Rekenen-wiskunde in het basisonderwijs

Transcriptie

1 Rekenen-wiskunde in het basisonderwijs Domeinbeschrijving ten behoeve van peilingsonderzoek SLO nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling

2

3 Rekenen-wiskunde in het basisonderwijs Domeinbeschrijving ten behoeve van peilingsonderzoek September 2017

4 Verantwoording 2017 SLO (nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling), Enschede Mits de bron wordt vermeld, is het toegestaan zonder voorafgaande toestemming van de uitgever deze uitgave geheel of gedeeltelijk te kopiëren en/of verspreiden en om afgeleid materiaal te maken dat op deze uitgave is gebaseerd. Auteur: Anneke Noteboom Informatie SLO Afdeling: primair onderwijs Postbus 2041, 7500 CA Enschede Telefoon (053) Internet: AN:

5 Inhoud 1. Inleiding Werkwijze voor vaststelling van doelen voor de peiling van Leeswijzer 6 2. Doelen van het onderwijs in rekenen-wiskunde Kerndoelen rekenen-wiskunde en de karakteristiek van het leergebied Referentieniveaus rekenen Algemeen deel van de Toetswijzer voor de Eindtoets PO Peilingen van de rekenvaardigheid Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON) Jaarlijkse Meting Taal en Rekenen (JMTR) Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) Uitvoering van het reken-wiskundeonderwijs Potentieel geïmplementeerd curriculum Uitgevoerde curriculum Te peilen vaardigheden in Minimale richtlijnen voor de domeinbeschrijving van Toelichting bij de keuzes voor de domeinbeschrijving Beschrijving van inhouden ten behoeve van Peil Onderwijs Rekenen-wiskunde 38 Bronnen 45 Bijlagen 49 Bijlage 1 Karakteristiek en kerndoelen rekenen-wiskunde (2006) 51 Bijlage 2 Referentieniveaus 1F en 1S voor rekenen 52 Bijlage 3 Domeinbeschrijving Centrale Eindtoets 61 Bijlage 4 Domeinbeschrijving rekenen-wiskunde PPON Bijlage 5 Specificaties van de inhoudelijke en cognitieve domeinen voor rekenen-wiskunde bij TIMSS Bijlage 6 Voorbeelden van probleemoplossen 85 Bijlage 7 Tussendoelen rekenen-wiskunde; concretisering referentieniveau 1S 88 Bijlage 8 Veldraadpleging 101 3

6

7 1. Inleiding Het is belangrijk om te weten wat kinderen in Nederland leren op school. Onder regie van de Inspectie van het Onderwijs brengt het project 'Peil.onderwijs' in brede zin de kennis, vaardigheden en houding van leerlingen aan het einde van het primair onderwijs in kaart. Peilingen zijn onderdeel van de stelselevaluatie door de inspectie. Het betreft zowel een peiling van factoren uit het onderwijsleerproces (leerstof, tijd, didactisch handelen, enzovoort) als leeropbrengsten. De peilingen richten zich op de volle breedte van het beoogde onderwijsaanbod zoals landelijk is vastgesteld en worden periodiek uitgevoerd waardoor vergelijking van prestaties over de tijd mogelijk is. Met de uitkomsten weten we wat kinderen leren op school, hoe deze resultaten zich in de tijd ontwikkelen en hoe deze zich verhouden tot het beoogde onderwijsaanbod. Opbrengsten kunnen voedend zijn voor onderwijsbeleid, onderwijsontwikkeling en onderwijsonderzoek. Scholen beslissen zelf of ze mee willen doen aan het peilingsonderzoek. De resultaten van een school zijn op geen enkele manier van invloed op de kwaliteitsbeoordeling van de school door de inspectie. Deelnemende scholen krijgen van het consortium dat het peilingsonderzoek uitvoert, de uitkomsten op school- en leerlingniveau teruggekoppeld. De inspectie rapporteert over de uitkomsten van de peilingen op stelselniveau, dus niet herleidbaar naar scholen en leerlingen. De resultaten op stelselniveau geven een beeld van de vaardigheid op het domein en de factoren die daarmee samenhangen. Onder de naam Peil.onderwijs zullen externe partijen in opdracht van de inspectie het toetsinstrumentarium voor de peilingen ontwikkelen en de onderzoeken uitvoeren. Dit wordt gedaan op basis van een zogenaamde domeinbeschrijving. In een domeinbeschrijving wordt beschreven wat de wettelijke eisen zijn voor de inhoud van het specifieke domein en hoe deze inhoudelijke eisen in de praktijk van het onderwijs vorm krijgen. De domeinbeschrijving geeft inzicht in de stand van zaken van het te peilen domein en de reken-wiskundedoelen die daarbij horen. SLO ontwikkelt de domeinbeschrijvingen in opdracht van het ministerie van OCW. Dat gebeurt in een interactief proces in samenspraak met inspectie, leraren, schoolleiders en domeinexperts. Nadat een externe partij voor het desbetreffende inhoudsdomein meetinstrumenten heeft ontwikkeld of, indien van toepassing en waar nodig bestaande instrumenten heeft aangepast, worden deze afgenomen bij leerlingen in groep 8 of bij schoolverlaters in het speciaal basisonderwijs van een representatieve steekproef van scholen. De uitkomsten van het peilingsonderzoek geven op stelselniveau een beeld van het kennen en kunnen in Nederland. In het voorjaar van 2019 voert de inspectie de peiling uit naar het aanbod van het rekenwiskundeonderwijs en naar de leerresultaten van leerlingen aan het einde van het basisonderwijs en het speciaal basisonderwijs. Deze domeinbeschrijving vormt daarvoor een basis. 1.1 Werkwijze voor vaststelling van doelen voor de peiling van 2019 De doelen die leerlingen aan het einde van hun basisschoolperiode dienen te beheersen worden beschreven in de wettelijke kaders. Voor het leergebied rekenen-wiskunde zijn dit de kerndoelen (Ministerie van OCW, 2006, zie ook bijlage 1) en het referentiekader rekenen met de referentieniveaus 1F en 1S (Ministerie van OCW, 2009, zie ook bijlage 2). De Inspectie van 5

8 het Onderwijs heeft SLO gevraagd een domeinomschrijving te ontwikkelen die beschrijft welke domeinen, subdomeinen en rekenonderwerpen in het peilingsonderzoek ten minste getoetst moeten worden om de rekenvaardigheid van leerlingen vast te stellen en waarin wordt aangegeven op welke onderdelen gedetailleerde informatie wenselijk is. SLO heeft allereerst een concept domeinbeschrijving geschreven. Deze beschrijving is middels een veldraadpleging op 14 juni 2017 voorgelegd aan 32 vakexperts uit de onderwijspraktijk, onderwijsadvisering en uit onderwijsonderzoek (zie bijlage 8). Tijdens deze veldraadpleging heeft de Universiteit Leiden de experts gevraagd een reactie te geven op een lijst van beïnvloedbare factoren in het onderwijsleerproces die van invloed zijn op de rekenwiskundeprestaties van basisschoolleerlingen. Daarbij konden ze aangeven welke van deze factoren meegenomen zouden moeten worden in de peiling rekenen-wiskunde (Hickendorff, Mostert, Van Dijk, Jansen, Van der Zee & Fagginger Auer, 2017, concept). Van deze veldraadpleging is een verslag gemaakt. Onduidelijkheden die bleven bestaan zijn nog met enkele vakexperts doorgesproken. Tot slot zijn de uitkomsten verwerkt in een definitieve domeinschrijving. Deze definitieve domeinbeschrijving inclusief de verantwoording van de keuzes is in deze publicatie beschreven. 1.2 Leeswijzer We beschrijven in hoofdstuk 2 de doelen die vanuit wettelijke kaders aan het onderwijs in rekenen-wiskunde ten grondslag liggen. Deze wettelijke kaders vormen het uitgangspunt bij het vaststellen welke domeinen in de peiling van rekenen-wiskunde meegenomen moeten worden, niet alleen door hun wettelijke status, maar ook omdat hier reeds enige vorm van consensus over bestaat. In hoofdstuk 3 bespreken we wat in eerdere peilingen naar de rekenvaardigheid gepeild is. Hoofdstuk 4 biedt de definitieve domeinbeschrijving waarin beschreven en verantwoord wordt, wat minimaal gepeild zou moeten worden in de nieuwe peiling. Dit is het advies aan de Inspectie van het Onderwijs. Bij het totstandkomen van deze concept doelbeschrijving zijn vooral de volgende publicaties gebruikt: Kerndoelen rekenen-wiskunde 2006, bijlage 1; Referentiekader rekenen (2009). Zie voor het specifieke referentiekader rekenen voor einde basisonderwijs, bijlage 2; Onderdelen uit het Algemene deel van de Toetswijzer voor de Eindtoets PO (2014) en de specifieke Toetswijzer Centrale Eindtoets PO (2015). Zie voor de domeinbeschrijving van het onderdeel rekenen-wiskunde, bijlage 3; Onderzoeksrapporten van PPON (Periodieke Peiling van het OnderwijsNiveau) voor rekenen-wiskunde, einde basisonderwijs), met name die van Zie voor de inhoudsbeschrijving van deze laatste peiling, bijlage 4; Onderzoeken van TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study), met name die van 2015, zie bijlage 5 voor een beknopte beschrijving van de daarin gehanteerde domeinen. Concretisering referentieniveaus rekenen 1F/1S (zie Bronnen). Tussendoelen rekenen-wiskunde voor het basisonderwijs. Uitwerking van het streefniveau 1S voor groep 2 tot en met 8. Versie (zie Bronnen en bijlage 7). Leerplankundige verkenning van TIMSS-trends. Rekenen-wiskunde en natuuronderwijs (zie Bronnen). 6

9 2. Doelen van het onderwijs in rekenen-wiskunde In dit hoofdstuk beschrijven we de verschillende doelen die voor het leergebied rekenenwiskunde voor het basis- en speciaal basisonderwijs op nationaal niveau zijn geformuleerd, al dan niet wettelijk vastgelegd. 2.1 Kerndoelen rekenen-wiskunde en de karakteristiek van het leergebied In de kerndoelen van 2006 staan de wettelijk voorgeschreven doelen. Dit zijn globaal geformuleerde doelen die voorschrijven waar het onderwijs aan de kinderen op gericht moet zijn. De kerndoelen zijn als 'aanbodsdoelen' geformuleerd. Een bijbehorende karakteristiek geeft aan wat het doel en de setting is van het reken-wiskundeonderwijs voor de basisschool en de speciale basisschool. Deze karakteristiek luidt: "In de loop van het primair onderwijs verwerven kinderen zich - in de context van voor hen betekenisvolle situaties - geleidelijk vertrouwdheid met getallen, maten, vormen, structuren en de daarbij passende relaties en bewerkingen. Ze leren wiskundetaal gebruiken en worden wiskundig geletterd en gecijferd. De wiskundetaal betreft onder andere rekenwiskundige en meetkundige zegswijzen, formele en informele notaties, schematische voorstellingen, tabellen en grafieken en opdrachten voor de rekenmachine. Wiskundig geletterd en gecijferd betreft onder andere samenhangend inzicht in getallen, maatinzicht en ruimtelijk inzicht, een repertoire van parate kennis, belangrijke referentiegetallen en - maten, karakteristieke voorbeelden en toepassingen en routine in rekenen, meten en meetkunde. Meetkunde betreft ruimtelijke oriëntatie, het beschrijven van verschijnselen in de werkelijkheid en het redeneren op basis van ruimtelijk voorstellingsvermogen in twee en drie dimensies. De onderwerpen waaraan kinderen hun wiskundige geletterdheid ontwikkelen, zijn van verschillende herkomst: het leven van alledag, andere vormingsgebieden en de wiskunde zelf. Bij de selectie en aanbieding van de onderwerpen wordt rekening gehouden met wat kinderen al weten en kunnen, met hun verdere vorming, hun belangstelling en de actualiteit, zodat kinderen zich uitgedaagd voelen tot wiskundige activiteit en zodat ze op eigen niveau, met plezier en voldoening, zelfstandig en in de groep uit eigen vermogen wiskunde doen: wiskundige vragen stellen en problemen formuleren en oplossen. In de rekenwiskundeles leren kinderen een probleem wiskundig op te lossen en een oplossing in wiskundetaal aan anderen uit te leggen. Ze leren met respect voor ieders denkwijze wiskundige kritiek te geven en te krijgen. Het uitleggen, formuleren en noteren en het elkaar kritiseren leren kinderen als specifiek wiskundige werkwijze te gebruiken om alleen en samen met anderen het denken te ordenen, te onderbouwen en fouten te voorkomen." De karakteristiek beschrijft niet hóe het onderwijs eruit moet zien (de didactiek). 7

10 Kerndoelen rekenen-wiskunde 2006 Het Besluit vernieuwde kerndoelen WPO stelt de volgende kerndoelen vast: Wiskundig inzicht en handelen 23. De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken. 24. De leerlingen leren praktische en formele reken-wiskundige problemen op te lossen en redeneringen helder weer te geven. 25. De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van reken-wiskundeproblemen te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen. Getallen en bewerkingen 26. De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen. 27. De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn. 28. De leerlingen leren schattend tellen en rekenen. 29. De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. 30. De leerlingen leren schriftelijk optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens meer of minder verkorte standaardprocedures. 31. De leerlingen leren de rekenmachine met inzicht te gebruiken. Meten en meetkunde 32. De leerlingen leren eenvoudige meetkundige problemen op te lossen. 33. De leerlingen leren meten en leren te rekenen met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en temperatuur. (Ministerie van OCW, 2006). 2.2 Referentieniveaus rekenen De kerndoelen zijn globaal geformuleerd en betreffen de doelen van het onderwijsaanbod. De Expertgroep Doorlopende leerlijnen voor taal en rekenen (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008) heeft in opdracht van het Ministerie van OCW specifieke referentieniveaus opgesteld die de beoogde opbrengsten van het onderwijs definiëren. Het gaat dan om beheersingsdoelen. Op 17 juni 2010 zijn deze referentieniveaus wettelijk vastgesteld. In Een nadere beschouwing die bij het referentiekader is geschreven, wordt de relatie tussen referentieniveaus en onderwijsaanbod nog explicieter aangeduid: De geformuleerde referentieniveaus hebben het karakter en de betekenis van einddoelen, geformuleerd in beheersingstermen. (...) Het begrip referentieniveaus willen wij nader duiden als niveaubeschrijvingen die als referentie dienen voor de opbrengsten van scholen en de leerresultaten van verschillende groepen leerlingen. Op deze wijze kunnen de referentieniveaus onverkort van toepassing zijn en kunnen zij gaan dienen als onderlegger voor het ontwikkelen van toetsen, programma s en leerlijnen. De referentieniveaus vormen eindpunten op ontwikkelings- en leerlijnen, waarlangs leerlingen zich ontwikkelen en leren. Zo gaan de referentiebeschrijvingen ook als een kader werken voor het aanbod en het onderwijs. Langs de leerlijnen kan de ontwikkeling en de leerwinst in kaart worden gebracht. (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2009, p.8) Het referentiekader geeft referentieniveaus voor taal en rekenen op vier momenten in de schoolloopbaan van leerlingen. Daarbij worden fundamentele niveaus (F-stroom) en streefniveaus (S-stroom) beschreven (zie figuur 1). 8

11 Figuur 1. Referentieniveaus op vier momenten in de schoolloopbaan en op twee niveaus: een fundamenteel niveau F en een streefniveau S (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008) Voor rekenen-wiskunde zijn de referentieniveaus in vier domeinen onderverdeeld: Getallen (dit bevat zowel getallen als bewerkingen); Verhoudingen (waaronder breuken en procenten); Meten en meetkunde; Verbanden (waaronder informatieverwerking uit tabellen en grafieken). Anders dan bij taal gaat het bij rekenen om van elkaar te onderscheiden fundamentele niveaus en streefniveaus. Deze zijn beide op drie niveaus beschreven: voor het fundamentele niveau 1F, 2F en 3F en voor het streefniveau 1S, 2S en 3S. De fundamentele niveaus richten zich op basale kennis en vaardigheden en zijn meer gericht op functioneel rekenen. De S- stroom richt zich daarnaast ook op meer formeel rekenen en redeneren/uitleggen. Referentieniveaus 1F en 1S Voor het einde van het basis- en speciaal basisonderwijs zijn twee referentieniveaus geformuleerd: het fundamentele niveau 1F en het het streefniveau 1S (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008). Destijds stelde de expertgroep dat 85% van de leerlingen niveau 1F zou moeten halen aan het einde van het basisonderwijs. Op dat moment was dit naar schatting 75%. 1S zou bereikt moeten kunnen worden door 65%, terwijl de schatting op dat moment (2008) was dat slechts 50% niveau 1S beheerste. Voor welke leerlingen is 1F geschikt of haalbaar en voor wie 1S? Noteboom, Van Os & Spek (2011) beschrijven dit op basis van het rapport van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (2008: "In onderwijs moeten we hoge, maar realistische doelen stellen. We moeten kinderen voldoende mogelijkheden bieden om zich optimaal te kunnen ontwikkelen. We streven er dan ook naar dat zoveel mogelijk leerlingen minimaal 1S halen. Blijkt dat niet haalbaar voor bepaalde leerlingen, ook niet met extra inspanning, dan is voor hen 1F het referentieniveau. Het is dus een misvatting om te denken dat 1F het fundamenteel niveau is waar in het reken-wiskundeonderwijs naar toegewerkt moet worden met alle leerlingen, om vervolgens met leerlingen die meer aankunnen te werken aan het bereiken van 1S. Dat zou betekenen dat we veel te laag insteken voor veel leerlingen en lage verwachtingen hebben. Het belangrijkste is dat we niet uitgaan van het minimumaanbod maar van een optimale ontwikkeling van alle leerlingen. Uitgaan van wat maximaal haalbaar is, niet van wat minimaal moet! Leerlingen die in het basisonderwijs het referentieniveau 1F bereiken, kunnen in vmbo-bb en vmbo-kb doorgroeien naar het burgerschapsniveau 2F, het niveau dat van elke burger in de samenleving wordt verwacht. Referentieniveau 1S omvat 1F en is het streefniveau waar 9

12 leerlingen ongeveer aan zouden moeten voldoen om een goede aansluiting te krijgen op vmbo-t of havo-vwo. De niveaus worden niet gebruikt als toelatingseis in het voortgezet onderwijs. Het voortgezet onderwijs neemt kennis van de behaalde niveaus van de leerling en kan daarmee het vervolgonderwijs beter afstemmen op het tot dan toe behaalde niveau. Het gemeenschappelijk referentiekader voor po en vo en verder beoogt immers ook een doorlopende leerlijn en het wegwerken van drempels." Elk van de vier domeinen voor rekenen (Getallen, Verhoudingen, Meten en meetkunde, Verbanden) is in het referentiekader opgebouwd uit drie onderdelen: A notatie, taal en betekenis, waarbij het gaat om de uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties en om het gebruik van wiskundetaal; B met elkaar in verband brengen, waarbij het gaat om het verband tussen begrippen, notaties, getallen en dagelijks spraakgebruik; C gebruiken, waarbij het er om gaat rekenkundige vaardigheden in te zetten bij het oplossen van problemen. Elk van deze drie onderdelen is steeds opgebouwd in drie typen kennis en vaardigheden. Die zijn als volgt kort te karakteriseren: paraat hebben: kennis van feiten en begrippen, reproduceren, routines, technieken; functioneel gebruiken: kennis van een goede probleemaanpak, het toepassen, het gebruiken binnen en buiten het schoolvak; weten waarom: begrijpen en verklaren van concepten en methoden, formaliseren, abstraheren en generaliseren, blijk geven van overzicht. In figuur 2 is een voorbeeld te zien van een deel van de beschrijving van de referentieniveaus 1F en 1S voor het domein Getallen. (In bijlage 2 is het hele referentiekader voor 1F en 1S opgenomen.) 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben - 5 is gelijk aan (evenveel als) 2 en 3 - de relaties groter/kleiner dan - 0,45 is vijfenveertig honderdsten - breuknotatie met horizontale streep, - teller, noemer, breukstreep Functioneel gebruiken - uitspraak en schrijfwijze van gehele getallen, breuken, decimale getallen - getalbenamingen zoals driekwart, anderhalf, miljoen Weten waarom - orde van grootte van getallen beredeneren Paraat hebben - breuknotatie herkennen ook als ¾ Functioneel gebruiken - gemengd getal - relatie tussen breuk en decimaal getal Weten waarom - verschil tussen cijfer en getal - belang van het getal 0 Figuur 2. Een deel uit het referentiekader van het domein Getallen, voor 1S en 1F (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008) 10

13 2.3 Algemeen deel van de Toetswijzer voor de Eindtoets PO Op 1 augustus 2014 is de Wet op het primair onderwijs aangepast (Staatsblad, 2014). Met deze aanpassing is (onder meer) vastgelegd dat leerlingen in het laatste schooljaar van het primair onderwijs een onafhankelijke, objectieve eindtoets maken. Schoolbesturen kunnen kiezen om de door het College voor Toetsen en Examens (CvTE, 2014) aangeboden Centrale Eindtoets PO of een van de door de minister toegelaten andere eindtoetsen af te nemen. In 2017 zijn inmiddels zes verschillende eindtoetsen beschikbaar voor scholen. Het Toetsbesluit PO (CvTE, 2015) schrijft voor aan welke voorwaarden alle eindtoetsen moeten voldoen. De Toetswijzer Centrale eindtoets PO (CvTE, 2015) beschrijftn aan welke eisen elke eindtoets moet voldoen qua inhoud en vorm. In het algemene deel van de Toetswijzer eindtoets PO worden de inhoudelijke kwaliteitseisen geëxpliciteerd voor de wettelijk verplichte domeinen uit het Referentiekader taal en rekenen die voor alle eindtoetsen gelden. Daarnaast worden in het algemene deel de kwaliteitseisen beschreven voor de domeinen die optioneel in eindtoetsen kunnen worden opgenomen. De toetswijzer doet ook uitspraken over: 1. de relatieve verdeling van de opgaven over de domeinen - domein Getallen bevat ten minste 30% en maximaal 40% van de gehele toets; - domein Verhoudingen: ten minste 20% en maximaal 30%; - domein Meten en meetkunde: ten minste 20% en maximaal 30%; - domein Verbanden: ten minste 15% en maximaal 20%. 2. de verhouding tussen opgaven met en zonder context In de toets moet ten minste 30% van de opgaven uit de domeinen Getallen en Verhoudingen in een context worden aangeboden en ten minste 20% uit deze domeinen dient contextloos te zijn. De opgaven die in de overige domeinen worden aangeboden, worden gezien als contextopgaven. 3. de relatieve verdeling ten aanzien van de indeling die het referentiekader geeft - doelen met betrekking op (A) Notatie, taal en betekenis: geen minimum - doelen met betrekking op (B) Met elkaar in verband brengen: ten minste 20% van de hele toets - doelen met betrekking op (C) Gebruiken: ten minste 30% van de hele toets. Het algemene deel van de toetswijzer biedt het kader op basis waarvan ontwikkelaars van de Centrale Eindtoets PO en van andere eindtoetsen hun toets ontwikkelen. Inhoud van de Centrale Eindtoets PO, onderdeel rekenen-wiskunde De inhoud voor rekenen-wiskunde van de Centrale Eindtoets PO (CVTE, 2015) wordt beschreven in de vier domeinen zoals die ook in het referentiekader rekenen worden gehanteerd: Getallen; Verhoudingen; Meten en meetkunde; Verbanden. In figuur 3 is de indeling in domeinen en subdomeinen in de Toetswijzer Centrale Eindtoets PO voor rekenen-wiskunde op basis van de kerndoelen en het referentiekader, weergegeven. 11

14 Getallen 1. Getalbegrip 2. Bewerkingen 2.1 Optellen en aftrekken met hele getallen en kommagetallen 2.2 Vermenigvuldigen en delen met hele getallen en kommagetallen 2.3 Combinaties van bewerkingen met hele getallen en kommagetallen 2.4 Bewerkingen uitvoeren met breuken Verhoudingen 3. Verhoudingen Meten en meetkunde 4. Meten 4.1 Lengte en omtrek 4.2 Oppervlakte 4.3 Inhoud 4.4 Gewicht 4.5 Tijd en snelheid 4.6 Geld 5. Meetkunde Verbanden 6. Verbanden Figuur 3. Indeling van de domeinen in de Toetswijzer Centrale Eindtoets PO (CvTE, 2015) We geven een een korte beschrijving van de onderwerpen in de betreffende domeinen (CvTE, 2015): Getallen Het domein Getallen heeft betrekking op getallen, getalsrelaties en het uitvoeren van de elementaire bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en combinaties hiervan) met hele getallen, kommagetallen en breuken. Dit zowel in opgaven met als zonder context. Daarbij gaat het om feitenkennis, kennis van begrippen, de beheersing van (standaard)procedures en routines, evenals het doelmatig (of efficiënt) kunnen toepassen en gebruiken van deze kennis, het leggen van relaties, het inzicht hebben in rekensituaties en hierover kunnen redeneren. Basisautomatismen (op tempo rekenen) en basisvaardigheden zoals het rekenen tot 100 worden niet apart getoetst omdat deze ook meegenomen worden in het rekenen met grotere getallen. Verder is er geen speciaal onderdeel waarbij kinderen uit het hoofd moeten kunnen rekenen: alles mag met steun van uitrekenpapier. Ook rekenen met de rekenmachine is niet opgenomen. Hoewel deze vaardigheden niet worden beschreven in de toetswijzer, moeten leerlingen die volgens het referentiekader wel beheersen. Scholen zijn zelf verantwoordelijk voor de toetsing ervan. Toetsaanbieders mogen deze subdomeinen uiteraard in hun eindtoetsen opnemen. Verhoudingen Het denken in en rekenen met verhoudingen komt veel voor in het dagelijks leven. Maar ook in de wiskunde is het een belangrijk onderwerp. Werken met verhoudingen is voor veel kinderen niet gemakkelijk. Het is dan ook belangrijk dat er in het basisonderwijs al een goede basis in inzicht en vaardigheden gelegd wordt, die verder uitgebouwd wordt in het voortgezet onderwijs. In het basisonderwijs gaat het erom dat leerlingen leren structuur en samenhang van verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee kunnen rekenen. Verhoudingen kunnen beschreven worden in verhoudingstaal (zoals bij één op de tien Nederlanders of het aantal fietsers is twee keer zo groot als het aantal automobilisten ), maar soms ook in breukentaal (bijvoorbeeld driekwart van de inwoners is ouder dan 25 jaar, dat is drie op de vier ) en met procenten (zoals 70% van de mensen is voor de aanleg van een randweg ). Binnen verhoudingen gaat het dus soms ook om het rekenen met breuken en 12

