ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö Ê ÑÓÒ Ú Ò Ò Ö
|
|
|
- Helena Rosalia Eilander
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö Ê ÑÓÒ Ú Ò Ò Ö
2
3 ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÙÒ ¾¼½¼ Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÓÑ ÖÙ Ø Ø ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Òº Ø Ø Ø ØÓØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÓÖ Ñ ÒÛ Ö Ò Ñ Ø Â Ú Ò ÃÖ Ò Ú Ò ØÖ ÜÓÐÐ Ø Ì Ð ÙÖ º Ø Ø Ø Ó Ð Ð ÓÒ Ö Ø ÙÒ Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ñ Ò ¹ÓÐÐ ØÛ Ò ÓÑ Ø Ò Ú Ò Ñ Ð Ñ ÒÙØ Òµ ÓÚ Ö ÖÝÔØÓ Ö º Ð Ò Ú Ò Ø Ø Ø Þ Ò ÓÒØÐ Ò Ò Ø Ø Ø Ï ÙÒ Ô Ø Ò Ú Ò ÓÑÑÙÒ Ø ³ Ú Ò ÔÖÓ º Öº Öº Ï ÐÐ Ñ À Ñ Ö ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú Ò Ì Ð ÙÖ µº Î Ö Ö Ø Ï ÙÒ ÑÓ ÙÐ ÖÝÔØÓ Ö Ò Ø ÐØ ÓÖ ³ Ú Ò Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ò ÓÚ Ò Ð Ò Ô Ö Ø ÖÓÒ Ò º ÁÒ ÓÖÑ Ø Û ÙÒ» ÓÔ ÍÚÌ ÁÒ ¾¼¼ ÓÔ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú Ò Ì Ð ÙÖ Ò ÔÖÓ ØØ Ñ ÓÒÒ Ò Ñ Ø Ø ÔÖÓ Ø Û ÙÒ ÓÔ ÍÚ̳º Ø Ø Ñ Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ø Ø Ò ÓÒØÛ Ð ÚÓÓÖ Ø ÚÖ Ð Ú Ò Û ÙÒ ÖÙ Ø ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Òº ÁÒ ¾¼¼ Ø ÔÖÓ Ø Ù Ø Ö ÓÓ ÚÓÓÖ Ø Ú Û ÙÒ Þ Ò Ø Ø Ò ÓÒØÛ Ð ÖÙ Ø ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Ú Ö Ô Ò Ú Ò Ø Ò ÓÒ ÖÛ ÖÔ Ò Ó ØÓ Ô Ò Ú Ò Ò Û ÙÒ ÓÔ Ò ÙÛ ÓÒ ÖÛ ÖÔ Òº ÎÓÓÖ Ñ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÙÒØ Ù Ò ÓÔ Û Ø ÛÛÛºØ Ð ÙÖ ÙÒ Ú Ö Øݺ Ù»Û ÙÒ ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ò ÛÛÛºØ Ð ÙÖ ÙÒ Ú Ö Øݺ Ù»Û ÙÒ ÚÓÓÖ Û ÙÒ º Í ÙÒØ ÓÓ ÓÒØ Ø ÓÔÒ Ñ Ò Ñ Ø ÔÖÓ ØÐ Ö ÔÖÓ º Öº À Ö ÖØ À Ñ Ö ÀºÂºÅºÀ Ñ Ö ÙÚغÒеº
4
5 ÁÒ ÓÙ ÓÔ Ú ÎÓÓÖÛÓÓÖ ½ ÁÒÐ Ò ½ ¾ Ø ÐØ ÓÖ ¾º½ ÖÓÓØ Ø Ñ Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÅÓ ÙÐÓ Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö ½ º½ ÈÙ Ð Ð ÙØ Ð ÒÖÝÔØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÊË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
6
7 ½ ÁÒÐ Ò ÖÝÔØÓÐÓ ÓÙ Ø Þ Þ Ñ Ø Ø Ú Ö Ö Ò ÓÓ Û Ð Ú Ö Ð ÙØ Ð Ò³ Ó Ó Ö Ò³ ÒÓ Ñ µ Ú Ò Ö Ø Ò ÓÑ Þ Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ ÒÐ ÖÙ º Î ÛÓÖ Ø Ð Ö Þ Þ ÓÙ Ø Ñ Ø Ø ÓÒØÛ Ð Ò Ú Ò Û ÙÒ µ Ñ Ø Ó Ò ÓÑ Ö Ø Ò Ø Ú Ö Ö Ò ÖÝÔØÓ Ö ÒÓ Ñ Ò Ð Ö Þ Þ ÓÙ Ø Ñ Ø Ø Ò ÐÝ Ö Ò Ò Ö Ò Ú Ò Ó ÖÝÔØÓ¹ Ò ÐÝ º Ö ÛÓÖ Ø Ù ÖÙ Ñ Ø Ú Ò ÖÝÔØÓ Ö ÓÑ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ð Ø ÙÒÒ Ò Ù ØÛ Ð Òº ÎÖÓ Ö Û Ø ÚÓÓÖÒ Ñ Ð Ñ Ð Ø Ö Ò ÓÖÑ Ø ½ º Ì ÒÛÓÓÖ Ô ÐØ ÖÝÔØÓ Ö Ò Þ Ö Ð Ò Ö ÖÓÐ Ò ÚÖ Û Ðµ ÐÐ Ð ØÖÓÒ ÓÑÑÙÒ Ø º Ò ÚÓÓÖ Ð Ò ÑÓ Ð µ Ø Ð ÓÒ ÒØ ÖÒ Ø ¹Ñ Ð ÓÒÐ Ò Ø Ð Ò ÒÞÓÚÓÓÖØ º ÁÒ ÑÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö ÛÓÖ Ò Ö Ø Ò Ú Ö¹ Ò ÓÒØ Ö Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ö ÒØ Ò Ò Ù Ø Ø ÐØ ÓÖ º Ø ÐØ ÓÖ Ô ÐØ Ù Ò Þ Ö Ð Ò Ö ÖÓÐ Ò ÑÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö º À Ø Ñ Ò ¹ÓÐÐ Ø Ò ÓÖØ ÒÐ Ò Ò ÖÝÔØÓ Ö º ÓÔ ÓÙÛ Ð ÚÓРغ ÁÒ ÓÓ ØÙ ¾ ÔÖ Ò Û ÒÓ Ö ÙÐØ Ø Ò Ù Ø Ø ÐØ ÓÖ º Þ Ö ÙÐØ Ø Ò ÖÙ Ò Û Ò ÓÓ ØÙ Û Ö Ò Û ÑÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö ÔÖ Òº ÇÔ Ú Ò Þ Ò Ò Ø Ø ÓÔ ÒÓÑ Òº ÓÔ Ú Ò Ñ Ø Ø Ð Ð ³ Þ Ò Ð Ø Öµ Ú Ò Ö º ½ À Ø Ó Ì Ó ÓÓ ³ Ú Ò Ë ÑÓÒ Ë Ò Ø Ò Þ Ö Ð Ö ÓÚ ÖÞ Ø Ú Ò Ò Ú Ò ÖÝÔØÓÐÓ º ½
8
9 ¾ Ø ÐØ ÓÖ ÁÒ ÑÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö Ô ÐØ Ø ÐØ ÓÖ Ò Ð Ò Ö ÖÓк ÇÑ Ø ÙÒÒ Ò Ö Ô Ò Ó ÑÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö Û Ö Ø ÑÓ Ø Ò Û Ù Ö Ø Ø ÐØ ÓÖ ØÙ Ö Òº Ø ÓÓ ØÙ ÔÖ Ø Ò Ð Ö ÔÔ Ò Ò Ö ÙÐØ Ø Ò Ù Ø Ø ÐØ ÓÖ º È Ö Ö ¾º½ ÔÖ Ø ÖÓÓØ Ø Ñ Ò Ð Ö Ô Ö Ö ¾º¾ Ò Ð ÑÓ ÙÐÓ Ö Ò Ò Ò È Ö Ö ¾º ØÙ Ö ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Òº Ð Ò Ö ÓÔÑ Ö Ò Ï ÒÒ Ö Û Ò Ø ÓÓ ØÙ ÓÚ Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖ Ò Ò Ó Ð Ò Û Ø ÒÞ Ò Ö ÛÓÖ Ø Ú ÖÑ Ð Ò ØÙÙÖÐ Ø ÐÐ Ò ½ º ¾º½ ÖÓÓØ Ø Ñ Ò Ð Ö À Ö ÒÒ Ö Ø Û Þ Ò Ø Ò Ð Ø Ð d Ò Ð Ö Ú Ò Ò Ð Ø Ð a Ð a/d ÓÓ Ò Ð Ø Ð º Ï ÙÒÒ Ò Ø ÓÓ Ò Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ò d Ò Ð Ö Ú Ò a ÔÖ Ò Ð a Ò Ú ÐÚÓÙ Ú Ò d Ø Û Ð Þ Ò Ø Ö Ò Ð Ø Ð k Ø Ø ÞÓ Ò Ø a = kdº ÎÓÓÖ Ð ¾º½ À Ø Ø Ð ½¾ Ø Ð Ð Ö ±1 ±2 ±3 ±4 ±6 Ò ±12º Ò ½ Ø Ð Ð Ö ±1 ±3 ±5 Ò ±15º Í Ø Ø ÚÓÓÖ Ð Þ Ò Û Ø Ø ÐÐ Ò 12 Ò 15 ÔÖ ±1 Ò ±3 Ð Ñ Ò ÔÔ Ð Ð Ö Òº Ï ÙÒÒ Ò Ù Þ Ò Ø Ø Ø Ð 3 ÖÓÓØ Ø Ñ Ò ÔÔ Ð Ð Ö Ú Ò 12 Ò 15º Ð Ñ Ò Ò Ø Ú Ò ÖÓÓØ Ø Ñ Ò ÔÔ Ð Û Ø Ú Ö Ø Ö ÛÓÖ Ø ØÓØ Ñ Ò ³µ Ð Ö Ð ÚÓРغ Ò Ø ÖÓÓØ Ø Ñ Ò Ð Ö Ú Ò ØÛ Ð Ø ÐÐ Ò a Ò b Ñ Ø a = 0 Ó b = 0 Ø ÖÓÓØ Ø Ð Ø Ð Û Ö a Ò b Ò ÓÓÖ Ð ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Òº ÖÓÓØ Ø Ñ Ò Ð Ö Ú Ò a = 0 Ò b = 0 Ò Ø Ð Ò ¼º Ï ÒÓØ Ö Ò ÖÓÓØ Ø Ñ Ò Ð Ö Ú Ò a Ò b Ð ggd(a, b)º ½ Ï ÒØ Ö Ò ÖÙ Ð ÒÓØ Ø N Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ Ø ÐÐ Ò N = {1, 2,...} Ò Z Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò Ð Ø ÐÐ Ò Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}º
10 ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö Å Ö ÓÔ Ø ggd(a, b) = ggd(b, a) Û ÖÓÑ µº ÎÓÓÖ Ð ¾º¾ ggd(9, 12) = 3 Û ÒØ Ò Ð Ö Ú Ò ÞÓÛ Ð Ð Ú Ò ½¾º ÓÚ Ò Ò Ö Ò ÖÓØ Ö Ð Ö Ú Ò Þ ØÛ Ø ÐÐ Ò Ø Ú Ò Ò Ñ Ö ÐÐ Ø ÐÐ Ò 4,..., 9µº ÇÔ Ú ¾º½ Ö Ò µ ggd(6, 12) µ ggd(6, 21) µ ggd(101, 202)º ÁÒ Ò Ø ÐÐ Ò a Ò b Ð Ò Þ Ò Ø ÒÚÓÙ ÓÑ ggd(a, b) Ø Ô Ð Òº ÎÓÓÖ ÖÓØ Ø ÐÐ Ò Ø Ð Ø Öº Å Ø ÙÐÔ Ú Ò ÚÓÐ Ò Ø ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Û ggd(a, b) Ø Ö Ø Ô Ð Òº ËØ ÐÐ Ò ¾º½ ÎÓÓÖ a, b Z Ð Ø ggd(a, b) = ggd(a, b a)º Û ÎÓÓÖ a = b = 0 Û Ö Ò Ù Ø Ö Ö Û Öº Ï ÓÙÛ Ò Ù Ð Ø ÐÐ Ò a Ò b Ñ Ø a = 0 Ó b = 0º ÆÓØ Ö x = ggd(a, b) Ò y = ggd(a, b a)º Ï ØÓÒ Ò Ò Ø Ð Ø µ x y Ò µ y xº À ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø x = y Û Ø Ø ÐÐ Ò Û Øº Û Ú Ò x y x Ò Ð Ö Ú Ò a Ò bº Ø Ø ÒØ Ø Ö i, j Z Ø Ò ÞÓ Ò Ø a = ix Ò b = jx. ÆÙ Þ Ò Û Ø x ÓÓ Ò Ð Ö Ú Ò b a = (j i)x. Ò Þ Ò y ÖÓÓØ Ø Ð Ö Ú Ò a Ò b a ÙÒÒ Ò Û ÓÒÐÙ Ö Ò Ø x yº Û Ú Ò y x ÓÔ Ú ¾º º ÎÓÓÖ Ð ¾º Ï Ö Ò Ò ggd(182, 299) Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ËØ ÐÐ Ò ¾º½º ggd(182, 299) = ggd(182, 117) = ggd(117, 65) = ggd(65, 52) = ggd(52, 13) = ggd(39, 13) = ggd(26, 13) = ggd(13, 13) = 13. ÇÔ Ú ¾º¾ Ö Ò µ ggd(105, 252) µ ggd(500, 1000) µ ggd(147, 132)º
11 ¾º Ø ÐØ ÓÖ ÇÔ Ú ¾º Å Ø Û Ú Ò Ø ÐÐ Ò ¾º½ ÓÓÖ Ø Ð Ø Ò Þ Ò Ø y xº ÇÔ Ú ¾º µ Ö Ò ggd(111112, )º µ Û Ø ÚÓÓÖ ÐÐ Ð Ø ÐÐ Ò x Ð Ø ggd(x, x+ 1) = 1º ¾º¾ ÅÓ ÙÐÓ Ö Ò Ò À Ø ½ ÙÙÖº ÀÓ Ð Ø Ø ÓÚ Ö ½¼¼¼ ÙÙÖ À Ø ÒØÛÓÓÖ ½½ ÙÙÖ Û ÒØ ( ) mod 24 = 11. À Ö Ò Ø Ú Ò ÑÓ ÙÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð ÚÓÐ Ø ¾ º Ò Ø ÎÓÓÖ Ò Ð Ø Ð a Ò Ò ØÙÙÖÐ Ø Ð n a mod n Ö Ø Ð µ Ð Ò Ú Ò a ÓÓÖ n Ø Û Ð Þ Ò a a mod n = a n. n ÁÒ Ò a mod n = 0 Û Ø Ò Û Ù Ø a Ò Ú ÐÚÓÙ Ú Ò n a = kn ÚÓÓÖ Ò k Zº ÎÓÓÖ Ð ¾º µ 24 mod 12 = 0 Û ÒØ ¾ Ð Ö ÓÓÖ ½¾ ÞÓ Ø Û Ò Ö Ø Òº µ 30 mod 12 = /12 = = 6º ÇÔ Ú ¾º Ö Ò µ 5 mod 3 µ 3 mod 5 µ 14 mod 3 µ 3.1 µ 3.1 º ¾ À Ö ÒÒ Ö Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ð Ø Ð x x Ø ÖÓÓØ Ø Ð Ø Ð Ð Ò Ö Ò Ó Ð Ò x Ù x x < x +1º
12 ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö ÇÔ Ú ¾º Ö Ò µ 12 mod 4 µ 13 mod 4 µ 13 mod 4º ÇÔ Ú ¾º Û Ø ÚÓÓÖ Ò Ò ØÙÙÖÐ Ø Ð n µ Ò Ò Ð Ø Ð a Ñ Ø 0 < a < n Ð Ø a mod n = a µ Ò Ò Ð Ø Ð a Ñ Ø n < a < 0 Ð Ø a mod n = a+nº ÇÔ Ú ¾º Û Ø ÚÓÓÖ Ò Ð Ø Ð a Ò Ø Ð n Ð Ø ((a mod n) 2 ) mod n = a 2 mod n. À ÒØ Ö a = kn+cº Å Ö Ð Ñ Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ö Ò ØÙÙÖÐ Ø Ð k ((a mod n) k ) mod n = a k mod n. Ð Û ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ò Ú Ò ÐÓ Ò Ò Ø ÓÚ Ö ¼ ÙÙÖ Þ Ð Ø Ð ÓÚ Ö ½ ¼ ÙÙÖº À Ø Ú Ö Ð Ò Ø ½ ¼¹ ¼ ½¾¼ ÙÙÖ Ò Ñ Ð Ð Ö ÓÓÖ ¾ ÙÙÖº Ï Ö Ú Ò (mod 24)º ÁÒ Ø Ð Ñ Ò Û Þ Ò a b(mod n) Ð a b Ð Ö ÓÓÖ nº Å Ø Ò Ö ÛÓÓÖ Ò a b(mod n) Ð Ò Ð Ø Ð a = b+kn ÚÓÓÖ Ò k Zº ÎÓÓÖ Ð ¾º Ö Ð Ø (mod 21) Û ÒØ = 105 Ð Ö ÓÓÖ ¾½º ÇÑ ÔÖ Ø Þ Ò 129 = º ÇÔ Ú ¾º µ Ô Ð Ò Ø Ð a ÞÓ Ò Ø 3 a(mod 9)º µ Ô Ð Ò Ø Ð a ÞÓ Ò Ø a 3(mod 9)º µ Ô Ð ÐÐ Ø ÐÐ Ò a Û ÖÚÓÓÖ 3 a(mod 9)º ÇÔ Ú ¾º½¼ µ Ö Ò b = 13 mod 3º µ Ð Ø b 13(mod 3) ÇÔ Ú ¾º½½ Ï Ø Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò b = a mod n Ò a b(mod n) Û Ö Ð Ø º ÇÔ Ú ¾º½¾ µ Å Ö ÓÔ Ø 5 3(mod 2)º Ô Ð Ò a ÞÓ Ò Ø a 12(mod 2)º µ Å Ö ÓÔ Ø 7 2(mod 5)º Ô Ð Ò a ÞÓ Ò Ø 14 a(mod 5)º Ö Ð Ø Ò ÚÓÖ ÓÔ Ú Ð Ò Ñ Ö Ð Ñ Òº
