Informatica 2e semester

Transcriptie

1 Informatica 2 e semester: les 8 Software & binaire bomen Jan Lemeire Informatica 2 e semester februari mei 2019

2 Vandaag 1. Non-zero sum games 2. Leren 3. Deel III: slimme algoritmen versus intelligentie 4. Overzicht datastructuren 5. Binaire bomen

3 Non-zero sum games

4 p. 49 Prisoner s dillema Henry & Dave beschuldigd van misdrijf Rechter roept hen apart bij zich en vraagt hen of de ander schuldig is Antwoord bepaalt straf: Henry zegt over Dave Dave zegt over Henry Jan Lemeire Pag. 4 / 99

5 Iterative Prisoner s dillema Samenwerken of bedriegen? Iteratief toepassen Op termijn speelt vertrouwen mee Cf vertrouwen op het internet om iets te kopen van een vreemde De basis van de speltheorie (game theory) in economie Er is een win-win situatie (samenwerking)! Jan Lemeire Pag. 5 / 99

6 Jan Lemeire Pag. 6 / 99

7 Loopgrachtenoorlog Resulteerde in bestanden tussen de soldaten van beide kanten Van akkoorden over eetpauzes tot afspraken over (ongevaarlijke) schietuurtjes om de officieren te plezieren (doen alsof er echt gevochten werd) Iterative prisoner s dilemma!! Je kan het bestand schenden en de ander bij verrassing aanvallen Maar op lange termijn heb je meer baat bij samenwerking De legerstaf moest maatregelen nemen om deze natuurlijke evolutie tegen te gaan Jan Lemeire Pag. 7 / 99

8 Iterative Prisoner s dillema Samenwerken of bedriegen? Wat is beste strategie? Toernooien worden gespeeld Elk duel bestaat uit 100 opeenvolgende beslissingen Winnaar: oog-om-oog, tand-om-tand Laatste zet tegenstander Volgende zet Samenwerking Verraad Verraad Samenwerking Jan Lemeire Pag. 8 / 99

9 Leren

10 Oplossingsmethoden Type 1: De oplossing kan berekend worden met een formule (analytisch). Type 2: Je kunt de oplossing gericht zoeken of construeren (rechttoe-rechtaan). Type 3: Je gaat alle mogelijke actiesequenties af om een oplossing te vinden. Type 4: Door slimme keuzes (heuristieken) te maken, kan je verschillende actiesequenties uitsluiten. Type 5: Je leert al doende welke de juiste keuzes zijn. Jan Lemeire Pag. 10 / 99

11 Een computer van Google DeepMind heft zichzelf 49 spelletjes op de klassieke Atari 2600-console aangeleerd, en spelt nu even goed of beter dan een mens. Kinderspel? Allerminst. Misschien is het zelfs een doorbraak in artificiële intelligentie. De Standaard 26 februari 2015

12 p. 50 Leren: de theorie Te definiëren de mogelijke toestanden de mogelijke acties de beloning/straf Strategie Staat -> actie State space staat 1 staat 2 staat 3 staat 4 State space staat 1 staat 2 staat 3 staat 4 Action space actie 1 actie 2 actie 3 Action space actie 1 actie 2 actie 3 Jan Lemeire Pag. 12 / 99

13 Reinforcement learning Matrix van gewichten bijhouden Gewicht geeft effectiviteit van actie aan actie 1 actie 2 actie 3 staat 1 staat 2 staat 3 staat Initieel: alle gewichten gelijk Exploratiefase: acties worden willekeurig gekozen Later: keuze ~ gewicht (P(actie) ~ gewicht) Exploitatiefase: actie met grootste gewicht kiezen goed om soms andere acties te kiezen, want het spel kan dynamisch veranderen Jan Lemeire Pag. 13 / 99

14 Reinforcement learning: update Als winst/verlies, de laatste acties belonen/afstraffen eventueel met forgetting factor : kleinere aanpassing voor oudere acties staat 2 actie 1 staat 3 actie 1 staat 1 actie 2 staat 1 actie 3 staat Winst 10 Jan Lemeire Pag. 14 / 99

15 AI op school De standaard 23 maart 2019 Leerlingen voeren oefeningen uit met programma. Het leert hoe goed een leerling het doet => Een vorm van reinformcement learning Jan Lemeire Pag. 15 / 99