15 procenten. Daar waar het om breuken als getallen gaat en bewerkingen met breuken, beschrijven we de doelen bij het domein 'Getallen'. Meten en meetkunde Bij meten en meetkunde gaat het erom greep te krijgen op de werkelijkheid om ons heen. Binnen het basisonderwijs betreft het vooral basiskennis en begrip. Bij het domein meten gaat het dan om het meten van allerlei verschijnselen in de werkelijkheid. Leerlingen krijgen begrip van verschillende grootheden (lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd, snelheid en geld), leren meten met verschillende instrumenten en leren meetresultaten af te lezen en te interpreteren. Ook het omzetten van maateenheden en de opbouw en decimale structuur van het metrieke stelsel vallen hieronder. Bij meetkunde ligt de nadruk op het beschrijven van en het greep krijgen op ruimtelijke aspecten van de werkelijkheid. Verbanden Het domein Verbanden gaat in op het omgaan met tabellen, diagrammen en grafieken, legenda's en assenstelsels.er zijn verschillende benamingen voor de weergave van gegevens. Zo spreekt men bijvoorbeeld over staafgrafieken, maar ook staafdiagrammen. Hier gebruiken we de term 'grafiek' alleen als het om een lijngrafiek gaat, in alle andere gevallen gebruiken we de term 'diagram'. Tabellen, diagrammen en grafieken worden tegenwoordig in veel toepassingen frequent gebruikt om getalsmatige (kwantitatieve) gegevens op een compacte en overzichtelijke manier weer te geven. Op televisie, op sites, in dagbladen en tijdschriften en schoolboeken worden allerlei soorten tabellen, diagrammen en grafieken gebruikt om met name kwantitatieve informatie over te brengen. Aflezen, interpreteren en combineren van de verschillende representatievormen, grafisch weergeven van informatie en het herkennen en beschrijven van een onderliggend verband (als dit er is) of voorspellingen doen zijn belangrijke vaardigheden voor kinderen om te leren. Daar hoort ook het uitvoeren van berekeningen met deze verschillende gegevens bij. In bijlage 3 zijn ook de verdere indeling en inhoudsbeschrijving per subdomein van de Toetswijzer Centrale Eindtoets PO weergegeven. 13

16

17 3. Peilingen van de rekenvaardigheid Sinds 1985 heeft Cito in opdracht van het Ministerie van OCW peilingsonderzoek uitgevoerd, ook voor rekenen-wiskunde. Het belangrijkste doel van dit peilingsonderzoek was periodiek (iedere vijf jaar) gegevens te verzamelen over het onderwijsaanbod en de onderwijsresultaten in het basisonderwijs en het speciaal basisonderwijs. Deze onderzoeksresultaten boden een empirische basis voor de algemene maatschappelijke discussie over de inhoud en het niveau van het onderwijs. Eén van de uitgangspunten van de peilingsonderzoeken was het zo nauwkeurig en gedetailleerd mogelijk schetsen van de vaardigheden van leerlingen.. Peilingsonderzoek was een van de instrumenten van de overheid voor de externe kwaliteitsbewaking van het onderwijs. Daarnaast waren de resultaten van peilingsonderzoek van belang voor allen onderwijsorganisaties, onderzoekers en ontwikkelaars van methoden, onderwijsbegeleiders en lerarenopleiders, leraren basisonderwijs en ouders die betrokken zijn bij de discussie over en de vormgeving van het onderwijs in de basisschool en speciale basisschool. Bij elke periodieke peiling voor rekenen-wiskunde zijn domeinbeschrijvingen geformuleerd. In de loop van de tijd zijn deze domeinbeschrijvingen steeds aangepast aan de ontwikkelingen op het vakgebied. De laatste PPON-peiling van einde basisonderwijs dateert van april/mei 2011 (Scheltens, Hemker & Vermeulen, 2013) en van einde speciaal basisonderwijs van In die peilingen is de indeling van het referentiekader in de doelbeschrijving meegenomen. Na 2013 is informatie over de reken-wiskundeprestaties van leerlingen niet meer gebaseerd op peilingsonderzoek, maar op de behaalde resultaten van leerlingen bij de eindtoetsen voor het basisonderwijs. Deze resultaten worden beschreven in de Jaarlijkse Meting Taal en Rekenen (JMTR). Naast nationale peilingen doet Nederland voor het basisonderwijs ook mee aan de internationale peiling van TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study). In TIMSS worden de resultaten van leerlingen in groep 6 van de basisschool gemeten op onder andere het leergebied rekenen-wiskunde. Hieronder geven we een beknopt verslag van de drie verschillende peilingen en hun opbrengsten: PPON, JMTR en TIMSS. 15

18 3.1 Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON) PPON rekenen-wiskunde voor einde basisonderwijs In de laatste peiling rekenen-wiskunde einde basisonderwijs van 2011 (Scheltens et al., 2013), is gerapporteerd op 22 onderwerpen (zie figuur 4). De onderwerpen zijn verdeeld over vier domeinen die elk weer verschillende onderwerpen bevatten. In bijlage 4 is een gedetailleerde beschrijving van de onderwerpen opgenomen. Domein Onderwerpen Getallen en bewerkingen 1 Getallen en getalrelaties 2 Basisoperaties: optellen en aftrekken 3 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken 4 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen 5 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen 6 Schattend rekenen 7 Bewerkingen: optellen en aftrekken 8 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen 9 Samengestelde bewerkingen 10 Zakrekenmachine Verhoudingen, breuken en procenten 11 Verhoudingen 12 Breuken 13 Procenten Meten, meetkunde, tijd en geld 14 Meten: Lengte 15 Meten: Oppervlakte 16 Meten: Inhoud 17 Meten: Gewicht 18 Meten: Toepassingen 19 Meetkunde 20 Tijd 21 Geld Verbanden 22 Verbanden Figuur 4. Domeinen en onderwerpen voor de peiling rekenen-wiskunde in 2011 (Scheltens et al., 2013) In de periode tussen 1987 en 2011 is voor rekenen-wiskunde voor het einde van het basisonderwijs vijf keer een peiling uitgevoerd. In de loop van de jaren zijn de domeinen en onderwerpen waarop gerapporteerd is wat gewijzigd als gevolg van veranderingen binnen het reken-wiskundeonderwijs. Bij de laatste peiling eind groep 8 in 2011 is aangesloten bij de domeinindeling van het referentiekader. Er zijn toen 22 onderwerpen getoetst binnen de domeinen 1 Getallen en bewerkingen, 2 Verhoudingen, breuken en procenten, 3 Meten, Meetkunde, Tijd en Geld en 4 Verbanden (zie figuur 4). De prestaties van leerlingen verschillen in de loop der jaren. Deze verschillen worden bij PPON uitgedrukt in effectgrootten. Aan de hand van de effectgrootten kunnen trends in beeld worden gebracht. Effectgroottes worden als volgt geïnterpreteerd (groter of gelijk aan): +/ = klein effect; +/-.50 = matig effect; +/-.80 = groot effect. Figuur 5 laat de effectgrootten zien van de onderwerpen binnen de domeinen Getallen en Bewerkingen. Te zien is dat er per onderwerp grote verschillen zijn. 16

19 Tussen 1987 en 2011 zijn leerlingen beter gaan presteren op de onderwerpen hoofdrekenen en schattend rekenen, Getallen en getalsrelaties en Rekenen met de rekenmachine. Op het gebied vanbewerkingen zijn leerlingen echter fors achteruitgegaan: optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen en samengestelde bewerkingen gaan allemaal minder goed. We zien een matig tot groot negatief effect waarbij vooral de prestaties op bewerkingen: vermenigvuldigen en delen sterk achteruit zijn gegaan. Op de overige onderwerpen presteren leerlingen door de jaren heen ongeveer gelijk: bij basisoperaties: optellen en aftrekken zien we een klein tot matig positief effect en bij basisoperaties: vermenigvuldigen en delen een klein tot matig negatief effect. Figuur 5. Effectgrootten voor afnamejaar in eind groep 8 volgens PPON (M=250, SD=50): domein Getallen en bewerkingen (Van Weerden & Hiddink, 2013) Figuur 6 laat de effectgrootten zien voor de periode van de onderwerpen uit het domein Verhoudingen, breuken en procenten. De leerlingen presteren vrij constant binnen dit domein, maar we zien wel dat ze op het onderwerp procenten beter zijn gaan presteren (Van Weerden & Hiddink, 2013). Figuur 6. Effectgrootten voor afnamejaar in eind groep 8 volgens PPON (M=250, SD=50): domein Verhoudingen, breuken en procenten (Van Weerden & Hiddink, 2013) 17

20 Ook binnen het domein Meten presteren de leerlingen vrij constant (zie figuur 7). Bij het onderwerp gewicht is een lichte verbetering zichtbaar. Bij het domein Verbanden is een forse verbetering zichtbaar. Figuur 7. Effectgrootten voor afnamejaar in eind groep 8 volgens PPON (M=250, SD=50): domeinen Meten, Meetkunde, Tijd en Geld en Verbanden (Van Weerden & Hiddink, 2013) Samenvattend zitten er zitten duidelijk fluctaties in de prestaties van leerlingen over de verschillende jaren. Op sommige onderwerpen zien we voortdurende stijgingen, op andere onderwerpen gaat het op en neer. Het is belangrijk te constateren, dat hoewel de algemene (gemiddelde) rekenprestaties van leerlingen vrij stabiel blijven, de prestaties per rekenonderwerp sterk verschillen. Omdat PPON op zoveel onderwerpen rapporteert, zijn die (onderlinge) verschillen zichtbaar en informatief voor beleid en schoolpraktijk. PPON rekenen-wiskunde voor einde speciaal basisonderwijs De laatste peiling voor einde speciaal basisonderwijs is afgenomen in 2013 (Hollenberg, Scheltens & Van Weerden, 2014). Voor dit onderwijstype zijn al eerder peilingsonderzoeken uitgevoerd in 1992 (Kraemer et al., 1996), in 1997 (Kraemer et al., 2000) en in 2006 (Kraemer et al., 2009). Net als bij eerdere onderzoeken is de doelgroep van het peilingsonderzoek in 2013 ook weer de leerlingen in het speciaal basisonderwijs die qua leeftijd vergelijkbaar zijn met leerlingen aan het einde van het basisonderwijs: de 12- en 13-jarigen. De spreiding in vaardigheidsniveau binnen de leeftijdsgroepen in het sbo is groot. De niveaus van deze leerlingen kunnen vergeleken worden met verschillende jaargroepniveaus van het basisonderwijs. De toetsen zijn daarom samengesteld met opgaven die ook passen bij groep 4 t/m groep 8 in het reguliere basisonderwijs. De indeling van de opgaven in de verschillende domeinen lijkt op die van de PPON-indeling voor einde basisonderwijs. Alleen 'basisoperaties' is niet apart opgenomen, en bij hoofdrekenen zowel als bij bewerkingen zijn de onderwerpen optellen en aftrekken en vermenigvuldigen en delen samengenomen tot één onderdeel. Tot slot is meetkunde opgenomen onder het onderdeel meten. 18

21 Resultaten Omdat in de peiling in 2013 voor een deel dezelfde opgaven zijn gebruikt als in 2006 kan een goede vergelijking gemaakt worden van de prestaties in beide peilingsjaren. Uit de vergelijking blijkt dat de leerlingen in 2013 op zes van de zeven onderwerpen significant hoger presteren dan in 2006 (zie figuur 8). De verschillen tussen de jaren zijn niet groot, maar laten over het geheel wel een positieve trend zien. Alleen het verschil bij het onderwerp hoofdrekenen is niet significant. Bij twee onderwerpen is de effectgrootte zodanig dat deze als betekenisvol aangeduid mogen worden. Het betreft de onderwerpen verhoudingen, breuken en procenten (0,26) en meten (0,31). Met een grootte net iets boven de 0,20 moeten we deze effectgroottes als klein kwalificeren. Over het geheel genomen lijkt het er op dat de prestaties in 2013 ten opzichte van 2006 beter zijn. In deze vergelijking is gecontroleerd voor de andere variabelen zoals de verdeling in geslacht en leeftijd. Figuur 8. Effectgrootten voor de vergelijking tussen 2013 en 2006 einde speciaal basisonderwijs (Hollenberg, Scheltens & Van Weerden, 2014) De resultaten van leerlingen aan het einde van het sbo in vergelijking met de referentieniveaus beschrijft men als volgt: "Leerlingen in de eindgroep van het sbo beheersen de inhoud van referentieniveau 1F gedeeltelijk. Als we kijken naar de beste 25% van de leerlingen in de eindgroep van het sbo dan maken zij de meeste opgaven goed bij de volgende onderwerpen: Verhoudingen, Tijd, Gewicht en Verbanden. Ook Meetkunde wordt goed beheerst, maar is slechts met drie opgaven vertegenwoordigd. Bij deze doelen beheersen de leerlingen 60% of meer van de opgaven die aansluiten bij de inhoud van de referentieniveaus. Bij Verhoudingen maken de 25% hoogst scorende leerlingen uit het sbo 74% van de opgaven goed. Voor de overige negen van de veertien doelen is het resultaat lager dan 60%. Het zwakste resultaat wordt behaald bij Getallen en getalrelaties, gevolgd door Breuken. Het resultaat is bij de gemiddelde leerling en de zwakke leerling uiteraard minder goed. Met name bij de zwakke leerling zijn er doelen waarbij het percentage goed beheerste opgaven niet boven de 10% uitkomt en twee maal zelfs op 0% blijft steken. Alles bij elkaar genomen, dat wil zeggen het resultaat van alle domeinen opgeteld, beheerst de goede leerling net iets meer dan de helft van de opgaven goed, de gemiddelde leerling komt tot 19

22 een derde en de zwakke leerling tot een vijfde. Het behalen van het beoogde niveau 1F is voor deze leerlingen dus nog een flinke uitdaging" (Hollenberg et al., 2014, p. 164). 3.2 Jaarlijkse Meting Taal en Rekenen (JMTR) Sinds 2008 bracht Cito als variant op PPON de Jaarlijkse Peiling Onderwijsniveau Nederland (JPON) uit. Deze verslagen waren gebaseerd op de prestaties van leerlingen op de Eindtoets Basisonderwijs. Vanaf 2014/2015 brengt Cito onder regie van de Inspectie van het Onderwijs de Jaarlijkse Meting Taal en Rekenen (JMTR) uit. Het verslag van deze JMTR is gebaseerd op resultaten op de Centrale Eindtoets PO. Bij deze laatste toets worden ook de resultaten van leerlingen op de referentieniveaus gerapporteerd. In deze toetsen zijn vanwege de beschikbare toetstijd en het gekozen toetsdesign (alle leerlingen moeten alle opgaven maken) minder opgaven voor rekenen-wiskunde opgenomen dan in een peiling van PPON. Dat betekent dat er ook minder rapportage-eenheden gedefinieerd worden waarop betrouwbaar en valide kan worden gerapporteerd. Doordat deze meting elk jaar opnieuw wordt uitgevoerd kan een trend 1 in beeld gebracht worden voor drie didactisch betekenisvolle eenheden (Hemker, 2016): 1. getallen en getalsbewerkingen; 2. breuken, procenten en verhoudingen; 3. meten, meetkunde, tijd en geld, inclusief verbanden. Deze trend (zie figuur 9) laat zien dat er vanaf 2008 sprake is van een gestage stijging voor alle drie de eenheden, dat er na een stabilisatie van 2010 naar 2011, in 2012 opnieuw vooruitgang wordt geboekt, maar dat daarna het niveau in 2013 en 2014 weer wat zakt en vervolgens in 2015 weer wat stijgt. Bij de vergelijking met 2015 is voorzichtigheid geboden in de interpretaties omdat er inhoudelijke verschillen zijn tussen de Eindtoets Basisonderwijs (t/m 2014) en de Centrale Eindtoets PO (vanaf 2015). Het verschil tussen 2008 en 2015 blijft wel duidelijk positief, waarbij er een klein onderscheid is tussen getallen en getalsbewerkingen enerzijds en de andere twee eenheden anderzijds (zie verder Hemker, 2016). Opvallend is verder dat de trends bij de drie eenheden min of meer hetzelfde verloop hebben. Het onderscheid tussen de drie rapportage-eenheden in het verloop van de trend is verwaarloosbaar. Omdat de periodiciteit bij PPON een andere is, de laatste meting was in 2011 en die daarvoor in 2004, is een rechtstreeks vergelijking tussen de resultaten van PPON en de JMTR niet te maken (Hemker, 2016). Ook kunnen we bij de JMTR niet meer zien of er binnen de domeinen op de verscheidene rekenonderwerpen verschillen zijn, omdat die niet meer apart gedefinieerd zijn zoals bij PPON wel het geval is. 1 De trend loopt t/m 2015 omdat de inhoud van de Centrale Eindtoets PO t.o.v. de Eindtoets Basisonderwijs wezenlijk is veranderd. Ook voor de vergelijking met de resultaten in 2015 speelt dit al een rol en moet deze met enige voorzichtigheid gebeuren. Bij de vergelijking van 2014 met 2015 is te zien dat de vaardigheden op alle drie de indhoudseenheden stijgen, maar de effectgroottes zijn gemiddeld 0,04, dus zeer klein en niet betekenisvol. 20

23 Figuur 9. Trends in de resultaten voor 2008 tot en met 2015 voor Rekenen bij JMTR (Hemker, 2016) Referentieniveaus 1F en 1S Op basis van de toetsresultaten van de Centrale Eindtoets PO zijn ook uitspraken te doen over de beheersing van de referentieniveaus 1F en 1S voor rekenen. De recente resultaten laten zien dat 87% (in 2016) van de leerlingen het fundamentele referentieniveau 1F aan het einde van de basisschool behaalt. Dit betekent dat de ambitie ten aanzien van het 1F-niveau is waargemaakt (die was gesteld op 85%). Voor het streefniveau 1S ligt dit anders. Dit niveau 1S is in 2016 door 44 à 45% van de leerlingen aan het einde van de basisschool gehaald (Hemker, 2016; Inspectie van het Onderwijs, 2016b; 2017; Ministerie van OCW, 2016). De ambitie voor 1S was gesteld op 65% (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008) (zie ook paragraaf 2.2). Deze ambitie is lang niet gehaald. 3.3 Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) TIMSS is een internationaal steekproefonderzoek naar de prestaties op de basisvaardigheden van leerlingen in groep 6 op het gebied van rekenen-wiskunde en natuurwetenschappen. Nederland heeft tot nu toe vijf maal geparticipeerd in deze vierjaarlijkse studie: in 1995, 2003, 2007, 2011 en TIMSS onderscheidt in haar toetsen voor rekenen-wiskunde drie inhoudelijke domeinen en drie cognitieve domeinen: Inhoudelijke domeinen We geven een korte typering van de inhoudelijke domeinen van rekenen-wiskunde (Mullis & Martin, 2013). Zie voor een uitgebreide beschrijving met specificaties, bijlage Getallen Het domein getallen bestrijkt drie subdomeinen: hele getallen; breuken en kommagetallen; en eenvoudige vergelijkingen en relaties. Voor wat betreft het laatste gaat het om begrijpen van concepten zoals variabelen en onbekenden in eenvoudige vergelijkingen (pre-algebraïsch redeneren) en begrip van relaties tussen hoeveelheden en getallen. 2. Geometrische vormen en meten Het domein geometrische vormen en meten bestrijkt: meten; coördinaten; lijnen; hoeken; figuren en vormen. Er worden twee subdomeinen onderscheiden: punten, lijnen en hoeken; en twee- en driedimensionale vormen. 3. Gegevensweergave Het domein gegevensweergave bestrijkt één subdomein: (af)lezen, interpreteren en representeren). 21

24 Cognitieve domeinen We geven een korte typering van de cognitieve domeinen van rekenen-wiskunde (Mullis & Martin, 2013). Zie voor een uitgebreide beschrijving met specificaties, bijlage Weten Het cognitieve domein weten bestrijkt feiten, concepten en procedures. Bij dit domein gaat het zowel om basiskennis (wiskundetaal, getallenfeiten, e.d.) als om concepten die wiskundig denken mogelijk maken. 2. Toepassen Het domein toepassen gaat over het gebruiken van kennis en conceptueel begrip om problemen op te lossen en vragen te beantwoorden.het betreft daarbij zowel toepassen in contextproblemen als toepassen in wiskundige problemen. De nadruk ligt op standaard- en routinematige problemen. 3. Redeneren Het domein redeneren gaat verder dan het oplossen van standaardproblemen: hierbij gaat het om onbekende situaties, complexe contexten en problemen die meerdere oplossingsstappen vereisen. Dit domein omvat logisch en systematisch denken, zowel in contextsituaties als in wiskundige problemen, waarbij het gaat om nieuwe, ongebruikelijke en complexe problemen. Trends in totaalscores Sinds het vorige TIMSS onderzoek in 2011 is de gemiddelde score van Nederlandse groep 6 leerlingen op de TIMSS-rekentoets in 2015 significant gedaald (Meelissen & Punter, 2016). De gemiddelde totaalscore in 2015 is 530. Dit is nog steeds ruim boven het internationale schaalgemiddelde van 500, maar het is ook de laagste score die Nederland in de afgelopen twintig jaar voor TIMSS rekenen heeft gehaald. De relatieve score van Nederland (de positie op de internationale ranglijst van participerende landen) is eveneens gedaald. Dat is ook het geval als alleen naar significante verschillen tussen landen wordt gekeken (deze laatste zijn weergegeven in figuur 10) Absolute totaalscore Plaats t.o.v. andere landen* Deelnemende landen *Hier is de positie op de ranglijst aangegeven afgeleid van het aantal landen dat in het betreffende jaar een significant hogere totaalscore behaalde dan Nederland. Figuur 10. Absolute en relatieve totaalscores TIMSS rekenen-wiskunde Nederlandse leerlingen (Mullis et al., 1997; Mullis, Martin, Gonzalez, & Chrostowski, 2004; Mullis, Martin, & Foy, 2008; Mullis, Martin, Foy, & Arora, 2012; Mullis, Martin, Foy & Hooper, 2016). Behaalde niveaus TIMSS hanteert vier benchmarks om het niveau van leerlingen te duiden (Meelissen et al., 2016).: het geavanceerde niveau (gerelateerd aan een toetsscore van 625) het hoge niveau (gerelateerd aan een toetsscore van 550) het middenniveau (gerelateerd aan een toetsscore van 475) het lage niveau (gerelateerd aan een toetsscore van 400). Figuur 11 toont de percentages Nederlandse leerlingen die de respectievelijke niveaus behalen in de loop van de verschillende TIMSS onderzoeken. 22

25 Geavanceerd 12% 5% 7% 5% 4% Hoog 50% 44% 42% 44% 37% Midden 87% 89% 84% 88% 83% Laag 99% 99% 98% 99% 99% Figuur 11. Percentage Nederlandse leerlingen dat het geavanceerde, hoge, midden en lage niveau behaalt, (Meelissen & Punter, 2016). In alle afnamejaren behalen vrijwel alle Nederlandse leerlingen het lage niveau. Het internationaal gemiddelde van leerlingen die het lage niveau in 2015 behalen is 93% (Mullis et al., 2016). Het percentage Nederlandse leerlingen dat het middenniveau behaalt in 2015 is 83. Dat is meer dan het internationaal gemiddelde van 75% vande leerlingen die dit niveau haalt maar ook het laagste Nederlandse percentage voor het middenniveau sinds Het percentage Nederlandse leerlingen dat het hoge niveau haalt is sinds 1995 significant gedaald tot 37 in Dit percentage is vergelijkbaar met het internationaal gemiddelde van 36 % van de leerlingen die het hoge niveau haalt, maar ook hierbij geldt dat dit voor Nederland het laagste percentage is sinds Het percentage Nederlandse leerlingen dat het geavanceerde niveau haalt is sinds 1995 significant gedaald tot 4% in2015, maar is in de periode vergelijkbaar gebleven. Dit is ook het laagste percentage voor Nederland op dit niveau sinds Het internationaal gemiddelde van leerlingen die het geavanceerde niveau behalen is 6%. De conclusie uit TIMSS 2011 dat het Nederlandse basisonderwijs weinig zeer zwakke leerlingen kent, maar ook weinig leerlingen die excelleren in rekenen wiskunde (Meelissen et al., 2012) is in 2015 nog steeds geldig. Bovendien kan nu worden geconcludeerd dat steeds minder leerlingen de niveaus daar tussenin behalen, waarbij met name de daling van het percentage leerlingen dat het hoge niveau behaalt opvalt. Prestaties op de inhoudelijke en cognitieve domeinen Voor wat betreft de inhoudelijke domeinen presteren Nederlandse leerlingen in alle drie de afnamejaren het beste op het domein gegevensweergave en het laagste op het domein geometrische vormen en meten (zie figuur 12) Inhoudelijke domeinen - Getallen **, *** - Geometrische vormen en meten Gegevensweergave * 539 *** Cognitieve domeinen - Weten * 521 **, *** - Toepassen **, *** - Redeneren Totaal *** * Significante verbetering ten opzichte van TIMSS 2007; ** Significante daling ten opzichte van TIMSS 2007; *** Significante daling ten opzichte van Figuur 12. Deelscores op inhoudelijke en cognitieve domeinen rekenen-wiskunde in 2007, 2011 en 2015 (Meelissen et al., 2012; Meelissen et al., 2016) 23

