¾

Transcriptie

1 ½ Ö Ú Ø Ø Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÓÖ ÈÖÓ º Ö ÂÓ ÒÒ ºÂº Ú Ò Ò Ö Ò Ö º Å Ö Ö Ð Ò Æ ØÙÙÖ ÙÒ Ò ËØ ÖÖ Ò ÙÒ ÙÐØ Ø Ö Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ñ Ò Æ Ø ÓÒ Ð Ò Ø ØÙÙØ ÚÓÓÖ Ù ØÓÑ Ö Ý

2 ¾

3 ÇÆÌ ÆÌË ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒÐ Ò ¾ ÃÐ Ñ Ò ½ ¾º½ ÁÒÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ð Ð Ó Ð Ð Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÓÔÔÐ Ö Ø Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ë Ø ÐÐ Ø Ò Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º Û ÖØ Ø Ò Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º Ö Ú Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ò Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ú Ò Ä Ö Ò º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º À Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÉÙ ÒØÙÑ Ý Ú Ö Ò Ð Ò Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ¾ º½ ËØ ÖÚÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ò Ö Ù ÓÙ Ò Ò Ø ÖÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÆÙÐ Ó ÝÒØ Ò Ø ÖÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËØ Ò Ö ÞÓÒÒ ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ï ØØ Û Ö Ò ÙÔ ÖÒÓÚ Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ ÙØÖ ÒÓ ØÖÓÒÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ ÙØÖ ÒÓ Ó ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓ Ñ ØÖ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ï ÙÒ Á ¹ Ö ÒØ ÐØÓÔÓÐÓ º½ ÈÙÒØ ÙÖØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÊÙ ÑØ Ø Ú Ò ÊÌ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑ ØÖ Ó Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÈÙÒØ ÙÖØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÙÖÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ð ÖÚ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Î ØÓÖÚ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ð ½¹ÚÓÖÑ Ó ÓÚ ØÓÖÚ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ñ Ò Ø Ò ÓÖÚ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ØÖ Ø Ò ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ½ º½ À ØÓÖ ÒØÖÓ ÙØ Ò Ò Ø Ò ÔÓ ØÙÐ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ À Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÄÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Ð Ø Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Î ÖÐ Ú Ò ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ø Ú Ò Ø Ò Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º ÊÙ ÑØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÊÙ ÑØ Ø Ö ÑÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¼ Ê Ð Ø Ú Ø ÓÔÔÐ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½½ Ê Ð Ø Ú Ø Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

4 ÇÆÌ ÆÌË º½¾ ÜØÖ ØÖ Ú Ò ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º½ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ï ÙÒ ÁÁ ¹ ÃÖÓÑÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò ½¼ º½ Î ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ì Ò ÓÖ ÐÙÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ò Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º½ Ö Ò Ò Ú Ò Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ù Ø Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º ½½ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ½½ º½ È Ù Ó¹Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ º¾ Ì Ò ÓÖ Ò Ò ÓÚ Ö ÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º Ó Ø Ò Ò ÖÓÑÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÃÖÓÑÑ Ò Ò Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Æ ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º Û Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ò Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ð Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÞÛ ¹Ú Ð Ð Ñ Ø Ú Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½¼ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ö Ú Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º½¼º½ Ë Ð Ö Ö Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º½¼º¾ Ö Ò ¹ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º½¼º ÌÓÖ Ø ÓÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ê Ð Ø Ú Ø Ó ÑÓÐÓ ½ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ À Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Û Ø Ú Ò ÀÙ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º ÇÔÐÓ Ò Ò Ú Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ À Ð Ð ÓÑ Ò Ö ÓÓÖ ÓÙ Ñ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ À Ð Ð ÓÑ Ò Ö ÓÓÖ ØÖ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º À Ð Ð ÓÑ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ º º º º º º º º º º º ½ º À Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÃÓ ÑÓÐÓ Ò Ø ½ º½ Ì ÓÖØ ÓÑ Ò Ò Ú Ò Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÝÒ Ñ Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ò Ø ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º À Ø Ö Ò Ú Ò Ò Ø Ô Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ú Ö ØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼ Ö Ú Ø Ø ØÖ Ð Ò ½½ Ø Ø Ú Ò Ö Ú Ø Ø ØÖ Ð Ò ½ ½ ÔÔ Ò Ü ¹ Å Ø ÙÒ ½ º½ Æ Ø¹ ÙÐ Ñ Ø ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ê Ñ ÒÒ Ñ Ø ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

5 ÇÆÌ ÆÌË ÔÔ Ò Ü ¹ Ä Ò Ö Ð Ö ½ º½ Î ØÓÖÖ Ò Ò ÓÚ Ö Ö Ð ÖÙ ÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ë Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÈÖÓ ÙØ Ú Ò Ò Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º ËÓÑ Ò Ú Ö Ð Ú Ò Ú ØÓÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º Ä Ò Ö Ò Ð ÓÒØ Ò Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ò ÒØ ÐÐ Ò º º º º º º º º ½ º½º ÁÒÛ Ò Ó Ð Ö ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º ÎÓÓÖ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ä Ò Ö ÖÙ ÑØ Ò Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ º¾º½ Ä Ò Ö ÖÙ ÑØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ º¾º¾ Ò ÔÔ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ º¾º Ä Ò Ö ÓÒ Ò Ð Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¾ º¾º ÁÒÛ Ò ÔÖÓ ÙØ ÒÓÖÑ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø Ø Ú Ò Ú ØÓÖ Ò º º º º º º º º º º ¾¼¾ º¾º Ä Ò Ö Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Å ØÖ ÜÖ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ Å ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º ÈÖÓ ÙØ Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Ò ÓÐÓÑÚ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º Å ØÖ Ü Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ¹ÓÔ Ö ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º ËÓÑ Ú Ò Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º ÈÖÓ ÙØ Ú Ò Ð Ö Ñ Ø Ñ ØÖ Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º ÈÖÓ ÙØ Ú Ò Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º ÓÒ Ð Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º Ù Ö Ò ÒÚ Ö Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½¼ ØÖ Ò ÔÓÒ Ö Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ü ÝÑÑ ØÖ Ò ÐØ ÖÒ Ö Ò Ñ ØÖ ¾¼ º º½½ ÇÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ÔÔ Ò Ü ¹ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò ¾½½ ÔÔ Ò Ü ¹ Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ò ¾½¾ º½ ÖØ Ò Ó Ö Ò Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¾ º¾ Ë Ö Ó Ö Ò Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¾ º Ð Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¾ ÔÔ Ò Ü ¹ Ç ÒÓÔ Ú Ò ÔÔ Ò Ü ¹ Ì Ò ÓÖ Ò ¹ ÒÓÔØ Ñ ÒÚ ØØ Ò ¾½ ¾

6 ÇÆÌ ÆÌË

7 ÇÆÌ ÆÌË ÎÓÓÖÛÓÓÖ ÁÒ Ø ÓÐÐ ÛÓÖ Ø Ò ÒÐ Ò ØÓØ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð Û Ö Ò ÖÙ Ð Ø ÓÔ Ø Ö Ô Ò Ú Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÒÒ Ñ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ò Ø ÓÖ¹ ÑÙÐ Ö Ò Ú Ò Ø ÓÖ º Ï ÞÙÐÐ Ò Ò Ñ Ð Ô ÚÓÐ Ò Ø Ð Ø ØÓØ Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò Ò Û Þ Ð Ø Ù Ð ÛÓÖ Ò Ø Ø ÓÖ Ò ÔÖ Ø Ö Ú Ò Ø Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º À Ø Ø Ò Ö Ø Ú Ò Ø ÓÖ Ö ÓÔ Ù ÚÓÐÐ Ö Ú Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖÚ Ö Ò Ð Òº Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ò Û Ø Ò ÔÔ Ð Ò ÒÓÑ Ò Ò Ð ÖÙ ÑØ Ø Ö Ú Ø Ø ÞÛ ÖØ Ø Ò Ó ÑÓÐÓ Ò Ó Ö Ò Ðº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ò Ö Ú Ø Ø Ò Ó ÑÓÐÓ Ò ÖÓÒØÐ Ò Ú Ò Ø Û Ø Ò Ô¹ Ô Ð ÓÒ ÖÞÓ º Ë Ø ÐÐ Ø Ò Ð Ç Ò ÏÅ È Ò ÒÒ Ò ÓÖØ ÈÄ Æ Ã Ñ Ø Ò ÓØÖÓÔ Ò ÓÑÓ Ò Ø Ø Ú Ò Ó Ñ Ø Ö ÖÓÒ ØÖ Ð Ò Ò ÓÚ Ö Ð Ð Ú Ò Ó Ö Ò Ðº Ð Ö ÒØ Ö ÖÓÑ Ø Ö ÄÁ Ç Ò Î Ö Ó Þ Ò Ö Ø Ø ØÓÖ Ò Ô ÙÖ Ò Ò Ö Ö Ú Ø Ø ØÖ Ð Ò º Ò Ö ØÙ ÖØ Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ò ¹Ö Ý Ø ÖÛ Ð ÀÙ Ð Ú Ù Ð Ð Ò Ò Ð Ú ÖØº Ï ÙÒ Ô ÐØ Ò ÔÖÓÑ Ò ÒØ ÖÓÐ Ò Ø ÓÔÞ ØØ Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ø ÓÖ Ò Ò Ö Ð ¹ Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÚÓÖÑØ ÖÓÔ Ò Ù ØÞÓÒ Ö Ò º ÁÒ Ò Ð Ò Ú Ò Ú Ö ÓÒ ÖÛ ÖÔ Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ð Ö Ð ÖÙ Ñ Ò Ú Ò Ú Ö ÐÐ Ò Û ÙÒ Ø Ò Òº ØÙ ÒØ ÒØ Þ Ø Ö Ð Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ú ÐÐ Ò Ò ÖÙ Ð Ø ÓÔ Ø Ö Ô Ú Ò Ø Ò ØÙÙÖ ÙÒ ÒÓÑ Òº ÇÚ Ö Ò Û ÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ø Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ú Ö ÓÙ Ò ØÓØ Ò Ö Ø ÓÖ Ò ÞÓ Ð ÚÓÓÖ Ð Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ò ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò µ Ö Ð Ô Ö Øº À Ø ÓÐÐ Ö Ú Ø Ø Ò Ó ÑÓÐÓ ³ ÛÓÖ Ø Ò ¾¼¼ ÚÓÓÖ Ø Ö Ø Ò Þ ÚÓÖÑ Ú Òº Î Ö ÐÐ Ò Û ÙÒ ÓÒ ÖÛ ÖÔ Ò ÞÓ Ð Ö ÒØ ÐÑ Ø ÙÒ ÛÓÖ Ò ÒÓÔØ ÒØÖÓ¹ Ù Ö Ø Ò Ø ÓÐÐ º Î Ö Ö Ò Ö Ò Ö Ð ÓÓÐ ³º Ö ÛÓÖ Ø Ù Û Ö ÓÔ Ú Ò Ò Ò Ð Ò Ø Ø ÐØ Ñ ÚÓÓÖ Ø Ù Ø Ò Ð Öµº À Ö ÒØ Ò ÖÙ Ø Ø ÛÓÖ Ò Ø Ò Ó Ö Ô Ú Ò ØÓ Ò Ð Þ Ð ÚÓÐ Ò Ù Ø Þ Ð Û Ö Þ Ñ Ú Ò ØÙ¹ ÒØº ÓÔ Ú Ò Þ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ØÖÙÑ ÒØ Ò Ø Ú Ö Ò Û ÒØ Ö Ò Ò ÓÔ Ò ÒÒ ÛÓÖ Ò ØÓ Ô Ø Ø ÖÛ Ð ÓÔ Ú Ò ÓÑ ÓÓ ÚÓÓÖ Ú Ö Ô Ò Ú Ò Ñ Ø Ö ÞÓÖ Ö Òº Å Ö ÓÔ Ø Ö Ò Ø Ö ÓÓ Ò Û Ø Ò Ö Ø Ö Ø Ò ÛÓÖ Ò Ú ØØÔ»»ÛÛÛºÒ ºÒÐ» Ó» Û»º À Ø Ø Ø Ð ÚÓÐ Ø ØÖÙØÙÖ Ö º Æ Ò ÒÐ Ò Ò ÓÓ ØÙ ½ ÛÓÖ Ø Ö Ú Ø Ø ¹ ÔÖÓ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ð Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ò ÓÓ ØÙ ¾º ÉÙ ÒØÙÑÑ Ò Ó Ø Ò Ð Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ð Ò ÓÓ ØÙ º ÁÒ ÓÓ ØÙ ÛÓÖ Ø Ò Ð Ú Ò Û ÙÒ ÒØÖÓ Ù Ö º À ÖÚ Ò Ú Ò Û Ò ØÓ Ô Ò Ò ÓÓ ØÙ Û Ö Û Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð Òº Î ÖÚÓÐ Ò Ú Ö Ô Ò Û ÓÒ Û ÙÒ ÒÞ Ø Ò ÓÓ ØÙ Û ÖÒ Û Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð Ò Ò ÓÓ ØÙ º ÆÙ Ø ÓÖ Ø Ð Ò Û Ú Ö ØÓ Ô Ò Ò ÔÖ Ò ÞÓ Ð Ó ÑÓÐÓ Ò ÓÓ ØÙ Ò Ò Ø Ò ÓÓ ØÙ º Ö Ú Ø Ø ØÖ Ð Ò Ò ÓÓ ØÙ ½¼º Ï Ò Ò Ñ Ø Ò ÔÖ Ò Ú Ò Ú Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò ÞÓ Ð ÄÁ Ç Ò Î Ö Ó ÒØ Ö ÖÓÑ Ø Ö Ò Ø Ø ÐÐ ØÔÖÓ Ø ÄÁË º Ú Ö ÔÔ Ò Ò Ò Ð Ø Ö ÖÓÒ Ñ Ø Ö Ðº À Ø Þ Ð ÓÔÚ ÐÐ Ò Ø Ú Ö ÐÐ Ò ÓÒ ÖÛ ÖÔ Ò ÓÒØ Ö Ò Ò Ò Ö ÙÐ Ö ÓÐÐ Û Ð Ò ÓÖ ÓÑ Òº Ó ÛÓÖ Ò Ð Ø Ø Ò Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò ÙÛ Ð ÔÖÓ¹ Òº Ö Ò ÖÚÓÓÖ Ø Ø ÚÓÐ Ò ÙØ ÙÖ ÓÒÚÓÐ Ó Ò Ö Ø ØÓØ Ò Ú Ö Ô Ò Ú Ò Ø ÒÞ Ø Ñ Ö Ò Ð Ð Ø ØÓØ Ò Ú Ö Ö Ò Ú Ò ÒÒ º ÓÒ ÖÛ ÖÔ Ò Þ Ò ÞÓ ÓÞ Ò Ø Ò Ñ Ð Ô ÛÓÖ Ø Ù Ø Ø ÔÔ Ð Ò Ö ÓÓÖ ÖÓÒ Ò Ú Ò ØÓ Ø Ò Ò ÞÓ Ò Ð ÑÓ Ð Ø ÓÑ Ò ØÓØ Ù Ú Ò ÓÙ Ú Ò Ø ÑÓ ÖÒ Û Ø Ò ÔÔ Ð ÓÒ ÖÞÓ º Ø Ú Ö Ð ÖØ ÓÓ Û ÖÓÑ Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ò Ø ÛÓÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÒÐ Ò ØÓØ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º

8 ÇÆÌ ÆÌË ÁÒ Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ø Ø Ø ÔÙØ Ù Ø Ú Ö ÖÓÒÒ Ò ÞÓ Ð Ö Ø ÓÙÖ Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú ØÝ³ ÖÒ Ö Ë ÙØÞ Ö Ú ØÝ ÖÓÑ Ø ÖÓÙÒ ÙÔ³ ÖÒ Ö Ë ÙØÞ ÓÑ ØÖ Ð Ñ Ø ¹ Ó Ó Ñ Ø Ñ Ø Ð Ô Ý ³ ÖÒ Ö Ë ÙØÞ Ö Ú Ø Ø ÓÒ³ ÖÐ Å Ò Ö Ã Ô Ì ÓÖÒ ÂÓ Ò Ö Ð Ï Ð Ö ÓÖØ ÓÙÖ Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú ØÝ³ Âº Ó Ø Ö Âº º Æ Ø Ò Ð Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú ØÝ Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÖ Ô Ý Ø ³ ÅºÈº ÀÓ ÓÒ º Ø Ø ÓÙ ºÆº Ä Ò Ý Ì Ò ÓÖ ÐÙÐÙ ³ Ú Ã Ý ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú ØÝ³ ÂÓ Ò Ö Ï Ð Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú ØÝ Ô Ø Ñ Ò ÓÑ ØÖÝ³ Ë Ò ÖÖÓÐÐ Ì ÖÓ ØÓ Ö Ð ØÝ ÓÑÔÐ Ø Ù ØÓ Ø Ð Û Ó Ø ÙÒ Ú Ö ³ ÊÓ Ö È ÒÖÓ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ò ÓÖ ÐÙÐÙ Ò ÓÒØ ÒÙÙÑ Ñ ¹ Ò ³ ÂºÀº À Ò Ó Ð Ö Ú ØÝ Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ò Ø Ò³ Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú ØÝ³ Â Ñ º À ÖØÐ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ò Ó ÑÓÐÓ Ý ÔÖ Ò ÔÐ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ð Ø ÓÖÝ Ó Ö Ð Ø Ú¹ ØÝ³ ËØ Ú Ò Ï Ò Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ò ÓÖ ÐÙÐÙ Ö Ð Ø Ú ØÝ Ò Ó ÑÓÐÓ Ý³ º º Ä Û Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú ØÝ³ ÆºÅºÂº ÏÓÓ ÓÙ ÃÓ ÑÓÐÓ Ú Ò Ó Ö Ò Ð Ú Ò Ø ØÓØ ØÖ Ð Ò Ò ØÓ ³ º Ø Ö Ö Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ³ º º º Ù ÖÐ Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú ØÝ³ ÊÓ ÖØ Åº Ï Ð Ì ÓÖÝ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ô Ý ³ Ð ÓÖ Åº Ï ÐÐ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÓ Ò Ö Ð¹ Ø Ú ØÝ Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ³ Ð Ò Ä ØÑ Ò Ï ÐÐ Ñ ÈÖ Ê Ö ÈÖ Ë ÙÐ Ì Ù ÓÐ Ý Ê ÒØ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú ØÝ³ º ÖÓ º ÓÖØÙÒ ØÓ Åº Ö Ò Ú Ð º Å ÐÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò ³ Îº º Ó ÁÒ ÓÑÑ Ú ÐÐ Ò ÖÙ Ñ Ø Ú Ò Ö Ð Ú ÒØ Ö Ú Û ÖØ Ð Ò Ù Ø Ú Ð Ø Ö ØÙÙÖº ÖÓÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ø Ö ÔÐ Ø Ú ÖÑ Ð º Ì Ò ÐÓØØ Û ÐÐ Ò ÙØ ÙÖ ÚÓÓÖ Ø Ò Ò Ö Ò ØÙ Ò Ø Ö Ò Ò Ú Ö Ø Ö Ò Ú Ò Ø ÚÓÓÖÐ Ò Ø Øº ÓÓÖ ÚÖ Ð ÙÛ Ù Ø ÓÓÖ Ø Ú Ò Ò Ó ÒØ Ò ÞÙÐÐ Ò Û Þ ÖÙ Ò Ø Ö Ú Ö Ø Ö Ò Ú Ò Ø Ð Ñ Ø Ö Ðº Å Ø Ò Ñ Þ Ò Û Ò Ú Ö ÙÐ Ò Ö Ò Î Ò ÑÓÒ Ò È Ø Ö Ø ÖÛ Ð Ò Ö Ø Ú Ö Ú Ò Ø ÓÐÐ ÓÔ Þ Ø Ñ Ø ÓÒ ÃÓ Ó º

9 ½ ÁÆÄ Á ÁÆ ½ ÁÒÐ Ò Ö Ú Ø Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ò Û Ö Ø ÒØÖ Ò ØÙ Ò Ó Ø Ò Ñ Òº À Ø ÒÚÐÓ Ø ÐÐ Ð Ñ Ò ÓÔ Þ Ð Û Þ Ø Û Ö ÓÒØ Ø ÓÓÖ Ð Ð Ó Ð Ð Ò ÛÓÖ Ø ØÓØ Ù Ø ÖÙ Ò Ö Ø Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô µ Ò Ò Ò Ø ÖÑ ÛÓÖ Ò ÞÓ Ð Ø Û Ð ÑÓ Ð ÚÓÓÖ ÚÓÓÖ Ð Ð ØÖ Ú Ð Ò Ñ Ø Ò ÓÓ Ú Ò Ö Ýº Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ò Ò Ú Ò ÔÖÓ Ø Ð Ò ÓÔ Ö Ò Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ò ÖÓÒ ÞÓÒº Ö Ú Ø Ø Ö Ø ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ò ÚÓÓÖ Ô ÐØ ÜÓØ Ó Ø Ò Ð Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò Ò ÞÛ ÖØ Ø Òº Ò ØÙÙÖ ÙÒ ØÙ ÖØ Ñ Ø Ö Ð Ý Ø Ñ Ò ÞÓ Ð ÔÐ Ò Ø Ò Ø ÖÖ Ò Ò ÕÙ Ö Ò Ö Ò Û Ö Ò Ø Ý ÙÖ Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ø ÖÙ ÑØ Ò Ø º ÊÙ ÑØ Ò Ø Þ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö ÔÔ Ò Ò Ý º ÁÒ Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ Þ Ò ÖÙÛÛ Ú Ö ÓÒ ÔØ Ñ Ø ØÖ Ò ØÓØ ÖÙ ÑØ Ò Ø Ø ÓÒ Ö Òº ÊÙ ÑØ Ò Ø ÚÓÐ Ò Ö ØÓØ Ð Ø Ð ÓÑØ ÓÚ Ö Ò Ñ Ø Ø Ø Ñ Ð Ñ Ò ³ Ø Ú Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø º ÖÙ ÑØ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÙÐ E 3 µ Ò Ø Ò¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÙÐ E 1 µº Û Ö Ò Ø Ò Ó Ø Ò ÖÙ Ø Ø Ò Ø Ð Ú Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø Ó Ø Ú Ø Ò º ÊÙ ÑØ Ø Ø ÖØ ÔÖÓ ÙØ E 1 E 3 º Ò ÔÙÒØ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø Ó Ö Ò Ø Ò (t,x,y,z) Ò Ø Ø ÐØ Ù Ò ÙÖØ Ò ÓÔ Ò ÖÔ Ô Ð Ø t Ò Ñ Ø ÔÖ Ô Ð ÔÐ Ø (x,y,z) ÚÓÓÖº Ò Ö Ð ÙÖØ Ò ÒÓ Ñ Ò Û Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò º ÊÙ ÑØ Ø Ù Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÐÐ ÑÓ Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òº ÎÓÓÖ ØÛ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò (t 1, r 1 ) Ò (t 2, r 2 ) ÙÒÒ Ò Û ÔÖ Ò Ú Ò Ø Ò r 1 r 2 Ò ÓÚ Ö Ø Ø Ú Ö Ð t 1 t 2 Ú Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òº Ø Ò Ò Ø Ú Ö Ð Ò ÓÐÙØ Ø Ò º ÊÙ ÑØ Ø ÚÓÐ Ò Ð Ð Ø Ø Ð Ú Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø ÞÓ Ð Ø Ò Ð Ñ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÚÓÓÖ ÓÑØº ¹ Ð Ò Ö Ö Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò Ð Ð ½ º Ø ÔÖ Ò Ô ÛÓÖ Ø Ð ÚÓÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ø Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò Û Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò Þ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ Ø ØÖ Ò ØÓØ Û ØØ Ò Ú Ò Ð Ñ Ò º Ï Ö ÒÒ Ö Ò ÒÓ Ú Ò Ò Ò Ø Ú Ò Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñº Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Û Ö Ò Ö ÚÖ ÐØ ÒÔ Ö Ò Ö ØÐ Ò Û Øº À Ø Ö Ô ÖÙ Ø Ú ÖÐ Ø Ö Þ Ò ÓÐÙØ Ø Ò º ÁÑÑ Ö Ð Ò ÐØ Ò ÖÙ Ø Ò Ò Ò Ö¹ Ø Ð Ý Ø Ñ Ø Ò Ø Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ø Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ö Ø Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñº Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Ø Ò ÓÐÙØ Ø Ò Ñ Öº ÁÑÑ Ö Ð Û ØÛ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò p Ò q ÓÙÛ Ò ÓÔ Þ Ð ÔÐ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö Ñ Ø Ò Ø Ú Ö Ð Ú Ò 1 s Ò Ø Ò ØÙ Ò 0 mº Ø Ò Ú Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ø ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÞÓÒ 30 km ÓÑ Ø Ö Ñ Ø Ò Ò Ð Ú Ò 30 km/s ÓÑ ÞÓÒ Û Øº Ì Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÒÓ Û Ð ÓÐÙØ Ø Ò º ÊÙ ÑØ Ø ÚÓÐ Ò Ò Ø Ò ¹ Å Ò ÓÛ Ø Ø ÖÙ ÑØ Ø Ð Ú Ò Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ò ½ ¼ µº À Ø ÓÒØ Ø Ò Ù Ø ÓÒ ÖÓÒØ Ø Ú Ò Ð Ñ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ú Ò Å ÜÛ ÐÐº ËÔ Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ø ÙÒØ ÓÔ Ø ÚÓÐ Ò ØÛ Ø Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ê Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò Ò Ø Ò Ö Ø Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò Ò Þ Þ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ Ø ØÖ Ò ØÓØ ÐÐ Ý Ú Ö Ò Ð Òº ½ Ð Ð Ó Ð Ð Ø Ò Ð Ò Ö ÒÚÐÓ ÓÔ ÓÒØÛ Ð Ò Ú Ò Û Ø Ò Ô Û Ú Ò Ñ Ò Ò Ø Û Ø Ò Ô Ö Ò Ø Þ Ò ÓÔ ÞÓÖ ÚÙÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ÓÒ ÖÞÓ º ÇÓ Ö Û ÖÒ Ñ Ò Ò Û ÙÒ º À ÓÖÑÙÐ Ö Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ø Þ Ò Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø ÙÒ ÓÖÑ g = 9.8 Ñ» 2 µ ØÓÓÒ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ú ÖØ Ð Û Ò Ò ÞÓÒ ÖÐ Ö Ú Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ø Øº Ð Ð Û ÖÑ Ö Ø Ö Ð Ø Ú Øº

10 ½ ÁÆÄ Á ÁÆ ½¼ Ö Ø Ø Ò Ò Ñ Ü Ñ Ð Ò Ð Ò Ð Ò Þ Ð Ò ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò ¹ Ò Ð Ú Ò Ð Ø Ò Ú Ù Ñº ÁÒ Ø ÞÓÒ Ö Ò Ð Ø Ð Ø Ò Ø Ò Ð Òº ÁÒ Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ó Ò ÓÑ ÖÙ ÑØ Ò Ø Ò Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÙÛ Òº ÁÒ ÛÓÓÖ Ò Ú Ò Àº Å Ò ÓÛ ÅºÀº Ò ÙÙÒ Ò Ö Ê ÙÑ ÙÒ Ø Á Ò Ò ÒØÛ ÐÒ Ñ Ø Ò Ù ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ¹ Ô Ý Ð Ò Ó Ò ÖÛ Òº Ö Ò Ð Ø Ö ËØÖ º Á Ö Ì Ò ÒÞ Ò Ö Ð º ÎÓÒ ËØÙÒ Ò ÓÐÐ Ò Ê ÙÑ Ö ÙÒ Ø Ö Ú ÐÐ ÞÙ Ë ØØ Ò Ö Ò Ò ÙÒ ÒÙÖ ÒÓ Ò ÖØ ÍÒ ÓÒ Ö ÓÐÐ Ë Ð ØÒ Ø Û Ö Ò º Ï ÞÙÐÐ Ò Þ Ò Ø Ò Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ø Ò Ò ÓÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ò ÙÒ ¹ ÓÐÙØ Ø Ò Ú ÖÐ Þ Òº ÁÒ ÔÐ Ø Ú Ò ÓÑØ Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Û Ð Ò ÒÚ Ö ÒØ Ø Ò Øº À Ø Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ Ð ÚÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø Ñ Ò ÓÛ ÖÙ ÑØ Ø Ò Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÚÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ø Ò Ò Ò Ø Ñ ØÖ Ñ Ø Ò ØÙÙÖ 2º ÊÙ ÑØ Ø ÚÓÐ Ò Ò Ø Ò Ø Ø ÖÙ ÑØ Ø Ð Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º Ò Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ò ½ ½ º Þ Ø ÓÖ ÓÒØ Ø Ò Ù Ø ÓÒ ÖÓÒØ Ø Ú Ò Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ø ÓÖ Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Û ÐÛ Ö Ò º ÊÙ ÑØ Ø Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ö Ñ ÒÒ ÖÙ ÑØ Ñ Ø Ò ØÙÙÖ 2º ÁÒ Ø Ô Ð Ú Ð Ø Ö Ú Ø Ø Ø Ú ÖÛ ÖÐÓÞ Ò Ö Ø Ñ Ò Ñ Ò ÓÛ ÖÙ ÑØ Ø ÖÙ º Ò Ö Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò Ô Ð Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ò Ð Ø Ø ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò Ø ÞÓÒ Ö Ñ ØÖ µ ÛÓÖ Ø Ô Ð ÓÓÖ Ñ Ø Ö º À Ø Ö Ô Ñ Ø Ö ÛÓÖ Ø Ö ÖÙ Ø Ò Ò Þ Ö ÖÙ Ñ Ø Ò Ò Ø ÓÑÚ Ø Ò Ø ÐØ ÓÓ Ø Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú Ð Øº ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ô Ø Ò Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÔÖ Òº À Ö Ô Ð Ò Ö ÒØ Ð Ò Ò ÖÓÐº À Ø Ö Ø Ø ÞÓ Ð Þ ÖÙ ÑØ Ø Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò ÖÓÑ Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Û ÙÒ ØÖÙØÙÙÖ Û Ò Ô Ù Ó¹Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Ø ÒÓ Ñ Ò Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ò Ñ ØÖ Ñ Ø Ò ØÙÙÖ 2º À Ø ÓÑØ ÖÓÔ Ò Ö Ø Ø Ò ÖÙ ÑØ Ñ Ò Ò ÖÓÑ Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ø¹ ÙÐ ÓÑ ØÖ ÚÓÖÑ Òº À Ø ØÛ Ø Ö ÓÔ Ð ÖÙ ÑØ Ø ÔÙÒØ Ù ÓÔ Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÐÓ Ð Ò ÖØ Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø ÐÓ Ð ÚÐ Ó Ö Ò Ø Ò Ö Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÚÖ Ú Ð Þ Òº ÎÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ö Ú Ò ÓÓÖ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò Ö Ú Ò ÓÓÖ Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º Ø Ø ÖÓ Ñ Ø Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ú Ò Ò Ø Ò Ò Ø Ñ Ø Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ØÓØ Ò ÜØ Ò Ú Ò Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÚÓÓÖ ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ø º À Ø Ö Ø Ñ Ò ÓÓ Ò Ö Ò ÑÔÙÐ ÙÜµ ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÓÔ Ò Û Þ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ø Ò ÓÖÚ Ð Ú Ö Ð Ò Ò Ú Ò Ò Ø Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ò Ò ÚÓÐ Ò ÓÓ ØÙ Ò ÔÖ Òº ÃÐ Ñ Ò ÛÓÖ Ø ÔÖÓ Ò Ò ÓÓ ØÙ ¾ Û Ö Û ÞÙÐÐ Ò Þ Ò Ø ÞÓÛ Ð Ù Ò Ú Ò Ð Ø ÖÓÒ ÞÓÒ Ð ÓÓ Ø Ø Ò Ú Ò ÞÛ ÖØ Ø Ò ÑÓ Ð Þ Ò ÒÒ Ò Ð Ò ØÙÙÖ ÙÒ º ÇÓ ÛÓÖ Ø Ö Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ú Ò Ä Ö Ò ÔÖÓ Ò Ñ Ø Ø ÓÖ Ò ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÜØÖ Ñ Ø º Ï ÐÙ Ø Ò Ñ Ø Ò Ù Ú Ò Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò Å º Î ÖÚÓÐ Ò Ú Ò Û Ò ÓÓ ØÙ Ò ÓÚ ÖÞ Ø Ú Ò ØÖÓ Ý Ó Ø Ò Ò ÒÓÑ Ò Ò Ò ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò Ö Ú Ò Ó Ú Òº ÁÒ ÓÓ ØÙ Ò Ö Ò Û ÖÙ ÑØ Ø ÓÔ Ò Ñ Ø Ñ Ø Û Þ º Ð Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ò Û Ñ ØÖ º Ð Û Ñ ØÖ ÒÒ Ò Ò ÙÒÒ Ò Û Ò Ó Ö Ú Ò Ú Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ð ÚÓÓÖ Ð Ò Ð Ò Û Ñ ØÖ Ú Ò Ð ÖÙ ÑØ Ø Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ò Ð Ò ÖÙ Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ú Ò Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ËÊÌµ Ò ÓÓ ØÙ º ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÛÓÖ Ø ËÊÌ ÑÓØ Ú Ö ÓÓÖ Ù Ø Ø Ò Ú Ò Ò Ø Ò ØÛ ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ò ÛÓÖ Ø ÓÔ ÖÚ Ò Û ÙÒ ÓÒØÛ Ð Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ ÚÓÖÑ Ú Ò Ñ ØÖ º Ï Û Ò Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ö ÖÓÙØ Ö Þ Ð Ö Ø Ñ ØÖ ÛÓÖ Ò ÔÓ ØÙÐ Ö Ò ÛÓÖ Ø ÓÔ ÖÚ Ò ØÓÓÒ Ø Ò Ø Ò ÔÓ ØÙÐ Ø Ò ÚÓÐ Òº Ö Ò Ú Ò

11 ½ ÁÆÄ Á ÁÆ ½½ Þ ÓÑ Ö ³ ÒÔ ÚÓÐ Ò Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÊÌµ Ð Ø Ö ÓÓ ØÙ Òµ Ø ÚÖ Û Ð ÐØ ÞÓ Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ò ÚÓÓÖ Ø Ö Ø ÚÓÐ Øº ËÊÌ ÓÓ ÓÑ Þ Ö Ò Ô Ð Ø ÒÓ Ñ Ò Ø Ò Ú Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø Ñ ØÖ Ø Ð Ò Ù Ø Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò ÚÖ Û Ð Ò ÐÐ Ò Ö Ú ÐÐ Ò Þ Ò ÞÙÐ Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ò Ø Ù Ø Ø ÚÓ Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ñ Ö Ò Ø ÖØÔÙÒØº À Ø ÓÑ Þ Ö Ò Ø Ò Ø ÓÓ ØÙ ÓÓ Þ ÖÓÙØ Û Ò Ð Þ Ð ÛÓÖ Òº Ð Ñ Ò Ö Ú Ò Ö Ò Ö Ò Ò Ö Ô Ò ÓÚ Ö Ø Ô Ò Ö ÊÌ Ò Ò ÐÙ Ø Ò ÓÓ ØÙ Ò Ò Ð Ñ Øº Û ÙÒ Ö Ú Ò Ú Ò Ý Ø Ñ Ò Ò ÖÓÑ Ó Ö Ò Ø Ò Ñ Ö ÚÓÓÖ ÚÐ ÙÐ ÖÙ ÑØ Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò Ò ÓÓ ØÙ º ÁÒ ÓÓ ØÙ ÒÒ Ò Û Ñ Ø Ò Ð Ò Ú Ò ÊÌº Ï Ò Ð Ò Û Ò Ú Ò Ó Ø Ò Ò ÊÌ Ø ÖÛ Ð ÓÓ Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò ÔÖÓ Ò Ò Ø ÓÓ ØÙ º ÁÒ ÓÓ ØÙ Ø ÖØ Ò Û Ñ Ø Ö Ñ ÒÒ Ñ ØÖ Ò Ú Ò Û Ò Ù Ø ÒÞ ØØ Ò Ú Ò Ù ÒÞ Ø Ò Ñ Ø ØÖ Ò ØÓØ Ó ÑÓÐÓ º Ó Ö Ò Ð Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ Ò Ø ÛÓÖ Ø Ò Ð Ò ÓÓ ØÙ º ÁÒ ÔÔ Ò Ü ÞÙÐÐ Ò Û Ö ÒØ ÐÑ Ø ÙÒ Ò ØÓÖ Ô Ö Ô Ø ÔÐ Ø Òº Ú Ö Ò ÔÔ Ò Ú Ò ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ò Û Ö Ò Ö ÓÒØ Ø ÓÓÖ Û ÙÒ Ò Ð º º Ù Âº ÓÐÝ ÆºÁº ÄÓ Ú Ò º Ê Ñ ÒÒº Ï ÔÖ Ò Ô Ø Ò Ú Ò Ñ Ø ÙÒ Ò ÙÐ Ò Ò Ø¹ ÙÐ ÖÙ ÑØ Òº Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ú ØÓÖÖÙ ÑØ Ò ÛÓÖ Ò ÔÖÓ Ò Ò ÔÔ Ò Ü º ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò ØÙÙÖÓÒ Ø ÒØ Ò Þ Ò Ú Ò Ò ÔÔ Ò Ü º Ç ÒÓÔ Ú Ò Ñ Ø Ù ØÛ Ö Ò Ò Þ Ò Ø ÓÒ ÖÛ ÖÔ Ú Ò ÔÔ Ò Ü Ø ÖÛ Ð Ò ÒÓÔØ ÓÚ ÖÞ Ø Ú Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ò ÛÓÖ Ø Ò ÔÔ Ò Ü º

12 ½ ÁÆÄ Á ÁÆ ½¾

13 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ½ ¾ ÃÐ Ñ Ò ¾º½ ÁÒÐ Ò ÁÒ Ñ Ò Û ÐÐ Ò Û Ò Ò Ú Ò ÐØ Ó Ñ Ö Ð Ñ Ò Ó Ø Ò Ø Û Ð Þ Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ò Ú Ò Ð µ Ö Ú Òº ÇÑ Ò Ö Ð Ö Ú Ò ÑÓ Ð Ø Ñ Ò Þ Ò Û Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð µ ÖÙ ÑØ º Ø Ø Ð Ð Ú Ø Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ò Ö Ú Ð Ð ÓÒ ÖÐ Ò ÐÓÓ Ö Ø ÓÞ Ò Ö Ø Ò Ò Û Ú ÖÚÓÐ Ò x y Ò z¹ö Ø Ò ÒÓ Ñ Ò Ò Ò Ú Ò Ñ Ø Ö Ô Ø Ú Ð Ú ØÓÖ Ò i j Ò kº Î Ö Ö Ö Ò Ò Û Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔ x y Ò z¹ º Ì ÛÓÖ Ø Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò ÙÒ Ú Ö Ð ÐÓÔ Ò ÐÓ Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ Ø Ø Ô ÛÓÖ Ø ÓÞ Ò Ð t = 0º Î ÖÚÓÐ Ò ÛÓÖ Ò Ø Ò Ú Ò ÙÖØ Ò Ò Ö Ð Ø Ñ Ø Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò t = 0º Ï Ö Ú Ò ÔÓ Ø Û ÖÓÔ Ò Ó Ø Þ Ú Ò Ø Ò ÖÙ ÑØ Ñ Ø ÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ó ÔÓ Ø Ú ØÓÖµ r = x i + y j + z k. ½µ Þ ÔÐ Ø Ú ØÓÖ Û Ø Ú Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ö ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÐØ º Ò Ø ÒØ Ò Ò Ð Ú ØÓÖ v Ñ Ø Ú Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò ÔÐ Ø Ú ØÓÖº ÖÓÓØØ Ú Ò Þ Ú ØÓÖ ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ð Ò Þ Ú ØÓÖ Û Ø Ò Û Ò Ö Ø Ò º Ö Ð Ø r v = lim t 0 t = d r dt. ¾µ Ö Ð Ø Ö Ò Ò Ð ÑÔÙÐ º Ö Ð Ø p = m vº ØÓØ Ð ÑÔÙÐ Ú Ò Ò Ý Ø Ñ i p i Ò ÓÙ Ò ÖÓÓØ º Ò Ø ÒØ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò a ÓÓ Ò Ú ØÓÖ Ò Ñ Ø Ú Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò Ò Ð Ú ØÓÖº Ö Ð Ø ¾º¾ Ð Ð Ó Ð Ð Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô v a = lim t 0 t = d v dt = d2 r dt 2. µ ËØ Ð Ù ÚÓÓÖ Ø Ù Ò ÐÓ ÓÔ Ò Ð Þ Ò ÔÐ Ø ÓÓ Ø Ø Ð Ø Ò ÓÑØ Ù Ø Ò Ð ØÓØ Ø Ð Ø Ò º Å ÔÐ Ø Ò Ø Ò Ø ÐÓ Þ Ð Ò ÖÓØ Ö Û Ò ÐÚÓÖ Ò ØÓØ Ø Ð Ø Ò Ø ÓÑ Òº Æ Ñ Ò ÐÓ ÖÓÓ Ø ÚÖÓÖ Ò ÓÓÐ ØÓ ÓÜ µ Ø Ð Ø ÓÚ Ö Ò ÐÙ Ø Ù Ò Ú Ò ÓÓÐ ØÓ ÓÜ ÑÔ Ò Ò Ñ Û Ö Ø Ø ÐÓ Ú Ð Ú Ö Ö Þ Ð Ð Ò ÞÓÒ Ö ÒÓ Ñ Ò Û Ö Ú ÖÑ Ò Ö Ò Ú Ò Ò Ð º ÎÓÓÖ ÓÑ Ø Ú Ò Ð Ð Ó Ð Ð ½ ¹ ½ ¾µ Ø Ñ Ò Ø Ö ÐØ Ò Ö Ø ÒÓ ÓÑ Ò Ó Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø Ð Ø Ò Û Òº Ð Ð Þ Ò Ø Ò Ð Ú ÖÑ Ò Ö Ò Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ÛÖ Ú Ò Ö Ø Òº Ð Ñ Ò ÛÖ Ú Ò Ú ÖÑ Ò ÖØ Ò Ú ÖÑ Ò ÖØ ÓÓ Ò Ð Ò Ñ º Ð Ð Ö Ò Ö Ø Ð Ñ Ò ÐÐ Ö Ø Ò Ú Ò Ò Ó Ø Ò Ú ÖÛ Ö Ò ÒÐÙ ÛÖ Ú Ò Ö Ø Ò Ò Ð Ú Ò Ò Ð Ñ ÒÓÓ Ø Þ Ð Ú Ö Ò Ö Òº Þ Ò Ô ÒÓ Ñ Ò ÖØ º Í Ø Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ø Ø Û Ò Ú Ö Ð ÙÒÒ Ò Ñ Ò ØÙ Ò Ò Ó Ø Ò ÖÙ Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Øº Ç Ò Ó Ø Ò ÖÙ Ø Ð Ø Ó Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Ø Ò Ø Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñµ Û Ö Ò Ø Ó Ø ÛÓÖ Ø ÓÙÛ º ËØ Ð Ù ÚÓÓÖ Ø Ù Ò Ö Þ Ö ÒØ Ò Ò ØÖ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ð Ò Ò Ö Ø Ð Ò Û Ø Ò Ù ÔÐ Ø Ø Ò Ð ÖØ Ð ÓÔ Ø Ø ÐØ ÚÓÓÖ Ù ÒÓ ÐÓÓ Ø Þ Ò Ø Û ÒÒ Ñ Ò Ø Þ Ø Ð Ô Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ºººµº Ê Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ØÖ Ò Ð Ò

14 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ½ ÖÙ Ø ÞÓÐ Ò ØÖ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ô ÖÖÓÒ Û Øº Ê Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ô ÖÖÓÒ Û Ø Ð Ñ Ø Þ Ð Ò Ð Ð ØÖ Òº Î ÖÚÓÐ Ò ÒØ Ñ Ò Ø Ñ Ø Ö ÑÑ Ò ÓÑ Ø ØÖ Ò Ø ÚÓÐ Ò Ø Ø ÓÒ Ò ÖØº ØÖ Ò Ú Ö Ò ÐØ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ô ÖÖÓÒ Ø Ò Ò Ø Ú Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò Ú ÖØÖ Ò µ Ò Ù ÞÙÐØ Þ Ò Ø Ð ÓÔ ÙÛ Ø ÐØ Ò Ö ÚÓÖ Ò ÒØ Ø ÖÓÐÐ Òº Ð Ú Ö Ò ÐØ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ØÖ Ò ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ö Ò Ö Ø ÓÔ Û Ö Ø Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ø Ú Ö Ò ÐØ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Ò ÖØ Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ò Ò ÖØ Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñº Ð Ö Ò Ö Ø Ò Û Ö Ò ÓÔ Ò Ó Ø Ò ÓÒ Ú Ð Ð ÖØ Ðµ Ò Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ø Ò ÓÔÞ Ø Û ÖÚ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò Ø Ó Ø Ð Ò ÒÙÐ Ò Ò ÖØ Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñº ÓÛ Ð ØÖ Ò ÞÓÐ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Ø Ð Ø Ô ÖÖÓÒ Þ Ò Ò Ó Ò Ö¹ Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò ¾ º ÌÓ Ò Ð Ð Ó Ð Ð Ð Û Ö ÓÑ ÚÓÓÖ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÖÓØ Ð Ò Ø ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ò Ò Ú Ò ÒÓÒ Ó Ð º Ð Ð ØÙ Ö Ö Ð Ò Ò Ò ÓÒØ Ø Ø Ñ Ø Û Ö Ò Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ú ÐØ Ú Ö Ò ÐÐ Ò µ Ò Ø Ò Ø Ú Ò Ñ Ú Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ñ Ø Û Ö Ò Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ú ÐØ Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ø Ò Ú Ð ÓÒ Ø ÒØ Ù ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ø º Ï ÒÓ Ñ Ò Þ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ú Ø Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò Þ Ö Ø g = 9,8 Ñ» 2 º Ò ÖÓØ Ò Ò Ð Ò ÒÓÒ Ó Ð Ú ÐÐ Ò Ö ÐÚ ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ò Þ Ð ÓÓ Ò ÒÓÒ ¹ Ó Ð Ò Ò Ú ÖØ Ñ Ø Ñ Ò Ö ÚÓÓÖ ÞÓÖ Ø Ø ÐÙ ØÛ Ö Ø Ò Ò ÖÓÐ Ô ÐØº Û Ø Ø Ö Ò Ø Ñ Ø Ñ Ò Ò Û ÙÒÒ Ò Ø Û Þ Ò ÓÓÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ù Ø Ø ÚÓ Ö Ò º Ø Ö Ø Ø Ô Ö Ø Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ø Ø ÐØ Ø Ö Ú Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ò ÙÒ ÓÖÑ Ú Ö Ò ÐÐ Ò º Ï ÓÙÛ Ò Ò ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Ò Ñ Ò Ú ÖØ Ð yµ Ö Ø Ò º Û Ö y Ò ÑØ ØÓ Ñ Ø Ò Ñ Ò Ø Ò ØÓØ Ø Ñ ÐÔÙÒØ Ú Ò Ö º Ð Û Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ð Ø Ò Ú ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø a = g = 9,8 Ñ» 2 º ÇÑ Ø a = dv dt Ú Ò Ò Û ÒÙ Ò Ð ÓÓÖ ÒØ Ö Ø º Ö Ð Ø v = t 0 adt = v 0 + gt Û Ö v 0 Ò Ø Ð Ò Ð ÓÔ t = 0 º Î Ö Ö Ò ÑØ Ò Ð Ð Ò Ö Ò Ø ØÓ º Ð Û Ú Ò Ò Û ÓÓÖ ÒÓ Ñ Ð Ø ÒØ Ö Ö Òº Ö Ð Ø d(t) = t o vdt = t 0 (v 0 + gt)dt = d 0 + v 0 t gt2 Û Ö d 0 Ø Ò Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ö Ð Ú Ö Ø Ø Ô t = 0º Ï Þ Ò Ø Ð Û Û Ö Ø ØÓ Ò ÑØ Ò Ø º Î ÖÚÓÐ Ò ÓÙÛ Ò Û Û Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò ØÛ Ñ Ò º À ÖØÓ Ò ÐÝ Ö Ò Û Û Ò Ú Ò Ò ÒÓÒ Ó Ð ÚÙÙÖ ÛÓÖ Ø ÓÔ Ø Ø Ô t = 0 Ñ Ø Ò Ò Ò Ð u ÓÒ Ö Ò Ó θ Ñ Ø x¹ º ØÙ Ø Ø Ø Ò º ½º ÎÓÓÖ Ò Ø Ð Ò Ð Ð Ø ¾ À Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ø Ú Ö ÓÒ Ò Ñ Ø Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö Ò Ø Ð Ñ Ð Ò Ò ÖØ Ð Ö ¹ Ö ÒØ Ý Ø Ñ ÓÑ Ø Ö Ò Ð Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÖÓØ Ø Ú Ò Ö Ð ÓÓ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Û Ò ÖÓÒ ÞÓÒº Þ Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò Þ Ò Ð Ò Ö Ò 0, 01 Ñ» 2 Ò ÙÒÒ Ò Ú ÛÓÖ Ò Ú ÖÛ ÖÐÓÓ º Ø Ò ÓÓ Ö Ô Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø Ò Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú Ò ØÓ Ö Ú Ò Ò Ð Ð º ËØ Ð Ø ÞÛ Ö ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Ò ÐÐ Ö Ú ÐÐ Ò Ò Ð Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ Òº Ï Ò Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Ò Ð Ø Ó Ð Ú Ø Ò Ò ÞÛ Ö Ò ÓÓ Ò Ø Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ú Ò ØÓÖ Ò Ú Ò È º ÆÙ Þ Ð Ð Ø Ó Ð ÞÛ Ö Ö ÑÑ Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ú ÐØ Ð Ò Þ Ñ Ö Ò ÞÛ Ö Ó Ð ÐÐ Ò ÞÓÙ Ú ÐÐ Òº ÓÑ Ò Ø Ø Ö ÞÛ Ö Ö Ò Ò Ð ÞÛ Ö Ó Ð Ò ÞÓÙ Ù Ò ÐÐ Ö ÑÓ Ø Ò Ú ÐÐ Òº Ö Ó ÓÒØÖ Ø Ó Ò Ø ÖÑ Ò º Ë ÑÓÒ ËØ Ú Ò Ø Ö Ò ½ Þ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÔÙ Ð Ö Û Ö Ò ØÛ ÐÓ Ò ÐÐ Ò Ò Ø Ò Ö ÞÛ Ö Ö Ò Ò Ö Ú Ò ÐÓ ÒØÓÖ Ò Ú Ò ÓÙ Ö Ò Ð Ø Ø Ð Ø Ò Ú ÐÐ Ò ÓÚ Ö Ò Ø Ò Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½¼ Ñº À Ö Û Ö Ò Ú Ö Ð Û Ö ÒÓÑ Ò Ò Ø Ò Ø ÐÐ Ò ØÓØ Û Ö Ò Ú Ò Ò Ò Ö Ú Ò Ö ØÓØ Ð º Ò ÔÙ Ð Ø Û Ö Ö Ú Ö Ð Ð ³ Ö Ø Ò Ð Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ò ½ Ö Ö Ö Ò Ð Ð ³ Ø ÓÖ Ø Û Ö ÓÚ Ö Ú ÐÐ Ò Ð Ñ Òº Ò Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÓÖ ØÖÓÒ ÙØ Ú ËÓØØ Ù Ø ÚÓ Ö ÓÔ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ñ Ö Ò Ú Ö Ø Ò ÔÓÐÐÓ ½ Ñ º

15 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ½ ÙÙÖ ½ Ò Ú Ò Ò ÒÓÒ Ó Ð ÚÙÙÖ ÛÓÖ Ø ÓÔ Ø Ø Ô t = 0 Ñ Ø Ò Ò Ò Ð u ÓÒ Ö Ò Ó θ Ñ Ø x¹ º Ö Ø Ö ÙÙÖ Ð Ø Þ Ò Ø Ú ÖØ Ð Û Ò ÓÒ Ò Ð Ú Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Û Ò ÓÙÛ Ò ÛÓÖ Òº u x = ucos θ Ò u y = usin θº Ò Ð Ò Ú ÖØ Ð Ö Ø Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ v y = u y gt y = u y t 1 2 gt2. µ ÒÓÒ Ó Ð Ö Ø ÖÓÒ Ð y = 0 Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ú ÖØ Ò ÚÐÙ ØØ T = 2uy g º ÁÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ø Ò Û Ö Ø Ö Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò ÛÓÖ Ø x¹ôó Ø Ú Ò ÓÓÖ x = u x t. µ Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò µ Ò µ Ñ ÒÒ Ñ Ò Ò ÖÙ Ø t Ð Ñ Ò Ö Òº Ï Ú Ò Ò Ò Ò Ú Ò Ó Ð y = u y u x x Ò Þ Ò Ø Ó Ð Ò Ô Ö ÓÐ Ò Øº À Ø Ø Û Û Ò Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ú ÖØ Ð Ö Ø Ò ÑÓ Ò ÓÒØ ÓÔÔ Ð Ò Ò Þ Ð Ø Ò Ò Ð Ò Ú Ò Ð Ð º À Ø Ò Ö Ø Ú Ö Ú Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º ÌÓ Ò Æ ÓÐ ÓÔ ÖÒ Ù ½ ¹ ½ µ Ø Ð Ø Ö Ò Ò Ö ÔÐ Ò Ø Ò ÖÓÒ ÞÓÒ Û Ò Û Ø ÑÓ Ð Ø Ö Ô Ò Û ÖÓÑ Û Þ Û Ò Ò Ø ÚÓ Ð Òº Ï ÖÓÑ ÚÐ Ò Û Ò Ø Ú Ò Ö Ó Ð Ø ØÑÓ Ö Ø Ö Ð Ö Ñ Ø ÖÓØ Ò Ð ÖÓÒ ÞÓÒ Ö Ø Ð Ð ÖÙ Ø ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ú Ö ÐÐ Ò Û Ò Ò ÓÑ Ø Ø Ú Ö Ð Ö Òº Æ Ø ÞÓ Ð ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò ÒÒ Ò Ò ØÖ Ò Ú ÖØ Ð Ú ÐÐ Ò Ò Ø Ò Ø Ù ØÑ Ø Ó ØÖ Ò Ø Ð Ø Ø Ó Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Ø ÞÓ Ñ Ö Ò Û ÓÓ Ò Ø Ø Ö Ñ Ø ÖÓØ Ò Ð ÓÓÖ Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÚÐ Øº Ì ÒÛÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Û Ø ÐÐ Ò ØÙÙÖÛ ØØ Ò ØÞ Ð Þ Ò ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ò Ð Ò Ò Ö Ø Ð Ò Û Ø Ð ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Øº Ï ÒÓ Ñ Ò Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º ¾º Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÁÒ ÑÓ ÖÒ ÛÓÓÖ Ò Ò ÙÒÒ Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ð ÚÓÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ö ÛÓÖ Ò g 2u 2 x x 2, µ

16 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ½ Ö Ø Û Ø Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ð Ø Ò ÖÙ Ø Ð Ö Ò ÜØ ÖÒ Ö Ø ÓÔ Û Ö Øº Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Û Ò Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ð Ö Ò ÜØ ÖÒ Ö Ø ÓÔ Û Ö Øº ÌÛ Û Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ò ØØÓ ÜØ ÖÒ Ö Ø ÖÓÔ Û Ö Øº Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú ÒÖ Ñ Ø ÜØ ÖÒ Ö Ø ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ø F = m a Ñ Ø m Ñ Ú Ò Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔº Å Ö ÓÔ Ø Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò Ö Ø Ò ÑÔÙÐ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ F = d p dt º Ò ØØÓ Ö Ø Ú ØÓÖ ÓÑ Ú Ò ÐÐ Ö Ø Ò ÓÔ Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ Û Ö Ò F netto = F = m aº Ö Û Ø Ö Ø Ò ÓÑ Ò ÐØ ÚÓÓÖ Ò Ô Ö Ò Ñ Ø Ð ÖÓÓØØ Ò Ø Ò Ø Ð Ö ¹ Ø Ò º Ð Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ A Ò Ö Ø F A,B Ù ØÓ ÒØ ÓÔ ÚÓÓÖÛ ÖÔ B Ò ÛÓÖ Ø Ö Ò Ð Ñ Ö Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ö Ø F B,A ÓÓÖ ÚÓÓÖÛ ÖÔ B ÓÔ A Ù Ø Ó Ò º Ö Ð Ø F B,A = F A,B º Ö Ø Û Ø Ù Ð Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ñ Ø Ò Ú Ò Ð Ð Ó Ð Ð º À Ø Ð Ø ØÓØ Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ò Ø Ø Ø Û Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ö Ø Ò Ò ÓÒ Ò Ð Ò Ð Ò ÛÓÖ Òº ÇÓ ØÛ Û Ø Ò Ô Ö Ö ÓÓÖ Ð Ð Ò ÓÑ Ø Ù Ð Ø Ñ Ò Ò Ò Û Ö ÔÔ Ò Ñ Ò Û Ø Ò Ö Ø ÓÙÛ Òº Ð Û Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Û ÐÐ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò Ò Ò Û Ö Ò Ö Ø ÓÔ Ù Ø Ø Ó Ò Òº Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ø Ò Û Ö a = F m º Ñ m Ò Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Û Ö Ø Ò Ò ÖØ Ø Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò º Å Ø Ð Ò ÐÓ Ö Ñ º ÀÓ ÖÓØ Ö Ñ Ó ÑÓ Ð Ö Ø ÓÑ Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Û Ò Ø Ö Ò Òº À Ø Û Ø Ú Ò Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ö Ú Ø Ø Ö Ø ÖÓÔ Û Ö Øº À Ø Ò Ö Ø ÚÓÓÖ Ò Ó Ø Ñ Ø Ñ ½ Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ð Ò F g = mg = 9,8 Æ Ñ Ø Ð Ò Æ ÛØÓÒ Æ º Ð Û ØÛ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÓÑ Ò Ö Ò Ñ Ø Ð Ð ³ ÓÒØ Ò Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Ñ Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ñ ³ ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ú ÖÒ ÐÐ Ò ÓÒ Ö Ö Ú Ø Ø Ò Ð Ø Ø Ø Û Ø Ú Ò Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Ö Ú ÒÖ ÑÓ Ø Þ Ò Ñ Ø Ö Ñ º Ø Ð ÚÓÐ Ø Ò Ø Þ Ò Ø Ð Û Ø ÐÐ Ò Ò ÞÛ Ö ÚÓÓÖÛ ÖÔ ÓÔ Ò ÓÙ Ò Ø Ú Øº Ï Ø Û ÚÓ Ð Ò Ð Û Ø Ò Û Ö Ð Ò Ø Ú Ò Ø Ù ØÓ Ò Ò Ú Ò Ò Ò Ö ÓÚ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÑ Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ ÓÓ Ø ÓÙ Ò Ø Ò Û Ö Ò Ú Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø Òº Í Ø Ö Ø Û Ø ÚÓÐ Ø Ø ØÓØ Ð Ö Ø ÓÔ Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ ÒÙÐ Ò Ø ÓÒÞ ÓÔÛ ÖØ Ö Ø ÔÖ ÞÛ ÖØ Ö Ø ÓÔ Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ ÓÔ Øº À Ø Û Ø Ú Ò Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ù Ð Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø ÖÓÔ Û Ö Øº Ð Û Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ ÐÓ Ð Ø Ò Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø ÖÓÔ ÒÓ Ø Ð Ø ÖÛ Ð ÓÒÞ ÓÔÛ ÖØ Ö Ø Ú Ö Û Ò Ò Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ú Ö Ò ÐØ Ò Ö Ò Ò Ø Ú ÐØº ÎÓÐ Ò Ð Ð Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ø Ö Ò Ø Ò Ð Ú Ò Ø Û Øº Ò Ñ Ò Ö Û ÖÓÔ Û Ö Ø F Ø Û Øµ ÙÒÒ Ò Ú Ö Ò Ö Ò ÞÓÒ Ö Ú Ö Ò ÐÐ Ò a Ø Ú Ö Ò Ö Ò ÓÓÖ Ø Û Ø F Ú ÒÖ Ø Ñ Ò Ñ Ø m Ù F gewicht = m gº ÁÒ Ø Ú Ð F Ð Ø Ò Ñ Ð a = gewicht m m = g Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Ú ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ð Ú Ò ÙÒ Û Ø Ó Ñ Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ð ÚÓÓÖ ÐÐ ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Ò Ö Ø Ñ» 2 º Ï ÒÓ Ñ Ò Ñ m Ð Ú ÒÖ ÓÒ Ø ÒØ ÓÔØÖ Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Û Ø F = m g = m zware g ÓÓ Û Ð ÞÛ Ö Ñ Ø ÖÛ Ð Ñ ÓÔØÖ Ø Ò ØÛ Û Ø F = m a = m trage a ØÖ Ñ º Ð Ð ³ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ø ÐØ Ø ÞÛ Ö Ñ Ò ØÖ Ñ Ð Þ Ò Ò Û Ö Ú Ò m zware = m trage = mº Ï ÙÒÒ Ò Ð Ð ³ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô ÒÙ Ð ÚÓÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ñ Ú Ò Ò Ð Ñ Ú ÒÖ Ñ Ø Ö Û Øº = m g Æ ÛØÓÒ Ð Ø Þ Ò Ø Þ Ð Ö Ú Ø Ø ÖÚÓÓÖ ÞÓÖ Ø Ø ÔÔ Ð Ò Ö Ö Ú ÐÐ Ò Ö ÓÓ ÚÓÓÖ ÞÓÖ Ø Ø Ñ Ò Ö Ð Ø Ò Ø Ö ÖÓÒ ÞÓÒ Û Øº Ö Ð Ø ÒÚÓÙ Û ÙÒ Ù Ø ÖÙ Ò F = m a Û ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ú Ò Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ò Òº ÖÓÓØØ Ú Ò Ö Ø ØÙ Ò ØÛ Ó Ø Ò Ñ Ø Ñ M 1 Ò M 2 Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò r Ö Ø F grav = GM 1M 2 r 2, µ

17 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ½ Ñ Ø G Ò Ú ÒÖ ÓÒ Ø ÒØ Æ ÛØÓÒ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ ÒÓ Ñ ÛÓÖ Ø Ñ Ø Ð Û Ö G = 6, Ñ º Ö Ø ÐØ ØØÖ Ø Ò Ò Æ ÛØÓÒ Ø ÓÖ Û Ö Ò Ò Ø ÒØ Òº ¾º ÓÔÔÐ Ö Ø Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò ËØ Ð Ø Ð Ð Ñ Ò Ñ Ø ØÛ ÒÓÒ Ó Ð Ú Ò ØÓÖ Ò Ú Ò È Û Ú ÐÐ Òº ÇÔ Û Ò Ö Ò Ò ÞÓÙ Ò ØÛ Ó Ð ÒÚÓÙ Ò Þ Ò Ò Þ Ò Ð Ú Òº Ì Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ ÞÓÙ Ò Ó Ð Þ Ö Ò Ð Ó Ö Ð Ñ Ð Ò Ö Ø Ò ÓÔ Û Ö Òº Ð ÒÙ Ò Ú Ò Ó Ð Ò Þ Ø ÞÓÙ Ú Ò Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ Ö Ø Ò Ò ÞÓÙ Þ Ó Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ Ñ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ò Ð Ð Ò Ò Ð Ò Ò Ö Ø Ò Û Òº ÓÛ Ð Ð Ð Ð Ó Ð Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö Ñ Ö Ð Û ÓÚ Ö ÙÒ Ö Ð Ø Ú Û Ò ÔÖ Ò Ò Ò Þ Ñ Ò ÔÔ Ð Ú Ö Ò ÐÐ Ò ØÖÓ Ò ÛÓÖ Ò Ò ÓÙ Ò Û ÐÐ Ò Ò Ö Ð Ø Ú Û Ò ÓÚ Öº Ø ÙÖØ Ò Ð ÓÑ Ø ÚÓÓÖ Ö Ú Ø Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò Ð Ó Ø Ò Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ð º Ï ÙÒÒ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô ÒÙ ÓÓ Ð ÚÓÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ö Ò ÐÐ ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Þ ÞÓ Ò Ø Þ ÚÓÐ ÓÑ Ò ÚÖ Ð Ò Ø Þ Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ò Ð Þ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö º ÎÓÓÖ Ò ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ò Ò ØÙÙÖÛ ØØ Ò ØÞ Ð Ð Ò ÖÙ ÑØ Ú Ö Ú Ò ÐÐ Ñ Ú Ó Ø Ò Ò ÙÒ Ö Ú Ø Ø Ú Ð Òº ÓÚ Ò Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ñ Ø Ò ÖÙ Ú Ò Ö ÔÔ Ò Ð Ñ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò ÞÓÒ Ö ÒÙØØ Ò Ø Ö Ú Ò Ú Ò Ø Ø Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÔ Ð Ø º Ï ÙÒÒ Ò Ø Ø Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÔ Ð Ø ÒÙ Ú Ò Ò ÓÓÖ Ø Ò Ø Ø Þ ÒØ Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ð Ø ÛÓÖ Ø ÓÙÛ ÓÓÖ Ò ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Öº Ø Ø ÒØ Ò Ø ÞÓÒ Ö Ø Ø ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ö Ø Ð Ò ÒØ Ø ÚÓÐ Ò ÞÓÒ Ö Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ö ÕÙ ÒØ º ct vt (c-v)t ÙÙÖ ¾ Ä Ø ÓÐÚ Ò ÐÓÔ Ò Ú Ò Ð Ò Ò Ö Ö Ø º Ò Ø ØÓÖ Ñ Ø Ø ÒØ Ð ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ø Ô ÖØº Ö ÕÙ ÒØ Ø ÒØ Ð ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ø Ô Ö Ø Ò Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ø Ò Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ú Ò Ø ØÓÖº Ï Û Ø Ò Ø Ð Ø Ò ÞÓÒ Ö ÔÐ Ø ÒÒ ÑØ Ò Ò Ø Ò³ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð Ú Ò Ð Ø Ò ÙÒ Ú Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ø ÖÛ Ð Ð Ø Ò Ò ÖØ Ð Ñ Ø Ð Ò ÒÙÐº Ï ÙÒÒ Ò ÖÓÑ Ò Ø ÒÚÓÙ Û Ø F = m a ÖÙ Ò ÓÑ Û Ò Ú Ò Ð Ø Ø Ö Ú Òº

18 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ½ ÁÒ Ø Ð Ñ Ò ÛÓÖ Ø Ö ÕÙ ÒØ Ú Ò Ð Ø ÒÚÐÓ ÓÓÖ Û Ò Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Öº Ø ÛÓÖ Ø ÓÔÔÐ ÖÚ Ö Ù Ú Ò ÒÓ Ñ º Ï ÓÙÛ Ò Ð Ø Ð Ò ÓÐ Ú Ö Ò Ð Ñ Ø ÓÐ Ò Ø λ Ò Ö ÕÙ ÒØ fº À ÖÚÓÓÖ Ð Ø Ö Ð Ø λ = c f = ct Ñ Ø c Ð Ø Ò Ð Ò T Ô Ö Ó º ÓÚ Ò Ø Ð Ò Ò º ¾ ØÓÓÒØ ØÙ Ø ÚÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Ø ØÓÖº ÐÐ ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð ct Þ Ò Ø ØÓÖ Ô Ö Ú Ø ÖÙ Ø ÖÓÒØ Òµº Ð Ø N ÓÐ ÖÓÒØ Ò Þ Ò Ò Ö ÕÙ ÒØ f = N t º ÁÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÔÐ Ø Þ Ò Ð Ø N ÓÐ ÖÓÒØ Ò ÙÖ Ò Ø t Ø ØÓÖ Ô Ö Ú Ø ÖÙ Ø ÖÓÒØ Òµ ÓÑ Ø Ø ØÓÖ Ò Ö Ö Ø Û Øº Ú Ö ÓÙ Ò N (c v)t N ØÞ Ð Ð Ú Ö ÓÙ Ò Ú Ò Ð Ò Ø Ò ct = 1 v c º À ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø Ñ Û Ò Ø ØÓÖ Ò Ð Ö Ö ÕÙ ÒØ Ñ Ø f = N t = (1 v c )N t = (1 v )f. µ c Ð Ö ÕÙ ÒØ Ú Ö Ò ÖØ Ò Ú Ö Ò ÖØ Ð ÙÖ Ú Ò Ø Ð Øº Ð Ð Ø ÖÓÒ Ú Ò ÓÒ Û Ø ÔÖ Ò Ú Ò Ò ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ø ÖÛ Ð Û ÓÚ Ö Ò Ð ÙÛÚ Ö Ù Ú Ò ÔÖ Ò Ð ÖÓÒ Ò Ö ÓÒ ØÓ Û Øº Ï Þ Ò ÒÙ Ò Ø Ø ÓÑ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ø Ò ÓÔ Ð Ø Ø Ð Ò ÓÓÖ Ø Ò Ø Ð Ø Þ ÒØ Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ò Ö Ú Ø Ø Û ÒÒ Ö Ø ÛÓÖ Ø Û Ö ÒÓÑ Ò ÓÓÖ Ò ÚÖ ¹ Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö º À ÖØÓ ÓÙÛ Ò Û Ø ÈÓÙÒ ¹Ê ¹ËÒ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ò fotonen vallen omlaag fotonen gaan omhoog bron ÙÙÖ Ë Ñ Ø Û Ö Ú Ú Ò Ø ÈÓÙÒ ¹Ê ¹ËÒ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÚÓÓÖ Ñ Ø Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ú Ò ÓØÓÒ Ò ÓÓÖ Ö º ÁÒ Ø Ú Ð Ú Ò ÐÙ ÓÐÚ Ò ÞÓÖ Ø Ø ÓÔÔÐ Ö Ø ÚÓÓÖ Ò Ú Ö Ù Ú Ò Ò Ö Ó Ö Ö ÕÙ ÒØ Ú Ò ØÓÓÒ Ú Ò Ö Ò Ú Ò Ò Ò Ö Ò Þ ÒÛ Ò Ø ÖÛ Ð ØÓÓÒ Ò Ö Ð Ö Ö ÕÙ ÒØ Ú Ö Ù Ø Ð Þ ÒÛ Ò Ú Ò ÓÒ Û Øº Ú ÒÞÓ ÚÓ Ð Ò Û Û Ò Ú Ò Ö ÖÓÒ ÞÓÒ Ò Ø ÓÑ Ø Ö Ò ÚÖ Ú Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ø ÚÓ Ð Ò Ú ÐØº

19 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ½ Ö Ò ¼ Ú Ò ÚÓÖ ÙÛ Ù Ø ÚÓ Ö ÓÔ Ø Â Ö ÓÒ È Ý Ð Ä ÓÖ ØÓÖÝ Ú Ò À ÖÚ Ö º À Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ö Ú Ò Ò º º ÁÒ ÙÙÖ ÒØ Ñ Ò Û ÒÓ Ñ Ò Þ Ô Ö ÓÓÒ Ï½µ Ò Ð Ø ÙÒ Ð Ñ Ø Ö ÕÙ ÒØ f bron Ú Ò Ö Ò Ö ÓÚ Òº Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾µ Ø Ø ÓÔ Ò ØÓÖ Ò Ñ Ø ÓÓ Ø h Ö Ø ÓÚ Ò ÖÓÒ Ò Ñ Ø Ö ÕÙ ÒØ Ú Ò Ø Ð Øº À Ï¾µ ÒÓ ÑØ Þ Ö ÕÙ ÒØ f top º Ï ÖÙ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô ÓÑ Ö Ð Ø ØÙ Ò f bron Ò f top Ø Ô Ð Ò Ò Ø Ø ÒØ Ø ÒØÖÓ Ù Ö Ò Ú Ò ÒÓ Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ï µ ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò º Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ï µ Ú ÐØ Ú Ò ØÓÔ Ú Ò ØÓÖ Ò Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ø Ð Ø ÖÓÒ Ú ÖÐ Øº Ò Ö Ð ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ï µ Þ Ø Ø Ð Ø Ð Ó Ö Ò Ö Ú Ø Ø Û Ö Þ Ñ º À Ø Ð Ø Û Ø ÚÓÓÖ Ñ Ï µ Ò Ò Ö Ø Ð Ò Ò ÞÓÒ Ö Ö ÕÙ ÒØ Ú Ö Ù Ú Ò ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ÒØ Ñ Ø Ú ÐÐ Ò Ñ Ø Ï µ Þ Ð Ö ÕÙ ÒØ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ï½µ ÖÓÒº ÎÓÐ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ñ Ø Ï µ Þ Ð Ö ÕÙ ÒØ Ú Ò Ð Ø Ö Ð Ø Ð Ø ØÓÔ Ö Øº À Ø ÙÙÖØ Ò Ø t = h c ÚÓÓÖ Ø Ø Ð Ø ØÓÔ Ö Ø Ò Ò Ø Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ï µ Ò Ò Ø ÒØ Ò Ò Ð v = gt = gh c º Ì Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ Ï µ Û Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾µ ÓÚ Ò Ò Ñ Ø Ò Ð v Ú Ò Ñ Ï µ Ø Ò Ò ÓÔÔÐ ÖÚ Ö Ù Ú Ò Ñ Ø Þ Ñ Ö Ò Øº À Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ò Ú Ö Ð Ò µ Ø ÓÒ ÒÙ Ö Ø f top = f bron (1 gh c 2 ). ÎÓÓÖ ¾¾ Ñ Ó ØÓÖ Ò Ú Ò Ø ÈÓÙÒ ¹Ê ¹ËÒ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ø Ð Ò 2, Ñ Ö Ø Û Ö ÐÒ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò ÔÖ Ú Ò ½ ±º À Ø Ø Ù Ò ÖÓØ Ö ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ø Ò Ú Ò Ø ÐÓ Ð ÈÓ Ø ÓÒ Ò ËÝ Ø Ñ ÈËµ ÓÔ ÓÒ Ú Ö ¾¼º¾¼¼ Ñ ÓÓ Ø ÚÐ Òº Ì Ò Ò Ò Ú Ø Ò ÙÛ ÙÖ Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½ Ñ Ø Ö Ò Ò Ò µ 15 m m/s µº ÈË Ø ÐÐ Ø Ò ÙÒ Ø Ò Ð Ò Ø Ó Ö Ò Ö Ò Ñ Ø Ò ÔÖ Ú Ò ÓÒ Ú Ö ¼ Ò = Þ ÔÖ ÓÒ Ú Ö ½¼¼¼ Ñ Ð ÖÓØ Ö Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò ÓÒ Ú Ö ¼ µ µº ÓÒ Ö ÓÖÖ Ø ÓÔ Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÞÓÙ Ò ÈË Ý Ø Ñ Ò Ò Û Ò Ú Ò ÐÓÑ Ø Ö Ô Ö Ú ÖØÓÒ Òº À Ø Ð Ò Ö Ø Ö Ô Ò Ø ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ò Ò Ô Ú Ò ÞÓÛ Ð Ø Ð Ø Ð Û ÖÒ Ñ Ö º Ù Ð Ø ÓÔ Û Ð ÓÓ Ø Ú Ò Ö Ò ÓÓ Ø Ò ÙÒ Ö ÕÙ ÒØ º Ð Ö ÕÙ ÒØ Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ø Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÖÓÒ Ò Ñ Ø Ò Û Ò ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò º Ð Ö ÕÙ ÒØ Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ÚÖ Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ö Ò Ú Ö Ù Ú Ò º Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò ½¼ Ø Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÒØ ÚÓÓÖ Ø Ö Ô Ø º ËØ Ð Ø Û ØÛ ÐÓ Ò Ú ÖÚ Ö Ò Ö Þ Ò ÓÔ Ø Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ú Ò Ò Ð Ø ÖÓÒº Ð ÓÐ ÖÓÒØ Ø Ø ØÓÖ Ô ÖØ Ò Ö ØÖ Ö ÛÓÖ Ø Þ Ò Û Ð Ò Ø Ú Ò ÐÓ º Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ø Ò Ð ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ØÓÖ Ò Þ Ò ÐÓ Ò ÐÐ Ö Ø Ø Ò ÐÓ ÓÔ Ö Ø Øº Ð Ò Ò Ñ Ø Þ Ò ÐÓ Ò Ö Ò Ò Ø Ò ÐÓ Ò Ú Ö Ð Ø Þ Ø Ø Þ Ò ÐÓ Ñ Ø ÓÒ Ú Ö ½ Ò ÚÓÓÖÐÓÓÔØ Ø Ò Ø ÒÛÓÓÖ ÒÚÓÙ Ø Ñ Ø Ò º ÇÚ Ö Ò Ð Ø Þ ÓÒÐÙ ÚÓÓÖ Ð Þ Ò ÐÓ Ò ÓÐÓ Ó Ý º Ê Ð Ø µ Ò ÓÓ ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ ØÛ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ØÓÖ Ò Ò Ò ÖÙ ÑØ Ô Ø ÓÙÛ Ò Ø Ö Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ú Ö Ò ÐÐ Ò gº Ø Ò ØÙ Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö h Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò º Ä Ø Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ø Ø ÖÙ ÑØ Ô Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Ô Ð Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ò ÖÓÒµ Ò ÓØÓÒ Ù ØÞ Ò Øº À Ø ÙÙÖØ Ø t = h/c ÚÓÓÖ Ø Ø ÓØÓÒ ÓÚ Ò Ø ØÓÔµ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÓÑØº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ò Ð v = gt = gh/c Ò Ò ÑØ Ø ÓØÓÒ Û Ö Ñ Ø Ò ÓÔÔÐ ÖÚ Ö Ù Ú Ò ÔÖ ÚÓÐ Ò Ú Ö Ð Ò µº À Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ø Ø Ò Ò Þ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò ÛÓÖ Ø Û Ö ÒÓÑ Ò Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ÛÓÖ Ø Ù Ø ÚÓ Ö ÓÒ Ö ÓÒ Ø Ú Ò ÙÒ ÓÖÑ Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò Û Þ Ú Ò Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ð Þ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Û Ö ÒÓÑ Ò ÒØ Ø ÛÓÖ Ò Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ö ÓÒ Ø Ú Ò Ò ÙÒ ÓÖÑ Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ñ Ö ÞÓÒ Ö Ú Ö Ò ÐÐ Ò º ½¼ Ï ÖÒ Ñ Ò Ú Ò Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ø ÓÓ Ð Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø ÖÙ ÑØ Ø ÖÓÑ ÒØ Ø Þ Òº

20 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ¾¼ ¾º Ë Ø ÐÐ Ø Ò Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ð ÓÒ ÕÙ ÒØ Ú Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ ØÙ Ö Òº ÖÙ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô ÓÑ Ø Ú Ö Ð Ö Ò Ó Ø ÐÐ Ø Ò Ò ÙÒ Ò Ð Ú Òº Ï ÙÙÖ Ð Û Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ñ Ø Ò Ð v ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ò Ö Ò Ò Þ Ð Ø ÚÓÐ Ó Ò Ò Ð Ò Ö Ð Ò ÖÓÒ Ö Ö Ú Òº ÔÓ Ø Ò Ò Ð Ú ØÓÖ Ò Ú Ò Ò ÐØ Ø Ò Ö Ð Ò Ö Ø Þ Ò Ú Ò Ò º º Ó θ ØÙ Ò v(t) Ò v(t + t) ØÞ Ð Ð ØÙ Ò r(t) Ò r(t + t) ÓÑ Ø ÔÐ Ø ¹ Ò Ò Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÚ Ö Ð Ó Ò ÑÓ Ø Ò ÖÓØ Ö Ò ÓÑ ÓÒ ÖÐ Ò ÐÓÓ Ö Ø Ø Ð Ú Òº Ò Ð Ò Ö Ó ÛÓÖ Ø ÚÓÖÑ ÓÓÖ ØÛ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò Ò vº Ò ØÛ Ð Ò Ö Ó ÛÓÖ Ø ÚÓÖÑ ÓÓÖ ØÛ ÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ò Ò rº ÇÑ Ö Ø Ò Ú Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ø Ú Ò Ò ÓÙÛ Ò Û Ö Ó ÚÓÖÑ ÓÓÖ ØÛ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò Ò vº ÓÑ Ú Ò Ó Ò Ú Ò Ð Ö Ó ½ ¼ Ò Ó Ò Ú Ò Ð Ð Ò Ö Ó Þ Ò Ð º ÁÒ Ð Ñ Ø Ø t Ò Ö ÒÙÐ Ø Ø θ ÓÓ Ò Ö ÒÙÐ Ò Ò Þ Ð Ñ Ø Ò Ó Ò Ò Ö ¼ º Ø Ø ÒØ Ø v ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ Ò Ð Ø Øº Ð Û v Ø Ò Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÐØ Ò Û Ø Ø Ò ÒØÖ Ô Ø Ð Ö Ø Ò Ù Ò Ö Ø Ñ ÐÔÙÒØ Ú Ò Ö º ØÛ Ö Ó Ò Þ Ò ÓÒ ÖÙ ÒØ Ò Ù Ð Ø v v Þ Ò Ú ÒÖ µº Ð Ò ÓÓÖ t Ò Ö Ò Ð Ú ÖØ = r r Ð Ò Ø Ò Ú Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Þ Ò v t = v r r t. ½¼µ ÁÒ Ð Ñ Ø Ø t ÒÙÐ Ò ÖØ Ø Ø ÖÑ v t ÓÚ Ö Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò a ÖÓÓØØ Ú Ò Ò Ø ÒØ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ø ÖÛ Ð Ø ÖÑ r t Ò Ð v Ò ÖØ ÖÓÓØØ Ú Ò Ò Ø ÒØ Ò Ò Ð º Å Ø Þ Ù Ø ØÙØ Ú Ò Ò Û ÚÓÓÖ ÒØÖ Ô Ø Ð Ú Ö Ò ÐÐ Ò a c a c = v2 r. Ò ÐØ Ø Ñ Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ò Ö Ð Û Ø Ø ÓÓ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÓÑ¹ ÔÓÒ ÒØ a t Ø Ò ÒØ Ð Ò Ö Ð Ú Ò ÓÓÖ a t = dv dt º ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ÓÙÛ Ò Û Ò Ø ÐÐ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ò Ò Ö Ð Ò ÖÓÒ Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò Ö ÓÚ Ö Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Û Øº Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÒÙ Ð Ò a = v 2 r = g = 9,81 Ñ» 2 Ò Û Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Ð Ñ Ø r = 6370 Ñ Û Ö v = rg = (6370 km)(9,81 m/s 2 ) = 7,91 Ñ» º ÓÑÐÓÓÔØ Ö Ø T = 2πr 2π(6370 km) v = 7,91 km/s = 5060 Ñ Òº ÇÔ ÖÓØ Ö ÓÓ Ø ÓÑÐÓÓÔØ Ð Ò Ö Ò Ö Ø ÚÓÓÖ Ð ½ Ñ ÒÙØ Ò ÓÔ ¼¼ Ñ ÓÓ Ø Û Ö ËÔ Ë ÙØØÐ ÓÔ Ö ÖØº ØÖÓÒ ÙØ Ò Ò ËÔ Ë ÙØØÐ Þ Ò Û Ø ÐÓÓ º Ø ÓÑØ ½½µ

21 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ¾½ Ò Ø ÓÑ Ø ÓÔ ¼¼ Ñ Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ú Ò Ö Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Ø ÒÚÓÙ Ù Ø Ø Ö Ò Ò Ñ Ø Ú Ö Ð Ò µµº À Ø Ò Ô Ö Ø ÑÓÒ ØÖ Ø Ú Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô ËÔ Ë ÙØØÐ Ò ÚÖ Ú Ð ÖÓÒ Ö Ò Ø Ú ÖÓÓÖÞ Ø Ø ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ò Ò ËÔ Ë ÙØØÐ Þ Ö Ò Ð Ó Ö Ú Ø Ø Û Þ º Ï Û ÐÐ Ò Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ö Ù Ø Ô Ò Ñ Ø Ø ÚÓÐ Ò ÚÓÓÖ Ð º ËØ Ð Û Ø ÔÔ Ò Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ð Øº Ò Ø Ú Ò Û Ø ÓÑØ ÓÓÖ Ø ÚÐÓ Ö Ú Ò Ð Ø Ò Ö Ø ÓÔ ÓÒ Ù ØÓ ÒØ Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ú Ò Ö º Ð Û Ð Ø Ð ÓÓÖ Ò ÔÔ Ò Ò Ú ÐØ Ö Ø Ú Ò ÚÐÓ Ö Û º Ï Ö Ò Ò ÚÖ Ú Ð Ò Ò Ú Ö Û ÒØ Ò Ø Ú Ò Û Ø ÚÓÐÐ º ÚÐÓ Ö Ú Ò Ð Ø Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ú Ö ÒØÛÓÓÖ Ð ÚÓÓÖ ÓÒ Û Øº Ï ÙÒÒ Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ ÓÑ Ö Ò Ð Û Ð Ø Ò Ö ÓÚ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÓÒ ÞÛ Ö Ö Ò ÚÓ Ð Òº Ð Û Ò Ò Ð Ò Ö Ð Ø Þ ØØ Ò Ò Û ÚÓ Ð Ò ÓÒ Û ØÐÓÓ Ò ÙÒÒ Ò Û Ò Ø ÓÒ Ö Ò Ó Û Ò ÚÖ Ú Ð Þ Ò ÓÔ Ö Ó ÓÒ Ò ÖÙ ÑØ Ú Ö Û Ú Ò Ö Ú Ø Ö Ò Ó Ø Ò Ú Ò Òº Ú ÒÞÓ Ð Û Û Ð Û Ø ÖÚ Ö Ò Û Ø Ò Û Ò Ø Ó Ø ÓÑØ ÓÓÖ Ø Û Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ø ÓÔ Ö Ø Ò Ó Ø Û Ò Ú ÖÖ ÖÙ ÑØ Ò Ö ÓÚ Ò ÛÓÖ Ò Ú Ö Ò Ð º Ð Ö Ú Ø Ø ÓÚ Ö Ð ÙÒ ÓÖÑ ÞÓÙ Þ Ò ÙÒÒ Ò Û Ø Ò Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò º Ø Ø Ò Ú Ò Ø ÛÓÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô º ¾º Û ÖØ Ø Ò Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ø Ï Ò Ö Ò Ú Ö Ð Ò µ Þ Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ù Ø Ó Ò ÓÓÖ ÐØ ½ ÓÔ ÐØ ¾ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ F 1,2 = Gm 1m 2 r1,2 2 ˆr 1,2, ½¾µ Û Ö ˆr 1,2 = r 1,2 r 1,2 Ò Ò Ú ØÓÖ Û Ø Ú Ò ÐØ ½ Ò Ö ÐØ ¾º Ï Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ú Ò Ð Ú ØÓÖÖ Ð Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ö Ò Ø Ö Ø Ò Ò Ö Ò Ò º Ï ÓÙÛ Ò ØÙ Ø Ñ Ø m 1 = m Ñ Ú Ò Ò ÐØ Ò m 2 = M Ñ Ú Ò Ò Ñ Ó Ø ÚÓÓÖ Ð Ö º Ï Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÚÓÓÖ Ø Ø ÐØ Ò Ò Ö Ð Ò ÖÓÒ Ö Û Øº Ö Ð Ø a = F/m Ò Ø Ø ÒØ Ø GM Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò Ø ÐØ º r 2 Þ Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÒØÖ Ô Ø Ð Ò Û Ú Ò Ò Ò a = v2 r = GM GM r 2 v = v cirkelbaan = ½ µ r ÚÓÓÖ Ò Ð Ú Ò Ò ÐØ Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ò Ò Ò Ö ÐÚÓÖÑ Ò Ñ Ø ØÖ Ð r ÖÓÒ Ò Ñ Ó Ø Ñ Ø Ñ Mº Ð Û Ò ÐØ Ú Ò Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ò ÒØ Ö Ö Ú ÖÖ Ø Ø ÛÓÖ Òº Þ Ö Ð Ñ Ö Ñ Ø Ò Ñ ÒØ Òµ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö V Ú Ò Ø ÐØ Ð Û ÑÑ Ö Ø ÐØ Ú ÒÙ Ø Ø ÓÒ Ò ÓÔ Ö Ð Ø Ò Ú ÐÐ Ò Ú Ö Ö Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ø Û Ö Ö Ú ÖÖ Ø Òµº Ó Ú Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ V (r) = r 0 F d s = r 0 F ˆr d s = r= r 0 F r dr = r= r 0 ( GmM r 2 ) dr = GmM R. ÇÑ Ø Ò Ð Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ö Ð Ú ÒØ Þ Ò ÙÒÒ Ò Û ÐØ Ò ÓÒ Ø ÒØ V 0 Ö ÓÔØ ÐÐ Òº Ï Þ Ò Þ ÓÒ Ø ÒØ ÞÓ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ð Ò ÒÙÐ V = 0 Ð Ø ÐØ ÓÒ Ò Ú Ö Ú Ò Ö Ø Øº ÁÒ Ø Ú Ð Ð Ø Ò V 0 = 0º Ï Ñ Ö Ò ÓÔ Ø Ú Ö Ð Ò Ò ½¾µ Ò ½ µ ØÓ Ø Ò ÓÑ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ø ÚÓ Ö Òº Ö Ð Ø F grav = m Φ( x) en ook d2 x dt 2 = Φ( x), ½ µ ½ µ

22 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ¾¾ Û Ö Fgrav Ö Ø ÓÔ Ò ÐØ Ñ Ø Ñ m Ò ÓÔ ÔÓ Ø x Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Φ ÔÖÓ Ù Ö ÓÓÖ Ò Ò Ö ÐØ Ñ Ø ÚÓÓÖ Ð Ñ Mµº ÎÓÓÖ Ò Ò Ð ÐØ Ñ Ø Ñ M Ú Ö Ð Ò ½ µ Φ( x) = GM/x Ò ÚÓÓÖ Ò ÓÒØ ÒÙ Ñ Ø ρ( x) Ð Ø Gρ( x ) Φ( x) = x x d3 x. ½ µ À Ø Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ð g ÛÓÖ Ø Ò Ò Ö ÓÓÖ g( x) Φ( x), ½ µ Û Ö ÓÓÖ Û Ú Ò Ò g( x) = 4πGρ( x) 2 Φ( x) = 4πGρ( x). ½ µ À Ö Ò Ó Ð Ò Û Ñ Ø 2 Ð ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ 2 / x / y / z 2 º Ï ÒÓ Ñ Ò Ø ÔÓ ÓÒÚ Ö Ð Ò Ú Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø º Ò Ó Ø ÚÓÓÖ Ð Ò Ø ÐÐ Ø Ñ Ø Ñ m Ø Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ Ò Ñ Ø ØÖ Ð r ÖÓÒ Ö Ñ Ø Ñ Mµ Ö Ø Ø ÞÓÛ Ð Ò Ø Ò Ö K ½½ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö V º ÓÑ Ú Ò ØÓØ Ð Ò Ö E = K + V Ò ÓÙ Ò ÖÓÓØ Ò ÒØ ÓÒ Ø ÒØ Ø Þ Òº Ö Ð Ø E = 1 2 mv2 GmM. ½ µ r À Ø Ó Ø Ò Ú Ò Ö ÓÒØ Ò ÔÔ Ò Ð Ø ÓÒ Ò Ú Ö Û Ò Þ Ò Ò Ò ØÓ ÒÓ Ò Ô Ð Ò Ø Ò Ö Øº Ð Ø Ò Ø ÓÒØ Ò ÔØ Ò Ò Ò Ð Ð Ò ÒÙÐº ÁÒ Ø Ú Ð Ð Ø Û ÒÒ Ö Ø ÐÐ Ø Þ ÓÔ Ò Ø Ò R Ú Ò Ö Ú Ò Ø 1 2 mv2 ontsnapping = GmM R ( 2GM v ontsnapping = R )1 2. ¾¼µ Ð Û Ù Ø ÖÙ Ò ½ µ Ñ Ø ¾¼µ Ú Ö Ð Ò Þ Ò Û Ø v ontsnapping = 2v cirkelbaan º Ò Ø ÖÖ Ò ÙÒ ÇÐ ÊÓ Ñ Ö ½ ¹ ½ ½¼µ Ð Ö Ø Ò Ó ØØ Ò Ú Ò Ð Ø Ò Ð ÚÓÒ ½½ Ñ ÒÙØ Ò Ô Ö ØÖÓÒÓÑ Ò Íµ ½¾ Ø ÖÛ Ð Ù Ø Û Ö Ñ ÒÙØ Ò Ò ½ ÓÒ Ò µº Ø Ö ÙÐØ Ø ÚÓÒ Ò ½ ÓÓÖ Ð Ô Ú Ò ÂÙÔ Ø Ö Ö Ø Ø ÐÐ Ø Ø ØÙ Ö Ò ÚÓÓÖ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÂÙÔ Ø Ö Ö Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö º Ö Ø Ò ØÙÙÖ ÙÒ ÂÓ Ò Å Ø ÐÐ ½ ¾ ¹ ½ µ Ò Ö Ò Û ÙÒ Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ È ÖÖ Ä ÔÐ ½ ¹ ½ ¾ µ ÓÑ Ò Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ñ Ø Ø Ø Ø Ù Ø Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÚÓÐ Ø Ø Ò Ó Ø Ú Ò Ò Ð Ñ Ò ÓÒØ Ò ÔÔ Ò Ð Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò (2GM/R) 1 2 º À ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø ÓÓ Ð Ø Ò Ø Ò ÓÒØ Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ò Ð Ñ Û ÖÚ Ò ÓÒØ Ò ÔÔ Ò Ò Ð ÖÓØ Ö Ò cº Ù Ð Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ð Ñ Ñ Ø Ú Ø Ñ M Ð Ò Ö Ø Ñ Ò Ò ØÖ Ð R g Ñ Ø R g = 2GM c 2, ¾½µ ½½ Ï ÙÒÒ Ò ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ Ò Ø Ò Ö K Ú Ò Ò ÓÓÖ Ö Ø ÓÙÛ Ò Ú ÖÖ Ø ÑÓ Ø ÛÓÖ Ò ÓÑ Ò ÐØ ÙÖ Ò Ø dt Ø Ú Ö Ò ÐÐ Òº Ö Ð Ø F d x = F vdt = d p vdt = v d p = v d(m v)º dt ÇÓ Ð Ø d( v v) = (d v) v + v (d v) = 2( v d v)º ÒÒ Ñ Ò Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò Ò Û ÖÑ v d(m v) = 1 md( v v) = mdv2 = d ( 1 mv2) º ÁÒØ Ö Ö Ò ÖÚ Ò Ð Ú ÖØ Ö Ð Ø K = mv2 º ½¾ ØÖÓÒÓÑ Ò Û ÚÖÓ Ö Ò Ö Ð ØÖ Ð Ú Ò Ö Ð Ò Ú Ò Ö Ò ½ ¼¼µ ÖÓÒ ÞÓÒ ½ Í 1, Ñº

23 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ¾ Ò Ð Ø Ø Ð Ñ ÞÛ ÖØ ÚÓÓÖ Ù Ø ÒÛ Ö Ð º Å Ö ÓÔ Ø Þ Ð Ñ Ø ÚÓÓÖ ØÖ Ð R g Ò Ð Ò Ø Ú Ò M Ò Ò ØÙÙÖÓÒ Ø ÒØ Ò c Ò Gº Ï ÒÓ Ñ Ò Ø Ö Ú Ø Ø ØÖ Ð Ú Ò Ò Ð Ñ Ñ Ø Ñ Mº À Ø ÔÖ Û Ö Û Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ØÖ Ð Ú Ò Ò ÞÛ ÖØ Øº ÇÚ Ö Ò Ú Ö ÐØ Ø Ð ÞÛ ÖØ Ø Ò Ð Ò Ö Ñ Ø Ú Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ø ÞÛ ÖØ Øº ÁÒ Ø Ð Ú Ð ÓÑØ Ø ÖÓÔ Ò Ö Ø ÓØÓÒ Ò Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Ú ÖØÖ Ò ÓÑ Ú ÖÚÓÐ Ò Ø Ñ Ö Ò Ð Ø Ú ÖÐ Þ Òº Í Ø Ò Ð ÛÓÖ Ø ÙÒ Ò Ð Ð Ò ÒÙÐ Ö Ò Þ ÓÑ Ò Ú ÐÐ Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Û Ö Ò Ö Ò Òº Ú Ò Û Ö Ø Ò ½ Ò ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ Ù Ò Ú Ò Ð Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ò ÞÓÒº Ï ÞÙÐÐ Ò Þ Ù Ò Ò Ù Ø Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô º ÓÙÛ Ð Ø Ø ÞÓÒ Ô ÖØº Ï Û Ø Ò Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ð Ò ÒØ Ø ÚÓÐ Ò Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ò Ò ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Öº ÇÑ Ø ÐÓ Ð ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÐÐ ¹ Ñ Ð Ò ÞÓÒ Ú ÐÐ Ò ÒØ Ø Ð Ø ÓÒØ ÒÙ Þ Ò Ò Ø Ù Ò ÞÓ Ø Ò Ö Ø Ð Ø ÚÓÓÖ Ð Þ ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò ÐÓ Ð Û ÖÒ Ñ Ö º Ï ÞÙÐÐ Ò ÖÓÓØØ Ú Ò Ù Ò ØØ Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ð Ñ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒº v=gd/c d a M ÙÙÖ Ä Ø Þ Ð Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÛÓÖ Ò Ó Ò Ð Ø Ò Ñ Ó Ø ÞÓ Ð ÞÓÒ Ô ÖØº Ï ÓÙÛ Ò Ò Ò Ð ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ð Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÞÓÒ ÓÔ Ø ÔÙÒØ Û Ö Ø Ð Ø Ø Ø Ø ÞÓÒ Ø Ò Ô º Ø Ò ÒÓ Ñ Ò Û dº Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ö ÞÓÒ Ö Ø g = GM/d 2 º À Ø Ð Ø Ö Ø Ñ Ø Ò Ð c Ò Ø Ð Ò Ö Ø Ð Ú Ò Ù Ò ØÖ Ø ÓÔ ÙÖ Ò Ò Ø d/cº ÙÖ Ò Þ Ø Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ò Ð v = gd/c = GM/cd ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ Ö Ø Ò Ú Ò Ø Ð Øº Î ÒÛ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô ÒØ Ø Ð Ø Ò Ö Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ö Òº Ó Ù Ò Ð Ò Ò Ö Ð Ø tan α = α = v c = GM c 2 d Ò Ö Ð Òº ØÓØ Ð Ù Ò ÒØ Ø Ù Ð Ø Þ Ò ÓÑ Ø Þ Ð Ù Ò ÚÓÓÖ Ò ÓÑ Ò Ð Ø ØÖ Ð ÓÓ Ð Ø ÚÓÓÖ Ù Ø Ò Ð Ø ØÖ Ð Þ º µº Ï Ú Ò Ò Newtoniaanse afbuigingshoek = 2α = 2GM c 2 d. Ò Ü Ø Ð Ö Ò Ò Ø ÔÖ ÓÚ Ò Ø Ò Ö ÙÐØ Øº Ò Ö Ò Ò Ñ Ø Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ø Ö Ò ØÓÖ ¾ ÖÓØ Ö Ù Ò º Ò Ù Ò Ú Ò Þ ÖÓÓØØ Û Ö Ò ½ ½ Û Ö ÒÓÑ Ò ÓÓÖ Ö Ø ØÖÓÒÓÑ Ò ÓÒ Ö Ð Ò Ú Ò Ë Ö ÖØ ÙÖ ¹ Ò ØÓÒ ½ ¾ ¹ ½ µ Ò Ö Ò Ïº Ý ÓÒ ½ ¹ ½ µº Þ Ú Ø Ò Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ð ØÓØ ÖÓØ ÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÓÖ Ö Ú Ò Ò Ø Òº ¾º Ö Ú Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ø Ò Ø Ò Ö Ø Ò Þ Ò Ö Ø Ò Ò Ø Ú Ö Û Ò Ò Ð Û Ò Ý Ø Ñ Ò ÚÖ Ú Ð ÓÙÛ Ò Ò Þ Ò ÓÑ Ø Ú Ò Ò Ø¹ÙÒ ÓÖÑ Ø Ø Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò º Ø Ò Ö Ø Ò Ô Ð Ò Ò Ð Ò Ö ÖÓÐ Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ú Ò Ò ÚÐÓ ÓÔ Ö ØÓØ Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ò Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð º ¾¾µ

24 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ¾ Aarde Aarde Aarde Aarde ÙÙÖ Ø Ò Ö Ø Ò Þ Ò ÒÚÓÙ Ø Ö ÒÒ Ò Ð Û Û Ò Ú Ò ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò Ó Ø Ò ÓÙÛ Òº Ï Ø Ò Ø Ò Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ò Ò º º ÙÙÖ Ð Ò ØÓÓÒØ Ø Û ÒÒ Ö ØÛ Ó Ø Ò Ñ Ø Ò Ð Ò Ú ÖØ Ð Ô Ö Ø Ú ÒÙ Ø ÖÙ Ø Ú ÐÐ Ò ÙÒ Ô Ö Ø Ò Ø ØÓ Ò ÑØº ÙÙÖ Ö Ø Ð Ø Þ Ò Ø Û ÒÒ Ö ØÛ Ó Ø Ò Ñ Ø Ò Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒ ÖÐ Ò Ø Ò Ú ÒÙ Ø ÖÙ Ø Ú ÐÐ Ò ÙÒ ÓÒ ÖÐ Ò Ø Ò Ò ÑØº Î ÒÙ Ø Ø Þ Ø ÔÙÒØ Ú Ò Ò ÚÖ ¹Ú ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ò ØÛ Ó Ø Ò Ò Ö Ð Ö ØÓ Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ð Ó Ö Ò Ö Ø ÓÔ Û Ö Øº Ø Ð Ø ØÓØ ÓÒÐÙ Ø Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ø ÐÓ Ð Ð Ò Ø ÐÓ Ðº Ò Ò Ö Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ò Þ Ò Ø Ò ÓÔ Ö Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ò Ú Ò Ñ Ò Ò ÞÓÒº À Ö ÔÖ Ò Û Ø Ò Ú Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò Ý Ø Ñ Ø Ø Ò º º À Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò Ö Ò ÚÖ Ú Ðº ÓÚ Ö Ð Ò Ú Ò Maan Maan Aarde Aarde ÙÙÖ Ø Ò Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÓÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ö Þ Ò ÓÑ Ø Ú Ò Ö Ù Ð Ú Ö¹ Ò ÐÐ Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø º À Ö Ö Ò ÚÖ Ú Ð Ñ Ø Ñ Ð Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ò Ñ Ò ÓÔ Ö º ÁÒ Ö Ø Ö ÙÙÖ ÒØÖ Ð Ú Ö Ò ÐÐ Ò ØÖÓ Ò Ú Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú ØÓÖ Òº Ö ÓÒ ÖÚ Ò Ò Ö Ð Ø Ð Ò Ú Ö Ð Ö Ø Ò Ð Ò ØÓØ Ø ÓÒØ Ø Ò Ú Ò Ø Òº Ø Ò Ò Ò Ö Ø Ö Ø Ö ÓÒ Ö ÖÓØ Ø ÔÐ Ø Ò Ñ Ø Ð Ø Ò Þ Ò Ò ÓÓÖ Ò ÖÓØ Ø ÓÚ Ö 180 º Û Ö Ò Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ò Ð Ø ØÓØ Ò ÒØ Ð Ð Ò Ö Ø Ò ÞÓ Ð Ø Ø Ø ÖÓØ Ø Ú Ò Ñ Ò ÓÑ Þ Ò ÝÒ ÖÓÒ Ö Ñ Ø Þ Ò ÖÓØ Ø ÖÓÒ Ö ½ º ÇÓ Ö Ò ½ Ø Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ñ Ò ÓÔ Ö ÔÖÓ Ö Ò ÓÓ ÖÓØ Ø Ú Ò Ö Ø ÝÒ ÖÓÒ Ö Ò Ñ Ø

25 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ¾ Ö Ò Ñ Ò Ø Ú Ö Ö Ú ÖÛ Ö Ú Ò Ð Ö Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ò Ø Ò ÛÓÖ Ò Ö Ô Ò Ð Ò ÓÒ ÕÙ ÒØ Ú Ò Ø ÓÙ Ú Ò ÑÔÙÐ ÑÓÑ ÒØµº Ò Ò Ö ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Û Ö Ò Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ø Å ÖÙÖ Ù ¹ ÞÓÒ Ý Ø Ñº Å ÖÙÖ Ù Ø ÞÓÒ Ò ÖÚ ÖØ Ø Ò Ö Ø Ò ÓÒ Ú Ö Ö Ö ÖÓØ Ö Þ Ò Ò Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò Ý Ø Ñº ÓÑÐÓÓÔØ Ú Ò Å ÖÙÖ Ù ÖÓÒ ÞÓÒ Ö Ø Ò Ø ÖÛ Ð ÖÓØ Ø ÖÓÒ Þ Ò Ò Ö Ø ÔÖ 2 3 Ú Ò ÓÑÐÓÓÔØ º Ø Û Ö Ò ÚÓÐ Ú Ò Ø Ò Ö Ø Òº ¾º Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ò Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ú Ò Ä Ö Ò Û Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Þ Ò Ð Ñ Ò Ò º Ò Ø Û Ö ÒÐ Ø ÐØ Þ Ò Ò Ö Ø Ð Ò Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð ÚÓÓÖØ Û Ò ÞÓÐ Ò Ö Ò Ö Ø Ò ÓÔ Û Ö Òº Ø ÛÓÖ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ù Ø ÖÙ Ø Ð m d2 x dt 2 = 0, ¾ µ Û Ö x = x(t) ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÐØ Ò m Þ Ò Ñ º ÁÒ Ò Ö Ò Ö Ø F ÓÔ Ø ÐØ Û Ö Ø ÓÑØ Þ Ò Ö Ø ÖÞ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ø Ø Òº Þ ÓÖÑÙÐ Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ò Ð Ú ÖØ Ò Ø ÔÔ ÒÔÐ Ò ÚÓÓÖ Ø ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ñ Ò ÚÖ ØÙ Ò ÚÙÐ Ö Ø Ò ÓÔ Ò ÐØ Û Ö Ø ÐÓ Ö ÙÐØ Ö Ò Ú Ö Ð Ò ÓÔ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÐØ Ð ÙÒØ Ú Ò Ø Ò Ò º ØÛ Û Ø Ò Ò Ø ÛÓÖ Ò Ð Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Òº Ä Ö Ò ½ ¹½ ½ µ ÓÒØÛ Ð Ò Ò ÙÛ Ñ Ò Ö Ú Ò Ñ Ò Ó Ò Ö ÓÔ Ò ÙÒØ ÒÙ Þ Ò Ò Ñ Ö Ø Ä Ö Ò Ò Lº Þ ÙÒØ Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò Ò Ø Ò Ö K Ú Ò Ò ÐØ Ò Þ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö V L(x(t),v(t)) = K(x(t),v(t)) V (x(t),v(t)), ¾ µ Ò Þ ÙÒØ ÒØ Ö Ö ÓÚ Ö Ø ÙÙÖ Ú Ò Ò Ý ÔÖÓ ÒÓ ÑØ Ñ Ø Ø S S = t2 t 1 L(x(t),v(t))dt, ¾ µ Û Ö Ò t 1 Ø Ø Ø Ô Ú Ò Ò Ú Ò Ø ÔÖÓ Ò t 2 Ø Ø Ø Ô Ú Ò Ø Ò Ú Ò Ø ÔÖÓ º Ó Ð Ð Ù Ö Ö ÓÓÖ ÓÒÞ ÒÓØ Ø Ø Ä Ö Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ò Ø Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ Û Ö º Ø ÓÑØ ÓÓÖ Ø Ò Ø Ò Ö Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ Û Ö Ò Ò ÓÑ Ø Þ ÙÒØ Þ Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ò Ò Ð Ú Ò Ø ÐØ º ÓÙÛ Ð ÚÓÓÖ Ð Ò ÐØ Ò Ø ÞÛ ÖØ Ö Ø Ú Ð Ú Ò Ö ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ð Û ÒÒ Ö Ø ÐØ Ø Ö Ñ Ö ÓÓ Û ÒÒ Ö Ø Ú Ö Û Ò Ø Ò Ö Ò ÑØ Ø Ö ØÓ Û ÒÒ Ö Ø ÐØ ÓÒ Ö ÒÚÐÓ Ú Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø Ø Ò ÐÐ Ö Ò Ö Ö Ú ÐØº Ø ÚÓÓÖ Ð Ð Ø Þ Ò Ø Û Ö Ú Ò Ä Ö Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ò Ø Ð Ñ Ò Ò Ð Ú Ò ÔÓ Ø Ò Ò Ð Ú Ò Ø ÐØ º Þ Þ Ò ÓÔ ÙÒ ÙÖØ Û Ö ÙÒØ Ú Ò Ø Ù Ù Ø Ò Ð Ä Ö Ò Ò Ò Ð Ø Ò Ð ÙÒØ º Ø S Ö ÒØ Ò Û Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÑ Ø Û Ä Ö Ò Ò ÒØ Ö Ö Ò ÓÚ Ö Ø Ð ÙÒØ ÒØ Ö Ö ÓÚ Ö Þ Ò Ú Ö Ð Ð Ú ÖØ ÑÑ Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÔµº Û Ö Ú Ò Þ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø ÖÑ Ù Ø Ö Ö Ð Ú Ò Ø Ô x(t) Ø Ø ÐØ ÚÓÐ Ø ØÙ Ò ØÛ Ø Ø ÔÔ Ò t 1 Ò t 2 º Ï Ð Ô Ø ÔÖ ÚÖ Û ÒØÛÓÓÖ Û ÐÐ Ò Þ Ò Û ÒÒ Ö Û Ñ Ò Ó Òº Ð ÒØÛÓÓÖ ÔÓ ØÙÐ ÖØ Ø ÓÑÐÓÓÔØ Ú Ò Ñ Òº Ö Ø Ö Ú Ð Ñ Ú Ö Ò Ñ Òº ÇÒ Ú Ö ½ Ñ Ð Ö Ö Ð Ò ÙÙÖ Ò Ñ Ö ÓÒ Ú Ö ½ ÙÙÖº

26 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ¾ ÓÖÑ Ð Ñ Ú Ò Ä Ö Ò Ø Ò ÐØ ÐØ Ø Ô ÚÓÐ Ø Ø Û Ö Ú Ò Ø Ñ Ò Ñ Ð Ó Ñ Ü Ñ Ð Ñ Øº Ø ÒÓ ÑØ Ñ Ò Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÜØÖ Ñ Ø Ò Ð Ú ÖØ Ò Ð Ò ÙÛ ÚÓÓÖ Ö Ø ÓÑ Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ä Ö Ò Ò ÓÔ Ú Ò Û Ò ÐØ ÒØ Ö Ö Þ ÓÚ Ö Ø Ò ÞÓ Ø Ô Ø Þ ÒØ Ö Ð Ñ Ò Ñ Ð Ó Ñ Ü Ñ Ð Ñ Øº Þ Ñ Ò Ö Ú Ò Ñ Ò Ó Ò ÓÑ Ø ÔÖ Ö Ö Ò ÓÚ Ò Ñ Ö ÖÙ Ð Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ ½ º À Ø Ö Ò Ø Ñ Ò Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÞÓÛ Ð ÑÓ Ð Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÜØÖ Ñ Ø Ø Ð Ò ÓÓÖ Ù Ø Ø Ò Ú Ò ØÛ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ð ÓÑ Ö º À Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÜØÖ Ñ Ø Ò ØÛ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Þ Ò ÖÓÑ Ð ÕÙ Ú Ð ÒØº Ð ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò ØÓ Ô Ò Ú Ò Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ú Ò Ä Ö Ò Þ Ð Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÛÓÖ Ò Ð ÓÓÖ Ù Ø Ø Ò Ú Ò Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÜØÖ Ñ Ø º Ï ÓÙÛ Ò Ò ÐØ Ñ Ø Ñ m Ø Û Ø ÓÒ Ö ÒÚÐÓ Ú Ò Ò Ö Ø F Ò ÖÓÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö V Ø Ö Ð Ø Ö Ò Ö Ø Ú F V Ò Ø Ò Ö K Ú Ò Ò ÐØ ÛÓÖ Ø ÞÓ Ð ÐØ Ú Ò ÓÓÖ ½ K = 1 2 mvi v i Û Ö v i dxi (t) dt µº Ä Ö Ò Ò Ú Ò Ø ÐØ ÛÓÖ Ø Ò Ú Ò ÓÓÖ Ò Ø S Ò S = L = 1 2 mvi (t)v i (t) V (x(t)), t2 t 1 { } 1 2 mvi (t)v i (t) V (x(t)) dt. ¾ µ ¾ µ ÎÓÐ Ò Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÜØÖ Ñ Ø Þ Ð Ø ÐØ Ò Ô ÚÓÐ Ò Ø Ø Ò ÜØÖ Ñ Û Ö Øº Ø Ð Ø ØÓØ Ø ÚÓÐ Ò Û ÙÒ ÚÖ ØÙ Ú Ò Ò ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö t Ñ Ø ÒØ Ö Ò L( x(t), v(t)) Ó Ò Ñ Ò Ò Ô Ð Ò Û Ð ÙÒØ x(t) Ù Ø ÓÑ Ø Ú Ò Þ ÒØ Ö Ð Ñ Ò Ñ Ð Ó Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ø À Ø ÒØÛÓÓÖ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò Ò Ú Ò ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò x i (t) Ú Ò Ø Ô x(t) Ø ÒØ Ö Ð Ò ÜØÖ Ñ Û Ö Ø ÚÓÐ Ó Ò Ò L x i = d ( ) L dt v i. ¾ µ À Ø Û Ú Ò Þ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÑÓ Ð Ò Ø Ð ÚÓÐ Øº Ä Ø Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ø x(t) x¹óñôóò ÒØ Ú Ò Ø Ô x(t) Ø ÒØ Ö Ð Ò ÜØÖ Ñ Û Ö Øº È Ö Ò Ø Ú Ò Ò ÜØÖ Ñ Û Ö Þ Ð Ð Ð Ò Û Ò Ú Ò Ø Ô δx x Ø S Ò ÜØÖ Ö Ú Ò δs Ð ÒØ Ø Þ Ò Ò ÒÙÐº Ï Û ÐÐ Ò Ù ÓÔ ÞÓ Ò Ö Ø Ô x(t) Û ÖÚÓÓÖ Ð Ø Û Ö Ò S + δs = t2 t 1 {L(x(t) + δx(t),v(t) + δv(t))} dt, ¾ µ δs = 0. ¼µ ½ Ò Ð Ö Ò Ò Þ Ò Ø Ò Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ú Ò Ä Ö Ò Ð Ò Ö Ø ÙÒØ Ò Ð Ö Û Ö Ò ØÛ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ú ØÓÖ Ò ÚÓÓÖ ÓÑ Òº ÇÓ Ø ÞÓ Ø Ô Ð ÝÑÑ ØÖ ¹ Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ý Ý Ø Ñ Ò Þ Ú Ù Ð ÓÔ Ò Ö Ò Ò Ø Ä Ö Ò ¹ ÓÖÑ Ð Ñ º À Ø ÓÑ Þ Ö Ò Ò Ø Ò ÓÒ Ö Ò Ö ÕÙ ÒØÙÑÚ Ð ÒØ ÓÖ ÚÖ Û Ð Ù Ø ÐÙ Ø Ò Ñ Ø Ä Ö Ò Ò Ò Û Ö Ø ÛÓÖ Øº ½ ÒÓØ Ø v i v i Ø ÒØ Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ð v i v i 3 i=1 (vi)2 = v v v 2 3 = v 2 = v 2 º À Ø ØÖ Ø ÞÓ Ò Ñ Ò Ø Ò ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ Û Ð Ø Ö Ú ÐÚÙÐ ÞÙÐÐ Ò ÖÙ Òº

27 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ¾ Ò Þ Ò δx Ð Ò ÙÒÒ Ò Û Ä Ö Ò Ò Ò Ö Ò ÓÓÖ ½ L(x(t) + δx(t),v(t) + δv(t)) L(x(t),v(t)) + L L δx + x v δv. Ï ÒÒ Ö Û Ø ÒÚÙÐÐ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ú Ò Ò Û Ø S Ø ÖÙ ÔÐÙ Ò ÜØÖ Ø ÖÑ Û ÙÒÒ Ò ÒØ Ö Ò Ð δs t2 { } L L δs δx + x v δv dt. ¾µ t 1 t 1 Þ Ù Ø ÖÙ Ò ÓÓÖØ Ð Ø Þ Ò Ò ÒÙÐº Æ Ø Û Ò Ô ÖØ Ð ÒØ Ö Ø ½ Ó Ò ÓÔ ØÛ Ø ÖÑ Ú Ò ÒØ Ö Ò ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò t2 { L δs = x d ( )} L δx(t)dt + L dt v v δx(t) t 2 t1. µ Û Ò δx(t) Ñ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÑÓ Ð ÙÒØ Þ Ò Ñ Ø Ñ Ö Ð Ø Ø Þ ÒÙÐ ÓÔ Ø Ò Ò Ò Ú Ò Ø ÔÖÓ º Ö Ð Ø Ò ÓÓ δx(t 1 ) = 0 Ò δx(t 2 ) = 0 Ò ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø Ð Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ú Ö Ð Ò µ Ð Ò ÒÙÐº ÓÚ Ö Ð Ú Ò ÒØ Ö Ð Þ Ð Ò Ø Ð Ñ Ò Ð ÙÒÒ Ò Þ Ò Ò ÒÙÐ ÚÓÓÖ Ô ÙÒØ δx(t) Ø Ö Ø Þ ÒØ Ö Ð ÒÙÐ ÚÓÓÖ Ð ÑÓ Ð Û Ò δx(t) Ú Ò Ø Ô x(t) Ò Ø Ò ÐÐ Ò Û ÒÒ Ö ÐÐ ØÙ Ò ÖÙÐ Ò Ð Ò ÒÙÐº Þ Ð Ú ÖØ Ò ÔÖ Ú Ö Ð Ò ¾ µ ÚÓÓÖ x¹óñôóò ÒØ Û ÖÚÓÓÖ Ð Ø i = 1µ Ú Ò Ø ÞÓ Ø Ô º ÎÓÓÖ ØÛ Ò Ö ÔÐ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ø Ô y(t),z(t) Ò Þ Ò ÓÓ ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò Ò Ð Ø Þ Ð Ù Ø ÓÑ Øº Ï ÒÒ Ö Ú Ö Ð Ò Ò Ú Ò ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ØÓ Ô Ø ÛÓÖ Ò ÓÔ Ù Ä Ö Ò Ò Ú Ò Ò Û ½µ V x i = mdvi dt. µ Ð Ò Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ö ÒÒ Ò Û Ð Ö Ø F i Ò i¹ö Ø Ò Ø ÖÛ Ð Ö Ø Ö ÒØ ÔÖ Ð Ò m d2 x i º Ï ÙÒÒ Ò Þ Ö Ù Ø ÓÑ Ø Ò Ñ Ò Ò Ñ Ò Ò Ò dt 2 Ò Ð Ú ØÓÖÚ Ö Ð Ò m d2 x(t) dt 2 = F, µ Û Ø ÔÖ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ º Ó Ð Ò ÓÒ ÚÓÐ Ø Þ Ò Ö Ù Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÜØÖ Ñ Ø º À Ø Ä Ö Ò Ò ÓÖÑ Ð Ñ Ò ÓÓ ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò ÓÑ ÑÔÙÐ Ú Ò Ò ÐØ Ø Ô Ð Òº ÑÔÙÐ ÚÓÐ Ø Ù Ø Ä Ö Ò Ò Ð p i = L v i, Û Ø ÚÓÓÖ Ù Ä Ö Ò Ò ÖÙ Ð Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ ÑÔÙÐ Ú Ò Ò ÐØ ÓÔÐ Ú ÖØ µ p = m v. µ ½ Ø Ö ÓÔ Ò Ö Ø ¹ÓÖ Ì ÝÐÓÖÖ Ú Ò L ÖÓÒ Û Ö Ò x(t) Ò v(t)º ½ ËØ Ð Ø f Ò g ÙÒØ Þ Ò Ú Ò x Ù f = f(x) Ò g = g(x)º Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ø ÔÖÓ ÙØ df (fg) = g + f dg df g = d dg (fg) f º ÁÒØ Ö Ö Ò ÓÚ Ö dx Ð Ú ÖØ gdf = fg fdgº ÁÒ Ú Ö Ð Ò ¾µ dx dx dx dx dx d dx ÖÙ Ò Û f = L v Ò dg = δvdt = d (δx)º

28 ¾ ÃÄ ËËÁ Ã Å À ÆÁ ¾ ¾º À Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò Å Æ ÛØÓÒ ÔÖ Ò Þ Ò Ì Å Ø Ñ Ø Ð ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ØÙÖ Ð È ÐÓ ÓÔ Ý³ ½ µ Ò ÜÔ ¹ Ö Ñ ÒØ Û Ö Ò Ñ Ø Û Ø Ö ÚÙÐ ÑÑ Ö Ò Ò ØÓÙÛ Ò Øº Ï Ö Ò ÑÑ Ö ÖÓÒ Þ Ò Ò ÓÔ Þ Û Þ ÛÓÖ Ø Ø ØÓÙÛ ØÖ ÓÔ ÛÓÒ Òº ÆÙ Ð Ø Ò Û ÑÑ Ö ÐÓ Ò Þ ÒØ Ò Ð ÖÓÒ Þ Ò Ø Ö Ò Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ö ÓÓ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Û Ø Ö Ö Òº Ð Ó Û Ð ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ö Ð Ø Ú Û Ò Ñ Ü Ñ Ð Ð Ø Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ø Û Ø Ö ÚÐ Ø Ò Ò Ø Ø Ø Û Ø Ö Ò Ò Ò Ø ÓÑ Û Ø Û Ò Ú Ò ÖÓØ Ø º Í Ø Ò Ð Ð Ø ØÓÙÛ ÓÒØÛÓÒ Ò Ò ÑØ Ø Û Ø Ö Ò ÓÒ Ú ÚÓÖÑ Ò Ø ÖÛ Ð Ø Û Ò ÒÒ ÑØ Ú Ò ÑÑ Ö Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÖÓØ ÖØº Þ ÓÒ Ú ÚÓÖÑ ØÓÓÒØ Ø Ø Û Ø Ö ÖÓØ ÖØ ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ø Û Ø Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û Ò Ò Ú Ò ÑÑ Öº Å Ø Ò Ö ÛÓÓÖ Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ú Û Ò Ú Ò Û Ø Ö Ò ÑÑ Ö ÓÒ Ú ÚÓÖÑ Ú Ò Ø Û Ø Ö Ú ÖÓÓÖÞ Ø Ò Ø Ò Ø ÐÐ Ò ØÓØ Ø Ø Û Ò Ò Ò Ð Ö Ð Ø ÙÒÒ Ò Þ Ò Ò Ø ÓÐÙØ Û Ò Ò Ø Ø Øº Á Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ú ÚÓÖÑ Ú Ò Ø Û Ø Ö ÖÓØ Ø ØÓÓÒØ Ö Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ò Û Þ Ò ÓÐÙØ ÖÙ ÑØ ÎÓÐ Ò ÖÒ Ø Å Þ Ø Æ ÛØÓÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ø ÖÓØ Ö Ò ÑÑ Ö Û Ø Ö ÓÒ ÒÚÓÙ Ø Ö Ð Ø Ú Û Ò Ú Ò Ø Û Ø Ö Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û Ò Ò Ú Ò ÑÑ Ö Ò Ñ Ö Ö ÒØÖ Ù Ð Ö Ø Ò ÔÖÓ Ù ÖØ Ñ Ö Ø Ö Ð Ö Ø Ò ÔÖÓ Ù Ö ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ö Ð Ø Ú ÖÓØ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ Ú Ò Ö Ò Ò Ö Ñ ÐÐ Ñ Òº ÇÔ Ú Ò Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÙÒÒ Ò Û ÓÒ ÚÖ Ò Ó Ò Ó Ø Ò Ò Ð Ð Ð Ò ÖØ Øº À Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò Å Ø ÐØ Ø ÐÓ Ð Ý Û ØØ Ò Ô Ð ÛÓÖ Ò ÓÓÖ ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÓÔ ÖÓØ Ðº Ð ÖØ Ò Ø Ò Ð Ø ÔÖ Ò Ô Å Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ð ººº ØÖ ÛÓÖ Ø Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÓÓÖ Ò ÓÓÖØ ÒØ Ö Ø ØÙ Ò Ð Ñ Òººº³ ½ º Ò Ø Ò Ñ Ò Ò Ø Ä Ò ¹ Ì ÖÖ Ò Ø Û Ø Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò Å º ÁÒ Ò Ö Ò Ö ÖÒ Ø Å Ö Ø À Ø ººº Ð Ø Ø Ò ÖØ Ö ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ú Ò Ø Ò Ò ÓÓÖØ ÒØ Ö Ø ØÙ Ò Ð Ñ Ò ÞÓ Ð ÙÛ ÓÙÛ Ò Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÑÑ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ú Òººº Ð Ñ Ò Ò ÞÛ Ö Ð Ñ Ø Ö ÖÓØ ÖØ Ö Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ú Ø Ø ÖÖ Ò ÖÓÒ Ò ÓÓÖ Ø ÒØÖÙÑ Ø ÓÒØ Ø Ø Ö Ò ÓÖ ÓÐ Ö Ø Ò Ø ÒÒ Ò Ø Ú Ò Ðº Þ Ö Ø ÞÓÖ Ø ÖÚÓÓÖ Ø Ø ÚÐ Ú Ò Ò ÓÙ ÙÐØ Ð Ò Ö Ò Ò Û Ö ÛÓÖ Ø Ð ÔØ Ñ Ø Ò ÔÖ Ø ÓÒÑ Ø Ö Ð Ò Ó Ò Ð µ³º Ï ÞÙÐÐ Ò Ø Ä Ò ¹ Ì ÖÖ Ò Ø Ð Ø Ö Ò Ø Ð ÔÖ Òº ½ º Ò Ø Ò Ò Ò Ö Ò Ö ÖÒ Ø Å Ö ¾ ÂÙÒ ½ ¾ º

29 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ¾ ÉÙ ÒØÙÑ Ý Ú Ö Ò Ð Ò Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ º½ ËØ ÖÚÓÖÑ Ò ËØ ÖÖ Ò ÓÒ Ò Ö Ò Ù Ø ÛÓÐ Ò ÚÓÓÖÒ Ñ Ð Ù Ø Û Ø Ö ØÓ Ø Òº Ð Ò ÛÓÐ ÚÓÐ Ó Ò Ø Ø Ó ÓÙ ÒÓ Ò ÙÒÒ Ò Ð Ò ÖÚ Ò ÓÒ Ò Ö Ò Ò Ø ÖÖ Ò ÚÓÖÑ Òº À Ø Ø ÓÒ Ò ÖØ ÒØ Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ø Ò Ø Ò ÞÓ Ø Ö ÚÓÐ Ó Ò Ñ Ò Ö Ú Ø Ø ÓÑ ÖÙ Ò ÛÓÐ Ø ÓÚ ÖÛ ÒÒ Òº Þ Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò Ø Ø Â Ò Ð Ò Ø ½ Ò Ö Ø λ Jeans = ( )1 πkt 2, µ Gρm Ñ Ø T Ò m Ö Ô Ø Ú Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ñ Ú Ò Ø ÑÓÐ ÙÙÐ Ò ρ Ø Ú Ò ÓÒ Ò Ö Ò ÛÓÐ º Ð Ð Ú Ò ÛÓÐ ÖÓØ Ö Ò Â Ò Ð Ò Ø Ø ÚÓÐ Ó Ò Þ Ð ¹ Ö Ú Ø Ø Ò Ò ÓÒ Ò Ö Òº Ñ Ú Ò Ò Ö Ð 4 3 πρλ3 Jeans Ò ÛÓÖ Ø Â Ò Ñ ÒÓ Ñ M J = 4 3 πρλ3 Jeans = 4π ( )3 kt 2 ρ 1 2. µ Gm À Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Þ Ò Ø M J Ò ÑØ Ð ρ ØÓ Ò ÑØº Ð Ù Ò Ò Ø Ð Ò Ø Ð Ø Ö ÖÓÓØØ λ Jeans ÓÒ Ò ÖØ Ò ÑØ Ø ØÓ º Ø Ú ÖÐ Ø Â Ò Ñ Ò Ø Ñ Ø Ð Ò Ö Ð Ò Ú Ò Ø Ò Ø Ð ÚÓÓÖ ÓÒ Ò Ø º ÁÒ Ò Ø Ò ÛÓÐ Ò Ø ÓÑÓ Ò Ò Ø Û Ö ÒÐ Ø Ñ ÒØÖ Ò ÛÓÐ Ö Ñ ÒØ ÖØ Ò Ð Ò Ö Òº ËØ ÖÖ Ò ÙÒ Ò ÒÓ Ñ Ò Ò Ö Ð Ò ÔÖÓØÓ Ø Öº Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ú Ò ÑÓÐ ÙÐ Ò ÛÓÖ Ø Ø Ò ÓÒØÖ Ø Ú Ò ÛÓÐ ÓÑ Þ Ø Ò Û ÖÑØ ¾¼ º À Ö ÓÓÖ Ò ÑØ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò Ø ØÓ Ø Ò ÓÒØÖ Ø º ÙÖ Ò ÓÒØÖ Ø Ú Ò ÔÖÓØÓ Ø Ö ÛÓÖ Ø Ø Ù Ø Ò Ð ÚÓÐ Ó Ò ÓÓ ÓÑ ØÖ Ð Ò Ú Ò Ò Ø ÓÙ Ò Ò ÒØ ÔÖÓØÓ Ø Ö Þ Ø Ö Ò Ð Ò ÞÛ ÖØ Ð Ñº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ò ÑØ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÖÔ ØÓ Ò ÒØ ÔÖÓØÓ Ø Ö Ø Ò Ò Ò Ø Þ Ø Ö Ð Øº Ò Ö Ú Ò ÓÒØÖ Ø ÚÓÐ Ó Ò ÓÑ ÔÖÓØÓ Ø Ö Ò Ð Ñ Ð Ó Ò Ò Ö Ò Ø Ð Ø Ò Ò Òº º¾ Ò Ö Ù ÓÙ Ò Ò Ø ÖÖ Ò Ú Ö ØØ Ò Ø Ò ÓÒØÖ Ø Ú Ò ÔÖÓØÓ Ø Ö ÚÓÐ Ó Ò ÓÑ ÖÒ Ù Ø Ò Ø Ö Òº À Ø Ñ Ò Ñ Ú Ò Ò Ö ÔÖÓ ÙØ Ò ÞÓÒ Ù Ú Ò Û Ø Ö ØÓ ØÓÑ Ò ØÓØ Ð ÙÑ Ò Ù Ò Ö ÖÓÒ Ú Ò Ø ÖÖ Òº ÓÒ ØÖÙØ Ú Ò Ò Ù Ö ØÓÖ ÓÔ Ö Ò Û Ð Ø ÖÓÓØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÞÓ Ò Ñ ÓÒ Ò Ñ ÒØ³ ÓÔ ÐÙ Ø Ò µ Ú Ò Ø ÔÐ Ñ º Ò ÔÐ Ñ Ñ Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ÓÒ Ú Ö 10 8 Ã ÒØ Ò Ò Ò ÚÓÐÙÑ ÓÔ ÐÓØ Ò Ø ÛÓÖ Òº Î Ø Û Ò Ò ½ Æ Ö Ö Ø ØÖÓ Ý Ù Ë Ö Â Ñ Â Ò ½ ¹ ½ µº Ï ÙÒÒ Ò ÖÓÓØØ R Ú Ò Ò Ö Ø Ò Ø Ð ÚÓÓÖ Ø ÖÚÓÖÑ Ò Ò Ö Ò Ú Ò Ò ÓÓÖ Ñ Ð Ò Ø Ò Ö 3 kt Ú Ò Ò ÑÓÐ ÙÙÐ 2 Ñ Ø Ñ m Ð Ø Ø ÐÐ Ò Ò ÓÐÙØ Û Ö Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö GmM º Î ÖÚÓÐ Ò R Ú ÖÚ Ò Ò Û Ñ M Ú Ò Ø ÓÓÖ Ö Ø ρ Ú Ù Ø ØÙØ M = 4 3 πρr3 º Ø Ð Ú ÖØ Ò ( Ò Ö Ò 3 GmM kt = 3 kt = 4 2 R 2 3 πgmρr2 9kT 2 R = 8πGρm)1 º Ò Ü Ø Ö Ò Ò ÐÙ Ò Ð Ò ÛÓÐ Ò Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ð Ú ÖØ Ú Ö Ð Ò µº ¾¼ ÇÓ ÓÒÞ ÞÓÒ Ù Ø Ò Ö Ð ÔÖÓØÓ Ø Ö ÓÒØ Ø Òº ÞÓÒ Ø Ò Ñ M = Ò Ø Ø Ù Ø ÓÒ Ú Ö Û Ø Ö ØÓ ØÓÑ Ò Ñ Ø Ð Ò Ñ Ú Ò m = 1, º Ù ÐÙÑ ÒÓ Ø Ø Ú Ò ÞÓÒ Ö Ø L = 3, Ïº Ï Ò Þ Ò Ø ÓÒØ Ò ÔÔ Ò Ò Ð Ú Ò ÞÓÒ Ð Ò v ontsnapping = 2GM R º Ò Ø Ò Ö Ú Ò Ò ØÓÓÑ Ð Ø ÞÓÒ Ö Ø Ù 1 2 mv2 ontsnapping = GM m R = Âº À ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÚÓÐ Ó Ò ÓÑ ÔÖÓØÓ Ø Ö Ò Ð Ñ Ð Ó Ò Ò Ö Ò Ø Ð Ø Ò Ò Òº