16 Iterative Prisoner s Dilemma Reinforcement learning Gebaseerd op n laatste zetten n=2: 16 mogelijkheden Gewicht voor de volgende zet aanpassen als tegenstander het omgekeerde doet Leidt dit tot een goede strategie?? Laatste zetten S/S S/V S/S S/S S/S V/V S/S V/S Als tegenstander Verraad Samenwerking Volgende zet Samenwerking Verraad % +5% +5% -5% Jan Lemeire Pag. 16 / 99

17 p. 53 Minimax: Leren van evaluatiefunctie Net zoals bij de schuifpuzzel kunnen we onmogelijk voor elke situatie de beste actie leren Wel mogelijk: Aanpassen van parameters met behulp van feedback (winst of verlies) Voorbeeld: gewichten van de score-functie, aangezien deze uit meerdere delen bestaat. Zoals evaluatiefunctie van schaken Jan Lemeire Pag. 21 / 99

18 Probleem: explosie van staten Stel: voor elke toestand (staat) willen we beste zet leren Schuifpuzzel: 9! mogelijke configuraties Schaken: nog groter Te veel mogelijkheden om voor elke toestand de beste actie te leren (mapping van staat op actie)! Mogelijke oplossing: abstracte regels gebruiken Als X, doe actie Y X: eigenschap van staat geldt dus voor meerdere staten! Leren van relevantie van regels (zie scorefunctie) Jan Lemeire Pag. 22 / 99

19 Hoofdstuk 9: Artificiële intelligentie Jan Lemeire Pag. 23 / 99

20 Waarmaken van Leibniz s droom (9) Artificiële intelligentie (8) Communicatie & internet (7) Operating system (6) Computatietheorie & Software (5) Efficiënt productieproces (4) Hardware architectuur Elektronica: (2) relais -schakeling, (3)geheugen (1) Digitaal & binair (0) Het idee Informatica deel III: technologie, historiek en economische aspecten

21 Artificiële Intelligentie, de grote uitdaging

22 Is er een machine die even slim of zelfs slimmer is als de mens!? Volgende vragen kunnen beantwoorden: Wat is volgens u intelligentie? Is de huidige computer al intelligent? Zijn we al goed op weg naar een intelligente computer? Wat verwacht je in de nabije toekomst?

23 Wanneer spreken we over intelligentie? Er is verschil tussen slimme algoritmen en intelligentie! Type A: Patronen herkennen Type B: Symbolisch = tekens die een betekenis (semantiek) hebben begrijpen is noodzakelijk voor intelligentie

24 AI: Type (A) toepassingen Stemherkenning Wat je zegt lukt redelijk momenteel maar herkennen wie spreekt, kan computer niet Spreken met de computer, zullen we het ooit? willen we het? Objectherkenning Vbn: security, gezichtsherkenning in facebook, verkeersbordherkenning, nummerplaatherkenning bij ingang VUB Echter moeilijk bij slecht weer, donkerte, Spel: patronen bepalen strategie/tactiek Computer = brute force, niet met gebruiken van patronen Mooie resultaten worden behaald. Maar robots kunnen nog niet voetballen of zo

25 Automatische verkeersbordherkenning in de auto

26 INPUT OUTPUT Verkeersbordherkenning Met een neuraal netwerk (gebaseerd op hoe hersens werken) OUTPUT: Code van verkeersbord Zo n neuraal netwerk is ook de basis van deep learning, de nieuwste. De gewichten van het hele network worden geleerd, ook de diepste lagen. Lobe.ai:

27 Een computer van Google DeepMind heft zichzelf 49 spelletjes op de klassieke Atari 2600-console aangeleerd, en spelt nu even goed of beter dan een mens. Kinderspel? Allerminst. Misschien is het zelfs een doorbraak in artificiele intelligentie. De Standaard 26 februari 2015

28 AI: type (B) toepassingen Google search Ask Jeeves: je kan vragen stellen Vertalingen: hoe goed/slecht is Google Translate? Consumentenprofiel adhv historische gegevens Grootwarenhuizen Facebook, google: aangepaste reclama Recent: gebruik in USA om politieke voorkeur te beïnvloeden Is dit intelligent??