26 Op het domein Getallen zijn de prestaties significant gedaald ten opzichte van 2007 en Op het domein Geometrische vormen en meten zijn de prestaties vergelijkbaar gebleven. Op het domein Gegevensweergave zijn de prestaties in 2011 ten opzichte van 2007 significant gestegen en in 2015 ten opzichte van 2011 weer significant gedaald. Voor de cognitieve domeinen presteren Nederlandse leerlingen de laatste twee afnamejaren het best op het domein Redeneren en alle drie de afnamejaren het laagst op het domeinweten. Op het cognitieve domein Weten zijn de prestaties in 2011 ten opzichte van 2007 significant gestegen en in 2015 ten opzichte van 2007 en 2011 weer significant gedaald. Op het domein Toepassen zijn de prestaties significant gedaald ten opzichte van 2007 en Op het domein Redeneren zijn de prestaties in 2015 hetzelfde als in 2011 en vergelijkbaar met die van 2007 (Van Graft, Van Leeuwen & Van Zanten, 2017). 24

27 4. Uitvoering van het rekenwiskundeonderwijs Het curriculum kan bekeken worden vanuit verschillende perspectieven. In deze domeinbeschrijving maken we onderscheid tussen het beoogd curriculum, het potentieel geïmplementeerd curriculum, het uitgevoerd curriculum en het bereikt curriculum (Thijs & Van den Akker, 2009). Door dit onderscheid te maken kunnen we nagaan of er wellicht discrepanties zijn. Het beoogd curriculum betreft voor het basis- en speciaal basisonderwijs onderwijs de wettelijk vastgelegde kerndoelen en referentieniveaus 1S en 1F voor rekenen-wiskunde. De kerndoelen beschrijven wat in het onderwijs moet worden aangeboden, de referentieniveaus beschrijven wat leerlingen moeten beheersen. In hoofdstuk 2 zijn de kerndoelen en referentieniveaus uitgebreid besproken. Het potentieel geïmplementeerd curriculum betreft de uitwerkingen van het beoogde curriculum, bijvoorbeeld in leerlijnen, tussendoelen, reken-wiskundemethodes en (digitale) programma's. Deze materialen hebben grote invloed op hoe leraren hun rekenlessen interpreteren en vormgeven. Het uitgevoerd curriculum heeft betrekking op de onderwijs- en leerprocessen zoals ze daadwerkelijk plaatsvinden in de klas en in de school. Tot slot is er het bereikte of gerealiseerde curriculum: wat zijn de prestaties van de leerlingen op het gebied van rekenen-wiskunde, bijvoorbeeld aan het eind van het basis- en speciaal basisonderwijs? Deze prestaties worden vastgesteld door landelijke toetsen zoals de toetsen van het leerling- en onderwijsvolgsysteem (LOVS), eindtoetsen, maar ook door internationale toetsen als TIMSS. In hoofdstuk 3 is hier uitvoerig op ingegaan. Wat weten we en kunnen we zeggen over het uitgevoerde curriculum voor rekenen-wiskunde en daarbij ook over de relatie met het beoogde curriculum en het potentieel geïmplementeerde curriculum? 4.1 Potentieel geïmplementeerd curriculum De kerndoelen en de referentieniveaus voor 1F en 1S zijn in de wet vastgelegd en behoren daarmee tot het beoogde curriculum. Ze beschrijven alleen het aanbod/beheersingsniveau dat is gewenst aan het einde van het primair onderwijs. Er worden geen leerlijnen en doelen per leerjaar gegeven. Voor ontwikkelaars van leermaterialen zoals reken-wiskundemethodes, additionele materialen, softwareprogramma's en toetsen zijn deze beschrijvingen echter te globaal om onderwijs of toetsen bij te maken. In Nederland zijn verschillende landelijke instellingen die daarom vertalingen maken van het beoogd curriculum. SLO heeft bij de kerndoelen leerlinhouden per twee leerjaren ontwikkeld ( zj). Ook het Freudenthal instituut heeft in het project Rekenlijn een doorlopende leerlijn voor rekenenwiskunde beschreven van de vier domeinen uit het referentiekader van groep 2 tot en met de eerste jaren in het voorgezet onderwijs. De achtergrond en de inhouden hiervan zijn te vinden op Bij de referentieniveaus 1F en 1S is door SLO een concretisering gemaakt. Hierin zijn de referentieniveaus uitgebreid beschreven met voorbeelden uit reken-wiskundemethodes (Noteboom et al., 2011). Recent zijn door SLO ook tussendoelen ontwikkeld voor groep 2 tot en met groep 8, uitkomend op referentieniveau 1S. Dit omdat men te weinig zicht heeft op wat leerlingen per leerjaar ongeveer zouden moeten beheersen, om aan het eind van het (speciaal) basisonderwijs 1S te bereiken (Noteboom, Aartsen & Lit, 2017). 25

28 Deze doelen geven richting, maar hebben geen wettelijke status. De conceptversie van deze doelen wordt gebruikt door auteurs van nieuwe reken-wiskundemethodes en toetsen. Er zijn momenteel in Nederland acht reken-wiskundemethodes op de markt, alle gepubliceerd door onafhankelijke, commerciële uitgevers. Er is geen recente inventarisatie over het gebruik van reken-wiskundemethodes beschikbaar. De vier meest gebruikte methodes (Scheltens et al., 2013) die in 2011 samen op naar schatting 95% van de scholen in gebruik waren, waren De Wereld in Getallen (4e editie), Pluspunt (3e editie), Alles Telt (2e editie) en Rekenrijk (2e editie). Auteurs hebben bij het ontwikkelen gebruik gemaakt van de leerlinhouden van TULE ( zj). In de actuele edities van deze vier methodes staat expliciet aangegeven dat zij zijn gebaseerd op (onder andere) de kerndoelen 2006 en het referentiekader. Deze edities zijn verschenen in de periode De uitgevers van de methodes hebben zelf overzichten gepubliceerd waarin zij laten zien hoe de referentieniveaus zijn terug te vinden in hun methodes. In hoeverre dit daadwerkelijk zo is, is niet bekend. Dit nagaan is sowieso lastig, omdat zowel de kerndoelen als de referentieniveaus erg globaal beschreven zijn. Dit geeft veel ruimte voor eigen interpretaties. De huidige reken-wiskundemethodes bieden, nog meer dan voorheen, al in een vroeg stadium binnen alle leerjaren differentiatielijnen aan, meestal op drie niveaus: een minimumlijn, een basislijn en een lijn voor leerlingen die meer aankunnen. In brochures en handleidingen wordt aangegeven dat de basislijn toewerkt naar beheersing op 1S-niveau en dat de minimumlijn overeenkomt met niveau 1F. De 1F- en 1S-niveaus worden dus niet alleen gerelateerd aan het te bereiken eindniveau in groep 8, maar ook gekoppeld aan de niveaus van de voorgaande leerjaren. De meeste rekenmethodes bieden al vanaf groep 3 een gedifferentieerd aanbod op niveaus, zowel in de beschrijving van doelen, de opgaven als in de toetsen. Naast methodeafhankelijke toetsen worden er in Nederland ook methodeonafhankelijke, genormeerde toetsen aangeboden. De toetsen rekenen-wiskunde van het LOVS van het Cito (Janssen et al., 2009) zijn de meest gehanteerde toetsen, die zowel in het basisonderwijs als in het speciaal basisonderwijs worden gebruikt. De inhouden van deze halfjaarlijkse toetsen zijn belangrijke richtpunten voor auteurs van rekenmethodes. Dat is zo gebleven ook na de invoering van de referentieniveaus. 4.2 Uitgevoerde curriculum In Nederland leunen leraren sterk op de reken-wiskundemethode. Zo n 94% van de basisschoolleraren geeft aan dat de gehanteerde methode de belangrijkste bron is voor hun onderwijs (Meelissen et al., 2012) en meer dan driekwart van de basisschoolleraren geeft aan hun methode voor meer dan 90% te volgen (Hop, 2012). We weten uit de rekenverbetertrajecten van School aan Zet dat onder invloed van opbrengstgericht werken het gebruikelijk is dat leraren in hun groepen drie niveaus hanteren: de 'gemiddelde' groep, leerlingen die moeite hebben met de basisstof, en de betere leerlingen die minder stof hoeven te maken en minder met de leerkrachtgebonden lessen mee hoeven te doen. Deze manier van werken wordt ook gefaciliteerd door de differentatielijnen in de actuele reken-wiskundemethodes (zie potentieel geïmplementeerde curriculum). De leerlingen die moeite hebben met de leerstof, krijgen extra instructie. Leraren rapporteren dat ze deze vorm van differentiëren veel toepassen (Prast, Van de Weijer-Bergsma, Kroesbergen & Van Luit, 2015). Experts 2 constateren echter dat vaak wordt gewerkt met vaste niveaugroepen voor een langere periode. Leerlingen worden bijvoorbeeld ingedeeld in drie rekenniveaus op basis van hun resultaten op de LOVS-toets van Cito en blijven dan gedurende een langere periode in dezelfde niveaugroep. 2 Dit komt niet voort uit systematisch onderzoek maar wordt tijdens netwerkbijeenkomsten door onderwijsadviseurs unaniem aangegeven. 26

29 Minder komt voor dat ze per methodeblok (van 3-5 weken) in eenzelfde niveaugroep zitten waarbij na de toets de groepen weer anders worden ingedeeld op basis van de toetsuitslagen. Een flexibeler indeling in niveaugroepen is wenselijk om effectief in te kunnen spelen op onderwijsbehoeften. In het verlengde hiervan stelt de Inspectie van het Onderwijs dat het er op lijkt dat het voor een deel van de leraren basisonderwijs een te grote opgave is om in te spelen op verschillen tussen leerlingen, vooral in de instructiefase van de les (Inspectie van het Onderwijs, 2016a). Dat komt overeen met de mening van experts op het gebied van differentiatie bij rekenenwiskunde die aangeven dat er behoefte bestaat aan professionalisering op dit gebied (Prast et al., 2015). Een tweede bevestiging hiervan geeft de rapportage vantimss-2015t: Nederlandse leraren volgen weliswaar weinig nascholing op het gebied van rekenenwiskunde, maar de nascholing díe wordt gevolgd betreft relatief vaak het inspelen op leerbehoeften van individuele leerlingen. In recent onderzoek geven veel leraren aan dat zij met name moeite hebben met differentiëren ten behoeve van betere rekenaars (Prast et al., 2015). Ook het onderzoek van Doolaard (2013) identificeerde knelpunten in dit verband: bepaalde vooroordelen die leven onder leraren (zoals: moeilijker werk wordt door leerlingen ervaren als een straf; goede leerlingen kunnen wel zelfstandig werken); de mogelijkheid te differentiëren in klassikale situaties; het kiezen van geschikt materiaal voor betere leerlingen; de eigen beheersing van leerstof; het ontbreken van visie en doelstellingen; onvoldoende voorbereidingstijd; ontoereikende kennis van de ontwikkeling van leerlingen om reacties en gedrag van sterke leerlingen adequaat te interpreteren. De inspectie (Inspectie van het Onderwijs, 2015) constateert dat het aanpassen van onderwijs voor sterkere leerlingen erg is gerelateerd aan de beschikbare methoden en materialen en dat materialen vaak meer sturend zijn dan de onderwijsbehoeften van betere leerlingen. Ook stelt de inspectie dat niet alle leraren beschikken over de benodigde tijd, kennis en ervaring om goed om te gaan met betere leerlingen. Deze leerlingen krijgen weinig instructie en juist moeilijke opdrachten worden overgeslagen. Dit terwijl onderzoek laat zien dat bijvoorbeeld het regelmatig blootstellen van sterke rekenaars aan complexe probleemoplossingsopgaven zowel de motivatie als de prestaties van deze leerlingen sterk doet stijgen (Smale-Jacobse & Hoekstra, 2013). In het onderzoek van TIMSS-2015 (Meelissen et al., 2016) wordt beschreven dat Nederlandse leraren veel werkdruk ervaren en dat die werkdruk mogelijk gerelateerd kan worden aan het omgaan met verschillen. Knelpunten die leraren rapporteren zijn vooral dat ze te weinig tijd hebben voor individuele leerlingen en dat de klassen te groot zijn. Een derde punt dat veel wordt genoemd door leraren is dat er te veel administratieve taken zijn. Dit kan mogelijk worden gerelateerd aan de administratie van leerlingvorderingen en maatregelen met als doel om tegemoet te komen aan verschillen in onderwijsbehoeften van leerlingen. Het voert te ver in het kader van deze inhoudelijke domeinbeschrijving dieper in te gaan op met name informatie over het uitgevoerde curriculum. Daarvan is wat betreft rekenen-wiskunde in het basis- en speciaal onderwijs in Nederland trouwens ook nog betrekkelijk weinig bekend. De domeinbeschrijving, en daarmee ook de peiling, dient wel aan te sluiten bij het rekenwiskundeonderwijs zoals dat in de dagelijkse rekenlessen aan de orde is geweest. Vooralsnog wordt uitgegaan van informatie over het beoogde en het potentieel geïmplementeerde curriculum. 27

30 5. Te peilen vaardigheden in 2019 Het doel van de peiling van de leeropbrengsten is vaststellen wat leerlingen aan het eind van het basis- en speciaal basisonderwijs kennen, kunnen en begrijpen op het leergebied rekenenwiskunde.de wettelijke kaders (kerndoelen en referentieniveaus), ofwel het beoogd curriculum, vormen daarbij uitgangspunt. Daarnaast is het belangrijk aan te sluiten bij hoe de kerndoelen en referentieniveaus in lesmateriaal, waaronder reken-wiskundemethodes, zijn uitgewerkt: het zogenaamde potentieel geïmplementeerd curriculum (zie hoofdstuk 4). Om iets te kunnen zeggen over de rekenvaardigheid van leerlingen, is een toets nodig, waarin de hele breedte van wat we onder rekenvaardigheid verstaan (bepaald via de kerndoelen en referentieniveaus) kan worden gemeten. Daarmee garanderen we de (inhouds)validiteit van de toets. Het is daarnaast wenselijk om niet alleen vast te stellen hoe rekenvaardig de leerlingen zijn, maar ook om meer specifiek te weten op welke domeinen, subdomeinen en rekenonderwerpen ze beter of minder goed presteren. Gedetailleerde informatie geeft meer handvatten om ons reken-wiskunde onderwijs, indien nodig, aan te passen en verbeteren. Een voorbeeld: zoals eerder is gesteld, geeft een score op het domein Getallen meer informatie dan een score op rekenvaardigheid in het algemeen. Maar als we binnen het domein Getallen ook weten hoe leerlingen presteren op bijvoorbeeld het rekenonderwerp otellen en aftrekken, dan biedt dat nog meer informatie. Onder het domein Getallen vallen immers niet alleen optellen en aftrekken, maar ook vermenigvuldigen en delen, getalbegrip, enzovoorts. Het zou kunnen dat leerlingen op het rekenonderwerp vermenigvuldigen en delen beter presteren en op optellen en aftrekken juist slechter, maar dat dat in een score op het hele domein Getallen niet zichtbaar is, omdat daar de prestaties op beide onderwerpen gemiddeld kunnen worden. Specifieke informatie is wenselijk. Afhankelijk van het gekozen toetsdesign zullen er dan meer opgaven (volledig toetsdesign) danwel meer leerlingen (onvolledig toetsdesign) meegenomen moeten worden. Hier zit een spanningsveld tussen wenselijkheid en haalbaarheid, waarmee bij de keuze van de domeinen, subdomeinen en rekenonderwerpen rekening gehouden moet worden. In dit hoofdstuk beschrijven we welke domeinen, subdomeinen en rekenonderwerpen in de nieuwe peiling voor rekenen-wiskunde in het voorjaar 2019 opgenomen zouden moeten worden. We merken hierbij op dat het hoofdzakelijk gaat over de wenselijkheid en minder over de haalbaarheid. De beschrijving is primair gericht op welke aspecten van rekenen-wiskunde we wenselijk achten om te peilen én wenselijk achten om specifieke informatie over te krijgen. Allereerst wordt het overzicht gegeven van de domeinen, subdomeinen en rekenonderwerpen die minimaal in de peiling betrokken dienen te worden. In paragraaf 5.2 wordt ieder onderdeel van dat overzicht toegelicht. Daarbij worden de keuzes en de specificaties aangegeven en verantwoord voor uitwerking van instrumenten voor de peiling. 28

31 5.1 Minimale richtlijnen voor de domeinbeschrijving van 2019 We geven hier puntsgewijs aan welke domeinen, subdomeinen en rekenonderwerpen in ieder geval in de peiling van rekenen-wiskunde opgenomen moeten worden. Vervolgens wordt in paragraaf 5.2 bij elk van deze punten een toelichting/verantwoording gegeven. 1. De peiling meet het beheersingsniveau van leerlingen ten aanzien van het referentiekader rekenen, voor alle vier domeinen uit het referentiekader: Getallen, Verhoudingen, Meten en meetkunde, Verbanden. 2. Voor alle vier domeinen dient niet alleen te worden vastgesteld óf de leerlingen presteren op niveau 1F of 1S, maar ook in welke mate. 3. Voor het domein Getallen wordt minimaal gepeild op de subdomeinen 1. getalbegrip en getalrelaties en 2. bewerkingen: Voor het subdomein getalbegrip en getalrelaties (met hele getallen, decimale getallen en breuken) maken we geen verder onderscheid in rekenonderwerpen. Voor het subdomein bewerkingen wel: Bewerkingen bestaat uit drie rekenonderwerpen: 1. bewerkingen: optellen en aftrekken (met hele getallen, decimale getallen en breuken); 2. bewerkingen: vermenigvuldigen en delen (met hele getallen, decimale getallen en breuken); 3. bewerkingen: combinaties van bewerkingen (met hele getallen, decimale getallen en breuken). 4. Voor het domein Verhoudingen wordt minimaal gepeild op de rekenonderwerpen: 1. verhoudingen (inclusief breuken) 2. procenten (inclusief breuken) 5. Voor het domein Meten en meetkunde wordt minimaal gepeild op de subdomeinen 1. meten 2. meetkunde. Voor het domein Meten onderscheiden we vijf rekenonderwerpen: 1. lengte en omtrek, 2. oppervlakte; 3. inhoud; 4. gewicht; 5. tijd; Voor het subdomein meetkunde maken we geen onderscheid in rekenonderwerpen. 6. De peiling meet het beheersingsniveau van leerlingen op het domein Verbanden. 7. De peiling geeft binnen de domeinen Getallen en Verhoudingen informatie over beheersing van 'kale- of contextloze opgaven' enerzijds en 'contextopgaven' anderzijds. 8. De peiling geeft informatie over het beheersingsniveau van leerlingen van opgaven met hele getallen, opgaven met decimale getallen en opgaven met breuken. Deze betreffen alleen opgaven uit het domein Getallen en voor breuken ook het domein Verhoudingen. 9. De peiling geeft informatie over de beheersing van leerlingen van opgaven waarin ze moeten schatten, schattend rekenen en redeneren en afronden. Dit betreft alle vier de domeinen. 10. De peiling meet het beheersingsniveau van leerlingen op het rekenen met de rekenmachine. 11. De peiling meet het beheersingsniveau van leerlingen op 'probleemoplossen'. Bovenstaande punten zijn opgenomen in de matrix in figuur 13. Het voorstel is dat op elk rekenonderwerp dat horizontaal genoteerd staat gerapporteerd wordt. Staat er geen beschrijving in de kolom 'rekenonderwerp', dan wordt er gerapporteerd op de subdomeinen (zie bijvoorbeeld meetkunde). 29

32 Staat er geen beschrijving bij subdomein, dan wordt alleen gerapporteerd op het domein (zie Verbanden). In de matrix staan verticaal ook enkele onderwerpen waarop het wenselijk is extra informatie te krijgen, dus een rapportage. Hiervoor hoeven geen extra opgaven gemaakt te worden, omdat er geput kan worden uit de opgaven die voor de andere rekenonderwerpen worden gebruikt. Deze onderwerpen zijn verticaal af te lezen in de laatste vijf kolommen van de matrix. Met een stip wordt aangegeven uit welke rekenonderwerpen de informatie gehaald kan worden. In paragraaf 5.2 worden de keuzes verantwoord. Domein Subdomein Rekenonderwerp Kaal/context Omgaan met hele getallen Omgaan met decimale getallen Omgaan met breuken Schattend rekenen 1.1 Getalbegrip en getalrelaties Optellen en aftrekken (hele getallen, decimale getallen en breuken) Vermenigvuldigen en delen (hele getallen, decimale getallen en breuken) Combinaties van bewerkingen (hele getallen, decimale getallen en breuken) 2.1 Verhoudingen (incl. breuken) 2.2 Procenten (incl. breuken) Lengte en omtrek Oppervlakte Inhoud Gewicht Tijd 3.2 Meetkunde 4. Verbanden Figuur 13. Voorstel voor de te rapporteren onderdelen in de peiling rekenen-wiskunde 30

33 5.2 Toelichting bij de keuzes voor de domeinbeschrijving Hieronder worden de gemaakte keuzes uit paragraaf 5.1 toegelicht en verantwoord. 1. De peiling meet het beheersingsniveau van leerlingen ten aanzien van het referentiekader rekenen, voor alle vier inhoudelijke domeinen: Getallen, Verhoudingen, Meten en meetkunde, Verbanden. Voor rekenen-wiskunde in het basisonderwijs vormen de wettelijke kaders, kerndoelen van 2006 en het Referentiekader rekenen (2010) uitgangspunt voor de doelbeschrijving. Hoewel de kerndoelen en het referentiekader verschillende beschrijvingen geven (de kerndoelen beschrijven een inspanningsverplichting voor leraren/het onderwijs en het referentiekader beschrijft beheersingsdoelen voor leerlingen) komen ze vakinhoudelijk grotendeels overeen. Het referentiekader omvat de kerndoelen. Omdat de referentieniveaus van recentere datum zijn dan de kerndoelen én alle huidige documenten op het gebied van reken-wiskundeonderwijs (zoals rekenmethodes, toetsen, leerlijnen) uitgaan van de indeling van het referentiekader, ligt het voor de hand om die indeling ook binnen de peiling aan te houden. Hierbij dient rekening gehouden te worden met de relatieve verdeling van opgaven over deze vier domeinen die in de Toetswijzer eindtoets PO als voorwaarde wordt gesteld (CvTE, 2015). De verschillende toetsinstrumenten in het basis- en speciaal basisonderwijs voor rekenenwiskunde rapporteren nu minimaal op de vier domeinen, maar vaker meer gedetailleerd op subdomeinen. Dat lijkt ook noodzakelijk om voldoende informatie te krijgen voor verdere ontwikkeling van het reken-wiskundeonderwijs en beleid hierover. Wenselijk is dat op de vier verschillende domeinen gerapporteerd wordt, en daarbinnen specifieker op subdomeinen. Hieronder gaan we daar verder op in. 2. De peiling stelt niet alleen vast óf de leerlingen presteren op niveau 1S of 1F, maar ook in welke mate. Het referentiekader beschrijft twee beheersingsniveaus voor einde basis- en speciaal basisonderwijs: het functioneel niveau 1F en het streefniveau 1S. 1S is in principe voor alle leerlingen bedoeld, maar zeker voor leerlingen die in hun vervolgonderwijs doorgaans naar vmbo-gt, havo en vwo gaan. Voor leerlingen die 1S niet kunnen halen, ook niet na extra inspanning, is er het 1F-niveau waarop zij kunnen terugvallen. 1F is voor leerlingen die doorgaans naar vmbo-bb en vmbo-kb gaan in hun vervolgonderwijs. Leerlingen die naar het praktijkonderwijs gaan, hoeven 1F nog niet te halen aan het eind van het basisonderwijs en speciaal basisonderwijs. Het fundamenteel rekenniveau 1F richt zich vooral op basiskennis en vaardigheden die leerlingen nodig hebben in het dagelijks leven. 1S richt zich niet alleen op de basisvaardigheden in eenvoudige situaties, maar ook op meer complexe situaties, met complexere getallen, en op meer abstract en formeel rekenen. Daarnaast gaat het bij 1S ook meer om 'weten waarom', inzicht. 1S en 1F zijn beheersingsniveaus. Anders dan de kerndoelen, die aanbodsdoelen beschrijven, gaat het bij 1S en 1F om beheersingsdoelen: wat moeten de leerlingen aan het einde van het basisonderwijs/speciaal basisonderwijs kennen, kunnen en begrijpen. Op dit moment geven verschillende eindtoetsen voor einde basisonderwijs aan óf leerlingen referentieniveau 1F of 1S hebben gehaald. Dit is echter een erg grove maat. 31