30 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ¼ Þ Ò Ò Ø ÑÓ Ð Ò Û Ò Ò ØÓ ÚÐÙ Ø Ø Ò Ñ Ò ØÓØ Ñ Ò Ø ÓÔ ÐÙ Ø Ò Ó ÓÔ ÐÙ Ø Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ð Ö º À Ø ÚÓÐÙÑ Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ú Ð ÒØ Ö Ð Ø Ð Ò Ø Þ Ò Ò Ð Ù Ñ Ø Ö Û ÒØ Ò Ö ÛÓÖ Ø Ø Ú ÖÑÓ Ò Ñ Ö ÛÓÖ Ò ÓÓ ÓÒ ØÖÙØ Ó Ø Ò ÓÒÓÚ Ö ÓÑ Ð º ÁÒ ÞÓÒ Þ Ò Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÔ ÐÓ Ø Ð Ó Û Ð Ò Ø Ð Ø ÒØº Ù Ø ÒØ ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÓÒ Ú Ö ¼¼¼ Ã Ø ÖÛ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò ÞÓÒ ÓÒ Ú Ö 1, Ã º Ã ÖÒ Ù Ú ÖÐÓÓÔØ Ö Ð Ø ØÖ Ñ Ö ØÓØ Ð Ò Ö ÔÖÓ ÙØ ÖÓÓØ ÓÑ Ø Ø ÚÓÐÙÑ ÞÓ ÖÓÓØ º Ö Ú Ø Ø Ö ÙÐ ÖØ Ø Ù ÔÖÓ Ò Ø ÖÖ Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ò Ö Ö Ò Ö Ø Ò ÐÐ Ö Ú ÖÐÓÔ Ò Ò Ø Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ø Ò ØÓØ ÚÓÐ º Ø Ð Ø Ö Ø ØÓØ ÜÔ Ò Ú Ò Ø ÒØÖ Ð Ð Ú Ò Ø Ö Û Ö ÓÓÖ Ö Ø Ò Ð Ú ÖÑ Ò ÖØ Ò Ò Ö ÔÖÓ ÙØ Ò ÑØº Ú ÒÞÓ Ð Ø Ø ÒÓÚ Ö Ø Ð ÙÖØ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ù ÓÓ ÖÙ Ò ÑØ Ò Ö ÑÔØ ÖÒ Ú Ò Ø Ö Ò Ò ÑØ Ö Ø Ò Ð Û Ö ØÓ º ÇÔ Þ Û Þ Ò Ò Ø Ö Ñ Ð Ö Ò Ö Ò Ò Ø Ð Ò Ö ÔÖÓ ÙØ Ð Ú Ö Òº À ØÞ Ð ÔÖÓ Ñ Ø ÓÓ Ø Ð Ñ Ú Ò Ø Ö ÖÓÓØ ÒØÖ Ð ÖÙ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ö Ð Ø ÓÓ Û Ö ÓÓÖ Ò Ö ÔÖÓ ÙØ ÖÓÓØ º Ø Ø ÓÓ ØÓØ ÚÓÐ Ø ÞÛ Ö Ø ÖÖ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÖØ Ð Ú Ò ÙÙÖ Òº Î Ö ÓÒØ Ò Ú Ò ÖÒÖ Ø ÓÒ Ò Ö ÔÖÓ ÙØ Ò ÞÓÒ Ò Ø Ú Ö Ð Ö ÛÓÖ Ò Ö Û Ò ÖÓÒ Ò Ò Ö Ð Ó Ú Ð Ò Ö ÙÖ Ò Ð Ò Ö Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù ¹ Ö Òº ÓÐÓ ØÙ ØÓÒ Ò Ò Ø ÞÓÒ ÓÒ Ú Ö Þ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ø ÚÓÓÖ Ò Ô Ö Ó Ú Ò Ñ Ò Ø Ò 10 9 Öº Ò ØÓÒ Û Ò Ú Ò Ö Ø Ò ÖÓÔ Û Þ Ò Ø Ñ Ø Ù Ú Ò Ú Ö Û Ø Ö ØÓ ØÓÑ Ò ØÓØ Ò 4 À ¹ ØÓÓÑ Ö ÓÒ Ú Ö Å Î»ÒÙÐ ÓÒ Ò Ò Ö ÚÖ ÓÑØº Ø ÔÖÓ Ð Ú ÖØ Ñ Ð Ó Ò Ò Ö Ò Ñ Ö Ò Ö ÓÔ Ò Ò Ñ Ö Ø º Ö Ð Ø Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ù Ò Ø ÓÔØÖ Ò Ò Ø ÖÖ Ò ÓÑ Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ú Ò ÔÖÓØÓÒ Ò ÓÒÚÓÐ Ó Ò ÓÑ ÓÙÐÓÑ ØÓØ Ò Ø ÓÚ ÖÛ ÒÒ Òº À Ø ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò ØÙÒÒ Ð Ø Ñ Ø Ö Ð Ö Ø ÓÓ Ð Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÑÓ Ð º Å Ò Ò ÒÙ Ô ¹ Ö Ø Ú Ö ÒØÛÓÓÖ Ð ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ö Ò Ö ÔÖÓ ÙØ Ú Ø Ø ÐÐ Òº Ö Ø ÕÙ ÒØ Û Ö ÚÓÓÖ Ø Ð Û ÞÓ Ò Ñ ÓÓÐ ØÓ Ó ÆÇ ÝÐÙ Û Ú Ò Ò º Û Ö Ò 12 Ò 4p ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÛÓÖ Ò Ò Ò α¹ ÐØ Ò 12 º ÆÇ¹ÝÐÙ Ú ÖÐÓÓÔØ Ð ÚÓÐ Ø 12 C p 13 N γ, 13 N 13 C e + ν, 13 C p 14 N γ, 14 N p 15 O γ, 15 O 15 N e + ν, 15 N p 12 C 4 He. ÁÒ Þ ÕÙ ÒØ ÙÒ ÖØ Ø ÓÓÐ ØÓ Ð Ò Ø ÐÝ ØÓÖº À Ø ÓÒ Ö Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ñ Ö Ø ÛÓÖ Ø Ò Ø Ú Ö ÖÙ Øº ØÓØ Ð Ö Ø Ò Ù Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð ¼µ 4p 4 He. ½µ ØÓØ Ð Ò Ö Q Ò Þ Ö Ø ÚÖ ÓÑØ Ò ÒÚÓÙ ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø Ò Ñ ³ Ú E = mc 2 µº Ö Ð Ø Q(4p 4 He) = 26,7 MeV. ¾µ Î Ò Þ Ò Ö ÛÓÖ Ø ÓÒ Ú Ö ¾ Å Î ÖÙ Ø ÓÑ Ø Ö Ø Ú Ö ØØ Ò Ö Ø ÛÓÖ Ø ÚÓ Ö ÓÓÖ Ò ÙØÖ ÒÓ³ º ÆÇ¹ÝÐÙ ÓÑ Ò ÒØ Ò Ø Ø ÖÖ Òº ÁÒ ÓÙ Ø ÖÖ Ò ÞÓ Ð ÞÓÒ

31 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ½ pp¹ýðù Ð Ò Ö Öº ÒØ Ð Ø ÔÔ Ò Ò pp¹ýðù Þ Ò pp de + ν of dp 3 Heγ ppe dν Ò µ 3 He 3 He 4 He 2p, µ Ó 3 He 4 He 7 Be γ. µ ÁÒ Ú Ö Ð Ò µ Ö Ø 4p 4 He + 2e + + 2ν Ö Ö Ð Ö º ÁÒ Ú Ö Ð Ò µ ÛÓÖ Ø 7 ÚÓÖÑ Ò Ø Ð Ø ØÓØ 4 À Ú ØÛ ÕÙ ÒØ 7 Be e 7 Li ν; 7 Li p 2 4 He, µ Ó 7 Be p 8 B γ; 8 B 8 Be e + ν; 8 Be 2 4 He. µ pp¹ýðù Ø Þ Ð Ò Ö ÓÔ Ö Ò Ø Ð ÆÇ¹ÝÐÙ º ÇÑ Ö Ø Ò Ð Ò Ø ÙÙÖ ÆÇ Ò pp¹ýðù ÚÓÓÖ Ø Ù ÔÖÓ Ú Ò Ò Ø Öº pp¹ýðù ÓÑ Ò ÒØ Ò ÞÓÒ ÆÇ¹ÝÐÙ Ú ÖÞÓÖ Ø Ð Ø ½ ± Ú Ò Ò Ö ÔÖÓ ÙØ Ò ÞÓÒµº ÆÇ¹ÝÐÙ Ð Ò Ö Ò Ñ Ú Û Ø Ö ØÓ ¹ Ö Ò Ò Ø ÖÖ Ò Ñ Ø Ò Ó ÒØÖ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÞÓ Ð Ë Ö Ù º ÙÒÒ Ò Ö Ò Ò Þ Ò Ö ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò ÓÓÖØ Ò ÒÔÙØ ÒÓ º Ì Ò Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ¹ Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ø ÒÛ Ò Ú Ò ÞÓÒ ÒØ Ò Ø Þ Òº À Ø ÓÖ Ò Ð Û Ö Ø Ø ÖÙ ØÓØ Ò ØÓÒ Ò Ú Ö Ø Ö Ú Ö Ð Ò ØÖÓÙÛ Ö Ø Þ Ò ØÖÓÒÓÑ Ò Þ Ò Ú Ò Ñ Ò Ò Ø

32 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ¾ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ø ÒÛ Ò Ú Ò ÞÓÒ ÓÒ Ú Ö ½ Ñ Ð Ó Ò Ã µº Ì Ò ØÛ Ò Ò Û Ö Þ Ñ ÓÓÖ Ò Ò ¾½ ÚÓÓÖ ÒÓ Ñ Ö Ø Ò Ø Þ Ò ÚÓÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ò ÓÖ Ú Ò ½ Ñ Ð Ó Ò Ãº Þ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò Ø Ò Ö Ò Ú Ò Ð Ø Ò Ð Î Ò ÓÖ Ò Û Ö Þ Ñ ÓÓÖ Ò Ò Þ Ò Ù Ø ÖÑ Ø Ð Òº Ú Ö Ð Ò Ò ØÓÒ Ò Ø Ö ØÛ ØÝÔ Ò Ö Ø Ò ÖÓÐ Ô Ð Ò ÖÓÒ Ò ÞÛ Ö Ø ÐÐ Ö Ø Ñ Ø Ò ÙØÖ ÒÓ³ Þ Ò ÞÛ µº Ñ Ð Ð Ú Ò ÙÙÖ Ú Ò Ø Ú ÖÚ Ð 8 B 8 Be e + ν Ñ Ø Òº ØÛ ÞÛ Ö Ø Ò Ú Ö Ð Ò µ Ú ÖÐÓÔ Ò Ø Ö ÞÓ ØÖ Ø Þ Ò Ø Ò Ø Ð ÓÖ ØÓÖ ÙÑ Ñ Ø Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Þ ÛÓÖ Ò Ö Ò ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò ÚÓÓÖ ÞÛ Û ÐÛ Ö Ò º Ì Ò Ò Û Ö Þ Ñ ÓÓÖ Ò Ò ÚÓÓÖ ÖÓÒ Ö Ø Ø Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Û Ö Ò Ó Ö Ò Ö Ò Ñ Ø Ò Þ Ò ÜØÖ ÔÓÐ Ö Ò Ö Ò Ð Îº ÜÔ Ö Ñ ÒØ ¹ ØÓÖ Ò ÞÓ Ð Ïº º ÓÛÐ Ö Ú Ò ÐØ µ Ò Ú Ö Ø ÓÖ Ø Ò Þ Ò Ú Ò Ñ Ò Ò Ø ÙÒ ØØ Ò Ò Ø Ð Þ Ò Ò Ø ÞÓÛ Ð ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò Ø ÖÖ Ò Ð ÖÒ Ý Ô Ø Ò Ú Ò ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÞÓÒÒ ¹ Ò Ö Ó Ö Ô Ò Þ Òº º ÆÙÐ Ó ÝÒØ Ò Ø ÖÖ Ò Î Ö ÐÐ Ò Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ò Þ Ò ÚÓÖÑ Ø Ò Ò º Þ ÞÓ Ò Ñ ÔÖ ÑÓÖ Ð ÔÖÓ ÙØ Ò Ø ÑÓ Ð ÚÓÓÖ ÞÛ Ö Ð Ñ ÒØ Ò ÓÑ Ø Ò ÙØÖÓÒ¹ Ó ÔÖÓØÓÒÚ Ò Ø Ú Ò 4 À Ò Ø ØÓØ Ø Ð ÖÒ Ò Ð Ø Ò Ú ÒÛ Ø ØÖ Ú ÖÐÓÓÔ Ú Ò Ò Ö Ö Ø º Æ ÙØÖÓÒÚ Ò Ø ¹ ÚÓÓÖ Ð Ð Ø ØÓØ 5 À Ø Ò Ò Ø Ð Ò Û Ö Ö Ø Ú ÖÚ ÐØ Ò Ö 4 À º ÇÓ Ú Ò Ø Ú Ò α¹ ÐØ Ú 4 He 4 He 8 Be ÚÓÖÑØ ÐÐ Ò Ø Ò Ø Ð 8 Ø Û Ö ÓÒÑ ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ò ØÛ Ð ÐØ º Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ð ØÓØ ÓÒ Ú Ö Ã ÓÒ Ú Ö Ò Ð ÙÙÖ Ò Ö ÓÓÖØ ØÓÔØ ÒÙÐ Ó ÝÒØ ÓÑ Ø ÓÙÐÓÑ Ö ÔÙÐ Ú Ö Ö ÖÒÖ Ø Ú Ö Ò ÖØº ÓÒ ÒØ Ú Ò Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò ÚÓÖÑ Ò Ò Þ Ò ÒÙ Ò ÚÖÓÖ Ò ÞÓ Ø ÓÒ ÒØ Ú Ò Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ò d 3À 4À Ò 7 Ä ÞÓ Ð Ø Ò¹ ÛÓÓÖ ÛÓÖ Ò Û Ö ÒÓÑ Ò ÒÓ Ø ØÓ Ø Ò Ú Ò Ò ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ú Ò Ò Ð ÙÙÖ ÓÙ Ö Ø Ö Òº Ä Ø ÖÒ Ò ÙÒÒ Ò ÓÓ Ò Ø ÖÖ Ò ÔÖÓ Ù Ö ÛÓÖ Òº ÁÒ Ø Ú Ð Ú Ò 4 À Ú Ö Ð ÖØ Ø ÔÖÓ ÙØ ÔÖÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ú Ö ½¼ ± Ú Ò Û Ö ÒÓÑ Ò ÓÒ ÒØ Ú Ò Ø Ð Ñ ÒØº ÙØ Ö ÙÑ Ò Ð Ð Ñ Ð Ò Ø Ò Ò ÒØ Ó Ú Ð Ò Ò Ø ÖÖ Ò ÔÖÓ Ù Ö ÛÓÖ Ò ÓÑ Ø Ø Ö Ð Ó Ø Ò Ö Ø Ò ÞÛ Ö Ð Ñ ÒØ Ò ÓÒÚ ÖØ Ö ÛÓÖ Øº Þ ÓÒÚ Ö Ô Ö Ø Ù ÖÝÓÒ Ø Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ØÓØ Ñ Ò Ö Ò ÓÒ Ú Ö »Ñ 3 º ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ð Ø ÙÑ Ò Ø ÖÖ Ò ÛÓÖ Ø ÔÓ Ø ÒÚÐÓ ÓÓÖ Ò ÙØÖ ÒÓ ÒØ Ö Ø Ñ Ø 4 À º Þ Ö Ø ÔÖÓ Ù Ö Ò 3 À 3À ÔÖÓØÓÒ Ò Ò Ò ÙØÖÓÒ Òº Ò Ú Ò Ù Ò Ú Ò Ø Ø Ò Ö ÑÓ Ð Ö Ú ÖÑÓ Ò ÓÑ ÓÒ ÒØ Ú Ò Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Þ Ð Ð Ú Ö ÐÐ Ò Ò ØÓÖ Ñ Ð Ö Ú Ò Ð Öº Ø Ö Ñ Ø Ò ÓÒ ÒØ Ú Ò ÞÛ Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ò Ø Ú Ö Ð Ö ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ò ÒÙÐ Ó ÝÒØ º ÃÐ Ö Ð Ð Û Ö Ò ÞÛ Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ò Ð Ø Ö Ø ÙÑ ÔÖÓ Ù Ö Ò Ø Ø ÖÚÓÖÑ Ò Ö ÔÐ Ø ÚÓÒ Ò º ÆÙÐ Ó ÝÒØ Ú Ö Ð Ö Ò Ú Ò ÓÒ ÒØ Ú Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ù ÓÒÐÓ Ñ Ð Ú Ö ÓÒ Ò Ñ Ø Ø Ö ØÖÙØÙÙÖ Ò Ø Ö ÚÓÐÙØ º ÖÙ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ò Ø Ö Þ Ò ÑÑ Ò º ÁÒ ÞÓÒ ÚÓÓÖ Ð ÖÙ Ò Ø ÒØÖÙÑ Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ãº ØÓÑ Ò Þ Ò ÓÒ Ö Þ ÓÑ Ø Ò Ò Ò ÚÓÐÐ ÓÒ Ö Û Ö ÓÓÖ Ö Ò ÔÐ Ñ Ú Ò ÚÖ Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ò Ø ØÓÓÑ ÖÒ Ò ÓÒØ Ø Øº ÒØ ÖÒ ÖÙ ÛÓÖ Ø Ò Ø Ò ÓÙ Ò ÓÓÖ ÖÒÖ Ø ÚÓÓÖ ØÖ Ð Ò Ò Ö Ú Ò Ø Ö ÞÓÖ Òº ÓÐ Ò Þ Ö Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÞÙÐÐ Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ò ÒØ ÖÒ ÖÙ Ð Ö Ò Ð Ò ÓÙ Ò Ò Ø Ö Ò Ò Ú ÒÛ Ø ØÓ Ø Ò º Ï Ø ÙÖØ Ö Ø Ö Ð Ö Ò ØÓ ¾½ Û Ö Þ Ñ ÓÓÖ Ò Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Û Ö ÒÐ Ø Ò Ô Ð Û ÐÛ Ö Ò ØÙ Ò ÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ø ÚÓÓÖ Ð Ú Ö ØÖÓÓ Ò Ó Ò ÖÒÖ Ø µº Þ Û Ö ÒÐ Ú Ø Ö Ò Ð Ú Ò Ò Ö Ú Ò ÐØ Ó Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ø Ö Ø Ø ÛÓÖ Ø ÓØ Òº Û Ö Þ Ñ ÓÓÖ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ù Ñ Ø σ Ò Ø Ñ Ò Ú Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ø º

33 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ÓÔ ÖÙ Ø Ï Ø ÙÖØ Ö Ñ Ø ÓÒÞ ÞÓÒ Ð ÐÐ Û Ø Ö ØÓ ÓÔ ÖÙ Ø Ò pp¹ýðù ØÓÔØ Ø Ö Þ Ð Ò ÓÒ Ö Ö Ú Ø Ø Ñ ÒØÖ Ò Û Ö ÓÓÖ ÒØÖ Ð ÖÙ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÞÙÐÐ Ò ØÓ Ò Ñ Òº Ó Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÞÙÐÐ Ò Ò ÙÛ ÖÒÖ Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ò Ò Ò ÙÛ Ú ÒÛ Ø ØÓ Ø Ò ÛÓÖ Ø Ö Øº ÇÒ Ö ÓÑ Ø Ò Ò ÞÙÐÐ Ò Ò ÙÛ Ð Ñ ÒØ Ò ÛÓÖ Ò ÚÓÖÑ º Ö Þ Ò Ù Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ú Ò ÖÒ Ù Ò ÓÒØÖ Ø º ÁÒ ÐÐ Ø ÞÙÐÐ Ò ÞÛ Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ö ÛÓÖ Òº º Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ú Ò Ö Ò Ò Ú Ò Ñ Ò Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ Ê ÙÐØ Ø Ò Ú Ò Ö Ò Ò Ú Ò Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ø Ö Ñ Ø Ò Ñ Ú Ò ½ ÞÓÒÒ Ñ ³ º ÓÒ ÒØ Ú Ò Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò ÛÓÖ Ò Ú Ò Ð ÙÒØ Ú Ò Ñ Ò ÞÓÒÒ Ñ ³ µº Ú Ò Ò Ø Ö Ñ Ø Ò Ñ Ú Ò ½ ÞÓÒÒ Ñ ³ º Þ Ø Ö Ú Ò Ø Þ Ò Ø Ò Ú Ò Ú Ö Ø Ú Ò Ú Ö Ö Ò Ò º Ò Ö Ð Ø Ö Þ Ð Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ¹ ÓÒ Ö Ò Û ÖÒ Þ Þ ØÓØ Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Þ Ð ÓÒØÛ Ð Òº ÇÓ ÚÓÓÖ Ö Ò Ò Ú Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ¹ Ø Ò Ö Ò ÙÛ ÙÖ ÑÓ ÐÐ Òº ÙÙÖ ½¼ ØÓÓÒØ Ö ÙÐØ Ø Ò Ú Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ò º ÙÙÖ ½¼ Ê ÙÐØ Ø Ú Ò Ò ÓÑÔÙØ Ö ÑÙÐ Ø Ú Ò Ò ÙÔ ÖÒÓÚ º Ñ Ú Ö Ð Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò Ð ÙÒØ Ú Ò Ø ÚÓÓÖ Ö Ø ¼ ÓÒ Ú Ò Ø ÔÖÓ º ÚÓÐ Ò Ð Ò Ö Ø Ô Ò ÚÓÖÑ Ò Ú Ò 4 À ÔÖÓ ÙØ Ú Ò 12 º À Ø 8 ÚÓÖÑ Ò Ö Ø 4 He 4 He 8 Be Ò Ø Ðº Ø Ö Ò Ò 4 À Ø ÓÓ ÒÓ ÙÒÒ Ò Ñ Ø Ö Ó Ú Ð Ò 8 ÒÛ Þ Þ Ò Ò Ú ÒÛ Ø Ö Ø 4 He 4 He 8 Be. µ

34 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Explosieve koolstof verbranding Massa abundantie ÙÙÖ ½½ Ê Ù Ú Ò ÓÓÐ ØÓ Ú Ö Ö Ò Ò Ò Ò ÜÔÐÓ Ö Ò Ø Öº Ö Ð Ø ÐÐ Ò ÞÓÒÒ ¹ Ø Ð Ð ÓÒ ÒØ ÚÓÓÖ Ø ÖÛ Ð Ö Ò Û Ö Ò ÓÓÖ ÖÙ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö ÛÓÖ Òº Ð Ò Ò Ú Ö Ò Ò Ø Ð ÓØÓÔ Ò Ú Ò Ò Ú Ò Ð Ñ ÒØº Ò ÒÓÑ Ò Ô Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ã Ò Ø 10 8»Ñ 3 º Î Ò Ø Ú Ò Ò Ð ÐØ Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò 4 He 8 Be 12 C, µ Û Ö ÓÓÖ ÓÓÐ ØÓ ÚÓÖÑ ÛÓÖ Øº Þ Ú Ò Ø¹Ö Ø ÛÓÖ Ø Ú Ö Ø Ö Ø ÓÑ Ø ÚÓÖÑ Ò Ú Ò 12 ÚÓÓÖÒ Ñ Ð Ú ÖÐÓÓÔØ Ú Ò Ö ÓÒ ÒØ Ñ Ø Ò Ò Ð Ò ØÓ Ø Ò 12 C º ÚÓÖÑ Ò Ú Ò 16 Ç Ú Ò Ø ÔÐ Ø Ú 4 He 12 C 16 O γ. ¼µ ÓÚ Ò Ø Ò ÕÙ ÒØ Ò Ö Ð ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ ÞÛ Ö Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÖÛ Ð ÔÖÓØÓÒ¹ Ò Ò Ù¹ ØÖÓÒÚ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ò ÙÒÒ Ò ÚÓÖÑ Ò ØÙ Ò Ð ¹ Ø ÒÙÐ Ò Ð Òº Ù Ö ¹ Ø ÞÓ Ð ÓÓÐ ØÓ Ú Ö Ö Ò Ò Þ Ò Ú Ò Ú Ø Ð Ð Ò ÓÑ Ö Ò Ô Ø ÙÒÒ Ò Ú Ò Ú Ò ÓÒ ÒØ Ú Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ø 20 A 32º Ö Ø 12 C 12 C 20 Ne α 23 Na p 23 Mg n ½µ Ú Ö Ò Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ó Ö Ò ÓÒ Ú Ö 10 9 Ãº Ö Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÓÑ Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ò Ò Ð Þ Ö Ñ Ú Ø ÖÖ Ò Ò Ñ Ò Ò Ø Ø ÓÓÐ ØÓ Ú Ö Ö Ò Ò ÚÓÓÖÒ Ñ Ð ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ò Ñ Ú ÞÓ Ò Ñ ÜÔÐÓ Ö Ò Ø ÖÖ Òº Å Ò Ò ÑØ Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò ÜÔÐÓ Ö Ò

35 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Ø ÖÖ Ò ÓÒ Ú Ö Ã º ÙÙÖ ½½ Ð Ø Þ Ò Ø ÓÒ ÒØ Ú Ò ÔÖÓ Ù Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ó ÓÚ Ö Ò ÓÑØ Ñ Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ú Ò Ø ÖÑÓ ÐÐ Òº ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ò ÞÙÙÖ¹ ØÓ Ú Ö Ö Ò Ò 16 O 16 O 28 Si α 31 P p 31 S n ¾µ Ö Ò Ô Ú Ò Ú Ò ÓÒ ÒØ Ú Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ø 32 A 42 Ñ Ö Ú Ö Ø Ò Ø ÑÔ ¹ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ÓÒ Ú Ö 3, Ãº Î Ö Ö Ò Ò Ú Ò Ð ÙÑ Ö Ø ØÓØ Ú Ö Ð Ö Ò Ú Ò ÚÓÖÑ Ò Ú Ò Ú Ð Ð Ñ ÒØ Ò ØÓØ Æ º Ò Ò ÙÛ Ô Ø ÓÑØ Ò ÓÖ Ð ÚÓÖÑ Ò Ú Ò Þ Ö Ö Ø ÛÓÖ Øº Ò Ò Ò Ö Ô Ö ÒÙÐ ÓÒ Ø Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ò ÙÙÖØ Ú Ò ¹ ÖÓ Ôº ÎÓÓÖ ØÓÓÑ Ø ÐÐ Ò ÖÓØ Ö Ò Ø Ú Ò Þ Ö Ò ÑØ Ò Ò Ò Ö Ô Ö ÒÙÐ ÓÒ º ÇÑ Ö Ò Ò ¹ ÖÓ Ô Ò Ø Ò Ø Ó Ò Ð Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ö Ò Ò ØÓÔØ Ð Þ Ö ÚÓÖÑ º Ø Ú Ö Ð ÖØ ÓÓ Û ÖÓÑ Ð Ñ ÒØ Ò Ò ÙÙÖØ Ú Ò Ñ Ö ÓÒ ÒØ Þ Ò Ò Ò Ö º Ð Ñ ÒØ Ò ÞÛ Ö Ö Ò Þ Ö Þ Ò Û Ö ÒÐ ÚÓÖÑ ÓÓÖ Ò ÙØÖÓÒ¹ Ò ÔÖÓØÓÒÚ Ò Ø Ö Ø º Þ ÔÖÓ Ò Ú Ò Ò ÔÐ Ø ÞÓÐ Ò Ø Ö Ö Ò Ø Ó Û ÒÒ Ö ÜÔÐÓ ÔÖÓØÓÒ Ò Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò ÔÖÓ Ù Ö Òº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ÖÒÖ Ø Ò Ö Ú Ò Ø Ö Ð Ú Ö Ò ØÓÔÔ Ò ØÓÔØ ÓÓ ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÞÛ Ö Ð Ñ ÒØ Òº º ËØ Ò Ö ÞÓÒÒ ÑÓ Ð À Ø Ø Ò Ö ÞÓÒÒ ÑÓ Ð Ø Ò Ö ÓÐ Ö ÑÓ Ð ¹ ËËÅµ Ò Ú Ò Ñ Ø ÓÑÔÐ Ø Ò Ù¹ ÚÓÐÐ Ø ÓÖ Ò Ú Ò ÑÓ ÖÒ Ø ÖÖ Ò ÙÒ º Ï ÞÙÐÐ Ò Ø Ò Ø Ö Ø ÑÓ Ð Ò ÓÒ ÕÙ ÒØ ÖÚ Ò ÓÖØ ÔÖ Òº À Ø ËËÅ Ö ÓÔ Ú Ö ÒÒ Ñ Ò ÞÓÒ Ö ÝÑÑ ØÖ º ÞÓÒ Ò Ý ÖÓ Ø Ø Ú ÒÛ Øº Ò Ö ÛÓÖ Ø ÓÚ Ö Ö Ø ÓÓÖ ØÖ Ð Ò Ò ÓÒÚ Ø Ð ÓÓ ÓÓÖ Ò ÙØÖ ÒÓ³ º Ù Ú Ò Û Ø Ö ØÓ ØÓØ Ð ÙÑ Ò Ö ÖÓÒº ÒØÖ Ô Ø Ð Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÓÔ ÕÙ ØÓÖ Ú Ò ÞÓÒ a = v 2 /R Ñ» 2 Ò Ø Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö Ö Ú Ø Ø Ú Ò g = GM/R Ñ» 2 º Ë Ö ÝÑÑ ØÖ Ù Ò Ó ÒÒ Ñ Ò Û ÑÓ Ò ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÞÓ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò ÖÙ Ö Ú Ò Ð ÙÒØ Ú Ò Ø Ò ØÓØ Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò ÞÓÒ ÚÓÓÖ Ð T(r) Ò P(r)º ÁÒ Ò ÐÓ Ð ÓÑÔÓ Ø ÚÓÓÖÒ Ñ Ð Û Ø Ö ØÓ Ò Ð ÙÑµ Ò Ò Ú Ò Þ ØÛ ÖÓÓØ Ò ÓÓ Ø º Ð Û ÒÒ Ñ Ò Ø ÖÙ ¾¾ ÓÑ Ò ÒØ ÓÚ Ö ØÖ Ð Ò ÖÙ Ò ÙÒÒ Ò Û Þ Ð Ø Ø Ú ÖÛ ÖÐÓÞ Òº Ö Ð Ø P gas = ρkt µ Ò P straling = 4σT4 3c Ñ Ø ρ Ø µ ÐØ Ñ 3, ÚÓÓÖ Û Ø Ö ØÓ ÑÓÐ ÙÐ Òµ σ ËØ Ò¹ ÓÐØÞÑ ÒÒ ÓÒ Ø ÒØ Ò c Ð Ø Ò Ð º Ô Ò ÞÓÒ Ö Ø Ø ρ 10 4»Ñ 3 Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ T 10 7 Ã Ò ÓÒ Ö Þ ÓÒ Ø Ú Ò Ò Û P gas 1, Æ»Ñ 2 Ò P straling 2, Æ»Ñ 2 º Ï Þ Ò Ø ØÖ Ð Ò ÖÙ Ò Ö Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö ¾ º ¾¾ Ï Ú Ò Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ ÖÙ Ù Ø Ð Û Ø PV = NkT Ñ Ø P ÖÙ V Ø ÚÓÐÙÑ N Ø ÒØ Ð ÑÓÐ ÙÐ Ò k ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò ÓÐØÞÑ ÒÒ Ò T Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖº ÇÑ Ø ÐØ Ø N = ρ V µ Ñ Ø ρ Ñ Ø µ Ø ÑÓÐ ÙÐ Ö Ñ µ = 2m p ÚÓÓÖ Û Ø Ö ØÓ ÑÓÐ ÙÐ Ò À 2µ Ò m p Ñ Ú Ò Ø ÔÖÓØÓÒ ÙÒÒ Ò Û ÖÙ ÓÓ Ö Ú Ò Ð P = ρkt º ¾ µ ÎÓÓÖ Ñ Ú Ø ÖÖ Ò Ñ Ø Ó Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò ØÖ Ð Ò ÖÙ Û Ð Ò Ð Ò Ö ÖÓÐ Ô Ð Òº

36 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ druk gravitatie ÙÙÖ ½¾ ÁÒ ÞÓÒ Ö Ú ÒÛ Ø ØÙ Ò Ö Ú Ø Ø Ò ÖÙ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ò Ö ÓÔ Û Ø ÓÓÖ ÖÒ Ù º Ê Ø ÓÔ Ò Ð Ñ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ø A Ò Ø h Ö Ý ÖÓ Ø Ø Ú ÒÛ Ø ØÙ Ò Ö Ø Òº Ï Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÚÓÓÖ Ø ÞÓÒ ÓÔ ÓÙÛ Ù Ø Ö ÐÐ Òº ÇÔ Ó Ñ Ú Ò Ò ÚÓÐÙÑ Ð Ñ ÒØ Û Ö Ø Ò Ö Ø Ø Ö ÖÓÓØØ F bodem = P(r)A Ø ÖÛ Ð ÓÔ ØÓÔ Ò Ö Ø Û Ö Ø Ø Ö ÖÓÓØØ F top = (P + P)Aº À Ø Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ø Þ Ö Ø Ò Ö Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò ÞÓÒ Û Øº Î Ö Ö Û Ö Ø Ö ÒÓ Ö Ú Ø Ø ÓÔ Ñ Ú Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ð Ñ ÒØº À Ø Û Ø Ð Ò F gravitatie = mg Ñ Ø m Ñ Ú Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ò g ÐÓ Ð Ö Ú Ø Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò º Ï Ú Ò Ò F gravitatie = ρahgº ÐÓ Ð Ö Ú Ø Ø ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ g = GM I r 2 Û Ö M I ØÓØ Ð Ñ ÒÒ Ò ÓÐ Ö Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ö Ðº Þ Ö Ø Ò Þ Ò Ò Ý ÖÓ Ø Ø Ú ÒÛ Ø P(r)A (P + P)A ρah GM I = 0 Ò Ö Ð Ø ÚÓÓÖ r 2 Ò ÙÒÒ Ö Ð Ñ Ø P dp Ò r = h drµ P (P + dp) GM Iρdr r 2 = 0 dp dr = GM Iρ r 2 = GM IPµ ktr 2. µ Ð Ö Ò ÚÓÓÖÛ Ö Ò Û Ø ÖÙ ÒÙÐ ÑÓ Ø Þ Ò Ò Ö Ò Ú Ò Ø Ö Û Ö ρ 0º Ñ ÒÒ Ò ÓÐ Ö Ø M I Ò Ö Ð Ð Ú ÖØ Ò Ö dm I = 4πr 2 ρdr = 4πr2 Pµ dr dm I kt dr = 4πr2 Pµ. µ kt À Ö Ð Ø Ö Ò ÚÓÓÖÛ Ö Ø M I = 0 Ð r = 0º Î Ö Ö Ð Ø Ø M I = M Ð r = R ØÖ Ð Ú Ò Ø Öº ÁÒ Ú ÒÛ Ø ØÓ Ø Ò Ò Ö ÒÒ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ð Ñ ÒØ ØÙ Ò r Ò r + dr ÓÒ Ø ÒØº ØÖ Ð Ò ÙÜ ÓÓÖ Ø Ù Ø ÒÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ð Ò ÓÑ Ú Ò ÙÜ ÓÓÖ Ø ÒÒ Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ø Ú ÖÑÓ Ò Ø ÒÒ Ò Ö Ð ÛÓÖ Ø Ò Ö Ö º Ø Ø L + dl = L + 4πr 2 ǫρdr dl dr = 4πr2 ǫρ = 4πr2 Pµǫ, µ kt Ñ Ø L ÐÙÑ ÒÓ Ø Ø Ó Û Ð ÙÜ Ú Ò Ù Ø ØÖ Ð Ò Ö Ô Ö Ø Ò Ò ǫ ÙÒØ Ú Ò ÒØÖ Ò Ò Ö Ò Ö Ø Ò Ï» µº Ò Ó Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Þ Ð Ö Ñ Ö Ò Ö Ò Ø Ö ÛÓÖ Ò Ò Ö Ö º Ð Ö Ò ÚÓÓÖÛ Ö Ò ÖÙ Ò Û L = 0 Ò r = 0 Ø ÖÛ Ð ÚÓÓÖ r = R Û ÐÙÑ ÒÓ Ø Ø L = L Ú Ò ÞÓÒ Ò Ò Ø Ú Ò Òº Ì Ò ÐÓØØ Ø ÐÐ Ò Û Ò Ú Ö Ð Ò ÓÔ ÚÓÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖÚ Ö Ð Ò Ú Ò ÞÓÒº À ÖØÓ ÓÙÛ Ò Û ÒØ Ò Ø Ø Â» Ñ 2 µµ ÓÓÖ Ò Ö Ðº ËØÖ Ð Ò Ô ÖØ Þ Ð

37 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Ø ÖÛ Ð Ö ÓÓ ØÖ Ð Ò ÓÓÖ ÖÒ Ù Ò Ð Ò ÛÓÖ Ò Ò Ö Ö º Ð Ñ Ð ÒØ Ò Ø Ø Ú Ò ØÖ Ð Ò ÒÒ Ò Ð Ð Ò I Ò Ò Ö ÓÖ Ö ÛÓÖ Ø Ô Ö Ø Ò ÚÓÓÖ ØÖ Ð Ò Ð Ô ÖØ Ð Ò Iκρdr Ñ Ø κ ÓÔ Ø Ø Ò Ö Ð κ = ζ ρ Ñ Ø ζ Ð Ò Ö ÓÖÔØ Ó ÒØº ÓÖ Ö ÒØ Ò Ø Ø Ö Ø di = ζidr = κρidrº ÒØ Ò Ø Ø Ú Ò ØÖ Ð Ò Ð Ô ÖØ Ö ¹ Ð Ø Ö Ò ÐÓ Ð ÐÙÑ ÒÓ Ø Ø ÚÓÐ Ò I = L º Î ÒÛ Ö Ð Ø ØÙ Ò Ò Ö Eµ Ò 4πr 2 ÑÔÙÐ p ÚÓÓÖ ØÖ Ð Ò Ð Ø E = pcµ ÙÒÒ Ò Û ÑÔÙÐ Ú Ö Ò Ö Ò Ô Ö Ø Ò Ú Ò ØÖ Ð Ò ØÙ Ò ÒÒ Ò¹ Ò Ù Ø ÒÓÔÔ ÖÚÐ Ö Ú Ò Ð dp = Iκρ Lκρ dr = c 4πr 2 c dr. ÑÔÙÐ Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ú ÖØ ÒÛÓÓÖ Ø Ò Ö ØÚ Ö Ð Ô Ö Ò Ú Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ø Ó ØÖ Ð Ò ÖÙ ØÙ Ò ÒÒ Ò¹ Ò Ù Ø ÒÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ø Ð Ñ ÒØº Ö Ð Ø µ dp straling dr = Lκρ 4πr 2 c. µ ÇÑ Ø ØÖ Ð Ò ÖÙ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ P straling = 4σT4 3c ÙÒÒ Ò Û Ø Ö ÒØ Ö Ò Ò Ö r Ò Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÒÚÙÐÐ Òº Ï Ú Ò Ò Ò dp straling dr = 16σT 3 3c dt dr dt dr = 3Lκρ 64πσT 3 r 2. ÎÓÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ñ Ò Û Ð Ö Ò ÚÓÓÖÛ Ö T = T oppervlak Ð r = R º Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ÓØÓ Ö Þ Ø Ö Ù Ø Ò ÒØ Ú Ò Ø Öº µ ÙÙÖ ½ Ê ÙÐØ Ø Ò Ú Ò Ø Ø Ò Ö ÑÓ Ð ÚÓÓÖ ÞÓÒº ÓÚ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ø¹ Ú Ö Ð Ò ÓÒ Ö Ñ Ö Ø Ú Ò Ú Ö Ð Ñ ÒØ Òº ÓÚ Ò Ø Ò Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò ÙÒÒ Ò Ø Ö Ø ÛÓÖ Ò ÓÔ ÐÓ Ø Ò º ½ Ø Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò ÞÓÒº Ï Þ Ò Ø Ò Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò ÞÓÒ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ½ Ñ Ð Ó Ò Ö Ò ÛÓÖ Ø Ö Øº

38 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Ï ÙÒÒ Ò Ò ÚÓ Ð Ö Ò ÚÓÓÖ Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò Ñ Mµ ÖÓÓØØ Rµ Ò ÖÙ P C µ Ò Ø ÒÒ Ò Ø Ú Ò Ø Öº À ÖÚÓÓÖ ÖÙ Ò Û Ú Ö Ð Ò µ ÓÑ ÖÓÚ Ò Ö Ò ÖÙ Ò Ø Ö Ò Ò Ø Ô Ñ Ø dr R Ò M I Mµ Ø Ö Ú Ò Ð dp dr = GM Iρ P r 2 C GMρ C R º Ï Ò Ö Ò Ñ Ñ Ø M 4 3 πr3 ρ C º ÓÑ Ò Ö Ò Ð Ú ÖØ P C 3GM2 º ÇÔ Þ Ð 4πR 4 Û Þ Ú Ò Ò Û Ø ÒØÖ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÐØ Ð T C M R º Ð Û Ø ÖÖ Ò Ñ Ø ÐÓ Ð Þ Ð Ñ M ÓÙÛ Ò Ò Ð Ø M ρ C R 3 = constantº ÇÑ Ø Ù Ð Ø Ø R ρ 1 3 C Ú Ò Ò Û ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ ÒØÖ Ð ÖÙ P C ρ 4 3 C. µ Ø ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Ø Ö Û Ö ÖÙ ÔÖ Ò Ð Ò Ñ Ø Ö Ú ¹ Ø Ø º ÌÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ú Ò ÚÓÖÑ P ρ γ ÛÓÖ Ò ÔÓÐÝØÖÓÔ ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÒÓ Ñ º Ð ÔÓÐÝØÖÓÔ Ò Ü γ ÖÓØ Ö Ò 4/3 Ò Ò ÑØ ÖÙ Ò ÐÐ Ö ØÓ ÓÑÔÖ Ò ØÓÓØ Ø Ö Ø ÖÙ Ø Ö Ø Ðº ÌÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ñ Ø γ < 4/3 Þ Ò Ò Ø Ø Ðº º Ï ØØ Û Ö Ò ÙÔ ÖÒÓÚ Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò ÁÒ Ø ÚÓÓÖ Ò Ò Û Ú Ö Ú Ö Ö Ò Ò ÔÖÓ Ò Þ Ò Ø ÖÖ Ò Ô Ð Ò Ö Ú Òº ÁÒ Þ Ù Ö Ø ÛÓÖ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÔÖÓ Ù Ö Ò Ø Ð ÖØ ÛÓÖ Ø Ñ Ö Ò Ñ Ö ÖÒ¹ Ö Ò ØÓ ÓÔ ÖÙ Øº Ï Ø ÙÖØ Ö Û ÒÒ Ö Ö Ò Ö Ò ØÓ Ñ Ö ÎÓÐ Ò Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ø Ö ÓÔ Ú Ö Ñ Ò Ö Ò Ò Þ Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ò ÞÛ ÖØ Ø Ò Û ØØ Û Ö Ó Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö ÛÓÖ Ò Ó Ø Ò ÚÓÐÐ Ö Ñ ÒØ Ö Òº À Ö Ù Ø Ò Ð ÐÓØ ÛÓÖ Ø Ô Ð ÓÓÖ ÒÑ Ú Ò Ø Öº Ð Þ Ñ Ñ Ò Ö Ò ÓÒ Ú Ö Ú Ö ÞÓÒ¹ Ò Ñ ³ Ò Þ Ð Ø Ö Ò Û ØØ Û Ö ÛÓÖ Òº Ð Þ Ñ Ø Ö ÖÓØ Ö Ò ÓÒ Ú Ö Ú Ö ÞÓÒÒ Ñ ³ Ò Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ÓÒØ Ø Ò Ö ÙÐØ ÖØ Ò Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Ò ÞÛ ÖØ Ø Ó Ò ÚÓÐÐ Ö Ñ ÒØ Ø º Û ÖØ Ø Ò ØÖ Ò Þ ÓÒ Ò Ð Ò Ñ Ò Ò Ò Ö Ò Ñ Ö ÞÙÐÐ Ò Ø ÒÓÓ Ø Ö Ò Ò ØÖ Ð Ú Ò ÓÒ Ú Ö Ñ Ò Ò Ø Ú Ò Ñ Ö Ò 10 19»Ñ 3 º Æ ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò Ò Ò ØÖ Ð Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½¼ Ñ Ò Ò ÒØÖ Ð Ø ÖÓØ Ö Ò Ú Ò ÖÒÑ Ø Ö ÓÒ Ú Ö 10 17»Ñ 3 º ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ÔÖ Ò Û ÚÓÖÑ Ò Ò Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Òº ËØ Ð Ø Ø Ù ÔÖÓ Ø Ò Ò ÐÓÓÔØ Ò Ø Ö ÒØ Ø ÓÒØÖ Ö Ò ÓÒ Ö Þ Ò Ò Ö Ú Ø Ø º ÎÓÐ Ò Ø È ÙÐ ÔÖ Ò Ô ÒØ Ò Ý Ø Ñ Ø N e Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ô ÒÔ Ö Ò Ø ÚÓÖÑ Ò Ñ Ø ÑÔÙÐ Ò Ñ Ò Ø Ò p minimum Ú Ö ÐÐ Òº Ø Ø ÒØ Ø Ò Ö Ñ Ò ÖÓÓØ Ø ÑÔÙÐ Ò Ð Ö Ø Ò Ñ Ò Ø Ò Û Ö N 1 3 e p minimum ÒØ Ø Òº Å Ö ÓÔ Ø Ò Þ ÔÖ Ò Û ÓÒ Ò Ø ÖÙ Ñ Ò ÓÚ Ö ØÓÖ Ò ¾ Ó π Øº Ñ Ò ÑÙÑ ÑÔÙÐ ÙÒÒ Ò Û Ú Ò Ò Ù Ø À Ò Ö ÓÒÞ Ö Ö Ð Ø Ò Ó Ö Ñ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÒÞ Ö Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ø ÐØ Ø Ò ÖÓÓØØ 2Rµ Ú Ò Ø Ö º Ï Ú Ò Ò ÖÑ ÚÓÓÖ Ñ Ò ÑÙÑ ÑÔÙÐ Ò x¹ö Ø Ò p minimum x = 2R h Ñ Ø h ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò ÈÐ Ò º Ï ÙÒÒ Ò ÒÙ Ø Ø Ú Ò Ø È ÙÐ ÔÖ Ò Ô Ò Ö Ò Ò Ö Ò Ò ÓÓÖ Ø Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ñ Ø N 1 3 e Ò Ú Ò Ò Ñ Ò ÑÙÑ Û Ö ÖÓÓØ Ø ÑÔÙÐ Ò x¹ö Ø Ò ÒØ Ø Òº Ö Ö Ø Ò Ò ÓÑ Ò Ö Ò ÓÑ Ò Ò Ø Ò Ö Ø Ð Ú Ö Ò Ú Ò < K > gemiddeld = 3 ( N 1 3 e p minimum x ) 2 2m e = N 2 3 e 3h 2 8m e R 2 Û Ö Û Ð Ö Ð Ø ØÙ Ò Ò Ø Ò Ö Ò ÑÔÙÐ ÖÙ Ø Ò K = p2 2m µº Þ Ö Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ö Ø ØÓØ ÖÙ Ú Ö Ð Ø PV = NkT Û Ö Û ¼µ

39 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Ø ÖÑ Ò Ö kt Ú ÖÚ Ò Ò ÓÓÖ kt = 2 3 < K > gemiddeldº Ï Ú Ò Ò Ò P Fermi = 2 N 3 V < K > gemiddeld= 5 h2 3 Ne 4m e V R 2. Î ÖÚÓÐ Ò ÖÙ Ò Û Ò Ö Ò Ò Ö Ð Ø Ø ØÙ Ò ÖÙ Ñ Ò ÖÓÓØØ Ú Ò Ò Ø Ö P = 3GM2 Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ð Ò ÖÑ ÖÙ P 4πR 4 Fermi º Î Ö Ö Ð Ø Ø M = N e µ 2m p N e Ò V = 4 3 πr3 º Ï Ú Ò Ò ½µ R = N 2 3 e h 2 8Gm p m e M, ¾µ Ò Ð Û ÖÚÓÓÖ Ñ Ú Ò ÞÓÒ ÖÙ Ò M = M µ Ú Ò Ò Û Ò ØÖ Ð R = 10 7 Ñº Ø Ò ØÖ Ð Ò ÓÖ Ú Ò ØÖ Ð Ú Ò Ö º Ò Ü Ø Ö Ò Ò Ø Ð Ù Ø ÓÑ Ø Ø Ò Û ØØ Û Ö Ñ Ø Ò Ñ Ú Ò ½ ÞÓÒÒ Ñ Ò ØÖ Ð Ø ÓÒ Ú Ö ¼ ± Ú Ò ØÖ Ð Ú Ò Ö º Ï ÙÒÒ Ò ÚÓÓÖ Ò Û ØØ Û Ö ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÓÓÖ ÓÔ Ø Ñ Ö Ò Ø R V 1 3 Ò Û Þ Ò Ø ÖÑ ÖÙ ÐÐ Ò Ò Ø Ú Ò Ú Ö ÓÙ Ò N e /V Ø ÒØ Ð Ð ØÖÓÒ Ò Ô Ö ÚÓÐÙÑ Ò º Þ Ð ØÖÓÒ Ò Ø Ú ÒÖ Ñ Ø Ñ Ø ρ = µn e /V Ò Û Ú Ò Ò ÖÑ ÖÑ ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò P Fermi = βρ 5 3, µ Û Ö ÓÒ Ø ÒØ β Ò Ø Ú Ò h m e Ò m p º ÔÓÐÝØÖÓÔ Ò Ü γ = 5 3 Ò Ø Ø ÒØ Ø Ò Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø ÓÒØ Ö ÖÑ Ø Ð ÓÒ Ö Ð Ò Ú Ö ØÓÖ Ò Ò ¾ º Ò Ø Ö Ö Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ð ØÖÓÒ ÓÒØ Ö Ò ÛÓÖ Ø Ò Û ØØ Û Ö ÒÓ Ñ º ÇÓ ÔÖÓØÓÒ Ò Ò Ø ÔÐ Ñ Ú Ò Ø Ö Þ Ò ÓÒ Ö Ú Ò ÓÒÞ Ö Ö Ð Ø Ò Ø È ÙÐ ÔÖ Ò Ô º Ö ÐÚ ÚÓÖÑ Ò ÔÖÓØÓÒ Ò ÓÓ Ò ÓÒØ Ö Ò Ð Ú Ö Ò Þ Ò Ö ØÓØ ÖÙ Ú Ò Ø Öº ÇÑ Ø Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ 1 2 mv2 = p2 2m Ð Ú Ö Ò ÔÖÓØÓÒ Ò Þ Ð Û Ö Ú Ò ÑÔÙÐ Ò Ù Ò Ð Ò Ö Ö ØÓØ Ò Ø Ò Ö Ò ÖÑ ¹ ÖÙ Ø ÐØ ÓÑ Ö Ú ÒÖ Ñ Ø Ñ µº Ï ØØ Û Ö Ò ÛÓÖ Ò Û Ö ÒÓÑ Ò ÓÓÖ Ø ÖÖ Ò ÙÒ Ò Ò ÓÑ Ò Ö Ð Ø Ú Ð ÚÓÓÖ ØÝÔ ½ ÓÔ ½¼ Ø ÖÖ Ò Ò Û ØØ Û Ö º Ð Ò Ø Ö Ñ Ò ÛÓÖ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ò Ð Ò ÚÓÐÙÑ ÛÓÒ Ò ÓÓÖ Ö ¹ Ú Ø Ø Ö Øº À Ö ÓÓÖ ÛÓÖ Ø ÙÒ ØÝÔ Ò Ð ÖÓÓØ Ò ÓÖ Ú Ò Ð Ø Ò Ð º ÇÑ Ø Ö Ô Ò Û Ø Ö Ò Ý ÙÖØ Ò Ò Û Ò Ö Ð Ø Ú Ø ÓÒØ Ö Ð ØÖÓÒ Ò Ø ÓÙÛ Òº Ï Ò Ñ Ò Ö Ò Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò ÚÓÖÑ Ò Ú Ò ÙÐØÖ ¹Ö Ð Ø Ú Ø ÚÖ ÖÑ ÓÒ Ò Þ Ò Ò ÚÓÐÙÑ V Ú Ò Òº ÐÐ Ö ØÓ Ø Ò Ò Þ Ò Þ Ø ØÓØ ÖÑ Ò Ö E F º Ø ÓÒØ Ö Ð ØÖÓÒ Ò Ð Ú ÖØ ÖÙ Ò Ú ÒÛ Ø Ñ Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÒØÖ Ò º ÎÓÓÖ ÙÐØÖ ¹Ö Ð Ø Ú Ø ÐØ ÛÓÖ Ø Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò Ò Ö Ò ÑÔÙÐ Ú Ò ÓÓÖ E = p cº Ò ÐÓÓ Ò Ú Ö Ð Ò ½µ ÛÓÖ Ø ÖÙ ÚÓÓÖ Ò ÓÒØ Ö Ö Ð Ø Ú Ø Ð ØÖÓÒ Ú Ò ÓÓÖ P = hcn 4 3 e 3RV. Ð Û Ø Û Ö Ð Ø ÐÐ Ò Ò 3GM2 4πR 4 Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ú ÖÚ Ò Ò ÓÓÖ 4 3 πr3 Ö Ò Û µ hcn 4 3 e 4πR 4 = 3GM2 4πR 4. ¾ Å Ø ÓÒØ Ö Ñ Ø Ö Ó Ð Ò Û Ñ Ø Ö Û Ö Ø ÖÑ Ø ÖÓÓØ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ØÓØ ÖÙ ÓÑØ Ú Ò Ø È ÙÐ ÔÖ Ò Ô º ÓÑÔÖ Ú Ò ÓÒØ Ö Ñ Ø Ö Û Ò Ø ÐØ ÓÚ Ö Ø Ò Ò Ö ÕÙ ÒØÙÑØÓ Ø Ò Ò Ñ Ø Ó Ö Ò Ö º µ

40 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ¼ ÁÒ ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÙÖØ Ö Ø Ú ÖÖ Ò Û ÒØ ØÖ Ð Ú Ò Ø Ö Ú ÐØ Ù Ø Ú Ö Ð Ò º Ï Ø Û ÓÚ Ö ÓÙ Ò Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ñ º ÃÐ Ö Ð Ð Ø Ò Ö Ð Ø Ú Ø Û ØØ Û Ö Ò ÙÒ Ñ º Þ Ñ ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ö Ö Ñ ¾ Ò Þ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ M Ch = ( )3 ( ) hc = 3G µ ( m 3 ) Pl m 2 1,4M. p Ï Ò Û Ò Ú Ö Ð Ò µ Ö Ð Ø M = N e µ ÖÙ Ø Ò Ò Ð Ø Ø Ø Ô Ò Û µ = m p ÒÓÑ Òº Î Ö Ö m Pl ÞÓ Ò Ñ ÈÐ Ò Ñ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ m Pl = ( hc G )1 2 = 5, º µ ÙÙÖ ½ Ê Ð Ø ØÙ Ò ØÖ Ð Ò Ñ ÚÓÓÖ Ò Û ØØ Û Ö ÚÓÓÖ Ò Ò Ø¹µÖ Ð Ø Ú Ø Ð ØÖÓÒ º ÁÒ Ð Ñ Ø Ú Ò Ò ÙÐØÖ ¹Ö Ð Ø Ú Ø Ð ØÖÓÒ ÛÓÖ Ø Ò Ö Ö Ð Ñ Ø Ö Øº Í Ø Ú Ö Ð Ò µ ÙÒÒ Ò Û ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ò ÙÐØÖ ¹Ö Ð Ø Ú Ø Û ØØ Û Ö Ú Ò Òº ÇÑ Ø R V 1 3 Þ Ò Û Ø P = βρ 4 3 µ Ó Ð Û ÔÖÓ Ò Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ Ò Ò Ü γ = 4 3 Ð Ø Ñ Ö Ò Ð Ø Ð ÚÓÓÖ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ò Ò ØÓÖØ Ò º Ð Ð Ò ÓÖÖ Ø ÓÔ Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ò ÙÐØÖ ¹ Ö Ð Ø Ú Ø Û ØØ Û Ö Ò Ò Ø Ð Ø Ø ØÓØ ÚÓÐ Òº Å Ò Ò ÑØ Ò Ø Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò Þ ÓÒØÛ Ð Ò Ù Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ØÓÖØ Ò Ú Ò Ø ÖÖ Ò Ñ Ú Ö Þ Ò Ò ÓÒ Ú Ö Ø ÞÓÒÒ Ñ ³ º Ì Ò Ø Ò Ú Ò Ú Ö Ø Ú Ò ÖÒÚ Ö Ö Ò Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Û Ö Ú Ò ÓÒ Ú Ö Ã Ö Ø Ò Ò ÒØÖ Ð ÚÓÓÖÒ Ñ Ð Ù Ø Þ Ö Ø Ò ÖÒ Ø Ö ÖÓÓØØ Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½ ÞÓÒÒ Ñ º À Ø Ð Ñ ÒØ 56 Ø Ñ Ø Ø Ð ÖÒ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò ÖÙ º ÖÙ Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ÒØÖ Ð ÖÒ ÞÙÐÐ Ò ØÓÑ Ò ÚÓÐÐ ÓÒ Ö Þ Ò Û Ö ÚÖ ¾ ËÙ Ö Ñ ÒÝ Ò Ò Ö Ö ½ ½¼ ¹ ½ µ Ø Þ Ð Ñ Ø Ð Ô ÐØ Ó Ò Ò ØÓÖØ Ò Ø Ö Ò Û ØØ Û Ö ÛÓÖ Ø Ó Ò ÜÓØ Ö Ó Ø Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Ó ÞÛ ÖØ Øº ÇÓ ÕÙ Ö Ø ÖÖ Ò Ø Ò Ù Ø ÕÙ Ö Ñ Ø Ö Ñ Ø Ò Ñ s¹õù Ö µ ÓÖ Ò ØÓØ Ø ÓÖ Ø ÑÓ Ð Òº

41 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ½ Ð ØÖÓÒ Ò Ò ÓÒØ Ö ÚÓÖÑ Òº À Ø Ö Ú Ò Þ Ð ØÖÓÒ Ò Ô ÐØ Ú Ö Ö ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Öº ÙÐØÖ ¹Ö Ð Ø Ú Ø Û ØØ Û Ö Ò Ø Ø Ð ÚÓÓÖ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ò Ò ØÓÖØ Ò º Ø Ö ÖÒ Ú ÖÐ Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ú ÒÛ Ð ØÖÓÒÚ Ò Ø ¾ ÓÓÖ Ø Þ Ö Û Ö Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÛÓÖ Ò Ù Ø ÞÓÒ¹ Òº Ð Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ø Ð Ò Ö Û Ö Ø Ò ÙÒÒ Ò Ò Ò Ñ Ú Ò ÖÒ ØÓÖØ Ø Ö Òº Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ö ÚÖ ÓÑØ ÛÓÖ Ø Ò Û ÖÑØ Ò Ò Ø Ò Ö ÓÑ Þ Øº Ã ÖÒ Ò Ò Ö ÓÚ Ö ØÓØ Ò Ú Ò ÒÙÐ ÓÒ Ò Ò Ø Ú Ò ÖÒ Ú Ò Ø Ö Ò ÑØ ØÓ ØÓØ Û Ö Ò ÓÒ Ú Ö ØÛ Ö ÞÓ ÖÓÓØ Þ Ò Ð Ú Ò ÖÒÑ Ø Ö º ÇÔ Ø ÔÙÒØ Ò ÓÑ Ò ØÓÔØ ÓÑÔÖ ÓÑ Ø Ø ÒÙÐ ÓÒ ÒÙ ÖÙ Ð Ú ÖØ ÒÓ ÓÑ Ú Ö Ö Ò Ò ØÓÖØ Ò Ø ÚÓÓÖ ÓÑ Òº ÁÒ Ø Ú Ð Ú Ò Ò Ø Ð Ø ÖÓØ Ñ Ú Ø ÖÖ Ò ØÙ Ø ÖØ ÖÒ Û Ø ÓÔ Ò Ò Ö Ð ÓÑÔÖ ØÓÔØ Û Ö ÓÓÖ Ù Ø Ò ÖÙ ÓÐÚ Ò ÓÒØ Ø Ò Ö ÙÐØ Ö Ò Ò Ò Ó ÓÐ º Þ Ó ÓÐ Þ Ð Ñ ÒØ Ð Ú Ò Ø Ö Ó Ò ÙÖ Ò Û Ö ÓÓÖ Ö Ò ÜÔÐÓ ÚÓÐ Øº ÇÔ Þ Û Þ ÛÓÖ Ø Ò ØÝÔ ÁÁ ÙÔ ÖÒÓÚ ÓÖ Òº Ò Ö Ú Ò Ò Ò ØÓÖØ ÖÒ ÓÒ Ú Ö Â ÛÓÖ Ø Ò Ò Ø Ô ÒÒ Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½¼ Ù Ø ÞÓÒ Ò Ò ÚÓÖÑ Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ Û Ö Ö Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Ö Ø ÖØº Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ú Ò ËÆ½ Þ Ò ÓÔ Ö Û Ö ÒÓÑ Ò ÓÓÖ Ø ËÙÔ Ö Ñ Ó Ò Ò ÁÅ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ö Ò Ö ¹ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ú Ò Þ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ñ Ø Ò º Æ ÙØÖ ÒÓ Ñ Ò ÒØ Ó ÐÔÖÓ ÚÓÓÖ Ö Ø Ö Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Öº Ø Ö Ó ÐØ Ð ÓÖ ÒÒ Ò Ò Ô Ö ÓÒ Ò Ò Ø Ò Ò Ô Ö Ò Ò ÒØ ÖÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ÓÒ Ú Ö Ã Ö Øº Þ ÒØ ÖÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ð Ø Þ Ö ÓÚ Ò 10 9 Ã ÙÖ Ò Ö Ø Ù Þ Ò Ö Ñ Ø Ò ÙØÖ ÒÓ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ø Ó ÐÔÖÓ º ÖÒ ÛÓÖ Ø ÓØÓÒ¹ Ñ Ø Ó¹ Ñ Ò ÒØ Ó ÐÔÖÓ Ò Ö Ø Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ÓÒ Ú Ö 10 8 Ãº º ½ ØÓÓÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ú Ò Ò ØÝÔ Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Öº À Ö Þ Ò ÚÓÐ Ò ÚÖ Ò Ö Ð Ú ÒØ ÀÓ Ø Ø Ö Þ Ò ØÓ Ø Ò Ö Ø Ï ÖÓÑ ØÓÖØ Ø Ö Ò Ø ÚÓÐÐ Ò Î Ð Ú ¹ Ò Þ Ò ØÖÓ Ò Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ò ÒØÛÓÓÖ Ò ÓÔ Þ ÚÖ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò ÖÒ¹ Ò ÐØ Ý Ò Ú Ø ØÓ Ý º ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ÔÖ Ò Û Ò ÒØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ý Ô Ø Òº Ï ÓÙÛ Ò Ð Ö Ø Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ø Öº ÎÓÓÖ Ò Ú Ò Ñ Ú Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö ÙÒÒ Ò Û ØÖ Ð Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ù ØÖ Ò Ò ¾ º ÎÓÓÖ Ò Ø Ö Ñ Ø Ò ØÖ Ð Ú Ò ½¼ Ñ ÒØÖ Ð Ø ÓÒ Ú Ö »Ñ 3 º Ø Ò ÑØ ØÓ Ú Ò ÒÙÐ Ò ØÓÔ Ú Ò ØÑÓ Ö³ ØÓØ Ò Û Ö ÖÓØ Ö Ò Ú Ò ÖÒÑ Ø Ö Ò Ø ÒØÖÙÑº Í Ø Ø ÙÒÒ Ò Û Ñ Ò Ø ÐÐ Ò ÓÔ Ò Ú Ò ÔØ Òº Ù Ø Ò Ø Ð Ø Ø ÚÓÓÖÒ Ñ Ð Ù Ø 56 Ø Ò Ö ÙÐØ Ø Ú Ò Ø ÔÖÓ Ú Ò ÖÒÚ Ö Ö Ò Ò º Ø Ò ÑØ ØÓ Ð Û Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò Ø Ö Ò Ò ÖÑ Ò Ö ÛÓÖ Ø Ù Ò ÖÓÓØ Ø Ð ØÖÓÒÚ Ò Ø Ò ÓÔØÖ Ò Ò Ø ÞÓ Ð Ø Ø Ú Ð Û Ø ÓÒØ Ø Ò Ú Ò Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Ò ÔÖ ¹ ÙÔ ÖÒÓÚ º Þ Ó Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÛÓÖ Ò Ñ Ö Ò ÙØÖÓÒ Ò¹Ö ÓØÓÔ Ò ÚÓÖÑ º Ð ØÖÓÒÚ Ò Ø Ð Ø ØÓ Ò Ñ Ò Ò Ò Ø Ú Ò ÓÒ Ú Ö »Ñ 3 ÞÙÐÐ Ò ÖÒ Ò Ñ Ø ¾ Ò ÙØÖÓÒ Ò ÞÓ Ð 118 ÃÖ Ø Ñ Ø Ø Ð Þ Òº Å Ö ÓÔ Ø ÛÓÓÒ ÖÝÔØÓÒ ÓÔ Ö Ò ØÓÓÑ Ø Ð A = 84 Øº Ñ Ø Ø Ð ÒÙÐ Ò Ö Ð Ó ÖÙ Ò Þ Ò Ù Þ Ö Ò ÙØÖÓÒ Ò¹Ö º ÇÒ Ö ÒÓÖÑ Ð ØÓ Ø Ò Ò ÞÓÙ Ò Ö Ð ÖÒ Ò Ö Ø Ú ÖÚ ÐÐ Ò ÓÓÖ Ð ØÖÓÒ¹ Ñ º Ø Ö ÖÙ Ò Ö Ò Ò Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Þ Ò ÐÐ Ö ØÓ Ø Ò Ò Ö ÓÓÖ Ð ØÖÓÒ Ò Þ Ø Ò Ú Ö Ø Ø È ÙÐ ÔÖ Ò Ô Ò Ö Ð Ø ¹Ú ÖÚ Ðº À Ø Ù Ø Ò Ø Ò ÙØÖÓÒ Ú Ò 118 ÃÖ Ò ÙÛ Ð ÓÒ Òº Ð Ø ÖÓØ Ö ÛÓÖ Ø Ò »Ñ 3 ÒÒ Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ù Ø ÖÒ Ò Ø Ð Ò Ò ÓÒØ Ø Ø Ö Ò ÓÒØ Ö ÚÐÓ ØÓ º ¾ Ð ØÖÓÒÚ Ò Ø Ö Ø p + e n + ν eº À Ö ÓÓÖ ÛÓÖ Ò ÔÖÓØÓÒ Ò ÓÑ Þ Ø Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÛ Ð Ø Ö Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ù ØÞ Ò Øº ¾ º ÝÑ Ò º È Ø ÒÒº Ê Úº ÆÙÐº Ë º ¾ ¾ ½ µ Ëº Ì ÙÖÙØ ÓÑÑº ØÖÓÔ Ý º ½½ ½ ½ ½ µº

42 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ¾ Atmosfeer (meters dik) korst hadronische kern neutron, proton en elektron vloeistoffen kernen elektronen neutronen ÙÙÖ ½ ÓÓÖ Ò Ú Ò Ò ØÝÔ Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Öº ÖÓÒ ÖÒ Ò ÕÙ Ö Ñ Ø Ö Ó Ò Ô ÓÒ¹ÓÒ Ò Ø Ú ØØ Òº Ð ÖÙ Ú Ö Ö ØÓ Ò ÑØ ÞÙÐÐ Ò ÖÒ Ò Ò Þ ÞÓ Ò Ñ Ò ÙØÖÓÒ Ö Ô Ð Ò ³ Ñ Ö Ò Ñ Ö Ò ÙØÖÓÒ Ò¹Ö ÛÓÖ Ò Ò Ò ÖÓÓØØ ÖÓ Òº Ò Ø Ú Ò ÓÒ Ú Ö »Ñ 3 ÒÒ Ò ÖÒ Ò Ð Ö Ø Ö Ò Ò Ò Þ Ò Ð Ö ÓÚ Ö ÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ ÚÐÓ ØÓ Ú Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò ÔÖÓØÓÒ Ò Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ø ÚÓÖÑ Òº Æ ÙØÖÓÒ Ò Þ Ò Ö Ò Ñ Ö Ö Ò Ö Ø ÔÖÓØÓÒ Ò ÛÓÖ Ø Ö Ñ ÓÔ ÓÒ Ú Ö ± Ú Ò ÐÐ Ñ Ø Ö º Ò ÙØÖÓÒ Ò ÙÒÒ Ò Ò Ø Ú ÖÚ ÐÐ Ò Ò ÔÖÓØÓÒ Ò ÓÑ Ø Ò Ö Ú Ò Ø ÚÖ ÓÑ Ò Ð ØÖÓÒ Ð Ò Ö ÞÓÙ Þ Ò Ò ÖÑ Ò Ö Ú Ò Ø Ð ØÖÓÒ º À Ø Ú ÖÚ Ð Ö ÐÚ Ú Ö Ó Ò ÓÓÖ Ø È ÙÐ ÔÖ Ò Ô º Ð Ò Ö ÒÓ ÖÓØ Ö ÛÓÖ Ø Ø Ò Ö Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ú Ð ØÖÓÒÚ Ò Ø Ñ Ö Ñ Ú Ð Ñ ÒØ Ö ÐØ Ø ÚÓÖÑ Ò ÞÓ Ð ÚÓÓÖ Ð e n ν Σ, µ Û Ö Ö Ð ÐØ Û Ö Ø Ð Þ Ò Ú ÒÛ Ø È ÙÐ ÔÖ Ò Ô º º ½ ØÓÓÒØ Ö ÙÐØ Ø Ò Ú Ò Ò Ö Ò Ò ¾ Ú Ò Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Ð ÙÒØ Ú Ò Ø º Ð Û ÓÒÞ Ò Ø ÒÓ Ò Ö Ö Ø Ò ÓÔ ÖÙ Ò Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Ò Ò Û Ö Þ Ò Ø Ø ÓÒØ Ö Ð ØÖÓÒ Ò Ö Ð Ø Ð ÖÙ Ò Ø Ò ÖÙ Ð Ú ÖØ Ò Ò ØÓÖØ Ò Ú Ò Ø Ö ÚÓÓÖ ÓÑØº Ó Ö ÖÙ Ò ÛÓÖ Ø ÚÓÐÐ Ò Ò ØÓÖØ Ò ÚÓÓÖ ÓÑ Ò ÓÓÖ Ò ÓÑ Ò Ø Ú Ò ØÛ Ø Ò ØÓØ Ò Ö Ø Ò ÒÙÐ ÓÒ¹ÒÙÐ ÓÒ ÒØ Ö Ø Ò Ò Ö ÓÒØ Ö Ú Ò Ò ÙØÖÓÒ Òº º ½ ØÓÓÒØ Ø Ò ÙØÖÓÒ Ò ÓÑ Ò Ö Ò ÓÓ Ø ÖÙ Òº ÚÓÖÑ Ò Ò ÓÒØ Ö ÖÑ Ò Û ÙÒÒ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ð Ò ØÓØ Ú Ö Ð Ò µ Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ø Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø Ú Ðº Ï Ú ÖÚ Ò Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ ¾ Åº º ÊÙ ÖÑ Ò Ë º Ñ Öº ¾¾ ¾ ÖÙ Ö ½ ½µº

43 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ÙÙÖ ½ ÒØ Ð Ñ Ø Ö ÐØ Ð ÙÒØ Ú Ò Ø º À Ø Ò ÙØÖÓÒ Ö Ô Ö Ñ ³ Û Ö Ò ÙØÖÓÒ Ò Ù Ø ÖÒ Ò Ð Ò ÒØ »Ñ 3 º Ò Ø Ú Ò ÓÒ Ú Ö 2, »Ñ 3 ÒÒ Ò ÖÒ Ò ÓÔ Ø ÐÓ Òº Ó Ö Ø Ò ÙÒÒ Ò ÑÙÓÒ Ò Ò ÚÖ Ñ ÐØ ÓÒØ Ø Òº m e ÓÓÖ m n Ò Ø ÐÐ Ò µ = m p Ù Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ñ Ø Ò ØÓÖ ¾µº Ø Ø ÒØ Ø ØÖ Ð Ú Ò Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö ÓÒ Ú Ö ¼¼ Ö Ð Ò Ö Ò Ú Ò Ò Û ØØ Û Ö Ó Û Ð ÓÒ Ú Ö ½ Ñº Ï Ú Ò Ò Ò Û Ö Ø ÖÙ ØÓ Ò ÑØ Ñ Ø Ò Ñ Ò ÚÓÐÙÑ ØÓØ Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø ØÓØ Ò Ö Ø ØÙ Ò ÒÙÐ ÓÒ Ò ÓÔ ÓÖØ Ø Ò ÞÓ Ò Ñ Ö ¹Ô Ø Ö ÔÙÐ Ú Ò ÒÙÐ ÓÒ¹ÒÙÐ ÓÒ ÆÆµ Ö Øµ Ò Ú ÒÛ Ø Ñ Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÒØÖ Ò º À Ø Ø Ò Ú Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò Ö Ò Ö Ò ÖØ Ú Ò ÚÓÖ ÙÛ ÚÓÓÖ Ô Ð º ÀÙÒ ÓÒØ Ò Û Ñ ÓÒÚ ÖÛ Ø Ò ½ ØÓ Ò Ò Ò ÙÛ Ð Ñ ÐÐ Ñ Ò Û Ö Û Ö ÒÓÑ Òº Þ Ó Ø Ò Þ Ò ÔÙÒØÚÓÖÑ Ø Ò Ù Ø Ò ÓÒ ÞÓÒÒ Ø Ð Ð Ò Þ Ò Ò Ô Ö Ó Ö Ó ÓÐÚ Ò Ù Øº Û Ö Ò ÔÙÐ Ö ÒÓ Ñ Ò ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Þ Ò Ö Ñ Ö Ò ½¼¼¼ Ò º ÀÙÒ Ô Ö Ó Ú Ö ÖØ Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½ Ñ ØÓØ º ÁÒ ½ Ù Ö Ö ÓÐ ¾ Ø Ò ÔÙÐ Ö Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö º Ô Ö Ó Ú Ò ÔÙÐ Ö ÛÓÖ Ø Ó Ö Ñ Ø ÖÓØ Ø Ö ÕÙ ÒØ Ú Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Öº Ö ÕÙ ÒØ Ò ÑØ Ð Ð Ú ÒÛ Ø Ú ÖÐ Ò ÖÓØ Ø ¹ Ò Ö º Ø Ò Ö Ú ÖÐ ÒÞ ÒÐ ÞÓ Ø Ú ÖÐ Ú Ò ÖÓØ Ø ¹ Ò Ö Ú Ò ÃÖ ÔÙÐ Ö ÓÒ Ú Ö Ú Ò ÖÓÓØ Ð ØÓØ Ð Ò Ö Ù Ø ÞÓÒ Ò ÓÓÖ Þ Ò Ú Ðº Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Ù Ò Ö ÖÓÒ Ú Ò ÒÓÖÑ ÃÖ Ò Ú Ðº Å Ò Ø ÔÙÐ Ö Ò Ø ÐÐ Ò Û Ö ÒÓÑ Ò Ð Ö Ó Ø ÖÖ Ò Ñ Ö ÓÓ Ô Ö Ó Ñ Ú Ò Ð Ø Ñ Ø Òº Ô Ö Ó Ò Ú ÖØÖ Ò Ò Ð Ò Ò ÔÐÓØ Ð Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ú Ò Ô Ö Ó Ò Þ Ò ÞÓÖ ÚÙÐ ØÙ Ö º À ÖÑ Þ Ò Ú Ö Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò Ú Ø Ø Ð Ò Û Ø Ò Û Ñ Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ò ÖÒÑ Ø Ö Ø Ò ÖÓØ Ö Ò 10 18»Ñ 3 º ¾ Ìº ÓÐ Æ ØÙÖ ¾½ ½ ½ µº

44 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ º Æ ÙØÖ ÒÓ ØÖÓÒÓÑ Ö Ò ÐØ Ø Ò ÓÒØ Ò ÔÔ Ò Ù Ø Ø ÒÛ Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ö Ø Ò ÙØÖ ÒÓº Æ ÙØÖ ÒÓ ØÖÓÒÓÑ Ð Ó Û Ð Ù Ø ÖÑ Ø Ò Û Ð Ñ Ø Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ø ÒÛ Ò Ú Ò Ø ÖÖ Ò ÚÓÓÖ Ð ÞÓÒ Ø Òº Ò ÔÔ Ò Ø Ò ÙØÖ ÒÓ ÙÒ Ñ Ò ÙÒÒ Ò Ð ÚÓÐ Ø ÛÓÖ Ò Ñ Ò Ú Ø ½º ÓÖÔØ Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò ÒØ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò Ñ Ø Ö Ð Òº Û Ö Þ Ñ ÓÓÖ Ò ÚÓÓÖ ÓÖÔØ Ò Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð σ (cm 2 ) = 2, p e E e m e c 2 m e c 2, Ñ Ø p e Ò E e ÑÔÙÐ Ò Ò Ö Ú Ò Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò ØÓ Ø Ò Ò Ö Ø νn en º Ï Ú Ò Ò Ø Ñ Ð ÚÖ Û Ð Ò Ø Ú Ò Ò ½ Å Î Ò ÙØÖ ÒÓ Ò Û Ø Ö ÓÒ Ú Ö Ñ º Ø Ú Ð Ñ Ð Ò ÖÓØ Ö Ò Ð Ò Ö Ñ Ø Ò Ò Ú Ò Ø ÖÖ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò Ð Ò Ö Þ Ò Ò Ñº ¾º Å Ò Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò ÒØ Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÓÒ Ö Ò ÓÓÖ Ú Ö ÐÐ Ò Ò Û ÐÛ Ö Ò Ò Ñ Ø Û Ø Öº ÐÙÑ ÒÓ Ø Ø Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÓÔ Ö ÛÓÖ Ø ÓÑ Ò Ö ÓÓÖ ÞÓÒ ÓÑ Ø ÞÓ Ø Ø Øº Ï ÐÓÚ Ò Ø Ö Ø ÔÖ Ñ Ö Ð Ø ÖÓÒÒ Ò Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÙÔ ÖÒÓÚ Ò ÙÒ Ö Ø ÒØ Ò Þ Òº ÁÒ Ø Ó ÐÔÖÓ Ú Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ÛÓÖ Ò Ò ÙØÖ ÒÓ Ò ÒØ Ò ÙØÖ ÒÓ Ô Ö Ò Ú Ò ÐÐ ÚÓÖ ¼ Ù Ø ÞÓÒ Ò Ú Ö Ø Ñ Ø Ò ÙØÖ Ð ØÖÓÑ Ò ½ ÞÓ Ð e + e ννº Î Ö Ö ÛÓÖ Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò ÒØ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò Ö Ö ÓÓÖ ÖÒÖ ¹ Ø Ñ Ø Ð Ò ØÖÓÑ Ò ÞÓ Ð e p nν e º ÙÙÖ ½ ØÓÓÒØ Ø Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ú Ò ËÆ½ Þ Ò Û Ö ÒÓÑ Òº ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÞÓÒÒ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò Ö ÓÙÛ Òº Ï Ò Ò Ø º¾ Þ Ò Ø Ú Ö Ö Ø Ú Ò pp¹ýðù Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÔÖÓ Ù Ö Òº º ½ Ø ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ú Ò Ø ËËÅ ÚÓÓÖ Þ Ò ÙØÖ ÒÓ³ º ÐÐ Ò Ú Ò ÖÓÔ Û Þ Ò Ø Ø ÑÓ Ð ÞÓÙ ÑÓ Ø Ò Þ Ò Ø Ø Ò Ú Ò pp Ù Ö Ø Ò ÞÓÒ Ø Û Þ Ò ÓÓÖ ÞÓÒÒ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ø Ø Ø Ö Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ö Ø µ ν e 37 Cl e 37 Ar. ¼µ Ð ØÖÓÒ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ñ Ö Ò Ø ÒØ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ñ Ø Ò Ò Ö Ú Ò Ñ Ö Ò ¼ ½ Å Î ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ú Ò Ò ÓÓÖ 37 Ðº Ø Ö ÙÐØ ÖØ Ò 37 Ö Ò Ò Ð ØÖÓÒº ÀÓ Û Ð Û Ö Þ Ñ ÓÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ò Ø Þ Ö Û Ð ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù Ø Ø ÚÓ Ö Òº Ö Ò Ò ÖÚÓÓÖ Þ Ò Ð ÚÓÐ Ø Ñ Ò Ø Ú ØØ Ò ½º Ò ÙØÖ ÒÓ ÙÜ Ú Ò ÞÓÒ Þ Ö ÖÓÓØ Ò ÓÖ Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³»Ñ 2 ¹ ÓÔ Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ º Í Ø º ½ ÚÓÐ Ø Ò Ò ÙÜ Ú Ò Ò Ö Ø Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ú Ò ÓÒ Ú Ö Ò ÙØÖ ÒÓ³»Ñ 2 ¹ º ¾º Å Ò Ò Ø ØÓÖ Ò Þ Ö ÖÓÓØ Ñ Òº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ÛÓÖ Ò Ø ØÓÖ Ò ÓÒØÛÓÖÔ Ò Ø Ö ÖÓÓØØ Ú Ò ½ Ù ÐÓÑ Ø Öº Á Ù Ø Ú ÖÚÓÐ Ú Ò Ø Ñ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÔ ÒØ ÖØ Ø ÖÛ Ð ÃÅ Æ Ø Ø Ú ÖÚÓÐ ÛÓÖ Ø Ú Ò Ø ÒØ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Å ¹ ÐÐ Ò Þ º Ø ØÓÖ Ò Þ Ò Û Ö Ú Ò Ò ÙÙÖ ½ º º À Ø 37 Ö Ò Ò Ù Ø Ö Ø Ð Ò Ó Ú Ð Ò ÛÓÖ Ò Û Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ø Ø Ö Ó Ø º À Ø Ú ÖÚ ÐØ ÓÓÖ Ð ØÖÓÒÚ Ò Ø e 37 Ar ν e 37 Cl, ½µ ¼ ÁÒ Ò ØÙÙÖ ÓÑ Ò Ö Ö ÓÓÖØ Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÚÓÓÖ Ð ØÖÓÒ Ò ÙØÖ ÒÓ ν e ÑÙÓÒ Ò ÙØÖ ÒÓ ν µ Ò Ø Ù Ò ÙØÖ ÒÓ ν τ º ½ ÁÒ ÞÛ Û ÐÛ Ö Ò ÛÓÖ Ò Z Ó ÓÒ Ò Ó W Ó ÓÒ Ò Ù Ø Û Ð º ÇÑ Ø Ø Z Ó ÓÒ ÓÒ Ð Ò ÔÖ Ø Ñ Ò Ú Ò Ò ÙØÖ Ð ØÖÓÑ Òº W Ó ÓÒ Ò Þ Ò Ð Òº

45 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Energie (MeV) tijd (s) ÙÙÖ ½ Ì ¹ Ò Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ Û Ö ÒÓÑ Ò Ñ Ø Ø Ã Ñ Ó Ò Ò Ø ÁÅ ÜÔ Ö Ñ ÒØº Ñ Ø Ò Ð Û Ö Ø Ú Ò Òº À Ø Ð ØÖÓÒ ÛÓÖ Ø ÛÓÓÒÐ Ú Ò Ò Ù Ø K¹ Ð Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ø Öº Ò Ö ÚÖ ÓÑØ Ð Ò Ò Ö Ð ØÖÓÒ Ú Ò Ó Ö Ð Ò ÐÐ Ò Ø Ø ÓÔÚÙÐØ ÛÓÖ Ø Ù Ø ÞÓÒ Ò Ð Ò X¹ ÓØÓÒ Ó Ø ÛÓÖ Ø ÖÙ Ø ÓÑ Ò Ð ØÖÓÒ Ù Ø Ò Ó Ö Ð Ò Ð Ø Ñ ØØ Ö Ò Ñ Ò ÒÓ ÑØ Ø Ò Ò Ù Ö Ð ØÖÓÒµº À Ø Ù Ö Ð ØÖÓÒ Ø Ò Ó ¹ Ò Ö Ò Ö Ú Ò ¾ Î Ò Ò Ö Ð Ø ÒÚÓÙ ÛÓÖ Ò Û Ö ÒÓÑ Òº º Ö ÓÒ Ò Ð º Ï ÙÒÒ Ò Ø ÖÓÑ Ö Ð Ø ÒÚÓÙ Ò Ú Ò Ø ÐÓÓÖ ÓÑ Ø Ú ÖÚÓÐ Ò Ò Ò Ð Ò ÚÓÐÙÑ Ø ÓÒ ÒØÖ Ö Òº À Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú Ò Ú et al. Ñ Ø ÖÙ Ú Ò Ò Ø Ò Ñ Ø ¼º¼¼¼ Ð Ø Ö 2 Ð 4 Ø ØÖ ¹ ÐÓÓÖ Ø ÝÐ Ò Ò ÓÓÒÑ ÚÐÓ ØÓ µº Ø Ò Û Ö ½ Ñ ÓÒ Ö ÖÓÒ ÔÐ Ø Ø Ò ÀÓÑ Ø ÓÙ Ñ Ò Ò Ä Ù ÓØ º ½ Ñ ÖÓØ ÓÚ Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ð ÖÑ Ò ÓÑ Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ø Ö Ù Ö Òº ÓÒ ÒØ Ú Ò ÖÙ Ð ÓØÓÓÔ 37 Ð ¾ ±º Ò Ò ÙØÖ ÒÓ ÒØ Ö Ø Ñ Ø Ø ÐÓÓÖ ØÓÓÑ ÔÖÓ Ù ÖØ 37 Öº À Ø Ö Ó Ø Ú Ö ÓÒ Û Ö ÓÚ Ö Ò Ô Ö Ó Ú Ò ¾ Ñ Ò Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ò Ú ÖÛ Ö ÓÓÖ Ð ÙÑ ÓÓÖ Ø Ò Ø ØÖÓÑ Òº À Ø Ö ÓÒ Û Ö Ú Ò Ø Ð ÙÑ Ò ÓÓÖ ÓÖÔØ ÓÔ Ò Ó Ð ÓÓÐ ØÓ Ú Ðº Î ÖÚÓÐ Ò Û Ö Ø Ò Ò ÚÓÐÙÑ Ú Ò ¼ Ñ 3 Ø Ð Ñ Ø Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð Ø ÐÐ Öº À Ø Ö ÙÐØ Ø ÛÓÖ Ø Ù Ø ÖÙ Ø Ò ÞÓ Ò Ñ ÓÐ Ö Ò ÙØÖ ÒÓ ÙÒ Ø Ù Ø ÔÖÓ Ò Ð Ò Û³ Û Ö ½ ËÆÍ ÙÖØ Ò Ò» ÐÓÓÖ ØÓÓÑº Ú ÖÛ Ø Ò Û Ø Ú et al. ÓÒ Ú Ö ËÆÍ ÞÓÙ Ò ÑÓ Ø Ò Ñ Ø Òº À Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ô Ð 2,4 ± 0,3 ËÆÍº Ø Ö ÙÐØ Ø Û Ö Ú Ø ÓÓÖ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ã Ñ Ó Ò Ñ Ò Û Ö Ò Ö Ø Ú Ò 0,46 ± 0.21 Û Ö Ñ Ø Ò Ú Ò ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò ÓÓÖ Ø Ø Ò Ö ÞÓÒÒ ÑÓ Ðº Ä Ò Ø Ø Ñ Ò ÞÓ Ø Ò Ö Ú Ö Ð Ö Ò Ò ÚÓÓÖ ÔÙÞÞ Ð Ú Ò ÞÓÒÒ Ò ÙØÖ ÒÓ³ º ÓÔÐÓ Ò ÓÒÐ Ò ÚÓÒ Ò Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÙØÖ ÒÓ³

46 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ÙÙÖ ½ Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ø ËËÅ ÚÓÓÖ Ö Ø Ú Ò pp¹ýðù Û Ö ÞÓ Ò Ñ ÞÓÒÒ Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÛÓÖ Ò ÔÖÓ Ù Ö º Ò Ö ÑÙÓÒ Ò Ø Ùµ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò Ø ÒÛ Ò Ú Ò ÞÓÒº Ð Ò ÙØÖ ÒÓÑ Ò Ø Ð Ò ÒÙÐ Ò Ò Ò Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÔÐ Ø Ú Ò Òº ÁÒ Ø ÒÛ Ò Ú Ò ÞÓÒ ÛÓÖ Ø Ò Ö Ð ÓÒÚ Ö ÓÐÔ Ò ÓÓÖ ÒÛ Þ Ú Ò Ð ØÖÓÒ Òº ÓÓÖ Ð Ò¹ ØÖÓÑ Ò ÒØ Ö Ø Ö Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ø Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ñ Ò Þ Ú Ö Ò Ö Ò Ñ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò ÑÙÓÒ Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÑÓ Ð º Ö Ð Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ø Ò Ò Ð Ò ÙØÖ ÒÓ Ó ÐÐ Ø Ò Þ Ò ÓÒÐ Ò ÓÒØ Øº Ò ÙØÖ Ð ¹ ØÖÓÓÑ ÒØ Ö Ø Ö Ø Ò Ø ØÓØ Ò Ö Ð Ú Ö Ø Ö Ò ÓÑ Ø Ö ÙÐØ Ö Ò Û Ö Þ Ñ ÓÓÖ Ò Ú Ò Ð ¹ Ò Ö Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò Ø Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ ÓÓÖØ Ò Øº º Æ ÙØÖ ÒÓ Ó ÐÐ Ø Ï Ô Ö Ò Ù ØÓØ ØÛ ÚÓÖ Ø Ð ØÖÓÒ Ò ÙØÖ ÒÓ ν e Ò Ø ÑÙÓÒ Ò ÙØÖ ÒÓ ν µ º ÚÓÖ ÒØÓ Ø Ò Ò ν e Ò ν µ Þ Ò Ø Ö Ò Ñ ÒØÓ Ø Ò Ò ν 1 Ò ν 2 Ñ Ö Þ Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ö ÓÓÖ Ò ÞÓ Ò Ñ Ñ Ò Ó θ ( νe ν µ ) = ( cos θ sinθ sinθ cos θ )( ν1 ν 2 ). ¾µ Ï Ò Ñ Ò Ò Ø Û Ò ÙÒ Ð ν e ³ ÔÖÓ Ù Ö Ò Ñ Ø Ò ÔÖ Þ ÑÔÙÐ Û Ö ÐÐ ÐØ Ò x¹ö Ø Ò Û Ò Ò ÖÓÒ Þ ÓÔ x = 0 Ú Ò Øº Ï ÚÖ Ò ÓÒ Û Ø Û Ö ÒÐ ÓÑ Ò ν e Ø Ø Ø Ö Ò ÓÔ ÔÓ Ø x 0 Æ Ñ Ò Ø Û ÓÔ Ø Ø Ô t = 0 Ò ÞÙ Ú Ö ν e ØÓ Ø Ò Òº ÇÑ Ø ν 1 Ò ν 2 Ñ ÒØÓ Ø Ò Ò Þ Ò Ò ÓÑ Ø ÙÒ Ð Ø Ø Ù Ø ÒØÓ Ø Ò Ò Ú Ò ÑÔÙÐ Ú ÖØ ÐØ Ö Ð Ø E 2 i = p 2 c 2 + m 2 i c 4 voor i = 1,2 µ

47 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Antares - KM3NET ÙÙÖ ½ ÓÚ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ø Á Ù ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÔ ÒØ ÖØ º Ò ¹ Ò Û Ö Ú Ú Ò Ø ÒØ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Å ÐÐ Ò Þ º ÓÒ Ø Ø ÓÓ ÒØÓ Ø Ò Ò Ú Ò Ò Ö Þ Òº Ø ÚÓÐÙØ ÛÓÖ Ø ÖÓÑ Ú Ò ÓÓÖ

48 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Ù Ø ÖÙ Ò Ò ν 1 (t) = ν 1 e ie 1t/, ν 2 (t) = ν 2 e ie 2t/. µ Î ÖÚÓÐ Ò ÖÙ Ò Û Ú Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò ν e Ò ν i Ò Ú Ò Ò Ø ÓÐ ÙÒØ ÓÔ t = 0 Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð ψ(0) = ν e = cos θ ν 1 + sin θ ν 2. µ Ï ÖÙ Ò Ø Ò Ð Ú Ò ν i Ò ÙÒÒ Ò ÚÓÐÐ ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ë Ö Ò¹ ÖÚ Ö Ð Ò Ñ Ø Ð ÒØÓ Ø Ò ψ(0) = ν e Ö Ú Ò Ð ψ(t) = cos θ ν 1 (t) + sin θ ν 2 (t) = cos θ e ie 1t/ ν 1 + sin θ e ie 2t/ ν 2. µ Û Ö ÒÐ ÓÑ Ò ν e Ø Ø Ø Ö Ò Ø Û Ö Ø Ú Ò ÔÖÓ Ø Ú Ò ψ(t) ÓÔ ÚÓÖ ÒØÓ Ø Ò ν e º Ï Ñ Ò ÖÙ Ú Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ø Ø Ö Ð Ø ÚÓÓÖ Ñ ÒØÓ Ø Ò Ò ν i ν j = δ ij µ Ò Ö Ò Ò ÔÖÓ Ø Ð ( ) ) ν e ψ(t) = cos θ ν 1 + sin θ ν 2 (cos θ e ie 1t/ ν 1 + sinθ e ie 2t/ ν 2 = cos 2 θ e ie 1t/ + sin 2 θ e ie 2t/. µ Ð Û Ø Û Ö Ø Ò Ñ Ò Ú Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ù ÖÙ Ò Ú Ò Ò Û P(ν e ) = cos 2 θ e ie 1t/ + sin 2 θ e ie 2t/ 2 = cos 4 θ + sin 4 θ + 2cos 2 θ sin 2 θ cos [(E 1 E 2 )t/ ]. µ Ï Þ Ò Ø Ô Ö Ó Ú Ò Ó ÐÐ Ø Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ T = 2π E 1 E 2. Ð Û ÒÒ Ñ Ò Ø Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÙÐØÖ ¹Ö Ð Ø Ú Ø Þ Ò Ù E pc mc 2 Ò Ð Ø ¼µ Ð Û Ø ÒÚÙÐÐ Ò Ú Ò Ò Û T = E i = 2π E 1 E 2 p 2 c 2 + m 2i c4 pc + m2 i c3 2p π p m 2 1 c3 m 2 2 c3 ½µ 4π E (m 1 c 2 ) 2 (m 2 c 2 ) 2. ¾µ ÇÑ Ø Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÙÐØÖ ¹Ö Ð Ø Ú Ø Û Ò Û Ò Þ Þ Ñ Ø ÔÖ Ø Ð Ø Ò Ð º Ð Û Ö Ø Ù x = c tº Ï Þ Ò Ø ÚÓÖ Ó ÐÐ Ø Ò Ø Þ Ú ÖØ ÐØ Ò Ò Ó ÐÐ Ø Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ ÚÓÖ Ð ÙÒØ Ú Ò Ø Ò ØÓØ ÖÓÒº Ø Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò Ó ÐÐ Ø Ô Ö Ó ÛÓÖ Ø Ó ÐÐ Ø Ð Ò Ø L osc ÒÓ Ñ º Ï Ú Ò Ò ÖÑ Ö Ð Ø L osc = c T = 4π ce (m 1 c 2 ) 2 (m 2 c 2 ) 2 = 4πE c m 2 c 4, µ

49 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Ñ Ø m 2 = m 2 1 m2 2 º Ð Û Ù Ø ÓÒÚ Ö ØÓÖ Ò ÖÙ Ò Ú Ò Ò Û L osc = 4π (1, J/MeV) ( m/s) (1, Js) E (1, J/eV) 2 m 2 = 2,483m ev 2 MeV 1 2,5 km E (GeV) m 2 (ev) 2. E m 2 µ Ö Þ Ò Ú Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ù Ø ÚÓ Ö ÓÑ Ò ÙØÖ ÒÓ Ó ÐÐ Ø Ø Ó ÖÚ Ö Òº À Ö Û Ö Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ú Ò ÞÓÛ Ð ÞÓÒ Ð ÖÒÖ ØÓÖ Ò Ð ÓÓ Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÔÖÓ Ù Ö Ò ØÑÓ Ö ÓÛ Ö Ú Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÖÙ Øº º ¾¼ ØÓÓÒØ Ò Ò Ò ÙØÖ ÒÓ Ô Ö Ñ Ø Ö¹ ÖÙ ÑØ ÓÔ Ô ÒÒ Ò ÓÓÖ m 2 Ò Ñ Ò Ó θ ÛÓÖ Ò Ù Ø ÐÓØ Ò Ó Û ÖÚÓÓÖ Ö Ò ÚÓÓÖ ÙÖ Ø Øº Ù ÓÒ Ò Ù Ø Ò ÙØÖ ÒÓ Ó ÐÐ Ø Þ Ò Û Ö ÒÓÑ Ò Ñ Ø Ò Ò ÒØ Ú Ò ÓÒ Ú Ö σº º ÃÓ Ñ ØÖ Ð Ò ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ÛÓÖ Ò Û ÓÑ Ö Ö ÓÓÖ Ò Ö Ø ÐØ Ù Ø Ó ÑÓ º Ñ Ð ÙÜ ÓÒ Ú Ö ½ ¼ Ð Ò ÐØ Ô Ö Ú Ö ÒØ Ñ Ø Ö Ò Ô Ö ÓÒ ÚÓÓÖ Ò ÖÓÓØ Ð ÑÙÓÒ Ò Ñ Ø Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ Ú Ö ¾ Îµº ÃÓ Ñ ØÖ Ð Ò Û Ö ÓÒØ Ø ÓÓÖ Ä Ñ¹ ÙÖ Ø Ð Ì Ó ÓÖ ÏÙÐ Ò Ø Ò Ú Ò ØÛ ÒØ Ø ÙÛº Ì Ó ÓÖ ÏÙÐ Ö Ö Ù Ø Ö Ø Ò ÙÛ ÙÖ Ð ØÖÓÑ Ø Ö º À Ò Ñ Ø Ö Û Ö Ø Ó Ó Ò Ð ØÖÓÑ Ø Ö ÓÓ ÓÐ Ö Ò Ú ÖÐÓÓÔ Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ð Ò Ò ÙØÖ Ð Ö Û Ö º Ò Ö Ø ¹ ÓÖ ÓÖÑÙÐ Ö ÓÓÖ ÖÒ Ø ÊÙØ Ö ÓÖ Û Ø Ø Ú ÖÓÓÖÞ Ø Û Ö ÓÓÖ ØÖ Ð Ò Ú Ò Ö Ó Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ó Ñº Ì Ó ÓÖ ÏÙÐ ØÖ ØØ Þ Ö Ø Ð Ñ Ò Ö Ò ÓÓÖ Þ Ò Ð ØÖÓÑ Ø Ö Ø ÔÐ Ø Ò ÓÔ Ø ÓÓ Ø ÓÙÛ Ø Ö Û Ö Ð ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ¾ Ñ Ó ÐØÓÖ Ò Ò È Ö º Å Ø Ò Ò ØÓÓÒ Ò Ò Ø Ø ÓÒØÐ Ò Ú Ò Ð ØÖÓÑ Ø Ö Ñ Ø Þ Ð Ò Ð ÓÓÖ Ò º À ÖÓÔ Ò Ñ Î ØÓÖ À Ò ½ ½¾ Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ø Ö Ú ÖÚ Ö ÓÓÖ Ì Ó ÓÖ ÏÙÐ Ñ Ò ÐÐÓÒÚÐÙ Ø Òº À Ø Û Ù Ð Ø ÚÓÓÖ ÓÓ Ø Ò ÖÓØ Ö Ò ½ Ñ ÓÒØÐ Ò ØÓ Ò Ñ Ò Þ Ð Ú Ö Ù Ð Ñº Ø Û Ø ÑÓÑ ÒØ Ú Ò ÓÒØ Ò Ú Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò º Ë Ò Ø Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ö Ô ØÖÙÑ Ò ÖÙ ÑØ Ð Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ú Ò Þ ØÖ Ð Ò Ù ØÚÓ Ö ØÙ Ö º ÃÓ Ñ ØÖ Ð Ò ÚÓÖÑØ Ò Ð Ò Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÓÒ Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ú Ö ½ Î»Ñ 3 Ú Ò Þ Ð ÓÖ Ú Ò ÖÓÓØØ Ð Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Ø ÖÑ Û Ò Ú Ò Ø º ÃÓ Ñ ØÖ Ð Ò ØÙ Ö ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÓÓ Ø Ò Ñ Ø ÐÐÓÒÒ Ò Ö ØØ Ò Ò Ø ÐÐ Ø Ò Ò ØÑÓ Ö Ñ Ö ÓÓ Ò Ñ Ò Ò Ô ÓÒ Ö ÖÓÒ º ØÖ Ð Ò ÓÔ Ö ØÑÓ Ö ÒÚ ÐØ Ø Ø Ù Ø ÖÒ Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÔÓ ØÖÓÒ Ò ÓØÓÒ Ò Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ º À Ø ÖÙ Ð ÓÑ ÐÐ Ò Ð Ò ÐØ Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ø ÒÓ Ñ Òº Ó ÛÓÖ Ø X¹Ö Ý Ò γ¹ö Ý ØÖÓÒÓÑ Ö Ú Òº À Ø ÐÓØ Ú Ò Ò Ó Ñ ÔÖÓØÓÒ Ø Ñ Ø Ò Ó Ò Ö ÓÔ Ö ØÑÓ Ö ÒÚ ÐØ ÛÓÖ Ø Ø Ø Ò ÙÙÖ ¾½º À Ø ÔÖÓØÓÒ Ø Ò ÒØ Ö Ø Ò Ñ Ø Ò Ø ØÓ ¹ Ó ÞÙÙÖ ØÓ ÖÒ Ò Ø Ø Ò Ö Ú Ò ÙÖØ Ò Ò ØÓØ ÚÓÐ º ÁÒ Ö Ø Ò Ø ÒØ ÛÓÖ Ø Ò ÖÓÓØ ÒØ Ð ÖÓÒ Ò ÔÖÓ Ù Ö Û Ö Ô ÓÒ Ò ÓÑ Ò Ö Òº Ö ÙÒÒ Ò Ø Ö ÓÓ ÒØ ÒÙÐ ÓÒ Ò ÓÒ Ò Ò ÝÔ ÖÓÒ Ò ÔÖÓ Ù Ö ÛÓÖ Òº Þ ÖÓÒ Ò ÞÙÐÐ Ò ÓÔ ÙÒ ÙÖØ Û Ö Û ÐÛ Ö Ò Ñ Ø Ø ØÓ ¹ Ò ÞÙÙÖ ØÓ ÖÒ Ò Ò ØÑÓ Ö Ø ÖÛ Ð ÓÒ Ø Ð ÐØ ÓÓ Ú ÞÛ Û ÐÛ Ö Ò ÙÒÒ Ò Ú ÖÚ ÐÐ Òº Å Ö ÓÔ Ø Ö Ú Ö ÓÙ Ò Ú Ò Ð ØÖÓÒ ØÓØ ÑÙÓÒ ÒØ µò ÙØÖ ÒÓ³ ½ ¾ º Ú ÖÚ ÐÔÖÓ ÙØ Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Ð Ù Ø Ð ØÖÓÒ Ò ÑÙÓÒ Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò ÓØÓÒ Òº ÓØÓÒ Ò ÙÒÒ Ò ÒÐ Ò Ú Ò ØÓØ Ô ÖÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÐØ º

50 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ¼ ÙÙÖ ¾¼ Ò Ò Ò ÙØÖ ÒÓ Ô Ö Ñ Ø ÖÖÙ ÑØ ÓÔ Ô ÒÒ Ò ÓÓÖ m 2 Ò Ñ Ò Ó θ ÛÓÖ Ò Ù Ø ÐÓØ Ò Ó Û ÖÚÓÓÖ Ö Ò ÚÓÓÖ ÙÖ ÚÓÓÖ Û Ö Ò Ú Ò Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Øº ÑÙÓÒ Ò Þ Ò Ò Ø Ð Ñ Ö ÙÒÒ Ò Ú Ð Ð Ú ÒÛ Ø Ð Ø Ø ØÓ Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ö Òº Ë Ñ ÒÚ ØØ Ò Ò Ò ÓÓ ¹ Ò Ö Ø ÔÖÓØÓÒ Ò ÓÛ Ö³ Ò Ø Ö Ò Û Ö Ò ÖÓÓØ ÒØ Ð ÐØ Ú Ö ÔÖ ÓÚ Ö Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ú Ð Ú Ö ÒØ ÐÓÑ Ø Ö Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ö Òº ÁÒ Ø Ò Ø ÐÐ Ò ØÓØ Ò ÔÖÓØÓÒ Þ Ð Ò ÓÓ ¹ Ò Ö ÓØÓÒ Ñ Ø Ð Ð Ø Ò Ð Ò ÒØ Ð ÑÙÓÒ Ò ÔÖÓ Ù Ö Òº ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÓÒ ÓÒ ÒØÖ Ö Ò ÓÔ ÔÖ Ñ Ö

51 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ½ Primair proton Kern (N of O) Zwak verval Hadronische interactie ÙÙÖ ¾½ Ò ÒÚ ÐÐ Ò ÓÓ ¹ Ò Ö Ø ÔÖÓØÓÒ Ö Ø ØÓÔ Ú Ò Ö ØÑÓ Ö Ò ÔÖÓ¹ Ù ÖØ Ò ÞÓ Ò Ñ ÓÛ Ö³º Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ò ÓÑÔÓ Ø Ú Ò ÓÛ Ö³ Ò Ø Ú Ö Ö ÔÖ Òº Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÒÙÐ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ö Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÛÓÖ Ø ØÓÓÒ Ò ÙÙÖ ¾¾º ÙÙÖ ØÓÓÒØ ÓÓ ÞÓ Ò Ñ ÙÒ Ú Ö Ð ØÖ ÙØ Ú Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÞÓ Ð Û Ö ÒÓÑ Ò Ò ÞÓÒÒ ØÑÓ Ö Ò Ò Ñ Ø ÓÖ Ø Òº Ø ØÓÒ Ò Ò ÒØ Ð ÓÔÚ ÐÐ Ò Ø Ò ½º Ð Ñ ÒØ Ò Ä Ò Þ Ò ÓÒ Ú Ö 10 5 Ö Ñ Ö ÓÒ ÒØ Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ò ÙÒ Ú Ö Ð Û Ö ÒÓÑ Òº ¾º Ú Ö ÓÙ Ò 3 À» 4 À ÓÒ Ú Ö ¼¼ Ö ÖÓØ Ö Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò º º Ö ÞÛ Ö ÖÒ Ò ÓÑ Ò Ú Ö Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÚÓÓÖº º Ö Þ Ò Ò ÒØ ÖÓÒ Ò Ò ØÖÓ Ò Ò ÔÖ Ñ Ö Ó Ñ ØÖ Ð Ò º º Ð ØÖÓÒ Ò Þ Ò ÓÒ Ú Ö ½ ± Ö ÞÓ ÓÒ ÒØ Ð ÖÒ Ò Ò ØÞ Ð Ò Ö ÒØ ÖÚ Ð ÔÓ ØÖÓÒ Ò ÚÓÖÑ Ò ÓÒ Ú Ö ½¼ ± Ú Ò Ð ØÖÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØº Ö Ø ØÛ Ø Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ú Ö Ð Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ò Ð»Ñ 2 ÑÓ Ø Ò Ô Ö Ò ØÙ Ò ÖÓÒ Ò ØÓÔ Ú Ò Ö ØÑÓ Öº ÁÒ Ò Ö Ð Ó Ú Ð Ñ Ø Ö ÔÖÓ Ù Ö Ò ÖÒÖ Ø Ó ÖÚ Ö Ú Ö Ð Ò º ÇÑ Ø ÒØ Ö Ø ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ú Ö 10 22»Ñ 3 Þ Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÓÒ Ú Ö Ö ÓÒ ÖÛ Û Øº À Ø Ò Ö Ô ØÖÙÑ Ø Ø ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÐØ Ð ÙÒØ Ú Ò Ò Ö Ñ Ø Ò ÓÚ Ö Ò ÒÓÖÑ º ÎÓÓÖ ÒÙÐ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ÛÓÖ Ø Ø ØÓÓÒ Ò º ¾ Û Ö Ñ Ø Ú Ò Þ Ù Ø ØÖ Ò ÓÚ Ö ½ Ò Ò Ò Ö Ò ¾ Ò Ò ÒØ Ò Ø Øº Ò Ö Ú Ò Ø Ñ Ø Ò Ö Ø ÐØ Î Ó ÓÒ Ú Ö ¼ Âº

52 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ¾ Atoomgetal ÙÙÖ ¾¾ Ë Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÒÙÐ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ö Ó Ñ ØÖ Ð Ò º Ø ÔÔ ÐÐ Ò ØÓÓÒØ ÙÒ Ú Ö Ð Ö Ö ÒØ Ú Ö Ð Ò º À Ø Ù Ð Ø Ø Ò Ö Ô ØÖÙÑ Ò Ø ÖÑ Ú Ö Ð Ò Ø Ø Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ö Ú ÐØ Ñ Ò Ö Ø Ð º Ò Ö Ð Ø Ò Ñ Ø Ú Ò Þ Ò Ú Ò Ð Ø Ò Ö Ò Ø I(E) E 2,7, µ Ñ Ø I(E) ÒØ Ò Ø Ø Ú Ò ÒÙÐ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Ø Ò Ö Eº Ö Ò Ò ³ ÓÒ Ú Ö Î Ñ Ò Ò Ø Ó Ò Þ Ò Ò º ¾ Ñ Ö Þ Ø Ö Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ø Ô ØÖÙÑ Ø ÒÓÖÑ Ö Ò ÓÔ Øº À Ø Ö ÙÐØ Ø ÛÓÖ Ø ØÓÓÒ Ò º ¾ º Å Ò Ò Ø Ø Ò ³ Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ÔÖÓÔ Ø Ø Ò Ó ÓÓÖ Ò Ò ÙÛ Ñ Ò Ñ Ú Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò Ð Ò Ó Ñ ÐØ º ÓÚ Ò ÓÒ Ú Ö Î Û Ö Ø Ô ØÖÙÑ Ò Þ Ò ÚÐ ÛÓÖ Ø Ò ÑØ Ñ Ò Ò Ø ÓÖ Ò ÐØ Ú Ò Ù Ø Ò ÓÒ Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð ÓÑ Ø Þ Ò ÜØÖ ¹ Ð Ø ØÖ Ð Ò µ ÓÑ Ø Ø Ð Ø Ñ Ò ØÚ Ð ÓÒÚÓÐ Ó Ò ÓÑ Ö Ð ÐØ ÓÔ Ø ÐÙ Ø Òº À Ø Ô ØÖÙÑ Ú Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ò ÓÚ Ò ½ Î ÓÔ Ø Ú Ò ÙÙÖ ¾ Ñ Ö Ø Ð Ö ÓÚ Ò ½¼¼ Î Ú ÒÛ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÙÖ Ò ÚÐÙ Ø Ú Ò Þ ÐØ º À Ö ÓÓÖ Ø Ø Ð ØÖÓÒ Ô ØÖÙÑ Ò ÑÓ Ð ÓÑ ÔÖÓÔ Ø ÑÓ ÐÐ Ò Ò ÙÛ ÙÖ Ø Ø Ø Òº Ö Þ Ò ÒÓ ØÛ ØÓÖ Ò Ú Ò Ð Ò Ò Ù Ú Ò Ò Ö Ô ØÖ Ú Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò º Ö Ø ÓØÖÓÔ Ú Ò ØÖ Ð Ò ØÛ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø º Å Ø Ò Ò Ú Ò Ò Ø ÙÜ Ú Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÓØÖÓÓÔ ÚÓÓÖ Ò Ö Ò Ð Ò Ö Ò Îº Ö Þ Ò ÒÛ Þ Ò Ò Ø ÙÜ Ù Ø Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò ÓÒ Ñ Ð Û Ø Ð Ð ÓÒ Ú Ö ½ ± ÖÓØ Ö Ò

53 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Flux ( m 2 sr s GeV) -1 Flux kosmische straling 1 deeltje per m 3 -s 1 deeltje per m 3 -jaar E deeltje per km 3 -jaar Energie (GeV) ÙÙÖ ¾ Ò Ö Ô ØÖÙÑ Ú Ò ÒÙÐ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ö Ó Ñ ØÖ Ð Ò º Ñ Ð º Ø Ò Ð Ú Ò ÒØ Ò Ø Ø ÓÚ Ö Ð Ò Ö Ô Ö Ó Ò ØÙ Ö ÓÓÖ Ø Ò Ò Ö ÓÒ ÒØ Ú Ò ÒÙÐ Ò Ò Ñ Ò Ø ÒØ Ò Ñ Ø ÓÖ Ø Òº À ÖÙ Ø Ò Ñ Ò Ò Ø ÒØ Ò Ø Ø Ú Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ Û Ø ÓÚ Ö Ò Ô Ö Ó Ú Ò ½ Ñ Ð Ö Öº Ö ÓÚ Ò Ö Ú Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ÒÛ Þ Ò Ò ÑÔÐ Ö Ò Ø ÖÓÒ Ú Ò Ó Ñ ØÖ ¹ Ð Ò ÚÓÐ Ò Ò ÔÔ Ò ÒØ Ø Þ ØØ Ò ÒØ ÐØ Ñ Ø Ò Ö Ò ØÓØ Ò Î Ø ÔÖÓ Ù Ö Ò Ñ Ø Ò Ô ØÖÙÑ ÞÓ Ð Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò µº ØÓØ Ð Ò Ö ¹ ÔÖÓ Ù Ö Ò ÓÒ Ñ Ð Û Ø Ð Ð ÒØ ÓÒ Ú Ö Â» Ö Ø Þ Ò ØÖ Ð Ò ÒØ Ó ØÖÓÓÔ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ø Þ Ò ÓÚ Ö Ñ Ò Ø Ò 10 9 Öº À Ø ÔÖ Ñ Ö Ô ØÖÙÑ ÒØ ÞÛ Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ú ØØ Ò ØÓØ ÓÒ Ú Ö Z = 100 Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ò Ö Ò ½ ± ÒØ ÖÓÒ Òº Ö ÒÓ Ò ÑÓ Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ò Ø Ø ÐÐ Ñ Ø Ú Ò ÙÒ Ò ÚÖ Ò Ø Ö Ú Òº Ö Ð Ò Ö Ø ÓÔ Ò Ø Ò ÚÖ Ò Þ Ò ½µ Ï Ö ÓÑ Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ú Ò Ò ¾µ ÀÓ ÛÓÖ Ò Ó Ñ ÐØ ÔÖÓ Ù Ö µ ÀÓ ÛÓÖ Ò Þ Ú Ö Ò Ð ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ð ÓÔÑ Ö Ò Ò ÖÓÚ Ö Ñ Òº

54 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ Flux ( deeltjes - GeV 1.5 m 2 -s-sr) Energie /deeltje (GeV) ÙÙÖ ¾ Ò Ö Ô ØÖÙÑ Ú Ò ÓÓ ¹ Ò Ö Ø Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð¹ Ð Ò ÖÓ Ô Òº Ö Ò Ò ³ Þ Ø Ö 10 6 Î Ø ÖÛ Ð Ö Ò Ò Ð³ Ø Þ Ò Îº ½º Ï ÙÒÒ Ò Ö Ø ÚÖ Ò ÙÛ ÙÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÓÓÖ Ò Ñ Ø Ø Ò Ò Ø Ñ Ò Ú Ò Ò ÓÓÖ Ò ÓÓÖ ÓÒ Ñ Ð Û Ø Ð Ðº Ø Û Ö Ú Ò Ò ÙÙÖ ¾ º ÃÓ Ñ ØÖ Ð Ò Ò ÔÖÓ Ù Ö ÛÓÖ Ò Ò ÒÒ Ò Ø ØÖ Ð Ò Ù Ò Ð ¹ Galactisch halo Binnenste stralingsdiscus Zon Zichtbare galactische schijf Centrum ÙÙÖ ¾ Ë Ñ Ø Û Ö Ú Ú Ò Ò ÓÓÖ Ò ÓÓÖ ÓÒ Ñ Ð Û Ø Ð Ðº Ø ÐÓ Ó Þ ÙÒÒ Ò ÓÒ Ñ Ð Û Ø Ð Ð Ú Ò Ù Ø Ò ÒÒ ÒÚÐ Òº Ñ Ø Ò ¹ ØÙÙÖ ÙÒ Ò Þ Ò Ú Ò Ñ Ò Ò Ø Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ñ Ø Ò Ò Ö < Î Ú Ò ÓÒ Ñ Ð Û Ø Ð Ð ÓÑ Ø º

55 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ ¾º Å Ò Ò ÑØ Ò Ø ÙÔ ÖÒÓÚ Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÙÒÒ Ò ÔÖÓ Ù Ö Òº ÁÒ ÓÒ Ñ Ð Û Ø Ð Ð ÓÑØ Ò ÙÔ ÖÒÓÚ Ñ Ð Ò Ò ¼ Ö ÚÓÓÖ Û Ö Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ØÙ Ò Ò 10 45,5 Â Ò Ò Ö ÔÖÓ Ù ÖØº Ò Ö ÒØ ÜØÖ Ð Ø ÙÔ ÖÒÓÚ Û Ö Ò ½ Û Ö ÒÓÑ Ò ËÆ½ ÒÓ Ñ Ò Þ ÙÔ ÖÒÓÚ ÛÓÖ Ø Ù ØÚÓ ¹ Ö ØÙ Ö º ËØÙ Ú Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ØÓÒ Ò Ò Ø Þ ÚÓÓÖ Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÒÓ Ò Ö Ú Ò Â» Ö ÙÒÒ Ò Ð Ú Ö Òº À Ø Ø Ö ÑÓ Ð Ð Ò ÓÑ Ñ Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ö ÓÔ ÙÔ ÖÒÓÚ Ó ÓÐÚ Ò Ö Ò Ô Ø Ú Ò Ú Ò ÐØ Ñ Ø Ò Ö Ò ÖÓØ Ö Ò Îº Ê ÒØ Û ÖÒ Ñ Ò Ú Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ú Ò Ø ¹ Ò Ö Ý Ø Ñ Ý ÒÙ ¹ Ò À ÖÙÐ ¹½ Ù Ö Ö Ò Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ò ÓÚ Ò Ò ³ Ñ Ø Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÓÑ Ø Ú Ò ÔÙÐ Ö Ó Ò Ö Ý Ø Ñ Ò Ø Ò Ù Ø Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø Ö Ò Ò ÖÓØ Ø Öº º À Ø ÑÓ Ð Ø ÖÓÒÒ Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò Ù ØÞ Ò Ò Ñ Ø Ò Ò Ö Ô ØÖÙÑ ÞÓ Ð Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò µº Ö ÒØ Ò Ø ÓÓ ÑÓ Ð Ø Ò ØÙÙÖ Þ Ð Ø Ò ÖÙ Ø Ð Û ÒÙ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ö ØÓ Ô Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò Ø ÔÔ Òº Ò Ñ ¹ Ò Ñ ÚÓÓÖ ÐØ Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò ÒØ Ö Ø ÐÐ Ö ÖÙ ÑØ ÓØ Ò Ú Ò ÐØ Ñ Ø Ò Û Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Û Ö ÚÓÓÖ Ø Ð ÓÓÖ ÖÑ ¾ º Ø Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò ØÓ Ò Ø ÔÖ Ñ Ö ÖÓÒÒ Ò Ú Ò Ó Ñ ØÖ Ð Ò ÚÓÖÑ ÛÓÖ Ò ÓÓÖ ÙÔ ÖÒÓÚ ÜÔÐÓ Ò ÙÒ Ö Ø ÒØ Òº ¾ º ÖÑ È Ý º Ê Úº ½¾ ½ µº

56 ÉÍ ÆÌÍÅ ËÁË À Î ÊË ÀÁÂÆË Ä Æ ÁÆ À Ì ÍÆÁÎ ÊËÍÅ

57 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Ï ÙÒ Á ¹ Ö ÒØ ÐØÓÔÓÐÓ ÁÒ Ò ÖÙ ÑØ Þ Ò Ò ÔÙÒØ Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Òº Ð Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ ÔÖ Ò Û ÓÚ Ö Ò Ð ÖÚ Ð Ö Ô Ø Ú Ð Ò Ú ØÓÖÚ Ð º ÁÒº º ¾ Ú Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ð ÖÚ Ð Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð ÓÔ Ö º Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ó Ø Ø Ö ÔÔ Ò Ø Ð Ú ØÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ö Ð ¹ ÙÙÖ ¾ Ä Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ð ÖÚ Ð Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖÚ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò ÓÔ Ö Ò ¾¼¼ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ñ Ð Ú Ò Ö Ò ½ ½ ¹ ½ ¼ Ö Ø Û Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö Ð ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð º ÖØº Ì Ò ÓÖ Ò ÙÒÒ Ò Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Þ Ð Ø Ò ÓÑ ØÖ ÖÓÓØ Ò ÐÓ Ø Ò Ú Ò Ú ÒØÙ Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Òº À Ø ÓÒÞ Ó Ð Ø ÐÐ Ò ÓÑ ÐÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Û ØØ Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖ Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ò Ö Ð ØÓÔÓÐÓ Ó ÓÑ ØÖ Ó Ø Òº Ø ÒØ Ú Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÙÒ Ñ ÒØ Ð Û ØØ Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ Þ Ò ÓÒ Ò Ð Ú Ò ÙÞ Ú Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñº ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò Û Ò Ö Ð Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ ÓÒ Ò Ð Ö Ú Ò º ÁÒ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÙÛ Ò Û Ø Ò ÓÖÚ Ð Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º ÐÐ Ö Ö Ø ÔÖ Ò Û Ó ÖÙ ÑØ Ø Ò ÖØ Ö Ø Ò ÛÓÖ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÒ Ñ Ð Ñ Ò Ø ÖÙ ÑØ Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø º Î ÖÚÓÐ Ò ÔÖ Ò Û Ú Ö ÐÐ Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø Ò Ò Ð Ö Ú Ð Ú ØÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Ø Ò ÓÖ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò Þ Ò Ø Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ø Ö Ô ÒÔÖÓ ÙØ Ø Ò Ö Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ÚÓ Ö Ò ÞÓ Ò Ñ Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Òº º½ ÈÙÒØ ÙÖØ Ò Ï ÚÓ Ö Ò Ò Þ Ô Ö Ö Ò ÒØÖ Ð Ö Ô Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ò Ñ Ð Ø Ö Ô ÔÙÒØ ÙÖØ Ò º Ø Ò ÞÓ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ö Ô Ø Û Ð Þ Ò Ò Ö Ô Ø ÛÓÖ Ø Ò Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ò Ö Ö ÔÔ Òº Ï Ø Ø ØÖ Ø Ø Ú Ö Ð Ö Ñ Ø Ø Ö Ô ÔÙÒØ³ Ù Ø ÙÐ Ñ Ø ÙÒ º ÈÖ Ñ Ø Ú Ö ÔÔ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ø Ò Ö ÓÑ Ø Ò ÙÒ Ò Ø Û Ö Ò Ö Ö ÔÔ Ò ÓÔØÖ Ò Û Ö Ò Ö ÞÓÙ Ò ÑÓ Ø Ò ÛÓÖ Ò ÒÞº Ò Þ ÓÒ Ò Ö Ö ÛÓÖ Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ü ÓÑ Ø Ñ Ø Ó º Ö Ò ÓÔØÖ Ò Ü ÓÑ ³ Þ Ò Ø ÓÙÛ Ò Ð ÑÔÐ Ø Ò Ø Ú Ò Ò Ø ÓÖ ÚÓÓÖ ÓÑ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÔÔ Òº Ï ÚÓÐ Ò Ö ÐÚ Ò Ü ÓÑ Ø ÓÔ ÓÙÛ Ú Ò Ð¹ Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º À Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ò Û Ø Ö Ô ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ð Òº ÁÒ Ø Ò Ð ÔÖ Ò Ú Ò Ò Ú ÒØº

58 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ÁÒ Ñ Ø Ö Ð Û Ö Ð ÓÑ ÓÒ Ò Ú Ò Ò ÐÐ ÖÐ ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø ÞÓÒ Ø ÓÔ ØÛ ÙØÓ³ ÓØ Ò ÓÔ Ð Ö ººº Ø Þ Ò ÐÐ Ñ Ð ÙÖØ Ò Ò Ò Ö Ø Ö Ø ÚÓÓÖ ÙÖØ Ò Ò Ø Þ Þ Ò Ò Þ Ö Ú Ò ÖÙ ÑØ Ô Ð Ò Ò Ø Þ Ò Ò Þ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð ÙÖ Òº ÙÖØ Ò Ò Þ Ò Ú Þ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Û ÓÒØÐ Ò Þ Ò ÓÓ Ú Ö Öº Ò ÙÖØ Ò Ò ÛÓÖ Ò ÓÙÛ Ð Ø Þ Ò ÓÔ ÓÙÛ Ù Ø Þ Ö Ú Ð ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð ØÖ Ò Òº À Ø Ð Ö Ð Ñ Ø Ú Ð Ú Ò Ò ÙÖØ Ò ÓÔ Ò ÓÒ Ò Ð Ò ÔÐ Ø Ø Ò ÓÒ Ò ÓÖØ ÙÙÖØ ÒÓ Ñ Ò Û Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò º Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÙÖØ Ò Ñ Ø Ò ÖÔ Ô Ð ÔÐ Ø Ò Ò ÖÔ Ô Ð Ø Ø Ôº Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò ÜÔÐÓ Ú Ò Ò ÓÒ Ò Ð Ò ÖÓØ Ñ Ø Ò ÓÒ Ò ÓÖØ ÙÖ Ò Ò Ðº Ò Ò Ö ÚÓÓÖ Ð ÓØ Ò Ú Ò ØÛ Ñ ÔÙÒØ Ò ÑÑ Ö Ð ØÛ Ñ ÔÙÒØ Ò Ð Ö Ö Ò Ö ÔÖ Ú Ò Ò ÖÔ Ô Ð ÔÐ Ø Ò Ò ÖÔ Ô Ð Ø Ø Ôº À Ø Ö Ô ÔÙÒØ ÙÖØ Ò ÓÙ Ø Ò ÜØÖ ÔÓÐ Ø Ú Ò ÓÒÞ ÖÚ Ö Ò Ò ÓÑ Ø Ö Ò Ò ÓÒ Ö Ö Ò ÚÓÓÖ Ø Ò Ú ÖÑÓ Ò ÚÓÓÖ Ø Ò Ò Ò Ø ÙÖ Òº Á Ö Ý ÔÖÓ Ø ÓÙÛ Ò Ð Ò ÓÐÐ Ø Ú Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òº Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÐÐ ÑÓ Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÒÓ Ñ Ò Û ÖÙ ÑØ Ø º ÊÙ ÑØ Ø Ò Ø Ð Ø Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ø ØÖÙØÙÙÖº À Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ô Ò Ö ÒØ ÐÑ Ø ÙÒ Ø Ú Ò Ò Ö ÒØ Ö Ö ÖÙ ÑØ Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Øµº Ï ÞÙÐÐ Ò ØÖ Ø Ò Ø ÔÐ Ù Ð Ø Ñ Ò Ò ÖÒ ÔÓ ØÙÐ Ö Ò Ø ÖÙ ÑØ Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø º º¾ Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø À Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö ÚÓÖÑØ Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÓÑ ÓÔÔ ÖÚÐ º Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ Û Ö Ð º Ò Ð Ò Û Ò ÚÖ ÙÙÖ ¾ À Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ò ÖØ ÛÓÖ Ò Ö Ø Ñ Ø Ò ÚÓÐ Ó Ò ÒØ Ð Ð Ö ÐØ Ð ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÖØ Ò n 2 ÖØ Òµº ÒÙ Ò Ñ Ò ÓÚ Ö Ö Ð ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÔÖ Ò ÞÓÒ Ö Ø ÙÐÔÑ Ð Ú Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ ÁÒ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÖÙ ÑØ Ø Ò

59 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ÖÓÑ Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Þ Û ÐÐ Ò Û Ö Ö Ú Ò ÞÓÒ Ö Ö Ò Ø Ò Ò Ò Ó Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ º À Ø ÒØÛÓÓÖ Ú Ø Ò ÞÓ Ð Ð Ø Ù Ø Ø ÚÓÐ Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ó Ö Ö Ø Ñ Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ø ÓÒ Ð Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ E 2 Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò ØÐ Ø Ò Ù Ø ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖØ Ò Û Ö Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ò Ø ÒÓ º Ò ÖØ Ö Ø Ò ØÙ Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò ØÙ R 2 º À Ø Ð Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Þ º ¾ µ Ò Ò ÖØ ÛÓÖ Ò Ö Ø Ñ Ø Ò ÚÓÐ Ó Ò ÒØ Ð Ð Ö ÐØ Ð ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÖØ Òº Ì Ò Ò ÓÓ ÔÓÐ Ò ÓÖÖ Ø Ø ÙÒÒ Ò Ð Ò Þ Ò Ö Ñ Ò Ø Ò ¾ ÖØ Ò ÒÓ º ÎÓÓÖ Ø Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ò ÖØ Þ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ò f g... ÑÓ Ð º À Ö Ô Ò Û Ð Ò ÖÔÖÓ Ø ØÓ ÔÓÐ Ò ÛÓÖ Ò Ö Ò Ø ÓÖÖ Ø Ð º Å Ö ØÓÖÔÖÓ Ø Ò Ð Ò ÖÔÖÓ Ø Û ÖÒ Ò Ö Ø Ö ¹ Ò Ð ÐÓÖÖ Ø ÛÓÖ Ø ØÓ Ô Ø Ø Ò Ð Ø ØÓØ Ó Ð º Å Ö ÓÔ Ø Û ÒÒ Ö Û Ò Ð Ò ÖÓÒ Ò Ô Ð ÔÙÒØ Ø Ú Ö Ö Ù ØÚ Ö ÖÓØ Ò Û ØÓÔÓÐÓ ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ö Ò Ñ Ö Ò Ö Òº S ÙÙÖ ¾ ÓÑ Ú Ò U Ò V Ò S ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ø Ö Ö µº ÓÖ Ò n ÖØ Ò Ò Ö R n (U,f) Ò (V,g) Ú Ò ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ò Ò Ù ØÛ Ó Ö¹ Ò Ø Ò Ø Ð Ð µ Ò Ø ÓÚ ÖÐ Ô º Ö Ð Ø ØÙ Ò Þ Ó Ö Ò Ø Ò Ö Ø Ö ÖØ ¹ Ö ÒØ Ö Ö Ð Ú Ò Ú Ö Ø Øº Ï ÙÒ ÖÙ Ò Û ÚÓÐ Ò Ò Ø º ËØ Ð Ø S Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò º Ò n¹ ÖØ Ú Ò Ò ÔÙÒØ P Ú Ò S Ò Ô Ö (U,κ) Û Ö U S Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò P Ú Ø Ò κ Ò Ø Ú Ð Ò κ : U O R n Ñ Ø O Ò ÓÔ Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò R n º Ò ÖØ (U,κ) ÚÓ Ø Ò Ö ÔÙÒØ P U S Ó Ö Ò Ø Ò (x 1,x 2,...,x n ) ØÓ Ò Ö ÓÓÖ (x 1,x 2,...,x n ) κ(p) R n º Ï ÒÓØ Ö Ò ÓÓ Û Ð ÓÖØ Ö (x i ) (x 1,x 2,...,x n ) Û Ö Ø ÐÞÛ Ò i = 1,2,...,nº Ó Ø Ú Ò ÔÙÒØ Ò Ñ Ø Û Ö Ò Ú Ò ÙÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ñ Ò Þ Ò Ð Ò Ð Ò Ú Ò ÔÙÒØ Ò Ú Ò Ò Ú Ö Ø Ø Ò Ö ÔÙÒØ Ò Ú Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ø Ù Ø Ñ Ò º Ò Ú Ö Ø Ø Ð Ø ÐÓ Ð ÓÔ Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ð ³ Ò Ø Ò Ô Ð ÒØ Ð Ñ Ò º Î Ð Ò κ Ö Ø ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ð ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò U Ú Ò S Ú Ò Ò ÓÑÑ Ú Ò ØÖÙØÙÖ Ò ÓÔ Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò O R n Øº Ò ÖØ Ø Ò Ó Ö Ò Ø Ö Ò Ú Ò U Ò ÖØ ÛÓÖ Ø ÓÓ Û Ð Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ú Ò U ÒÓ Ñ º Ó Ö Ò Ø ÒÐ Ò Ò Ò O ÛÓÖ Ò Ñ Ø κ 1 Ø ÖÙ Ö Ø Ò Ö Uº Ò ÖØ ÑÓ Ø Ò Ø Ú ÓÒØ ÒÙ Ð Ò Þ Ò