29 Wanneer spreken we over intelligentie? Er is een verschil tussen slimme algoritmen en intelligentie! Veel van wat we intelligent noemen is in feite slechts gebaseerd op een goed doordacht algoritme Het leeralgoritme van Google Deepmind heeft veel tijd nodig om te leren en kan de resultaten niet extrapoleren van 1 spel naar een ander. Intelligentie heeft, volgens mij, te maken met begrijpen

30 Wat is intelligentie? Informatie Redeneren Begrijpen Wikipedia: abstract thought, understanding, selfawareness, communication, reasoning, learning, having emotional knowledge, retaining, planning, and problem solving. Taal (noodzakelijk?) Verschil tussen slimme algoritmen en intelligentie! Er is nog geen eenduidige definitie van intelligentie! Jan Lemeire Pag. 35 / 99

31 Turing Test (1950) 'Can machines think? Artificiële intelligentie Kunnen we verschil maken tussen mens en computer? Computer Mens Alan Turing Omdat er geen duidelijke definitie bestaat over wat intelligentie inhoudt en wij als mens prototype zijn van intelligentie, bedacht Turing een test. Door vragen te stellen tracht je te ontdekken of er achter het scherm een computer of mens bevindt. Als we geen verschil meer kunnen maken, kunnen we de computer intelligent noemen. Jan Lemeire Pag. 36 / 99

32 Turing test Je kan je intelligent programma opladen dollar als je programma slaagt voor de Turing test Communiceer je met een computer of met een mens?

33 Turing test for bots The idea is to evaluate how we can make game bots, which are Non-Player Characters (NPCs) controlled by AI algorithms, appear as human as possible. Unreal Tournament 2004 (results) tournament against one another and about an equal number of humans tag opponents as human or bot.

34 Jan Lemeire Pag. 39 / 99

35 Piet Vroon (professor pshycholigie ugent) Drie soorten hersens Instinct (Hersenstam/hypothalamus - reptielenherses) Conditionering (Limbisch systeem - zoogdierenbrein) Intelligentie (Neocortex meest recente hersens) Evolutie van de mens 1 miljoen jaar geleden: evolutionaire sprong (vuur werktuigen) jaar geleden: finale evolutionaire sprong (taal?) Geest is federatie van delen Daden gevolg van combinatie 3 hersens 1990

36 The evolution of the human s cognitive capacities Merlin Donald, 1991

37 Episodische cultuur Nabootsende cultuur Mythische cultuur Kenniscultuur

38 De ontwikkeling van onze hersens Episodische cultuur (zoogdieren en vogels): events herkennen en linken aan actie ( = conditionering reinforcement learning) Nabootsende cultuur: vaardigheden (vervaardigen werktuigen) leren door imitatie Elkaar begrijpen door gebaren, kreten en herkennen van emoties (gelaatsuitdrukkingen en stem timbre ) Mythische cultuur: taal voor communicatie en overdracht van mythes Kenniscultuur: door schrift (ook wiskundige notaties) Elke cultuur zorgt voor een nieuwe laag hersens. De oude blijven bestaan!

39 Volgens mij Met een graduele verbetering van de huidige technieken komen we er niet Echte ontdekking moet nog gebeuren Hoe we informatie opslaan/verwerken/gebruiken Natuurlijke taal? Wie is het genie die dit gaat ontdekken? Mijn drijfveer om informatica te gaan doen

40 Nieuwe uitdaging Herkennen van legoblokjes Robot voor het sorteren van legoblokjes dit bestaat nog niet!

41 Conclusie voor ingenieur Er is gespecialiseerd onderzoek naar A.I. Maar meestal is engineering nog noodzakelijk Meestal zijn simpele, slimme oplossingen even goed Zware A.I.-technieken nog weinig in gebruik, nog niet voor meteen Gebruik je intelligentie en ingenioziteit om adequate oplossing te vinden Helen Greiner (2015): in de AI worden we om de 5 jaar heen en weer geslingerd tussen het idee dat de technologie op het punt staat de wereld te veroveren, en de totale teleurstelling

42 Overzicht datastructuren

43 Raadseltje raadsel f1(x): y = *log 10 (x) f2(x): y = *x f3(x): y = 5 + x* log 10 (x) f4(x): y = 0.1*x 2 Wie wint? Welke functie wordt de grootste bij grote x? Hoe dicht liggen de functies bij elkaar bij zeer grote x?