13 ¾º Ø ÐØ ÓÖ ËØ ÐÐ Ò ¾º¾ Ð Ð Ø ÐÐ Ò a Ò b Ò Ò Ø Ð n ÚÓÐ Ó Ò Ò a b(mod n), Ò Ð Ø ÓÓ ÚÓÓÖ Ö Ð Ø Ð c ac bc(mod n). ÇÔ Ú ¾º½ Û Ø ÐÐ Ò ¾º¾º ÚÓÐ Ò Ø ÐÐ Ò Ø ÒÓ ØÛ Ò Ö ÒÖ Ð º ËØ ÐÐ Ò ¾º Ð a b(mod n) Ò c d(mod n) Ò Ð Ø µ a+c (b+d)(mod n) µ ac bd(mod n)º Û Ï Ú Ò Ø Û Ú Ò µº À Ø Û Ú Ò µ ÛÓÖ Ø Ò Ð Ò ÇÔ Ú ¾º½ º a b(mod n) Ò c d(mod n) Ø ÒØ Ø a = b+in Ò c = d+ jn, ÚÓÓÖ Þ Ö i, j Z ÞÓ Ø a+c = b+d+(i+ j)n. À Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò a+c Ò b+d ÛÓÖ Ø Ù Ú Ò ÓÓÖ (a+c) (b+d) = (i+j)n, Ò Ù Ð Ö ÓÓÖ nº Ö Ð Ø Ù a+c (b+d)(mod n) Û Ø µ Û Øº ÎÓÓÖ Ð ¾º Ï Ú Ö ÒÚÓÙ Ò 7 2 (mod 5) Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ö ÒÖ Ð (7 2 ) 2 2 (mod 5) = 4(mod 5)º Æ Ñ Ò Ñ Ð n = 5 a = c = 7 Ò b = d = 2º
14 ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö ÎÓÓÖ Ð ¾º Ö Ð Ø 10 1(mod 9). Å Ø ÙÐÔ Ú Ò Ö ÒÖ Ð ÚÓÐ Ø ÒÙ Ø (mod 9), (mod 9). Å Ö Ð Ñ Ò ÞÓÒ Ö Û µ ÚÓÓÖ k 1 Ð Ø 10 k 1(mod 9). ÆÙ Ö Ò Ò Û Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ö ÒÖ Ð = ( )(mod 9) = 9(mod 9). Ò Ö Ø Ö Ò Ò Ð Ø Þ Ò Ø Ò Ö = º Å Ö Ð Ñ Ò Ð Ø Ø Ò Ø Ð Ð Ò ÓÑ Ú Ò Þ Ò Ñ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ Ø Û Ð Þ Ò Ð Ò a = k a j 10 j, Ñ Ø a j {0,..., 9} ÚÓÓÖ j = 1,..., k, j=1 a (a 1 + +a k )(mod 9). ÇÔ Ú ¾º½ µ Ô Ð Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ö ÒÖ Ð Ò ÓÚ Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Ð (mod 9)º µ À Ò Ö Ø Ñ Ø Ò Ù Ø Ö Ò Ò Û ÖØ Ø Ø ÒØÛÓÓÖ º Ã Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò µ Ó Ö Ò ÓÙØ Þ Ø Ò À Ò Ö ³ Ö Ò Ò º ÇÔ Ú ¾º½ Û ÓÒ Ö Ð µ Ú Ò Ø ÐÐ Ò ¾º º ¾º ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò À Ö ÒÒ Ö Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ð Ò Ò ØÙÙÖÐ Ø Ð ØÖ Ø ÖÓØ Ö Ò ½ Ø ÐÐ Ò Ð Ö ÓÓÖ ½ Ò Þ Þ Ð º Å Ø Ò Ö ÛÓÓÖ Ò Ò ÔÖ Ñ Ø Ð Ò Ø Ð Ñ Ø ÔÖ ØÛ Ð Ö º Å Ö ÓÔ Ø Ø Ø Ð ½ Ù Ò ÔÖ Ñ Ø Ð º ÇÔ Ú ¾º½ Ô Ð Ö Ø ½½ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Òº ÞÓ Ò Ñ Þ Ú Ò Ö ØÓ Ø Ò º ¾ ¼ Úº Öºµ Ò Þ Ö Ð ÒØ Ñ Ø Ó ÓÑ ÐÐ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ø Ú Ò Ò ØÙ Ò ¾ Ò Ò ÓÞ Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ø Ð Þ Mµº ÇÒ Ö Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø Û Ö Ò Ú Ò Þ Ú Ò Ö ØÓ Ø Ò Û Öº
15 ¾º Ø ÐØ ÓÖ Ð ÓÖ ØÑ Þ Ú Ò Ö ØÓ Ø Ò µ ½µ Å Ò Ð Ø Ú Ò Ø ÐÐ Ò ¾ ØÓØ Ò Ñ Ø Mº ¾µ Æ Ñ Ø Ð Ò Ø Ò Ø ÓÓÖ ØÖ ÔØ Ò Ò Ø ÓÑ Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ù Ø Ð Øº ÆÓ Ñ Ø Ø Ð x Ò ÓÑ Ö Ð Øº µ ËØÖ Ô ÐÐ Ú ÐÚÓÙ Ò Ú Ò Ø Ò Ø Ô ¾ Ð Ø Ö Ø Ð ÓÓÖ ÐÚ Ø Ø Ð Þ Ð Ø Û Ð Þ Ò ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ù Ø Ú ÖÞ Ñ Ð Ò {kx k 2, kx M}º µ µ ÁÒ Ò Ö ÒÓ Ø ÐÐ Ò Þ Ò Ò Ø ÓÓÖ ØÖ ÔØ Ó ÓÑ Ö Ð Þ Ò Ø ÖÙ Ò Ö Ø Ô ¾º µ Ò Ö Ø ÐÐ Ò ÓÑ Ö Ð Þ Ò ÔÖ ÐÐ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò {2,..., M}º ÇÔ Ú ¾º½ Ô Ð ÐÐ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò {1,..., 100}º ÇÔ Ú ¾º½ Ö ÙÑ ÒØ Ö Û ÖÓÑ Þ Ú Ò Ö ØÓ Ø Ò Û Ö Øº Ï ÖÓÑ Þ Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ÒÙ ÒÐ ÞÓ ÒØ Ö ÒØ Ö Ò Ø ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Þ Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ð ÓÙÛ Ø Ò Ò Ú Ò Ò ØÙÙÖÐ Ø ÐÐ Òº ÇÔ Ú ¾º½ Ë Ö Ø ÐÐ Ò ½ ¼ Ò ½ Ð ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Û Ö Ò Ò ÒÓ Ò ÔÖ Ñ Ø Ð Ñ Ö Ò Ò Ö Ñ ÖÙ Òµº Ø ÐÐ Ò Ù Ø ÓÔ Ú ÙÒÒ Ò Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ò Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Òº ÚÓÐ Ò Ø ÐÐ Ò ÓÓ Û Ð Ò Ð ÓÓ Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ö Ò ÙÒ Ó Ð ÔÖ Ñ ØÓÖ Ø Ø ÐÐ Ò Þ Ø Ø Ø Ð Ø ÚÓÓÖ Ö Ø Ð > 1µ Ò ÓÚ Ò Ò Ø Þ ØÓÖ Ø ÙÒ º Þ Ø ÐÐ Ò ÚÓÓÖ Ø Ö Ø Ù Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Û Þ Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø Ø Ó Û ÖÑ ÖÐ Ö Ö Ù ½ ½ µ Ò ½ ¼½ ÑÓ ÖÒ Ø ÐØ ÓÖ ÒÐÙ º ËØ ÐÐ Ò ¾º Ð Ø Ð n > 1 Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ÛÓÖ Ò Ö Ú Ò n = p α 1 1 pα k k, ÚÓÓÖ ÙÒ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò p 1,..., p k Ò Ø ÐÐ Ò α 1,..., α k º Ï ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ò Ø Ö Ø Ð Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ü Ø ÒØ µº ÙÒ Ø Ø Ú Ò ØÓÖ Ø ÔÖ Ò Û Ò Øº Ï Û Þ Ò Ü Ø ÒØ Ñ Ø Ò Û Ù Ø Ø ÓÒ Ö Ñ º Ï Ò Ñ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ò Ø Ø ØÓÖ Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ð Ø Ò Þ Ò Ø Ø ØÓØ Ò Ø Ò ÔÖ Ð Øº Ø Ø ÒØ Ø Ñ Ø ÒÒ Ñ ÓÒ Ù Ø Ò Ù Ø Ö Ø Ð Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Òº
16 ½¼ ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö Û ËØ Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÖÓØ Ö Ò ½ Ø Ò Ò Ø Ø ØÓÖ Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Òº Ò Ø Ø Ö ÓÓ Ò Ð Ò Ø Ø Ð Ñ Ø Þ Ò Ôº Ï ÒÓ Ñ Ò Ø Ø Ð nº Ï Û Ø Ò Ø n Ò ÔÖ Ñ Ø Ð Ò n > 1µº Ø Ø ÒØ Ù Ø n Ò Ð Ö d Ø Ñ Ø d > 1 Ò d < nº Ò Þ Ò d Ò Ð Ö Ú Ò n ÙÒÒ Ò Û Ö Ú Ò n = dk ÚÓÓÖ Þ Ö k Ñ Ø k < nº ÇÑ Ø n Ø Ð Ò Ø Ø Ð Ø Ò Ø Ø Ö Ú Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò ÞÓÛ Ð d < n Ð k < n Þ Ò d Ò k Û Ð Ø Ö Ú Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Òº Å Ö Ò Þ Ò n = dk Þ Ò Û Ø n Ò ÓÓ Ø Ö Ú Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Û Ø Ò Ø Ò ÔÖ Øº Ï Ö ÒÐ Þ Ð ÒÑ Ð Ð ÚÖ Ó Ú Ð ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ö ÒÙ ÒÐ Þ Òº ÊÓÒ ¼¼ Úº Öº Ð Ø ÙÐ Ð Þ Ò Ø Ö ÓÒ Ò Ú Ð ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Þ Òº ËØ ÐÐ Ò ¾º Ö Þ Ò ÓÒ Ò Ú Ð ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Òº ÙÐ Û Ø ÐÐ Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò Û Ù Ø Ø ÓÒ Ö Ñ º À Ò Ñ Ò Ø Ø ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ð Ø Þ Ò Ø Ø ØÓØ Ò Ø Ò ÔÖ Ð Øº Ø Ø ÒØ Ø Ñ Ø ÒÒ Ñ ÓÒ Ù Ø Ò Ù Ø Ö ÓÒ Ò Ú Ð ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Þ Òº Û Î ÖÓÒ Ö Ø Ð Ø Ø ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò º ÆÓØ Ö Þ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ñ Ø p 1,..., p M º ÁÒØÖÓ Ù Ö ÒÙ Ò Ò ÙÛ Ø Ð n n = p 1 p M + 1. Å Ö ÓÔ Ø Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ø Ð n ÖÓØ Ö Ò ÐÐ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ù Ø Ð Ø n p i ÚÓÓÖ ÐÐ i = 1,..., Mº ÇÑ Ø Û Ò Ò ÒÓÑ Ò Ø Ú ÖÞ Ñ Ð Ò {p 1,..., p M } ÐÐ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ú Ø n Ò ÔÖ Ñ Ø Ðº Ò Þ Ò n Ò ÔÖ Ñ Ø Ð ÑÓ Ø Ø ÓÓÖ Ø Ò Ñ Ò Ø ØÛ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò Ð¹ Ö Þ Ò Ú ÒÛ Ø ÐÐ Ò ¾º Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÔÖ Ñ Ø Ðµº À Ø Ø Ð n ÓÓÖ Ò Ò Ð Ú Ò Ø ÐÐ Ò p 1, p 2,..., p M Ð Ö Û ÒØ Ø Ø Ð n 1 = p 1 p 2 p M 1 p M Ö ÓÓÖ Ð Ø ÐÐ Ò Ð¹ Öº ÌÛ Ø ÐÐ Ò Ð Ø ½ Ú Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ò Ñ Ð ÒÓÓ Ø Ñ Ò ÔÔ Ð Ð Ö Ò Þ ÓÔ Ú ¾º µº Ø Ø ÒØ Ø ÔÖ Ñ ØÓÖ Ò Ú Ò n Ò Ø Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò {p 1, p 2,..., p M } ÚÓÓÖ ÓÑ Ò Û Ø Ò Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ñ Ø ÚÓÓÖÓÒ Ö Ø ÐÐ Ò º Ï ÐÙ Ø Ò Þ Ô Ö Ö Ñ Ø Ð Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÖÑ Ø Û Ð Ú Ò ÖÓÓØ Ð Ò Ò ÑÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö º ËØ ÐÐ Ò ¾º Ð p Ò ÔÖ Ñ Ø Ð Ò a Ò Ø Ð Ñ Ø ggd(a, p) = 1 Ò Ð Ø a p 1 1(mod p). Û ËØ Ô ½ Ö Ø Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ø ÐÐ Ò A = {a mod p, 2a mod p,...,((p 1)a) mod p}º Ï Û Ø Ò Ò
