Verandering van de eigenwaarden van lineair dynamische systemen door viskeuze demping de Kraker, A.

Transcriptie

1 Veranderng van de egenwaarden van lnear dynamsche systemen door vskeuze dempng de Kraker, A. Gepublceerd: 01/01/1983 Document Verson Utgevers PDF, ook bekend als Verson of Record Please check the document verson of ths publcaton: A submtted manuscrpt s the author s verson of the artcle upon submsson and before peer-revew. There can be mportant dfferences between the submtted verson and the offcal publshed verson of record. People nterested n the research are advsed to contact the author for the fnal verson of the publcaton, or vst the DOI to the publsher s webste. The fnal author verson and the galley proof are versons of the publcaton after peer revew. The fnal publshed verson features the fnal layout of the paper ncludng the volume, ssue and page numbers. Lnk to publcaton Ctaton for publshed verson (APA): Kraker, de, A. (1983). Veranderng van de egenwaarden van lnear dynamsche systemen door vskeuze dempng. (DCT rapporten; Vol ). Endhoven: Technsche Hogeschool Endhoven. General rghts Copyrght and moral rghts for the publcatons made accessble n the publc portal are retaned by the authors and/or other copyrght owners and t s a condton of accessng publcatons that users recognse and abde by the legal requrements assocated wth these rghts. Users may download and prnt one copy of any publcaton from the publc portal for the purpose of prvate study or research. You may not further dstrbute the materal or use t for any proft-makng actvty or commercal gan You may freely dstrbute the URL dentfyng the publcaton n the publc portal? Take down polcy If you beleve that ths document breaches copyrght please contact us provdng detals, and we wll remove access to the work mmedately and nvestgate your clam. Download date: 18. Jun. 2017

2 VERANDERING VAN DE EIGENWAARDEN VAN LINEAIR DYNAMISCHE SYSTEMEN DOOR VISKEUZE DEMPING. EINDHOVEN, MEI 1983 VAKGROEP FUNDAMENTELE WERKTUIG- BOUWKUNDE, Dr.1r. A. de Kraker THE rapport WE 83Jy

3 INHOUD SAMENVATTING 1. ONGEDEMPTE SYSTEMEN 2. PROPORTIONEEL GEDEPIPTE SYSTEMEN 3. ALGEMEEN GEDEMPTE SYSTEMEN 4. VOORBEELD 5. SLOTOPMERKINGEN LITERATUUR Pagna

4 SAMENVATTING. In dt rapport staat het vrje trllngsgedrag van vskeus- gedempte, lnear dynamsche systemen met n graden van vrjhed centraal. Nagegaan wordt op welke wjze de (n het algemeen complexe) egenwaarden en -vectoren benvloed worden door de vorm en het nveau wan de n het systeem aanwezge dempng. Voor proportoneel gedempte systemen bljkt de modulus van de complexe egenwaarden net befvloed te worden doos de dempng. Enkel de fasehoek verandert door het aanwezg zjn van deze dempng. In dat geval bewegen alle egenwaarden over een crkel n het complexe vlak. Voor een meer algemene vorm van de dempngsmatrx geldt dt net meer. Wel zal bljken dat ten allen tjde het product van alle egenwaarden reëel en konstant s.

5 -1- /' - 1, Onqecernpte systemen, Vj gaan ut van een Lnear dynamsch systeem met y grden van vrjhed. He; qekappelc'e skkel dpperen- LaaLvergeLj knyn voor hel vrje trlllngsgedr~5 km n matrx vorm yeschreven dorden als : I c. j \. dus : Deze verge3kty levert dan en slechts dah een nettrvale oplosshg LL+ p nden de ~atrx [CM

6 , t snguler s, d us : I / \ I. r. c

7 -3- c. CI oe : I- C.. (1.12) t. (?.T3)

8 -4- geldt dlcs : 2. Proportìoneel gedempte systemen. Herby s Q de symmetrsche, p#n)vskeuze dmptsmatrz. Voor de o~~ossìn3 van hek vr3e GUb3s~~edm~ prokeren wy weer: q (tb - Xt e ' I L

9 -5-! -, - (2.10) (2.13), L

10 - 6-.

11 -7- J (! L. C.

12 - 8- k I- e.. c

13 -9-3. Atyzmeen gedempte systemen, '- 5 (3.71 (33.21 l (3.3) c..

14 -o - r n I.. 1 Le*(& tol hek egenwaarde pcobleem : l. c L

15 Í A =[ K -I B OJ f L. - t_ c. c. L

16 -12-. I (3.13).. c. c c r c

17 -\3- <-. 'L.

18 -[y- L r. =-p.- E] 0 %A,- I

19 -SI- l

20 f -I 6- (3.28) f /-- c. {-- ċ c I CI. I L. 4-1 (3.30)

21 l -17- (3.32) r c

22 f (A-pI)= O (3-39 I"

23 L I.-

24 -20- ( : I.. c.

25 í. ì

26 -22. c. I - J 2\ 7 Y Re \\ I 3 _ Y!

27 -23- (-. f vm í 'L / L.. ~,

28 /- - 2l.t Jm c [- ċ c r t L 'L.-50,^.~.._. L. c. dempng..

29 / -25- f c r c l, c c. l c- f ì 28 xof a a

30 -26 - f < r. c.

31 f,._ p (, I 1-

32 80-28-

33 Lo to p me rk ngen. ' <- - <

34 -SO-! L LeratMur. ' \