44 f1(x): y = *log 10 (x) f2(x): y = *x f3(x): y = 5 + x* log 10 (x) f4(x): y = 0.1*x 2 p. 3

45 p. 3 De big-o notatie O(0) < O(log(n)) << O(n) < O(n.log(n)) << O(n 2 ) Maar ook O(poynomiaal) << O(exponentiële functie) Bijvoorbeeld: O(n 10 ) << O(2 n ) n n 10 2 n = = = Jan Lemeire Pag. 50 / 90

46 Performantie datastructuren p. 2 Datastructuur Random access (opvragen i de element) Find (via naam) Toevoegen / verwijderen Array O(0) ++ O(n) O(log(n)) als gesorteerd O(n) - ArrayList O(0) ++ O(n) O(log(n)) als gesorteerd O(n) - Linked list O(n) - O(n) -- O(0) ++ Binaire boom n.v.t. O(log(n)) + O(0) ++ Hashtabel n.v.t. O(0) ++ O(0) ++ Zolang binnen grootte Jan Lemeire Pag. 51 / 90

47 Hfst 6 Lineaire datastructuren Arrays niet flexibel Linked Lists: Flexibel toevoegen en verwijderen J A V A Jan Lemeire Pag. 52 / 90

48 Flexibel verwijderen link first J A V N A Jan Lemeire Pag. 53 / 90

49 Vinden van het i de element Array = beginvakje + i Linked List Je bent van in het begin niet zeker waar het i-de element zich bevindt in het geheugen, zeker nadat elementen zijn toegevoegd en verwijderd J A V A J A V A J A V A 8 N J A V A 8 N A B Jan Lemeire Pag. 54 / 90

50 Bomen

51 p. 64 Bomen (hoofdstuk 7) Arrays: basis ArrayList: flexibele grootte van array Linked Lists: flexibel toevoegen en verwijderen van elementen Maar: doorlopen van lijst is traag (bvb zoeken van element) Nodig: flexibele structuur om elementen in op te zoeken Jan Lemeire Pag. 56 / 90

52 Binaire boom Jan Lemeire Pag. 57 / 90

53 Alle mogelijkheden afgaan = aanmaken boom (les 7) Hfst 5 Initial UP LEFT UP LEFT DOWN UP LEFT RIGHT Oplossing puzzel zoeken LEFT DOWN DOWN LEFT RIGHT... Geen binaire boom, kan meer of minder takken hebben Jan Lemeire Pag. 58 / 90

54 p. 65 Geordende binaire boom Zoeken kan snel Flexibel: toevoegen & verwijderen Jan Lemeire Pag. 59 / 90

55 Elke node is een object class Node<T>{ T data; Node<T> left, right; } Node(T data){ this.data = data; this.left = null; this.right = null; } Jan Lemeire Pag. 60 / 90

56 Boom object public class BinaryTree<T> { Node<T> root; Comparator<T> comparator; } public BinaryTree(Comparator<T> comparator){ this.comparator = comparator; root = null; } Jan Lemeire Pag. 61 / 90

57 Definiëren van ordening java.util Interface Comparator<T> Method Summary boolean int compare(t o1, T o2) Compares its two arguments for order. Returns a negative integer, zero, or a positive integer as the first argument is less than, equal to, or greater than the second. equals(object obj) Indicates whether some other object is "equal to" this comparator. Jan Lemeire Pag. 62 / 90

58 p. 66 IntegerComparator class IntegerComparator implements Comparator<Integer> public int compare(integer val1, Integer val2) { return val1 - val2; } } Jan Lemeire Pag. 63 / 90

59 Ordenen van studenten op naam class StudentComparator implements public int compare(student student1, Student student2) { int ordenaam = student1.naam.compareto(student2.naam); if (ordenaam == 0) // als beide dezelfde naam return student1.voornaam.compareto(student2.voornaam); else return ordenaam; } } Jan Lemeire Pag. 64 / 90

60 Aanmaken van boom IntegerComparator comparator = new IntegerComparator(); BinaryTree<Integer> tree = new BinaryTree<Integer>(comparator); korter: BinaryTree<Integer> tree = new BinaryTree<Integer>(new IntegerComparator()); Jan Lemeire Pag. 65 / 90

61 Nog korter: via anonymous class BinaryTree<Integer> tree = new BinaryTree<Integer>( new Comparator<Integer>() public int compare(integer val1, Integer val2) { return val1 - val2; } } ); Jan Lemeire Pag. 66 / 90

62 Recursie

63 Niet in cursus + Recursie private void recursion4(int t) { System.out.println(t); t++; if (t < 10) recursion4(t); } Bij aanroep van recursion4(6) geeft dit: Jan Lemeire Pag. 68 / 90