17 ¾º Ø ÐØ ÓÖ ½½ ÚÓÓÖ Ö Ø Ð x Ñ Ø ggd(x, p) = 1 Ð Ø 1 x mod p p 1º Å Ö ÓÔ Ø ggd(ai, p) = 1 ÚÓÓÖ i = 1,..., p 1 Û ÖÓÑ µº À ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø A Ò ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò Ú Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò {1,..., p 1}º ÇÑ Ø Û Þ Ò Ø A Ð Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò {1,..., p 1} Ø Ù ÚÓÐ Ó Ò Ø Ð Ø Ò Þ Ò Ø ÚÓÓÖ i, j {1,..., p 1} Ñ Ø i = j Ð Ø (ai) mod p = (aj) mod pº Ø ÚÓÐ Ø Ù Ø ÇÔ Ú ¾º¾½ Û ÖÓÑ µº ËØ Ô ¾ Í Ø ËØ Ô ½ Ò Ö ÒÖ Ð ÓÒÐÙ Ö Ò Û Ø Ó Û Ð a (2a) (3a) ((p 1)a) (p 1)(mod p), a p 1 (p 1)! (p 1)!(mod p). Ö Ð Ø Ù (p 1)!(1 a p 1 ) 0(mod p), Ó Û Ð (p 1)!(1 a p 1 ) Ð Ö ÓÓÖ pº Ò Þ Ò 1, 2,..., p 1 Ò Ø Ð Ö Þ Ò ÓÓÖ p Ø ÒØ Ø Ø 1 a p 1 Ð Ö ÓÓÖ p Ó Û Ð 1 a p 1 = kp ÚÓÓÖ Þ Ö k Zº Ø Ø a p 1 = 1+ kp Ó Û Ð a p 1 1(mod p) Û Ø Ø Û Ð٠غ ÎÓÓÖ Ð ¾º ÇÔ Ú Ò Ð Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÖÑ Ø Ð Ø 2 6 1(mod 7) Û Ø Û Ú Ö Ö Ò Ñ Ø Ö Ø Ö Ò Ò 2 6 = 64 = 9 7+1º ÇÔ Ú ¾º¾¼ Ö Ò (mod 31)º ÇÔ Ú ¾º¾½ Ð p Ò ÔÖ Ñ Ø Ð Ò a Ò Ø Ð Ñ Ø ggd(a, p) = 1 Ò Ð Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ò i Ò j Þ Ò Ñ Ø (ai) (aj)(mod p) Ò Ð Ø i = j(mod p)º
18
19 ÅÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö Ð Ò Ó Û ÐÐ Ò Ò ÓÖÑ Ø Ñ Ø Ð Ö Ù ØÛ Ð Ò Ú Ò ÔÙ Ð Ò Ðº Ö Ø Ö Ò Ö Ô Ö ÓÓÒ Ú Ú ÖÓÔÔ Öµ Ø Ò ÓÒÖ Ø Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÔÖÓ ÖØ Ð Ø Ò Ñ Ò ÓÓÖ Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ò»Ó Ú Ð Ö Ø Ò Ø Ú Ö ØÙÖ Ò Ù Ø Ò Ñ Ú Ò Ð Ó Ó º Ð Ò Ó Û ÐÐ Ò ÙÒ ÓÑÑÙÒ Ø Ú Ð Ò ÞÓ Ò Ø µ ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ø Þ Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ú ÔÖ Ú Ýµ µ Þ ÙÒÒ Ò Ô Ð Ò Ó Ò ÒÒ Ò ÓÑ Ò ÓÓ Ô Û Ö Ð Ú Ò Ò Ö Ò Ò Ø Ò Ú Ð Ö Ø ØÙÙÖ ÓÓÖ Ú ÙØ ÒØ Ø µº º½ ÈÙ Ð Ð ÙØ Ð ÒÖÝÔØ ÁÒ Ò Ð Ò Ó ÚÓÓÖ Ø ÓÑÑÙÒ Ø Ú Ø ÔÙ Ð Ò Ð ÒØ Ò Ð ÙØ Ð Ú Ò Ú Ð Ò Ð Ñ Ø Ð Ö Ù ØÛ Ð Ò Ò ÙÒÒ Ò Þ Ú ÖÚÓÐ Ò Ú Ð Ñ Ø Ð Ö ÓÑÑÙÒ Ö Ò Ú Ø ÔÙ Ð Ò Ðº À Ø Ö ÒØ Ð Ø Ð Ò Ó Ø Ù ØÛ Ð Ò Ú Ò Ð ÙØ Ð Ð Ö ÒØ Ø Ø ÙÒÒ Ò Ú Ö Ö Ò Ò Ø Ú Ò ØÓ Ò Ø ØÓØ Ø Ú Ð Ò Ðº ÇÑ Ø Ð Ò Ó Þ Ð Ð ÙØ Ð ÖÙ Ò ÛÓÖ Ø Þ ÚÓÖÑ Ú Ò ÖÝÔØÓ Ö ÝÑÑ ØÖ ÒÓ Ñ º Î Ø Ø Ö Ò Ø ÑÓ Ð Ó Û Ò Ð ÓÑ Ò Ð ÙØ Ð Ø ÔÖ Ò Ú Ò Ú Ð Ò Ðº À Ø ÓÒÚ Ð ÔÙ Ð Ò Ð Ò Ò Ñ Ò Ö Û ÖÓÔ Ð Ò Ó Ñ Ø Ð Ö ÙÒÒ Ò ÓÑÑÙÒ Ö Òº Î Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÒÙ ÑÓ Ð Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð ÒÖÝÔØ º ÁÒ Ø Ý Ø Ñ Ø Ö ÐÒ Ñ Ö ØÛ Ð ÙØ Ð Ò ÓÔ Ò Ö Ð ÙØ Ð Ò Ò Ñ Ð ÙØ Ðº ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð Ú Ò ÐÒ Ñ Ö ÚÓÓÖ Ö Ò Öº Ø Ø ÒØ Ù Ø ÞÓÛ Ð Ó Ð Ú Ö Ø Ò ÙÒÒ Ò ÓÒع Ò Ú Ö Ö Ò Ñ Ø ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð Ú Ò Ð º ÁÒ Ø Ò Ø ÐÐ Ò ØÓØ ÝÑÑ ØÖ ÖÝÔØÓ Ö Ñ Ð ÙØ Ð ÐÐ Ò Ò Ò Öº ÇÑ Þ Ö Ò ÛÓÖ Ø ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð ÒÖÝÔØ ÝÑÑ ØÖ ÒÓ Ñ º ÇÑ ÔÖ Þ Û Ö Ò Ú Ò ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð ÒÖÝÔØ Ø ÔÖ Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ò Û Ö Ø ÚÓÐ Ò ÒÓØ Ø º Ï ÒÓØ Ö Ò Ò Ö Ø Ñ µ Ñ Ø Mº Î ÛÓÖ Ø M Ð Ö Ø Ø ÒÓ Ñ º À Ø Ú Ö Ö Ò Ú Ò Ò Ö Ø Ñ Ø Ò ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð P Ø P(M)º Ò Ú Ö Ö Ø Ø ÛÓÖ Ø ÛÓÓÒÐ ÖØ Ø Ó ÖÝÔØÓ Ö Ñ ÒÓ Ñ º Å Ø ÙÐÔ Ú Ò Ñ Ð ÙØ Ð G ÓÓÖØ ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð P Ò Ø ÖÝÔØÓ Ö Ñ P(M) ÛÓÖ Ò ÓÒØ Ö M = G(P(M)). ½
20 ½ ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö À Ø Ú Ö Ö Ò Ú Ò Ò Ö Ø Ñ Ø Ò Ñ Ð ÙØ Ð G Ø G(M)º Å Ø ÙÐÔ Ú Ò ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð P ÓÓÖØ Ñ Ð ÙØ Ð G Ò Ø ÖÝÔØÓ Ö Ñ G(M) ÛÓÖ Ò ÓÒØ Ö M = P(G(M)). Ó Ò ÒÙ Ð ÚÓÐ Ø Ò Ö Ø Ò Ö Ð Ú Ö ØÙÖ Ò ÞÓÒ Ö Ø Ú Ø Ò Ð Þ Òº µ Ó Ú Ö ÖØ Þ Ò Ö Ø M Ñ Ø ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð Ú Ò Ð º Ø Ø Ø Ö Ø P A (M)º µ Ó ØÙÙÖØ Ú Ö Ö Ø Ø P A (M) Ú Ø ÔÙ Ð Ò Ð Ò Ö Ð º µ Ð ÓÒØ ÖØ Ú Ö Ö Ø Ø P A (M) ÓÓÖ Ö Ñ Ð ÙØ Ð Ø ÖÙ Ò M = G A (P A (M))º Ò Þ Ò Ð Ò Ñ Ø ØÓ Ò ØÓØ Ö Ñ Ð ÙØ Ð Û Ö ÓÖ Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ò Ö ÔÖ Ú Ý Ú Ò ÓÑÑÙÒ Ø º Ð Ò ÓÔ Þ Ñ Ò Ö Ø Ö ÒÓ Ò Ø Ô Ð Ò Û Ò Ö Ø Ò Ö Ö ØÙÙÖغ Ú Ø ÑÑ Ö ÓÓ Ò ÓÚ Ö ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð Ú Ò Ð º ËØ Ð ÒÙ Ø Ó Ð Ò Ö Ø Û ÐØ ØÙÖ Ò ÞÓ Ò Ø Ð Þ Ö Û Ø Ø Ø Ö Ø Ú Ò Ó ÓÑ Ø º Ø Ò ÓÔ ÚÓÐ Ò Ñ Ò Öº µ Ó Ú Ö Ð ÙØ ÐØ Þ Ò Ö Ø M Ñ Ø Þ Ò Ñ Ð ÙØ Ð Ø Ø Ø Ö Ø G B (M)º µ Ð ÓÒØÚ Ò Ø Ø Ö Ø G B (M) Ò ÓÒØ ÖØ Ø Ñ Ø Ó ³ ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð M = P B (G B (M))º ÓÚ Ò Ø Ò ÔÖÓ Ö Ò ÖØ ÙØ ÒØ Ø Ø Ú Ò Þ Ò Öº ÇÔ Ú º½ ÓÓÖ ÓÚ Ò Ö Ú Ò Ñ Ø Ó Ò Ø ÓÑ Ò Ö Ò Ò Ó Ö Ø Ò Ò Ð ØÙÖ Ò Û ÖÚ Ò ÔÖ Ú Ý Û Ö ÓÖ Ò ÞÓ Ò Ø Ð Þ Ö Û Ø Ø Ö Ø Ò ÓÑ Ø Þ Ò Ú Ò Ó º Ä Ù Ø Ó Ø ÑÓ Øº ÇÔ Ú º¾ ÓÙÛ Ò ÖÓ Ô Ú Ò 6 Ñ Ò Ò Ñ Ø Ð Ö ÙÒÒ Ò ÓÑÑÙÒ Ö Ò Ú Ò Ò ØÛ Ö Û Ö Ö Ò Ú Ò ÖÓ Ô Ò Ñ ÐÙ Ø Ö Òº ÌÓ Û Ð Ð Ô Ö Ú ÖØÖÓÙÛ Ð ÙÒÒ Ò ÓÑÑÙÒ Ö Ò ÞÓ Ø Ò Ú Ò 4 Ò Ö Ô Ö ÓÒ Ò Ò Ù Ø Ö Òº µ Å Ò ÖÙ Ø ÖÚÓÓÖ Ò ÝÑÑ ØÖ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñº ÀÓ Ú Ð Ñ µ Ð ÙØ Ð ÑÓ Ø Ð Ú Ò Ô Ö ÓÒ Ò Û Ö Ò Ò Ó Ú Ð Ú Ö ÐÐ Ò Ð ÙØ Ð Þ Ò Ö Ò ØÓØ Ð µ Å Ò ÖÙ Ø ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð ÒÖÝÔØ º ÀÓ Ú Ð Ñ Ð ÙØ Ð ÑÓ Ø Ð Ô Ö ÓÓÒ ÒÙ Û Ö Ò Ò Û Ø ÒÙ Ø ØÓØ Ð ÒØ Ð Ð ÙØ Ð Ï Ò ÒÓ Ò Ø Ö Ú Ò Ó Ñ Ò Ò ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð P Ò ÓÖ Ò Ñ Ð ÙØ Ð G ÓÑغ ÁÒ ÚÓÐ Ò Ô Ö Ö ÔÖ Ò Û Ò Ø Ò Ñ Ø ÖÙ Ø Ñ Ø Ó ÖÚÓÓÖ Ø ÊË Ý Ø Ñº º¾ ÊË À Ø ÊË Ý Ø Ñ ÒÓ Ñ Ò Ö Ö Ò Ö Ê Ú Ø Ë Ñ Ö Ò Ð Ñ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÚÓÓÖ Ø ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð Ý Ø Ñ Ø ÖÙ Ñ Ø Ú Ò Ø ÐØ ÓÖ º
21 º ÅÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö ½ Î Ò ÒÙ Ò Û ÖÚ Ò Ù Ø Ø Ö Ø Ò Ú Ò Ð Ò Ó Ø Ò Ù Ø Ò Ø Ð xº Ó Ø ÚÓÓÖ Ø Ñ Ò Ú Ò Þ Ò Ñ Ð ÙØ Ð G B Ò ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð P B Ð ÚÓÐ Ø Ø Û Ö º ÊË ¹ Ð ÓÖ ØÑ µ Ò Ö Ö Û ÐÐ ÙÖ ØÛ ÖÓØ ÔÖ Ñ Ø ÐÐ Ò p Ò q p = qµ Ú Ò ÓÒ Ú Ö ½ ¼ Ö Ò Ö Ò n = pqº µ Ã Ò Ø Ð e > 1 Ø ÚÓÐ Ó Ø Ò ½µ e < (p 1)(q 1) ¾µ ggd(e,(p 1)(q 1)) = 1º µ Ô Ð Ò Ø Ð d > 1 Ø ÚÓÐ Ó Ø Ò ½µ d < (p 1)(q 1) ¾µ ed 1(mod(p 1)(q 1))º Úµ ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ Ñ Ð ÙØ Ð G B Ò ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð P B Þ Ò ÒÙ Ð ÚÓÐ Ø Ò Ö G B (x) = x d mod n, P B (x) = x e mod n. Ø ÐÐ Ò e Ò n Þ Ò ÓÔ Ò Ö Ò Ô Ð Ò ÓÔ Ò Ö Ð ÙØ Ðº Ñ Ð ÙØ Ð dº Æ ØÙÙÖÐ Þ Ò p Ò q ÓÓ Ñ Û ÒØ d ÖÙ Ø Ø Ð Òµ Ñ Ö Þ Þ Ò Ò Ø Ñ Ö ÒÓ ÚÓÓÖ Ø Ö Ò Ò Ú Ò G B º Ú Ö Ð x ÛÓÖ Ø Ð Ò Ö Ò n ÒÓÑ Òº ÎÓÓÖ Ø Û Ø Ý Ø Ñ Ò Ö ÔÖ Ò Ò Û Ö Ø Ò ÚÓÓÖ Ð º ÎÓÓÖ Ð º½ ÁÒ Ø ÚÓÓÖ Ð ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Û Ò ÔÙ Ð Ò Ñ Ð ÙØ Ð Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ø ÊË Ð ÓÖ ØÑ º µ Æ Ñ p = 3 Ò q = 11º Ï Þ Ò Ø n = 3 11 = 33 Ò (p 1)(q 1) = (3 1)(11 1) = 20º µ Ï Þ Ò e = 7 Ò Ö ggd(7, 20) = 1µº µ Ï Ò Ò Ø Ð d ØÙ Ò ½ Ò ¾¼ ÒÓ Ø ÚÓÐ Ó Ø Ò 7d 1(mod 20)º Ï Þ Ò Ñ Ø Ò Ø d = 3 ÚÓÐ Ó Øº Úµ ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð ÛÓÖ Ø Ù Ú Ò ÓÓÖ ÚÓÓÖ Ò Ö Ø x < 33 P B (x) = x 7 mod 33 Ò Ñ Ð ÙØ Ð ÓÓÖ G B (x) = x 3 mod 33. Ð Ú Ö ÖØ ÒÙ Ø Ö Ø x = 2 Ñ Ø ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð Ú Ò Ó P B (2) = 2 7 mod 33 = 128 mod 33 = 29. À Ø Ú Ö Ö Ö Ø Ù ¾ ³º Ó ÓÒØÚ Ò Ø Ø Ú Ö Ö Ö Ø Ò ÓÒØ ÖØ Ø Ñ Ø Þ Ò Ñ Ð ÙØ Ð G B (29) = 29 3 mod 33 = ((29 mod 33) (29 2 mod 33) mod 33) = ((29 mod 33) (841 mod 33) mod 33) = (29 16) mod 33 = 464 mod 33 = 2.
