en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ = g ( n), waarbij g ( ) = + met > 0. 2 In de figuur op de uitwerkbijlage zijn de grafiek van g en de lijn y = getekend. In deze figuur is op de -as een getal 0 gekozen. 3p Teken in deze figuur met behulp van een webgrafiek de bijbehorende plaatsen van 2 op de -as. De rij 0, 2, convergeert. De grafiek van g heeft één top. 5p 2 Toon aan dat de limiet van de rij 0, 2, eact gelijk is aan de -coördinaat van de top van de grafiek van g. en nulpunt van een functie f kan in het algemeen snel benaderd worden met f ( n ) de recursievergelijking n+ = n f ' ( n) bij een geschikte keuze van 0. Deze benaderingsmethode noemt men de methode van Newton-aphson. assen we deze methode toe voor een benadering van het nulpunt 2 van f( ) = 2 2 dan volgt hieruit de gegeven recursievergelijking n+ = 2 n +. n f ( n) 4p 3 Toon aan dat deze laatste vergelijking volgt uit de vergelijking n+ = n f ' ( n). www. - -
uitwerkbijlage 3 y g y = 2 O 0 2 3 www. - 2 -
Wachten op de bus ij een evenement worden mensen vanaf een opstapplaats per bus vervoerd naar de ingang van de evenementenhal. Voortdurend pendelen drie bussen tussen de opstapplaats en de ingang. De reistijd van een bus (van de opstapplaats naar de ingang en terug) is gemiddeld 60 minuten. In figuur is de situatie weergegeven dat na elke 20 minuten een bus vertrekt. Neem aan dat voor mensen die met de bus mee willen, elk aankomsttijdstip op de opstapplaats even waarschijnlijk is. en bezoeker aan het evenement komt dus met kans in elk van de drie tijdsintervallen tussen de vertrekkende 3 bussen aan en voor elk van die tijdsintervallen is de te verwachten wachttijd 0 minuten. De verwachtingswaarde van de wachttijd is dus 0 + 0 + 0 = 0 minuten. 3 3 3 In figuur 2 is de situatie weergegeven dat de bussen vertrekken met tussenpozen van 0, 20 en 30 minuten. figuur figuur 2 4p 4 ereken in de situatie van figuur 2 de verwachtingswaarde van de wachttijd voor een bezoeker aan het evenement. De reistijd van de bussen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 60 minuten. Het kan natuurlijk voorkomen dat een rit wat langer of wat korter duurt. Men vindt dit acceptabel zo lang niet meer dan 0% van de ritten langer duurt dan 65 minuten. 4p 5 ereken de maimale standaardafwijking van de reistijd van een bus waarbij aan deze eis voldaan is. Veronderstel dat de reistijden van de bussen onafhankelijk zijn en alle een standaardafwijking van 3,4 minuten hebben. We bekijken twee opeenvolgende bussen. 4p 6 ereken de kans dat de eerste bus meer dan 65 minuten over de rit doet en de tweede bus minder dan 55 minuten. www. - 3 -
en buiteling en lijnstuk met een lengte van π meter buitelt over een halve cirkel waarvan de straal O meter is. In figuur zijn de beginstand, twee tussenstanden en de eindstand getekend. Het punt waarin raakt aan de halve eenheidscirkel noemen we. Dus op elk moment staat loodrecht op O en is het lijnstuk even lang als de cirkelboog. figuur O beginstand: = O O O eindstand: = Het lijnstuk buitelt zó dat met snelheid m/s over de halve cirkel beweegt. Op tijdstip 0 begint aan de buiteling; dan is het punt nog in het punt. r wordt een rechthoekig assenstelsel aangebracht zo dat O het punt (0, 0) is en het punt (, 0). Zie figuur 2. figuur 2 y t - t O www. - 4 -