34 Immers, de leerling die nét 1F gehaald heeft en de leerling die net níet 1S gehaald heeft, krijgen eenzelfde uitslag terwijl hun daadwerkelijke vaardigheid heel ver uit elkaar ligt. Meer specifieke informatie in welke mate een leerling het betreffende niveau heeft gehaald is wenselijk. 3. Voor het domein Getallen wordt minimaal gemeten op de subdomeinen Getalbegrip en getalrelaties en Bewerkingen: Getalbegrip en getalrelaties: 1. getalbegrip en getalrelaties (met hele getallen, decimale getallen en breuken); Bewerkingen: 2. bewerkingen: optellen en aftrekken (met hele getallen, decimale getallen en breuken); 3. bewerkingen: vermenigvuldigen en delen (met hele getallen, decimale getallen en breuken); 4. bewerkingen: combinaties van bewerkingen (met hele getallen, decimale getallen en breuken). Binnen het domein Getallen valt alles wat te maken heeft met getalbegrip, getalrelaties en het rekenen (bewerkingen) met getallen. Het gaat dan zowel om werken met hele getallen, decimale getallen als met breuken. Het betreft optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en combinaties van deze bewerkingen, zowel binnen contexten als in formele sommentaal (kale opgaven). Het gaat zowel om inzicht, kennis als vaardigheden en om het rekenen met standaardprocedures en meer handig rekenen, waarbij gebruik wordt gemaakt van relaties tussen en eigenschappen van getallen en bewerkingen. Het gaat om precies rekenen, maar ook om schattend rekenen en redeneren. Dit domein bevat verschillende aspecten. In de onderwijspraktijk zal dit domein minimaal 60% van de onderwijstijd voor rekenen-wiskunde vragen. Daarnaast vormt vaardigheid binnen het domein Getallen ook weer de basis voor het omgaan met bijvoorbeeld verhoudingen (domein Verhoudingen), met meetgegevens (domein Meten en meetkunde) en omgaan met verbanden, zoals met gegevens in tabellen en grafieken (domein Verbanden). Het domein getallen is dus essentieel en ook voorwaardelijk voor verder rekenen. Het is wenselijk om zo goed mogelijk te kunnen peilen op dit domein Getallen. Eén score geeft een heel globale prestatie, maar kan ook een middeling zijn van allerlei scores op subdomeinen. Als leerlingen goed scoren op bijvoorbeeld opgaven rond getalbegrip, of optellen en aftrekken, maar zeer laag op vermenigvuldigen en delen, zal dat in die ene score niet zichtbaar worden. Bovendien geeft die score geen informatie op welke subdomeinen de kwaliteit van het onderwijs wellicht verbeterd zou kunnen worden. De rapportages bij PPON op tien onderwerpen (zie bijlage 4) binnen het domein Getallen geven veel informatie over het niveau van leerlingen op die verschillende deelonderwerpen en gaven destijds ook richting aan het zoeken naar verbeteringen. Door experts is hiervan altijd veel gebruik gemaakt bij het doorontwikkelen van reken-wiskundeonderwijs. Het is wenselijk nog verder te kunnen specificeren, daarbij lettend op zowel het type getallen, als op het type bewerking. Hierbij kan gedacht worden aan het maken van onderscheid bij de bewerkingen tussen rekenen met hele getallen, rekenen met decimale getallen en rekenen met breuken. En bij getalbegrip en getalrelaties ook aan onderscheid tussen 'hele getallen', 'decimale getallen' en 'breuken'. De haalbaarheid om zo specifiek te meten is echter klein: daarvoor zijn teveel opgaven nodig. Daarom is het voorstel om wel op die verschillende onderwerpen (hele getallen, decimale getallen, breuken) apart te rapporteren maar dan door de opgaven te selecteren over het hele domein Getallen (en Verhoudingen). 32

35 Zie hiervoor specificatie 8. Datzelfde geldt ook voor het verzamelen van meer informatie over beheersing van kale opgaven en contextopgaven (zie specificatie 7). De hierboven gestelde indeling komt grotendeels overeen met die van de Toetswijzer Centrale Eindtoets PO (2015). In die indeling wordt geen onderscheid gemaakt tussen basiskennis (uit het hoofd kennen op snelheid), hoofd- of handig rekenen (zonder uitrekenpapier) en bewerkingen waarbij wel papier gebruikt mag worden, dit in tegenstelling tot indelingen van Cito bij PPON en LOVS. Bij alle opgaven mag papier gebruikt worden en bij geen enkele opgave speelt tijdslimiet een rol. Daardoor is enerzijds onderscheid tussen hoofd- en handig rekenen moeilijk meetbaar, anderzijds is het de vraag in hoeverre het behoort tot het onderwijs om de kinderen te 'dwingen' tot een bepaalde oplossingsmanier. Wél zullen opgaven die het rekenen met handige strategieën 'uitlokken' opgenomen moeten worden in de peiling. Voor een verdere operationalisering van de verschillende subdomeinen en specificaties is gebruik gemaakt van de Toetswijzer Centrale eindtoets PO (2015) (zie bijlage 3) waarin de inhouden worden beschreven. Daarnaast is gebruik gemaakt van het document Tussendoelen rekenen-wiskunde voor het primair onderwijs; Uitwerking van rekendoelen voor groep 2 tot en met 8 op weg naar streefniveau 1S (2017) (zie bijlage 7) waarin een concretisering van referentieniveau 1S voor einde basisonderwijs in beheersingsdoelen is geformuleerd. 4. Voor het domein Verhoudingen wordt minimaal gepeild op de subdomeinen: 1. verhoudingen (inclusief breuken) 2. procenten (inclusief breuken) Een verhouding kan gezien worden als verhouding, als breuk en als percentage. Het omgaan met breuken als verhouding, of procenten als verhouding, vraagt ook weer specifieke inzichten, kennis en vaardigheden. Er valt voor te pleiten om alleen te rapporteren op het hele domein, omdat het allemaal verhoudingen zijn. Uitgaande van de onderwijspraktijk, waarbij men baat heeft bij zoveel mogelijk specifieke informatie op rekenonderwerpen is het echter wenselijk om ook een apart rekenonderwerp procenten op te nemen zodat daarop apart gerapporteerd kan worden. Voor breuken zien we af van een aparte categorie 'breuken als verhouding'. We pleiten er wel voor, om op breuken te rapporteren. Maar dan betreft het alle opgaven met breuken uit het domein Getallen én uit het domein Verhoudingen (zie specificatie 8). 5. Voor het domein Meten en meetkunde wordt minimaal gepeild op de subdomeinen meten en meetkunde: Meten: 1. lengte en omtrek 2.oppervlakte 3. inhoud 4. gewicht 5. tijd Meetkunde: 6. meetkunde Bij meten en meetkunde gaat het erom greep te krijgen op de werkelijkheid om ons heen. Binnen het basisonderwijs en speciaal basisonderwijs betreft het vooral om basiskennis en begrip. Bij het domein meten gaat het dan om het meten van allerlei verschijnselen in de werkelijkheid. Leerlingen krijgen begrip van verschillende grootheden (lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd, snelheid en geld), leren meten met verschillende 33

36 instrumenten en leren meetresultaten af te lezen en te interpreteren. Ook het omzetten van maateenheden en de opbouw en decimale structuur van het metrieke stelsel vallen hieronder. Bij Meetkunde ligt de nadruk op het beschrijven van en het greep krijgen op ruimtelijke aspecten van de werkelijkheid. Het ligt voor de hand om de twee subdomeinen meten enmmeetkunde te scheiden. Ze richten zich op verschillende kennis, inzichten en vaardigheden. Het LOVS (Janssen, Scheltens & Kraemer, 2009) neemt lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud en gewicht samen en neemt daarnaast tijd en geld samen. Dit laatste lijkt vooral een pragmatische oplossing. Inhoudelijk hebben deze twee domeinen weinig met elkaar te maken. In de onderzoeken van PPON (Scheltens et al., 2013) en de Toetswijzer Centrale Eindtoets PO (CvTE, 2015) worden lengte en omtrek samengenomen, maar worden alle andere deeldomeinen als zelfstandig beschouwd, waardoor er van elk deeldomein voldoende opgaven in de toets zitten, en er vervolgens ook specifiek op gerapporteerd kan worden. Voor de onderwijspraktijk en -beleid betekent dit meer gedetailleerde informatie die men kan inzetten om de aandacht te richten op die domeinen, waarop leerlingen achter blijven. Dit lijkt een goede keus. Bij de keuze voor het aantal rekenonderwerpen in het subdomein meten spelen ook hier weer de wenselijkheid en de haalbaarheid een rol. Er is voor gekozen om afzonderlijk te rapporteren op elk van de rekenonderwerpen. Een uitzondering betreft het rekenonderwerp 'Geld'. Bij opgaven met geld gaat het bijna altijd om toepassingen en die vallen meestal onder de andere domeinen, bijvoorbeeld binnen Getallen en getalrelaties, binnen Bewerkingen en Verhoudingen, en binnen Meten. Omgaan met geld is wel een belangrijke vaardigheid, maar dan hebben we het vooral ook over financiële geletterdheid, waarbij de nadruk ligt op kunnen budgetteren, verstandige keuzes maken, risico's zien van geld lenen, enzovoort. Dit valt echter buiten het terrein van het leergebied rekenen-wiskunde. Daarnaast komt het omgaan met geld in het dagelijks leven steeds minder voor. Rekenen met geld blijft echter wel belangrijk. Het advies is om niet specifiek op het rekenonderwerp 'Geld' te rapporteren. Ook het onderwerp 'temperatuur' valt in principe onder het subdomein meten, maar neemt in het basisonderwijs zo'n kleine rol in dat het niet de moeite waard lijkt hierop te toetsen en te rapporteren. 6. De peiling meet het beheersingsniveau van leerlingen op het domein Verbanden. Het domein Verbanden betreft het omgaan met tabellen, grafieken, diagrammen en patronen. In het basisonderwijs is dit sinds de invoering van het referentiekader een zelfstandig domein geworden. Voorheen vielen tabellen, grafieken en diagrammen bij bijvoorbeeld de Eindtoets Basisonderwijs onder het domein Studievaardigheden en bij LOVS en PPON onder Meten: toepassingen. In toetsopgaven kwamen (en komen nog steeds) ook in de andere domeinen wel opgaven met grafieken voor, maar deze worden daarbij puur gebruikt als gegevensweergave, niet als een specifiek domein binnen het rekenen. Het onderdeel patronen viel voorheen onder het domein meetkunde. Nog steeds wordt patronen ook als meetkundig onderwerp gezien. Het correct en kritisch omgaan met een veelheid van gegevens verwerkt in grafieken, tabellen en diagrammen wordt echter steeds belangrijker in de steeds grotere digitale wereld. In het basisonderwijs wordt hiervoor al een fundament gelegd. Dit pleit voor het separaat rapporteren op het domein Verbanden in het verlengde van het apart benoemen van dit domein in het referentiekader. De opgaven dienen ook hier een goede afspiegeling te zijn van de volle breedte van het domein Verbanden. 34

37 7. De peiling geeft informatie over beheersing van 'kale- of contextloze opgaven' enerzijds en 'contextopgaven' anderzijds binnen de domeinen Getallen en Verhoudingen. Tot de inhoud van het reken-wiskundeonderwijs hoort dat leerlingen kunnen rekenen in zowel contextsituaties als in contextloze situaties. Bij dat laatste hebben we het vaak over formele sommentaal of 'kale sommen'. In Nederland is vaak discussie over het verschil tussen kale sommen en contextopgaven. Enerzijds is dit mogelijk terug te voeren naar discussies over traditioneel (of wellicht mechanistisch) reken-wiskundeonderwijs (waarin kaal rekenen een grote plek inneemt en de basis vormt voor de didactiek) en realistisch reken-wiskundeonderwijs (waarbinnen contextrekenen centraal staat en de basis vormt voor de didactiek). Anderzijds hebben veel mensen (voornamelijk in de onderwijspraktijk) het idee dat contextrekenen, vanwege de taligheid en het beroep op begrijpend lezen, moeilijker is dan rekenen met kale sommen. Uit onderzoek hiernaar (Hickendorff & Janssen, 2009; Hickendorff, 2013) blijkt dit maar ten dele waar te zijn en ook niet voor alle doelgroepen leerlingen te gelden. Het is niet de bedoeling met de peiling deze discussie aan te wakkeren of juist het verschil tussen beide typen opgaven te benadrukken. Immers, beide behoren tot de inhoud van het reken-wiskundeonderwijs. Wel is het belangrijk om de resultaten op beide type opgaven te weten, zodat bij eventuele verschillen, specifiek extra aandacht besteed kan worden aan onderdelen waarop de resultaten achterblijven of lager zijn dan wenselijk. Bij de constructie van de contextopgaven moet het gaan om pure contextopgaven. Geen raadseltjes of verhaaltjessommen, maar echt betekenisvolle situaties. Daarbij moet erop gelet worden dat de opgaven de rekenvaardigheid meten en niet de leesvaardigheid of het begrijpend lezen. Het advies is om te rapporteren op de beheersing van kale opgaven en de beheersing van contextopgaven uit de domeinen Getallen en Verhoudingen. Hierbij dient rekening gehouden te worden met de relatieve verdeling context/kaal (contextloos) die in de Toetswijzer Centrale eindtoets PO als voorwaarde wordt gesteld (CvTE, 2015). Voor de andere domeinen geldt dat de opgaven altijd in een context worden aangeboden en daarbij dus geen kale opgaven zijn De peiling geeft informatie over het beheersingsniveau van leerlingen van opgaven met hele getallen, opgaven met decimale getallen, en opgaven met breuken. Dit betreft alleen opgaven uit het domein Getallen en voor het onderdeel breuken ook uit het domein Verhoudingen. Zoals eerder is beschreven is het wenselijk om zo specifiek mogelijke informatie te krijgen over wat leerlingen eind groep 8 goed, minder goed en nog niet kennen, kunnen en begrijpen. Kijken we naar een rekenonderwerp als 'optellen en aftrekken', dan valt daar zowel het optellen met hele getallen, decimale getallen en breuken onder, als het aftrekken met hele getallen, decimale getallen en breuken. Het is wenselijk binnen elk van die onderwerpen specifieke informatie te krijgen. Dat is vanwege het aantal opgaven echter niet haalbaar. Toch is het wenselijk meer te weten in welke mate kinderen kunnen rekenen met hele getallen, in welke mate met decimale getallen en eveneens met breuken. Daarom is het advies om over alle subdomeinen en rekenonderwerpen heen uit het domein Getallen te onderzoeken hoe kinderen op hele getallen, decimale getallen en breuken presteren, en uit het domein 3 In de Toetswijzer Centrale Eindtoets PO worden meetopgaven altijd gezien als contextopgaven. Ook een opgave waarin een omzetting gemaakt moet worden (2,5 meter is. centimeter). Deze definitie houden we hier ook aan. 35

38 Verhoudingen ook de opgaven mee te nemen waarin met breuken wordt gerekend. Het ziet er dan als volgt uit: Getallen: hele getallen. Dit betreft alle opgaven uit - getalbegrip en getalrelaties - bewerkingen: optellen en aftrekken - bewerkingen: vermenigvuldigen en delen - bewerkingen: combinaties van bewerkingen waarin met hele getallen wordt gerekend. Getallen: decimale getallen. Dit betreft alle opgaven uit - getalbegrip en getalrelaties - bewerkingen: optellen en aftrekken - bewerkingen: vermenigvuldigen en delen - bewerkingen: combinaties van bewerkingen waarin met decimale getallen wordt gerekend. Getallen: breuken. Dit betreft alle opgaven uit - getalbegrip en getalrelaties - bewerkingen: optellen en aftrekken - bewerkingen: vermenigvuldigen en delen - bewerkingen: combinaties van bewerkingen - berhoudingen waarin met breuken wordt gerekend. 9. De peiling geeft informatie over de beheersing door leerlingen van opgaven waarin ze moeten schatten, schattend rekenen en redeneren en afronden. Dit betreft alle domeinen. Schattend rekenen en redeneren (waaronder afronden) is een belangrijke vaardigheid die steeds belangrijker wordt in een samenleving waarin machines het precies rekenen kunnen overnemen. Mensen moeten dan in staat zijn globaal antwoorden te controleren. Verder zijn er ook veel situaties (in het dagelijks leven) waarbij we niet beschikken over precieze getallen en waarbij werken met geschatte getallen noodzakelijk is. Verder is het vaak niet nodig om precies te rekenen. Het is dan ook belangrijk om na te gaan in hoeverre leerlingen schattend rekenen en redeneren beheersen. Schattend rekenen en omgaan met schattingen is niet domeingebonden. Ook is het niet haalbaar om per subdomein of rekenonderwerp voldoende schattingsopgaven op te nemen om iets over de beheersing kunnen te zeggen. Daarom is het voorstel om in de hele toets voldoende opgaven op te nemen rond schattend rekenen zodat er genoeg opgaven beschikbaar zijn om over schattend rekenen te rapporteren. 10. De peiling meet het beheersingsniveau van leerlingen op het rekenen met de rekenmachine. Kunnen hanteren van en rekenen met de rekenmachine zijn doelen die zowel in de kerndoelen als in de referentieniveaus voorkomen. Ook het verstandig omgaan met de rekenmachine valt hieronder. In een maatschappij waarbij iedereen wel een rekenmachine bij de hand heeft die allerlei lastige berekeningen voor ons kan overnemen, is het vanzelfsprekend dat leerlingen leren en kunnen werken met de rekenmachine. Dit geldt voor alle leerlingen. Zwakkere rekenaars zijn hierbij extra gebaat omdat ze bij opgaven met meer complexe getallen het rekenwerk aan de rekenmachine kunnen overlaten. 36

39 In de toetswijzer is het rekenen met de rekenmachine niet opgenomen omdat het toetsen van deze beheersing met de Centrale Eindtoets PO op grote schaal bij alle leerlingen niet haalbaar was. Om valide en betrouwbare uitspraken te kunnen doen is het namelijk noodzakelijk dat alle leerlingen met eenzelfde type rekenmachine werken. Het advies is om in de peiling van 2019 een representatieve steekproef uit de groep leerlingen die de peiling maakt, opgaven te laten maken met de rekenmachine, zodat hierop gerapporteerd kan worden. De opgaven moeten ook echt een beroep doen op het gebruiken van de rekenmachine, zonder dat het een knoppentest is. Het gaat niet om de vraag óf ze de rekenmachine al dan niet gebruiken, maar of ze de rekenmachine kúnnen gebruiken. 11. De peiling meet het beheersingsniveau van leerlingen op 'probleemoplossen'. Het doel van het reken-wiskundeonderwijs in het primair onderwijs is dat leerlingen gecijferd worden. Rekenvaardigheid en gecijferdheid zijn constructen die niet direct te meten of te operationaliseren zijn. In het referentiekader, maar ook in de kerndoelen zijn deze constructen zo goed mogelijk geoperationaliseerd, maar er is altijd een bepaalde ruimte of bepaald grijs gebied. Gecijferd zijn vraagt van leerlingen ook dat ze op het gebied van rekenen-wiskunde kunnen 'probleemoplossen'. Probleemoplossen krijgt nationaal en internationaal veel aandacht, ook in het kader van de 21e eeuwse vaardigheden.voor beleid en voor het onderwijs is het van belang te kunnen vaststellen, in welke mate leerlingen hier vaardig in zijn. Op basis van de resultaten kan besproken worden of er mogelijk meer aandacht aan besteed moet worden. Meer te weten komen over hoe leerlingen probleemoplossen en hoe vaardig ze hierin zijn is ook wenselijk in het licht van de ontwikkeling van een nieuw curriculum (Onderwijs 2032). Er zijn veel verschillende definities van probleemoplossen in het algemeen, maar ook binnen het vakgebied rekenen-wiskunde. Er zal een heldere definitie moeten zijn op basis waarvan opgaven ontwikkeld kunnen worden en uitspraken gedaan kunnen worden. In deze publicatie verstaan we onder 'probleemoplossend vermogen': de vaardigheid om opgaven op te lossen die op het moment dat ze voorgelegd worden in principe voor de leerling geen routinevraagstukken zijn die ze direct volgens een standaardprocedure of algoritme kunnen oplossen. De opgaven vragen creatief en productief denken. Ze zijn (in principe) nieuw voor de leerling, ook al zijn de inzichten, kennis en vaardigheden die nodig zijn om het probleem op te lossen wel aanwezig bij de leerling. Over het algemeen zijn het problemen die om meer dan twee stappen vragen om tot een oplossing te komen. Bij de beoordeling in hoeverre een leerling kan probleemoplossen gaat het zowel om het oplossingsproces als om de oplossing(en) 4. In bijlage 6 zijn enkele voorbeeldopgaven van probleemoplossen opgenomen. Deze zijnechter niet uitputtend en vooral bedoeld om het gesprek over probleemoplossen op gang te helpen. We pleiten voor een kleinschalig experiment binnen de peiling rekenen-wiskunde 2019 waarin een representatieve groep leerlingen van alle vaardigheidsniveaus opgaven voorgelegd krijgen waarin probleemoplossen centraal staat. De leerlingen worden hierbij individueel begeleid. Het gaat er hierbij niet alleen om te komen tot een goed antwoord, maar ook dat kinderen noteren, laten zien en vertellen hoe zij de geboden problemen oplossen. 4 Deze beschrijving is een compilate van verschillende definities (waaronder PISA (2013) en TIMSS (2013). Er is op dit moment nog geen algemeen gehanteerde definitie voor probleemoplossen in het primair onderwijs voor rekenen-wiskunde. De beschrijving is bedoeld als aanzet voor het komen tot een definitite. 37

40 De beschrijving van probleemoplossen die hierboven gegeven is, is een eerste aanzet. Het is essentieel dat er tussen verschillende experts consensus is over : wat 'probleemoplossen' binnen rekenen-wiskunde in het primair onderwijs inhoudt; dat er bij deze definitie een set van opgaven geconstrueerd wordt daarbij lettend op de moeilijkheidsgraad van de opgaven; wat in het oplossingsproces belangrijke elementen zijn, dit ook ten behoeve van een beoordelingsmodel. Zoals uit de definitie van probleemoplossen binnen rekenen-wiskunde blijkt, omvat deze vaardigheid veel verschillende aspecten (creatief denken, productief denken, problemen met meer dan twee denkstappen, enz). Het advies is om voor deze peiling slechts een of enkele aspecten van probleemoplossen mee te nemen. Experts dienen hierbij een keus te maken. Deze domeinbeschrijving beschrijft wát gepeild zou moeten worden en op welke onderdelen gerapporteerd zou moeten worden. Wát gepeild zou moeten wordenwordt beschreven in paragraaf 5.3. Die uitwerking is een bewerking van de inhouden zoals deze zijn opgenomen in de Toetswijzer bij de Centrale Eindtoets PO (2015). Ook is er gebruik gemaakt van onderdelen uit de tussendoelen rekenen-wiskunde, (Noteboom et al., 2017). De oorspronkelijke beschrijving van de inhouden van de Centrale Eindtoets PO is te vinden in bijlage 3, die van de tussendoelen in bijlage Beschrijving van inhouden ten behoeve van Peil Onderwijs Rekenen-wiskunde Bij deze beschrijving is gebruik gemaakt van de doelomschrijving uit de Toetswijzer Centrale Eindtoets PO (bijlage 3) en de tussendoelen van SLO (bijlage 7). Domein 1. Getallen Het domein Getallen heeft betrekking op getallen, getalsrelaties en het uitvoeren van de elementaire bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en combinaties hiervan) met hele getallen, kommagetallen en breuken. Dit zowel in opgaven met als zonder context. Het betreft feitenkennis, kennis van begrippen, de beheersing van (standaard)procedures en routines, alsmede om het doelmatig (of efficiënt) kunnen toepassen en gebruiken van deze kennis, het leggen van relaties, het inzicht hebben in rekensituaties en hierover kunnen redeneren. Subdomein 1.1 Getalbegrip en getalrelaties hele getallen, kommagetallen, breuken en gemengde getallen uitspreken en noteren (0,45 is 'vijfenveertig honderdsten'; 'honderdtwintigduizend schrijf je: ). Hieronder vallen ook spreektaalaanduidingen als 'een miljard' en 'anderhalf'; verder tellen en terugtellen met hele getallen en kommagetallen; Vergelijken en ordenen van hele getallen, kommagetallen en breuken (Welk getal is het grootste: 0,5 0,29 0,099? Zet in volgorde van klein naar groot: 2/3, 5/6, 3/8.); globaal en precies plaatsen van hele getallen, kommagetallen en breuken op een getallenlijn; afronden van hele getallen, kommagetallen (12,498 geeft, afgerond op een heel getal, als uitkomst 12) en breuken (24/25 is ongeveer 1); splitsen en samenvoegen van hele getallen en kommagetallen en kennen van de betekenis van cijfers en hun plaats in getallen (5300 = 3 x x ; 0, ,001 =. Hoeveel is de 5 waard in het getal 4,561?); relaties weten tussen breuken en kommagetallen (0,03 = 3/100 ; 4/5 = 0,8); doorzien van de structuur van het tientallig stelsel (Met hoeveel moet je 0,001 vermenigvuldigen om 1 te krijgen?). 38

41 Subdomein 1.2. Bewerkingen De toetsinhouden die hieronder beschreven worden hebben zowel betrekking op opgaven met als opgaven zonder context. Om de bewerkingen te kunnen uitvoeren, zijn bepaalde basisvaardigheden nodig, zoals het kennen van de tafels en deeltafels, rekenen onder 100. Deze vaardigheden worden niet afzonderlijk genoemd en dus ook niet afzonderlijk gepeild. Rekenonderwerp optellen en aftrekken met hele getallen, kommagetallen en breuken wiskundetaal (formele sommentaal) gebruiken bij optellen en aftrekken; vertalen van situaties naar wiskundetaal (een laptop voor 579 euro en een laptoptas voor 49,50: in wiskundetaal: 579, ,50 = 598,50 en omgekeerd: bij een optelling of aftrekking in formele sommentaal een situatie beschrijven); doelmatig optellen en aftrekken gebruikmakend van eigenschappen van getallen en van bewerkingen, waaronder ook het 'rekenen met nullen': optellen en aftrekken met getallen met één/twee cijfers, gevolgd door een aantal nullen ( ; ); standaardprocedures, meer of minder verkort, zoals rijgen, splitsen, kolomsgewijs rekenen en cijferen gebruiken bij optellen en aftrekken van grotere hele getallen en kommagetallen met meer cijfers; globaal (benaderend) optellen en aftrekken met grotere hele getallen en kommagetallen (49, , ,35 is ongeveer ); optellen en aftrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken en gemengde getallen in opgaven met en zonder context ( ; 4 2 ; ) Rekenonderwerp vermenigvuldigen en delen met hele getallen, kommagetallen en breuken wiskundetaal (formele sommentaal) gebruiken bij vermenigvuldigingen en delen; vertalen van situaties naar wiskundetaal (3 T-shirts van 9,95 per stuk kosten samen : wiskundetaal: 3 x 9,95 = 29,85 en omgekeerd: bij een vermenigvuldiging of deling in formele sommentaal een situatie beschrijven); doelmatig vermenigvuldigen en delen gebruikmakend van eigenschappen van getallen en van bewerkingen, waaronder ook rekenen met nullen': vermenigvuldigen en delen met getallen van één/twee cijfers gevolgd door een aantal nullen (60 x 400; 3200 : 40) Kommagetallen vermenigvuldigen met en delen door 10, 100, 1000 (1,8 x 100); standaardprocedures, meer of minder verkort, zoals splitsen, kolomsgewijs rekenen en cijferen gebruiken bij bij vermenigvuldigen en delen van grotere hele getallen en kommagetallen; bij delen met rest in contexten de rest juist interpreteren of verwerken (349 kinderen vervoeren in bussen. Per bus kunnen 45 kinderen mee: 659 : 45 = 14, rest 21, dus 15 bussen nodig.); globaal (benaderend) vermenigvuldigen en delen met grotere hele getallen en kommagetallen (49 x 198,97 is ongeveer 50 x 200); vereenvoudigen en gelijknamig maken van breuken en breuken als gemengd getal schrijven ( 6 = 2 ; 3 =.. ; 24 = 4 4 ); deel nemen van een geheel getal, heel getal vermenigvuldigen met een breuk en omgekeerd, zowel in contextopgaven als in opgaven zonder context ( 2 van 700; 300 x );2 5 breuk vermenigvuldigen met een breuk, of deel nemen van een breuk, met name in opgaven met context maar ook in opgaven zonder context ( 3 x 5 ; 1 deel van 1 deel); heel getal delen door een breuk/gemengd getal en breuk/gemengd getal delen door een breuk met name in opgaven met context maar ook in opgaven zonder context (10 kg aardappels verpakken in zakken van 2 1 kg; 1 1 liter in bakjes van 1 liter; 3 : 2 ; 1 1 : 1 )