22 ½ ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö ÇÔ Ú º à p = 2 Ò q = 5º µ Ô Ð n e Ò dº µ µ Î Ö Ö Ñ Ø ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð Ø Ö Ø x = 2º µ ÇÒØ Ö Ø Ú Ö Ö Ö Ø Ù Ø µ Ñ Ø Ñ Ð ÙØ Ðµº µ µ Î Ö Ö Ñ Ø ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð Ø Ö Ø x = 3º µ ÇÒØ Ö Ø Ú Ö Ö Ö Ø Ù Ø µ Ñ Ø Ñ Ð ÙØ Ðµº ÇÑ Ø Ð Ø Ò Þ Ò Ø Ø ÊË Ð ÓÖ ØÑ Û Ö Ø ÑÓ Ø Ò Û Ú Ö Ö Ò Ø Ò Ö Ð Ø G B (P B (x)) = x Ò P B (G B (x)) = x ÚÓÓÖ ÐÐ x < nº ÚÓÐ Ò Ø ÐÐ Ò Û ÓÓ Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÑÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö ³ ÞÓÙ Ò ÙÒÒ Ò ÒÓ Ñ Ò Ð Ø Þ Ò Ø Ø Ò Ö Ø Ú Ð º ËØ ÐÐ Ò º½ ÎÓÓÖ ÐÐ Ø ÐÐ Ò x < n Ð Ø G B (P B (x)) = x Ò P B (G B (x)) = x. Û Ã Ò Û ÐÐ ÙÖ x < nº Ï Ò Ð Ø Ò Þ Ò Ø G B (P B (x)) = xº À Ø Û Ø P B (G B (x)) = x Ø ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Öº ÁÒÚÙÐÐ Ò Ú Ò P B (x) Ò G B Ø G B (P B (x)) = (x e mod n) d mod n. ÓÓÖ ÖÙ Ø Ñ Ò Ú Ò Ö ÒÖ Ð ÚÓÓÖ ÑÓ ÙÐÓ Ö Ò Ò Þ ÓÔ Ú ¾º µ Þ Ò Û Ø G B (P B (x)) = (x e mod n) d mod n = x ed mod n. Ò Þ Ò ed 1(mod(p 1)(q 1)) ÙÒÒ Ò Û ed Ö Ú Ò Ð ed = 1+ α(p 1)(q 1), ÚÓÓÖ Ò Ð Ø Ð αº ÁÒ Ò Û Ø ÒÚÙÐÐ Ò Ò Ø ÚÓÖ ÔÐ Ý Ö Ò Û G B (P B (x)) = x 1+α(p 1)(q 1) mod n. º½µ À Ö ÒÒ Ö Ø Ð Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÖÑ Ø Þ Ø ÐÐ Ò ¾º µ ÓÒ Ú ÖØ ÐØ Ø ÚÓÓÖ Ö ÔÖ Ñ Ø Ð z Ò Ø Ð y Ð Ø y z 1 1(mod z)º Ò ØÓ Ô Ò Ñ Ø y = x Ò z = p Ð Ø Þ Ò Ø x p 1 1(mod p). Å Ø Ö ÒÖ Ð ÚÓÓÖ ÑÓ ÙÐÓ Ö Ò Ò Þ ËØ ÐÐ Ò ¾º µ ÚÓÐ Ø ÒÙ x α(p 1)(q 1) = ( x p 1) α(q 1) 1(mod p). Ù Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ò Ñ Ø x Ø Þ ËØ ÐÐ Ò ¾º¾µ x 1+α(p 1)(q 1) x(mod p).
23 º ÅÓ ÖÒ ÖÝÔØÓ Ö ½ ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö ÚÓÐ Ø Ø x 1+α(p 1)(q 1) x(mod q). À ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Û ÖÓÑ µ x 1+α(p 1)(q 1) x(mod pq) = x(mod n). Ö Ð Ø Ù x 1+α(p 1)(q 1) = x+kn ÚÓÓÖ Ò Ð Ø Ð nº ÓÓÖ Ø Ò Ø ÚÙÐÐ Ò Ò Ú Ö Ð Ò º½µ Ò Ø Ö ÒÒ Ö Ò Ø x < n Þ Ò Û Ø G B (P B (x)) = (x+kn) mod n = x, Û Ø Ø ÐÐ Ò Û Øº Ð Ú Ø ÐÙ Ø ÓÑ n Ø ÓÒØ Ò Ò Ò ÔÖ Ñ ØÓÖ Ò Þ Ø ÐÐ Ò ¾º µ Ò ÒØ Þ p Ò q Ò Ù (p 1)(q 1)º Í Ø (p 1)(q 1) Ò e Ò Þ Ò Ñ Ð ÙØ Ð d Òº À Ø ÊË Ý Ø Ñ Ù ÓÒÚ Ð Ð Ö Ò Ö Ð Ò Ð Ð ÓÖ ØÑ Ø Ø ÓÑ Ø ÐÐ Ò Ø ÓÒØ Ò Ò Ò ÔÖ Ñ ØÓÖ Òº Ó³Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø Ø ÒÓ µ Ò Øº Ö Ò Ú Ò Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ú Ö ½ ¼ Ñ Ð Ö ÖÚÓÓÖ Ò Û Ð Ú Ð Ú ÖÒÙ Ø ÔÔ Ö ØÙÙÖ Ò Ö ÒØ ÒÓ µº ÇÚ Ö Ò Ø ÓÓ Ò Ö Ø ÊË ÓÔ Ò Ò Ö Ñ Ò Ö Ö Ø Ò ÛÓÖ Ò Ò ÓÓÖ ÓÒØ Ò Ò Ú Ò n Ñ Ö Ø ÛÓÖ Ø Ò Ø Û Ö ÒРغ ÇÔ Ú º Ú ÓÒ Ö ÔØ Ø Ö Ø 10³ Ø Ñ Ø ÔÙ Ð Ð ÙØ Ð e = 5 Ò n = 91 Ú Ö ØÙÙÖ Ù P B (x) = 10µº µ À ÐÔ Ú ÓÑ Ñ Ð ÙØ Ð d Ø Ô Ð Òº µ ÇÒØ Ö Ø Ö Øº
24
Å ØÖ ÜÖ Ò Ò ÖØ ÀÙ Ð
Å ØÖ ÜÖ Ò Ò ÖØ ÀÙ Ð ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÙÒ ¾¼½½ Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÓÑ ÖÙ Ø Ø ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Òº Ø Ø Ø ØÓØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÓÖ Ñ ÒÛ Ö Ò Ñ Ø Ä Ñ ÖØ Ú Ò ËØÖ ØÙÑ Ú Ò Ø Å ÐÐ À ÐÐ ÓÐÐ Ø Ó ÖÐ º ÁÒ ÓÖÑ Ø Û
Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò
Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÖÙ Ö ¾¼½¾ Ø Ø Ø Ø Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Ò Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò Ð ÜØÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Û ÙÒ Ð ÙÖ Òµº À Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Ò Ñ
Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò
Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÖÙ Ö ¾¼½½ Ø Ø Ø Ø Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Ò Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò Ð ÙÞ ÑÓ ÙÐ ÚÓÓÖ Ø Ú Ï ÙÒ º À Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Ò Ñ Ö Û
ÁÒØ Ö ÐÖ Ò Ò Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö
ÁÒØ Ö ÐÖ Ò Ò Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ Ñ ÖØ ¾¼½½ Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÓÑ ÖÙ Ø Ø ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Òº Ø Ø Ø ØÓØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÓÖ Ñ ÒÛ Ö Ò Ñ Ø ÀÙÙ Ú Ò Ò ÀÓÙØ Ú Ò ¾ ÓÐÐ Ó Ò¹ ÒÐÝ ÙѺ Ø Ö
Ò Ö Ó ÖØ ÀÙ Ð ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÙÒ ¾¼½¼ Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÓÑ ÖÙ Ø Ø ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Òº Ø Ø Ø ØÓØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÓÖ Ñ ÒÛ Ö Ò Ñ Ø Â Ò ÃÓÐ Ò Ú Ò Ø Å ÐÐ À ÐÐ ÓÐÐ Ø Ó ÖÐ º ÁÒ ÓÖÑ Ø Û ÙÒ» ÓÔ ÍÚÌ ÁÒ ¾¼¼
Ø p = q = r = 0º. A = A 1 i + A 2 j + A 3 k. ½º A + B = (A 1 + B 1 )i + (A 2 + B 2 )j + (A 3 + B 3 )k. ¾º ca = ca 1 i + ca 2 j + ca 3 k
ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ½ ¼ ÔÔ Ò Ü ¹ Ä Ò Ö Ð Ö º½ º½º½ Î ØÓÖÖ Ò Ò ÓÚ Ö Ö Ð ÖÙ ÑØ Ë Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ï ÓÒ Ö Ò Ð Ö Ò Ó Ð Ö ÖÓÓØ Òµ ÓÓÖ Ò Ø Ð Ô Ð ÖÓÓØ Ò ÞÓ Ð Ñ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖº Ú ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ö Ø Ò Ò Ò Ø Ð Ô Ð ÖÓÓØ
Ü Ò Ê Ø Ò Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ØÓ Ø Ñ Ø Å Ð ÒÑ ÒØ Ë Ð Ø Ê ÙÐØ Ç ÖÚ ØÓÖÝ ÓÒ Ü Ò Ê Ø Ñ Ö ÓÒ ÖÒ Ò Å Ö Ð Å È¹ Ëȹ Î Å Ý ½½ ¾¼½ Ëȹ Î Å Ý ¾¼½ º
Ç ÖÚ ØÓÖÝ ÓÒ Ü Ò Ê Ø Ñ Ö ÓÒ ÖÒ Ò Å Ö Ð Å È¹ Ëȹ Î Å Ý ½½ ¾¼½ Ì Ð Ò ÔÓ ÒØ ½ ¾ ØÖ Ò Ô ÖØÒ Ö ÓÑÔ Ö ÓÒº ÛÓÖÐ Ø Ò Üº Ü Ò Ê Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÔÖÓ º Ö ÒØ Ò Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ð ÆÓÑ Ò Ð Ü Ò Ö Ø ÍÒ Ø Ó ÓÖ Ò ÙÖÖ ÒÝ Ò ÖÝ ØÓ ÙÝ
r = x i + y j + z k. a = lim dt. dt = d2 r
¾ ÃÄ ËËÁ à ŠÀ ÆÁ ½ ¾ ÃÐ Ñ Ò ¾º½ ÁÒÐ Ò ÁÒ Ñ Ò Û ÐÐ Ò Û Ò Ò Ú Ò ÐØ Ó Ñ Ö Ð Ñ Ò Ó Ø Ò Ø Û Ð Þ Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ò Ú Ò Ð µ Ö Ú Òº ÇÑ Ò Ö Ð Ö Ú Ò ÑÓ Ð Ø Ñ Ò Þ Ò Û Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð µ ÖÙ ÑØ
Ò Ò Ð Ï ÙÒ ÐÐ Â Ò Ò ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ À Ö ÖØ À Ñ Ö Å Ö ÉÙ ÒØ ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÔÖ Ð ¾¼½½ Ø Ø Ø Ò Ò ÙÛ Ú Ö Ú Ò Ø Ò ¾¼½¼ Ú Ö Ò Ò Ø Ø ÁÒÐ Ò Ò Ò Ò Ð Û ÙÒ º À Ø Ø Ò ÒÐ Ò Ò Ò Ò Ð Û ÙÒ Ò Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò ÙÞ ÑÓ ÙÐ ÚÓÓÖ Ø
à ÌÀÇÄÁ à ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÁÌ Ä ÍÎ Æ ÍÄÌ ÁÌ ÌÇ È ËÌ Ï Ì ÆË À ÈÈ Æ È ÊÌ Å ÆÌ Ä ÃÌÊÇÌ ÀÆÁ Ã Ã Ø ÐÔ Ö Ö Ò Ö ½¼ ¼¼½ Ä ÙÚ Ò À Ú ÖÐ µ ËÍ Æ Æ Ê ÉÍ Æ ß ÇÅ ÁÆ ÈÌÁÎ ÁÄÌ ÊÁÆ Ì ÀÆÁÉÍ Ë ÇÊ ËÈ À ÆÀ Æ Å ÆÌ ÁÆ À Æ Ëß Ê ÇÅÅÍÆÁ
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Ê Ð Ø Ú Ø Ó ÑÓÐÓ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÁÒ ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ò Ò Û Ô Ð Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð º ÓÒ ÔØ Ò Ú Ò ÖÓÑ ÖÙ Ñ Ò Ø Þ Ò Ù Ö Û Û Ø Ò
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Ê Ð Ø Ú Ø Ó ÑÓÐÓ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÁÒ ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ò Ò Û Ô Ð Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð º ÓÒ ÔØ Ò Ú Ò ÖÓÑ ÖÙ Ñ Ò Ø Þ Ò Ù Ö Û Û Ø Ò Û Ð Ú Ö Ò Ö Ø Ø ØÙ Ò Ñ ØÖ Ò ÒÛ Þ Ñ Ò Ò Ö Ò Þ Ò Ò Ø
ds 2 = g µν dx µ dx ν.
ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ º½ Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ À ØÓÖ ÒØÖÓ ÙØ Ò Ò Ø Ò ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÖ Ò Ò Ø ÔÖ ÐÐ Ò Ú Ò ØÛ ÒØ Ø ÙÛº Ò ÒØ Ò ÙÛ Û Ò Ø Ø Ò Ò ÓÑ Ò Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ ÚÓÒ Þ Ò Ò ÙÒ ÔÓ Ø ÚÓÓÖ Ø Ö
Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator)
Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Modelgebaseerde Cardiovasculaire Pathofysiologie Vakcode: 8VB20 Datum: 27-06-2016 Begintijd: 13:30 Eindtijd:
¾
½ Ö Ú Ø Ø Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÓÖ ÈÖÓ º Ö ÂÓ ÒÒ ºÂº Ú Ò Ò Ö Ò Ö º Å Ö Ö Ð Ò Æ ØÙÙÖ ÙÒ Ò ËØ ÖÖ Ò ÙÒ ÙÐØ Ø Ö Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ñ Ò Æ Ø ÓÒ Ð Ò Ø ØÙÙØ ÚÓÓÖ Ù ØÓÑ Ö Ý ¾ ÇÆÌ ÆÌË ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒÐ Ò ¾ ÃÐ Ñ Ò
Ó Ë ÙÐ Ò Ó Ë ÙÐ Ò Ï Ð ÐѻŠÙÖ Ö ÓÑÔ Ð Ö Ò ÔØ Ö ½¾ ÅÓÓÐÝ Ë Ú Ì Ð Ú Ú ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
Ï Ð ÐѻŠÙÖ Ö ÓÑÔ Ð Ö Ò ÔØ Ö ½¾ ÅÓÓÐÝ Ë Ú Ì Ð Ú Ú ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä Ú Ð È Ö ÐÐ Ð Ñ ÁÄȵ Ö Ø ØÙÖ Ô Ð Ó ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ü ÙØ ÓÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ò ØÖÙØ
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ËØÖ Ò ¹Å Ø Ò ÓÚ Ö ËÙÆÜ ÌÖ Ó Í ÓÒ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À Ð Ò Èº Ǻ ÓÜ ¾ Ë ß¼¼¼½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À Ð Ò ÒÐ Ò Ñ Ð Ù ÓÒ Ò ºÀ Ð Ò º Á
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ËØÖ Ò ¹Å Ø Ò ÓÚ Ö ËÙÆÜ ÌÖ Ó Í ÓÒ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À Ð Ò Èº Ǻ ÓÜ ¾ Ë ß¼¼¼½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À Ð Ò ÒÐ Ò Ñ Ð Ù ÓÒ Ò ºÀ Ð Ò º Á ØÖ Øº Ì Ð Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ Ò ßÑ Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ø ÐÓ¹
ÉÙ ÒØÙÑ ÄÓ Ð ÝÑÔØÓØ ÆÓÖÑ Ð ØÝ Ò ÓØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÉÙ ÒØÙÑ ËØ Ø Ø ÈÖÓ Ö Ø Ø Ö Ú Ö Ö Ò Ú Ò Ö Ú Ò ÓØÓÖ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ò ÓÔ Þ Ú Ò Ê ØÓÖ Å Ò Ù ÔÖÓ ºÑÖº Ⱥ º Ú
ÉÙ ÒØÙÑ ÄÓ Ð ÝÑÔØÓØ ÆÓÖÑ Ð ØÝ Ò ÓØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÉÙ ÒØÙÑ ËØ Ø Ø ÈÖÓ Ö Ø Ø Ö Ú Ö Ö Ò Ú Ò Ö Ú Ò ÓØÓÖ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ò ÓÔ Þ Ú Ò Ê ØÓÖ Å Ò Ù ÔÖÓ ºÑÖº Ⱥ º Ú Ò Ö À Ò ÚÓÐ Ò ÐÙ Ø Ú Ò Ø ÓÐÐ ÚÓÓÖ ÈÖÓÑÓØ Ø Ú Ö Ò ÓÔ
FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN
FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN ÙÐØ Ø ÁÒ Ò ÙÖ Û Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ø Ñ Ò ÎÓÓÖÞ ØØ Ö ÔÖÓ º Öº Öº º Î Ò ÑÔ Ò ÓÙØ Ñ Ö ¾¼¼ ¾¼¼ ÇÒØÛ Ð Ò Ú Ò ÑÙÐØ Ñ Ð Û ÔÔÐ Ø Ñ Ø Å ÖÓ Ó Ø Ë ÐÚ ÖÐ Ø ÖØ ÄÓÓ
ÉÙ ÒØÙÑÑ Ò ÀÇÎÇ ÍÊËÍË Æ Ö ¾¼¼ ÓÓÖ ÈÖÓ º Ö ÁÒ º º º º Ú Ò Ò Ö Ò ÙÐØ Ø Ö Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Ð Ò Æ ØÙÙÖ ÙÒ Ò ËØ ÖÖ Ò ÙÒ ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò ½
ÉÙ ÒØÙÑÑ Ò ÀÇÎÇ ÍÊËÍË Æ Ö ¾¼¼ ÓÓÖ ÈÖÓ º Ö ÁÒ º º º º Ú Ò Ò Ö Ò ÙÐØ Ø Ö Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Ð Ò Æ ØÙÙÖ ÙÒ Ò ËØ ÖÖ Ò ÙÒ ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò ½ ¾ ÓÒØ ÒØ ½ ÏÁËÃÍÆ Á ÁÆÌ ÊÅ Ç ¹ Á ½º½ Î ØÓÖÖ Ò Ò ÓÚ
ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ï ÙÒ ÚÓÓÖ Ö ÓÒÓÑ Ò À Ö ÖØ À Ñ Ö Ó Ã Ô Ö ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ
ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ï ÙÒ ÚÓÓÖ Ö ÓÒÓÑ Ò À Ö ÖØ À Ñ Ö Ó Ã Ô Ö ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ Å Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÚ Ö Þ Ò Ò Ö Ù Ø Ú Ò ÙÒØ Ù Ú Ö Ö Ò Ë Ù ÃÐ ÒØ Ò ÖÚ ÈÓ Ø Ù ¾¼¼½ ¾ ¼¼ Ò À Ø Ðº ¼ ¼µ ¼ ÛÛÛº ÙºÒл ÖÚ Ö Ø ÖÙ Ú Ò Ø Ó Ú Ö Ò Ò ÓÒ Ö Ø
Ò Ø ÓÑ Ò ÄÈ ËÓÐÚ Ö ÓÒ ÌÓÔ Ó Å ÖÙÖÝ À Ò Î Ò Ø Ð ÖØ ÑÓ Ò Ò Ö Â Ò Ò ÃºÍºÄ ÙÚ Ò Ô ÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÙØ ÖÛ Ø Ò ÔÔ Ò Ð Ø Ò ÒÐ Ò ¾¼¼ ¹ ¼¼½ À Ú ÖÐ Ò ºÚ Ò Ø Ð Öغ ÑÓ
Ò Ø ÓÑ Ò ÄÈ ËÓÐÚ Ö ÓÒ ÌÓÔ Ó Å ÖÙÖÝ À Ò Î Ò Ø Ð ÖØ ÑÓ Ò Ò Ö Â Ò Ò ÃºÍºÄ ÙÚ Ò Ô ÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÙØ ÖÛ Ø Ò ÔÔ Ò Ð Ø Ò ÒÐ Ò ¾¼¼ ¹ ¼¼½ À Ú ÖÐ Ò ºÚ Ò Ø Ð Öغ ÑÓ Ò Ö º Ò Ò º ÙÐ ÙÚ Òº º ØÖ Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ö Ò Û ÑÔÐ
ÇÔØ ÒØÛÖÒ ÒÙÛ ØÖÒ ÓÒ ÚÖÒÒÒ ÖØ ÙÐÖ Ò ÂÓÖ ÃÐÚÖ ¾ ÒÙÖ ¾¼¼½ ÁÒÓÙ ÓÔÚ ½ ÁÒÐÒ ¾ ¾ ÌÒÓÐÓ ¾ ¾º½ ÁÒÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÏÅ ßÒ ÏÚ Ú ÓÒ ÅÙÐØÔÐÜÒ º
ÄÓÒ Ú ØÝ Ê Ò Ä ÁÒ ÙÖ Ò ÈÖÓ ÙØ
ÄÓÒ Ú ØÝ Ê Ò Ä ÁÒ ÙÖ Ò ÈÖÓ ÙØ ÄÓÒ Ú ØÝ Ê Ò Ä ÁÒ ÙÖ Ò ÈÖÓ ÙØ ÈÖÓ Ö Ø Ø Ö Ú Ö Ö Ò Ú Ò Ö Ú Ò ÓØÓÖ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú Ò Ì Ð ÙÖ ÓÔ Þ Ú Ò Ö ØÓÖ Ñ Ò Ù ÔÖÓ º Öº È º Ð Ò Ö Ò Ø ÓÔ Ò Ö Ø Ú Ö Ò Ø Ò ÓÚ Ö Ø Ò Ú Ò Ò ÓÓÖ
ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç ÇËÄÇ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÌÓÛ Ö ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ð ØÖÓÒ ÓÒØÖ Ø ½ Ê Ö Ê ÔÓÖØ ÆÓº Ö Ø Ò ÈÖ Ö Ù Ö Ö Ó Ë Ò Ö Á Ò ¾¹ ¹ ¼ ¹¾ Á Ò ¼ ¼ ¹ ¼ Â ÒÙ ÖÝ ¾¼
ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç ÇËÄÇ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÌÓÛ Ö ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ð ØÖÓÒ ÓÒØÖ Ø ½ Ê Ö Ê ÔÓÖØ ÆÓº Ö Ø Ò ÈÖ Ö Ù Ö Ö Ó Ë Ò Ö Á Ò ¾¹ ¹ ¼ ¹¾ Á Ò ¼ ¼ ¹ ¼ Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ÌÓÛ Ö ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ð ØÖÓÒ ÓÒØÖ Ø Ö Ø Ò ÈÖ Ö Ù Ö
ÌÝÔ ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÖ Ò Ö ÌÖ Ú Ö Ð Ê Ð ÄĐ ÑÑ Ð ½ ¾ Ò ÂÓÓ Ø Î Ö ½ ½ ÏÁ ÃÖÙ Ð Ò ½ ÆĹ½¼ ËÂ Ñ Ø Ö Ñ ¾ ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ð Ð Ò ½¼ ½ ÆĹ½¼ ½ ÀÎ Ñ Ø Ö Ñ Ñ Ð Ê Ð ºÄ
ÌÝÔ ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÖ Ò Ö ÌÖ Ú Ö Ð Ê Ð ÄĐ ÑÑ Ð ½ ¾ Ò ÂÓÓ Ø Î Ö ½ ½ ÏÁ ÃÖÙ Ð Ò ½ ÆĹ½¼ ËÂ Ñ Ø Ö Ñ ¾ ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ð Ð Ò ½¼ ½ ÆĹ½¼ ½ ÀÎ Ñ Ø Ö Ñ Ñ Ð Ê Ð ºÄ ÑÑ Ð ÂÓÓ ØºÎ ÖµÛ ºÒÐ ÏÏÏ ØØÔ»»ÛÛÛºÛ ºÒл Ö Ð Ú Öµ»
Speech Recognizer. Dialogue Manager. Semantic Analyzer. Response. Speech Synthesizer. Acoustic signal. Text. Semantic representation. Query.