64 + Terugkeer van de recursie private int recursion5(int t){ if (t < 10){ recursion5(t+1); } System.out.println(t); } Output bij aanroep van recursion5(6) : Moeilijkste van recursie Jan Lemeire Pag. 69 / 90

65 + Na het oproepen van een functie, ga je verder met de rest void f(){ System.out.println("a"); g(); System.out.println( b"); } void g(){ System.out.println( c"); } Output: a c b Na het uitvoeren van g(), wordt de rest van f() uitgevoerd Jan Lemeire Pag. 70 / 90

66 Recursie zonder recursie? Staartrecursie 1 recursieve oproep Kan ook geprogrammeerd worden met een while Boomrecursie Meer dan 1 recursieve oproep (vb fibonacci) Is minder evident om zonder recursie te programmeren, bij Mergesort zien we hoe dit kan. Aanpak zoals bij breadth-first search. Jan Lemeire Pag. 71 / 90

67 Operaties op bomen

68 Belangrijke operaties 7.3 Zoeken element 7.5 Toevoegen element (opbouwen boom) 7.6 Verwijderen element 7.7 Doorlopen van boom (bvb printen) Jan Lemeire Pag. 73 / 90

69 p Zoeken element public boolean contains(t object){ return find(root, object); } private boolean find(node<t> current, T object){ if (current == null) return false; else if (comparator.compare(current.data, object) == 0) return true; else if (comparator.compare(object, current.data) < 0) return find(current.left, object); else return find(current.right, object); } Tijd ~ diepte boom Idealiter: log 2 n Behalve als ongebalanceerd (zie verder) Jan Lemeire Pag. 74 / 90

70 Staartrecursie Met while: public boolean containswithoutrecursion(t object){ Node<T> current = root; while (current!= null){ if (comparator.compare(current.data, object) == 0) return true; // gevonden! else if (comparator.compare(object, current.data) < 0) current = current.left; else current = current.right; } return false; // niet gevonden } Jan Lemeire Pag. 75 / 90

71 p Zoektijd binaire boom Als gebalanceerd n => n/2 => n/4 => n/8 => => 1 Of: 1.2 x = n x = aantalzoekstappen = log 2 n Jan Lemeire Pag. 76 / 90

72 Ongebalanceerde boom aantalzoekstappen = log 4 n aantalzoekstappen = log 1.33 n Gemiddelde is slechter dan log 2 n! Jan Lemeire Pag. 77 / 90

73 Zoektijd log 2 n log 4 n log 1.33 n n 2k + log 2 k n/2 10 3,3 1,7 8,1 16, ,6 3,3 16,1 16, ,0 5,0 24,2 16, ,3 6,6 32,3 16, ,6 8,3 40,0 17, ,9 10,0 48,4 21, ,3 11,6 56,5 66, ,6 13,3 64,6 516, ,9 14,9 72,7 5016, /2 *2,433 Jan Lemeire Pag. 78 / 90

74 Verschil in zoektijd Eigenschap logaritmes : Verschil in aantal stappen: log d n = log 2 n log 2 d Verandering van basis stappenratio = log d n log 2 n = 1 log 2 d stappenratio = 1 log = = 2.43 stappenratio = 1 log 2 4 = 1/2 2 t.o.v t.o.v. 4 Besluit: logaritmisch << lineair Jan Lemeire Pag. 79 / 90

75 p Ongebalanceerde boom 2 Vast aantal (k-1) nodes links, de rest rechts k << n Rechterboom heeft n/k => n/2k stappen Totaal n/2k + log 2 (k 1) n/2k lineair Jan Lemeire Pag. 80 / 90

76 p Toevoegen element public void add(t object){ Node<T> newnode = new Node<T>(object); if (root == null) root = newnode; else add(root, newnode); } private void add(node<t> current, Node<T> newnode){ if (comparator.compare(newnode.data, current.data) < 0){ // moet links komen if (current.left == null) current.left = newnode; else add(current.left, newnode); } else { // rechts if (current.right == null) current.right = newnode; else add(current.right, newnode); } } Jan Lemeire Pag. 81 / 90

77 Volgorde van toevoegen bepaalt boom! Wat als ik toevoeg in die volgordes? {k, l, g, i, x, q, r, a, e, f, c, z} {a, c, e, f, g, i, k, l, q, r, x, z} {i, z, q, l, k, f, e, g, c, x, a, r} Jan Lemeire Pag. 82 / 90