In figuur 2 is het lijnstuk op tijdstip t getekend voor een waarde van t tussen 0 en π. Omdat de straal van de halve cirkel m is en de snelheid van gelijk is aan m/s, geldt O = t (rad) en = t (m). Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. Voor de coördinaten van geldt: () t = cos() t + t sin() t y( t) = sin( t) t cos( t) met 0 t π. 5p 7 Toon de juistheid aan van de formule voor () t met 0 t π. In figuur 3 zijn drie standen van getekend en de gehele baan van. figuur 3 y 2 O De grootte van de snelheid in m/s van het punt na t seconden noemen we 2 2 vt (). r geldt: vt ( ) = ( 't ( )) + ( y't ( )). Hieruit volgt: vt () = t. 6p 8 Toon dit aan. 3p 9 ereken eact de lengte van de baan van. www. - 5 -
uitwerkbijlage 7 y t - t O www. - 6 -
Twee parabolen met een gemeenschappelijke richtlijn In figuur zijn een lijn k en twee punten en getekend. Verder zijn getekend de parabool p met brandpunt en richtlijn k en de parabool p 2 met brandpunt en richtlijn k. De parabolen snijden elkaar in de punten D en. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. figuur p p 2 D k D en liggen op de middelloodlijn van. 3p 0 ewijs dit voor punt D. Wanneer we het vlak verdelen tussen punt, punt en lijn k volgens het naaste-buurprincipe, spelen onder andere de parabolen p en p 2 daarbij een rol. 3p Geef in de figuur op de uitwerkbijlage met verschillende kleuren of arceringen deze verdeling van het vlak aan. Lijn snijdt lijn k in punt C. De lijn m gaat door C en raakt de parabool p in punt. Zie figuur 2. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 2 p 2 p r geldt: m is de bissectrice van een hoek tussen de lijnen k en. 4p 2 ewijs dit. C m k www. - 7 -
uitwerkbijlage p p 2 D k 2 p 2 p m C k www. - 8 -
en gemeenschappelijke raaklijn De functies f en g zijn gegeven door f ( ) = ln( ) en g= ( ) e. In figuur zijn de grafieken van beide functies getekend. De lijn k is een gemeenschappelijke raaklijn aan de grafieken van f en g. Het punt waarin k de grafiek van f raakt, noemen we ( p,ln( p )), met p > 0. Het punt waarin k de grafiek van g raakt, noemen we q (,e q ), met q < 0. figuur 5 y 4 3 g 2 k f -2 q - O 2 3 4 p 5 - -2 Omdat k raaklijn is in punt aan de grafiek van f, is y = + ln( p) een formule voor k. 3p 3 Toon dit aan. Omdat k raaklijn is in punt aan de grafiek van g, is ook y = e q + e q( q) een formule voor k. Uit de twee formules voor k kunnen we twee verbanden tussen p en q afleiden: e q = (oftewel p = e q ) en e q( q) = ln( p). p Uit deze twee verbanden volgt dat q voldoet aan de vergelijking eq q + =. q 3p 4 Toon aan dat deze laatste vergelijking volgt uit de twee genoemde verbanden tussen p en q. 4p 5 ereken in twee decimalen nauwkeurig de richtingscoëfficiënt van de gemeenschappelijke raaklijn k. p www. - 9 -
en koordenvierhoek? Gegeven is driehoek C met zijn omgeschreven cirkel. an weerskanten van C liggen de punten K en L op de omgeschreven cirkel zo dat CK = CL. De koorde KL snijdt de zijden C en C in en. Zie figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur C L K r geldt: C = CL + CLK. 5p 6 ewijs dit. 4p 7 ewijs dat vierhoek een koordenvierhoek is. www. - 0 -
uitwerkbijlage 6, 7 C L K www. - 2 -
en vuurpijl met tegenwind en vuurpijl wordt vanaf de grond schuin weggeschoten. Door tegenwind beschrijft de vuurpijl een baan zoals die in figuur getekend is. figuur y 50 wind O 25 50 75 In deze figuur is een assenstelsel aangebracht met de -as op de grond tegen de windrichting in en de y-as verticaal. In O wordt de vuurpijl afgeschoten. In komt hij weer op de grond. is het punt van de baan dat het meest naar rechts ligt. We gebruiken voor de baan de volgende formules: voor het eerste deel O van de baan geldt y = 2 00 + 4 625 0, voor het tweede deel van de baan geldt y = 2 00 4 625 0, met en y in meter. 7p 8 ereken op algebraïsche wijze de maimale hoogte die de vuurpijl bereikt. 6p 9 ereken op algebraïsche wijze op welke afstand van O de vuurpijl op de grond komt. www. - -