60 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¼ Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ö R 2 º Ò Ø Ú Ð Ò κ Ø ÓÒØ ÒÙ Ð κ Ò κ 1 ÓÒØ ÒÙ Þ Òº Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ò ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ º Ï ØÓÒ Ò ÐÐ ÒÓ Ò Ò º ¾ º S P g ÙÙÖ ¾ Ò Ú Ö ÖÓØ Ò Ú Ò º ¾ ØÓÓÒØ Ó Ø ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ò Ð Ò Ñ Ø Ú Ò R n Ò Ö R n Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ f 1 ÚÓÐ ÓÓÖ g Ø ÛÓÖ Ø g f 1 ÒÓ Ñ µº Ò n¹ ØÐ ÓÔ S Ò ÓÐÐ Ø ÖØ Ò {(U α,κ α )} ÞÓ Ø {U α } Ò ÓÚ Ö Ò Ú Ò S Ø Û Ð Þ Ò S = α U α º ÓÓÖ Ò ØÐ ÛÓÖ Ø Ö ÔÙÒØ Ú Ò S Ñ Ò Ø Ò Ò Ö Ò ÖØ Ö Øº ÓÓÖ ØÐ ÓÔ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò S ÛÓÖ Ø Ø ÑÓ Ð Ò ÐÝ Ø Ö Ú Ò Ò Ò Ñ Ò ÚÓÓÖ Ð ÓÚ Ö Ö ÒØ Ö Ö Ò ÔÖ Ø Òº ÙÙÖ ¼ Ò ÖØ Ø Ò Ð Ò Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ö ¾ ÙÐ ÖÙ ÑØ º ÇÔ ÖØ Ð Ø Ø Ò ØÙ Ò ÅÓÒØÖ Ð Ò È Ö ÓÔ ØÙ Ò Ó ÓØ Ò Ä Ó º Ë Ñ ÒÚ ØØ Ò ÙÒÒ Ò Û Ø ÚÓÐ Ò Þ Òº À Ø Ò Ò ØÖÙØÙÙÖÐÓÞ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Sº Þ ÛÓÖ Ø Ú Ö Ð Ò Ð Ö ÐØ Ð ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò Ò Ò Þ ÐÚ ÖÞ ¹ Ñ Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò ØÙ ÚÓÓÖ ØÙ Ò ÖØ Ö Ø Ñ Ø Ò Ö ÛÓÓÖ Ò Þ ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò Ò

61 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ½ ÛÓÖ Ò Ó Ö Ò Ø Ö º Ð S Ð Ñ Ð ÓÚ Ö Ø ÓÓÖ ÞÙÐ Ò Ð ÓÚ Ö Ò Ò ØÙ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÚÓÐ Ó Ò Ú Ö ÒØ Ö Ö Þ Ò Ò Ø S Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Øº À Ø Ò Ú Ò Ò ÖØ Ò Ó Ö Ø Ø Ô Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ º Ø Ö ÚÓÓÖ Ø Ö Ò Ò Ú Ò Ø Ò Ò Ö Ñ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÒÓ Û ÒØ Û Ò Ò Ø Û Ø Ò Ó Ø Ò Ò ÓÔ ÖØ ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ò Ñ Ø Ø Ò Ò ÓÔ Ø Ö ¹ ÓÔÔ ÖÚÐ º Þ Ò ÓÖÑ Ø ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ñ ØÖ º Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø ÖÙ ÑØ Ø Ö Ø Ø Þ ÜØÖ ØÖÙØÙÙÖº Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ ÚÓÐ Ø Ù Ø Ò Ø ÒÚ Ö ¹ Ð Ò Ò Ò ÛÓÖ Ø Ô Ð ÓÓÖ Ò Ö ¹ Ñ ¹ Ò ÑÔÙÐ Ú Ö Ð Ò Ò Ñ Ò Ú Ø ÓÓÖ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖº º ÊÙ ÑØ Ø Ú Ò ÊÌ Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÙ ÔÐ Ù Ð ÔÖÓ Ö Ò Ø Ñ Ò Ø ÖÙ ÑØ Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø º Ö¹ ØÓ ÛÓÖ Ø Ò Ð Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÚÓ Ö Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Ñ Ø Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÙÛ Ðº À Ö ÑÓ Ø Ñ Ò Ò Ò Ò Ò Ñ ÔÙÒØ Ñ Ø ÖÓÔ Ò Ð ÐÓÔ Ò ÐÓ º Þ ÐÓ Ó Ø ÚÓÓÖÐÓÔ Ð Ñ Ð Ò Ø ÒÔ Ö ÙÒ ÓÖÑµ Ø ÐÓÔ Ò Ð Ñ Ö Ò Ø Ø Ð Ø Øº Ö ÔÙÒØ ÙÖØ Ò ÓÔ ÔÐ Ø Ú Ò Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ù ÓÔ ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ñ ÔÙÒØµ ÓÓÖØ ÒÙ Ò Ò Ù Ô Ð Ø Ø Ô Ò Ñ Ð Ø t ÐÓ ÒÛ Ø Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò P = P(t) ÔÐ Ø Ú Ò Øº ÎÓÓÖ Ò Þ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð I Ö Ù Ò Ø γ : t I R γ(t) = P(t) S. Ø Ò ÖÓÑÑ Ò S Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Öº Ö Þ Ò Ø ÐÐÓÞ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò Û Ö Ð Ð Ò Ò Ø Ú Òº Ò ÞÓ³Ò ÚÓÓÖ Ð Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò ÔÙÒØØÖ Ò Ø Ò ØÖ Ò Ñ Ø Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Ñ Ø Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÙÛ Ð Þ º ½µº À Ö Ò x Ø Ò Ú Ò ÔÙÒØØÖ Ò ØÓØ Ø Ø Ø ÓÒ O Ò t Ú ÖÐÓÔ Ò Ø Ò Ø Ú ÖØÖ Ù Ø Oº Ä Ø Ò Ð Ò Þ Ò Ú Ò ÖÓÓØ Ð Ò ÚÓÓÖ Ø Ö Ú Ò Ú Ò ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º µ ÙÙÖ ½ Ï Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò ÔÙÒØØÖ Òº Ú ÖØ Ð Ð Ò Ú Ò Û Ö Ð Ð Ò ÓÑ Ò ÓÚ Ö Ò Ñ Ø ÙÖØ Ò Ò Û Ö ØÖ Ò Ø Ð Ø Øº Ð Ø Ò Ð Ò ÑÓ Ø Ñ Ò Ò Ò Ò ÓÐ Ô Ø Ú Ò Ö Ö Ò Ð Ò Ð ØÔÙÐ Ò Ó γ¹õù ÒØ Û ÖÚ Ò ÖÙ ÑØ Ð Ñ Ø Ò Ò Ò Ø ÙÙÖ Û Ö Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Þ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÙÛ Ðº À Ø ÖÙ Ð Ó Ò Ø Ð Ù Ø Ö Ð ÓÐ Ô Ø ÓÐÐ Ø Ñ Ø Ø ÖÑ ÓØÓÒ Ò Ø Ù Òº À Ø Ð Ò Ú Ò ÓØÓÒ Ò Ñ Ø ØÖ Ò ØÓØ ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø ÚÓÐ Ú Ò ÑÔ Ö Ú Ø Ø Ð ÙÒ Ú Ö Ð Ø Ø Ú Ò ÚÓÓÖÔÐ ÒØ Ò Ú Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÓÐÚ Ò Ò Ú Ù Ñ Ø Û Ð Þ Ò ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò Ò Ð Ò Ú Ù Ñ ÓÒ Ò Ð Ú Ò Û Ò ØÓ Ø Ò Ú Ò ÖÓÒ Ò Ú Ò ÓÐ Ò Ø ÒØ Ò Ø Ø Ò ÔÓÐ Ö Ø Ú Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÓÐÚ Òº

62 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¾ ÓÙÛ ÒÙ Ò Ö Ö Ø Ø ÓÒ P Ø Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Û ÖÒ ÑØº À Ø Ö Ö Ø Ø ÓÒ Ð Ò ÒÓ ÓÑ Ø Ñ Ø Ò Û Ö Ð Ð Ò Ò S Ø Ö Ú Òº ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Ò Ñ Ò Ò Ò Ò Ò ÚÐ ØÙ Û Ö Ò ÓÔ Ò Þ Ö Ø Ø Ô Ò ÓÔ Ò Þ Ö ÔÐ Ø Ø Ö Ö Ò Ð ÛÓÖ Ø Ö Ø Ö º Ø t V Ú Ò Ú ÖØÖ Ú Ò Ø Ö Ö Ò Ð Ò Ø t O Ú Ò ÓÒØÚ Ò Ø Ú Ò Ø Ö Ø Ö Ö Ö Ò Ð ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ø Ö Ö Ø Ø ÓÒ P Ö ØÖ Ö º ÁÒ Ò ÛØÓÒ Ñ Ò ÛÓÖ Ø Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ú Ø Ð ÓÓÖ Ú Ö Ó Ö Ò Ø Ò (t,x,y,z) R 4 º ÖÓÑ ÒØÖÓ Ù Ö Ò Û Ò ØÛ Ö Ö Ø Ø ÓÒ P Ø Ò Ò Ö Û Ö Ð Ð Ò Ö Ø Ò Ø Ò t V Ò t O Ö ØÖ ÖØ ÚÓÓÖ Þ Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Ñ Ø ÐÓ ÓÔ P º Å Ò Ú ÖÓÒ Ö Ø ÐØ ÒÙ Ø Ö Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò U Ú Ò S Ø Ø ÞÓ Ò Ø ÚÓÓÖ Ö ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ù Ø U Ú Ö Ö Ð Ø ÐÐ Ò (t V,t O,t V,t O ) Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÚÓÖÑ Òº ÖØ (U,κ) Ñ Ø U S Ò κ(e) = (t V,t O,t V,t O ) Ø Ò Ö ÖÓ Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ðº Ö Ö ÓÒ Ö Ø Ð Ø Ò Ö Ö Ø Ø ÓÒ ÓÓÖ Ð Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ò Ø ÖÙ ÓÑ Ò Ö ÖÔÙÐ Ñ Ø e Ú Ö ÓÒ Ò º Ð Ø Ð Ð ÐÓØ Ò ÞÓÙ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e ÓÓÖ Ñ Ö Ò ØÛ Ö Ö Ò Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö Ø Ø ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ò ÙÒÒ Ò Þ Òº Ï Ô Ö Ò ÖÓÑ Ò ÓÚ Ò Ø Ò ÓÒ ØÖÙØ ÐÐ Û Ö Ð Ð Ò Ò ØÓØ Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò V Ú Ò S ÞÓ Ø e Ò P Ö Ô Ø Ú Ð e Ò P ÓÓÖ Ð Ø ØÛ Ö ÖÔÙÐ Ò ÛÓÖ Ò Ú Ö ÓÒ Òº Ø ÛÓÖ Ø Ñ Ø Û Ö Ú Ò Ò º ¾º ÓÓÖ ÒÙ ÙÙÖ ¾ ÌÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ö Ò Ò Ò ÙÖØ Ò Ò ÖØ ÓÓÖ Ö Ö ÖÔÙÐ Ò Ò Ø Ö Ø Ö Òº Ê ÖÓ Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e ÛÓÖ Ò ÚÓÖÑ ÓÓÖ Ø Ò Ú Ò Ú ÖØÖ Ò ÓÒØÚ Ò Ø Ú Ò Þ Ö ÖÔÙÐ Òº ÖÙ ÑØ Ø S Ð Ô Û Ð Ñ Ð Ò ÖØ Ø Ö Ò Ò ÓÔ ÓÚ Ò Ø Ò Û Þ ÓÑØ Ñ Ò ØÓØ Ù Ø ÔÖ ÖÙ ÑØ Ø Ò Ú Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Øº Ö Þ Ò Ò Ø ÒÓ Ñ Ñ Ò Ö ÒÓ Ò Ö Ñ Ò Ö Ò ÓÑ ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø ÚÓÓÖÞ Òº Ï ÒÓ Ñ Ò Ö ØÛ º ½º Ö Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ÚÓÐ Ó Ò Ø ÞÛ ÖÑ Û ÐÐ ÙÖ Û Ò ÐØ Ò Ñ ¹ ÔÙÒØ Òµ Ò ÚÓÓÖÞ Ö Ú Ò Þ ÐØ Ú Ò Ò ÐÓ Û Ö Ò Ø ÒÓÓ Þ Ð ÖÛ ÒÔ Ö Ó Ø Ø ÐÓÔ Ò Ð Ñ Ö Ò Ø Ø Ð Ø Øº Ã ÒÑ Ö Ú Ö Ö Ö ÐØ ÓÓÖ Ö Ö Ð Ø ÐÐ Ò (x,y,z) ÓÑ Þ Ú Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ö Òº Ò Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò ÛÓÖ Ò ÒÙ Ú Ö Ö Ð Ø ÐÐ Ò ØÓ ÚÓ Ò Ñ Ð Ø Ö Ø Ð ÔÐ Ø Ó Ö Ò Ø Ò (x,y,z) Ú Ò Ø Ñ ÔÙÒØ P Û Ö ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ô t Ø ÐÓ Ú Ò P ÒÛ Ø ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e ÛÓÖ Ø Û Ö ÒÓÑ Òº Ï Ö Ò ÞÓ Ò ÖØ e (t,x,y,z)º À Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÛÓÖ Ø ÞÓ ÓÒ ØÖÙ Ö Ø ÚÓÓÖ Ò ÙÖ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÓÖ Ò (t,x,y,z) Û Ò Ú Ö ÐÐ Òº ¾º Æ Ñ Ú Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ö Ò ÐÓÔ Ò ÐÓ Û ÐÐ ÙÖ Û Òº Ä Ø Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÓÑ ØØ Ò t µ (µ = 0,1,2,3) Ú Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ö ØÖ Ö Ò Ø ÓÓÖ

63 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Ù Ø ÞÓÒ Òº Ó Ö Ò Ø Ò (t µ )º Å Ò Ö Ø ÚÓÓÖ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò e Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔ Ò Ñ Ø ØÖ Ò ØÓØ ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Þ Ò Ù ÔÙÒØ ÙÖØ ¹ Ò Ñ ÔÙÒØ ÓØÓÒ Ò ÐÓ º º Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ð Û Ò Ò Ö º ¾ Þ Ò Û Ø ÓÑ Ò ÔÙÒØ P Ú Ò Ú Ö Ø Ø Ø Ð Ð Ò Û Ò Ý Ø Ñ Ú Ò n Ó Ö Ò Ø Ò ÖÙ Ò Ñ Ö Û Ö ÙÞ Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ö ØÖ Ö º À Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ð ³ Ñ Ö ÔÙÒØ Ò Þ Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ò ÓÑ ØÖ Ö Ð Ø ÖØÙ Ò Ú Ò Ð Ò Þ Òº Ï ÑÓ Ò ÔÙÒØ Ò ÖÐ Ð Ò ÓÓÖ Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ù Ø Ø ÚÓ Ö Ò x α x α Ù Ø ÖÙ Ø ÓÓÖ n Ú Ö Ð Ò Ò x α = x α (x 0,x 1,...,x n 1 ) met α = 0,1,2,...,n 1, µ Û Ö Û Ò ÙÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ð ÙÒØ Ú Ò ÓÙ Ó Ö Ò Ø Òº Å Ö ÓÔ Ø Û Ø ÒØ Ò Ò Ü Ò Ò ÓÑ Ò ÙÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ú Òº Ï ÙÒÒ Ò Ò Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ù Ô ÓÙÛ Ò Ð Ø ØÓ ÒÒ Ò Ú Ò Ò ÙÛ ÒØÙ Ö µ Ó Ö Ò Ø Ò (x 0,x 1,...,x (n 1) ) Ò Ò ÔÙÒØ Ú Ò Ú Ö Ø Ø Û ÖÚ Ò ÓÙ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ (x 0,x 1,...,x n 1 )º Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÒ Ñ Ò Ø ÙÒØ Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ ÒÛ Ö ÓÒØ ÒÙ Ò ¹ Ö ÒØ Ö Ö Þ Ò ÓÚ Ö Ø Ú Ð Ö Ú Ò ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Òº ÓÓÖ Ð Ú Ö Ð Ò Ò µ Ø Ö ÒØ Ö Ò Ò Ö ÓÙ Ó Ö Ò Ø Ò x β Ö Ò Û n n Ô ÖØ Ð Ð Ò x α / x β º Þ ÙÒÒ Ò Û Ñ ÒÒ Ñ Ò Ò n n ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Λ α β x 0 x 0 x x 0 x x n 1 Λ α β = xα x β = x 1 x 1 x 0 x... 1 x x (n 1) x 0 x (n 1) x n 1 x... (n 1) x 1 x n 1 ÞÓ Ø Ö Ò ÛÓÖ Ò Ð Ð Ñ Ø Ò Ò Ü Ò Ø ÐÐ Ö Ú Ò Ô ÖØ Ð Ð Ò ÓÐÓÑÑ Ò ÓÓÖ Ò Ò Ü Ò ÒÓ Ñ Öº Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Þ Ò ÙÒØ Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ò ÖÓÑ Þ Ò ÒÙÑ Ö Û Ö Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ð Þ ÛÓÖ Ò Ù Ø Ö Ò ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÙÒØ Ò P Ú Ò Ú Ö Ø Øº Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü ÛÓÖ Ø Ó Ò Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÒÓ Ñ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ù Ñ Ø ( ) x α J = det x β. µ À Ø Ù Ð Ø ÒÙÑ Ö Û Ö Ú Ò J Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ Ò Ú Ö Ø Ø Ú Ö Ò ÖØº ËØ Ð Ø J 0 ÚÓÓÖ Ò Ô Ð Ö Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò x β Ò Ø ÒØ Ø Ø Û Ò ÔÖ Ò Ô µ Ú Ö Ð Ò Ò µ ÙÒÒ Ò ÓÔÐÓ Ò Ò Ö ÓÙ Ó Ö Ò Ø Ò x β º Ï Ö Ò ÓÔ Þ Û Þ ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ö Ð Ò Ò, µ x α = x α (x 0,x 1,...,x (n 1) ) met α = 0,1,...,n 1. ¼µ ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ö ÓÚ Ò ÙÒÒ Ò Û ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Λ α β = x α / x β Ò Â Ó Ò Ú Ò ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø J = det( x α / x β ) Ô Ð Òº

64 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Ð Û ØØ Ò Ö Ð ÖÙ Ò Ò ÙÒÒ Ò Û ÒÚÓÙ Ð Ø Ò Þ Ò Ø ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ñ ØÖ Ü ÒÚ Ö Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü ÓÑ Ø n 1 Λ α β Λβ γ = β=0 n 1 β=0 x α x β x β x γ { = xα = δ α 1 als α = γ, x γ γ = 0 als α γ, Û Ö Û ÃÖÓÒ Ö ÐØ δ α γ ÖÙ Ò Ð Ñ Ø Ø Ø x α x γ } ½µ = xα = 0 als α γ, ¾µ xγ ÓÑ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ò ÞÓÛ Ð Ø ÒØÙ Ö Ð Ò Ø Ò Ø¹ ÒØÙ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ¹ Ò Ð Þ Òº ÇÑ Ø ØÛ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ð Ö ÒÚ Ö Þ Ò ÚÓÐ Ø J = 1/Jº Ï ÓÙÛ Ò ØÛ Ò ÙÖ ÔÙÒØ Ò P Ò Q Ò Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ô Ø Ú Ð Ó Ö Ò Ø Ò x α Ò x α + dx α º ÁÒ Ø Ò ÙÛ Ý Ø Ñ ÛÓÖ Ø Ò Ò Ø Ñ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ò ØÙ Ò P Ò Q Ú Ò ÓÓÖ ØÓØ Ð Ö ÒØ Ð dx α = xα x 0 dx0 + xα x 1 dx xα x n 1dxn 1, Û Ö Û Ó Ð Ò Ø Ô ÖØ Ð Ð Ò Ò Ö Ø ÖÞ Ú Ò Ú Ö Ð Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø Ö Ò ÓÔ ÔÙÒØ Pº Ï ÙÒÒ Ò Ø ÓÒÓÑ Ö Ö Ú Ò Ð µ dx α = n 1 β=0 x α x β dxβ = xα x β Pdx β, µ Û Ö Û Ò Ð Ø Ø Ø Ô ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ Ú Ò Ò Ø Ò Ò Ò ÚÓ Ö º Ø Ø ÒØ Ø Ð Ö Ò Ù Ø ÖÙ Ò Þ Ð Ò Ü ÓÚ Ò Ð Ò Ò ÚÓÓÖ ÓÑØ Û ÙØÓÑ Ø ÓÑÑ Ö Ò ÓÚ Ö ÐÐ Û Ö Ò Ò Ü Ò ÒÒ Ñ Òº º ÓÑ ØÖ Ó Ø Ò ÁÒ Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ò Û ÔÓ ØÙÐ Ö Ø ÖÙ ÑØ Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø º Ï ÔÖ Ò ÒÙ Ú Ö ÐÐ Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø Ò Ò Ð Ö Ú Ð Ú ØÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Ø Ò ÓÖ Òº Å Ö ÓÔ Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÓÒ ÔØ ÒÔÖÓ ÙØ Ô Ð Ø Ö Ò ÓÖ ÓÑ Òº º º½ ÈÙÒØ ÙÖØ Ò À Ø Ö Ô ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Û Ö Ö Ö ÔÖÓ Òº ÊÙ ÑØ Ø Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÐÐ ÑÓ Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òº º º¾ ÙÖÚ À Ø ÖÙ Ð ÓÑ Ò ÙÖÚ Ø Ò Ò Ò Ò Ö Ú Ö ÓÒ Ò ÔÙÒØ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ø ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ô Ò Û Ö ÖÚ Ö Ò Ø ÛÓÓÖ ÙÖÚ ÚÓÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ô º Ï Ò Ö Ò Ò ÙÖÚ Ð Ò Ð Ò Ú Ò Ò ÒØ ÖÚ Ð Ú Ò Ö Ð Ð Ò Ò Ö Ò Ô Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ø Ø ÒØ Ø Ò ÙÖÚ Ò Ô Û Ö Ñ Ø Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Ö Ð Ø Ð ¹ Ó Ö º Ø Ø Ð ÒÓ Ñ Ò Û Ô Ö Ñ Ø Öº Ò ÙÖÚ P(λ) Ø ÒØ Ö Ò Ð Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Ö Ð Ø Ö Þ Ò Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö λº Ð ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ø ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò ÙÒØ Ú Ò λº Ö Ð Ø Curve : {x 0 = f(λ),x 1 = g(λ),x 2 = h(λ),x 3 = k(λ),a λ b}. µ

65 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Ð Û Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÖÚ Ò Ò Ñ Ö Ò Ø ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òµ ÓÓÖ λ = λ (λ) Ú Ò Ò Û {x 0 = f (λ ),x 1 = g (λ ),x 2 = h (λ ),x 3 = k (λ ),a λ b }, µ Û Ö f g h Ò k Ò ÙÛ ÙÒØ Þ Ò Ò Û Ö Ð Ø a = λ (a) Ò b = λ (b)º Ï ÙÒ ÒÓ Ñ Ò Û Ø Ò Ò ÙÛ ÙÖÚ Ø ÖÛ Ð Ð Ò Ø Ô Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø ÚÓÐ ÛÓÖ Øµ ØÞ Ð Ð Øº Ò ÓÒ Ò ÒØ Ð ÖÓÑÑ Ò ÙÒÒ Ò Ù ØÞ Ð Ô Òº ÎÓÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö ÛÓÖ Ø ØÝÔ Ø ÓÔ ÐÓ Ú Ò Ò Ñ Ö Þ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÖÙ Øº Ð Ò Ñ ØÖ ÓÒØ Ö Ø ÙÒÒ Ò Û Ø Ö Ò Ø ÔÖ Ò ÓÚ Ö Ð Ò Ø Ð Ò Ò ÙÖÚ º º º Ë Ð ÖÚ Ð Ï ÓÙÛ Ò ÐÐ Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ò Ò Ø Þ Ò ÖÙ ÑØ Ò ÓÒØ ÒÙ Ò Ö ÒØ Ö¹ Ö Þ Òº Ø Ø ÒØ Ø Û ÓÔ Ð ÔÙÒØ Ú Ò Ú Ö Ø Ø Ò Ð ÖÚ Ð Φ ÙÒÒ Ò Ò Ö Ò Ò Ø Þ ÙÒØ ÓÚ Ö Ð Ò ÛÓÖ Ò Ö ÒØ Ö º ËØ Ð Û Ò Ò Ð ÙÒØ Φ ÙÙÖ Ö ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Sº ÒÒ Ò Ò ÐÓ Ð Ò Ò ÖØ Ñ Ø Ð Ö Ð Ø ÐÐ Òµ Ó Ö Ò Ø Ò (x,y) ÔÙÒØ Ò Ò Ú Ö Ø Ø Ð Ð Òº ÇÑ Ð Ú Ö Ø Ø Ø ØÖ Ò Ò Ò Û Ú Ö ÐÐ Ò ÖØ Ò Ñ Ò Ø Ð Ñ Ò³º Ò Ö ÓÔ S Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÓÔ Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ º ÁÒ ÑÓ ÖÒ Û ÙÒ Ø Ð Φ Ò Ò Ð Ð Ò Ú Ò S Ò Ö ÖÙ ÑØ Ú Ò Ö Ð Ø ÐÐ Ò R ÓÑ Ø Φ Ò Ö ÔÙÒØ Ú Ò S Ò Ö Ð Ø Ð ØÓ ÒØ Ø Û Ð Þ Ò Φ Ñ Ø Ò Ð Ò Ú Ò S Ò Ö Ö Ð Ø ÐÐ Òº Ò Ö Ð ÙÒØ ÛÓÖ Ø Ú Ò Ð ÖÚ Ð ÓÔ S ÒÓ Ñ º ÒÒ Ò Ò Ô Ð ÐÓ Ð Ø Φ Ò Ó Ö Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Φ = f(x,y) ÓÔ ÓÖ Ò ÖØº Ð Ú Ò Ø Ð ÖÚ Ð Φ ÓÑØ Ò ØÓØ Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ò ÙÒØ f(x,y)º À Ø Þ Ð Ð Þ Ö ÓÔ Ú ÐÐ Ò Þ Ò Ø ÓÒ Ö ÛÓÖ Ø Ñ Ø ØÙ Ò Φ Ò fº Ö Ò Ø Φ Ò Ö ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ö Ù Ø ÖÙ Ø Ò ÛÓÖ Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Òº Û ÙÒ Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ f(x,y) Ò Ú Ö ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ú Ö ÐÐ Ò ÖØ Ò Ø ÖÛ Ð ÖÓÓØ Φ ÓÔ Ð Ô ÔÙÒØ Ú Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ ØÖ Ò ÓÓÖ Þ ÖØ Ò Ò Ø Ú Ö Ò ÖØº ÎÓÓÖ Ò Ò Ö ÖØ Ò º Ð Ø ÚÓÓÖ Ð Φ = F(X,Y )º Ð ÖØ Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ð Ø f(x,y) = F(X,Y )º Ô Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ F Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò X Ò Y Þ Ð Ò Ø Ð Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ f Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò x Ò yº ÁÒ Ø Ð Ñ Ò X Ò ÓÑÔÐ Ö ÙÒØ Ú Ò x Ò y Ò Ø ÓÚ ÖÐ Ô Ò Ø Ð Ø ÓÓ ÚÓÓÖ Y º Å Ø Þ ÙÒØ Ò Ò Û Ö Ò Ò Ø ÓÙ Ò Ð Û Ú Ò f Ò Ö F Òº Ö Ð ÙÒØ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ò Ý Ø Ñ Ö Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ú Ò Ø Ò Ö Ý Ø Ñ X = X(x,y) en Y = Y (x,y), µ

66 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Ò ÙÒ ÒÚ Ö ÒÓ Ñ Ò Û ÓÚ Ö Ò ÙÒØ º x = x(x,y ) en y = y(x,y ), µ Ì Ò Ò Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÓÒÖ Ø Ø Ñ Ò Ø ÐØ Í Þ ÚÓÐ Ò ØÙ Ø ÚÓÓÖº Ò Û ÖÒ Ñ Ö Û ÚÓÓÖÞ Ò Ú Ò Ø Ð Ð O ÐÙ Ø ÓÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò Ò Ô Ð Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÖØ Ø Ö Ò Òº À ÖØÓ Ñ Ø Ò ÖØ Ú Ò Ø Ò ÖÙ Ø Ó Ö Ò Ø Ò x Ò yº Ò Ô Ð ÔÙÒØ P Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ ÓÑØ ÓÚ Ö Ò Ñ Ø Ò Ô Ð ÔÙÒØ (x,y) ÓÔ Þ Ò ÖØº Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Û Ð Ð Ò Ñ Ø O µ ÓÑØ ÓÔ ØÞ Ð º À Ñ Ø ÓÓ Ò ÖØ Ø Ö Ñ Ø ÚÓÐÐ Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò (x,y )º Æ Ú ÖÐÓÓÔ Ú Ò Ø ÐÙ Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÓÑ ÙÒ Ò ÐÝ Ø Ú Ö Ð Ò Ò Ð Ò Þ ÖØ Ò Ò Ø Ð Öº À Ø Ð Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ò Û ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ú Ò Ò ØÙ Ò ÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ò x = (x,y) ÓÔ ÖØ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O Ò x = (x,y ) Ú Ò O º ËØ Ð Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø ÚÓÐ Ò Ø Ð Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ò x ( ) ( ) = 5x 2y x x x ( ) ( )( ) y = 3x + 2y y x y x 5 2 x = = x = Ax. y 3 2 y y x y y Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ð Ò Ö Ð Ò µ Ú Ò Ò ÔÙÒØ (x,y) Ò Ö Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ð (x,y )º ÁÒ Ñ ØÖ ÜÚÓÖÑ ÑÓ Ò Û Ø Ö Ú Ò Ð x = Ax Ò Ò Ò Ð Ò Ø Ò¹ÓÔ¹ Ò Ð Ò µ Ð Ø deta 0º Ö ÐØ ÔÖ Ú Ò Ò Ð ¹ Ð Ô Ø Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ð (x,y ) ÛÓÖ Ø ÓÙÛ Ð Ø Ò Ö Ò Ú Ò Ò ÙÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ò ÙÛ Ò Ñµ ÚÓÓÖ (x,y) Ò Ò Û Ø Ñ Ò Ñ Ø Ø Ð Ô Ø Ð (x,y ) ÓÙÛ ÛÓÖ Ø Ð Ò Ò ÙÛ ÔÓ Ø ÔÐ Ø µ ÚÓÓÖ (x,y) Ò ÓÑØ Ø Ð Ô Ø Ø ÚÓÓÖ Òº ÁÒ Ø Ò ÓÖÖ Ò Ò Þ Ò Û Ò Ø Ð Ñ Ò Ñ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ø Ð Ô Øº Ï ÒÓ Ñ Ò ØÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ö Ð Ø Ö ÓÓÖ x = Ax Ö Ô Ø Ú Ð Ø Ý Ø Ñ O Ò Oº ËØ Ð Ø Ø ÔÙÒØ P Ú Ò Ú Ö Ø Ø Ò Ø Ý Ø Ñ O Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ò (x,y) = (0, 1)º Å Ø Ú Ö Ð Ò µ Ú Ò Ò Û ÚÓÓÖ Ø ÔÙÒØ (x,y) = (0, 1) Ø Ð ÔÙÒØ (x,y ) = (2, 2) Ò Ý Ø Ñ O º À Ø ÓÖ Ò Ð Ò O Ò Ø Ð ÔÙÒØ Ò O Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ñ Ö Ø ÐÐ Ò ØÞ Ð ÔÙÒØ P Ò Ú Ö Ø Ø ÚÓÓÖº ËØ Ð Ø Û ÖÒ Ñ Ö O Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ T Ò Þ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ú Ò Ñ Ø Ù Ø¹ ÖÙ Ò T : T(x,y) = x y Ø Ò Ð ÖÚ Ð T Ø Ú Ö ÐÐ Ò Û Ö Ò Ò ÒÒ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÙÒØ Òµº ÇÔ ÔÙÒØ (x,y) = (0, 1) ÛÓÖ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ú Ò ÓÓÖ T = ( 1) = 31 º ÇÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Û ÖÒ ¹ Ñ Ö Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð O Ø Ú Ò Ò Ò Ò Û Ö Ø ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò µ Ø Ð Òº À ÖØÓ ÒÚ ÖØ Ö Ò Û ÓÖ Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ú Ò Ò A = ( ) A 1 = 1 16 ( µ ). ½¼¼µ Ö Ð Ø Ò x = 1 16 (2x +2y ) Ò y = 1 16 ( 3x +5y ) Ò Û Ö Ò Ò Ò Ö Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖº Ï Ú Ò Ò T : T(x,y ) = (2x +2y ) 1 16 ( 3x +5y ) = x y º Ð Û ÒÙ Û Ö Ò Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÓÔ ØÞ Ð ÔÙÒØ Ð ÔÙÒØ (x,y ) = (2, 2)µ Ò Ú Ò Ò Û Û Ö T(x,y ) = T(2, 2) = ( 2) 16 = ,375 1,375 = 31 ÞÓ Ð Ø ÓÓÖØ Û ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ð ÖÚ Ð Ø Þ Ò Ø ÒØÖ Ø Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ø Û Þ Òº Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ò Ø Ò Ò Ú Ö Ø Ø Ø ØÙ Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Û Ö ÖØ Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ò Ø Ú Ðµ Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÓÔ ÔÙÒØ P Ð Ò 31 º ÎÓÓÖ Ø Ò ÓÖÖ Ò Ò ÒÒ Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø ÓÖ ÓÒÓÒØ ÖÐ º Ø ÚÓÓÖ Ð Ò Ö Ø ÒÒ ¹ Ñ Ò º ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò ÖÓÐ Ô Ð Ò Ò ÊÌ Þ Ò ÓÚ Ö Ø Ð Ñ Ò Ò Ø Ð Ò Öº

67 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á º º Î ØÓÖÚ Ð À Ø Ö Ô Ú ØÓÖ ÓÒØ Ø Ò Ò Ý Ò Û Ð ÓÓÖ Ö ÔÔ Ò Ð Ò Ð Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò º Þ Ó Ø Ò Ò Ò ÖÓÓØØ Ò Ò Ö Ø Ò Ò Þ ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ Ø Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ð Ø Ð Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ º Î Ð Ú ÖÛ ÖÖ Ò ÓÑØ ÚÓÓÖØ Ù Ø Ø Ø Ø Ò Ñ Ú ØÓÖ³ Ö Ö ÖØ Ò Ö ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò ÓÒ ÔØ Ò Ò ÖÞ Ò ÞÙ Ú Ö ÒÙÑ Ö Ó Ø Ò Ö Ó ÓÐÓÑ Ø ÐÐ Òµ Ò Ò ÖÞ Ò Ó Ø Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ó ØÓÔÓÐÓ Ò ÔÔ Òº ÁÒ Þ Ð Ø Ø Ø Ò Ú ØÓÖ ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ò Ø ÖÓÑ Ò ÙÒ ÓÑÔÓ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÒØ Òº Ï Ò ÖÙ Ò Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ó Ñ Ö Ð Ñ Ò Ò Ø Ò ÓÖµ Ø Þ Ò Ð Ò ÓÑ ØÖ Ó Ø³ Ø Ø Ñ Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò ÞÓÒ Ö Ø ÑÓ Ø Ò Ö Ö Ö Ò Ò Ö Ò Ô Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñº º Ø Ò ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð ÚÓÓÖ Ð ÙÙÖ Ö ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð Ð Ò Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ô ÐØ ÓÚ Ö Ú Ö Ø Ø³ Ø Ò ÓÔ Sº Ú ØÓÖ Ò Þ Ò ÓÒ Ò Ò ÙÒ ÔÐ Ø º ÓÖ ÞÓÒØ Ð Û Ò Ò Ð ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö º Ò ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖ Ò Ó Ø V Ø Ð Ø Ò Ò Ô Ð ÖÙ ÑØ Ò ÓÒ ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ø Ò Ò Ø¹ ÙÐ ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú ÖÓÑÑ Ò º Ú ØÓÖ Ø Ò Ô Ð Ø Ò Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø ÐØ Ò ÓÒ ÚÓÓÖ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Û Ò Ò Ð ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö ÚÓÓÖº Ï ÙÒÒ Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ò Ò Ð Ô ÐØ ÞÓÒ Ö Ø Ö Ö Ö Ò Ò Ö Ò Ô Ð Ò Ø Ò Û Ò Ò º º Ö Ò ÙÒ Ñ Ò Ö ÓÑ Ò ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖ Ø ÜÔ Ò Ö Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº ÓÒ Ö Ú Ö Ö Ò ÓÖÑ Ø Ò Û Ö Ò Ð ( ) a V = ½¼½µ b ÞÓÒ Ö Ò Ø Ò ÓÑ Ø Û Ò Ø Û Ø Ò Û Ð Û Ò Ò Ø ÖÙ Òº Ï Ø Û Ò Ò Ø Ó Ò Ø Ø Ö Ú Ò Ð ( ) a V ½¼¾µ O b Ò Ö ÚÓÓÖ Ð Ò Þ Ò À Ð ÖØÖÙ ÑØ Ñ Ø ÓÑÔÐ Ü ÓÐ ÙÒØ Ú Ò ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò Ó Å Ò ÓÛ ÖÙ ÑØ Ú Ò Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º

68 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Û ÖÑ Û Ñ Ø Ø Ô ÐØ O Ó Ð Ò Ø Ú ØÓÖ V ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò a Ò b Ø Ú Ò Þ Ò Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O ÚÓÓÖ Ð Ø (x,y) Ý Ø Ñµº Ú ØÓÖ V Ò Ô Ð Ñ Ø Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ð Ø ÐÐ Òº Ï ÙÒÒ Ò ÓÓ Ö Ú Ò V = a e x(o) + b e y(o), ½¼ µ Û Ö e x(o) Ò e y(o) Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O Þ Òº Ï Ò Ò Ø ÞÓ Ó Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö ÙÒÒ Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ð O Ò Ò Ð Ø ( ) p V, ½¼ µ O q Û Ö V = p e X(O ) + q e Y (O ), ½¼ µ Ñ Ø e X(O ) Ò e Y (O ) Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O ÚÓÓÖ Ð Ø (X,Y ) Ý Ø Ñµº Å Ö ÓÔ Ø Ú Ö Ð Ò Ò ½¼¾µ ¹ ½¼ µ ÐÐ Ð Ö Ú Ò Ò Þ Ò Ú Ò Þ Ð ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖ V º À Ø Ú ÖÐ Ð ÓÑ Ø Ò Ò Ø Ø ÝÑ ÓÓÐ e x x¹óñôóò ÒØ Ú Ò e¹ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ø ÐØº Ï Ó Ð Ò Ø Ö Ñ Ø e x Ò ÚÓÐÐ Ú ØÓÖ Û Ö Ø Ù Ö ÔØ x ÓÒ Ö Ð Ú Ò Ò Ñ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Û Ð Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Û Ó Ð Ò Ò Ñ Ð Ú ØÓÖ Ò x¹ö Ø Ò µº Ú ØÓÖ e x Ø Þ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Û ÖÚ Ò x¹óñôóò ÒØ Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð ( e x ) x º ÚÓÐÐ Ú Ò Û Ò Ø Ú Ð Ò Ñ Ø ß e x, e y Ðº Ð ÓÑÔÐ Ø Ø Ú ØÓÖ Ò Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò Ð º ÁÒ º Þ Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ò Ú Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Û Ö Ú Òº Ò ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖ ÛÓÖ Ø ÚÓÓÖ Ø Ð ÓÓÖ Ô Ð Þ º µ Ò ÓÓÖØ Ò Ø Ò Ó Ò Ö Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñº À Ø Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ñ Ø Þ Ð Ø Ò Ø Ò Ö Øº Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ø Ö Ú ÒÙ Ø ÙÒ Ò Þ Ø ÔÙÒØ Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñµº ÖÙ Ð Ø Ö Ô Ò Ø Ú ØÓÖ Ò Ø Ú Ö Ò ÖØ Ð Û Ú Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ö Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Òº Ö Ð Ø ( a b ) O = ( p q ) O. ½¼ µ Æ ØÙÙÖÐ Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò a Ò b Ò Ø Ð Ò p Ò q Ò Ò Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ö Ø Ø Ú Ò Ò Ó Û Þ ÙÒÒ Ò Ö Ò Ò Ð Û Ú Ò Ú Ö Ò Ö Òº Ï Ò Ð ÚÓÐ Ø Ø Û Ö Ö Ø Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Pº ÇÔ Þ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Þ Ò Û Ò Ò ÓÑÔÐ Ø Ø ÓÒ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò Ö Ð Ö Ð ÙÞ ÓÓÖÐÓÓ µº Ï ÒÓ Ñ Ò Þ Ú ØÓÖ Ò e i Ò ÖÙ Ò Þ Ð ÓÑ Ò Ö Ú ØÓÖ Ò ÓÔ ÔÙÒØ P Ò Ø ÜÔ Ò Ö Ò u = u α e α Ò v = v α e α º º ØÓÓÒØ Ø Þ Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ T P Ò ÖØ ÓÔ ÔÙÒØ Pº ÐÐ Ú ØÓÖ Ò ÛÓÖ Ò ÐÓ Ð ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ö Ú Ò º Ö Ø Ò Ð Ò α eα Ð Ò Þ Ó Ö Ò Ø Ò Ô ÒÒ Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ Ö ÖÙ ÑØ Ò ÔÙÒØ Pµ ÓÔº ÁÒ º Ò Û Ð Ó Ö Ò Ø Ò χ(p) Ò ψ(p) ÖÙ Øº Ú ØÓÖ Ò ÛÓÖ Ò Ú Ò ÓÓÖ Ö Ø Ò Ð Ò Ð Ò Ó Ö Ò ØÐ Ò Ò Ò Þ Ò / χ Ò / ψº Ï ÙÒÒ Ò Ò Ú ØÓÖ Ù Þ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ð º Ï Þ Ò Ø Þ Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ò Ú Ö Ø Ø Ð Ò Ñ Ö Ò Ò Ú ØÓÖÖÙ ÑØ ÓÔ Ô ÒÒ Òº Ö ÛÓÖ Ò Ú Ò Ö ÝÑ ÓÐ Ò ÖÙ Ø ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Ò ÞÓ Ð i j Ò kº ÇÓ Ø ÑÓ Ð ÓÑ e Ø Þ Ò Ð Ò Ó Ø Ñ Ø Ó Ö Ö Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ú ØÓÖ Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Ø Ò Ø ÓÙØ Ñ Ö Ò ÓÒ Ú Ð ÓÓ Ò Ø ÒÙØØ º Ï Ø ÔÔ Ò Ù Ú Ò Ø Ö Ô ÚÖ Ú ØÓÖº ÁÒ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÙÒÒ Ò Û Ò Ú ØÓÖ Ò Ø ÒÚÓÙ ÚÖ Ú ÖÔÐ Ø Ò

69 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ÙÙÖ Ú ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ÛÓÖ Ò Ò Ù Ö ÚÓÖÑ Ò Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ ÓÔ Ð ÙÖØ Ò Ú Ò Ú Ö Ø Øº Ð Ó Û Ð º Ò ÒÞ Ø Ð ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ò Û ÓÒ Ø Ö Ð Ö Ò Ø Ò ØÖ Ø Ú Ö Ø Ø ÓÙÛ ÒØ Ø ÛÓÖ Ò Ð Ò Þ Ð Ø Ò ÒØ Ø Ø Ö Ò Ó Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Û Ö Ò Ú Ö Ø Ø Ò Þ Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ Ò Þ Ò Ò º Ï Ú Ò Ò ØÓ Ð Ø Ò Ò Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ð Ø Ò Ú Ò Þ Ò Ò Ú ÖØÖÓÙÛ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ Ö Øº ÎÓÓÖ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ï ÓÙÛ Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ø ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò (x,y, z) Ò ÓÖ Ò Ú Ò Ò ¹ Ú ØÓÖ Ò { i, j, k}º Ï ÖÙ Ò Ø Ý Ø Ñ Ð Ð Ñ Ò Ö Ö ÒØ ÓÑ Ò Ö Ò Ø ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ö Ú Òº Ï Ò Ò ØÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ (u, v, w) Ø Ò Ø ÖØ ÚÓÓÖ Ð Ö Ó Ö Ò Ø Ò (r, θ, φ)º Ö Ð Ø x = x(u,v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), ½¼ µ Ò Û ÙÒÒ Ò Ø ÒÚ ÖØ Ö Ò ÓÑ u, v, w Ø Ö Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò x,y, zº Ï ÙÒÒ Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ú Ò Ð r = x(u, v, w) i + y(u, v, w) j + z(u, v, w) k, ½¼ µ ÁÒ Ò Û w Ð Þ ØØ Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ w 0 Ø ÖÛ Ð u, v ÑÓ Ò Ú Ö Ö Ò Ö Ò Û r = x(u,v, w 0) i + y(u, v, w 0) j + z(u, v, w 0) k. ½¼ µ Ø Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ø Ó Ö Ò Ø ÒÓÔÔ ÖÚÐ w = w 0 Û Ö Ó Ö Ò Ø Ò u, v ÖÓÐ Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ð Òº Ï ÙÒÒ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ ØÛ Ò Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÓÔ ÒØ Û Þ Ú Ö Ö Òº Ð Û Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò v = v 0 Ò w = w 0 Ø ÐÐ Ò Ñ Ö u Ð Ø Ò Ú Ö Ö Ò Ö Ò Û r = x(u, v 0, w 0) i + y(u,v 0, w 0) j + z(u, v 0, w 0) k, ½½¼µ Ö Ò Û Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø ÒÙÖÚ Ú Ò ÓÓÖ Ò Ð Ò Ú Ò ÚÐ Ò v = v 0 Ò w = w 0 Û Ö u ÖÓÐ Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ò ÙÖÚ Ô ÐØº Ï ÙÒÒ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ ØÛ Ò Ö ÙÖÚ Ò ÓÔ ÒØ Û Þ Ú Ö Ö Òº ÓÓÖ Ð ÔÙÒØ P Ñ Ø Ó Ö Ò Ø Ò (u 0, v 0, w 0) Ò Ö

70 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¼ ÙÙÖ Ó Ö Ò ØÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÓÐ Ð Ò Ð ¹ÚÐ µ Ò Ó Ö Ò ØÙÖÚ Ò ÚÓÓÖ Ö Ó Ö Ò Ø Òº Ó Ö Ò ØÚÐ Ò Ú Ò ÓÓÖ u = u 0 v = v 0 Ò w = w 0º ÚÐ Ò Ò Ò Ð Ö Ò Ó Ö Ò ØÙÖÚ Òº ÎÓÓÖ Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ò Û x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. ½½½µ Û Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ø ÚÓÐ Ò Ö Ò r 0 0 θ π Ò 0 φ < 2πº º ØÓÓÒØ Ø Ø Ó Ö Ò ØÚÐ r = r 0 Ò ÓÐ Ñ Ø ØÖ Ð r 0 Ø Ó Ö Ò ØÚÐ θ = θ 0 Ò ÓÒ Ò Ð Ñ Ø Ô Ü Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ò Ú ÖØ Ð Ò Ø Ó Ö Ò ØÚÐ φ = φ 0 Ò Ð ¹ÓÒ Ò ÚÐ Ñ Ø z¹ Ð Ö Ò º ÓÔÔ ÖÚÐ Ò θ = θ 0 Ò φ = φ 0 Ò Ò Ð Ö Ò Ø Ö ÙÐØ ÖØ Ò Ó Ö Ò ØÙÖÚ Ò ÐÐ Ò Ú Ò O Ú ÖØÖ Ø ÓÓÖ P Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ò φ = φ 0 Ò r = r 0 Ò Ò Ð Ö Ò ÙÖÚ Ò ÐÚ Ö Ð Ñ Ø Ò ÔÙÒØ Ò ÓÔ z¹ Ò ÓÓÖ P Ø Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ò r = r 0 Ò θ = θ 0 Ò Ò Ð Ö Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ð ÓÓÖ P Ñ Ø Ø Ñ ÐÔÙÒØ ÓÔ z¹ º Ð Û Ú Ö Ð Ò ½½¼µ Ö ÒØ Ö Ò Ò Ö Ô Ö Ñ Ø Ö u Ö Ò Û Ò Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖ Ò Ó Ö ¹ Ò ØÙÖÚ º ÇÑ Ø Û Ø Ò Ö ÒØ Ö Ò v Ò w ÓÒ Ø ÒØ ÓÙ Ò Û ÒØ ÓÔ Þ Û Þ Û ÙÖÚ Ò Ö µ Ò Û Ò Ø Ô ÖØ Ð Ð Ò Ö u ÒÓÑ Ò Ú Ò Ú Ö Ð Ò ½¼ µº Ð Û ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ú Ö ¹ Ð Ò ½¼ µ Ô ÖØ Ð Ò Ò Ö v Ò w Ö Ò Û Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖ Ò Ú Ò Ò Ö ØÛ Ó Ö Ò ØÙÖÚ Òº Ö Ô ÖØ Ð Ð Ò e u r u, r ev v, r ew w, Ö Ò ÓÔ ÔÙÒØ (u 0, v 0, w 0) Ú Ò Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖ Ò Ò Ö Ó Ö Ò ØÙÖÚ Ò ÓÓÖ P Òº ÇÔ Þ Û Þ Ú Ö Ö Ò Û Ò ØÙÙÖÐ { e u, e v, e w} ÓÔ ÔÙÒØ Pº ÁÒ Ø Ð Ñ Ò Þ Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ò Þ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Òº Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð λ ÙÒÒ Ò Û Ò Ð ÔÙÒØ P Ú ØÓÖ λ Ö Ö Ö Ò Ò { e u, e v, e w} ½½¾µ λ = λ u e u + λ v e v + λ w e w. ½½ µ Ï ÖÙ Ò u i (i = 1,2, 3) Ò ÔÐ Ø Ú Ò (u, v, w) ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ò { e i} (i = 1, 2, 3) Ò ÔÐ Ø Ú Ò { e u, e v, e w} ÚÓÓÖ Ò ØÙÙÖÐ º ÎÓÓÖ Ò Ú ØÓÖ λ Ù Ò Û ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò { e i} Ò Ñ Ø λ i (i = 1,2, 3)º Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò ½½ µ ÒÙ Ù Ø ÖÙ Ò Ð 3 λ = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 = λ i e i. i=1 ½½ µ

71 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ½ Ï ÔÖ Ò ÒÙ Ø Ò Ò Ü Ù Ø Ø Ñ Ò Ú Ò Ø Ð Ø i, j, k,...µ ÐØ ÐÓÓÔØ ÓÚ Ö Û Ö Ò ½ ¾ Ò º Î Ö Ö ÓÑÑ Ö Ò Û ÙØÓÑ Ø Ð Þ Ð Ò Ü ÚÓÓÖ ÓÑØ Ð ÙÔ Ö Ö ÔØ Ò Ù Ö ÔØ Ø Ø ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ Ú Ò Ò Ø Òµº Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò ½½ µ ÒÙ Ö Ú Ò Ð λ = λ i e iº Å Ö ÓÔ Ø ØÛ Ò Û ÓÔ Þ Û Þ ÖÙ Ò ÙÑÑ Ò ÒÓ Ñ ÛÓÖ Òº Ï ÑÓ Ò Þ Ú ÖÚ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ö Ð ØØ Ö ÒÓ Ò Ø Ò ÖÙ Þ Òµº ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ØÙ Ö Ò Û Ú ØÓÖ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º ÇÑ Ø ÖÙ ÑØ Ø Ù Ø Ö ÖÙ ÑØ Ð Ò Ò Ø Ñ Ò Ø Ø ÚÓÖÑØ Ø Ò Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÖÙØÙÙÖº Ú ØÓÖ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ð Ú Ò ÛÓÖ Ò Ò ÓÓ Ú ÖÚ ØÓÖ Ò ÒÓ Ñ º Ð Û Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò¹ Ö Ò Ò Ò Þ Ú ØÓÖ Ò Ú Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº Ò ØÝÔ Ú ØÓÖ Ú ÖÔÐ Ø Ò Ú ØÓÖ x ( t, x, y, z) ØÛ ÙÖØ Ò Ò P Ò Q Ú Ö Ò Øº Ò Ò Ö ÒÓØ Ø O x { x α }º Ð Û Û ÐÐ Ò Û Ø Ò Û Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Þ Ú ØÓÖ Þ Ò Ò Ò Ò Ö Ó Ö¹ O Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÚÓÓÖ Ð Ø Ý Ø Ñ O { Ò Ö Ú Ò Û x x α } º Ï ÖÙ Ò O Ø ÒØ ÓÚ Ò Ò Ü ÓÑ Ò ÙÛ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ú Òº Ú ØÓÖ x ØÞ Ð Ò ÖÚÓÓÖ Ò Û Ò Ò ÙÛ ÒÓØ Ø ÒÓ Ð Û Ú Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ú Ö Ò Ö Òº Ï ÙÒÒ Ò Ò ÙÛ Ú ØÓÖÓÑÔÓÒ ÒØ Ò x α Ú Ò Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ö Ý Ø Ñ Þ Ú Ö Ð Ò Ò µµ Ò µ Ò Û Ö Ú Ò 3 x α = Λ α β xβ = Λ α β xβ β=0 ½½ µ ÚÓÓÖ Û ÐÐ ÙÖ α º Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Λ α β Ø Ø Ù Ø ½ Ø ÐÐ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ú ÖØ ¹ ÒÛÓÓÖ Òº ÒÓØ Ø Ñ Ø Û Ö ÖÙ Ú Ò Ò Ø Ò ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ Ò Ú Ö Ð Ò ½½ µ Ø ÐØ ÒÐ Ú Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ α = 0,1,2,3µº Ò Ð Ñ Ò Ú ØÓÖ Û Þ Ò ÒØ Ö Ö Ò Ú ÖÚ ØÓÖ Òµ Ò Ö Ð Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ø ÐÐ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Ô Ð Oµ Ð V O (V 0,V 1,V 2,V 3 ) = {V α } Ò ÓÓÖ Ö Ð Ø Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ò Ý Ø Ñ O Ú Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ V α = Λ α β V β. ½½ µ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ú Ö Ð Ò ½½ µµ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò ½½ µµº ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α Ú Ò Ò Ú ØÓÖ V Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ { e α } ÛÓÖ Ò ÓÒØÖ Ú Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÒÓ Ñ º Ò Ó Ø Û ÖÚ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒØÖ Ú Ö ÒØ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÒÓ Ñ Ò Û Ò ( ) 1 0 Ø Ò ÓÖº ËØ Ð Ø Û ØÛ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ø ÙÖÚ Ð Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò Ú Ò Ñ Ø O Ò O º Ï ÚÖ Ò ÓÒ Ó ÓÒØÖ Ú Ö ¹ ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ú Ö Ò Ö Ò Ð Û Ú Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ö Ý Ø Ñ Òº Ï ÒÓ Ñ Ò { e α } Ò Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O Ò { e α } Ò Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö O º Ö Ð Ø V = V α e α = V α e α. ½½ µ Ï ÙÒÒ Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÖÙ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Û Ø ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Ò Ø Ú Ò¹ Ò Ø Û Ð Þ Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò { e α } Ò { e α }º Å Ø Ú Ö Ð Ò ½½ µ ÙÒÒ Ò Û Ú Ö Ð Ò ½½ µ Ö Ú Ò Ð Λ α β V β e α = V α e α V β Λ α β e α = V α e α V α Λ β α e β = V α e α V α (Λ β α e β e α ) = 0. ½½ µ

72 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¾ ÁÒ Ö Ø Ø Ô Ñ Ò Û ÖÙ Ú Ò Ø Ø Ø Λ β α Ò V β ÛÓÓÒ Ø ÐÐ Ò Þ Ò Ò Ø ÙÒ ÚÓÐ ÓÖ Ò Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ù ØÑ Øº ÁÒ ØÛ Ø Ô ÖÙ Ò Û Ø Ø Ø β Ò α ÙÑÑ Ò Þ Ò Û Ú Ö Ò Ö Ò β Ò α Ò α Ò β º Ð Ø Ø Ú Ö Ð Ò ÑÓ Ø Û Ö Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Ú ÖÞ Ñ Ð Ò {V α } ÓÑ Ø V Ò Û ÐÐ ÙÖ Ú ØÓÖ º Ï Ú Ò Ò e α = Λ β α e β ½½ µ Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Û Ø ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Òº À Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ñ Ö Ø { e α } Ú Ò O Ð Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ú Ò { e α } Ú Ò O º Ð Û Ø Ú Ö Ð ¹ Ò Ñ Ø Ö Ð Ø ½½ µ Ò Þ Ò Û Ø Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ú Ö ÐØº ÇÑ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ñ Ø ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ ÒÓ Ñ Ò Û ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ ÓÒØÖ Ú Ö ÒØº Ï ÙÒÒ Ò ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø Ö Ð Ö Ò Ø Ý Ø Ñ Ò O Ò O ÓÔ Ð ÚÓ Ø Ø Òº Ï ÙÒÒ Ò Ö ÐÚ Ò Ñ Ø Ò ÞÓÒ Ö ÒØ Ò Ú ÖÛ Ð Ò Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò e β = Λ α β e α, en V α = Λ α β V β. ½¾¼µ Ø ÚÓÐ Ø ÓÓ Ù Ø Ø Ø Ø Ö Ø Ò Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Ø ÖÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ò Ø Ñ Ú Ö Ò Ö Òº Ø Ð Ø ØÓØ ÒØ Ø Ø Λ ν β Λβ α = δν α. ½¾½µ Å Ö ÓÔ Ø Û ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½µº Ï Ò Ò Ù ÓÚ Ö Ú ØÓÖ Ò Ñ Ø Ò ÚÓÓÖ Ð Ò R 2 º ËØ Ð Ø V i Ñ Ø i = 1,2 ÓÒØÖ Ú Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Þ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ø V i = (x 2,x 1 ) Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð x = {x i }º Ï Û ÐÐ Ò ÒÙ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Þ Ú ØÓÖ V i Ö Ò Ò Ò Ø Ý Ø Ñ x = {x i } Ñ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø x 1 = (x 2 ) 2 0 x 2 = x 1 x 2. ½¾¾µ ÎÓÐ Ò Ò Ø Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ú Ö Ð Ò ½½ µ Ð Ø V i = V r Λ i r = V 1 xi x 1 + V 2 xi x 2, ½¾ µ Û Ö Û Ú Ö Ð Ò µ ÖÙ Ø Ò ÓÑ Λ i r Ù Ø Ø Û Ö Òº Ï Þ Ò Ø Û ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ñ ØÖ Ü ÒÓ Ò ÚÓÓÖ Ú Ð i = 1 Ò i = 2º Ï Ú Ò Ò ( x 1 x 1 ) ( ) x 1 x 0 2x 2 2 x 2 = x 2 x 1. ½¾ µ Ø Ø x 2 x 1 x 2 V 1 = V 1 (0) + V 2 (2x 2 ) = 2x 1 x 2 V 2 = V 1 (x 2 ) + V 2 (x 1 ) = (x 2 ) 2 + (x 1 ) 2 ½¾ µ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÒØÙ Ö Ó Ö Ò Ø Ò ÛÓÖ Ø Ø V 1 = 2x 2 V 2 = x 1 + (x2 ) 2 x 1. ½¾ µ

73 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á º º Ä Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ð ½¹ÚÓÖÑ Ó ÓÚ ØÓÖÚ Ð ) ÛÓÖ Ø Ò ÓÚ ØÓÖ Ò ÓÚ Ö ÒØ Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ó¹ Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø ØÝÔ ( 0 1 Ò Ð Ó Ò ½¹ÚÓÖÑ ÒÓ Ñ º Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ð ¼ p Ø Ò Ú ØÓÖ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò Ð Ø ÓÔ Ö Ð Ø ÐÐ Ò p( V ) Ò Ö Ð Ø Ð ½ º ÙÒØ ÓÒ Ð Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò Ü ÓÑ ³ ÚÓÓÖ Ò Ú ØÓÖÖÙ ÑØ º Þ ÖÙ ÑØ ÛÓÖ Ø Ù Ð Ú ØÓÖÖÙ ÑØ ÒÓ Ñ ÓÑ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ú Ò ÐÐ Ú ØÓÖ Ò V º ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò p ÛÓÖ Ò p α ÒÓ Ñ Ò Ö Ð Ø p α p( e α ). ½¾ µ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Ø Ò Ò Ð Ù Ö ÔØ Ô Ö ÓÒÚ ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÙÔ Ö Ö ÔØ Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Òº ÁÒ Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÛÓÖ Ø Ø Ø Ð p( V ) Ú Ò ÓÓÖ p( V ) = p(v α e α ) = V α p( e α ) = V α p α. ½¾ µ Å Ö ÓÔ Ø Û Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ò ÖÙ Ñ Ò Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ø Ú Ò ÙÒØ ÓÒ Ðº ÎÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø n = 4µ Ø Ø Ð p( V ) Ð Ò V 0 p 0 +V 1 p 1 +V 2 p 2 +V 3 p 3 Ò Û Ö Ò ÛÓÖ Ø ÓÒØÖ Ø Ú Ò V Ò p ÒÓ Ñ º ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò p ÓÔ Ò Ò Ö { e α } Þ Ò p α p( e α ) = p(λ β α e β ) = Λ β α p( e β ) = Λ β α p β. ½¾ µ Ð Û Ø Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ½¾¼µ Ò Þ Ò Û Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÓÔ ÔÖ Þ Ð Û Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ð Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ò Ø Ð Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Å Ø Ø Ò Ø Ð Ó Ð Ò Û Ñ Ø ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Þ Û Ö Ú Ö Ð Ò ½¾¼µµº Ø ÖÙ Ú Ò ÒÚ Ö Ö Ò ÖØ Ø Ø V α p α Ý Ø Ñ ÓÒ Ò Ð ÚÓÓÖ Ö Ú ØÓÖ V Ò ½¹ÚÓÖÑ pº ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø ÒÐ Ò ØÓØ Ø ÛÓÓÖ Ù Ð Ò Ù Ð Ú ØÓÖÖÙ ÑØ º Ò Ô Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ñ Ø Ú ØÓÖ Ò Ø ÒÐ Ò ØÓØ Ó Ò ÓÚ Ö ÒØ Ú ØÓÖº ÇÑ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ÛÓÒ Ú ØÓÖ Ò Ø Ò Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ò ÛÓÖ Ò Þ ÓÒØÖ Ú Ö ÒØ ÒÓ Ñ º ÇÑ Ø ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖÖÙ ÑØ ÓÔ ÓÙÛ Ò ÙÒÒ Ò Û Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÓÒ Ò Ð ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð Þ Òº Ï Ò { e α } Ö ÖÙ Ø ÓÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ø Ò Ö Òº Ï ÙÒÒ Ò ÒÙ Ó Ö ½¹ÚÓÖÑ ω α,α = 0,...,3 Ò Ö Ò Û Ù Ð Ò { e α } ÒÓ Ñ Òº Ø Û Ð Þ Ò Ø Û Ú ÖÞ Ñ Ð Ò { ω} Þ Þ Ò Ø p = p α ω α. ½ ¼µ Ï Ú Ò Ò ÓÔ Þ Ñ Ò Ö Ô ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð º Å Ö ÓÔ Ø Û ÒÓØ Ø Û Ö ÞÓ Ò Þ Ò Ø Û ÖÙ ÙÒÒ Ò Ñ Ò Ú Ò ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ º Ð Û Ú Ö Ð Ò ½ ¼µ ÖÙ Ò Ú Ò Ò Û p( V ) = p α ω α ( V ) = p α ω α (V β e β ) = p α V β ω α ( e β ). ½ ½µ À Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÒØ Ð Ø Þ Ò Ò p α V α Ò ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø ω α ( e β ) = δ α β. ½ ¾µ ÓÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ò ÖØ ½¹ÚÓÖÑ Ú ØÓÖ Ò Ù ÖØ Ò ÙÒ Ò ÖÙ Ö ½¹ÚÓÖÑ ¾ º Ì ÖÛ Ð Ò ÙÒØ Ò Ø Ð Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò ÑØ Ò Ò Ø Ð Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÔÐ Ú ÖØ Ò ÑØ Ò ÙÒØ ÓÒ Ð Ò ÙÒØ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò Ð Ú ÖØ Ò Ø Ð Ð Ö ÙÐØ Øº Ò ÚÓÓÖ Ð ØÓØ Ð Ñ ÓÓÖØ Ò

74 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ÙÙÖ Ä Ò Û Ö p( V ) Ð Ò ¾ º Ê Ø Ò ØÓÔÓÐÓ ÖØ ÑÓÒ ØÖ ÖØ Ö ÒØ ½¹ÚÓÖÑ ÐÓ Ð ÓÒØÓÙÖ Ò Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÓ Ø µº Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò ÓÓ Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ô Ðµ Ø ÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ Ò Ø ÓÓÖ Ô Ð ÓÓÖ ÓÓÖ ÛÓÖ Øº Þ Ø ÖÓÓØ Ø ÚÓÓÖ Ö ¾µº Ú ØÓÖ Ò Ò Ò Û Ñ Ø Ð Ò Ò Ô Ð Ð Û Ò Ð ÒÓ Òº À Ø Ò Ò Þ Ò ÓÑ ÓÓ Ò ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ø Òº Ø Ð ÑÓ Ø Ø Ø Ù Ø ÖÙ Ò Ø Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ðº ÁÒ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ò Ñ Ò Þ Ò ½¹ÚÓÖÑ p ÓÔ ÔÙÒØ P ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ð Ò ÒØ Ð Ô Ö ÐÐ ÐÐ ÚÐ Òº ÓÒØÖ Ø Ñ Ø Ò Ú ØÓÖ V Ò Ø ÒØ Ð ÚÐ Ò Ø ÓÓÖ Ú ØÓÖ ÓÓÖ ÓÓÖ ³ ÛÓÖ Øº ÀÓ Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ð Ö Ø Ò Ó ÖÓØ Ö p( V )º À Ø Ù Ð Ñ ÓÚ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ø Û Ú ØÓÖ Ò ÓÓ ÙÒÒ Ò ÓÙÛ Ò Ð ÙÒØ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ð Ø ÐÐ Òº Ú Ò Ú ØÓÖ V Ö Ò Û Ò Ö Ð Ø Ð Ð Û Ú ØÓÖ ÚÓÓÖÞ Ò Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ V ( p) p( V ) p α V α. ½ µ Î ØÓÖ Ò Ò Ù Ò Ô Ð ÔÓ Ø Ð Ó Ø Ò Ð ÒÔÙØ Ò Ò ÚÓÓÖ Ø Ò ÓÖ Òº Ï ÙÒÒ Ò Ò Ú ØÓÖ ÓÓ Ð Ø Ò ÓÖ Þ Ò Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ðº Î ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò ÖÑ Ò Ð Ò ÝÑÑ ØÖ Ø ØÙ º ÎÓÓÖ Ø Û Ö Ú Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÐÙ Ø Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÒÓ Ò Ô Ð ½¹ÚÓÖÑ ÔÖ Ò Ö ÒØº Ï ÓÙÛ Ò Ò º Ò Ð Ö Ú Ð φ( x) = φ(t,x,y,z)º Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ò Û Ö ÚÓÓÖ φ ÚÓÓÖ Ð ÙÖØ Ò Ñ Ñ Ø Ò Þ Û Ö Ú Ö Ò ÖØ ÚÓÓÖØ ÙÖ Ò º Ï Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Û Ö Ð Ð Ò Ñ Ø ÒØ τ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ø ÐØ ÓÒ Ò Ø Ø ÓÑ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Û Ö Ð Ð Ò Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ð ÙÒØ Ú Ò τº Ö Ð Ø [t = t(τ),x = x(τ),y = y(τ),z = z(τ)]º Ú Ö Ò Ð Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò U ( ) dt dτ, dx dτ, dy dτ, dz dτ Ò Ù Ð Ò Ú ÖÚ ØÓÖ Û ÒØ Ø Ú ÖÔÐ Ø Ò Ú ØÓÖ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð ÒØ µº ÇÑ Ø φ Ò ÙÒØ Ú Ò t x y Ò z φ ÓÔ Û Ö Ð Ð Ò ÑÔÐ Ø Ò ÙÒØ Ú Ò τ φ(τ) = φ[t(τ),x(τ),y(τ),z(τ)]º Ñ Ø Ø Ú Ö Ð Ò Û Ö m = ρ(x,y,z)dxdydzº ¼ Æ Ø ÞÓ Ð Û Ú ØÓÖ Ò Ò Ú Ò ÓÓÖ Ò Ô ÐØ V µ ÓÚ Ò Ø ÝÑ ÓÓÐ Ø ÔÐ Ø Ò Ú Ò Û Ò Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ð Ò ÓÓÖ Ö Ò Ø Ð pµ ÓÚ Ò Ø ÔÐ Ø Òº ½ Â ÙÒØ ½¹ÚÓÖÑ Þ Ò Ð Ò ÔÔ Ö Ø Ñ Ø Ò Ð Ù º Ð Ò Þ Ð Ù Ò Ú ØÓÖ ÔÐ Ø Ø ÛÓÖ Ø Ò ÖÓÐØ Ö Ò Ø Ð Ù Ø Ø ÔÔ Ö Øº ¾ Ø Ò Ø Ò ÑÓ Ð ÚÓÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Òº Å Ò Ò ÒÚÓÙ Ð Ø Ò Þ Ò Ø Ò Ö ½¹ÚÓÖÑ Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò ω α = U α β ω β º

75 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ÙÙÖ À Ø Ô Ò ÖÙ ÑØ Ø ÛÓÖ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÓÓÖ ÒØ τ Ú Ò Ò ÐØ º ÇÔ Ø τ 1 Ø Ø Ð Ö Ú Ð φ Û Ö φ(τ 1 ) Ò ÓÔ Ø τ 2 Û Ö φ(τ 2 )º Ú Ö Ò Ð U Ö Ú ØÓÖ Ò Û Ö Ð Ð Òº Ú Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò φ ÓÔ Û Ö Ð Ð Ò Ø Ð Ö Ø dφ dτ = φ dt t dτ + φ dx x dτ + φ dy y dτ + φ dz z dτ = φ t Ut + φ x Ux + φ y Uy + φ z Uz = dφ( U). ½ µ À Ø Ù Ð Ø Û Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ò Ð Þ Ò ÓÑ Ñ Ø Ú ØÓÖ U Ø Ø Ð dφ/dτ Ø ÔÖÓ Ù Ö Ò Ø Ñ Ø Ú Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò φ Ð Ò Û Ö Ð Ð Ò Û Ö Ò U Ò Ø Ò ÒØ Ú ØÓÖ º Ø Ø Ð dφ/dτ ÛÓÖ Ø Ú Ö Ö Ò Ñ Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ù Ð Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ú Ò U Ò ÖÑ Ò Û Ù Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ö º Î Ö Ð Ò Ñ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ½¾ µ ØÓÓÒØ Ø Þ ½¹ÚÓÖÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò φ t, φ x, φ y, φ z Øº Þ ½¹ÚÓÖÑ ÛÓÖ Ø Ö ÒØ Ú Ò φ ÒÓ Ñ Ò Ò Ù Ñ Ø dφº Ö Ð Ø ( φ dφ O t, φ x, φ y, φ ) z of ook dφ = φ met α φ = φ x α. ½ µ Å Ö ÓÔ Ø ÓÒ Ò ÒÓØ Ø dφ Ò Ø Ð Ò Ó Ø Ø Þ Òº Ï Þ Ò Ù Ú Ö Ö Ø Ö ÒØ Ò ½¹ÚÓÖÑ Ø ÖÛ Ð Û Ò Ú ØÓÖ Ò ÐÝ Ð Ö Ò Ø Ø Ò Ú ØÓÖ ÖÓÓØ º Ö Ò ÖÚÓÓÖ Ø Ö Ò Ñ ØÖ ÒÓ ÓÑ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ö Ð Ø Ö Òº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Û Þ ÜØÖ Ñ Ø Ñ Ø ØÖÙØÙÙÖ ÒÓ Ò Ø Ò ÓÒÞ Ú Ö Ø Ø ÓÔ Ð º Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ ÒÓ ÓÒØÖÓÐ Ö Ò ÓÔ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÓÖ Ø ØÙ Ö Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Òº ÎÓÓÖ Ò ½¹ÚÓÖÑ ÑÓ Ø Ð Ò ( dφ) α = Λ β α ( dφ) β º Ï Û Ø Ò Ó Ô ÖØ Ð Ð Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ò Ñ Ð φ x α = φ x β x β x α, Ø Ò Ø ÒØ Ø ( dφ) α = Λ β α ( dφ) β Û ÒØ Ú Ò Ø x β = Λ β α x α φ x β x β = Λ β φ x α α x β. Ð Ø ½ µ ½ µ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ö ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ñ Ø ÒÚ Ö Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Ö ÒØ Ù Ò ½¹ÚÓÖÑº

76 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Î Ò ÒÙ Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ô ÖØ Ð Ð Ò Ò Ù Ò Ñ Ø ÓÑÑ ¹ÒÓØ Ø º Ò Ø φ x φ,x of algemeen φ x α φ,α. Ö Ð Ø ½ µ Å Ö ÓÔ Ø Ò Ü α Ò Ð Ò Ö ÒØ Ð Ò ÓÚ Ò¹ Ò Ü ÓÔØÖ Ø Ò Ò Ö Ø Ö ÒØ Ð Ò Ò Ò¹ Ò Üº º º Ð Ñ Ò Ø Ò ÓÖÚ Ð Ò ( ) 0 2 Ø Ò ÓÖ Ò Þ Ò Ø Ò ÓÖ Ò ØÛ Ú ØÓÖ Ö ÙÑ ÒØ Ò Òº Ò ÚÓÓÖ Ð Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ñ Ö Ò ÒÚÓÙ Ö ÚÓÓÖ Ð Ø ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ØÛ ½¹ÚÓÖÑ Òº Ï ¹ ÖÙ Ò Ö ÚÓÐ Ò Ö Ð Ð p Ò q ½¹ÚÓÖÑ Ò Þ Ò Ò p q ( ) 0 Ø Ò ÓÖ 2 Ð Ú ØÓÖ Ò A Ò B Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò Ö Ø Ø Ø Ð p( A) q( B) ÔÖÓ Ù ÖØº À Ø Ù Ø ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ø ÐÐ Ò ÔÖÓ Ù Ö ÓÓÖ ( ) 0 Ø Ò ÓÖ Òº À Ø ÝÑ ÓÓÐ ÛÓÖ Ø 1 ( ) Ø Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ ÒÓ Ñ Ò Ø ÓÖÑ Ð ÒÓØ Ø Ó Û Ò 0 Ø Ò ÓÖ ÑÓ Ø Ò Ñ Ò¹ 2 Ø ÐÐ Ò Ù Ø ½¹ÚÓÖÑ Òº ÇÚ Ö Ò Ò Ø ÓÑÑÙØ Ø p q q p Þ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò ÓÖ Òº Ö Ø Ø Û Ö p( A) q( B) Ò ØÛ q( A) p( B)º ( ) Ñ Ø Ð Ñ Ò 0 2 Ø Ò ÓÖ Ò ÒÚÓÙ Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ Ú Ò ØÛ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ñ Ö Ò Û Ð ÐØ ÚÓÓÖ Ø Ð ÛÓÖ Ò Ð Ò ( ÓÑ ) Ú Ò Ö Ð Ø Ò ÓÖ Òº À ÖØÓ ÓÙÛ Ò Û ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ 0 Ø Ò ÓÖ fº Ö Ð Ø f 2 αβ f( e α, e β ) Û Ö Ð Ò Ü Ú Ö Û Ö Ò Ò ÒÒ Ñ Ò ÚÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø º ÁÒ ØÓØ Ð Ø f Ù ½ ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº Û Ö Ú Ò f ÚÓÓÖ Û ÐÐ ÙÖ Ú ØÓÖ Ò f( A, B) = f(a α e α,b β e β ) = A α B β f( e α, e β ) = A α B β f αβ. ½ µ ÚÖ Ó Û Ò ÙÒÒ Ò ( ) ÚÓÖÑ Ò ÚÓÓÖ Þ Ø Ò ÓÖ Ò º ÃÙÒÒ Ò Û Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ø Ò Ù Ø ½ Ú Ö ÐÐ Ò 0 Ø Ò ÓÖ Ò ω αβ Ò Ö Ò ÞÓ Ø Ð Ø f = f 2 αβ ω αβ Ð Ø ÞÓ Ò ÒØ Ø Ð Ò f µν = f( e µ, e ν ) = f αβ ω αβ ( e µ, e ν ) ½ ¼µ Ò Ø Ø ÒØ Ø ÑÓ Ø Ð Ò ω αβ ( e µ, e ν ) = δ α µ δβ ν. ½ ½µ ÎÓÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¾µ δ α µ Û Ö Ú Ò ω α ÚÓÓÖ e µ Ò ØÞ Ð Ð Ø ÚÓÓÖ δ β νº ÖÓÑ ω αβ Ò Ø Ò ÓÖ Û ÖÚ Ò Û Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Û Ö Ò Ú Ò ØÛ ½¹ÚÓÖÑ Òº Ï ÓÒÐÙ Ö Ò Ö ÐÚ ω αβ = ω α ω β. Ø Ò ÓÖ Ò ω α ω β ÚÓÖÑ Ò Ò ÚÓÓÖ ÐÐ ( ) 0 2 Ø Ò ÓÖ Ò Ò Û ÑÓ Ò Ö Ú Ò ½ ¾µ f = f αβ ω α ω β. ½ µ ÇÔ Þ Û Þ Ò Ð Ñ Ò ( 0 2 ) Ø Ò ÓÖ Ò ÓÑ ÓÚ Ö ÒÚÓÙ Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ Ø Ò ÓÖ Òº Î Ö Ð Ø Ò Ñ Ø Û Ø Û Ò Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¼µº

77 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø ØÝÔ ( ) M N Ò Ð Ò ÙÒØ µ Ú Ò M ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò N Ú ØÓÖ Ò Ò Ö Ö Ð Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ð Ú Ò Þ Ò M + N Ö ÙÑ ÒØ Ò º Å Ö ÓÔ Ø Þ Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÔÖ Ø ÓÚ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖ Òº Ø Ò ÓÖ ÒØ ØÞ Ð Ö Ð Ø Ð Ð Ù Ø ÓÑ Ø Ø Ú Ò ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ø ÖÙ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñº Æ Ø Ð Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÓ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº Ò Ø Ð ÚÓÐ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ O Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø ØÝÔ ( ) M N Þ Ò Û Ö Ò Ú Ò ÙÒØ Ð Ñ Ò ÚÓÓÖ Ö ÙÑ ÒØ Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò { e α } Ò Ú ØÓÖ Ò { e α } Ú Ò Ø Ý Ø Ñ O ÖÙ Øº ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Þ Ò Ù Ò Ð Ú Ò Ø Ö Ö Ò¹ Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÓÑ Ø ÑÑ Ö Ô Ö Ý Ø Ñ Ú Ö ÐØº Ø Ò ÓÖ Þ Ð Ò Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ø Þ Ð Ø Ò Ø Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ÓÒ Ò Ð Þ Ò Ò ÛÓÖ Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð º º Å ØÖ Ø Ò ÓÖ ÌÓØ ÒÙ ØÓ Ò Û ÐÐ Ò Ú Ö Ø Ø Ò ÓÙÛ Ò Ö Ð Ø ÒÚÓÙ ÚÓÖÑ Òº Ú Ö Ø Ø ÓÒØ ÒÙ Ò Ö ÒØ Ö Ö Û Ö ÓÓÖ Û ½¹ÚÓÖÑ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ò Ö Ø Ò ÓÖ Ò ÙÒÒ Ò Ò Ö Òº Î Ö Ö ØÖ Ø Ø Ò ÑÓÖ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÔÙÒØ Ò Ó ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Òµº Ö ÒÓ Ò Ñ Ø ÙÒ Ò Ö º Ó ÙÒÒ Ò Û ØÛ Ú ØÓÖ Ò Ó ½¹ÚÓÖÑ Òµ Ò Ø Ð Ò ÓÔ Ò Ö Ð Ø Ðº Ö Ò ÓÓ ÒÓ Ò ÓÒ ÔØ Ú Ò ÒÔÖÓ ÙØº ( ) Ð ÚÓÐ Ò Ø Ô Þ Ò Û ÒÙ Ò 0 2 Ø Ò ÓÖ g Ú Ò Ö Ú Ø Ø µ Ò Ø Ø Ó Ò Ð Ñ ØÖ Ú Ò Ú Ö Ø Øº Ò Ö Ð Ú Ö Ø Ø ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Øº Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ñ Ø Ø ÑÓ Ð ÓÑ Û Ö Ø µ Ð Ò Ø Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ø Ö Ò Ò Ó Ø Ð Ö ÔÖÓ ÙØ ÒÔÖÓ ÙØµ Ú Ò ØÛ Ú ØÓÖ Ò Ø Ô Ð Òº ÇÓ ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ò Ø Ñ ØÖ Ò Ò ÓÔ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ú ÖØ ØÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Òº Ï Ò Ö Ò g( A, B) A B, ½ µ Ò ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ö Ø Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ ÝÑÑ ØÖ g( A, B) = g( B, A)º Ï ÓÙÛ Ò g(, ) Ð Ò ÙÒØ Ñ Ø ØÛ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Þ Ö ÙÑ ÒØ Ò ÚÓÓÖ Ð g(α A + β B, C) = αg( A, C) + βg( B, C). ½ µ Å Ö ÓÔ Ø Þ Ò Ø Ú Ò Ñ ØÖ Ò ÖÙ Ñ Ø Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Ñ ØÖ Ò Û Ö Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø º ÁÒ Ò Ô { e α } Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Þ Ò ÓÓÖ g( e α, e β ) = e α e β = g αβ. ½ µ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÓÐ Ú Ò Ñ ØÖ ÓÑ Ø ÞÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ò Ð Ò ØÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Òº ÇÑ Ø Ö Ô Ò Ó Ø Û Ö Ø ÓÙÛ Ò Û g Ò Ò Ò Ð Ú ØÓÖ V º ÇÑ Ø g ØÛ Ú ØÓÖ Ö ÙÑ ÒØ Ò ÒÓ Ø ÙÒÒ Ò Û Ù Ø ÖÙ Ò g( V, ) Û Ö ÒÓ Ò Ö ÙÑ ÒØ ÓÒØ Ö Ø ÓÙÛ Ò Ð Ò ÙÒØ Ú Ò Ú ØÓÖ Òº Ð Ñ Ò Ò g( V, ) ÒÓ Ò Ú ØÓÖ ØÓ ÒØ Ò Ö Ò Û Ò Ö Ð Ø Ðº Ò Ö Ð Ð Ò Ö ÙÒØ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ö Ð Ø Ð ÔÖÓ Ù ÖØ ÒÓ Ñ Ò Û Ò ½¹ÚÓÖÑº Ï ÒÓ Ñ Ò Ø Ṽ º Ö Ð Ø g( V, ) Ṽ ( ), ½ µ Å Ò Ò Ò Ö Ð Ø Ò ÓÖ ÓÔÚ ØØ Ò Ð Ò ÔÔ Ö Ø Ñ Ø M Ø Ò Û Ö Ñ Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò N Ø Ò Û Ö Ñ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ò ØÓÔÔ Òº Æ Ø Ñ Ò M ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò N Ú ØÓÖ Ò Ö Ò ØÓÔØ Ø ÖÓÐØ Ö Ò Ö Ð Ø Ð Ù Ø Ø ÔÔ Ö Øº Ù Ø ÓÑ Ø Ð Ò Ö Ò Ð Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð ÒÔÙØ ÖÙ Ø Þ Òº

78 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á Û Ö Û ØÙ Ò Ø Ú ØÓÖ Ö ÙÑ ÒØ ÑÓ Ø Ò ÒÐ Ú Ö Òº Ò Ð Ø Ø Ṽ ½¹ÚÓÖÑ ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ A Û Ö V A Øº Ö Ð Ø Ṽ ( A) g( V, A) = V A = V α A α = V α A α. ½ µ ÇÑ Ø g ÝÑÑ ØÖ ÙÒÒ Ò Û ÓÓ Ö Ú Ò g(, V ) Ṽ ( )º ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ṽ Ú Ò Ò Û Ð ÚÓÐ Ø V α Ṽ ( e α) = V e α = e α V = e α (V β e β ) = ( e α e β )V β = g αβ V β. ½ µ À ÖÑ Ò Û Ö Ð Ø ØÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÚÓÒ Ò V α = g αβ V β. ½ ¼µ Ï ÓÒ Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α Ú Ò Ú ØÓÖ V Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ṽ ÐÐ Ò ÓÓÖ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ü αº ÒÚ Ö Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ø ÓÓ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ù Ñ Ø g αβ º À ÖÑ Ú Ò Ò Û V α = g αβ V β. ½ ½µ ( 1 0 ) ( ) Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò 0 1 Ø Ò ÓÖº Ï ÖÙ Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ð Ð Ò ØÙ Ò º ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö ÙÒÒ Ò Û Ò ( ) M Ø Ò ÓÖ Ð Ò ( N 1 M + 1 ) ÓÔ Ò Ø Ò ÓÖ Ó ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò ÒÚ Ö Ñ ØÖ ÓÔ Ò Ø Ò ÓÖº À Ø ÖÙ Ð ÓÑ ÚÓÓÖ Þ Ó Ö Ø Ò ÓÖ Ò ØÞ Ð ÝÑ ÓÓÐ Ø ÖÙ Ò Ñ Ö Û Ò Ò ÓÒ ÖÚ Ò ÛÙ Ø Ø Þ Ò Ø Û Ø Ñ Ò Ò Ñ Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò ÓÖ Òº ËØ Ð T αβ ) γ Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖº Ò Þ Ò ( 1 2 ) ( 2 1 T α βγ g βµt αµ γ N ( N + 1 M 1 ) ½ ¾µ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑ Ø Û Ø ØÛ ½¹ÚÓÖÑ Ö ÙÑ ÒØ Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ò Ú ØÓÖº Ï ÒÓ Ñ Ò Ö Ð Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ø Ò Ö ÓÚ Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ö Ò Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ò ÖÙ Ò Ö Ñ ØÖ Ð Ð Ò º Ï ÙÒÒ Ò Ø ÓÓ Ó Ò Ñ Ø Ñ ØÖ Þ Ð Ò Ú Ò Ò g α β gαµ g µβ = δ α β. ½ µ Ð Ø Ø Ø Ô ÚÓÐ Ø Ù Ø Ø Ø Ø g αβ Ò g αβ Ð Ö ÒÚ Ö Ð Ò Þ Òº Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ò Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Ø Ð Û Ö Ø ÓÓ Ð Ò Ø Ð Ò Ò ÙÖÚ ÚÓÐ Ó Ø Ò ds 2 = g ij dx i dx j, ½ µ Û Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ g ij = g ij (x 1,x 2,...,x n ) ÓÒØ ÒÙ ÙÒØ Þ Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ Òº ÁÒ Ø Ô Ð Ú Ð Ø g ij = δ ij Ö Ù ÖØ Ö Ñ ÒÒ ÖÙ ÑØ ØÓØ ÙÐ ÖÙ ÑØ E n º ÖÙ ÑØ ÚÐ Ð Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ú Ò Ò Û ÖÚÓÓÖ ds 2 = ǫ i (dx i ) 2 Û Ö Ö ǫ i Ð Ò +1 Ó 1º Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø ÚÐ ÛÓÖ Ø ÖÓÑ ÒÓ Ñ º Ï Ú ØØ Ò Ø ÚÓÓÖ Ò Ñ Ò Ò ÐÐÙ ØÖ Ö Ò Ø Ò Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ð Ù Ø ÙÐ ÖÙ ÑØ º

79 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ÎÓÓÖ Ð Ù Ð Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ï ÓÙÛ Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ø ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò (x,y, z) Ò ÓÖ Ò Ú Ò Ò ¹ Ú ØÓÖ Ò { i, j, k}º Ï ÖÙ Ò Ø Ý Ø Ñ Û Ö Ð Ð Ñ Ò Ö Ö ÒØ ÓÑ Ò Ò Ö Ò Ø ÖØ Ý Ø Ñ (u, v, w) Ø Ö Ú Òº Ï ÙÒÒ Ò Ö ÒØ Ú Ò Ò Ð Ö ÙÒØ ÓÙÛ Ò Ð Ò ½¹ÚÓÖÑº Ì Ò Ò Ø Ù Ð Ø Ñ Ò Ò Û Û Ö Ú Ò Ø ÖÙ Ò Ö ÓÒÞ Ö Ú Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ º Î Ö Ð Ò ½½¾µ Ø Ò ØÙÙÖÐ { e u, e v, e w} ÓÔ ÔÙÒØ P Û Ö Û Ó Ö Ò Ø Ò (u, v, w) ÖÙ Ò ÓÑ ÔÙÒØ Ò Ø Ð Ð Òº Ö Ò Ò Ö Ñ Ò Ö ÓÑ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ (u, v, w) Ø ÖÙ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÓÔ ÔÙÒØ Pº ÐÐ Ö Ö Ø ÒÚ ÖØ Ö Ò Û Ú Ö Ð Ò Ò ½¼ µ ÓÑ u v Ò w Ø Ö Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò x y Ò z u = u(x, y, z), v = v(x,y, z), w = w(x, y, z). ½ µ Ø Ø ÐØ ÓÒ Ò Ø Ø ÓÑ Ð Ó Ö Ò Ø Ð Ò Ð Ö Ú Ð Ø ÓÙÛ Ò Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ Ò Ø Ö Ò Òº u = u x i + u y j + u z k, v = v x i + v y j + v z k, w = w x i + w y j + w z k. ÇÔ Ð ÔÙÒØ P Ø Ò Þ Ö ÒØÚ ØÓÖ Ò ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ó Ö Ò ØÓÔÔ ÖÚÐ Ò ÓÓÖ P ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ò Ñ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ò u = u 0 v = v 0 Ò w = w 0º Ï Ò ÖÓÑ Ñ Ø { u, v, w} Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÔ Pº Þ Ù Ð Ú Ò Ú Ò Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖ Òº Ì Ò Ò Þ Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ ÖÙ Ò Û Ò Ð ÙÔ Ö ÔØ Ò º Ä Ø Ò Û ÒÙ Ò ÓÒÖ Ø ÚÓÓÖ Ð ÓÙÛ Òº Ö Ð Ø ½ µ e u u, e v v, e w w. ½ µ x = u + v, y = u v, z = 2uv + w, ½ µ Û Ö < u <, < v <, < w < º ÁÒÚ ÖØ Ö Ò Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ø u = 1 2 (x + y), v = 1 2 (x y), w = z 1 2 (x2 y 2 ), ½ µ Û Ö Ò Û ÙÒÒ Ò Þ Ò Ø Ó Ö Ò ØÚÐ Ò u = u 0 Ò Ñ Ð ÚÐ Ò ÚÓÖÑ Ò Ò Ø ÞÓ Ð v = v 0 Ø ÖÛ Ð Ó Ö Ò ØÚÐ Ò w = w 0 Ò Ñ Ð ÝÔ Ö ÓÐ Ô Ö ÓÐÓ Ò ÚÓÖÑ Òº ÔÓ Ø Ú ØÓÖ r ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ r = (u + v) i + (u v) j + (2uv + w) k, ½ ¼µ Û ÖÑ Û ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ e u = r/ u = i + j + 2v k, e v = r/ v = i j + 2u k, e w = r/ w = k ½ ½µ Ú Ò Òº ÐÐ Ò Ð Ø Ø Ú ØÓÖ Ò Ò Ú ØÓÖº Ò Ú Ò ÒÔÖÓ ÙØ Ò e u e v = 4uv e v e w = 2u Ò e w e u = 2v Ò Ø Ð Ñ Ò Ð Ò ÒÙÐº À Ø Ý Ø Ñ Ù Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ðº Ï Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ú Ò Ù Ð e u = u = 1 2 i j, e v = v = 1 2 i 1 2 j, e w = w = x i + y j + k = (u + v) i + (u v) j + k. Ï Þ Ò Ø Ò Ø Ð Ñ Ò e u Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø e u e v Ò Ø Ñ Ø e v Ò e w Ò Ø Ñ Ø e wº Ú Ò Ò Ú ØÓÖÚ Ð λ Ò ÙÒÒ Ò Û ÓÔ Ð ÔÙÒØ P Ú ØÓÖ λ Ö Ú Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ { e u, e v, e w} Ó Ù Ð { e u, e v, e w }º Ï Ö Ú Ò ½ ¾µ λ = λ i e i = λ i e i. ½ µ ÓÓÖ Ò Ð ÙÔ Ö Ö ÔØ Ò Ø ÔÐ Ø Ò ÙÒÒ Ò Û Û Ö ÖÙ Ñ Ò Ú Ò Ð ÒØ Ò ÓÑÔ Ø Ò ÜÒÓØ Ø º

80 ÏÁËÃÍÆ Á ¹ Á Ê ÆÌÁ ÄÌÇÈÇÄÇ Á ¼ ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Å Ò ÓÛ Ò Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ò Ø ÖÙ ÑØ Ø Ö Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º ÒÚÓÙ Ò Ð Ò Ò Ú Ò ËÊÌ ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÓÖ Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Þ Ð Ò Ø ÜÔÐ Ø Ñ Ö Ú Ò ÓÒ Û Ð ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Û ÒÓ Ò ÓÑ Þ Ø Ð Òº ÁÒ Ø ÞÓÒ Ö Û Ø Ò Û Ø Ö ÚÓÓÖ ÙÖ Ø Ð Ð Þ Ò ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ò ÞÓ Ò Ñ ÄÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ò Ø Ð ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ò Þ Ò ÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ø Ò Ò ( t, x, y, z) Ò Ò Ö Ð Ö Ñ Ò Ø Ø Ð s 2 = c 2 ( t) 2 + ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 ½ µ ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ø ÄÓÖ ÒØÞ Ö Ñ º Ð Û ÓÒÞ Ó Ö Ò Ø Ò Ö Ò Ö Ò ÓÓÖ x 0 = ct,x 1 = x,x 2 = y,x 3 = z Ò Ö Ð ØØ Ö ÖÙ Ò Ð ÖÙ ÑØ Ø Ò Ò Ú Ò Ò Û s 2 = ( x 0 ) 2 + ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 = η αβ x α x β, ½ µ Û Ö η αβ = diag( 1,1,1,1)º Ï Þ Ò Ø V W = η αβ V α W β Ò η αβ Ò Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÄÓÖ ÒØÞ Ö Ñ ÚÓÖÑØ Ó Ö ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð º Ï Þ Ò Ö Ø Ó¹ Ø ØÙ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Þ Ò Ó Ö ½¹ÚÓÖÑº ÁÒ Ò ÄÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ð Ø U 0 = η 0α U α = U 0, en U x = U x,u y = U y,u z = U z. ½ µ Ò Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ñ ØÖ g ÛÓÖ Ø Ò Ñ Ò ÓÛ ÖÙ ÑØ Ø ÒÓ Ñ Ð Ö Ò Ò Ð Ó Ö ¹ Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ø Ø Ø Ð Ú Ö Ø Ø Ø Ò Û Ö Ò g ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò η αβ Øº

81 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ º½ Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ À ØÓÖ ÒØÖÓ ÙØ Ò Ò Ø Ò ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÖ Ò Ò Ø ÔÖ ÐÐ Ò Ú Ò ØÛ ÒØ Ø ÙÛº Ò ÒØ Ò ÙÛ Û Ò Ø Ø Ò Ò ÓÑ Ò Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ ÚÓÒ Þ Ò Ò ÙÒ ÔÓ Ø ÚÓÓÖ Ø Ö Ø Ò Ò Ð Ò ÐÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÚÖ ØÙ Ò ÓÔ ÐÓ Ø Ø Þ Òº Ð Ò ½ ÙÛ Ë Ö Á Æ ÛØÓÒ ½ ¹½ ¾ µ Ò Ø ÓÖ Ø ÑÓ Ð ÓÔ Ø Ð Û ÖÑ Û Ò Ò Ö Ø Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ö Ò Ò ÚÓÓÖ Ô Ð Ñ Ò Ú Ø Ò Ö Û ØØ Ò ÒÙ Þ Ò Ò Ñ Ö Òº Ì Þ Ñ Ò Ñ Ø Æ ÛØÓÒ ÙÒ Ú Ö Ð Û Ø Ú Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø ÓÒ Ò Þ Ö Û ØØ Ò Þ Ð Ò Ò Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ò ÓÑ ÞÓÒ Ô Ö Ø Ö Ú Òº ÇÓ ÓÒ Ò Þ Û ØØ Ò Û ÒÒ Ö ØÓ Ô Ø ÓÔ ÒÒ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ø Ø Ù Ø Ú Ð Ñ Ò ÙÐ ÐØ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓØ Ò Û ØØ Ò Ú Ò Û ÖÑØ Ð Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö Ò ÖÑ Û Ø Ú Ú Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÚÖ Û Ð Ð Ú Ö Ð Ö Û Ø Ò ØÖ ÓÑ Ú Ò Ò ÛØÓÒ Ò Û Ò Ð Öº Î Ö Ö Û Ö ÒÓ Ø ÓÖ Ú Ò Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò ÓÒ ÖÞÓ Ø ÓÓÖ Ö Ý Ç Ö Ø ÓÙÐÓÑ Ò Ë Ú ÖØ Ò Ù Ø Ò Ð ÐÚ ÖÛ ½ ÙÛ ØÓØ Ò Û ÙÒ Ð Ñ Ò Ñ ÓÓÖ Â Ñ Ð Ö Å ÜÛ ÐÐ ½ ½¹½ µ Ú Ö Û ØØ Ò Ú Ò Þ Ø ÓÖ Ö Ò ÒÙ Þ Ò Ò Ñº ÇÓ Þ Ø ÓÖ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ø Ò Û Ù Ø ÖÑ Ø Ù ÚÓÐº À Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ö ÒØ Ö Ø ØÙ Ò Ð ØÖ Ø Ø Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò Ð Ø Þ Ò Ø Þ ÒÐ Ò Ô Ø Þ Ò Ú Ò Ò Ò Þ Ð Ö Øº ÇÓ Ð Ø Ò Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Þ Ò Ø Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Ú Ö ØÓÓÖ ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ø Þ Ú Ö ØÓÖ Ò Þ ÚÓÓÖØ¹ ÔÐ ÒØ Ñ Ø Ò Ò Ð Ú Ò ¾ º ¼¼ ÐÓÑ Ø Ö Ô Ö ÓÒ Ò Û Ö ÒÙ ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ú Ò ÓÓÖ Ð ØØ Ö cº Ø ÔÖ Ò Ð Û ÖÚ Ò Ñ Ò Ð Ð Ò Ö Ö Ñ Ø Ò Ø Ø Ð Ø Þ ÖÑ ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò ÓÒÐÙ Û Ö Ò ÓÓ Ð Ò Ð ØÖÓ Ò Ø Ð Ø Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ú Ö ØÓÖ Ò Ò Ø Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú Ð º Ð Ò Ð ÓÒ Ò ÐÐ Ö Ð Ù Ø Ð ÒÞ Ò¹ Ò Ô ÐÐ Ö Ð ÛÓÖ Ò Ù Ø Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ò ÖÑ Û Ö Ø Ð Ú Ú Ò ÓÔØ Ò ÓÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ú Òº À Ø Û Ò ÓÓ Ò ÛÓÒ Ö Ø Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ò Ò Ø Ò Ú Ò Ò ÒØ Ò ÙÛ Ò Ò Ù ÓÖ Ø Ø Ú Ö Ö Òº Ö Û Ö Ò Û Ð Û Ö ÒÓ Ô Ð Ö Ò Ò Ò Ò Ø Ð Ù Ø Ø ÚÓ Ö Ò Ñ Ö Ò Ø Ð ÖÓÔ Ø Û Þ Ò Ø Ö Ñ Ö ÞÓÙ Ø Ò Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ø Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø Ò Ø ÐÐ Ö Ð Ø ØÙ Ò Ö Ø Ò Ò Û Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ð Ö Ú Ò Æ ÛØÓÒº ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ð Ò Ð Ø Û ÖÑØ ººµ Û Ö Ò Ð Ò ØÓÓÒ Ò Ö Ø ÚÓÐ Ø Þ Ò Ú Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ó Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ó Ò ÓÑ Ò Ø Ú Ò µ Ò Ö Û Ö Ò ÑÔ ÐÛ Û Ò ÒÛ Þ Ò Ò ÓÑ Ø Ú ÖÑÓ Ò Ø Ò ØÙÙÖ Þ Ò Ñ Ö Û ØØ Ò Ð Ò Þ º Ö Û Ö Ò Ò Ø Ò Ú Ò ØÛ ÒØ Ø ÙÛ Ò ÓÓ Ñ Ö Û Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ò Þ Ö Ð Ö Ò Ø Ö Û Ð Ð Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ö ÓÐ Ò Þ Ø Ò Þ ØÛ ÖÓØ Ø ÓÖ Òº À Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ø Ñ Ò Ø Ò Ø ÓÖ Ò ÞÓÒ ÖÐ Ñ Ö Ò ÙÒ ÓÑ Ò Ø º Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ð Ø Ò Þ Ò ÞÓ Ð Û ÔÖÓ Ò Ò Ø Ö ÓÐÚ Ò Ø Ò Þ ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò ÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ò Ø Þ Ø Ó Ò Ñ Ø ÔÖ Ò Ð Ú Ò Ø Ð Øº Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Þ Ø ÓÚ Ò Ò Ø Þ Ò Ð Þ Ð ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö ÓÓ Ð Þ Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Òº Ø ÓÔ Þ Þ Ð Û Ð ÛÓÒ ÖÐ Ñ Ö Ó Ø ÒÓ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ Ò ÞÓÐ Ò Ø Ñ Ö Ò Ø ÓÓÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ä Ø Ö ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ò Ø Ö Û Ð Ð Ò Û Ò Ò Û Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ò Ò ÞÓ Ð Ö Ú Ò ÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Û ØØ Ò Ø Û Ø Ò Ô Ö Ð ÙÑ Ú Ö Ù Ú Ò Ú Ò Å ÖÙÖ Ù º À Ø Ú Ö Ð Ö Ò Ú Ò Þ Û ¹ Ò Û Ò Ú Ò Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ø Ú Ò Ò Ø Ò Ø ÓÖ Ú Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º Ï ÓÑ Ò Ö Ò Ð Ø Ö ÓÓ ØÙ Ò ÓÔ Ø ÖÙ º ÇÓ Ö Ð Ø Ò Ð Ò ÓÔÑ Ö Ò Ö Û Ö Ò Ò Ð ÓÒ Ù Ð Ò ÞÓ Ð ÓÖÖ Ø ØÓÖµ Ð Ø Ö Ú Ö Ð Ö Þ Ò ÓÓÖ ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò º ÙÞ ÚÓÓÖ Ð ØØ Ö c ÓÑØ Ú Ò Ø Ö ÛÓÓÖ ÚÓÓÖ Ò Ð Ð Ö Ø º

82 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ¾ ÛÓÖ Øµº À Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔ Ò ÖØ Þ Ô Û ÒÒ Ö ÒÙ Ø Ð ÖØ Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÛÓÖ Ò ÓÙÛ Þ Þ Ò Ò Ñ Ð Ø ÐÐ Ò Ð Ò ÓÓ Ú Ò Ø Ð Øµ Û Ð Ð ÓÖ Ò Ø Ú Ö ÐÐ Ò ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Ò Ò Ð Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ø Þ Ø ÓÒÑ Ò Ö Ò ÓÙÛ Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒº À Ø Û Ò ÓÓ Ù Ð Ø Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ð Ö ÓÔ Ò Ð ÔÙÒØ Ò Ø Ò ÔÖ Ò Ò Ø Ò Ú Ò Þ Ø Ò Ô Ø ÞÓÙ ÑÓ Ø Ò ÛÓÖ Òº À Ø Ð Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ø Þ Òº À Ø Þ ÒÓÓ Þ ØÓØ ÒÔ Ò ÓÒ Ð ÖØ Ò Ø Ò Ò ½ ¼ Ð ØÓØ Ø ÓÖ Û ÒÙ Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ËÊÌµ ÒÓ Ñ Òº Ð Ø ÖØÔÙÒØ Ú Ò ËÊÌ Ò Ñ Ò Ø Ò ØÛ ÔÓ ØÙÐ Ø Ò ØÛ ÔÖ Ò Ô Û Ö Ò Û Ú Ò Ò Ñ Ö Û ÖÚ Ò Ú ÖÑÓ Ø Ò ØÙÙÖ ÐØ Ò Ø Ò Ñº Þ Ò Ö ÓÔ Ú ÖÑÓ Ò ÚÓ ÓÓÖ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ò ÞÙÐÐ Ò ÒÙ Ò Þ Ö Ø Ð ÔÖÓ Ò ÛÓÖ Òº Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ð Ø Ò Þ Ò Ø Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú Ö ØÓÖ Ò Þ ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ñ Ø Ò Ð Ú Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Û Ð Ò Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Û Øº Ø Ò ÛÓÒ ÖÐ Ö ÙÐØ Ø Ð Û ÖÒ Ñ Ö A Ò ÓØÓÒ ÚÓÓÖ Þ Ø ÚÐ Ò Ñ Ø Ò Ð Ú Ò Ø Ð Ø c Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö B Û Ø Þ Ñ Ø Ò Þ Ö Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò A Ò Þ Ð Ö Ø Ò Ð Ø ÓØÓÒ Ò Þ Ø Ø ÞÓÒ Ú Ö Ø Ò ³ Ø Û ÖÒ Ñ Ö B Ø ÓØÓÒ Ñ Ø Ò Ò Ð c v Þ Ø Û Òº Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Þ Ò Ø Ö Ø ÓÓ Û ÖÒ Ñ Ö B Ø ÓØÓÒ Ñ Ø c Þ Ø Û Ò Ò Ø ØÞ Ð Ð Ø ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö C, D,... Þ Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö º ÆÓ Ñ Ð Ú Ö Ð Ö Ò ÚÓÓÖ Ø Ú Ò Ò Ø Ò Ñ Ö Ò Ø Ò Ò Ñ Ø Ð Ò Ú Ò Ò Ø Ú Ò Ò ØÙÙÖº À Ö Ø Þ Ð Ù Ø Û Ö Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ù Ö ÖØ Ø Ø Ò Ò Ô Ú Ò ÐÓÙØ Ö Ò ÐÐ Ò Ø Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ò Ò Ø ÐÐ Û Ø Þ Ñ Ø Þ Ò Ð Û Ø Ò Þ Ò Ô ÚÓÐ Ó Øº Ø ÚÓÖÑØ Ò Ø Ö Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ú Ò ËÊÌ ÈÓ ØÙÐ Ø ½ Ð Ø Ò Ð Ø Þ Ð Û Ö ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð º Ø Ú Ò Ø Ø Ò Ð Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Ð Ø Ò Ð º Ý Ò Þ Ð ÐÓ Ó µ ÑÔÐ Ø Ú Ò Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Þ Ò ÒÓÖÑ ÓÑ Ø Ø Ö Ø ØÓØ ÚÓÐ Ø Ø ÙÙÖ Ú Ò Ø Ò ÖÓÓØØ Ú Ò Ø Ò Ò Ò Ø ØÞ Ð ÙÒÒ Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Þ Û ÖÒ Ñ Ö º À Ø ØÛ ÔÓ ØÙÐ Ø ÓÑØ ÚÓÓÖØ Ù Ø Ò Ò Ö Ò Ô Ú Ò Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ º Ó Ð Ú ÖØ Ð Ø Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ ÓÚ Ö Ö Ð Ø ØÙ Ò Ð ØÖ Ú Ð Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Û Ö Ò Ð ØÖ Ú Ð Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ ÒÚÐÓ Ú Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ò ÐØ ÓÔ ÐÐ Ò Ö Ð Ò ÐØ Ò Þ Ò ÓÑ Ú Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ ÒÚÐÓ Ú Ò Ò Û Ò Ð Ò ÐØ ÓÔ ÐÐ Ò Ö Ð Ò ÐØ Ò Þ Ò ÓÑ Ú Ò º ÇÔ Ø Ö Ø Þ Ø Ð Ò Þ Ò Ø Ò Ð Ö ÓÚ Ö Ø Òº ÁÑÑ Ö Ò Ø Ð Ø Ò ÐØ Ò ÓÓ Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò Û Ò ÐØ Û ÒÒ Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ò ÐØ ÐÙ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø Ò Û Ò ÒØ Ò ÚÓÐ Þ Ð Ø Ð ØÖ Ú Ð Ú Ò Ø ÐØ ÐØ Ð ÓÚ Ö Ò Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ð º ÁÒ ÞÓÚ ÖÖ Ð Ø Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ØÛ Ú Ð Ò Ð Ø Ò ÙÞ º Ø Ö Ö Ò Ð Ý Ú Ö Ð ØÙ Ò ØÛ Ú Ð Ò Ò Ø Ø Ò ÖÚ Ò ÚÓÐ Ó Ø Ò ØÛ Ú Ò Ú Ö Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Û Ö Ø Ò Ö Ú Ð ÚÓÐ Ó Ø Ò ØÛ Ò Ö Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ñ Ø Ý Ð Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÔÔ Òº ÓÚ Ò Ò Ø ÚÓÐ Ú Ò Ò Ð ØÖ Ú Ð ÓÔ Ò ØÛ Ð Ò ÐØ Ò Ö Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ø Ð ØÖ Ú Ð Û Ö Ø ÚÓÐ Ú Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Ö Ø ÐÓÓ Ö Ø Ø Ø ÓÔ Ø Ñ Ò Ø Ú Ð º Ð Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Ð Ø Ò ÙÞ Ú Ò Ò Ð Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ó Ò Ø Ò Þ Ò Ø Ò Ý Ñ Ø Ö Ú Ö Ò Ð Ð Ö Ø ÓÔ Ò Ð Ò ÐØ ÞÓ Ú Ö ÐÐ Ò Ð Ö Ö Û Ð Ð Ò Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ð ØÙ Ò Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Òº

83 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÇÒ Ò Ø Ò Ö Ú Ö Ð Ö ÚÓÐ Ò ÛÓÒ ÖÐ Ò Ô Ú Ò Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ö Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ ØÓ Ô Ò ÓÔ Ò Ò ØÞ Ð Ý Ø Ñ Ú Ò Ð Ò ÐØ Ò ÞÙÐÐ Ò Þ ØÓØ Þ Ð Ý Ö ÙÐØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ú Ö ÐÐ Ò ØÙ Ò Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Òº Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ò Û Ð Ú Ò Ñ Ò Ò ÓÚ Ö Û Ð Ö Ø Ò Ö Ø Ò ÓÔ Û Þ Ò Ó ÐØ Ð Ò Ò Ø Û Ò Ò Ð ØÖ Ú Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ò Ñ Ò Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ñ Ö Ø ØÓØ Ð Ú Ò Ð Þ Ø Ò Ø Ù Ø Ò Ð ÔÖ Þ Ð Ý ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Òº À ÖÑ ÛÓÖ Ø Ó Ð Ø Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö ÙÒ ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ò ÓÖÖ Ö Ò ÚÓÓÖ Ø Ø Ø Þ Ñ Ø ÓÒ ÖÐ Ò Ò Ð Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Þ ÐØ ÔÖ ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ò Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ ÙÒÒ Ò Ù ÛÓÖ Ò ØÓ Ô Ø ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ÞÓÒ Ö ÓÔ ÓÒ ÖÐ Ò Ø Ò ØÖ Ò Ø ØÙ Ø Òº Ð Ö Ñ Ø Ò ØÙÙÖ Ò Ö Ú Ð Û Ø Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú Ð Ò ØÖ Ø Ò ÓÒ Ö ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø ÓÒ ÖÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Òº Ò Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ò Ñ Ò Ø Ø Ð Ø ÚÓÓÖ ÐÐ Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ú Ö Ò Ð Ò Ò Ø ÐÐ Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø µº Ø ÚÓÖÑØ Ø ØÛ ÔÓ ØÙÐ Ø Ú Ò ËÊÌ ÈÓ ØÙÐ Ø ¾ Ò ØÙÙÖ Ñ Ø Ò ÓÒ Ö ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð º ÈÖ Ø Ø ÒØ Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Ø ÓÒÑÓ Ð ÓÑ Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ð Ò Ó Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÓÐÙØ Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Ý Ý Ø Ñ Ó Ò Ø Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ø Ñ Ø Öº À Ö ÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò ÓÖÖ Ø³ Ð Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö Ø º ÁÒ Ø ÞÓÒ Ö Ø ÒØ Ø Ø Ö Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Û ÖÚ Ò Ý ÖÓÓØ Ò Ñ Ø Ò ÑÓ Ø Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ð Ð ÚÓÐ Ó Ø Ò Ñ Ð Ú Ò Ó º Ñ Ø Ò Û Ö Ò Ú Ò ÖÓÓØ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò Ô Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ö Û ØØ Ò Û Ö Ò Þ ÖÓÓØ Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò Ò ÐÐ Ñ Ð ÔÖ ØÞ Ð Ø Þ Òº ÖÓÑ ÑÓ Ø Ð Ñ Ø Ò Ú Ò Ò ÖÓÓØ Ò Ú Ò ÛÓÖ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ñ Ø Ò º Ø Û Ð Þ Ò Ù Ø ÓÑ Ø Ò Ú Ò Ñ Ø Ò Ò Ò ÒÓÓ Ø ÓÐÙØ Ø Ò Ñ Ö Ð Ø ÐÓÙØ Ö Ö Ð Ø º Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Ø ÖÓÑ Ò Ð Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º Ø Ð Ú ÖØ Ò Û ÙÒ ÚÓÓÖ Ö Ø Ø Ò Ò Ò Ø ÓÖ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÚÓÐ Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÑÓ Ø Ò Û ÙÒ Û ØØ Ò Ú Ò Þ Ø ÓÖ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ò Ò ÚÓÖÑ Ò ÓÒ Ö Ñ Ø ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ú Ö ÐÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Òº Ø ÞÙÐÐ Ò Û Ò ÓÓ ÜÔÐ Ø Ó Ò Ò Ø Ú ÖÚÓÐ º º¾ À Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÆÙ ØÛ ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ú Ò ËÊÌ Þ Ò ÑÓØ Ú Ö ÙÒÒ Ò Û Þ Ò ÖÙ Ò ÓÑ Ö Ð Ø ØÙ Ò Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø ÓÒ ÖÞÓ Ò Ò Û ØØ Ò Ú Ò Û Ò Ø Ð Òº ËØ ÖØÔÙÒØ Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ds 2 = g µν dx µ dx ν. ½ µ Ñ ØÖ Ô ÐØ ÞÓ Ð ÐØ ÓÓ ÖÓÐº ÁÒ Ø Ú Ð Ú Ò ËÊÌ Ò Û ÒÒ Ö Ö Ú Ò Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Òµ ÛÓÖ Ø Ñ ØÖ Ú Ò ÓÓÖ η µν = ½ µ Ö Þ Ò Ù ØÞÓÒ Ö Ò Ò ÓÔ Þ Ö Ð Ö Ø Ò ÓÓ ÖÓÓØ Ò ØÞ Ð Þ Ò ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö º Ò ÖÚ Ò Ð ÒÓ Ñ Ð Ø Ò Ð cº

84 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ Þ Ñ ØÖ Ö Ø Ò Ñ Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ò ÛÓÖ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ù ÓÓÖ Ö Ð ØØ Ö η Ó Ø Û Ð g µν = η µν º ÒÚ Ö Ú Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ ÒÚÓÙ Ø Ú Ò Ò Ò Ð Ø ÔÖ Þ Ð ÚÓÖÑ Ø Ò Ð Ñ ØÖ Þ Ð η µν = Ð Û Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ù Ø Ö Ú Ò Ú Ò Ò Û ½ µ ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2. ½ ¼µ Ø ÙÒÒ Ò Û Ñ Ø Ò ÖÙ Ò ÓÑ Ò Ý ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ØÓ Ø ÒÒ Ò Ò Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØº Ì Ò Ö Ø Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ Ñ Ö Ø Ø Ð Ø Ø Ö Ø ÖÑ Ò ÔÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÈÝØ ÓÖ ÚÓÖÑ Ò ¼ º Ø Ø ÒØ Ø Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ñ Ø Ò Ø ÓÔ ØÞ Ð Ø Ø Ô Ó Ø ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ø ds 2 Ò Ø Ò Ö Ò Ø Ò ØÙ Ò Þ ØÛ ÔÙÒØ Òº Î Ö Ö Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ Ñ Ö Ø Ø Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ø Ú Ö Ð Ñ Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ò Ø Ó Ø ÞÓÒ Ö ÓÒ ÖØÙ Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Ò Ø Û Ð Þ Ò Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Ò µ Ð Ø Ø Ö Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ð Þ Ò Ò ÒÙÐ ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ù Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ø Ú Ò Ñ ÒÙ Ú Ö ØÖ Ò Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Òº À Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ø Ú Ö ØÖ Ò ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Þ ÙÖØ Ò º º Ì Ð Ø Ø Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÙ Ö Ø Ô Ö Ö Ø ÚÓÐ Ò Ú Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÓÙÛ Òº Ó Ð Ð Ö Ö Ò Ø ÔØ Ù Ö ÖØ Ø Ö Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ñ Ò Ò ÞÙÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò ÓÚ Ö Ø Ò Ò Ø Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Òº ÐÐ Ö Ö Ø Þ Ð Ø Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ø ÛÓÖ Ò ÓÙÛ º ËØ ÖØÔÙÒØ Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2. ½ ½µ À Ö Ò dτ ÓÔ Ø Ú ØØ Ò Ð Ø Ú Ö ØÖ Ø ÓÔ ÐÓ Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ï½µ ÚÓÓÖ Û ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓÔ Þ Ð ÔÓ Ø Ò dt Ø Ú Ö ØÖ Ø ØÙ Ò ÙÖØ Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾µº Ï ÒÒ Ö ÒÙ Ö Ø Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ð ÛÓÖ Ø ÓÓÖ c 2 dt 2 Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ú Ö ØÖ Ò Ø Ú Ò Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö dτµ Ò Ú Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾µ dtµ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð ( v ) 2dt. dτ = ± 1 ½ ¾µ c À Ø ÔÐÙ Ñ Ò¹Ø Ò Ú Ò Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ø Û ÙÒ ÚÓÐ Ú Ò Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ò ÛÓÖØ Ð Ý Þ Ò Û Ø Ö ÐÐ Ò ÒØ Ö Ö Ò Ø ÔÐÙ Ø Ò Ò Þ Ò Ò Ñ ÒØ Ò ÞÓÙ Ñ¹ ÔÐ Ö Ò Ø ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò Ø Ð ÐÓÔ Ò Ø Ò ÖÚ Ö Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÖÓÑ Ú Ò ÒÙ ÐØ Ø ÔÐÙ Ø Ò ÖÙ Òº Î Ö Ö Ö Ú Ò v dx dt Ó Ø Û Ð Ø Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ð ÓÓÖ Ø ÙÙÖ ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾µº Ø Ò Ð v Û ÖÑ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ò ÖÑ ÓÓ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö ÑÑ Ö Ø Ð Ø Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Òµº Í Ø ÚÓÒ Ò Ú Ö ¹ Ð Ò Ð Ø Ø ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö ÙÒ Ø Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ö Ø Ö Ò Ó Ú Ð Ø ¼ Å Ö ÓÔ Ø Ñ Ø Ò Ø dt ict Û Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÙÒÒ Ò Ö Ú Ò Ð ds 2 = dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 º

85 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ö ØÖ Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ò Ø Þ Ð Ð ÚÓÓÖ Ò Öº ( ØÓÖ 1 ( ) v 2 1/2 c) Ò Ñ Ø ÖÚÓÓÖº Þ ØÓÖ ÛÓÖ Ø ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ ÒÓ Ñ Ò Þ Ð ÒÓ Ú Ö ÚÓÓÖ ÓÑ Ò Ò ËÊÌ ÛÓÖ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ù Ñ Ø Ð ØØ Ö γ Û Ö 1 γ 1 ( ). ½ µ v 2 c Å Ö ÐÚ Ø ÓÔ Ø Þ ØÓÖ ÓÒ Ò ÖÓÓØ ÛÓÖ Ø Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ò Ð Ò Ð Ò c Ú Ö Ö Ò Ð ÛÓÖ Ò ÓÔ Ñ Ö Ø Ø Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ò Ð Ò ÖÓØ Ö Ò c ØÓÖ Ñ Ò Ö ÛÓÖ Ø Ò Ö ÓÓÖ ÒÓÓ Ø Ý Ö Ð Ú ÒØ Ò Þ Òº Ø Ò Ö Ø ÒØ Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ø ÐÐ Ò ÒÚ Ö ÒØ Ñ Ö ÓÓ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ð Ý ÑÓ Ð º ÎÓÓÖ Ø Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ø Ø ÐÐ Ò ÒÓ ÓÔ Ø Ñ Ö Ò Ø ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ ÐØ ÖÓØ Ö Ò 1º À ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø dτ Ð Ò Ö Ò dt Ó Ø Û Ð Ø Ú Ö ØÖ Ò ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ø Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ñ Ø Ò Ð v Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Ò dτ < dtµº Ï Ø Ø ÒØ Ø ÒÙ Ý ÇÔ Ö Ø Þ Ø Ð Ø Ø Ø Ø Ò Ò Ø Ø Ò ÐÐ Ö Ú ÖÐÓÓÔØ ÚÓÓÖ Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÚÓÓÖ ØÛ ÑÑ Ö Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ñ Ò Ö Ø ÒÓ ÓÑ Ú Ò Ò ÙÖØ Ò Ò Ö Ò Ö Ø Òº ÓÒÐÙ Ø Ö Ò Ø Ò Ö ÓÑ ÞÓ Ð Ò ÚÓÓÖ Ð Ð Ø Þ Òº Ä Ø Ö Ø ÙÖØ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Þ Ò Û ÖÓÔ ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö ÒÓ Ð ÐÓÔ Ò ÐÓ Ò Ò Ò Û ÖÓÔ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ö Ú Ò ÐÓ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ï½ Ò Ø ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ø Ø Ò Ð Ò Ö Ø Ñ Òº Æ Ò Þ Ö Ø T Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÒØ Ö Ø Þ Ò Ú ÒÙ Ø Û ÖÒ Ñ Ö ÐÓ Þ Ø dτ = T º Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾ Ø ÓÒ ÖØÙ Ò Ò Ö Þ Ð ÐÓ Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ ÚÓÓÖØ Û Ø Ñ Ø Ò Ð vµ Ò ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ó Ø Ð Ò Ö Ö Ò Ø dt = γdτ ÓÚ Ö Ð Ò Öº Ø Û Ð Ù Þ Ò Ø Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ó ÖÚ ÖØ Ø ÚÓÓÖ ÚÐ Ò ÐÓ Ð Ò Ö ÒÓ Ø Ò T ÓÑ Ò Ò Ð Ð Ò Ö Ø Ñ Òº ÓÒÐÙ Ú Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÞÓÙ Ò ÓÓ Þ Ò Ø ÚÓÓÖ ÓÑ Ò ÐÓ Ø Ð Ò Þ Ñ ÐÓÓÔØº Ø Û Ø Ö Ó Ð ÛÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÚÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ò ÚÓÓÖ ÓÑ Ò ÐÓ Ð Ò Þ Ñ Ö Ø ÐÓÔ Ò Ò ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø ÐÓ Ñ Û Øº Ø ÛÓÖ Ø Ú Ò Ù Ñ Ø ÐÓ Ò Û Ò ÐÓ Ò ÐÓÔ Ò Ð Ò Þ Ñ Ö³ Ø Ö Ð Ò ÞÓÙ Û ÐÐ Ø Ø Ö Ø Þ Ò ÓÓÖ Ù Ø ÔÖ ÚÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Û Ò ÐÓ Ð Ò Þ Ñ Ö Ø ÐÓÔ Ò³º Ò ÚÖ ÓÑØ Ò Ð Ò Ð ÓÔ ÐÓÓÔØ Ò Û Ò ÐÓ ÒÙ Ø³ Ð Ò Þ Ñ Ö Ò Ø Ð Ø Ò ÐÓ Ï ÒØ Ó ÓÙÛ Ò Û Ö ÐÐ Ò Ñ Ö Ð Ø Ò Þ Ò Ø Û Ò ÐÓ Ð Ò Þ Ñ Ö Ð Ø Ø ÐÓÔ Ò Û ÒÒ Ö Ò ÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Öº À Ø ÒØÛÓÓÖ Ø Ö Ò Ú Ö Ð ØÙ Ò Ð Ò Þ Ñ Ö Ð Ò Ø ÐÓÔ Ò Ò Û Ö Ð Ð Ò Þ Ñ Ö ÐÓÔ Ò Ý Ø ÑÑ Ö ÐÐ Ò ÓÚ Ö Ñ Ø Ò Ø Ò Û Ø Û Ð Þ Ò Ø Û ÓÚ Ö ÐÐ Ø Ò Þ Ò Ø Ú Ò Ñ Ø Ò ÓÔ Ò Ö Ò Ò Þ ÒÒ Ø Û Ð Þ Ò Ø Ø Ö µ Ù Ø ÔÖ ÙÒÒ Ò Ó Òº Ð Ñ Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ò Ò Ø ÞÓ Û Ö³ Ð Ð Ò Ö Ñ Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ò º À Ø Ø Ò ÓÓ Ò Þ Ò ÓÒ Ø ÚÖ Ò Ó Ð Ò Ö Ú Ò Ò ÐÓ ÒÙ Ø³ Ð Ò Þ Ñ Ö Ð Ò ÖØ Û ÒÒ Ö Ø Û Ø Ó Ø Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ÞÓ Ð Ø³ Ò ÓÒÞ Û ÖÒ Ñ Ò ÐÐ Ò ÓÒÞ Ñ Ø Ò Ð Øº Ï Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÒ ÒÙ Ð Ö Ø Ø Ñ Ø Ò Ø ÙÙÖ Ú Ò Ò ÔÖÓ Ò Ð Ú Ò Ò Ð Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÚÖ Ó Ò Ð Ò ÔÖÓ ÒÙ Ø³ Ø ÓÒÞ ÒÒ ÛÓÖ Òº Ø ÞÓ Ð ÓÓ Ð ÒÓ Ñ Ò Ù ÓÚ Ö Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÖÒ Ú Ò Ø ÛÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ø³ Ö Ò ÓÐÙÙØ ÒØÛÓÓÖ Ñ Ö ÓÔ ÚÖ Û Ø Û Ö Ð ³ Û Ö Ú Ò Ô Ð ÖÓÓØ Ð Û Ö Û ÖÒ Ñ Ö¹ Ò Ð ÛÓÖ Ò Ò Ð Ñ Ø Ò Û Ö Ú Ò Û Ö³º Ò Ð Ð Ø Ø ÓÔÑ Ö Ò Ò ÓÚ Ö Ø Ð Ø Ø º À Ø ÑÓ Ù Ð Þ Ò Ø Ø Ú Ö Ò Ð Ò Ø Ø Ñ Ò Ø Ñ Ø Ñ Ò Ú Ò ÐÓ Òº À Ø Ò ÔÙÙÖ ÓÑ ØÖ Ú Ö Ò Ð Ö Ø

86 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÚÓÓÖØ ÓÑ Ò Ù Ø Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ º À Ø Ú Ö Ò Ð Ô Ö Ø Þ Ò ÓÓ Ò Ø ØÓØ ÐÓ Ò Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ð Ý Ñ Ø Ö Ø Ú Ö Ð Ð Ò Ö Ú Ò Ò ÐÓ ÙÙÖ Ú Ò Ò ÖØ ÐÓÔ Ø Ú ÖÚ Ð Ú Ò Ò ØÓÓÑ ÖÒ Ð Ú Ò ÙÙÖ Ú Ò Ò Ñ Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ø Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ò Ð Ò Ð Ò Ð Ò Þ Ñ Ö Ø Ò ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Û ÒÒ Ö Þ Ú Ö Ò Ð Ò Þ Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Þ Û ÖÒ Ñ Öº º ÄÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ò ØÛ Ö Ø ÚÓÐ Ú Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ø Ò Ò ØÙ Ò ÙÖØ Ò Ò Þ Ò ÓÖØ Ö ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Òº ËØ ÖØÔÙÒØ Û ÖÓÑ Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Û Þ Ò x¹ Ð Ö Ø Ò Ú Ò Ö Ð Ø Ú Û Ò º Ö Ð Ø c 2 dt 2 + dx 2 = c 2 dt 2 + dx 2. ½ µ ÇÑ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ò Ø ØÓÒ Ò ÓÙÛ Ò Û ÚÓÐ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÚÓÓÖ ÒØ Ú Ò Ò Ð Ø Ô ÖØ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ö ÒØ Ú Ò Ð Ø Ô ÖØ Þ Û ÖÒ Ñ Öº ÎÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø ÓÔ Þ Ð ÔÓ Ø Ù Ð Ø dx = 0º Ø Ð Ø ÖÓÚ Ö Ó Ø ÓÑ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ô Ö Ò dt Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ð Ò Ø Ú Ò Ð Øº Ð Ð Ø Ô ÖØ Ñ Ø Ò Ò Ð v ÓÒÐÙ ÖØ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ø Ø Ú Ò L = vdt º Ö Ø Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ò ÓÓ ÛÓÖ Ò Ö Ú Ò Ð c 2 dt 2 + dx 2 = c2 L 2 v 2. ½ µ Ð Ò Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ø ØÖ Ò ÓÔ Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ð Ø Ñ Û Øº ÎÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ø Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ô Ö Ò Ú Ò ÚÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØ Ú Ò Ð Øµ ÔÐ Ø ÓÔ Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ø Ò Ú Ò L Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Þ ØÛ Û ÖÒ Ñ Öº Ø ÙÙÖ ØÙ Ò ØÛ ÑÓÑ ÒØ Ò dt Ø Ö Ò Ö ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö ÓÑ Ø Ö Ò Ø Ð Ø Ø ÓÔØÖ Ø ½ º Ö Ð Ø dt = γ 1 dtº Ð Û Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Û Ö ÖÙ Ò Ø Ø dt Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ð Ò Ø L Ú Ò Ð Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð c 2 γ 2L 2 v 2 + L2 = c2 L 2 v 2. ½ µ Ø ÒÙ Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ø Ð Þ Ø Ø Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Þ Ø Ô Ö Ò Ñ Ø Ò Ò Ð vº Î Ö ÒÚÓÙ Þ Ö Ð Ø L = γl. ½ µ Ï ÒÒ Ö Ö ÒÒ Ö ÛÓÖ Ø Ø γ ÐØ ÖÓØ Ö Ò ½ Þ Ò Û ÒÙ Ø Ð Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ø ÓÖØ Ö Ð Ø ÚÓÓÖ Ñ Ò Ð Ø Þ Ø Û Ò Ò Ñ Ò Ð Ø Ò ÖÙ Ø Þ Øº Ø ÐÓÖ ÒØÞ¹ ÓÒØÖ Ø Ø Ò Ò Ð Ò ÓÖØ Ö Û ÒÒ Ö Û Ö ÒÓÑ Ò ÓÓÖ Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Öº Å Ö ÓÔ Ø Ø Ò Ø ÐÐ Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ð ØØ Ò Ñ Ö Ò ØÙÙÖÐ ÚÓÓÖ ÐÐ Ý Ñ Ø Ö Ø Ò Ú Ö¹ ÐÐ Òº Æ Ø Ð Ø Ð Ø Ø ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ò ÔÙÙÖ ÓÑ ØÖ Ø Ò Ö Ø ÚÓÐ Ú Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØº ÓÚ Ò Ò Ð Ø ÓÓ Ö Û Ö Ø Ö Ò ÓÐÙÙØ ÒØÛÓÓÖ ÓÔ ÚÖ Ó Ð Ò Ò Ð Ø ÒÙ Ø³ Ø Ò Ò Ò Ð ¹ Ò Ð ÖÓÓØ ÛÓÖ¹ Ò Ò Ò ÒØ Ò ÚÓÐ ÐÐ Ò Ô Ð ÛÓÖ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ½ ÓÖÖ Ø ÔÐ Ø Ò Ú Ò ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ γ Ò ÓÑ Ú ÖÛ ÖÖ Ò Þ Ò Û Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø ÒÙ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÙÖ ÚÙ ØÖ Ð ÐØ Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÓÖØ Ø Ø ÙÙÖ Ñ Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Òº Ø Ø ÒØ Ö Ø dt < 1 Û Ø Ò Ø Ó ØÓÖ dt γ ÔÐ Ø Ø ÒØ Ø ÛÓÖ Òº