78 p Verwijderen van element Node die we verwijderen: Eerste mogelijkheid: node heeft geen subbomen T1 Tweede mogelijkheid: node heeft 1 subboom T2 T3

79 3 e geval: node heeft 2 subbomen Verwijderen node Meest linkse van rechtersubboom Meest rechtse van linkersubboom Onze keuze Jan Lemeire Pag. 85 / 90

80 Promoten meest rechtse van linkersubboom Niet in cursus T4 T5 T6 Jan Lemeire Pag. 86 / 90

81 public boolean remove(t object){ if (comparator.compare(root.data, object)== 0){ root = createsubtree(root); return true; } else return findnodeandremove(root, object); } private boolean findnodeandremove(node<t> current, T object){ if (current == null) return false; Eentje hoger stoppen! if (current.left!= null && comparator.compare(current.left.data, object)== 0){ current.left = createsubtree(current.left); return true; } else if (current.right!= null && comparator.compare(current.right.data, object)== 0){ current.right = createsubtree(current.right); return true; } } else if (comparator.compare(current.data, object) < 0) return findnodeandremove(current.left, object); else return findnodeandremove(current.right, object); Jan Lemeire Pag. 87 / 90

82 private Node<T> createsubtree(node<t> nodetoberemoved){ if (nodetoberemoved.left == null){ // right is the only subtree that we should consider return nodetoberemoved.right; T1 T3 } else if (nodetoberemoved.right == null){ } // left is the only subtree that we should consider return nodetoberemoved.left; T2 } else { // promote rightmost node of left subtree if (nodetoberemoved.left.right == null){ T4 nodetoberemoved.left.right = nodetoberemoved.right; return current.left; } else { Node<T> rightmostnode=pickrightmostnode(nodetoberemoved.left); } } T5 T6 // he is new root of subtree rightmostnode.right = nodetoberemoved.right; rightmostnode.left = nodetoberemoved.left; return rightmostnode;

83 private Node<T> pickrightmostnode(node<t> current){ // we expect current.right not to be null if (current.right.right!= null){ T5 return pickrightmostnode(current.right); } else { T6 Node<T> rightmostnode = current.right; current.right = rightmostnode.left; rightmostnode.left = null; return rightmostnode; } } Wat links van rightmostnode staat, gaat de plaats innemen van rightmostnode in de boom

84 Oefening in boek (p. 75) We verwijderen eerst element l, q, g, vervolgens x en tot slot verwijderen we k Teken telkens de nieuwe boom Jan Lemeire Pag. 90 / 90

85 Op boom van p Doorlopen van boom public void preorder(node<t> node){ if (node!= null){ System.out.print(node.data+", "); preorder(node.left); preorder(node.right); } } public void inorder(node<t> node){ if (node!= null){ inorder(node.left); System.out.print(node.data+", "); inorder(node.right); } } public void postorder(node<t> node){ if (node!= null){ postorder(node.left); postorder(node.right); System.out.print(node.data+", "); } Jan Lemeire Pag. 91 / 90 } {k, g, a, e, c, f, i, l, x, q, r, z} {a, c, e, f, g, i, k, l, q, r, x, z} {c, f, e, a, i, g, r, q, z, x, l, k}

86 Boom van p.65 Jan Lemeire Pag. 92 / 90

87 Oefening: print de boom in de 3 volgordes p. 76 public void preorder(node<t> node){ if (node!= null){ System.out.print(node.data+", "); preorder(node.left); preorder(node.right); } } public void inorder(node<t> node){ if (node!= null){ inorder(node.left); System.out.print(node.data+", "); inorder(node.right); } } public void postorder(node<t> node){ if (node!= null){ postorder(node.left); postorder(node.right); System.out.print(node.data+", "); } } Jan Lemeire Pag. 93 / 90

88 Toepassingen preorder: backtracking Is de node de oplossing? Indien niet, zoek eerst links en daarna rechts inorder: in volgorde afgaan van alle elementen Jan Lemeire Pag. 94 / 90

89 p. 77 Toepassing postorder public int aantalkinderen(node<t> node){ if (node == null) return 0; int n = aantalkinderen(node.left); n += aantalkinderen(node.right); System.out.println("Node "+node.data+" heeft "+n+" kinderen"); return n + 1; } Voorbeeld van boomrecursie waarbij resultaat gegenereerd wordt bij het terugkeren uit de recursie Jan Lemeire Pag. 95 / 90