42 Rekenonderwerp combinaties van bewerkingen met hele getallen, kommagetallen en breuken berekeningen uitvoeren met combinaties van bewerkingen; berekenen van gemiddelde; de geldende regels kennen en toepassen voor de volgorde waarin rekenbewerkingen moeten worden uitgevoerd (voorrangsregels 5 ). Domein 2. Verhoudingen Het denken in en rekenen met verhoudingen komt veel voor in het dagelijks leven. Maar ook in de wiskunde is het een belangrijk onderwerp. Werken met verhoudingen is voor veel kinderen niet gemakkelijk. Het is dan ook belangrijk, dat er in het basisonderwijs al een goede basis in inzicht en vaardigheden gelegd wordt, die verder uitgebouwd wordt in het voortgezet onderwijs. In het basisonderwijs gaat het erom dat leerlingen leren structuur en samenhang van verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en dat zij er in praktische situaties mee rekenen. Verhoudingen kunnen beschreven worden in verhoudingstaal (zoals bij één op de tien Nederlanders of het aantal fietsers is twee keer zo groot als het aantal automobilisten ), maar soms ook in breukentaal (bijvoorbeeld driekwart van de inwoners is ouder dan 25 jaar, dat is drie op de vier ) en met procenten (zoals 70% van de mensen is voor de aanleg van een randweg ). Binnen verhoudingen gaat het dus soms ook om het rekenen met breuken en procenten. Daar waar het om breuken als getallen gaat en bewerkingen met breuken, beschrijven we de doelen bij het domein Getallen. Rekenonderwerp 2.1 verhoudingen verhoudingen herkennen, benoemen, schrijven en gebruiken: als 'zoveel op/per/van de zoveel', als deel van een geheel, als 1:100 (staat tot), als breuk of als percentage; en deze verschillende benamingen met elkaar in verband brengen; oplossen van eenvoudige verhoudingsproblemen met hele getallen, kommagetallen en breuken, bijvoorbeeld bij gebruik van recepten, snelheid, prijs per stuk/kg/liter, mengen, afstanden, vergelijken van groepen met een kenmerk, vergroten en verkleinen; het begrip 'schaal' kennen en rekenen met schaallijnen en schaalnotaties, bijvoorbeeld bij een plattegrond of een kaart of bij modelbouw; verhoudingen met elkaar vergelijken en bepalen of ze gelijk zijn aan elkaar (1 op de 3, is dat meer of minder dan de helft). Rekenonderwerp 2.2 procenten percentage benoemen, schrijven en gebruiken, herkennen als verhouding en omgekeerd; bij verdelingen de ontbrekende percentages berekenen op basis van de kennis dat het geheel 100% is (cirkeldiagram, samenstelling van stof: 80% katoen, de rest is viscose); rekenen met percentages via het deel nemen van, via rekenen met breuken, via verhoudingen, via vermenigvuldigen met een bijbehorend kommagetal of via 1% in opgaven met en zonder context; in een context met eenvoudige getallen berekenen hoeveel procent het deel is (18 van de 90 is 20%), of de toename of afname bedraagt (hoeveel procent winst/korting/verlies/toename); betekenis geven aan percentages boven 100%, en hiermee rekenen in opgaven met en zonder context. verhoudingen en procenten in elkaar omzetten. Procenten en kommagetallen in elkaar omzetten. Breuken en procenten in elkaar omzetten. En daar waar mogelijk verhoudingen en breuken in elkaar omzetten. Dit in opgaven met en zonder context. 5 Voorrangregels: 1. Optellen en aftrekken worden uitgevoerd in de volgorde waarin ze voorkomen (van links naar rechts). 2. Vermenigvuldigen en delen worden uitgevoerd in de volgorde waarin ze voorkomen (van links naar rechts). 3. Vermenigvuldigen en delen gaan vóór optellen en aftrekken. Voorbeelden: = 2; 8 : 2 x 4 = 16; : 2 x 4 = 5. 40

43 Domein 3. Meten en meetkunde Bij meten en meetkunde gaat het erom greep te krijgen op de werkelijkheid om ons heen. Binnen het basisonderwijs gaat het vooral om basiskennis en begrip. Bij het domein meten gaat het dan om het meten van allerlei verschijnselen in de werkelijkheid. Leerlingen krijgen begrip van verschillende grootheden (lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd, snelheid en geld), leren meten met verschillende instrumenten en leren meetresultaten af te lezen en te interpreteren. Ook het omzetten van maateenheden en de opbouw en decimale structuur van het metrieke stelsel vallen hieronder. Bij meetkunde ligt de nadruk op het beschrijven van en het greep krijgen op ruimtelijke aspecten van de werkelijkheid. Subdomein 3.1. Meten Rekenonderwerp lengte en omtrek meetinstrumenten hanteren en aflezen: liniaal, meetlint, rolmaat, kilometerteller; orde van grootte van lengte en omtrek in een situatie inschatten op basis van referentiematen (een deur/bed is ongeveer 2 meter hoog/lang; een mier is wellicht 5 mm, maar geen 50 mm, 5 cm of 5 meter); betekenis geven aan lengtematen en kiezen van de juiste lengtemaat bij een situatie (de afstand tussen steden niet in meters of centimeters maar in kilometers;. omtrek berekenen van rechthoeken en rechthoekige figuren en van grillige figuren benaderen. Gebruiken van de formule 'omtrek is twee keer de lengte en twee keer de breedte' bij het berekenenvan omtrek van rechthoeken; samenhang tussen standaardmaten kennen en herleidingen uitvoeren (bijvoorbeeld 2,3 km = 2300 meter; 1,65 meter is 1 meter en 65 centimeter). Vergelijken en ordenen van lengtematen (afstand van 2,5 km is langer dan van 2400 meter). Het betreft: km, hm, dam, m, dm, cm, mm; oplossen van toepassingsproblemen waarbij herleidingen en berekeningen met lengtematen uitgevoerd moeten worden. Hieronder valt ook het gebruiken van samengestelde grootheden als km/u; prijs/km (zie ook rekenonderwerp 3.1.5). Rekenonderwerp oppervlakte orde van grootte van oppervlakte in een situatie inschatten op basis van referentiematen (de oppervlakte van een deur is ongeveer 2 m 2, van een slaapkamer zo'n 8 m 2 tot 20 m 2 ; een hectare is ongeveer twee voetbalvelden); betekenis geven aan oppervlaktematen en kiezen van de juiste oppervlaktemaat bij een situatie (de oppervlakte van een tuin druk je niet uit in cm 2, van een stad niet in m 2 ); oppervlakte bepalen met natuurlijke of gegeven maten (bijvoorbeeld het aantal tegels dat op een vloer komt te liggen) en oppervlakte berekenen van rechthoeken en rechthoekige figuren en van grillige figuren benaderen. Gebruiken van de formule 'lengte keer breedte is oppervlakte' bij het berekenen van oppervlaktes van rechthoeken; samenhang tussen standaardmaten kennen en herleidingen uitvoeren (2 m 2 = cm 2 ; 1 hectare is 10 are, is 100 m bij 100 m). Het betreft: km 2, hm 2, dam 2, m 2 dm 2, cm 2, mm 2, hectare en are. Vergelijken en ordenen van oppervlaktematen; oplossen van toepassingsproblemen waarbij herleidingen en berekeningen met oppervlaktematen uitgevoerd moeten worden; hieronder valt ook het gebruiken van samenstellingen als prijs/m 2. 41

44 Rekenonderwerp inhoud meetinstrumenten hanteren en aflezen: maatbeker, schaalverdeling; inhoud berekenen van rechthoekige figuren (balken) en hierbij de formule 'inhoud is lengte keer breedte keer hoogte' gebruiken. De inhoud berekenen via het tellen van een natuurlijke maat (pakjes in een doos); samenhang tussen standaardmaten kennen en herleidingen uitvoeren (3 dm 3 = 3000 cm3; 75 cl is 0,75 l). Het betreft: liter, dl, cl en ml, m 3, dm 3, cm 3, mm 3. Vergelijken en ordenen van inhoudsmaten (1,5 l is meer dan 500 ml; 5 l is evenveel als 5 dm 3 ); oplossen van toepassingsproblemen waarbij herleidingen en berekeningen met inhoudsmaten uitgevoerd moeten worden. Hieronder valt ook het rekenen met samenstellingen als prijs/liter. Rekenonderwerp gewicht meetinstrumenten hanteren en aflezen: balans, analoge en digitale weegschaal; betekenis geven aan gewichtsmaten en kiezen van de juiste maat bij een situatie (een pak suiker is meestal een kg, gewicht van een pilletje druk je uit in milligram, gewicht van een groter persoon in kg en niet in gram, uitdrukking in tonnen wordt gebruikt bij echt zware en grote dingen (containers, lading van vrachtwagen); samenhang tussen standaardmaten kennen en herleidingen uitvoeren (2,3 kg = 2300 gram; 1 ton is 1000 kg). Het betreft: mg, cg, dg, g, dag, hg, kg, ton. Vergelijken en ordenen van gewichtsaanduidingen (2,5 kg is meer dan 2000 gram); oplossen van toepassingsproblemen waarbij herleidingen en berekeningen met gewichtsmaten uitgevoerd moeten worden. Hieronder vallen ook samenstellingen als prijs/kg. Rekenonderwerp tijd en snelheid aflezen van tijden, zowel analoog als digitaal en analoge en digitale tijden koppelen; rekenen met tijdsaanduidingen (tijdsverschillen; tijdsduur;. betekenis kennen van kalenderaanduidingen en datumaanduidingen (dag, week, maand, kwartaal, jaar, schrikkeljaar, decennium, eeuw; ); omgaan met de kalender en rekenen met kalenderaanduidingen (volgorde van de maanden van het jaar, dagen per maand, structuur van de kalender; weeknummers); samenhang tussen tijdsaanduidingen en kalenderaanduidingen kennen en herleidingen uitvoeren (anderhalf uur is 90 minuten; in welk kwartaal valt week 15?). Samenstellingen gebruiken als snelheid: km/u; m/s (zie ook 4.1.5). Subdomein 3.2. meetkunde de namen en eigenschappen kennen van meetkundige figuren (driehoek, vierkant, rechthoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek, cirkel, kubus, balk, bol); relaties zien tussen 2D en 3D objecten als foto's, plattegronden, legenda's, bouwplaten; aanzichten van ruimtelijke objecten herkennen en interpreteren; interpreteren van plattegronden en bouwtekeningen; mentaal innemen van standpunten (in de meetkundige betekenis van standpunt;. routes en plaatsten beschrijven en lezen op een kaart (ook met behulp van een rooster); aanduidingen op een windroos kennen (N, NO, O, ZO, Z, ZW, W, NW); symmetrie herkennen, spiegelen in 2D en 3D, spiegelassen in 2D-figuren vinden; meetkundige patronen herkennen en voortzetten. 42

45 Domein 4. Verbanden Binnen het domein Verbanden gaat het voor het basisonderwijs om het omgaan met tabellen, diagrammen en grafieken, legenda's en assenstelsels.er zijn verschillende benamingen voor de weergave van gegevens. Zo spreekt men bijvoorbeeld over staafgrafieken, maar ook staafdiagrammen. Hier gebruiken we de term 'grafiek' alleen als het om een lijngrafiek gaat, in alle andere gevallen gebruiken we de term 'diagram'. Tabellen, diagrammen en grafieken worden tegenwoordig in veel toepassingen frequent gebruikt om getalsmatige (kwantitatieve) gegevens op een compacte en overzichtelijke manier weer te geven. Op de televisie, op sites, in dagbladen en tijdschriften en schoolboeken worden allerlei soorten tabellen, diagrammen en grafieken gebruikt om met name kwantitatieve informatie over te brengen. Aflezen, interpreteren en combineren van de verschillende representatievormen, grafisch weergeven van informatie en het herkennen en beschrijven van een onderliggend verband (als dit er is) of voorspellingen doen zijn belangrijke vaardigheden voor kinderen om te leren. Daar hoort ook bij het uitvoeren van berekeningen met deze verschillende gegevens. lezen en interpreteren van gegevens uit tabellen. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen; lezen en interpreteren van gegevens uit diagrammen zoals cirkeldiagram, staafdiagram (horizontaal, verticaal) en beelddiagram. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen; lezen en interpreteren van gegevens uit lijngrafieken, ook met meer lijnen in één grafiek. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen; verschillende informatiebronnen met elkaar in verband brengen (tabellen, diagrammen en grafieken) en hieruit gegevens lezen, vergelijken en interpreteren. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen. Extra onderdelen: Rekenen met de rekenmachine optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met de rekenmachine bij kale opgaven en bij contextopgaven, ook opgaven waarin een opeenvolging van bewerkingen uitgevoerd moet worden; kritisch beoordelen wanneer gebruik van een rekenmachine handig is en wanneer hoofdrekenen of rekenen op papier meer geëigend is; niet-opgaande delingen uitrekenen met de rekenmachine en 'de rest' correct interpreteren. Probleemoplossen Opgaven vallen onder de categorie 'probleemoplossen' als ze op het moment dat ze voorgelegd worden in principe voor de leerling géén routinevraagstukken zijn, die ze direct algoritimisch kunnen oplossen. De opgaven vragen productief denken. Ze zijn (in principe) nieuw voor de leerling, ook al zijn de inzichten, kennis en vaardigheden die nodig zijn om het probleem op te lossen, wel aanwezig. Over het algemeen zijn het opgaven die om meer dan twee stappen vragen om tot een oplossing te komen 43

46 . 44

47 Bronnen Cito. (2014). Eindtoets Basisonderwijs groep 8. Terugblik en resultaten Arnhem: Cito. CvTE. (zj.). Resultaten Centrale Eindtoets Utrecht: College voor Toetsen en Examens. CvTE. (2014). Algemeen deel Toetswijzer voor eindtoets PO. Utrecht: College voor Toetsen en Examens. CvTE. (2015). Toetswijzer bij de Centrale eindtoets PO taal en rekenen. Inhoudsverantwoording. Utrecht: College voor Toetsen en Examens. CvTE. (2016). Rapportage referentieniveaus Utrecht: College voor Toetsen en Examens. Doolaard, S. (2013). Het streven naar kwaliteit in scholen voor primair onderwijs. Groningen: GION / RUG. Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. (2008a). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Enschede: Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. (2008b). Over de drempels met taal en rekenen. Hoofdrapport van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Enschede: Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. (2009). Een nadere beschouwing. Over de drempels met taal en rekenen. Enschede: Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Graft, M. van, Leeuwen, B. van, Zanten, M. van (2017) Leerplankundige verkenning van TIMSS-trends: Rekenen-wiskunde en natuuronderwijs. Enschede: SLO. Hemker, B. (2016). Peiling van de rekenvaardigheid, de taalvaardigheid en wereldoriëntatievaardigheden in jaargroep 8 van het basisonderwijs in Arnhem: Cito. Hickendorff, M. & Janssen, J. (2009). De invloed van contexten in rekenopgaven op de prestaties van basisschoolleerlingen. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling en praktijk, 28 (4), Hickendorff, M. (2013). The effects of presenting multidigit mathematics problems in a realistic context on sixth graders' problem solving. Cognition and Instruction, 31,

48 Hickendorff, M., Mostert, T.M.M., Dijk, C.J. van, Jansen, L.L.M., Zee, L.L. van der, & Fagginger Auer, M.F. (2017, concept). Rekenen op de basisschool. Een narratieve review van de samenhang tussen beïnvloedbare factoren in het onderwijsleerproces en de rekenwiskundeprestaties van basisschoolleerlingen. Leiden: Universiteit Leiden, Instituut Pedagogische Wetenschappen, afdeling Onderwijswetenschappen. Hollenberg, J., Scheltens, F., & Weerden, J. van (2014). Balans van het rekenwiskundeonderwijs in het speciaal basisonderwijs 4. Arnhem: Cito. Hop, M. (Red.). (2012). Balans van het reken-wiskundeonderwijs halverwege de basisschool 5 (PPON-reeks nummer 47). Arnhem: Cito. Inspectie van het Onderwijs. (2015). Hoe gaan we om met onze best presterende leerlingen? De huidige praktijk in het primair en voortgezet onderwijs, met voorbeelden en vragen ter inspiratie. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs. (2016a). De staat van het onderwijs. Onderwijsverslag 2014/2015. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs. (2016b). Taal en rekenen aan het einde van het basisonderwijs. Peil.onderwijs. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs. (2017). De staat van het onderwijs. Onderwijsverslag 2015/2016. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Inspectie van het Onderwijs. (2017). Taal en rekenen aan het einde van het basisonderwijs. Peil.onderwijs. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Janssen, J., Scheltens, F., & Kraemer, J.-M. (2009). Leerling en Onderwijsvolgsysteem Rekenen-Wiskunde groep 8. Arnhem: Cito. Meelissen, M., & Punter, A. (2016). Twintig jaar TIMSS. Ontwikkelingen in leerlingprestaties in de exacte vakken in het basisonderwijs Enschede: Universiteit Twente. Ministerie van OCW. (2006). Kerndoelen basisonderwijs. Den Haag: Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen. Ministerie van OCW. (2009). Referentiekader taal en rekenen. Den Haag: Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen. Mullis, I., & Martin, M. (2013). TIMSS 2015 Assessment Frameworks. Boston, United States: TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education, Boston College and International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA). Noteboom, A., Os, S. van, & Spek, W. (2011). Concretisering referentieniveaus rekenen 1F/1S. Enschede: SLO. Noteboom, A., Aartsen, A., & Lit, S. van. (2017). Tussendoelen rekenen-wiskunde voor het primair onderwijs: Uitwerking van rekendoelen voor groep 2 tot en met 8 op weg naar streefniveau 1S. Enschede: SLO. 46

49 Prast, E., Van de Weijer-Bergsma, E., Kroesbergen, E., & Van Luit, J. (2015). Readiness-based differentiation in primary school mathematics: Expert recommendations and teacher selfassessment. Frontline Learning Research, 3(2), Prenger, J. & Damhuis, R. (2016). Mondelinge taalvaardigheid in het basisonderwijs: Een domeinbeschrijving ten behoeve van peilingsonderzoek. Enschede: SLO. Scheltens, F., Hemker, B., & Vermeulen, J. (2013). Balans van het reken-wiskunde onderwijs aan het einde van de basisschool 5. Arnhem: Cito. Smale-Jacobse, A. & Hoekstra, R. (2013). Uitdaging en keuzevrijheid voor excellente rekenaars in het basisonderwijs. Groningen: GION / RUG. Thijs, A., & Van den Akker, J. (Red.). (2009). Curriculum in development. Enschede: SLO. Weerden, J. van, Hemker, B., & Mulder, K. (2014). Peiling van de rekenvaardigheid en de taalvaardigheid in jaargroep 8 en jaargroep 4 in Arnhem: Cito. Weerden, J. van, & Hiddink, L. (red.) (2013). Balans van het basisonderwijs. PPON: 25 jaar kwaliteit in beeld. Arnhem: Cito. Zanten, M. van (2015). Probleemoplossen. (Interne publicatie). 47

50 48

51 Bijlagen 49

52

53 Bijlage 1 Karakteristiek en kerndoelen rekenen-wiskunde (2006) Karakteristiek In de loop van het primair onderwijs verwerven kinderen zich - in de context van voor hen betekenisvolle situaties - geleidelijk vertrouwdheid met getallen, maten, vormen, structuren en de daarbij passende relaties en bewerkingen. Ze leren wiskundetaal gebruiken en worden wiskundig geletterd en gecijferd. De wiskundetaal betreft onder andere rekenwiskundige en meetkundige zegswijzen, formele en informele notaties, schematische voorstellingen, tabellen en grafieken en opdrachten voor de rekenmachine. Wiskundig geletterd en gecijferd betreft onder andere samenhangend inzicht in getallen, maatinzicht en ruimtelijk inzicht, een repertoire van parate kennis, belangrijke referentiegetallen en -maten, karakteristieke voorbeelden en toepassingen en routine in rekenen, meten en meetkunde. Meetkunde betreft ruimtelijke oriëntatie, het beschrijven van verschijnselen in de werkelijkheid en het redeneren op basis van ruimtelijk voorstellingsvermogen in twee en drie dimensies. De onderwerpen waaraan kinderen hun wiskundige geletterdheid ontwikkelen, zijn van verschillende herkomst: het leven van alledag, andere vormingsgebieden en de wiskunde zelf. Bij de selectie en aanbieding van de onderwerpen wordt rekening gehouden met wat kinderen al weten en kunnen, met hun verdere vorming, hun belangstelling en de actualiteit, zodat kinderen zich uitgedaagd voelen tot wiskundige activiteit en zodat ze op eigen niveau, met plezier en voldoening, zelfstandig en in de groep uit eigen vermogen wiskunde doen: wiskundige vragen stellen en problemen formuleren en oplossen. In de rekenwiskundeles leren kinderen een probleem wiskundig op te lossen en een oplossing in wiskundetaal aan anderen uit te leggen. Ze leren met respect voor ieders denkwijze wiskundige kritiek te geven en te krijgen. Het uitleggen, formuleren en noteren en het elkaar kritiseren leren kinderen als specifiek wiskundige werkwijze te gebruiken om alleen en samen met anderen het denken te ordenen, te onderbouwen en fouten te voorkomen. Kerndoelen Wiskundig inzicht en handelen 23. De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken. 24. De leerlingen leren praktische en formele reken-wiskundige problemen op te lossen en redeneringen helder weer te geven. 25. De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van reken-wiskundeproblemen te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen. Getallen en bewerkingen 26. De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen. 27. De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn. 28. De leerlingen leren schattend tellen en rekenen. 29. De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. 30. De leerlingen leren schriftelijk optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens meer of minder verkorte standaardprocedures. 31. De leerlingen leren de rekenmachine met inzicht te gebruiken. Meten en meetkunde 32. De leerlingen leren eenvoudige meetkundige problemen op te lossen. 33. De leerlingen leren meten en leren te rekenen met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en temperatuur. 51

54 Bijlage 2 Referentieniveaus 1F en 1S voor rekenen (Expertgroep Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008) Getallen 12 jaar fundament en streef 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben 5 is gelijk aan (evenveel als) 2 en 3 de relaties groter/kleiner dan 0,45 is vijfenveertig honderdsten 3 breuknotatie met horizontale streep, breuknotatie herkennen ook als ¾ teller, noemer, breukstreep Functioneel gebruiken Functioneel gebruiken uitspraak en schrijfwijze van gehele getallen, breuken, decimale getallen getalbenamingen zoals driekwart, anderhalf, miljoen gemengd getal relatie tussen breuk en decimaal getal Weten waarom Weten waarom orde van grootte van getallen beredeneren verschil tussen cijfer en getal belang van het getal 0 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben tienstructuur getallenrij getallenlijn met gehele getallen en eenvoudige decimale getallen getallenlijn, ook met decimale getallen en breuken Functioneel gebruiken Functioneel gebruiken vertalen van eenvoudige situatie naar berekening afronden van gehele getallen op ronde getallen globaal beredeneren van uitkomsten splitsen en samenstellen van getallen op basis van het tientallig stelsel Weten waarom vertalen van complexe situatie naar berekening decimaal getal afronden op geheel getal afronden binnen gegeven situatie: 77,6 dozen berekend dus 78 dozen kopen Weten waarom structuur van het tientallig stelsel opbouw decimale positiestelsel redeneren over breuken, bijvoorbeeld: is er een kleinste breuk? NB. 1S omvat de inhouden van 1F 52

55 Vervolg Getallen 12 jaar fundament en streef 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben uit het hoofd splitsen, optellen en aftrekken onder 100, ook met eenvoudige decimale getallen: 12 = ,25 0,8 + 0,7 producten uit de tafels van vermenigvuldiging (tot en met 10) uit het hoofd kennen: delingen uit de tafels (tot en met 10) uitrekenen: 45 : 5 32 : 8 uit het hoofd optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met "nullen", ook met eenvoudige decimale getallen: : ,5 0, efficiënt rekenen (+, -,, :) gebruik makend van de eigenschappen van getallen en bewerkingen, met eenvoudige getallen optellen en aftrekken (waaronder ook verschil bepalen) met gehele getallen en eenvoudige decimale getallen: ,50 + 1,25 vermenigvuldigen van een getal met één cijfer met een getal met twee of drie cijfers: = 5 uur werken voor 5,75 per uur vermenigvuldigen van een getal van twee cijfers met een getal van twee cijfers: = getallen met maximaal drie cijfers delen door een getal met maximaal 2 cijfers, al dan niet met een rest: 132 : 16 = vergelijken en ordenen van de grootte van eenvoudige breuken en deze in betekenisvolle situaties op de getallenlijn plaatsen: 1 1 liter is minder dan liter 4 2 omzetten van eenvoudige breuken in decimale getallen: 1 2 = 0,5; 0,01 = optellen en aftrekken van veel voorkomende gelijknamige en ongelijknamige breuken binnen een betekenisvolle 34 situatie: ; standaardprocedures gebruiken ook met getallen boven de 1000 met complexere decimale getallen in complexere situaties delingen uit de tafels (tot en met 10) uit het hoofd kennen ook met complexere getallen en decimale getallen: 18 : 100 1, volgorde van bewerkingen efficiënt rekenen ook met grotere getallen delen met rest of (afgerond) decimaal getal: 122 : 5 = vergelijken ook via standaardprocedures en met moeilijker breuken omzetten ook met moeilijker breuken eventueel met rekenmachine optellen en aftrekken ook via standaardprocedures, met moeilijker breuken 34 en gemengde getallen zoals 6 NB. 1S omvat de inhouden van 1F. In deze opsomming is geen verschil gemaakt tussen memoriseren en vlot (binnen enkele seconden) kunnen berekenen. Een deel van de bewerkingen met breuken zoals deel van kunnen bepalen, is beschreven in het subdomein verhoudingen. 53

