NETWERKEN EN DE WETTEN VN KIRCHHOFF 1. Doelstelling van de proef Het doel van deze proef is het bepalen van de klemspanning van een spanningsbron, de waarden van de beveiligingsweerstanden en de inwendige weerstand van een mpèremeter m.b.v. enkele eenvoudige netwerken. Hiernaast worden ook de wetten van Kirchhoff geverifieerd in een aantal zelf opgestelde netwerken.. Vereiste voorkennis Wet van Ohm De verhouding tussen het potentiaalverschil V en de stroom I, is constant. De bekomen constante is de elektrische weerstand R. V R = of V = R I I De klemspanning De klemspanning is de spanning tussen de klemmen van een spanningsbron bij een gesloten keten. Indien V E, R i, R u en I respectievelijk de bronspanning, de inwendige weerstand van de spanningsbron, de uitwendige weerstand en de stroom zijn, dan definiëren we de klemspanning als het linkerlid van volgende vergelijking: V I R = I R De wetten van Kirchhoff De twee wetten van Kirchhoff voor een netwerk luiden als volgt: 1) De algebraïsche som van alle stroomsterkten bij een vertakkingspunt is nul. (Behoud van lading) ) De algebraïsche som van alle potentiaalverschillen langs een gesloten baan is nul. (Behoud van energie) E i u -1-
3. De gebruikte apparatuur Het practicumtoestel bevat een raster in groepen van drie of vier onderling verbonden aansluitpunten voor weerstanden en meettoestellen en twee spanningsbronnen V 1 en V. an deze spanningsbronnen bevinden zich de beveiligingsweerstanden R V1 en R V die verhinderen dat er te hoge stromen kunnen vloeien. In tegenstelling tot de practicumtoestellen van onze collega s bevat ons toestel geen Volt- en mpèremeter. Om spanningen en stromen te meten wordt er gebruik gemaakt van multimeters. Voorts zijn er nog een reeks weerstanden en verbindingsdraden ter beschikking om de gewenste kringen te construeren. 4. Resultaten 4.1. Opgaven ter voorbereiding van de proef OPGVE 1: a 3W c 10,0 V b 5,0 V Kring 1 Kring I I 1 I 3 a) Zoek de stromen I 1, I en I 3 in de volgende schakeling. Door de wetten van Kirchoff toe te passen in knooppunt c, stroomkring 1 en stroomkring vinden we een stelsel van drie vergelijkingen in drie onbekenden: 55 1 I3 = = 7,75 10 + I3 I 71 10 1 3 + 5I = 5 = = 1,41 10 7I3 + 5I = 10 71 65 1 I = = 9,15 10 71 --
b) Zoek het potentiaalverschil tussen de punten a en b V ab = potentiaalverschil over de weerstand 3Ω en potentiaalverschil over de bron van 10 V. -3Ω.I 1 10,0V = -10,43V OPGVE : 1,0 V I 1 4W Kring 1 b c W I I 3 a Kring 8,0 V 6W Bereken voor het volgende netwerk de stroom door de de Ω weerstand en het potentiaalverschil tussen de punten a en b I + I3 4 + I = 1 6I + I3 = 8 I 3 =.36 I 3 is de stroom die door de weerstand van Ω gaat. V ab = -I 3.Ω = -4.7V -3-
4.. Opgaven tijdens de practicumsessie a) Meet de spanning over V+ R v eerst bij open kring en vervolgens in een zo eenvoudig mogelijke kring die de stroom binnen het meetbereik van de mpèremeter houdt. Gebruik uw meetwaarden om de waarden van R V1 en R V te bereken in de veronderstelling dat de inwendige weerstand van V 1 en V gelijk is aan nul Voor V 1 + R V1 Bij open kring kunnen we het potentiaalverschil aflezen op de multimeter nl. 5,0 V. Dit is de bronspanning. Vervolgens maken we een eenvoudige kring met de spanningsbron, de beveiligingsweerstand en een weerstand van 1000Ω. Met behulp van de multimeter lezen we een spanningsval van 4,9V over de weerstand van 1000Ω. Hieruit kan men concluderen dat er een spanningsval van 5 4,9.08V over R V1 bestaat. We passen nu de wet van Ohm toe: I = V/R I = 4,9/1000 = 4,9 m. Dit is de stroom die door de kring vloeit m.a.w. ook door R V1. We passen weer de wet van Ohm toe om R V1 te berekenen: R V1 = V/I 0,08/0,0049 = 1,6. 