87 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ º ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Í Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÚÓÐ Ð Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÒÚ Ö ÒØ ÒØ Ø Þ Ò ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ú Ò Ó Ö Ò Ø Òº Ø Ø ÒØ Ø Ö Ò Ô Ö Ø Ø Û ÖÒ Ñ Ö ÓÒ ÖÐ Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÑÓ Ò ÖÙ Òº Ï ÚÖ Ò ÓÒ Û Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ØÙ Ò Û ÖÒ ¹ Ñ Ö Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ú Ò ÚÓÖÑ Ó Ò Ú Ö Ò Ö Òº Ï ÙÒ Þ Ò Ò ÓÓ ÚÖ Û Ð ÙÒØ x = x (t,x,y,z) y = y (t,x,y,z) z = z (t,x,y,z) ÚÓÐ Ò Ú Ö Ð Ò ÓÔÐÓ Ò c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2. ½ µ Ö Þ Ò Ñ Ö Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ò Ò Ö Ò ÚÓÐ Ó Òº Ñ Ð Ø Û ¹ Ò Ò ÙÒÒ Ò Ø Û ÛÓÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÔØ ÐÐ Ò t = t + a t, x = x + a x, y = y + a y, z = z + a z. ½ µ ÁÒ ÚÙÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ð Ø Ö Ø Þ Ò Ø Ø Ò ÓÔÐÓ Ò º Ý Ø ÒØ Þ ÓÔÐÓ Ò Ò Ø Ò Ö Ò Ø ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ø µ Ø Ò Ú Ò Ð Ö Ø Ò a x,a y,a z µ Ò Ø ÐÓ Ú Ò Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ø µ Ó Ú Ð Ø ÚÓÓÖ Ó Ø Ö ÐÓÓÔØ ÓÔ Ú Ò Ò Ö a t µº ÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÒÓ ÑØ Ñ Ò ØÖ Ò Ð Ø º Ò ØÛ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ ÒÚ Ö ÒØ Ð Ø Ò Ò ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ò Ø Ò Ò Ú Ò ÔÐ Ø ¹Ó Ö Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Ð zµ Ò Ø Ø ÓÙÛ Òº ÁÒ Ø Ú Ð ÑÓ Ø ÚÓÐ Ò ÛÓÖ Ò Ò dx 2 + dy 2 = dx 2 + dy 2, ½ ¼µ Ó Ø Û Ð ÓÑ Ú Ò ØÛ Û Ö Ø Ò ÒØ Ò Ø Ø Ú Ö Ò Ö Òº Þ Ú Ö Ð Ò ÒÚÓÙ ÓÔ Ø ÐÓ Ò ÓÓÖ Ø Ö Ú Ò x = A x x + A y y y = B x x + B y y, ½ ½µ Û Ö A x,a y,b x,b y ÓÒ Ø ÒØ Ò Þ Òº ÁÒ ÚÙÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¼µ Ð Ø Ò Þ Ò Ø ÚÓÓÖ Þ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÒØ Ø Ð Ò A 2 x + B 2 x = 1, A 2 y + B 2 y = 1 A x A y = B x B y. ½ ¾µ Ò Ö Ø ØÛ Ò Ò Ö Ø ÚÓÐ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò ÓÑ Ú Ò ØÛ Û Ö Ø Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ ÑÓ Ø ÓÔÐ Ú Ö Ò Ò Ð Ø Ø ÚÓÓÖ Ò ÓÑ ÒÙ Ò Ò Ó ÒÙ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ò Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Þ ÙÒØ Ð Ø cos 2 α + sin 2 α = 1 ÚÓÓÖ Ð Ó αº Å Ò Ò Ù Þ Ò A x = cos α,b x = sinα Ò A y = cos β,b y = sin β ÓÑ Ò Ö Ø ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò Ø ÚÓÐ¹ Ó Ò Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ò ÓÓ ÚÓÐ Ò Û ÒÒ Ö ÓÞ Ò ÛÓÖ Ø β = αº ÇÔ Þ Ñ Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑÔÐ Ø Ò Ú Ò Ò Û x = (cos α)x + (sin α)y, y = (sin α)x (cos α)y. ½ µ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò Ö Ò ÓÑ z¹ ÓÚ Ö Ò Ó αº ÚÓÓÖ Ð Ð Ó π 2 Ò Ö Ò Ú Ò 90 µ Ò x = y Ò y = x ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò Ø Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ñ Ö Þ Ò ÓÒ ÖÐ Ò 90 Ö º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø Ð Þ Ø Ò ÖÓØ Ø º ÁÒ Ø ÚÓÓÖ Ò Ò Û ÐÐ Ò Ò Ö Ò ÓÚ Ö z¹ ÓÙÛ Ñ Ö Ù Ø Ö Ò Ò Ö Ö Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ö Ò Þ Ò Ò Ø ÞÓ ÒÚÓÙ Ø Ú Ò Òº Ò Ö ÓÓÖØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ ÒÙ Ò Ø Ø Ò Ò ÔÐ Ø Ó Ö Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÓÙ Ò Ñ Ö Ò ÔÐ Ø ÖÚ Ò ØÛ ÖÙ ÑØ Ð Ó Ö Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Ð y Ò zµº ÁÒ Ø Ú Ð ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø ÚÓÐ Ó Ò Ò c 2 dt 2 + dx 2 = c 2 dt 2 + dx 2. ½ µ

88 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÓÓÖ ÒÙ Ø Ö Ú Ò ct = A t ct + A x x, x = B t ct + B x x, ½ µ Û Ö A t A x B t B x ÓÒ Ø ÒØ Ò Þ Òµ Ò Ò Ø ÚÙÐÐ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò ÑÓ Ø Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò A 2 t B2 t = 1, A2 x + B2 x = 1 A ta x = B t B x. ½ µ Þ Ö ÞÙÐÐ Ò ÒÙ Ò Ò Ó ÒÙ Ò Ò Ø ÚÓÐ Ó Ò ÓÑ Ø Ö ÒÙ Ø Ú Ö Ð Ú Ò ØÛ Û Ö Ø Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ ÑÓ Ø Þ Ò ÓÑ Ò Ö Ø ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò Ø ÚÓÐ Ó Òº Ø ÔÖ Û Ø ÝÔ Ö ÓÐ ÙÒØ cosh Ò sinh Ò ÖØ ÚÓÓÖ Þ Ð Ø Ò Ñ Ð Ø cosh 2 η sinh 2 η = 1 ÚÓÓÖ Ð Û Ö Ú Ò ηº À Ø Ð Ø Ò ÓÓ ÚÓÓÖ Ò Ø Þ Ò A t = cosh η,b t = sinhη Ò A x = sinhρ,b x = cosh ρ ÞÓ Ø Ò Ö Ø ØÛ Ú Ö Ð Ò¹ Ò ÚÓÐ Òº Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ò Ú ÖÚÓÐ Ò ÚÓÐ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ ρ = η Ø Þ Òº À ÖÑ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑÔÐ Ø Ò Ú Ò Ò Û ct = (cosh η)ct + (sinh η)x, x = (sinh η)ct + (cosh η)x. ½ µ Ï ÙÒ Ø Ò Ö Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ñ Ö Ò ÓÚ Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó ³ η Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÒÓÖÑ Ð º Å Ö Û Ø Ø ÒØ Ø Ý Å Ø Ò Ñ Û Ø Ø Ò Ú Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó η Ø Ò ÛÓÖ Ò ÚÓÒ Ò ÓÓÖ Ø Ð Ø Ø Ø ÓÙÛ Ò Û Ò Ð Þ Ò Ø Ø Ò Ú Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ö Ð Ø Ö Þ Ò Ú Ú Ö Ð Ò ½ ¾µº Ð Û Ö ÒØ ÐÚÓÖÑ Ò Ñ Ò Ú Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ò Þ Ò dt dτ Ò ÙÒÒ Ò Û Ö Ø Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ö Ú Ò Ð dτ = (cosh η)dt + (sinh η) 1 c dx ½ µ ÃÛ Ö Ø Ö Ò Ð Ò ÓÓÖ dt 2 Ò Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ø Ò ( v ) 2 ( v ( v ) 2 cosh 2 η + sinh 2 η + 2 cosh η sinhη = 1. ½ µ c c) c Ø Ò Û Ö Ø Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ú Ö Ð v c Ò Ø Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ò Ð v Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó ηº Ó Ð Ñ Ø Ò Ø Þ Ò Ø η Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ò Û Ð Ñ Ò Ö ÓÑ Ò Ð ØÙ Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ö Ú Ò ¾ º Ï Ø ÔÖ Þ Ö Ð Ø ØÙ Ò v Ò η ÚÖ Ø ÒÓ Ò Ø Ñ Ö Ö ÒÛ Ö º ÐÐ Ö Ö Ø ÑÓ Ø Ú Ö Ð Ò ½ µ Ö Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò ØÓØ ( v ) 2 ( v (1 + sinh 2 η) + 2 (cosh η sinhη) + (cosh c c) 2 η 1) = 0 ( v c ) 2 ( v (cosh 2 η) + 2 (cosh η sinh η) + (sinh c) 2 η) = 0. ½ ¼µ Û Ö Ò Ð Ø Ø Ø Ô Ö Ð Ø cosh 2 η sinh 2 η = 1 ÖÙ Øº Þ Ú Ö Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ ÐÓ Ø ÚÓÓÖ v c Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ¹ ÓÖÑÙÐ º À Ø Ö ÙÐØ Ø Ø Ö Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò v c Ò η ( v = c) sinhη ( v ) cosh η tanh η η = arctanh ½ ½µ c ¾ Þ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ Ø ÚÓÓÖ Ò Ð ÛÓÖ Ø Ò ÓÑÑ Ø Ò Ú Ò Ý Ñ Ö ÖÙ Ø Ò Ò Ð v Ø Ð Ò Ñ Ö Ô ØÝº Ö Ò ÚÓÓÖ Þ ÚÓÓÖ ÙÖ Ø Ò Ð v ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÒÓÓ Ø ÖÓØ Ö Ò Þ Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ø ÖÛ Ð Ö Ô ØÝ Û Ð Ð ÖÓÓØ Ò ÛÓÖ Òº Ø Ø ÓÑ Ö Ò ÙÒ ÚÓÓÖ Ð Òº

89 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ Ø Ò ÒÙ ÛÓÖ Ò ÖÙ Ø ÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ö Ð Ò ½ ½µ Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ò Ò Ð v Û Ø Ú Ò ÒÞ Ø Ð Ö ÖÓÓØ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó ηº À ÖÚÓÓÖ ÙÒÒ Ò ÚÓÐ Ò Ö ÒÖ Ð ÛÓÖ Ò ÖÙ Ø ( ( v cosh arctanh c)) ( ( v sinh arctanh c)) = 1 ( v = c 1 ( ) v 2 = γ c ) 1 1 ( v c ( v ) 2 = γ. ½ ¾µ c) Å Ö ÓÔ Ø ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ γ Ö ÓÔ Ò ØÙÙÖÐ Û Þ Þ Ò ÒØÖ Ó Øº À ÖÑ Ò ÚÓÒ Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ØÙ Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ cdt dx dy dz = γ ( cdt ( ) ) v c dx = γ(dx vdt) = dy = dz, x 0 x 1 x 2 x 3 = γ βγ 0 0 βγ γ x 0 x 1 x 2 x 3 xµ = Λ µ ν xν ½ µ Û Ö Ö Ð Ø ØÙ Ò y Ò z Ø Ò Ò ÓÓ Û Ö Þ Ò ØÓ ÚÓ µº À Ö β = v/c Ò Ð Ð Ö Ø Ú Ò Ð Ø Ò Ð º Î Ö Ö ÖÙ Ò Û x µ Ñ Ø x 0 = ct x 1 = x x 2 = y Ò x 3 = z Ð ÓÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Λ ν µº ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÙÒÒ Ò Û Ú Ò Ò ÓÓÖ v ÓÓÖ v Ø Ú ÖÚ Ò Òº Ï Ú Ò Ò cdt = γ(cdt + βdx ) dx = γ(dx + vdt ) dy = dy dz = dz, x 0 x 1 x 2 x 3 = γ βγ 0 0 βγ γ x 0 x 1 x 2 x 3 xµ = Λ µ ν x ν. ½ µ Ï Þ Ò Ò Ø Ú Ö Ð Ò ½ µ Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð x µ = Λ µ νx ν Ø ÖÛ Ð ÚÓÓÖ ÒÚ Ö Ö Ð Ø ½ µ Ð Ø x µ = Λ µ ν x ν º Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ø Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò Ô Ð Ò Ò ÓÓ ÖÓÐ Ò ËÊÌº Ý Ø ÐÐ Ò Þ Ø Ú Ö Ð ÚÓÓÖ ØÙ Ò Ø Ò Ò Ò Ø ÙÖ Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð v Ò x¹ö Ø Ò º ÙÐ Ú Ö Ð Ò Ò Þ Ò ÒÚÓÙ Ø Ð Ò ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ñ Ø Ò Ð v Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ò Û Òº Ì Þ Ñ Ò Ñ Ø ØÖ Ò Ð Ø Ò ÐÐ Ö Ø Ò Ò Ò ÖÓØ Ø ÓÑ Ö ÖÙ ÑØ ¹ Ò ÚÓÖÑ Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÚÓÐÐ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ó Ø Û Ð ÓÒ Ö Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ø ØÔÖ Ò Ô Ú Ð Ø Ð º ÓÒÐÙ Ò ÓÓ ÚÓÐ Ò ÞÓÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ö ÐÓÙØ Ö ØÖ Ò Ð ¹ Ø Ö Ò»Ó ÖÓØ Ö Þ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ó ÐÐ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò ÙÒÒ Ò Þ ÐÐ Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ð Ú Ò ÖÙ Ò Ò Ð Ò Ù ÐÐ Û ØØ Ò Ð Ò Ø ÓÓ ØÙ ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ý Ø Ñ Ò ÚÓÓÖ Ð ÞÙÐ Û ÖÒ Ñ Ö º ÙÐ Ø Ð Ð ÒÓ Ñ Ò Û Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð º Ø Û Ø Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø Ø ÓÖ Ø ÔÖ Ø Ô Ð³ Ø ÐÐ Û ØØ Ò Ð Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Ô Ö Ø Ø Û ÖÒ Ñ Ö º ÁÒ Ð Ø Ö ÓÓ ¹ ØÙ Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÓÒÞ Ú Ò Ò Ò Ù Ø Ö Ò Ò Ö ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ò ØÓØ Ø ÓÖ Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Øº ÎÓÓÖ ÒÙ ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ö Ø Ú Ò Ø ÓÓ ØÙ ÐØ ÐÓÙØ Ö Ò ÖØ Ð¹ Ø Ð Ð ÓÙÛ Ò Ú Ò ÒÙ Þ Ð Ö Ñ Ø Û ÖÒ Ñ Ö³ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ó Ð ÛÓÖ Ò Þ Ò Ò Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð Ú Ò Øº Þ Ö ÒÖ Ð Þ Ò ÒÚÓÙ Ø Û Þ Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò Ø cosh x 1 2 (ex + e x ) sinh x 1 2 (ex e x ) arctanh x = 1 1+x ln( ) 2 1 x

90 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ¼ ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÓÒ ÐÐ ÑÓ Ð Ö Ð Ø ØÙ Ò Ø ÙÖ Ò Ò Ø Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Û Ò Ñ Ø Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Öº ÌÛ Ô ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò ÞÙÐ Ö Ð Ø Ò Û Ð Ö Ö Þ Ò ØÓ Ò ÒÓ Ö Ø Ð Ù Ø Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ø Ð Ø Ø Ò ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø º Þ Ð Ò Ò ÓÓ ÙØÓÑ Ø ÓÔ ÐÓØ Ò Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø º ÎÓÓÖ Ø Ð Ø Ø Ó Ú Ò Û ÐÐ Ò Ñ Ö Ø Ò Ò Ö Ø Ô Ð Ú Ð Ø Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø ÙÙÖ Ñ Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ ÓÔ Ò Ò Þ Ð ÔÓ Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÞÓ Ø dx = 0 ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ö Ú Ò Û dt = dτ Ö ÚÓÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ø Ú Ö Ð Ò ½ µ Ø Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø ÙÙÖ Ñ Ø ØÙ Ò Þ ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ð Ò dt = γdτº Ø ÔÖ Ø Ð Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¾µº Î Ö Ö ÓÑ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ø Ð Ò Ù Ø ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ô Ð Ú Ð Ò Ø ÛÓÖ Ò Ø ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ñ Ø Ò Ò Þ Ò Ú Ò ÚÓÓÖ¹ Ò Ø Ö ÒØ Ú Ò Ò Ð Ø ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ñ Ø Ò Ò Ó Ø ÓÔ Ò Ò ØÞ Ð Ø Ø Ô ÑÑ Ö Ð Ø Ò Ø Ø Ú Ð Þ Ð Ð Ø ÚÓÓÖ ³ ÚÐ Ò Ò Ø Þ Û ÖÒ Ñ Ö Û Ø ØÙ Ò Ñ Ø Ò Ú Ò ÚÓÓÖ¹ Ò Ø Ö ÒØ Ò Ø ÐØ Ø Ò ØÙ Ò Ñ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÚÓÓÖ¹ Ò Ø Ö ÒØ Ù Ò Ø Ñ Ö Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ø ÚÓÓÖµº ÎÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ò ÓÓ dt = 0 Ò Þ Ð Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ø Ú Ò Þ Ò ÓÓÖ dx = L ÚÓÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ñ Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ø Ò Ð Ò Ø Ú Ò dx = L = γlº Ø ÔÖ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø ÓÖÑÙÐ Ú Ö Ð Ò ½ µº Ø Ð Ø Ø Ò ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Þ Ò Ð Ø Ô Ð Ú ÐÐ Ò Ú Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò Ø Ð Ñ Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ø ÙÖ Ò Ò Ø Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ñ Ø Ò Ò Ð vº º ÁÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Ð Ø Ò Ð Ï Þ Ò ÒÙ ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ò ÓÑ Ò Ø Û ÓÒ ÙÒÒ Ò Ù Ò ÓÚ Ö ÚÖ Ó Ò Ð Ò Ú Ö Ò Ö Ò ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Öº ËÒ Ð Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ð ÓÓÖ Ú Ö ØÖ Ò Ø ÒÓ ÓÑ Ø Ò ØÙ Ò Ò¹ Ò Ò ÔÓ Ø Ø ÓÚ Ö ÖÙ Òº Å Ö ÞÓ Ð Ð Þ Ò Þ Ò Ð Ø Ò Ò Ò Ú Ö ØÖ Ò Ø Ò Ò Ø Ñ Ö ÓÐÙÙØ Þ Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ØÓØ Û ÖÒ Ñ Öº À Ø Ò ÓÓ Ø Ú ÖÛ Ø Ò Ø Ø ÓÒ ÔØ Ñ Ø Ò Ò Ð ÓÔ Ò Ò ÙÛ Ñ Ò Ö Þ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ØÙ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö º À ÖÚÓÓÖ ÓÙÛ Ò Û ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ò ¾ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð vº Ò Ò Ò Ö Ò Û Ò ÐØ Ò Ñ Ø Ò Ö Ò Ð Ú Ò Û Ö u 1 Ò Ð ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ò u 2 Ò Ð ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ¾º ÚÖ ÒÙ Ó Þ ØÛ Ñ Ø Ò Ò Ð Ò Þ ØÓØ Ð Ö Ú Ö ÓÙ Òº È Ö Ò Ø Ò Ð ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ¾ Ú Ò ÓÓÖ u 2 dx 2 dt 2. ½ µ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ØÙ Ò Ø ¹ Ò ÔÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ö Ð Ò ½ µ Ø ÐÐ Ö Ò ÒÓ Ñ Ö ÙÒÒ Ò Ò ÓÓ Ö Ø ÛÓÖ Ò Ò ÚÙÐ Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø ÖÙ Ø Ò Ñ Ø Ò Ø Ò Ò Ú Ö ØÖ Ò Ø dx 1 Ò dt 1 ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½º Ø Ð Ú ÖØ u 2 = γ γ dx 1 + vdt 1 dt 1 + ( v c 2 ) dx1 = dx 1 dt 1 + v 1 + ( v c 2 ) dx1 dt 1 = u 1 + v 1 + ( v c 2 ) u1, ½ µ Û Ö Ò ÖÙ Ø Ø dx 1 Ð ÓÓÖ dt 1 ÔÖ Ò Ð u 1 ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ ¹ Ñ Ö ½º Ø ÞÓ Ò Ñ Ö Ð Ú Ò Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ð u 1 Ú Ò Ò Ó Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ø Þ ÓÖÑÙÐ ÓÒ Ò Ð u 2 Ú Ò

91 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ Ø Ó Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ¾ Þ Þ Ð Ñ Ø Ò Ð v Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ½º ÎÓÓÖ Ð Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ø ÓÚ Ö Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÔØ ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ð Ò Ò Ð Ñ Ò u 2 = u 1 + vº Ò ÒØ Ð ÒØ Ö ÒØ Ò ÔÔ Ò Ò ÒÙ ÛÓÖ Ò ÓÔ Ñ Ö Øº Ó Ò ÒÚÓÙ ÛÓÖ Ò Ò ØÓÓÒ Ø Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÐØ Þ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ò Ð Ð Ö Ò Ð Ø¹ Ò Ð Ó Ø Û Ð u 1 < cµ Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ ÓÓ Þ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ò Ð Ð Ö Ò Ð Ø Ò Ð u 2 < cµº ÇÓ Ò ÛÓÖ Ò Ò ØÓÓÒ Ø Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ Þ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ò Ð Ó Ö Ò Ð Ø Ò Ð Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ ÓÓ Þ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ò Ð Ó Ö Ò Ð Ø Ò Ð º Ø Ð Ø Ø ÓÚ Ö Ò ÐÐ Ò Û ÙÒ Û Ö Ø Þ Ð Ð Ø Ö ÛÓÖ Ò Ò ØÓÓÒ Ø Ò Ø Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ø Ð Ø º À Ø Ð Ò Ö Ø ÚÓÐ Ú Ò Ò Ø Ò Ò Ð Ö Ð Ø ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Ò Ð ÚÓÓÖ Ò Ð Ø Ò Ð ÞÙÐÐ Ò Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÖÐ Ò Ò Ð Ò ØÙ Ò Þ Û ÖÒ Ñ Ö ÚÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Ò ÓØÓÒ Þ ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò Ñ Ø Ò Ð cº Æ Ñ Ð Û Ò Ó Ø Ò ÓØÓÒ Ø ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ñ Ø Ò Ò Ð Ú Ò u 1 = c Û Øº Ò Ø Ò Ò Ð Ö Ð Þ Ø Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Ø ÓÓ Û ÖÒ Ñ Ö ¾ Ø ÓØÓÒ Ñ Ø Ò Ð u 2 = c Þ Ø Û Ò u 2 = u 1 + v 1 + ( ) v u1 =c = c + v c 2 u1 1 + ( ) v = c. ½ µ c Ø Ø ÒØ Ø Ð Ø Þ ÐØ Ø Û Ð Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ð Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñµ Ñ Ø Ð Ø Ò Ð ÚÓÓÖØ Û Ø ËØ Ð Ø Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ò Ð Ø ØÖ Ð ÚÙÙÖØº ÓØÓÒ Ò Ò ÐÐ Ò Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Û Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ½º Ï ÖÒ Ñ Ö ¾ ÐÙ Ø ÓÑ Ñ Ø Ó Ò Ð Ø Ð Ø Ø ÖÒ Ø Òº À ÖØÓ Û Ø ÚÓÓÖ Ð Ñ Ø ± Ú Ò Ò Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ½º Ð ÒÙ Ò Ñ Ø Ò Ù ØÚÓ ÖØ Ú Ò Ò Ð Ú Ò Ð Ø ÙÒ Ð Ù Ø ÞÓÒ Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ñ Ø ØÓ Û Ö Þ Ð Ò Ð cº Ì Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ò Ð ÚÓÖ Ö Ò Ñ Ø Ò Ð v ØÙ Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ð ÖÖ Ð Ú ÒØ Û Ö Û Ð Ò Ð Ø Ø Ø Ôµº Ð Ö Ñ Ø Ø Ò Ø Ù Ø Ó Ò Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ð Ò Ú Ò Ò Ò ÓØÓÒ Þ Ø Ø Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Ø Ò Þ Ø Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÓÓ º ÓÒÐÙ Ò ÓÓ Ð Ø Ø ÚÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ð Ø Ò Ð º Å Ò Þ Ø ÓÓ Û Ð Ð Ø Ò Ð ÒÚ Ö ÒØº ÇÔ Þ Ñ Ò Ö Ò Û Ò Ø Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ð Ö Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ø ÖÙ ÚÓÒ Ò ÐÓÙØ Ö Ò ÐÐ Ò ÓÓÖ Ù Ø Ø Ò Ú Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º Ì Ð Ø Ø Ò ÓÓ Ö Ø ÛÓÖ Ò Ð Ù Ø ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò Ð Ø Ò Ð ÚÓÓÖ Ú Ö¹ ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö º ÇÑ Ø Ù Ð Ø Ñ Ò ÓÙÛ Ò Û Ò ÒÚÓÙ ÐÓ Ö ÓÔ Ö Ø Ö Ò Ð Øº ÐÓ Û Ö Ú Ò Ò º º Ð ÐÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò¹ Ò Ø ÖÙ Ö Ú Ò Ò ÓØÓÒ ØÙ Ò Ô Ð º ÎÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò ÐÓ ÙÙÖØ Ò ÐÓ Ø t 2L c º Ð ÐÓ Û Ø Ñ Ø Ò Ð v Ò ÑÓ Ø Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ö Û Ò ÓÑ Ò¹ Ò Ø ÖÙ Ö Ø Ñ Òº ÓÑ ØÖ Ð Ø ØÓ ÓÑ ÐÓ Ø Ú Ò Û Ò ÐÓ Ø Ô Ð Òº Ö Ð Ø t = 2D c Ò ÓÒ Ð Ø Ò D Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÈÝØ ÓÖ Ô Ð ÛÓÖ Ò Ð D = L v2 ( t ) 2 º ÁÒÚÙÐÐ Ò Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò t Ð Ú ÖØ 1 t = 2L c = γ tº Ï Ú Ò Ò ÖÑ Û Ö ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ Ø Ð Ø Ø º 1 v2 c 2 Ò Ó ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ø Ð Ø Ø Þ Ò ÑÙÓÒ Ò Ö Ö ÛÓÖ Ò Ò Ù Ø Ò Ø Ð Ú Ò Ö ØÑÓ Ö Ò Ö Ø Ò Ö Û Òº Î ÒÛ Ø Ð Ø Ø ÙÒ Ð Ú Ò ÙÙÖ Ù Ò Ð Ò Ö Ò Ð Ú Ò ÙÙÖ ÞÓ Ð ÓÔ Ö Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñ Ú Ò ÑÙÓÒ Òµ Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ø ¾º¾ µ º Ø Ð Ø ØÓ Ø Ö Ð Ó Ñ ÑÙÓÒ Ò Ò ÖÓØ Ö Û Ò Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ø Ð Ø Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ð Ö Ú Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ º Ö Þ Ò Û Ð Ð ÜÓØ Ø ÓÖ Ò Û Ö Ò ÐØ Ø Ò Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ø Ð Ø ÞÓ Ò Ñ Ø ÝÓÒ Òµ Ø Ö Ø ÓÖ Ò Ñ Ø Ø ÝÓÒ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ò Ô Ò Ø Ð Ñ Ø Ö Ø ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Òº ÙÐ ÐØ ÞÙÐÐ Ò ÖÓÑ Ò Ø ÛÓÖ Ò ÓÙÛ º

92 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ¾ ÙÙÖ Ò ÐÓ Ö ÓÔ Ò ÓØÓÒ Ø Ö Ø ÖØ ØÙ Ò ØÛ Ô Ð º Ä Ò ÐÓ Ò ÖÙ Ø Ò Ò ÐÓ Ø ÓÑØ ÓÚ Ö Ò Ñ Ø ÚÐÙ ØØ Ú Ò Ø ÓØÓÒº Ê Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Û Ò ÐÓ Þ Ø Ñ Ø Ø Þ ÐÓ Ð Ò Þ Ñ Ö ÐÓÓÔØº Ú Ò Ö Ö Ò ÙÒÒ Òº ÎÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ö Ø Ñ Ø Ò ÑÙÓÒ Ò ÖØ Ö Ñ Ø Ò Ò Ð Ò ÙÙÖØ Ú Ò Ð Ø Ò Ð Ñ Ö Ò Ð Û ÓÒ Ò Ò Ø Ñ Ö Ò c t = ( m/s)( ) = 660 Ñ Òº ÌÓ Ö Ò Þ ÑÙÓÒ Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ø ÖÛ Ð Ø Ò Ú Ò Ù Ø Ò Ø Ð Ú Ò ØÑÓ Ö ØÓØ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ ÓÒ Ú Ö ¾¼ Ñ º Ú Ö Ð Ö Ò Ø Þ Ð Ò Ø Ú Ò ¾¼ Ñ ÚÓÓÖ Ñ Ö Þ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÐÓÖ ÒØÞ¹ ÓÒØÖ Ö ØÓØ Ñ Ò Ö Ò ¼ Ñº Ï ÙÒÒ Ò ÓÒÞ Ð Ø ÐÓ ÓÓ ÖÙ Ò ÓÑ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ø Ö Ô Òº Ï ØÓÒ Ò ¹ ÓÑ ØÖ Ò º ¼º ÌÛ Û ÖÒ Ñ Ö A Ò B Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò (a) (b) (c) ÙÙÖ ¼ Ò ÐÓ Ö ÓÔ Ò ÓØÓÒ Ø Ö Ø ÖØ ØÙ Ò ØÛ Ô Ð º È Ò Ð µ Ù Ø Ò ½ Ú Ò Ø Ô ÖØ Û ÖÒ Ñ Ö A Ô Ò Ð µ Ù Ø Ò ¾ Ô ÖØ A Ô Ò Ð µ ØÙ Ø ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Bº Ð Öº Ï ÖÒ Ñ Ö B ÓÙ Ø Ò Ø Ú Ø Ò Ö Ø Ò Ú Ò vº Ï ÓÙÛ Ò Ö Ø ØÙ Ø Ú ÒÙ Ø Û ÖÒ Ñ Ö Aº È Ò Ð µ ØÓÓÒØ ØÙ Ø Û Ö Ù Ø Ò ½ Ú Ò Ø Û ÖÒ Ñ Ö A Ô ÖØº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ØÙÙÖØ A Ò Ð Ø Ø Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ô Ðº ÁÒ Ô Ò Ð µ ÛÓÖ Ø ØÙ Ø ØÓÓÒ Û Ö Ù Ø Ò ¾ Ú Ò Ø Û ÖÒ Ñ Ö A Ô ÖØº Ø Ò ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö A Ò Ô Ð Ù Ò Ø ÔÖ ÓÔ Ø Ø Ø Ô Ð Ø Ø Û Ö A Ò ÓÑØº ÎÓÓÖ A Ö ÒÑ Ð Ò Ø t Ú Ö ØÖ Òº Ï ÖÒ Ñ Ö A Ð Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ Û Ò Ø Ñ Ø ÓÒÐÙ ÖØ Ù Ø Ð Ò Ø Ú Ò Ø L Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ L = 2v t º È Ò Ð µ Ø Ø ØÙ Ø ÚÓÓÖ Ñ Ø Ø Ñ Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Bº ÓÓÖ Ø Ò Ò Ö Þ Ð Ð Ø ÐÓ Ñ Ø B Ð Ò Ø Ú Ò Ø Ð L = 2v t Û Ö t Ø Ô ÒÒ Ú Ö ØÖ Ò ÓÔ Þ Ò ÐÓ º Î ÖÚÓÐ Ò ÖÙ Ø Ø Ð Ø Ø ÓÖÑÙÐ

93 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ t = γ t Ñ Ö ÓÔ Ø Û ÖÒ Ñ Ö B Ø Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ñ Û Ò ÐÓ ÖÙ Ø µ Ò Ú Ò Ø L = L 1 v2 = L c 2 γ º º Î ÖÐ Ú Ò ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ø Ú Ò Ø Ò Ð Ø Ð ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÐ Ø Ò Ñ Ö Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ø Þ Ð Ø ÙÖ Ò Ò Ò Ø ÞÓ Þ Ò Ø Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö Ø µ Ñ Ø Ø Þ ÚÓÓÖ Ñ Ò Ø Ð Ø ÙÖ Òº Ï ÒÓ Ñ Ò Ø Ø Ú ÖÐ Ú Ò Ð Ø º ÎÓÓÖ Æ ÛØÓÒ Ò Ð Ð Ó Ò ÚÓÓÖ Ò Ò Ò ÒÚ Ö ÒØ Ø Ò Ö Ò ÞÓÙ Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ø ÙÖØ Ò A ÔÐ Ø ÚÓÒ Ú Ö ÙÖØ Ò Bº Ø Ð Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ÐÓ ÓÑ Ø A Û Ð Ò Ö Ò Ò Þ Ò Ø B ÙÖØ Ò Ø ÞÓÙ Û Ð Ò Ø Ò ØÖ ÙÒÒ Ò Þ Ò Ð Ñ Ò Ò Ö Ô ÐØ Ø B Ú Ö A Ø ÔÐ Ø ÚÓÒ Òº ÁÒ ËÊÌ Ø ÐÐ Ò Ú Ö Ø Ø Ö ÔÔ Ò Ú Ö Ò Ò ÒÓ Þ Ò Ð ÙÖØ Ò Ò Ð Ö ÙÒÒ Ò ÒÚÐÓ Òº Ù Ð A ÙÖØ Ò B Ò Ú ÖÓÓÖÞ Ò Ò ÑÓ Ø Ö Ò Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ø A Ö Ö Û º Ø Ö A Ò ÐÐ Ò B Ú ÖÓÓÖÞ Ò Ð Ð Ø Ó Ò Ð Ò Þ Ñ Ö Ò Ðµ Ò Ö Þ Ò Ú Ò A Ò Ö B Ò Ò Ð ÒÚÐÓ Ò Ò ÐÐ Ö Ö Þ Ò Ò Ø Ð Øº Ö ÐÚ Ð B Ø Ú Ö Ú ÖÛ Ö ÓÑ Ð Ø Ú Ò A Ø ÓÒØÚ Ò Ò Ø Ò Ø Ø B ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ò Ö Ò ÐÓ Ö Ò Ø Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÖÓÚ Ö Ò ÑÓ Ø Ò Þ Ò Û Ð Ú Ò ÙÖØ Ò Ò Ø Ö Ø ÔÐ Ø ÚÓÒ º ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Þ Ð Ø Ñ Ö ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÓ Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ò ÔÖ Ú Ò Ø ÓÓÖØ Ò Ú Ò Ò Ò Ö Ú ÖÓÓÖÞ Òº ÖÓÑ Ø ËÊÌ Þ Ò ÙÒ ÚÓÐ ÓÖ ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÙÖ Ò Þ Ð Ø ÚÓÓÖ Ò Ò Ö ÙÖØ A Ö Ø Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ò B Ö Ø ÙÖ Òº Ø Ö ÐÐ Ö Û ÖÒ Ñ Ö ÞÙÐÐ Ò Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ø Ð Ø Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ö Ò Ö ÙÖØ Ò Ò Ö Þ Ò Ò Ö Ù Ò Ù Ð Ú Ö Ò ØÙ Ò ÙÖØ Ò Ò Ò Þ Òº Ð Ø Ö Ð Ø Ò Ö Þ Ò Ú Ò A Ò Ö B Ò ÞÙÐÐ Ò ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ò ÙÖØ B Ð Ø Ö Ò A Ñ Ö Û Ð Ñ Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ð Ø Ø Ø Òµº Ù ËÊÌ ÓÙ Ø Ø Ö Ô Ú Ò Ú Ö Ò Ò Ú Ò ØÓ ÓÑ Ø Ò Ú ÖÐ Ò Ñ Ö Ø Ô Ø Þ Ö Ð Ø Ò Ø ØÓ ÓÔ ÐÐ ÑÓ Ð Ô Ö Ò ÙÖØ Ò Òº Ø Ø ÒØ Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ð ÓÑ Æ ÛØÓÒ Ú Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÖÙ ÑØ Ø Ò Ú Ò Ñ Ø Ø Ð ÐÐ Ò Ò Ô Ö Ñ Ø Öº ÁÒ Æ ÛØÓÒ Û Ö Ð Þ Ð Ö Ò Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ó ÖÙ ÑØ ÖÙ Ø Þ Ø ÓÔ Ò Ú Ò Ø Ø Ôº ÁÒ Ò Ø Ò Û Ö Ð Ö ÐÐ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ñ Ú Ò ÐÐ ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Ð ÑÓ Ð Ø Ø Ô ÙÒÒ Ò ÔÐ Ø Ú Ò Òº ÙÖØ Ò Ò Þ Ò ÔÙÒØ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Ò Ô Ð Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÙÖØ Ò Ò ÖÓ Ô Ö Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ ÓÔ Ò Ô Ð Ø Ø Ôº Ø Ö Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú ÒÛ Ð ÐÙ Ø Ò Ø Ò Ò Ö Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÙÖØ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ú ÖØ ÒÛÓÓÖ Ø ÓÔ Ò Ô Ð Ø Ø Ôº ÌÛ ÙÖØ Ò Ò Ò Ù Ð Ú Ö Ò Ñ Ø Ð Ö ÙÒÒ Ò Ò ÛÓÖ Ò ÖÙ ÑØ Ð Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø ÒÓ Ñ º ÌÛ ÙÖØ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ø Ø Ö Ø Ñ Ø Ò Ò Ð Ð Ö Ò Ð Ø Ò Ð ÛÓÖ Ò Ø Ø Ò ÒÓ Ñ º ÙÖØ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ò Ð ÓØÓÒ ÛÓÖ Ò Ð Ø Ø Ò ÒÓ Ñ º Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ö ÔÔ Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø º Ð Û Ø Þ Ø ÔÙÒØ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ö Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ó Û ÖÙ ÑØ Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò ½ µ Ó Û Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ò Ó Û Ø Ò Ò Ñ Ø Òº Ø ÐÐ ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ù Ø ÖÙ Øº

94 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ º ÊÙ ÑØ Ø À Ö Ø ÐÐ Ò Û ÓÒ Û ÖÓÑ ÚÖ Û Ø ÖÙ ÑØ Ø Ï ÖÓÑ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÑ ÓÚ Ö ÖÙ ÑØ Ò Ø Ð Ô ÖØ ÖÓÓØ Ò Ø ÔÖ Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò ÓÚ Ö ÖÙ ÑØ Ø Ð Ð ÁÒ Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ú Ò Ö ØÓØ Ð Û Ö ÖÙ ÑØ ÚÓÓÖ Ø Ð Ð Ò ÙÐ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ E 3 º ÔÙÒØ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ ÓÙ Ò ÙÒ ÒØ Ø Ø Ú Ò Ø Ò ÑÓÑ ÒØ ÓÔ Ø Ò Ö º ËØ Ð Ò ÐØ Ú Ò Ø Þ Ò ÖÙ Ø ÓÔ Ò Ô Ð ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØº Ï Ò Ñ Ò Ò Ò Ø Û ÒÒ Ö Û Ø ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ ÒÙ ÓÙÛ Ò Ò ÓÓ ÓÔ Ò Ð Ø Ö Ø Ø Ô Û Ø Ñ Ò Ò Ñ Ø ØÞ Ð ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØº ÇÒ Ð Ú Ò Ö Ð Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ò Ñ Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ó ÓÓÔ Û Ö Ò Ô Ð ÔÙÒØ ÓÔ Ø ÖÑ Þ Ò ÒØ Ø Ø ÓÙ Ø Û Ø Ö ÓÓ ÓÔ Ø ÖÑ ÔÖÓ Ø Ö ÛÓÖ Øº Ú ÒÞÓ ÛÓÖ Ø Ø ÚÓÓÖ Ø Ð Ð Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ö Ø ØÖ Ú Ð E 1 Ò¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ º ÙÐ ÖÙ ÑØ Ø Ò Ò Ø Ú Ò Ø Ö Ô Ø Ò ØÙ Ò ÔÙÒØ Òº Î Ö Ö Ö Ò Ö Ô Ú Ò Ð Ø º À Ø Ù ÓÐÙÙØ Þ ÒÚÓÐ ÓÑ Ø ÔÖ Ò Ú Ò ÙÖØ Ò Ò Ð Ø Ö Ò Ð Ö ÔÐ Ø Ú Ò Òº ÇÑ Ò Ð ÔÖ Ú Ò Ó ÓÓÔ Ø Ð Ú Ò Ð Û Ò Ô Ð Ö Ñ Ú Ò ÐÑ ÓÙÛ Ò Ò ÛÓÖ Ò ÐÐ Ð Ø ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÐ Ø Ò ÓÔ Ø ÖÑ ÔÖÓ Ø Ö º ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ö ØÓØ Ð Ø ÔÖÓ ÙØ A = E 1 E 3. ½ µ À Ø ÒÚÓÙ ÖÙ ÑØ ÓÔ Ô ÒÒ Ò ÓÓÖ Ô Ö Ò (t, x) Ñ Ø t Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ò E 1 Ò Ø Ò x Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ò E 3 Ò ÔÙÒØ Ò ÖÙ ÑØ º Þ ÖÙ ÑØ Ø ÛÓÖ Ø Û Ö Ú Ò Ò º ½ Ð Ò Ö ÙÙÖµº Ä Ø Ò Û ÒÙ Ò Ò Û Ø Ð Ð Ó³ Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÚÓÓÖ Ò ÚÓÐ Ø ÙÙÖ ½ Ä Ò ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ö ØÓØ Ð A = E 1 E 3 Ø Ø Ù Ø Ô Ö Ò (t, x)º Ê Ø ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ð Ð Ó G Ò ÖÖÙ ÑØ º Ö Ò ÔÙÒØ Û Þ ÓÒÒ Ø ØÙ Ò Ú Ö¹ ÐÐ Ò E 3 Ö Ö Ø Ø Ò ÓÐÙØ ÖÙ ÑØ Ö Ø Ö Û Ð Ò ÙÒ Ø ÚÓÓÖ Ð ÖÙ ÑØ Ø ÙÖØ Ò ÓÐÙØ Ø Ø Øº ÓÔ ÓÒ Ö Ô Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ð Ð Ó Ú ÖØ ÐØ ÓÒ Ø ÝÒ Ñ Û ØØ Ò ØÞ Ð Þ Ò Ò Ð Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñº Ö Ò Ø Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ø ÖÙ Ø Ò ÛÓÖ Ò ÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ú Ò ÖÙ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò Ò Ý Ø Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ò Ð Û Øº Ø Ø ÒØ Ø Ö Ò ÝÒ Ñ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ô Ð ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ØÞ Ð Ð Ø ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ Ò ÑÓÑ ÒØ Ð Ø Öº À Ø Þ ÒÐÓÓ Ø Ø ÐÐ Ò Ø Ø ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ Û Ö Ñ Ò Ó ÓÔ Þ ÒÙ Ú Ò Ø ØÞ Ð ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ Ò Ñ ÒÙÙØ Ð Ø Öº ÙÖ Ò Þ Ñ ÒÙÙØ Ö ÓÑ Þ Ò ÖÓØ Ö Ò Ò Ø Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó ÓÔ ÓÔ Ò Ò Ö ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØº Ø Ö Ö Ö Ø ÓÓ ÓÑ ÞÓÒ Ò Ø Ð Ú ÖØ Û Ö Ò Ò Ö ÔÙÒØ ÓÔº Ì ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ö ØÓØ Ð Ò Ø ÚÓÓÖ Ø Ð Ð Ò ÓÔ Ú Ò Ö Ð Ð Ò R Û ÒØ R Ú Ø Ø ÚÓÓÖ ÙÖ ¹ Ð Ñ ÒØ ¼º Ö Ø Ö Ò ÔÖ Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ÙÖ ÚÓÓÖ Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ò Ö Ú Ò Ú Ò ÝÒ Ñ Ó Ø Òº

95 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÃÓÖØÓÑ Ò ÐÓ Ú Ò Ò ÔÖÓ Ø ÖÑ ÓÒ Ù Ø Ï Ò Ò Ø Ò Ò Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ E 3 Ð Ö Ò Û Ö Ò Ø Ú Ò Ý Û Ö Ð Þ Ò Ø Ô Ð Òº Ï Ò Ú Ö ÐÐ Ò E 3 ÚÓÓÖ Ð Ø Ø Ô Ò Ö Ò Ò ØÙÙÖÐ ÒØ Ø ØÙ Ò Þ Ú Ö ÐÐ Ò E 3 º Ï ÙÒ Þ Ò Ð Ð Ó³ ÖÙ ÑØ Ø G Ò ÔÖÓ ÙØÖÙ ÑØ E 1 E 3 Ñ Ö Ø Ø Û ÙÒ Ò Ò Ö ÙÒ Ð ÒÓ Ñ Ò Ñ Ø Ð E 1 Ò Ö E 3 º ØÙ Ø Ø Ø Ò º ½ Ö Ø Ö ÙÙÖµº Ò Ö ÙÒ Ð Ø Ò ÔÙÒØ Û Þ ÓÒÒ Ø ØÙ Ò Ò Ö Ò ÚÓÐ Ò º ÐÒ Ø Ñ Ò ÚÓÖÑ Ò Ö Ñ Ò Ò Ðº Ò Ð ÖÙ ÑØ Ø Ð Ñ ÒØ Ú Ò G ÛÓÖ Ø Ò Ø ØÓ Ò Ò Þ Ð Ø Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ò ÐÓ ÖÙ ÑØ ³ E 1 º À Ø Ø Ò Ú Ò Ò Ð Ø Ò Ð ÚÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö ØÞ Ð Ø Ø Ú Ö Û Ò Ò Ú Ò ÓÐÙØ Ø ØÓØ ÚÓÐ º ÁÒ º ¾ Ò Ñ Ò Û Ò ÙÖØ Ò P Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ÓÙÛ Ò Û ÐÐ Ð Ø ØÖ Ð Ò ÓÓÖ P Ò ÚÓÓÖ Ð Ö Ø Ò Þ º ¾ µº Ï ÙÒÒ Ò ÖÙ ÑØ Ø ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò ÓÓÖ ÓÖ ÞÓÒØ Ð x Ò y Ö Ø Ò Ù Ø Ø Þ ØØ Ò Ø ÖÛ Ð Û Ø Ó Ö Ò Ø ctµ Ú ÖØ Ð Þ Òº Ð Ø ØÖ Ð Ò ÚÓÖÑ Ò Ò Ð Ò ÖÙ ÑØ Ø ÞÓ Ò Ñ Ð Ø Ðº Ð Û Ð Ø Ò Ð Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ñ Ò Ò Ø ÒØ Ø Ø Û Ð Ø Ð Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ñ Òº Ð Ø Ð Ò ÖØ Ò ØÖÙØÙÙÖ Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ T P ÓÓÖØ Pº (a) (b) (c) ÙÙÖ ¾ Ð Ø Ð Ô ÖØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð Ú Ò Ø Ð Øº ÁÒ µ ÛÓÖ Ò Ò Ò Ú Ò Ù Ø ÞÓÒ Ò ÓØÓÒ Ò ÖÙ ÑØ Ð Ø Ø Ð Ò ÓÐ ÜÔ Ò ÖØ Ú ÒÙ Ø ÔÙÒØ Pº ÁÒ µ Þ Ò Û Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø ÓØÓÒ Ò Ò Ð Ù Ø Ò Òº ÁÒ µ Þ Ò Û Ø Ð ÖÙ ÑØ Ø ÓÔ ÔÐ Ø Ø Ò Ò Ú ÖÐ Ò Ò Ò ØÓ ÓÑ Øº Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò Ñ ÐØ Ò P Ø Ò Ú ØÓÖ Ò Ö ØÓ ÓÑ Ø Û Ø Ò Ø Ø º Þ Ú ØÓÖ Ð Ø Ù ÒÒ Ò ØÓ ÓÑ Ø Ð Ø Ð Ú Ò Pº Ð Ø Ð ÛÓÖ Ø ÚÓÖÑ ÓÓÖ ÙÖØ Ò Ò Û ÖÚÓÓÖ Ð Ø s 2 = c 2 t 2 r 2 = 0. ½ µ ÙÖØ Ò Ò Ú Ò P Ò Þ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒØ ÖÚ Ð Ú ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ð Ø Ð Ò Ö Ð Ø s 2 > 0 c 2 t 2 > r 2 º Ö Ð ÙÖØ Ò Ò ÙÒÒ Ò Ù Ð Ú Ö ÓÒ Ò Þ Òº Ø Ò Ø ÑÓ Ð ÚÓÓÖ ÞÓ Ò Ñ ÖÙ ÑØ Ð Ò ÙÖØ Ò Ò Ù Ø Ò Ð Ø Ð Ú ÐÐ Òº À ÖÚÓÓÖ Ð Ø s 2 < 0 c 2 t 2 < r 2 º Å Ö ÓÔ Ø Ð Ø Ð Ù Ø ØÛ Ð Ò Ø Ø Ò Ú ÖÐ Ò Ð Ò Ò ØÓ ÓÑ Ø Ðº Ï ÙÒÒ Ò ÓÒ Ú ÖÐ Ò Ð ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ð Ø Ø ÑÔÐÓ ÖØ ÓÔ Pº ØÓ ÓÑ Ø Ð Þ Ò Û Ð Ò Ð Ø Ø ÜÔÐÓ ÖØ Ú ÒÙ Ø ÔÙÒØ Pº ÓØÓÒ Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ò Ú Ò Ð Ø ÖÛ Ð Û Ö Ð Ð Ò Ò Ú Ò Ñ Ú ÐØ ÓÓÖ P Ò ÒÒ Ò Ð Ò Ò Ø Ð Òº ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ËÊÌ ÞÓ Ò Ø ÚÓÓÖ Ð ÙÖØ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò Ð Ø Ð Ø Ø ÚÓÓÖ Þ ÙÖØ Ò Ù Ð ØÖÙØÙÙÖ Ô ÐØº Ï ÞÙÐÐ Ò Ø Ù Ø Ô Ò Ò ÚÓÐ Ò Ø º

96 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ º ÊÙ ÑØ Ø Ö ÑÑ Ò Ï ÖÙ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ö ÑÑ Ò ÓÑ ÙÖØ Ò Ò Ò Ú Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ø Ø Ö Ú Òº ÁÒ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ö Ñ ÓÓ Û Ð Ñ Ò ÓÛ Ö Ñ ÒÓ Ñ µ ØÓÒ Ò Û Ò ÖÙ ÑØ Ð Ñ Ò ÓÔ x¹ Ò Ø ÓÔ y¹ º Ò ÖÙ ÑØ Ø Ö Ñ Ø ÐØ ØÝÔ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÚÓÓÖº Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Þ Ð Ò ÖÙ Ø Ò Ø Ý Ø Ñ Ò Þ Ò Û Ö Ð Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ø ¹ º ÌÝÔ ÛÓÖ Ø Ú ÖØ Ð Ò Ø t Ñ Ö ct Ù Ø Þ Ø ÞÓ Ø Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò ÓØÓÒ Ò Ö Ø Ð Ò ÛÓÖ Ø Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ú Ò º Ï ÒÒ Ò Ñ Ø Ø Ú Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ð Ð Ó Ò Ú Ò ËÊÌº ÁÒ Ð Ò Ö ÙÙÖ Ø ÐØ Ù Ò Ð Ò Ø ¹ ÚÓÓÖ Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò ÓÔÞ Ø (a) (b) ÙÙÖ Ä Ò Ò Ð Ñ Ò Ø Ò ÙÖØ Ò A ÔÐ Ø ÓÔ ØÞ Ð Ø Ø Ôº Ê Ø Ò ËÊÌ ÒÒ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò ØÓ Ò ÙÖØ Ò Aº Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Û Ø Ñ Ø Ò Ð vº ÇÔ Ø Ø Ô x = x = t = t = 0 Ú ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ñ Òº Ú Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ø Ò Ø ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ x¹ Ò Ø Ð Ù Ø Ö Øº Û ÖÒ Ñ Ö Ó ÖÚ Ö Ò ÙÖØ Ò A Ò ÒÒ Ò Ö Þ Ð Ø Ò ØÓ ÓÑ Ø Ð Ñ Ò Ò ÓÐÙØ Ø t = t ÚÓÓÖ ÙÖØ Ò Ò ÒØº ÔÐ Ø Ú Ö ÐÐ Ò ÓÑ Ø Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ö ÙÖØ Ò A ØÓ Û Øº Þ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ð Ð ÓØÖ Ò ÓÖÑ Ø º Ò Ø Ò ÓÒØ Ø Ø Þ Ú Ò ÓÒ Ù Ø º À Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ú Ò Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÒØ Ø Ò Ø ÛÓÖ Ò ÞÓ Ð Ò Ò Ö Ø Ö Ð Ò Ò º º Ø ÚÓÐ Ø Ö Ø Ù Ø ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Þ Ú Ö Ð Ò ½ µº ÎÓÓÖ Ó α Ð Ø tan α = v c º Ö Ø Ø Ò ÓÐÙØ Ø Ñ Ö Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÒÒ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò ØÓ Ò ÙÖØ Ò Aº ÇÓ Ø Ú Ö Û Ò Ò Ú Ò Ð Ø ÙÒÒ Ò Û Ö Ø Þ Ò Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ö Ñ Þ º º À ÖØÓ ÓÙÛ Ò Û ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ö Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø Ò Ð vº À Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ú Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ò Ñ Ø x Ò ct Ò Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Öº ÓÖ ÒØ Ø Ú Ò Þ Ò Ò ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø º Ï ÓÙÛ Ò ØÛ ÖÙ ÑØ Ø Ò ÙÖØ Ò Ò A Ò Bº Þ ÙÖØ Ò Ò ÙÒÒ Ò Ò Ù Ð Ú Ö Ò Ñ Ø Ð Ö Ò ÓÑ Ø Þ Ò Ø ÓÓÖ ÓØÓÒ Ò Ø Þ Ò Ð Ò Ò ÓÒ Ö ±45 µ Ó Ð Ò Þ Ñ Ö Ò Ð Ò Ú Ö ÓÒ Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Òº ÙÖØ Ò Ò ÙÖ Ò Ð Ø Ò Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Öº ÁÒ Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÙÖØ B ÓÔ Ø Ø Ô C Ò ÙÖØ Ò A ÓÔ Ø Ø Ô Dº

97 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÙÙÖ ÊÙ ÑØ Ø Ö Ñ ÚÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò x Ò ct Ø ÖÛ Ð Ø Ö Ñ ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Û Ø Ò x Ò ct Øº ÎÓÓÖ Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ò ÙÖØ Ò Ò A Ò B Ð Ø ÔÐ Ø º Ø Ò Ø ÞÓ ÚÓÓÖ Û Ò Û ÖÒ Ñ Öº ÁÒ Þ Ò Ý Ø Ñ ÙÖØ B Ö Ö Ò Aº Ö Ø Ö ÓÓ Ò Ý Ø Ñ Ø Ú Ò Ò Û Ö Ò A Ö Ö ÙÖØ Ò Bº Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ò Ð v Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Öº Ï Þ Ò Ø Ø Ö ÓÐÙØ Ø Ò Ø Ú ÖÐÓÖ Òº Ï Ð ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò ÙÖØ Ò Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ð Ø ÙÖØ Ò Ò ÚÓÖÑØ Ò Ø Ú Ò Û Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Öº º½¼ Ê Ð Ø Ú Ø ÓÔÔÐ Ö Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò Ø Ö Ô Ø Ò ËÊÌ Ð Ø ØÓØ Ò ÒÚÓÙ ÑÓ Ø Ú Ò ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ú Ò Ò ÓØÓÒ Þ Ú Ö Ð Ò µ Ò ÓÓ º ¾º ÁÒ Ø ¾º Ø Ð Ò Û Ø ÒØ Ð ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ø Ò Û Ò Ø ØÓÖ Ô ÖØ Ò Ú Ö Ð Ò Ø Ñ Ø Ø ÒØ Ð Ø Ò Ø ØÓÖ Ò ÖÙ Ø Ö ØÖ Ö º À Ø ÒØ Ð ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ø Ô Ö Ø Ò Ô ÖØ Ö ÕÙ ÒØ Ú Ò ÓÐ º Ï Ò Ò ÒÙ Ò Ö Ò Ò Ø Ö Ò Ò Ø ÐÓ Ú Ò Ò Û Ò Ø ØÓÖ Ø Ð Ò Þ Ñ Ö ÐÓÓÔØ Ò Ú Ò Ò Ø ØÓÖ Ò ÖÙ Øº Ø Ø ÒØ Ø Ð Ø ØÓÖ Ò ÖÙ Ø N ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ø ÐØ Ò Ø t Ò Ø ÐØ Û Ò Ø ØÓÖ N = N(1 v c ) ÓÐ ÖÓÒØ Ò Þ º ¾µ Ò Ò Ø t = t/γ Ò Ø Ò Ø Ð Ø Ø µº Ð Û Ø ÒØ Ð ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ð Ò ÓÓÖ Ø Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ò Ø ØÓÖ Ò Ö ÕÙ ÒØ f = N/t Ø ÖÛ Ð Û Ò Ø ØÓÖ Ò Ö ÕÙ ÒØ f = N /t Ñ Øº Ø Ð Ú ÖØ f = (1 v c )γf = 1 v c 1 v2 c 2 f. ¾¼¼µ ÓÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ð Ø Ð Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ú ÖÛ ÖØ Ú Ò Ð Ø ÖÓÒ ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Øº Ø ÔÖÓ Ù ÖØ Ò Ú ÖÐ Ò Ú Ò Ö ÕÙ ÒØ Ò ÖÓÓ Ú Ö¹ Ù Ú Ò º ÁÒ Ø Ú Ð Û ÖÒ Ñ Ö ÖÓÒ Ò ÖØ ÔÖ Ò Û ÓÚ Ö Ò Ð ÙÛÚ Ö Ù Ú Ò º ÇÑ Ø ÒÓ Ñ Ö ÐØ Ð Ò Ö Ò ½ Þ Ò Û Ö Ò Ú Ò ÖÓÓ ¹ Ó Ð ÙÛÚ Ö Ù Ú Ò ÖÓØ Ö Ò ÓÔ Ú Ò Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø ÓÔÔÐ Ö ÓÖÑÙÐ º Å Ö ÓÔ Ø Ö Þ Ð Ò Ú Ö Ù Ú Ò Ð Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÐÓÓ Ö Ø Û Ø ÓÔ Ö Ø Ò Ò Ö Ð Ø ÖÓÒº ÁÒ Ø Ú Ð Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø ÓÔÔÐ Ö Ú Ö Ù Ú Ò Ð Ò ÒÙÐ ÓÑ Ø ÐÓÓ Ö Ø Û Ò Ò ÓÐ ÖÓÒØ Ò ØÓ ÚÓ Ø Ó ØÖ Ø Ú Ò Ø ÒØ Ð Ø Ø Ð ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Ø ØÓÖº Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ø Ð Ø Ø Ò Ö Ù ÖØ Ó Ú Ð Ø Ø Ò

98 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ Û Ò Ø ØÓÖ Ò Ñ Ø Òº Ø ÔÖÓ Ù ÖØ Ò Ð ÙÛÚ Ö Ù Ú Ò Ò ËÊÌ Ø ÖÛ Ð Ö Ò Ø Ò Ð ÓÔÔÐ Ö ÓÖÑÙÐ º Ø ÛÓÖ Ø Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÔÔÐ Ö Ø ÒÓ Ñ º º½½ Ê Ð Ø Ú Ø Ñ Ò Ð Ö Ò Ò Ñ Ø Ó Ö Ú Ò Ò Ø ¾º Ð ÒØ Þ Ù Ø Ø Ò ÚÓÓÖ Ù Ø Ö Ò Ú Ò Ñ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ö Ò Ú Ö ÓÚ Ö Ò ÓÑØ Ñ Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º ÐÐ Ö Ö Ø ÞÙÐÐ Ò Û Ò ÚÖ ÐØ ÓÙÛ Ò Ó Ø Û Ð Ò ÐØ Ñ Ø Ñ m Ø Û Ø ÞÓÒ Ö ÒÚÐÓ Ø ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ö Øº Ð Ö Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ð ÐØ Ø Ø Ò ÐÐ Ò Ù Ø Ò Ò Ø Ø ÖÑ L = K. ¾¼½µ ÁÒ Ð Ñ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÓÓÖ K = 1 2 m v2 º Þ Ù Ø ÖÙ Ò ÙÒÒ Ò Û Ø Ö Ò Ø ÓÚ ÖÒ Ñ Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º ÁÑÑ Ö Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ø Ø Ò ØÙÙÖÛ ØØ Ò ÞÓ Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò Ø ÛÓÖ Ò Ø Þ Ò Ø Ú Ò ÚÓÖÑ Ú Ö Ò Ö Ò Û ÒÒ Ö Ò Ö Ò Ò Ö Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð ÛÓÖ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ö º Ø Ø ÒØ Ø ÞÓ Ø Ð Ö Ò Ò ÒÚ Ö ÒØ ÑÓ Ø Þ Ò ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ØÙ Ò Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð Ò Ö ÚÓÐ Ó Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò Þ Ö Ò Ø Òº Ø Ö Ñ Ø Ò ÒÔ Ò Ò ÚÓÖÑ Ø Ú Ò Ò Ö Ð Ø ÓÔ ÓÙ Ù Ø ÖÙ Ò Ñ Ö Û Ð Ð ÒÚ Ö ÒØ º À ÖÚÓÓÖ Ö Ú Ò Û Ö Ø ÓÙ Ù Ø ÖÙ Ò Ù Ø Ð L = K = 1 2 mdxi dt dx i dt, ¾¼¾µ Û Ö Ò Ø Ò ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ ÖÙ Ø dx i dx i = dx 2 + dy 2 + dz 2 º Ï Ø ÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ò Û Ø Ø Þ Ò ØÛ Ò Ò ÐÐ Ö Ö Ø Þ Ò dx¹ Ò Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð¹ Ò Ð Ø Ò ØÛ Þ Ò dt³ Ø Ú Ò Ò º Ï Ò ÑÑ Ö Ð Þ Ò Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò Ò Ò Ø ÙÖ Ò Ñ Ø Òº Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÖÓÑ ÒÓÓ Ø ÚÓÐ Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º Ø Ö Û ÒÒ Ö Û dx i dx i Ú ÖÚ Ò Ò ÓÓÖ η µν dx µ dx ν Ø Ø Ò Ø ÐÐ Ö ÒÙ ÔÖ Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ds 2 Û ÖÚ Ò Ò Ø Ø ÒÚ Ö ÒØ º ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ò Ù Ø Ö Ò Ú Ò ØÛ dt³ ÓÓ ÚÓÓÖ Ò Ú ÖÚ Ò dtdt ÓÓÖ dτ 2 ÞÓ Ø ÓÓ Ø ÒÙ ÒÚ Ö ÒØ ÛÓÖ Òº Ò Ò ØÙÙÖÐ Ù Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ð Ö Ò Ò Ú Ò Ò ÚÖ ÐØ Ò L = 1 2 mη dx µ dx ν µν dτ dτ. ¾¼ µ Þ ÓÚ ÖÛ Ò Ò Þ Ò Ò ØÙÙÖÐ Ò Û ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ø Ò Ó º Ö Þ Ò ÓÓ Ò Ö Ä Ö Ò Ò Ò Ò Ö ÚÓÐ Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º Ø Ö Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ñ Ø ÒÚÓÙ Ò ÓÚ Ò Ò Þ Ð Ð Ò Ø Û Ò Û ØØ Ñ ÖÙ Ø ÚÓÐ Ò Ö Ù Ö Ò ØÓØ ÓÙ Ú ÖØÖÓÙÛ Û Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Û ÒÒ Ö Þ ØÓ Ô Ø ÛÓÖ Ò Ò ØÙ Ø Û Ö Ò Ð Ò Ú Ð Ð Ö Þ Ò Ò Ð Ø Ò Ð º Í Ø Ò Ð Þ Ð Ø Ø Ö Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Þ Ò ÓÑ Ò Ø ØÓÒ Ò Ó ÚÓÒ Ò Û ØÑ Ø Ò ÓÖÖ Ø Þ Òº ÌÓØ ÒÙ ØÓ Û Þ Ò ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ù Ø Ø Ø Ò Ö Ø Ú Ð º Ø S ÓÖ Ò Þ Ð Ö Ò Ò ÛÓÖ Ø Ú Ö Ö Ò ÓÓÖ Ð Ö Ò Ò Ø ÒØ Ö Ö Ò ÓÚ Ö Ø º ÇÓ Ö ÑÓ Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ò Ø ÛÓÖ Ò ÒÓÑ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÑÓ Ø ÛÓÖ Ò ÒØ Ö Ö ÓÚ Ö ÒØ dτ Ò Ø Ò Ø ÐÐ Ò ØÓØ ÓÚ Ö Û ÖÒ Ñ Ö¹ Ò Ð Ø tµ ÓÑ ÞÓ ÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Ø Ø Û Ö ÓÖ Òº Ø ÛÓÖ Ø Ò Ù S = τ2 τ 1 { 1 2 mη dx µ µν dτ dx ν dτ } dτ. ¾¼ µ

99 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÇÑ Û Ò Û Ø ÚÓÓÖ Ø ÐØ Ø Ð Ò ÒØ Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÜØÖ Ñ Ø Û Ö Ø ÛÓÖ Ò ØÓ Ô Ø Ö ÑÓ Ø ÞÓ Ø ÛÓÖ Ò Ò Ö Ø Ô x µ (τ) Ø Û Ö Ú Ò Þ ÒØ Ö Ð Ñ Ò Ñ Ð Ó Ñ Ü Ñ Ð Ñ Øº ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ Þ ØÙ Ø Ò ÚÓÖÑ ( ) L x α = d L dτ ( ). ¾¼ µ dx α dτ Å Ö ÓÔ Ø Ø Ú Ö Ú Ö Ð Ò Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ú Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ú Ò Ø Ô x µ (t) Ö Ò Ú Ö Ð Ò ÑÓ Ø ÛÓÖ Ò ÓÔ ÐÓ Øº Ï ÒÒ Ö Ö Ð Ø Ú Ø Ð Ö Ò Ò ÛÓÖ Ø Ò ¹ ÚÙÐ Ò Þ Ò Ú Ò ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø Ö Ò ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò Ø Ò ÚÖ Ö Ð Ø Ú Ø ÐØ Ò Ô x µ (τ) ÚÓÐ Ø Û ÖÚ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò Ú Ö Ð Ò Ò m d2 x µ dτ 2 = 0. ¾¼ µ Ø Ð Ø ÔÖ Ò ÓÔ ØÛ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÚÓÓÖ Ò ÚÖ ÐØ Ñ Ø ØÛ Ù Ø Ð Ú Ö ÐÐ Òº Ì Ò Ö Ø Ó Ø Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ù Ø ÔÖ Ò ÓÚ Ö Ö ÔÐ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ø ÐØ Û Ö Þ Ò ÙÛ Ù Ø ÖÙ Ò ÓÓ Ù Ø ÔÖ Ó Ø ÓÚ Ö Ø º Þ Ð Ø Ø Ø ÐØ Ø m dt2 dτ 2 = 0, ¾¼ µ Û ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø dt dτ Ð Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ º Ø Ò Ø Ú ÖÖ Ò Û Ò ÑÑ Ö Ð Þ Ò Ø Ø τ ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ Þ Ø Ø Ð Ø Ò Ò Ò Ö Ò Ø t Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ Þ Ø Û Òº Ø Û ÔÖ Ø Ø Ð Ø Ø Ø ÞÓ Ð ÔÖÓ Ò Ò Ø º Ò Û Ö Ú Ò Þ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ø Þ Ò ÓÓ Þ Ò Ú Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¾µ Ø ÔÖ ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ γº ÙÙÖ ÊÙ ÑØ Ø Ö Ñ Ò Ò Ô ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ø ÖÙ ÑØ ØÓÓÒØ ÓÔ t = 0 Ú Ö Ò Ð U Ú Ò Ò ÐØ Ø Þ ÖÙ ÑØ Ô ÖØ ÓÔ t = 0µ Ò ØÛ Ú ØÓÖ Ò Ò Þ ÖÙ ÑØ Ð Ò Ø ÖÙ ÑØ Ð Ð Ú Ò Ú Ö Ò Ð U Ò ÛÓÒ Ò Ð v Ú Ò Ø ÐØ º Ø Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µº À Ø Û Ú Ò Þ Ø ÐÐ Ò Ø Ò ÐÓÓ Ò Ø Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µº

100 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼¼ À Ø ØÛ Ú Ö Ð Ñ Ø Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ø Ø Ø Ö Ö Ð Ò ÛÓÖ Ò ÒÓÑ Ò Ò Ö ÒØ τ Û Ö Ò Æ ÛØÓÒ Ø ÓÖ Ð Ò Û Ö Ò ÒÓÑ Ò Ò Ö Ø tº Ø Ñ Ø Ú Ò Þ Ò ÙÛ Ð Ò ÓÓÖØ Ñ Ò ¹Ó Ø³ Ñ Ø Ò Ø Ò Ò x ÛÓÖ Ò ÒÓÑ Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÐÐ ÙÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û Ø ÐØ Û Ø Û Ö Ø Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ø Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Û Ò ÐØ º Ø Ó Ø ÛÓÖ Ø Ú Ö Ò Ð U µ (t) ÒÓ Ñ º Ö Ð Ø U = d x/dτ Ò ÚÓÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ø U α = dx α /dτº Ø Ø ÒØ ÚÓÓÖ ÛÓÒ Ò Ð Ø v j dxj dt = dxj /dτ dt/dτ = Uj U 0 º Þ Ö Ð Ø Ò ÓÑ Ò Ø Ñ Ø ÒÓÖÑ Ö Ò Ú Ò U U 2 = g αβ U α U β = (U 0 ) 2 +δ ij U i U j = 1 Ø ÒØ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú Ö Ò Ð Ú Ò ÚÓÖÑ U 0 = γ,u i = γv i, met γ = 1/(1 δ ij v i v j ) 1 2 Þ Òº Ï Ú ØØ Ò Ò Ò Ò Ö ÒÓ Ò Ñ Ò Ò º º À Ø ÒÙØØ ÓÑ v j Ø Þ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ v ÛÓÒ Ò Ð Ð Ø Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ t = constant Ú Ò Ø ÓÞ Ò ÐÓÖ ÒØÞ Ø Ð Ðº Þ ÖÙ ÑØ Ò Ø Ó Ò Ö ØÓØ Ø Ö Ò ÐÓÖ ÒØÞ Ø Ð Ð ÓÞ Ò Ò ÖÓÑ Ò Ø Ø Ø Ò Ú Ò v Ú Ò Ô ÙÞ º ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ò ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ ÓÞ Ò ÙÒÒ Ò Û v Þ Ò Ð Ò Ó Ö Ò Ø Ò¹ÓÒ Ò Ð Ó Øº Ì Ò Ò Û Ö ÓÒØ Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø Ð Ñ Ò Ö Ú Ò Û Ú Ö Ò Ð ÓÑ Ò Ö Ò Ñ Ö Ò ØÙÙÖÐ Ó Ø Ø Û Ø Ò Ø Ò Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Ò Þ Ð Û ÖÒ Ñ Öµº Ø ÙÒÒ Ò Û Ó Ò ÓÓÖ Ø Ò Ø Ú ÖÐÓÔ Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ø ÐØ Ò ÓÓÖ Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ð Ö Ö Ð Ø Ö Þ Ò Ú ÓÖÑÙÐ Ú Ò Ø Ð Ø Ø dτ = γ 1 dtº ÇÔ Þ Ñ Ò Ö ÚÓÒ Ò Û Ø Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ð mγ 2d x2 dt 2 = 0. ¾¼ µ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò ÒÙ Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò Ô Ð Ú Ð Ú Ò Þ Ò ÙÛ Û Øº Ð Û ÒÒ Ñ Ò Ø Ø ÐØ Ú Ð Ð Ò Þ Ñ Ö Û Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Û Ò Ø ÙÙÖ Ò Ø Ò Û ÒÙ ÐÐ Ò Ù Ø ÖÙ Ø Ó Ø Û Ð Û Ò Ñ Ò Ò Ø v cµ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ¾¼ µ Ò Ö ÛÓÖ Ò ÓÓÖ mγ 2d x2 dt 2 m 1 ( v c d x 2 ( ( ) v 2 d x 2 ) 2 dt 2 m 1 + c) dt 2 md x2 dt 2 = 0, ¾¼ µ Û Ö ÖÙ Ñ Ø Ú Ò Û ÙÒ Ö Ð (1+x) m 1+mx Û Ð Ð Ø Ð x 1º Ø ÔÖ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ó ÒÙ Ò ØÓÓÒ Ø Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ø Ò Ô Ð Ú Ð Ú Ò Ò Ñ Ö Ð Ñ Ò Û Ò Û Ø Ú Ö Ð Ò ¾¼ µ Ø Ø ÓÒ Ú ÖØÖÓÙÛ Ò Ø ÓÒÞ ÙÞ ÚÓÓÖ Ð Ö Ò Ò Û Ö ÒÐ Ù Ø Û ÚÓÐ Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ò Ø ÓÒ ÓÚ Ò Ò ÓÒÞ ÓÙ Ú ÖØÖÓÙÛ Û Ò Û ØØ Ò Ø ÖÙ º Å Ø Ø Ò Ø Ø Ö ÓÓ ÙÒÒ Ò Û ÒÙ Ú Ö Ö Ò Ñ Ø Ø Ò Ú Ò Û ØØ Ò ØÖ Ò Ò Ö Ò ÑÔÙÐ º Ó Ð ÔÖÓ Ò Ò Ø ¾º ÚÓÐ Ø Ò ÑÔÙÐ Ù Ø Ò Ú Ò Ð Ö Ò Ò Ú Ú Ö Ð Ò µº ÌÓ Ô Ø ÓÔ Ö Ð Ø Ú Ø Ð Ö Ò Ò Ð Ú ÖØ Ø ÚÓÓÖ ÑÔÙÐ Ú Ò Ø ÚÖ ÐØ p α = L dxα dτ = m dxν dτ η αν, Ò Ò ÒØ Ò Ø ÓÒØÖ Ö Ò Ñ Ø ÒÚ Ö η µα Ú Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ ÛÓÖ Ø Ø p µ = m dxµ dτ = muµ. ¾½¼µ ¾½½µ Ï ÖÓÑ Ð Ø Ø Ö ÓÔ ÑÔÙÐ ÞÓ Ð Ò Ù Ø Ñ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ñ Ø Ò Ò Ð º Ø Ö Ò Ð Ö ÒÙ Û Ö Ú Ö Ò Ð Ò Þ

101 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼½ Ò ÙÛ ÑÔÙÐ ÛÓÖ Ø Ò ÓÓ Ú Ö ÑÔÙÐ ÒÓ Ñ º Î Ö Ð Ò Ñ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Ú Ö ÒØ Ú Ö Ð Ò µ Ò Û Ö ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò ÓÔ Ø Ò Ö Ø Ö Ò ÒÙÐ¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÛ Þ Ò Ø Ò ØÛ Ø Û Ö Ò Ñ Ò ¹Ó Ø³ Ð Ø Ò Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÐÐ ÙÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø ÙÙÖ Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ø Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø ÐØ º À Ø ØÛ Ú Ö Ð ÙÒÒ Ò Û Û Ö Ò ÔÐ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ö Ð Ø ØÙ Ò ÒØ Ò Ø Ø ÖÙ Òº Ø Ð Ú ÖØ p α = mγ dxα dt, ¾½¾µ Ò Ú Þ Ð Ò Ö Ò Ñ Ø Ó Ð ÖÙ Ø Ò Ú Ö Ð Ò ¾¼ µ ÚÓÐ Ø Ö Ø Ø i¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ i = 1,2,3µ ÖÚ Ò Ö Ù ÖØ ØÓØ ÑÔÙÐ ÞÓ Ð Ò Ù Ø Ñ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Û ÒÒ Ö Ø ÐØ Ú Ð Ð Ò Þ Ñ Ö Û Ø Ò Ø Ð Øº i = 1,2,3 ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ø Ó Ø ÛÓÖ Ò ÖÓÑ ÓÔ Ú Ø Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ú Ò ÑÔÙÐ º Ï Ø ÒÙÐ¹ÓÑÔÓÒ ÒØ ØÖ Ø Þ ÑÓ Ø ÒÓ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ö Òº Þ ÓÑÔÓÒ ÒØ p 0 = mcγ. ¾½ µ Î Ò Ñ Ò ¹ Ò ÐÝ Ñ Ø Ò Ø Þ Ò Ø Ø Ñ Ò Ú Ò Ò Ò Ö Ø Ò Ø Û Ø Ù Ø Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ö Ú Ò Ø ÚÖ ÐØ º ÚÖ Ö Ò Ø Þ Ò Ð Ò Ð ÓÔ ÓÔ Û Ð Ñ Ò Ö Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ö Ð Ø Ö Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ú Ò Ò ÚÖ ÐØ K = 1 2 mv2 ÇÓ Ö Ø Ò Ö Ò Ú Ò Ð Ò Ð Ò Ù Ø ÓÑ Øº Ö Ð Ø ) ) 2 cp 0 = mc ( v c ) 2 mc 2 ( ( v c = mc 2 + K, ¾½ µ Û Ö Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Ò Ö K Ú Ò Ò ÚÖ ÐØ Ò ÚÙÐ º À Ö ÒÙ ÚÓÐ Ø Ò Ò Ö Ò Ú Ò Ð Ò Ð Ò ÒÙÐ¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ø ÑÔÙÐ Ö Ù ÖØ ØÓØ Ò ÛØÓÒ Ò Ò Ö ÔÐÙ Ò ÜØÖ Ø ÖÑº Þ Ò Ú Ò Þ ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ ÒÙÐ¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ð Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ú Ò Ø ÐØ ÞÓ Ð ÚÓÓÖ Ô Ð ÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Ñ Ò º À Ø Ð Ø Ò ÓÓ ÚÓÓÖ Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Û p 0 ÓÓ Ó Ò Ð Ò ÑÓ Ò ÓÔÚ ØØ Ò Ð Ò Ö Ú Ò Ø ÐØ º Ï Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ ØÖ Ø Ò ÚÖ ÛÓÖ Ò Ø Ð Ó Ý ÒØ Ö ÒØ Þ º ÁÑÑ Ö Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ ÒÒ Ò ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ñ Ø Ö Ø Ò Ò Ù Þ Ð Ð ÜØÖ ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ ØÓ ÚÓ Ò Ò Ö Ú Ò Ò Ý Ø Ñ Ù Ø Ö Ò Ò Ú ÐÐ Ò Û ÒÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ö Ð ÓÔ Ö Ú Ò ÛÓÖ Øº ÌÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ m Ö Û Ð Ð Ò Ý Ø Ò Ø Ò Ñ Ð Ò Ø ÞÓÑ Ö Ò Û ÐÐ ÙÖ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Ô Ú Ò Ø ÐØ Ú Ø Ñ µ Þ Ò Ö ÓÓ ÒÛ Þ Û ÒÒ Ö Ø ÐØ Ò Û Ò Ò Ö Ø ÚÓÓÖ Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö K = 0 Û ÔÖ Ò Ò ÓÓ ÓÚ Ö ÖÙ Ø¹ Ò Ö Ò Þ Ð Ò E = mc 2. ¾½ µ Ø Û ÐÐ Ø Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ù Ø Ò ØÙÙÖ ÙÒ º À Þ Ø Ø Ð Ñ Ò Ò Ö Ñ Ø Þ Ñ Ö Ø Ð Ò Þ Ñ Ñ Ð c 2 Ò Ø Ø Ò Ö Þ Ò Ø Ð Ø Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ÓÓÖ Ò Ö Ò Ò Ö Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð Ø Òº À Ø ÖÓÑ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ú Ð Ò Ö ÚÓÓÖ Ò Ú Ò Ñ m ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ø Ò Ñ ÓÔ Þ Ò Ñ Ò Ø Þ Ó Ú Ð Ò Ö Ñ Ø Þ Ñ Ö Øº Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ò Ö Ø F Ò x¹ö Ø Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö V F = dv dx Ó Ø Û Ð Ò Ñ Ø Ö ÖÓÓØ Ù Ø ÖÙ Ø Ð Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ö º

102 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼¾ Ê ÙÑ Ö Ò ÒÙ ÚÓÐ Ø ÓÒÞ ÙÞ ÚÓÓÖ Ð Ö Ò Ò ÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ø ÚÓÓÖ ÑÔÙÐ Û ÖÚ Ò i¹óñôóò ÒØ Ò Ò Ø Ö Ù Ö Ò ØÓØ ÑÔÙÐ ÞÓ Ð Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ò Û ÒÙÐ¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ú Ö ÑÔÙÐ Ð Ø ÓÚ Ö Ò Ø ÓÑ Ò Ñ Ø Ò Ö Ú Ò Ø ÐØ º Ï Ö Ú Ò Ò ÓÓ Û Ö Ò Ð Ø p µ = E c p x p y p z, ¾½ µ E = γmc 2, p i = γmv i. ¾½ µ Ò Ñ Ò Ø Ò ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ø ØÙ Ò Ú Ö ÑÔÙÐ Ò Ú Ö Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö ØÙ Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Òº Å Ø Ò Ñ ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Û Ö Ò ÓÔ Þ Ó Ø Ò ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ø Ø ÒØ Ø ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ò x¹ö Ø Ò Ñ Ø Ò Ð v Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ö E Ò E µ Ò ÑÔÙÐ p x Ò p xµ Ñ Ø Ò Ú Ò Ò Ò ØÞ Ð ÐØ Ò Ø Þ Þ ØÓØ Ð Ö Ú Ö ÓÙ Ò Ð E c = γ ( E c ( ) ) v c px p x = γ ( p x v E ) c 2 p y = p y = p z p z p 0 p 1 p 2 p 3 = γ βγ 0 0 βγ γ p 0 p 1 p 2 p 3 pµ = Λ µ νp ν ¾½ µ ÓÚ Ò Ò ÙÒÒ Ò Û ÓÒØÖ Ø p µ p µ Ú Ò Ú Ö ÑÔÙÐ Ñ Ø Þ Þ Ð Ò Ñ Ò ÓÑ Ø Û Ð Þ Ò Ò Ø ÓÒØÖ Ø Ú Ò Ò Ú ÖÚ ØÓÖ Ñ Ø Þ Þ Ð ÐØ Ò ÒÚ Ö ÒØ ÓÔÐ Ú ÖØº À Ø Ò ÒÚÓÙ ÓÑ Ò Ø ØÓÒ Ò Ø Þ ÒÚ Ö ÒØ Ð ÓÔ Ò ØÓÖ c 2 Ò Ò Ñ Ú Ò Ø ÐØ Ò Ø Û Ö Øº Ö Ð Ø η µν p µ p ν = ( E c ) 2 + p 2 = m 2 c 2 γ 2 + m 2 v 2 γ 2 ( ) v 2 = m 2 c 2 γ (1 2 = m c) 2 c 2. ¾½ µ Ø Ð Ø Ò ØÓØ ÚÓÐ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö Ð Ø ØÙ Ò Ò Ö Ò ÑÔÙÐ E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4. ¾¾¼µ Þ Ò Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö Ö ÚÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ö Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ñ Ö Ò ÔÖ Ø ÓÑ Ø ÔÖ Ö Ö Ò ÓÑ Ø Þ ÓÒ Ò Ø Ø Ø ÐØ Ò Ö Ú Ò Ò ÐØ Ù Ø Ø Ö Ò Ò ÞÓÒ Ö Ò Ð v Ú Ò Ø ÐØ Ø Ó Ú Ò ÒÒ Òº Å Ø Ò Ñ Ò ÐØ Ý Û Ö Ñ Ò Ú ÑÔÙÐ Ò Ú Ò ÐØ Ø Ö Ò Ñ Ø Ò Ò ÐÓÙØ Ö ÙÒ Ò Ð ÛÓÖ Ø Þ ÓÖÑÙÐ Ú Ð ÖÙ Øº À Ø Ð Ò Ú Ò Ò Ö Ò Ò ÑÔÙÐ Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Þ Ð Ð Ò Æ Û¹ ØÓÒ Ò Ñ Ò º Ö Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Ò Ø Ò Ö Ò ÑÔÙÐ ÓÙ Ò Ö Ò Ù Ø Ð Ñ Ö Ð Ò Ö Ú Ö Ð Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ø Ò Ø Ò Ö Ú Ò Ò ÐØ Ñ Ö Ø Û Ö Ø Ú Ò Ò Ö Ö ÑÓ Ø Ù ÒÓ Ò ÛÓÖØ Ð ÛÓÖ Ò ÒÓÑ Ò ÆÙ Ø Ò Û Ö Ø Ú Ö Ð Ò ÐØ ØÛ ÓÔÐÓ Ò Ò Ò Ñ Ø Ò ÔÐÙ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ ÒØ Òº Ð Ø Ø ÓÔÐÓ Ò Ù Ø ÓÔ ÐØ Ñ Ø Ò Ò Ø Ú Ò Ö Ø Û Ø Ú Ö Ð Ò ¾½ µ ÒÓ Ò Ø À Ø ÓÖÖ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ú Ò Þ Ò ÙÛ ÓÔÐÓ Ò Ò Ð È ÙÐ Ö ØÓØ Ø ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ú Ò Ø Ø Ò Ú Ò ÒØ Ñ Ø Ö º

103 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼ ÖÓÓØ Ò Þ Ò Ø Ð Ú ÖØ ÒÓÖÑ ÚÓÓÖ Ð Ò ÓÔ Ø Ò Ø Ö Ò Ò Ú Ò Ñ Ò ÔÖÓ Òº À Ø Ð Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ø ÒÓ Ø Ð Ø ÚÓÓÖ ÓÒÞ Ò ÙÛ Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ò ÑÔÙÐ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ØÓÓÒØ Ò Ø Þ ØÛ ÖÓÓØ Ò Ò Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ø Ò Ý ÔÖÓ Òº Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ÖÑ Ø Ò ÓÑ Ñ Ø Ò Ö Ò ÑÔÙÐ Ø Û Ö Ò Û ÒÒ Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÛÓÖ Ø ÓÙÛ º À Ø Ö ÒÙ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ¹ ÓÙ Ò³ Ò ÒÚ Ö ÒØ³ Ø ÓÒ Ö ØÖ Ô Ò Ò ÖÓÓØ ÓÙ Ò Û ÒÒ Ö Ð Ø Ø Þ Ò Û Ö ÚÓÓÖ Ò Ò Ò ÔÖÓ Þ Ð Ò ÖÓÓØ ÒÚ Ö ÒØ Ð Ð Ø Ø Þ Ò Û Ö ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð Þ Ð º Ò Ð ÚÓÓÖ Ð Ò Ð Ø Ò Ð c Ò ÒÚ Ö ÒØ Ò ÓÙ Ò Ñ Ú Ò Ò ÐØ ÒÚ Ö ÒØ Ñ Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ò Ø ÓÙ Ò Ò Ö Ú Ò Ò ÐØ ÓÙ Ò Ñ Ö Ò Ø ÒÚ Ö ÒØ Ò Ð Ò Þ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò ÞÓÛ Ð Ò Ø ÓÙ Ò ÒÓ ÒÚ Ö ÒØº ÆÓ Ò Ð ÛÓÓÖ Ò ÓÚ Ö Ò Ð Òº Ó Ð Ð ÔÖÓ Ò ÚÓÐ Ø Ù Ø Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ò Ð Ö Ð Ú Ò Ò Ø Ò Û ÖÙ Ø Û Ò Ð Ø Ò ÚÓÐ Ò Ø Ø ÓÒÑÓ Ð Ò ÐØ Ò ÐÐ Ö Ø Þ Ò Ò Ò Ø Ð Ø Ð Ø ÚÓÓÖ Ò Ò Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ð Øº ÚÖ Ó Ö Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ø ÚÓÓÖ Û Ø ÐØ Ò ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ð Ø ÒÓ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑ Òº Å Ø Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ö Ò ÚÖ ÒÙ Ò Ø ÛÓÖ Ò ÒØÛÓÓÖ Ò Û Ð Ð ÚÓÐ Øº Ù Ø ÖÙ Ò Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò ¾½ µ ÚÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ö Ú ÖØ ÐØ ÓÒ Ø Ö Ò Ò ÐØ Ø Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÒ Ñ Ø Ò Ð v Û Ø Ò Ò Ö E Ú Ö ÓÐ Ò º ÇÑ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÓ Ð Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ó Ú Ð Ò Ö ÒÓ ÓÑ Ò ÐØ Ú ÒÙ Ø Ø Ð Ø Ò ØÓØ Þ Ò Ð Ø Ú Ö Ò ÐÐ Òº Ð Û ÒÙ Ò ÐØ Ò Ö Ð Ø Ò Ð Û ÐÐ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò Ð Ø v = c Ò ÛÓÖ Ø ÒÓ Ñ Ö Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ð Ò ÒÙÐ ÒÓ Ò Ö E ÛÓÖ Ø ÓÒ Ò ÖÓÓØº Ø Ò Ò Ö Ñ Ò Ö Ú Ò Þ Ò Ø Ø ÓÒÑÓ Ð Ò ÐØ Ð Ø Ò Ð Ø Ú Ò À ÖÑ Ò ÓÓ Ò ØÓÓÒ Ø ÐØ ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ö ÙÒÒ Ò Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ú Ò Ø Ò Ò Ð Ö Ð ÚÓÐ Ø Ò Ö Ø Ø Ò Ò Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ Ò ÐÐ Ö Ò Ø Ð Ø Ò Þ Ò Û Òº Ö Ò Ù ØÞÓÒ Ö Ò ÓÔ Þ Ö Ðº ÇÑ ØÓØ Ò Ö E Ú Ò Ø ÓÑ Ò Ò Û ÓÔ Ñ Ö Ø Ø Ò ÐØ Ñ Ø Ò Ð v = c ÒÓ Ñ Ö Ò Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ð Ñ Ø Ò ÒÙÐ Ò Ð Ò ÓÓÖ ÒÙÐ Ø ÓÒ Ò º Ø Ò Ö Û Ö Ñ Ø Ø ÐÐ Ö Ò Ø Ð Ò ÒÙÐº Ð Ø ÐÐ Ö Ú Ò Ò Ö Ù ÓÓ Ð Ò ÒÙÐ Ð Ú ÖØ Ð Ò ÓÓÖ ÒÙÐ Ò Ø ÐØ Ñ Ö ÓÒ Ò ÓÔº Û Ö Ú Ò Ù Ø ÓÑ Ø Ò ÓÒ Ô Ð Ò Ð Ú Ò ÓÒØ ÜØ Ò Ö Ø Ò Ù Ø ÓÑ Òº À Ö Ø Ø Ò Ø ÐÐ Ö Ú Ò Ö Ù Ñ Ú Ò Ø ÐØ Ù Ð Ñ Ø Ð Þ Ø Ø ÖÒ Ö Ù Ø Ø Ö Û Ð Ð ÐØ ÞÓÙ Ò ÙÒÒ Ò Ø Ò Ñ Ø ÔÖ Ð Ø Ò Ð Û Ò Ñ Ø Ñ Ú Ò ÞÙÐ ÐØ Ñ Ö Ð Ò ÒÙÐ º ÙÐ ÐØ ÒÒ Ò Û ÓØÓÒ Ò ¼ Ò Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Ò Þ Ò Ò Ö Ò Ñ Ð Ò ÒÙÐº Ø ÚÓÐ Ø Ù Ø ÐÐ Ñ Ø Ò Ò Ñ Ö Ø ÒØ Ö ÒØ ÓÑ Ø Þ Ò Ø Ø Ö ÙÐØ Ø ÓÓ ÚÓÐ Ø Ù Ø ÔÙÙÖ Ø ÓÖ Ø ÓÚ ÖÛ Ò Òº ÑÔÙÐ Ú Ò Ò ÓØÓÒ Ø Û Ö E = p cº Ó Ð Ð Ö Û Ö Ð Ø Ø Ò Ö Ø ÚÓÐ Ø Þ Ò Ú Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÚÖ ÒØ Þ Ò Ò Û Ø Û Ö Ú Ò Ò Ö Ú Ò Ò ÓØÓÒ Û Ø Ö Ù Ø ÓÑ Ø Ú Ò ÒÙÐ Ð ÓÓÖ ÒÙÐ Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ö Ó Ø Ò Ù Ø ÔÖ º Ø Ø ÒØ Ò Ø Ø Ö Ò ÒØÛÓÓÖ Ø Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ú Ò Ò Ñ ÐÓÓ ÐØ Ñ Ö ÐÐ Ò Ø Þ Û Ö Ò Ø ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ó ÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ô Ð Ò ÛÓÖ Ò Ò Ø Ò Ò Ö ÓÖÑÙÐ ÒÓ º ÁÒ Ø Ú Ð Ú Ò Ò ÓØÓÒ ÓÖÑÙÐ Ò ÓÑ Ö ÓÒÐÙ Ò ÓÓ ÛÓÖ Ò ØÖÓ Ò Ù Ø Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ð Ò ÐØ Ò Ñ Ð Ò ÒÙÐ ÞÓÙ Ò Ñ Ö Ò Ø ÞÓÙ Û Ò Ñ Ø Ð Ø Ò Ð ÞÓÙ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ö ÒÙÐ Þ Ò Ò ÖÑ Ð Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö º ÐØ ÞÓÒ Ö Ò Ö Ø Ò Ò Ø ÐÐ Ø Ò Ö µ Ò Ù ÚÓÐ Ø ÒÙ ÓÓ Ø Ð Ò ÐØ Ò Ñ Ø Ø ÒÓÓ Þ Ð ÖÛ Ñ Ø Ð Ø Ò Ð ÑÓ Ø Û Òº ¼ Ö Þ Ò ÒÓ Ñ Ö Ñ ÐÓÞ ÐØ Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Û Ò ÐÙÓÒ Ò Ò Ö Ú ØÓÒ Òº ÎÓÓÖ Ø Ñ ÔÖ Ò Û ÐÐ Ò ÓÚ Ö ÓØÓÒ Ò Ñ Ö ÑÔÐ Ø Ó Ð Ò Û Ö ÐÐ Ñ ÐÓÞ ÐØ Ñ º

104 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼ Ò Ù Ø ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò E = hf ¾¾½µ Û Ö f Ö ÕÙ ÒØ Ð ÙÖµ Ú Ò Ø Ð Ø Ò h ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò ÈÐ Ò º ÓÒØ Ò Ú Ò Þ ÓÖÑÙÐ ÓÓÖ Å Ü ÈÐ Ò Ò ½ ¼¼ Û Ø ÖØ Ú Ò ØÙ Ú Ò ÕÙ ÒØÙÑÑ ¹ Ò º Ë Ñ Ò Ñ Ø ÓÒØ Ò Ú Ò Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ð ÓÒØÛ Ð Ò Ú Ò ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò ØÓØ Ò Ð Ö Ö Ú Ò Ú Ò ÖÓÒ Ð Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ º º½¾ ÜØÖ ØÖ Ú Ò ÖÙ Ï Ò Þ Ò Ó ËÊÌ ÓÐ Ö Ð Ñ Ò ÒÚÐÓ Ø Ð Þ Ò ÐÐ Ö Û Ò ÐÓ Ò ÐÓÔ Ò ØÖ Öµ Ø Ò Ò ÛÓÖ Ò ÓÖØ Öµ Ú Ö Ò Ð ÐØ ÙÒ Ò Ö Ò ÑØ ØÓ µ Øº ËÊÌ Ø Ø Ö ÓÓ ÚÓÐ Ò ÚÓÓÖ Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÐØ Ò º Å Ø Ò Ñ Ô ÐØ ÖÙ Ò Ð Ò Ö ÖÓÐ Ò ØÖ Ú Ò Ø º Ï ÞÙÐÐ Ò ÓÒØ Ò Ø Ó Ó Ö ÖÙ Ó ÑÓ Ð Ö Ø ÓÑ Ø Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò ØÖ Ò ÑØ ØÓ µº Ø Ø Ð Ò Ö ÚÓÐ Ò ÚÓÓÖ ÊÌº Ð Û Ò ÙØÖÓÒ Ò Ø ÖÖ Ò ØÙ Ö Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÓÒØ Ò Ø Ø Ø ÖÚÓÓÖ ÞÓÖ Ø Ø Ø Ò ÙØÖÓÒ Ò Ò ÖÓØ Ö Û Ø Øº Ø Þ Ð ÖØÓ Ð Ò Ø Ø Ö Ò ÖÓØ Ö ÖÙ Ö Ø Ø Ò ÖÚÓÓÖ ÞÓÖ Ø Ø Ø Û Ø ØÓ Ò ÑØ Øº Þ ÖÙ ¹Ø ÖÙ ÓÔÔ Ð Ò Ð Ø Ö Ù Ø Ò Ð ØÓ Ø Ø ÓÒÑÓ Ð ÛÓÖ Ø ÚÓÓÖ Ø Ö ÓÑ Þ Þ Ð Ò Ø Ò Ø ÓÙ Ò ØÖ Ú Ò ÖÙ Ð Ø Ò Ò ØÓÖØ Ò ØÓØ Ò ÞÛ ÖØ Ø Òº ØÖ Ú Ò ÖÙ Ø ÖÙ Ø Ð Ò ÓÔ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø º Ï Ò Ø Ø ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ò Ð Ò Û Ö ËÊÌ ÓÖÖ Ø Ö Ð Ø Ð Ò Þ Òº Ï ÓÙÛ Ò Ò ÓÓ Ñ Ø ÚÓÐÙÑ V ÚÙÐ Ñ Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ Ñ Ø Ñ Ø ρ Ò ÖÙ P º ËØ Ð Ø Û Ò Ð Ò Ö Ø Ù ØÓ Ò Ò ÓÔ ÓÓ Û Ö ÓÓÖ Û Ö Ú Ö Ò ÐÐ Ò ØÓØ Ò Ò Ð v Ð Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò cº ÚÖ ÒÙ Ó Ú Ð Ò Ö Ò Û ÑÓ Ø Ò Ð Ú Ö Ò ÓÑ Ø Ò Ò Ð v Ø Ú Ò Ì Ö Ú Ö ÒÚÓÙ Ò ÔÖ Ò Û ÐÐ Ò ÓÚ Ö Ø Ò Ò Ø ÓÚ Ö ÓÓ ØÖÓÒÓÑ Ó Ø Ò Ð Ø ÖÖ Ò Þ ØØ Ò Ò Ø Ò Ò ÓÓ ºººµº Ð Ø Ò Ò Ð v Ø Ò Ø Ø Ò Ø Ò Ö º Å Ò ÞÓÙ Ù ÙÒÒ Ò Ú ÖÛ Ø Ò Ø ØÓØ Ð Ò Ö Û Ò ÑÓ Ø Ò ØÓ ÚÓ Ò Ò ÓÓ ÓÑ Ø Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ð 1 Ò Þ Ò Ø Ò Ö 2 mv2 = 1 2 ρv v2 º Ø Ø Ö Ò Ø Ø Ð Ú Ö Ð ÓÑ Ø ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ð Ò Ø Ú Ò ÓÓ Ð Ò Ö Ø Ñ Ø Ò ÖÑ Ø ÚÓÐÙÑ Ú Ö Ò Ö Øº ÓÓ Ð Ò Ö Ñ Ò Ø ÖÛ Ð Ö Ò Ó ÚÐÓ ØÓ Ñ Ø ÖÙ P Ò Þ Ø Ø ÒØ Ø Ú ÖÖ Ø Ò Ú Ò Ö º Þ Ö Ð Ò F d s = P V Ñ Ø V ÚÓÐÙÑ Ú Ö Ò Ö Ò º À Ø Ñ ÒØ Ò ÒÓ ÓÑ Ø ÚÓÐÙÑ Ú Ö Ò Ö Ò V µò Ø Ø ÖÛ Ð Ú ÖÖ Ø Ö ÔÓ Ø º Þ ÜØÖ Ò Ö Ú ÖØ ÒÛÓÓÖ Ø ÜØÖ ØÖ Ú Ò Ø Ø ÑÓ Ð Ö ÓÑ Ø Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÓÑ Ø Ò Ø ÐÐ Ò Ö Ú ÖÖ Ø ÒØ Ø ÛÓÖ Ò ÓÑ Ø Ò Ò Ö Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ñ Ö ÓÓ ÓÑ Ø Ø ÓÑÔÖ Ñ Ö Ò ÞÓ Ð ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ú Ö Øº Ð Ò Ø Ú Ö Ò Ö Ò ÓÓÖ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ð Ò L = L 1 v 2 1 v 2 L c 2 c 2 L. ¾¾¾µ ÜØÖ Ò Ö ÒÓ Ð Ò 1 v 2 2 c PV º Þ Ò Ö Ú Ö Û ÒØ Ò Ø Ñ Ö Ø Ò Ö 2 ÒØ ÖÒ Ò Ö Ú Ò Ø ÓÔ Û Ð Û Þ Ò Ø Ú Ò Ø ØÝÔ ÑÓÐ ÙÙÐµº Ò Ð Ú Ò Ò Ö ÛÓÖ Ø ÖÙ Ø ÓÑ Ø Ø Ú ÖÛ ÖÑ Ò Ö Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÑÓÐ ÙÐ Òµº ØÓØ Ð Ò Ö ÒÓ ÓÑ Ø Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Û Ö Ú Ò Ð E = 1 2 mv2 P V = 1 2 ρv v2 + 1 v 2 2 c 2 PV = 1 (ρ + Pc ) 2 2 v 2 V. ¾¾ µ

105 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼ Ï Þ Ò Ø Ò Ö ÒÓ ÓÑ Ø Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú ÒÖ Ñ Ø ÓÑ ρ+ P c 2 º Ù ÚÓÓÖ Ò Ô Ð Ù Ø Ó Ò Ö Ø Þ Ð ÓÓ Ñ Ò Ö Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò Û ÞÓÙ Ò Ú ÖÛ Ø Ò ÓÔ Ú Ò ÐÐ Ò Ö Ñ ÓÑ Ø Ò Ð Ú Ò Ò Ö Ø Ò Ö ÒØ ÖÒ Ò Ö Ú Ò Ø º Ï Þ Ò Ù Ø ØÖ ÖÓØ Ö Ò ÐÐ Ò Ö ÖÙ ØÑ º Ï ÒÓ Ñ Ò ÖÓÓØ ρ + P c 2 ØÖ Ú Ò Ñ Ø Ú Ò Ø º º½ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Î Ö Ð Ò ¾¾ µ Ø Ò Ö ÒÓ ÓÑ Ò Ø Ú Ö Ò ÐÐ Òº Ò Ö Ø Ö Ò Ð Ú Ò Ø Ö Ö ÒØ Ø Ð Ð Û ÒØ Ø ¼¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ú Ö ÑÔÙÐ Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò ¾½ µº Ð Ó Û Ð Þ Ú Ö ÑÔÙÐ Ò ÚÓÐÐ Ö Ú Ò Ø Ú Ò Ò Ö Ò ÑÔÙÐ Ú Ò Ò Ò Ú Ù Ð ÐØ ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ø Ú ÖÚÓÐ Ú Ù Ø Ö Ý Ø Ñ Ò ÔÖ Ò Þ Ò Ñ Ò Ø Ð Ù Ø ÖÓØ ÒØ ÐÐ Ò ÐØ º ÁÒ ÔÐ Ø Ú Ò Ø ØÓ ÒÒ Ò Ú Ò Ú Ö ÑÔÙÐ Ò Ò Ö Ò Ú Ù Ð ÐØ Þ Ò Û ÖÚÓÓÖ ÓÑ Ø Ð Ý Ø Ñ Ð Ò ÚÐÓ ØÓ Ø Ö Ú Ò ¹ Ò ÓÒØ ÒÙÙÑ Ø Ö Ø Ö Ö ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ñ ÖÓ ÓÔ ÖÓÓØ Ò Ð ÖÙ Ø ÒØÖÓÔ Ò Ú Ó Ø Øº ÁÒ Ø Ð Ñ Ò Ø Þ ÚÐÓ ØÓ Ò Ô Ð Ú Ö Ò Ð Ú Ð º Ò Ò Ð ÑÔÙÐ Ú ÖÚ ØÓÖÚ Ð ÓÒÚÓÐ Ó Ò ÓÑ Ò Ö Ò ÑÔÙÐ Ú Ò ÚÐÓ ØÓ Ø Ö Ú Òº Ï Ò Ö Ò Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ÓÓ Û Ð ØÖ Ø Ò ÓÖ ÒÓ Ñ µ Ñ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò T µν ( ) º Þ ÝÑÑ ØÖ 2 Ø Ò ÓÖ Ú ÖØ ÐØ ÓÒ ÐÐ Û Ø Û ÑÓ Ø Ò Û Ø Ò Ú Ò 0 Ò Ö ¹ Ø Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø ÖÙ Ô ÒÒ Ò Øº Ò Ð Ñ Ò Ò Ø Ú Ò T µν ÙÜ Ú Ò Ú Ö ÑÔÙÐ p µ ÓÓÖ Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ x ν º ÓÙÛ ÚÓÓÖ Ð Ò ÓÒ Ò Ð Ò ÚÐÓ ØÓ Ð Ñ ÒØ Ò Þ Ò ÖÙ Ø Ý Ø Ñº Ò T 00 ÙÜ Ú Ò p 0 Ò Ö µ Ò x 0 Ø µ Ö Ø Ò Ø Ò Ö Ø ρ Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñº ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Þ Ò Û Ø Ò Ø Ö Ñ T 0i = T i0 ÑÔÙÐ Ø º ÖÙ ÑØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò T ij Þ Ò ÑÔÙÐ ÙÜ Ó Û Ð ØÖ Ò Ú ÖØ ÒÛÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ØÙ Ò Ò Ö ÒÞ Ò ÚÓÐÙÑ Ð Ñ ÒØ Òº Ò ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ð T 11 Ø x ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ö Ø Ô Ö Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ø ÓÓÖ Ø Ð Ñ ÒØ ÛÓÖ Ø Ù Ø Ó Ò Ò x Ö Ø Ò º Ï ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ø Ð x ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÖÙ P x µº ÖÙ Ø Ö Ö Ð ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ Ò P i = T ii Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñ Ú Ò ÚÐÓ ØÓ º Ï ÞÙÐÐ Ò Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÓÒÖ Ø Ö Ñ Ò ÓÓÖ ØÓ ³ Ò Ð Ù Øµ Ð ÚÓÓÖ Ð Ø Ò Ñ Òº ÃÓ ÑÓÐÓ Ò Ò Ò Ò ÓÑ Ñ Ø Ö Ð ÝÒÓÒ Ñ ÚÓÓÖ ØÓ Ø ÖÙ Òº Ï Ò Ö Ò ØÓ Ò ÚÐ ÖÙ ÑØ Ø Ð Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÐØ Ò ÖÙ Ø Þ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Öº À Ø Ú ÖÚ ØÓÖ Ò Ð Ú Ð U µ (x) ÓÒ Ø ÒØ Ú Ö Ò Ð Ú Ò Ò Ú Ù Ð ÐØ º ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Þ Ò ØÞ Ð ÓÔ Ð ÔÙÒØº Ï Ò Ö Ò ÙÜ Ú ÖÚ ØÓÖ Ð N µ = nu µ, ¾¾ µ Ñ Ø n ÐØ Ø Ñ Ø Ò Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñº Ò N 0 ÐØ Ø Ñ Ø Ò Ò Ò Ò Ö Ý Ø Ñ Ø ÖÛ Ð N i ÐØ ÙÜ Ò x i ¹Ö Ø Ò º Î Ö Ö Ò Ñ Ò Û Ò Ø Ð ÐØ Ñ m Øº ÁÒ Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñ ÛÓÖ Ø Ò Ö Ø Ú Ò ØÓ Ú Ò ÓÓÖ ρ = nm. ¾¾ µ È Ö Ò Ø Ô ÖØ Ò Ö Ø ØÓ ÚÓÐÐ º Ø Ö ρc 2 Ñ Ø Ò Ö Ø Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñº ÀÓ Þ Ø Ø Ñ Ø Ò Ö Ý Ø Ñ Ò Å Ö ÓÔ Ø ÞÓÛ Ð n Ð m 0 ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Þ Ò Ú Ò Ú ÖÚ ØÓÖ Ò Ò ÙÒ ÖÙ Ø Ý Ø Ñ Ò Ñ Ð N µ = (n,0,0,0) Ò p µ = mu µ = (mc,0,0,0)º Ï Þ Ò Ù Ø ρc 2 µ = 0, ν = 0 ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ø Ò ÓÖ p N Ñ Ø Ò Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñº Ø Ð Ø ØÓØ ÚÓÐ Ò Ò Ø Ú Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ÚÓÓÖ ØÓ T µν stof = pµ N ν = mnu µ U ν = ρu µ U ν, ¾¾ µ

106 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼ Ñ Ø ρc 2 Ò Ö Ø Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñº Ï Þ Ò Ø ÖÙ Ú Ò Ø ØÓ Ò Ð Ö Ø Ò Ð Ò ÒÙÐº Ø ÐÓÔØ ÓÓ Û Ð ÓÑ Ø Û ØÓ Ò Ö Ò Ð Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÐØ ÞÓÒ Ö Ö Ò ÓÑ Û Ò Òº ËØÓ ÓÒÚÓÐ Ó Ò ÚÓÓÖ Ò Ð Ñ Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ð Ò Ö ÒÓÑ Ò Ò Ò ÊÌº À Ö¹ ÚÓÓÖ Ø ÓÒ ÔØ Ú Ò Ò Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ ³ ÒÓ º Ò Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ Ò ÚÓÐÐ ÛÓÖ Ò Ô Ö ÓÓÖ ØÛ ÖÓÓØ Ò Ò Ö Ø ρ Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñ Ò Ò ÓØÖÓÔ ÖÙ P Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñº Ô Ö Ñ Ø Ö P Ø ÖÙ Ò Ð Ö Ø Ò º Ò ÓÒ ÕÙ ÒØ Ú Ò ÓØÖÓÔ Ø T µν ÓÒ Ð Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñº Î Ö Ö ÑÓ Ø Ò ÓÒ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÐÐ Ñ Ð Ð Þ Ò T 11 = T 22 = T 33 º Ö Þ Ò Ù Ð Ø ØÛ ÓÒ Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ò Ö Ø ρ = T 00 Ò ÖÙ P = T ii º Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ò Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ Ø ÖÑ ÚÓÐ Ò ÚÓÖÑ Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñ T µν = ρc P P P. ¾¾ µ Ï Û ÐÐ Ò Ù Ø Ö Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ð Ò Ð Ý Ø Ñ Ò Ø Ò ÓÖÚ Ö Ð Ò º ÎÓÓÖ ØÓ Ò Û T µν = ρu µ U ν Ù Û Ó Ò ÓÔ (ρ + P/c 2 )U µ U ν º Ø Ø ρc 2 + P ¾¾ µ Ò Û Þ Ò Ø Ø Ò Ø ÓÖÖ Ø º Ï Ò Ò Ö ÚÓÐ Ò Ö ÓÔ Ø Ø ÐÐ Ò P P P 0, P ¾¾ µ Ø Ò Û ÙÒÒ Ò Ö Ú Ò Ð Pg µν Ñ Ø g µν = η µν Ò ËÊÌº À ÖÑ Ú Ò Ò Û ÚÓÓÖ Ð Ñ Ò ÚÓÖÑ Ú Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ÚÓÓÖ Ò Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ T µν = (ρ + P/c 2 )U µ U ν + Pg µν. ¾ ¼µ Ú Ò Ø Ú Ö Ð Ò ¾¾ µ ÚÓÖÑ Ú Ò T µν Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñ Ò Ø Ú Ö Ð Ò ¾ ¼µ Ò Ø Ò ÓÖÚ Ö Ð Ò Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñ Ö Ù ÖØ ØÓØ Ú Ö Ð Ò ¾¾ µ Û Ø Ò Û Ø Û Ñ Ø Ú Ö Ð Ò ¾ ¼µ ÓÖÖ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò ÚÓÒ Òº À Ø ÓÒ ÔØ Ú Ò Ò Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ Ð Ñ Ò ÒÓ ÓÑ Ò ÖÓØ Ú Ö Ò Ú Ò ÚÓÖ¹ Ñ Ò Ú Ò Ñ Ø Ö Ø Ö Ú Òº Ï Ô Ö Ò ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÓÑ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ò Ö Ð ÚÐÓ ØÓ Ø Ô Ð Òº ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ð Ø ÖØ ÖÙ Ò Ò Ö Ø¹ P = P(ρ)º ËØÓ Ò Ô Ð Ú Ð Û ÖÚÓÓÖ P = 0 Ø ÖÛ Ð Ò ÓØÖÓÓÔ Ø Ò Ù Ø ÓØÓÒ Ò P = 1 3ρ Øº Ò Ñ Ö ÜÓØ ÚÓÓÖ Ð Ò Ö Ú Ò Ø Ú ÙÙÑ Û ÖÚÓÓÖ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ú ÒÖ Ñ Ø Ñ ØÖ T µν = ρ vacuum g µν º À Ø Ú Ò Ò Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ú ÙÙÑ Þ ÒÐÓÓ Ò ËÊÌ ÓÑ Ø Ö ÓÐÙØ Ð Ú Ò Ò Ö Ò Ø Ö Ð Ú ÒØ ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ö ÐÐ Ò ØÙ Ò ØÓ Ø Ò Òº ÁÒ ÊÌ ÓÔÔ ÐØ ÐÐ Ò Ö¹ Ø Ö Ñ Ø Ö Ú Ø Ø Ò Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø µ Ò ÛÓÖ Ø ÑÓ Ð Ú Ò Ø Ø Ò Ú Ò Ú ÙÙÑ Ò Ö Ò Ð Ò Ö ÓÙÛ Ò º

107 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼ ÐÚ Ø T µν ÝÑÑ ØÖ Ø Ð Ò Ö Ò Ô Ø ÓÙ Ò º Ò Ö ¹ Ò ÑÔÙÐ ÓÙ ÛÓÖ Ò Ù Ø ÖÙ Ø ÓÓÖ Ø Ø Ø Ú Ö ÒØ Ð Ò ÒÙÐ µ T µν = 0. ¾ ½µ ÓÚ Ò Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò Ú Ö Ú Ö Ð Ò Ò Ò ÚÓÓÖ Ð Û Ö Ú Ò νº Ù Ø ÖÙ Ò Ñ Ø ν = 0 ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò Ö ÓÙ Ø ÖÛ Ð µ T µk = 0 Ñ Ø k = 1,2,3 ÓÙ Ú Ò k ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÑÔÙÐ Ù Ø ÖÙ Øº Ä Ø Ò Û Ø Ò ØÓ Ô Ò ÓÔ Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ º Ï Ú Ò Ò Ò µ T µν = µ (ρ + P/c 2 )U µ U ν + (ρ + P/c 2 )(U ν µ U µ + U µ µ U ν ) + ν P. ¾ ¾µ ÇÑ Ø Ò ÐÝ Ö Ò Û Ø Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ø ÒØ Ø ÒÙØØ ÓÑ ÞÓÒ ÖÐ Ø ÓÙÛ Ò Û Ø Ö ÙÖØ Ð Û Ò Ò Ò Ö ÔÖÓ Ø Ö Ò Ð Ò Ò ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ Ø Ú Ö Ò Ð Ú Ð U µ º ÐÐ Ö Ö Ø Ñ Ö Ò Û ÓÔ Ø ÒÓÖÑ Ð Ø U ν U ν = 1 ÚÓÐ Ò ÒØ Ø Ø Ð Ú ÖØ U ν µ U ν = 1 2 µ(u ν U ν ) = 0. ¾ µ ÈÖÓ Ø Ö Ò ÓÑØ Ò Ö ÓÔ ÓÒØÖ Ö Ò Ñ Ø U ν Ò Û Ú Ò Ò U ν µ T µν = µ (ρu µ ) P µ U µ. ¾ µ Ð Û Ø Ð Ø ÐÐ Ò Ò ÒÙÐ Ú Ò Ò Û Ö Ð Ø Ú Ø Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Ö ÓÙ Ú Ò Ò Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ º À Ø Þ Ø Ö Ú ÖØÖÓÙÛ Ö Ù Ø Ò Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø Ð Ñ Ø Û Ö Ð Ø U µ = (1,v i ), v i 1, P ρ. ¾ µ Ð Ø Ø Ú Ö Ð Ò ÒÒ Ñ Ð ÓÑ Ø ÖÙ ÐÐ Ò Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ò Ò Ú Ò Ò Ú Ù Ð ÐØ ÓÑØ Ò Ò Þ Ð Ñ Ø Þ Ò Þ Û Ò Ò Ò Ø Ð Û Ò Ú Ò ÙÐ Ñ Ø U µ µ Ð Òº Ï Ú Ò Ò Ù Ò Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ð t ρ + (ρ v) = 0, Ø Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ø º ¾ µ Ì Ò ÐÓØØ Ò Û Ò Ö Ø Ð Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾ ¾µ Ø ÐÓÓ Ö Ø Ø Ø ÓÔ Ú Ö Ò Ð º ÇÑ Ò Ú ØÓÖ ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ U µ Ø ÔÖÓ Ø Ö Ò ÑÓ Ø Ò Û Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ñ Ø ÔÖÓ Ø Ø Ò ÓÖ P σ ν = δσ ν + Uσ U ν. ¾ µ Ï ÙÒÒ Ò ÓÒØÖÓÐ Ö Ò Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÔÖÓ Ø Ø Ò ÓÖ Þ Ò Û Ö Ó Ø ÓÓÖ Ò Ú ØÓÖ V ν Ô Ö ÐÐ Ð Ò U µ Ò Ò Ò Ö Ú ØÓÖ W µ ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ Uµ Ø Ò Ñ Òº Ï Ú Ò Ò Ò ÌÓ Ô Ò ÓÔ µ T µν Ð Ú ÖØ P σ νv ν = 0, P σ νw ν = W σ. ¾ µ P σ ν µ T µν = (ρ + P/c 2 )U µ µ U σ + σ P + U σ U µ µ P. ¾ µ Ï ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø Ð Ñ Øº Ð Û ÖÙ ÑØ Ð ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ Ò Ð Ø ÐÐ Ò Ò ÒÙÐ Ú Ò Ò Û ρ[ t v + ( v ) v] + P + v( t P + v P) = 0. ¾ ¼µ Å Ö ÓÔ Ø Ð Ø Ø Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ð Ò Ò Ú Ò P Ö Ö Ò Ð v Û ÖÚ Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ø Ð Ò º Þ Ø ÖÑ Ò Þ Ò Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò P Ø ÖÑº Ï ÓÙ Ò Ò ÓÚ Ö ρ[ t v + ( v ) v] = P, Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ú Ò ÙÐ Ö Ù Ø ÚÐÓ ØÓ Ñ Ò º ¾ ½µ

108 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼

109 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½¼ Ï ÙÒ ÁÁ ¹ ÃÖÓÑÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò À Ø Û ÙÒ ÔÔ Ö Ø Ø Û Ò Ò Ø ÓÒØÛ Ð Ò ÚÓÓÖ Ö Ú Ò Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÖÑ Ðº ÎÓÓÖ Ø Û ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ø Ò ØÙ Ö Ò Ò Û Ö Ø ÖÓÑÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ º À Ö ÓÓÖ ÙÒÒ Ò Û Ò ÓÖ Ð Ú Ò Û ÙÒ Ñ Ò Ö ÓÒØÛ Ð Ò Ò Ò Ú ÖØÖÓÙÛ ØÙ Ø º ÖÒ Ø Ô Ò Ö ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ò Ö Ð Ø ÒÚÓÙ º ÁÒ Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ú Ò Û Ò ÔÙÒØ P Ò ÚÐ ¾ ÙÐ ÖÙ ÑØ Ò Ñ Ø Ó Ö Ò Ø Ò x Ò yº Ï ÙÒÒ Ò ÓÓ Ò Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÖÙ Ò Û Ö Û P Ò Ú Ò Ñ Ø ξ Ò ηº Î Ö Ð Ò µ Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Λ α β ØÙ Ò Ý Ø Ñ Òº ÎÓÓÖ Ø Ò ØÙ Ò ØÛ Ò Ð Ò ÔÙÒØ Ò Ð Ø ξ = ξ(x,y), ξ = ξ ξ x x + y y, η = η(x,y), η = η η x x + y y. ¾ ¾µ Ï ÙÒ Ø Ð Ò Ö Ø Ð Ò Ò ÓÔ Ò Ò Ø Ú Ö Ø Ø Â Ó Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ò ÒÙÐ ½ º Ù ( ) ξ/ x ξ/ y det 0. ¾ µ η/ x η/ y Ï ÑÓÒ ØÖ Ö Ò Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ñ Ø Ò ÓÙÛ Ò ÓÚ Ö ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òº ÎÓÓÖ Ð ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ò Ø ÙÐ ÚÐ º ÁÒ Ø ÙÐ ¾ ¹ÚÐ ÙÒÒ Ò Û ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò x Ò y Ó ÔÓÓÐÓ Ò Ø Ò {r, θ} ÖÙ Òº Ö Ð Ø r = x 2 + y 2 Ò θ = arctan y Ò ÒÚ Ö Ö Ð Ø x = r cos θ Ò y = r sin θº ÃÐ Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ò x Ò x y ÔÖÓ Ù Ö Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ò r Ò θ ÚÓÐ Ò Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ö Ò º x r = x + y y = cos θ x + sin θ y, r r ¾ µ θ = y x + x y = 1 sin θ x + 1 cos θ y, r 2 r 2 r r º½ Î ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ö Û ÖÓÔ Ò Ú ØÓÖ Ò Ö ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ø Ø ÐÐ Ò Ø ÓÒ Ö Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ð Ú ÖÔÐ Ø Ò º À ÖÑ Ó Ð Ò Û Ø Ò Ú ØÓÖ r ÚÓÓÖ Ø Ð Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò Ú ÖÔÐ Ø Ò ( x, y) Ó Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ð ( r, θ) Ó Ò Ø Ð Ñ Ò ÓÓÖ ( ξ, η)º ÎÓÓÖ Ð Ò ( x, y) Ð Ø Ò ( ξ η ) = ( ξ x η x ξ y η y ) ( x y ). ¾ µ ½ ËØ Ð Û Ò Ò Ý Ø Ñ O ÔÙÒØ Ò P Ò Q Ñ Ø Ó Ö Ò Ø Ò (x 1, y 1) Ò (x 2, y 2) Ö Ô Ø Ú Ð º Þ ÔÙÒØ Ò ÛÓÖ Ò Ð ÓÔ P Ò Q Ò Ý Ø Ñ O º ËØ Ð Ø Ð Ò P P ÓÓÖ ÚÓÐ Ò ØÛ Ð Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ò Ú Ò ÛÓÖ Ø a 1x 1 + a 2y 1 = x 1 Ò b 1x 1 + b 2y 1 = y 1º Ú ÒÞÓ ÚÓÓÖ Q Q º Ð Ò O ÔÙÒØ Ò P Ò Q Ñ ÒÚ ÐÐ Ò Ò Ò Ò ÓÓ ÔÙÒØ Ò P Ò Q Ò O Ñ Ò Ø Ú ÐÐ Òº Ò Ð Ø a 1 x + a 2 y = 0 Ò b 1 x + b 2 y = 0º Ð Û ÖÙ Ø x Ò y Ð Ñ Ò Ö Ò Ú Ò Ò Û Ù Ø ÖÙ Ò a 1b 2 a 2b 1 = 0º ÁÒ Ø Ú Ð Ø Ý Ø Ñ Ò ÙÐ Ö Ò ÛÓÖ Ø Ö ÓÔ (0, 0) Ð Ø ÖÛ Ð P Ò Q Ò Ø Ñ ÒÚ ÐÐ Ò Ò Ù x 0 Ò y 0µº Ï Ò ÚÓÓÖ Ò Ø Ø Ó Ò ÓÒ Ð Ò ÒÙÐ º

110 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½½¼ Ï Ø ÐÐ Ò ÒÙ Ø Ò Û ÐÐ ÙÖ Ú ØÓÖ V ÓÔ ÔÖ Þ Ð Ñ Ò Ö ÒØ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Òº Ù Ð Ø ( ) ξ ξ V α = Λ α β V β met Λ α β = x y, ¾ µ Û Ö Ò Ü β Ö Ö ÖØ Ò Ø Ý Ø Ñ (x,y) Ò Ò Ü α Ò Ø Ý Ø Ñ (ξ,η)º Ö Ò ÑÓ ÖÒ Ò Ñ Ö Ò ØÙÙÖÐ Ñ Ò Ö ÓÑ Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ø ÒØÖÓ Ù Ö Òº À ÖØÓ ÓÙÛ Ò Û Ò Ð Ö Ú Ð φº Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò (ξ,η) Ø ÐØ ÑÓ Ð ÓÑ Ð Ò φ/ ξ Ò φ/ η Ø ÚÓÖÑ Òº Ï Ò Ö Ò ½¹ÚÓÖÑ dφ Ð Ø ÓÑ ØÖ Ó Ø Ñ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ( φ dφ ξ, φ ) ¾ µ η Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð (ξ,η)º Ø Ð Ñ Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÓÒ Ò ÒØ Ð ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Û Ú Ò Ò Ò Ò Ö ½¹ÚÓÖÑ ÚÓÓÖ Ð ÙÞ Ú Ò Ø Ð Ö Ú Ð φº ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÚÓÐ Ø Ù Ø ØØ Ò Ö Ð η x η y φ ξ = x φ ξ x + y φ ξ y, ¾ µ Ò Ú ÒÞÓ ÚÓÓÖ φ η º Ï Ú Ò Ò ÖÑ ( φ/ ξ φ/ η ) = ( x ξ x η y ξ y η ) ( φ/ x φ/ y ) met ( x Λ α β = ξ x η y ξ y η ). ¾ µ Ï Þ Ò Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ñ Ø Λ α β Ò Ø Ø ÒÓÚ Ö Ø Ð Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ú Ò Ú ØÓÖÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÞÓ Ð Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µº ¾ Ï ÓÙÛ Ò ÒÙ Ð dφ/ds Ú Ò Ò Ð Ö Ú Ð φ Ð Ò Ò ÙÖÚ Ñ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö s Þ ÓÓ Ø º º¾µº Þ Ð Ò Ø Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö s Ò Ð Û Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ò ÖØ ÓÓ Ð º Ï ÙÒÒ Ò Ø Ö Ú Ò Ð dφ ds =< dφ, V >, ¾ ½µ Û Ö V Ú ØÓÖ Ñ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò (dξ/ds,dη/ds) ÒÓØ Ø < p, V > p( V )º Ú ØÓÖ V Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÙÖÚ Ø ÖÛ Ð dφ ÐÐ Ò Ú Ò φ Ò Øº ÖÓÑ V Ö Ø Ö Ø ÚÓÓÖ ÙÖÚ Ò ÛÓÖ Ø Ø Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ó Ö Ú ØÓÖµ ÒÓ Ñ º Ï ÙÒÒ Ò Ò Ú ØÓÖ Ù ÓÔÚ ØØ Ò Ð Ò Ó Ø Ø dφ/ds ÔÖÓ Ù ÖØ Ð φ Ú Ò º Ø Ð Ø ØÓØ ÑÓ ÖÒ ÓÔÚ ØØ Ò Ø Ò Ø Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ò Ò ÙÖÚ d/ds ÒÓ Ñ ÑÓ Ø ÛÓÖ Ò º Ð ÙÖÚ Ñ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö sµ Ø ¾ À Ø Ú Ò Ð Ò ÜÔÐ Ø Ø ÓÒØÖÓÐ Ö Ò Ø Λ α β Ò Λ β α Ð Ö ÒÚ Ö Þ Òº Ù Λ α βλ γ α ( ξ x η x ξ y η y ) ( x ξ y ξ x η y η ) = ( ξ x + ξ y x ξ y ξ η x + η y x ξ y ξ ξ x + ξ y x η y η η x + η y x η y η ) = ( ξ ξ η ξ ξ η η η ) = ( ). ¾ ¼µ Å Ö ÓÔ Ø Ò Ò Ò Ö ÚÓÐ Ø Ù Ø Ò Ø Ú Ò Ô ÖØ Ð Ð Ò Ù Ø Ø Ø Ø ξ Ò η ÓÒ Ò Ð Ú Ö Ð Ò Þ Ò Ò Ù Ð Ø Ø ξ = η = 0º η ξ Ï ÐÐ Ø Ø Ò Ò Ö ÓÔ Þ Þ Ú Ö Ð Ö Ò Û Ò Û Ö Ù Ø Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾ ½µ Ò ÓÑ Ø φ = φ(ξ, η) Ú ÖÛ Ø ÚÓÓÖ Ð Ú Ò φ Ð Ò Ö Ú ØÓÖ V Ú Ò ÙÖÚ V φ = V α φ x α. ¾ ¾µ

111 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½½½ Ò Ø Ò ÒØ Ú ØÓÖ V Ò Ö Ð Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ò ½¹ÚÓÖÑ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò ÑØ Ò Ð Ø Ò Ö Ø Ö Ð Ø Ð dφ/dsº ÇÒ Ö Ò Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÙÖØ Ö Ò Ø Ñ Ø s Ò Ø Ú Ò Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ñ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ñ Òµ Ñ Ö Ú Ö Ò Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò V ÚÓÐ Ò ØØ Ò Ö Ð Ð ( dξ ds dη ds ) = ( ξ x η x ξ y η y ) ( dx ds dy ds ). ¾ µ Ø Þ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Û Ø Û Ö Ö ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Ò Ò ÚÓÒ Ò Ú Ö Ð Ø Ñ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ¾ µ Ò ÓÔ Ú Ò Þ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÑÓ Ò Û V Ò Ú ØÓÖ ÒÓ Ñ Òº Å Ø Þ Ò ÓÖÑ Ø ÙÒÒ Ò Û ÓÒÞ ÓÙÛ Ò Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò ÚÓÓÖØÞ ØØ Òº ÎÓÓÖ Ð ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òº ÎÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ð Ø e α = Λ β α e β Ò Ø Ð Ú ÖØ Ò ÓÔ Þ Ð Û Þ e r = Λ x r e x + Λ y r e y = x y ex + ey = cos θ ex + sin θ ey, r r ¾ µ e θ = x y ex + ey = r sin θ ex + r cos θ ey. θ θ ¾ µ Å Ö ÓÔ Ø Û ÖÙ Ò Ø Λ x r = x º ÇÔ Þ Ð Û Þ ÙÒÒ Ò Û Ò Ö ÒØ ÓÔ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ñ Ø r Λ r x = r º ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Þ Ò ÒÚÓÙ Û Ó Ú Ò ÐÐ Ò Ø Ò Ò Ö Û Ð Ò Ü ÓÚ Ò Ó Ò Ò x Ò Û Û Ø Ò Û Ð Ð Û Ò Ò Ø ÖÙ Òº ½¹ÚÓÖÑ Ò Ú Ò Ò Û ÓÔ Ò ÐÓ Û Þ º Ö Ð Ø dp α = Λ α β dp β Ò Ù Ò ÓÓ dθ = x dx θ + θ y dy = 1 r sin θ dx + 1 cos θ dy, ¾ ¼µ r dr = cos θ dx + sin θ dy. ¾ ½µ ÁÒ º ØÖ Ø Ò Û Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ö Û Ö Ø Ú Òº Ï Ø Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÓÓÖ ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ø Ø Ò Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ r Ó θ ÚÓÓÖ Ö Ô Ø Ú Ð dr Ò dθº Å Ö ÓÔ Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ ÇÓ Ð Ò Ø Ò Ú Ò Þ Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÒØº Ï Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ð e θ 2 = e θ e θ = À Ø ÝÑ ÓÓÐ V Ø ÒØ Û Ö Ú Ò Ö Ø Ò Ð Ú Ò Ò Ð ÖÚ Ð Ò Ö Ø Ò Ú Ò ÓÓÖ Ú ØÓÖ V º Ù Ð Ø ( ) V = V α x = dxα d α ds x =. ¾ µ α ds langs de curve Å Ö ÓÔ Ø Û ÒÙ ÚÓÐ Ò ØÙ Ø Ò V = V α en V = V α e α, ¾ µ x α Ò Þ Ò Ø Ù Ø ÖÙ Ò Ò Þ Ð ÜÔ Ò Ó ÒØ Ò V α Òº Ö Ø Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Ö ¹ Ø Ò Ð Ò ØÛ Ö Ø Ò Ú ØÓÖº Ö Ù Ò ÓÑÓÖ Ñ ØÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ö Ø Ò Ð Òº Ï ÑÓ Ò Ö ÐÚ Ö Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ú ØÓÖ Ò V = V = V = dp ds = d ds e α = P x α = x α. ÎÓÓÖ Ò Û ÙÒ Ø Ò ÒØÖÙ ÑØ ÖÙ ÑØ ÓÔ Ô ÒÒ Ò ÓÓÖ Ö Ø Ò Ð Ò ÓÔ ÔÙÒØ Pº Þ Ö Ø Ò Ð Ò Ò Ù ÙÒ Ò ÖÙ ÑØ º ¾ µ ¾ µ

