Citation for published version (APA): Ma, W. K. (2001). Deformations in topological string theory Groningen: s.n.

Transcriptie

1 University of Groningen Deformations in topological string theory Ma, Whee Ky IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version below. Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record Publication date: 2001 Link to publication in University of Groningen/UMCG research database Citation for published version (APA): Ma, W. K. (2001). Deformations in topological string theory Groningen: s.n. Copyright Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons). Take-down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): For technical reasons the number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum. Download date:

2 Samenvatting Snaartheorie (string theory) is een poging om een theorie van alle bekende natuurkrachten te formuleren. Drie fundamentele natuurkrachten (de elektromagnetische kracht, de zwakke kernkracht en de sterke kernkracht) zijn in essentie quantummechanische krachten. Deze werken op korte (atomaire en subatomaire) afstanden. Deze drie krachten, en alle waargenomen elementaire deeltjes die onderworpen zijn aan deze krachten, worden tezamen beschreven door het Standaardmodel van de elementaire deeltjes, dat al enkele decennia bekend is. De vierde fundamentele natuurkracht is de gravitatiekracht, die beschreven wordt door de algemene relativiteitstheorie van Einstein (massa is kromming van de ruimtetijd). Dit is een theorie die juist heel goed werkt op grote schaal en bij grote massa's (typisch planeten en sterren). Bij zeer hoge energieën (van de orde van GeV) gaan deeltjes zich echter gedragen als zeer massieve objecten, en is een gecombineerde theorie van de vier natuurkrachten nodig, en dus van quantummechanica en algemene relativiteitstheorie. Er zijn veel aanwijzingen voor het bestaan van zo'n geünificeerde theorie. Als deze gevonden wordt zal zij ook relevant zijn voor de beschrijving van de vroege stadia van het heelal, omdat daarin de afstanden kort en de energieën zeer hoog waren. Gravitatietheorie en quantummechanica zijn echter niet zonder meer met elkaar te verenigen. De reden is dat in quantumveldentheorie, de uitbreiding van quantummechanica die wordt gebruikt in het Standaardmodel, allerlei fysische grootheden oneindige waarden aannemen wanneer deeltjes elkaar zeer dicht benaderen. Dit is niet gewenst, en in het Standaardmodel wordt een techniek toegepast, renormalisatie geheten, om deze oneindigheden op te heffen. Gravitatietheorie is echter niet renormaliseerbaar. Snaartheorie introduceert een nieuw concept om dit op te lossen: een snaar, een trillend ééndimensionaal object. De trillingstoestanden van een snaar corresponderen met verschillende deeltjes. Interacties van snaren corresponderen met het samengaan en splitsen van snaren. Het concept van een snaar heeft daardoor als consequentie dat interactiepunten worden vervangen door interactiegebiedjes, waardoor het renormalisatieprobleem wordt opgelost. 145

3 Samenvatting In snaartheorie bestaan open en gesloten snaren, respectievelijk met en zonder eindpunten (en daarnaast zijn er hogerdimensionale objecten, zoals membranen). Het interessante is dat gravitatie wordt teruggevonden als onderdeel van de gesloten-snaartheorie. Snaartheorie is daardoor inderdaad een geünificeerde theorie. De energieën waarbij zij relevant is, zijn weliswaar zo hoog dat experimentele bevestiging niet in zicht lijkt, maar er zijn aanwijzingen dat via kosmologische modellen wel degelijk indirecte tests mogelijk zijn. Daarnaast heeft de snaartheorie nieuwe inzichten opgeleverd in andere gebieden van de natuurkunde en in de wiskunde. Er zijn problemen met snaartheorie. Ten eerste bestaan er meerdere intern consistente theorieën, die bovendien alle in negen dimensies leven. Hoe krijgen we hieruit weer de driedimensionale fysica die we om ons heen zien? Dit is mogelijk door de resterende zes dimensies op kleine schaal op te rollen (te `compactificeren') vergelijk dit met een regenpijp die je van een afstand bekijkt maar dat kan op verschillende manieren. Wel bestaan er allerlei equivalenties (dualiteiten) tussen verschillende theorieën in verschillende compactificaties of limiterende regimes, en lijkt er bovendien een overkoepelende theorie (M-theorie) te bestaan, waarvan de vijf snaartheorieën verschillende manifestaties zijn. Ten tweede is alleen een zogenaamde perturbatieve formulering bekend, waarbij fysische grootheden worden berekend uit een oneindige reeks. Er zijn echter ook nietperturbatieve objecten bekend, waarvan de zogenaamde Dirichlet-branen de belangrijkste zijn. Een volledige formulering van snaartheorie moet daarom niet-perturbatief zijn. In de voornaamste kandidaat voor zo'n formulering, snaarveldentheorie, is echter nog veel onbekend. In snaartheorie worden ook resultaten verkregen die onafhankelijk ervan lijken te gelden. Een intrigerend voorbeeld hiervan vormen de ontwikkelingen rondom het zogenaamde holografisch principe: dat bepaalde theorieën in een ruimtetijd volledig kunnen worden beschreven door theorieën op de rand van die ruimtetijd (die één dimensie minder heeft), net zoals een hologram een complete tweedimensionale weergave van een driedimensionaal object is. In de fysica van zwarte gaten, ineengestorte sterren die geen licht naar buiten laten, speelt dit principe een belangrijke rol. De volledige snaartheorie is dermate omvangrijk en onbegrepen, dat het zinnig is om een eenvoudiger model te bestuderen. Sterk in aanmerking hiervoor komt de zogenaamde topologische snaartheorie. De belangrijkste reden is dat daarin veel grootheden exact te berekenen zijn, terwijl de conclusies toch vaak in grotere algemeenheid gelden. Topologie is een generalisatie van gewone meetkunde die zich bezighoudt met ruimtes in termen van eigenschappen die niet veranderen onder continue vervormingen. In het bijzonder spelen afstanden tussen punten geen rol. In een topologische quantumveldentheorie of