10 1 Ω Voor V + R V naloog kunnen we R V berekenen. We gebruiken hiervoor een weerstand van 00Ω ipv 1000Ω. Bronspanning: 1,16 V Spanningsval over weerstand van 00Ω: 11,93 V I = 5,4 m Spanningsval over de beveiligingsweerstand R V : 1,16 11,93,3 V R V = 4,6.10 1 Ω R R V1 V 1 = 1,6 10 Ω 1 = 4,6 10 Ω b) Overtuig uzelf dat de inwendige weerstand van de mpèremeter inderdaad 10 Ω is. Doe dit door, bij het meten van een willekeurige stroom, een 10 Ω weerstand parallel over de mpèremeter te plaatsen en de verandering in gemeten stroomwaarde te observeren Deze vraag is niet van toepassing op onze opstelling daar wij geen ingebouwde ampèremeter met weerstand 10Ω hebben. Indien dit wel zo was, is dit de conclusie Men leest de stroom af op een ampèremeter met ingebouwde weerstand van 10Ω zonder dat daarmee een weerstand van 10Ω parallel staat en noemt deze I 1. Deze vergelijkt men met I d.i. de stroom gemeten door de ampèremeter, wel parallel geschakeld met een weerstand van 10Ω. Het verwachte resultaat is dat I 1 het dubbel is van I. Dit valt te verklaren m.b.v. de -4-
eerste wet van Kirchhoff: door de weerstand van 10Ω parallel te schakelen, zal de stroom opgesplitst worden. Indien de ingebouwde weerstand van de ampèremeter ook 10Ω is, dan zal de stroom door beide takken van de parallelschakeling gelijk zijn en de helft van de stroom zonder parallelschakeling. c) Bedenk en construeer twee verschillende netwerken en gebruik daarbij één maal de twee bronnen in één netwerk. Meet telkens de stromen die in de takken van het netwerk vloeien en de potentiaalverschillen over de elementen. Toon aan dat uw meetresultaten voldoen aan de wetten van Kirchhoff. Eerste kring (met 1 spanningsbron) Kring 1 00W 470W I V 1 I 1 681W B R v1 Kring I 3 Gemeten spanningen en stromen: Spanning over weerstand van 00Ω 4,43V Spanning over weerstand van 470Ω 0,557V Spanning over weerstand van 681Ω 0,557V Stroom I 1,0 m Stroom I 1,185 m Stroom I 3 0,818 m Indien we de wetten van Kirchhoff toepassen op knooppunt, kring 1 en kring, dan krijgen we respectievelijk de 3 volgende vergelijkingen: I I3 5 00 470 I 16, 5 00 681 I3 16, Dit is een stelsel van drie vergelijkingen in drie onbekenden en valt dus op te lossen (het rekenwerk laten we achterwege): =,005 m I = 1,186 m I = 8,19 10 1 3 m -5-
Met behulp van de wet van Ohm kunnen we hieruit dan de spanningen over de weerstanden berekenen: V 00Ω = 00,005 10 = 4,411V V 470Ω = 470 1,186 10,557V 4 V 681Ω = 681 8,19 10,557V Indien we de gemeten waarden vergelijken met de berekende waarden, zien we dat deze heel goed overeenkomen zoals het hoort. Tweede kring (met spanningsbronnen) Kring 1 1500W 750W I I 1 1000W B V 1 Kring I 3 V R v1 R v 681W Gemeten spanningen en stromen: Spanning over weerstand van 1500Ω -4,01V Spanning over weerstand van 750Ω -1,141V Spanning over weerstand van 1000Ω -1,141V Spanning over weerstand van 681Ω -1,811V Stroom I 1 -,66 m Stroom I -1,51 m Stroom I 3-1,15 m We zien dus dat alle stromen in tegengestelde zin vloeien dan op de figuur aangegeven. Opnieuw passen we de wetten van Kirchhoff toe op knooppunt, kring 1 en kring (met de stromen zoals in de tekenning). We bekomen drie vergelijkingen in drie onbekenden; dit stelsel is dus oplosbaar: I I3 =,70 m 5 1500 750 I 1,16 4,6 681 I = 1,54 m 5 1500 1000 I3 1,16 4,6 681 I3 = 1,16 m -6-