112 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½½¾ ÙÙÖ Ä Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÓÓÖ ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ö Ø ½¹ÚÓÖÑ Òº r 2 sin 2 θ + r 2 cos 2 θ = r 2, ÞÓ Ø Ð Ò Ø Ú Ò e θ ØÓ Ò ÑØ Ñ Ø Ö Ø Ò ØÓØ ÓÓÖ ÔÖÓÒ º Ï Ò Ù ÓÓ Ò Ò Ñ Öº Ö Ð Ø e r = 1, dr = 1, e θ = r, dθ = r 1 º ÒÔÖÓ ÙØ Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø Ö Ò ÓÑ Ø Û Ñ ØÖ Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò (x,y) ÒÒ Ò e x e x = e y e y = 1 Ò e x e y = 0º ÁÒ Ø Ò ÓÖÒÓØ Ø Ø g( e α, e β ) = δ αβ ÚÓÓÖ ÖØ Ó Ö Ò Ø Òº Ñ ØÖ Ø Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò g α β = g( e α, e β ) = e α e β Ò Ø Ð Ú ÖØ grr = 1 g θθ = r 2 Ò g rθ = 0º Ï ÙÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò g ÓÓ Ö Ú Ò Ð ( ) 1 0 (g αβ ) pool = 0 r 2 en ook d l d l = ds 2 = dr e r + dθ e θ 2 = dr 2 + r 2 dθ 2. ¾ ¾µ Ð Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ø Ð Ò Ø Ú Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ Ò ÓÒ Ò Ð Ò Ú ÖÔÐ Ø ¹ Ò d l Ø Ò Ò Ò Ñ Ò Ö ÓÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ø Ð ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ d l Ø ØÓÒ Òº Ñ ØÖ Ø Ò ÒÚ Ö (g αβ ) pool = ( r 2 ) 1 = ( r 2 ), ¾ µ Û ÖÑ Ð Ø Ø g rr = 1 g rθ = 0 Ò g θθ = 1/r 2 º Ï ÙÒÒ Ò Ø ÖÙ Ò ÓÑ Ò Ð Ò Ø Ñ Ò ØÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Òº ËØ Ð ÚÓÓÖ Ð Ø φ Ò Ð ÖÚ Ð Ò dφ Ö Ö ÒØ Ò Ø Ú ØÓÖ dφ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ( dφ) α = g αβ φ,β en dus { ( dφ) r = g rβ φ,β = g rr φ,r + g rθ φ,θ = φ r ( dφ) θ = g θβ φ,β = g θr φ,r + g θθ φ,θ = 1 φ r 2 θ Ù Ø ÖÛ Ð (φ,r, φ,θ ) ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Þ Ò Ø Ú ØÓÖ Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò (φ,r, φ,θ /r 2 )º ÇÒ Ò Ø Û Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Þ Ò Þ Ò Û Ø Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ò Ú Ò Ó Ö ½¹ÚÓÖÑ Òº ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Þ Ò Ò Ó Ö Ò Ø Ò Û ÖÚÓÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ØÞ Ð Þ Ò Û ÒØ Ò Ð Ø Ø g αβ = diag(1,1)µº º¾ Ì Ò ÓÖ ÐÙÐÙ ËØ Ð Û Ò Ò Ú ØÓÖ V Û ÖÚ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α Ú Ò Þ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð { e α }º Ï Û ÐÐ Ò ÒÙ Ð Ú Ò Þ Ú ØÓÖ Ô Ð Òº Ö Ð Ø V = V α e α V x β = V α x β e α + V α e α x β, ¾ µ ¾ µ Û Ö β Ð Ò 0 Ó 1 Øº Ð Ø Ø Ø ÖÑ ÛÓÖ Ø Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÓÓÖ Ø Ú ØÓÖ Ò Ò Ø ÓÚ Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ Ó Ú Ò Ø Þ Òº ÇÑ Ø e α / x β Þ Ð Ò Ú ØÓÖ ÙÒÒ Ò Û Þ Ö Ú Ò Î ÖÛ Ö dr Ò dθ Ò Ø Ñ Ø ½¹ÚÓÖÑ Ò dr Ò dθº À Ø Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò d l Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ò ³ Ø ÒØ ÓÒ Ò Ð Ò ³º

113 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½½ Ð Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò Ú ØÓÖ Òº À ÖØÓ ÒØÖÓ Ù Ö Ò Û Ø ÝÑ ÓÓÐ Γ µ αβ Ó ÒØ Ò Ò Ø Ù Òº Ö Ð Ø e α x β = Γµ αβ e µ. ÓÑ ¾ µ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ú Ò Γ µ eα αβ Ø Ø µ¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÚÓÓÖ Ø ÐØº Ø Ó Ø Ø x β Ò Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÓÐ Ò Ø Ö Ò Ö Ø αµ Ø Ú ØÓÖ Ò ÛÓÖ Ø Ö ÒØ Ö ØÛ βµ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Û ÖÒ Ö ÛÓÖ Ø Ö ÒØ Ö Ò Ö µµ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ö ÙÐØ Ö Ò Ð Ú ØÓÖ Òº ÐÐ Ò Ò Ò Ø Ö Ö Ö Ò Ò Ö ØÞ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ðº Å Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ò Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò ÙÒÒ Ò Û Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ö Ú Ò Ð V x β = V α x β e α + V α Γ µ αβ e µ. ¾ µ Ð Ø Ø Ø ÖÑ Ú Ø ØÛ ÓÑÑ Ø ÓÚ Ö α Ò µµ Ò Ð Û ÓÖ Ò ÙÑÑ Ò ÖÐ Ð Ò Ú Ò Ò Û V x β = V α x β e α + V µ Γ α µβ e α ( ) V V α x β = x β + V µ Γ α µβ e α. ¾ µ Ï Þ Ò Ø Ø Ú ØÓÖÚ Ð V / x β ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α + V µ Γ α x β µβ Øº Å Ö ÓÔ Ø Û ÚÓÓÖ V Ô ÖØ Ð Ð Ò Ö ÓÑÑ ¹ÒÓØ Ø ÖÙ Ò α = V α x β,β º Ï Ò Ö Ò Ò Ò ÙÛ ÒÓØ Ø V α ;β V α,β + V µ Γ α µβ V x β = V α ;β e α. ¾ µ ÆÙ V Ò Ú ØÓÖÚ Ð Ð Û Ò Ü β ÓÔÚ ØØ Ò Ð Ò Ú Ø Ø Ðº Þ Ò Ü Ò Ø Ö x β Ñ Ö Û Ö Ò ÒÒ Ñ Ò Ò Û ÙÒÒ Ò V Ò ÓÓ ÓÙÛ Ò Ð Þ Ò Ó Ö Ñ Ø Ò ( ) x β 1 1 Ø Ò ÓÖÚ Ð Ø Ú ØÓÖ eβ Ð Ø ÓÔ Ú ØÓÖ V º Ø Ø Ò ÓÖÚ Ð ÛÓÖ Ø ÓÚ Ö ÒØ x β Ð Ú Ò V ÒÓ Ñ Ò Ò Ù Ñ Ø V º À Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Þ Ò ( V ) α β = ( β V ) α = V α ;β. ¾ ¼µ ÇÔ Ò ÖØ Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ò V α,β ÓÑ Ø Ò Ú ØÓÖÚ Ð Ò Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ Þ Òº ÇÔ Ò ÖÓÑ ÑÓ Ø Ò Û Ö Ò Ò ÓÙ Ò Ñ Ø Ð Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ö Ò Û V α ;β Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò V Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Û Ö Ò Ì Ö Ú Ö Ð Ö Ò Ò Û ÓÚ Ö ÒØ Ð Û Ö Ð Ò ÓÑ ØÖ Ó Ø Ø Û Ð Þ Ò Ð Ò ÔÔ Ö Ø Ñ Ø Ö Ð ÙÚ Òº ÇÔ Ð ÔÙÒØ P Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ø Þ Ò Ö Ð ÔÔ Ö Øº ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ø ( σ, V (P), u) < σ, u V >º Ï ØÓÔÔ Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ ½¹ÚÓÖÑ σ Ò Ø Ò ÒØÖÙ ÑØ Ø Ø ÓÔ ÔÙÒØ P Ò Ö Ø Ð Ù º ÁÒ ØÛ Ð Ù ØÓÔÔ Ò Û Ò Ú ØÓÖÚ Ð V (P) Ø Ò ÓÑ Ú Ò Ú Ò P Ò Ö º Ì Ò ÐÓØØ ØÓÔÔ Ò Û Ò Ö Ð Ù Ò Ú ØÓÖ u Þ Ò Ø Ò ÒØÖÙ ÑØ Ú Ò ÔÙÒØ P Ú Ò Øº Í Ø Ñ Ò ÖÓÐØ ÒÙ Ò Ø Ð Ø Ø ÒÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ð u V Ú Ò Ø Ú ØÓÖÚ Ð V Ò Ö Ø Ò Ú Ò u Ñ Ø ½¹ÚÓÖÑ σº Â ÙÒØ u V Þ Ò Ð Ñ Ø Ú Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò V Ð Ò Ú ØÓÖ uº Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ Ò Ö ÓÑ ÖÒ Ö Ø Ò ÓÑ Ö Ø Ð Ù Ð Ø Ð Ø Òº Ï Ö Ò Ò Ò Ò ÙÛ Ú ØÓÖÚ Ð (..., V (P), u) u V Ù Ø Ø ÓÙ Ú ØÓÖÚ Ð V º Ï ÒÓ Ñ Ò Ø ÓÚ Ö ÒØ Ð Ú Ò Ø Ú ØÓÖÚ Ð V Ð Ò Ú ØÓÖ uº Ì Ò ÐÓØØ ( Ö Ò ) Ö Ñ Ò Ö ÓÑ Þ Ø Ò Û Ð Ø Ò ÞÓÛ Ð Ö Ø Ð Ö 1 Ð Ù Ð º Ï Ö Ò ÒÙ Ò Ø Ò ÓÖÚ Ð (..., V 1 (P),...) V Ù Ø Ø ÓÖ Ò Ð Ú ØÓÖÚ Ð V º Ø ÒÓ Ñ Ò Û ÓÚ Ö ÒØ Ð Ó Ö ÒØ Ú Ò Ø Ú ØÓÖÚ Ð V º

114 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½½ Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ö Ö Ö Òº Ö Ø Ø Ò Ò Ð ( ) 1 1 Ø Ò ÓÖ Û V ÒÓ Ñ Òº ÁÒ ÖØ ¹ Ó Ö Ò Ø Ò Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ò V α º ÁÒ Ð Ñ Ò Ó Ö Ò Ø Ò {x µ } ÛÓÖ Ò x β ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α ;β ÒÓ Ñ º Ï ÙÒÒ Ò Þ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÔ ÚÓÐ Ò Ñ Ò Ö Ò Ú Ò Ò µ Ö Ò Þ Ö Ø Ù Ø Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ø Ò ÒÒ Ú Ö Ø Ú Ò Ö ØÓ Ð¹ ÝÑ ÓÐ Ò ÚÓÓÖ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ó µ Ú Ö Ö Þ Ú ÖÙ Ð Ø Ò ÓÖØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú ÒÙ Ø Ò ÖØ Ý Ø Ñ Ò Ö {x µ }º Ï ÑÓÒ ØÖ Ö Ò Ö Ø Ñ Ø Ó Ò Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ð Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òº ÎÓÓÖ Ð Ø Ò ÓÖ ÐÙÐÙ Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òº ÁÒ ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ø Ú ØÓÖÚ Ð e x ÓÒ Ø ÒØ ØÞ Ð ÓÔ Ð ÔÙÒØº ÁÒ ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ø Ø Ú Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò e x (Λ r x,λ θ x) = (cos θ, r 1 sin θ)º Þ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Þ Ò Ù Ð Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÛ Ð e x Ø Û Ð º Ø ÓÑØ ÓÑ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ö Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ º Ð Û Þ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÞÓÙ Ò Ö ÒØ Ö Ò Ò Ö Þ θ Ò Ú Ò Ò Û Þ Ö Ò Ø e x/ θ Û ÒØ Ø ÒØ Ð Ø Þ Ò Ò ÒÙÐº Ï Þ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ð Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ð Ú Ò Ú ØÓÖ ÓÔÐ Ú ÖØº Ï Ò Ò ÓÓ Ò Ø¹ÓÒ Ø ÒØ Ú ØÓÖ Ò Ø Ö ÒØ Ö Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ñ Ø Ú Ö Ð Ò ¾ µº ÇÑ Ø ÖØ Ú ØÓÖ Ò e x Ò e y ÓÒ Ø ÒØ Ú Ð Ò Þ Ò Ò ÙÒ Ð Ò Ù Ú Ö Û Ò Òµ Ú Ò Ò Û Ú ÒÞÓ Ú Ò Ò Û r er = (cos θ ex + sin θ ey) = 0, r θ er = (cos θ θ ex + sin θ ey) = sin θ ex + cos θ ey = 1 e r θ. r e θ = r ( r sin θ ex + r cos θ ey) = sin θ ex + cos θ ey = 1 r e θ, θ e θ = r cos θ e x r sin θ e y = r e r. Ï ÙÒÒ Ò ÒÙ Ð e x/ θ Ù ØÖ Ò Ò Ò Ú Ò Ò θ ex = (cos θ θ) er + cos θ ( er) ( 1 sin θ) e θ θ r θ 1 sin θ e r θ θ = sin θ e r + cos θ ( 1 e ) r θ 1 cos θ e r θ 1 ¾ µ sin θ( r er). r Î Ö ÒÚÓÙ Ò Ð Ú ÖØ e x/ θ = 0 ÞÓ Ð Û Ú ÖÛ Ø Òº Ï ÙÒÒ Ò ÓÓ Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ö Ò Ò Ò Ú Ò Ò ¾ ½µ ¾ ¾µ (1) (2) (3) (4) e r = 0 Γ µ r rr = 0 voor alle µ, e r = 1 e θ r θ Γ r rθ = 0, Γ θ rθ = 1, r e θ = 1 e r r θ Γ r θr = 0, Γ θ θr = 1, r e θ = r e θ r Γ r θθ = r, Γ θ θθ = 0. Ï Þ Ò Ø ÐÐ Ò Ò Ö ØÞ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ö Ö Ö Òº ÓÚ Ö ÒØ Ð Ú Ö ÐØ ÐÐ Ò Ú Ò Ô ÖØ Ð Ð Ð Ú ØÓÖ Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Þ Òº Ò Ð ÖÚ Ð φ Ò Ø Ø Ö Ò Ø Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ù Ö ÓÚ Ö ÒØ Ð Ð Ò Ö Ô ÖØ Ð Ð Ò Ø Ö ÒØ ¾ µ α φ = φ/ x α ; φ = dφ. ¾ µ Î ÖÚÓÐ Ò ÓÙÛ Ò Û Ú Ö ÒØ Ò Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Òº ÁÒ ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ö ÒØ Ú Ò Ò Ú ØÓÖ V α Ð Ò V α,αº Ø Ò Ø Ð Ð ÖÚ Ð µ Ø Û Ö Ò ÓÓÖ ÓÒØÖ Ø Ú Ò Ò Ú Ò V α β º Þ ÓÒØÖ Ø Ø Ø Ð Ù µ Ò Ø Ò Ø Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Û ÙÒÒ Ò Ú Ö ÒØ Ú Ò V Ò ÓÓ Ù ØÖ Ò Ò Ò Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò {x µ } ÓÓÖ Û Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò V Ø ÓÒØÖ Ö Ò ÓÚ Ö Ö ØÛ Ò º À Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ø Ð Ñ Ø Û Ö V α ;α º À Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Þ Ò Ø Ø ØÞ Ð Ø Ð Ð V α,α Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Òº Ù V α,α = V α ;α, ¾ µ Û Ö Ò ÞÓÒ Ö ÒØ Ò Ö Ö Ö Ò Ò Ö ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ø ÖÛ Ð Ñ Ø Ò¹ Ø Ò Ö Ö Ö Ò Ò Ö Ò Û ÐÐ ÙÖ Ý Ø Ñº

115 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½½ Ï ÐÐ Ø Ð Þ Ö Ú ÖØÖÓÙÛ Ö Ñ Ø Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ú Ö ÒØ Ú Ò Ö ÒØº Î Ö Ð Ò ¾ µ Ø Ú Ö ÒØ Ú Ò Ò Ú ØÓÖ Ø ÖÛ Ð Ö ÒØ Ò ½¹ÚÓÖÑ º Ï Ò Ò Þ ½¹ÚÓÖÑ Ù Ö Ø ÓÑ Ø Ö Ú Ò Ò Ò Ú ØÓÖº Ï ÞÙÐÐ Ò Ø Û Ö Ù ØÛ Ö Ò Ò Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ð Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òº ÎÓÓÖ Ð Ú Ö ÒØ Ò Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òº ÁÒ ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ò Û ÚÓÓÖ Ú Ö ÒØ V α ;α = V r r + V θ θ + 1 r V r = 1 r r (rv r ) + θ V θ, Û Ö Û Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ ¹ ÖÙ Ø Òº Ì Ò Ò Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ú Ò Ò Ø ÖØ Ò Û Ñ Ø Ò Ð ÖÚ Ð φ Ò Ô Ð Ò Û Ú ØÓÖ Ö ÒØº Ø Ö ÙÖ Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µº Ï ÚÙÐÐ Ò Þ Ú ØÓÖ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ò Ú Ò Ò φ 2 φ = 1 r r ( r φ r ) + 1 r 2 2 φ θ 2. Ø Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÙÐ ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ò Þ ÒØ Ò 2 φ = 2 φ x φ y 2. Ì Ö ÖÓÒ Ò Ò Û Ð Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ó Ö ¹ÓÖ Ø Ò ÓÖÚ Ð Òº ÇÑ Ð Ú Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÖÙ Ò Û Ò Ô Ø Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ú ØÓÖ Ñ Ò Ò Ð Ö Ú Òº Ù Ð p Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò V Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ú Ò β β p ÓÓ Ò ½¹ÚÓÖÑ βv Ò Ú ØÓÖ Ò < p, V > φ Ò Ð Öº ÁÒ Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÛÓÖ Ø Þ Ð Ö Ö Ú Ò Ð φ = p α V α º ÖÓÑ Ð Ø ÚÓÓÖ β φ ÚÓÐ Ò ÔÖÓ ÙØÖ Ð ÚÓÓÖ Ð Ò β φ = φ,β = p α x β V α + p α V α x β. ¾ µ ¾ µ ¾ µ ¾ ¼µ Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ ÖÙ Ò ÓÑ V α / x β Ø Ú ÖÚ Ò Ò ÓÓÖ V α ;β Ø Ò ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ Ò Þ Ò Ú Ò βv Ò Ú Ò Ò β φ = p ( ) α x β V α + p α V α ;β p αv µ Γ α µβ = pα x β p µγ µ αβ V α + p α V α ;β, ¾ ½µ Û Ö Û Ò Ð Ø Ø Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ú ÖÛ Ð Ò Ò ÙÑÑ Ò Ò Ö Ò Ñ Ò Ú Òº Î Ò Ö Ø ÖÑ Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò Û Ø Ò Û Ø Ø Ò Ø Ò ÓÖÓÑÔÓÒ ÒØ ÚÓÓÖ Û ÐÐ ÙÖ V ÐÚ Ú Ò ØÙ Ò º ÇÑ Ø Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ò ÓÔØ ÐÐ Ò Ú Ò Ø Ò ÓÖ¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÐØ Ò ÙÛ Ø Ò ÓÖ Ò ÓÔÐ Ú ÖØ ÑÓ Ø Ø ÞÓ Þ Ò Ø Ø ÖÑ ØÙ Ò ÓÓ Ò Ø Ò ÓÖ º Ø ÓÚ Ö ÒØ Ð Ú Ò pº Ö Ð Ø Ù Î Ö Ö Ð Ø ( β p) α ( p) αβ p α;β = p α,β p µ Γ µ αβ. ¾ ¾µ β (p α V α ) = p α;β V α + p α V α ;β. ¾ µ Ï Þ Ò Ø ÓÚ Ö ÒØ Ö ÒØ Ö Ò Ò Þ Ð ÓÓÖØ ÔÖÓ ÙØÖ Ð ÚÓÐ Ó Ø Ð Ú Ö Ð Ò ¾ ¼µº Ø Ò ÓÓ Ò Ø Ò Ö Û ÒØ Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ø ÚÓÓÖ Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ö Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº Ï ÙÒÒ Ò ÒÙ ÚÓÐ Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ú Ö Ð Ò V α ;β = V α,β + V µ Γ α µβ, p α;β = p α,β p µ Γ µ αβ, ¾ µ

116 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½½ Ò Þ Ò Ò Ð ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ø Ò Ò Ò Ð Ú Ö ÐÐ Òº Ï Ö ÒÒ Ö Ò ÓÒ Ø Ð Ø Ø Ò Ü Ú Ò Ø Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÓÐ Ö ÒØ Ø Ò Ü º Ø Ø ÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ò Ñ Ø Ñ ØÖ Ò Ö ÓÚ Ò Ó Ò Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ð º Ï Ø Ö Ò ÒÓ ÓÚ Ö Ð Ø Ø Ø ÒÚ Ö Ðº À Ö ÐÔØ Ø ÓÑ Þ Ø Ö ÒÒ Ö Ò Ø Γ α µβ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ð Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Òº À Ø Ð Ø ÖÓÑ Ö Ð Ø Ú ÖÓÒ Ö Ø ÐÐ Ò Ø Γ µ αβ Ø Ñ Ò Ø Ñ Ø Ð Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Òº Ø ÒÚ Ö Ò Ö Ò Ù Ø ÖÓÔ Ø ½¹ÚÓÖÑ Ò Ø Ò¹ ÓÚ Ö Ø Ð Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ò Ö Ð Ð Û Ò Ø ÓÒØÖ Ø < ω α, e β >= δ α β Ò ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ø Ð ÒÙÐº Þ Ð ÔÖÓ ÙÖ Ð Ø ÓÓ ØÓØ β T µν = T µν,β T αν Γ α µβ T µαγ α νβ ; β A µν = A µν,β + Aαν Γ µ αβ + Aµα Γ ν αβ ; β B µ ν = B µ ν,β + Bα ν Γµ αβ Bµ αγ α νβ. ¾ µ Ï Þ Ò Ø Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ò Ô Ð Ý Ø Ñ Ø Òº Ó Ö Ò Γ Ø ÖÑ ÚÓÓÖ Ð Ò Ü Ò ÓÚ Ò Ò Ü ÛÓÖ Ø Ð Ò Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ò Ü Ð Ò ½¹ÚÓÖÑº º Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ò Ñ ØÖ À Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ø Û Ò ÚÓÖ Ø ÔÖÓ Ò Ò Ø Ò Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ ÖÙ Ø Ò Ø ÓÔ Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ð Òº Ñ ØÖ Ò Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò ÓÑ Ö Ò Û Ú ÖÛ Ø Ò ÖÓÑ Ø Þ Ò ÖÓÐ Ô ÐØ Ò Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò ÙÒ Ð Òº ÁÒ Ø Ú Ð Ú Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ö Ú ØÓÖ Ð Ò ÓÑ Ø Ò ÐÐ Ò Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ð Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÑÓ Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ð Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ú ØÓÖ Ð Þ Ò Ò Ð Öº Ø Ø ÒØ Ø Ð V Ò Û ÐÐ ÙÖ Ú ØÓÖ Ò Ṽ = g( V, ) Ö Ò Ö Ð Ø Ö ½¹ÚÓÖÑ Ò Ð Ø Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò β Ṽ = g( β V,...). ¾ µ ÓÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ò Ø Ò ÓÖÚ Ö Ð Ò Ò ÑÓ Ø Ù Ð Ò Ò ÐÐ Ó Ö Ò Ø Òº Ï ÓÒ¹ ÐÙ Ö Ò Ø V α;β = g αµ V µ ;β, ¾ µ Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µº Ð Ö ÓÚ Ò ÚÓÐ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ò Ø ÚÖ Ò Ò ÙÒÒ Ò Û Ö Ñ Ø Ú Ö Ð Ò Ò ÒÓ Ò ÓÓÖ Ò ÐÓÔ Òº Ò α β γ ººº Ú Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ø ÖÛ Ð Ò Ñ Ø ÒØ Ò α β γ ººº Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ú Òº Ï ÒÒ Ò Ñ Ø Ø Ø Ø Ñ ÒØ V α = g α µ V µ Ø Ð Ò Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ðº Ø Ö Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ð Ø g µν = δ µν Ò V α = V α º ÆÙ Ø ÓÓ ÞÓ Ø Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò ÐÐ Ñ Ð Ð Þ Ò Ò ÒÙÐº Ù Ò Û V α;β = V α,β Ò V α ;β = V α,β º Ï ÙÒÒ Ò ÖÓÑ ÓÒÐÙ Ö Ò Ø V α;β = V α ;β ÐÐ Ò Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Òº ÇÑ Ø ÓÑ Ø Þ ØØ Ò Ò Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ò ÐÐ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ö Ò Û ÓÔ Ø Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ð Ø Ø V α ;β = g αµv µ ;β ÞÓ Ø ÓÓ Û Ö Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ð Ø Ø V α;β = g αµ V µ ;β º Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ø Ò ÓÖÚ Ö Ð Ò ÞÓ Ø Ð ÖÚ Ò Ò Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ð Ò ÐÐ Ø Ð Ð ÑÔÐ ÖØº Ï Ú Ò Ò Ò Û Ö Ú Ö Ð Ò ¾ µ V α ;β = g α µ V µ ;β. ¾ µ

117 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½½ ÓÚ Ò Ø Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ú ÖÖ Ò ÓÒ ÕÙ ÒØ º Ð Û β ÓÚ Ö ÒØ Ð Ò Ñ Ò Ú Ò V α = g α µ V µ Ú Ò Ò Û V α ;β = g α µ ;β V µ + g α µ µ V ;β. ¾ µ Ð Û Ù Ø ÖÙ Ò ¾ µ Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ¾ µ Ò Ú Ò Ò Û Ø ÑÓ Ø Ð Ò g α µ ;β = 0 ¾ ¼µ Ò ÐÐ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð º Ø Ò Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÒØ Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µº ÁÒ ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò g αµ;β g αµ,β = δ αµ,β = 0 Ò ØÖ Ú Ð ÒØ Ø Øº Ø Ö Ò Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ò Ø ÞÓ ÚÓÓÖ Ò Ð Ò º Ø Ð Ø Ò Û Þ Ò Ò Ò Ú Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òº ÎÓÓÖ Ð Ð Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖº Ï Ø ÖØ Ò Ñ Ø ÔÖÓ ÙÖ Ò ÐÓÓ Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ò Ö Ú Ò g αβ;µ = g αβ,µ Γ ν αµg νβ Γ ν βµg αν, ¾ ½µ Û Ö Ò Ð Ñ Ò Ó Ö Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Òº Ï Û Ö Ò ÒÙ Ò ÒØ Ð Ø ÖÑ Ò Ù Ø Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òº ÚÓÓÖ Ð Ø Ð Ø α = r β = r Ò µ = r Ò Ú Ò Ò Û g rr;r = g rr,r Γ ν rrg νr Γ ν rrg rν. ¾ ¾µ ÇÑ Ø g rr,r = 0 Ò Γ ν rr = 0 ÚÓÓÖ ÐÐ ν Ø ØÖ Ú Ð Ð Ò ÒÙÐº Æ Ø ÞÓ ØÖ Ú Ð α = θ β = θ Ò µ = rº Ò Ú Ò Ò Û g θθ;r = g θθ,r Γ ν θrg νθ Γ ν θrg θν. ¾ µ Å Ø g θθ = r 2 Γ θ θr = 1 r Ò Γr θr = 0 ÛÓÖ Ø Ø g θθ;r = (r 2 ),r 1 r (r2 ) 1 r (r2 ) = 0, ¾ µ Ò Û Þ Ò Ø Ø Û Ö Øº À Ø Ð Ò Ö Ò Ø Þ Ò Ø Ø Ö Ø ÚÓÐ Ø Ù Ø Ø Ø Ø g αβ,µ = 0 Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ø g αβ;µ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Þ Ò Ú Ò Þ Ð Ø Ò ÓÖ g Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Òº Ï Ø Û Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ø ÒØÖÓ Ù Ö Ò Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ö ÒØ Ø Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò ÓÓÖ ÓÒÞ ÒÒ Ú Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ø ÖÙ Òº Ï Ò Ð Ø Ò Þ Ò Ø Ñ ØÖ Ú Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ ÓÚ Ö ÒØ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ö Ð Ò ¾ ¼µº Ð Û ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ò Ò Ò Ð Ò Þ Ð Ð Ò Ø Ú Ö Ð Ò ¾ ¼µ ÒÓ Ø Ð Ò Ù ÓÓ ÐÐ ÓÒ ÕÙ ÒØ ÖÚ Ò Û ÒÙ Ò ÔÖ Òº º º½ Ö Ò Ò Ú Ò Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ù Ø Ñ ØÖ Î Ö Ð Ò µ Ð Ø ØÓØ Ò Ù Ø Ö Ø Ð Ò Ö Ö ÙÐØ Ø Û ÙÒÒ Ò Þ Ú Ö Ð Ò ÖÙ Ò ÓÑ g αβ,µ Ø Ô Ð Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Γ µ αβ º À Ø ÓÑ Ö Ð Ø ÓÓ Û Ö Ø Þ Ò Γµ αβ Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò g αβ,µ º Ø Ø Ò ÒÚÓÙ Ñ Ò Ö ÓÑ Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ù Ø Ø Ö Ò Òº Ï ÑÓ Ø Ò Ö Ø Ø Ö Ö Ð Ø Γ µ αβ Γµ βα Û Þ Ò Ð Ø Ò Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ðº ÇÑ Þ ÝÑÑ ØÖ Ø Û Þ Ò ÓÙÛ Ò Û Ò Û ÐÐ ÙÖ Ð ÖÚ Ð φº Ö Ø Ð φ Ò ½¹ÚÓÖÑ Ñ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò φ,β º ØÛ ÓÚ Ö ÒØ Ð φ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò φ,β;α Ò Ò ( ) 0 2 Ø Ò ÓÖº ÁÒ ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Þ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò φ,β,α x α x β φ ¾ µ Ò Û Þ Ò Ø Þ ÝÑÑ ØÖ Þ Ò Ò α Ò β ÓÑ Ø Ô ÖØ Ð Ð Ò ÓÑÑÙØ Ö Òº Ø Ö Ð Ò Ø Ò ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò ÐÐ º Ù Ð Ø φ,β;α = φ,α;β ¾ µ

118 ÏÁËÃÍÆ ÁÁ ¹ ÃÊÇÅÄÁÂÆÁ Ç Ê ÁÆ Ì Æ ½½ Ò Ð º ÖÙ Ñ Ò Ú Ò Ò Ø Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò ¾ ¾µ Ð Ú ÖØ φ,β,α φ,µ Γ µ βα = φ,α,β φ,µ Γ µ αβ ¾ µ Ò Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñº Å Ö Ö Ð Ø φ,α,β = φ,β,α Ò Ø Ð Ú ÖØ Γ µ αβ φ,µ = Γ µ βα φ,µ ¾ µ ÚÓÓÖ Û ÐÐ ÙÖ φº À ÖÑ Û Þ Ò Ø Ò Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Γ µ αβ Γµ βα. ¾ µ Ï ÖÙ Ò ÓÚ Ò Ø Ò ÝÑÑ ØÖ ÓÑ Ú Ö Ð Ò µ Ø ÒÚ ÖØ Ö Òº Ø Ø Ú Ò Ò ÑÓÓ ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ú Ò Ö Ò Ü¹Ñ Ò ÔÙÐ Ø º À ÖØÓ Ö Ú Ò Û Ú Ö Ð Ò µ Ò Ö Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ò g αβ,µ = Γ ν αµg νβ + Γ ν βµ g αν, g αµ,β = Γ ν αβ g νµ + Γ ν µβ g αν, g βµ,α = Γ ν βα g νµ Γ ν µαg βν. ¼¼µ Ï Ø ÐÐ Ò Þ ÓÔ ÖÓ Ô Ö Ò Ø ÖÑ Ò ÖÙ Ò ÝÑÑ ØÖ Ú Ò g g βν = g νβ Ò Ú Ò Ò g αβ,µ + g αµ,β g βµ,α = (Γ ν αµ Γ ν µα)g νβ + (Γ ν αβ Γν βα )g νµ + (Γ ν βµ + Γν µβ )g αν. ¼½µ ÁÒ Þ Ú Ö Ð Ò Ú ÐÐ Ò Ö Ø ØÛ Ø ÖÑ Ò Ö Ø Û Ú ÒÛ ÝÑÑ ØÖ Ú Ò Γ Ò Ú Ò Ò Û g αβ,µ + g αµ,β g βµ,α = 2g αν Γ ν βµ. ¼¾µ Ð Ò ÓÓÖ ¾ Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ñ Ø g αγ Ò ÓÑÑ Ö Ò ÓÚ Ö αµ Ò ÖÙ Ñ Ò Ú Ò g αγ g αν δ γ ν Ð Ú ÖØ Γ γ βµ = 1 2 gαγ (g αβ,µ + g αµ,β g βµ,α ). ¼ µ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ô ÖØ Ð Ð Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò gº Ï Ú Ò Û Ö Ò ÓÖØ ÑÓÒ ØÖ Ø ÚÓÓÖ ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òº ÎÓÓÖ Ð Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ò Ñ ØÖ ÁÒ ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ð Γ θ rθ = 1 2 gαθ (g αr,θ + g αθ,r g rθ,α ). ¼ µ ÇÑ Ø g rθ = 0 Ò g θθ = r 2 Ú Ò Ò Û Γ θ rθ = 1 2r 2 (g θr,θ + g θθ,r g rθ,θ ) = 1 2r 2 g θθ,r = 1 2r 2 (r2 ),r = 1 r. Ø ØÞ Ð Ö ÙÐØ Ø ÚÓÓÖ Γ θ rθ Ø Û Ð Ö Ö Ò Ð º Þ Ö ÒÑ Ø Ó ÓÓ Ð Ò ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Òº ¼ µ

119 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½½ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÊÙ ÑØ Ø Ò Ú Ö Ø Ø ÓÒØ ÒÙ Ò Ö ÒØ Ö Ö º Ø Ø ÒØ Ø Û ÚÓÓÖ Ð Ò Ð ÖÚ Ð ÙÒÒ Ò Ò Ö Ò Û ÖÚ Ò Ò ÓÔ Ð ÔÙÒØ Ð Ò Ô Ð ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Òº À Ø Ø ÒØ ÓÓ Ø Û ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖ Ò ÙÒÒ Ò Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ò Ô Ð ÔÙÒØ P Ú Ò Ú Ö Ø Ø Þ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò {φ,α } ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑº Ð Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÚÓÖÑ {aφ,α + bψ,α } Ñ Ø a Ò b ÙÒØ ÓÓ Ò ½¹ÚÓÖÑº Ð ÙÖÚ Ñ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö λµ Ø Ò Ö Ú ØÓÖ V Ò Ø Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ò ½¹ÚÓÖÑ dφ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ò ÑØ Ò Ð Ú Ò φ Ð Ò ÙÖÚ ÔÖÓ Ù ÖØ < dφ, V >= V ( dφ) = dφ dλ. ¼ µ Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò Ú ØÓÖ Ò ÓÓ Û Ö Ò Ú ØÓÖº ÖÙ Ñ Ò Ú Ò ÓÔ Þ Ñ Ò Ö ( Ò Ö ) Ú ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò ÙÒÒ Ò ( ) Û Ò Ð Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ò Ø ØÝÔ M N ÓÔ ÓÙÛ Òº ÇÑ Ø Û ÒÓ Ò 0 2 Ø Ò ÓÖ ÓÞ Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ø Ó Ò Ð Ñ ØÖ Ö ÒÓ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ØÙ Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖ Òº Ï Þ Ò Ø Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÐÐ Ø Ò ÓÖ Ò Ð Ù ØÑ Ø Ú Ò Ö ÒØ Ð ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò Ú Ö Ø Øº ÎÓÓÖ Ø Û Ú Ö Ö Ò Ú ØØ Ò Û Ö Ð Ú Ò Ø Ò ÓÖ Ð Ö ÒÓ Ò Ñ Òº ½º Ò Ø Ò ÓÖÚ Ð Ò ÖØ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÔ Ð ÔÙÒØ P Ú Ò Ú Ö Ø Øº ¾º Î ØÓÖ Ò Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Þ Ò Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÓÔ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ù Ö Ò Ö Ð Ø ÐÐ Òº Ä ¹ Ò Ö Ø ÒØ Ø < p,a V + b W >= a < p, V > +b < p, W > Ò < a p + b q, V >= a < p, V > +b < q, V > +b < q, V > Ñ Ø a Ò b Û ÐÐ ÙÖ Ð Ö Ú Ð Òº º Ì Ò ÓÖ Ò Þ Ò ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÓÔ ½¹ÚÓÖÑ Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ÔÖÓ Ù¹ Ö Ò Ö Ð Ø ÐÐ Òº º Ð ØÛ Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ò ØÞ Ð ØÝÔ Þ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò ÓÔ Ò Ú Ò Ò Ò Þ Þ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÔ ÐÐ Ò Þ Ò Û Ø Þ ÒØ Þ Òº ÁÒ Ø ÞÓÒ Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ ÚÓÓÖ Ò Ô Ð ÒÙÐ Þ Ò Ò Ø Ò ÓÖ Ð Ò ÒÙÐº º Ö Ò ÒØ Ð ØÓ Ø Ò ÓÔ Ö Ø Ñ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ø Ò ÓÖÚ Ð Òº Ö Ð ÓÔ ¹ Ö Ø ÔÖÓ Ù Ö Ò Ò ÙÛ Ø Ò ÓÖ Òº µ Î ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ñ Ø Ò Ð ÖÚ Ð ÔÖÓ Ù ÖØ Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò ØÞ Ð ØÝÔ º µ ÇÔØ ÐÐ Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ØÛ Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ò ØÞ Ð ØÝÔ Ø ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ Ò Ú Ò Ò Ò ÙÛ Ø Ò ÓÖ Ú Ò ØÞ Ð ØÝÔ º ÐÐ Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ò ØÞ Ð ØÝÔ ÙÒÒ Ò Ð Þ Ò Ò Ð Öº µ Î ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ØÛ Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ò Û ÐÐ ÙÖ ØÝÔ Ø ÓÑ¹ ÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ò ÙÛ Ø Ò ÓÖ ÓÑ Ú Ò ØÝÔ Ò Ø Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ Ú Ò ØÛ Ø Ò ÓÖ Òº ( ) µ ÓÚ Ö ÒØ Ð Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò ØÝÔ N M Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø ØÝÔ ( ). N M + 1 µ ÓÒØÖ Ø Ú Ò Ò Ô Ö Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø ØÝÔ ( ) ( ) N ÔÖÓ Ù ÖØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø ØÝÔ N 1. ÓÒØÖ Ø M M 1 ÐÐ Ò Ò Ö ØÙ Ò ÓÚ Ò Ò Ò Ò Ò º º Ð Ò Ú Ö Ð Ò ÚÓÖÑ ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ø ÓÑ Ò Ö Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÖÛ Ð Û ÐÐ Ò ÖÙ Ñ Ò Ú Ò ØÓ Ø Ò Ø Ò ÓÖ Û Ö Ò Ò Ò Ð Þ Ú Ö Ð Ò Ð Ò Ò Ò Ð Ò ÐÐ º

120 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾¼ º½ È Ù Ó¹Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Ø Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÑÓÖ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÔÙÒØ Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò ¹ Ò ÚÓÓÖ Ø Ú Ð Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø µº ÄÓ Ð Þ Ò ÔÙÒØ Ò Ö Ò Ø Ð ÔÙÒØ Ò Ò Ò ÙÐ ¹ ÖÙ ÑØ Ñ Ö Û Ò Ò Ø Ò ÓÒ ÔØ Ô Ö º À Ø ÓÐÙÙØ ÖÙ Ð Ø Û Ò Ñ ØÖ g ØÓ ÚÓ Ò Ò ÓÖÑ Ø Ú Ø ÓÚ Ö Ó Ò Ð ÐÓ Ò ÐÓÔ Ò Ò Û Ø Ø Ò Ò Þ Ò ØÙ Ò ÔÙÒØ Òº ÇÔ Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ ÞÓÙ Ò Û Ò Ñ ØÖ Ô Ð Ò ÓÓÖ Ð Ò Ú ØÓÖ Ò P ÓÔ Ø Ö ÓÔ¹ Ô ÖÚÐ Ø Ø Ò Òº Î ÖÚÓÐ Ò Þ Ò Û Ø Ð Ò Ø Ú Ò Ú ØÓÖ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ø ÒÔÖÓ ÙØ P P P 2 = (lengte van P) 2, ¼ µ Ò ÖÙ Ò Û Ò Ñ ØÐ Ø ÓÑ Ø Ø Ô Ð Òº Ï Ò ÒÙ Ò Ò Ø Ú Ò Ø ÒÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ò Ð Ò Ú ØÓÖ Ñ Ø Þ Þ Ð º Ï ÖÙ Ò Ð Ò Ö Ø Ø ÓÑ Ò Ö Ñ ÖÓ Ó¹ Ô Ú ØÓÖ Ò Ø Òº Î ÖÚÓÐ Ò ÙÒÒ Ò Û Ò Ò Ø Ö Ò ÚÓÓÖ Ø ÒÔÖÓ ÙØ Ú Ò ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ò ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò A B = 1 [ ( A 4 + B) 2 ( A B) 2]. ¼ µ ÃÓÖØÓÑ Ð Ò Ø Ò ÓÒ ÔØ Ø Ò Ñ ØÐ Ø ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö µ Ò ÙÒ Ò ÒÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ò Ò ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ñ ØÖ Û ÒØ Ø Ò Ø Ò Ö Ò g( A, B) ( A B) = g( B, A)º Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ ÝÑÑ ØÖ ºµº Ò Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ð ÜØÖ ØÖÙØÙÙÖ Ò Ñ ØÖ ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Øº raakvlak P h R a d ÙÙÖ Ä Ò ÓÔ Ð ÔÙÒØ P Ú Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö Ú Ò Ø Þ Ò Ö ÖÙ ÑØ Ò Ø Ú Ð Ò Ö ÚÐ µ Ö Ø Ø Ö ÚÐ Ò Ó Ð Ò Ò Ò Ú Ò ÔÙÒØ Pº Ï Û ÐÐ Ò ÒÙ Ò Ñ ØÖ ØÓ ÒÒ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º À ÖØÓ ÒØÖÓ Ù Ö Ò Û Ò ÐÓ Ð ÐÓ¹ Ö ÒØÞ Ö Ñ ÄÄ µº Ø Ó Ò Û ÓÓÖ ÓÔ ÔÙÒØ P Ò ÚÖ Ú Ð Ø Òº À Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Þ Ø Ò Ø ÐÐ Ø Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ö Û Ò Ò Ò Ø Û ÐÓ Ð Ñ ØÖ Ú Ò Ô ¹ Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ú Ò Òº Ø Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ º Ï ÙÒÒ Ò ÓÔ Ð ÔÙÒØ P Ú Ò Ú Ö Ø Ø Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Þ Ò Û Ö Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ð Øº Ì ÖÛ Ð Ø Ò ËÊÌ ÓÓ Ò ÐÓ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Þ Ò Ø ÐÐ Ò ÐÓ Ð ÑÓ Ð Ò Ð Ñ Ò

121 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾½ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º À ÖÑ Ò Û ÓÔ Ð ÔÙÒØ P Ò Ò Ø Ú Ò Ð Ò Ø ÚÓÒ Ò Ñ Ø g µν = η µν ds 2 = η µν dx µ dx ν º ÁÒ ÒØ Ö Ú Ò Û ÒÙ ËÊÌ ÓÔ ÔÙÒØ P Ò Ò Û Ò Ñ Ø ÓÑ Ð Ò Ø Ò Ú Ò Ø Ú Ò Ò ÒØ Ò Ú Ò Ð ÐÓ Ò Ø Ô Ð Òº ÁÒ Ò ÄÄ ÛÓÖ Ø Ñ ØÖ Ú Ò ÓÓÖ η µν = diag( 1,+1,+1,+1)º ÎÓÓÖ Ò Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Ø Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò ÔÓ Ø Ø Þ Òº Ò ØÙÙÖ ÓÑ Ú Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÓÔ ÓÒ Ðµ Ú Ò Ñ ØÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø +2 Ò Û ÔÖ Ò Ú Ò Ò Ô Ù Ó¹Ö Ñ ÒÒ Ú Ö Ø Øº ËØ Ð Û Ö Ò Ò Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÓÔ Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ñ Ø ÐÓÒ ØÙ Ò Ð Ø ØÙ º Ð Û Ò Ö Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö Ò Ò Þ Ò Û Ø Ó Ø Ö Û Ò ÙÙÖØ Ú Ò Ò ÔÙÒØ P Ð Ú Ò Ó ÖØ Ö Ø Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ö ÐÓ Ð Ù Ø Þ Øº Û Ò Ò Ú Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò ØÖ Ò ÓÔ Ò ØÛ ÓÖ Ò Ø Ò x ØÓØ Ø ÔÙÒØ Pº Ï ÙÒ Ø ÒØ Ø Ø Ð Ø ( ) x 2 g jk = δ jk + O, ¼ µ Ñ Ø R ØÖ Ð Ú Ò Ö º Ò ÒÚÓÙ Ñ Ò Ö ÓÑ Ø Ø Þ Ò ÓÓÖ Ø Ö ÚÐ ÓÔ ÔÙÒØ P Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Òº º ØÓÓÒØ Ø Ð x ÔÓ Ø Ú ØÓÖ Ú Ò Ò ÔÙÒØ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò P Ò ÓÑØ Ø ÓÚ Ö Ò Ñ Ø cos x ÓÔ Ø Ö ÚÐ º Ò Ö ÓÒØÛ Ð Ò Ð Ú ÖØ cos x = 1 x º Ø Ø ØÓØ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø Ð Ñ Ò ÐÐ Ò Ò Ö Ö Ø ¹ÓÖ Ð Ò Ø Ñ Ò Ò Ò Ð ÒÚÐÓ Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò Ö Þ Øº ÐÐ Ò Ð Û ØÛ ¹ÓÖ Ð Ò Ò Ñ Ò ÒÒ Ò Û ÖÓÑÑ Ò Û Ö Ø Ò Ñ Òº À ØÞ Ð Ð Ø ÚÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø º ÁÒ Ò ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ø ÙÒÒ Ò Û Ò ÐÓ Ð ÐÓÖ ÒØÞ¹ Ö Ñ Ú Ò Ò Û ÖÚÓÓÖ g αβ = η αβ º À Ø Ø Ö Û Ð ÑÓ Ð ÓÑ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Þ Ò ÞÓ Ø Ò Ò Ú Ò P Þ Ð Ò Ð º Ø ÛÓÖ Ø ÑÓ Ð Ñ Ø ÓÓÖ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô º Ø ÔÖ Þ Ò Ø Ú Ò Ò ÐÓ Ð ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ø Ð Ð Ø R 2 g αβ (P) = η αβ x γ g αβ (P) = 0 voor alle α,β; voor alle α,β,γ; ½¼µ 2 x γ x µ g αβ (P) 0. À Ø Ø Ò Ú Ò ÐÓ Ð ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ ÖÙ Ø Ù Ø Ø Ð ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ø ÓÔ Ð ÔÙÒØ Ò ÚÐ Ö ÖÙ ÑØ Øº ÐÐ Ø Ò ÓÖÑ Ò ÔÙÐ Ø Û Ù ØÚÓ Ö Ò Ô Ð Ò Þ Ò Þ Ö ÖÙ ÑØ º ÓÚ Ò Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÖÑ Ò Û ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ò Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ú ¹ Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô ÓÒ ØÓ Ø Ø ÓÑ ÓÔ ÔÙÒØ P Ò ÄÄ Ø Þ Òº Ñ ØÖ Ñ Ø Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ð Ò Ø Ú Ò Ò ÖÓÑÑ Ø Ò Ö Òº Ð d x Ò Ð Ò Ú ØÓÖÚ ÖÔÐ Ø Ò ÓÔ Ò ÙÖÚ Ò Û Ö Ø Ö Ð Ò Ø Ð Ò ds 2 = g µν dx α dx β Û ÒÓ Ñ Ò Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØµº Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ð Ò Ø ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò ÓÓÖ ÖÚ Ò ÓÐÙØ Û Ö Ø Ò Ñ Ò Ò Ò ÛÓÖØ Ð Ø ØÖ Òº Ø Ø dl g αβ dx α dx β 1 2 º ÁÒØ Ö Ø Ø Ò ØÓØ Ð Ð Ò Ø Ò Û Ú Ò Ò l = langs de curve 1 g αβ dx α dx β 2 = λ1 λ 0 g αβ dx α dλ dx β dλ 1 2 dλ, ½½µ Û Ö λ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ò ÙÖÚ º ÙÖÚ Ø Ð Ò ÔÙÒØ Ò λ 0 Ò λ 1 º Ö Ú ØÓÖ V Ú Ò ÙÖÚ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V α = dx α /dλ Ò ÖÑ Ú Ò Ò Û l = λ1 λ 0 V V 1 2 dλ ½¾µ

122 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾¾ ÚÓÓÖ Ð Ò Ø Ú Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ ÙÖÚ º ÇÓ Ø Ö Ò Ò Ú Ò ÚÓÐÙÑ Ð Ò Ö Ð Û ÒØ Ö Ø Ù ØÚÓ Ö Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º Å Ø ÚÓÐÙÑ Ó Ð Ò Û Ö Ò Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÚÓÐÙÑ º ËØ Ð Û Ú Ò Ò ÓÒ Ò Ò ÄÄ Ò Ò Ö Ò ÚÓÐÙÑ Ð Ñ ÒØ dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 Ñ Ø Ó Ö Ò Ø Ò {x α } Ò ÐÓ Ð ÐÓÖ ÒØÞÑ ØÖ η αβ º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø ÓÖ Þ Ø Ò Ø dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 = (x0,x 1,x 2,x 3 ) (x 0,x 1,x 2,x 3 ) dx0 dx 1 dx 2 dx 3, ½ µ Û Ö ØÓÖ ( )/ ( ) Ó Ò Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò {x α } Ò Ö {x α } º Ø Ò Û Ö ÔÖÓ Ò Ò ÓÓ ØÙ º Ò Ö Ð Ø (x 0,x 1,x 2,x 3 x 0 x 0... ) (x 0,x 1,x 2,x 3 ) = det x 0 x 1 x 1 x 1... = det ( Λ α ) x 0 x 1 β. ½ µ Ö Ò Ò Ú Ò Þ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÒÓ Ð ÓÑ Ð Ø Ò Ø Ò ÒÚÓÙ Ö ÓÓÖ Ø Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ñ ØÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò (g) = (Λ)(η)(Λ) T Û Ö Ñ Ø T ³ ØÖ Ò ÔÓÒ Ö Ò Ó Ð ÛÓÖ Øº Ò ÚÓÐ Ó Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ò det(g) = det(λ)det(η)det(λ T )º ÎÓÓÖ Ð Ñ ØÖ Ü Ð Ø det(λ) = det(λ T ) Ò Ú Ö Ö Ò Û det(η) = 1º À ÖÑ Ú Ò Ò Û Ò det(g) = [det(λ)] 2 º Ï ÖÙ Ò ÒÓØ Ø Ò Ú Ò Ò g det(g α β ) det(λα β ) = ( g)1 2 ½ µ dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 = det [ (g α β )]1 2 dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 = ( g) 1 2 dx 0 dx 1 dx 2 dx 3. ½ µ À Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ô Ò Û ÚÓÐ Ò ÓÑ ØÓØ ÓÚ Ò Ø Ò Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÑ Òº Ï Þ Ò Ø ÖØ Ò Ò Ô Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ø ÄÄ Ò Ö Ò Ð Ø Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ º Î ÖÚÓÐ Ò Ò Û Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ð Ö Ò Ö Ð Ñ Ò Ó Ö¹ Ò Ø Ò Ø Ð Ð º º¾ Ì Ò ÓÖ Ò Ò ÓÚ Ö ÒØ Ð ËØ Ð Û Ò Ò Ø Ò ÓÖÚ Ð T(,, ) Ñ Ø Ö Ò º Ø Ú Ð Ò ÙÒØ Ú Ò ÐÓ Ø Ò Ò ÖØ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÔ Ð ÔÙÒØ Pº Ï ÙÒÒ Ò Þ Ø Ò ÓÖ ÜÔ Ò Ö Ò Ò { e α } Ò Ø Ø ÓÚ Ò¹µ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò T αβγ º ÁÒ Ø Ð Ñ Ò Ò Û Ø ÖÑ Ò ÚÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø º Ï ÙÒÒ Ò Ø Ò ÓÖ T Ø Ö ÓÓ ÜÔ Ò Ö Ò Ò Ù Ð { e α } Ò Ö Ð Ø T(,, ) T αβγ e α e β e γ = T γ αβ e α e β e γ. ½ µ Ð Û Û Ö Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Û ÐÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÛÓÖ Ø Ø ÚÓÐ Ò Ø ÓÖ Ñ ÖÙ Ø T αβγ = T( e α, e β, e γ ) en T γ µν = T( e µ, e ν, e γ ). ½ µ Ð Û ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ø Ò ÓÖ T Ò Ò Ó Ò Ö Ö Ò Ò Ú Ò ÓÚ Ò¹ Ò Ò ¹ Ò Ò Ò Ò Û Û ÐÐ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Û Ø Ò Ò Ò Ò Ö Ö Ò Ò Ú Ò Ò Ò ÛÓÖ Ø Ñ ØÖ ÖÙ Øº Ö Ð Ø T γ µν = T αβγ g αµ g βν en bijvoorbeeld ook T αβγ = g αρ T βγ ρ ½ µ

123 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾ Î ÖÚÓÐ Ò Û ÐÐ Ò Û ÓÒØÖ Ø ÔÖ Òº Ø ÒÓ Ð Ò Û Ð ÓÑ Ø Ò Ð Ò Ò ÓÒÞ ØÖ Ø ÒÓØ Ø º Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖ R ÙÒÒ Ò Û Þ ÐØ Ö Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ð R(,,, ) = A B C D +... ¾¼µ Ï ÔÖ Ò ÓÒØÖ Ø ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò ÖÙ Ò Ð Ò Ö Ø Ø ÓÑ Ò Û ÙÒ Ö Ú Ò ÚÓÓÖ Ð Ñ Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ø Ú Ò Òº ÎÓÓÖ ÓÒØÖ Ø C 13 Ú Ò Ö Ø Ñ Ø Ö Ò Ü Ð Ø C 13 [ A B C D(,,, ) ] ( A C) B D(, ). ¾½µ Ï ÙÒÒ Ò ÓÚ Ò Ø Ò ØÖ Ø Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ú Ò Ò Ú Ò Ò A C = A µ C ν e µ e ν = A µ C ν g µν = A µ C µ C 13 R = R µβ δ µ B D. ¾¾µ ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ö ÓÚ Ò Þ Ò Û Ø Û Ù Ø ØÛ Ú ØÓÖ Ò A Ò B Ò Ø Ò ÓÖ A B ÙÒÒ Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÓÓÖ Ö Ø Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ø Ò Ñ Ò Ø ÖÛ Ð Û Ò Ð Ö A B ÙÒÒ Ò Ñ Ò ÓÓÖ [ Ø ÒÔÖÓ ÙØ ] Ø Ò Ñ Òº ÓÒØÖ Ø Ú Ò Ø Ø Ò ÓÖÔÖÓ ÙØ A B Ð Ú ÖØ Û Ö Ò Ð Ö ÓÔ C A B = A Bº Î Ò ÒÙ Ò Û Ò Ú Ö Ð Ò Ð R µβ δ µ Ú ÒÙ Ø Ò Ò Ö Þ Ø ÔÙÒØ Òº Ï Ò Ø Ø Þ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖº Î Ò ÒÙ ÓÒÞ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ø Ò µ β µ Ò δ Ð Ð Þ Ò Ú Ò Ð ÙÚ Ò Ú Ò ØÖ Ø Ø Ò ÓÖ Rº Ù Ñ Ø R αβγδ Ó Ð Ò Û ØÖ Ø Ø Ò ÓÖ R(,,, ) Ñ Ø Ö Ø Ð Ù α ØÛ Ð Ù β ÒÞº À Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÖÓÒ Ø ÓÒÞ Ù ÓÚ Ö Ø Ò ÓÖ Ð Ö º ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò Ò Û Ø Ò ÓÖ¹ Ò ÐÝ ÔÖ Òº Ø Ó Ò Û Ò Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÖÚ Ð T(, ) Ñ Ø Ö Ò ¾ Ñ Ö Û Ø Û ÓÒÐÙ Ö Ò Ð ÚÓÓÖ Ð Ø Ò ÓÖÚ Ð º À Ø Ú Ð T Ò ÙÒØ Ú Ò ÐÓ Ø Ò Ú Ö Ø Ø T(P)º Ï Ö ÒØ Ö Ò T ÒÙ Ð Ò ÙÖÚ P(λ)º ÇÔ ÔÙÒØ P ÛÓÖ Ø Ö Ú ØÓÖ A Ò ÙÖÚ Ú Ò ÓÓÖ A = dp dλ = d dλ º Ð Ú Ò T Ð Ò ÙÖÚ Ù Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Aµ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ A T = lim λ 0 [T(P(λ + λ))] T(P(λ)). ¾ µ λ Å Ö ÓÔ Ø ØÛ Ø Ò ÓÖ Ò T(P(λ + λ)) Ò T(P(λ)) Ò ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò Ö ÖÙ ÑØ Ò Ð Ú Òº Þ Ò Ò ØÞ Ð ÓÑ Ø λ Ð Ò Ñ Ö ÐÒ ØØ Ñ Ò Þ Ò Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ö ÖÙ ÑØ Òº Ï Ò Ò Ñ Ò Ö ÒÓ ÓÑ Ø Ò ÓÖ T(P(λ + λ)) Ò Ö ÔÙÒØ P Ø ØÖ Ò ¹ ÔÓÖØ Ö Ò Û Ö Û Ð Û ÐÐ Ò Ô Ð Ò ÞÓ Ø Û Ø Ò ÓÖ Ò ÙÒÒ Ò ØÖ Òº Ï Ø Û ÒÓ Ò ÛÓÖ Ø Ô Ö ÐÐ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Ò Ú Ò T(P(λ + λ)) ÒÓ Ñ º ÁÒ Ò ÖÓÑ Ú Ö Ø Ø Þ Ò Û Ø Ò Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ò Ø Ð Û Ö Ø ¹ÓÖ Ð Ò Ò Ñ Ò º À Ø Ô Ö ÐÐ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Ò Ø ÒØ Ò ØÞ Ð Ð Û Ø Ø Ø ÒØ Ò Ò ÚÐ Ï ÙÒÒ Ò ÐØ Ò ÐÓ Ð ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ø ÚÓÐ Ó Ò ÚÐ ÚÓÓÖ Û Ø Û Û ÐÐ Òº ÁÒ Ø Ý Ø Ñ Þ Ò Ú ØÓÖ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò ÙÒ Ð Ò ÒÙÐ Ò ÔÙÒØ Pº Ø Ò Ò Ø ÚÓÓÖ ÓÚ Ö ÒØ Ð º Þ Ò Ø Ð Ø Ö ÓÒÑ ÐÐ ØÓ Ø Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ð Þ Ò Ò ÒÙÐ Ò Ø Ò Ø ÄÄ Ð Ø V α ;β = V α,β ÓÔ ÔÙÒØ Pº Ø Ò ØÙÙÖÐ Û Ö ÚÓÓÖ Ð Ø Ò ÓÖ Ò ÓÓ ÚÓÓÖ Ñ ØÖ g αβ;γ = g αβ,γ = 0 ÓÔ ÔÙÒØ Pº ÇÑ Ø Ú Ö Ð Ò g αβ;γ = 0 Ò Ø Ò ÓÖÚ Ö Ð Ò Ð Ò Ð º Ú Ò Ø Γ µ αβ = Γµ βα Ú Ò Ò Û Û Ö Ø ÚÓÓÖ Ð Ñ ØÖ ÒØ Ø Ð Ò Γ α µν = 1 2 gαβ (g βµ;ν + g βν,µ g µν,β ). ¾ µ Ù Ø ÖÛ Ð Γ α µν = 0 ÓÔ P Ò Ø ÄÄ Ð Ø Ø Ò Ø ÚÓÓÖ Ð Ò ÖÚ Ò Û ÒØ Ú ØØ Ò g αβ,γµ º Ù Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Þ Ò Ò Û Ð ÒÙÐ ÓÔ ÔÙÒØ P Ð Û Ò ÄÄ Þ Ò Ñ Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò Ú Ò ÒÙÐ Ò ÓÑ Ú Ò Ú Ò Ø ÔÙÒØº À Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò Ò ÖÓÑ Ò Ò ÚÐ Ú Ö Ø Ø Ñ Ò Ø ÖØ Þ Ù Ò Ð Ò Ú Ò Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Òº

124 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾ ÖÙ ÑØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ø ÓÓÖ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Òº Ï Ò Ù Ñ Ø Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ð ÚÓÒ Òº ÓÖ Ò Ð Ø Ò ÓÖ T(, ) Ø ØÛ Ð ÙÚ Ò Ò Ø ÓÓ ÞÓ ÚÓÓÖ Ð A T(, ) Û ÒØ ÚÓÐ Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ð Ò Ø Ò Ö Ò Ø Ú Ö Ð Ú Ò ØÛ Ø Ò ÓÖ Ò T ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÙÒØ Ò Ò Ò Ð ÓÓÖ Ø Ò λº Ð ÚÓÐ Ò Ø Ô ÙÒÒ Ò Û ÒÙ Ø ÓÒ ÔØ Ö ÒØ ÒÚÓ Ö Òº Ï Ñ Ö Ò ÓÔ Ø Ð A T(, ) Ð Ò Ö Ò Ú ØÓÖ Aº Ø Ø ÒØ Ø Ö Ò Ö Ò ¹ Ø Ò ÓÖ T(,, A) Ø Ø ÞÓ Ò Ø Ð Ø A T(, ) T(,, A). ¾ µ Ø Ò Ø Ú Ò Ö ÒØ Ú Ò Tº À Ø Ð Ø Ø ÐÓØ ÛÓÖ Ø Ô Ö ÓÒÚ ÒØ ÖÙ Ø Ð Ø Ö ÒØ Ø ÐÓØº Ö ÒØ Ú Ò T Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ò Ð Ù Ñ Ö Ò T Þ Ð Ò Ø Ú Ö Ö Ò Ô Ø Ð A Ò Ð Ø Ø Ð Ù ØÓÔØ Ð Ú Ò T Ö Ø Ò Ö Ø Ò Ú Ò Aº Ï Ò Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ö ÒØ Ð T T αβ ;µ e α e β e µ. ¾ µ À Ø Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÑ Ö ÒØ Ø Ò Ü Ò Ò Ø ÔÐ Ø Òº Å Ö Ú Ö Ö ÓÔ Ø Þ Ö ÒØ Ø Ò Ü Ò Ö ÓÚ Ò Ó Ò Ò ÙÒØ Ð Ò Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ò Üº Î Ö Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ ÐÐ Ø Ò ÔÙÒØ ÓÑÑ ÓÑØ Ñ Ø Ò Ö ÒØº ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ö ÒØ Þ Ò Ò Ø Ú Ð T αβ ;µº ÀÓ Ö Ò Ò Û ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ö ÒØ À Ø Ö Ô ÖÚÓÓÖ Þ Ò ÞÓ ¹ Ò Ñ ÓÒÒ Ø Ó ÒØ Ò º Ó ÒØ Ò ÛÓÖ Ò ÞÓ ÒÓ Ñ ÓÑ Ø Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ð Û Ø Ø Ò ÓÖÚ Ð Ò ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò Ö ÖÙ ÑØ Ò ÑÓ Ø Ò Ú Ö Ð Òº ÓÒÒ Ø Ó ÒØ Ò Ú Ò ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÚ Ö Ó Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ò Ö Ò ØÙ Ò Ò ÙÖ Ö ÖÙ ÑØ Òº ÇÑ Ø Û Ò Ò Ò ÔÙÒØ P ÙÒÒ Ò Û ÓÒ ÚÖ Ò Û Ø Ð Ú Ò e α Ò Ö Ø Ò Ú Ò e µ º Ö Ð Ø eµ e α Γ ρ αµ e ρ. ¾ µ Þ Ð Þ Ð ÓÓ Ò Ú ØÓÖ Ò Û ÙÒÒ Ò Þ Ù ÜÔ Ò Ö Ò Ò ÓÒÞ ÓÔ ÔÙÒØ P Û Ö Û Ð Û ÐÐ Ò Û Ø Òº ÜÔ Ò Ó ÒØ Ò Þ Ò Γ ρ αµ e ρ º Ú ÒÞÓ Ð Ø eµ e ρ = Γ ρ σµ e σ. ¾ µ Å Ö ÓÔ Ø Û ÒÙ Ò Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÒÒ Ø Ó ÒØ Ò Ú ÖØ ÐÐ Ò Ó Ú ¹ ØÓÖ Ò Ú Ò ÔÐ Ø ØÓØ ÔÐ Ø Ú Ö Ò Ö Òº Ù Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ö ÒØ Û ÐØ Û Ø Ò ÚÓÓÖ Ð T αβ ;γ Ò ÑÓ Ø ÓÖÖ Ø Ñ Ò ÚÓÓÖ Ø Ø Ø Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ò Ö Òº Ø Ò ÓÖ T αβ Þ Ð Ñ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò ÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ò Ú Ò ÔÓ Ø º À Ø Ð Ø Ø Þ ÓÓ Ú Ö Ð Ò ¾ µµ T α β;γ = T α β,γ + Γα µγt µ β Γµ βγ T α µ, waarbij T α β,γ = e γ T α β = x γ T α β. ¾ µ Ð Û Ñ ØÖ g ÒÒ Ò Ò ÙÒÒ Ò Û Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ù ØÖ Ò Ò Ò ÖÑ ÐÐ ÓÚ Ö ÒØ Ð Òº À ÖÑ Ú Ò Ò Û Ø Ò ÐÓØØ Û Ö Ú Ö Ð Ò Ò V α ;β = V α,β + Γα µβ V µ, P α;β = P α,β Γ µ αβ P µ, T αβ ;γ = T αβ,γ + Γ α µγ T µβ + Γ β µγt αµ. ¼µ Þ Ø Ò ÓÓ Ò Ð Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Òº

125 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾ º Ó Ø Ò Ò ÖÓÑÑ Ò Ð Û Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ò ÓÐ Ò Û ÚÓÐ Ò ØÛ Ð Ò Ò ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ Ú Ò Ö Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ú Ò ÒÓÓÖ ÔÓÓÐ Ò Þ Ò Û Ø Ò Ø Ð Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ð Ò Ò Ò Ò ÔÙÒØ Ò ÓÔ Ø ÖÓÑ ÓÔÔ ÖÚÐ º À Ø Ú ÔÓ ØÙÐ Ø Ú Ò ÙÐ Ð Ø Ù Ò Ø Ò Ò ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ð Ò Ò ÙÒÒ Ò Û Ð Ð Ò Ò ÔÙÒØ Òº ÙÙÖ È Ö ÐÐ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ V ÖÓÒ Ò Ö Ó ØÖ Ø ÈÉÊÈ Ù Ø Þ Ø ÓÔ Ò ÓÐº ÓÓÖ V Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Ò ÓÚ Ö ÐÙ PQRP Ú Ö Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ò ÖÓØ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÒÚ ØÓÖº ÖÓØ Ø Ó Ò Ð Ú Ò ÖÓÓØØ Ú Ò ÐÙ ÓÞ Ò Û Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò Ú Ö Ø Øº Ò Ò Ö ÐÐÙ ØÖ Ø Ú Ò Ó ÖÓÑÑ Ò Þ Ñ Ò Ø ÖØ Ò Ñ Ò ÒÓ Ó ÐØÖ Ò Ö ÛÓÖ Ø Ú Ò Ò º º Ï ÒÒ Ò Ò ÔÙÒØ È Ñ Ø Ò Ö Ú ØÓÖ Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ø Ò Û Øº Ï Ò Ñ Ò Ò Ð Ò Ø Ô Ò Ö Ø Ò Ú Ò É Ò Ò Ð Ø Ô ÔÖÓ Ø Ö Ò Û Ö Ú ØÓÖ Û Ö ÓÔ Ø ÐÓ Ð Ö ÚÐ º Ø ÓÒÞ Ñ Ò Ö Ú Ò Ô Ö ÐÐ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Òº Æ Ø Û Ø ÐÓØ Ò ØÖ Ø ÈÉÊÈ Ò ÚÓÐ Ö Ø Þ Ò Û Ø Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ñ Ö Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ð Ú ØÓÖº Ø ÙÖØ Ò Ø Ò Ò ÚÐ ÖÙ ÑØ Ò Ò Ø Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÓÐº ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø Û ÓÔ Ò ÖÓÑ Ú Ö Ø Ø Ò ÐÓ Ð Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ú ØÓÖÚ Ð Ò ÙÒÒ Ò Ò Ö Òº À Ø Ö ÙÐØ Ø Ú Ò Ô Ö ÐÐ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Ò Ò Ø Ú Ò ÓÞ Ò Û Ò Ú Ò ÖÓÓØØ Ú Ò ÐÙ º Ì Ò Ò Ò Û ÙÒ Ö Ú Ò Ø Ú Ò Ò Ú ØØ Ò Û Ø ÒØ ÖÚ Ð ÈÉ Ò º ÓÔ Ð Ò ÙÖÚ Ò Ø ÐÐ Ò Û Ø λ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ò Þ ÙÖÚ º À Ø Ú ØÓÖÚ Ð V Ò Ö ÓÔ Ð ÔÙÒØ Ú Ò ÙÖÚ º Ú ØÓÖ U = d x/dλ Ö Ú ØÓÖ Ò ÙÖÚ º È Ö ÐÐ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Ò Ø ÒØ Ø Ò Ò ÐÓ Ð Ò ÖØ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ÓÔ ÔÙÒØ P ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò V ÓÒ Ø ÒØ ÑÓ Ø Ò Þ Ò Ð Ò ÙÖÚ º Ö Ð Ø dv α dλ = Uβ V α,β = Uβ V α ;β = 0 op punt P. ½µ Ö Ø Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ú Ò Ò ÙÒØ Ò Ø Ú Ð V α µ Ð Ò ÙÖÚ ØÛ Ð ÓÑØ Ú Ò Ø Ø Ø Γ α µν = 0 ÓÔ ÔÙÒØ P Ò Þ Ó Ö Ò Ø Òº Ö Ð Ø Ö Ò Ö Ñ ¹ÓÒ Ò Ð Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ð Ò Ð º Ï

126 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾ Ò Ñ Ò Ø Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÓÒ Ò Ð Ò Ø Ú Ò Ø Ô Ö ÐÐ ÐÐ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ú Ò V Ð Ò Uº Ò Ú ØÓÖ V ÛÓÖ Ø Ù Ô Ö ÐÐ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Ð Ò Ò ÙÖÚ Ñ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö λ Ð Ð Ø U β V α ;β = 0 d dλ V = U V = 0. ¾µ Ð Ø Ø Ø Ô Ñ Ø ÖÙ Ú Ò ÒÓØ Ø ÚÓÓÖ Ö Ø Ò Ð Ð Ò Uº Ð Ò Ö Ø ÙÖÚ Ò Ò Ò ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Þ Ò Ó Ø Òº Ó Ø Ò Þ Ò Ð Ò Ò ÞÓ Ö Ø Ð ÑÓ Ð µ Þ Ò ØÖÓ Ò Ñ Ø Ð ÚÓÓÖÛ Ö Ø Ö Ú ØÓÖ Ò U Ú Ò Þ Ð Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö ÛÓÖ Òº ÎÓÓÖ Ò Ó Ø Ð Ø Ù U U = 0. µ Å Ö ÓÔ Ø Ò Ò ÄÄ Þ Ð Ò Ò Ò Ö Ö Ø Þ Òº ÎÓÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ø U β U α ;β = Uβ U α,β + Γα µβ Uµ U β = 0. µ Ð λ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ò ÙÖÚ Ò Ð Ø U α = dx α /dλ Ò U β / x β = d/dλº À ÖÑ Ú Ò Ò Û ( ) d dx α + Γ α dx µ dx β µβ dλ dλ dλ dλ = 0. µ ÇÑ Ø Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ò ÙÒØ Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò {x α } Þ Ò Ø Ò Ú Ö¹ Þ Ñ Ð Ò Ò Ø¹Ð Ò Ö ØÛ ¹ÓÖ Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ x α (λ)º Þ Ø Ò ÙÒ ÓÔÐÓ Ò Ð Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÚÓÓÖ λ = λ 0 ÛÓÖ Ò Ú Ò x α 0 = xα (λ 0 ) Ò U0 α = (dxα /dλ) λ0 º Ù ÓÓÖ Ø Ú Ò Ú Ò Ò ÒÔÓ Ø x α 0 µ Ò Ò Ò Ò Ð Uα 0 µ Ú Ö Ö Ò Û Ò ÙÒ Ó Øº ÓÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö λ Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ö Ò Ö Ò Û Û ÙÒ ÙÖÚ Ñ Ö Ò Ø Ø Ô µº Ð λ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ò Ó Ø Ò Û Ò Ö Ò Ò Ò ÙÛ Ô Ö Ñ Ø Ö φ = aλ + b Ñ Ø a Ò b ÓÒ Ø ÒØ Ò Ù Ò Ø Ú Ò ÔÓ Ø ÓÔ ÙÖÚ Ò Ò Ò Ð Ø ÚÓÓÖ φ ÓÓ d 2 x α dφ 2 + dx µ dx β Γα µβ dφ dφ = 0. µ ÐÐ Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò λ Ú Ò Ò ÙÛ Ô Ö Ñ Ø Ö ÚÓÐ Ó Ò Ò Ó Ø ÒÚ Ö¹ Ð Ò º Ï ÒÓ Ñ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö λ Ò φ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö º Ì Ò ÐÓØØ Ñ Ö Ò Û ÓÔ Ø Ò Ó Ø ÓÓ Ò ÙÖÚ Ñ Ø Ò ÜØÖ Ñ Ð Ò Ø Ñ Ò Ñ Ð Ð Ò Ø ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ Òµº Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Ó Ø Ù ÓÓ Ú Ò Ò Ñ Ø ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ú Ö Ð Ò Òº À Ö Ò Û Ù Ø Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾¼ µ Û Ö Û Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ η µν Ú ÖÚ Ò Ò ÓÓÖ g µν º ÇÓ ÙÒÒ Ò Û ÒØÓÒ Ò Ø Ð Ò Ø ds Ð Ò ÙÖÚ Ò Ò Ô Ö Ñ Ø Ö º º ÃÖÓÑÑ Ò Ò Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ ÁÒ º ØÓÒ Ò Û ØÛ Ú ØÓÖ ÒÚ Ð Ò A Ò Bº Ú ØÓÖ Ò Þ Ò Þ Ð Ò Ø ÖÓÑÑ Ò Ú Ò Ú Ö Ø Ø Ò ÖÓÐ Ô ÐØ Ò Ø Û Ö Ø Ö Ñ Ø Ò º Ï ÙÒÒ Ò ÖÑ ÒÒ Ñ Ò Ø Ú ØÓÖ Ò ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ð Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ö ÖÙ ÑØ º Ì Ò Ò ÓÑÑÙØ ØÓÖ [ A, B] Ù Ø Ø ÙÒÒ Ò Ö Ò Ò ÖÙ Ò Û Ò ÐÓ Ð ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ó Ö Ò Ø Ò¹ Ý Ø Ñº ÇÑ Ø Û Ò Ú ØÓÖ ÙÒÒ Ò ÓÔÚ ØØ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ð Ø ÐØ A α B β / x α ÖÓÓØØ ÚÓÓÖ Û ÖÑ Ú ØÓÖ B Ú Ö Ò ÖØ Ð Ð Ò A Ú ÖÔÐ Ø Ø ÛÓÖ Ø Ø ÓÖØ ØÖ ÔØ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ò Ò µº Ú ÒÞÓ B α A β / x α Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò A Ð

127 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾ ÙÙÖ ÓÑÑÙØ ØÓÖ [ A, B] Ú Ò ØÛ Ú ØÓÖÚ Ð Òº Ï Ò Ñ Ò Ò Ø Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Þ Ò ÞÓ Ø ÖÓÑÑ Ò Ø ØÓ Ð Ø Ø Þ Ò Ú Ö Ø Ø Ð Òº Ð Ò B Ú ÖÔÐ Ø Ø ÛÓÖ Ø Ø Ò Ö ÓÖØ ØÖ ÔØ Ð Òµº ÎÓÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ò Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ð Ø [ [ A, B] = A α ] ) x α,bβ x β = (A α Bβ x α Bα Aβ x α x β. µ ÎÓÐ Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÓÑÑÙØ ØÓÖ [ A, B] Ø Ú Ö Ð Ú Ò ØÛ ØÖ ÔØ Ð Ò Ò Ò º º À Ø Ø Ú Ð Ò Ñ ÒØ Ø ÒÓ ÓÑ Ú Ö Ó Ø ÐÙ Ø Ò Ø ÓÑ ØÖ Ø Ò Ú Ò ÓÑÑÙØ ØÓÖµº Î Ö Ð Ò µ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÚ Ö Ð Ò Û Ö Ù Ø Ò Ð Ð ÓÔ Ö ÖØ ÓÔ Ò Ð ÖÚ Ð Ò Ø Ð Ò ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò µº Ï Ú Ò Ò ÖÑ Ñ Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò¹ Ø Ð Ð A α B β,α B α A β,αº ÓÑÑÙØ ØÓÖ ÒÙØØ ÓÑ ÓÒ Ö Ø ÙÒÒ Ò Ñ Ò ØÙ Ò Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ò Ò Ø¹Ó Ö Ò Ø Ò ÓÓ Û Ð Ò Ø¹ ÓÐÓÒÓÑ ÒÓ Ñ µ º ÁÒ Ù Ð ØÓØ Ú Ö Ð Ò ½¼µ Þ Ò Û Ø Ø Ò Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ñ Ö Ö ÛÓÖ Ò Ð Û ØÛ ¹ÓÖ Ð Ò Ó Ö ÒØ Òµ Ò Ñ Ò Ú Ò Ñ ØÖ º ÖÓÑÑ Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ø Ð Ò Ú Ò Ù Ð Ö ÒØ Ò ÓÑ Ø ÐÙ Ø Òº Æ Ñ Ò Ú ØÓÖÚ Ð A Ò Ò Ñ Ö Ù Ð Ö ÒØ Ò Ú Òº Ò Ú Ò Ò Û A α;µν A α;νµ = [ µ, ν ]A α R β αµν A β. µ Þ Ú Ö Ð Ò Ò Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò Ø Ú Ò Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖº Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ Ø ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ð Òº Ø Ø ÒØ Ø Û Ò ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ø ÚÓÓÖÞ Ø ÑÓ Ø Ò Þ Ò Ñ Ø ÚÓÐ ÓÖ Û Ö Ò Û ÓÚ Ö ÒØ Ð Ò Ò Ñ Ò Þ ÓÑÑÙØ Ö Ò Ò Ñ Ð Ò Øº Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò µ Ù ØÛ Ö Ò ÓÓÖ Ø ÒÒ Ò Ñ Ø Ò Ø Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ð A α;µν = x ν (A α;µ) Γ β αν(a β;µ ) Γ β µν(a α;β ) en A α;µ = A α,µ Γ β αµa β. µ ÁÒ Ò Ó Ö Ò Ø Ò ÛÓÖ Ò Ú ØÓÖ Ò Ú Ò ÓÓÖ Ô ÖØ Ð Ð Ò e α = / x α Ò ÓÑ Ø Ô ÖØ Ð Ð Ò ÓÑÑÙØ Ö Ò ÑÓ Ø Ð Ò [ e α, e β ] = 0º ÁÒ Ò Ò Ø¹Ó Ö Ò Ø Ò Ð Ø [ e µ, e ν] = C α µν e α Ñ Ø C α µν ÞÓ Ò Ñ ÓÑÑÙØ Ø Ó ÒØ Òº Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ò ÚÓÓÖ Ø Ó Ò Ú Ò Ö Ò Ò Ò Ø ÖÛ Ð Ò Ò Ø¹Ó Ö Ò Ø Ò ÒÙØØ Ò Þ Ò ÚÓÓÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ú Ò Ú Ò º

128 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾ Ï Ò Ò ÒÙ Ò Ò Ò Ö Ø Ö ÒØ Ö Ò Ò Ø Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ò Øº Í Ø Ò Ð Ú Ò Ò Û ( ) Γ β αν A α;µν A α;νµ = x µ Γβ αµ x ν + Γγ αν Γβ γµ Γγ αµ Γβ γν V β = R β αµν V β. ¼µ Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ Ú ÖØ ÐØ ÓÒ Ó Ò Ú ØÓÖÚ Ð Ú Ö Ò ÖØ Ð Ò Ò ÐÓØ Ò Ô º Ï ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ ÖÙ Ò ÓÑ Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ Ò Ò ÄÄ Ø Ö Ú Ò Ð R α βµν = 1 2 gασ (g σν,βµ g σµ,βν + g βµ,σν g βν,σµ ). ½µ Ï Þ Ò Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ g Ò ÓÖÑ Ø ÓÚ Ö ÒØÖ Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ø º Þ ÖÓÑÑ Ò ÛÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ð Û ØÛ ¹ÓÖ Ð Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ñ Òº Å Ø R αβµν g αλ R λ βµν Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÙÒÒ Ò Û Ò ÒØ Ð Ð Ò Ö Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ö ¹ Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ Û Þ Òº Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ø Ø ØÛ Ò º Ö Ð Ø R(,, A, B) = R(,, B, A) of R µναβ = R µνβα. ¾µ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ö Ø ØÛ Ò º Ö Ð Ø Ø Ò ÓÖ ÝÑÑ ØÖ º R( A, B,, ) = R( B, A,, ) of R µναβ = R νµαβ. µ R( A, B, C, D) = R( C, D, A, B) of R µναβ = R αβνµ. µ Ö Ð Ò ÞÓ Ò Ñ Ò ÒØ Ø Ø Ò R αβγδ;ǫ + R αβδǫ;γ + R αβǫγ;δ = 0, Û Ö Û Ø Ð Ø Ø Ö Ò Ô ÖÑÙØ Ö Òº µ ÓÚ Ò Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ö Ù Ö Ò = 256 ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ ØÓØ ¾¼º ÖÓÑÑ Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ê Ö Ø Ò ÓÖµ Ò Ö Ð ÓÒØÖ Ø Ú Ò Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖº Ö Ð Ø R αβ R µ αµβ. µ ÚÓÓÖ Ð Ò Ø Ú Ð Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ø Þ Ø Ò ÓÖ ÓÓ Ò ÓÖÑ Ø ÓÚ Ö ÖÓÑÑ Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ ÒØ Ö Ö ÓÚ Ö Ó Òº Î Ö Ö Ò Ñ Ò Ð Ø Ò Þ Ò Ø Ö Ø Ò ÓÖ ÝÑÑ ØÖ º Ì Ò ÐÓØØ Ò Û ÒÓ Ð Ö ÖÓÑÑ Ò Ö ÖÓÑÑ Ò Ò Ö ÓÓÖ R = R α α. µ Ï Ò ÒÙ Ø Ò ÓÖ Ò Ò Ö Û ÒÓ Ò ÚÓÓÖ Ö Ú Ò Ú Ò ÒÓÑ Ò Ò Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º Ö Ò ÓÖÑ Ð Û ÙÒ ÔÔ Ö Ø ÓÔ ØÙ Ò Û Ò Ø ÒÙ Ö Ø ÖÙ Ò ÓÑ Ú Ð Ú Ö Ð Ò Ò ÞÓ Ò Ñ Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Òµ Ú Ò ÊÌ Ø ÔÓÒ Ö Òº Ï Ñ Ò Ò Ò Ò Ö ÒÒ Ñ Ð ÓÓÖ Ò Ò ÐÓ Ñ Ø Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ò º ÐÚ ÒØÖ Ò ÖÓÑÑ Ò Ò Ò Ú Ö Ø Ø ÓÓ Ò ÜØÖ Ò ÖÓÑÑ Ò Òº Æ Ñ ÚÓÓÖ Ð Ò Ð Ô Ô Ö Ø Ò ÒØÖ Ò ÖÓÑÑ Ò Ø Ò ÖÓÐ Ø ÓÔ ØÓØ Ò Ð Ò Öº Þ Ð Ò Ö Ø ÜØÖ Ò ÖÓÑÑ Ò Ò Ö Ø Ò Ò Ú Ò Ø ÚÐ Ð Ô Ô Ö Ò ÖÙ ÑØ º ÊÌ Þ Ø Ò Ø ÓÚ Ö Ó Ö ÖÙ ÑØ Ò Û Ö Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò Þ Ò Ò º ÊÌ Ø Ò Ö Ú Ò Ú Ò ÖÓÑÑ Ò ÒÒ Ò Ú Ö Ø Ø Þ Ð Ò Ø ÒØÖ Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º

129 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¾ º Æ ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ò Ï ÔÖÓ Ö Ò Ò Ñ Ø Ø Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º À ÖØÓ Ð Ø Ò Û Ò Ø Ø¹ ÐØ ÚÖ Ú ÐÐ Òº Ï ÐÙ Ø Ò Ð Û ÖÒ Ñ Ö ¼ ÓÑ Ñ Ø Ø ÐØ Ñ Ø Ú ÐÐ Ò ÄÄ µ Ò Þ Ò Ø Ø ÐØ Ð Ò Ò Ö Ø Ð Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Û Ø ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø Ò µº Ö Ò Ø Ò Û Ò Ú Ò Ò Ò Ð ÐØ Ø ÖÓÑÑ Ò Ú ÖÖ Øº Å Ø Ò Ñ Ò Ø ÚÖ Ú ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ð Ø Ø ÐØ Ò ÖÙ Øº Ò ÐØ ÓÒÚÓÐ Ó Ò ÓÑ Ø Ò Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ø ÓÒØ Òº Î ÖÚÓÐ Ò Ð Ø Ò Û ØÛ ÐØ Ú ÐÐ Òº Ï Ò Ø Ò Ö Ø ÓÔ Ö Ò Ú ÒÙ Ø Ø Ô Ö Ô Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÚÖ Ú ÐÐ Ò ÄÄ µ Ñ Ò Ñ Ø ÐØ º Ö Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ú ÐÐ Ò Ò Ò Ö Ø Ð Ò Ò Ö Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò Ö º º ¼ Ø ØÙ Ø ÚÓÓÖ ØÛ ÚÖ Ú ÐÐ Ò ÐØ P Ò Q Ò Û Þ Ò Ø ÐØ Ô Ò ÚÓÐ Ò Ð Ò Ò Ö Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò Ö º Î ÒÙ Ø Ø Ô Ö Ô Ø Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÚÖ Ú Ð Ñ Ø Þ ÐØ Þ Ò P Q ÙÙÖ ¼ Ä Ò ØÛ ÚÖ Ú ÐÐ Ò ÐØ Û Ò ÓÔ Ò Ø Ð Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ô Ò Ò Ö Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò Ö º Ö Ð Ø Ø Ò ÔÙÒØ Ú Ò Ð Ò Ò Ö Ø Ð Ò Ò ÓÔ Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ø Ð Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ò Ú Ò Ö Ò Ò Ð Ö ÒÓÓÖ ÔÓÓÐº Û Ø ÐØ Ò Ö Ð Ö ØÓ Û Òº Ø ÛÓÖ Ø Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÓÓÖ Ö ÒØ Ð Ö Ú Ø Ø ¹ Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÓÔ ÐØ Ò Û ÒÓ Ñ Ò Ø Ø Ò Ö Ø Òº ÎÓÐ Ò Æ ÛØÓÒ ÖÙ Ò Ô Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ø ÖÛ Ð Ø ÚÓÐ Ò Ò Ø Ò ÙÖØ ÓÑ Ø ÖÙ ÑØ Ø ÖÓÑ º Ï Ø Æ ÛØÓÒ Ö Ú Ø Ø ÒÓ ÑØ ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø ÒÓ Ñ º Ö Ú Ø Ø Ò Ò Ô Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ï Û ÐÐ Ò ÒÙ Ò Û ÙÒ Ö Ú Ò Ú Ò Ú Ò Ø ÔÖÓ Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ñ Ø Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Þ ÓÓ ÓÓ ØÙ ¾º µº À ÖØÓ ÓÙÛ Ò Û º ½º Ò ÛØÓÒ Ò Û Ò Ú Ö Ð Ò Ò Þ Ú Ö Ð Ò ½ µµ ÚÓÓÖ ÐØ P Ò Q Þ Ò ( d 2 ) ( ) x j Φ dt 2 = (P) x j (P) en ( d 2 ) ( ) x j Φ dt 2 = (Q) x j, µ (Q) Ñ Ø Φ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÔÓØ ÒØ Ðº Ï Ò Ö Ò ξ Ð Ø Ò ØÙ Ò ÐØ º ÎÓÓÖ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ò Ò ÞÓÙ Ð Ò d ξ dt = 0º Å Ø ξ = (x j ) (P) (x j ) (Q) Ú Ò Ò Û Ú Ò Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò d 2 ( ξ j 2 ) ( dt 2 = Φ 2 ) Φ x j x k ξ k = E jk ξ k E jk = x j x k, µ ¼ Ï Ò Ö ÚÓÓÖ Ø Ñ Ú ÒÙ Ø Ø Û Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ú Ò ÒÚÐÓ Þ Ò ÓÔ Ø ÔÖÓ º À Ø Ð Ò Ö Ø Ø Û ÒÒ Ñ Ò Ø Û Ò Ö Ø Ù ØÓ Ò Ò Ò Ò ÖÓÑÑ Ò Ú ÖÓÓÖÞ Òº

130 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ ¼ z x y ÙÙÖ ½ Ò Ò Ú Ò ØÛ ÚÖ Ú ÐÐ Ò ÐØ Ò Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ð Φº Ö Ú ØÓÖ ξ Ñ Ø Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÐØ Ò Ò ÙÒØ Ú Ò Ø º Ò Ú ØØ Ò E jk ÓÔ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ø ÒØ Ò ÓÖ Eº Å Ö ÓÔ Ø Ñ ØÖ ÚÓÓÖ ÙÐ ÖÙ ÑØ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ δ jk = diag(1,1,1) Ò Ø Ö Ù Ò Ú Ö Ð ØÙ Ò ÓÚ Ò¹ Ò Ò Ò Ò º Î Ö Ð Ò µ ÛÓÖ Ø Ú Ö Ð Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ó Ø Ú Ø ÒÓ Ñ º ÎÓÐ Ò Æ ÛØÓÒ Û Ò ÐØ Ò Ö Ð Ö ØÓ Ò Ö Ú Ò Û Ò ØÖ Ø ÒÓØ Ø º Ú Ö Ð Ò ½ µ d 2 ξ dt 2 = E(, ξ) ¼µ À Ø ÒØ Ö ÒØ Ø Ú Ð Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø 2 Φ = 4πGρ, ½µ Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø ÖÙ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ØÛ Ð Ò Ú Ò Φ Ø ÒÚ Ö Ò ÐÐ Ò Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ Ö Ú Òº Ö Ò Ò ÐÓ ÓÒÒ Ø Ò ÊÌº º Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò Ï ÓÑ Ò ÒÙ ØÓØ ÖÒ Ú Ò ÊÌ Ú Ð Ú Ö Ð Ò Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÔÖÓ Ö Ò Ú Ð Ú Ö¹ Ð Ò Ò ÔÐ Ù Ð Ø Ñ Ò ÓÔ Ò Ñ Ò Ö Ð Ø ÚÓÓÖ Ò ÒÓ Ò Ñ ÒÚ Øº Ï ÒÒ Ò Ñ Ø Ò ÓÙÛ Ò Ò º ¾ Ð Ò Ö Ö Ñµ Ú Ò Û Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð Ò Ò Û Ö Ð Ð Òº Û Ö Ð Ð Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ñ Ø ÒØ τ ÓÔ Ò ÐÓ Ø ÐØ Ñ Ø Þ Ñ Ö Øº Ï ÙÒÒ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÐØ ÓÔ Ò ÔÙÒØ Ú Ò Û Ö Ð Ð Ò Ù Ò Ú Ò Ñ Ø P(τ)º Ò Ð U Ö Ú ØÓÖ Ò ÙÖÚ Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ U = dp dτ = d dτ. ¾µ ÎÓÓÖ Ò Ð Ð Ø Ò Ø ÄÄ ÓÔ ÔÙÒØ P U 2 dp dp = dτ 2 = dτ2 dτ 2 = c 2, µ

131 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ ½ ÙÙÖ ¾ Ä Ò Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò ÐØ Ò ÙÖÚ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò ÛÓÖ Ò Ñ Ø ÒØ τ Ú Ò Ø ÐØ º Ò Ð U Ö Ú ØÓÖ Ò ÙÖÚ º Ê Ø Û Ö Ò Ò Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð {x α } Òº Ò Ð U Ø ÒÙ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò U α = dx α /dτº Û Ö Û Ò Ø Ú Ò Ñ ØÖ Ò ÖÙ Ø ½ º ÇÑ Ø Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ø Ð Ð Öµ ÓÔÐ Ú ÖØ Ø Ð Ò Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ðº Ï Þ Ò Ù Ø Ò Ð Ú ÖÚ ØÓÖ Ð Ò Ø 1 Ø Ò Ò Ø Ö Ø Ò Û Øº Å Ö ÓÔ Ø Þ Ò Ø Ò ÖÙ Ñ Ò Ú Ò Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ðº ÁÒ Ø Ú Ð Ø Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ø ÛÓÖ Ø Ð Ø ÚÓÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ð U α = dxα dτ. ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Þ Ò Ù Ð Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Þ Ð º µ Ð Ø ÐØ ÚÖ Û Ø Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ø Ò ÓÔ Û Ö Ò Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ÑÓ Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ð Ò Û Òº À ÖÑ Ó Ð Ò Û ÞÓ Ö Ø Ð ÑÓ Ð ÓÒ Ö ÒÚÐÓ Ú Ò ÖÓÑÑ Ò º À Ø ÐØ ÒØ Þ Ò Ò Ò Ð Ô Ö ÐÐ Ð Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Òº Ö Ð Ø U U = 0, µ Ò Ø ÞÓ Ð Û Ö Ò Ú Ö Ð Ò µ Þ Ò Ò ØÖ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ó Øº Ï Ø Ø Ø ÒØ Ø Û ÒÒ Ö Û Ò Ö Ò ÐÓ Ð ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú Ö Ò Ð ÓÒ Ø ÒØ Ð Ú Ò Ò ÖÓÑ Ö Ø Ò Ð Ð Ò ÒÙÐµ Ð Ø ÐØ Ð Ø Ò Ð Ò Ø Ò Øº Ï Û ÐÐ Ò ÒÙ Ò Ó Ó Ø ÒÚ Ö Ð Ò ÖÙ Ø ÓÑØ Ø Þ Ò Ð Û Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ò Òº Ø Ø Ø Ò Ø Ö Ø ÖÔ Ò Ð Ú Ò º ¾º ÁÒ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÛÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò U Ú Ò ÓÓÖ U α = dx α /dτ Ò ÙÒÒ Ò Û Ó Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ö Ú Ò Ð U α ;µ Uµ = 0 ( U α,µ + Γα µν Uν) U µ = 0. µ Å Ö ÓÔ Ø U α ;µ Ö ÒØ Û ÖÚ Ò Û Ò Ø ÒÔÖÓ ÙØ Ò Ñ Ò Ñ Ø Ò Ð U µ ÓÑ Ð Ú Ò Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ò Ð Ø Ú Ò Òº Þ Ð Ø ÐÐ Ò Û Ú ÖÚÓÐ Ò Ð Ò ÒÙÐº ÁÒ ØÛ Ø Ô Ñ Ò Û ÖÙ Ú Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ð º Ï Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò ÒÙ Ø ÖÑ Ò Ò Ú Ò Ò U α,µ }{{} U µ dx µ dτ }{{} U α x } µ {{} du α dτ = d dτ ( dxα dτ ) +Γ α µν U ν }{{} dx ν dτ }{{} U µ dx µ dτ = 0 d2 x α dτ 2 + Γα µν dx µ dτ dx ν dτ = 0. µ ½ ÁÒ Ø ÄÄ ÓÑØ dp ÓÚ Ö Ò Ñ Ø (c τ, 0) Û Ö τ ÒØ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò Ð ÐÓ º Ö Ð Ø Ò Ø dp dp = (c τ) 2 º

132 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ ¾ À Ø Ð Ò Ö Ò Ø Þ Ò Ø Û Þ Ò Ù Ø Ò Ú Ò ØÖ Ø Ø Ò ÓÖÚ Ö Ð Ò µ ÚÓÓÖ Ò Ó Øº Æ Ø Ò Ö Ò Ò Ú Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Û Þ Ú Ö Ð Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ú Ò Ò Ø Ö ÙÐØ Ø Ú Ö Ð Ò µº Þ Ð Ø Ø Ø Ú Ö ÛÓÒ ØÛ ¹ÓÖ Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ò x 0 (τ) x 1 (τ) x 2 (τ) Ò x 3 (τ)º Þ Ú Ö Ð Ò Ò Þ Ò ÓÔÔ Ð Ú ÓÒÒ Ø Ó ÒØ Òº ÇÑ Ø Ø ØÛ ¹ÓÖ Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò Þ Ò Ò Û ØÛ Ö Ò ÚÓÓÖÛ Ö Ò ÒÓ ÚÓÓÖ Ð ÓÔ Ø Ø Ô τ = 0 ÞÓÛ Ð x α (τ = 0) Ð dxα dτ (τ = 0) = Uα (0)º ÖÒ Ð Ø Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ø ÚÖ ÐØ Ó Øµ Ú Øº ÙÙÖ Û Ö Ð Ð Ò Ò Ú Ò ØÛ ÐØ P Ò Q Þ Ò Ò Ø Ð Ô Ö ÐÐ Ðº ÓÓÖ ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Û Ò ÐØ Ò Ö Ð Ö ØÓ º Ø Ò ØÙ Ò ÐØ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ð Ú ØÓÖ ξº Ï Ò Ò º Ó Ø Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÐØ P Ò Qº Ø ÚÓÖÑØ ÒÐÓÓÔ ØÓØ Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Òº ËØ Ð Ø Û ØÛ ÐØ Ò ÓÔ Ò Ô Ð Ø Ø Ô Ø Û ÚÓÓÖ Ø Ñ Ð τ = 0 Þ Òµ Ò ÖÙ Ø Þ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Öº Ï Ò Ö Ò Ô Ö Ø Ú ØÓÖ ξ Ú Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ö ÐØ Û Øº Î Ö Ö Ø ÐØ P Ò Ò Ð Uº Ø ÐØ ÒÚ Ò Ð Ò ÖÙ Ø Þ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö ÓÑØ Ò Ö ÓÔ U ξ = 0 ÓÔ ÔÙÒØ P ÓÔ Ø Ø Ô τ = 0º Î Ö Ö Û ÐÐ Ò Û ξ ÞÓ Ò Ö Ò Ø Ò Ø ÄÄ Ú Ò ÐØ P Ú ØÓÖ ξ ÞÙ Ú Ö ÖÙ ÑØ Ð Ø Ò ÙÞ Û ÑÓ Ò Ñ Òµº À ÖÑ ξ ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ Ò Ð Uº À Û Ø Ù Ò Ò Ö Ø Ò ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ Ø Ö Ø Ò Ø Øº Ö Ð Ø Ò U ξ = 0 ÓÔ ÔÙÒØ Pº Ë Ñ Ò Ú Ø Ò Û ÓÔ Ø Ø Ô τ = 0 U ξ = 0 U ξ = 0 op punt P voor τ = 0. µ ØÛ Ð U U ξ Ø Ö Ò Ø Ð Ò ÒÙÐ Û ÒØ Û Û Ø Ò Ø Ø Ò Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ñ Ö Ö ÛÓÖ Ò Ð Û ØÛ ¹ÓÖ Ð Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ñ Òº Ø Ø ÒØ Ø Ó Ø Ò Ú Ò ÐØ Ò Ö Ð Ö ØÓ ÛÓÖ Ò ÖÙ Ø Ó Ú Ò Ð Ö Ú ÖÛ Ö Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ñ ØÖ µ Ò ÖÑ Ø Ø ÚÓÖ ÖØº Ö Ð Ø U U ξ = R(, U, ξ, U), µ Ñ Ø R ÖÓÑÑ Ò Ø Ò ÓÖº Þ Ú Ö Ð Ò Ö Ø Ó ØÛ ÒÚ Ò Ð Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ó ¹ Ø Ò Ò ÐÓÓÔ Ö Ø Ú Ò Ð Ö ÒÒ Ò Ø Û Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÖÓÑÑ Ò º

133 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÐ Ø Ù Ø Ú Ö Ð Ò Ò ¼µ Ò µº ØÛ Ð U U ξ Ö Ø Ö Ð Ø Ú Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ú Ò ÐØ º ÁÒ Ø ÄÄ Ú Ò ÐØ P ÓÔ Ø Ø Ô τ = 0 Ð Ø U 0 = 1 Ò U i = 0º À ÖÑ Ú ÖÛ Ø Ò Û ( U U ξ) j = 2 ξ t 2 = Rj αβγ Uα ξ β U γ = R j 0k0 ξk, ¼µ Û ÒØ Ò Ð U Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø ÄÄ Ú Ò ÐØ P Ø ÖÛ Ð Ô ¹ Ö Ø Ú ØÓÖ ξ ÐÐ Ò ÖÙ ÑØ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø k = 1,2,3º ÁÒ Ø ÄÄ Ø Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ó Ø Û Ò ÚÓÖÑ 2 ξ j t 2 = Rj 0k0 ξk, Ø ÖÛ Ð Û Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ñ Ò ÚÓÒ Ò Ò Þ Ú Ö Ð Ò µµ Ø ½µ 2 ξ j t 2 = E jkξ k. ¾µ ÁÒ Ò ÄÄ Ø ÖÙ ÑØ Ð Ð Ú Ò Ñ ØÖ ÖØ δ ij = diag(1,1,1)µ Ò Ñ Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ò Ø Ù Øº Î Ö Ð Ò Ø Ò R j0k0 = E jk = 2 Φ x j x k. µ Ï ÙÒÒ Ò Ò Ð Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ø Ò ÓÖ ÒØ Ö Ò Ñ Ø Ð Ò Ú Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ðº ÎÓÐ Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ø 2 Φ = 4πGρ Φ,jk δ jk = E jk δ jk = E j j, µ Ò Û Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ø ÔÓÓÖ Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ø ÒØ Ò ÓÖ E j j = 4πGρº Ò ÐÓÓ ÞÓÙ Ñ Ò Ú ÖÛ Ø Ò Ø Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÞÓÙ Ð Ò Ø Ð Ò Ö Ø Ó º R j 0j0 = 4πGρ? µ Ö Ø Ö Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ú Ö Ð Ò µº À Ø ÒØ Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ø Þ Ò Ò Ø Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Øº Ï Ø Û Ø Ö Ò Ò Ø ÓÔ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ò Ô Ð Ø Ð Ð Ø ÄÄ º Ï Ø Û Ö ÐÚ Ò Ò Ø Ó Ò ÔÖÓ Ö Ò Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ø Ú Ò Òº À ÖØÓ Ñ Ö Ò Û ÓÔ Ø Ò Ø ÄÄ Ð Ø Ø R 0000 = 0 Ò R = 0 Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ º Ö Ð Ø Ù Rj 0j0 = 4πGρ Rµ 0µ0 = 4πGρº Ï Ú Ò Ò ÓÒ ÒÓ Ø Ò Ø ÄÄ ÓÚ Ö Ò Ð Ø Ö R 00 = 4πGρ Ñ Ø R 00 Ê Ø Ò ÓÖ Ñ Ö Ø Ø ÖÞ µº Ö ÒÓ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ú Ö Ð Ò µ Ð Ò Ú Ò Ø Ð Ø Ò Ò Û ØÛ Ò Ò Ö Ø ÖÚ Ò Ò Ò Ð º Â ÞÓÙ Ù Ñ Ò ÙÒÒ Ò Ò Ò Ø Ð Ø R αβ = 4πGT αβ? µ À Ö T αβ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Û ÖÚ Ò T 00 = ρ Ò Ø ÓÚ Ö Ò Ú ÓÑ Ò Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÄÄ µº Ò Ø Ò Ñ Ø Þ Ó Ð Ò ½ ½¾ Ñ Ö ÓÙØ Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ò Ò ÓÙÛ ÒÓÒ Ø ÒØ º À Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ø Ö Ô Ò Û Ø Ö Ñ Ò Ø ÓÑØ Ò Ö ÓÔ Ø ÚÓÐ Ò º ÓÙÛ Ö Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ R δ αβγ g αβ,γδ + niet lineaire termen. µ

134 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ Ð Û Ö Ø Ò Ö Ò Ü ÓÒØÖ Ö Ò Ö Ò Û R αβ g γα,γδ + niet lineaire termen. µ Ï Þ Ò ÖÑ Ø ÚÓÓÖ Ø Ð Ú Ö Ð Ò Ò µ Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÚÓÖÑ Ò Ú Ò ½¼ Ô Ö¹ Ø Ð Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ ½¼ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ñ ØÖ g αβ Û ÒØ Ñ ØÖ ÝÑÑ ØÖ Ò α Ò βµº ÇÓ Ê Ø Ò ÓÖ ÝÑÑ ØÖ º Ø Ð Ø ÐÐ Ñ Ð ÔÖ Ñ Ñ Ö Û Ò ÚÖ ÓÑ Þ Ð Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ø Þ Ò Û Ö Ò Û Ú Ö Ð Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ú Òº Ï Ò ÚÖ ÓÑ x 0 (P) x 1 (P) x 2 (P) Ò x 3 (P) Ø Þ Òº Ï ÙÒÒ Ò Ø ÖÙ Ò ÓÑ Ú Ò ½¼ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò g αβ ÞÓ Ð Þ Ò Ð ÙÒØ Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ð Ø Þ ØØ Ò Ò Û Ø Û Û ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ð g 00 = 1 g 01 = g 02 = g 03 = 0º Ø Ö ÓÒÞ Ú Ö¹ Ð Ò Ò µ Ø Ò Ø Ò Ø ØÓ ½¼ Ô ÖØ Ð Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ ½¼ ÓÒ Ò Òº Ï Ø Û ÒÓ Ò Þ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ ½¼ ÓÒ Ò Òº ÎÓÓÖ Ø Û ÓÒÞ Ô ÙÖØÓ Ø Ò Ö Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖØÞ ØØ Ò Ñ Ò Û Ö Ø ØÛ ÓÔÑ Ö Ò Òº Ö Ø ÓÔÑ Ö Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò ÒØ Ø Ø Òº Ò Þ Þ Ò ÒØ Ø Ø Ò R αβγδ;ǫ +... = 0 Ð Ø Ø Ð Û Ò Ø ÒØ Ò ÓÖ Ò Ö Ò G αβ R αβ 1 2 Rg αβ, µ Ñ Ø R αβ Ö Ø Ò ÓÖ Ò R Ð Ö ÖÓÑÑ Ò Ò ÞÓÖ Ò Ò Ò ÒØ Ø Ø Ò ÖÚÓÓÖ Ø Ú Ö ÒØ Ú Ò Ò Ø ÒØ Ò ÓÖ Ð Ò ÒÙÐ G αβ ;β = 0. ¼µ ØÛ ÓÔÑ Ö Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ò ÓÙ Û ØØ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ò ÑÔÙÐ º ÁÒ Ò ÄÄ Ð Ø T 00 T αβ,β = 0 t + T0j = 0, x j ½µ T j0 t + T jk x k = 0. Å Ö ÓÔ Ø T0j ÖÙ ÑØ Ð Ú Ö ÒØ Ò Ò Ö ÓÙ Þ Ø ρ/ t + divj = 0 Ñ Ø x j T j0 T jk J Ñ ¹ Ò Ö ÙÜº Ú ÒÞÓ t ÑÔÙÐ Ø Ò ÑÔÙÐ ÙÜº ÇÑ Ø Û x k ÐÐ Ò Ö Ø Ð Ò Ñ Ò Û Ø Ð Ø Ò Ò ÚÐ ÖÙ ÑØ Ò Ø ÄÄ ÓÓ Ð ÚÓÓÖ ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ø º À ÖÑ Ú Ò Ò Û Ø Ò ÓÖÚ Ö Ð Ò T αβ ;β = 0. ¾µ À Ø Ð Ø Ö Ð ÓÑ Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Ò ØÙÙÖ ÓÞ Ò Ø ÚÓÓÖ G αβ = 8πG c 4 T αβ. µ Ø Þ Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Òº Ú ÒÖ ØÓÖ 8πG/c 4 µ Ú Ò Ò Û ÓÓÖ Ò ÛØÓ¹ Ò Ò Ð Ñ Ø Ø Ò Ñ Òº ÎÓÓÖ Ø Û Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò ÓÔÐ Ò Û Ø Ò Û Ð Ø G αβ ;β = 0 = 8πG c 4 T αβ ;β. µ Ø Þ Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ò Ø Þ Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Òº Ò Þ ÒØ Ø Ø Ò Ú Ö ÒØ Ú Ò G αβ Ò T αβ Þ Ò ÒÙÐµ ÛÓÖ Ø Ð ÚÓÐ Òº Ø Ð Ø Ô Ö Ò Ò ÓÔ Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò ÓÓ Û Ð Ú Ð Ú Ö Ð Ò Ò ÒÓ Ñ µ Ò Ú Ð Ú Ö Ð Ò Ò Ú Ò Ð Ø Ò ÙÛ ØÙ Ò Ò ÓÖÑ Ø º Ø ÔÖ Û Ø Û ÒÓ Òº

135 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ º Û Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ò Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ð Ñ Ø À Ø Ù Ð Ø ÊÌ Ö Ú Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ö Ù ÖØ ØÓØ ËÊÌ ÚÓÓÖ ÐÓ Ð ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ º À Ø Ø Ö Ð Ò Ö ÓÑ ÜÔÐ Ø Ø ÓÒØÖÓÐ ¹ Ö Ò Ø Ö Ú Ò Ö Ù ÖØ ØÓØ Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ò Ð Û ÓÖÖ Ø Ö Ò ÚÓÓÖ¹ Û Ö Ò Þ Òº ÓÒ Ö Ö Ú Ø Ø Ø ÖÙ ÑØ Ø Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ ηº Ö ÐÚ ÞÙÐÐ Ò ÞÛ Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ò Ñ Ø Ò Ö Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ï Ò Ñ Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ò Û Ö Ò Ñ ØÖ ÚÓÐ Ò ÚÓÖÑ Ø g µν = η µν + h µν met h µν 1. µ Î Ö Ö Ò Ñ Ò Û Ò Ø Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ñ ØÖ Ø Ø ÓÒ Ö Û Ö ÓÓÖ Ð Ø 0 g µν = 0º Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò ÚÖ Ú ÐÐ Ò ÐØ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ó Ø Ú Ö Ð ¹ Ò d 2 x µ dτ 2 + dx ν dx σ Γµ νσ dτ dτ = 0. µ Ï Ò Ñ Ò Ò Ø Ø ÐØ Ð Ò Þ Ñ Û Ø Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø µ ÞÓ Ø ÚÓÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ö Ò Ð Ð Ø dx i /dt c (i = 1,2,3) Ñ Ø t Ò Ö Ú x 0 = ctº À ÖÑ Ò Û ÚÓÓÖ i = 1,2,3 dx i dτ dx0 dτ. Ï ÑÓ Ò Ö Ò Ð Ú ÖÛ ÖÐÓÞ Ò Ò Ú Ò Ò µ d 2 x µ dτ 2 + Γµ 00 c2 Ï ÖÙ Ò Ú Ö Ð Ò ¾µ Ò Ú Ò Ò ( ) dt 2 = 0. µ dτ Γ µ 00 = 1 2 gκµ ( 0 g 0κ + 0 g 0κ κ g 00 ) = 1 2 gκµ κ g 00 = 1 2 ηκµ κ h 00, µ Û Ö Û Ú Ö Ð Ò µ Ò ÖÙ Øº Ð Ø Ø Ð Ð ØÓØ ÓÔ Ö Ø ÓÖ Ò h µν º ÇÑ Ø Û Ò Ò ÒÓÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ø Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÁÒÚÙÐÐ Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ Ð Ú ÖØ Γ 0 00 = 0 en Γ i 00 = 1 2 δij j h 00 met i = 1,2,3. ¼µ d 2 t dτ 2 = 0 en d 2 x dτ 2 = 1 2 c2 ( ) dt 2 h 00. ½µ dτ Ö Ø Ú Ö Ð Ò Ø ÐØ Ø dt/dτ = constant Ò ÖÑ ÙÒÒ Ò Û ØÛ Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÓÑ Ò Ö Òº Ø Ø ÚÓÐ Ò Û Ò Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ø ÐØ d 2 x dt 2 = 1 2 c2 h 00. ¾µ Ð Û Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Ò ÛØÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Û Ò Ú Ò Ò ÐØ Ò Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ð ÓÖÑÙÐ ½ µ Ò Þ Ò Û Ø ÒØ Þ Ò Ð Û

136 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ ÒØ Ø Ñ Ò Ø h 00 = 2Φ/c 2 º Ï Ú Ò Ò Ø ÚÓÓÖ Ò Ð Ò Þ Ñ Û Ò ÐØ ÊÌ ÓÚ Ö Ø Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ò Ð Ñ ØÖ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ( g 00 = 1 + h 00 = 1 + 2Φ ) c 2. µ Ï ÙÒÒ Ò Ò ØØ Ò Ñ Ò Ú Ò Þ ÓÖÖ Ø ÓÔ Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Û ÒØ Φ c 2 = GM c 2 r Ò Û Ú Ò Ò 10 9 Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ 10 6 Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò ÞÓÒ Ò 10 4 Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ò Û ØØ Û Ö º Ï Þ Ò Ø ÞÛ ¹Ú Ð Ð Ñ Ø Ò Ù Ø Ø Ò Ò Ö Ò º Î Ö Ð Ò µ ØÓÓÒØ Ø ÖÙ ÑØ Ø ÖÓÑÑ Ò ÖÚÓÓÖ ÞÓÖ Ø Ø Ø Ó Ö Ò Ø t Ò Ø Ð Ñ Ò Ò Ø ÒØ Ñ Øº À ÖØÓ Ò Ñ Ò Û Ò ÐÓ Ò ÖÙ Ø ÓÔ Ò Ô Ð ÔÙÒØ Ò ÓÒ Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ð Ø dx i /dt = 0µº À Ø ÒØ ÒØ ÖÚ Ð dτ ØÙ Ò ØÛ Ø Ò Ú Ò Þ ÐÓ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ c 2 dτ 2 = g µν dx µ dx ν = g 00 c 2 dt 2 Û ÖÑ Û Ú Ò Ò dτ = ( 1 + 2Φ )1 2 dt. µ c 2 Ø Ø Ø ÒØ ÖÚ Ð Ò ÒØ dτ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò ÒØ ÖÚ Ð dt Ò Ó Ö Ò Ø ÒØ ÚÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÒ Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÙÙÖØ Ú Ò Ò Ñ Ó Ø Ò Ò Ñ Ø Ö Ú Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ð Φº ÇÑ Ø Φ Ò Ø Ø ÒØ ÒØ ÖÚ Ð ÓÖØ Ö Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò ÒØ ÖÚ Ð ÚÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÒ Ö Û ÖÒ Ñ Ö ÓÔ ÖÓØ Ø Ò Ú Ò Ø Ó Ø Û Ö Φ 0 Ò Ù dτ = dtº Å Ö ÓÔ Ø Û Ø Ö Ò Ð Ù Ø Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Þ Ú Ö Ð Ò µ Ñ Ø Φ = ghº ÙÙÖ Ò Ò Ú Ò Ò Ð Ò Ò Ó Ð ÓÓÖ ÖÙ ÑØ º Þ Ò Ú ÒÙ Ø Ò Ð ÓÖ ØÓÖ ÙÑ Ò Ò Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ò ÖÓÑÑ Ò º À Ø ÖÙ ÑØ Ø ÒØ ÖÚ Ð ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ ( ds 2 = 1 + 2Φ ) c 2 (cdt) 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2. µ Þ Ú Ö Ð Ò Ö Ø Ò ÓÑ ØÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Û Ö Ò ÐØ ÓÔ Ó Ø Ò Û Ò ÔÖ Þ Ð Ò Ò ÚÓÐ Ò Ð Ú Ò ÐØ Ò Ò ÚÐ ÖÙ ÑØ Ø Û Ö Ò Ò Û¹ ØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø Ö Ø Ø º Ï Ò ÖÑ Ò ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ø Ð ÚÓÒ Ò ÚÓÓÖ Æ ÛØÓÒ Ö Ú Ø Ø º ÖÓÑÑ Ò ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø Ò º ÃÖÓÑÑ Ò Ò Ø Ò Ø Ò Ö Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ø Ö Ø ÚÓÓÖØ Ñ Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ò ÓÔ

137 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÐ Ø Ò Ö ÐÚ Ø ÖÓÑ º Þ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ô ÐØ ÚÓÐÐ Ò Ò Ú Ò ÐØ Ò Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ð º Ð Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø ÐÐ Ò Ø ÖÓÑÑ Ò º Ï ÐÐ Ø Ø Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ø Ò ÓÒ ÚÓ Ð Òº ÁÑÑ Ö Ò Ø Ð Ø ÞÓ Ú ÒÞ Ð ÔÖ Ò Ð Ø Ø Ö Ú Ø Ø Ò Ñ Ò Ø Ø Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ º Ã ÚÓÓÖ Ð Ò Ö Ò Ò Ú Ò ØÛ Ó Ø Ò Ò ÖÙ ÑØ ÞÓ Ð ØÓÓÒ Ò º º Ò Ú Ò Ó Ø Ò Ò Ð Ñ Ø Ò Ö Ð Ø Ð Ò Ð Ú Ò Ñ» Û Ø Ò Ò ÓÓ Ø Ö Ø Ú Ò Ñº À Ø Ò Ö Ó Ø Ó Ð Ù Ø Ò Û Öº Þ Ó Ð Û Ø Ñ Ø Ó Ò Ð ¼¼ Ñ» µº Ð Û ÙÙÖ Ò Ò Ð Ø Ò Ú Ò Ð Ø Ö Ö ÖÓÑ Ò Ú Ò Ó Ðº À Ø ÔÙÒØ Ø Ö Ø Û Ò Ø Ò Ö Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ò Ò Ø Ò Ñ Ö Ò Ö ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º À ÖØÓ Ø Ò Ò Û Ò Ò ÒÓ Ñ Ð Ò º Ñ Ö ÒÙ Ò Ñ Ò ÓÛ ÖÙ ÑØ Ø º Ï Þ Ò Ø ÒÙ Ò Ò Ú Ò Ð Ò Ó Ð Ò Ð ÖÓÑÑ Ò Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º ÁÒ Û Ö Ð Ø Ø Ö Ò Ú Ò Ò Ò Ò ÖÓÑÑ Ò Þ Ò ÙÙÖ Ò Ò Ú Ò Ò Ð Ò Ò Ó Ð ÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø º Þ Ò Ú ÒÙ Ø Ò Ð ÓÖ ØÓ¹ Ö ÙÑ Ò Ò Ò Þ Ð ÖÓÑÑ Ò º Ï Ú Ö Ð Ò ÒÐ Ò Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÓ Ð Ò Ø Ú Ò Ö Ð ØÖ Ðµ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò µ 2» ÓÓ Ø µº Ö ÖÓÑ Ù Ø ÓÑ Ø Û Ú Ö Ø Ò Þ Ò Ø ÖÙ ÑØ Ø Û Ö Ò Þ Ø Ò Þ Ò Þ Ð ÖÓÑ º ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø ÔÖ ÞÓ Ò Ø Ò Ò Þ Ð ÚÓÐÐ Ö Ø Þ Ò Ø Þ Ò ÑÑ Ö Ó Ø Òº º ÞÛ ¹Ú Ð Ð Ñ Ø Ú Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò µ Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ø ÒØ Ò ÓÖ Ú ÒÖ Ñ Ø Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ G µν = constante T µν º Ï Û ÐÐ Ò Ú ÒÖ ØÓÖ Ô Ð Ò ÓÓÖ ÞÛ ¹Ú Ð Ð Ñ Ø Ø Ò Ñ Òº À ÖØÓ Ó Ú Ò Û ÐÐ Ò 00¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÙÛ Òº Ï Ú Ò Ò Ò R Rg 00 = constante(t 00 ). µ

138 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ ÁÒ ÞÛ ¹Ú Ð Ð Ñ Ø ÖÙ ÑØ Ø Ð Ø Û Ò ÖÓÑ Ò Ø Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò Û ÖÚÓÓÖ g µν = η µν + h µν Ñ Ø h µν 1 Ø ÖÛ Ð Ñ ØÖ Ø Ø ÓÒ Ö º Ö Ð Ø Ù g 00 1º Î Ö Ö ÙÒÒ Ò Û Ò Ø ¼µ Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ø Ò ÓÖ ÖÙ Ò ÓÑ R 00 Ø Ú Ò Òº Ö Ð Ø R 00 = 0 Γ µ 0µ µγ µ 00 + Γν 0µΓ µ ν0 Γν 00Γ µ νµ. µ ÁÒ ÓÒ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Þ Ò Γ µ νσ Ð Ò ÞÓ Ø Û Ð Ø Ø ØÛ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ø ¹ÓÖ Ò h µν ÙÒÒ Ò Ú ÖÛ ÖÐÓÞ Òº ÇÓ Ñ ØÖ Ø Ø ÓÒ Ö Ò ÓÒ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ú Ò Ò Û R 00 i Γ i 00. µ ÁÒ ÓÒÞ Ù Ú Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ð Ñ Ø Ò Û Ò Ú Ö Ð Ò ¼µ ÚÓÒ Ò Ø Γ i δij j h 00 Ò Ö Ø ¹ÓÖ Ò h µν º Ù Ð Ø R δij i j h 00. µ Ï ÙÒÒ Ò ÒÙ ÓÒÞ Ò Ö Ò Ò ÚÓÓÖ g 00 Ò R 00 Ù Ø ØÙ Ö Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ Ò Ú Ò Ò Ò ÞÛ ¹Ú Ð Ð Ñ Ø 1 2 δij i j h 00 constante (T 00 1 T). ¼µ 2 Ï Ò Ö ÖÙ Ø Ø R = constante T Ñ Ø T T µ µ ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò µ Ñ Ø Ñ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø Ö Ú Ò R µ ν 1 2 δµ νr = constante T µ ν Ò Þ Ø ÓÒØÖ Ö Ò ÓÓÖ µ = ν Ø Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ÓÔ Ø δ µ µ = 4µº ÇÑ ÚÓÓÖØ Ò Ø ÙÒÒ Ò Ñ Ò ÑÓ Ø Ò Û Ø ÒÒ Ñ Ò ÓÚ Ö ÓÓÖØ Ñ Ø Ö Ø ÞÛ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ú Ð ÔÖÓ Ù ÖØº Ï Ò Ñ Ò ÖÚÓÓÖ Ò Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ º ÎÓÓÖ Ñ Ø Ð Ñ Ø Ö Ú Ö Ð Ò Ò Ð Ø P/c 2 ρ Ò Û ÙÒÒ Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ÚÓÓÖ ØÓ Ò Ñ Ò Þ Ú Ö Ð Ò ¾¾ µº Ö Ð Ø T µν = ρu µ U ν, ½µ Ò ÖÑ Ú Ò Ò Û T = ρc 2 º Î Ö Ö Ò Ñ Ò Û Ò Ø ÐØ ÚÐÓ ØÓ ÚÓÖÑ Ò Ò Ð Ò U Ò Ò ÓÒ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ð Ò Þ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò cº Ï Ó Ò ÒÒ Ñ γ U 1 Ò Ù U 0 cº Î Ö Ð Ò ¼µ Ö Ù ÖØ Ò ØÓØ 1 2 δij i j h constante ρc2. ¾µ Ï Ñ Ö Ò ÓÔ Ø δ ij i j = 2 º Î Ö Ö Ò Û Ñ Ø Ú Ö Ð Ò µ h 00 = 2Φ/c 2 Ñ Ø Φ Ö Ú Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ðº Ð Û Ú ÒÖ ÓÒ Ø ÒØ ÒÙ Þ Ò Ð constante = 8πG/c 4 Ò Ú Ò Ò Û ÔÓ ÓÒÚ Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø Þ ÓÓ Ú Ö Ð Ò ½ µµ 2 Φ 4πGρ. µ Þ ÒØ Ø Ú Ö ÖØ ÓÒÞ ÒÒ Ñ Ø Ú ÒÖ ØÓÖ ØÙ Ò Ò Ø ÒØ Ò ÓÖ Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ð Ò 8πG/c 4 º º Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò µ Þ Ò Ò Ø ÙÒ º Ò Ø Ò ÓÒØ Ø Ð Ò Ð Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ð Ð ÓÑ Ò Ø Ø ÑÓ Ð Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÓÔ Ú Ò Ú Ð Ú Ö Ð Ò¹ Òº Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ú Ò ÐØ ÓÔÐÓ Ò Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ñ Ø Ò ÜÔ Ò Ö Ò Ó ÓÒØÖ Ö Ò Ð Ðº ÌÓ Ò Ò Ø Ò Ø Û Ö Ò ½ ½ Ù ØÚÓ Ö Û ÐÐ Ò ÓÒÞ Ñ Ð Û Ò

139 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ Ò Ø Ð Ø ÓÔ Ò ÙÒ ÓÖÑ Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ú Ø Ø ÖÖ Òº ÓÓÖ Ø ÒÚÓ Ö Ò Ú Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Λ Û Ò Ø Ò Ò Ø Ø ÓÑ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ø Ö Ö Ò Ñ Ö Ð Ò ÐÐ Ñ Ð Ò Ø Ð Ø Þ Òµº Ä Ø Ö Û Ö Ò Þ Ò Ø Ñ Ð Û Ð Ø Ò Ú Ò Ú Ð Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð Ø ÖÛ Ð Ò ½ ¾ Û Ò ÀÙ Ð Ù Ø Ò Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÓÒØ Ø º À Ô Ð Ø Ò Ò Ò ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ò Ú Ò Ò Ð Ò Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð Ò Þ Ø Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÜÔ Ò ÖØ Þ º º Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò Ø ÒÓ Ø Þ Òº ËØ Ö Ö ÒÓ Ð Ò Ø Ò Ñ Ö Ú ÖØÖÓÙÛ Ò Ò Þ Ò Ú Ö Ð Ò Ò Þ ÜÔ Ò Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÙÒÒ Ò ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Òº Ì ÒÛÓÓÖ Ò Û Ò Ò Ö ÓÔ Þ Þ Ñ Ö ÖÓÚ Ö Ð Ø Ö Ñ Öº ÙÙÖ Ä Ò Ò Ð Ú Ò Ò Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð Ø Ô Ð Ò Ù Ø Ø ÓÔÔÐ Ö Øº Ø Ò ÛÓÖ Ø Ô Ð Ù Ø Ð Ö Ú Ò Ø Ò Ö Ö Ò Ö Ø Ø Ð Ø Ø Ø ÖÖ Ò Ø Ð¹ Ð Ò ÐÐ Ö Ú Ò ÓÒ Û Ò Ò ÖÑ Ø Þ Ú Ö Ö Û Ø Òº Ù Ð ÓÒ Ø ÒØ H 0 = 72 Ñ»»ÅÔº ËØ ÖÖ Ò Ø Ð Ð Û Ò Ò Ø ÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ñ Ö Ö Ú Ò Ð Ø Û Ö Ñ Ø ÜÔ Ò Ö Ò ÖÙ ÑØ Ñ º Ï Ø Ò Ø Ò Û Ø ÚÓÐ Ò º Ï Û Ø Ò Ø µ G µν = 0 Ò ÓÓ µ T µν = 0 Ò Û Ò Ò Ú Ö Ð Ò Ò ¾ ¼µ Ò ½¼µ Þ Ò Ø ÓÓ µ g µν = 0º Ï ÑÓ Ò Ð ÓÒ Ø ÒØ Ú ÐÚÓÙ Ú Ò g µν ÓÔØ ÐÐ Ò G µν Ò Ö Ò Ò ÒÓ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ð Ú Ö Ð Ò Òº À Ø ÖÙ Ð ÓÑ Ú ÒÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ù Ò Ñ Ø Λ Ò Û Ú Ò Ò Ò R µν 1 2 g µνr + Λg µν = 8πG c 4 T µν, µ Û Ö Λ Ò Ò ÙÛ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ØÙÙÖÓÒ Ø ÒØ Û Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ ÒÓ Ñ Òº Ï Ø Û ÖÑ ÓÔ Ú Ò Ø ÑÓ Ö Ò Ø ÒØ Ò ÓÖ³ G µν = G µν + Λg µν Ò Ø Ñ Ö Ð Ò ÒÙÐ Ð ÖÙ ÑØ Ø ÚÐ Î Ö Ö G µν Ò Ø Ñ Ö Ò Ö Ø ØÖ Ñ Ø ÚÓÓÖ ÖÓÑÑ Ò º ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò µ Û Ö Ñ Ø Ñ Ò Ò Ø Ö Ú Ò Ò Ø ÓÒØÖ Ö Ò Ú Ò Ò Û R = 8πG T + 4Λº ÁÒÚÙÐÐ Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ Ð Ú ÖØ c 4 R µν = 8πG ( c 4 T µν 1 ) 2 Tg µν + Λg µν. µ Ï ÚÓÐ Ò ÒÙ Þ Ð ÔÖÓ ÙÖ Ð Ò ÓÓ ØÙ º Ò Ú Ò Ò Ú Ð Ú Ö Ð Ò Ò Ò ÞÛ ¹Ú Ð Ð Ñ Ø ÚÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø 2 Φ = 4πGρ Λc 2. µ

