catalogusinformatie beschikbare shaker Een foto van de shaker vindt men terug als figuur 9.4. Op het bewegende uiteinde is een vermoeiingsbestendig hefboomsysteem bevestigd, bestaande uit twee bladveren die loodrecht ten opzichte van elkaar geplaatst zijn. Dit hefboomsysteem herschaalt de translatie met een verhouding 100/1. Dit wil zeggen dat de maximale slag van de hefboomsarm 19 µm bedraagt. Voor onze toepassing zullen wij de hefboomsarm wegnemen. De shaker is geplaatst in een stoel, die niet de originele is, maar ontworpen is voor een andere proefstand in het laboratorium. De originele stoel is evenwel nog beschikbaar. Figuur 9.4: beschikbare shaker in labo Soete 122