56 Vervolg Getallen 12 jaar fundament en streef 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben geheel getal (deel van nemen): 1 deel van 150 euro 3 in een betekenisvolle situatie een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal ook een geheel getal vermenigvuldigen met een breuk of omgekeerd vereenvoudigen en compliceren van breuken en breuken als gemengd getal schrijven: = = = een breuk met een breuk vermenigvuldigen of een deel van een deel nemen, met name in situaties: deel van liter een geheel getal delen door een breuk of gemengd getal: 1 10 : 2 2 een breuk of gemengd getal delen door een breuk, vooral binnen een situatie: : ; hoeveel pakjes van liter moet je kopen als je 1 liter slagroom nodig hebt 2 Functioneel gebruiken Functioneel gebruiken globaal (benaderend) rekenen (schatten) als de context zich daartoe leent of als controle voor rekenen met de rekenmachine: Is tien euro genoeg? 2, ,98 + 4, is ongeveer in contexten de rest (bij delen met rest) interpreteren of verwerken verstandige keuze maken tussen zelf uitrekenen of rekenmachine gebruiken (zowel kaal als in eenvoudige dagelijkse contexten zoals geld- en meetsituaties) kritisch beoordelen van een uitkomst standaardprocedures met inzicht gebruiken binnen situaties waarin gehele getallen, breuken en decimale getallen voorkomen Weten waarom Weten waarom interpreteren van een uitkomst met rest bij gebruik van een rekenmachine weten dat er procedures zijn die altijd werken en waarom decimale getallen als toepassing van (tiendelige) maatverfijning kennis over bewerkingen: = 5 + 3, maar NB. 1S omvat de inhouden van 1F. In de verschillende cellen zijn voorbeelden genoemd. Deze zijn niet uitputtend. 54

57 Verhoudingen 12 jaar fundament en streef 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben een vijfde deel van alle Nederlanders korter 1 schrijven als deel van ,5 is 3 en 10 1 op de 4 is 25% of een kwart van geheel is 100% Functioneel gebruiken Paraat hebben 1 schrijfwijze 260 of formele schrijfwijze 1 : 100 ( staat tot ) herkennen en gebruiken verschillende schrijfwijzen (symbolen, woorden) met elkaar in verband brengen Functioneel gebruiken notatie van breuken (horizontale breukstreep), decimale getallen (kommagetal) en procenten (%) herkennen taal van verhoudingen (per, op, van de) verhoudingen herkennen in verschillende dagelijkse situaties (recepten, snelheid, vergroten/verkleinen, schaal enz.) schaal Weten waarom Weten waarom relatieve vergelijking (term niet) 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben eenvoudige relaties herkennen, bijvoorbeeld dat 50% nemen hetzelfde is als de helft nemen of hetzelfde als delen door 2 procenten als decimale getallen (honderdsten) veel voorkomende omzettingen van percentages in breuken en omgekeerd Functioneel gebruiken Functioneel gebruiken beschrijven van een deel van een geheel met een breuk breuken met noemer 2, 4, 10 omzetten in bijbehorende percentages eenvoudige verhoudingen in procenten omzetten bijv. 40 op de 400 breuken en procenten in elkaar omzetten breuken benaderen als eindige decimale getallen verhoudingen en breuken met een rekenmachine omzetten in een (afgerond) kommagetal Weten waarom Weten waarom relatie tussen breuken, verhoudingen en percentages breuken omzetten in een kommagetal, eindig of oneindig aantal decimalen NB. 1S omvat de inhouden van 1F. 55

58 Vervolg Verhoudingen 12 jaar fundament en streef 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben rekenen met eenvoudige percentages (10%, 50%,...) Functioneel gebruiken rekenen met percentages ook met moeilijker getallen en minder mooie percentages (eventueel met de rekenmachine) Functioneel gebruiken eenvoudige verhoudingsproblemen (met mooie getallen) oplossen problemen oplossen waarin de relatie niet direct te leggen is: 6 pakken voor 18 euro, voor 5 pakken betaal je dan... Weten waarom gebruik dat geheel 100% is ontbrekende afmeting bepalen van een foto die vergroot wordt rekenen met eenvoudige schaal Weten waarom eenvoudige verhoudingen met elkaar vergelijken: 1 op de 3 kinderen gaat deze vakantie naar het buitenland. Is dat meer of minder dan de helft? vergroting als toepassing van verhoudingen bij procenten mag je niet zomaar optellen en aftrekken (10% erbij 10% eraf) betekenis van percentages boven de 100 relatieve grootte: de helft van iets kan minder zijn dan een kwart van iets anders NB. 1S omvat de inhouden van 1F. In verschillende cellen zijn voorbeelden genoemd. Deze zijn niet uitputtend. 56

59 Meten en Meetkunde 12 jaar fundament en streef 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben uitspraak en notatie van o (euro)bedragen o tijd (analoog en digitaal) o kalender, datum ( ) o lengte- oppervlakte en inhoudsmaten o gewicht o temperatuur omtrek, oppervlakte en inhoud namen van enkele vlakke en ruimtelijke figuren, zoals rechthoek, vierkant, cirkel, kubus, bol veelgebruikte meetkundige begrippen zoals (rond, recht, vierkant, midden, horizontaal etc.) Functioneel gebruiken are, hectare ton (1000 kg) betekenis van voorvoegsels zoals milli-, centi-, kilo- (standaard) oppervlaktematen km 2, m 2, dm 2, cm 2 (standaard) inhoudsmaten m 3, dm 3, cm 3 Functioneel gebruiken meetinstrumenten aflezen en uitkomst noteren; liniaal, maatbeker, weegschaal, thermometer etc. verschillende tijdseenheden (uur, minuut, seconde; eeuw, jaar, maand) aantal standaard referentiematen gebruiken ( een grote stap is ongeveer een meter, in een standaard melkpak zit 1 liter) eenvoudige routebeschrijving (linksaf, rechtsaf) gegevens van meetinstrumenten interpreteren; 23,5 op een kilometerteller betekent... aanduidingen op windroos (N, NO, O, ZO, Z, ZW, W, NW) alledaagse taal herkennen ( een kuub zand ) een hectare is ongeveer 2 voetbalvelden Weten waarom Weten waarom eigen referentiematen ontwikkelen, ( in 1 kg appels zitten ongeveer 5 appels ) een vierkante meter hoeft geen vierkant te zijn betekenis van voorvoegsels zoals kubieke oppervlakte- en inhoudsmaten relateren aan bijbehorende lengtematen redeneren welke maat in welke context past spiegelen in 2D en 3D redeneren over symmetrische figuren meetkundige patronen voortzetten (hoe weet je wat het volgende figuur uit de rij moet zijn) NB. 1S omvat de inhouden van 1F. 57

60 Vervolg Meten en Meetkunde 12 jaar fundament en streef 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben 1dm 3 = 1 liter = 1000 ml een 2D representatie van een 3D object zoals foto, plattegrond, landkaart (incl. legenda), patroontekening 1 m 3 = 1000 liter 1 km 2 = m 2 = 100 ha Functioneel gebruiken Functioneel gebruiken in betekenisvolle situaties samenhang tussen enkele (standaard)maten o km m o m dm, cm, mm o l dl, cl, ml o kg g mg tijd (maanden, weken, dagen in een jaar, uren, minuten, seconden) afmetingen bepalen met behulp van afpassen, schaal, rekenen maten vergelijken en ordenen samenhang tussen (standaard)maten ook door terugrekenen, in complexere situaties en ook met decimale getallen Is 1750 g meer of minder dan 1,7 kg? samengestelde grootheden gebruiken en interpreteren, zoals km/u kiezen van de juiste maateenheid bij een situatie of berekening Weten waarom Weten waarom (lengte)maten en geld in verband brengen met decimale getallen: o 1,65 m is 1 meter en 65 centimeter o 1,65 is 1 euro en 65 eurocent decimale structuur van het metriek stelsel structuur en samenhang metrieke stelsel relatie tussen 3D ruimtelijke figuren en bijbehorende bouwplaten 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben schattingen maken over afmetingen en hoeveelheden oppervlakte benaderen via rooster omtrek en oppervlakte berekenen van rechthoekige figuren routes beschrijven en lezen op een kaart met behulp van een rooster omtrek en oppervlakte bepalen/berekenen van figuren (ook niet rechthoekige) via (globaal) rekenen Functioneel gebruiken Functioneel gebruiken veel voorkomende maateenheden omrekenen liniaal en andere veelvoorkomen meetinstrumenten gebruiken formules gebruiken bij berekenen van oppervlakte en inhoud van eenvoudige figuren Weten waarom Weten waarom formules voor het berekenen van oppervlakte en inhoud verklaren beredeneren welke vergrotingsfactor nodig is om de ene (eenvoudige) figuur uit de andere te vormen verschillende omtrek mogelijk bij gelijkblijvende oppervlakte NB. 1S omvat de inhouden van 1F. In verschillende cellen zijn voorbeelden genoemd. Deze zijn niet uitputtend. 58

61 Verbanden 12 jaar fundament en streef 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben informatie uit veel voorkomende tabellen aflezen zoals dienstregeling, lesrooster legenda assenstelsel Functioneel gebruiken Functioneel gebruiken eenvoudige globale grafieken en diagrammen (beschrijving van een situatie) lezen en interpreteren eenvoudige legenda trend in gegevens onderkennen staafdiagram, cirkeldiagram Weten waarom Weten waarom uit beschrijving in woorden eenvoudig patroon herkennen grafiek in de betekenis van grafische voorstelling 12 jaar 1 - fundament 1 - streef Paraat hebben Paraat hebben eenvoudige tabel gebruiken om informatie uit een situatiebeschrijving te ordenen eenvoudige tabellen en diagrammen opstellen op basis van een beschrijving in woorden globale grafiek tekenen op basis van een beschrijving in woorden, bijvoorbeeld: tijdafstand grafiek eenvoudige patronen in rijen getallen en figuren herkennen en voortzetten: stippatronen Functioneel gebruiken Functioneel gebruiken eenvoudige patronen (vanuit situatie) beschrijven in woorden, bijvoorbeeld: Vogels vliegen in V-vorm. Er komen er steeds 2 bij. conclusies trekken door gegevens uit verschillende informatiebronnen met elkaar in verband te brengen (alleen in eenvoudige gevallen) Weten waarom Weten waarom informatie op veel verschillende manieren kan worden geordend en weergegeven keuze om informatie te ordenen door middel van tabel, grafiek, diagram NB. 1S omvat de inhouden van 1F. 59

62 Vervolg Verbanden 12 jaar fundament en streef 12 jaar 1-fundament 1-streef Paraat hebben Paraat hebben eenvoudig staafdiagram maken op basis van gegevens berekeningen uitvoeren op basis van informatie uit tabellen, grafieken en diagrammen Functioneel gebruiken Functioneel gebruiken kwantitatieve informatie uit tabellen en grafieken gebruiken om eenvoudige berekeningen uit te voeren en conclusies te trekken, bijvoorbeeld: In welk jaar is het aantal auto s verdubbeld t.o.v. het jaar daarvoor? punten in een assenstelsel plaatsen en coördinaten aflezen (alleen positieve getallen) globale grafieken vergelijken, bijvoorbeeld: wie is het eerst bij de finish? Weten waarom Weten waarom op basis van een grafiek of diagram conclusies trekken over een situatie op basis van een grafiek of diagram voorspellingen doen over een toekomstige situatie NB. 1S omvat de inhouden van 1F. In de verschillende cellen zijn voorbeelden genoemd. Deze zijn niet uitputtend. 60

63 Bijlage 3 Domeinbeschrijving Centrale Eindtoets Vooraf Hieronder staat de domeinbeschrijving voor rekenen-wiskunde zoals opgenomen in de toetswijzer bij de Centrale eindtoets PO taal en rekenen (CvTE, 2015). Hieruit zijn echter de beschrijvingen over het verschil tussen de N-toets en de B-toets én de voorbeelden uit andere eindtoetsen weggelaten. Zie hiervoor het oorspronkelijke document. Domein Getallen Inleiding Het domein Getallen heeft betrekking op getallen, getalsrelaties en het uitvoeren van de elementaire bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en combinaties hiervan) met hele getallen, kommagetallen en breuken. Dit zowel in opgaven met als zonder context. Daarbij gaat het om feitenkennis, kennis van begrippen, de beheersing van (standaard)procedures en routines, alsmede om het doelmatig (of efficiënt) kunnen toepassen en gebruiken van deze kennis, het leggen van relaties, het inzicht hebben in rekensituaties en hierover kunnen redeneren. We beschrijven de doelen voor de onderdelen getalbegrip en bewerkingen. Daarbij beperken we ons hier tot het beschrijven van de doelen die in de eindtoets getoetst worden. De overige rekendoelen die leerlingen aan het eind van de basisschool ook moeten beheersen (zie referentiekader) worden hier achterwege gelaten. 1. getalbegrip 1.1 hele getallen, kommagetallen, breuken en gemengde getallen uitspreken en noteren (0,45 is 'vijfenveertig honderdsten'; 'honderdtwintigduizend schrijf je: ). Hieronder vallen ook spreektaalaanduidingen als 'een miljard' en 'anderhalf' 1.2 wiskundetaal (formele sommentaal) gebruiken; vertalen van situaties naar wiskundetaal (3 T-shirts van 9,95 per stuk kosten samen : wiskundetaal: 3 x 9,95 = 29,85) 1.3 verder tellen en terugtellen met hele getallen en kommagetallen 1.4 vergelijken en ordenen van hele getallen, kommagetallen en breuken (Welk getal is het grootste: 0,5 0,29 0,099? Zet in volgorde van klein naar groot: 2 2/3, 5/6, 3/8.) globaal en precies plaatsen van hele getallen, kommagetallen en breuken op een getallenlijn 1.6 afronden van hele getallen, kommagetallen (12,498 geeft, afgerond op een heel getal, als uitkomst 12) en breuken (24/25 is ongeveer 1) 1.7 splitsen en samenvoegen van hele getallen en kommagetallen en kennen van de betekenis van cijfers en hun plaats in getallen (5300 = 3 x x ; 0, ,001 =. Hoeveel is de 5 waard in het getal 4,561?) 1.8 relaties weten tussen breuken en kommagetallen (0,03 = 3/100 ; 4/5 = 0,8 ) 1.9 doorzien van de structuur van het tientallig stelsel (Met hoeveel moet je 0,001 vermenigvuldigen om 1 te krijgen?) 61

64 2. bewerkingen De toetsinhouden die hieronder beschreven worden hebben zowel betrekking op opgaven met als opgaven zonder context. Om de bewerkingen te kunnen uitvoeren, zijn bepaalde basisvaardigheden nodig, zoals het kennen van de tafels en deeltafels, rekenen onder 100. Deze vaardigheden worden niet afzonderlijk genoemd. 2.1 optellen en aftrekken met hele getallen en kommagetallen doelmatig optellen en aftrekken gebruikmakend van eigenschappen van getallen en van bewerkingen,nwaaronder ook het 'rekenen met nullen': optellen en aftrekken met getallen met één/twee cijfers,gevolgd door een aantal nullen ( ; ) standaardprocedures gebruiken bij optellen en aftrekken van grotere hele getallen en kommagetallen met meer cijfers globaal (benaderend) optellen en aftrekken met grotere hele getallen en kommagetallen (49, , ,35 is ongeveer ). 2.2 vermenigvuldigen en delen met hele getallen en kommagetallen doelmatig vermenigvuldigen en delen gebruikmakend van eigenschappen van getallen en van bewerkingen, waaronder ook rekenen met nullen': vermenigvuldigen en delen met getallen van één/twee cijfers gevolgd door een aantal nullen (60 x 400; 3200 : 40). Kommagetallen vermenigvuldigen met en delen door 10, 100, 1000 (1,8 x 100) standaardprocedures gebruiken bij vermenigvuldigen en delen van grotere hele getallen en kommagetallen; bij delen met rest in contexten de rest juist interpreteren of verwerken (349 kinderen vervoeren in bussen. Per bus kunnen 45 kinderen mee: 659 : 45 = 14, rest 21, dus 15 bussen nodig.) globaal (benaderend) vermenigvuldigen en delen met grotere hele getallen en kommagetallen (49 x 198,97 is ongeveer 50 x 200). 2.3 combinaties van bewerkingen met hele getallen en kommagetallen berekeningen uitvoeren met combinaties van bewerkingen berekenen van gemiddelde de geldende regels kennen voor de volgorde waarin rekenbewerkingen moeten worden uitgevoerd (voorrangsregels 6 ). 6 Voorrangregels: 1. Optellen en aftrekken worden uitgevoerd in de volgorde waarin ze voorkomen (van links naar rechts). 2. Vermenigvuldigen en delen worden uitgevoerd in de volgorde waarin ze voorkomen (van links naar rechts). 3. Vermenigvuldigen en delen gaan vóór optellen en aftrekken. Voorbeelden: = 2; 8 : 2 x 4 = 16; : 2 x 4 = 5. 62

65 2.4 bewerkingen uitvoeren met breuken vereenvoudigen en gelijknamig maken van breuken en breuken als gemengd getal schrijven ( 6 = 2 6 = 2 ; 3 =.. ; 24 = 4 4 ) optellen en aftrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken en gemengde getallen in opgaven met en zonder context ( ; ; ) deel nemen van een geheel getal, heel getal vermenigvuldigen met een breuk en omgekeerd, zowel in contextopgaven als in opgaven zonder context ( 2 van 700; 300 x ) breuk vermenigvuldigen met een breuk, of deel nemen van een breuk, met name in opgaven met context maar ook in opgaven zonder context ( 3 4 x 5 8 ; 1 2 deel van 1 3 deel) heel getal delen door een breuk/gemengd getal en breuk/gemengd getal delen door een breuk met name in opgaven met context maar ook in opgaven zonder context (10 kg aardappels verpakken in zakken van kg; liter in bakjes van 1 4 liter: 3 4 : 2 5 ; : 1 8 ). 2.5 rekenen met de rekenmachine Dit is niet in de centrale eindtoets opgenomen. Domein Verhoudingen Inleiding Het denken in en rekenen met verhoudingen komt veel voor in het dagelijks leven. Maar ook in de wiskunde is het een belangrijk onderwerp. Werken met verhoudingen is voor veel kinderen niet gemakkelijk. Het is dan ook belangrijk, dat er in het basisonderwijs al een goede basis in inzicht en vaardigheden gelegd wordt, die verder uitgebouwd wordt in het voortgezet onderwijs. In het basisonderwijs gaat het erom dat leerlingen leren structuur en samenhang van verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en dat zij er in praktische situaties mee rekenen. Verhoudingen kunnen beschreven worden in verhoudingstaal (zoals bij één op de tien Nederlanders of het aantal fietsers is twee keer zo groot als het aantal automobilisten ), maar soms ook in breukentaal (bijvoorbeeld driekwart van de inwoners is ouder dan 25 jaar, dat is drie op de vier ) en met procenten (zoals 70 procent van de mensen is voor de aanleg van een randweg ). Binnen verhoudingen gaat het dus soms ook om het rekenen met breuken en procenten. Daar waar het om breuken als getallen gaat en bewerkingen met breuken, beschrijven we de doelen bij het domein 'Getallen'. Hieronder beschrijven we de doelen voor het domein Verhoudingen. We beperken ons hier tot het beschrijven van de doelen die in de eindtoets getoetst worden. De overige rekendoelen die leerlingen aan het eind van de basisschool ook moeten beheersen (zie referentiekader) worden hier achterwege gelaten. 3. Verhoudingen 3.1 verhoudingen herkennen, benoemen, schrijven en gebruiken: als 'zoveel op/per/van de zoveel', als deel van een geheel, als 1:100 (staat tot), als breuk of als percentage; en deze verschillende benamingen met elkaar in verband brengen. 3.2 oplossen van eenvoudige verhoudingsproblemen met hele getallen, kommagetallen en breuken, bijvoorbeeld bij gebruik van recepten, snelheid, prijs per stuk/kg/liter, mengen, afstanden, vergelijken van groepen met een kenmerk, vergroten en verkleinen. 63

66 3.3 het begrip 'schaal' kennen en rekenen met schaallijnen en schaalnotaties, bijvoorbeeld bij een plattegrond of een kaart of bij modelbouw. 3.4 verhoudingen met elkaar vergelijken en bepalen of ze gelijk zijn aan elkaar (1 op de 3, is dat meer of minder dan de helft). 3.5 bij verdelingen de ontbrekende percentages berekenen op basis van de kennis dat het geheel 100% is (cirkeldiagram, samenstelling van stof: 80% katoen, de rest is viscose). 3.6 rekenen met percentages via het deel nemen van, via rekenen met breuken, via verhoudingen, via vermenigvuldigen met een bijbehorend kommagetal of via 1% in opgaven met en zonder context. 3.7 in een context met eenvoudige getallen berekenen hoeveel procent het deel is (18 van de 90 is 20%), of de toename of afname bedraagt (hoeveel procent winst/korting/verlies/toename). 3.8 betekenis geven aan percentages boven 100%, en hiermee rekenen in opgaven met en zonder context. 3.9 verhoudingen en procenten in elkaar omzetten. Procenten en kommagetallen in elkaar omzetten. Breuken en procenten in elkaar omzetten. En daar waar mogelijk verhoudingen en breuken in elkaar omzetten. Dit in opgaven met en zonder context. Domein Meten en Meetkunde Inleiding Bij meten en meetkunde gaat het erom greep te krijgen op de werkelijkheid om ons heen. Binnen het basisonderwijs betreft het vooral basiskennis en begrip. Bij het domein meten gaat het dan om het meten van allerlei verschijnselen in de werkelijkheid. Leerlingen krijgen begrip van verschillende grootheden (lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd, snelheid en geld), leren meten met verschillende instrumenten en leren meetresultaten af te lezen en te interpreteren. Ook het omzetten van maateenheden en de opbouw en decimale structuur van het metrieke stelsel vallen hieronder. Bij meetkunde ligt de nadruk op het beschrijven van en het greep krijgen op ruimtelijke aspecten van de werkelijkheid. Web beschrijven de doelen voor de verschillende deeldomeinen van het onderdeel meten en meetkunde. Daarbij beperken we ons tot het beschrijven van de doelen die in de eindtoets getoetst worden. De overige rekendoelen die leerlingen aan het eind van de basisschool ook moeten beheersen (zie referentiekader) worden hier achterwege gelaten. 4. Meten 4.1 lengte en omtrek meetinstrumenten hanteren en aflezen: liniaal, meetlint, rolmaat, kilometerteller orde van grootte van lengte en omtrek in een situatie inschatten op basis van referentiematen (een deur/bed is ongeveer 2 meter hoog/lang; een mier is wellicht 5 mm, maar geen 50 mm, 5 cm of 5 meter); betekenis geven aan lengtematen en kiezen van de juiste lengtemaat bij een situatie (de afstand tussen steden niet in meters of centimeters maar in kilometers). 64

67 4.1.3 omtrek berekenen van rechthoeken en rechthoekige figuren en van grillige figuren benaderen. Gebruiken van de formule 'omtrek is twee keer de lengte en twee keer de breedte' bij het berekenen van omtrek van rechthoeken samenhang tussen standaardmaten kennen en herleidingen uitvoeren (bijvoorbeeld 2,3 km = 2300 meter; 1,65 meter is 1 meter en 65 centimeter). Vergelijken en ordenen van lengtematen (afstand van 2,5 km is langer dan van 2400 meter). Het betreft: km, hm, dam, m, dm, cm, mm oplossen van toepassingsproblemen waarbij herleidingen en berekeningen met lengtematen uitgevoerd moeten worden. Hieronder valt ook het gebruiken van samenstellingen als km/u; prijs/km (zie ook 4.5.4). 4.2 oppervlakte orde van grootte van oppervlakte in een situatie inschatten op basis van referentiematen (de oppervlakte van een deur is ongeveer 2 m2, van een slaapkamer zo'n 8 m2 tot 20 m2; een hectare is ongeveer twee voetbalvelden); betekenis geven aan oppervlaktematen en kiezen van de juiste oppervlaktemaat bij een situatie (de oppervlakte van een tuin druk je niet uit in cm2, van een stad niet in m2) oppervlakte bepalen met natuurlijke of gegeven maten (bijvoorbeeld het aantal tegels dat op een vloer komt te liggen) en oppervlakte berekenen van rechthoeken en rechthoekige figuren en van grillige figuren benaderen. Gebruiken van de formule 'lengte keer breedte is oppervlakte' bij het berekenen van oppervlaktes van rechthoeken samenhang tussen standaardmaten kennen en herleidingen uitvoeren (2 m2 = cm2; 1 hectare is 100 are, is 100 m bij 100 m). Het betreft: km2, hm2, dam2, m2 dm2, cm2, mm2, hectare en are. Vergelijken en ordenen van oppervlaktematen oplossen van toepassingsproblemen waarbij herleidingen en berekeningen met oppervlaktematen uitgevoerd moeten worden; hieronder valt ook het gebruiken van samenstellingen als prijs/m inhoud meetinstrumenten hanteren en aflezen: maatbeker, schaalverdeling inhoud berekenen van rechthoekige figuren (balken) en hierbij de formule 'inhoud is lengte keer breedte keer hoogte' gebruiken. De inhoud berekenen via het tellen van een natuurlijke maat (pakjes in een doos) samenhang tussen standaardmaten kennen en herleidingen uitvoeren (3 dm3 = 3000 cm3; 75 cl is 0,75 l). Het betreft: liter, dl, cl en ml, m3, dm3, cm3, mm3. Vergelijken en ordenen van inhoudsmaten (1,5 l is meer dan 500 ml; 5 l is evenveel als 5 dm3) oplossen van toepassingsproblemen waarbij herleidingen en berekeningen met inhoudsmaten uitgevoerd moeten worden. Hieronder valt ook het rekenen met samenstellingen als prijs/liter. 65