140 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ ¼ ÎÓÓÖ Ò Ö Ñ M Ú Ò Ò Û Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð g = Φ = 3GM 2r 2 ˆ r + c 2 Λrˆ r, µ Ò Û Þ Ò Ø Ó ÑÓÐÓ Ø ÖÑ ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ØÓØ Ò Û ÖÚ Ò Ø Ö Ø Ú ÒÖ Ñ Ø r ØÓ Ò ÑØº Ì ÒÛÓÓÖ Ò Û Ò Ò Ö ÓÔ Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ º Å Ö ÓÔ Ø Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ò Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ T µν = (ρ + Pc ) 2 U µ U ν + Pg µν. µ Ï Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÚÓÓÖ Ø Ö Ò Ô Ð Ù Ø ÒØ ³ Ñ Ø Ò ÚÖ Ñ ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò P ρc 2 º Ò Ö Ð Ù Ø ÒØ Ø Ø Û ÒÓ Ò Ø Þ Ò Ø Ò ÓÑ Ò ÓÑ Ø Ø Ò Ò Ø Ú ÖÙ Ø Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ÚÓÓÖ Þ Ù Ø ÒØ T µν = Pg µν = ρc 2 g µν. µ À Ö Ò Ò Û Ø ÚÓÐ Ò ÓÔ Ø Ñ Ö Òº ÐÐ Ö Ö Ø Ò Ø Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ÚÓÓÖ Þ ÚÖ Ñ Ù Ø ÒØ ÐÐ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ø Ö ÐÚ Ò Ò Ô Ú Ò Ø Ú ÙÙÑ Þ Ð Ò Û ÒÓ Ñ Ò ρ Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ú ÙÙÑº Ì Ò ØÛ ÚÓÖÑ Ú Ò T µν ØÞ Ð Ð Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ Ó ÑÓÐÓ Ø ÖÑ Ò Ú Ö Ð Ò µº Ï ÙÒÒ Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ù Þ Ò Ð Ò ÙÒ Ú Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ú ÙÙÑ Ô ÐØ ρ vacuum c 2 = Λc4 8πG. ¼¼µ Ð Û Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ø Ú ÙÙÑ Ò Ù Ò Ñ Ø T vacuum µν = ρ vacuum c 2 g µν ÙÒÒ Ò Û ÑÓ Ö Ú Ð Ú Ö Ð Ò Ò Ö Ú Ò Ð R µν 1 2 Rg µν = 8πG c 4 Ñ Ø T µν Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ú Ò ÒÛ Þ Ñ Ø Ö Ó ØÖ Ð Ò º ( Tµν + Tµν vacuum ), ¼½µ Ð Λ 0 Ò ÒØ ÓÔ Þ Ò Ñ Ò Ø Þ Ð Ò Ø Þ Ò Ø ρ vacuum Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ø Ò Ø ρ vacuum < ρ materie µ ÚÓÓÖ Ú ÐÐ Ò Û Ö Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ó Ö Ú Ò Ú Ò Ñ Ø Ú Ò Øº Ý Ø Ñ Ò Ñ Ø Ð Ò Ø Ø Û ÖÓÔ Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÛÓÖ Ò ØÓ Ô Ø Þ Ò Ð Ò ÐÙ Ø Ö Ú Ò Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð º À ÖÑ ÙÒÒ Ò Û ÚÓÐ Ò Ð Ñ Ø ÔÐ Ø Ò ρ vacuum c 2 = Λc 4 8πG ρ cluster g/cm 3 ¼¾µ ÓÔ Û Ö Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ô Ö Ñ Ø Öº À Ø Ú ÒØ Ø Λ Þ Ð Ò Ø ÚÓÐÐ ÓÒ Ð Ò Ö ÓÔ Ð Ú Ò Ò Ø Öº ÀÓ ÙÒÒ Ò Û Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ú ÙÙÑ Ö Ò Ò ÒÚÓÙ Ø Ö Ò Ò Ò ÓÑÑ Ö Ò ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò ÒÙÐÔÙÒØ Ò Ö Ú Ò ÐÐ Ò Ò ØÙÙÖ Ò Ú Ð Òº À Ø ÒØÛÓÓÖ Ø ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ø ÓÒ Ú Ö ½¾¼ ÓÖ Ú Ò ÖÓÓØØ Ó Ö Ò ÓÚ Ò Ö Ò ÓÔ Λ Û Ò Ø Ô Ð Òº Ø Ò Ø Ö Ô Ò Ò Ö ÒØ Ò Ý Ñ Ò Ñ Ø Ø Ò Ø Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò Ñ Øº Ê ÒØ Ñ Ø Ú Ò Ù Ò ÖÓÔ Ø Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø ÔÖ Ð Ò ÒÙÐº Ø Ö Ø ÒÛ Þ Ò ÓÑØ Ú Ò Ñ Ø Ò Ò Ò Ú ÖÖ ÌÝÔ

141 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ ½ ÙÙÖ ØÓÖ Ú Ò ÜÔ Ò Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑº ÁÒ Ø Ú ÖÐ Ò Û Ø Ø Ú Ò Ñ Ø Ð Ò Ö Ö Ò Ø Ú Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ú ÖØÖ ÜÔ Ò Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑº Ø Ö Ð Ø ÚÓÐÙÑ Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ØÓ Ò ÑØ Ò Ò ÑØ Ø º À Ø Ø Ú Ò Ú ÙÙÑ Ò Ö ÓÒ Ø ÒØº Ð Ø ÚÓÐÙÑ ÖÓÓØ ÒÓ ÛÓÖ Ø Ò Þ Ð Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÚÓÓÖ ÐØ ÜÔ Ò Ö Òº Á ÙÔ ÖÒÓÚ Þ Ò Ø ÜÔ Ò Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ØÓ Ò ÑØº Ø ÛÓÖ Ø ØÓÓÒ Ò º º ÓÒ Ö Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ú ÖÛ Ø Ò Û Ø ÓÓÖ ÒØÖ Ò Ö Ø Ú Ò ÐÐ Ñ Ø Ö Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÜÔ Ò ÞÓÙ Ú ÖØÖ Ò Ò Ñ Ò Þ Ð ÒÐ Ò ÞÓÙ Ú Ò ÚÓÓÖ Ò ÓÒØÖ Ø Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑº Ð Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ö Ú Ò ÒÙÐ Ú Ö ÐØ Ò Ò Ø Ú ÖÙ Ú Ò Ø Ú ÙÙÑ ÖÚÓÓÖ ÞÓÖ Ò Ø Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ú Ö Ò Ð Ù Ø Øº º½¼ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ö Ú Ø Ø Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò Þ Ò Ò Ø ÙÒ ÞÓ Ð Û Þ Ò Ò Ò ÚÓÖ Ø º À Ø ÓÓ ÑÓ Ð ÓÑ Ö Ð Ò ÙÛ Ö Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Òº Ï ÔÖ Ò Ò Ø ÚÓÐ Ò Ò ÒØ Ðº º½¼º½ Ë Ð Ö Ö Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò ÁÒ Ò ÛØÓÒ Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÛÓÖ Ø Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð ÚÓÓÖ Ø Ð ÓÓÖ Ð Ö Φº Ø Ú Ð ÚÓÐ Ó Ø Ò ÔÓ ÓÒÚ Ö Ð Ò 2 Φ = 4πGρº ÇÑ Ø Ñ Ø Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÛÓÖ Ø Ö Ú Ò ÓÓÖ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ T µν Ò Ð Ö Ñ Ø Ñ Ò Ñ Ø Û ÙÒÒ Ò Ñ Ò T µ µº Î Ö Ö Þ Ò ÔÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ú Ò Ú ÖÚ ØÓÖ x µ Ò Ò Ñ Ò Û ÓÓ Ð Ò Ö Ø Ñ Ú 2 µ µ = ct + 2 µº Ò ÓÒ Ø ÒØ Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÓÖ Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ú Ð Ú Ö Ð Ò 2 Φ = 4πG c 2 T µ µ. ¼ µ

142 Ä Å Æ Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ ¾ Þ Ø ÓÖ Ø Ö ÓÒ Ù Ø Ð Ò Ò ÚÓÓÖ Ô Ð ÓÒ Ö Ò Ö Ò Ø Û Ö ÒÓÑ Ò Ø Ò ÓÔ Ò Ú Ò Ñ ÖÙÖ Ù µº Î Ö Ö Ö Ò ÓÔÔ Ð Ò ØÙ Ò Ö Ú Ø Ø Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ñ Û Ö ÓÓÖ Û Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ò Ò ÓÓ Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ø ÓÓÖ Ñ Ø Ö º º½¼º¾ Ö Ò ¹ Ø ÓÖ Ò Ö Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ö ÓÔ Ò Ú ØÓÖÚ Ð Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø ÐÓØ Ò ÓÑ Ø Ò Ö Ð Ø ÓÖ ÚÓÓÖ Ô ÐØ Ø Ñ Ú ÐØ Ð Ö ÞÙÐÐ Ò ØÓØ Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò ÒØÖ Òº À Ø Û Ð ÑÓ Ð ÓÑ Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÓÖ Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ñ Ø ÓÑ Ò Ø Ú Ò Ð Ö Ú ØÓÖ Ò Ø Ò ÓÖÚ Ð Òº Ñ Ø Ð Ò Ö Ú Ò Ø ÓÓÖØ Ø ÓÖ Ò Ú Ò ÊÓ ÖØ Ò ÖÐ Ö Ò Ù Ø ½ ½º Ö Ò Ò Ò Ò Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓÖ ÓÓ Ù Ø Ú Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ¹ ÔÖ Ò Ô Ò Ú Ö Ö Ò ÓÔ Û Þ Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º ÁÒ ÔÐ Ø Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ G Ø Ò Ð Ò Ð Ò Ò ØÙÙÖÓÒ Ø ÒØ ÒØÖÓ¹ Ù Ö Ò Þ Ò Ð Ö Ú Ð φ Ø Ø Ö Ø Ú Ò G Ô ÐØº Ø Û Ð Þ Ò Ø Ø Ð Ö Ú Ð φ Ø Ö Ø Ú Ò ÓÔÔ Ð Ò Ú Ò Ñ Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ô ÐØº ÓÔÔ Ð Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ Ø Ð Ö Ú Ð Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð ÙÒÒ Ò Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð R µν 1 2 g µνr = 2 φ = 4πλ ( T M) µµ, ( ) 8π T M c 4 φ µν + T µν φ. ¼ µ Ï Þ Ò Ø Ø Ò Ú Ò Ñ Ø Ö ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ø Ð ÓÓÖ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ T M µν Ò Ò ÓÔÔ Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ λ Ø Ð Ö Ú Ð Ô ÐØº À Ø Ð Ö Ú Ð Ô ÐØ Û Ö Ú Ò G Ò Ú Ð Ú Ö Ð Ò Ò Ö Ð Ø Ö Ò ÖÓÑÑ Ò Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ò Ø Ð Ö Ú Ð T φ µν Ò Ñ Ø Ö T M µν º À ØÓÖ ÛÓÖ Ø ÓÔÔ Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ Ö Ú Ò Ð λ = 2/(3 + 2ω)º ÁÒ Ð Ñ Ø ω Ú Ò Ò Û λ 0 Ò ÛÓÖ Ø φ Ò Ø ÒÚÐÓ ÓÓÖ Ñ Ú Ö Ð Ò º Ï ÙÒÒ Ò φ Ò Ð Ø ÐÐ Ò Ò φ = 1/Gº ÁÒ Ð Ñ Ø ω 0 Ø T φ µν 0 Ò Ö Ù ÖØ Ö Ò ¹ Ø ÓÖ ØÓØ Ú Ò Ò Ø Òº Ö Ò ¹ Ø ÓÖ Ð Ò Ö ÓÑ Ø Ð Ø Þ Ò Ø Ñ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø ÓÖ Ò Ò ÓÒØÛ Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ Þ Ò Ñ Ø Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô º Ò Ú Ò ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ò Ú Ò Ö Ò ¹ Ø ÓÖ Ø Ø Ú Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ G Ò ÙÒØ Ú Ò Ø Ò Þ Ò Ò Ô Ð ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ø Ð Ö Ú Ð φº Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ò G ÞÓÙ Ò Ò Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ò Ò¹ ÚÐÓ Ò Ò Ò Ö Ð ÓÒÚ ÖÚ Ø Ú ÓÒÐÙ Ú Ò Ñ Ø Ú Ò Þ Ø Ø ω 500º ÖÑ Ð Ø Ò Ø Ò Ø ÓÖ ÓÖÖ Ø Ø ÓÖ ÚÓÓÖ Ö Ú Ø Ø ÐØ Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ö Òº º½¼º ÌÓÖ Ø ÓÖ Ò ÁÒ ÓÒÞ Ù Ú Ò ÖÓÑ ÖÙ ÑØ Ø Ò Û Ò ÒÓÑ Ò Ø Ú Ö Ø Ø Ò ØÓÖ Øº Ø Ò ÒÓÓ Þ Ð Ò Û ÙÒÒ Ò Ù Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò Ö Ð Ö Ò Ñ Ø Ò ØÓÖ Ø Ò ÓÖ T µ νσ = Γ µ νσ Γ µ σν, ¼ µ Ò Ø Ð Ò ÒÙÐº ÌÝÔ ÛÓÖ Ø ØÓÖ Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÓÓÖ ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò Ô Ò Ú Ò ÐØ º Ö Ð Ø ÓÖ Ò Þ Ò Û ÙÒ ÓÑÔÐ Ö º Ö Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ñ Ø ÖÙ ÑØ Ø ØÓÖ ÛÓÖ Ò Ú Ò Ø Ò¹ ÖØ Ò Ø ÓÖ Ò ÒÓ Ñ Ò Þ Ò Ù ØÚÓ Ö ÓÒ ÖÞÓ Øº

143 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ º½ Ê Ð Ø Ú Ø Ó ÑÓÐÓ ÁÒØÖÓ ÙØ ÁÒ ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ò Ò Û Ô Ð Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð º ÓÒ ÔØ Ò Ú Ò ÖÓÑ ÖÙ Ñ Ò Ø Þ Ò Ù Ö Û Û Ø Ò Û Ð Ú Ö Ò Ö Ø Ø ØÙ Ò Ñ ØÖ Ò ÒÛ Þ Ñ Ò Ò Ö Ò Þ Ò Ò Ø Ø Ò Ú Ö Ö Ò Ñ ØÖ Ø ÖÙ Ò ÓÑ Ý Ñ Ø Ö ÖÓÓØ Ò Ø Ò Ò Ò Ø Òµ Ø Ö Ò Òº ÚÓÐ Ò Ø Ô Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ò Ø ØÓ Ô Ò Ú Ò Ø ÓÖ ÓÔ Ò Ð Ô ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ø ÔÖ Û Ö Û Ò Ø ÓÓ ØÙ Ñ ÞÙÐÐ Ò ÒÒ Òº À Ö ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ú Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ ÓÑ Ò ØÓ Ô Ò Ò Ú Ò ÊÌ Ò Ð Ò Ø ÓÖ Ú Ò Ó Ö Ò Ðº Ï ÞÙÐÐ Ò Ò Þ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ø Ð Ð Ù Ø Ø Ò Ø Ò Ð Ú Ò Ù Ø Ò Ø Ö Ò Ò Û ÒÒ Ö Û Ñ Ò Ò Ö ÒÒ Ò Û ÖÑ Ø Ð Ð ÚÙÐ º Î Ö Ö ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ò Ø Ø ÑÓ Ð Ò Ø ÓÑÔÐ Ø Û ÖÒ Ñ Ò Ò Ð Ø Ò Þ Ò Ø Ö Ò Ð ÓÒÚÓÐ ÓÑ Ò Ò Ò Ó Ö Ò ÐØ ÓÖ Þ Ò ÓÔ ÐÓØ Òº Þ ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ð Ò Ò ÖÒ ÔÓ Ò ÓÔ Ø ÐÓ Ò ÓÓÖ Ø ÓÖ Ù Ø Ø Ö Ò Ñ Ø Ò Ò ÙÛ Ó ÑÓÐÓ Ò Ø º º¾ À Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ï ÞÙÐÐ Ò ÓÒ ÒÙ Ò Þ ÓÙ Ò Ñ Ø ØÓ Ô Ò Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÔ Ø Ð Ðº À Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Þ Ò Ø Ð Ò Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ø Û ÙÒÒ Ò Û ÖÒ Ñ Ò ÓÔ Þ Ò Ñ Ò Ø Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ø Ö ØÓØ Ò ÚÓÐ Ó Ò Ø Ò ÓÑ ÓÒ Ú Ð Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ò Ú Ò Ò º Ï Ú Ò Ø Ñ Ø Û Ö Ò º º Ò ÚÖ ÙÙÖ µ Ú ÖÐ Ò Ð Ø Ó Ð Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÚÓÖÑØ Ö Ò Ú Ò Ø Û ÖÒ Ñ¹ Ö Ø Û ÐØ ÓÖ ÞÓÒ ÒÓ Ñ Òº Ð Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ØÓ ÓÑ Ø Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ò Ó Ø Ø Ø Ò Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Þ ÒØ Ò ÖÓØ Ö ÛÓÖ Òº À Ø Ù Ø Ò Ö Ò Ò Ú Ø ÙÖØ Ò Ò Ò ØÓ ÓÑ Ø Û ÖÒ Ñ Ö ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Òº Å Ø Ð Ø Þ Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Ð Ø Ð Ð Ò Ñ Ö ÙÖØ Ò ¹ Ò ÒÒ Ò Þ Ð ÙÒÒ Ò Ò ÓÖÑ Ø ØÙÙÖ Ò Ñ Ø Ð Ö Ò Ð º À Ø Ö Ñ Ð Ø Þ Ò Ø Ö Ö ÒÞ Ò Þ Ò Ò Ø Û ÖÒ Ñ Ö º µ ÌÛ Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð Ð Ò Ò Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ò Ú Ò Ð Ö Ò ÓÔ ÖÓØ Ø Ò ÞÓ Ø ÙÒ Ð Ø Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ØÓÓÒØ ØÓ Ò Ø Ú Ð ÓÒ Ö Û º Ð Ò ÞÓ Ú Ö Ù Ø Ð Ö Ø Þ ÓÒÚÓÐ Ó Ò Ø Ò ÓÑ Ø ÓÑÑÙÒ Ö Ò ÙÒ Ú ÖÐ Ò Ð Ø Ð Ö Ò Ò ÚÓÓÖ Ø Þ Ð Ö Ò Òº Ø Ø ÖÙ Ð Ð Ú Ò Ò ÞÓÒ Ö Ò Ø Ò ØÓÓÒØ Û ÖÓÑ ÓÑÓ Ò Ø Ø Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÑÓ Ð Ø Ö Ô Ò ÚÓÓÖ Ø Ø Ò Ö Ò Ò Ö Óº À Ø Ú Ö Ø Ø Ò ÓÔ Ò ÒÓ Ð Û Þ ÓÒÒ Ò ÓÔ Ò Ø¹Ú Ö ÓÒ Ò ÐÓ Ø º Ö Ò Ø Þ Ò Ñ Ø Ò ÓÔ ÓÔ Û Ð ÖÓÒ Ò Ñ Ò Û Ò Ø ÐÓÙØ Ö Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÒÓ

144 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ÓÑ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ð Ð Ø Ö Ú Ò Ö Þ Ò ÑÑ Ö ÒÓ Ò Ð Ò Ö Ò ØÙÙÖ Ö Ø Ò Ú Ð ÓÖ Ú Ò ÖÓÓØØ Ö Ø Ö Þ Ò Ò ÞÛ ÖØ Ö Øº Ø Ò Ö Ø Ú Ð Ñ Ö Û ÑÓ Ø Ò ÓÒ Ò Ò Ø Þ Ö Ø Ò ÓÔ Ó Ñ Ð ÚÖ Û Ð Ò ÒÚÐÓ Ù ØÓ Ò Ò Ø Ö Ò ÞÛ ÖÒ Ö Ø Û Ö Ò ÐÐ Ò ÓÔ Ð Ò Ú Ò ÓÖ Ú Ò ÑØÓÑ Ø Ö Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ø Ô ÐØ Ò Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö ÖÓÐ Ò Þ Ò Ø ÖÖ Ò Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð Ò ÐÐ Ò Ö Ñ Ø Ö Ð ØÖ Ò ÙØÖ Ð Þ Ò ÓÔ Ñ ÖÓ ÓÔ Ðº À Ø ÚÓÐ Ò ÓÓ Ø ÐÐ Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø Ò ÖÓÐ Ò Ô Ð Ò Ò ÝÒ Ñ Ú Ò Ø Ð Ð Ò Ù Ø Û Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÙÒÒ Ò ÖÙ Ò ÓÑ Þ ÝÒ Ñ Ø ÓÒ ÖÞÓ Òº Ï Ø Û Ø Ò Û Ú Ò Ø Ð Ð Ò Ú Ò Ö Ø Ò Ò ÓÔÚ ÐØ Û ÒÒ Ö Û Ò Ö Ò Ø Ñ Ð Ò Ø Ø Ö Ò Ð Ö Ø Ò ØÞ Ð Ù Ø Ð Ø Ø Þ Òº Ï ÒÒ Ö Ø Ø Ö Ò Ð Ø Ø ØÓ Ò Ø Ð Ñ Ð ÞÓ Ø Þ Ò ÔÐ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ò Ò Ô Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ú Ø Ø ÖÖ Ò Ñ Ø ÓÖ ÒÖ Ò Ú Ö Ò Ò ÓÔ Þ ØØ Ø Ò Ò ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÐ Ø Ò Ò Ñ Ð Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ø ÖÖ Ò Ø ÖÓØ Ö Ò ÓÔ Ò Ò Ö ÔÐ º Ø Ö Ð Þ ÓÒÖ ÐÑ Ø ¹ Ò Þ Ò ÐÐ Ò Ø ÓÒØÛ Ö Ò Û ÒÒ Ö Ø Ð Ð Ò ÛÓÖ Ø ÓÔ Ò Ð ÞÓ ÖÓÓØ Ð Û ÙÒÒ Ò Þ Ò Ò Ò Ò Ð Ð Ú Ò Ò Ø Ð ÓÓÔ Ó Ø ÐÓØ ÓÓ ÓÔ Ò Ð Þ Ò Ú Ò Ò Ð ÓÒ Ö Ò Ñ Ô Ö Þ Ò Þ ÓÒÖ ÐÑ Ø Ò Ù Ø Ñ Ö Ò Ð Ø Ø Ð Ð Û Ð Ð Ö ØÞ Ð Þ Ò Ò ÐÐ Ö Ø Ò Òº Þ Ò Ô Ö Ø Ò Ñ ÓØÖÓÔ º ÙÙÖ Ó Ñ Ñ ÖÓ ÓÐ Ø Ö ÖÓÒ ØÖ Ð Ò Å Êµ Ò ÚÓÖÑ Ú Ò Ð ØÖÓÑ ¹ Ò Ø ØÖ Ð Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÚÙÐØº Å Ê ÛÓÖ Ø Ú Ö Ð Ö ÓÓÖ Ó Ö Ò ÐØ ÓÖ Ð Ø Ò ÐÓ Ò Ú Ò Ø Û Ø Ö ØÓ ÔÐ Ñ ¼º¼¼¼ Ö Ò Ó Ö Ò Ðº Ø Ô Ö Ó Ú Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò ÔÖÓØÓÒ Ò Ò Ð ØÖÓÒ Ò ØÓØ Û Ø Ö ØÓ º Å Ê Ø Ø Ô ØÖÙÑ Ú Ò Ø ÖÑ ØÖ Ð Ò Ú Ò Ò ÞÛ ÖØ Ð Ñ Ñ Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ¾ ¾ Ã ØÓØ Ò ÔÖ Ú Ò ¼ Ð Ò ÓÔ ½ Ñ Ð Ó Òµ Ò ÓØÖÓÓÔ ØÓØ ÓÒ Ú Ö ½ Ð Ò 10 5 º ÓØÖÓÔ Ú Ò Ø Ð Ð ÛÓÖ Ø Ú Ð Ñ Ö Ö Ø Þ Ø Û ÒÒ Ö Ò Ø ÐÐ Ò Ò ÛÓÖ Ø Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ñ Ø Ö Ò Ø Ð Ð Ñ Ö ÓÓ Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ð Ø Ò ØÖ Ð Ò º ÎÓÐ Ò ÑÓÛ ÓÒ ÓÒ ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ð Ò ÜØÖ Ñ Ø Ò ÓÑÔÖ Ñ Ö Ò ÙØÖ Ð ÓÐ Ò Ò ØÖ Ð¹ Ò º Î ÒÛ Ö ÖÓØ ÒØ ÖÒ Ò Ö ÜÔ Ò Ö Þ ÚÙÙÖ Ð Þ Ò Ð Ø Ø ÔÖÓ ÛÓÓÒÐ Ò ÛÓÖ Ø ÒÓ Ñ º Ì ÒÛÓÓÖ Ú Ö ÐØ Ø ÔØ Ö Ø Ò Ö ÑÓ Ð³ Ú Ò Ø ÒÒ Ò ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ò Ø Ð Ú Ò ÑÓÛ³ Ð Ñ Ö Ø ÓÒ ÔØ Ú Ò Ò Ò ÛÓÖ Ø ÓÒ Ö Ø ÙÒ ÓÓÖ ÓÒØ Ò Ò ½ Ú Ò Ø Ö ÖÓÒ ØÖ Ð Ò ÓÓÖ È Ò¹

145 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Þ Ò Ï Ð ÓÒº Ð Ò ½ Ñ ØØ Ò È ÒÞ Ò Ï Ð ÓÒ Ø Ö ÓÑ Ö Ö ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ÒÓÖÑ ÒØ ÐÐ Ò ÓØÓÒ Ò ÓÒ Ø Ù Ø Û Ð Ö Ø Ò Þ ÓÑ Ò ÐÐ Ñ Ð ¾ Þ Ð Ò Ö¹ Ò Þ Ò Ö ÓÑØ ÓÚ Ö Ò Ñ Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ÓÒ Ú Ö ¾ ¾ Ã ÐÚ Òµº Ø Ø ÒØ Ø ÐÐ Þ Ø Ö Ð Ò Ú Ò Ø Ð Ð Þ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ð Ö ÓÓ ØÖ Ð Ò Ò Ö Ð ÓØÖÓÓÔ Ú Ö Ð ÓÚ Ö Ø Þ Ø Ö Ð Ðº Ê ÒØ Ñ Ø Ú Ò Ú Ò Ï Ð Ò ÓÒ Å ÖÓÛ Ú Ò ÓØÖÓÔÝ ÈÖÓ ÏÅ Èµ ÛÓÖ Ò ØÓÓÒ Ò ÙÙÖ ¼º Ñ ÖÓ¹ ÙÙÖ ¼ Å Ø Ú Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ñ Ø Ï Ð Ò ÓÒ Å ÖÓÛ Ú Ò ÓØÖÓÔÝ ÈÖÓ º ÓÚ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖÚ Ö Ð Ò Ò Ð Ø Ó Ö Ò Ø Òº Ò Ò Ò Ö Ö ÒØ ÖØ Ñ Ú Ò Ñ Ð Û Ø Ý ÒÙ ÓÑÔ Ü Ò Ò Ö ÖÓÒÒ Ò ØÓÓÒØº ÓÐ Ø Ö ÖÓÒ ØÖ Ð Ò ÛÓÖ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ð ØÖ Ð Ò ÓÚ Ö Ð Ú Ò Ú Ò Ø Ò Ø Ð ØÖ Ð Ò Ú Ò Ø ÒÒ Ò ÙÒ Ú Ö ÙÑº Í Ø ÖÙ ÑØ Ð Ú Ö Ð Ò Ú Ò ØÖ Ð Ò ÙÒ¹ Ò Ò Û Ò ÓÖÑ Ø Ú Ö Ö Ò ÓÚ Ö Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ØÓ Ò Ø ÓÒ Ú Ö ¼º¼¼¼ Ö ÓÙ º Ë Ò ¾ ÇÓ ÒÙ Ò Û Ò Ö Ø Ð Ð ÓÔ Þ Ö ÖÓØ Ð Ø Ø ÒØ Ø Û ÐÓ Ð Û Ò Ò Ú Ò Ò Ö Ú Ò ÓØÓÒ Ò ÓÓÖ ÐÓ Ð ÒÚÐÓ Ò Ú Ò Ø ÖÖ Ò ÛÓÐ Ò Ø Ù Ø Ò ÓÙÛ Ò Ð Ø Òº

146 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Ø Ò ÓØÓÒ Ò Ò ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò ÓÒ Ö Ò ÓÓÖ ÜÔ Ò Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑº ÎÓÓÖ Ø Ò Ð Ò Ö Ò ¼º¼¼¼ Ö Ò Ò Û Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ø ÓÓ ÚÓÓÖ Ò ÓÒ ØÓÓÖ ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò Ú Ò ÓØÓÒ Ò Ò Û ÚÓÓÖ Ð ÓÓ Û Ø Ö ØÓ Ò Ø Ø Ðº Ñ Ø Ú Ò Ú Ò ÏÅ È Ù Ò ÓÔ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ¾ ¾ Ã Ñ Ø Ú Ö Ò ÓØÖÓÔ Òº ÖÓÓØ Ø Ò ÓØÖÓÔ ÓÑ Ø Ú Ò Û Ò Ú Ò ÓÒ Ñ Ð Û Ø Ð Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ó Ñ Ø Ö ÖÓÒ ØÖ Ð Ò º Ð Ò Ö Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Ò ÓØÖÓÔ Ò ÓÔ Ø 10 5 Ò Ú Ù ÓÔ Ò Ð Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½¼ ÓÓ Ñ ÒÙØ Ò ØÓØ Ò Ð Ö Òº Þ Ð Ò Ú Ö Ø Þ Ò Ø ÚÓÐ Ú Ò Ø ÞÓ Ò Ñ Ë ¹ÏÓÐ Ø Û Ö ÓÓÖ ÓØÓÒ Ò Ú Ò Ø Ö ÖÓÒ ØÖ Ð Ò Ò Ö Ú ¹ Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ö Òº ÎÓÐ Ò Ø Ò Ø ÑÓ Ð Ð Ø ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ú Ò Þ Ú Ö Ø Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÙØ Ø ÙÖ Ò Ò Ø Ö ÜÔ Ò Ö Ò Ò Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÔÖ ÑÓÖ Ð ÙØÙ Ø º Í Ø Þ Ð Ø Ø ÙØ Ø Ù ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÓÒ ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÓÒØ Ø Òº Ð Ò Ö Ø ÓÒÐÙ Ú Ò ÏÅ È ØÓØ ÒÙ ØÓ ÙÒÒ Ò Ð ÚÓÐ Ø ÛÓÖ Ò Ñ Ò Ú Ø À Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ 13,72 ± 0,12 Ñ Ð Ö Ö ÓÙ º Ñ Ø Ö Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ò Ø Ò Ñ Ð Ö Ð Ø Öº À Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ø Ø Ù Ø 4,6 ± 0,1 ± ÛÓÒ ÖÝÓÒ Ñ Ø Ö Ù Ø 23,3 ± 1,3 ± Ú Ò Ò ÓÒ Ò ÓÓÖØ Ö Ñ ØØ Ö³ Ò Ñ ÓÑ Ø Þ Ò Ø Þ Ø Ö Ñ Ö Û Ð Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ø Ò Ø Ò Ù Ø 72,1±1,5 ± Ú Ò Ø Ø Û Ö Ò Ö Ý³ ÒÓ Ñ Òº Ø Ð Ø Ø Ò ÝÔÓØ Ø Ò Ö ÚÓÖÑ Ø Ð ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÓÓÖ Ö Ò Ø Ò Ò Ò Ø Ú ÖÙ Ù ØÓ ÒØ Û Ö ÓÓÖ Ö Ø Ò ØÓØ Ò Ö Ú Ø Ø Ö Ø ÓÒØ Ø Øº Ó ÑÓÐÓ Ò Ö Ó³ ÚÓÓÖ Ò Ø Þ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ø Û ÖÒ Ñ Ò Òº ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ 70,1 ± 1,3 Ñ»»ÅÔº Ð Ù Ø ÓÖ Ò ÛÓÖ Ò ØÓ Ô Ø ÓÔ ÏÅ È Ñ Ø Ú Ò Ò Ö Ò Ò Ø Ø Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÙÛ Þ Ð ÜÔ Ò Ö Òº Î Ð Ú Ò Þ ÓÒÐÙ ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ø Ú ÖÚÓÐ Ú Ò Ø ÓÓ ØÙ Òº Æ Ø Ø ÓÚ Ö¹ ØÙ Ò Û Ð Ú Ö ÓÓÖ Ç Ò ÏÅ È Þ Ò Ö Ñ Ö ÒÛ Þ Ò Ò ÚÓÓÖ Ù Ø Ú Ò Ò Ø ÓÖ ÚÓÓÖ Ð ÓÒ ÒØ Ú Ò Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ò ÞÓ Ò Ñ ÔÖ ÑÓÖ Ð ÒÙÐ Ó ÝÒØ º ÇÓ Ñ Ø Ö Ú Ö Ð Ò ÓÔ ÖÓØ Ð Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÓØÖÓÓÔº Ø ÛÓÖ Ø ØÓÓÒ Ò º ½º ÁÒ Ø ÒÒ Ò Û Ö Ø ÓÒ ÖÞÓ Ñ Ö ÚÓÐÐ ÛÓÖ Ò Ø Ò ÒÓÔ Ò Ò Ö Ò Þ Ø Ö Ñ Ö ÓÔ ÖÓÓØ Ø Ð Ò Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð Ð ÚÓÓÖ ÔÖ Ø Ð Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑº Ï ÒÒ Ö Þ ÓØÖÓÔ ÛÓÖ Ø Ñ Ò ÚÓ Ñ Ø Ø Ø Ö Ò Ô Ð ÔÓ Ø ÒÒ ÑØ Ò ÑÓ Ø Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ø Ø Ð Ð Ö Ú Ò Ð ÔÓ Ø Þ Ò Ö Ø Þ Ð Ù ØÞ Ø ÞÓ Ò Ñ ÒÒ Ñ Ú Ò ÓÑÓ Ò Ø Øµ Ò ÐÐ Ö Ø Ò Òº Þ ÓÑ Ò Ø Ú Ò ÓØÖÓÔ Ò ÓÑÓ Ò Ø Ø ÛÓÖ Ø Ú Ð Ø ÖØÔÙÒØ ÒÓÑ Ò Ú Ò ØÓ Ô Ò Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÔ Ø Ð Ð Ò Ö Ø Ð Ò Ñ Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ú Ò Ð ÔÓ Ø Ò Ø Ð Ð Ð Ò Ñ Ø Ö Ò Ò Ö Ð Ñ Ø Ú Ö Ð Ø Þ Ò Û ÒÒ Ö Ò ÓÔ Ò Ð Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½¼¼ ÅÔº Ð Û Ò ÑÓ Ð Û ÐÐ Ò ÓÙÛ Ò Ø ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ð Ð Ù ÚÓÐ Ö Ø Ò ÑÓ Ø Ø Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ò Ò ÓÙÛ ÒÛ Ð Ò Ñ Ò Ö Ú ØØ Ò Û ÖÓÔ Ø ÓÔ Ò Ó Ò Ö Ñ Ò Ö Ò ÐÓ ÚÓÐ Ú Ò Ø Ð Ú Ò Ø ÑÓ Ðº Ï ÞÙÐÐ Ò Ò Ø Ú ÖÚÓÐ Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Þ Ð Ò ÓÙÛ Ò Ò ÓÒÞ Ö Ú Ò º Ö Ù Ò ÚÓÓÖ ÙÖ ÚÓÓÖ Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ò Ý Ø Ñ Ø ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ó Ñ Ø Ö ÖÓÒ ØÖ Ð Ò º Ø Ö Ø ÄÓÖ ÒØÞ ÒÚ Ö ÒØ Ò Ð Ø ÓÓ ØÓØ Ø Ò Ø Ð Ò Ú Ò ÓÙ Ú Ò Ò Ö Ò ÑÔÙÐ º

147 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ÙÙÖ ½ ¾ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò ÙÖÚ Ý Ø Ô ØÖ Ñ Ø Ò Ú Ò ¾ º ½ Ó Ø Ò ÚÓÓÖ¹ Ò Ñ Ð Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð º ØÓÓÒ ÛÓÖ Ò Ó ÔÓ Ø Ò ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ò Ú Ò Þ Ø Ö¹ Ö Ò Ø Ð Ð º À Ø Ð Ø Ð Ó Ö Ñ Ò Ö Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð ÓÔ ÖÓØ Ø Ò ÛÓÖ Ò Ñ Ø Ò Ñ Ö Ø ÛÓÖ Ø Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÓÓÖ Ø Ø Ø Ò ÐÐ Ò Ñ Ö Ð Ö Ø Ø Ð Ð Þ Ø Ö Þ Òº Ï ÐÐ Ò Û Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÖÙ Ò ÓÑ Ø Ð Ð Ø Ö Ú Ò Ò Ð Ø Ø ÚÓÓÖ Ò Ò Ñ ØÖ Ø Þ Ò Ò Ñ Ø Ö ¹ Ò Ò Ö Ú Ö Ð Ò ÓÔÐ Ú ÖØ Ò ÓÚ Ö Ò¹ Ø ÑÑ Ò Ñ Ø Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô º Ø Ð Ø Ò Ø Ò Ð ÑÓ Ð Ø Ø Þ Òº ÁÒ Ö Ø ÔÐ Ø Ò Û Ð ÓÔ Ñ Ö Ø Ø ÞÛ ÖØ Ö Ø Ò Ö Ø ÓÔ Þ Ð Ò ÖÓÐ Ô ÐØ Ò ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ð Ð Ò Ø Ø ÒØ Ø Û Ò Ö Ò Ò Ó Ú Ò Ø ÓÙ Ò Ñ Ø Ò Û Ð ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò Ø Ð Ú Ò Ò Ö Ö Ö Ø Ò ÒÛ Ð Û ¹ ÐÛ Ö Ò Ú Ò ÓÒÞ Ñ ØÖ Ñ Ø Þ Ö Ø Ò ÓÔ Ø Û Ò Ø ÓÑÓ Ò Ø Ø Ò ÓØÖÓÔ ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Øº ÁÒ ÔÐ Ø ÖÚ Ò ÙÒÒ Ò Û Ñ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ú Ò Ñ Ò Ò Ö Ð Ö Ø ÓÖÖ Ð Ö Þ Ò ÞÓÒ Ö ÒÚÐÓ Ò Ú Ò Ò Ö Ö Ø Òº Ó ÚÓÐ Ø Ò ÓÓ Ø Ð Ñ ØÖ Þ Ð Ò ÚÓÓÖ ÙÖ Ö Ø Ò ÒÛ Ð ÚÓÓÖ ÙÖ ÔÓ Ø ÒØ Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ø ÓÓ Ò Ø Þ Ð Òº À Ø Ò Ø ÞÓ Ð ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ñ ØÖ Ø Ú Ò Ò Ò Þ ÚÓÐ Ó Øº ÐÚÓÖ Ò Ø Ø Ó Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÒÙ Ú Ò Ò Ô Ö Ú Ò ÓÒ Ð Ò Ñ ØÖ Ò ÓÙÛ Òº Û ÖÞ Ð ¹ Ñ ØÖ ÓØÖÓÓÔ Ñ Ö Ò Ø ÓÑÓ Ò Ñ ØÖ Ò ÛØÓÒ Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø ÓÔÐ Ú Ö Ú Ö Ð Ò µ ÓÓ ÓØÖÓÓÔ Ñ Ö Ò Ø ÓÑÓ Òº Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ö ÒØ Ò ÞÓÛ Ð ÓØÖÓÓÔ Ð ÓÑÓ Ò Å Ö Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ ÞÓÙ Ø ÓÖØ Ø Ò ÓÑ Ø Ð Ð Ø Ö Ú Ò Ò Þ Ò Û Ð Þ Ò Ò Ò Ø ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ø Þ Ñ ØÖ ØÖ Ø ÒÓÑ Ò ÐÐ Ò Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò Û Þ Ú Ò Ñ Ø Ö Ò Ò Ö Ò Ð Ð Ð Ù º ÓÚ Ò Ò Ô Ö Ò Û ÓÒ Ñ Ø Þ ÙÞ Ú Ò Ñ ØÖ Ñ Ö Ò Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ú ÖÐ Ò Ø Ø ÔÖ Ò Ô Þ Ø Ò Ö Ø Ø Ð Ð Ö Ú Ò Ð ÔÓ Ø Þ Ò Ò ÐÐ Ö Ø Ò Ò Ö ØÞ Ð Ù Ø ÓÓÖØ Ø Þ Ò Ñ Ö Ò Ø Ø Ø Ù ØÞ Ø ÓÔ Ð Ø Ø Ô ØÞ Ð Ó Ø Ø Þ Òº À Ø Ò ÓÓ ØÓ Ø Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ð Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ ØÓ Ø ÒÒ Ò Ñ Ø Þ Ñ Ö Ò ÐÐ ÖÙ ÑØ Ð Ö Ø Ò Ò ØÞ Ð º Þ Ø Ò Ð ÚÓ Ø Ñ Ò ØÓ ÓÓÖ Ñ Ð Ú Ò Ò ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ÒÓ µ ÓÒ Ò ÙÒØ

148 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ a(t) Ò Ñ Ð ØÓÖ Ò Ñ ØÖ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ g µν = a 2 (t) a 2 (t) a 2 (t). ¼ µ Þ Ñ ØÖ Ö Ø Ò Ñ ÚÐ ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö Ñ ØÖ Ò Ô ÐØ Ò ÓÓ ÖÓÐ Ò Ó ÑÓÐÓ º Ý Ø Ò Ú Ò Ð ØÓÖ a(t) Ò Ð Ò Ø Þ Ò ÓÓÖ Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ds 2 Ù Ø Ø Ö Ú Òº Ï Ú Ò Ò ds 2 = c 2 dt 2 + a 2 (t)dx 2 + a 2 (t)dy 2 + a 2 (t)dz 2 = a 2 (t)dx i dx i = a 2 (t)d x 2, ¼ µ Û Ö ØÛ Ø Ô Ð Ø ÚÓÓÖ Ò Ô Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ò Û Ð Ñ Ø Ò Ò ÚÓÓÖ Û ÖÓÑ Ð Ø dt = 0º ÁÒØ Ö Ö Ò ÓÑ Ò Ò Ø Ò S Ø Ö Ò Ò Ð Ú ÖØ S = a(t)d x = a(t) d x. ¼ µ Ð Ö Ñ Ø Ò Ø Ò S Ò ÚÐ ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö ÖÙ ÑØ Ò Ø Ò Ö Ò Ø Ò d x ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÞÓÙ Þ Ò Ò Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ñ Ð ÙÒØ a(t)º Ø Ú Ö Ð ÖØ Ò Ñ schaal ØÓÖ a(t) Ø Ò Ó Ú Ð ÖÓØ Ö Ð a(t) > 1µ Ó Ó Ú Ð Ð Ò Ö Ð a(t) < 1µ Ò Ñ Ø Ò Ø Ò Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ñ Ø ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ø Ñ Ø Ò Ø Ò Ò Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ º ÓÚ Ò Ò ÙÒÒ Ò Û ÒÙ Ø ¹ Ò Ð Ú Ò Ð ØÓÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ð a(t) Ò Ø Ò ÙÒØ Ò Ø Ø ÒØ Ø Ø Ñ Ø Ò Ø Ò Ò Ø ÖÓØ Ö ÛÓÖ Òº ÑÔÐ Ø Ú Ò Ø ÒÓÖÑ Ø Ø ÒØ Ø ØÛ Þ Ø ÖÖ Ò ÓÔ Ú Ø Ó Ö Ò Ø Ø Ò Þ Ú Ò Ð Ö ÞÙÐÐ Ò Ú ÖÛ Ö Ò Ñ Ø Ò Ò Ð Ð Ò ȧ(t)º Î Ò Ö Þ Ò Ó ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ø Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ú Ò Ð Û ÐÐ ÙÖ ÔÙÒØ Ò Ø Ð Ðµ Ð Ò Þ Ø ÖÖ Ò Þ Ú Ò Ð Ö Ø Ú ÖÛ Ö Ò Ñ Ø Ò Ò Ð ȧ(t)º Ø Ð Ø ÚÓÓÖ Ð Û ÐÐ ÙÖ ØÛ Ø ÖÖ Ò Ó ÐÐ Ò Ö Ñ Ø Ö Ó ØÖ Ð Ò Ò Ø Ð Ð ÐÐ Ú ÖÛ ÖØ Þ Ú Ò Ð Ö Ñ Ø Ò Ò Ð Ø ÖØ ÓÓÖ Ø Ð Ú Ò Ð ØÓÖ Û ÔÖ Ò Ò Ø Ú Ð Ú Ò Ò Ù Ø Ò Ð Ðº ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö ÚÓÐ Ø Ø Ð a(t) Ò Ð Ò ÙÒØ Ò Ø Ñ Ø Ò Ø Ò Ò Ò Ñ Ò Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ö ÑÔØº Ø Ð ȧ(t) Ú Ò Ð ØÓÖ ÖÓÑ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ò Ð Û ÖÑ Ø Ð Ð Ù Ø Ø Ó Ò Ö ÑÔØ ØÛ Ø Ð ä(t) Ú Ò Ð ØÓÖ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò Ù Ø Ò Ò Ð º º Û Ø Ú Ò ÀÙ Ð Ò Ù Ø Ò Ó Ò Ö ÑÔ Ò Ð Ð Ø Ð ÒÑ Ö Ø ÓÐ Ò Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ú Ò Ø ÖÖ Ò ÓÔÖ Ø Ó Ò Ö ÑÔØ Ò Ö ÓÓÖ Ð ÙÖ Ú Ò Ø Ð Ø ÖÓ Ö ÒÛ Ð Ð ÙÛ Ö ÛÓÖ Øº Ø Ø ÒØ Ø Ò Ò Ù Ø Ò Ð Ð Ù Ø ÞÓÒ Ò Ø ÖÖ ÒÐ Ø ÖÓ Ö Ò ÓÑØ Ò ÓÒÞ Ø Ð ÓÔ Ò Ò Ø Ö Þ Ò ÒÓ ØÛ Ò Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ö ÚÓÐ Ó Ò Ò Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ø Û Ø Ò Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö Ñ ØÖ Ò Ò Þ Ð Ò ØÓØ Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø ÐÐ Ò Ù Ø Ø Ñ Ö ÓÓ ÖÓÑ º Þ Ö Ú Ò Ò ÓÓ Ò Ð Ð Û Ö Ò ÒÚ Ò Ð Ú ÒÛ ÐÓÔ Ò Ð Ø ØÖ Ð Ò ÓÒÚ Ö Ö Ò Ö Ô Ø Ú Ð Ú Ö Ö Òº Ø Ö Ø ÓÖ Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ò Ø Ð Ø ÖØÓ Ø ÚÐ ÊÓ ÖØ ÓÒ¹ Ï Ð Ö Ñ ØÖ Ø Ö Ú Ò Ø Ú Ò Ø Ð Ð Û Ö Ò Û Ð Ú Òº ÓÚ Ò Ò ÛÓÖ Ø Þ ÚÓÖÑ Ú Ò Ñ ØÖ Ú Ø ÓÓÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØº Ï ÓÑ Ò ÖÓÔ Ø ÖÙ Ò Ø ÚÓÐ Ò ÓÓ ØÙ º

149 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Ù Ø ÞÓÒ Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ø ÖÖ Ò Ò ÓÚ Ò Ò Ø Þ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ù Ø Ò Ò Ð ȧ(t) Ú Ò Ø Ð Ðº Ø Ú Ö Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÒÙ ÓÒ ÖÞÓ Òº Ï ÓÙÛ Ò ÖØÓ Ò Ð Ø ØÖ Ð Ò Ø Ð Ðº ÎÓÐ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÚÓÐ Ø Þ Ð Ø ØÖ Ð Ò Ð Ø Ø Ô ds 2 = c 2 dt 2 + a 2 (t)dx 2 0. ¼ µ Ï Ò Ñ Ò Ö Ò ÞÓÒ Ö Ú ÖÐ Ú Ò Ð Ñ Ò Ø Ø Ð Ø Þ Ð Ò x¹ö Ø Ò ÚÓÓÖØ¹ Û Øº Ð Þ Ð Ø ØÖ Ð Ù Ø ÞÓÒ Ò ÓÔ Ø Ø Ô t e Ñ µ Ò Ñ Ø Ò ÓÔ Ø Ù Ø Ø Ô t o ÓÒØÚ Ò Øµ Ò ÙÒÒ Ò Û Þ Ö Ð Ø ÒØ Ö Ö Ò ÓÑ Ø Þ Ò Ó Ú Ð Ó Ö Ò Ø ¹ Ø Ò R Ø Ð Ø Ø ØÙ Ò Ñ Ò ÓÒØÚ Ò Øº Ö Ð Ø R = R 0 dx = to t e cdt a(t). ½¼µ Ï ÓÙÛ Ò ÒÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÓÔ ÖÓØ Ø Ò Ð Ø Ò ÔÙÐ Ù ØÞ Ò Ø Ò Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Þ ÔÙÐ ÓÒØÚ Ò Ø ÙÒ ÓÒ ÖÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ø Ò Rº Þ Ò Ö ØÙÙÖØ ØÛ ÔÙÐ Û Ò Ø δt e Ú Ò Ð Öº ÓÒØÚ Ò Ö Þ Ð ÔÙÐ Ø Ð Ø Ö Ò Ð Ö ÓÒØ¹ Ú Ò Ò Ò Þ Ò Ø Ð Ð ÓÒ ÖØÙ Ò Ù Ø Ø Ñ Ø Ø ÔÙÐ Ò Ø δt o Ò Ð Ö Ò ÓÑ Òº Ò Þ Ò Ó Ö Ò Ø Ø Ò ØÙ Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ú Ö Ò ÖØ Ø Ò Ù Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ð ÑÓ Ø Ö ÒÙ Ð Ò to+δt o c t e+δt e dt to a(t) = c t e dt a(t). ½½µ ÒØ Ò Ú Ò Ú Ö Ð Ò ÛÓÖ Ò Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ñ Ø ØÓÖ c Þ Ð Ò Û Û º Ö Ø Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò ÙÒÒ Ò Û Ö Ú Ò Ð to t e dt te+δt e a(t) = t e dt to+δt o a(t) + t e+δt e dt to a(t) + t o+δt o dt a(t). ½¾µ Ï Ð Ø Ð Þ Ò Ò Ð Ò Ö ÒØ Ú Ò Ú Ö Ð Ò ½½µ Ò ÑÓ Ø Ð Ò te+δt e t e dt to a(t) + t o+δt o dt a(t) = 0. ½ µ Ð Û ÒÒ Ñ Ò Ø δt o Ò δt e Þ Ð Ò Þ Ò Ø Ð ØÓÖ Ñ Ö Û Ò Ú Ö Ò ÖØ Ò Þ ÒØ Ö Ð Ò Ø Û Ð Þ Ò Û Ò Ñ Ò Ò Ø Ø Ð Ð Ú Ð Ñ Ò Ö Ò Ð Ù Ø Ø Ò ÔÙÐ Ò Ò Ð Ö Ù Ø ÞÓÒ Ò ÛÓÖ Òµ Ò ÙÒÒ Ò Û a(t) Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò Ñ Ò Ò Þ Ø Þ Ð Ø Ø Ø δt o = a(t o) δt e a(t e ). ½ µ Ø Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ø Ò ØÙ Ò ÔÙÐ ÞÓ Ð Ñ Ø Ò Ò ÞÓ Ð Ú ÖÞÓÒ Òº Ø Ú Ö Ð ÛÓÖ Ø Ö Ø Ô Ð ÓÓÖ ÖÓÓØØ Ú Ò Ø Ð Ð Ø Ò Ø Ú Ò Ù ØÞ Ò Ò t e µ Ò ÓÒØÚ Ò Ø t o µº Ð Û ÙÙÖ ØÙ Ò ÔÙÐ ÒÙ ÓÔÚ ØØ Ò Ð ØÖ ÐÐ Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ø ÓÐ Ò ÙÒÒ Ò Û Ò Ù Ø ÔÖ Ó Ò ÓÚ Ö Ú Ö ÓÙ Ò Ò Ö ÕÙ ÒØ ω 2πδt 1 Ð ÙÖµ Ú Ò Ø Ð Ø ÞÓ Ð Ú ÖÞÓÒ Ò Ò ÓÒØÚ Ò Òº Ï Ú Ò Ò Ò ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ Ó ÑÓÐÓ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò zº ÁÒ Ó ÑÓÐÓ ÖÙ Ò Û Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ø Ñ Ø ÙÒ Ú Ö Ð ÜÔ Ò Ñ ÓÔÖ Øº Ï ÒÓ Ñ Ò Ö Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ñ Û Ò Ó Ö Ò Ø Òº

150 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ¼ sterrenstelsel met roodverschuiving :z = 0,004 sterrenstelsel met roodverschuiving :z = 0,004 Golflengte [ Angstrom ] ÙÙÖ ¾ Ó ÑÓÐÓ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò º Ô ØÖ Ú Ò ØÛ Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ð ÛÓÖ Ò ØÓÓÒ Ð ÓÒØÚ Ò Ò ÒØ Ò Ø Ø Ð ÙÒØ Ú Ò ÓÐ Ò Ø ½ Ò ØÖÓÑ Ñµº Ð Ö Ð Ò Ò Ú Ò ØÛ Ô ØÖ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ñ Ø Ò Ú Ö Ù Ú Ò Ú Ò λ/λ z = 0,1º Ø ÛÓÖ Ø Ó ÑÓÐÓ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò ÒÓ Ñ º Ö Ð Ø 1 + z ω e ω o = a(t o) a(t e ). ½ µ Ï Þ Ò Ø ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò z Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò Ð ÙÖ Ú Ò Ø Ð Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ù Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ðº ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Þ Ò Ø ÒØ Ø Ø Û ÓÓÖ Ñ Ø Ò Ú Ò Ð ÙÖÚ Ö Ù Ú Ò Ú Ò Ø ÖÖ ÒÐ Ø ÙÒÒ Ò Ô Ð Ò Û Ø Ù Û Ö Ú Ò Ð ØÓÖ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ð Ø Ù Ø ÞÓÒ Ò Û Ö º Ø Ø ÓÒ ÖÑ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ø ÚÓÐÙØ Ú Ò Ð ØÓÖ Ò ÖÑ ÚÓÓÖ Ù Ø Ò Ò Ð Ú Ò Ø Ð Ðº ÎÓÓÖ Ø ÖÖ Ò Ò Ø Ø Ú Ö Û Ø Ò Ú Ò ÓÒÞ Ø Ð ÓÔ Ò Ø Ø Ð Ø Ò Ø Ú Ð Ø ÒÓ ÓÑ Ø Ò Ø ÓÚ Ö ÖÙ Ò Ò Ò Ð ØÓÖ ÒÓÓ Ø Ð Ö Ú Ö Ò Ö Þ Ò ØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ú Ò Ù ØÞ Ò Ò Ò ÓÒØÚ Ò Ø Ú Ò Ø Ø ÖÖ ÒÐ Øº Ø Ø ÒØ Ø Û Ð ØÓÖ Ø Ò Ø Ú Ò Ù ØÞ Ò Ò a(t e ) Ó ÙÒÒ Ò Ò Ö Ò ÓÓÖ Ì ÝÐÓÖ¹Ö a(t e ) a(t o ) + ȧ(t o )(t e t o ). ÁÒ ÚÙÐ Ò ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ Ó ÑÓÐÓ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò ÚÓÐ Ø ÓÔ Þ Ñ Ò Ö 1 + z = a(t o) a(t e ) ( ) 1 a(t o ) a(t o ) + ȧ(t o )(t e t o ) 1 + ȧ(t o) a(t o ) (t o t e ), ½ µ ½ µ Û Ö Ò Ð Ø Ø Ø Ô Û ÙÒ Ö Ð ÖÙ Ø Ø (1 + x) m 1 + mx Û Ð Ð Ø Ð mx 1 Ø Ö Ø Ú Ð Ò Þ Ò (t e t o ) Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ø Ò ØÙ Ò Þ Ò Ö

151 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ½ Ò ÓÒØÚ Ò Ö Ò Û Ò Ò ÒÓÑ Ò Ø Þ Ð Ò º À Ø Ø Ú Ö Ð (t e t o ) Ð Ø Þ ÓÑÞ ØØ Ò Ò Ò Ø Ò ØÙ Ò Þ Ò Ö Ò ÓÒØÚ Ò Ö ÓÓÖ Ò ØÓÖ c Ø ÔÐ Ø Òº ÇÔ Þ Ñ Ò Ö ÒÙ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ú Ò Ø ÖÖ ÒÐ Ø Ö Ð Ø Ö Ö Ø Ò Ø Ò d ØÓØ Ø Ö Ð z ȧ(t o) a(t o ) cd. ½ µ ÓÑ Ò Ø ȧ(to) a(t o) Ö Ø Ò Ñ ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ò Ð Û ÖÑ Ø Ð Ð ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ù Ø Øº À Ú ÖÒÓ Ñ Ò Ö Û Ò ÀÙ Ð Ø Ð Ò Ö Ú Ö Ò ØÙ Ò ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ò Ø Ò ØÓØ Ø ÖÖ Ò Ð Ò ½ ¾ Û Ø Ø Ñ Ø Ò ÖÑ Û Ö Ø Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Û Ð Ú Ö ÚÓÓÖ Ø Ù Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ðº Ë Ò Ò Þ Ò Ñ Ø Ò Ò Ø Ò ÙÛ ÙÖ Ö ÛÓÖ Ò Ò Û Ö Ú Ò ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ú Ø Ø Ð ÓÔ Ò Ò Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ò Ø ÖÖ Ò ÙÒ ÖÙ Ð Þ Ò H(t o ) = 70,1 Ñ 1 ÅÔ 1 Ò Ø Ò Ö Ò Ò Û Ö ÓÒ Ú Ö H(t o ) = 2, º Þ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Û Ö ÞÙÐÐ Ò Û Ð Ø Ö ÒÓ Ò ÓÑ Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð Ø ØØ Òº º Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò Ú Ò ÖÓÓØ Ø ÓÔ Ú Ò Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ø Ô Ð Ò Û Ø ÜÔÐ Ø ÚÓÖÑ Ú Ò ÙÒØ a(t) Û ÒÒ Ö Ø Ò Û Ø Ò Û Ò Ñ Ð Ó ÖÓÓØØ Ú Ò Ø Ð Ð Ò ÑÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ò ØÓ ÓÑ Ø Ö µ ÚÓÐÙ ÖØ Ò Ø º ÚÖ Ò ÓÓ Ó ÙÒÒ Ò Û ÚÓÖÑ Ú Ò Ð ØÓÖ Ô Ð Ò À Ø ÒØÛÓÓÖ ÛÓÖ Ø ÞÓ Ð ÐØ Ù Ø Ò Ð Ø Ö ÓÓÖ ÒÛ Þ Ú Ò Ñ Ø Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ð Ðº ÁÑÑ Ö ÚÓÖÑ Ò Ø Ö Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ú Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò ÓÔÔ Ð Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ T µν Ò Ø Ð Ø Ò ÓÓ ÚÓÓÖ Ò ÓÑ ÚÖ Ø Ø ÐÐ Ò Û Ð Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ð ÚÓÐ Ø Ø Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö Ñ ØÖ Ð ÓÔÐÓ Ò ÒØº Å Ö ÓÔ Ó Ø Û Ø Ú Ò ÖÙ Ð ÔÖÓ ÙÖ Ñ Ø Ð Ø Ó Ò Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ø Ø ÖØÔÙÒØ Ú Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ñ ØÖ Ò ÚÓÐ Ù ØÙ Ø Ò Ú Ò Û Ò Ö Ò Ø Ñ ØÖ Ò Ò Ö Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ÚÓÒ Ò ÒØ Ø ÛÓÖ Òº Ø Ò ØÖ Ú Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÚÖ ØÙ ÛÓÖ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÓÖ Ø Ø Ø Ö Ò Û ÐÛ Ö¹ Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ø ØÙ Ò Ø Ò Ð Ú Ò Ñ ØÖ Ò ÚÓÖÑ Ú Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖº Ò Ø Ö ÐÐÙ ØÖ Ø Ò Ò Ò Ò ÐÐÓÒ Ò Ø ÐÐ Ò ÛÓÖ Ø ÖÓÓØØ Ú Ò ÐÐÓÒ Ô Ð ÓÓÖ ÖÙ Ú Ò Ø Ò ÐÐÓÒ Ñ Ö Þ ÖÙ Þ Ð Û Ö Ò ÙÒØ Ú Ò ÖÓÓØØ ÖÓÓØØ Ú Ò ÐÐÓÒµ Ú Ò Ø ÚÓÐÙÑ Û Ö Ò Ø ÓÔ ÐÓØ Ò º ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö ÛÓÖ Ø Ñ ØÖ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ ÖÓÓØØ Ú Ò Ø Ð Ðµ Ò Ø ÐÐ Ò Ô Ð ÓÓÖ ÒÛ Þ Ò Ö Ò Ñ Ø Ö Ñ Ö Ó ÒØ Þ Ñ ØÖ ÓÓ Þ Ð Û Ö Ò ÒÚÐÓ Ù Ø ÓÔ Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ò Ò Û Ð Û ÐÛ Ö Ò Ø ÚÓÐ º À Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ø Ù Ø ÓÑ Øº Ï ÐÐ Ò Ò Ö Ò Ñ Ø Ö ÓÑÓ Ò Ò ÓØÖÓÓÔ Ú Ö Ð Þ Ò ÓÚ Ö Ø Ð Ð Ò ÑÓ Ø Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ø ÓÞ Ò ÛÓÖ Ò Û Ø Ø ÒØ Ø Þ Ø Ò ÓÖ Ò ÔÐ Ø Ò Ð Ñ ÒÒ Òº Î Ö Ö Ó Ø Ú Ò Ò Ù Ø Ñ Ö Ó Ú Ð Ñ Ø Ö ÓÒ Ò Ò Ò Ò Ô Ö Ø ÚÐÓ ØÓ º ÎÐÓ ØÓ Ò ÛÓÖ Ò ÒÑ Ö Ø ÓÓÖ Ò ÖÙ P Ò Ò Ò Ö Ø ρ ÞÓ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ö ÒÙ Ø Ò ÓÓ Ø Ú Ò Ø ÑÓ Ò Ò Òº ÎÓÓÖ ÚÐÓ ØÓ Ò Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ò Ò Þ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ Þ ÓÓ Ú Ö Ð Ò ¾ ¼µ Ñ Ö Ñ Ö ÓÔ Ø Û ρ ÒÙ Ð Ò Ö Ø Ò Ö Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ñ Ø µ T µν = 1 c 2(ρ + P)Uµ U ν + Pg µν. ½ µ

152 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ¾ Û Ö Ò U µ Ú Ö Ò Ð Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÚÐÓ ØÓ º Ö Ð Ø Ø U µ = (c,0,0,0)º ÆÙ Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô ÓÒ ØÓØ ÒÒ Ñ Ø Ð ÚÓÓÖ ÚÓÖÑ Ú Ò Ñ ØÖ Ò ÚÓÖÑ Ú Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ÙÒÒ Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò ÖÙ Ø ÓÑ Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò ØÛ Ó Ø Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ö ÙÐØ Ø Þ Ð Þ Ò Ø Ö Ò Ö Ø Ú Ö Ò Ø Ø ØÙ Ò Ð ØÓÖ a(t) Ò ÖÙ P(t) Ò Ò Ö Ø ρ(t) Ú Ò Ø Ð Ðº À ÖØÓ Ò Ò Ê Ø Ò ÓÖ Ò Ê Ñ ÒÒ Ð Ö ÓÖ Ò ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö Ñ ØÖ Ø ÛÓÖ Ò Ö Ò º Ø Ò ÒÚÓÙ ÓÔ Ú Ò Ð Ø ØÓØ R 00 R ij = 3ä(t) a(t), ( ) = 2ȧ 2 (t) + a(t)ä(t) δ ij, R = 6ȧ2 (t) a 2 (t) 6ä(t) a(t). ¾¼µ Ï ÒÒ Ö Þ ÛÓÖ Ò Ò ÚÙÐ Ò Ð Ò Ö ÒØ Ú Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ò ÚÙÐ Ò Ö Ø Ö ÒØ ÛÓÖ Ø Ò Ø Ò ÓÖÚ Ö Ð Ò ÚÓÒ Ò Ò ÔÖ Ò Ô ½¼ Ú Ö ÐÐ Ò Ö Ð Ø Ø ØÙ Ò Ð ØÓÖ Ò ÖÙ Ò Ø Ú Ò ÒÛ Þ Ò Ö Ò Ñ Ø Ö º Ø Ö Ù Ø Ò Ð Ð Ú ÖØ Ø ÓÒ Ð Ø ØÛ Ö Ð Ø ÓÔ Ò Þ Ò Ø Ò ÓÖ Ò ÐÐ Ò Ò Ø¹ÒÙÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÔ ÓÒ Ð ÒÒ Ò Ò Ö ÖÙ ÑØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÖÚ Ò Þ Ð Ò ÓÖÑ Ø Ú ØØ Ò Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô µº ÎÓÓÖ µ = 0,ν = 0 Ð Ú ÖØ Ø (ȧ(t) a(t) ) 2 = + 8πG 3c 2 ρ(t), ¾½µ Ò ÚÓÓÖ µ = i,ν = i Ð Ú ÖØ Ø ä(t) a(t) + (ȧ(t) a(t) ) 2 = 8πG c 2 P(t). ¾¾µ À Ø ÖÙ Ð Þ ØÛ Ú Ö Ð Ò Ø Ö Ö Ú Ò ÓÓÖ Ö Ø Ú Ö Ð Ò Ø Ù ¹ Ø ØÙ Ö Ò ØÛ Ö ÙÐØ Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò Þ Ò Ò (ȧ(t) a(t) ) 2 = + 8πG 3c 2 ρ(t), ä(t) a(t) = 4πG 3c 2 ( 3P(t) + ρ(t) ). ¾ µ Þ ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò Ú Ò Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò Ò Ö Ø Ò ÖÙ Ú Ò ÚÐÓ ØÓ Û ÖÑ Û Ø Ð Ð ÚÙÐ Ò Ò Ð ØÓÖº Ø Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò ÚÓÖÑ Ò Ø ÖØ Ú Ò Ó ÑÓÐÓ º ÎÖ ØÙ Ò ÓÚ Ö ÚÓÐÙØ Ú Ò ÖÓÓØØ Ú Ò Ø Ð Ð Þ Ò ÖÑ ØÓØ Ò ÑÔ Ð Ø ÔÔ ÒÔÐ Ò Ö Ù Ö Ö ÙÑ ÒØ Ö Û Ø ÖÙ P(t) Ò Ø ρ(t) Ú Ò Ò Ö Ò Ñ Ø Ö Ò Ø Ð Ð ÐÓ Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò ÓÔ Ò Ú Ò Ø Ò ÜÔÐ Ø ÚÓÖÑ Ú Ò Ð ØÓÖ a(t) Ò ÖÑ Ñ Ø Ú Ò Ù Ø Ò Ó Ò Ö ÑÔ Ò Ú Ò Ø Ð Ðµº ÁÒ Ø º ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ú Ö Ð Ò Ò ÜÔÐ Ø ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ò Ð Ô Ð Ú ÐÐ Ò Ò ÖÙ Ø Ø ÑÓ Ð Ú Ò Ó Ö Ò Ð ÓÒ ØÖÙ Ö Òº ÐÚÓÖ Ò Ø Ø Ó Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ð Ö Ø Ð Ñ Ò ÚÓÐ Ò Ù Ð Ò ÚÓÓÖ ÐÐ ÓÔÐÓ Ò Òµ Ú Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Òº Ì Ò Ö Ø ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ø Ø Ð Ð Ò Ò Ø º Ø Ò ÛÓÖ Ò ÓÒÐÙ Ö ÓÔ Ú Ò Ø Ø Ø ÚÓÓÖ ÓÒ Ò ÓÓÖØ Ò Ñ Ø Ö Ò Ò Ö

153 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Ø Ò ÖÙ ÔÓ Ø Ú ÖÓÓØ Ò Þ Ò Ò Ö Ø Ö ÒØ Ú Ò ØÛ Ö Ñ ÒÒ¹ Ú Ö Ð Ò ÖÓÑ Ò Ø ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø ä(t) Ò Ø Ù Ø Ò Ò Ð Ú Ò Ø Ð Ð Ò ÑØ Ò Ø º ÓÑ Ò Ö Ñ Ø ÀÙ Ð ³ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ø Ø Ð Ð ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ù Ø Ø ȧ(t nu ) > 0 Ð Ø Ø Ö Ø ØÓØ ÓÒÐÙ Ø ÓÔ Ò Ô Ð ÑÓÑ ÒØ Ò ØÓÖ Ú Ò Ø Ð Ð Ð ØÓÖ a(t) Û Ö ÒÙÐ Ø Ò ÒÓÑ Òº Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò Ð Ð Û Ö Ò ÐÐ Ñ Ø Ö Ò Ò Ö ÓÔ ÓÖ Ò Û Ø Ò Ò ÚÓÐÙÑ Ø Ö ÖÓÓØØ ÒÙÐº Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ò ÓÓ Ø ÖÙ ÑØ Ø ÓÒÒ Ò Ð Ò Ò¹ ÙÐ Ö Ø Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ø Ò ÖÒ ÓÑ ÓÒ Ù Ð Ö Ò Òµ Ò Ù Ø Òº Ø ÑÓÑ ÒØ ÛÓÖ Ø Þ Ò Ð Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ø Ò Ñ Ó Ö Ò Ðº À ÖÓÔ ÚÓÓÖØ¹ vandaag t nu ÙÙÖ ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ö Ò Ò Ð ØÓÖ Ò Ð Ú ÖØ Ò ÓÚ Ò Ö Ò ÓÔ Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ðº ÓÖ ÙÖ Ò Ò Ø Ú ÖÐÓÔ Ò Ò Ó Ö Ò Ð ÓÔ Ú Ø ÛÓÖ Ò Ð Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ðº Ò ØØ Ò Ú Ò Ð Ø Ò Ñ Ø ÛÓÖ Ò ÓÓÖ ÓÔ Ø Ñ Ö Ò Ø Ð ØÓÖ a(t) Þ Ò Ù Û Ö Ø Ö Ò Ø ÖÛ Ð Ø ÖÓ Ñ Ø Ò Ò Ð ³ Ð Ò ȧ(t)º Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð Ò ÖÓÑ ÛÓÖ Ò Ú Ò ÓÓÖ Ù Û Ö Ú Ò Ð ØÓÖ Ð ÓÓÖ Þ Ò Ù Ò Ð º Ø Ð Ú ÖØ Ò Ø Ð Ñ Ò Ò ÓÚ Ö ØØ ÓÔ Ò Þ Ò ØÛ Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò ÓÒ Ð Ð Ö Ø Ò Ð Ú Ò Ù Ø Ò ȧ(t) Ò Ø ÐØ Þ Ð Û Ö Ø Ñ Ö Ø Ð Ò Ö ÛÓÖ Òº À Ø ÚÓÐ Ø ÖÓÑ Ø Ð Ø t nu Ú Ò Ø Ð Ð Ò ÓÚ Ò Ö Ò Ø Ú Ò ÓÓÖ t nu < a(t nu) ȧ(t nu ). ¾ µ Ò Ö Ø Ö ÒØ Ú Ò Þ ÓÒ Ð Ö ÒÒ Ò Û ÒÚ Ö Ú Ò ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Û Ð Ö Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ò H(t) ȧ(t)/a(t)º À Ø ÒØ Ð Ú Ö Ð Ñ Ø Ð Ø Ø Ö Ø Û Þ Ø Ò Û Ñ Ò Ø H ØÓ Ò ÒÓ ÐÐ Ò ÓÔ Ø Ù Ø Ø Ô Û Ö ÒÓÑ Ò Û Ö Û Ú Ò ÒÙ H(t) ÓÓ ÓÔ Ò Ö Ø Ò ÞÙÐÐ Ò ÓÙÛ Ò º Ó Ð ÔÖÓ Ò H(t) Ò Ý Ñ Ø Ö ÖÓÓØ Ø Ô Ð Ò ÓÓÖ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ú Ò Ø Ð Ò Ø ÖÖ Ò Ø Ñ Ø Ò Ò Ò Ò Û Ö Ø Ò Ú Ò ÓÒ Ú Ö 70 Ñ» µ»åôº Ð Û Þ Û Ö ÒÚÙÐÐ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ð Ú ÖØ ÓÔ Ò ÓÚ Ò Ö Ò ÚÓÓÖ Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½ Ñ Ð Ö Öº ÁÒ ÚÓÐ Ò Ø ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ò Ø Ö ÓÓ Ò Ò Ö ÓÓÖØ Ø Ø Û ÖÚÓÓÖ Ø Ò Ø ÓÔ Ø Ø Ö ÞÓ Ð Û Ú Ò Ò ÞÙÐÐ Ò ÒØÓÒ Ò Ø Þ Ò Ö ÓÓÖØ Ò Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö ÒÚÐÓ Ò Ö Ø Ô Ö Ñ Ð Ö Ò Ö Ò Ú Ò Ø Ð Ð Ò Ò ÖÓÑ ÛÓÖ Ò Ò Ö Û ÒÒ Ö Û ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ò Û ÐÐ Ò Ó Ò ÓÚ Ö Ø ÚÖÓ Ð Ðº Å Ö ÓÔ Ø Ø ÖÓÑ ØÖ Ø ÒÓÑ Ò Ò Ø ÓÖÖ Ø Ñ Ö ÓÑ H Ò Ø Ù Ò Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ ÑÑ Ö Ø Ò Ð º À Ø Ø Ö Ð Ñ Ò ÖÙ ÓÑ H(t) ÒÓ ÐØ Ò Ø Ù Ò Ñ Ø Ò Ñ ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ø Ú ÖÚÓÐ Ò ÓÓ Ð Ú Ò Ó Òº

154 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ º ÇÔÐÓ Ò Ò Ú Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò À Ø Ð Ð ÚÓÓÖ ÞÓÚ Ö Û ÙÒÒ Ò ÓÚ ÖÞ Ò Ò Ò ÙÒÒ Ò Ñ Ø Ò ÚÙÐ Ñ Ø Ò Ö Ò Ñ Ø Ö Û Ò Ö ÖÓ Ô Ò ÙÒÒ Ò Ú Ö Ð Òº Ì Ò Ö Ø Ö ÓÙ Ñ Ø Ö ØÓÑ Ò ÑÓÐ ÙÐ Ò Ò ÐÐ Û Ø ÖÚ Ò Ñ Ø º Ò Ö Ò Ø ÖÖ Ò Ø ÖÖ Ò Ø Ð ÛÓÐ Ò Ò Ú Ð Ö Ò ÐÐ Û Ø ÖÓÔ Ð Ø Ò ÓÓ ÑÝ Ø Ö ÙÞ ÓÒ Ö Ñ Ø Ö º Ì Ò ØÛ Ö ØÖ Ð Ò Û ÖÑ Û ÐÐ Ó Ð Ò Û Ø Þ Ñ Ø ÚÖ Û Ðµ Ð Ø Ò Ð ÚÓÓÖØ Û Ø ÓØÓÒ Ò Ù Ø ÞÓÒ Ò ÓÓÖ Ø ÖÖ Ò ÓØÓÒ Ò Ú Ò Ó Ñ Ø Ö ÖÓÒ ØÖ Ð Ò Þ Û Ö Ò Û Ð Ø Ò ÓÑ Ò ÒØÖÓ ÙØ Ú Ò Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô µ Ñ Ö ÓÓ Þ Ö Ò Ð Û Ò Ñ Ú ÐØ ÓÖ Ò Ò Þ Ø ÓÖ º Ì Ò Ö Ö ÑÞ ÒÒ Ò Ö ÞÓ Ð Û ÞÙÐÐ Ò Þ Ò Ø Ð Ð Ú Ö Ò Ð Ó Ø Ù Ø Ò Ò Û ÖÚ Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ ÒÓ Ò ÖÓÓØ ÑÝ Ø Ö Ø ÓÓÖØ Ò Ö ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ù Ò Ñ Ø Ò Ñ Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ º Ð Ú Ò Þ ÓÓÖØ Ò Ñ Ø Ö Ò Ó Ò Ö Þ Ð Ò Ô ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ð Ð ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ò Ó Ð Ú Ò Þ Ø Ø ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ Þ Ú ÐÐ Òº À ÖØÓ ÞÙÐÐ Ò Û Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÑÓ Ø Ò ÓÔ Ö Ú Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ÖÙ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ð Ú Ò Þ Ö ÓÓÖØ Ò Ú Ò Ò Ö Ò Ñ Ø Ö º Ï ÞÙÐÐ Ò Ö ÒÒ Ñ Ò Ø Ø Ò ÖÙ Ú ÒÖ Þ Ò Ò Ð Ö P(t) = nρ(t). ¾ µ Þ Ú Ö Ð Ò ÛÓÖ Ø ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÒÓ Ñ Ú Ò Ò Ö Ó Ñ Ø Ö º Û Ö Ú Ò Ú ÒÖ ÓÒ Ø ÒØ n Ò Ð Ú Ò Ñ Ö Ö ØÓÖ Ò Û ÖÓÒ Ö Ø ÑÔ Ö ¹ ØÙÙÖ Ø ØÝÔ Ñ Ø Ö Ó Ò Ö Ñ Ø Ú Ò ÒØ Ö Ø Ñ Ø Ò Ö ÓÓÖØ Ò Ò Ö Ò ÕÙ ÒØÙÑ¹ Ñ Ò Ò ÔÔ Òµ Ñ Ö Ò Ò Ù ÓÒØ ÜØ Ð ÓÒ Ø ÒØ ÛÓÖ Ò ÓÙÛ º ÇÑ Û Ö Ú Ò n Ø Ú Ò Ò Ò Ñ Ò ÒÒ Ù Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÖÙ Ò Ø ÑÑ Ö ØÙ Ú Ò Ñ ÖÓ ÓÔ ÖÓÓØ Ò Ð ÖÙ Ò ÒØ ÖÒ Ò Ö Ú Ò Ñ Ø Ö µ Ò Ñ Ø Ò Ñ Ö Ø ÓÓ Û Ø Û Ø Ú Ò ÓÙ Ú Ò ØÓØ Ð Ò Ö º ÁÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ý Ø Ò Ö Ñ Ò Ö Û ÖÓÔ n Ô Ð ÛÓÖ Øº Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ø Ò Ø ÒÓ ÞÓ Ð Ð Þ Ð Ð Ò Ø Ö Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Û Ø Û Ö Ú Ò nº ÎÓÓÖ Ð Ú Ò ÚÓÖÑ Ú Ò Ò Ö Ø ρ(t) ÚÓÐ Ø Ò ÓÓ Ö Ø ÖÙ P(t) º Ø Ò Ø Ú Ö Þ Ò Û Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò ÚÓÐ Ò Ù Ø Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò Þ Ò ÞÓ Ð Û Þ Ò Ò Ò ÓÓ ØÙ Ø ÓÙ Ú Ò Ò Ö Ò ÓÙÛ º º º½ À Ð Ð ÓÑ Ò Ö ÓÓÖ ÓÙ Ñ Ø Ö ÁÒ Ø Ú Ð Ú Ò ÓÙ Ñ Ø Ö ÙÒÒ Ò Û Ò Ó ÒÒ Ñ Ó Ò ÚÓÓÖ ÚÓÖÑ Ú Ò Ò Ö Ø ρ(t)º Ò Ò Ö Ø ÐØ Ò Ö Ð Ò Ó Ú Ð Ò Ö Ó Ñ Ø Ö Ð ÓÓÖ Ò ÚÓÐÙÑ º ÆÙ ÛÓÖ Ø Ñ Ø ÚÓÐÙÑ Ù Ø Ö Ö Ø Ý ÚÓÐÙÑ Ó Ð Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú Ò Ý Ñ Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ø Ò ÓÓ Ø º Ð Ú Ò Þ Ö ÖÓÓØ Ò Þ Ò Ø Ò Ò Ò Ý Ø Ò Ò ÛÓÖ Ò ÞÓ Ð Û Ð Þ Ò Òµ Ö Ø Ô Ð ÓÓÖ Ð ØÓÖ a(t)º À Ø Ð Ø Ò ÓÓ ÚÓÓÖ Ò ÓÑ Ø Ú Ò ÓÙ Ñ Ø Ö Ø Ö Ú Ò Ð ρ(t) = A a 3 (t), ¾ µ Û Ö Ò A Ò ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ó Ú Ð Ò Ö Ò Ñ Ø Ö Ø Ò Ø Ø Ð ØÓÖ ÔÖ Û Ö a(t) = 1 Û Ö ÖÚ Ò Ò Ø ÞÓ Ö Ð Ú ÒØ Ò ÁÒ Ð Ø Ö ØÙÙÖ Ù Ò ÓÓ Ò Ö Ò Ñ Ò ÓÔ Ú Ð Ð Ò Ð Ú Ò ÓÒØ ÜØ Û Ö Ò Þ Ò Ö Ö Ú Ò ÛÓÖ Ø Ò ÞÓÒ Ö Ø Ö Ò Ù Ð ÓÒ Ö ÒØ Ö ÛÓÖ Ø ØÙ Ò Ú ÒØÙ Ð Ù Ø Ð Ú Ö ÐÐ Ò ØÙ Ò Ð Þ ÓÒ ÔØ Ò Ú ÙÙÑ Ò Ö ÓÒ Ö Ò Ö ÕÙ ÒØ Ò Ú Ð Øº

155 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ÚÓÐ Ò Ù º Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÒ Ñ Ò Ø Þ A Ò Ø Ú Ò Û Ö Ú Ö Ò ÖØ Ý Ø ÒØ Ø Ø ÓÙ Ñ Ø Ö Ò Ø ÓÑ Þ Ø ÛÓÖ Ø Ò Ò Ú Ò Ò Ö ÓÓÖØ Ò Ò Ö º Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò Ñ Ò Ò ÚÓÐ Ò ÚÓÖÑ Ò ȧ 2 (t) = 8πG 3c 2 A a(t), ä(t) = 4πG 3c 2 (1 + 3n) A a 2 (t). ¾ µ ÓÚ Ò Ø Ò Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ð ÜÔÐ Ø ÓÔÐÓ Ò ÓÑ Ð ØÓÖ Ð ÙÒØ Ú Ò Ø Ø Ú Ò Ò Ö Ø ÞÙÐÐ Ò Û Ð Ø Ò Þ Ò Ø Þ Ú Ö Ð Ò Ò ÞÓ Ð ÐÓÓ ÓÓ Û Ö Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ n Ô Ð Òº Ö ÒØ Ö ÖØÓ Ö Ø Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ò Ö Ø 2ä(t) = 8πG 3c 2 A a 2 (t), ¾ µ Ò Ù Ø ØÙ Ö Þ Ò ØÛ Ú Ò Ú Ö Ð Ò Òº Ï Ú Ò Ò Ò 4πG 3c 2 A = 4πG (1 + 3n)A, 3c2 ¾ µ Û Ø ÐÐ Ò Û Ö Ò Þ Ò Û ÒÒ Ö Ú ÒÖ Ô Ö Ñ Ø Ö n Ð Ò 0º À ÖÑ ÚÓÒ Ò Ø ÖÙ P(t) = nρ(t) Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÓÙ Ñ Ø Ö Ð Ò ÒÙÐº Ý Ø ÒØ Ø Ø Þ Ñ Ø Ö Ø Û Ò Ò Ö Ø ÓÑ ÐØ Ú Ò Þ Ñ Ø Ö ÒÓ Ò Ð Ø Ú Ò ÓÑ Ò Ò ÒØ ÖÙ Ù Ø Ø Ó Ò Òº À Ø ÔÖ ÓÑ Þ Ö Ò Ø Û Þ Ñ Ø Ö Ø ÔÖ Ø ÓÙ ³ Ò Ú Òº ÆÙ Ö Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÒ Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ÖÙ ÚÓÓÖ Ø Ú Ð Ú Ò ÓÙ Ñ Ø Ö ÙÒÒ Ò Û Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ù Ø ØÙ Ö Ò Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò Þ ÔÓ Ò ÓÔ Ø ÐÓ Ò ÓÑ ÞÓ Ð ØÓÖ a(t) Ø Ú Ò Òº ÚÓÐ Ò Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò Ò ÚÓÒ Ò a(t)ȧ 2 (t) = 8πG 3c 2 A, a 2 (t)ä(t) = 4πG 3c 2 A. ¼µ À Ø Ò Ø ÑÓ Ð Ò Ø Þ Ò Ø ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ÙÒØ a(t) = Bt 3/2, ½µ Û Ö Ò B Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ º Ò ÓÔÐÓ Ò ÚÓÒ Ò ÄÓÙØ Ö ÓÔ Ú Ò Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Ð Ò ÒÒ Ñ ÚÓÓÖ Ò Ö Ø Ú Ò ÒÛ Þ Ñ Ø Ö ÒÙ ÚÓÒ Ò Ó Ø Ð Ð ÚÓÐÙ ÖØ Ò Ø º ÁÒØ Ö ÒØ ÓÑ Ø Þ Ò Ø ÚÓÐ Ò ÚÓÒ Ò ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ô ÐØ Ø Ø Ð Ð Ù Ø Ø ȧ(t) > 0 Ñ Ö Ø Þ Ù Ø Ò Ø Ñ Ò Ö Ò Ð Ø ä < 0 Ø ÔÖ Û Ø Û Ú ÖÛ Ø Ò ÓÔ Ú Ò Ø Ø Ø ÞÛ ÖØ Ö Ø Ò ÒØÖ Ò Û Ö Ò Øº ÓÒ Ø ÒØ ØÓÖ Ò Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ð ØÓÖ Þ Ò Ý Û Ò ÒØ Ö ÒØ Þ Ö Ò Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ñ Ø Û Ö Ò Ø Ò Ò Ñ Ø Ò ÛÓÖ Òº ÇÑ Ù Ø ÔÖ Ò Ø Ó Ò ÓÚ Ö Ù Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ð ÐÐ Ò Ú Ö ÓÙ Ò ØÙ Ò Ð ØÓÖ Ò Ú Ò ØÛ Ø Ø ÔÔ Ò Ú Ò Ð Ò º ÓÒ Ø ÒØ Ò B Ú ÐÐ Ò Ö ÖÓÑ ÐØ Ù Øº

156 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ º º¾ À Ð Ð ÓÑ Ò Ö ÓÓÖ ØÖ Ð Ò ÇÓ ÚÓÓÖ Ø Ú Ð Ú Ò ØÖ Ð Ò ÙÒÒ Ò Û Ò Ó ÒÒ Ñ Ó Ò ÚÓÓÖ ÚÓÖÑ Ú Ò Ò Ö Ø º Ï ÖÓÑ Ð Ø Ø Ø Ú Ò ØÖ Ð Ò ÓØÓÒ Òµ Ò ÑØ Ò ÖÑ Ø Ø Ð Ð Ù Ø Ø Ò Ù Ø ρ(t) a 3 (t)º ÓÚ Ò Ò Ð Ø Ø Ö Ò ÜØÖ Ò Ñ Ú Ò Ò Ö Ø ÓÔØÖ Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò º ÎÓÓÖ ÓØÓÒ Ò Ð Ø Ø Ò Ö Ú Ò ÚÓÓÖ E = hν = ω Û Ö ν Ö ÕÙ ÒØ ω Ó Ö ÕÙ ÒØ 2πνµ Ú Ò ÓØÓÒ Òº Í Ø ÖÙ Ø Ò ÓÐ Ò Ø λ Þ Ö Ð Ø Ú Ò ÓÓÖ E = (2π c)/λ Û Ö ÓÐ Ò Ø λ Ò Ý Ø Ò Ò Ö ÓÓÖ ÐØ Ñ Ø a(t)º À Ø ÚÓÐ Ò ÓÓ Ø ØÖ Ð Ò Ò Ö Ø Ò ÑØ Ñ Ø Ò ÜØÖ ØÓÖ a(t) Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Þ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ò Û Ù Ú ÖÛ Ø Ò Ø Þ Ò Ö Ø Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ρ(t) = A a 4 (t). ¾µ Û Ö Ò A Ò ÓÒ Ø ÒØ µº ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ö Ö ÙÒÒ Ò Û Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð ¹ Ò Ò ÖÙ Ò ÓÑ Û Ö Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ n Ø Ô Ð Ò Ò ÖÑ Ò ÙÒØ ÚÓÓÖ ÖÙ P(t)º Ö ÛÓÖ Ø Ò ÚÓÒ Ò Ø n = 1/3 Ò ØÖ Ð Ò ÖÓÑ ÚÓÐ Ò ÖÙ ÒØ P(t) = A 3 1 a 4 (t). µ Å Ø ÙÐÔ Ú Ò ÚÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ÖÙ ÙÒÒ Ò Û Þ Ú ÖÚÓÐ¹ Ò Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ù Ø ØÙ Ö Ò Ò Ú Ò Ò Û ÚÓÓÖ Ø ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö Ð Ð a 2 (t)ȧ 2 (t) = + 8πG 3c 2 A, a 3 (t)ä(t) = 8πG 3c 2 A. ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ò Ð ÚÓÒ Òº Ö Ð Ø µ a(t) = B t, µ Û Ö Ò B Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ º Þ ÓÔÐÓ Ò Ú ÖØ ÐØ ÓÒ Ø Ò Ð Ð ÚÙÐ Ñ Ø ØÖ Ð Ò Ù Ø Ø ȧ(t) > 0 Ò Ø Ù Ø Ò Ò Ð Ò ÑØ ä(t) < 0 Û ÖÓÑ ÔÖ ÞÓ Ð Û ÞÓÙ Ò Ú ÖÛ Ø Ò ÓÔ Ú Ò Ø Ú Ò Ø ÞÛ ÖØ Ö Ø Ò ÒØÖ Ò ÒÚÐÓ Ù ØÓ ÒØº ÇÓ Ø Þ Ò Ø Ù Ø Ò Ú Ò Ò ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö Ð Ð Ò ÐÐ Ö Ø Ò Ù Ø Ò Ú Ò Ò Ð Ð ÓÑ Ò Ö ÓÓÖ ÓÙ Ñ Ø Ö º Ø Ø Ò Ð Ò Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ Û Ö Û Ð ÓÔ ÞÙÐÐ Ò Ø ÖÙ ÓÑ Òº º º À Ð Ð ÓÑ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ì Ò ÐÓØØ ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ð Ð ÓÙÛ Ò Ø ÚÙÐ Ñ Ø Ò Ò Ö ÚÓÖÑ Û Ò Ò Ù Ñ Ø Ò Ñ Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ ³º Ï Ò ÑÔÐ Ø ÚÓÓÖ Ò Ð Ð Ò Ø º ÔÖÓ Òº È Ö Ò Ø ÛÓÖ Ø ÖÑ Ò Ò Ö ÚÓÖÑ Ó Ð Û ÖÚ Ò Ò Ö Ø Ò Ø Ò ÑØ Ø Ò Ø Ù Ø Ò Ó Ò Ö ÑÔ Ò Ú Ò Ø Ð Ð ρ(t) Þ Ð Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ ρ c ÛÓÖ Ò ÓÞ Ò ρ(t) = ρ c = const. µ Ý Ø ÒØ Ø Ø Þ Ò Ö ÚÓÖÑ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ò Þ Ò Ú Ò ÒÓÖÑ Ð ³ Ñ Ø Ö Ó ØÖ Ð Ò ÚÓÓÖ ÐÐ ÓÓÖØ Ò ØÖ Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð Ø ÑÑ Ö Ø Ø Ò ÑØ Û ÒÒ Ö Ø Ù Ø Ñ Ö ÛÓÖ Ø ÓÚ Ö Ò Ø ÖÓØ Ö ÛÓÖ Ò ÚÓÐÙÑ º Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò

157 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ÖÓÑ Ñ Ò Ø Ø ¼ ÛÓÖ Ò Þ Ò Ð Ò Ò Ô Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Þ Ð Ò Ò Ø Ú Ò Ø ÓÔ ÖÙ ÑØ Ø µ Ò Ò Ö Ö Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø Ò ÖÓÑ Ò Ø Ò Ø Ú Ò ÖÓÓØØ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º À Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ø Ö Û Ð Ð Ò Ò Ö ÚÓÖÑ Ò Ø Ð Ð ÒÛ Þ Ø Ò Þ Ò Ô ÚÓÐ Ó Ø ÓÒ Ú Ö Ö Û ÖØ Ú Ò ÐÐ Ò Ö Ð Ø Ú Ò Þ ÞÓÒ Ö ÚÓÖÑ Ø Þ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò Ö Ð Ø Ö ÓÔ Ø ÖÙ ÓÑ Ò ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ÞÙÐÐ Ò Û Û ÖÓÑ Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò ÖÙ Ò ÓÑ Ù Ø Ø Ö Ò Ò Ó ÖÙ Ú Ò Þ Ñ Ø Ö ÖÙ Ø Þ Øº ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ö Ö Ò Ù Ø Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò ÚÓÒ Ò Ø n = 1 Ò Ù Ø ÖÙ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ P(t) = ρ(t) = ρ c = const. µ Å Ö ÓÔ Ø Þ ÖÙ Ò Ø ÆÙ ÖÙ Ò Ø Þ Ò ÚÓÒ Ò ÙÒÒ Ò Ö Ñ ÒÒ¹ Ú Ö Ð Ò Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò ÓÑ Ð ØÓÖ Ù Ø Ø Ö Ò Òº ÛÓÖ Ò Ú Ò ÓÓÖ (ȧ(t) a(t) ) 2 = 8πG 3c 2 ρ c, ä(t) a(t) ÓÔÐÓ Ò Û ÖÓÑ ÒÚÓÙ Ø Ú Ò Ò Ò = 8πG 3c 2 ρ c. µ 8πG a(t) = a 0 e 3c 2 ρct, µ Û Ö Ò a 0 Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ º Ù Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø ÒØ Ò¹ ÚÓÐ Ø Ò ÐÐ Öº Å Ö ÓÔ Ó Ø Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÒ Ö Ô Ú Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø Û ÞÓÙ Ò Ú ÖÛ Ø Ò Ø Ò ÒØÖ Ò Ö Ø Ù Ø Ò Ò Ð Ú Ò Ø Ð Ð ÞÓÙ Ö ÑÑ Ò ÞÓ Ð ÓÓ Ø Ú Ð Û ÚÓÓÖ Ò Ð Ð ÚÙÐ Ñ Ø ÓÙ Ñ Ø Ö Ó ØÖ Ð Ò µº Ï ÖÓÑ Ð Ø Ö Ø Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÞÓÒ Ö ÚÖ Ñ ÓÓÖØ Ò Ö º À Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ À Ø Ð Ð Ø Ù Øº Ø Û Ò Ö Ø ÚÓÐ Ú Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ò Û ÓÚ Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ö º Ø Ø ÒØ Ø Ò Ö Ø Ú Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ö ÚÓÖ¹ Ñ Ò ÚÖÓ Ö Ú Ð Ñ Ð Ò ÖÓØ Ö Û Ò Ø ÒÛÓÓÖ º Ø Ù Ø Þ Ò Ò Ò Ñ Ò Ó Ú Ð Ò Ö ÐØ ÙÒÒ Ò Ù ØÛ Ð Òº Ù ØÛ Ð Ò Ò Ö Ú Ò ÐØ Ô ÐØ Ò Û Ð Ñ Ø Þ ÒØ Ö Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ö ÐØ Ò ÞÓ ÚÓÐ Ø Ø Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ñ Ø Ò Ú Ò ÒØ Ö Ø Ò ÔÐ Ø ÚÓÒ Ò Ò ÖÑ Ø Ø Ð Ð ÓÙ Ö Û Ö Ò ÖÓ º ÆÙ Û Ð ØÓÖ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ú Ö ÐÐ Ò ÓÓÖØ Ò Ò Ö Ò Ñ Ø Ö Ò ¹ Ö Ò ÙÒÒ Ò Û Þ ÖÙ Ò ÓÑ Ò ÑÓ Ð Ø Ñ Ò Ú Ò Ò Ú Ò Ø Ð Ð Û ÒÒ Ö Ò Û Ð Ý ÔÖÓ Ò ÔÐ Ø ÚÓÒ Ò Ï ÞÙÐÐ Ò Ö ÖÙ ÑÓ Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ò ÒØ Ð Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò Ú Ò Ý ÞÓ Ð ØÓÓÑ Ý Ò Ù ØÓÑ Ö Ý º À Ø Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ò Ð Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ º Ö Ò Ò Ò Û ÒÙ ÞÙÐÐ Ò Ó Ò Ò Ñ Ò Ò Ø ÐÐ Ù Ø Ð Ò Ð Ò Ö µ Ô Ø Ò Ú Ò Ø Ú Ö Ð Ò ÓÙÛ Ò Ñ Ö ÞÙÐÐ Ò ÓÒ Ò ØÓØ Ó ØØ Ò Ò Ð Ò Ú Ò ÓÖ Ú Ò ÖÓÓØØ Ú Ò Ø Ò Û ÖÓÔ Ð Ò Ö ÙÖØ Ò Ò Ò ÔÐ Ø ÚÓÒ Òº ¼ Ò Ò Ö ÑÓ Ð ØÙ Ö Ø Ò Ö Ò Ø ÓÙ Ò ÓÔ Ó Ñ Ð Ö ÛÓÖ Ø ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Ö Ò»Ó Ò Ö Ö Ö Ù Ø Ø Ò Ø Ò Ø Ò ÔÖ Ù Ø Ó Ú Ð Ò ÓÑ Ò Ñ Ú Ò Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ø ÖÓ Ò Ú Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ø ÓÑÔ Ò Ö Òº Þ ÒÔ Ø Ö Ò Ø Ö Ù ÚÓÐ Ð Ò Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Û Ò Ó ÑÓÐÓ Ò Ò Ò Òº

158 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÒ Ñ Ò Ø ÒØ Ö Ø ØÙ Ò Ú Ö ÐÐ Ò ÓÓÖØ Ò Ñ Ø Ö ÐØ Ø ÔÐ Ø ¹ ÚÓÒ Ò ÓÓÖ Ù ØÞ Ò Ò Ú Ò ÓØÓÒ Ò Ó ÐÙÓÒ Òº Ø Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ñ Ø ÓÒÞ ÒÒ Ú Ò ØÓÓÑ¹ Ò Ù ØÓÑ Ö Ý Þ Ø Ø Ò Ö ÒØ Ö Ø ØÙ Ò ÕÙ Ö ÚÓÓÖ¹ Ò Ñ Ð µ ÛÓÖ Ø Û Ö Ø ÐÐ ÓÓÖ Ù ØÞ Ò Ò Ú Ò ÐÙÓÒ Ò Ò ÒØ Ö Ø ØÙ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ò ÔÖÓØÓÒ Ò ÓÓÖ Ù ØÞ Ò Ò Ú Ò ÓØÓÒ Òº ØÝÔ Ò ÐØ Þ Ò Ñ ÐÓÓ Ò ÙÒÒ Ò Û ÖÓÑ ÓÔÚ ØØ Ò Ð ØÖ Ð Ò º Ò Ö Ø ÚÓÓÖ ØÖ Ð Ò Ò Ò Ù Ø Ò Ð Ð Þ Ò Û Ð Ø Ò ÓÑ Ò Û Ò ØÓ Ò Þ Ò Ø Ò Ö Ø Ú Ò ØÖ Ð Ò ÐØ Ñ Ø a 4 (t)º Ò Ö Ô Ö ÓØÓÒ ½ Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ö Ø Ñ Ð Ø ÚÓÐÙÑ Ð Ø Ø ÐØ Ñ Ø a 3 (t) Ò ÞÓ ÚÓÐ Ø Ø Ò Ö E foton Ú Ò Ò Ò Ð ÓØÓÒ Ø ÚÓÐ Ò Ú Ö Ò ÒØ Ñ Ø Ð ØÓÖ E foton 1 a(t). ¼µ Þ Ö Ð Ø Ð Ø ÞÓÛ Ð Ò Ò ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö ¹ Ð ÓÙ Ñ Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ð Ðº À Ø Ô Û ÒÒ Ö Ô ÙÒØ ÚÓÓÖ Ð ØÓÖ ÛÓÖ Ø Ò ÚÙÐ Ø Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ØÙ Ø Þ Ø Ö ÛÓÖ Øº Ø Ð Ø ØÓØ ÙÒØ ÚÓÓÖ Ò Ö Ò Ú Ò Ò ÓØÓÒ Ò Ò ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö Ð Ð E foton, straling µ Ò Ò Ò Ñ Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ð Ð E foton, materie µ Ú Ò ÓÓÖ E foton, straling = A straling t 1/2, E foton, materie = A materie t 2/3. ½µ À Ö Ò Þ Ò A³ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÒÓ Ò Ö Ô Ð ÞÙÐÐ Ò ÛÓÖ Òº Þ ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò Þ Ò Ð ÙØ Ð ØÓØ Ø Ö Ò Ò Ú Ò Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ð Ò Ö Ý ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø ÚÓÒ Òº À Ø Ò Ø Ò ÑÓ Ø ÛÓÖ Ò ÒÚÙÐÐ Ò Û Ð Ò Ö ÓØÓÒ Ò ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Ò Ò ÓÖ Ò Ø Ø ÔÔ Ò Ù ØÖ Ò Òº À ÖØÓ Û Ð ÒÓ Û Ø ÜØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò A straling Ò A materie ÞÙÐÐ Ò Ò Û Ö ØÓ Ò ÑÓ Ø Ò ÛÓÖ Ò Ò Ú Ö Ö ÑÓ Ø Ö Ò Þ Ò Ú Ò Û ÒÒ Ö Û Ð Ú Ò ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò ÖÙ Ø Ñ ÛÓÖ Òº Ø Û Ð Þ Ò ÙÒÒ Ò Û Ò ØØ Ò Ñ Ò Ú Ò Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð Û ÖÓÔ ÒÚÐÓ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÓÙ Ñ Ø Ö ÓÑ Ò ÒØ Ö Û Ö Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ØÖ Ð Ò Ð Ø Ø ÚÖ ÙÒÒ Ò Û ÒØÛÓÓÖ Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Ò Ð Ö Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ø Ó Ú Ð Ò Ö Ö ÓÒ Ú Ö Ô Ö ÚÓÐÙÑ ¹ Ò Ò ÓØÓÒ Ò Ò Ò ØÓÑ Ò Ò Ø Ð Ð Ò ÛÓÖ Ø Ö ÚÓÒ Ò Ø Ö ÓÔ Ø Ø Ø Ô ÓÒ Ú Ö ½¼¼¼ Ö Ñ Ö Ò Ö Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ñ Ø Ö Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÓØÓÒ Òº Ö Ð Ø ( ) ρmaterie ¾µ ρ fotonen Ð Ò Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò ÐØ ÚÓÐ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ¾ µ Ò ¾µ Ñ Ø Ð¹ ØÓÖ nu a(t nu ) µ Ö Ø Ø Ö ÒÙ Ø Ú ÒÖ ¹Ø Ò µ ÓÑ Ø Û ÐÐ Ò Û Ø Ò Ø Ø Ò Ú ÒÖ Þ Ò Ñ Ø Ð ØÓÖ Òº Ï ÒÒ Ò Û Ö Ò Ú Ò Ú ÒÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Øº À Ø Þ Ð Ð Ò Ø Û ÓÓ Ò Ø ÒÓ Òº Î Ö Ð Ò µ Ð Ø Ò Ø Ù Ð Ð t = t nu Ï ÒÒ Ò Ø Ö ÓÓ Ò Ö Ð Ú Ö Ð Ò Ø Ò Ø Ú Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Û ÖÓÔ Ò Ö Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ØÖ Ð Ò Ú Ò ½ Æ Ø Ð Ö Ö ÞÙÐÐ Ò Û ÚÓÓÖ Ø Ñ ÐÐ Ò ÓØÓÒ Ò Ò Ñ ÒÓ Ñ Ò Ò Ò Ø Ø Ö ÓÓ ÓÙ Ò Ø ÚÓÐ Ò Ö ÙÐØ Ø Ò ÓÓ Ð Ò ÚÓÓÖ ÐÙÓÒ Òº

159 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ÖÓÓØ Û Ð Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ñ Ø Ö Ô Ö Ò Ø Þ Ò Þ Ø Ò Ò Ð º Ö Ð Ø ( ) ρmaterie 1. µ ρ fotonen omslag Ï Ó Ð Ò Ñ Ø Ø Ð Ð ÓÑ Ð Ø Ò Ø Ú Ò Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ Ú Ò Ò ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö Ð Ð Ò Ö Ò Ñ Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ð Ðº Ö Ð Ø Ú ÖÚÓÐ Ò Û Ö a(t omslag ) 1. µ ÇÓ Ö Ð Ø Ø Û ÐÐ Ò Û Ø Ò Ø Ö Ò Ú ÒÖ º Ø Ö Ò Ø Ú Ò ÖÙ Ð Ð Ò ÓÒ Ò Ú ÒÖ ÓÒ Ø ÒØ Þ Ð Ð Ò Ú Ö Ð Ò ½µº Ø Ø ÒØ Ø Û ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò ¾µ Ò µ ÓÔ Ð Ö ÙÒÒ Ò Ð Ò Ò Ò Ú Ò Ò (a) nu = 1000 (a) omslag, µ ÒÙ ÞÓÒ Ö Ú ÒÖ Ø Òº Å Ö ÓÔ Ø Û Ø Û Ú ÐÐ Ò Ú Ò Ú ÒÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Ð ØÓÖ Ò Ð Ò ÚÓÓÖ Ô Ð Ò Ò ÚÓ ØÒÓÓØ Ú Ò Ò ÚÓÖ Ø º straling materie ÙÙÖ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÒÒ Ò Ø ÚÐ Ö Ñ ÒÒ¹ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö ÑÓ Ðº À Ö Û ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ñ Ò Ø Ò Ö Ø Ð Ú Ö Ð ÓÚ Ö ØÖ Ð Ò Ñ Ø Ö Ò Ú Ù Ñº ÎÐ Ò Ò ÜÔ Ò ÓÑ Ò Ö ÓÓÖ ØÖ Ð Ò a(t) t 1 2 µ ÖÒ ÓÓÖ Ñ Ø Ö a(t) t 2 3 µ Ò Ù Ø Ò Ð ÓÓÖ Ø Ú ÙÙÑ a(t) e Ht µº Ù Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ t 0 º Î Ö Ð Ò µ Ø Ø Ð Ð Ø Ò Ø Ú Ò Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ ÓÒ Ú Ö ½¼¼¼ Ö Ð Ò Ö Û Ò Ø Ø ÒÙ º Ø ÒÓ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑ Ø ÑÓÑ ÒØ Ú Ò ÓÑ Ð ÔÙÒØ Ø Ö Ò Ò Û Ó Ú Ò ÐÐ Ò Ñ Ö Þ Ú Ö ÓÙ Ò Ú Ò Ð ØÓÖ Ò ÓÑ Ø Þ ØØ Ò Ò Ò Ú Ö ÓÙ Ò ØÙ Ò Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð ÒÙ Ò Ø Ò Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ Ò Ò Ù Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð Ò Ø ÚÙÐÐ Òº Ö Ø Ø Ô ÙÒÒ Ò Û Ó Ò ÓÓÖ Ø Ò Ò Ø Ò Ø Ù Ð Ð Ð ØÓÖ Ø Ð t 2/3 Ò Ø Ò Ø Ú Ò Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ Ò Ö Ò Ú Ò Ò ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ Û Ø Ð Ð Ñ Ø Ö ÓÑ Ò Ö ÛÓÖ Òµº Ï Ú Ò Ò Ò ÓÓ ÚÓÓÖ Ö Ð Ø ØÙ Ò Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð ÒÙ Ò Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð Ø Ò Ø Ú Ò Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ tnu 2/3 = 1000t 2/3 omslag t omslag t nu 105. µ

160 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ¼ Ò ØØ Ò Ú Ò Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð Ò Û Ð ÚÓÒ Ò Ò ÔÖ Ò Ú Ò Û Ø Ú Ò ÀÙ Ð Ò ÚÓÒ Ò Û t nu Öº ÁÒ ÚÙÐ Ø Ø Ø Ø Ð Ð ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ø Ú Ò ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö ÓÚ Ö Ò Ò Ö Ñ Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ò Ð Ø Ú Ò ÓÒ Ú Ö 10 5 Öº Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð ÙÒÒ Ò Û ÓÓ ÖÙ Ò ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Ò A straling Ò A materie Ø Ô Ð Òº Ï ÞÙÐÐ Ò Ñ Ø Ð Ø Ø ÒÒ Òº À ÖØÓ ÖÙ Ò Û Û Ö Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Ò ÓØÓÒ Ò ÓÒ Ú ÒÙ Ø Ø Ð Ð Ö Ò Ò Ò ÒÓ ÐÐ Ñ Ð ¾ Ò Ø ÑÔ ¹ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ¾ Ã ÐÚ Òº Ø ÓÑØ ÓÚ Ö Ò Ñ Ø Ò Ò Ö Ú Ò ÓÖ Ú Ò ÂÓÙÐ º ÁÒ ÚÙÐ Ò ØÛ Ú Ö Ð Ò ½µ Ø Ð Ð ÑÑ Ö Ø ÒÛÓÓÖ Ñ Ø Ö ÓÑ Ò Ö µ Ø Þ Ñ Ò Ñ Ø Ø Ø Ø Ø Ð Ð ÒÙ ÓÒ Ú Ö Ö ÓÙ ÛÓÖ Ø ÓÒ Ø ÒØ A materie Ú Ø Ð º Ï Ú Ò Ò A materie Js 2/ GeVs 2/3. µ Ï Ò Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÑ Þ Ø Ò Ò ¹ Ð ØÖÓÎÓÐØ Ñ Ð ÓÒ 2/3 Ø ÓÑ Ø Û Ð Ò Ö Ò Ù Ø Ù ØÓÑ Ö Ý ÒÓ ÞÙÐÐ Ò Ò Ò ÚÓÓÖ Þ Û Ö Ò Ò ÂÓÙÐ Ò ÓÒ Ò ÖÓØ Ñ Ø ÚÓÓÖ Ò Ö º Ì Ò ÐÓØØ ÞÙÐÐ Ò Û ÓÓ Û Ö Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ A straling Ô Ð Òº À ÖØÓ Ó Ú Ò Û ÓÒ ÐÐ Ò Ø Ö Ð Ö Ò Ø ÓÔ Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ Ú Ò Ø ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö Ð Ð Ò Ö Ò Ñ ¹ Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ð Ð Ô Ö Ò Ø (E foton, straling ) omslag (E foton, materie ) omslag. µ Î Ö Ð Ò ½µ Ò ÚÙÐ Ø Þ Ñ Ò Ñ Ø Ð ÚÓÒ Ò Û Ö ÚÓÓÖ A materie Ò Ø Ø Ø Ø Ò Ø Ú Ò Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ Ø Ð Ð ÓÒ Ú Ö 10 5 Ö ÓÙ Û Ø Ò Ö Ø Ò ÓÖ Ú Ò ÖÓÓØØ ÚÓÓÖ Û Ö Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ A straling º Ï Ú Ò Ò A straling Js 1/ GeVs 1/2. ¼µ À ÖÑ Ð Ò ØÛ Ö Ð Ø ½µ ØÙ Ò Ò Ö Ú Ò Ò ÓØÓÒ Ò Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð Ð Ú Øº Ï ÞÙÐÐ Ò Þ ÒÙ ÖÙ Ò ÓÑ Ò Ø Ö Ò Ú Ò Ò Ú Ò Ø Ð Ð ÓÓÖ Ù Ø Ø Ö Ò Ò Û ÒÒ Ö Ò Ð Ð Ò Ö Ý ÙÖØ Ò Ò Ò ÔÐ Ø ÚÓÒ Òº Ð ÚÓÓÖ Ð ÓÙÛ Ò Û Ø ÑÓÑ ÒØ Û ÖÓÔ ÕÙ Ö Ñ Ò ÑÓÐØ Ò ØÓØ ÖÝÓÒ Ò Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ö Ø Ò Ñ ÖÝÓ Ò º Ù ØÓÑ Ö Ý Ð ÖØ ÓÒ Ø Ø ÔÐ Ø ÚÓÒ ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ò Ö Ú Ò ÐÙÓÒ Ò Ø Ú Ð Û ÒÓÑ Ò ÓÓÖ Ù Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ð ÓÑ ÕÙ Ö ÒÓ Ò Ö Ø Ð Ú Ö Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ò ÒØÖ Ò Ö Ø Ø ÓÓ Ø ÙÒÒ Ò Ò Ø ÚÓÒ ÔÐ Ø Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ Ú Ö 1 Îº ÁÒ Û Ð Ú Ò ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò ½µ ÑÓ Ø Ò Û Þ Û Ö ØÓÔÔ Ò ÎÓÒ ÖÝÓ Ò ÔÐ Ø Ò Ò ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö Ð Ð Ó Ò Ñ Ø Ö ¹ ÓÑ Ò Ö Ð Ð À Ø ÒØÛÓÓÖ Ø Ø ÔÐ Ø ÚÓÒ Ò Ø ØÖ ¹ Ð Ò ÓÑ Ò Ö Ð Ðº Ø ÙÒÒ Ò Û Þ Ò ÓÓÖ Ø Û Ð Þ Ò Ò Ø Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ ÔÐ Ø ÚÓÒ ØÓ Ò Ð Ø Ú Ò Ø Ð Ð ÓÒ Ú Ö 10 5 Ö Û Ò Ø Ú Ú Ö Ð Ò ½µ ÓÚ Ö Ò ÓÑØ Ñ Ø Ò ÐØ Ò Ö Ú Ò ÓÒ Ú Ö 10 5 Îº Ø Ú Ð Ñ Ò Ö Ò Ò Ö Ø Ò ÖÝÓ Ò Ò Ù ÚÓÐ Ø Ø Ø ÔÖÓ ÔÐ Ø Ø ÚÓÒ Ò Ò Ø ØÖ Ð Ò ÓÑ ¹ Ò Ö Ð Ðº Ï ÑÓ Ø Ò ÖÓÑ ÒÙ Ö Ø Ú Ö Ð Ò ½µ ÖÙ Ò ÓÑ Ù Ø Ø Ö Ò Ò ÓÔ Û Ð Ø Ø Ô ÖÝÓ Ò Ø ÔÐ Ø ÚÓÒ Òº À ÖØÓ ÚÙÐÐ Ò Û Ò Ö Ú Ò 1 Î Ò Ò ¾ ÓÓ Ù ÓÔ Ø Ò Ú Ò Ø ÓÓ ØÙ º Ö Û Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ð ÒÓ Ñ Ò ÖÙ Ø ÓÑ Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ø ÑÓØ Ú Ö Òº À Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò Ò Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÛÓÖ Ø Ô Ð ÓÓÖ ÞÓ Ò Ñ ÓÐØÞÑ ÒÒÓÒ Ø ÒØ k B = 1, Â»Ãº

161 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ½ ÙÙÖ ËØÖÙØÙÙÖ Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ÚÓÐ Ò ØÝÔ Á ÙÔ ÖÒÓÚ Ñ Ø Ò Ò Ò Å Ê Ñ Ø Ò¹ Òº ÓÖ ÞÓÒØ Ð ØÓÓÒØ Ö Ø Ú Ò Ö Ø Ø ρ 0 Ø Ø ÒÓ ÓÑ Ò ÚÐ Ð Ð Ø Ö Òµ ÚÓÓÖ Ñ Ø Ö Ω M = ρ/ρ 0 º Ú ÖØ Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ω Λ ÛÓÖ Ø Ö Ò ÓÓÖ Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Λº Ð Þ ÓÔØ ÐÐ Ò ØÓØ ½ Ò Ø Ð Ð ÚÐ Û ÒØ Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ø Ð Ò Ö Ø Ø º ÎÐ Ð ÐÐ Ò Ð Ò ÓÔ Ù Ò Ò ÖÛ ÖØ Ð Òº Ò ÓÚ Ò Þ Ð Ò Ò Ñ Ö Ñ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ñ Ø Ò ÖÓÑ Ò ÐÓØ Ò Ð Ð Ò ÖÓÒ Ö Ñ Ø Ò ÓÔ Ò Ð Ðº Ú Ö ÐÐ Ò ÓÚ Ð Ò Ò ØÓÒ Ò Ð Ò Ú Ò Ø Ö Ñ ÓÒ Ø ÒØ Þ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ú Ò º Ö Ñ Ö Ò Ð Ò Ð Ú Ò Ø Ö Ñ Û Ö Ñ Ø Ú Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Òº À Ø ÒØÖÙÑ Ú Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò ÑÓ Ð Û Ö Ñ Ø Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ ¼± Ò Ò Ö Ø Ú Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ ¼± Ú Ò Ö Ø Ø º Ï Ú Ò Ò Ò ÚÐ ÜÔ Ò Ö Ò Ð Ðº

162 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ¾ Ú Ò Ò Ò Ò Ð Ø Ú Ò ÓÒ Ú Ö 10 4 ÓÒ º Ð Ö Þ Ò ÕÙ Ö Ñ Ò ÑÓÐØ Ò ØÓØ Ö Ø ÔÖÓØÓÒ Ò Ò Ò ÙØÖÓÒ Ò ØÓ Ò Ø Ð Ð ÒÓ Ñ Ö Ò Ø Ò Ù Þ Ò Ø ÓÒ ÓÙ Û ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Þ Ò Ø Ø ÔÔ Ò Ú Ò Ò Ö Ð Ò Ö Ý ÔÖÓ Ò Ù Ø Ø Ö Ò Òº Ó Ð ÖØ ÕÙ ÒØÙÑÚ Ð ÒØ ÓÖ ÓÒ Ø Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ø Ò ÞÛ ÖÒ Ö Ø ÚÖÓ Ö Ò Ô Ø Û Ö Ò Ú Ò Ò Ò Ð Ö Ø Ð ØÖÓÞÛ Ö Øµ Ò Ø Þ Ú Ò Ð Ö Þ Ò ÓÒØ ÓÔÔ Ð ØÓ Ò ÓØÓÒ Ò Ò Ò Ö Ò Ú Ò ÓÒ Ú Ö 10 3 Î Ò ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð ÞÓ Ù Ø ÚÓÓÖ Ö Ò Ò ÚÓÐ Ø Ø Ø Ð Ð ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ú Ö ÓÒ ÓÙ Û º Ò Ø Ð Ñ Ø Ò Ð ÒØ Ö ÒØ Ý ÔÖÓ Ò ÓÖ Ò Ò Ö Ò Ò ÖÙ ØÚÓÐ¹ Ò Ð Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ð ÚÓÐ Øº ÙÖØ Ò Ý ÙÖØ Ò Ò Ö Ô Ö ÓØÓÒ Ä Ø Ó Ö Ò Ð Ò Ú Ò Ø Ð Ð µ ¼ Ò Ø Ð Ð Ø Ú Ö Ò Ð Ù Ø ÓÒØ ÓÔÔ Ð Ò Ð ØÖÓÞÛ Ö Ø ÓÒ ÓÔÔ ÐØ 10 3 Î ÖÝÓ Ò ÕÙ Ö ÚÓÖÑ Ò ÖÝÓÒ Ò 1 Î 10 4 ÒÙÐ Ó ÝÒØ ÖÝÓÒ Ò ÚÓÖÑ Ò ØÓÓÑ ÖÒ Ò 10 3 Î 100 Ö ÓÑ Ò Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ò Ò ØÓÓÑ ÖÒ Ò 10 9 Î 10 5 Ö ÓÑ Ð Ð Ð ÛÓÖ Ø Ñ Ø Ö ÓÑ Ò Ö 10 9 Î 10 5 Ö Ø Ò ÓØÓÒ Ò Ò Ò Ö Ú Ò ¾ Ã ÐÚ Ò Î Ö ÙÙÖ Ë Ñ Ø Û Ö Ú Ú Ò Ò Ð ÒØ Ö ÒØ Ý ÔÖÓ Ò Ò ÓÖ Ò Ð Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ðº À ÖÑ Ò Û Ò ÐÓ Ð Ð ÚÓÖÑ Ú Ò Ò Ú Ò Ø Ð Ð Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ º Ï ÞÙÐÐ Ò Ø ÒÙ Ò ÛÓÓÖ Ò Ñ ÒÚ ØØ Òº À Ø Ð Ð ÓÒ Ú Ö Ö ÓÙ Ò Ú Ò Þ Ò ÓÒØ Ø Ò Ò Ø Ù Ø Ò Û Ø Û Ö ÓÓÖ Ò Ö Ô Ö ÓØÓÒ Ò ÐÙÓÒ ÐØ Ð Ú Ò Ò Ñ Òº À Ø ÓÒÒ Ò Ð ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö a(t) tµº ÉÙ Ö ÑÓÐØ Ò Ñ Ò ØÓØ ÖÝÓÒ Ò Ò ÓÒ Ú Ö 10 4 ÓÒ Ò ÖÝÓÒ Ò ÑÓÐØ Ò Ñ Ò ØÓØ ØÓÓÑ¹ ÖÒ Ò Ò ÓÒ Ú Ö 100 ÓÒ Ò Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÓÒ Ò Þ Ò Þ ØÓÓÑ ÖÒ Ò Ò ÓÒ Ú Ö

163 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ 10 5 Öº ÇÔ ÓÒ Ú Ö ØÞ Ð ÑÓÑ ÒØ Ò Ø Ð Ð ÓÚ Ö Ú Ò ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö Ò Ö Ñ ¹ Ø Ö ÓÑ Ò Ö a(t) t 3/2 µº ÁÒ Ö Ø Ö Ò Ø ØÓØ Ø ÒÛÓÓÖ Þ Ò Ø ÖÖ Ò ÚÓÖÑ Ò Ú Ð ÔÐ Ò Ø Ò Ò Ð Ú Òº ÙÙÖ ÎÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ò ÚÓÓÖ ÔÖ ÑÓÖ Ð ÓÒ ÒØ Ú Ò Ð Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ò ØÓÓÒ Ð ÙÒØ Ú Ò Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ò º ÈÖ ÑÓÖ Ð ÒÙÐ Ó ÝÒØ ÓÒ Ô ØÓ Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ö Ò ½¼ ÓÒ Ò ÓÙ Û Ò ÓÓÖ Ö ÜÔ Ò Û Ó Ð ØÓØ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ú Ò ÓÒ Ú Ö Ãº ÎÓÓÖ Þ Ø Û Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÞÓ ÓÓ Ø Ð Ø ÖÒ Ò ÚÓÖÑ ÓÓÖ ÒÙÐ ÓÒ Ò ÒÙÐ Ö ÓØ Ò Ò Ò ÙÒ ÚÓÖÑ Ò ÓÓ Û Ö Ö Ø Ù Ø Ò Ú Ð Òº ÎÓÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ð Ö Ò Ã Ò Ù ÚÓÓÖ Ø Ò ÖÓØ Ö Ò ½¼ Ò Ò Ð 4 À ÓÒ Ò Ø ÖÛ Ð Ð Ø Ö ÖÒ Ò ÒÓ Ø Ù Ø Ò Ú Ð Òº À Ö ÓÓÖ ÓÒ ÒÙÐ Ó ÝÒØ ÒÓ Ø Ò ÒÚ Ò Ò Ñ Òº Ø Ö ÓÒ Ú Ö Ñ ÒÙØ Ò Ð Ø Ö Û Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÓÓÖ Ú Ö Ö ÜÔ Ò Ó Ð Û ØÓØ Ñ Ò Ö Ò 10 9 Ã Û Ö Ò ÙØ ÖÓÒ ÚÓÖÑ ÓÓÖ Ö Ø n + p d + γ Ø Ðº Î ÖÚÓÐ Ò Ð Ò ÙØÖÓÒ¹ Ò ÔÖÓØÓÒÚ Ò Ø ÓÓÖ ÙØ ÖÓÒ Ò ØÓØ 3 À Ò 3 À º À Ø 3 À Ø Ú Ø ¹Ú ÖÚ Ð ÓÚ Ö Ò 3 À Ò Ø Ò ÓÔ Ö ÙÖØ ÓÓÖ Ò ÙØÖÓÒÚ Ò Ø Û Ö ÓÚ Ö Ò Ò 4 À º Ö Ú Ò Ø Ð Ø Ø ÔÖÓ Ø Ö Ð Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÚÓÖÑ Ò Ú Ò 4 À ÓÓÖ Ö Ø Ò ÙØÖÓÒÚ Ò Ø Ú Ò 3 À Ó ÓÓÖ Ö Ø d 3 He p 4 Heº ÓØ Ò Ò ØÙ Ò 3 À Ò 3 À Ñ Ø 4 À Ö Ö Ð Ò Ó Ú Ð Ò 7 Ä Ò 7 º Ø Ð Ø Ø Ò Ú Ø ¹Ú ÖÚ Ð ÓÚ Ö Ò Ò Ø Ø Ð 7 Ä Ø Ò Û Ö Ö Ø p 7 Li 4 He 4 He Ò Ò Òº ÇÓ Ò Ö Ð Ø ÖÒ Ò ÙÒÒ Ò ÓÔ Þ Û Þ Ú ÖÒ Ø ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ð n 3 He p 3 Hº Ó Ú Ð Ò 2 À 3À 3À 4À Ò 7 Ä ÔÖÓ Ù Ö Ò Ò Ö ÐÚ ÚÓ Ð ÚÓÓÖ ÖÝÓÒ Ø Ó Û Ð Ú Ö ÓÙ Ò Ú Ò ÖÝÓÒ Ò ØÓØ ÓØÓÒ Ò ÓÒ Ú Ö µ Ñ Ö ÓÓ ÚÓÓÖ ÜÔ Ò Ò Ð Ò Ð Ú Ò Ó Ð Ò µ Ú Ò Ø Ò¹ Ò Ò ÙÒ Ú Ö ÙÑº Ö Ð Ø Ú ÓÒ ÒØ Ú Ò Ò Ú Ò ÖÒ ÚÓ Ð ÚÓÓÖ Ö Ø Ò Ð Ú Ò Ú Ö ÖÒÖ Ø º ÙÙÖ ØÓÓÒØ ÓÒ ÒØ Ú Ò Ð Ø ÖÒ Ò ÚÓÖÑ Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÒ ÒØ Ú Ò Û Ø Ö ØÓ º ÀÓ ÖÓØ Ö ÖÝÓÒ Ò Ø Ó Û Ð Ñ Ö Ø Ò ÙÙÖ Ø ÖÓØ Ö Ú ÖÒ Ø Ò Ò Ð Ú Ò d 3À Ò 3 À º Ñ Ø Ò

164 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ ÓÒ ÒØ Ú Ò d 3À Ò 7 Ä ÓÑ Ò ÓÚ Ö Ò Ñ Ø Ò η Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò 7 Ä ÙÖÚ º 4 À ¹ ÖÒ Ø ÖÓÓØ Ø ÓÒ ÒØ Ú ÒÛ Ö ÖÓØ Ò Ò Ò Ö º ÜÔ Ò Ò Ð¹ ÙÙÖ ÎÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ò Ò Ñ Ø Ò Ò ÚÓÓÖ ÔÖ ÑÓÖ Ð ÓÒ ÒØ Ú Ò Ð Ø Ø Ð Ñ Ò¹ Ø Ò ØÓÓÒ Ð ÙÒØ Ú Ò ÖÝÓÒ¹ ÓØÓÒ Ú Ö ÓÙ Ò ηº Ú Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ò ÑØ ØÓ Ñ Ø Ø ÒØ Ð Ò ÙØÖ ÒÓ Ñ Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ú Ø Ò Ø Ö Ö Ò ÙØÖ ÒÓ Ñ Ð Ø Òº Ø ÓÑØ ÓÚ Ö Ò Ñ Ø Û ÖÒ Ñ Ò Ò Ú Ò Z 0 Ú ÖÚ Ðº Ö ÙÐØ Ø Ò Ú Ò Ò ÒÙÐ Ó ÝÒØ Þ Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ñ Ø Ø ÏÅ È Ö ÙÐØ Ø Ø Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ Ø Ø Ù Ø 4,6 ± 0,1 ± ÛÓÒ ÖÝÓÒ Ñ Ø Ö Ù Ø 23,3 ± 1,3 ± Ú Ò Ò ÓÒ Ò ÓÓÖØ Ö Ñ ØØ Ö³ Ò Ñ ÓÑ Ø Þ Ò Ø Þ Ø Ö Ñ Ö Û Ð Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ø Ò Ø Ò Ù Ø 72,1 ± 1,5 ± Ú Ò Ø Ø Û Ö Ò Ö Ý³ ÒÓ Ñ Òº Ø ÑÓ Ð Ò Ø ÓÑÔÐ Øº Ó Û Ø Ò Û Ò Ø Û Ø Ö ÙÖ ÓÔ Ø Ð Ò Ú Ò ÓÖ Ú Ò < ÓÒ º Ö Ò Ø ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ò Ð Ò ÞÓ Ð Ò Û Ø Þ Ò Ø ÕÙ ÒØÙÑ Ø Ò Ò ÖÓÐ Ò ÑÓ Ø Ò Ô Ð Ò Ò ÒØ Ö Ø ØÙ Ò ÐØ Ò Û ÓÔ Ø ÑÓ¹ Ñ ÒØ ÒÓ µ Ò Ø Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÓÖ ÞÙÐ Ø Ò Û Ø Ø Ö Ú Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ñ Ø ÞÛ ÖØ Ö Øº Î ÖÑÓ Ð Þ Ð Ò ÓÓÖØ Ð Ø ÓÖ ÕÙ ÒØÙÑÞÛ ÖØ Ö Øµ Ú Ö Ð Ö Ò Û Ö ÕÙ Ö Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ò Ò ÓÑ Ò Þ Ò Ò Û ÖÓÑ Ö Ñ Ö ÐØ Þ Ò Ò Ò¹ Ø ÐØ Ò Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ò Û ÒÛ Þ Ò Ó Ú Ð

165 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Ú Ò ÞÙÐ ÐØ Ð Ú Ò ÓÙÛ º Î Ö Ö Þ Ò Ö Ö Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Ø Ð Ð Ò Þ Ò ÐÐ Ö Ö Ø Ö Ø Ú Ò Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ú Ò ÜØÖ Ñ Ò ÐÐ ÜÔ Ò Ò Ø º À Ø ÓÑ Þ Ö Ò Ø Û Ø ÐÚ Ø Ò Ø Ð Ò Ò ÚÙÐ º Ø Ø ÓÒ ÖÛ ÖÔ Ú Ò Ø ÚÓÐ Ò ÓÓ ØÙ Ò Þ Ð Ö ÛÓÖ Ò ÔÖÓ Òº Å Ö ÓÔ Ø Ò ÐÓØØ Ø Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ÑÓ Ð ÓÑ Ù Ø ÔÖ Ò Ø Ó Ò ÓÚ Ö Ò Ú Ò Ø Ð Ð Ú Ò ÚÓÓÖ Ö ÓÑ Ò Ø 10 5 Öµº ÁÑÑ Ö Ø Ú Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Û Ø Ø ÓØÓÒ Ò Ô Ö Ò Ø Ú Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ø Û Ò Ò Ö Ò ÓÑ ÒÓ ÒØ Ö Ø Ø Ò Ñ Ø ØÓÑ Ò Ñ Ø Ö µ Ò ÖÓÑ Ô Ú Ò Ø ÑÓÑ ÒØ ÚÖ ÓÒ Ò ÖÓÒ Û Òº Ø Ø ÒØ Ø Ø Ñ Ø Ò Ò ÓØÓÒ Ò ÓÒ Ò Ø Ú Ö Ö Ø ÖÙ Ò Ó Ò Ò Ò Ø Ø Ø Ô Ú Ò Ö ÓÑ Ò Ø º À Ø ÓÑ Þ Ö Ò Ø Ò ÙÛ ØÝÔ Ò Ø Ð ÓÔ Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò ÓÑ Ø ÚÖÓ Ð Ð Ø ØÙ Ö Ò Ø Ð ÓÔ Ò Ö ÓÔ Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÒØ Ö Ò ÃÅ Æ Ì Ñ Ò Ò Á Ù µ ÞÛ ÖØ Ö Ø ÓÐÚ Ò Î Ö Ó ÄÁ Ç Ç ¼¼ Ò Ø Ò Ì Ð ÓÔ Ò ÄÁË µº