ËØÓ Ø ËÔ ÍÒ Ö Ø Ò Ò ÓÖ ÀÙÑ Ò¹ ÓÑÔÙØ Ö ÐÓ Ù Ò Ó Ù Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÖÒ Å ÐÐÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ È ØØ ÙÖ È ½ ¾½ ÍË Ó Ù ºÑÙº Ù Å Ö Ò ÓÐ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ ÈÓÐ Ø Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì Ñ Ó Ö ÐÚ º È ÖÚ Ò ¾ Ì Ñ Ó Ö ÊÓÑ
ÇÒÐÒ Ò ÓÐÙØ ÛÖ Ç ÚÒ Ò ÓÒÐ ÒÖ ÒÖ ÓÚÖ Ø Ò ÛÖ Ö Ø ØÓÖ ÝØ Ó ½Ýص ÚÖÒÚÙÐ Ò Ó ÓÒÐ Ø ÛÖÒ ÓØ ØÓÖ ÔÓ Ø ÞÒ ºÛºÞº Ý Ò Ø ÓØÒ ØÞÐ ØÒ Òº Ï ÞØØÒ Ò ÔÔÒ ÓÚÖ ÓÒÐÒ Ö ÓÔ
ÓÖÙÖ Ù Ï ÙÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ÖÓÔ ÏØÒ Ô ² ÌÒÓÐÓ ËÔØÖ ¼¼ ÇÒÐÒ Ò ÓÐÙØ ÛÖ ÚÖ ÙÒ ¼¼µ ÁÒÐÒ Þ ÓÙÐ ÓÔÚØ Ð Ò ÞÐ ØÙÓÙÐ Ø Ø Ò ÙØÖ ÓÚÖÞØ ÚÒ ÞÖ ÙØÒÐÓÔÒ Ò ÔÔÒ Ø Ò Ò Ø ÓÒÐÒº ÓÙÐ Ò ÓÓ ÖÙØ ÛÓÖÒ Ð Ò ÐÛÖº ÁÒ ÓÖÙÖ Ù ÛÓÖÒ
(a n cosnx + b n sin nx) = 0 ½µ 2 + =: P (ω+1), P (n) =: P (ω), n=1
Å Ò ÒÐ Ö À ØÓÖ Ò ÖÙÒ Îº à ÒÓÚ Òº µ Ϻ ÈÙÖ ÖØ Òº ½ ¾ µ ½ ÁÒ ÐØ ½º ÒÐ ØÙÒ ¾º ÒØ Ø ÙÒ Ù Å Ò ÒÐ Ö º Ö Ö Ò ÚÓÒ Ò ØÓÔÓÐÓ Ò ÊÙÑ Ò ÞÙÖ Ô Þ ÐÐ Ö Ò Ì ÓÖ Ö Ñ ØÖ Ò ÊÙÑ º ÙÖ Ê Þ ÔØ ÓÒ Ö Å Ò ÒÐ Ö º À Ù ÓÖ ÙÒ ÄÙ Ò º
ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ ÙÐØ Ø ÌÓ Ô Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ø Ñ Ò ÄÁ˵ ÎÓÓÖÞ ØØ Ö ÈÖÓ º Öº ÁÖº º Î Ò ÑÔ Ò ÓÙØ ÙØÓÑ Ø ÒÖ Ð Ø Ú Ò ÑÙÞ Ú ÙÔÔÓÖØ Ú Ø
ÍÒ Ú Ö ØØ ÒØ ÙÐØØ ÌÓ Ô Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÐØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ø Ñ Ò ÄÁ˵ ÎÓÓÖÞ ØØ Ö ÈÖÓ º Öº ÁÖº º Î Ò ÑÔ Ò ÓÙØ ÙØÓÑ Ø ÒÖ Ð Ø Ú Ò ÑÙÞ Ú ÙÔÔÓÖØ Ú ØÓÖ Ñ Ò Å ØØ Î Ö ÛÝ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Öº ÁÖº ºȺ Å ÖØ Ò Ì
Ð Ö Î Ö Ò ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ ÐÐ Â Ò Ò
ÐÖ ÎÖÒ ÂÓÒ ÃÐÔÔ ÐÐ ÂÒ Ò ÎÓÓÖÛÓÓÖ ÌÐÙÖ ÑÖØ ¾¼½½ Ø ØØ ÖÚÒ ÓÑ ÖÙØ Ø ÛÓÖÒ ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐÖÒº Ø ØØ ØÓØ ØÒ ÓÑÒ ÓÓÖ ÑÒÛÖÒ ÑØ Ê Ð ÚÒ ËØÐ ÝÑÒ ÙÑ ¹ÀÖØÓÒÓ º Ø ÖÚÒ ÚÒ Ø ØØ ÖÙ ÑØ ÚÒ Ø Ó ÁÒÐÒ Ò ÒÐÝ ³ ÓÓÖ
¾ ÓÑÐÜ ØÐÐÒ ½ ØÐÐÒÚÖÞÑÐÒ ÓÑÐÜ ØÐÐÒ ÙÒÒÒ ÞÒ ÛÓÖÒ Ð ÚÓÐÒ ÚÖÞÑÐÒ ¾ Ò ¾ ½ ÅØ Ð Ò ÐÐÒ Ð Ò Ï ÚÓÓÖÞÒ Þ ÚÖÞÑÐÒ Ó Ò ÒØÙÙÖÐ ÑÒÖ ÚÒ Ò ÓØÐÐÒ Ò Ò ÚÖÑÒÚÙÐÒ µ µ µ µ
ÓÑÖÙÖ Ù Ï ÙÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ÖÓ ÏØÒ ² ÌÒÓÐÓ ËØÑÖ ¾¼¼ ÓÑÐÜ ØÐÐÒ ÚÖ ¾ ÙÒ ¾¼¼µ ÁÒÐÒ Ò Ø Ò Ð ÐÒ ÛÓÖ ØÐ ÑÒ Ò Û ÙÒ ÑØ Ø Ø Ø Ö ØÓØ Ò Ò ØÐÐÒ Ò ÓÐÓ Ò Û ÚÓÓÖ ÚÖÐÒ Ü ¾ ½º ÁÒ ½¼ ÖÒ Ò ÁØÐÒ Û ÙÒ ÓÑÐÐ ½ ÑØ Ò ÒÙÛ ÓÓÖØ
ÇÚ ÖÞ Ø ÁÒÐ Ò ÜÔ ÖØ Ý Ø Ñ Ò Ö ÑÑ Ò Î Ð Ú ÐÙ Ø Ò Ò Þ Ö Ø Ö ÜØÖ ÓÔÑ Ö Ò Ò Ë Ñ ÒÚ ØØ Ò Ê Ö Ò ÀÓ ÓÒØÛ ÖÔ Ò Ú ÖØÙ Ð Ö Ý Ò Ø À ÖÑ Ò Ö ÆÎÚ ¹ ÝÑÔÓ ÙÑ Ò ÏÓÙ ÓØ
ÀÓ ÓÒØÛÖÔ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ÀÖÑÒ Ö ÆÎÚ¹ ÝÑÔÓ ÙÑ Ò ÏÓÙ ÓØÒ Ø ÓÒÖ ½ ÔÖÐ ¾¼½½ ÀÖÑÒ Ö ÇÒØÛÖÔ ÚÒ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ½ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÁÂÞÖØÖ ÀÖÑÒ Ö ÇÒØÛÖÔ ÚÒ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ¾ ÀÓ ÓÙÛ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ÓÙ Ø ÒÙ ÛÐ ÓÒ ÏÖÓÑ ÒØ
ÇÚÖÞØ ÁÒÐÒ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÞÖØÖ ÜØÖ ÓÔÑÖÒÒ ÇÚÖÞØ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÁÂÞÖØÖ ÀÖÑÒ Ö ÇÒØÛÖÔ ÚÒ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ¾
ÇÚÖÞØ ÁÒÐÒ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÞÖØÖ ÜØÖ ÓÔÑÖÒÒ ÀÓ ÓÒØÛÖÔ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ÀÖÑÒ Ö ÆÎÚ¹ ÝÑÔÓ ÙÑ Ò ÏÓÙ ÓØÒ Ø ÓÒÖ ½ ÔÖÐ ¾¼½½ ÀÖÑÒ Ö ÇÒØÛÖÔ ÚÒ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ½ ÇÚÖÞØ ÁÒÐÒ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÞÖØÖ ÜØÖ ÓÔÑÖÒÒ ÇÚÖÞØ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò
! " # $ % " & ' ( ) * ( " +, " - " & " $ % ".! / 0 ( " 1! ) * 2 3 5 6 7 8 9 : 6 8 ; 7 < 7 : 6 8 = >? 7 @ > = < A B ; 7 C 9 D E C 6 F 8 7 G 6 H I 7 8 A 7 9 8 7 @ @ 6 B =? > B ; 7 > : 8 7 : C 9 J A C ; 7
Ò ÒÐ Ò Ò Ð ÙÒ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò Å Ö ÉÙ ÒØ
Ò ÒÐÒ Ò Ð ÙÒ ÀÖÖØ ÀÑÖ ÐÐ ÂÒ Ò ÅÖ ÉÙÒØ ÎÓÓÖÛÓÓÖ ÌÐÙÖ ÑÖØ ¾¼½½ Ø ØØ Ø Ò ÒÐÒ Ò Ð ÙÒº ÁÒ Ð ÙÒ Ò Û Ó Û Û ÙÒ ÙÒÒÒ ÖÙÒ ÓÑ ÓÔÖØÓÒÐ ÔÖÓÐÑÒ ÖÚÒ Ò Ò ØÐÐÒÒ ÙÒÒÒ ÓÔÐÓ Òº Ø Ú ÚÓÓÖÐ ØÓØ ÐÓ ØÒ ÌÛ ÏÖÐÓÓÖÐÓº ÁÒ ÒÐÒ Ò ÎÖÒ
VERBOUWEN?! dag. groep 8-ers...
Ö»² ² É»ª ±² б± ó «îððè ó ²«³³» VERBOUWEN?! dag groep 8-ers... î ÎÛÐÑÎÌßÙÛ Verbouwing Zoals de meeste kinderen al zullen weten komt er een verbouwing volgend jaar. Ik heb er een paar kinderen over geïnterviewd
ÁÒØÖØØÒÒ Ù ØØÙØ Ò ÖØĐÐ ÒØÖØ ÈÖÑØÚ ÙÒØ Ð Ò ÓÒÐ Ò¹ ØÖÐÒ ÒØ º ÈÖÑØÚ ÙÒص Ò ÙÒØ ÑØ ÓÑÒ Á Ò Ò ÙÒØ Ò ÖÑØÚ ÙÒØ ÚÒ Ð ¼ µ µ ÚÓÓÖ ÐÐ Á ÒØ º ÇÒÐ ÒØÖе ÓÒÐ ÒØÖÐ Ú
ÓÑÖÙÖ Ù Ï ÙÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ÖÓ ÏØÒ ² ÌÒÓÐÓ ËØÑÖ ¼¼ ÁÒØÖØØÒÒ Ù ØØÙØ Ò ÖØĐÐ ÒØÖØ ÚÖ ÙÒ ¼¼µ ÁÒÐÒ ÁÒ Þ ÑÓÙÐ ÛÓÖØ ÞÖ ÓÖØ ÒØ ÚÒ ÓÒÐ ÒØÖÐÒ ÖÐ ÚÒÐ Ø ÚÖÒ ØÙ Ò Ð Ò ÓÒÐ ÒØÖÐÒº ÀØ Ò ÞÒ ÓÐÒ Ö Ó Ò Ø Òº ÏÐ ÛÐÐÒ Û
Week 2: Midden-Amerika en Suriname
Week 2: Midden-Amerika en Suriname ²¼ ²»² ó Ú ³ ²¼ ²»² ±²»² ¼²¼»²»² ² ß³» µ ò Æ»»»º¼»² ² ª» ½»²¼» ³³»²ò Ü» ±² ¼»µµ ²¹» ¹» ݱ «³¾«±² ¼»µ»Ž øó ¼¼»²ó ß³» µ ª º ±²¼» ¼ ¹»»¼»²ò Ü ¾»»µ»²¼» ²» ª»» ¹±»¼ ª±± ¼»
½ ÊÓ Öس «¹ËØ Ð ÆÓØ ÊÓ ÖØ ÏÓÐÔ ÖØ ÔÖ Ð ¾ ¾¼½¾ ÄÓ º º ÓÖ ËØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ö Ð ËØ «Æµ ÐÓ µ Æ «Ø Ò «¾ «Ò Æ ¾ ÐÓ «Æ Ø Ò ««½ Ø Ò «¾ ¾ Æ ¾ ÐÓ µ ¼ «¾ ½ ½ ¼ ½
ÊÓÖس «¹ËØÐ ÆÓØ ÊÓÖØ ÏÓÐÔÖØ ÔÖÐ ¼ ÄÓ ºº ÓÖ ËØÐ ØÖÙØÓÒ ÒÖÐ ËØ «Æµ ÐÓ µ Æ «ØÒ ««Ò Æ ÐÓ «Æ ØÒ ««ØÒ «Æ ÐÓ µ ¼ «¼ Æ º ËØÒÖ ËØ «¼µ ÐÓ µ ËÝÑÑØÖ ËØ «¼ ¼µ ËÛ ËØ «¼µ ÐÓ µ «ØÒ ««Ò ÐÓ «ÐÓ µ ««ØÒ ««Ò ÐÓ ««Ò «««« ËØÒÖ
City Trip. City Trip. mit Scheveningen. City Trip! Den Haag. CityTrip. Auf zum nächsten EXTRATIPPS. City-Faltplan.