68 4.4 gewicht meetinstrumenten hanteren en aflezen: balans, analoge en digitale weegschaal betekenis geven aan gewichtsmaten en kiezen van de juiste maat bij een situatie (een pak suiker is meestal een kg, gewicht van een pilletje druk je uit in milligram, gewicht van een groter persoon in kg en niet in gram, uitdrukking in tonnen wordt gebruikt bij echt zware en grote dingen (containers, lading van vrachtwagen) samenhang tussen standaardmaten kennen en herleidingen uitvoeren (2,3 kg = 2300 gram; 1 ton is 1000 kg). Het betreft: mg, cg, dg, g, dag, hg, kg, ton. Vergelijken en ordenen van gewichtsaanduidingen (2,5 kg is meer dan 2000 gram) oplossen van toepassingsproblemen waarbij herleidingen en berekeningen met gewichtsmaten uitgevoerd moeten worden. Hieronder vallen ook samenstellingen als prijs/kg. 4.5 tijd en snelheid aflezen van tijden, zowel analoog als digitaal en analoge en digitale tijden koppelen rekenen met tijdsaanduidingen (tijdsverschillen; tijdsduur) betekenis kennen van kalenderaanduidingen en datumaanduidingen (dag, week, maand, kwartaal, jaar, schrikkeljaar, decennium, eeuw; ); omgaan met de kalender en rekenen met kalenderaanduidingen (volgorde van de maanden van het jaar, dagen per maand, structuur van de kalender; weeknummers) samenhang tussen tijdsaanduidingen en kalenderaanduidingen kennen en herleidingen uitvoeren (anderhalf uur is 90 minuten; in welk kwartaal valt week 15?). Samenstellingen gebruiken als snelheid: km/u; m/s (zie ook 4.1.5). 4.6 geld gepast samenstellen van bedragen met munten/biljetten en totale waarde van munten/biljetten bepalen omwisselen van munten/biljetten in andere munten/biljetten rekenen met geldbedragen in euro s (betalen/wisselgeld/bijbetalen) oplossen van toepassingsproblemen waarin met euro's en andere valuta (wisselkoersen) gerekend wordt; samenstellingen gebruiken als prijs/u; prijs/m; prijs/l. 66

69 5. Meetkunde 5.1 de namen en eigenschappen kennen van meetkundige figuren (driehoek, vierkant, rechthoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek, cirkel, kubus, balk, bol). 5.2 relaties zien tussen 2D en 3D objecten als foto's, plattegronden, legenda's, bouwplaten. 5.3 aanzichten van ruimtelijke objecten herkennen en interpreteren. 5.4 interpreteren van plattegronden en bouwtekeningen. 5.5 mentaal innemen van standpunten (in de meetkundige betekenis van standpunt). 5.6 routes en plaatsten beschrijven en lezen op een kaart (ook met behulp van een rooster). 5.7 aanduidingen op een windroos kennen (N, NO, O, ZO, Z, ZW, W, NW). 5.8 symmetrie herkennen, spiegelen in 2D en 3D, spiegelassen in 2D-figuren vinden. 5.9 meetkundige patronen herkennen en voortzetten. Domein Verbanden Inleiding Binnen het domein Verbanden 7 gaat het voor het basisonderwijs om het omgaan met tabellen, diagrammen en grafieken, legenda's en assenstelsels. Er zijn verschillende benamingen voor de weergave van gegevens. Zo spreekt men bijvoorbeeld over staafgrafieken, maar ook staafdiagrammen. Hier gebruiken we de term 'grafiek' alleen als het om een lijngrafiek gaat, in alle andere gevallen gebruiken we de term 'diagram'. Tabellen, diagrammen en grafieken worden tegenwoordig in veel toepassingen frequent gebruikt om internet getalsmatige (kwantitatieve) gegevens op een compacte en overzichtelijke manier weer te geven. Op de televisie, op sites, in dagbladen en tijdschriften en schoolboeken worden allerlei soorten tabellen, diagrammen en grafieken gebruikt om met name kwantitatieve informatie over te brengen. Aflezen, interpreteren en combineren van de verschillende representatievormen, grafisch weergeven van informatie en het herkennen en beschrijven van een onderliggend verband (als dit er is) of voorspellingen doen zijn belangrijke vaardigheden voor kinderen om te leren. Ook gaat het om het uitvoeren van berekeningen met deze verschillende gegevens. We beschrijven de doelen met voorbeelden voor het domein Verbanden. Daarbij beperken we ons hier tot het beschrijven van de doelen die in de eindtoets getoetst worden. De overige rekendoelen die leerlingen aan het eind van de basisschool ook moeten beheersen (zie referentiekader) worden hier achterwege gelaten. 6 Tabellen, diagrammen en grafieken 6.1 lezen en interpreteren van gegevens uit tabellen. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen. 6.2 lezen en interpreteren van gegevens uit diagrammen zoals cirkeldiagram, staafdiagram (horizontaal, verticaal) en beelddiagram. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen. 7 Binnen het domein Verbanden vallen ook onderdelen van 'Studievaardigheden' zoals dat in de Cito-eindtoets was opgenomen. Andere onderdelen uit Studievaardigheden zijn verwerkt bij Taal en bij het rekendomein Verhoudingen 67

70 6.3 lezen en interpreteren van gegevens uit lijngrafieken, ook met meer lijnen in één grafiek. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen. 6.4 verschillende informatiebronnen met elkaar in verband brengen (tabellen, diagrammen en grafieken) en hieruit gegevens lezen, vergelijken en interpreteren. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen. 68

71 Bijlage 4 Domeinbeschrijving rekenen-wiskunde PPON 2011 De domeinbeschrijving voor de peiling van 2011 (Scheltens et al., is op onderdelen aangepast ten opzichte van de vorige peiling. De drie domeinen uit de vorige peiling (Getallen en bewerkingen, Verhoudingen, breuken en procenten en Meten, meetkunde, tijd en geld) zijn uitgebreid met een vierde domein: Verbanden. Hiermee is de opbouw in domeinen gelijk aan die van de Expertgroep doorlopende leerlijnen taal en rekenen. Het domein Verbanden omvat het eerder bij het domein Verhoudingen, breuken en procenten ondergebrachte onderwerp tabellen en grafieken. Dit onderwerp is echter uitgebreid met het herkennen en ontdekken van regelmaat in patronen. Hierdoor is de naamgeving tabellen en grafieken niet meer dekkend en hebben we ervoor gekozen dit onderwerp ook Verbanden te noemen. Het aantal onderwerpen waarover gerapporteerd wordt, is gelijk aan het aantal onderwerpen in 2004, namelijk 22. De onderwerpen zijn verdeeld over vier domeinen: Getallen en bewerkingen met tien onderwerpen; Verhoudingen, breuken en procenten met drie onderwerpen; Meten, meetkunde, tijd en geld met acht onderwerpen; Verbanden met één onderwerp. Domeinen Onderwerpen Getallen en bewerkingen 1 Getallen en getalrelaties 2 Basisoperaties: optellen en aftrekken 3 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken 4 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen 5 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen 6 Schattend rekenen 7 Bewerkingen: optellen en aftrekken 8 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen 9 Samengestelde bewerkingen 10 Zakrekenmachine Verhoudingen, Breuken en Procenten 11 Verhoudingen 12 Breuken 13 Procenten Meten, Meetkunde, Tijd en Geld 14 Meten: Lengte 15 Meten: Oppervlakte 16 Meten: Inhoud 17 Meten: Gewicht 18 Meten: Toepassingen 19 Meetkunde 20 Tijd 21 Geld Verbanden 22 Verbanden Domeinen en onderwerpen voor de peiling rekenenwiskunde in 2011 (Scheltens et al., 2013) 69

72 We geven een korte karakteristiek van de verschillende domeinen en onderwerpen (naar: Scheltens et al., 2013): Domein Getallen en bewerkingen Het domein Getallen en bewerkingen vormt een samenhangend gebied dat belangrijke aspecten van gecijferdheid van leerlingen omvat. Gecijferdheid verwijst naar verschillende aspecten van getalbegrip en rekenvaardigheid waarbij getallen, operaties en toepassingen aan elkaar gerelateerd zijn. Bij alle onderwerpen van dit domein zijn opgaven met gehele getallen en kommagetallen opgenomen. Bij de onderwerpen schattend rekenen enrrekenen met een zakrekenmachine komen daarnaast opgaven voor met breuken, gemengde getallen en procenten. Bij elk onderwerp bevat de opgavenverzameling opgaven zonder context en opgaven met context, waarbij de leerlingen in diverse situaties met numerieke gegevens moeten opereren. Bij de onderwerpen basisoperaties (onderwerpen 2 en 3), hoofdrekenen (onderwerpen 4 en 5) en schattend rekenen (onderwerp 6) mogen de leerlingen geen gebruikmaken van uitrekenpapier. De getallenkeuze is bij deze onderwerpen zodanig dat bij het uitvoeren van de bewerking zo weinig mogelijk een beroep op het geheugen wordt gedaan. Bij deze onderwerpen is er door de toetsleiders bij de instructie aan de leerlingen expliciet op gewezen dat de opgaven uit het hoofd uitgerekend moeten worden. Bij de bewerkingen zijn de leerlingen er expliciet op gewezen gebruik te maken van de beschikbare ruimte in het toetsboekje voor het noteren van tussenoplossingen of voor het uitrekenen met een standaardcijferprocedure. Het domein omvat de volgende tien onderwerpen: 1 Getallen en getalrelaties Bij dit onderwerp staan centraal het doorzien van de structuur van de telrij, de structuur van getallen en de relaties tussen getallen. Bij het onderwerp Getallen en getalrelaties moeten de leerlingen betekenis kunnen geven aan getallen, zowel in allerlei gebruikssituaties als in het geheel van de getallenrij. Er komen formele aspecten van gehele getallen en kommagetallen aan de orde, die ook in toepassingsgerichte contexten zijn aangeboden. Het betreft onder andere: uitspraak en schrijfwijze van gehele en kommagetallen; verder tellen en terugtellen met eenheden en sprongen van bijvoorbeeld 0,1 en 0,01 en sprongen van 100 en 250; vergelijken en ordenen van getallen en meetuitkomsten; analyseren en samenstellen van getallen; aanvullen tot ronde getallen; afronden van getallen; het aangeven van de plaats van getallen op de getallenlijn, zowel precies als globaal; het omzetten van breuken en aanduidingen in gewone spreektaal, zoals bijvoorbeeld een kwart miljoen en 0,2 miljoen naar getallen met cijfers. 70

73 2 Basisoperaties: optellen en aftrekken Bij dit onderwerp richten we ons op elementaire optellingen en aftrekkingen, die snel en vaardig uitgerekend moeten kunnen worden door gebruik te maken van parate kennis, gememoriseerde en geautomatiseerde kennis, begrip van getallen, relaties tussen getallen en eigenschappen van getallen en bewerkingen. De opgaven van dit onderwerp worden onder condities met een tijdslimiet afgenomen. Onder basisoperaties verstaan we de vaardigheid om snel en vaardig bepaalde opgaven uit te rekenen door gebruik te maken van basiskennis, automatismen, getalrelaties en eigenschappen van getallen en bewerkingen. Het gaat bij optellen en aftrekken om: optel- en aftrekopgaven met gehele getallen onder de 100; opgaven met grotere (ronde) getallen zoals ; opgaven van gehele getallen met nullen, analoog aan de tafels van optellen en aftrekken, zoals ; ; optel- en aftrekopgaven waarbij kommagetallen worden gebruikt, zoals 100 0,5. De opgaven zijn de leerlingen visueel en auditief aangeboden: ofwel via een cd met een opgavenboekje waarbij op elke pagina een opgave staat, ofwel via een PowerPointpresentatie. Hierdoor werd de tijd die leerlingen kregen om te antwoorden, 7 seconden per opgave, onder controle gehouden. Voor verschillen tussen de afnamecondities is gecorrigeerd. 3 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen Hierbij gaat het om elementaire vermenigvuldigingen en delingen, die snel en vaardig uitgerekend moeten kunnen worden door gebruik te maken van parate kennis, gememoriseerde en geautomatiseerde kennis, begrip van getallen, relaties tussen getallen en eigenschappen van getallen en bewerkingen. De opgaven van dit onderwerp worden onder condities met een tijdslimiet afgenomen. Onder basisoperaties verstaan we de vaardigheid om snel en vaardig bepaalde opgaven uit te rekenen door gebruik te maken van basiskennis, automatismen, getalrelaties en eigenschappen van getallen en bewerkingen. Het gaat bij vermenigvuldigen en delen om: vermenigvuldig- en deelopgaven met gehele getallen onder de honderd; opgaven van gehele getallen met nullen en kommagetallen, analoog aan de tafels van vermenigvuldigen en delen: zoals 420 : 6, 5 x 900, 0,60 x 500 en 2,4 : 3; opgaven waarbij vermenigvuldigd met of gedeeld door 10, 100, 1000 moet worden, zoals bij 1000 x 45; 3,75 x 100; 2,5 : 10 en 75 : De opgaven zijn de leerlingen visueel en auditief aangeboden: ofwel via een cd met een opgavenboekje waarbij op elke pagina een opgave staat, ofwel via een PowerPointpresentatie. Hierdoor werd de tijd die leerlingen kregen om te antwoorden, 7 seconden per opgave, onder controle gehouden. Voor verschillen tussen de afnamecondities is gecorrigeerd. 4 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken De opgaven bij dit onderwerp betreffen de vaardigheid van de leerlingen om de bewerkingen optellen en aftrekken vlot, handig en inzichtelijk te kunnen uitvoeren. Daarbij kan de leerling kennis van getallen, basisoperaties en eigenschappen van bewerkingen inzetten. De opgaven worden zonder tijdslimiet aan de leerlingen voorgelegd en moeten uit het hoofd dat is zonder uitrekenpapier worden opgelost. Bij het onderwerp Hoofdrekenen: optellen en aftrekken gaat het om optel- en aftrekopgaven met gehele en kommagetallen die de leerling vlot, handig en inzichtelijk moet kunnen maken. Bij de instructie aan de leerlingen is er door de toetsleiders expliciet op gewezen dat deze opgaven uit het hoofd uitgerekend moeten worden, dus zonder gebruik te maken van uitrekenpapier, en zonder het noteren van tussenuitkomsten. Anders dan bij de vorige twee onderwerpen was er 71

74 nu geen tijdsdruk om het antwoord snel te geven. De leerlingen hadden dus de tijd om een geschikte oplossingsstrategie te vinden en toe te passen. Op basis van de gegeven getallen wordt van de leerling verwacht dat deze een adequate aanpak kiest. Bij een aantal opgaven moet de leerling eerst uit de context afleiden welke bewerking uitgevoerd moet worden. De optelopgaven, zowel formeel als in context, nodigen uit tot het hanteren van oplossingsprocedures zoals: het verwisselen of hergroeperen: = = = 559; het splitsen en rekenen via een rond getal: 8,96 + 0,16 = 8, ,12; het vervangen van de oorspronkelijke getallen door één van de getallen te vergroten en het andere getal in dezelfde mate te verkleinen of omgekeerd ( = = 404); het vervangen van één of meer van de getallen door een afgerond getal en daarvoor achteraf compenseren ( als ); Bij de aftrekopgaven gaat het om procedures zoals: hergroeperen; splitsen en rekenen via een rond getal; het vergroten of verkleinen van beide getallen in gelijke mate; het vervangen van één getal door een rond getal en daarvoor achteraf compenseren; aanvullen; het in één keer aftrekken van twee of meer getallen. 5 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen Bij dit onderwerp gaat het erom de bewerkingen vermenigvuldigen en delen vlot, handig en inzichtelijk uit te voeren. Daarbij kan de leerling kennis van getallen, basisoperaties en eigenschappen van bewerkingen inzetten. De opgaven worden zonder tijdslimiet aan de leerlingen voorgelegd en moeten uit het hoofd dat is zonder uitrekenpapier worden opgelost. 6 Schattend rekenen Ook bij schattend rekenen spelen eigenschappen van bewerkingen, het kunnen uitvoeren van basisoperaties en het inzicht in getallen (onder andere in de orde van grootte van getallen, de ligging van getallen in de getallenrij en de structuur van getallen) een belangrijke rol. Vooral het kunnen afronden en weten wat de orde van grootte van een getal is, zijn bij dit onderdeel erg belangrijk. Bij schattend rekenen wordt van leerlingen verwacht dat zij bewerkingen met afgeronde getallen uitvoeren om de orde van grootte van de uitkomst aan te geven. Ook deze opgaven worden zonder tijdslimiet aan de leerlingen voorgelegd en moeten uit het hoofd dat is zonder uitrekenpapier worden opgelost. 7 Bewerkingen: optellen en aftrekken Dit onderwerp betreft de bewerkingen optellen en aftrekken waarbij de leerlingen wel uitrekenpapier mogen gebruiken. De getallenkeuze bij de opgaven is meestal ook zodanig dat het nodig of wenselijk is tussenuitkomsten te noteren of een standaardcijferprocedure toe te passen. Bij het onderwerp bewerkingen: optellen en aftrekken gaat het om het optellen en aftrekken van gehele getallen en kommagetallen, waarbij de leerling uitrekenpapier kan gebruiken om bijvoorbeeld tussenuitkomsten op te schrijven van hoofdrekenprocedures of om een cijferprocedure uit te voeren. De meeste opgaven worden in een eenvoudige context aangeboden. De contexten zijn voor het merendeel ontleend aan het rekenen met geld en aan het meetdomein, zonder dat daarbij herleidingen of specifieke kennis van rekenprocedures bij het meten een rol spelen. 72

75 De taal speelt een belangrijke rol in de contextopgaven. Het optellen komt voor zowel in de betekenis van eraan toevoegen als in de betekenis van samennemen. Aftrekken kan betrekking hebben op er iets afnemen of op vergelijken. In dat laatste geval gaat het om het verschil. De vraag kan dan luiden: Hoeveel kan er nog bij? of Hoe lang is het geleden? 8 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen Bij dit onderwerp betreft het de bewerkingen vermenigvuldigen en delen waarbij de leerlingen wel uitrekenpapier mogen gebruiken. De getallenkeuze bij de opgaven is ook weer zodanig dat het nodig of wenselijk is tussenuitkomsten te noteren of een standaardcijfer procedure uit te voeren. Bij het onderwerp bewerkingen: vermenigvuldigen en delen gaat het om vermenigvuldigen en delen van gehele getallen en kommagetallen. De leerling mag bij deze opgaven uitrekenpapier gebruiken om bijvoorbeeld tussenuitkomsten op te schrijven van hoofdrekenprocedures of om de standaardcijferprocedure uit te voeren of een aangepaste vorm daarvan. De getallen zijn zo gekozen dat niet al te veel rekentijd nodig is. Een aantal opgaven is zonder context aangeboden en de overige opgaven zijn in een eenvoudige context geplaatst. De contexten zijn voor het merendeel ontleend aan het meten en het rekenen met geld. In de contexten bij het vermenigvuldigen ligt het accent op verschillende aspecten van het vermenigvuldigen zoals herhaald optellen, het verhoudingsaspect (1 kg kost 3,25. Hoeveel kost 7 kg?), het sprongkarakter (7 dagen op pad, elke dag 25 km) en de rooster- of rechthoekstructuur (aantal stoelen in een zaal). Bij deelopgaven vereist de situatie soms dat er afgerond wordt of dat een verstandige beslissing wordt genomen over de rest. In de contexten kan het accent liggen op verschillende aspecten van het delen zoals: het verdelen, de verhouding en het delen als omgekeerd vermenigvuldigen. Bij het delen door een kommagetal in opgaven zonder context worden relatief eenvoudige getallen gebruikt waarbij men zich gemakkelijk een meet- of geldcontext kan voorstellen, zoals bijvoorbeeld bij 85 : 0,25 = 9 Samengestelde bewerkingen Bij de opgaven van dit onderwerp moeten meerdere operaties (bijvoorbeeld zowel een optelling als een deling) uitgevoerd worden. Daarbij mogen de leerlingen uitrekenpapier gebruiken om tussenuitkomsten te noteren of kunnen ze op papier een of meer standaard- cijferprocedures uitvoeren. De opgaven bij het onderwerp bewerkingen: toepassingen zijn allemaal contextopgaven. De gegevens worden in een tekst, een tabel of schema aangeboden. De leerling moet bij deze opgaven meerdere getalsmatige gegevens met elkaar in verband brengen en relevante gegevens uit de context of uit de afbeelding afleiden. De voorgelegde problemen doen een beroep op het gecombineerde gebruik van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Bij de opgaven gaat het naast het berekenen ook om de keuze van de relevante bewerkingen. Bij een aantal opgaven is afronden noodzakelijk. Daarnaast zijn er opgaven waarbij het gemiddelde uitgerekend moet worden. 10 Rekenen met een zakrekenmachine Het onderwerp rekenen met een zakrekenmachine is in dit domein opgenomen omdat het type opgaven hier het best bij past. De belangrijkste functie van de zakrekenmachine is immers om snel en vaardig meer ingewikkelde bewerkingen uit te kunnen voeren. 73

76 In de kerndoelen voor het basisonderwijs wordt aangegeven dat het onderwijs in rekenenwiskunde erop gericht is dat leerlingen de rekenmachine met inzicht kunnen gebruiken en dat zij breuken in decimale breuken kunnen omzetten met behulp van een rekenmachine. De opgaven bij het onderwerp rekenmachine sluiten daar bij aan. Het zijn bijna allemaal contextopgaven. Naast enkele opgaven die ook bij bewerkingen: optellen en aftrekken, bewerkingen: vermenigvuldigen en delen en bewerkingen: toepassingen voorkomen, zijn ook opgaven opgenomen met iets complexere situaties waarin met realistische getallen gewerkt wordt. De rekenmachine kan het rekenwerk uitvoeren, nadat de leerling heeft vastgesteld welke bewerking uitgevoerd moet worden om tot het goede antwoord te komen. In een aantal opgaven is de keuze van de bewerking moeilijker omdat de getallen geen aanwijzing geven over welke bewerking uitgevoerd moet worden. Bij enkele vermenigvuldig- en deelopgaven gaat het om het afronden van de uitkomst op een bepaald aantal cijfers achter de komma. Bij delingen kan de interpretatie van de rest een apart probleem vormen. De rest verschijnt op de reken- machine namelijk niet als rest, maar als een deel van het getal achter de komma. Daarnaast zijn er opdrachten waarbij gevraagd wordt een percentage van een bedrag uit te rekenen en een breuk met behulp van de rekenmachine om te zetten in een kommagetal. Bij de gemakkelijkste opgaven hoeven de leerlingen alleen maar de uitkomst van de optelling van het afleesvenster van de rekenmachine over te nemen. Bij een aantal opgaven moet de leerling voor het uitvoeren van de bewerking of het juist weergeven van de uitkomst de getallen omzetten. Domein Verhoudingen, breuken en procenten Verhoudingen kunnen beschreven worden in verhoudingentaal (één op de tien kinderen), in breukentaal (een kwart van de bevolking) of met procenten (20 procent van de aanwezigen). Begrip van verhoudingen houdt in dat de relatie kan worden gelegd tussen die verschillende beschrijvingen van verhoudingen. Binnen het domein Verhoudingen, breuken en procenten onderscheiden we de volgende onderwerpen. 11 Verhoudingen Bij dit onderwerp moeten leerlingen elementaire verhoudingsproblemen oplossen, waarbij ook berekeningen uitgevoerd moeten worden. Bij het onderwerp verhoudingen worden de basiskennis en de begrippen die nodig zijn om met verhoudingen te kunnen werken gerelateerd aan het opereren met verhoudingsgetallen. Verhoudingen kunnen beschreven worden: in verhoudingentaal, zoals bij één op de tien Nederlanders of het aantal fietsers is twee keer zo groot als het aantal automobilisten ; in breukentaal, bijvoorbeeld driekwart van de inwoners is ouder dan 25 jaar ; met procenten, zoals 70 procent van de mensen is voor de aanleg van een randweg. Begrip van verhoudingen houdt in dat leerlingen de relatie tussen die verschillende beschrijvingen kunnen leggen en dat ze dit begrip in kunnen zetten bij het oplossen van eenvoudige verhoudingsvraagstukken. De verhoudingentaal in de opgaven sluit aan bij de terminologie zoals die in het dagelijks leven wordt gebruikt. Formele verhoudingsbeschrijvingen komen slechts sporadisch voor. De presentatie in de opgaven vindt plaats door middel van eenvoudige situatiebeschrijvingen, schema s, tabellen, grafieken, plattegronden en kaarten. Een aantal opgaven gaat over situaties die in het dagelijks leven vaak voorkomen, bijvoorbeeld de hoeveelheden in recepten aanpassen aan het aantal personen. Bij dit onderwerp komen ook opgaven voor waarbij verhoudingsgewijs vergeleken moet worden. Deze vergelijkingen kunnen soms gemaakt worden zonder dat daarvoor allerlei berekeningen nodig zijn. 74