166 Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½

167 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ÃÓ ÑÓÐÓ Ò Ø À Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ø ÓÒ Ò ÐÓ Ð Ð Ú Ò ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ð Ð Ñ Ö ÒØ Ò Ð Ù Ø Ð Ñ Ö ÖÒ Ø Ø ÓÖØ ÓÑ Ò Ò Ö Ò ÒØ Ð Þ Ò Ò Ö Ú Ö Ð Ö Ò Ó Ú Òº À Ö ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ò Ö ÓÙÛ Ò Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Ò ÓÔÐÓ Ò Ò Ö Ò Þ Ø ÓÖØ ÓÑ Ò Ò Ò Ò Ð Ô ÓÔÐÓ Ø Ó ÑÓÐÓ Ò Ø º Ø Ð Ú Ò Ò Ø Ò Ò Ú Ò Ø ÑÓ Ð Ø ÓÞ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ø ÓÓ ØÙ ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ò Ø ÑÓ Ð Ò Ø Ð Ö Ú Ò ÓÑ Ù Ø Ø Û Ö Ò Ó Ð Ò Ò Ø ÙÙÖ Øº ÁÒ Ø ÒØ Ð Ø Ò ÓÖØ Ø ÙÙÖ Ø Ò ÓÑ Ò ÐÙ Ø Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ó Ö Ò ÐÑÓ Ð Ù Ø Ø ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ò Û ÞÙÐÐ Ò Ò ÓÓ Ò Ñ Ò Ñ ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÓÑ Ø Ø Ó Ò Ú Ö ØØ Ò º Ì Ò ÐÓØØ ÞÙÐÐ Ò Û Ø Ñ Ò Ñ Ù ØÛ Ö Òº º½ Ì ÓÖØ ÓÑ Ò Ò Ú Ò Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ì Ò Ö Ø Ö Ø ÓÖ ÞÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÇÑ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ö Ú Ò ÑÓ Ø Ø ÓÒ ÔØ Ú Ò ÓÖ ÞÓÒ ÛÓÖ Ò Ò Ð º ÓÖ ÞÓÒ Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÖÓÓØ Ø Ø Ò Û ÖÓÚ Ö Ò ÒÚÐÓ Ð ÒÚÐÓ Ö Ò Ò ÓÑ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ö Ò Ø Ù Ò ÓÚ ÒÐ Ñ Ø ÚÓÓÖ ÖÓÓØØ Ú Ò ÖÙ ÑØ Û ÖÑ Û ÖÒ Ñ Ö ÒÓ Ò Ù Ð ÓÒØ Ø Ò Ø Òº Ï Ò Ð Þ Ò Ø Ò Ò Ð ÒÚÐÓ Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ø Ð Ø Ò ÞÓ ÚÓÐ Ø Ø ÓÖ ÞÓÒ Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÓÓ ÖÓÓØØ Ú Ò Ø Þ Ø Ö Ð Ð Ú Ò Þ Û ÖÒ Ñ Öº Ì ÖÑ Ú ÒÛ Ø ØÙ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ú Ò Ø Ð Ð Ò ÐÐ Ò Þ Ò Û Ö Ø ÐÐ ÓÓÖ Ñ Ð Ú Ò ÓØÓÒ Ò Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ø Ö ÖÓÒ ØÖ Ð Ò º Ø Ö Þ ÓØÓÒ Ò Þ Ò ÞÓ Ð Û Ð Ò Þ Ò ÓÒØ ÓÔÔ Ð Ú Ò Ñ Ø Ö ÓÒ Ú Ö 10 5 Ö Ò Ó Ö Ò Ð Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ò Ø Ñ Ö ÑÓ Ð Û Ø ÓÑ Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ú Ò Ø Ð Ð Ò Ø ÖÑ Ú ÒÛ Ø Ñ Ø Ð Ö Ø Ö Ò Òº Ì Ò Þ ÓÒØ ÓÔÔ Ð Ò Û ÓÖ ÞÓÒ Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ð Ñ Ð Ò Ð Ò Ö Ò ÒÙ Ò Û ÞÓÙ Ò ÖÓÑ Ú ÖÛ Ø Ò Ø Ò Û Ö Ò Ø ÒÛÓÓÖ ÓØÓÒ Ò Ñ Ø Þ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÛÓÖ Ò ÚÓÒ Ò Ú Ð Ð Ò Ö Þ Ò Ò Ø ÒÙ Þ Ø Ö Ð Ðº À Ø Ø ÒÓÚ Ö Ø Ð Ð Ø Û Ö Ø Þ Ò Ñ Ø Ú Ò Ð Ø Ò Þ Ò Ø ÓÒ Ð Þ Ø Ö Ð Ð Ò ÒÓ Þ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ Ø Û Ò Ø Ø Ö Ö Ð ÖÙ Ø ÓÑ Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ø Ö ØÚ Ö Òµº Ô Ö ÓÜ ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø ÒÓ Ñ Ò Û Ø ÓÖ ÞÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ò ØÛ Ö Ø ÚÐ ÔÖÓ Ð Ñº Å Ø Ò Ò Û Þ Ò Ù Ø Ø Ø Ð Ð Ø ÒÛÓÓÖ Ò Ñ ØÖ Ø ÜØÖ Ñ ÚÐ ÚÐ ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö Ñ ØÖ Ù Ø Ø ÚÓÖ ÓÓ ØÙ º Ï Ò Ø Ö Ð Ö Ò Ø Ù Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ð ÚÓÓÖ Ô ÐØ Ø ÖÓÑÑ Ò Ú Ò Ø Ð Ð Ø Ð Ò Ö ÒØ Ø ÛÓÖ Ò Ω 0 Ð t ÖÓØ Ö ÛÓÖ Øº Ø ÑÔÐ ÖØ Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÚÖÓ Ð Ð ÒÓ Ú Ð Ñ Ö Ð Ò Ø ÓÔ Ô Ö Ø ÚÐ ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö Ñ ØÖ Ø Ò Ò Ù ÚÐ Ø Ú Ö Ð Ö Òº Ø Ø ÚÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Û Ð Ñ Ò Ñ ÚÖÓ Ø Û Ö Ú Ò ÚÐ ÞÓ Ø Ô Ö Ø ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö ÚÐ ÓÑ Ò Ø Ð Ò Þ ÚÖ Ò ÓÒØÛ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Ø Ð Ð ÐØ Ð ÔÖ ÚÐ Û Øº Ø Ð Ø Ø Ö ØÓØ ÚÖ Û ÖÓÑ Ø Ð Ð ÓÒÒ Ò Ñ Ø ÔÖ Ö Ø Ø º À Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ø Ò ÒØÛÓÓÖ ÓÔ Þ ÚÖ Òº Ì Ò ÐÓØØ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ñ Ò ÐØ º Î Ð Ú Ò ÑÓ ÖÒ Ø ÓÖ Ò Ú Ò ÐØ Ý ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ø Ø Ò Ú Ò ÜÓØ ÒÓ Ò Ø Ñ Ø Ò ÐØ ÚÓÓÖ Ð Ò Þ Ò ÙÔ Ö ÝÑÑ ØÖ ÐØ Ò Ñ Ò Ø ÑÓÒÓÔÓÐ Òº Þ ÐØ Þ Ò ØÝÔ Ð ÞÛ Ö Ò Þ Ò ÖÓÑ ÑÓ Ð ÒÛ Ð ÔÖ Ø ÓÒÑÓ Ð µ Ø Ö Ö Ò Ò Ö ÐØ Ú Ö Ò ÐÐ Ö º Ø Ö Ò Ø Ð ÚÖÓ Ð Ð Þ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÓÓ ÒÓ Û Ø ÓÑ Ò ØÙÙÖÐ Ö Ø Ú Ò ÞÙÐ ÐØ ÒÒ Ñ Ð Ø Ñ Òº Ò Ú Ò Þ ÐØ ÓÓ Ø Ó ÖÚ Ö º ÚÖ ÇÔ Þ Ò Ñ Ò Ø Ò Ò Ð Ö Ø Ò ÓÒ ÖÞÓ ÖÓ Ô Û ÖØ Ò Ñ Ò Ø ÑÓÒÓÔÓÓÐ Ñ Ø Ò Ø Ò Ñ Ö Ø ÖÒ Ò Ò Ð Ò Ö ÓÒ ÖÞÓ ÖÓ Ô ÓÓ Ø ÐÙ Ø Ø Ö ÙÐØ Ø Ø Ö ÔÖÓ Ù Ö Òº Î Ð ÐØ Ý Þ Ò ÖÓÑ Ö ÔØ ÓÚ Ö Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ò Ö Ò Þ Û Ö Ò º

168 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ Ò ÓÓ Ð Þ ÐØ Ò Ö ÔÖÓ Ù Ö Þ Ò Ò Ø ÚÖÓ Ð Ð Û ÖÓÑ Þ Ò Þ Ò ÒÓÓ Ø Ñ Ö Ø ÖÙ ÚÓÒ Ò Ð Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÙÒÒ Ò Ò Ò Ð Ô ÛÓÖ Ò ÓÔ ÐÓ Ø ÓÓÖ Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ¹ ÑÓÐÓ Ù Ø Ø Ö Ò Ñ Ø Ò Ò ÙÛ ÓÒ ÔØ Ó ÑÓÐÓ Ò Ø º Ø ÒÒ Ñ Ø Ø Ð Ð ÚÐ Ò Ó Ö Ò Ð Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ú Ò ÜØÖ Ñ Ò ÐÐ Ù Ø Ò º Å Ø Ñ Ø ÞÙÐÐ Ò Û Ø Ð ÚÓÐ Ø Ò Ö Ò Ø Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ð Ø ȧ(t) > 0, ä(t) > 0. ½µ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÙÒÒ Ò Û Ö Ø ÓÖØ ÓÑ Ò Ò Ú Ò Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð ÓÔÐÓ Òº Ó ÛÓÖ Ø Ø ÓÖ ÞÓÒÔÖÓ Ð Ñ ÓÔ ÐÓ Ø ÓÓÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ô Ö ¹ Ó Ð ØÓÖ a(t) ÜØÖ Ñ ÖÓÓØ ÛÓÖ Øº Ø Ø ÒØ Ø Ò ØÙ Ú Ò Ø Ð Ð Û Ö Ò Ø ÖÑ Ú ÒÛ Ø Ð Û ÓÔ ØÖ Ò Ú Ö Ø ÖØ Ú Ò Ò Ø Ô Ö Ó ÓÔ Ð Þ Ò ÛÓÖ Ø ØÓØ Ú Ð ÖÓØ Ö ÔÖÓÔÓÖØ Ò ÓÖ ÞÓÒ Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ð Ú Ò Ø Ð Ðº À Ø ÚÓÐ Ò ÓÓ Ø Ò Ø Ò Ø Ô Ö Ó ÐÓÔ Ò Ø Þ Ö Ð Ð ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ò Ø ÖÑ Ú ÒÛ Ø ÔÖ ÞÓ Ð Û Ú Ò Ñ Ø Ò À Ø ÚÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÛÓÖ Ø ÓÔ ÐÓ Ø ÓÓÖ Ø Ø Ø Ð ÖÙ ÑØ Û ÒÒ Ö ÓÔ Ð Þ Ò ØÓØ ÚÓÐ Ó Ò ÖÓØ ÔÖÓÔÓÖØ ÚÐ Ð Ø ÚÓÓÖ Ò ÐÓ Ð Û ÖÒ Ñ Öº Ø ÚÓÐ ÓÑ Ò Ú Ö Ð Ö Ñ Ø Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ø ÞÓ ÖÓÓØ Ú Ö Ð Ò Ñ Ø ÓÒ ÐÓ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ø ÓÒ ÚÓÓÖ ÓÑØ Ð ÔÐ Øº Ì Ò ÐÓØØ ÓÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ñ Ò ÐØ ÓÔ Ò ØÖ Ú Ð Ñ Ò Ö ÓÔ ÐÓ Ø ÓÓÖ ÒØÖÓ ÙØ Ú Ò Ò Ò Ø Ô Ö Ó º ÁÑÑ Ö Ð Ø Ð Ð ØÓØ ÒÓÖÑ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÔ Ð Þ Ò ÞÙÐÐ Ò ÐÐ ÜÓØ ÐØ Ö Ö Þ Ò Ú Ö ÒÚ Ò Ú Ò Ò Ø Ô Ö Ó ÛÓÖ Ò Ù Ø Ñ Ö ÓÚ Ö Ò Þ Ö ÖÓÓØ ÚÓÐÙÑ º Ø Ñ Ø Ò Ö Ò Ø Ò Ø ÓÑ Ò Ò Ö Ø ØÓÖ Ò ÞÓÒ Ö Ð Òº Í Ø Ö Ö Ú Ö Ð ÖØ Ò Ø ÐÐ Ò Û ÖÓÑ ÒÚ Ò Ð ÜÓØ ÐØ Ò Ø ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ó Ø Þ Ò Ù Ø ÔÖ ÓÚ Ö ÐØ Ú ÒØÙ Ð Ò Ò Ø Ô Ö Ó Ö Ö Þ Òº ÇÚ Ö Ò Ú ÖÛ Ø Ò Û ÓÓ Ò Ø Ø ÞÙÐ ÐØ Ò Ò Ð Ø Ö Ø ÙÑ Ö Ö ÛÓÖ Òº Ö Ò ÖÚÓÓÖ Ø ÞÓ Ð Ð ÒÓ Ñ ÞÙÐ ÜÓØ ÐØ ØÝÔ Ð Ó Ñ Ò Ò Ø Ù Ð ÑÓ Ð ÞÙÐ ÐØ Ø Ö Ö Ò Ò Ò Ð Ð Û Ö Ò Ò Ö Ø Ò ÑØ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÜÔ Ò º º¾ ÝÒ Ñ Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ò Ø Ï Ò ÓÒ ÒÙ Þ ÓÙ Ò Ñ Ø ÚÖ Ó Ó ÑÓÐÓ Ò Ø Ö Ð Ö Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ Û Ð Ñ Ò Ö ÙÒÒ Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò ØÓ Ô Ø ÛÓÖ Ò ÓÑ Ò Ø Ø Û Ö Ø Ð¹ Ð Ò Ò Ñ Ò Ö Ò Û Ð Þ Ò Ò Ù Ú Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Û Ö Û Ò ÓÒÐÙ Ö Ø Ò Ò Ö ÚÓÖÑ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ρ c Ò ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò ρ = P Ò Ð Ð ÓÔÐ Ú ÖØ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ù Ø Øº Ø Ø Ö Ò Ø Ò ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ú Ö Ð Ò ½µ Ø ÚÓÐ Ó Òº Ð Û ØÛ Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò ÓÙÛ Ò Þ Ò Û Ø Ò Ø ÓÔØÖ Ø Û ÒÒ Ö Ö Ø Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò ÖÓØ Ö Ò ÒÙÐ Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ø ÒØ Ø Ø Ò Ø ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ø ÚÓÓÖ ÐÐ Ñ Ø Ö Ó Ò Ö Ò Ô n < 1 3 Òº ÙÐ Ò Ö ÛÓÖ Ø Ò Ð Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ò Ø ÚÓÒ Òº Ø Ö Ò ÕÙ ÒØÙÑ Ý Þ Ò ÞÙÐ Ò Ö ÚÓÖÑ Ò Û Ð Ð Ø Ö Ð Ö Ò ÓÓÖ Ò Ö Ø Ö Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ú Ð Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò ÐØ º Ï ÞÙÐÐ Ò Ò ÓÓ ÒÙ Ú Ö Ö Ò Ñ Ø Ø Ò Ö Ò Ú Ò Ò Ú Ð Ò Ø ÞÓ Ò Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ò ÖÙ ÒØ ÚÓÐ Ó Ò Ò Ò Å Ö ÓÔ Ø Ò Ð Ð Ñ Ø Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ ÔÖ Ò Þ Ò Ø ÚÓÐ Ó Ø Ò Ù Ø Û ÓÒÞ Ù Ù Ø Ò Ð Ò Ø ÞÓÙ Ò ÙÒÒ Ò Ø ÑÔ Ð Òº Ï ÞÙÐÐ Ò Ø Ö Ò Ñ Ò Ø Ö ÖÚ Ö Ò ÚÓÓÖ Ú Ö Ò Ð ÜÔ Ò Ò Ø ÚÖÓ Ð Ðº

169 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Û Ö Ò n < 1 3 º À Ø Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ò ØÙÙÖ ÙÒ ÓÑ Ù Ø Ø Ñ Ò Ó Ø Ú Ð Ñ Ø Ò Ò ÛÓÖ Òº À Ø ÑÓ Ð Ø Ø Ñ Ø ÖÙ Ø ÛÓÖ Ø Ø Ú Ò Ò Ð ÖÚ Ð Φ(t) Ø ÐÐ Ò Ò Ð Ú Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ò ÖÙ ÑØ º ÁÑÑ Ö Ø Ó ÑÓÐÓ ÔÖ Ò Ô Ù Ö ÖØ Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ñ Ø Ö ÓÑÓ Ò Ò ÓØÖÓÓÔ Ú Ö Ð ÒØ Ø Þ Ò Ò ÙÞ ÚÓÓÖ Ò Ú ØÓÖ¹ Ó Ø Ò ÓÖÚ Ð Ò Ø Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ñ Ø Ú Ò ÓØÖÓÔ Ú ÒÛ ÖÓØ Ø ¹ Ò Ð Ú Ò ÞÙÐ Ú Ð Ò Ú Ö Ö ÞÓÙ Ò ÔÐ Ø Ò Ð Ò Ø Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Þ Ò Ñ Ø Ú Ò ÓÑÓ Ò Ø Øº Ò Ð ÖÚ Ð ÒØ Ò Ä Ö Ò Ò¹ Ø Ú Ò ÓÓÖ L = 1 )( ) ( ) 2 gµν( µ Φ(t) ν Φ(t) V Φ(t), ¾µ Û Ö Ò Ø Ù Ú Ð ÐÐ ÖÙ ÑØ Ð Ð Ò Ò Ö Ò Ð Ú Ö Òº Ð Ä Ö Ò Ò¹ Ø ÓÓÖØ Ò Ø S Ú Ò ÓÓÖ S = d 3 xdt gl µ Û Ö Ò ÞÓ Ð Ö Ö Ö ÙÑ ÒØ Ö g Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ø Ù Ú Ð ¹ ÖÙ Ò Û ÚÐ ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö Ñ ØÖ Ú Ö Ð Ò º µ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÖÓÑ Ú Ò ÓÓÖ g = a 6 (t). µ Î ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÙÒÒ Ò Û ÒÙ Û Ò Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ø Ð ÖÚ Ð Φ(t) Òº Ø Ò Û Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ñ Ö Ö Ð Ø ÒÚÓÙ Ò Þ Ò Ø Ú Ð ÐÓÙØ Ö Ú Ò Ø Ò Ø Ò Ø Ö ÙÐØ Ø Ò ÓÓ Ò Ð ÚÓÒ Òº À Ø Ð ÖÚ Ð Φ(t) ÚÓÐÙ ÖØ Ò Ø ÚÓÐ Ò Û Ò Ú Ö Ð Ò Φ(t) + 3ȧ(t) a(t) Φ(t) ( ) + c 2 Φ V Φ(t) = 0. µ Å Ö ÓÔ Ø Ø Ð Ú Ò ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ð ÖÚ Ð Ò Ò Ú Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ¹ Ø V ( Φ(t) ) Ú Ö ÐÐ Ò ÓÓÖØ Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ò Ø ÛÓÖ Ò Ò ÓÓ ÒÑ Ö Ø ÓÓÖ ÙÞ Ú Ò Þ ÖÓÓØ º Ï ÞÙÐÐ Ò Ö ÒÓ Ò Ø Ò Ø Ð ÓÔ Ò Ò Ò ÐÐ Û Ø ÚÓÐ Ø ÞÙÐÐ Ò Û Ò ÒÒ Ñ Ñ Ò ÚÓÓÖ ÚÓÖÑ Ú Ò V ( Φ(t) ) Ò ÒØ Ò ÚÓÐ Ð Ú Ò Ð ÓÒÞ ÚÓÐ Ò ÓÒÐÙ ÞÓ Ð Ñ Ò ÑÓ Ð º Ð Ä Ö Ò Ò Ø Ð Ø ØÓØ Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ ( )( ) T µν = µ Φ ν Φ + g µν L. µ Þ Ù Ø ÖÙ Ò ÙÒÒ Ò Û ÖÙ Ò ÓÑ ÖÙ Ò Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ø Ð ÖÚ Ð Ø Ö Ò Òº À ÖØÓ ÚÙÐÐ Ò Û ÓÒÞ Ù Ä Ö Ò Ò Ø Ò Ñ ØÖ Ò Ò Ú Ö Ð Ò Û Ö ÙÐØ Ö Ò Ò Ö ¹ ÑÔÙÐ Ø Ò ÓÖ Ñ Ø Ú Ò Ö Ñ ÒÒ ÚÐÓ ØÓ Ú Ö Ð Ò ½ µº Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÓÖ Ø Ò ÖÙ ÙÒÒ Ò Ò Ö Ø ÛÓÖ Ò Ð Þ Ò Ò ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ø Ø Þ Ú Ò Þ Ò ÓÓÖ ρ(t) = c Φ 2 2 (t) + V ( Φ(t) ), P(t) = c Φ 2 2 (t) V ( Φ(t) ). µ

170 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ¼ Å Ö ÓÔ Ø Ö Ø Ø ÖÑ Þ Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò Ø Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ð ÖÚ Ð Ò ØÛ Ø ÖÑ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ø ρ Ú Ò ØÓØ Ð Ò Ö ÐÓÔØ Ò ÓÓ ÔÖ Ñ Ø Û Ø Û ÞÓÙ Ò Ú ÖÛ Ø Ò º Ï ÓÙÛ Ò Ò Ð Ð Ø Ò Þ Ò ÚÖÓ Ø ÔÓ ÚÙÐ Ñ Ø ÖÙ Ð ÓÓÖØ Ò Ò Ö ÓÙ Ñ Ø Ö ØÖ Ð Ò Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÚÓ Ò ÒÙ Ò Ò ØÓÒÚ Ð ØÓ º Ð Þ ÒÚÐÓ Ò Ô Ð Ò Ú Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Û Ö Ò Ð ¹ ØÓÖ ÚÓÐÙ ÖØ Ò Ø º Ð ÒÚÐÓ Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ø ÖÓÓØ Ø Þ Ð Ø Ð Ð Ò Ô Ö Ó Ò Ò Ú Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ù Ø Ò º À Ø ÚÓÐ Ò Ø Ò Ö ÒÚÐÓ Ò ÚÖ Û Ð Ñ Ø Ò Ú ÖÛ ÖÐÓÓ ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Òº ÁÑÑ Ö Ò Ö Ø Ò ÖÙ Ú Ò Ò ÖÙ Ð ÚÓÖÑ Ú Ò Ò Ö Ò Ñ Ø Ö Ú ÒÖ Ñ Ø ÒÚ Ö Ú Ò Ð ØÓÖ ØÓØ Ò Ô Ð Ñ Ø Þ ÓÒÞ Ö ÙÐØ Ø Ò Ù Ø Ø ÚÓÖ ÓÓ ØÙ µ Ò ÞÙÐÐ Ò ÖÓÑ ÝÑÔØÓØ Ò ÚÓÓÖ ØÝÔ Ò Ø ÑÓ ÐÐ Ò Ð Ò Ðµ Ò Ö ÒÙÐ Òº ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ú ÒÖ Þ Ò Ñ Ø ÖÙ Ò Ø ÙÒÒ Ò Û ÖÓÑ Ò Ö Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ø Ð Ð Ò Ò Ò Ø Ô Ö Ó º Ð Ñ Ø Ð ÒÙ ÚÓÒ Ò Ø Û Ø Ð Ð Ò Ò Ò Ø Ô Ö Ó ÙÒÒ Ò Ö Ú Ò ÓÓÖ Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ñ Ø Ö Ò ÐÓÙØ Ö ÒÚÐÓ Ú Ò Ø Ò ¹ ØÓÒÚ Ð Ù Ø ØÙ Ö Ò Ù Ø Ö Ö Û Ò Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ø Ò ØÓÒ Ú Ð º Ö ÙÐØ Ö Ò Ø Û Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò Φ(t) + 3H(t) Φ(t) + c 2 Φ V ( Φ(t) ) = 0, H 2 (t) = 8πG ( 1 1 3c 2 2 c Φ 2 2 (t) + V ( Φ(t) )). µ À Ø Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ó ÑÓÐÓ ÙÒÒ Ò Û ÒÙ Ð ÚÓÐ Ø Ñ ÒÚ ØØ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ö Ò ÚÓÖÑ ÚÓÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø V ( Φ(t) ) Ù Ø ØÙ Ö Þ Ò Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò Ò ÐÓ Ö ÙÐØ Ö Ò Ø Û Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔ ÓÑ ÜÔÐ Ø ÚÓÖÑ ÚÓÓÖ Ð ØÓÖ a(t) Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Φ(t) Ø Ú Ò Òº Å Ö ÓÔ Ø Ø Ò Ø Ö Ò Ö Ø Ò ÚÓÒ Ò ÓÔÐÓ Ò a(t),φ(t) Ò Ö Ò Ø ȧ(t) > 0,ä(t) > 0µ Ö Ø ÚÓÓÖ Ð Û ÐÐ ÙÖ ÚÓÖÑ ÚÓÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø V (Φ(t))º ÁÒ ÚÓÐ Ò Ø ÞÙÐÐ Ò Û ÖÓÑ Ö Ø Ö Ò Ñ Ø Ö Ò ÚÓÐ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ø ÞÙÐÐ Ò Ö Ò Ö Òº º Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò ÆÙ Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÒ Ò Þ Ò ÙÒÒ Ò Û ÓÒ Ù Ò ÓÚ Ö ÚÖ ÓÔ Û Ð Ñ Ò Ö Ò Ð ÖÚ Ð ÖÙ Ø Ò ÛÓÖ Ò ÓÑ Ò Ø Ø Ö Ð Ö Òº Ø Ò ØÖ Ú Ð ÚÖ Û Ò Ð Þ Ò Ø Ò Ø ÚÓÐ Ø Û ÒÒ Ö Ø Ò ÖÙ Ð Ò ØÓØ Ò ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ñ Ø n < 1 3 Ñ Ö ÖÓÓØ Ò Ò Ò ÓÔ Ò Ò Ø¹ØÖ Ú Ð Ñ Ò Ö Ú Ò Û Ö Ú Ò Ø Ð ÖÚ Ð Φ(t) Û Ð Þ Ð Û Ö Ø Ö ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Û Ò Ú Ö Ð Ò º À Ø ÓÑ Þ Ö Ò Ø Ñ Ò ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ú ÒÒ Ñ Ú Ò Ð Ò Þ Ñ ÚÓÐÙØ Ñ Ø Ò ÒÓÑ Ò ÛÓÖ Ø Ø Ø Ð ÖÚ Ð Ð Ð Ò Þ Ñ ÚÓÐÙ ÖØ Ò Ø ÞÓ Ò Ø Û ÑÓ Ò ÒÒ Ñ Ò Ø Φ¹Ø ÖÑ Ò Ò Ù Ø ÖÙ Ò µ ÚÓÓÖ Ø Ò ÖÙ Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Þ Ò Ý Þ Ò Ø ÒØ Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ú Ò Ø Ú Ð Ú Ð Ð Ò Ö Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö µ c Φ 2 2 (t) V ( Φ(t) ). µ Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÓÖ Ø Ò ÖÙ Ò ÓÓ ÚÓÒ Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ñ Ò Ø ρ Þ ÚÓÖÑ ÞÓÙ Ò Ò ÖÒ ÞÓ Ð ÚÓÓÖ Ò Û Ò Ø ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Ø ÖÙ Ò ÓÑ ÓÖ Ò ÖÙ Ø Ú Ò Òº ÁÒ Ø Ò Ð ËÐÓÛ ÊÓÐÐ ÓÒ Ø ÓÒº

171 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ½ Ö Ð Ø Ò ρ(t) +V ( Φ(t) ), P(t) V ( Φ(t) ). ¼µ Å Ö ÓÔ Ø ÓÒ Ö Þ ÒÒ Ñ ØÓ Ø Ò Ú Ö Ð Ò Û Ö n = 1 Ø Ö Ò Ò Ø ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÞ ÚÓÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö V ( Φ(t) ) º ÁÒ Ø ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ò Û Ð Þ Ò Ø Þ Û Ö Ú Ò n Ð Ø ØÓØ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÜÔ Ò Ú Ò Ø Ð Ð Ò ÞÓ ÚÓÒ Ò Ø ÓÒ Ö ÒÒ Ñ Ú Ò Ð Ò Þ Ñ ÚÓÐÙØ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ð Ú Ò Ø ÑÓ Ðº À Ø Ð ÖÚ Ð ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ø Ú ÖÚÓÐ Ò ÓÓ Ò Ù Ò Ñ Ø Ò Ñ Ò ØÓÒÚ Ð ÐØ Û Ò Ø Ú Ð ÙÒÒ Ò ØÓ ÒÒ Ò Ø Ò Ò ØÓÒ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò Ú Ö Ö ÒÒ Ñ Ò Ø Φ(t) Ú Ð Ð Ò Ö Ò 3H Φ(t) ÞÓ Ø Û Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ú Ö Ð Ò µ ÙÒÒ Ò Ú ÖÛ ÖÐÓÞ Ò Ý Ø ÒØ Þ ÒÒ Ñ Ø Û ÖÚ Ò Ù Ø Ò Ø Φ(t) Ñ Ö Ð Ð Ò Þ Ñ Ú Ò Û Ö Ú Ö Ò ÖØº Þ ÚÓÓÖÛ Ö Ð Ò Ö Û ÒØ Ø Þ Ø Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ò ØÓÒ Ð Ò Ð Ò Ð Ø Ò ÖÑ ÚÓÓÖ ÓÑØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð Ø Ò Ò ÓÑØº ÇÒ Ö Þ ÒÒ Ñ Þ Ò Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò Ö ÒÚÓÙ Ö Ù Ø 3H(t) Φ(t) + c 2 Φ V ( Φ(t) ) = 0, H 2 (t) 8πG V (Φ(t)) = 0. 3c2 ½µ Þ ÞÙÐÐ Ò Û Î Ö ÒÚÓÙ ÁÒ Ø Î Ö Ð Ò Ò ÎÁÎµ ÒÓ Ñ Òº ÎÓÓÖ Ø Û Þ Ò ÓÔÐÓ Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ö Ø ØÛ Ð Ò Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ÓÒ Þ Ò Û ÒÒ Ö Û Þ ÒÒ Ñ ÑÓ Ò ÖÙ Òº Ë Ñ Ò Ú Ø Ð Ò ÎÁÎ ÐÐ Ò ÞÓÐ Ò Ò Φ 2 (t) c 2 V ( Φ(t) ) 1, en Φ(t) 3H(t) Φ(t) 1 ¾µ ÚÓÐ Ò º Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ö Ö Ú Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ØÛ ÎÁÎ Þ Ð Ò ÞÓ Ò Ò ÚÓÖÑ ÛÓÖ Ò ÓØ Ò Û Ö Ò ÐÐ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø V ( Φ(t) ) ÚÓÓÖ ÓÑØº Ø Ñ Ø Ø Ñ Ð ÓÑ ÚÓÓÖ Ò Ú Ò Ò Ø ÑÓ Ð Ò Ð Ø Þ Ò Ó Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò ÖÙ Ø ÑÓ Ò ÛÓÖ Òº Ö Ø Ò ÛÓÖ Ò Ö Ö Ú Ò Ð ÚÓÐ Ø 1 1 Φ 2 2 ( (t) c 2 V ( (Φ(t) ) = 1 Φ V (Φ(t)) ) 2 18H 2 (t) V (Φ(t)) = 1 c 4 ( ) Φ V (Φ(t)) 2 1, µ 6 8πG V (Φ(t)) Û Ö Ò Ö Ø Ø Ô Ö Ø ÎÁÎ ÖÙ Ø Ò Ò ØÛ Ø Ô ØÛ º Ï Ò Ö Ò ÒÙ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ǫ Ð c 4 ǫ 1 6 8πG ( ) Φ V (Φ(t)) 2, µ V (Φ(t)) Ò ÞÓ Ð ÒÙ Ð Ò ÑÓ Ø Þ Ú Ð Ð Ò Ö Þ Ò Ò 1 ÓÑ Ö Ø Ú Ò ØÛ ÎÁÎ Ø ÑÓ Ò ÖÙ Òº Ý ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ǫ Ò Ð Ø Ð Þ Ò ǫ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ø Ð Ú Ò ÙÒØ V (Φ(t)) Ò Ø Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ð Ò Þ Ø Ù Ø Û

172 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ¾ ÒÒ Ñ Ò Ø V (Φ(t)) Ð ÚÐ º Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÓÓ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Û ÙÒÒ Ò Ú Ò Ò ÓÓÖ ÓÔ Ø Ñ Ö Ò Ø ÎÁÎ ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò ÖÙ Ø ÓÑ Ò Ø ØÓÒ Ò Ø Ḣ(t) H 2 (t) = 1 3 ǫ. µ Ð ǫ 1 Ð Ø Ø Ð Ò Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ú Ð Ð Ò Ö Ò 1º Ø Ò Ò Ö Ò Þ Ò Ø Ö Ò Ø Ò Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Û Þ Ò Ð ÚÓÐ Øº Ò Ø Ú Ò ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ H(t) ȧ(t) a(t) Þ Ø Ø Þ Ú Ö Ð Ò Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð 1 a(t)a(t) ȧ 2 = 1 (t) 3 ǫ 1 ä(t)a(t) ȧ 2 0, (t) µ Ò ÓÒ Ð Ö Ò ÖØ Ø ä(t) 0 Ú Ö Ò Ð Ù Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ðº ÓÒÐÙ Ò ÓÓ Ø ǫ 1 Ò Ø ÐÐ Ò Ø ÒØ Ø Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò ÖÙ Ø ÑÓ Ò ÛÓÖ Ò Ñ Ö ÓÓ Ø Ò Ø Ö Ò Ö º Ð Ø Ø ÓÔÑ Ö Ò Ú Ö Ð ÖØ Ò Ñ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Öº ØÛ Ò Ú Ö Ð Ò ¾µ Ò Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ö Ö Ú Ò Φ(t) 3H(t) Φ(t) = 1 ) (c 2 9H 2 Φ 2 (t) V (Φ(t)) + 3Ḣ(t) = c4 Φ 2V (Φ(t)) + ǫ 24πG V (Φ(t)) 9 1, µ Û Ö Ò Ò Ö Ø Ø Ô Ø Ð Ú Ò Ö Ø ÎÁÎ ÖÙ Ø Ò Ò ØÛ Ø Ô ØÛ ÎÁÎ ÖÙ Ø Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ô ÓÒ Ø ÓÒµº Ð Û ÒÙ ÓÔ Ô Ö Ñ Ø Ö ǫ ÖÙ Ò ǫ 1 Þ Ò Û Ø ØÛ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÛÓÖ Òº Ï Ò Ö Ò Ò Ò Ô Ö Ñ Ø Ö η Ð c4 η 24πG 2 Φ V (Φ(t)) V (Φ(t)), µ Ò ÒÙ Ð Ø Ø Þ Ú Ð Ð Ò Ö ÑÓ Ø Þ Ò Ò 1 ÓÑ ØÛ Ú Ò ÎÁÎ Ø ÑÓ Ò ÖÙ Òº Ý ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö η Ò Ð Ò Ø Þ Ò η Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ò Ð Û ÖÑ V (Φ(t)) Ú Ò Ø Ð Ú Ö Ò ÖØ Ò Ø Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ò Þ Ø Ø Û ÒÒ Ñ Ò Ø V (Φ(t)) Ð Ò ÚÐ Ð Øº Ø ÐÐ Ñ Ø Ø Û ÙÒÒ Ò ÓÒÐÙ Ö Ò Ø Û ÎÁÎ ÙÒÒ Ò ÖÙ Ò ÓÑ Ò Ø Ø Ö Ú Ò ÚÓÓÖ Ð ÙÞ ÚÓÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø V (Φ(t)) Ñ Ø Ø Ñ Ö Ò ÙÒØ Ö ÚÐ ǫ 1µ Ò Ð Ò Ö Ø ÚÐ Ð Ø η 1µº Þ Ö Ò ÖØ ÓÚ Ò Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø Ø ÚÓÐ º º Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ò Ø ÑÓ Ð Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÙ Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ò Ñ Ò ØÓÒÚ Ð Ó Ø Û Ð Ò ÕÙ ÒØÙÑÚ Ð Ø ÓÔ ÓÙÛ Ù Ø ÐØ Ñ Ø Ñ mº Í Ø Ú Ð ÒØ ÓÖ Ò Ø Ä Ö Ò Ò Ø ÚÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ð ÖÚ Ð ÚÓÓÖ Ò ÐØ Ñ Ø Ñ m Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ L = 1 2 Φ 2 (t) m2 2 ( c ) 2 Φ 2 (t), µ Ø ÞÓ Ò Ñ ÃÐ Ò ÓÖ ÓÒ Ú Ö Ð Ò º À Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ò Ò Ö Ú Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÐØ Ñ Ø Ô Ò ¼º

173 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ Û Ö Ò Ö Ù Ö ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò ÈÐ Ò = h/2πµº Ï ÙÒÒ Ò Ö Þ Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø V (Φ(t)) Ú Ò Ø Ú Ð Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ò ÎÁÎ ÐÙ Ò Ò ÓÓ V (Φ(t)) = m2 2 3H(t) Φ(t) + m 2 ( c 4 H 2 (t) 8πG 6 ( c 2 ) 2 Φ 2 (t), ¼µ ) Φ(t) = 0, m 2 Φ(t) = 0. 2 ½µ Ø Þ Ò ØÛ ÓÔÔ Ð Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ò ÒÚÐÓ Ø Ö Ø Ú Ò Ò Ö Ò Ú Ú Ö º À Ø Ú Ò Ð Ù Ø Ò ÓÑ ÞÙÐ Ý Ø Ñ Ò Ú Ò ÓÔÔ Ð Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÓÔ Ø ÐÓ Ò Ñ Ö Ò Ø Ú Ð Ð Ø Ø Ò Ø ÞÓ ÑÓ Ð Ø Þ Òº Ï ÙÒÒ Ò Ò Ð Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò ÖÙ Ò ÓÑ Ú Ò Ò Ö Ø Ð Ñ Ò Ö Òº ÁÒ Ø Ú Ð Ò Ø Ð ÚÓÐ Ø Û ÒÒ Ö Û ÛÓÖØ Ð Ò Ñ Ò Ú Ò ØÛ ÎÁÎ Ú Ò Ò Û Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ H(t) H(t) = ± 8πG 6 m Φ(t), ¾µ Ø ±¹Ø Ò Ø ÚÓÐ Ú Ò Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ò ÛÓÖØ Ð Û ÞÙÐÐ Ò Ð Ù ØÑ Ò Û Ð Ú Ò ØÛ Ø Ò ÓÞ Ò ÒØ Ø ÛÓÖ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÖÖ Ø Ø Ö Ú Òµ Ò Þ ÓÒ Ø ÒØ ÙÒÒ Ò Û ÖÙ Ò ÓÑ Ö Ø Ú Ò ÎÁÎ ÓÒ Ò Ð Ø Ñ Ò Ú Ò H(t)º ÁÒ ÚÙÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½µ Ö Ò Û ÒÙ Ò Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò ÐÐ Ò ÒÓ Ñ Ö Ú Ò Φ(t) Ò Øº Ö Ð Ø 8πG m ±3 6 Φ(t) Φ(t) + m 2 c4 2Φ(t) = 0. µ Ï ÙÒÒ Ò Ú ÖÚÓÐ Ò mφ(t) Û Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ú Ò Ò Φ(t) ± mc πG = 0. µ ÓÚ Ö Ð Ú Ò Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò ÒÚÓÙ ÓÔ Ø ÐÓ Ò Û Þ Ò ÓÔ ÞÓ Ò Ö Ò ÙÒØ Û ÒÒ Ö Ö ÒØ Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÔÐ Ú ÖØ Ò Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÔÐÓ Ò Ò ÓÓ Φ(t) = Φ 0 mc πG t. µ À Ö Ò Φ 0 Ò ÓÒ Ø ÒØ Ø Ù Ð Ø Ø Û Ö Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð ÓÔ Ø Ò Ú Ò Þ Ò Ø ÚÓÐÙØ Ù Ð t = 0 µº Ï Ò ÒÙ Ò Ú Ò ØÛ ÞÓ Ø ÙÒØ ÚÓÒ Òº ÚÓÐ Ò Ø Ô ÓÑ Ò Ù Ø¹ ÖÙ Ò Ø Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ð ØÓÖ a(t)º Ø ÙÒÒ Ò Û Ó Ò ÓÓÖ ØÛ ÎÁÎ Ø ÖÙ Ò Ò Ö Ò Ø ÚÓÒ Ò ÒØÛÓÓÖ ÚÓÓÖ Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ø Ù Ø ØÙ Ö Òº ÎÁÎ Þ Ø Ö Ò Ù Ø Ð H(t) = ȧ(t) ( ) 8πG m = ± Φ 0 mc4 6 a(t) 6 3 8πG t 8πG m = ± 6 Φ 0 m2 c t. µ

174 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ Ï Þ Ò ÒÙ ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ò ÓÑ Ò Ø Û Ò Ù Ø ÔÖ ÙÒÒ Ò Ó Ò ÓÚ Ö Û Ð Ú Ò ØÛ Ø Ò Ø Þ Ò Ø ÓÒ Ö Ø Ó Ø ÓÚ Ò Ø Ø Ò Ú Ò ± Ó º Ï ÐÐ Ò Û Ò Ù Ø Ò Ð Ð Ö Ú Ò Ò Þ Ð Ô Ö Ò Ø ÑÓ Ø Ò Ð Ò Ø ȧ(t) > 0º Ò Ú Ö Ð Ò µ Ø Þ Ò Ø Ø Þ Ö Ò Ø Ø Ú Ð Ò Þ Ò Ð Ø ÓÒ Ö Ø Ø Ò ÓÞ Ò ÛÓÖ Ø ÓÑ Ø Ò ÚÓÓÖ ÐÐ Ø Ø ÔÔ Ò ÚÓÐ Ø Ø H(t) < 0º Ï ÞÙÐÐ Ò ÖÓÑ Ú Ò ÒÙ Ø ÓÚ Ò Ø Ø Ò Þ Òº Å Ö ÓÔ Ø Ñ Ø Þ ÙÞ Ø ÒÓ Ø Ò Ø Ö Ò Ö Ø ȧ(t) > 0 Ö Ø Ö ÒØ Ú Ò Ú Ö Ð Ò µ Ò ÒÓ ÐØ Ò Ø Þ Ò ÚÓÓÖ Ô Ð Ø Ò tº Ï ÞÙÐÐ Ò Ö Ð Ø Ö ÓÔ Ø ÖÙ ÓÑ Ò ÚÓÓÖ ÒÙ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ð Ò ÓÔ Ø Ñ Ö Ò Ø Ñ Ø ÙÞ Ò Ö Ú Ð ÑÓ Ð Ø ÓÑ ȧ(t) > 0 Ø Ú Ò Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÙ ÔÖÓ Ö Ò Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò µ ÓÔ Ø ÐÓ Òº Å Ø Ñ Ø ÙÞ ÚÓÓÖ Ø Ø Ò Ú Ö Ð Ò Ø Ö Ú Ò Ð ( ) 8πG m ȧ(t) = 6 Φ 0 m2 c t a(t) µ À Ø ÒÙ Ñ Ò Ö ÒÚÓÙ ÓÑ Ö Ø Ò Ø Þ Ò Ó ÓÔÐÓ Ò ÓÞ Ò ÑÓ Ø ÛÓÖ Òº ÌÓ ÙÒÒ Ò Û Ø Ó Ò ÓÓÖ Ø Ô ÚÓÓÖ Ø Ô Ø Ò Ó ÓÔÐÓ Ò Ö ÓÒ Ú Ö Ù Ø ÞÓÙ ÑÓ Ø Ò Þ Òº Ì Ò Ö Ø ÑÓ Ø ÓÔÐÓ Ò ÞÓ Ò Þ Ò Ø Ð ÖÚ Ò ÓÒ Ú Ö ÙÒØ Þ Ð Û Ö ÓÔÐ Ú ÖØº Ò ¹Ñ Ø Ð Ø ÚÓÓÖ Ò Ø Ð Ò Ñ Ö Ò Ø ÒÓ Ð ÑÓ Ø Ò Ñ Ð ÓÓ ÒÓ Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ò t ÓÔÐ Ú Ö Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ú Ò ¹Ñ Ø ÞÓÙ ÖÓÑ Ò Û Ö Ø Ú Ò Ò Ð Ò Ö ÙÒØ ÑÓ Ø Ò Þ Ò Ú ØØ Ò Ö Ð Ú Ò Ö ÒØ Ö Ò Ø Ø Ò ÔÖ Ò Ð Ò Ö ÙÒØ Ø ÖÙ º Ï Ø ÐÐ Ò ÖÓÑ ÚÓÐ Ò ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ a(t) = e (κ+λt)2, µ Ò Ð Ø Ò Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò κ Ò λ ÒÓ Ú Ò ÚÖ Û Ò ÒÙ ÓÔ ÞÓ Ò Ö Û Ö Ò ÚÓÓÖ Þ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÞÓ Ò Ø Þ ÒÒ Ñ ÎÁÎ Ò Ö ÓÔÐÓ Øº ÎÙÐ ÖØÓ Ú Ö Ð Ò µ Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ Ò Û Ú Ò Ò 2κλ 2λ 2 t = 8πG 6 m Φ 0 m2 c t. µ Ï ÙÒÒ Ò ÒÙ Ö Ø Þ Ò ÚÓÓÖ Û Ð Û Ö Ò Ú Ò κ Ò λ Þ Ú Ö Ð Ò ÐÓÔØ Ð Ö ÑÓ Ø Ò Û Þ Ò κ = 8πG 2c 2 Φ 0, en λ = mc2 6. ¼µ Ï Ú Ò Ò Ø ÓÒÞ ÒÒ Ñ ÚÓÓÖ a(t) Ò Ö Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò ÎÁÎ µ Ñ Ø Û ÓÒ Ø ÒØ Ò κ Ò λ Ñ Ö Þ Ò Ð ÓÚ Ò Ø Ò º À ÖÑ Ò Û Ù ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ a(t) ÚÓÒ Ò Ò Ø Þ Ñ Ò Ñ Ø ÚÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ø Ò ØÓÒÚ Ð Φ(t) Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔ ÐÓ Øº ÓÔÐÓ Ò Ö Ú Ò Û Ö ÒÓ Ñ Ð ÓÔ Ò ÐÙ Ø Φ(t) = Φ 0 mc4 3 ( a(t) = e 6 8πG t, 8πG 2c 2 Φ 0+ mc2 6 t ) 2. ½µ ÌÓØ ÞÓÚ Ö Û ÙÒ Û ÞÙÐÐ Ò ÒÙ ÓÚ Ö Ò ØÓØ Ø Ý ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ú Ò Þ ÙÒØ º Ï Ø ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ø Ò ØÓÒÚ Ð Φ ØÖ Ø Þ Ò Û Ø Þ Ò ÑØ Ò Ø º Å Ö ÐØ Ð Ò Þ Ñ ÒÓ Ï Ò ÑÑ Ö Þ Ò Ø Ú Ö Ò Ð Ù Ø Ò ÚÓÐ Ø Û ÒÒ Ö ÙÒØ V (Φ(t)) Ö V = Φ 2 (t) Ò Ð Ò Þ Ñ Ð Ò ÙÒØ Ò Ø º Á Ø Ö Ø Ú Ð

175 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ Î Ö Ö Þ Ø ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ð ØÓÖ Ø Ò Ö Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ú Ò ¹Ñ Ø Þ Ò Û Ñ ÒÙ Ò Û Ö Ø Ø Ò Ò Ø Ø ÒØ Ø Ð ØÓÖ Ö ÑÔØ Ò Ø Ø ÞÓÙ Ò Ò Ö ÑÔ Ò Ð Ð Ø Ò Ò Ò Þ Ö Ò Ò Ø º ÓÚ Ò Ò Ò Û Ò ÚÓÖ Ø Þ Ò Ø ÎÁÎ ÐØ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ù Ø Ò Ð Ð ÞÓÙ Ò ÑÓ Ø Ò ÓÔÐ Ú Ö Ò Ø Û Ð Þ Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÞÓÙ Ð Ò Ö ÑÓ Ø Ò Þ Ò Û Ö Û Ö Ò Û Ö Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ò ÚÓÒ Òµº Ö Ò Ø Û ÓÔ Þ ÚÖ Ñ Ö ÙÐØ Ø Ò Ù Ø ÓÑ Ò ÓÑ Ø Û ÒÓ Ò Ø ØÛ ÚÓÓÖÛ Ö Ò ÚÓÓÖ Ø ÖÙ Ú Ò ÎÁÎ Ò ØÓ Ô Ø ǫ 1 Ò η 1º Ï ÑÓ Ò ÖÓÑ Ò Ø Ú ÖÛ Ø Ò Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ú Ò Ø ÖÙ Ú Ò ÎÁÎ Ö ÚÓÒ Ò ÞÓÙ Ò ÛÓÖ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÖÓÑ ÒÙ ØÛ ÚÓÓÖÛ Ö Ò ÚÓÓÖ Ø ÖÙ Ú Ò ÎÁÎ ÜÔÐ Ø ÖÙ Ò ÓÑ ÓÒÞ ÚÓÒ Ò ÓÔÐÓ Ò Ø Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Òº Ó Ð Û Þ Ò Ò Ò ÚÓÖ Ø Ò Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ö Ð Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ǫ Ú Ð Ð Ò Ö Ò ½º Ð Û Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÒÚÙÐÐ Ò Ú Ò Ò Û ǫ 1 3c 4 ( ) Φ V (Φ(t)) 2 6 8πG V (Φ(t)) = c πG Φ 2 (t) 1. ¾µ Ð Ò Þ ÓÒ Ø ÚÓÐ Ò Ò Ø Ö Ò Ö º Ï Ø Ô Ö Ñ Ø Ö η ØÖ Ø Þ Ð Ø Ò Ø Ú Ð Ò Þ Ð ÓÒ Ø Ø ÑÓ Ø Ò ÚÓÐ Ó Òº Ï Ú Ò Ò ( η c4 2 ) Φ V (Φ(t)) 24πG V (Φ(t)) = c4 1 12πG Φ 2 (t) = ǫ. µ Ø Ø ÒØ Ø Ð Û ÙÒÒ Ò ÒØÓÒ Ò Ø Ò Ú Ò ØÛ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ǫ Ú Ð Ð Ò Ö Ò 1 Ò Ö Ø ÓÓ º Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÙ Ù ØÞÓ Ò Û ÒÒ Ö Ø Ø Ú Ð º À ÖØÓ ÚÙÐÐ Ò Û Ù Ø ÖÙ Ò Ö Ò Ø ÓÔÐÓ Ò µ ÚÓÓÖ Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ò Ò Ò Ñ Ò Û ÛÓÖØ Ð Ú Ò ÒØ Òº Ï Ú Ò Ò Ò Ø Û ÓÒ Ø ÙÒÒ Ò Ö Ú Ò Ð t 3 mc 4 8πG 6 Φ 0 mc 2 6. µ Ø Ð Ú ÖØ Ò Ø Ð Ñ Ø ÓÔ ÐÐ Ò ÞÓÐ Ò Ö Ò Ø Ñ Ö Ø Ú Ö ØÖ Ò Ò Þ t Þ Ð Ò Ø Ð Ú Ò Ò ÓÙ Òº Å Ö Ø Þ Ø Ñ Ö Ð Û ÒÒ Ñ Ò Ø Ò Ø ÒÓ Ò Ø ØÓØ Ø Ø Ø Ô ÙÙÖ Ø Ò Ð Ø Ú Ò Ò Ø t 3 mc 4 8πG 6 Φ 0. µ Ø Ø Ø Ô ÒÓ Ñ Ò Û t eind Ò Ú Ò ÓÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ô Þ Ð Ò Ø ÓÔ ÓÙ Òº t eind 3 8πG mc 4 6 Φ 0. µ Ï ÖÙ Ò Ø ÓÑ ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ð ØÓÖ Ø Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Òº ÁÑÑ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ú Ö Ð Ò ½µ Ù Ø Ö Ú Ò Ð Ú ÖØ ( ) 2 8πG 2c 2 Φ 0 + mc2 6 t = 8πG 8πG m 4c 4 Φ Φ 0t m2 c t2. µ

176 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ Ö Ø Ø ÖÑ ÖÚ Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ú ÖØ Ð Ø Ò ÜØÖ ØÓÖ ÓÔ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ð ØÓÖº ØÛ Ò Ö Ø ÖÑ Ò Þ Ò Ø Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ÓÒÞ Ò¹ Ø ÚÓÓÖÛ Ö µ ÓÑ Ø Þ Þ Ø Ø Ð Ø Ø Ø ÖÑ Ú Ð Ð Ò Ö Ò Ñ Ð Ø Ò ÖÓÑ Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ò ÛÓÖ Ò ÞÓÐ Ò t t eind º À Ø ÚÓÐ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ú Ö ÒÚÓÙ Ø ØÓØ ( 8πG 2c 2 ) 2 Φ 0 + mc2 6 t 8πG 4c 4 Φ πG 6 m Φ 0t. µ Ï ÒÒ Ö Û Ø Ø ÖÙ Ù Ø ØÙ Ö Ò Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ð ØÓÖ Ú Ò Ò Û a(t) = e 8πG 4c 4 Φ20 e + 8πG m 6 Φ 0t, µ Û Ø ÒÙ Û Ð Ð Ò Ø Ò ÙÒØ Ò Ø Ò Ø Ó Þ Ò Û Ø ÎÁÎ Ò Ö ÔÖ Ø Ö ÓÔÐ Ú Ö Ò Ø Û Ò ÚÓÖ Ø Ð ÚÓÓÖ Ô Ð Òº ÇÑ Ø ÚÓÓÖ Ð Ø ÐÙ Ø Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÚÓÒ Ò Ö ÙÐØ Ø Ò ÖÙ Ò ÓÑ Ø ÐÐ Ò ØÓ Ø ÒÒ Ò Ò ÓÒ ÑÓ Ð Ú Ò Ø Ñ Ú Ò ØÓÒÚ Ð º À ÖØÓ Ò Ñ Ò Û Ò Ð Û Ö Ò ÚÓÓÖ ÖÓÓØ Ò m Ò Φ 0 ÞÓ Ð Þ Ò Ð Ø Ö ØÙÙÖ ÖÙ Ð Þ Ò º Ö Ð Ø 13 GeV m kg m 10 c kg, Φ ¼µ s Ð Û Þ Û Ö Ò ÒÚÙÐÐ Ò Ò ÚÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ø ÙÙÖ t eind Þ Ò Û Ø Ò Ø ÓÒ Ú Ö t Ø ÙÙÖ º Ø Ò ÓÒÚÓÓÖ Ø Ð Ö ÓÖØ Ø Ñ Ö ÜÔ Ò Ú Ò Ø Ð Ð ÓÒ Ò ÒÓÖÑ Û Øº Ø ÙÒÒ Ò Û Ù ØÖ Ò Ò ÓÓÖ Ð ØÓÖ ÓÔ Ø Ò Ú Ò Ò Ø Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò µ Ñ Ø t = 0µ Ø Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Û Ö Ú Ò Ð ØÓÖ ÓÔ Ø Ò Ú Ò Ò Ø Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò ½µ Ñ Ø Ò Ø t eind Ò ÚÙÐ Þ a(eind) = e 0 µº Ï Ú Ò Ò Ò a(eind) a(begin) = e8πg 4c 4 Φ2 0. ½µ ÓÓÖ Ú Ò ÒØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ø Ò Ñ Ò Ò Û Ö Ò Ú Ò m Ò Φ 0 Ò Ø ÚÙÐÐ Ò ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò Ó Ú Ð ¹Ñ Ø Ò ÖÓØ Ö Ø Ð Ð ÛÓÖ Ò Ø Ò Ò Ø Ô Ö Ó Ú Ò ÓÒ ÑÓ Ðº Ö ÛÓÖ Ø Ò ÚÓÒ Ò Ø Ø Ð Ð Ø ÒØ ÐÐ Ò ¹Ñ Ø Ò ÖÓ º Ø Ò ÒØ ÜÔ Ò Ò Ò ÒÓÖÑ ÓÖØ Ø Ò Ø º À Ø Ö Ò Ú Ò Ò Ø Ô Ö Ó À Ø Ò Ø Û Ò Ð Ø Ò Ø ÚÓÓÖ ÐØ ÓÓÖ Øº Ø ÞÓÙ Ò Ñ Ð Ò Ð Ð ÓÔÐ Ú Ö Ò Ø ÜØÖ Ñ Ð Ò Ð ÓÑ Ø ÐÐ Ñ Ø Ö Ò Ò Ö ÞÓÙ ÛÓÖ Ò Ù Ø Ñ Ö ÓÚ Ö Ò ÒÓÖÑ ÖÓÓØ Ò ÐØ ÓÓÖ ÖÓ Ò µ ÚÓÐÙÑ º ÖÝÓ Ò ÒÙÐ Ó ÝÒØ Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÞÓÙ Ò ÒÓÓ Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ð Ø Ø Ò ÚÓÖÑ Ò Ú Ò Ø ÖÖ Ò ÔÐ Ò Ø Ò Ò Ð Ú Òº À Ø Ø Ø Û Ø Ò Ò Ù Ð Ò Ð Ø Ó ÑÓÐÓ Ò Ø Ð Ø Ò Ò Ó Ú Ð Ø Ø ÔÐ Ø ÚÓÒ Òº ÓÚ Ò Ò ÞÓÙ ÜÔ Ò Ò Ð ÓÒ Ö Ò Ò ÚÖ Û Ð ÓÒ Ò ÖÓØ Û Ö Ò Ò ÒÓÑ Ò Ò Ø Ù Ð Ò Ø Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ñ Ø ÓÒÞ Ñ Ø Ò Òº À Ø Ò ÓÓ Þ ÓÑ Ò Ñ Ò Ñ Ø Ú Ò Ò Û ÖÑ Ò Ø Ô Ö Ó Û Ö ØÓÔØº ÇÓ ÑÓ Ø Ø Ñ Ò Ñ Ö ÞÓÖ ÚÓÓÖ Ö Ò Ø Ò Ø Ò Ú Ò Ò Ø Ô Ö Ó Ø Ð Ð Þ Ö Þ Ò Ñ Ö Ö Ø ÓÖ Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ò Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Þ Û Ö Ò ÒÓ Þ Ò ÓÑ ÓÒ Ù Ð Ð Ù Ø Ò Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò ÓÑ Ò Ñ Ö Ò ÖÚ Ò Ú Ò Ö Ò ÛÓÖ Ø Ö Ò Ø Ò Ð º

177 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ÓÔÒ ÙÛ ÚÙÐ Ø Ñ Ø ÓØÓÒ Ò ÞÓ Ø Ø ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö ÛÓÖ Ò Ò ÞÓ Ò ÐÙ Ø Ò Ú Ò Ø Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ù Ø Ø ÚÓÖ ÓÓ ØÙ º Þ ØÛ ÚÓÓÖÛ Ö Ò ÙÒÒ Ò Ò Ò Ø ÑÓ ÐÐ Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ ÒÓÑ Ò ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð º ÕÙ ÒØÙÑÚ Ð ÒØ ¹ ÓÖ Ð ÖØ ÓÒ Ø Ð Ú Ð Ò Ñ Ø ÒØ Ú Ò ÒØ Ö Ø Ñ Ø Ò Ö ÕÙ ÒØÙÑÚ Ð Ò Ò Ø Þ ÒØ Ö Ø Ô ÐØ Ó Ò Ð ÕÙ ÒØ ÐØ µ Ú Ò Ø Ò Ú Ð ÓÚ Ö ÙÒÒ Ò Ò Ò Ú Ò Ø Ò Ö Ú Ð º À Ø ÞÓÙ Ò ÓÓ ÑÓ Ð ÑÓ Ø Ò Þ Ò ÓÑ ÝÒ Ñ Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Φ(t) ÞÓ Ò Ù Ø Ø Ö Ò Ø Ø Ò Ö Ò Ò Ò ÑØ Ø Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ú ÖÚ ÐØ Ò Ö Ò ÙÛ ÐØ Ú Ò Ó Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ú ÖÚ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ò ÓØÓÒ Ò ÓÔÐ Ú Ö Òº Ì Ò Ò Ò Ø Ô Ö Ó Þ Ð Þ Ù Ø Ö Ò Û Ò Ù ØÑ Ò ÓÔ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ð Ð Ö Ö ÓØÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ò Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò Û Ð Û Ö Ò Ñ Ø Ò ÜØÖ Ò Ö Ø Ò ÖÙ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ØÖ Ð Ò Ñ Ö Þ Ð Ò Ñ Ø a 4 Ò Ò ÖÓÑ Ñ Ø Ò Ò Ö ÒÙÐ Ø Ò Ò Ô Ö Ó Ú Ò ÜØÖ Ñ Ù Ø Ò º Ý Ø ÒØ Ø Ø Ö Û Ð Û Ö ÓØÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ö Ö Ñ Ö Ø Þ ÛÓÖ Ò Ù Ø Ñ Ö ÓÚ Ö Ò ÜØÖ Ñ ÖÓÓØ ÚÓÐÙÑ Ò ÖÓÑ Ò Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö Ò Ö Ø Òº Ø Ö Ð Û Ò Ñ Ò Ö ÙÒÒ Ò Ò Ò ÓÑ ÜØÖ Ñ ÜÔ Ò Ø ØÓÔÔ Ò Ö Ø ÓÑÞ ØØ Ò Ú Ò Ò ØÓÒ Ò Ò Ö ÓØÓÒ Ò Ò Ò ÓÑ ÖÓÓØ ÒÓ Ø ÛÓÖ Ò ÓÑ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ð Ð Ø ÓÑ Ò Ö Òº Ï ÒÒ Ö ÐÐ Ò ØÓÒ Ò Þ Ò Ú ÖÚ ÐÐ Ò Ò Ö Ù Ø Ò Ð µ ÓØÓÒ Ò Þ Ð Ø Ð Ð Ú Ò Ø ÑÓÑ ÒØ ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö Þ Òº À Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ù Ø Ø ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ò Ò ÚÓÐÙØ ÓÚ ÖÒ Ñ Òº À Ø Ò Ø ÒÚÓÙ ÓÑ ÕÙ ÒØÙÑÚ Ð ÒØ ÓÖ Ø ÖÙ Ò ÓÑ Ø Ú ÖÚ Ð Ú Ò Ò ØÓÒ Ò Ò Ö Ò Ö ÐØ Ø Ö Ú Òº Ø Ø Ö ÚÓÓÖÒ Ñ Ð Ñ Ø Ñ Ò Ø Ö Þ Ö Û Ò Ò ÓÚ Ö Ø Ö Ú Ò ÕÙ ÒØÙÑÚ Ð Ò Ò Ò Ö Ø ÖÙ ÑØ Ò Ò Ñ Ò ÓÛ ÖÙ ÑØ Ø º À Ø Ø Ö Û Ð ÑÓ Ð Ò Û Ð Ø Ø Ú Ö Ú Ò Ø Ú Ò Ò Ø ÞÙÐÐ Ò Û Ò ÓÓ ÒÙ Ò Ó Ò ÚÓÓÖ Ø Ñ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÑÓ Ð ÚÓÓÖ ÓÚ Ö Ò Ú Ò Ò ØÓÒ Ò Ò Ö ÓØÓÒ Òº ÁÒ ÛÓÓÖ Ò Þ Ø Ø ÑÓ Ð Ø ÚÓÐ Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø V ( Φ(t) ) Ú Ò Ø Ò ØÓÒ Ð Ú Ò Ø Þ Ö Ò Ò Ô Ò Ø Ð Ôº Ï ÒÒ Ö Ø Ò ØÓÒÚ Ð Þ Ô Ò ÓÑ Ò Þ Ð Ø Þ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø ÓÑÞ ØØ Ò Ò Ò Ø Ò Ö Ø ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ò Ò Ö Þ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÑÞ Ø Ò Ò Ø Ò Ö Û ÒÒ Ö Ò Ò ÔÙØ ÖÓÐØµº Ö Ð Ø Ò Ò Ø Ñ Ö Ø Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ǫ Ú Ð Ð Ò Ö Ò 1 Ò Ò Ø Ö Ø º ÇÑ Ø Ø Ð Ð Ò ØÓÔØ Ñ Ø Þ Ò ÜØÖ Ñ Ò ÐÐ Ù Ø Ò ÞÙÐÐ Ò ÓØÓÒ Ò Ú Ò Ø ÑÓÑ ÒØ ÛÓÖ Ò Ö Ö Ù Ø Ø Ú ÖÚ Ð Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ò Ø Ñ Ö ÛÓÖ Ò Ù Ø Ñ Ö ÓÚ Ö Ò ÒÓÖÑ ÖÓÓØ ÚÓÐÙÑ º ØÖ Ð Ò Ò Ö Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÓØÓÒ Ò Ø Ò Ò ÓÑ Ø ÖÓ Ò Ò ÓÔ Ò ÙÙÖ Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð ÓÚ Ö Ø Ò Ñ Òº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ð Ð ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö ÛÓÖ Ò Ò Ò Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ Ö Ú Ò Ú Ò ÚÓÐÙØ ÓÚ ÖÒ Ñ Òº Ø ÑÓ Ð Ø Ø Ò ÓÒ Ö Ò Ñ Î Ö ØØ Ò ¼ ÝÒ Ñ Ú Ò Ú Ö ØØ Ò Ò Ò Ø Ñ Ö Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò ÓÑ Ø Ø Ò Þ Ò Ø Ñ Ö Ð Ø Ø ǫ 1 Ò η 1º Ï ÞÙÐÐ Ò Ù Ø ÖÙ ÑÓ Ø Ò Ò Ò Ö ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ð Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò µº Þ ÚÓÐ Ó Ò Ø Ö ÓÓ Ò Ø ÓÑ Ø Þ Ò Ö Ò Ò ÓÙ Ò Ñ Ø Ò Ñ Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ò Ö ÓØÓÒ Ò Ó Ñ Ø Ø Ø Ø Ö Ò ÖÓ Ò Ò Ö Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ØÖ Ð Ò º Ï ÓÖÖ Ö Ò Ø ÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ØÓÒÚ Ö Ð Ò µ Ò Ø ÖÑ ØÓ Ø ÚÓ Ò Ò Ñ Ú Ò Ò ØÓÒ Ú Ð Ø Ö Ø Ö Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ø Ú ÖÚ Ð Ò Ö Ò Ö ÐØ º Ï Ò Ñ Ò Ò Ø Ò Ñ Ú Ò Ú Ð Ø Ö Ø Ó Ö Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø ÖÑ Ú ÒÖ Ñ Ø Ø Ð Ú Ò Ú Ð Ø Ö Ø ÞÓ Ð ÓÓ ÛÖ Ú Ò Ö Ø ÓÔ Ò Ò Ö Ò Ò ÔÙØ Ú ÒÖ Ñ Ø ¼ Ò Ð Ê Ø Ò È º ÔÖ Ü Ö ¹ Ñ Ð Ò Ø Ù Ö ÖØ Ø Ø Ð Ð Ð Ò Ö Ö Ú Ö¹ Ø Û Øº Ç Ø Ø Ú Ð Ò Û Ö ÒÐ ÐÐ Ò ÛÓÖ Ò ÒØÛÓÓÖ ÓÓÖ Ò Ø ÓÖ Ú Ò ÕÙ Ò¹ ØÙÑÞÛ ÖØ Ö Øº

178 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ Ò Ð Ú Ò Ò Öº Þ Ò ÐÓ Ù Ø Ö Ö Ò Û Ú Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ø Ú ÖÚ Ð Ò Ö Ò Ö ÐØ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø ÖÑ Ú ÒÖ Ò Φ(t)º Ú Ò Ö ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò Ö Ò Ò Ò Û Þ Ò Ø Ö Ù Ø Ø Ø Ú ÖÚ Ð Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø ÖÑ Ú Ò Þ ÚÓÖÑ Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÖÓÑ Ò Ö Ø Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò Ø ÖÑ Γ Φ(t) ØÓ ÚÓ Ò Û Ö Ò Γ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ú ÖÚ Ð Ø Ö Ø Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Φ(t) + (3H(t) + Γ) Φ(t) + Φ V (Φ(t)) = 0. ¾µ Ì Ò ØÛ Þ Ð ÓÓ ØÛ Ò Ø Ú Ö Ð Ò µ Ò Ô Ø ÑÓ Ø Ò ÛÓÖ Ò ÓÑ Ø ÒÓ Ò Ö Ò Ò ÓÙ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ò ÖÑ Ø Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ú ÖÚ ÐØ Ö Ò ÖÓ Ò Ò Ö Ø ρ γ (t) Þ Ð Þ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ØÖ Ð Ò º À ÖØÓ ÚÓ Ò Û Þ Ø ØÓ Ò Ú Ò Ò H 2 (t) = 8πG ( ) 3c 2 ρ Φ (t) + ρ γ (t). µ ÇÓ ÒÒ Ò Û Ò ØÛ Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ò ÖÙ Ò Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ØÖ Ð Ò ØÓ º Ö Ð Ø (ä ) = 4πG ( ) a 3c 2 ρ γ (t) + 3P γ (t) + ρ Φ + 3P Φ (t). µ Ø ÙÒÒ Ò Û Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Û ÒØ Û Ò Ð Þ Ò Ø ÖÙ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ØÖ Ð Ò Ð Ò ρ γ /3º Î Ö Ö ÙÒÒ Ò Û ÖÙ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ö Ú Ò Ð P Φ = n(t)ρ Φ. µ Ì Ò Ò Ø Þ Ð Û n = 1 Ñ Ö Ø Ò Ú Ö ØØ Ò Û Ø Ò Û ÒÓ Ò Ø Û Ø n º Ï Û Ø Ò Þ Ð Ò Ø Ó Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Þ Ð Þ Ò Ò ÓÑ Þ Ö Ò Ø Ø Ö ÒÙ ÒÓ Ò Ø Ò Ð º ØÛ Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò ÐÙ Ø ÒÙ (ä ) = 4πG ( ) a 3c 2 2ρ γ (t) + (3n(t) + 1)ρ Φ (t). µ ÁÒ ÔÖ Ò Ô Þ Ò Û ÒÙ Ð Ö Ú Ö Ð Ò Ò ¾µ µ Ò µ Ú ÖØ ÐÐ Ò ÓÒ Ó Ø Ò ØÓÒ¹ Ú Ð Þ Ò Ò Ö ÓÑÞ Ø Ò ÓØÓÒ Ò Ó Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ò ÑØ Ò Ó Ð ØÓÖ ÚÓÐÙ ÖØ Ø Ò Ø ÔÖÓ º ÁÒ ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ò Û ÒÙ ÐÐ Ò Ò Ú ÖÚ Ð Ñ Ø Γ ÚÓÖÑ V (Φ(t)) Ú Ò ÔÓØ ÒØ ÐÔÙØ Ò Ò ØÓ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö n(t) Ò Ø ÚÙÐÐ Ò Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔ Ø ÐÓ Ò ÖÑ Ð Ø Ð ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ú Ö ØØ Ò ÔÖÓ Ú Øº À Ø Ø Ö ÖÙ Ð ÓÑ Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ø Ö Ö Ú Ò Ò Ò ÚÓÖÑ Û Ö Ò Ø Ò¹ ØÓÒÚ Ð Φ(t) Ò Ø Ñ Ö ÜÔÐ Ø ÚÓÓÖ ÓÑØ Ò Ò ÔÐ Ø ÖÚ Ò Ò Ö Ø ρ Φ ¹ ÖÙ Ø ÛÓÖ Ø Ø Ò Ñ Ð Ò ÒÞ Ø Ð Ö ÖÓÓØ Ò Ø Ú Ð µº Þ Ö Ö Ú Ò Ø Ð ÚÓÐ Øº ÇÑ Ö Ø Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÒØ Ø Ð Ú Ò ρ Φ (t) = 1 Φ 2c 2 (t) + V (Φ(t)) Ø ÛÓÖ Ò ÒÓÑ Ò 2 ρ Φ (t) = 1 c 2 Φ(t) Φ(t) + Φ(t) Φ V (Φ(t)), µ Ò Ø ÛÓÖ Ò Ò ÚÙÐ Ò Ú Ö Ð Ò ¾µº Ë Ñ Ò Ñ Ø Ø Ø Ø 1 Φ(t) = ρ c 2 Φ (t) + P Φ (t) Ò Ö Û Þ µ Ø Ø ÔÖ Ú Ö Ð Ò µº Ò ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò ÚÓÒ Ò ÓÓÖ Ö Ø Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ø Ö ÒØ Ö Ò Ò Ö Ø Ò Ò ØÛ Ö Ñ ÒÒÚ Ö Ð Ò Ø ÖÙ Ò ÓÑ ä/a Ø Ð Ñ Ò Ö Òº À Ø Ö ÙÐØ Ø ( )( ) ρ Φ (t) = 3H(t) + Γ n(t) + 1 ρ Φ (t), ( ) ρ γ (t) = 4H(t)ρ γ (t) + Γ n(t) + 1 ρ Φ (t), H 2 (t) = 8πG ( ) 3c 2 ρ Φ (t) + ρ γ (t). µ

179 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ Þ Ø Ú Ö Ð Ò Ò Ø Ò Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Òº ÁÒ ÚÓÐ Ò Ø ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ò Ô Ð ÙÞ Ú Ò ÙÒØ Γ V (Φ(t)) Ò n(t)º º Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ú Ö ØØ Ò Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÖÑ Ò Ò Ø Ú Ò Ö ÓÔÔ Ð Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò Ò Þ Ò Ò Ö Ð Ð Ø ÓÔ Ø ÐÓ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÖÓÑ Ò ÙÒ Ø Ö Ô ØÓ Ô Ò Û ÞÙÐÐ Ò ÒÒ Ñ Ò Ø Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ô Ö Ó ÐÐ Ø Ò ÔÓØ ÒØ ÐÔÙØ Ñ Ö Û Ò Ò Ö ÓÚ Ö Ö Ø Ò Ö ÓØÓÒ Ò Ò Ø Ð ÖØ Ø Ø Ð Ð Ñ Ö Û Ò Ú Ò ÖÓÓØØ Ú Ö Ò ÖØ Ø Ò Ò Ò Ð Ó ÐÐ Ø º Å Ø Ò Ö ÛÓÓÖ Ò Û Ò Ñ Ò Ò Ø Ø Ð Û ÖÓÔ Ó ÐÐ Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ú Ð ÓÖØ Ö Ò Ø Ð Ò Ú Ò Ø Ú ÖÚ Ð Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ò Ù Ø Ò Ú Ò Ø Ð Ðº Ö Ø ÒÒ Ñ Ð Ø Ò ÓÔ ÚÓÓÖ ÖÓÓØØ Ú Ò ÙÒØ Γ ØÛ ÒÒ Ñ Û Ö ÒÐ Ó Ø ÑÓØ Ú Ö Ò Ò Þ Ò Ø Ð Ð Þ Ø Ò Ú Ö ØØ Ò Ò Ø Ñ Ö Ò Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ù Ø Ò Ú Ò Øº ÇÒ Ö Þ ÒÒ Ñ ÙÒÒ Ò Û Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ô Ö Ó ÐÐ Ø Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ñ Òº Ö Ð Ø ρ Φ = 1 2c 2 Φ 2 (t) + V (Φ(t)) = ρ max = const. µ Ä Ø Ø ÒÓ Ñ Ð Ò ÖÙ Ø Þ Ò Ø Þ Ú Ö Ð Ò ÐÐ Ò Ð Ø Ô Ö Ó ÐÐ Ø Ð ÚÓÐ Ò Ó ÐÐ Ø Þ Ð ρ max Ò Ð Ò Ö Û Ö Ò Ò Ó ÐÐ Ø ÖÚÓÓÖº ÇÒ Ö Þ ÒÒ Ñ ÙÒÒ Ò Û Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Ø Þ Ð Ò Ñ Ð Ð Ò Ø Û ÒÙ ØÓ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö n(t) Ò Û Ö ÞÙÐÐ Ò ÙÒÒ Ò ØÓ ÒÒ Ò Û ÒÒ Ö Û ÙÒØ V (Φ(t)) ØÓ Û Þ Ò Ò Ò Ø Þ Û Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ Þ Ð Ð Ò Ø Þ Òº Å Ö ÖØÓ ÓÔ Ø ØÓ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ÖÙ Ò Ø Ò Ð Ö Ö Ð Ø Ö Þ Ò n(t) + 1 = ρ Φ(t) + P Φ (t). ¼¼µ ρ Φ (t) ÒÒ Ñ Ú Ò Ò ÐÐ Ó ÐÐ Ø Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ñ Ø Ø Û Ø ÐÐ Ö Ò ÒÓ Ñ Ö ÙÒÒ Ò Ú ÖÚ Ò Ò ÓÓÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Û Ø Ò ÙÒ Ñ Ð Ò ÓÚ Ö Ò Ò Ð Ó ÐÐ Ø º Ò Ö Ð Ñ Ð < f(t) > Ò Ö Ò Û Ð ÒØ Ö Ð Ú Ò ÐÐ Û Ö Ò Ò ÙÒØ f(t) ÒÒ ÑØ Ø Ò Ó ÐÐ Ø Ð ÓÓÖ Ô Ö Ó Ø T Ú Ò Ó ÐÐ Ø < f(t) > 1 T T 0 f(t)dt. ¼½µ ÇÑ Ø Û ÐÐ Ø Ò Ð ÒÙ Û ¹ ÒØ Ö Ö Ò Þ Ð Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ ØÓ Ø Ò Ô ¹ Ö Ñ Ø Ö n(t) Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÔÐ Ú Ö Ò Ø Þ Ð Ø ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ò ØÙ ÒÚÓÙ Ö Ñ Ò ÐÚÓÖ Ò Ø Ø Ó Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ö Ø Ø Ñ Ð Ò ¼¼µ ÑÓ Ø Ò Ù ØÖ Ò Òº Ø Ð Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔ Ø Ð Ú Ö Ò ÓÑ Þ ÒØ Ö Ð Ò Ù Ø Ø Ö Ò Ò Ò Û ÙÒØ ρ Φ (t) Ò P Φ (t) ÒÓ Ò ÔÖÓ Ö Ò Û ÒÙ Ù Ø Ù Ø Ø Ö Ò Ò ÓÓÖ Î Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔ Ø ÐÓ Òº Ø Ð Ø Ò ÑÔ Ñ Ö Ø Ò Ø Û ÙÒÒ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÓÚ Ö Ø Ò Ñ Ð Ö Ö Ú Ò Ò Ö ÒØ Ö Ð Ò ÓÚ Ö Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ò ÖÚ Ò Û Ø Ò Û Û Ð Ð Ø Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ó ÐÐ ÖØ ØÙ Ò ØÛ Ù Ø Ö Ø Û Ö Ò Φ 0 Φ(t = 0), en Φ 1/2 Φ(t = T ). ¼¾µ 2 À Ö Φ 0 Û Ö Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ø Û ÒÒ Ö Ø ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ø Ø Ø ÒÒ Ò Ñ Ø Ó ÐÐ Ø Ø Û Ö Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Û ÒÒ Ö Ø ÓÚ Ò Ò ÔÙØ º ØÛ

180 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ¼ Û Ö Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ø Û ÒÒ Ö Ø ÐÚ ÖÛ Ó ÐÐ Ø Ø Û Ö Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Û ÒÒ Ö Ø ÓÔ Ó Ñ Ú Ò ÔÙØ Ò ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ø Ø Û Ö ÓÑ ÓÓ Ø Ð ÑÑ Òº À Ø Þ Ð Ð Ò Ø Û Ö Ò ÒÓ Ò ÓÑ ÒØ Ö Ð Ò Ù Ø Ø Ö Ò Òº Ñ Ð Ò ÙÒÒ Ò Ö Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð < f(t) > 1 T T 0 f(t)dt = 2 T Φ1/2 Φ 0 f(t) Φ(t) dφ. ¼ µ Î ÓÒÞ ÒÒ Ñ Ø Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ú Ð Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò ÛÓÖ Ò Þ Ò Ø Ò Ò Ò Ð Ó ÐÐ Ø ÚÓÐ Ø Ø ρ Φ = 1 2c Φ ( ) 2 2 (t) + V (Φ(t)) = ρ max Φ(t) = ± 2c 2 ρ max V (Φ(t)), ¼ µ Ò ÖÑ ÙÒÒ Ò Û Ø Ñ Ð < f(t) > Ö Ú Ò Ð < f(t) >= ± 2 T Φ1/2 Φ 0 ( f(t) 2c 2( 1/2dΦ. ρ max V (Φ(t)))) ¼ µ Ø Ò Ò Ù Ø ÖÙ Ò º ÓÓÖ ÒÙ Ð Ñ Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ÖÙ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ò Ø ÚÙÐÐ Ò ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò Ø Ø ÐÐ Ö Ò ÒÓ Ñ Ö Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¼¼µ Ö Ú Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ð < ( ) ρ Φ (t) + p Φ (t) > = ± 2 Φ1/2 2c T 2 ρ max < ρ Φ (t) > = ± 2 T Φ 0 Φ1/2 ρmax 2c 2 Φ 0 ( 1 V (Φ(t)) ρ max ) 1/2 dφ, ( 1 V (Φ(t)) ρ max ) 1/2 dφ. ¼ µ ØÓ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö n(t) Ò n(t) + 1 = 2c 2 Φ 1/2 1 V (Φ) Φ1/2 ( ) 1/2dΦ. Φ 0 1 V (Φ) ρ max Φ 0 ( ρ max ) 1/2dΦ ¼ µ À Ø Ò Û Ø ÒÙ ÒÓ Ò ÑÓ Ø ÛÓÖ Ò ÒÚÙÐÐ Ò Û Ø ÚÓÖÑ V (Φ(t)) Ú Ò ÔÓØ ÒØ ¹ ÐÔÙØ Û Ö Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ó ÐÐ ÖØ Ò Û Ö Ò Φ 0 Ò Φ 1/2 Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ø ÓÔ Ø Ð Ø Ò Ø ÓÓ Ø ÔÙÒØ Ú Ò ÔÙØº Ï Þ Ò ÒÙ Ò Ô ÔÙØ Ò Ö Ò Ò ØÓ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ù Øº Ð Ø Ò Ø ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÒÓ Ñ Ö Ò Ð Ò Ø Ôº ÁÒ Ò ÚÓÐ Ò Ú Ò Ø Ù Ø Û Ö Ø ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ø Ò Ø ÑÓ Ð ÞÙÐÐ Ò Û Ø Ú Ð ÓÙÛ Ò Ú Ò Ò Ñ Ò ØÓÒÚ Ð º Ó Ð Û Ð Þ Ò Ò Ð Ø Ò ÚÓÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø V (Φ(t)) = m2 2 ( c ) 2 Φ 2 (t), ¼ µ Û Ö m Ñ Ú Ò Ò ØÓÒ ÐØ º Þ ÙÒØ Ò ÖØ ÔÙØ Ð Ò Ô Ö ÓÓÐ Ñ Ø Ø Ð Ø ÔÙÒØ Φ = 0º À Ø Ò Ñ Ð Ò Ø Þ Ò Ø ÓÒ Ö Ò Þ ÔÙØ Û Ö Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ð Ò ÒÙÐ Φ 1/2 = 0. ¼ µ

181 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ½ ÇÑ Û Ö Ú Ò Φ 0 Ø Ô Ð Ò Ò Ò Û Ø Ò Ò Ø Ð Ø Ò ØÓÒ Ò Ø ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ø Ø Ñ Ø Ó ÐÐ Ø Ø ÒÒ Ò Ø ÒÓ Ò Ò Ø Ò Ö Ø Ø Φ = 0 Ò Ð ÚÓÐ ÖÚ Ò ØÓØ Ð Ò Ö Ø Ð Ò ÐÓÙØ Ö ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø º Ö Ð Ø ρ Φ = V (Φ) = m2 2 ( c ) 2 Φ 2 0. ½¼µ Ï Ò Ò ÒÓÑ Ò Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ Û ÙÖ Ò Ò Ò Ð Ó Ð¹ Ð Ø ρ Φ = ρ max Ò ÞÓ ÚÓÐ Ø Ø Û Ö Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð ÓÔ Ø ÓÓ Ø ÔÙÒØ Ú Ò ÔÙØ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Φ 0 = ± 2ρ max m 2 ( ) 2. ½½µ c Ï ÙÒÒ Ò ÒÙ ÒØ Ö Ð Ò Ò Ø ÐÐ Ö Ò ÒÓ Ñ Ö Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¼ µ Ú ÐÙ Ö Òº Ï ÒÒ Ö Û ÔÓØ ÒØ ÐÔÙØ Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò ¼ µ ÒÚÙÐÐ Ò ÛÓÖ Ø ÒÓ Ñ Ö Φ1/2 Φ 0 ( 1 1 m 2 ( c ) ) 2 1/2 Φ 2 dφ. ½¾µ ρ max 2 ÇÑ ÓÒÞ ÒÓØ Ø Ø Ø Ú Ö Ñ Ð Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ú Ö Ð x ÒØÖÓ Ù Ö Ò Û ÖÚÓÓÖ Ð Ø m ( c ) x Φ. ½ µ 2ρmax ÒØ Ö Ð Ò Ú Ö Ð Ò ½¾µ Þ Ø Ö Ò Ð Ð Û Ø ÚÖ Ò Ð Ö Ù Øº Ï Ú Ò Ò ( ) 2ρmax 0 ( 1 x 2) 1/2 dx. ½ µ m c 1 Þ ÙÒÒ Ò Û Ö Ø ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò Ò Ø Ò Ö ÒØ Ö Ð Ò Ö ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò Ø ( ) 2ρmax 0 ( 1 x 2) ( ) 1/2 2ρmax dx = arcsin(1). ½ µ m c m c 1 À Ö Ò Û ÖÙ Ñ Ø Ú Ò ÒØ Ö Ð 1 1 x dx = arcsin(x) Û Ö ÙÒØ 2 y = arcsin(x) ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ú Ö Ð Ò siny = x Ò Ø Ø Ø arcsin Ú Ò ÒÙÐ Ð Ò ÒÙÐº ÒØ Ö Ð Ú Ò Ø ÐÐ Ö Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¼ µ ÛÓÖ Ø Φ1/2 Φ 0 ( 1 1 m 2 ( c ) ) 2 1/2 Φ 2 dφ. ½ µ ρ max 2 ÇÓ ÒÙ ÙÒÒ Ò Û ÒÓØ Ø Ø Ú Ö Ñ Ð Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð x Ø ÒØÖÓ Ù Ö Ò Û Ö ÓÓÖ ÒØ Ö Ð Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð ) 0 2ρmax m ( c 1 ( 1 x 2) 1/2 dx. ½ µ ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÙÒÒ Ò Û ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò (1 x 2 ) 1/2 dx = 1 2 {arcsin(x) + x 1 x 2 }º Ö ÛÓÖ Ø Ò ÚÓÒ Ò Ø 2ρmax m ( c ) 0 1 ( 1 x 2) 1/2 dx = 2ρmax m ( ) 1 arcsin(1). ½ µ c 2

182 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ¾ ÆÙ Ø ÐÐ Ö Ò ÒÓ Ñ Ö ÚÓÒ Ò Þ Ò ÚÓÐ Ø Û Ö Ú Ò ØÓ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö n Ö Ø Ð n(t) + 1 = 2 2ρmax m 2ρmax m ( ) 1 c 2 ( arcsin(1) = 1 n(t) = 0. ½ µ c) arcsin(1) Æ Þ Û ÙÒ Ú Ö Ò Ð Ò Ö Ò Û Ø ÖÙ Ò Ö Ý º Ï Ò ÚÓÒ Ò Ø Ò ØÓÒ Ò Þ Ø Ò Ú Ö ØØ Ò Ö Ò Ð Ò ÖÙ ÐÓÓ º Ø ÔÖ Û Ø Û Ò Ø ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ò Ø ÑÔ Ð Ð ÓÙ Ñ Ø Ö Û ÖÚÓÓÖ Ð Ø n = 0 Å Ö Ú Ö Ö ÓÔ Ø ÚÓÒ Ò Û Ö Ú Ò n Ò Ø Ò Ø Ú Ò ÑÔÐ ØÙ Ú Ò Ó ÐÐ Ø º Ø Ø ÒØ Ý Ø Û Þ n ÑÓ Ò Ð Ú Ò ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ð Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ð ÚÓÐ Ò Ó ÐÐ Ø Ò Ð Ò Ö ÑÔÐ ØÙ ÒØº Å Ø Û Ø Ò Ô Ø n = 0 Ú Ö ÒÚÓÙ Ò Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ØÓØ ÚÓÖÑ ( ) ρ Φ (t) = 3H(t) + Γ ρ Φ (t), ρ γ (t) = 4H(t)ρ γ (t) + Γρ Φ (t), H 2 (t) = 8πG ( ) 3c 2 ρ Φ (t) + ρ γ (t). ¾¼µ ØÖ Ø ÚÓÓÖ Ø ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ð ÚÓÐ Ø Û Ó Ò Ò ÒÒ Ñ ÚÓÓÖ ÚÓÖÑ Ú Ò ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ H(t) Ò ÚÙÐÐ Ò Þ Ú ÖÚÓÐ Ò Ò Ò Ö Ø Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð ¹ Ò º Ø Ø Ò Ò Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò ÚÓÓÖ ρ Φ ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒØ ÓÔÔ Ð Ú Ò Ò Ö ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò Ò ÖÓÑ ÓÒ Ò Ð ÓÔ ÐÓ Ø Ò ÛÓÖ Òº Ð Þ ÓÔ ÐÓ Ø ÙÒÒ Ò Û ÓÔÐÓ Ò Φ(t) Ò ÓÒÞ ÒÒ Ñ ÚÓÓÖ H(t) ÖÙ Ò Ò Ö Î Ö ØØ Ò Ú Ö Ð ¹ Ò º Ø Ø Ò Ò Ð Ö Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ø ρ γ (t) ÞÓ Ø ρ γ (t) Ö Ø ÚÓÐ Øº ÐÐ Ö ÙÒØ Þ Ò Ò ÚÓÒ Ò Ñ Ö Ò Þ Ò Þ Ô Ò ÓÔÐÓ Ò ÚÓÖÑ Ò Û ÒÒ Ö Þ Ò ÐÐ Ö Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÚÓÐ Ó Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÙÒØ ÒÓ Ò ØÛ Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò ÑÓ Ø Ò ÒÚÙÐÐ Ò ÓÑ Ø ÓÒØÖÓÐ Ö Ò Ó ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ º Ó Ò ÓÒÞ ÓÔÐÓ Ò ÓÖÖ Ø ÞÓ Ò Ø Ò ÓÒÞ ÒÚ Ò Ð ÒÒ Ñ ÚÓÓÖ ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ù Ø Û Ø Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ò ÙÛ ÔÓ Ò ÑÓ Ø Ò Ó Òº Ï Ø ÞÓÙ Ò Ó ÒÒ Ñ ÚÓÓÖ H(t) Þ Ò Ý ÙÒÒ Ò Û ÓÒ ÚÓÐ Ò ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ñ Ò Ò Ø Ò Ú Ò Ú Ö ØØ Ò Ò Ò ÒØ ÚÓÖÑ Ú Ò Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð Û ÖÚ Ò Û Þ Ò Ò Ø Þ Þ Ö Ø Ð ÓÙ Ñ Ø Ö º À Ö ÓÓÖØ ÚÓÐ Ò ÓÒÞ Ö Ò Ò Ò Ò ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò H(t) = 2 3t º ÖÒ ÛÓÖ Ø Ø Ò ØÓÒÚ Ð ÓÑ Þ Ø Ò ÓØÓÒ Ò ÞÓ Ø Ò Ú ÖÐÓÓÔ Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ØÖ Ð Ò Ø ÓÑ Ò Ö Ò ÓÚ Ö Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ò ØÓÒ Òº Þ Ø ÒØ Ò ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò H(t) = 1 2t º Ð Ñ Ø Ð Ð Ø Ø Ò ÓÓ ÚÓÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÒØ H(t) Ø Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Ò t Ð Ò H(t) = 3t 2 Ò ÚÓÓÖ ÖÓ Ò t Ø Ñ Ö Ø Ð Ò ÓÔ H(t) = 1 2t º Ö Þ Ò Ò ÔÖ Ò Ô ÓÒ Ò Ú Ð ÙÒØ Ø Ú Ò Ò Ò Þ ÚÓÐ Ó Ò Û ÖÚ Ò ÚÓÐ Ò Ò ÒØ Ð ÚÓÓÖ Ð H(t) = 1 t ( e αt). ¾½µ ÁÒ ÔÖ Ò Ô ÞÓÙ Ò Û Ö Ð ÙÒØ ÙÒÒ Ò ÔÖÓ Ö Ò Ò Ø ÚÙÐÐ Ò Ò Ò ÓÔ Ð µ Ù ØÚ Ò¹ Ò Ó ÓÖÖ Ø ÙÒØ Ö Þ Øº Ø Ð Ø Ò Ö Ú Ð ÚÓÓÖ Þ ÙÒØ Ò Ø Ø Ú Ð Ø Þ Òº Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ò Ø Ú Ö Ð Ò Ò Ò ÓÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓÒ Ò Ò Û Û Ø Ò Ò ÓÓ ÒÓ Ø Ò Ø Û Ø Ø Ø Ú ÖÐÓÓÔ Ú Ò Ò Ö Ø Ò ρ Φ ρ γ Ò Ú Ò Ð ØÓÖ a(t)º Å Ö Ó ÓÙÛ Þ Ò Û ÒÐ Ò Ø ÞÓ ÒØ Ö Ö Ò Ø ÐÐ Ö Ø ¹ ÚÓÐÙØ º ÒÐ Û ÐÐ Ò Û ÐÐ Ò Ñ Ö Û Ø Ò Ó ÓÒ ÑÓ Ð Ù Ø Ó Ú Ð ÓØÓÒ Ò Ò ÓÔÐ Ú Ö Ò ÓÔ Ø Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ø Ð Ð Ò ÓÚ ÖÒ ¹ Ñ Òº ÇÑ Þ ÚÖ Ò Ö Ø ÚÖ Ò Ø ÒØÛÓÓÖ Ò Ó Ú Ò Û Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò

183 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ ¾¼µ ÐÐ Ò Ñ Ö Ò Ö Ò ÓÔ Ø ÐÓ Òº Ø Ò ØÙ Ñ Ð Ö Ò Ø Ú Ò Ò Ú Ò Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÔÐÓ Ò º ØÖ Ø Ð ÚÓÐ Ø Û ÞÙÐÐ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔ ÔÐ Ø Ò Ò ØÛ Ð Ò Ö Ø Ò Û Ø ÚÓÐÙØ Ò Ø Ò Ú Ò Ú Ö ØØ Ò Ó Ø Û Ð Ò Ø Ø ÓÑ Ò Û Ö Ò Ø Ò ¹ ØÓÒÚ Ð Ò Ö Ø ÓÑ Ò ÖØ Ò ÖÚÓÓÖ Ò Ö ÓÔÐÓ Ò Ò ÓÔ Ö Ú Òº ÖÒ ÞÙÐÐ Ò Û Ø ÚÓÐÙØ ÓÙÛ Ò Ò Ø Ò Ú Ò Ú Ö ØØ Ò Ó Ø Û Ð Ø Ø ¹ ÓÑ Ò Û Ö Ò ÓØÓÒ Ò Ò Ö Ø ÓÑ Ò Ö Ò Ò ÖÚÓÓÖ Ò Ö ÓÔÐÓ Ò Ò ÓÔ Ö Ú Òº Ò Ô ÒØ Ú Ò Ò Û Ö Ò Û Ö ÚÓÓÖ Ø Ø Ø Ô t omslag Û Ö Ò Ò Ö¹ Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÓØÓÒ Ò Ø ÓÚ ÖÒ ÑØ Ú Ò Ò Ö Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ò ØÓÒ Òº ÚÓÒ Ò ÓÔÐÓ Ò Ò ÞÙÐÐ Ò Ò ÒØ Ð ÚÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ú ØØ Ò Ò Þ ÞÙÐÐ Ò Û Û Ö ØÓ ÒÒ Ò ÓÓÖ Ø Ò Ø ÓÔÐÓ Ò Ò Ù Ø ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò Ø ÓÑ Ò Ò Ò Ð Ö ÓÚ Ö Ò ÖÓÒ Ø ÑÓÑ ÒØ t omslag º ÇÔ Þ Ñ Ò Ö ÛÓÖ Ò ÙÒØ ρ Φ ρ γ Ò a(t) ÚÓÒ Ò Ò Ö Ò Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔÐÓ Òº Ï ÓÙÛ Ò Ö Ø Ø Ø ÓÑ Ò Û Ö Ò Ò Ö Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò Ò ØÓÒ Ò Ú Ð ÖÓØ Ö Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÓØÓÒ Òº À ÖÚÓÓÖ Ð Ø ρ Φ ρ γ. ¾¾µ ÁÒ Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ø ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò ÓÓÖ H(t) = 3t 2 Ò ÙÒÒ Ò Û Ö Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ú Ò Ð 4 9t 2 = 8πG 3c 2 ρ Φ. À ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ö Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ò ØÓÒÚ Ð ρ Φ (t) = 3c2 4 8πG 9t 2. ¾ µ ¾ µ Ø Ù Ø ØÙ Ö Ò Û Ò Ö Ø Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò ÓÑ Ø ÓÒØÖÓÐ Ö Ò Ó Þ Ò ÓÓ ÓÔ ÐÓ Øº Ï Ú Ò Ò Ò Ø Ò ÐÐ Ò Û Ö Þ Ò Ð Ð Ø Ø 8 3c 2 ( 2 ) 3c 2 9t 2 8πG = t + Γ 8πG Γ 2 t. 4 9t 2, ¾ µ ¾ µ Ø Ú ÖØ ÐØ ÓÒ Ø Û ÓÒÞ ÓÔÐÓ Ò ¾ µ ÐÐ Ò ÑÓ Ò ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ø Ø ÔÔ Ò Ð Ò Ö Ò t Γ 1 º Ø Û Ø Û Ú ÖÛ Ø Ò ÑÑ Ö Ð Ø Ò ØÓÒÚ Ð Ò Ð ÞÓÙ Ú ÖÚ ÐÐ Ò Ò Ö ÓØÓÒ Ò Ó Ø Û Ð Γ ÖÓÓØµ Ò Ö Ø Ð Ò Ð Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Ó Ø Û Ð t = Γ 1 µ Û ÖÓÔ Ò Ö Ø ρ Φ Ò Ø Ñ Ö ÖÓØ Ö Ò ρ γ º ÚÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ ρ Φ Ò ÒÙ ÛÓÖ Ò Ò ÚÙÐ Ò ØÛ Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ø Ð Ú ÖØ Ò Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò ÓÔ ÚÓÓÖ Ò Ö Ø ρ γ Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÓØÓÒ Òº Ö Ð Ø ρ γ (t) = 8 3t ρ γ + Γ 3c2 4 8πG 9t 2. Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ø ÑÓ Ð ÓÑ ÓÔ Ø ÐÓ Ò Ò ÓÔÐÓ Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ ¾ µ ρ γ (t) = 1 ( ργ< 12t 3c 2 ) t 2 + t2/3 45 8πG Γt. ¾ µ

184 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ À Ö Ò ρ γ< Ò ÓÒ Ø ÒØ ÚÖ Ñ ÛÓÖ Ò Ò ÚÙÐ º Ï ÞÙÐÐ Ò Þ ÒÙ Ò Û Ö ØÓ Ò¹ Ò Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò Ý Ö ÙÑ ÒØ Û Ò Ð Þ Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ô Ö Ó ÐÐ Ò Ö Ø Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ Ø Ö Ò ØÖ Ð Ò Ò Ö ÒÙÐ Ò Ð ÚÓÐ Ú Ò ÒÓÖÑ ÜÔ Ò Ú Ò Ø ÚÓÐÙÑ Û Ö Ò Þ Ò Ö ÚÓÖÑ Ò ÓÔ ÐÓØ Ò Û Ö Òº Ï ÙÒÒ Ò ÖÓÑ Ò Ø Ø Ò Ú Ö ØØ Ò Ø Û Ð Þ Ò Ò Ø Ò Ú Ò Ò Ø µ Ò Ö ¹ Ø ρ γ Ð ÒØ Ø Þ Ò Ò ÒÙÐº ÁÒ Ø Ð ÓÔ ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ t eind Ú Ò Ò Û ÒÒ Ö Ø ÛÓÖ Ø Ò ÚÙÐ Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µ Ò Û Ò Ø Ù Ø ÓÑ Ø ÒÙÐ Ú Ò Ò Û ÚÓÓÖ ÓÒ Ø ÒØ ρ γ< ( ρ γ< = Γ 3c2 8πG 3 mc 4 ) 5/3 8πG 6 Φ 0. ¾ µ À ÖÑ ÓÑÔÐ Ø ÓÔÐÓ Ò Ò Ò Ø Ò Ú Ò Ú Ö ØØ Ò ÛÓÖ Ò H(t) ρ Φ (t) Ò ρ γ (t) Ú Ò ÓÓÖ H(t) = 2 3t, ρ Φ (t) = 3c2 4 8πG ( 9t 2, ρ γ (t) = 1 t Γ 3c2 8πG Þ ÓÔÐÓ Ò Ð Ø ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ø Ò t Γ 1 º ( 3 8πG ) 5/3 1 mc 4 6 Φ 0 t ) 12t 3c 2 + 2/3 45 8πG Γt. ¼µ Ð ØÛ Ø Ô Ò ÓÒÞ Ò ÐÝ ÙÐÐ Ò Û Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ø Ò Û Ö Ò ÓØÓÒ Ò Ø Ú Ð ÖÓØ Ö ÛÓÖ Ò Ò Ø Ú Ò Ò ØÓÒ Òº Ò Ð Ø ρ γ ρ Φ. ½µ ÁÒ Ø Ö Ñ Ð Ø Ø ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ H(t) = 2t 1 Ò ÛÓÖ Ø Ö Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð Ò 1 4t 2 = 8πG 3c 2 ρ γ. ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ö Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ø ρ γ (t) ¾µ ρ γ (t) = 3c2 1 8πG 4t 2. µ Î ÖÚÓÐ Ò ÖÙ Ò Û Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ ÀÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ ÓÑ Ö Ø Ú Ö ØØ Ò Ú Ö Ð ¹ Ò Ø Ö Ú Ò Ð ( 3 ) ρ Φ (t) = 2t + Γ ρ Φ (t). ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Þ Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ñ Ð Ø Ú Ò Ò Ò Ð Ò ρ Φ (t) = ρ Φ> t 3/2 e Γt. µ µ À Ö Ò ρ Φ> Ò ÓÒ Ø ÒØ ÚÖ Ò Ø ÚÙÐÐ Òº Ï ÞÙÐÐ Ò Ö Ò Û Ö Ò ØÓ ÒÒ Ò ÓÓÖ Ñ Ð Ú Ò Ò Ý Ö ÙÑ ÒØº À Ø Ö ÙÑ ÒØ Ø Ú Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Û ÞÙÐÐ Ò Ò Ø ÓÒÞ ÚÓÒ Ò ÓÔÐÓ Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ρ Φ Ò ØÛ Ø ÓÑ Ò Ò Ò Ø ÓÔ Ð Ö

185 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ Ò ÐÙ Ø Ò ÖÓÒ Ø ÑÓÑ ÒØ t < Ø Ø Ð Ð Ò Ø Ñ Ö ÓÓÖ Ò Ø ÓÑ Ò Ö º Ø ÓÑØ Ö ÓÔ Ò Ö Ø Û Ò Ø ÚÓÐ Ò Ò 3c 2 8πG 4 9t 2 < = ρ Φ> t 3/2 e Γt<. < µ Å Ö ÓÔ Ø Û Ö Ò Ø ÑÓ Ð Òº ÁÑÑ Ö Ò Ð Ò Ö ÒØ Ø Ø Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ ρ Φ ÚÓÒ Ò ÚÓÓÖ Ø Ø ÓÑ Ò Û Ö Ò Ð Ø ρ γ ρ Φ Ø ÖÛ Ð Ö Ø Ö ÒØ Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ ρ Φ ÚÓÒ Ò ÚÓÓÖ Ø Ø ÓÑ Ò Û Ö Ò Ð Ø ρ γ ρ Φ º ÆÙ Ò Û Ð Þ Ò Ø Ð Ò Ö ÒØ ÖÙ Ø Ñ ÛÓÖ Ò Ñ Ø t < t < Ò Û ÞÙÐÐ Ò ÒÓ ÒØÓÒ Ò Ø Ö Ø Ö ÒØ ÖÙ Ø Ñ ÛÓÖ Ò Ñ Ø t > t > Û Ö t > Ò ÒÓ Ò Ö Ø Ô Ð Ò Û Ö Øº À Ø Ò ÓÓ Ù Ð Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÐÐ Ò Ø Ð Ñ ÛÓÖ Ò Û ÒÒ Ö t < Ò t > Ò Ø Ø Ú Ö Ù Ø Ð Ö Ð Òº À Ø Þ Ö Ò Ø Ö Ò Ö Ø Ø Ø Ú Ð Þ Ð Þ Ò Ò Û ÞÙÐÐ Ò Ø ÓÔ Ø Ò Ù ÜÔÐ Ø ÑÓ Ø Ò Òº Ð Ø Ø Ú Ð ÙÒÒ Ò Û Þ ØÛ Ø Ø ÔÔ Ò Ð Ò Ò Ð Ø Ø Ô ÓÙÛ Ò Ò ÞÙÐÐ Ò Þ Ò Ñ t omslag Ú Òº ÎÓÓÖ ÒÙ Ò Ñ Ò Û Ò Ø Ø Ø Ú Ð Ò Ò Ð Ú ÖØ Ú Ö Ð Ò µ ÚÓÐ Ò Ö Ð Ø ÚÓÓÖ ÓÒ Ø ÒØ ρ Φ> ρ Φ> = 3c πG 9 eγt omslag. tomslag µ ÚÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÑÓ Ò ØÓ Ô Ø ÛÓÖ Ò Û ÒÒ Ö Ò Ú Ö Ð Ò ½µ ÚÓÐ Ò º Ò Ð Ø 3c 2 8πG 1 4t 2 ρ Φ> t 3/2 e Γt. µ Ø Ð Ú ÖØ ÓÒ Ò Ø Ø Ô t > ÓÔ Û ÖÒ ÚÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÑÓ Ò ÛÓÖ Ò ÖÙ Øº À Ð Ø Ò Ø ÑÓ Ð ÓÑ t > Ò Ò ÓÖÑÙÐ Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ñ Ö Ú Ò Û Ö Ò ÚÓÓÖ ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ Ò Ö Û Ð Ò ÒÙÑ Ö Û Ö Ò t > ØÓ Ò ÛÓÖ Ò ÞÓ Ð Ð Ò Ú Ò ÓÓÔ Ø Þ Ò Ø Ø Ú Ö Ù Ø ÙÙÖØ Ú Ò t < Ð Øº À ÖÑ ØÓØ Ð ÓÔÐÓ Ò Ò Ï ÓÒÐÙ Ö Ò Ø Ò Ø Ò Ú Ò Ú Ö ØØ Ò ÙÒØ H(t) ρ Φ (t) Ò ρ γ (t) Ú Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ H(t) = 1 2t, ρ Φ (t) = ρ γ (t) = ( 3c ) 1 8πG 9 eγt< t< t 3/2e Γt, 3c2 1 8πG 4t 2. µ ¼µ À ÖÑ ÓÒÞ Ò ÐÝ ÖÓÒ Ï Ò ÒÙ ØÛ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ò ÓÔÐÓ Ò Ò ÚÓÒ Ò ÚÓÓÖ ÙÒØ H(t) ρ Φ (t) Ò ρ γ Û ÖÚ Ò Ö Ò Ð ÒÚ Ò Ò ØÓÒ ÓÑ Ò Ö Ðµ Ú Ò Ú Ö ØØ Ò Ò Ö Ò Ð Ò Ø ÓØÓÒ ÓÑ Ò Ö Ðº Ï Ò Ö ÞÓÖ Ö Ò Ø Ø Ö Ø Ð Ò Ø Ò ÐÙ Ø ÓÔ Û Ö Ò Ú Ò ρ Φ Ò ρ γ Ð Ò Ò Ø Ò Ú Ò Ò Ø Ô Ö Ó Ò Ø Ø ØÛ Ð Ò Ø Ò ÐÙ Ø ÓÔ Ø Ö Ø Ðº Î Ö Ö Ò Û Ù Ø ÞÓ Ø Û ÒÒ Ö Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ò ÚÓÒ Ò Ø Ö Ø Ú ÖÞ ¹ Ñ Ð Ò ÓÔÐÓ Ò Ò ÖÙ Ø Ñ ÛÓÖ Ò ÞÓÐ Ò t < t < Ò ØÛ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÓÔÐÓ Ò Ò ÖÙ Ø Ñ ÛÓÖ Ò Û ÒÒ Ö t > t > º Ï ÞÙÐÐ Ò ÓÒÞ Ù Ø ÓÑ Ø Ò Û ÒØ Ö Ò ÓÑ Ø Þ Ò Ó Ð Ò Ú Ö ØØ Ò ÓÒ Ú Ö Ø ÙÙÖ Ò ÓÑ Ø ÓÒØÖÓÐ Ö Ò Ó t < Ò t > Ò Ö Ò Ø ÓÔ Ð Ö Ò ÐÙ Ø Òº

186 ÃÇËÅÇÄÇ ÁË À ÁÆ Ä ÌÁ ½ À ÖØÓ Þ ØØ Ò Û ÓÒ ÚÓÓÖ Ð ÚÓÓÖØ Ò Ò Ñ Ò Û Û ÖÓÑ Ò Ø Ñ m Ú Ò Ø Ò ØÓÒ Ò ÓÒ Ø ÒØ Φ 0 Ú Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ m GeV m kg c kg, en Φ ½µ s Î Ö Ö Þ Ò Û Ú ÖÚ Ð ÓÒ Ø ÒØ Γ Ð Γ s 1. ¾µ Ï Ö ÓÑØ Þ Û Ö Ú Ò Ò Ó ÓÙÛ Ø Ò ÒÒ Ñ º ÓÒ Ø ÒØ Γ Ò Û ÒØÖÓ Ù Ö Ð Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ò Ð Û ÖÑ Ò ØÓÒ Ò Ú ÖÚ ÐÐ Ò Ú Ò Ó Ò Ö Ø Ò Ú Ò ÐØ µ Ò Ö ÓØÓÒ Òº Ò Þ Ò Ö Û Ò Ò ÓÚ Ö Ñ Ò Ö Û ÖÓÔ Ò ØÓÒ Ò ÓÔÔ Ð Þ Ò Ò Ò Ö ÐØ Ø ÚÓÓÖ Ò Ð Ô ÙÐ Ø Ñ Ø Û Ð Ò Ð Ø Ú ÖÚ Ð ÔÐ Ø Ú Ò Øº Ö Ø Ö Ò ÚÙ ØÖ Ð Ò ÕÙ ÒØÙÑÚ Ð ÒØ ÓÖ Þ Ø Ø Ó ÞÛ Ö Ö Ò ÐØ Ó Ö Ö Ø Þ Ð Ú ÖÚ ÐÐ Ò Ò Ö Ò Ö ÐØ º Ï Þ Ò Γ Ú ÒÖ Ñ Ø m Ò Ø ÐÐ Ò Γ mc2. µ ÒØ Ò Ò ÒÙ Ò 1/sµº Å Ø Þ ÒÒ Ñ ÙÒÒ Ò Û Û Ö Ò Ú Ò Ø Ø ÔÔ Ò t < Ò t > Ù ØÖ Ò Òº Ö Ø Û Ö ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò ¾ µ ÓÔ Ø ÐÓ Ò Ò ØÛ Û Ö ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò µ ÓÔ Ø ÐÓ Òº Ï Ú Ò Ò Ò t < s, en t > s. µ Þ Û Ö Ò Þ Ò ÚÓÓÖ ÞÓÚ Ö ÓÒÞ Ò Ö Ò Ò Ò Ø Ø Þ Ò Ò Ú Ö Ð Ø ØÓÒ Òµ ØÞ Ð Ò ÒÓ Ñ Ò Û Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ t omslag º Æ Ø Ø Ø Ô Ø Ø Ò ØÓÒÚ Ð ÞÓÚ Ð Ò Ö ÓÚ Ö ¹ Ö Ò Ò ÓØÓÒ Ò Ø Ø Ð Ð ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö ÛÓÖ Òº ÓÒ Ø ÒØ ρ Φ> Ð Ø ÖÑ ÓÓ Ú Øº Î Ö Ð Ò µ Ð Ú ÖØ ρ Φ> kg m s. µ À ÖÑ Þ Ò ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ô Ð Ò Ð Ø ÚÓÐÙØ Ú Ò Ú Ö ØØ Ò Ð Ú Øº À Ø Ö Ò Ø Ú Ò ÙÒØ H(t) ρ Φ (t) Ò ρ γ (t) ÒÙ Ò º ÎÓÓÖ ÐÐ Ø Ø ÔÔ Ò ØÙ Ò Ø Ò Ú Ò Ò Ø t eind Ò Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ t omslag ÖÙ Ò Û ÖÚÓÓÖ Ú Ö Ð Ò Ò ¼µ Ò ÚÓÓÖ Ø Ø ÔÔ Ò Ò Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ ÖÙ Ò Û ¼µº Æ Ø Ø Ð Ð ÓÓÖ ØÖ Ð Ò ÓÑ Ò Ö ÛÓÖ Ø Ò Ø ËØ Ò Ö ÅÓ Ð Ú Ò Ó ÑÓÐÓ ÚÓÐÙØ ÓÚ ÖÒ Ñ Òº À Ø ÓÑ Ð ÔÙÒØ t omslag ÖÑ ÓÓ Ø Ø Ø Ô ÛÓÖ Ò Û ÖÓÔ Ú Ö ØØ Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ú Ö ØØ Ò ÙÙÖØ Ò ÓÒ ÑÓ Ð Ò Ø Ð Ò Ö Ò ÓÒ º

187 ½¼ Ê ÎÁÌ ÌÁ ËÌÊ ÄÁÆ ½ ½¼ Ö Ú Ø Ø ØÖ Ð Ò Ö Ñ ÒÒ Ø Ðº

188 ½½ Ì ÌÁ Î Æ Ê ÎÁÌ ÌÁ ËÌÊ ÄÁÆ ½ ½½ Ø Ø Ú Ò Ö Ú Ø Ø ØÖ Ð Ò Ö Ñ ÒÒ Ø Ðº

189 ÈÈ Æ Á ¹ Å ÌÃÍÆ ½ ÔÔ Ò Ü ¹ Å Ø ÙÒ À Ø Ö Ô Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø ÓÑØ ÚÓÓÖØ Ù Ø Ø Û Ö Ú Ò Ù Ò Ê Ñ ÒÒº ÁÒ Ð Ñ ÒØ Ò³ Ú Ò ÙÐ ÛÓÖ Ø Ñ Ø ÙÒ ÓÔ ÓÙÛ Ù Ø Ò Ú Ò ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ò Ü ÓÑ ³ º Ò Ú Ò Þ ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ø Ú Ð Ø Ñ Ò Ö Ú ÒÞ Ð ÔÖ Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ñ Ò Ø Ò ÐÓÓÔ Ö ÙÛ Ò ÔÓÓ Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Û Þ Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò Ö ÔÓ ØÙÐ Ø Òº À Ø Ú ÔÓ ØÙÐ Ø Ø ÐØ Ø ÚÓÐ Ò Ð Ø l 1 Ò l 2 Ö Ø Ò Þ Ò Ö Ø l Ò Ò Ñ Ø Ó Ò β Ò α Ò ÑÔÐ ÖØ α + β < 180 Ø l 1 Ò l 2 Ð Ö Ò Ò Ò ÒØ Ú Ò Ö Ø l Û Ö ÓÓ Ó Ò β Ò α Ð Òº Ö Ò ÒØ Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò Ú Ò Ø Ú ÔÓ ØÙÐ Øº ÌÛ ÖÚ Ò ÐÙ Ò Ð ÚÓÐ Ø ÓÓÖ Ò ÔÙÒØ P Ù Ø Ò Ò Ö Ø l ÔÖ Ò Ö Ø Ø ØÖ Ò l Ò Ø Ò Ø Ô Ö ÐÐ ÐÐ ÒÔÓ ØÙÐ Øµº ÓÑ Ú Ò Ó Ò Ú Ò Ò Ö Ó 180 º ÔÓ Ò Ò ÓÑ Ø Ô Ö ÐÐ ÐÐ ÒÔÓ ØÙÐ Ø Ø Û Þ Ò Ù Ø ÓÚ Ö Ð Ò ÐÐ Ò Ò Û Û Ñ Ñ Ø ØÓØ Ø ÒÞ Ø Ø Ñ Ø ÙÒ Û Ö Ø Ô Ö ÐÐ ÐÐ ÒÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ø Ð ØÓØ ÐÓ ÑÓ Ð Ò ÓÓÖØº Ò Ö Ð Ñ Ø ÙÒ Ø Ò Ò Ø¹ ÙÐ Ñ Ø ÙÒ º º½ Æ Ø¹ ÙÐ Ñ Ø ÙÒ Í Ø Ö Ú Ò Ð Ø Ø º º Ù ½ ¹ ½ µ Ð Ò ½ ¾ Ò Ú Ö Ò ÒÞ Ø Ò Ò Ø¹ ÙÐ Ñ Ø ÙÒ º À Ñ Ø Ø Ø Ö Ò Ø ÔÙ Ð ÓÑ Ø ÖÚ Ò Ø Ú Ð ÓÔ Ù ¹ Ò Ú ÖÛ ØØ º Ò Ø¹ ÙÐ Ñ Ø ÙÒ Û Ö ÓÓ ÓÒ Ò Ð ÓÓÖ Âº ÓÐÝ ½ ¼¾ ¹ ½ ¼µ Ò ÆºÁº ÄÓ Ú ½ ¹ ½ µ ÓÖÑÙÐ Ö º ÙÙÖ Ö Ú ØÓÖ Ò Ò ÔÙÒØ Ú Ò Ò ÖÓÑÑ º Ö Ú ØÓÖº ÎÓÓÖ λ 0 Ò Ö r λ ØÓØ º ØÓÓÒØ Ø Ò ÖÓÑÑ ÚÓÓÖ Ø Ø ÐÐ Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò r = r(λ) Ñ Ø λ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ò ÖÓÑÑ º ÎÓÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò (x,y,z) Ú Ò Ú ØÓÖ r Ð Ø x = x(λ) y = y(λ) Ò z = z(λ)º Ò Ö Ú ØÓÖ Ò ÖÓÑÑ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ d r dλ = lim λ 0 r(λ + λ) r(λ). µ λ ÓÓ Ð Ò Ø Ð Ò ÖÓÑÑ ØÙ Ò ÔÙÒØ Ò r(λ 1 ) Ò r(λ 2 ) ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ r(λ2 ) λ1 s d r = d r λ2 d r dλ dλ = dλ d r dλ dλ. r(λ 1 ) λ 2 λ 1 µ

190 ÈÈ Æ Á ¹ Å ÌÃÍÆ ½ ¼ ÓÓ Ð Ò Ø s ØÓØ Ò Ú Ø ÔÙÒØ ÓÔ ÖÓÑÑ ÓÓ Ø ÖÙ Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ÔÐ Ø Ú Ò λ ÑÑ Ö s = s(λ)º Å Ò Ö Ø r = r(s) Ò Ö Ú ØÓÖ Ò t d r ds. µ Å Ö ÓÔ Ø Ø Ò Ò Ú ØÓÖ t t = d r ds d r ds = 1 ÓÑ Ø (ds)2 = d r d rº Í Ø t t = 1 ÚÓÐ Ø ÓÓÖ Ö ÒØ Ø Ò Ö s Ø t t = 0 ÞÓ Ø t = d t ds ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ t Ù ÓÔ Ö Ð Ò Ø Øº ÓÓ ÒÓÖÑ Ð n Ô Ö Ò Ø Ò Ú ØÓÖ Ò Ö Ø Ò Ú Ò t Ù t = κ n met κ = κ(s). µ Í Ø Ø ÓÚ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ø t n = 0 Ò Ù Ø Ú Ö Ð Ò µ Ñ Ø n 2 = 1 Ø κ = t Û Ö κ ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÙÖÚ º Ì Ò ÐÓØØ ÛÓÖ Ø ÒÓÖÑ Ð b Ò Ö ÓÓÖ b = t n. ¼µ º ¼ ØÓÓÒØ Ø Ò Ö ÔÙÒØ r(s) Ú Ò ÖÓÑÑ Ö ÒÙ Ò Ö Ø Ð Ú ØÓÖ Ò t, n, b Ø Øº ÙÙÖ ¼ Å Û Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð { t, n, b} Ú Ò Ò ÖÓÑÑ º ØÖ Ø Ø Ù Ø Ø Ò ÒØÚ ØÓÖ t ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n Ò ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ bº Ø Ø Ð Ð Ø Ñ Û Ò ØÖ º ÚÓÖÑ Ò Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ø Ð Ðº Í Ø Ú Ö Ð Ò 550µ ÚÓÐ Ø b t = 0º Ö ÒØ Ø Ò Ö s Ø Ñ Ø Ú Ö Ð Ò Ò 549µ Ò 550µ 0 = b t + b t = b t + κ b n = b t. ½µ Í Ø b b = 1 ÚÓÐ Ø b b = 0 Ò Û Þ Ò Ø b Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ú ØÓÖ nº Å Ò Ò ÖØ τ = τ(s) Ñ Ø b = τ n Û Ö τ ØÓÖ Ú Ò ÖÓÑÑ ÛÓÖ Ø ÒÓ Ñ º Ì Ò ÐÓØØ ÚÓÐ Ø Ù Ø n = b t Ø n = b t + b t = τ n t + κ b n = τ b κ t. ¾µ

191 ÈÈ Æ Á ¹ Å ÌÃÍÆ ½ ½ Ë Ñ ÒÚ ØØ Ò Ð Ø t = κ n n = κ t b = τ n +τ b µ Ò Ø Þ Ò ÓÖÑÙÐ Ú Ò Ö Ò Ø ½ µ Ò Ë ÖÖ Ø ½ ¼µº Ò ÚÓÐ ÖÚ Ò Ø Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ò ØÓÖ ÓÓÖ ÒØ Ö Ø Ú Ò Þ Ö Ø ¹ÓÖ Ö ÒØ ÐÚ Ö Ð Ò Ò ÖÓÑÑ ÓÔ Ò Ú ÖÔÐ Ø Ò Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ Òµ Ú ØÐ Øº ÙÙÖ ½ ÃÖÓÑÑ ÓÓÖ ÔÙÒØ P Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σº ÓÙÛ ÐÐ ÖÓÑÑ Ò ÓÓÖ P º Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ò Ò P Ú Ò Ð Þ ÖÓÑÑ Ò ÚÓÖÑØ Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖÖÙ ÑØ T P º Î ÖÚÓÐ Ò ÓÙÛ Ò Û Ó Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ò E 3 º ÁÒ Ø ÚÓÓÖ Ù Û Ö Ò Ó Ò ÓÔÔ ÖÚÐ ÚÓÓÖ Ø Ð ÓÓÖ z = f(x,y) Ó w(x,y,z) = 0º ÁÒ Ø ÞÓÒ Ö Ò Ñ Ò ÖÓÑÑ Ò Ò Ò Ö Ð ÓÔÔ ÖÚÐ ÓÙÛ Ò Ò ÚÓÓÖ Þ ÖÓÑÑ Ò Ò Ñ Ò Ù Ø Ö Ö ÓÚ Ò Ø Ò Ö ÔÔ Ò ÒÚÓ Ö Òº º ½ ØÓÓÒØ Ø γ Ò ÖÓÑÑ Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σ Ñ Ø P Ò ÔÙÒØ ÓÔ γº Ò Ø γ Ò Ö Ú ØÓÖ d r dλ Ò Ø ÔÙÒØ P º ÓÙÛ ÒÙ ÐÐ ÑÓ Ð ÖÓÑÑ Ò Ò Σ ÓÓÖ P Ò ÚÓÖÑØ Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò ÐÐ ÓÖ Ò Ö Ú ØÓÖ Ò d r dλ Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú ØÓÖÖÙ ÑØ T P Ö Ú ØÓÖÖÙ ÑØ Ø Ò ÒØ ÒÚ ØÓÖÖÙ ÑØ Ó Ö ÚÐ ÒÓ Ñ º ÒÓÖÑ Ð n Ò P ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σ Ò Ú ØÓÖ Ò P ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ T P º À Ø ÚÓÐ Ò Ö ÙÐØ Ø Û Ö Ú Ö Ù Ò º n X T P t S S k ÙÙÖ ¾ ÓÓÖ P Ø Ò ÚÐ X Ø ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n Ú Øº À Ø ÚÐ X Ò Ø Ó Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Σ Ð Ò ÙÖÚ γº Ò Ú ØÓÖ t Ø Ò ÒØ Ð Ò γ Ò Ø Ö Ø Ò Ú Ò Þ Ò º Ú ØÓÖ t Ð Ø Ò Ø Ø Ò ÒØ ÒÚÐ T P º ËØ ÐÐ Ò Ú Ò ÙÐ Ö ½ ¼µ P Ò ÔÙÒØ Ú Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σ Ò Þ n ÒÓÖÑ Ð Ò P ÓÔ Σ Þ

192 ÈÈ Æ Á ¹ Å ÌÃÍÆ ½ ¾ º ¾µº X Ò ÚÐ ÓÓÖ n Ò Þ γ ÓÓÖ Ò Ò Ú Ò X Ò Σ Ø Ò ÖÓÑÑ µ Ò Ð Ø κ ÖÓÑÑ Ò Ú Ò γ Ò P Þ Òº Ò Ø Ø Ö Ò ÚÐ X 1 Ö Ô Ø Ú Ð X 2 µ ÓÓÖ n Û ÖÚÓÓÖ κ γ Ñ Ü Ñ Ð Ö Ô Ø Ú Ð Ñ Ò Ñ Ðµ Ò Ñ Ò ÒÓ ÑØ Þ ÖÓÑÑ Ò Ò κ 1 Ö Ô Ø Ú Ð κ 2 µº Ð Ø ÚÐ X Ò Ó θ Ñ Ø Ñ Ø X 1 Ò Ð Ø κ γ = κ 1 cos 2 θ + κ 2 sin 2 θ. µ ÖÓÑÑ Ò Ò κ 1 Ò κ 2 Ø Ò ÓÓ ÖÓÑÑ Ò Òº º Ø Ò Ð Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ñ Ø Ò Ø Ú ÖÓÑÑ Ò Ø Ð Ø ÓÔ Ò Þ ÐÓÔÔ ÖÚÐ µº Ø ÓÖ Ú Ò Ó Ò planes of principal curvatures normal vector tangent plane ÙÙÖ Ë Ø Ú Ò Ò Ó Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Û Ö ÚÐ Ò Ñ Ø ÓÓ ÖÓÑÑ Ò Ò Þ Ò Ò Ú Ò Ú Ò Ð Ø Ø Ò ÒØ ÒÚÐ º ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Û Ö ÒÞ ÒÐ Ú Ö Ö ÓÒØÛ Ð ÓÓÖ º º Ù Ò Þ Ò ÖØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ö ÙÔ Ö ÙÖÚ ³ Ù Ø ½ ¾ º Ù Ö Ö Ò Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ô Ö Ñ Ø ÖÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò x = x(u,v) y = y(u,v) Ò z = z(u,v) Ó Ñ Ò Ú Ø r = r(u,v) Ò ÞÓ Ð º ØÓÓÒØ ÓÒØ Ø Ò ÖÑ ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ ÖÓÑÑ Ò u = constant Ò v = constantº Ï Ò ÖÙ Ò Ø Ò ÔÙÒØ ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σ ÛÓÖ Ø Ú Ø Ð ÓÓÖ ØÛ Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö u Ò v Ò Ñ Ð r = r(u,v)º Ò ÖÓÑÑ r = r(λ) Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σ Ù ÓÓ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ò Ô Ö Ñ Ø ÖÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò u = u(λ) Ò v = v(λ)º Ø Ò ds ØÙ Ò ØÛ Ò Ò Ø Ñ Ð Ú Ò Ð Ö Ú ÖÛ Ö ÔÙÒØ Ò r(u,v) Ò r(u + du,v + dv) ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ (ds) 2 = d r d r Ñ Ø d r = r(u + du,v + dv) r(u,v) = r r du + u v dv = r udu + r v dv. Ï Ú Ò Ò ÖÑ ÚÓÓÖ Ø Ò (ds) 2 = ( r u du + r v dv) ( r u du + r v dv) = r u r u (du) r u r v dudv + r v r v (dv) 2. µ µ Å Ø ØÖ Ø ÓÒ Ð ÓÖØ Ò Ò E r u r u F r u r v Ò G r v r v Ú Ò Ò Û (ds) 2 = E(du) 2 + 2Fdudv + G(dv) 2, µ

193 ÈÈ Æ Á ¹ Å ÌÃÍÆ ½ ÙÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ù ÚÓÓÖ Ö Ú Ò Ú Ò Ò Ó Ò ÓÔÔ ÖÚÐ º Ñ Ø E F Ò G ÙÒØ Ú Ò u Ò vº Þ Û Ö Ø ÚÓÖÑ ÚÓÓÖ (ds) 2 Ø Ö Ø ÙÒ ¹ Ñ ÒØ ÐÚÓÖÑ Ó Ñ ØÖ º Ð Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σ Ò ÔÐ Ø ÚÐ Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ð (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 = (dr) 2 + r 2 (dφ) 2, Ò Ö Ð Ò Ñ Ò ÚÓÓÖ (u,v) ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ó ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Øº ÒÓØ ÖØ Ñ Ò ÚÓÓÖ (u,v) ÓÓ Û Ð (x 1,x 2 ) Ù µ Ì ÒÛÓÓÖ 2 (ds) 2 = g ij dx i dx j, g ij = g i,j (x 1,x 2 ), µ i,j=1 Ñ Ø g 11 (x 1,x 2 ) E(x 1,x 2 ) = e 1 e 1, g 12 = g 21 F = e 1 e 2, en g 22 G = e 2 e 2, ¼µ Û Ö e 1 r = r x 1 u Ö Ú ØÓÖ Ò Ó Ö Ò ØÐ Ò x 2 = constant Ò e 2 r = r x 2 v Ö Ú ØÓÖ Ò Ó Ö Ò ØÐ Ò x 1 = constant º Ù g ij = e i e j = g ji º Ú ØÓÖ Ò e 1 Ò e 2 ÚÓÖÑ Ò Ò Ú Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ú ØÓÖÖÙ ÑØ Ò r = r(u,v) Ò Σº Á Ö Ö Ú ØÓÖ Ò Ø ÔÙÒØ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò e 1 Ò e a = a i e i en ook b = b i e i. i=1 i=1 ÎÓÓÖ Ø ÒÔÖÓ ÙØ Ò Ö Ú ØÓÖÖÙ ÑØ Ð Ø ½µ a b = 2 a i e i i=1 2 b j e j = a 1 b 1 e 1 e 1 + a 1 b 2 e 1 e 2 + a 2 b 1 e 2 e 1 + a 2 b 2 e 2 e 2 = j=1 2 g ij a i b j. i,j=1 ¾µ γ Ò ÖÓÑÑ Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σ Ò Ð Ø A Ò B ØÛ ÔÙÒØ Ò ÓÔ γ Þ Ò Ò Ò ÖØ Ñ Ò ÓÓ Ð Ò Ø s γ Ð Ò γ ØÙ Ò A Ò B Ð s γ = B A dsº Ð ÖÓÑÑ γ ÛÓÖ Ø ÚÓÓÖ Ø Ð ÓÓÖ u = u(λ) Ò v = v(λ) Ò ÚÓÐ Ø Ò Ú Ö Ò Ñ Ø ds = ds dλ dλ Ø λb ( ) du 2 ( ) ( ) du dv dv 2 λb s λ = E + 2F + G dλ = 2 g ij (x dλ dλ dλ dλ 1,x 2 ) dxi dx j λ A dλ dλ dλ. λ A i,j=1 µ