z Ië ë z C U C I XTTI C CT O C ß T 2 z z z O T C O T Oë z O T C T I C // z z ä O x ü C ß O [] 2,5 8 28, T I ë O 2O C 27 70 72 ü ü I0 0 Có Ò, I,,, 27 ( 0) T, 2 z 7 5 Ó z () ü 7 8 0 2 87 z I z 0 U 2 5 Ñ
Stad B. Stad A. jaartal
ÓÑÖÙÖ Ù Ï ÙÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ÖÓÔ ÏØÒ Ô ² ÌÒÓÐÓ ËÔØÑÖ ¾ ÜÔÓÒÒØĐÐ Ò ÐÓÖØÑ ÙÒØ ÚÖ ¾ ÙÒ ¾µ ÁÒÐÒ ÁÒ Þ ÑÓÙÐ ÛÓÖØ ÜÔÓÒÒØĐÐ Ò ÐÓÖØÑ ÙÒØ ÔÖÓÒº Ð ÒÐÒ ÒÐÒ Û ÒÐ ÚÓÓÖÐÒ ÚÒ ÖØ ÜÔÓÒÒØĐÐ ÖÓ ÚÓÐÒ ÖÓ Ò Ò Ø ÐÒ Ò ÔÖ ÛÖ
y a jdn + (153 m + 2)/ y + y/4 y/100 + y/
ÜÑÒ ËÖÔØÒØÐÒ ½ ÐÓÖ ÁÒÓÖÑØ ÔÖÓº Öº ÈØÖ ÛÝÒØ ÖÓÔ ½ ÑÒ ¾½¹¼¹¾¼½¼ ¼ ÑÖ ¾¼¼¹¾¼½¼ Ö Ø ÞØØ ÇÔÚ ½ ÇÒÞ ÑÒ ÚÖØÓÓÒØ ÞÓÒÑ Ò ØÐØÒ ÛØ ÛÐ ÞÒ Ø Þ Þ ÙÖÒ Ö ÓÑÐÓÓÔ ÖÓÒ Ö Ò ÚÖ ÐÐÒ ÒØÒ ÐØ ÞÒº Ø ÒÓÑÒ ÛÓÖØ ÚÖÓÓÖÞØ ÓÓÖ Ø Ø Ø
Op zoek naar een secundaire school. in jouw regio? Informatiebrochure secundair onderwijs regio Mechelen < =
a a aa a aa aa aa a a a a a a a a aa a a aa aa aa aa a a aa a a a a a a aa a ëa a aa a a a aaa a a aa a aa a a a a aa aaa a a aa aa a a a a a a aa aa aa aa aa a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a aaa
Ö»² ² É»ª ±² б± - ó ²±ª»³¾» îððè ó ²«³³» î Wat voor schooltype ben jij? Interview met Ger
Ö»² ² É»ª ±² б± ó ²±ª»³¾» îððè ó ²«³³» î Wat voor schooltype ben jij? Interview met Ger î ²¹»µ±³»² ± ܱ± Ö±² ² Ì»»½» ²² ÿ Ë» ³±±» ² ³»² ª±± ¼» ͽ ±± µ ²» ô ²»² ¹ ±ª» ó»¹ô» ²¼» µ»»² ²² ÿ Ù»º» ½»» ¼æ Ù»
Projectnr. : Pagina : 15 van 17 Datum : Bijlage 5. Foto s. Verkennend asbestonderzoek Nachtegaalstraat Drachten
Projectnr. : 16422 Pagina : 15 van 17 Datum : 08-12-2016 Bijlage 5. Foto s Verkennend asbestonderzoek Nachtegaalstraat Drachten Bestand: ra16422acc1.doc Projectnr. : 16422 Pagina : 16 van 17 Datum :
ØÖ ÙØ ÓÒ Ð ÈÖÓÔ ÖØ Ó ¹ ËÊ Ë ÕÙ Ò Ò Ö Û ÃÐ ÔÔ Ö ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ØÙ Ý Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ¹ ËÊ ÕÙ Ò º Ì ¹ ÕÙ Ò Ú Æ ÒØ Ò Ö ØÓÖ Ò Ú Ú Ö Ð ÓÓ Ø Ø Ø Ð ÔÖ
ØÖÙØÓÒÐ ÈÖÓÔÖØ Ó ¹ËÊ ËÕÙÒ ÒÖÛ ÃÐÔÔÖ ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ØÙÝ Ø ØÖÙØÓÒ ÔÖÓÔÖØ Ó ¹ËÊ ÕÙÒ º Ì ¹ ÕÙÒ Ú ÒØ ÒÖØÓÖ Ò Ú ÚÖÐ ÓÓ ØØ ØÐ ÔÖÓÔÖØ º Ï ÓÛ ØØ ÓÖ ¾ Ø ÒÙÑÖ Ó ÓÙÖÖÒ Ó Ò Ü Þ Ù ÕÙÒ «Ö ÖÓÑ Ø ÚÖ ÒÙÑÖ Ó ÓÙÖÖÒ Ý Ø ÑÓ
ÌÓ Ô Ò Ò ÖÓ Ô ÒØ ÓÖ ÄÙ ÓÙØ Ò ÂÓÖ ÅÓÓ Ù Ù ØÙ ¾¼¼
ÌÓ ÒÒ ÖÓÒØÓÖ ÄÙ ÓÙØÒ ÂÓÖ ÅÓÓ ÙÙ ØÙ ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ø ÞÒ ÒØÒÒÒ Ø ÐØ ÙÙÖ ÖÓÒØÓÖ ÚÓÓÖ Ý º ÓÐ ÞÓÚÐ ÑÓÐ ĐÒ ÙØ Ø ÓÐÐ ÚÒ ÖØ ÀÑÒ Ø ÚÖÙÐÒ Ò Ò ÚÒ ÝÑÑØÖÖÓÒ ÚÒ ÑÓÐÙÐÒº ÎÖ ÚÓÓÖÐÒ ÛÓÖÒ ÖÐ ÓÒ ÕÙÒØ ÓÓÖ Ø Ð ÓÐÐ Ò ÑÒÓÑÒ ÛØÖ ÑÑÓÒ
ÃÌÀÇÄÁà ÍÆÁÎÊËÁÌÁÌ ÄÍÎÆ ÙÐØØ ÏØÒ ÔÔÒ ÔÖØÑÒØ Ï ÙÒ ÆÛØÓÒ ÈÓÐÝÖ Ò ÁÙ ³ ÄÓÐ Ø ÙÒØÓÒ ÃØÐÒ ÀÓÓÖÒÖØ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓº Öº ÂÒ Ò ÈÖÓ ÖØ ÒÒ ØÓØ Ø ÐÒ ÚÒ Ö ÚÒ ÓØÓÖ Ò ÏØÒ ÔÔÒº ¾ ÑÖØ ¾¼¼¾ Ö ÛÐ Ö ÑÒ ÔÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓº Öº º Ò
ß» ±»»² ¹ ±¾» µ µ»» ² ¼» ²¼»» µ ² ª ² ¼»»» ¼ô ±²¼» ²ô ß«5 ¹¹»²ò Ø» ± ¼ ¼ ±³ ±±µ» Down Under ¹»²±»³¼ò ß«5»»²»» ¼¼»»»² ±±µ»»² ²¼ò
Week 4: Australië ß«5 ó Ú ³ ß» ±»»² ¹ ±¾» µ µ»» ² ¼» ²¼»» µ ² ª ² ¼»»» ¼ô ±²¼» ²ô ß«5 ¹¹»²ò Ø» ± ¼ ¼ ±³ ±±µ» Down Under ¹»²±»³¼ò ß«5»»²»» ¼¼»»»² ±±µ»»² ²¼ò Ñ ¼ ½»² ó Ú ³ Ú ³ ìüûú ïò Ö» ¹ ß¾± ¹ ² ò ͽ º
ÎÓÓÖÛÓÓÖ ÁÒ Ø ÚÓÓÖÖ ÚÒ ½ ÛÖ ÝÐÐÙ ÚÒ Öº Ⱥºź ÓÒÖØ ÖÙØ ÒÚÙÐ ÑØ Ø Ø ÚÐ ØÒÜÔÖÑÒØÒ Ò Ý ØÖÖÓÒÒ ÚÒ ØÓÖ ÔÖ Ò ÛÖÒ ¾ ÓÔÚÒ ÛÖÒ ÚÖÛÖغ Þ ÓÔÚÒ ÞÒ ÚÒÞÖ Ò ÐÒÖ ÓÒÖÐ
ÁÆÄÁÁÆ ÁÆ ËÈÁÄ ÊÄÌÁÎÁÌÁÌËÌÀÇÊÁ Ö ÓÔ ÝÐÐÙ ÚÒ Öº Ⱥºź ÓÒÖØ ÈÖÓº ÈÖÖ ÚÒ Ð ÁÒ ØØÙÙعÄÓÖÒØÞ ÆÖ ¾¼¼½ ÓÔÝÖØ Èº ÚÒ Ð Þ Ø Ø Ó Ò Ð ÖÚÒ Ñ ÒØ ÖÔÖÓÙÖ Ó ÐØÖÓÒ Ö ØÐ ÛÓÖÒ ÓÓÖ ÒÖÒ ÞÓÒÖ ØÓ ØÑÑÒ ÚÒ ÙØÙÖº ÁÒÓÙ ÎÓÓÖÛÓÓÖ
¾
ÅÓÐÐÖÒ ÚÒ ÎÖÚÓÖÑÖ ÄÑÒ ÑØ ÆÓÖÑÐ ÓÙÒÒ ÓÒ ÓÐÐ ÓÒ ØØÓÒ ËÑÓÒ ÈÙÛ ÔÙÛ ÒºÙÚºÒе ÐÖ ÚÒ Ð ¾¼ ÙÙ ØÙ ¾¼¼ ¾ ÁÒÓÙ ÓÔÚ ½ ÁÒÐÒ ½º½ ÓÐ ØÐÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÒÔ º º º º º º º
ÃÌÀÇÄÁÃ ÍÆÁÎÊËÁÌÁÌ ÄÍÎÆ ÙÐØØ ÏØÒ ÔÔÒ ÔÖØÑÒØ Ï ÙÒ ÓÑØÖ ØÖÑÒØÓÒ Ó Ø ÔÓÐ Ó ÑÓØÚ Ò ØÓÔÓÐÓÐ ÞØ ÙÒØÓÒ ÖØ ÊÓÖÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓº Öº ÏÐÐÑ ÎÝ ÈÖÓ ÖØ ÒÒ ØÓØ Ø ÐÒ ÚÒ Ö ÚÒ ÓØÓÖ Ò ÏØÒ ÔÔÒ Ñ ¾¼¼¾ ÒÛÓÓÖ ÀØ ÖÚÒ ÚÒ Ø ÒÛÓÓÖ
ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ë ÖÖ ³ ÓÒ ØÙÖ ÓÒ ÑÓ ÙÐ Ö ÐÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ò À ÖÖ Ñ Ò ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ¹ËÙ Ø Ñ ÒØ ¾ ¹ ½ ¼ ÇÖ Ý Ö Ò Ö Òº ÖÖ Ñ Ò Û º ÙÐ ÙÚ Òº º Ü
ÓÑÒØÓÖÐ ÒØÖÔÖØØÓÒ Ó ËÖÖ³ ÓÒØÙÖ ÓÒ ÑÓÙÐÖ ÐÓ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÖÒ ÀÖÖÑÒ ÍÒÚÖ ØÖ ¹ËÙ ØÑÒØ ¾ ¹¼ ÇÖ Ý ÖÒ ÖÒºÖÖÑÒ Û ºÙÐÙÚÒºº Ü ¼ Ø ÅÖ ¾¼¼¾ ØÖØ Ï ØØ ÓÒØÙÖ ÓÒÖÒÒ ÑÓÙÐÖ ÓÐÙØÐÝ ÖÖÙÐ Ó ¾¹ÑÒ ÓÒÐ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÓÐ Éɵ ÓÚÖ ÒØ Ð
WETENSCHAP. Drukkerij en Bureel T elefoon: Tel. Huis:
K : 1 U 191 Í U 1 9 ü 11 1 1 1 1 1 1 1 19 0 1 9 0 U U» 1 1 0 0 0 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 1 1 19 19 19 199 19 191 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 1909 199 199 199 000 000 000 000 000 000 000 000 000 * 9
2 Vectorrekening - D. Aerts, P. Bueken, D. Luyckx, C. Reynaerts
ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÙÐØ Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÌÓ Ô Ø Ò Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ØÓÖÖ Ò Ò º ÖØ Èº Ù Ò º ÄÙÝ Ü º Ê ÝÒ ÖØ HZS-OE5-NW142 (suppl.) - Reeks 2 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie 14.4
2 Driehoeksmeting - D. Aerts, P. Bueken, D. Luyckx
ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÙÐØ Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÌÓ Ô Ø Ò Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Ö Ó Ñ Ø Ò º ÖØ Èº Ù Ò º ÄÙÝ Ü HZS-OE5-NW140 (suppl.) - Reeks 2 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie 14.4 26 september
ÓÑÔ Ð Ò Ð Ö ÙÒØ ÓÒ À Ò Î Ò Ø Ð ÖØ ÑÓ Ò Ò Ö Â Ò Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ã Ø ÓÐ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä ÙÚ Ò ¹ ¼¼½ Ä ÙÚ Ò Ð ÙÑ Ò Ú Ñ Ö º ÙÐ ÙÚ Òº º ØÖ Ø ÁÒ Ø ÓÒØ
ÓÑÔÐÒ ÐÖ ÙÒØÓÒ ÀÒ ÎÒ ØÐ ÖØ ÑÓÒ Ò Ö ÂÒ Ò ÔÖØÑÒØ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ¹ ¼¼½ ÄÙÚÒ ÐÙÑ ÒÚ Ñ Ö ºÙÐÙÚÒºº ØÖØ ÁÒ Ø ÓÒØÜØ Ó Ø ÑÒÒ Ò ÒÙØÚ ÐÓ ÔÖÓÖÑÑÒ ÁÄȵ ÐÖ Ø Ó ÕÙÖ ÑÙ Ø ÚÐÙØ Ò Ø Ø Ó ÜÑÔÐ º ÇÒ ÔÖØÙÐÖÐÝ
Geheugensteuntje. foutenanalyse. Absolute fout: x = x - x Relatieve fout: δx = x / x = (x - x)/x x / x x = x (1 + δx)
Geheugensteuntje foutenanalyse. Absolute fout: x = x - x Relatieve fout: δx = x / x = (x - x)/x x / x x = x (1 + δx) Genormaliseerde getalvoorstelling: x =.c k c k-1...ee Juist cijfer: x - x ½ b i => cijfer
postmaster@moerdijk.nl Van: VNG namens VNG Verzonden: dinsdag 13 december 2016 11:33 Aan: postmaster@moerdijk.nl Onderwerp: Lbr. 16/091 - Vacatures in commissie
Թػ¼½¼¾½¼ Ê º ÌÍÏ ¼½¹¼ Ê º ÍÏÌ È ¹¾¼¼½¹ ÓÖÑ É Ú Ë Ö ¹Ï ØØ Ò Å Ô º º Ð ½ º ź Ö Ñ ØÖÙÔ ¾ ĺ ÈÓÔÔ Åº Ë Û Êº ÏÙÐ Ò Ö ½ ¾ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Ì ÓÖ Ø È Ý Ì Ò ÍÒ
Թػ¼¼¼ ʺ ÌÍÏ ¼¹¼ ʺ ÍÏÌȹ¼¼¹ ÓÖÑ É Ú ËÖ¹ÏØØÒ ÅÔ º º Рº ź ÖÑ ØÖÙÔ Äº ÈÓÔÔ Åº ËÛ Êº ÏÙÐÒÖ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÌÓÖØ ÈÝ ÌÒ ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ÏÒÖ ÀÙÔØ ØÖ ¹¼ ¹¼¼ ÏÒ Ù ØÖ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÌÓÖØ ÈÝ ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ÓÐØÞÑÒÒ ¹¼¼ ÏÒ
Koningin Julianastraat 1 Urk
Vraagprijs 315.000,- k.k. Koningin Julianastraat 1 Urk De Akkers 34 a 8321 BT Urk 0527-687377 info@scholopurk.nl www.scholopurk.nl Koningin Julianastraat 1 op Urk Bijzonder fraaie en heerlijk ruime vrijstaande
volgen de gewone verbuiging (» ± ¼ ² ) Niet contracte adjectieven
$ g x œ œ ² ² ¹ Å 14 31. 1. Staen op - en -. De vocatief Enk. is in de regel de sta. 32. 2. Staen op -. De vocatief Enk. is in de regel de sta (uitzonderingen zijn eestal oxytona - substantieven et het
Welkom op Ibiza. Inhoud. Contact. Verken. Proef. Beleef. Ontdek 18 Info van A tot Z 22 Een woordje Spaans 24 Discotheken 26 Woordzoeker
I NL- I W I V 5 W I 6 Z 9 I- 10 F 9 Z,. E I. V,,? D. O! P 12 E & 14 B I B 16 T! 12 16 W H O ()! T. W? K! H,? J (). W? B. G óó :. A,. O 18 I A Z 22 E S 24 D 26 W 24 C TUI Eñ T S.A. C A 6 B 07800 I T.: 0034
ÒØÑËÜÍÑÐÙßÊÛ ÌÑÛÔ ÝØÌ ÒÙ Þ ò ï ÒÔÛ Ü ÒÙ ï ïòï ß ²» ¼ ²¹ ±» ² ï ïòî Þ»¹»² ²¹ ª ²» ²¹»¾»¼ ï ïòí Ê ¹»»²¼» ¾»»³³ ²¹ ²²»² ï ïòì Ê» ±± ª ² ¼» ² ±½»¼ í î ÞÛÔ
ßæ ÌÑÛÔ ÝØÌ ÒÙ çððêççñçììðèçñîððèñõùîññò ³ ïé º»¾ «îððç ÒØÑËÜÍÑÐÙßÊÛ ÌÑÛÔ ÝØÌ ÒÙ Þ ò ï ÒÔÛ Ü ÒÙ ï ïòï ß ²» ¼ ²¹ ±» ² ï ïòî Þ»¹»² ²¹ ª ²» ²¹»¾»¼ ï ïòí Ê ¹»»²¼» ¾»»³³ ²¹ ²²»² ï ïòì Ê» ±± ª ² ¼» ² ±½»¼ í
Theorie van de kernreactor
1 UNIVERSITEIT GENT Faculteit Ingenieurswetenschappen IR08, Nucleaire Technologie Technologiepark Zwijnaarde, B914 B 9052 GENT, België Theorie van de kernreactor Deel 1: Het puntmodel Prof. dr. ir. Fernand
Er zijn geen financiële en/of personele consequenties verbonden aan dit voorstel.