4 147 een topologische snaartheorie hangen de fysische grootheden niet af van de afstanden in de ruimte. In dit proefschrift bestuderen we zogenaamde deformaties van topologische snaartheorieën op een systematische manier. De motivatie en het raamwerk hiervoor worden bepaald door drie onderwerpen in snaartheorie: ten eerste deformatiequantisatie en nietcommutatieve veldentheorie, ten tweede zekere al bekende deformaties van topologische gesloten snaren, en ten derde de algebra sche structuur van snaartheorie en snaarveldentheorie. Deze drie zullen nu worden toegelicht. Men verwacht dat de ruimtetijd op zeer kleine schaal een `quantumkarakter' heeft, hetgeen erop neerkomt dat de coördinaten geen gewone functies meer zijn, maar wiskundige objecten waarvan de volgorde van vermenigvuldiging verschil maakt. Dit kan worden vertaald naar een alternatieve vermenigvuldiging van functies, het `sterprodukt', dat aan een zekere algebra sche eis moet voldoen. In een theorie van open snaren is het effect daarvan merkbaar in de aanwezigheid van een zogenaamd achtergrondveld; de beschrijving hiervan in een zekere limiet is niet-commutatieve veldentheorie. Het achtergrondveld is een `deformatie' van de snaartheorie. Hoewel het sterprodukt in het verleden is gebruikt in een alternatieve formulering van de quantummechanica (deformatiequantisatie geheten), is topologische snaartheorie in feite veel meer de juiste fysische context. Het sterprodukt blijkt namelijk te kunnen worden geformuleerd in termen van een topologische veldentheorie. Nu bestaat al enige tijd een methode voor het bestuderen van zekere deformaties van topologische gesloten snaren. Wij hebben deze methode aangepast en uitgewerkt voor het geval van topologische open snaren in interactie met gesloten snaren. De bovengenoemde veldentheorie is een speciaal geval van de gedeformeerde topologische open snarentheorie die wij bestuderen. De wiskunde achter het sterprodukt, zogenaamde Hochschildcomplexen en homotopie-algebra's, laat zich eveneens generaliseren, en zelfs uitdrukken in een formele vorm (operaden) die direct aansluit op de fysische intu tie, namelijk interactiediagrammen van snaren en branen. Interessant is dat homotopie-algebra's de algebra sche structuren vormen van (niet-perturbatieve) snaartheorie. Wij laten zien dat het juist de deformaties zijn die deze structuren blootleggen. In hoofdstuk 3 wordt het geval van topologische open snaren op het eenvoudigste topologische niveau uitgewerkt. Naast het model afgeleid van niet-commutatieve veldentheorie illustreren twee andere modellen de toepassing in een bekende, door te rekenen context. De wiskundige methodiek wordt vervolgens in hoofdstuk 4 toegepast op deformaties van topologische gesloten snaren. Hierbij is meer onduidelijk, omdat er nog geen volledig bevredigende veldentheorie van gesloten snaren bestaat. Het is interessant dat er drie categorieën deformaties worden gevonden, waarvan twee fysisch relevant zijn. Eén

5 Samenvatting hiervan is die van de al bekende deformaties, de andere is nieuw en heeft betrekking op deformaties door een topologisch membraan, een driedimensionaal object afkomstig uit M-theorie. Dit geval wordt nader uitgewerkt in hoofdstuk 5, waarbij een correspondentie wordt gelegd tussen de algebra schedeformatiestructuur en de structuur die voortkomt uit een bepaalde fysische methode, Batalin-Vilkoviskyquantisatie. Dat deformaties van een d-dimensionale topologische theorie worden beschreven door een (d+1)-dimensionale, lijkt meer in het algemeen natuurlijk, ook vanuit wiskundig oogpunt (stelling van Deligne). In hoofdstuk 6 worden toepassingen en recente ontwikkelingen besproken. We besteden met name aandacht aan de bosonische snaar. Deze vertoont overeenkomsten met de topologische snaar, maar laat ook een interessante extra structuur zien. Dit werk biedt een basis voor een volledige beschrijving van deformaties van snaartheorieën. De meest interessante open richtingen lijken het generaliseren van de resultaten voorbij het eenvoudigste topologische niveau en buiten de topologische context, en het relateren van de stelling van Deligne en haar realisatie in deformaties van topologische snaren aan holografische theorieën.