77 Het gaat dan om het principe van het verhoudings- gewijs vergelijken, niet om de berekeningstechniek die daarbij gebruikt wordt. Bij een aantal andere opgaven is het wel nodig enkele berekeningen te maken. Gegevens moeten naar een gemeenschappelijke noemer vertaald worden voordat ze goed met elkaar vergeleken kunnen worden (bijvoorbeeld de prijs per kg van twee stukken kaas met een verschillend gewicht). 12 Breuken Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en elementaire begrippen die nodig zijn om met breuken en gemengde getallen te kunnen werken en rekenen. Concreet betekent dat onder andere: breuken op een getallenlijn plaatsen, breuken omzetten in kommagetallen, breuken vereenvoudigen en breuken als gemengd getal schrijven. Daarnaast moeten leerlingen elementaire operaties (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) met breuken kunnen uitvoeren en die vaardigheid in contexten kunnen toepassen. De breuken en gemengde getallen die daarbij voorkomen hebben een hoge gebruikswaarde. Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en elementaire begrippen die nodig zijn om met breuken en gemengde getallen te kunnen werken en om het kunnen toepassen van die kennis bij het opereren (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) met breuken en gemengde getallen. De breuken en gemengde getallen die in de opgaven voorkomen hebben een hoge gebruikswaarde. De opgaven zijn vrijwel geheel beperkt tot opgaven die concreet voorstelbaar zijn en zaken die leerlingen in het dagelijks leven kunnen tegenkomen. Het gaat bij de opgaven vooral om het inzichtelijk kunnen oplossen en niet om een grote vaardigheid in het opereren met allerhande soorten breuken en ook niet om het hanteren van regels zoals: delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde. In de opgaven van dit onderwerp komen verschillende aspecten van breuken aan de orde, zoals: de deel-geheel relatie: 3/4 als 3 van de 4 delen van een geheel (3/4 taart) de breuk als meetgetal: bijvoorbeeld in 3/4 meter, 3/4 liter; de breuk als operator: 3/4 als deel van een aantal (3/4 van de Nederlanders); de breuk als uitkomst van een deling; de breuk als getal op de getallenlijn (zowel precies als globaal); de breuk als verhouding, bijvoorbeeld 3 van de 4 Nederlanders is 3/4 deel van de Nederlanders. In de opgaven komen een aantal elementaire operaties voor zoals: aanvullen; vergelijken van de grootte van breuken; omzetten van breuken in kommagetallen, zowel precies als globaal schattend; vereenvoudigen ( 6/8 = 3/4) en compliceren (3/4 = 6/8); breuken als 25/4 als gemengd getal schrijven; optellen en aftrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken; vermenigvuldigen en delen, waarbij een of meer breuken of gemengde getallen gebruikt worden. Bij vermenigvuldigen komen aan de orde: een geheel getal vermenigvuldigen met een breuk of omgekeerd of een deel van een aantal nemen (1/3 deel van 150 euro), waarbij al dan niet afgerond moet worden; een breuk met een breuk vermenigvuldigen of een deel van een deel nemen (1/2 deel van 1/2 liter) 75

78 Bij delen komen aan de orde: een breuk delen door een geheel getal (1/2 : 2); een breuk of gemengd getal delen door een breuk (bepalen hoeveel 1 1/5: 1/4 is in een situatie waarbij bijvoorbeeld gevraagd wordt hoeveel pakjes van 1/4 liter je moet kopen als je 1 1/5 liter slagroom nodig hebt); een geheel getal delen door een breuk of gemengd getal (100 : 2 1/2). Bij een aantal opgaven moeten meerdere bewerkingen uitgevoerd worden, bijvoorbeeld combinaties van optellen en aftrekken. Soms zijn de getallen waarmee uiteindelijk gerekend moet worden niet rechtstreeks gegeven, maar moeten ze afgeleid worden uit de context. 13 Procenten Bij dit onderwerp staat allereerst het begrijpen van wat procenten zijn centraal. Dat betekent onder andere inzien dat het geheel 100 procent is en dat we de grootte van een deel van een geheel met procenten kunnen aanduiden. Ook moet de relatie tussen procenten enerzijds en breuken en verhoudingen anderzijds doorzien worden. Percentages worden gebruikt in allerlei contexten. Daarbij staat niet alleen centraal het begrip van en de vaardigheid in het rekenen met percentages, maar ook kennis van begrippen en afspraken in bepaalde sectoren. Naast het toepassen van de procedure waarbij eerst 1% uitgerekend wordt, is het soms efficiënter het percentage om te zetten naar een breuk of gebruik te maken van verhoudingen. Bij dit onderwerp staat het begrijpen van wat procenten zijn centraal. Een percentage moet worden begrepen als een verhouding of als een vergelijking van twee of meer grootheden, waarbij één van de grootheden op 100% gesteld wordt. Essentiële onderdelen van dit onderwerp zijn: inzien dat het geheel 100% is; aangeven met behulp van procenten hoe groot een bepaald deel in vergelijking met een geheel is (zowel precies als globaal schattend); de relatie tussen procenten enerzijds en verhoudingen, breuken en kommagetallen anderzijds; Die relatie komt in de opgaven voor bij - het vervangen van een percentage door een breuk; - het omzetten van een percentage in een vermenigvuldigingsfactor (bijvoorbeeld 200% 2 x; 75% 3 x of 0,75 x); - het omzetten van een percentage in een verhouding: 75% 3 van de 4. Bij de opgaven moeten zowel exacte omzettingen gemaakt worden als omzettingen die globaal schattend van aard zijn (bijvoorbeeld: 49 van de 101 is ongeveer 50%). het kunnen gebruiken van percentages in allerlei reële contexten. Daarbij staan niet alleen centraal het begrip van en de vaardigheid in het rekenen met percentages, maar ook kennis van begrippen en afspraken in bepaalde sectoren. Daarnaast is bij tal van opgaven het doorzien van verschillende contexten vereist. We komen onder andere situaties tegen: - waarbij iets bijkomt of afgaat, zoals btw, korting, stijging, daling, toename, prijsverlagingen en dergelijke; - met renteberekeningen; - met winst en verlies. 76

79 Bij een aantal opgaven is het toepassen van de standaardprocedure, waarbij eerst 1% uitgerekend wordt, een goede strategie, maar bij veel opgaven van dit onderwerp moeten de leerlingen handig en inzichtelijk rekenen. Het zonder meer toepassen van de standaardprocedure is dan niet efficiënt. Leerlingen kunnen in die situaties beter strategieën volgen waarbij bijvoorbeeld: het percentage wordt omgezet naar een breuk; gebruik wordt gemaakt van verhoudingen; de opgave in gedeelten wordt uitgerekend. Dit laatste is vaak een efficiënte strategie bij percentages boven de 100%. Domein Meten, meetkunde, tijd en geld Voor dit domein is gekozen voor een indeling die hoofdzakelijk gebaseerd is op inhoudelijke aspecten. Het domein Meten, meetkunde, tijd en geld bevat nu de volgende acht onderwerpen. 14 Meten: lengte Bij het onderwerp meten: lengte gaat het om basiskennis en begrip van lengte en lengtematen, het uitvoeren van herleidingen en het kunnen toepassen van deze kennis en inzichten in tal van situaties. Essentiële onderdelen zijn: vergelijken van voorwerpen, afstanden e.d. op het aspect lengte; lengte meten en aflezen van het meetresultaat op liniaal en meetlint; bepalen van de lengte door afpassen van een (gedeelte van een) schaallijn op een gegeven afstand; bepalen van de lengte of afstand op basis van een gegeven schaal; bepalen van de schaal op basis van de werkelijke afstand en de lengte op een tekening of kaart; interpreteren van lengteaanduidingen op (bouw)tekeningen en gegevens op bijvoorbeeld kilometertellers; kiezen van de juiste maat in een gegeven context; uitvoeren van herleidingen met veel voorkomende lengtematen; berekenen van omtrek van onder andere rechthoeken, rechthoekige figuren en benaderen van de omtrek van grillige figuren; toepassen door het oplossen van vraagstukken waarbij onder andere herleidingen met lengtematen uitgevoerd worden. 15 Meten: oppervlakte Bij het onderwerp meten: oppervlakte gaat het om basiskennis en begrip van oppervlakte, het bepalen en berekenen van oppervlakte en het kunnen toepassen van deze kennis en inzichten in tal van situaties. Essentiële onderdelen bij dit onderwerp zijn: vergelijken op het aspect oppervlakte. Bij een aantal van de opgaven worden onder andere roosters als achtergrond gebruikt om de vergelijking te vergemakkelijken en berekeningen overbodig te maken; bepalen van de oppervlakte door af te passen met een gegeven ongestandaardiseerde maat; kiezen van de juiste maat in een gegeven situatie; precies en schattend berekenen van de oppervlakte van rechthoekige figuren en van driehoek of parallellogram via omvormen en met behulp van de formule lengte x breedte; uitvoeren van herleidingen met veel voorkomende oppervlaktematen; toepassingen van oppervlaktemetingen. 77

80 16 Meten: inhoud Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en begrip van inhoud en inhoudsmaten, het uitvoeren van herleidingen en het kunnen toepassen van deze kennis en inzichten in tal van situaties. Essentiële onderdelen van de schaal zijn: vergelijken op het aspect inhoud; aflezen van de inhoud op een schaalverdeling zoals bij maatbekers; bepalen van de inhoud door een object (bijvoorbeeld een blokje) als natuurlijke maat te gebruiken; berekenen van de inhoud met behulp van de formule lengte x breedte x hoogte; kiezen van de juiste maat (l, dl, cl en ml) in een gegeven context; uitvoeren van herleidingen met veel voorkomende inhoudsmaten (ml, cl, dl, l en cm 3, dm 3, m 3 ); vergelijken van inhoudsaanduidingen; oplossen van vraagstukjes door onder andere gebruik te maken van notie van inhoudsmaten, het maken van berekeningen en herleidingen. 17 Meten: gewicht Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en begrip van gewicht en gewichtsmaten, het uitvoeren van herleidingen en het kunnen toepassen van de verworven kennis en inzichten in tal van situaties. Essentiële onderdelen van dit onderwerp zijn: vergelijken op het aspect gewicht. Hierbij spelen weeginstrumenten (veren die meer of minder uitgerekt worden, balansweegschalen) een belangrijke rol; globaal en precies aflezen van resultaten van wegingen op weeginstrumenten; kennis en inzicht in de opbouw van het maatsysteem door bijvoorbeeld het uitvoeren van herleidingen met veel voorkomende weegmaten (kg, g, mg); kiezen van de juiste maat in een gegeven context; oplossen van vraagstukjes waarbij onder andere weegresultaten afgelezen en herleidingen uitgevoerd moeten worden. 18 Meten: toepassingen Bij het onderwerp Meten: toepassingen moeten de leerlingen complexere meetproblemen oplossen. Bij een aantal opgaven moeten ze aangeven wat je in een bepaalde situatie moet weten of berekenen: de lengte, de omtrek, de oppervlakte, de inhoud of het gewicht. Bij een aantal andere opgaven gaat het om samengestelde grootheden als kg/m2, verbruik of snelheid. Soms komen in de opgaven meerdere maten voor en moeten meerdere bewerkingen uitgevoerd worden of is er een relatie met een ander inhoudelijk terrein, zoals bijvoorbeeld breuken. De diversiteit van vaardigheden waarop met de opgaven van dit onderwerp een beroep wordt gedaan, maakt het niet goed mogelijk op basis van de relatieve moeilijkheidsgraad van de opgaven een ontwikkelingslijn te definiëren. 19 Meetkunde Bij Meetkunde gaat het om elementaire noties en begrippen waarmee de ruimte meetkundig geordend, beschreven en verklaard kan worden. In de opgaven wordt een beroep gedaan op de vaardigheid ruimtelijk redeneren. Dat gebeurt aan de hand van bouwsels, bouwplaten, plattegronden, kaarten, foto s en gegevens over plaats, richting, afstand en schaal. Daarnaast zijn er enkele opgaven die het verklaren van schaduwbeelden als onderwerp hebben. Ook voor dit onderwerp geldt dat het niet goed mogelijk is een ontwikkelingslijn te construeren op basis van de relatieve moeilijkheidsgraad van de opgaven omdat de opgaven inhoudelijk gezien een beroep doen op een breed scala aan ruimtelijke inzichten. 78

81 20 Tijd Bij dit onderwerp gaat het om het rekenen met tijd in voor kinderen alledaagse situaties. In een aantal opgaven wordt het rekenen met tijd gecombineerd met andere grootheden zoals afstand, lengte en geld. Vaak moeten daarbij herleidingen uitgevoerd worden. De opgaven van deze schaal zijn allemaal toepassingsopgaven. Het aflezen van de kalender en klok als zodanig komt niet voor. Wel wordt bij een aantal opgaven een beroep gedaan op kennis van de kalender en van analoge en digitale tijdsaanduidingen. 21 Geld Bij het onderwerp Geld gaat het om toepassingsgericht rekenen met geld waarbij specifieke handelingen met munten en bankbiljetten uitgevoerd moeten worden, zoals: de totale waarde bepalen van munten en bankbiljetten; gepast betalen; bankbiljetten en munten inwisselen; aangeven welke munten en bankbiljetten men terugkrijgt; bijpassen om terugkrijgen te vergemakkelijken. Daarnaast komen opgaven voor waarbij afgerond moet worden; bedragen naar andere valuta omgerekend worden. Bij dit onderwerp worden relaties gelegd met andere rekengebieden zoals hoofdrekenen, het uitvoeren van bewerkingen met uitrekenpapier, kommagetallen, meten en verhoudingen. Domein Verbanden 22 Verbanden Dit onderwerp bestaat uit opgaven over tabellen en grafieken maar ook over opgaven waarbij het herkennen en ontdekken van regelmaat in patronen centraal staat. Tabellen en grafieken worden tegenwoordig veel gebruikt om kwantitatieve gegevens op een compacte en overzichtelijke manier weer te geven. Tabellen en grafieken worden ook wel bij opgaven van andere rekenonderwerpen gebruikt, om gegevens geordend te presenteren. Met de opgaven van dit onderwerp kunnen we expliciet rapporteren over de vaardigheid van leerlingen in het lezen van tabellen en grafieken en over het kunnen opereren op basis van gegevens uit tabellen en grafieken. De opgaven bij het onderwerp verbanden bestaan voor een groot gedeelte uit het type opgaven van het in 2004 voor het eerst opgenomen onderwerp Tabellen en grafieken. De verzameling opgaven is voor dit peilingsonderzoek uitgebreid met opgaven over voortzetting van patronen. Aangezien de verzameling voor een groot deel uit opgaven bestaat van het onderwerp Tabellen en grafieken is het verantwoord om een vergelijking over de tijd te maken tussen Tabellen en grafieken en Verbanden. Tabellen en grafieken komen ook bij andere rekenonderwerpen regelmatig voor, zoals bij breuken en procenten. Daar worden met behulp van tabellen en grafieken gegevens op een overzichtelijke manier gepresenteerd, maar ligt de nadruk op het betreffende onderwerp. De tabellen- en grafiekenopgaven die bij het onderwerp verbanden zijn opgenomen gaan expliciet over de vaardigheid van het lezen van tabellen en grafieken en het opereren op basis van gegevens uit tabellen en grafieken. Tabellen en grafieken worden in het nieuws en in schoolboeken frequent gebruikt om kwantitatieve gegevens op een compacte en overzichtelijke manier weer te geven. De grafieken die daarbij ingezet worden zijn zeer divers van vorm. De meest voorkomende zijn beeldgrafieken, staafgrafieken, lijngrafieken en cirkelgrafieken. De tabelvormen zijn vooral enkelvoudige kruistabellen. Bij een aantal opgaven moet de leerling informatie uit een tabel of grafiek aflezen en met behulp van die informatie een berekening uitvoeren. 79

82 Maar ook komen opgaven voor waarbij de leerling een trend in de gegevens moet onderkennen of een conclusie moet trekken door gegevens met elkaar in verband te brengen. In een enkele opgave wordt van de leerling gevraagd te interpoleren of te extrapoleren. Bij het deelonderwerp patronen gaat het om het voortzetten van patronen. Dit kunnen getalsmatige patronen zijn, maar ook in symbolen. Een voorbeeld van een opgave waarbij een getalsmatig patroon ontdekt moet worden is bijvoorbeeld: Er zijn drie gelijke flatblokken. In het eerste flatblok bevinden zich de woningen met de huisnummers 17 tot en met 53, in het tweede flatblok de woningen met de huisnummers 55 tot en met 91. Welke woningen bevinden zich in het derde flatblok? Een voorbeeld van het voortzetten van patronen van symbolen is een tegelpatroon met verschillende kleuren tegels dat voortgezet moet worden. 80

83 Bijlage 5 Specificaties van de inhoudelijke en cognitieve domeinen voor rekenen-wiskunde bij TIMSS 2015 Inhoudelijke domeinen Hieronder volgt een korte typering van de inhoudelijke domeinen van rekenen-wiskunde met daarbij de specificaties van de onderscheiden subdomeinen, gebaseerd op het TIMSS 2015 assessment framework (Mullis & Martin, 2013). 1. Getallen Het domein getallen bestrijkt drie subdomeinen: hele getallen; breuken en kommagetallen; en eenvoudige vergelijkingen en relaties. Anders dan bij de andere inhoudelijke domeinen zijn opgaven niet gelijkelijk verdeeld over de onderscheiden subdomeinen. De ongeveer 50% opgaven voor het domein getallen zijn als volgt verdeeld: 25% opgaven voor het subdomein hele getallen; 15% voor breuken en kommagetallen; en 10% voor eenvoudige vergelijkingen en relaties. Voor wat betreft het laatste gaat het om begrijpen van concepten zoals variabelen en onbekenden in eenvoudige vergelijkingen (pre-algebraïsch redeneren) en begrip van relaties tussen hoeveelheden en getallen. Specificaties van de subdomeinen van het inhoudelijke domein getallen 1.1 Hele getallen 1. Inzicht in positiewaarde tonen, inclusief herkennen en schrijven van getallen in uitgebreide vorm; en representeren van hele getallen met woorden, diagrammen en grafieken. 2. Vergelijken, ordenen en afronden van hele getallen. 3. Rekenen (+,,, ) met hele getallen. 4. Contextproblemen oplossen ook met meetgetallen, geld en eenvoudige verhoudingen. 5. Kennen van even en oneven getallen; kennen van veelvouden en factoren van getallen. 1.2 Breuken en kommagetallen* 1. (Her)kennen van breuken als deel van een geheel, deel van een totaal en punt op de getallenlijn; en representeren van breuken met woorden, getallen en modellen. 2. (Her)kennen van gelijkwaardige (eenvoudige) breuken; vergelijken en ordenen van eenvoudige breuken; optellen en aftrekken van eenvoudige breuken, ook in probleemsituaties. 3. Kennis van decimale positiewaarde tonen, waaronder het representeren van kommagetallen met woorden, getallen en modellen; vergelijken, ordenen en afronden van kommagetallen; optellen en aftrekken van kommagetallen, ook in probleemsituaties. * Het gaat om breuken met de noemers 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 of 100 en om kommagetallen met één of twee cijfers achter de komma. 81

84 1.3 Eenvoudige vergelijkingen en relaties 1. Het vinden van een ontbrekend getal of ontbrekende bewerking in een rekenzin (bv = 29). 2. (Her)kennen en schrijven van vergelijkingen of rekenzinnen die probleemsituaties met onbekenden representeren. 3. (Her)kennen en gebruiken van relaties in patronen (bv. beschrijven van de relatie tussen getallen in een getallenreeks of getallenparen geven op grond van een gegeven regel). 2. Geometrische vormen en meten Het domein geometrische vormen en meten bestrijkt: meten; coördinaten; lijnen; hoeken; figuren en vormen. Er worden twee subdomeinen onderscheiden: punten, lijnen en hoeken; en twee- en driedimensionale vormen. Het aantal items is gelijk verdeeld over de twee subdomeinen. Figuur 2.3 toont een voorbeeldopgave van het domein geometrische vormen en meten. Specificaties van de subdomeinen van het inhoudelijke domein geometrische vormen en meten 2.1 Punten, lijnen en hoeken 1. Meten en schatten van lengtes. 2. (Her)kennen en tekenen van parallelle en loodrechte lijnen. 3. (Her)kennen, vergelijken en tekenen van verschillende hoeken (bv. rechte hoeken en hoeken die kleiner of groter zijn dan een rechte hoek). 4. Gebruiken van informele coördinatensystemen om punten te lokaliseren in een coördinatenstelsel. 2.2 Twee- en driedimensionale vormen* 1. Beschrijven en vergelijken van regelmatige twee- en driedimensionale vormen aan de hand van hun eigenschappen, lijnsymmetrie en draaisymmetrie. 2. Relateren van driedimensionale vormen aan bijbehorende tweedimensionale representaties. 3. Berekenen van de omtrek van veelhoeken; berekenen van de oppervlakte van vierkanten en rechthoeken; schatten van oppervlakte en inhoud van geometrische figuren door te bedekken met een vorm, respectievelijk door op te vullen met kubussen. * Het gaat bij tweedimensionale vormen om cirkels, driehoeken, vierhoeken en andere veelhoeken; en bij driedimensionale vormen om kubussen, balken, kegels, cilinders en bollen. 3. Gegevensweergave Het domein gegevensweergave bestrijkt één subdomein: (af)lezen, interpreteren en representeren). Specificaties van het subdomein van het inhoudelijke domein gegevensweergave 3.1 (Af)lezen, interpreteren en representeren 1. Gegevens (af)lezen, vergelijken en representeren van/met tabellen, beelddiagrammen staafdiagrammen, lijngrafieken en cirkeldiagrammen. 2. Informatie van gegevensweergaven gebruiken om vragen te beantwoorden die verder gaan dan alleen aflezen (bv. probleemoplossen en bewerkingen uitvoeren met de gegevens; combineren van gegevens uit twee of meer weergaven; conclusies trekken) 82

85 Cognitieve domeinen Hieronder volgt een korte typering van de cognitieve domeinen met daarbij de specificaties van de onderscheiden subdomeinen voor rekenen-wiskunde, gebaseerd op het TIMSS 2015 assessment framework (Mullis & Martin, 2013). 1. Weten Het cognitieve domein weten bestrijkt feiten, concepten en procedures. Bij dit domein gaat het zowel om basiskennis (wiskundetaal, getallenfeiten, e.d.) als om concepten die wiskundig denken mogelijk maken. Specificaties van het cognitieve domein weten Weten Paraat hebben Herkennen Classificeren / ordenen Uitrekenen Aflezen Meten Paraat hebben van begrippen, eigenschappen van getallen, meeteenheden, geometrische eigenschappen, notatie. Herkennen van getallen, vergelijkingen, hoeveelheden, vormen. Herkennen van wiskundige equivalenties (bv. equivalenties tussen eenvoudige breuken, kommagetallen en percentages; eenvoudige figuren vanuit verschillende aanzichten). Classificeren van getallen, vergelijkingen, hoeveelheden en vormen aan de hand van gemeenschappelijke eigenschappen. Uitvoeren van standaardprocedures voor +,,,, of een combinatie hiervan met hele getallen, breuken en kommagetallen. Informatie halen uit grafieken, tabellen, tekst of ander bronnen. Meetinstrumenten gebruiken. Geschikte meeteenheden kiezen. 2. Toepassen Het domein toepassen gaat over het gebruiken van kennis en conceptueel begrip om problemen op te lossen en vragen te beantwoorden. Bij dit domein gaat het zowel om toepassen in contextproblemen als om toepassen in wiskundige problemen. De nadruk ligt op standaard- en routinematige problemen. Specificaties van het cognitieve domein toepassen Toepassen Bepalen Representeren / modelleren Gebruiken Bepalen / kiezen van standaard en efficiënte operaties en strategieën voor probleemoplossen, waarbij het gaat om routinematig oplosbare problemen. Gegevens weergeven in tabellen en grafieken. Probleemsituaties modelleren met vergelijkingen, geometrische figuren en diagrammen. Gelijkwaardige representaties geven voor wiskundige entiteiten of relaties. Gebruiken van strategieën en operaties om problemen op te lossen, waarbij het gaat om problemen met bekende wiskundige concepten en procedures. 83

86 3. Redeneren Het domein redeneren gaat verder dan het oplossen van standaardproblemen: hierbij gaat het om onbekende situaties, complexe contexten en problemen die meerdere oplossingsstappen vereisen. Bij dit domein gaat het om logisch en systematisch denken, zowel in contextsituaties als in wiskundige problemen, waarbij het gaat om nieuwe, ongebruikelijke en complexe problemen. Specificaties van het cognitieve domein redeneren Redeneren Analyseren Integreren / synthetiseren Evalueren Conclusies trekken Generaliseren Verantwoorden Bepalen, beschrijven en gebruiken van relaties tussen getallen, uitdrukkingen, hoeveelheden en vormen. Verschillende kennis, gerelateerde representaties en procedures combineren om problemen op te lossen. Evalueren van alternatieve strategieën en oplossingen bij probleemoplossen. Valide gevolgtrekkingen maken op grond van informatie en bewijs. Relaties onderbouwen in meer algemeen geldende bewoordingen. Wiskundig argumenteren om een strategie of oplossing te onderbouwen. 84

87 Bijlage 6 Voorbeelden van probleemoplossen Hieronder staan enkele opgaven die onder de definitie van 'probleemoplossen' zouden kunnen vallen. Opgaven vallen onder de categorie 'probleemoplossen' als ze op het moment dat ze voorgelegd worden in principe voor de leerling géén routine vraagstukken zijn, die ze direct via een standaardprocedure of algoritime kunnen oplossen. De opgaven vragen creatief denken en productief denken. Ze zijn (in principe) nieuw voor de leerling, ook al zijn de inzichten, kennis en vaardigheden die nodig zijn om het probleem op te lossen, wel aanwezig bij de leerling. Over het algemeen zijn het opgaven die om meer dan twee stappen vragen om tot een oplossing te komen. Voorbeelden Uit: De wereld in getallen, Rekenboek 8A, Taken, p.39, opgave 1 Uit: De wereld in getallen, Rekenboek 8A, Taken, p.39, betreft opgave 2c 85

88 Uit: Rekenwonders, Rekenboek 8a, p.64 Uit: Alles telt, 8A Plusschrift 8, p.15 Uit: Pluspunt, 8A, Lesboek p.63 Uit: Kangoeroe 2016, wizbrain ( ) Uit: Kangoeroe 2017, wizbrain ( ) 86