194 ÈÈ Æ Á ¹ Å ÌÃÍÆ ½ Ä Ø A Ò B ØÛ ÔÙÒØ Ò Ú Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σ Þ Ò Ò Ó Ø ÓÓÖ A Ò B ÖÓÑÑ γ Ò Σ Û ÖÚÓÓÖ ÓÓ Ð Ò Ø s γ ØÙ Ò A Ò B Ñ Ò Ñ Ð Ó ÜØÖ Ñ Ðµ º ÁÒ Ø ÙÐ ÚÐ Ò Ö Ø Ò Ó Ø Ò ÓÑ Ö º ÇÔ ÓÐ Ò ÖÓØ Ö Ð Ø Ò Ö Ð Û ÖÚ Ò Ø ÚÐ ÓÓÖ Ø Ñ ÐÔÙÒØ Ú Ò ÓÐ Øµ Ò Ó Ø Ò ÓÑ Ö º Å Ö ÓÔ Ø ÒØÖ Ò Ñ Ø ÙÒ Ú Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ø Ñ Ø ÙÒ Ú Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Û Þ Ò Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ð Ú Ò Ò Ò Û Ø Ò Ú Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ð Ô Ð ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ñ ØÖ (ds) 2 º ÓÓ ÖÓÑÑ Ò Ò κ 1 Ò κ 2 Ú Ò Ò ÔÙÒØ P Ò Σ Þ Ò ÒØÖ Ò Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ º Ø ÒÚÓÙ Ò Ø Þ Ò Ò Ò Ú Ò Ø ÚÓÐ Ò ÚÓÓÖ Ð º ÎÓÓÖ Ò ÔÐ Ø ÚÐ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ð Ô Ô Öµ Ð Ø κ 1 = κ 2 = 0 Ò (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 º Ð Ø Ú Ð Ô Ô Ö ØÓØ Ò ÝÐ Ò Ö ÛÓÖ Ø ÚÓÙÛ Ò Ò ÙÖØ Ö Ò Ø Ñ Ø Ñ ØÖ Ñ Ö κ 2 ÛÓÖ Ø ÓÒ Ð Ò ÒÙÐº À Ø ÓÔÑ Ö Ð ÒÙ Ø Ö Ò ÓÑ Ò Ø Ú Ò κ 1 Ò κ 2 Ø Ø ÓÒ Û Þ Ð Ø Ø ÚÓÙÛ Ò Ú Ò Ø Ô Ô Öº Ø Ù ÖÓÑÑ Ò º Ì ÓÖ Ñ Ö ÙÑ Ú Ò Ù Ù ÖÓÑÑ Ò κ κ 1 κ 2 Ò ÒØÖ Ò ÖÓÓØ Ø Û Ð Þ Ò Ð Ô Ð ÓÓÖ Ñ ØÖ Ò Ñ Ð κ = 1 E E u E v 4W 4 F F u F v G G u G v 1 { ( ) Ev F u ( )} Fv G u, µ 2W v W u W Ñ Ø W EG F 2 º Å Ö ÓÔ Ø κ Ð Ø Ò Ø Ú Ò Ñ ØÖ Ú E F Ò G Ò Ö Ø Ò ØÛ ÓÖ Ð Ò ÖÚ Ò Û Ö ÓÓÖ κ Ò Ö Ò ÒØÖ Ò ÖÓÓØ º ÓÓ ÖÓÑÑ Ò Ò Ò Ò ÓÚ Ò¹ Ò ÒÓ Ú Ò Û Þ Û ÖÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ º Ù ÖÓÑÑ Ò Ò ÙÒØ Ú Ò u Ò v κ = κ(u,v)º ÇÔÔ ÖÚÐ Ò Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ ÖÓÑÑ Ò Þ Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ò Û ÖÚÓÓÖ κ(u,v) = constantº À ÖÚ Ò Ø Ò Ö ØÝÔ Ò Ò Ñ Ð ½º Ø Ö ÚÐ Ò ÓÐµ Ñ Ø Ñ ØÖ (ds) 2 = (du) 2 + sin 2 u(dv) 2 met κ = +1; µ ¾º Ø ÙÐ ÚÐ Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Òµ Ñ Ø Ñ ØÖ º Ø ÝÔ Ö ÓÐ ÚÐ Ñ Ø Ñ ØÖ (ds) 2 = (du) 2 + u 2 (dv) 2 met κ = 0; µ (ds) 2 = (du) 2 + sinh 2 u(dv) 2 met κ = 1. µ À Ø Ð Ø Ø Ú Ð Ò Ø¹ ÙÐ Ñ Ø ÙÒ Ú Ò Ù ¹ÄÓ Ú ¹ ÓÐÝ º ÁÒ Ø ÚÓÐ Ò ÓÙÛ Ò Û Ò Ò Ò Ø Ñ Ð Ô Ö ÐÐ ÐÐÓ Ö Ñ Ò Σ Þ º µº Þ Ò r u du Ò r v dv Ö ÙÐØ Ö Ò Ò Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ø dσ = r r v dudvº Å Ö ÓÔ Ø a b 2 = a 2 b 2 ( a b) 2 ÓÑ Ø sin 2 χ + cos 2 χ = 1º Ù ÚÓÐ Ø dσ = EG F 2 dudv. µ Ø ÐÐ Ò Ù Ø ÙÐ Ñ Ø ÙÒ Þ Ø Ø ÓÑ Ú Ò Ó Ò Ú Ò Ò Ö Ó π Ò ÒÙ ÛÓÖ Ò Ò Ö Ð Ö º Ò Ö Ó Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Σ Ò Ö Ø Ð ÔÙÒØ Ò A B Ò C Ò Σ Ú Ö ÓÒ Ò ÓÓÖ Ó Ø Ò ØÙ Ò ÔÙÒØ ÒÔ Ö Ò Þ º µº Ä Ø t 1 Ò t 2 Ò ¹

195 ÈÈ Æ Á ¹ Å ÌÃÍÆ ½ ÙÙÖ Ò Ò Ò Ø Ñ Ð Ô Ö ÐÐ ÐÐÓ Ö Ñ Ò Ò Ó Ò ÓÔÔ ÖÚÐ º ÙÙÖ Ò Ó Ø Ò Ö Ó º Ö Ú ØÓÖ Ò Ò A Þ Ò Ò ØÛ Ó Ø Ò Þ Ò AB Ò AC Ú Ò Ó Ø Ò Ö Ó µ ÓÓÖ A Ò Ó α Ò Ö Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò 2 cos α = t 1 t 2 = g ij t i 1t j 2. i,j=1 µ ÎÓÓÖ B Ò C Ò ÐÓÓ º Ò Ð Ø α + β + γ π = κdσ, ¼µ Û Ö ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ó Ø Ò Ö Ó ÛÓÖ Ø Ù Ø ÚÓ Ö Ò κ Ù ÖÓÑÑ Ò º ÁÒ Ø ÞÓÒ Ö Ú Ð Ú Ò Ò ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÖÓÑÑ Ò Ð Ø α + β + γ π = κ Û Ö Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö Ó ÚÓÓÖ κ = 0 ÛÓÖ Ø Ò Ö Ø Ö ÙÐØ Ø Ù Ø ÙÐ Ñ Ø ÙÒ Ø ÖÙ ÚÓÒ Òº º¾ Ê Ñ ÒÒ Ñ Ø ÙÒ ØÛ Ð Ò Ö Ø Ô Ò ÓÒØÛ Ð Ò Ú Ò Ö ÒØ ÐÑ Ø ÙÒ Û Ö Þ Ø ÓÓÖ º Ê Ñ ÒÒ ½ ¾ ¹ ½ µ Ò Ò ÓÐÐÓÕ ÙÑ ÓÙ Ò ÓÔ ½¼ ÙÒ ½ ÚÓÓÖ ÐÓ Ó ¹ ÙÐØ Ø Ú Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ú Ò ØØ Ò Ò Û ÖÚ Ò Ø Ø Ð ÐÙ Í Ö ÝÔÓØ Ò Û Ð Ö ÓÑ ØÖ ÞÙ ÖÙÒ Ð Ò³º À Ö Ò Ò Ó Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÓÑ ÓÔ¹ Ô ÖÚÐ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ö Ð Ö ØÓØ Ò Ò Ù ÒØ ÅÒ ÐØ Ø³ Ò ÓÚ Ò Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ò Ø Ò Ö Ô ÚÓÓÖ n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ö Ñ ÒÒ Ñ Ø ÙÒ µº Ò Ù ÒØ ÅÒ ÐØ Ø³ Û Ø Ø ÒÛÓÓÖ Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø ÛÓÖ Ø ÒÓ Ñ º Ò Ö Ð Ø Ð ÚÓÐ Ø Ù Ö ÔÙÒØ Ò Ú Ò Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò ØÛ Ø Ð Ö Ð Ó Ö Ò Ø Ò (u,v) (x 1,x 2 )º Ê Ñ ÒÒ Ö ÔÙÒØ Ò Ú Ò

196 ÈÈ Æ Á ¹ Å ÌÃÍÆ ½ Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÒØ Ö Ö Ú Ö Ø Ø Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ö Ð Ó Ö Ò Ø Ò (x 1,x 2,...,x n )º Ù Ø Ò ØÙ Ò ØÛ Ò Ò Ø Ñ Ð Ú ÖÛ Ö ÔÙÒØ Ò 2 (ds) 2 = g ij (x 1,x 2 )dx i dx j i,j=1 ½µ Ò Ê Ñ ÒÒ ÛÓÖ Ø Ø Ò Ö Ð Ö ØÓØ n (ds) 2 = g ij (x 1,...,x n )dx i dx j. i,j=1 ¾µ Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ Ò ÓÔ Ò ÖÓÑÑ γ x i = x i (λ) (i = 1,2,...,n) Ò Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ ÛÓÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö ØÓØ Þ Ú Ö Ð Ò µ λb n s λ = g ij (x 1,...,x n ) dxi dx j dλ dλ dλ. µ λ A i,j=1 Ò ÖÓÑÑ Ø Û Ö Ò Ó Ø Ð s γ ÜØÖ Ñ Ð º ÁÒ Ø ÞÓÒ Ö Ú Ð Ú Ò Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ð Ø g ij = δ ij ÞÓ Ø Ú Ö Ð Ò µ ÓÚ Ö Ø Ò Ð γ Ò Ö Ø Ð Ò ½ Ö Ø Ñ Ò s λ = λb λ A n ( ) dx i 2 dλ. µ dλ i=1 n ( dx s 2 i) 2 { λb λ = dλ i=1 λ A } 2 dλ = n ( dx i) 2 (λ B λ A ) 2 = i=1 dλ n ( B i A i) 2. µ i=1 Ø Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÈÝØ ÓÖ ÚÓÓÖ Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ º Ò Ú Ö Ö Ð Ò Ö Ö Ú Ò Ê Ñ ÒÒ Þ Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ò ÖÓÑÑ Ò Ú Ò Ù ØÓØ Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ ÖÓÑÑ Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ê Ñ ÒÒº ÖÓÑÑ Ò Ø Ò ÓÖ Ô ÐØ Ò Ù Ø ÖÑ Ø Ð Ò Ö ÖÓÐ Ò Ò Ø Ò³ Ö Ú Ø Ø Ø ÓÖ º ½ ÁÒ Ø Ú Ð Ð Ø x i = a i λ+b i Ò ÛÓÖ Ø ÚÓÓÖ Ð λ A = xi A bi º Ò Ð Ø dxi = a i dλ ai Û Ö ÓÓÖ Ð Ò Ø Ñ Ö Ú Ò λ Ò Ø Ò Ù Ø Ò ÒØ Ö Ð Ð Ò ÛÓÖ Òº Î Ö Ö Ö Ú Ò Û x i A = A i º

197 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ½ º½ º½º½ ÔÔ Ò Ü ¹ Ä Ò Ö Ð Ö Î ØÓÖÖ Ò Ò ÓÚ Ö Ö Ð ÖÙ ÑØ Ë Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ï ÓÒ Ö Ò Ð Ö Ò Ó Ð Ö ÖÓÓØ Òµ ÓÓÖ Ò Ø Ð Ô Ð ÖÓÓØ Ò ÞÓ Ð Ñ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖº Ú ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ö Ø Ò Ò Ò Ø Ð Ô Ð ÖÓÓØ Ò ÞÓ Ð Ò Ð Ò Ö Øº Ø Ø Ð Ø ÖÓÓØØ Ó ÓÐÙØ Û Ö Ú Ò Ú ØÓÖº ÆÓØ Ø a,b,p,x etc. Þ Ò Ð Ö Ò A B Ü Ý Ü Ý Þ Ò Ú ØÓÖ Ò A = A ÓÐÙØ Û Ö Ú Ò Aº a Ø Ò Ò Ú ØÓÖ Ð a = 1º A B Ø ÒØ A Ò B Ò Þ Ð Ö Ø Ò º Ö Ð Ø Ò ÓÓ B Aº A Ò A Þ Ò Ú ØÓÖ Ò Ñ Ø Ð ÖÓÓØØ Ò Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ò Òº ÇÔÑ Ö Ò Ò º½º¾ Î ØÓÖ Ò ÙÒÒ Ò ÓÓÖ Ô Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö ÛÓÖ Òº ÐÐ Ú ÒÛ Ð Ö Ø Ú Ò Ð Ò Ô Ð Ò Ø ÐÐ Ò ÒÞ Ð ÚÖ ³ Ú ØÓÖ ÚÓÓÖº ÒÙÐÚ ØÓÖ ¼ Ò Ú ØÓÖ Ñ Ø ÓÒ Ô Ð Ö Ø Ò Ò Ñ Ø ÖÓÓØØ ¼º Í Ø A B Ò A = B ÚÓÐ Ø A = B Ò ÓÑ Ö º ÈÖÓ ÙØ Ú Ò Ò Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÎÓÓÖ Ø ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ò Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ð Ø ÚÓÐ Ò Ò Ø Ð c > 0 Ò (ca) A Ò ca = ca Ð c < 0 Ò (ca) A Ò ca = ca Ð c = 0 Ò ca = 0 Ñ Ø Ð ÚÓÐ Ø Û ÒÒ Ö a Ò Ú ØÓÖ Ò Ö Ø Ò Ú Ò A Ò A = Aaº º½º ËÓÑ Ò Ú Ö Ð Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ð ØÛ Ú ØÓÖ Ò A Ò B Ò Ò ÓÑ A+Bº Ð Ø ÒÔÙÒØ Ú Ò Ô Ð Ö ÔÖ Ò¹ Ø ÖØ Ñ ÒÚ ÐØ Ñ Ø Ø Ò ÔÙÒØ Ú Ò Ô Ð A ÚÓÓÖ Ø ÐØ Ò ÛÓÖ Ø A + B Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÓÖ Ô Ð Ú Ò Ø ÒÔÙÒØ Ú Ò A¹Ô Ð Ò Ö Ø Ò ÔÙÒØ Ú Ò B¹Ô Ðº Ø ÛÓÖ Ø Û Ö Ú Ò Ò º º ÎÓÓÖ ÓÔØ ÐÐ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ü ÓÑ ³ ½º A,B [A + B = B + A] ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ô ¾º A,B,C [(A + B) + C = A + (B + C)] Ó Ø Ú Ò Ô º 0 A [A + 0 = A] 0 Ø Ø Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ º A A [A + ( A) = 0] ÒÚ Ö Ø Ø Ò Ô ÎÓÓÖ Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ñ Ø Ð Ö Ò Ð Ò Ü ÓÑ ³

198 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ½ ½º p,q,a [(p + q)a = pa + qa] Ö Ø ØÖ ÙØ Ú Ò Ô ¾º p,a,b [p(a + B) = pa + pb] ØÛ ØÖ ÙØ Ú Ò Ô º p,q,a [p(qa) = (pq)a] Ó Ø Ú Ò Ô º A [1A = A] Ò ÙØÖ Ð Ø Ø Ò Ô Ú Ò Ø Ø Ð ½º ÙÙÖ Ê ÔÖ ÒØ Ø Ú Ò Ø ÓÔØ ÐÐ Ò Ú Ò ØÛ Ú ØÓÖ Ò Ò º À Ø Ö ÙÐØ Ø Ú ØÓÖ º Î Ö Ö Ð Ø Ò Ø A B = A + ( B) Ò A B Ø Ø Ú Ö Ð Ú Ò A Ò Bº º½º Ä Ò Ö Ò Ð ÓÒØ Ò Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ò ÒØ ÐÐ Ò ÓÑ pa + qb Ø Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò A Ò B Ø ÖÛ Ð pa + qb + rc Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ø Ú Ò A B Ò Cº Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ú ØÓÖ Ò Ø Ð Ò Ö ÓÒ Ò Ð Ð Ò Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò Ò Ö Ú ØÓÖ Ò Ù Ø Ø Ø Ð Ðº ËØ ÐÐ Ò A B Ò C Þ Ò Ð Ò Ö ÓÒ Ò Ð Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ù Ø pa+qb+rc = 0 ÚÓÐ Ø Ø p = q = r = 0º Ð A + B = C Ò Ø Ò A Ò B ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò C Ò Ö Ø Ò Ò Ú Ò A Ò Bº Ð i j Ò k Ò Ú ØÓÖ Ò Þ Ò Ò Ö Ø Ò Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ú x¹ y¹ Ò z¹ Ú Ò Ò ÖØ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò A = A 1 i + A 2 j + A 3 k. µ Ð Ú ØÓÖ A Ù Ð Ò Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ð Ò Ö ÓÒ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò i j Ò kº Ø ÐÐ Ò A 1 A 2 Ò A 3 ÒÓ Ñ Ò Û ÒØ ÐÐ Ò Ú Ò A Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò {i,j,k}º Ð Ö Ð Ø ½º A + B = (A 1 + B 1 )i + (A 2 + B 2 )j + (A 3 + B 3 )k ¾º ca = ca 1 i + ca 2 j + ca 3 k º A = A A2 2 + A2 3 º

199 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ½ ÙÙÖ Ú ØÓÖ A Ò ÓÒØ ÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ð Ò Ö ÓÒ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò i Ò j Ò ÚÓÖÑ Òº Ø Ò ÞÓÛ Ð Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð {x J,y J } Ð Ò {x M,y M }º º½º Ò Ø ÁÒÛ Ò Ó Ð Ö ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò A B A B cos (A;B) µ À Ø ÒÛ Ò ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ù Ò Ð Öº Ò ÔÔ Ò ½º A,B [A B = B A] ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ô ¾º A,B,C [A (B + C) = A B + A C] ØÖ ÙØ Ú Ò Ô Í Ø Ò Ø ÚÓÐ Ø A A = A 2 en A B = 0 als A B. µ Ù ÓÓ i i = j j = k k = 1 Ò i j = j k = k i = 0 Ò Ù A B = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = 3 A i B i. i=1 µ Å Ö ÓÔ Ø Ð A B = 0 Ò A = 0 Ó B = 0 Ó A Bº º½º ÎÓÓÖ Ð Ò ½º Ð A = 2i 3j + k Ò A = ( 3) = 14º

200 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼¼ ¾º Ú Ò A = 2i 3j + k Ò B = 5i + j 7kº Ì Û Þ Ò A Bº Û A B = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = ( 3) ( 7) = = 0, ¼µ Ù A Bº º Ú Ò A = 3i 4j + 5k Ò B = i + 2j kº Ì Ö Ò Ò cos (A;B)º ÇÔÐÓ Ò A B = AB cos (A;B) = ( 4) ( 1) 2 cos (A;B) = 50 6 cos (A;B). ½µ Î Ö Ö Ð Ø A B = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = = 10. ¾µ Ù 10 3 cos (A;B) = 10 Ó Û Ð cos (A;B) = 1 3 3º

201 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼½ º¾ º¾º½ Ä Ò Ö ÖÙ ÑØ Ò Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ä Ò Ö ÖÙ ÑØ Ò Ð Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Û Ö ÒÒ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÓÔ Ø Ð ³ Ò Ñ Ø Ò Ð Ö Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ ³ ÙÒ¹ Ò Ò ÛÓÖ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ð Ò Ö ÖÙ ÑØ Ó Û Ð Ò Ú ØÓÖÖÙ ÑØ ÒÓ Ñ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÖÚ Ò Ø Ò Ú ØÓÖ Òº Ò Ø Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò L Ø Ò Ð Ò Ö ÖÙ ÑØ ÓÚ Ö Ò Ø ÐÐ ÒÐ Ñ K Ð Ð Ø a,b L! c L [a + b = c] p K,a L! b L [pa = b] Ø ÖÛ Ð ÚÓÐ Ò Ø Ü ÓÑ ³ Ð Ò ½º a,b L [a + b = b + a] ¾º a,b,c L [(a + b) + c = a + (b + c)] º 0 L a L [a + 0 = a] º a L a L [a + ( a) = 0] º p,q K,a L [(p + q)a = pa + qa] º a,b L,p K [p(a + b) = pa + pb º p,q K,a L [p(qa) = (pq)a] º a L [1a = a] Ï Ò Ò ÓÓ ØÙ º½ Ö Þ Ò Ø Ú ØÓÖ Ò Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ü ÓÑ ³ ÚÓÐ Ó Òº À Ö Ò Û Ò Ò Ò Ö ÓÔ Ñ Ö ØÖ Ø Û Þ Ò Ø Ø ÐÐ ÒÐ Ñ K Ò K R Ö Ô Ø Ú Ð K C Þ Òº Å Ò ÔÖ Ø Ò Ú Ò Ò Ö Ð Ö Ô Ø Ú Ð ÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖÖÙ ÑØ Lº ÁÒ Ô Ö Ö º½ Ò Û ÓÒ Ô Ö Ø ØÓØ Ò Ù Ú Ò Ö Ð Ú ØÓÖÖÙ ÑØ Òº ÇÓ Ò Þ Ô Ö Ö ÓÙÛ Ò Û Ò Ð Ö Ð Ú ØÓÖÖÙ ÑØ Òº Ä Ø Ö ÞÙÐÐ Ò Û Ù Ù Ø Ö Ò ØÓØ ÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖÖÙ ÑØ Òº º¾º¾ Ò ÔÔ Ò Ð L Ò Ð Ò Ö ÖÙ ÑØ Ð Ò ÚÓÐ Ò ËØ ÐÐ Ò Ò ½º! 0 L a L [a + 0 = a] ¾º a L! a L [a + ( a) = 0] Ò Ø a b a + ( b) ËØ ÐÐ Ò Ò ½º a,b,c L [a + b = c a = c b] ¾º a L [0a = 0] º a L [( 1)a = a] º p R [p0 = 0]

202 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼¾ º¾º Ä Ò Ö ÓÒ Ò Ð Ñ Ò Ò Ø Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò S Ú Ò Ò Ð Ò Ö ÖÙ ÑØ L Ø Ò ÓÒ Ò Ð Ø Ð Ð Ú ØÓÖ Ò Ð S {0} Ø ÖÛ Ð Ò Ò Ð Ð Ñ ÒØ Ú Ò S Ð Ò Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ò Sº ËØ ÐÐ Ò ½ Ð 0 S Ò S Ò Ò Ð Ø Ð Ðº ËØ ÐÐ Ò ¾ S = {a 1,..,a n } Ò Ò Ð Ø Ò Ò ÓÒ Ò Ð Ø Ð Ð Ð Ù Ø n i=1 c ia i = 0 ÚÓÐ Ø Ø c i = 0 ÚÓÓÖ ÐÐ i = 1,..,nº Ò Ø B Ø Ò Ú Ò Ð Ò Ö ÖÙ ÑØ L Ð ½º B L ¾º B Ò ÓÒ Ò Ð Ø Ð Ð º Ð Ð Ñ ÒØ Ú Ò L Ð Ò Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ò Bº Ð B = {e 1,..e n } Ò Ð Ø a L a1,..,a n R [ a = ] n a i e i. µ Þ Ø ÐÐ Ò a 1 ØÓØ Ò Ñ Ø a n Ø Ò ÒØ ÐÐ Ò Ú Ò a Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Bº Ï ÒÓ Ñ Ò (i,j,k) ³ Ú Ò R 3 Ú Ò Ö Ø ÐÐ Ø Ð Ö Ô Òº ËØ ÐÐ Ò Ð Ð Ò Ö ÖÙ ÑØ L Ò Ø Ù Ø n Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ò Ø Ø Ð Ú Ò L Ù Ø n Ð Ñ ÒØ Òº Ò Ø Ñ Ò Ú Ò L Ø ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ò Ú Ò Lº º¾º ÁÒÛ Ò ÔÖÓ ÙØ ÒÓÖÑ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø Ø Ú Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ø Ò ÒÛ Ò ÔÖÓ ÙØ ÒÒ Ò Ò Ú ØÓÖÖÙ ÑØ L Ò Ð Ò Ú Ò L L Ò Ö R Û ÖÚÓÓÖ Ð (a,b) R Ø Ò a L Ò b L ØÓ ÚÓ Ø Ð Ð Ø ½º a,b L [(a,b) = (b,a)] ¾º a,b,c L [(a,b + c) = (a,b) + (a,c)] º a,b L,p R [(pa,b) = p(a,b)] º a L [(a,a) 0];(a,0) = 0 À Ø Ø Ð A B = AB cos (A;B) ÞÙÐÐ Ò Û Ø³ ÒÛ Ò ÔÖÓ ÙØ Ò V 3 ÒÓ Ñ Òº Å Ø Ø³ ÒÛ Ò ÔÖÓ ÙØ Ò R n Ù Ò Û Ò b 1. n (a,b) = (a 1,..,a n ).. = a i b i. µ i=1 b n Ø ÒÛ Ò ÔÖÓ ÙØ ÒÓØ Ö Ò Û Ù ÓÓÖ Ö Ø Ú ØÓÖ Ð Ö Ú ØÓÖ Ò ØÛ Ð ÓÐÓÑÚ ¹ ØÓÖ Ø Ö Ú Òº Ò Ø ÒÓÖÑ a Ú Ò Ú ØÓÖ a Ø Ø Ð (a,a)º Ò Ø Ú ØÓÖ Ò a Ò b Þ Ò ÓÒ ÖÐ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ò Ò Ð Ø Ò Ð (a,b) = 0º i=1

203 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼ º¾º Ä Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ð Ò Ú Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò A Ò Ö Ú ÖÞ Ñ Ð Ò B Ò Ö Ð Ø Û ÖÚ Ò A ÓÖ ¹ Ò Ð ÒÚ ÖÞ Ñ Ð Ò Ò B Ð Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÓÑÚ Ø Ø ÖÛ Ð Ð ÓÖ Ò Ð Ò Ð Ø Ò ÙÒØ Ù Ò Ð Ò µº Ò Ø Ò Ð Ò F Ú Ò Ð Ò Ö ÖÙ ÑØ L 1 Ò Ö Ð Ò Ö ÖÙ ÑØ L 2 Ø Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ð ½º a,b L1 [F(a + b) = F(a) + F(b)] Ò ¾º a L1,p R[F(pa) = pf(a)] º Å Ö ÓÔ Ø Ð B = {e 1,..,e n } Ò Ú Ò L Ò Ð Ò Ú Ò L Ò Ö R n Û ÖÚÓÓÖ Ð Ø Ø Ø Ð Ú Ò a = n i=1 a ie i ÒØ ÐÚ ØÓÖ³ (a 1,..,a n ) Ò Ð Ò Ö Ð Ò º

204 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼ º Å ØÖ ÜÖ Ò Ò º º½ Å ØÖ À Ø Ø Ð Ð Ú Ò k Ð Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ò Ñ Ø n ÓÒ Ò Ò x 1 ØÓØ Ò Ñ Ø x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k µ ÚÓÐ ÓÑ Ò Ö Ø Ö Ö ÓÓÖ Ø ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò Ò a 11 a a 1n x 1 a 21 a a 2n x 2....,..... a k1 a k2... a kn x n en b 1 b 2... b k. µ À Ø Ö Ø Ú Ò Þ Ø ÐÐ Ò Ñ ³ Ø Ò Ñ ØÖ Ü Ú Ò ÓÖ Ò Þ Ñ ØÖ Ü Ú Ø Ò Ñ Ð k Ö Ò Ò n ÓÐÓÑÑ Òº Ò Ö ØÛ Ø Ð ÖÓ Ô Ò Þ Ò Ð Ö ÓÐÓÑÚ ØÓÖ Ò ÓÓ ÓÔ Ú Ø ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ñ ØÖ Ú Ò ÓÖ n 1 Ö Ô Ø Ú Ð k 1º Ò Ø Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ö Ò Ò ÓÐÓÑÑ Ò ÓÖØ Ö Ø ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò º Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Üº ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ ÙÖ Ñ Ø ØÛ Ò ÒÓØ Ö Û ÖÚ Ò Ö Ø Ø Ö Ò ÒÙÑÑ Ö Ú Ò Ö Ò ØÛ Ø Ú Ò ÓÐÓÑ Ò Øº Ð Ø ÒØ Ð Ö Ò k Ò Ø ÒØ Ð ÓÐÓÑÑ Ò n Ò Ø k n ÓÖ Ú Ò Ñ ØÖ Üº Ð k = n Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ò Ú Ö ÒØ Ñ ØÖ Ü Ú Ò ÓÖ n Ó Û Ð Ò n n Ñ ØÖ Üº Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò a ij,(i = 1,..,k;j = 1,..,n) ÛÓÖ Ø Ò Û Ð ÓÖØÛ Ò Ù Ñ Ø A = (a ij ),(k n). µ ÇÔÑ Ö Ò Ò ½º Ð Ö Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ü ÓÔ Þ Þ Ð ÓÙÛ Ò Ö Ú ØÓÖ Ò Ð ÓÐÓÑ Ú Ò Ñ ØÖ Ü Ò ÓÐÓÑÚ ØÓÖº ¾º A = B Ø ÒØ Ø A Ò B Ú Ò Þ Ð ÓÖ k n Þ Ò Ò Ø a ij = b ij ÚÓÓÖ Ð i = 1,..,k Ò Ð j = 1,..,kº º º¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ü ( ) a b Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ò Ñ ØÖ Ü A = Ø Ø Ð c d A = det A = a b c d = ad bc. µ ÓÒ ÖÑ ØÖ Ü A ij Ú Ò Ñ ØÖ Ü A Ñ ØÖ Ü ÓÒØ Ø Ø Ð Ù Ø A i de Ö Ò j de ÓÐÓÑ Û Ð Ø Ò ÛÓÖ Òº

205 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼ ÎÓÓÖ Ð Ð A = Ò A 21 = ( Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ò Ú Ö ÒØ Ñ ØÖ Ü A,(n n) Ø Ø Ð Ò ÓÓ det A = A = det A = A = ) º n ( 1) i+j a ij A ij,(i = 1,...,n), j=1 n ( 1) i+j a ij A ij,(j = 1,...,n). i=1 µ ¼µ Ø Þ Ò ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ Ø ÓÒØÛ Ð Ò Ú Ò Ø A ÚÓÐ Ò i de Ö Ö Ô Ø Ú Ð ÚÓÐ Ò j de ÓÐÓÑº ÎÓÓÖ Ð Ï ÓÒØÛ Ð Ò ÚÓÐ Ò Ö Ø Ö º = = = 46. ½µ º º ÈÖÓ ÙØ Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Ò ÓÐÓÑÚ ØÓÖ Ò Ø À Ø ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ò k n¹ñ ØÖ Ü A Ñ Ø Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐÓÑÚ ØÓÖ x Ð Ò k¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐÓÑÚ ØÓÖ b Û ÖÚ Ò Ø i e ¹ Ð Ñ ÒØ (i = 1,..,k) Ð Ò Ø ÒÛ Ò ÔÖÓ ÙØ Ú Ò i e ¹Ö Ú ØÓÖ Ú Ò Ñ ØÖ Ü A Ñ Ø ÓÐÓÑÚ ØÓÖ xº Ù Ð A = (a ij ),(k n) Ò x = (x i ),(n 1) Ò b = (b i ),(k 1) Û Ö b i = n j=1 a ijx j,(i = 1,..,k)º À Ø Ð Ú Ö Ð Ò Ò Ø Ð Ð Ú Ò Ô Ö Ö º º½ Ò Ù ÒÓØ Ö ÛÓÖ Ò Ð Ax = bº º º Å ØÖ Ü Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ¹ÓÔ Ö ØÓÖ Ð A = (a ij ),(k n) Ò Ò ÖØ Ax = y Ò Ð Ò Ú Ò x Ò Ö R k A : x( R n ) Ax(= y R k ). ¾µ Þ Ð Ò Ð Ö Ò Ð Ò Ö Ð Ò Û ÒØ ½º x,y Rn [A(x + y) = Ax + Ay] Ò ¾º x Rn,p C[A(px) = pax]º ËØ ÐÐ Ò Ò ½º Ð A = (a ij ),(k n) Ø ÖÛ Ð {e 1,..,e n } Ú Ò R n Ò Ae i i e ¹ ÓÐÓÑÚ ØÓÖ Ú Ò A,(i = 1,..,n)º ¾º Ð T Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ú Ò R n Ò Ö R k Ò Ø Ø Ö Ò Ñ ØÖ Ü A,(k n) ÞÓ Ò Ø ÚÓÓÖ Ð x R n Ð Ø Ø Ø Ð Ú Ò x ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø T Ù Txµ Ð Ò Ø ÔÖÓ ÙØ Axº Þ Ñ ØÖ Ü A Ñ ØÖ Ü Û ÖÚ Ò i e ¹ ÓÐÓÑÚ ØÓÖ (i = 1,..,n) Ø T ¹ Ð Ú Ò i e Ú ØÓÖ e i Ú Ò R n Ù Te i µ º Þ A Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ò Ð Ò T º

206 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼ º º ËÓÑ Ú Ò Ñ ØÖ Ð A = (a ij ),(k n) Ò B = (b ij ),(k n) Ò Ð Ò C Ò x R n Ð Ð ØÓ ÚÓ Ø Cx = Ax + Bx Ò Ð Ò Ö Ð Ò º ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ò Þ Ð Ò C = (c ij ),(k n), met c ij = a ij + b ij,(i = 1,..,k;j = 1,..,n). µ Þ Ñ ØÖ Ü C ÒÓ Ñ Ò Û ÓÑ Ú Ò Ñ ØÖ A Ò Bº Å Ö ÓÔ Ø Ò Ð Ñ ØÖ Ú Ò Ð ÓÖ Ò ÓÑ Òº Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ñ Ø Ò ÓÐÓÑÚ ØÓÖ ØÖ ÙØ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ ØÖ ÜÓÔØ ÐÐ Ò º ÓÚ Ò Ò Ñ ØÖ ÜÓÔØ ÐÐ Ò ÓÑÑÙØ Ø Ò Ó Ø º ( ) ÎÓÓÖ Ð Ð A = Ò B = ( A + B = Ò º º ( A B = ( ( 1) ( 1) ÈÖÓ ÙØ Ú Ò Ð Ö Ñ Ø Ñ ØÖ Ü ) Ò ) = ) = ( ( ) µ ). µ Ð A = (a ij ),(k n) Ò A +A = (a ij + a ij ) = (2a ij )º Þ Ñ ØÖ Ü Ú Ò ÓÖ k n ÒÓ Ñ Ò Û 2Aº Ò ÐÓÓ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Ò Û ÐÐ ÙÖ Ð Ö Ò Ö ÛÓÖ Ò Ð pa = (pa ij ). µ ÓÛ Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÔØ ÐÐ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ð Ú Ò Ð Ö Ò Þ Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò ØÖ Ù¹ Ø (p + q)a = pa + qa Ò p(a + B) = pa + pbº ÓÚ Ò Ò Ð Ø Ó Ø Ú Ò Ô (pq)a = p(qa) Ø ÖÛ Ð ÒÒ Ð 1A = Aº Ë Ñ ÒÚ ØØ Ò ÓÒÐÙ Ö Ò Û Ø Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ú Ò Ò Ô Ð ÓÖ Ò Ð Ò Ö ÖÙ ÑØ º º º ÈÖÓ ÙØ Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ø À Ø ÔÖÓ ÙØ AB = C Ú Ò Ñ ØÖ Ü A = (a ij ),(k m) Ñ Ø Ñ ØÖ Ü B = (b ij ),(m n) Ñ ØÖ Ü C = (c ij ),(k n) Û ÖÚ Ò c ij = m a ih b hj,(i = 1,..,k;j = 1,..,n). h=1 µ À Ø Ð Ñ ÒØ c ij Ú Ò C Ù Ð Ò Ø ÒÛ Ò ÔÖÓ ÙØ Ú Ò i e Ö Ú ØÓÖ Ú Ò A Ñ Ø j e ÓÐÓÑÚ ØÓÖ Ú Ò Bº ( ) ÎÓÓÖ Ð Ð A = Ò B = 1 5 Ò AB = ( ÇÔÑ Ö Ò Ò ) = ( 1(3) + 2(1) + 1( 2) 1( 4) + 2(5) + 1(2) 4(3) + 0(1) + 2( 2) 4( 4) + 0(5) + 2(2) ) = ( µ ).

207 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼ ½º Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Ò ÓÐÓÑÚ ØÓÖ Ò ÞÓÒ Ö Ú Ð Ú Ò Þ Ñ ØÖ ÜÚ ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ò ÓÐÓÑÚ ØÓÖ ÑÑ Ö Ò Ñ ØÖ Ü Ú Ò ÓÖ m 1º ¾º À Ø ÔÖÓ ÙØ AB Ø Ø Ð Ø Ò Ð Ø ÒØ Ð ÓÐÓÑÑ Ò Ú Ò A Ð Ò Ø ÒØ Ð Ö Ò Ú Ò Bº Å ØÖ Ü Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò Ò Ø ÓÑÑÙØ Ø AB BAº À Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò Þ ØÛ ÚÓÐ ÓÖ ÒÓ Ñ Ò Û ÓÑÑÙØ ØÓÖ [A,B] AB BA. µ Ì Ò ÐÓØØ Ñ Ö Ò Û ÓÔ Ø Ñ ØÖ ÜÚ ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Û Ð Ó Ø (AB)C = A(BC) = ABCµ Ò ØÖ ÙØ (A + B)C = AC + BC Ò A(B + C) = AB + ACµº º º ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÇÒ Ö ÓÓ ÓÒ Ð Ú Ò Ò Ú Ö ÒØ Ñ ØÖ Ü A = (a ij ) Ú Ò n¹ ÓÖ Ú Ö Ø Ò Û Ø ÐÐ ÒÖ (a 11,a 22,..,a nn )º Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ò Ú Ö ÒØ Ñ ØÖ Ü A = (a ij ) Û ÖÚÓÓÖ Ð Ø Ø a ij = 0 Ð i j Ø ÖÛ Ð Ö Ñ Ò Ø Ò Ò i Û ÖÚÓÓÖ a ii 0º ÐÐ Ò Ò ÓÓ ÓÒ Ð Ø Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ò ÓÒ Ð ÒÙÐ Þ Òº Ð P Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Û ÖÚ Ò ÐÐ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ð Ò p Þ Ò Ò B Ò ÞÓ Ò Ñ ØÖ Ü Ø PB Ö Ô Ø Ú Ð BP Ø Ø Ò ÚÓÐ Ò Ò Ø Ú Ò Ñ ØÖ ÜÚ ÖÑ Ò ¹ ÚÙÐ Ò Ò Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ñ Ø Ò Ð Ö PB = pb, respectievelijk BP = pb. ¼¼µ Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Û ÖÚ Ò ÐÐ ÓÒ ÐØ ÖÑ Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ð Þ Ò Ø ÖÓÑ Ò Ð Ö Ñ ØÖ Üº Ò Ð Ö Ñ ØÖ Ü Û ÖÚ Ò ÐÐ ÓÒ ÐØ ÖÑ Ò Ð Þ Ò Ò ½ ÛÓÖ Ø Ò Ù Ñ Ø Ð ØØ Ö Iº Ó Ò Ò Ñ ØÖ Ü Á Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ ØÖ ÜÚ ÖÑ Ò ¹ ÚÙÐ Ò º º º Ù Ö Ò ÒÚ Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ù Ö Ñ ØÖ Ü A = (α ij ),(n n) Ú Ò Ñ ØÖ Ü A = (a ij ),(n n) Ñ ØÖ Ü Û ÖÚ Ò Ø Ð Ñ Ò Ð Ñ ÒØ Ð Ò α ij = ( 1) i+j A ji º Ò Ø Ð AB = I Ò Ø B Ò Ö Ø Ö ÒÚ Ö Ú Ò A Ò A Ò Ð Ò Ö ÒÚ Ö Ú Ò Bº ÎÓÓÖ Ð ÇÑ Ø = = I Ö Ñ ØÖ Ü Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÒÚ Ö Ú Ò Ò Öº ËØ ÐÐ Ò ½ Ð A Ò (k n)¹ñ ØÖ Ü AB = I k k Ò CA = I n n Ò B = C,(n k)º Û B = I n n B = (CA)B = C(AB) = CI k k = Cº ËØ ÐÐ Ò ¾ Ð AB = I Ò BA = I Ò A Ú Ö ÒØº Û Ð A = (a ij ),(k n) Ò B = (b ij ),(n k) AB = I,(k k) Ò BA = I,(n n)º ÓÑ Ú Ò ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ò Ö Ô Ø Ú Ð AB Ò BA Ò k = k i=1 n j=1 a ijb ji Ò n = n j=1 k i=1 a ijb ji Ù n = kº Ò Ø Ð AB = BA = I Ò Ø Ò A Ò B Ð Ö ÒÚ Ö Ñ ØÖ Ü A = B 1 Ò B = A 1 º Ò Ñ ØÖ Ü Ò ÒÚ Ö Ø Ø Ö ÙÐ Ö Ø ÖÛ Ð Ò Ñ ØÖ Ü Ò ÒÚ Ö Ø Ò ÙÐ Ö Øº Á Ö Ö ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü Ú Ö ÒØº Ð A Ö ÙÐ Ö Ò Ø Ax = b Ù Ø Ò ÓÔÐÓ Ò Ò Ñ Ð x = A 1 bº

208 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼ ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò Ò Ø Ú Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ñ Ò Ð Ø Ò Þ Ò Ø A(adj A) = (adj A)A = (det A)I, ¼½µ Ù Ð Ø A 0 Ò B = adj A A Ö ÙÐ Ö Ò A 1 = adj A det A det A º Ò AB = BA = Iº Ï Ú Ò Ò Ù Ø Ð Ø A 0 Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ð Ø Ò Ö ÙÐ Ö Ð Þ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÓÒ Ð Ò ÒÙÐº Ò Ú Ö ÒØ Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ð Ø Ò Ò ÙÐ Ö Ð Þ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ò ÒÙÐº ÎÓÓÖ Ð Ð A = Ò A = = ( 2) (4) = 81, ¼¾µ Ø ÖÛ Ð A 11 = = 11, A 12 = = 1, A 13 = = 17, ¼ µ A 21 = = 10, A 22 = = 23, A 23 = = 14, ¼ µ A 31 = = 8, A 32 = = 14, A 33 = = 5, ¼ µ ÞÓ Ø adj A = , dus A 1 = ¼ µ º º½¼ ØÖ Ò ÔÓÒ Ö Ú Ò Ò Ñ ØÖ Ü ÝÑÑ ØÖ Ò ÐØ ÖÒ Ö Ò Ñ ØÖ Ð A = (a ij ) Ò (k n)¹ñ ØÖ Ü Ò B = (b ij ) Ò (n k)¹ñ ØÖ Ü Ø ÖÛ Ð b ij = a ji ÚÓÓÖ Ð i = 1,..,n Ò Ð j = 1,..,k Ò Ø Ò A Ò B Ð Ö ØÖ Ò ÔÓÒ Ö B = A T Ò A = B T º ( ) ÎÓÓÖ Ð ØÖ Ò ÔÓÒ Ö Ú Ò A = A T = 2 5 º 3 6 ½º ØÖ Ò ÔÓÒ Ö Ú Ò Ò Ú Ö ÒØ Ñ ØÖ Ü ÛÓÖ Ø Ù Ú Ö Ö Ò ÓÓÖ Ñ ØÖ Ü Ø Ô Ð Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÓ ÓÒ Ð³º ¾º ØÖ Ò ÔÓÒ Ö Ú Ò Ò ÓÐÓÑÚ ØÓÖ Ò Ö Ú ØÓÖ Ò ÓÑ Ö º ËØ ÐÐ Ò Ò ½º (A T ) T = Aº ¾º (A + B) T = A T + B T º

209 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾¼ º (AB) T = B T A T º º Ð x Ò ÓÐÓÑÚ ØÓÖ Ò x T x = x 2 º Ò Ø A Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ð A = A T º A Ø Ò ÐØ ÖÒ Ö Ò ÒØ ¹ ÝÑÑ ØÖ Ó ÝÑÑ ØÖ µ Ñ ØÖ Ü Ð A T = Aº ÎÓÓÖ Ð Ñ ØÖ Ü A = ÝÑÑ ØÖ Ø ÖÛ Ð Ñ ØÖ Ü A = ÒØ ¹ ÝÑÑ ØÖ º º º½½ ÇÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ò Ø Ñ ØÖ Ü A Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð AA T = A T A = I Ù Ð A T = A 1 º ËØ ÐÐ Ò ½ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ò Ñ ØÖ Ü Û ÖÚ Ò Ö Ú ØÓÖ Ò ÞÓÛ Ð Ð ÓÐÓÑÚ ¹ ØÓÖ Ò Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ø Ð Ð ÚÓÖÑ Ò Ø Û Ð Þ Ò Ø Ð ØÛ ÓÒ ÖÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ö Ú ØÓÖ Ò Ö Ô Ø Ú Ð ÓÐÓÑÚ ØÓÖ Ò ÓÒ ÖÐ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Þ Ò Ø ÖÛ Ð Ð Ú ØÓÖ Ò ÒÓÖÑ ½ Òº ËØ ÐÐ Ò ¾ Ð A ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ð x Ú Ò Ù Ø Ñ Ò µ Ø Ax = x º Ï ÓÒÐÙ Ö Ò Ø ÒÓÖÑ Ú Ò Ò Ú ØÓÖ ÒÚ Ö ÒØ ÚÓÓÖ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Û ÖÚ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü ÓÖØ Ó ÓÒ Ð º À Ø ÓÑ Ö Ú Ò Þ Ø ÐÐ Ò Ð Ø ÓÓ Ð ÚÓÓÖ Ò Ð Ò Ö Ð Ò ÒÓÖÑ ÒÚ Ö ÒØ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü ÓÖØ Ó ÓÒ Ðº Û Ax 2 = (Ax) T (Ax) = (x T A T )(Ax) = x T (A T A)x = x T Ix = x T x = x 2 º ÎÓÓÖ Ð Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø y = Ax = x ÓÖØ Ó ÓÒ Ðº À Ø Ð Ú Ò x = (a,b,c) y = ( a 3 + b 6 c 2, a 3 2b 6, a 3 + b 6 + c 2 ) Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Ð Ò Ø a 2 + b 2 + c 2 º.

210 ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ¾½¼

211 ÈÈ Æ Á ¹ ÍÆ Å ÆÌ Ä ÇÆËÌ ÆÌ Æ ¾½½ ÔÔ Ò Ü ¹ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò c = Ñ/s Ð Ø Ò Ð h = Â ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò ÈÐ Ò e = Ð Ò Ú Ò Ø Ð ØÖÓÒ m e = Ñ Ú Ò Ø Ð ØÖÓÒ m p = Ñ Ú Ò Ø ÔÖÓØÓÒ ǫ 0 = »ÆÑ 2 Ô ÖÑ ØØ Ú Ø Ø Ú Ò Ø Ú ÙÙÑ µ 0 = 4π 10 7 Æ» 2 Ô ÖÑ Ð Ø Ø Ú Ò Ø Ú ÙÙÑ N A = ½»ÑÓÐ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò ÚÓ ÖÓ k = Â»Ã ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò ÓÐØÞÑ ÒÒ

212 ÈÈ Æ Á ¹ Ç Ê ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å Æ ¾½¾ º½ ÔÔ Ò Ü ¹ Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ò ÖØ Ò Ó Ö Ò Ø Ò dl = dx ˆx + dy ŷ + dz ẑ dτ = dxdydz t = t t x ˆx + yŷ + zẑ t v = vx x + vy y + vz z ( v = vz y vy z ) ˆx + ( v x z vz x t = 2 t = 2 t x t y t z 2 )ŷ ( ) vy + x vx y ẑ Ð Ò¹ Ð Ñ ÒØ ÚÓÐÙÑ ¹ Ð Ñ ÒØ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ ÖÓØ Ø Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ º¾ Ë Ö Ó Ö Ò Ø Ò dl = dr ˆr + rdθ ˆθ + r sin θdφ ˆφ dτ = r 2 sin θdrdθdφ t = rˆr t + 1 t ˆθ r θ + 1 t ˆφ r sinθ φ v = 1 r 2 r (r2 v r ) + 1 v = 1 r sin θ [ t = 2 t = 1 r 2 r r sinθ θ (sin θv θ) + 1 ] [ θ (sin θv φ) v θ φ ˆr r ( ) ( r 2 t r + 1 r 2 sinθ θ sin θ t θ r sin θ v φ φ ] φ r (rv φ) ˆθ + 1 r ) t r 2 sin 2 θ φ 2 v r sinθ Ð Ò¹ Ð Ñ ÒØ ÚÓÐÙÑ ¹ Ð Ñ ÒØ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ [ r (rv ] θ) vr θ ˆφ ÖÓØ Ø Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ º Ð Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò dl = ds ŝ + sdφ ˆφ + dz ẑ dτ = sdsdφdz t = sŝ t + 1 t ˆφ s φ + t zẑ v φ φ + vz z v = 1 s s (sv s) + 1 s [ ] v = 1 v z s φ v φ z ŝ + [ v s t = 2 t = 1 ( s s s t s z vz s ) + 1 s 2 2 t φ t z 2 ÍÆ Å ÆÌ Ä ÌÀ ÇÊ Å Ë b a ( f) dl = f(b) f(a) ( A)dτ = A da ( A) da = A dl ] [ ] ˆφ + 1 s s (sv φ) vs φ ẑ Ð Ò¹ Ð Ñ ÒØ ÚÓÐÙÑ ¹ Ð Ñ ÒØ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ ÖÓØ Ø Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ÒØ Ø ÓÖ Ñ Ú Ö ÒØ Ø ÓÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ù µ ÊÓØ Ø Ø ÓÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ú Ò ËØÓ µ

213 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾½ ÔÔ Ò Ü ¹ Ç ÒÓÔ Ú Ò ÇÈ Î Æ Ï Ã ½ Æ Ñ ÇÔ Ú ½ ÊÓ Ò ÀÓÓ Ú Ò ÔÐ Ò ÓÑ ÓÔ Ò Ô Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ò Ò ÓÓÑ Ò Øº º ¼ Ð Ø Þ Ò Ø ÊÓ Ò ÔÖ ÓÔ Ô Ñ Ø Ò Ø Ò Ø Ò Ø Ò Ø Ô Ð Ò Ô Ö ÓÐ Ò Þ Ð ÚÓÐ Ò ÓÒ Ö Ù ÔÓ Ø Ú Ò Ô ÓÓÖ Þ Ð Òº Ô Þ Ø ÓÓ Ò Ð Ø Ø ÐÓ Ò Ú ÐØ Ù Ø ÓÓÑ Ò Ú ÖÛ Ø Ò Ø ÙÙÖ Ä Ò ÊÓ Ò ÀÓÓ Ñ Ø ÔÖ ÓÔ Ô Ö Ø Ô Ð Ø Ø ÐÓ ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ÓÓ Øº Ô Ð Þ Ð ÓÒØÛ Òº µ Ä Ø Þ Ò Ø Ô Ö Ø Þ Ð ÛÓÖ Ò ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ò Ð Û ÖÑ Ô Ð ÛÓÖ Ø ÚÙÙÖ ÞÓÐ Ò Ò Ð Ñ Ö ÖÓÓØ ÒÓ ÓÑ Ø Ò Ò Ö ÓÓÑ Ø ÓÚ Ö ÖÙ Òµº Æ Ñ Ò Ø Ö Ø Ø Ú Ò Ô Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö º µ Ï ÒÓ Ñ Ò v 0 Ò Ð Ú Ò Ô Ð ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ú Ò ÓÓ ÓÑØº Ô Ð Ò Ð Ú Ò Ô Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ô ÓÔ Ò Û ÐÐ ÙÖ Ø t ÙÖ Ò ÚÐÙ Ø Ú Ò Ô Ðº µ Æ Ñ Ò Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò ØÙ Ò ÙØØ Ö Ò ÓÓÑ Ð Ò x = 50 Ñ Ò Ú ÖØ Ð Ø Ò ØÙ Ò ÙØØ Ö Ò Ø Û Ö Ò Ô Ò Ø h = 10 Ñº Ï Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ò Ð Ú Ò Ô Ð Ð Ô Ö Ø ÛÓÖ Ø Ò Ø ÚÓÓÖ Ø ÓÔ ÖÓÒ Ú ÐØ Ú ÖØ Ð Ø Ò Ú Ò ÖÓÒ ØÓØ Ø ½½ ¾ Ñµ ÇÔ Ú ¾ Ò ÒÓÒ Ó Ð ÛÓÖ Ø ÚÙÙÖ Ñ Ø Ò Ò Ò Ð Ú Ò ¾ ¾ Ñ» ÓÒ Ö Ò Ó Ú Ò 30 Ñ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ø Ò Ò Ú Ò Ò ÓÓ Ø Ú Ò ¼ Ñº ÀÓ Ú Ö ÓÑØ Ó Ð ÇÔ Ú ÀÓ ÖÓÓØ ÚÖ ¹Ú Ð Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ò Ó Ø Ø Ö ÓÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ò ËÔ Ë ÙØØÐ ¼¼ Ñ ÓÚ Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ µ ÇÔ Ú Ò ÔÖÓ Ø Ð ÛÓÖ Ø Ú ÖØ Ð ÓÑ ÓÓ ÓØ Ò Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø Ò Ò Ð Ú Ò v i = 8 Ñ» º Ï Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÓ Ø Ø Ö Ø Ú ÖÛ ÖÐÓÓ ÐÙ ØÛÖ Ú Ò µ ÇÔ Ú Ò ÔÖÓ Ø Ð ÛÓÖ Ø Ú ÖØ Ð ÓÑ ÓÓ ÓØ Ò Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø Ò Ò Ò Ð Ú Ò v i = 15 Ñ» º Ï Ø Ò Ð Ú Ò Ø ÔÖÓ Ø Ð Ú Ö Ú ÖÛ Ö Ú Ò Ö Ú ÖÛ ÖÐÓÓ ÐÙ ØÛÖ Ú Ò µ

214 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾½ ÇÈ Î Æ Ï Ã ¾ Æ Ñ ÇÔ Ú ½ Ò ÔÐ Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÐÐ ÖÒ Ø Ø Ù Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ ÓÐÚÓÖÑ Ð Ñ Ø Ñ M Ù Ø Ò ØÖ Ð R Ò ÒÒ Ò ØÖ Ð R/2º µ ÀÓ Ú Ð Ñ Ô Ö ÒØ µ Ø Ö Ò 3 4R Ú Ò Ø Ñ ÐÔÙÒØ Ú Ò ÔÐ Ò Ø µ ÀÓ ÖÓÓØ Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð ÓÔ Ø Ò 1 4R Ú Ò Ø Ñ ÐÔÙÒØ µ ÀÓ ÖÓÓØ Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð ÓÔ Ø Ò 3 4R Ú Ò Ø Ñ ÐÔÙÒØ ÇÔ Ú ¾ ÁÒ Ø Ó Ò Ö Ò Ö Ñ Ò³ Ú Ò ÂÙÐ Î ÖÒ ÛÓÖ Ò ØÖÓÒ ÙØ Ò Ð Ò Ö ÓÓÖ Ò ÒØ ÒÓÒ Ú Ò Ö Ò Ö Ñ Òº µ Ï ØØ Ò Ø Ò Ð ÒÓ ÓÑ Ñ Ò Ø Ö Ò Ð Ò ÓÒØ Ò Ô¹ Ô Ò Ò Ð Ú Ò Ö Ò ØØ Ò Ð Ò Ø Ú Ò Ø ÒÓÒ Ð ¼¼ ÚÓ Ø ÓÒ Ú Ö ¼¼ Ñ ÞÓ Ð Ú ÖÑ Ð Ò Ø Ó µº Ï Ø Ò Ø ØÖÓÒ ÙØ Ò Ð Ò Ö Ò ³ ÓÚ ÖÐ Ú Ò µ ÁÒ Ø Ó ÚÓ Ð Ò ØÖÓÒ ÙØ Ò Ò ÙÒ ÖÙ ÑØ Ô Ø Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ò Ö ØÓØ Ø Ø ÖÙ ÑØ Ô Ø Ú ÒÛ Ø ÔÙÒØ Ö Ø Û Ö Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Û Ö Ò Ú Ò Ñ Ò Ð Ò Ú Ò Ö º ÇÔ Ø ÔÙÒØ ÖØ ÐÐ ÓÑ Ò Û Ø Ø ÔÐ ÓÒ Ú Ò Ø ÖÙ ÑØ Ô Û ÛÓÖ Ø ÒÙ ÚÐÓ Öº ÀÓ Ú Ö Ú Ò Ö Ð Ø Ø Ú ÒÛ Ø ÔÙÒØ µ Á Þ Ö Ú Ò Ú Ò Û Ø ØÖÓÒ ÙØ Ò ÖÚ Ö Ò Ö Ð Á Ø Û Ø Ö Ø ÙÖ ÚÓÓÖ ÔÓÐÐÓ ØÖÓÒ ÙØ Ò Ø Ò ÙÒ ÞÓ Ò Ñ Ò ÇÔ Ú Ï Ò Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ñ Ø Ñ m Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÖÓÒ Ø ÒØ Cº À Ø Ý Ø Ñ ÚÓÐ Ó Ø Ò Û Ø Ú Ò ÀÓÓ Ò Ø Ø ÒØ Ø Ù ØÖ Ò u Ú Ò Ú Ö Ú ÒÖ Ñ Ø ÖÓÓØØ Ú Ò Ö Ø F ÓÔ Ú Ö ÛÓÖ Ø Ù Ø Ó Ò Ù F = Cuº Ð Ú Ö ÓÚ Ö Ò Ø Ò u ÛÓÖ Ø Ù Ø Ö Ø Ò Ø Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ú Ò ÓÓÖ V = 1 2 Cu2 º µ Î Ö Ð Ö Ú Ö Ð Ò V = 1 2 Cu2 º Ð Ñ ÒÙ ÛÓÖ Ø ÐÓ Ð Ø Ò Ò ØÖ Ø Ö Ó ÐÐ Ø ÓÔº Ò Ð u Ñ Ü Ñ Ð Ð Ú Ö ÓÓÖ Ú ÒÛ Ø ØÓ Ø Ò Ø Û Ö u = 0 µº Ä Ò Ö Ò Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ L = T V = 1 2 m u2 1 2 Cu2 º µ Å ÖÙ Ú Ò ÙÐ Ö¹Ä Ò Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ð Ø Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÚÓÓÖ Ø Ñ ¹Ú Ö Ý Ø Ñº ÇÔ Ú ÇÒ ÞÓÒÒ Ø Ð Ð Ñ Ø Ù Ø ÓÑ Ø Ú Ò Ò ÙÔ ÖÒÓÚ º Ð Ø ÙÖ Ò ÙÑ ÓÔ Ö Ñ Ø Ò Þ ÙÔ ÖÒÓÚ º Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ò Ò Ú Ò Ý Ú Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ÜÔÐÓ Ù Ö Ö Ò Ø Ø ÒØ Ð ÔÖÓ Ù Ö 235 Í ÖÒ Ò ½ Ñ Ð ÖÓØ Ö Û Ò Ø ÒØ Ð 238 Í ÖÒ Òº Ë Ò ÙÒ ÔÖÓ ÙØ Ú ÖÚ ÐØ 235 Í Ñ Ø Ò Ð Û Ö Ø Ú Ò t1 2 Ö Ò 238 Í Ñ Ø Ð Û Ö Ø Ú Ò t1 2 = 7, = 4, Öº ÀÓ Ð Ò Ð Ò ÚÓÒ ÙÔ ÖÒÓÚ ÜÔÐÓ ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ú Ö ÓÙ Ò 235 Í ØÓØ 238 Í ÞÓ Ð ÚÓÒ Ò Ò Ø ÒØ Ð Ò ¼ ¼¼ À ÒØ Ò Ö Ó Ø Ú ÖÚ Ð Ò ÑØ Ø ÒØ Ð ÒÓ Ò Ø Ú ÖÚ ÐÐ Ò ÖÒ Ò ÚÓÐ Ò Ö Ð Ø N(t) = N(0)e t/τ Ñ Ø τ Ð Ú Ò ÙÙÖºµ ÇÔ Ú ÞÓÒ Ò Ò Ö Ø ÖÖ Ò ÔÖÓ Ù Ö Ò ÙÒ Ò Ö ÓÓÖ ÖÒ Ù º Ù Ö Ø ÔÖÓØÓÒ¹ÔÖÓØÓÒ ÝÐÙ Ø Ø Ù Ø ÚÓÐ Ò Ö Ø 1 H + 1 H 2 H + β + + ν e 1 H + 2 H 3 He + γ Ò Ú Ò ¼ µ ÚÓÐ ÓÓÖ Ò 10 5 Ú Ò Ú ÐÐ Ò 1 H + 3 He 4 He + β + + ν e. ¼ µ

215 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾½ Ó Ò ÔÖÓ ÒØ Ú Ò Ú ÐÐ Ò 3 He + 3 He 4 He + 1 H + 1 H. ¼ µ µ ÌÓÓÒ Ò Ø Ø Ò ØØÓ Ø Ú Ò Þ Ö Ø Ð Ò (4 1 H) 4 He+(2β + )+(2ν e )+ (1 of 2) γº µ ÌÓÓÒ Ò Ø Ò ÖÙ Ø Ò Ö Ú Ò ¾ Å Î ÚÖ ÓÑØ Ò Þ ÝÐÙ Ò Ò Ø ÐÐ Ò Û ½ ¼¾ Å Î ÚÖ ÓÑØ Ð Ð Ú Ò ÔÓ ØÖÓÒ Ò ÒÒ Ð ÖØ Ñ Ø Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ø Ò Ñ µº µ ÞÓÒ ØÖ ÐØ Ñ Ø Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ Ú Ö Ïº Æ Ñ Ò Ø Ø ÛÓÖ Ø Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÓÓÖ ÓÒÚ Ö Ú Ò Ú Ö ÔÖÓØÓÒ Ò Ò Ö Ð ÙÑ ÑÑ ØÖ Ð Ò Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ø Ò ¾ Å Î ÚÖ Ñ Øº Ï Ø Ø Ú Ö ÖÙ Ú Ò ÔÖÓØÓÒ Ò Ò ÞÓÒ Ò ÔÖÓØÓÒ Ò Ô Ö ÓÒ µº µ ÀÓ Ð Ò Ò ÞÓÒ ÒÓ Ò Ò ÓÔ Þ Û Þ Ò Ñ Ò Ø Ð Ø Ú Ò Ñ Ú Ò ÞÓÒ µ ÓÓÖ ÔÖÓØÓÒ Ò ÚÓÖÑ ÛÓÖ Øº

216 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾½ ÇÈ Î Æ Ï Ã Æ Ñ ÇÔ Ú ½ Ù Ø Ú Ò Ú Ö Ð Ò µ ÓÔ Ð Þ º Å ÖÙ Ú Ò Ò ÖÓÚ Ò Ö Ò Û Ö Û Ð dp dp dr Ò Ò Ð Ô Ö Ú Ò Ð dr P R Þ ÓÓ ÐÞº µº µ Ä Ø Þ Ò Ø ÚÓÓÖ Ò Ø Ö Ñ Ø Ñ M ØÖ Ð R Ñ Ð ÖÙ Ò Ö Ò Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ P 3GM2 4πR 4. µ Ä Ø Þ Ò Ø Þ Ð Ö Ð Ø Ð Ø ØÓØ Ò Ö Ò T M R Ú Ò Ø Öº ½¼µ ÚÓÓÖ Ñ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖ ÇÔ Ú ¾ À ÒØ Ð Ø ÓÔ Ú ÓÚ ÖÛ ÓÑ Þ Ð Ð Ø Ø Ø Ó Òµº ÁÒ Ø Ã Ñ Ó Ò Ò Â Ô Ò Ø Ø ÞÓ Ò Ñ Ã Ñ Ó Ò ÁÁ Ø ØÓÖº Þ Ø ØÓÖ ÓÒØÛÓÖÔ Ò ÓÑ ÔÖÓØÓÒ Ú ÖÚ Ð Ø ØÙ Ö Òº Å Ø Ã Ñ Ó Ò ÁÁ Û Ö ÓÔ ¾ ÖÙ Ö ½ Ò Ð Ø ½¾ ÓÒ Ò Ò ØÓØ Ð Ú Ò ½¾ Ò ÙØÖ ÒÓ ÒØ Ö Ø Ö ØÖ Ö º Þ Ñ Ø Ò Ú Ð Ñ Ò Ñ Ø ÜÔÐÓ Ú Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ËÆ½ ÓÔ ÓÒ Ú Ö ½ ¼º¼¼¼ Ð Ø Ö Ú Ò Ö ØÓÒ º Ê Ð Ò ÖÚÓÓÖ Ò ØÖÓ Ý Ö Ò Ø Ò Ö Ð ÜÔÐÓ ÒÒ Ò Ò ÒØ Ð ÓÒ Ò Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½¼ 46 Â ÞÓÙ ÚÖ ÓÑ Òº À ÖÚ Ò ÞÓÙ ÓÒ Ú Ö ± ÚÖ ÓÑ Ò Ò ÚÓÖÑ Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ø Ð Ð Ò ÞÓÙ Ò ÛÓÖ Ò Ø ÖÛ Ð ÚÓÓÖ Ø Ô Ø ÙÐ Ö Þ Ø Ö ÚÙÙÖÛ Ö Ò Ò Ø Ò Ö Ú Ò Ö Ø ÒØ Ò Ø Ò ÓÓ Ø Ò ÔÖÓ ÒØ Ú Ò Ò Ö Ø Ö Ò ÞÓÙ Ø Òº Ã Ñ Ó Ò ÁÁ Ø ØÓÖ Ò Ø Ø ÒØ Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò Ø ØÓÒ Ò Ú Ö Ø ν e + p e + + n ½½µ Ò ÔÖÓØÓÒ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Û Ø Öº ÔÖÓØÓÒ Ò ÓÒ Ò Þ Ò Ò ÞÙÙÖ ØÓ ÙÒÒ Ò Ö Ú ÖÛ ÖÐÓÓ ÛÓÖ Ò ÓÑ Ø Þ Ò Ø Û Þ ÒÐ ØÓØ ØÓØ Ð Ø Ð Ò Ð Ö Òº Ò Ö Ò Ö Ø Ò Ú Ò ÔÓ ØÖÓÒ Ò Ò Ñ Ø Ø ØÓÖ Ô Ð ÛÓÖ Ò Ù Ø Ö Ø Ò Ò ÒØ Ò Ø Ø Ú Ò ÓÓÖ ÔÓ ØÖÓÒ Ò ÓÔ Û Ø Ö Ò ÓÚ ØÖ Ð Ò µº Ø Ú Ñ Ú Ò Ø ØÓÖ ¾½¼¼ ØÓÒ Û Ø Ö ½ ØÓÒ ½¼¼¼ µº Ø ÓÖ Ø Û Ö Þ Ñ ÓÓÖ Ò ÚÓÓÖ Þ Ö Ø Ò Ö Ò Ð Ò Ò Ö ÓÔØÖ Ò Ò Ö Ò Ù Ø ÚÓÐ Ò Ö Ð Ø Ð ÛÓÖ Ò ( ) E in MeV 2 σ = m 2, ½¾µ 10 MeV Û Ö Ò Ö Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ E Ð Ø Ð Ò ÛÓÖ Ò Ò Ò Ö Ú Ò ÔÓ ØÖÓÒ Òº ½¾ Ö ØÖ Ö Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ò Ò Ø ÛÓ Ò Ñ Ð Ò Ò Ö < E ν > ½¾ Å Î Ò (< E ν >) 1/2 ½¼ Å Îº µ Ï Ø Ø ØÓØ Ð ÒØ Ð Ò ÙØÖ ÒÓ³ Ø ÚÖ Û Ñ ÜÔÐÓ Ú Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ÖÚ Ò Ù Ø Ø Þ Ò ÙØÖ ÒÓ ÓÓÖØ Ò ν e ν e ν µ ν µ ν τ Ò ν τ Û ÖÚ Ò Ò Ð Ø ν e Ñ Ø Ã Ñ Ó Ò ÁÁ Ø ØÓÖ Ò ØÓÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ñ Ø Ú Ö Ð Ö Ò Ö Ò Ò Ò Ú Ö Ð Ö Ó Ú Ð Ò ÔÖÓ Ù Ö Û Ö Òº µ ÀÓ ÖÓÓØ ØÓØ Ð Ò ÚÓÖÑ Ú Ò Ò ÙØÖ ÒÓ³ ÚÖ ÓÑ Ò Ò Ö Ò ÜÔÐÓ Ú Ò ËÆ½ Î Ö Ð Ø Ñ Ø Ø ÓÖ Ø ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ò ÚÓÖÑ Ò ÓÓÖ Ð ÓÚ Ö ÓÚ Ö Ò¹ Ø ÑÑ Ò º µ À Ø Ö Ø Ñ Ø Ò ν e Ò Ò Ö Ú Ò ¾¼ ¼ Å Îº À Ø Ð Ø Ø Ñ Ø Ò Ò ÙØÖ ÒÓ Û Ñ ½¾ ÓÒ Ð Ø Ö Ò Ò Ò Ö Ú Ò Å Îº Ï Ð Ð Ñ Ø ÛÓÖ Ø ÖÑ ÓÔ Ñ Ú Ò Ø

217 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾½ Ò ÙØÖ ÒÓ ÔÐ Ø Ø Æ Ñ Ö Ò Ø ÙÔ ÖÒÓÚ ÜÔÐÓ Ñ Ò Ø Ò ½¼ Ò ÓÓ Ø Ò ¾¼ ÙÙÖ Øº Ò Ö Ò y = (1 (x/c) 2 ) 1/2 1 + x 2 /2C ÚÓÓÖ x C Ò Ö ÒÙØØ Þ Òº ÇÔ Ú Ö Ð Ø n = 3 Ò Û Ò ÓÑÔ Ø Ù Ø ÖÙ Ò y i = a r i x r Û Ö Û ÖÙ Ñ Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ º µ Ë Ö ÜÔÐ Ø Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔ ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ø Ð ÓÓÖ Ù Ø ÖÙ Ò y i = a r i x rº µ Î Ö Ð Ö Û ÖÓÑ Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ð a ii x i ÞÓÒ Ö Ò Ø Ò º µ ÖÙ ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÑ a 11 b 11 + a 21 b 12 + a 31 b 13 + a 41 b 14 ½ µ ÓÑÔ Ø Û Ö Ø Ú Ò Ò ÓÓ Ò Û Ö ØÓ Ò nµº µ Á Ñ ÚÓÓÖ a 11 b 11 + a 12 b 12 + a 13 b 13 + a 14 b 14 + a 15 b 15. ½ µ µ Á Ñ ÚÓÓÖ c 1 i1 + c2 i2 + c3 i3 + c4 i4 + c5 i5 + c6 i6 + c7 i7 + c8 i8. ½ µ ÇÔ Ú Ð a ij ÓÒ Ø ÒØ Ò Þ Ò Ö Ò Ò Ô ÖØ Ð Ð Ò x k (a ijx i x j ). ½ µ À ÒØ Ø ÒØÛÓÓÖ x k (a ij x i x j ) = a ki x i + a ik x i = (a ik + a ki )x i º ÇÔ Ú Ï Ò ÒÙ Û Ø Ð Ò Ö Ð Ö Ñ Ø Ø Ò ÓÖ Òº µ ÌÓÓÒ Ò Ø Ð Ø (x 1,x 2,x 3 ) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3 = a ij x i x j. ½ µ µ Ë Ö Û Ö Ø ÚÓÖÑ 3x 2 + y 2 2z 2 5xy 6yz = 10 ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Üº µ ÁÒ Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÛÓÖ Ø Ø Ò d( x, y) ØÙ Ò ÔÙÒØ Ò Ñ Ø ÔÐ Ø Ú ¹ ØÓÖ Ò x Ò y Ú Ò ÓÓÖ d( x, y) = x y = ( x y) T ( x y). ½ µ Ï ÚÓ Ö Ò Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø x = A x Ó x = B x Ñ Ø B = A 1 Ù Øº Ï Ø ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ Ø Ò d( x, y ) Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ý Ø Ñ À ÒØ Ø ÒØÛÓÓÖ d( x, y) = ( x y ) T G( x y ) = d( x, y ) Ñ Ø G B T B = (A 1 ) T A 1 = (A T ) 1 A 1 = (AA T ) 1 º ½ µ

218 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾½ ÇÈ Î Æ Ï Ã Æ Ñ ÇÔ Ú ½ Ï Ð Ú Ò ÓÒ Ö Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò Þ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ø ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ Ò Û Ð Ò Øº ÐØ Ö Ò ÚÓÓÖ ÙÛ ÙÞ º Ä Ø Ù Ò Ø Ò ÓÓÖ ÙÞ ÚÓÓÖ ÝÑ ÓÐ Òº ½º g αβ dx α dx β = g αβ dx α dx γ ¾º g αβ a α b β = g βγ a β b γ º g αβ a α b β = g αβ a α c β º T α αγ aγ = g αβ a α b β º T α βγ aα c β c γ = b α º x α / x β = δ α β º g αβ / x γ = 0 º g αβ x α x γ x β x δ = g γδ x γ x α º g αβ aα b β = g αβ a α b β ½¼º a α (g βγ b β b γ ) = b γ x δ x β ½½º T α αβ = T β ββ ½¾º g αβ = η βα ÇÔ Ú ¾ Þ ÓÔ Ú Ó Ð ÓÑ Ù Ø Ø Ú Ò Ò Ó Ù ÓÔ ÓÖÖ Ø Û Þ Ò Ò Ö ÓÚ Ò Ó Ò Ò ÙÒØ Ð Òº Ï ÓÙÛ Ò ØÛ Ñ Ò Û Ö Ò A B ººº Û Ö Ò ½ Ó ¾ ÙÒÒ Ò ÒÒ Ñ Òº Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ g AB = Ñ Ø F Ò ÓÒ Ø ÒØ º ÓÙÛ Ú ØÓÖ Ò ( F ), ¾¼µ a A = (1,0), b A = (0,1), c A = (1,0), d A = (0,1). ¾½µ µ Ô Ð ÒÚ Ö Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ g AB º µ Ô Ð a A b A c A d A a b a c Ò a dº ÇÔ Ú ÁÒ Þ ÓÔ Ú Ò Û Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø ØÙ Ö Ò ÚÓÓÖ ØÓ Ð Ø Ò Þ Ø º ÓÔ Ð Þ ¼µº µ Ö Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Þ Ú Ö Ð Ò µ ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø (x,y) (ξ,η) Ñ Ø ξ = x Ò η = 1º µ Ö Ò Ó Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Þ Ú Ö Ð Ò µµ Ò Ð Ø Þ Ò Ø ÚÓÓÖ ÓÚ Ò Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑ Ð Ø J = 0º µ À Ø Ð Ò Ö Ø Ò Ð Ò Ò ÓÔ Ò Ò Ø ÓÑØ Û ÙÒ ØÓØ Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ø Ó Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø J 0º

219 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾½ Ò ÚÓÐ Ò Ó Ö Ò Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ð Ò Ò Ö Ò Ó Ò Ò Ú ÖÑ Ð ÔÙÒØ Ò Û ÖÚÓÓÖ Ð Ò Ò Ð Òº ½º ξ = (x 2 + y 2 ) 1 2 η = arctan( y x ) ¾º ξ = ln x η = y º ξ = arctan( y x ) η = (x2 + y 2 ) 1 2 º ÇÔ Ú Ì Ò ÚÓÐ Ò ÙÖÚ Òº Ï Ð Ò ØÞ Ð Ô Ô Ð ÓÓ ÙÒ Ö Ú ¹ ØÓÖ Ò Û Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ò ÒÙÐº µ x = sin λ y = cos λ µ x = cos (2πt 2 ) y = sin(2πt 2 + π) µ x = s y = s + 4 µ x = s 2 y = (s 2)(s + 2) µ x = µ y = 1º ÇÔ Ú Ö Ð Ø ØÙ Ò ÖØ (x,y) Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò (r,θ) ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ r = x 2 + y 2 Ò θ = arctan( y x ) Ò ÒÚ Ö Ö Ð Ø x = r cos θ Ò y = r sin θº µ Ö Ò ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Λ α β Ò Λµ ν ÚÓÓÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÖØ Ø Ø Ð Ð ÞÓÒ Ö ÒØµ Ò Ö ÔÓÐ Ö Ñ Ø ÒØ Ò ÓÔ Ò µ Ó Ö Ò Ø Òº µ ËØ Ð f = x 2 + y 2 + 2xy Ò Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò V (x 2 + 3y,y 2 + 3x) W (1,1)º Ö Ò f Ð ÙÒØ Ú Ò r Ò θ Ò Ô Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò V Ò W ÚÓÓÖ ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Þ Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ð ÙÒØ Ú Ò r Ò θº µ Ô Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò df Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ú Ö Ö Þ Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò ÓÓÖ µ Ö Ø Ö Ò Ò Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò Ò µ ÓÓÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò Ú Ò ÖØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº µ ÖÙ Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò ÔÓÓÐÓ Ö Ò Ø Ò ÓÑ ÔÓÐ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò ½¹ÚÓÖÑ Ò Ṽ Ò W Ó Ö Ñ Ø V Ò W Ø Ú Ò Òº µ Ô Ð ÔÓÐ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ṽ Ò W ÓÓÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÖØ ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ Òº

220 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾¼ ÇÈ Î Æ Ï Ã Ò Æ Ñ ÇÔ Ú ½ Ò ÚÖ ÐØ Û Ø Ñ Ø Ò Ð v Ð Ò Ý¹ ÞÓ Ð Þ Ò Ò Ò Þ Ö ÐÓÖ ÒØÞ Ø Ð Ðº ÇÔ Ø t = 0 Þ Ò Ú ÒÙ Ø Ø ÐÓÖ ÒØÞ Ø Ð Ð Ø ÐØ Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ º µ Í ÙÒØ ÒÒ Ñ Ò Ø Ò Ð v Ú Ò Ø ÐØ ÓÒ Ø ÒØ º Ï ÖÓÑ µ Ö Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÐØ Ð ÙÒØ Ú Ò ÒØ τ Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ø ¹ Ð Ø Ø ÓÖÑÙÐ º µ Ö Ò ÒÓ Ñ Ð ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÐØ Ð ÙÒØ Ú Ò ÒØ Ñ Ö ÒÙ Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø º µ ÖÙ ÙÛ ÒØÛÓÓÖ Ù Ø µ Ó µ ÓÑ Ú Ö Ò Ð u µ Ú Ò Ø ÐØ Ø Ö Ò Òº Ä Ø Þ Ò Ø Ð Ø η µν u µ u ν = c 2 º ÇÔ Ú ¾ Î Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ú Ò Ä Ö Ò ÙÒÒ Ò Û ÒØÓÒ Ò Ø Ø ÓÖØ Ø Ô ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ Ò Ò Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ò Ö Ø Ð Ò Ø ÓÔ Ø ÓÐÐ ÚÓÓÖ Ö Ò º Ï ÚÖ Ò ÓÒ Ò Þ ÓÔ Ú Ó Ø Ò ÐÓÓ Ð Ø Ò Ò Ñ Ò ÓÛ ÖÙ ÑØ Ø º Ç Ø Û Ð Ø ÓÖØ Ø Ô ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÓÓ Ò Ö Ø Ð Ò µ Ä Ø Þ Ò Ø Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ ÚÓÐ Ò ÒØ Ö Ð ( S = ( ) dt dx ( ) dy 2 + dx ( dz 2 )) dx. ¾¾µ dx µ Ã Ò ÐÓÖ ÒØÞ Ø Ð Ð Û Ö Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓÔ ØÞ Ð Ø Ø Ôº ÖÙ ÖÒ ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÓÑ Ò Ø ØÓÒ Ò Ø S Ñ Ò Ñ Ð Û ÒÒ Ö Ø Ô ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ò Ö Ø Ð Ò º µ ÓÒÐÙ Ù Ø ÓÔ Ú µ Ø ÚÓÓÖ Þ Ô Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ö Ð Ø Ø Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Ò Ö Ø Ð Ò º Ö ÙÑ ÒØ Ö ÞÓÒ Ö ÓÔÒ ÙÛ ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÓÔ Ø ÐÓ Ò Ø Þ Ð ÓÒÐÙ ÓÓ ÑÓ Ø Ð Ò ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ñ Ò ÓÛ Ø Ð Ð º ÇÔ Ú ÁÒ ËØ Ò ÓÖ Ð ÓÖÒ Ø Ø Ò Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ñ ËÄ ËØ Ò ÓÖ Ä Ò Ö Ð ØÓÖ ÒØ Öµ ÌÛÓ¹Ñ Ð Ð ØÓÖº Ø Ò Ò ØÖÙÑ ÒØ Ú Ò ÓÒ Ú Ö ¾ Ñ Ð Ð Ò Û Ö Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ Ð ØÖ Ú Ð E Ò Ö Ø Ø Ø Ö ÒÓ ÓÑ Ð ØÖÓÒ Ò Ú ÒÙ Ø ÖÙ Ø Ø Ó Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò ØÓØ Þ Ò Ò Ö E Ò Ú Ò ¼ Î ÞÓ Ð Ñ Ø Ò Ò Ø ÖÙ Ø Ø Ð Ð Ú Ò Ø ÔÔ Ö Øµº Ï Ò Ñ Ò Ò Ø Ø ÖÙ ÑØ Ð Ð Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ø ÑÔÙÐ p ÚÓÐ Ó Ø Ò ÚÓÐ Ò Û Ò Ú Ö Ð Ò d p dt = e E, ¾ µ Û Ö Ò t Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò Ò Ø ÖÙ Ø Ø Ð Ð Ú Ò Ô Ô Ò e Ð ØÖ Ð Ò Ú Ò Ø Ð ØÖÓÒ Ö ÓÓÖ e E Ò Ø Ò Ö Ò Ö Ø F ÓÔ Ø Ð ØÖÓÒµº µ Æ Ñ Ò Ø Ø Ð ØÖÓÒ Ø ÖØ Ú ÒÙ Ø ÖÙ Ø Ò Ò ÒØ Ú Ò Ø ÔÔ Ö Ø Ò Ø Ø Ð ØÖ Ú Ð Ð Ò x¹ º ÖÙ Û Ò Ú Ö Ð Ò ÓÑ Ù Ø Ø Ö Ò Ò Û Ø ÔÓ Ø x Ú Ò Ø Ð ØÖÓÒ Ð ÙÒØ Ú Ò Ø tº À ÒØ Ö Ò Ö Ø v(t) Û ÒÒ Ö Þ ÚÓÒ Ò ÒØ Ö Ö Þ ÓÑ x(t) Ø Ú Ò Òº Í ÓÙ Ø Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ ÓÚ Ö Þ ÞÓ Ò Ø Ð Ø Ø Ø Ð ØÖÓÒ Ò ÔÓ Ø x = 0 Ø ÓÔ Ø Ø Ô t = 0º

221 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾½ µ Ä Ø Þ Ò Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø ÔÔ Ö Ø Ò Ø Ò ÐÐ Ö ÙÒÒ Ò Ò Ò Ø Ð Øº ÇÔÑ Ö Ò Ú ÓÔ Ú ÚÓÐ Ø ÖÙ Ø Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ø Ò ÐÐ Ö ÙÒÒ Ò Ò Ò Ø Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Û ÖÒ Ñ Öºµ µ Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÓÓÖ ÒÛ Þ Ú Ò Ø Ð ØÖ Ú Ð E Ò Û ÒÒ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ò Ö ÞÓ Ð Þ Ò Ú ÒÙ Ø Ø ÔÔ Ö Øº Ë Ö Ù Ø ÖÙ Ò ÓÔ ÚÓÓÖ Þ Ò Ö Ð ÙÒØ Ú Ò Ø tº Ë Ö ÓÓ Ò Ö ÓÔ Þ Ò Ú ÒÙ Ø Ø Ð ØÖÓÒº µ Ð Ò Ø Ú Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ö ØÛ Ñ Ðº ÖÙ ÙÛ ÒØÛÓÓÖ Ò Ù Ø µ Ò µ ÓÑ Ø Ô Ð Ò Ó ÖÓÓØ Ø Ð ØÖ Ú Ð ÑÓ Ø Þ Ò ÓÔ Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ò Ö Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø ÔÔ Ö Øµ Ú Ò E = 40 Î Ò Û ÒÒ Ö Þ Ò Ò Ö ÒØ Ú Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ù Ø ÓÑ Ò ÓÔÑ Ö Ò Û ØØ Ò Ú Ò Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ø Ö Ò Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ø Ò Ö Ú ÖÐ Þ Ò Ø Ò ÚÓÐ Ú Ò ÙÒ Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ø Ø Ñ Ù Ú ÖÛ ÖÐÓÞ Òµº µ Ï Ð Ò Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø ÔÔ Ö Ø Ò Ð ØÖÓÒ Ò Û ÒÒ Ö Þ Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ù Ø ÓÑ Ò ÇÔ Ú ÁÒ Ø ÓÐÐ Ö Ð ÚÓÓÖ Ø ÓÔØ ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ð Ò Ð Û ÒÒ Ö ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÐÓÖ ÒØÞ Ø Ð Ð Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ñ Ø Ò Ð v Ò x Ö Ø Ò Ò Ò Ò Ò Ö Ò Ð Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ÚÐ Ò ÐØ Ò Ð Ò ÚÓÐ Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ò Ð Ò u Ò u Ú Ò Ø ÐØ ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Û Ö Ò u x = u x + v 1 + uxv c 2, u y = 1 γ u z = 1 γ u y, 1 + vux c 2 u z, 1 + vux c 2 1 γ = 1 ( ). v 2 c µ Û Þ ÓÖÑÙÐ Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø º µ Ä Ø Þ Ò Ø Ð Ò Ú Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Û ÖÒ Ñ Ö Û Ò Ù Ò ÞÓÒ Ö ÒØ µ Ø ÐØ Þ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ò Ð u Ð Ö Ò Ð Ø Ò Ð c Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø ÒØ µ ÓÓ Ò Ò Ð u Þ Ð Ñ Ø Ò Ð Ò Ö Ò cº Æ Ñ Ö Ò Ø ÞÓÒ¹ ÖÑ Ö Ò Ø Ø ÐØ Ò x Ö Ø Ò Û Øº µ Þ Ð ÓÔ Ú Ð µ Ñ Ö Þ Ö ÚÓÓÖ Ò Ð Ò u ÖÓØ Ö Ò c Ó Ø Û Ð Ð Ø Þ Ò Ø Ð ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø u > c Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ò Ð Ø u > 0º ÇÔ Ú Þ ÓÔ Ú Ø ÓÚ Ö Ò Ú Ò ÖÓ Ñ Ô Ö ÓÜ Ò Ù Ø Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø¹ Ø ÓÖ º Ó Ð Ò Ø ØÓÒ Ò Ø Û ÒÒ Ö Ò Ø Ò ÓÒ ÕÙ ÒØ Û Ö Ø ÛÓÖ Ø Ö Ò Ø Ò¹ ØÖ Ò Ð Ò Ø Ø Òº Ï ÓÙÛ Ò Ò Þ ÓÔ Ú Ò Ó Ö Ò Ð Ö Ö Û Ð ÓÔ Ö Ò Ñ Ö ÓÔ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÙ Ø Ø Þ Ò Ð Ö Ð Ò Ö Ò Þ Ò ÙÙÖº Ó Ö ÐÙ Ø Ð Ö Ø Ò Ö ÒÒ Ò Ñ Ø Þ Ò Ð Ö ÓÑ Ø Ù Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ö Ô Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Þ Ò ÚÖÓÙÛ Þ Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ø ÙÙÖ Ð Ö Ú Ö ÓÖØ Þ Ð Ð Òº Ð Ñ Ö Ö ÒÓ Ö ÒØ Ö Ò ÖØ ÓÒ ÖÚ Ò Ø Ð Ö Ò ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ò Þ Ð Ð Ö Û Ð Ð Ò Ø Ò ÙÙÖ Ô Òº Ø Ö ÓÒ Ö Ø Ö ÒÒ Ò Ñ Ö Ø Ø ÚÓÓÖ Ñ Ù Ø ÙÙÖ ÓÖØ Ö

222 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾¾ ÛÓÖ Ò Ð Ö Ô Ø Ö ÒÙ Ð Ð Ñ Ð Ò Ø Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÜ Ò ÓÓ ÚÓÐ Ò Ó Ö Ò Ð ÑØ Ø Ð Ö Û Ð Ð Ò ÙÙÖ Ô Ø Ò Ø Ð ÖØ Ð ÑØ Ó Ö Ø Ð Ö Ò Ø Ô Øº ÃÙÒÒ Ò Þ Ò Ð Ò Ó Ö ÔÖ Ú Ò Ò Ø Ò ØÖ Ï Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÚÓÓÖ Ø Ð Ö Ð ÑÔ Ø ÓÔ ÚÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØ Ò ÓÙÛ Ò ÚÓÐ Ò ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Ð ÑÔ Ú Ò Ò Ø ÓÔ ØÞ Ð ÑÓÑ ÒØ ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ Ó Ö Òº À Ø ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ú Ò Ó Ö Ò ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ù Ò Ñ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò ÞÓÒ Ö ÒØ Ò Ø ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ú Ò Ó Ö ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ù Ò Ñ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò Ñ Ø ÒØ º µ Ë Ö Ú ÖÚ ØÓÖ Ò dx µ Ö Ô Ø Ú Ð dx µ ÓÔ Ø Ú Ö Ð Ò Ø Ò Ø Ò Ò Ú Ò ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ Ó Ö Ò Ö Ô Ø Ú Ð Ó Öº ÆÓ Ñ Ö Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ö L Ö Ô Ø Ú Ð L º Æ Ñ Ö Ò Ø Ò ÙÒ Ò Ø Ð Ð ÞÓ Ò ÓÞ Ò Ø Ó Ö Ò x¹ö Ø Ò Ò Ø Ö ÒÒ Ò º Ä Ø ÓÔ Ñ Ø Ú Ò Ò ÓÖÑ Ø Ò ÒÓ Ò Ø Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ú ÖÚ ØÓÖ Ò Ò Û Ö ØÓ Ò ÛÓÖ Òº Ä Ø Þ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒ Ô Ð º µ Ë Ö ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÔ ØÙ Ò ØÛ Ú ÖÚ ØÓÖ Òº Æ Ñ Ö Ò Ø Ó Ö Ö ÒØ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð v Ò x Ö Ø Ò º ÀÓ Þ Ò Ð Ò Ø L Ò L Ò Ð Ö Ö Ð Ø Ö µ Ô Ð Ù Ø ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò Ø Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Òº Ä Ø Þ Ò Ø Þ Ò Ø Ð Ò ÒÙÐ ÚÓÓÖ Ó Ö ÓÓ Ð Þ Ø Û Ð ÚÓÓÖ Ó Ö Òº À Ø Ø Ø Ó Ö Ò Ø Ú Ö Ð ÓÒ Ð ÒÙÐ Þ Ø ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò ÖÒ Ú Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ô Ö ÓÜº À Ø Ø ÒØ Ý Ø ÚÓÐ Ò Ú ÒÙ Ø Þ Ò Ø Ð Ð Þ Ò Ø Ó Ö Ò ÚÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØ Ú Ò Ð Ö Ò Ø ÓÔ ØÞ Ð ÑÓÑ ÒØ Ö ¹ ØÖ Ö Ò Ð Ù Ó Ö Ö ÖÙ ÑØ Ð Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ ÙÖØ Ò Ò Ò Ø Ù Ø Ð Ò Ø Ú Ò Ð Öº ÁÑÑ Ö ÞÓ Ö Ò ÖØ Ò Ø ÓÓÖ Ù Ù Ø Ö Ò Ò µµ Þ Ø Ð Ò Ø Û Ø ØÙ Ò Ö ØÖ Ø Ú Ò ÚÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØ Ú Ò Ð Ö Û Ð Ò ØÙ Ú Ö Ö Ö Ò Ñ Ø Ò Ð v Ù Ø Ö Ö ÓÑØ Ö Ò Ò Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ö Ù Ø Ø ÓÖØ À ÓÔÔ ÖØ ÖÓÑ Ø Þ ÑÓ Ø ÓÖÖ Ö Ò ÚÓÓÖ Ø Ø Ø Þ Ø Ð Ò Û Ø Ø ÓÑ ÚÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØ Ø Ö Ø Ö Òº µ Ï Ø Ø Ò Ó Ö ÓÔÔ ÖØ Ø Þ Ò ÚÖÓÙÛ ÞÓÙ ÑÓ Ø Ò ÓÔØ ÐÐ Ò Ö ÚÓÒ Ò Ð Ò Ø µ Ï Ø Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ö ÞÓ Ð Ó Ö Ò Ø Ø Þ Ò ÚÖÓÙÛ Ø Þ Ò Ñ Ø Ò Ò Ó ÓÚ Ö Þ ÚÖ Ò Ò ÓÚ ÖØÙ ÙÞ Ð Ø Ù Þ Ò Ø Ð Ø ÒØÛÓÓÖ Ò ÓÔ Ú µ µº µ À Ø Ð Ò Ø Ù Ø ÓÔ Ú µ Ø Ó Ö Ò Ø Ø Þ Ò ÚÖÓÙÛ ÓÖÖ Ø Ú Ò ÓÔ Ú µ ÞÓÙ ÑÓ Ø Ò ÓÔØ ÐÐ Òº Ó Þ ÓÖÖ Ø Ò Ö ÙÑ ÒØ Ö Ø Ô Ö ÓÜ ÒÙ ÓÔ ÐÓ Øº

223 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾ ÇÈ Î Æ Ï Ã Æ Ñ ÇÔ Ú ½ ËØ Ð ÚÓÓÖ Ø Û Ð Ú Ò ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ò ÓÐº Ï ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÖÙ ¹ Ð Ö Ó Ö Ò Ø Ò (r,θ,φ) Ò Ð Ø Ò (ê r,ê θ,ê φ ) ÖÙ Ð Ø ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ö Ú ØÓÖ Ò Þ Òº À Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò ÛÓÖ Ø Ò Ú Ò ÓÓÖ d s = dr ê r + rdθ ê θ + r sinθdφ ê φ. ¾ µ Ï Ô Ö Ò ÓÒ ÒÙ ØÓØ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò ÓÐ Ò Ð Ò ÓÒ Ø r = constant ÓÔº Ï Þ Ò Ó Ö Ò Ø Ò (x 1,x 2 ) = (θ,φ) ÓÔ Ø ÓÐÓÔÔ ÖÚÐ º À Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò ÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ Ú ØÓÖ Ò Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð d s = dθ e θ + dφ e φ, met e θ = rê θ, e φ = r sinθ ê φ. ¾ µ Å Ø Þ Ò Ø ÛÓÖ Ø Ø Û Ö Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ò ÓÓÖ ds 2 = (rdθ) 2 + (r sin θdφ) 2. ¾ µ µ ÁÒ Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ö Ó Ö Ò Ø Ò (r,θ,φ) ÙÒÒ Ò Û ÔÓ Ø Ú ØÓÖ Ö Ú Ò Ð r = r sin θ cos φ i + r sin θ sin φ j + r cos θ k. ¾ µ Ö Ò ØÙÙÖÐ Ú ØÓÖ Ò ÛÓÖ Ò Ú Ò ÓÓÖ e r = r/ r e θ = r/ θ Ò e φ = r/ φº Ô Ð Þ Ú ØÓÖ Ò Ò Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ú ØÓÖº Å Ö ÓÔ Ø Ò Ø ÚÓÐ Ò ÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ò ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ e θ Ò e φ Ö Ð Ú ÒØ Þ Òº µ Ô Ð Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ò Ö ÒÚ Ö º µ Ö Ò ÐÐ Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Γ k ij Û Ö Ò ÐÓÔ Ò ÓÚ Ö Ú ÖÞ Ñ Ð Ò (θ,φ)º µ ÀÓ Ú Ð ÓÒ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø Ê Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ ÖÙ Ö ÝÑÑ ØÖ ¹ Ò ÔÔ Ò Ú Ò Ø Ó Øº µ Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ê Ñ ÒÒØ Ò ÓÖº µ Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ê Ø Ò ÓÖº µ Ö Ò Ð Ö ÖÓÑÑ Ò Ê ÖÓÑÑ Ò µº µ Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ø ÒØ Ò ÓÖ ÓÔ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò ÓÐº ÇÔ Ú ¾ ÁÒ Þ ÓÔ Ú Ø Ø Ò Û ÓÒÞ ÒÒ Ú Ò Ø Ö Ò Ò Ú Ò ÓÚ Ö ÒØ Ð Òº Ï ÖÙ Ò ÓÑ ØÖ Ú Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ò ØÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐ ds 2 = a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ), ¾ µ Ò Ò Ú ØÓÖ V Ñ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò V A = (0,1)º Ö Ò Ú Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò A v B Ò Ö Ò Ò ØÛ ÖÓÓØ Ò θ φ v θ Ò φ θ v θ Ò ÓÒ ÖÞÓ Ó Þ ÓÚ Ö ÒØ Ð Ò ÓÑÑÙØ Ö Òº ÇÔ Ú Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú Ö ÒØ ÚÓÓÖ Ö Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ º À ÒØ ÚÓÓÖ ÓÚ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ Ú Ò Ú ØÓÖ V Ð Ø V Ò ÚÓÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÖÚ Ò V i ;i º Ð Þ ½½½ Ú Ò Ø Ø Ø ÚÓÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ð º

224 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾ ÇÔ Ú Ò Ò Ú Ò ÓÒ Ö Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö ØÓ Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ô ÖØ Ð Ð Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ø Ò ÓÖ g Γ γ βµ = 1 2 gαγ (g αβ,µ + g αµ,β g βµ,α ). ¾ µ ÐÐ ÓÒØ Ö Ò Ø ÔÔ Ò ØÙ Ò Ú Ö Ð Ò Ò ¾ µ Ò ¼ µ Ú Ò Ø Ø Øº ÇÔ Ú Û Ú Ö Ð Ò µ Ò Ø Ø Ø U U ξ = R(, U, ξ, U), ¼µ Ñ Ø R ÖÓÑÑ Ò Ø Ò ÓÖ Ú Ò Ê Ñ ÒÒ Ò U Ú Ö Ò Ð ÓÓÖ Ù Ø Ø Ò Ú Ò Ò Ø Ú Ò Ê Ñ ÒÒØ Ò ÓÖ Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ A α;µν A α;νµ = [ µ, ν ]A α R β αµν A β, ½µ Ñ Ø A α ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Û ÐÐ ÙÖ ½¹ÚÓÖÑº Ø Ò Ù Ø Ò ÓÔ Ú ºµ

225 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾ ÇÈ Î Æ Ï Ã Æ Ñ ÇÔ Ú ½ Ö Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ú Ò Ò ÓØÓÒ Ñ Ø Ú Ò Ö ÕÙ ÒØ ν Ø Ù Ø ÞÓÒ Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò ÞÓÒ Ñ Ò ØÖ Ð Ñµº ÇÔ Ú ¾ Ï Û ÐÐ Ò Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ø Ù Ø Ò Ò Ø Ø Ñ Ó Ø ÚÓÓÖ Ð Ò Ø Öµ Ñ Ø Ñ Mº Ï Ñ Ò ÖÙ Ú Ò ÝÑ¹ Ñ ØÖ Ò Ò Ñ Ò Ò Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ ds 2 = A(r)dt 2 + B(r) + r 2 (dθ 2 sin 2 θdφ 2 ). ¾µ µ Ï Ð Û Ö Ò Ò Ñ Ò A Ò B Ò Ò Ð Ñ Ø r Ð Û Ò ÝÑÔØÓØ ÚÐ ÓÔÐÓ Ò Û ÐÐ Ò Ú Ö Ö Ò µ Ö Ò ÓÒÒ Ø Γ µ νρ Ò ÖÓÓØ Ð Ú Ò Þ ÓÒÒ Ø Ó ÒØ Ò Ð Ò ÒÙÐµº µ ÖÙ Ò Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò R µν = 0 ÚÓÓÖ Ø Ú Ù Ñ Ù Ø Ò Ø Ñ Ú Ó Ø ÓÑ Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ A(r) Ò B(r) Ø Ú Ò Òº µ Ä Ø Þ Ò Ø ÓÑ Ò Ö Ò Ú Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÒ Ò Ò ÚÖ µ Ð Ø ØÓØ A (r)b(r) + B (r)a(r) = 0 Ò Ù A(r)B(r) = constº ÖÙ Ø Ö ÙÐØ Ø Ú Ò ÚÖ µ ÓÑ Þ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ô Ð Òº Ä Ø Þ Ò Ø d2 (ra(r) = 0 Ò ÐÓ Ø ÓÔ À ÒØ Ø Ð Ú ÖØ A(r) = (1 r dr 2 S /r) Ñ Ø r S Ò ÓÒ Ø ÒØ º Ä Ø Þ Ò Ø r S = 2GM/c 2 ÓÓÖ Ø Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Æ ÛØÓÒ Ò Ð Ñ Øµº ÇÔ Þ Ñ Ò Ö Ò Û ÞÓ Ò Ñ Ë Û ÖÞ Ð ÓÔÐÓ Ò ÚÓÒ Ò Ú Ð Ð Ò Ö ØÓ Ô Ò Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ú Ø ØÖÓ Ý º ÇÔ Ú ÁÒ Þ ÓÔ Ú ÓÙÛ Ò Û ÓÙ Ò ÖÓÓØ Òº Ó Ø ÒÚ Ö Ð Ò U U = 0 Ò ÓÑ Ø ÓÓ τ/m Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ó Ø ÙÒÒ Ò Û Þ Ú Ö ¹ Ð Ò ÓÓ Ö Ú Ò Ð p p = 0 p α p β;α = 0 p α p β,α Γ γ βα pα p γ = 0 m dp β dτ = Γγ βα pα p γ. Ø ÖÑ Ö Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ø Ð Ø Ò Ö Ð Ø ÒÚÓÙ Ö Ð Ø Γ γ αβ pα p γ = 1 2 gγν (g νβ,α + g να,β g αβ,ν )p α p γ = 1 2 (g νβ,α + g να,β g αβ,ν )g γν p γ p α = 1 2 (g νβ,α + g να,β g αβ,ν )p ν p α. µ µ À Ø ÔÖÓ ÙØ p ν p α ÝÑÑ ØÖ Ò ν Ò α Ø ÖÛ Ð Ö Ø Ò Ö Ø ÖÑ ÒÒ Ò Ñ Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Þ Ò Ò ν Ò αº Þ ÑÓ Ø Ò ÖÓÑ Ø Ò Ð Ö Û Ú ÐÐ Ò Û Ö ÓÓÖ ÐÐ Ò Ñ Ð Ø Ø ÖÑ ÓÚ Ö Ð Ø Γ γ αβ pα p γ = 1 2 g να,βp ν p α. µ Ò ÚÓÐÐ Ð Ñ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ó Ø Ù ÓÓ m dp β dτ = 1 2 g να,βp ν p α. µ Ø Ð Ú ÖØ Ø Ð Ò Ö Ö ÙÐØ Ø Ð ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò g αν ÓÒ Ò Ð Ð Þ Ò Ú Ò x β ÚÓÓÖ Ò Ô Ð Ò Ü β Ò p β ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò Ò Ú Ò Ø ÐØ º ÓÙÛ ÚÓÐ Ò Ñ ØÖ Ò Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ

226 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾ ½º ds 2 = dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 ¾º ds 2 = (1 2M/r)dt 2 + (1 2M/r) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 sin 2 θdφ 2 ) Ñ Ø M Ò ÓÒ Ø ÒØ º ds 2 = a2 sin 2 θ ρ dt 2 2a 2Mr sin2 θ 2 ρ dtdφ + (r2 +a 2 ) 2 a 2 sin 2 θ 2 ρ sin 2 θdφ 2 + ρ2 2 dr2 + ρ 2 dθ 2 Ñ Ø M Ò a ÓÒ Ø ÒØ Òº Î Ö Ö Ò Û Ú Ö ÓÖØ ÒÓØ Ø = r 2 2Mr + a 2, ρ 2 = r 2 + a 2 cos 2 θ Ò ÚÓ Ö [ ] º ds 2 = dt 2 +R 2 (t) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) Ñ Ø k Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò R(t) Ò Û ÐÐ ÙÖ 1 kr 2 ÙÒØ Ú Ò tº Ö Ø Ú Ö Ð Ò ÛÓÖ Ø Ò Ú ÖÓÒ Ö Ø Ð º Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ò ÓÑ Ò Û Ð Ø Ö ÒÓ Ø Òº ÀÙÒ Ò Ñ Ò Þ Ò Ø Ö ÒÚÓÐ Ò Ë Û Ö Ð Ã ÖÖ Ò ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö Ñ ØÖ Òº µ ÚÓÓÖ Ð Ñ ØÖ ÞÓÚ Ð ÑÓ Ð ÓÙ Ò ÖÓÓØ Ò p α Ú Ò Ú Ö ÑÙÐ Ú Ò Ò ÚÖ Ú ÐÐ Ò ÐØ º µ Ë Ö Ö Ø Ñ ØÖ Ò ÚÓÖÑ ds 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ). µ Å ÖÚ Ò ÖÙ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ö Ø ÓÓ Ë Û ÖÞ Ð Ò ÊÓ ÖØ ÓÒ¹Ï Ð Ö ÊÏµ Ñ ØÖ Ö ÝÑÑ ØÖ Þ Òº Æ ÑØ Ö ÓÓÖ Ø ÒØ Ð ÓÙ Ò ÖÓÓØ Ò p α ØÓ µ Ï ÙÒÒ Ò Ð Ø Ò Þ Ò Ø ÚÓÓÖ ÓÚ Ò Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÚÓÓÖ Ë Û Ö Ð Ã ÖÖ Ò ÊÏ Ñ ØÖ Ò Ò Ó Ø ÒØ Ñ Ø θ = π/2 Ò p θ = 0 Ù Ò Ø Ò ÒØ Ð Ò Ø ÕÙ ØÓÖ Ð ÚÐ ÒØ ÐØ Ð Ø Ø θ = π/2 Ò p θ = 0º À ÒØ ÖÙ Ú Ö Ð Ò p p = m 2 ÓÑ p r Ø Ú Ò Ò Ù Ø ÖÙ Ø Ò m Ò Ö ÓÙ Ò ÖÓÓØ Ò Ò Ò ÙÒØ Ú Ò ÔÓ Ø º µ ÎÓÓÖ ÊÏ Ñ ØÖ Ð Ø Ø Ö ÝÑÑ ØÖ ÑÔÐ ÖØ Ø Ð Ò Ó Ø ÒØ Ñ Ø p θ = p φ = 0 Þ Ò Ð Ò ÒÙÐ Ð Ú Òº Ä Ø Þ Ò Ø Ó Ø ÒÚ Ö Ð Ò Ò Ø Ú Ð Ø k = 0 Ò p r Ò ÓÙ Ò ÖÓÓØ º ÇÔ Ú ÁÒ Þ ÓÔ Ú Û Ö Ò Û Ø ÓÒ ÖÛ ÖÔ ÓÙ Ò ÖÓÓØ Ò ÒÓ Û Ø Ú Ö Ö Ù Øº µ Ä Ø Þ Ò Ø Ð Ò Ú ØÓÖÚ Ð ξ α ÚÓÐ Ó Ø Ò Ã ÐÐ Ò Ú Ö Ð Ò α ξ β + β ξ α = 0, µ Ò Ð Ò Ò Ó Ø Ð Ø Ø p α ξ α = constº Ø Ò Ó Ö Ò Ø Ò¹ÓÒ Ò Ð Û Þ ÓÑ ÓÙ Û Ø Û Ù Ø Ú Ö Ð Ò µ Ò Ð Ø Ö Ø Ö Ö Òº Ï Ó Ú Ò Ò Ð Ø Û Ø Ò Ó Ò Ñ ØÖ Ã ÐÐ Ò Ú Ð Ò ØÓ Ð Øº µ Î Ò Ø Ò Ã ÐÐ Ò Ú Ð Ò Ú Ò Å Ò ÓÛ Ñ ØÖ º µ Ä Ø Þ Ò Ø Ð ξ Ò η Ã ÐÐ Ò Ú Ð Ò Þ Ò Ò α ξ+β η ÓÓ Ò Ã ÐÐ Ò Ú Ð ÚÓÓÖ ÓÒ Ø ÒØ α Ò βº µ ÌÓÓÒ Ò Ø ÄÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ú Ð Ò Ò µ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÒÓ Ñ Ò ÓÔ Ú µ ÔÖÓ Ù Ö Òº µ ÖÙ Ö ÙÐØ Ø Ò Ú Ò µ ÓÑ Ã ÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ò ÓÔ Ú Ø Ô Ð Òº

227 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾ ÇÈ Î Æ Ï Ã ½ ¹ ÇÔÐÓ Ò Ò Æ Ñ ÇÔ Ú ½ ÊÓ Ò ÀÓÓ Ú Ò ÔÐ Ò ÓÑ ÓÔ Ò Ô Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ò Ò ÓÓÑ Ò Øº º ¼ Ð Ø Þ Ò Ø ÊÓ Ò ÔÖ ÓÔ Ô Ñ Ø Ò Ø Ò Ø Ò Ø Ò Ø Ô Ð Ò Ô Ö ÓÐ Ò Þ Ð ÚÓÐ Ò ÓÒ Ö Ù ÔÓ Ø Ú Ò Ô ÓÓÖ Þ Ð Òº Ô Þ Ø ÓÓ Ò Ð Ø Ø ÐÓ Ò Ú ÐØ Ù Ø ÓÓÑ Ò Ú ÖÛ Ø Ò Ø ÙÙÖ ¼ Ä Ò ÊÓ Ò ÀÓÓ Ñ Ø ÔÖ ÓÔ Ô Ö Ø Ô Ð Ø Ø ÐÓ ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ÓÓ Øº Ô Ð Þ Ð ÓÒØÛ Òº µ Ä Ø Þ Ò Ø Ô Ö Ø Þ Ð ÛÓÖ Ò ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ò Ð Û ÖÑ Ô Ð ÛÓÖ Ø ÚÙÙÖ ÞÓÐ Ò Ò Ð Ñ Ö ÖÓÓØ ÒÓ ÓÑ Ø Ò Ò Ö ÓÓÑ Ø ÓÚ Ö ÖÙ Òµº Æ Ñ Ò Ø Ö Ø Ø Ú Ò Ô Ú ÖÛ ÖÐÓÓ Ö º ÎÓÓÖ Ò Ú Ò Ô Ð Ð Ø Ø ÖÛ Ð ÚÓÓÖ Ô Ð Ø Ô Ð Ö Ø x a ÓÔ Ø Ø Ô x p (t) = v 0 cos θt, y p (t) = v 0 sin θt 1 2 gt2, µ x a (t) = x a = 50 m, y a (t) = h 1 2 gt2 = 10 m 1 2 gt2. ¼µ Ô Ð Ö Ø Ô Ð Ð Ø Ø x p (t) = v 0 cos θt = x a t = x a v 0 cos θ. y p (t) = y a (t) v 0 sin θt 1 2 gt2 = h 1 2 gt2 v 0 sin θt = h. ½µ ¾µ Ø ÒØ Ø ÙÖ Ò ÓÔ Ø Ø Ø Ô Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò ½µº Ø Ð Ú ÖØ ÓÒ Ø v 0 sinθ x a v 0 cos θ = h tan θ = h x = 10 m 50 m, µ Ò Ö Ò ÐØ ÚÓÐ Ò Û ÒØ Ø Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ò Ò º

228 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾ µ Ï ÒÓ Ñ Ò v 0 Ò Ð Ú Ò Ô Ð ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ú Ò ÓÓ ÓÑØº Ô Ð Ò Ð Ú Ò Ô Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ô ÓÔ Ò Û ÐÐ ÙÖ Ø t ÙÖ Ò ÚÐÙ Ø Ú Ò Ô Ðº Ò Ð Ú Ò Ô Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ô Ð Ò Ò Ð Ú Ò Ô Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÓ ÔÐÙ Ò Ð Ú Ò ÓÓ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ô v pijl tov aap = v pijl tov boog + v boog tov aap. µ Ò Ð Ú Ò ÓÓ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ô Ð Ò Ñ Ò Ò Ð Ú Ò Ô Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÓ v pijl tov aap = v pijl tov boog v aap tov boog. µ Ö Ð Ø ÁÒÚÙÐÐ Ò Ò Ú Ö Ð Ò µ Ð Ú ÖØ v pijl tov boog = v 0 + gt en v aap tov boog = gt. µ v pijl tov aap = v pijl tov boog v aap tov boog = ( v 0 + gt) gt = v 0. µ Â ÙÒØ Ø ÓÓ Þ Ò ÓÓÖ Ô Ð Ò Ô Ò Ò ÚÖ Ú ÐÐ Ò Ö Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ø ÓÙÛ Òº ÎÓÐ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖ Ò Ô Ô ÐØ Ö Ú Ø Ø Ò Ò ÖÓÐ Ö Ò Ø ÖÑ gtµ Ò Ò Ð Ö Ð Ø Ú Ò Ð v 0 Ð Ø ÓÚ Ö Ò Ò Ø Ò Ø Ú Ò Ø º µ Æ Ñ Ò Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò ØÙ Ò ÙØØ Ö Ò ÓÓÑ Ð Ò x = 50 Ñ Ò Ú ÖØ Ð Ø Ò ØÙ Ò ÙØØ Ö Ò Ø Û Ö Ò Ô Ò Ø h = 10 Ñº Ï Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ò Ð Ú Ò Ô Ð Ð Ô Ö Ø ÛÓÖ Ø Ò Ø ÚÓÓÖ Ø ÓÔ ÖÓÒ Ú ÐØ Ú ÖØ Ð Ø Ò Ú Ò ÖÓÒ ØÓØ Ø ½½ ¾ Ñµ Ï ÓÙÛ Ò Û Ò Ú Ò Ô Ðº ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ô Ð Ò Ö ÓÑØ Ð Ø x p = v 0 cos θt = 50 t = 50 v 0 cos θ ÁÒÚÙÐÐ Ò Ú Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ò ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ y p Ð Ú ÖØ en 50 v 0 sin θ v 0 cos θ 1 2 g y p = v 0 sin θt 1 2 gt2 = 10 11,2 = 1,2 m. µ ( ) 50 2 = 1,2 m. µ v 0 cos θ ÁÒ Ö Ø Ø ÖÑ Ú ÐØ v 0 ÖÙ Ø Ò sinθ/cos θ = tan θ = 10/50º Ï Ú Ò Ò Ò 10 m 1 2 g 2500 v 2 0 cos2 θ = 1,2 m 1 2 g 2500 v 2 0 cos2 θ = 11,2 m v2 0 cos2 θ = 2500g 2 11,2 m. ¼µ Ö Ð Ø g = 9,8 m/s 2 Ò cos θ = x/ x 2 + h 2 = 50 m/ = 0,981 Ò Û Ú Ò Ò ,8 v 0 = 22,4 cos 2 = 33 m/s. ½µ θ ÇÔ Ú ¾ Ò ÒÓÒ Ó Ð ÛÓÖ Ø ÚÙÙÖ Ñ Ø Ò Ò Ò Ð Ú Ò ¾ ¾ Ñ» ÓÒ Ö Ò Ó Ú Ò 30 Ñ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ø Ò Ò Ú Ò Ò ÓÓ Ø Ú Ò ¼ Ñº ÀÓ Ú Ö ÓÑØ Ó Ð Ï ÓÙÛ Ò Ò Ú Ò Ó Ðº Ð Ó Ð ÖÓÒ Ö Ø Ð Ø x = v 0 cos θt en y = v 0 sin θt 1 2 gt2 = 40 m. ¾µ

229 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾¾ Ï Ö Ú Ò Ð Ø Ø Ú Ö Ð Ò Ð gt 2 42,2t 80 = 0 Ò ÐÓ Ò Þ ÓÔ Ñ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ ¾ Ò Ú Ò Ò Ñ Ø g = 9,8 m/s 2 ÓÔÐÓ Ò Ò t 1 = 1,424 Ò t 2 = 5,731 º Ï ÖÙ Ò Ð Ø Ø Û Ö ÚÓÓÖ tº ÁÒÚÙÐÐ Ò Ú Ò Þ Û Ö ÚÓÓÖ t Ò Ú Ö Ð Ò ¾µ Ø x = (42,2 m/s)cos 30 (5,731 s) = 209 m en y = 40 m. µ ÇÔ Ú ÀÓ ÖÓÓØ ÚÖ ¹Ú Ð Ú Ö Ò ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ò Ó Ø Ø Ö ÓÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ò ËÔ Ë ÙØØÐ ¼¼ Ñ ÓÚ Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ µ Ø ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò ½ µ Ù Ø Ø Ø Øº Ö Ð Ø a = GM r 2. µ Ö Ð Ø G = 6, m 3 s 2 kg 1 Ñ Ú Ò Ö Ö Ø M = 5, Ò ØÖ Ð Ú Ò Ö R = 6378,137 Ñ ÓÔ Ú Ò Öµº ÁÒÚÙÐÐ Ò Ð Ú ÖØ a = GM r 2 = (6, m 3 s 2 kg 1 )(5, kg) ((6378, ) 10 3 m) 2 = 8,68 m/s 2. µ ÇÔ Ú Ò ÔÖÓ Ø Ð ÛÓÖ Ø Ú ÖØ Ð ÓÑ ÓÓ ÓØ Ò Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø Ò Ò Ð Ú Ò v i = 8 Ñ» º Ï Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÓ Ø Ø Ö Ø Ú ÖÛ ÖÐÓÓ ÐÙ ØÛÖ Ú Ò µ Ñ Ü ÑÙÑ ÓÓ Ø Ò ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø Ò Ö ÓÙ º Ï Ò Ñ Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ú Ò Ö Ð Ø ÒÔÙÒØ Ñ Ø U i = GM m/r Ò K i = 1 2 mv2 i º ÇÔ ÖÓÓØ Ø ÓÓ Ø Ð Ø K f = 0º Ò Ö ÓÙ Ð Ú ÖØ Ò K f + U f = K i + U i 0 GM m r f = 1 2 mv2 i GM m R. µ Î ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ñ Ø 1/(GM m) ÖÙ Ñ Ò Ú Ò GM = gr 2 Ò ÓÔÐÓ Ò Ò Ö r f Ð Ú ÖØ 1 = v2 i + 1 = v2 i r f 2GM R 2gR 2 ( + 1 r f = 1/ R 1 R v2 i 2gR 2 ) = R / ( 1 v2 i 2gR ). µ Ï Ù Ø ØÙ Ö Ò ÒÙÑ Ö Ò Û Ö Ò ÚÓÓÖ v i R Ò g Ò Ú Ò Ò r Ò ÓÓ Ø h = r R º ( r f = R / 1 Ò Û Ú Ò Ò h = r R = 1,05R = 6, Ñº (8000 m/s) 2 ) 2(9,8 m/s 2 = 2,05R )(6, m) µ ÇÔ Ú Ò ÔÖÓ Ø Ð ÛÓÖ Ø Ú ÖØ Ð ÓÑ ÓÓ ÓØ Ò Ú Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ñ Ø Ò Ò Ò Ð Ú Ò v i = 15 Ñ» º Ï Ø Ò Ð Ú Ò Ø ÔÖÓ Ø Ð Ú Ö Ú ÖÛ Ö Ú Ò Ö Ú ÖÛ ÖÐÓÓ ÐÙ ØÛÖ Ú Ò µ Î Ö Ú Ò Ö Ø ÒØ r R º Ò Ò Ð ÖÓØ Ö Ò ÓÒØ Ò ÔÔ Ò Ò Ð 11 Ñ» Ù ØÓØ Ð Ò Ö Ú Ò Ø ÔÖÓ Ø Ð ÔÓ Ø Ò Þ Ð Þ Ú Ò Ö ÓÒØ Ò ÔÔ Ò Ñ Ø Ò Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ò Ö º Ï ÖÙ Ò Û Ö Ò Ö ÓÙ ÓÑ Þ Ò Ø ¾ ÓÔÐÓ Ò Ú Ò ax 2 + bx + c = 0 ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ x 1,2 = b± b 2 4ac 2a º

230 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾ ¼ Ò Ö Ø Ú Ò Ò Ò Ô Ð Ò ÖÒ Ò Ò Ð º Ò Ö ÓÙ Ñ Ø r f = ÞÓ Ø U f = 0 Ø ÐØ K f + U f = K i + U i 1 2 mv2 f + 0 = 1 2 mv2 i GM m R. µ Ï ÐÓ Ò ÖÙ Ø vf 2 ÓÔ Ò ÖÙ Ò GM /R2 = gº Ø Ð Ú ÖØ ÁÒÚÙÐÐ Ò Ú Ò Ò Û Ö Ò ÚÓÓÖ g Ò R Ð Ú ÖØ v f = v 2 f = v2 i 2GM R = v 2 i 2gR. ¼µ ( m/s) 2 2(9,8 m/s 2 )(6, m) = 10 4 m/s = 10 km/s. ½µ

231 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾ ½ ÇÈ Î Æ Ï Ã ¾ ¹ ÇÔÐÓ Ò Ò Æ Ñ ÇÔ Ú ½ Ò ÔÐ Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÐÐ ÖÒ Ø Ø Ù Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ ÓÐÚÓÖÑ Ð Ñ Ø Ñ M Ù Ø Ò ØÖ Ð R Ò ÒÒ Ò ØÖ Ð R/2º µ ÀÓ Ú Ð Ñ Ô Ö ÒØ µ Ø Ö Ò 3 4R Ú Ò Ø Ñ ÐÔÙÒØ Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ñ Ú Ò Ø Ð Ú Ò Ð Ø Ø Ö Ø ÒØÖÙÑ Ò 3 4R Ø Ö Ø ÚÓÐÙÑ Ú Ò Ð Ñ Ø Ù Ø Ò ØÖ Ð 3 4 R Ò ÒÒ Ò ØÖ Ð 1 2Rº Ï Ö Ò Ò Ö Ø Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ ÖÒ Ñ º Ñ M 3 Ñ Ú Ò Ð Ñ Ø Ù Ø Ò ØÖ Ð 4 R Ò ÒÒ Ò ØÖ Ð 1 2Rµ Ø ρ Ö Ø ÚÓÐÙÑ V Ù M = ρv º Ø Ñ M Ð ÓÓÖ Ø ÚÓÐÙÑ V [ ρ = M V = M/ 4 3 πr3 4 ( ) ] R 3 = M 3 2 7πR 3 /6. ¾µ À Ø ÚÓÐÙÑ V Ú Ò Ð Ñ Ø Ù Ø Ò ØÖ Ð 3 4 R Ò ÒÒ Ò ØÖ Ð 1 2 R Ö Ø V = 4 3 π ( 3R 4 ) π ( ) R 3 = πr3. µ Ñ M Ú Ò Ð Ù Ð Ò M = ρv = 6 M 19 7 πr 3 48 πr3 = 19 M. µ 56 µ ÀÓ ÖÓÓØ Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð ÓÔ Ø Ò 1 4R Ú Ò Ø Ñ ÐÔÙÒØ ÒÒ Ò ÓÐ Ñ Ø ØÖ Ð 1 4R Ú Ò Ø Þ Ò Ñ º Ö ÐÚ Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ö Ð Ò ÒÙÐº µ ÀÓ ÖÓÓØ Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð ÓÔ Ø Ò 3 4R Ú Ò Ø Ñ ÐÔÙÒØ À Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð ÓÔ r = 3 4R ÛÓÖ Ø Ò Ð Ú ÖÓÓÖÞ Ø ÓÓÖ Ñ Ø Ö Ø Ñ ¹ ÐÔÙÒØ Ð Ø Ò 3 4 Rº Ø Ù Ñ M Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ö Ø 56 M g = GM ˆr = G19 r2 ( 3 4 R) 2 GM ˆr = R 2 ˆr. µ Ï ÙÒÒ Ò Ø ÓÓ Ù ØÖ Ò Ò Ñ Ø Û Ø Ú Ò Ù º Ö Ð Ø Ò Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò Ñ ¹ Ú Ö Ð Ò Ò Ö Ú Ø Ø ÙÜ g da = 4πG ρdv 4πr 2 g = 4πGM I ( 3R 4 )2 g = G M g = GM R 2. µ ÇÔ Ú ¾ ÁÒ Ø Ó Ò Ö Ò Ö Ñ Ò³ Ú Ò ÂÙÐ Î ÖÒ ÛÓÖ Ò ØÖÓÒ ÙØ Ò Ð Ò Ö ÓÓÖ Ò ÒØ ÒÓÒ Ú Ò Ö Ò Ö Ñ Òº µ Ï ØØ Ò Ø Ò Ð ÒÓ ÓÑ Ñ Ò Ø Ö Ò Ð Ò ÓÒØ Ò Ô¹ Ô Ò Ò Ð Ú Ò Ö Ò ØØ Ò Ð Ò Ø Ú Ò Ø ÒÓÒ Ð ¼¼ ÚÓ Ø ÓÒ Ú Ö ¼¼ Ñ ÞÓ Ð Ú ÖÑ Ð Ò Ø Ó µº Ï Ø Ò Ø ØÖÓÒ ÙØ Ò Ð Ò Ö Ò ³ ÓÚ ÖÐ Ú Ò

232 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾ ¾ ÓÒ ØÒ ÔÔ Ò Ò Ð v Ú Ò Ö Ö Ø 1 2 mv2 = GmM 2GM R v = = R 2(6, m 3 s 2 kg 1 )(5, kg) = 11,2 km/s, (6, m) µ Ò Ø Ò Ð Û ÖÑ Ø ÖÙ ÑØ Ô ÐÓÓÔ Ú Ò Ø ÒÓÒ Ú ÖÐ Øº Þ Ò Ð ÛÓÖ Ø ÓÔ ÓÙÛ º Ö Ð Ø s = 1 2s 2 at2 t = a en v = at a = v a t = v 2s a = v2 2s = (11,2 103 m/s) g. (300 m) µ À Ø Ò Ø Ö Û Ö ÒÐ Ø ØÖÓÒ ÙØ Ò Ø ÓÚ ÖÐ Ú Òº Ï ÐÐ Ø Ú ØØ Ò ØÓ Ð Ò Ò Ú Ò Ö ÑÔ Ò Ý Ø Ñ Ñ Ö Ö Þ Ø Ø Ó Ò Ø ÓÚ Ö ºººµº µ ÁÒ Ø Ó ÚÓ Ð Ò ØÖÓÒ ÙØ Ò Ò ÙÒ ÖÙ ÑØ Ô Ø Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ò Ö ØÓØ Ø Ø ÖÙ ÑØ Ô Ø Ú ÒÛ Ø ÔÙÒØ Ö Ø Û Ö Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Û Ö Ò Ú Ò Ñ Ò Ð Ò Ú Ò Ö º ÇÔ Ø ÔÙÒØ ÖØ ÐÐ ÓÑ Ò Û Ø Ø ÔÐ ÓÒ Ú Ò Ø ÖÙ ÑØ Ô Û ÛÓÖ Ø ÒÙ ÚÐÓ Öº ÀÓ Ú Ö Ú Ò Ö Ð Ø Ø Ú ÒÛ Ø ÔÙÒØ ÇÔ Ø ÔÙÒØ Û Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ú Ò Ö Ð Ò Ø Ú Ò Ñ Òº Ï ÒÓ Ñ Ò d Ø Ò Ú Ò Ö ØÓØ Ñ Ò M Ñ Ú Ò Ö m Ú Ò Ñ Òº ÎÓÓÖ Ø Ò R Ú Ò Ø Ñ ÐÔÙÒØ Ö ØÓØ Ø Ú ÒÛ Ø ÔÙÒØ Ð Ø Ò GM R 2 = Gm (d R) 2 (M m)r2 2MdR + Md 2 = 0. µ Ï ÐÓ Ò ÓÚ Ò Ø Ò Ú Ö Ð Ò ÓÔ Ñ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ Ò Ú Ò Ò R 1,2 = 2Md ± 4M 2 d 2 4(M m)md 2 = d ± d 2 M m M d2 2(M m) (M m)/m = d ± d 1 M m M (M m)/m, ¼µ Û Ö Û Ò Ö Ø Ø Ô ÓÓÖ 2M Ð Ò Ò Ò ØÛ Ø Ô d 2 Ù Ø Ò ÛÓÖØ Ð Ò Ð º ÁÒÚÙÐÐ Ò Ú Ò M = 5, kg m = 7, kg d = km Ð Ú ÖØ M m M = 0,9873 Ò Û Ú Ò Ò R 1 = 0,899d Ò R 2 = 1,127dº À Ø Þ Ð Ù Ð Þ Ò Ø Û R 1 = 0,899d = Ñ ÑÓ Ø Ò Ò ÚÓÓÖ ÐÓ Ø Ú Ò Ø Ú ÒÛ Ø ÔÙÒØº µ Á Þ Ö Ú Ò Ú Ò Û Ø ØÖÓÒ ÙØ Ò ÖÚ Ö Ò Ö Ð Á Ø Û Ø Ö Ø ÙÖ ÚÓÓÖ ÔÓÐÐÓ ØÖÓÒ ÙØ Ò Ø Ò ÙÒ ÞÓ Ò Ñ Ò Æ º ØÖÓÒ ÙØ Ò ÚÓ Ð Ò Ò Ð Û Ø Ð Ø ÖÙ ÑØ Ô Ø Ð Ø Ø Ò Ò Ö Ú Ø Ø Ú Ð Ó Ú Ö Ò Ð ÛÓÖ Ø ÓÑ Ø ÑÓØÓÖ Ò ÛÓÖ Ò ÓÒØ ØÓ Ò Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ó Ö ÓÖÖ Ø µº Ì Ò Ø Ó Ø Ò³ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ò ÚÖ Ú Ð Ò Ù Û ØÐÓÓ º ÇÔ Ú Ï Ò Ò ÚÓÓÖÛ ÖÔ Ñ Ø Ñ m Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÖÓÒ Ø ÒØ Cº À Ø Ý Ø Ñ ÚÓÐ Ó Ø Ò Û Ø Ú Ò ÀÓÓ Ò Ø Ø ÒØ Ø Ù ØÖ Ò u Ú Ò Ú Ö Ú ÒÖ Ñ Ø ÖÓÓØØ Ú Ò Ö Ø F ÓÔ Ú Ö ÛÓÖ Ø Ù Ø Ó Ò Ù F = Cuº Ð Ú Ö ÓÚ Ö Ò Ø Ò u ÛÓÖ Ø Ù Ø Ö Ø Ò Ø Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ú Ò ÓÓÖ V = 1 2 Cu2 º µ Î Ö Ð Ö Ú Ö Ð Ò V = 1 2 Cu2 º Ö Ø ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ F = Cu Ñ Ö ÓÔ Ø Ö Ø Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ù ØÛ Ò µº ÇÑ Ø Û Ò Ø Ú Ð Ö Ø ÙÒÒ Ò Ò Ù Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ö Ú Ò Û

233 ÈÈ Æ Á ¹ Ç ÆÇÈ Î Æ ¾ ÙÙÖ ½ Î Ö ÐÐ Ò Ø Ø Ò ÚÐÙ Ø Ò Ö Ñ Ò Ú Ò Ò Ë ØÙÖÒÙ Ö Ø Ø Ò Ø ÔÓÐÐÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ º F = m Φ = m dφ Cu2 du = Cuº ÁÒØ Ö Ö Ò Ð Ú ÖØ Φ = 2m º ÔÓØ ÒØ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ô Ö º ÎÓÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ð Ø Ù V = mφ = 1 2 Cu2 º Ð Ñ ÒÙ ÛÓÖ Ø ÐÓ Ð Ø Ò Ò ØÖ Ø Ö Ó ÐÐ Ø ÓÔº Ò Ð u Ñ Ü Ñ Ð Ð Ú Ö ÓÓÖ Ú ÒÛ Ø ØÓ Ø Ò Ø Û Ö u = 0 µº Ä Ò Ö Ò Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ L = T V = 1 2 m u2 1 2 Cu2 º µ Å ÖÙ Ú Ò ÙÐ Ö¹Ä Ò Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ð Ø Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÚÓÓÖ Ø Ñ ¹Ú Ö Ý Ø Ñº ÙÐ Ö¹Ä Ò Ö Ò Ú Ö Ð Ò ÐÙ Ø Ð ÚÓÐ Ø L x i = d ( ) L dt v i Ö Ð Ø L u = d dt ( ) L. ½µ u L u = Cu en L u = m u. ÁÒÚÙÐÐ Ò Ò ÙÐ Ö¹Ä Ò Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ú ÖØ L u = d ( ) L Cu = d (m u) = mü, dt u dt µ ¾µ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø ØÛ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÚÓÓÖ Þ ØÙ Ø F = ma Cu = müº ÇÔ Ú ÇÒ ÞÓÒÒ Ø Ð Ð Ñ Ø Ù Ø ÓÑ Ø Ú Ò Ò ÙÔ ÖÒÓÚ º Ð Ø ÙÖ Ò ÙÑ ÓÔ Ö Ñ Ø Ò Þ ÙÔ ÖÒÓÚ º Ø ÐÐ Ö Ö Ò Ò Ò Ú Ò Ý Ú Ò ÙÔ ÖÒÓÚ ÜÔÐÓ Ù Ö Ö Ò Ø Ø ÒØ Ð ÔÖÓ Ù Ö 235 Í ÖÒ Ò ½ Ñ Ð ÖÓØ Ö Û Ò Ø ÒØ Ð 238 Í ÖÒ Òº Ë Ò ÙÒ ÔÖÓ ÙØ Ú ÖÚ ÐØ 235 Í Ñ Ø Ò Ð Û Ö Ø Ú Ò t1 2 Ö Ò 238 Í Ñ Ø Ð Û Ö Ø Ú Ò t1 2 = 7, = 4, Öº ÀÓ Ð Ò Ð Ò ÚÓÒ ÙÔ ÖÒÓÚ ÜÔÐÓ ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ú Ö ÓÙ Ò 235 Í ØÓØ 238 Í ÞÓ Ð ÚÓÒ Ò Ò Ø ÒØ Ð Ò ¼ ¼¼ À ÒØ Ò Ö Ó Ø Ú ÖÚ Ð Ò ÑØ Ø ÒØ Ð ÒÓ Ò Ø Ú ÖÚ ÐÐ Ò ÖÒ Ò ÚÓÐ Ò Ö Ð Ø N(t) = N(0)e t/τ Ñ Ø τ Ð Ú Ò ÙÙÖºµ

Nog meer weergeven