Ook hier bevestigen de mintekens het feit dat de zinnen van de stromen op de tekening omgekeerd moeten zijn. We kunnen opnieuw met behulp van de wet van Ohm de spanningen over de verschillende weerstanden berekenen: V 1500Ω = 1500,70 10 = 4,05V V 750Ω = 750 1,54 10 = 1,16V V 1000Ω = 1000 1,16 10 = 1,16V V 681Ω = 681,70 10 = 1,84V Ook hier verschillen de gemeten waarden en de berekende waarden weinig of niets. Nog enkele vragen a) Kan men de eenvoudige weerstand van de ampèremeter ook berekenen door de wetten van Kirchhoff toe te passen op de kringen uit opgave door enkel stroommetingen uit te voeren. Weeral is het niet mogelijk deze vraag op te lossen daar we niet beschikken over de ingebouwde ampèremeter. We hebben daarom wel de inwendige weerstand van de multimeter bepaald. Hiervoor gebruiken we volgende opstelling: 1500W V 1 V R v1 Op de ene multimeter lezen we af dat er een stroom van 3,8 m vloeit door de kring. Op de andere multimeter, die het spanningsverschil ontstaan door de inwendige weerstand van de ampèremeter meet, lezen we af: 4,5 V. We passen weer de wet van Ohm toe en bekomen: R = V/I R amp = 4,5/3,8 Ω = 7,5Ω. -7-
b) Hoe is de inwendige weerstand van een voltmeter en een ampèremeter? Leg uit. Voltmeter De voltmeter wordt parallel geschakeld met de tak van de keten waarover men het potentiaalverschil wil meten omdat hierover hetzelfde potentiaalverschil staat. De inwendige weerstand van een voltmeter is liefst zo groot mogelijk want zo beïnvloedt het de te meten spanning het minst. Indien we immers de substitutieweerstand voor een kring waarin er zich een voltmeter bevindt willen bepalen, dan komt men tot R rv volgende substitutieweerstand: Rtot =. Hierin is R de weerstand van de kring en R + rv r V de inwendige weerstand van de voltmeter. Wanneer r V veel groter is dan R, dan zal R tot dicht bij de waarde R liggen.het zal dus ook weinig de spanning beïnvloeden (wet van Ohm). mpèremeter De ampèremeter wordt in serie geschakeld met de tak waarvan men de stroom wenst te meten. Hier vloeit immers dezelfde stroom door. Om de te meten stroomsterkte zo weinig mogelijk te beïnvloeden, moet de inwendige weerstand van de ampèremeter zo klein mogelijk zijn. Stel dat er door een kring met een weerstand R een stroom I 1 vloeit en door diezelfde kring maar nu met ampèremeter met inwendige weerstand r amp in serie geschakeld een stroom I, dan is de relatieve verandering van de I r 1 I amp stroomwaarde gelijk aan: =. We zien dus dat r amp best zo klein I R + r 1 mogelijk is omdat de stroomwaarde hierdoor het minst verandert. c) Is de inwendige weerstand van een stroommeter afhankelijk van het meetbereik waarop hij gebruikt wordt? Met een bepaalde ampèremeter zal ook een bepaald meetbereik (I amp ) samenvallen. We kunnen dit stroombereik echter vergroten d.m.v. een Shunt-weerstand. Dit is een weerstand die in parallel met de ampèremeter wordt geschakeld en die ervoor zorgt dat er maar een fractie van de stroom door de weerstand van de ampèremeter stroomt. Indien men een stroom I = n. I amp wil meten, dan kan men met de regels van Kirchhoff berekenen dat men een ramp Shunt-weerstand nodig heeft met grootte: Rshunt =. Daarenboven zal het inschakelen van n 1 deze weerstand ook de effectieve inwendige weerstand van de ampèremeter verkleinen. 5. Besluit Deze proef is, ondanks onze andere opstelling, zeker in zijn opzet geslaagd. De grootten van de veiligheidsweerstanden werden gemeten: 16,Ω en 4,6Ω. Tevens werd de inwendige weerstand van de gebruikte multimeter berekend: 7,5Ω. De wetten van Kirchhoff werden geverifieerd aangezien de gemeten waarden heel goed overeenkomen met de berekende waarden. amp -8-