: 0 C 0. z z. F z. z z. z. ë. z z,. z ( z).. z. z,. 0. z. z z ë / q..... : 0 U 0; : 3.7 ; :.,,.... 0000 0 0 /. z z. F z. z z. z. ë. z z,. z ( z).. z. z,. 0. z. z z ë / q.... 0000 0.,,....,.... 0000 0 z
F3O richtlijn. Bureaustudie (bijlagen 4 en 6) bouweenheid Rakstraat 9-23 bouwkundig bouwjaar: 1910
onderdeel overzicht resultaten funderingsonderzoek bouweenheid 029 beoordeling cfm F3O richtlijn Bureaustudie (bijlagen 4 en 6) bouweenheid Rakstraat 9-23 bouwkundig bouwjaar: 1910 originele bouwtekeningen:
UITWERKINGEN VOOR HET HAVO HOOFDSTUK 2 VERANDERINGEN KERN 1
- - - 0 - - - - - - - - - 0 - - - - - - 0 - - - ITWERKINGEN VOOR HET HAVO HOOFDSTK VERANDERINGEN KERN a) Sijgen /m b) Dalen /m a) f 0 ) Sijgen: ; ; 0 ; Dalen: ; ; 0; ; 0 Som a) f() 0,+ - - 0 f - - - Sijgen:
2 Calcul vectoriel 2 - D. Aerts, P. Bueken, D. Luyckx
ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÙÐØ Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÌÓ Ô Ø Ò Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÐÙÐ Ú ØÓÖ Ð ¾ º ÖØ Èº Ù Ò º ÄÙÝ Ü HZS-OE5-NW244 (suppl.) - Série 1 Deuxième année Bachelor en Sciences Nautiques Version 14.1 19 Septembre
LANOBOUWKÄLK Cement Doorniksche kalk CERAM1EKE TEGELS
- ƒ 2 é - - y y y y & 2 à- X F y y y - y y 9 26 28 X 25 5- y 25 y 25 2 é 27 2 Fç y 2 5 2 Y 26 ö 2 2 7 8 ü - É 59 ü 77 59 - Y- F% y y - [ ü y 65 5 y - 5 ü Y y F ö y y - y y y 22 2 75 76 é 5 2 x üü - F X?
4 - Bijzondere paradigmes
Bijzondere paradigmes 23 4 - Bijzondere paradigmes. - De adjectieven en 60... - [stam: - (zie nr. ) en -/ - (zie nr. )] Enkelvoud Meervoud! " # $ % & # $ $ ' ( ) * + +, ) * + - * + + '. / 0 2 3 / 0 4 /
FEDERALE OVERHEIDSDIENST WERKGELEGENHEID, ARBEID EN SOCIAAL OVERLEG Hoge Raad voor Preventie en Bescherming op het werk
FEDERALE OVERHEIDSDIENST WERKGELEGENHEID, ARBEID EN SOCIAAL OVERLEG ------ Hoge Raad voor Preventie en Bescherming op het werk ------ Advies nr. 175 van 25 oktober 2013 over het ontwerp van koninklijk
²» ¼ ²¹ Ñ ïï ³» îððç ± «¹»¾ ½ ±ª»» ¾»»¼ ±²¼» ±»µ ± ±±º¼ ²»² ² ¼» øª» ² ±± ¼ ²¹ ª ² ¼» ¾»»¼ ²¹ ª ² ± ¹³ ¼¼»»² ï ²» ³ ô»½»² ª±± ¹»» ±²¼» ò Ü ± ô ¹»» ¼ Æ
Ü» ²» ª ² Ʊ ¹¹» ¼»² ² ¼» ¾» ½ ±«¼ Ë»½ ô ïï»»³¾» îððç Ó»ª ±«ÓòÝò ª ² ¼» رººó 5 Ü»»» Øòßò ¼» É Ó»ª ±«¼ Ûò Ê» ½ Ü»»» ¼ Éò Þ± Ë» µ ²¹ ª ²»»² ª ² ¼» ²¾»ª» ²¹»² Î ± æ Æ ½ ± ± ¹¹» ¼»² Š Ü» ± ¹³ ¼¼»»² ²» ³ ô»½»²
Thermal accommodation for water flowing in nano channels
Study on the physical processes of particle deposition during laser ablation Camilo Rindt, WH 2.125; Rajesh Mandamparambil, Holst Centre (Philips Research Laboratories) For the large scale Roll-to-Roll
BESCHRIJVING GELUIDSISOLERENDE MOBIELE SCHEIDINGSWAND MET ZICHTBARE PROFIELEN TYPE 85
ÍÑÒ ÝÑ èë Ó±¾»» ²»» ²¼ Ì» Õ µ» ñ ±» ²¹ ͱ² ½± èë Í ³ó ²» ±» ²¹»² ³» ¹»³ ¼¼» ¼» ¹» «¼ ±» ¼»²ô ¹» ½ µ ª±±» ¼±»» ²¼»² Ð ²»» º³» ²¹»²æ Ü µ» ر±¹» Þ»»¼» Ü»«²»» Ú ³» ± ¾±«Ð ²»» ² ½ Þ» ²¹ ߺ» µ ²¹ Ù» «¼ ±» Î
Het gebruik van DDGS bij vleesvarkens. Samenstelling (g/kg DS) Samenstelling (g/kg DS) Sam Millet. Studiedag Recent voedingsonderzoek op ILVO DIER
tarwe milo/ maïs fermentatie Het gebrui van bij vleesvarens ethanol draf Sam Millet solubles Wet cae Ingedite solubles DGS Studiedag Recent voedingsonderzoe op ILVO DIER Instituut voor Landbouw- en Visserijonderzoe
Van Speykstraat 5 MAARSSEN Vraagprijs ,- k.k.
Van Speykstraat 5 MAARSSEN Vraagprijs 175.000,- k.k. Beumer Garantiemakelaars Maarssen Reigerskamp 470 3607 JB Maarssen Tel: 0346-564293 E-mail: maarssen@beumer.nl Website: www.beumer.nl Omschrijving GOED
Het rapport in bijlage 1 doet verslag van de resultaten van dit grootschalige onderzoek binnen de gemeente Terneuzen in het najaar van 2015.
de Raad van de gemeente Terneuzen ons kenmerk : 189720 contactpers. : Ruud van Leest telefoon : 0115-455 515 e-mail : r.vanleest@terneuzen.nl verzonden : Terneuzen, 31 mei 2016 Betreft: Veiligheidsmonitor
Overzicht van alle Teletex karakters
II.2 Overzicht van alle Teletex karakters 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 SP 0 @ P p Ω ĸ 1! 1 A Q a q ± ` Æ æ 2 " 2 B R b r 2 Đ đ 3 3 C S c s 3 ˆ ª ð 4 4 D T d t $ Ħ ħ 5 % 5 E U e u µ ı 6 & 6 F V f v
ÃÌÀÇÄÁà ÍÆÁÎÊËÁÌÁÌ ÄÍÎÆ ÍÄÌÁÌ ÌÇÈËÌ ÏÌÆËÀÈÈÆ ÈÊÌÅÆÌ ÇÅÈÍÌÊÏÌÆËÀÈÈÆ ÄÁÆ ÆÍÅÊÁà ÆÄË Æ ÌÇÈËÌ ÏÁËÃÍÆ Ð ØÒÒÐÒ ¾¼¼ ß ¹ ¼¼½ ÀÚÖÐ ÄÊÁ ÅÍÄÌÁÊÁ ÇÊ ÌÏǹÁÅÆËÁÇÆÄ ÌÁŹÀÊÅÇÆÁ ÅÆÌÁ ÁÄ ÇÅÈÍÌÌÁÇÆË ÈÖÓÑÓØÓÖÒ ÈÖÓº Öº Öº
Ê» ¹»¹¹ ²¹ ²²± îðïîæ. ܱ» ɱ µ ±
Ê» ¹»¹¹ ²¹ ²²± îðïîæ ±»» µ» ² ¼» µ µá ÎÙÚ Ó ¼¼»²ó»² ѱ óþ ¾ ² Ô±²²»µ» ª ² Þ» µ» Ǫ±²²» Ø»» µ»² ï ܱ» ɱ µ ± Ò º ±± ª ² ¼» ± µ ±»»² º ±»»² ²ª» ½ ²¹ «ª» ¹»¹¹ ²¹ ¾» ³»² ¼» ÕÒÙÚó ½ ² Ú ±»»«½» ª» ¹»¹¹ ²¹ îðïï
RUILVERKAVELING REKKEN Grondwaterstandgegevens en pf-waarden in tijd-stijghoogtediagrammen en tabellen
NN31396,576,2 STICHTING VOOR BODEMKARTERING BEN NEK OM BIBLIOTHEEK C-? RUILVERKAVELING REKKEN Grondwaterstandgegevens en pf-waarden in tijd-stijghoogtediagrammen en tabellen Rapport nr 576 Bij Lage 9 Q
Reigerskamp 157 MAARSSEN Vraagprijs ,- k.k.
Reigerskamp 157 MAARSSEN Vraagprijs 259.000,- k.k. Beumer Garantiemakelaars Maarssen Reigerskamp 470 3607 JB Maarssen Tel: 0346-564293 E-mail: maarssen@beumer.nl Website: www.beumer.nl Omschrijving KUNSTSTOF
#&#&# *+ -. ÂÃ{Ð"S }-~ÎÏ-~{Ñ $ #) ÒÓ +,-n& '( 6`3! }-~ Y "9. }» ÔÕ#Ö "»¾ NØÙ {É"ÁZ 45G_ 4Y " S45 $ %" }- ~ Y X P k "g X "S X %á %&!
$ % $ % 3- ;./".--." )/#.3.:.".1 "66 %!"#$! %& ' "#$%&'!()*+,-./01)*+, -2345 "# (64789:;! $%& (?@AB CDE$%&:;EF 7GHEIB $%& CJK(LM(NO '' PQRST( ()) )) )) * UPQVSTWX5F +, ( ( -.) -YM)WZ[ /) \]1[^_"#`a,b
BIJLAGEN. Ontwerp Omgevingsvisie
BIJLAGEN Ontwerp Omgevingsvisie Omgevingsvisie Samenvatting omgevingsvisie De omgevingsvisie is een integrale visie en een helder fundament voor het beleid van Hollands kroon en de uitvoering ervan voor
PS: hier een tip om de scougi te kraken: Spiegeltje, Spiegeltje aan de wand
!! "! # $ % & ' ( $ ) * +, -. & / 0 & ' % & / 1 # $ % & ' ( $ ) * 2 ( & 3 & / 0 & ' 4 5 * 6 7 8 9 : ; < = 9 > >? @ A A < B C D E < 9 = F G H I > > < J ; K L E J E 9 = E M M ;? N @ A M L > >? ; 9? > J E
Rond een Fi m. l k meen eens ten atükcl v!ui Wii-ï Mocm gedossier» Iozcti te hclibcii ovci De Ontbladerde Koos of
z p é Qö ö 2C ê p ( {p C Ë Q p q ç 62 p 8 8 z z Z Q ( p ) z ( p 928 26 z öz p p ü ï z p z pp zp p p p z Fè z z z z p pp é z è z z p ( z p y pé è
te koop Deventer Anthonie van Dyckstraat 9 Holterweg AE Deventer - T E
te koop Deventer Anthonie van Dyckstraat 9 Holterweg 63-7429 AE Deventer - T 0570-65 95 95 - E info@miqa.nl www.miqa.nl Omschrijving In de gewilde woonwijk "de Zandweerd" ligt deze -op de begane grond
Handleiding Vedor-editor
Handleiding Vedor-editor Mei 2007, versie 0.9 Inhoudsopgave Inleiding... 3 Aanmelden... 4 De werkbalk... 5 Het context menu... 6 Navigeren binnen je website... 7 Tekst toevoegen en bewerken... 8 Afbeeldingen
Eagle Crest Resort Specialist, Principal Broker
q rs t 1 q 2 t s3r4 P P P P P P P P P Eagle Crest Resort Specialist, Principal Broker r 1 2 9 1010 3 4 s 5 t t 67 s 8 t 8 s s s s t s t s 9 9 ➐ ➑ 2 10 q s ❶ s ❷ s 3❸ s s st 10 1010 ➒ ➓ t s s t q t s s
BEM PDF created with pdffactory Pro trial version ZK Behoort bij beschikking. d.d. nr.
Behoort bij beschikking d.d. nr.(s) 17-06-2013 ZK13000670 Omgevingsmanager BEM1302958 gemeente Steenbergen PDF created with pdffactory Pro trial version www.pdffactory.com » ¹ïîðíêò»
2 Integraalrekening 2 - D. Aerts, P. Bueken, D. Luyckx
ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÙÐØ Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÌÓ Ô Ø Ò Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÁÒØ Ö ÐÖ Ò Ò ¾ º ÖØ Èº Ù Ò º ÄÙÝ Ü HZS-OE5-NW243 (suppl.) - Reeks 1 Tweede jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie 14.1 19 september
Fine Tuning the Scheduling of Tasks on Posix1003.1b Compliant Systems
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Fine Tuning the Scheduling of Tasks on Posix1003.1b Compliant Systems Nicolas Navet, Jörn Migge No 3730 July 12, 1999 THÈME 1 apport de
Opname en weergave van beelden met een hoog dynamisch bereik
Opname en weergave van beelden met een hoog dynamisch bereik Saartje De Neve Promotor: prof. dr. ir. Wilfried Philips Begeleiders: Bart Goossens, ir. Quang Luong Masterproef ingediend tot het behalen van
BERGSE LINKER ROTTEKADE 319
BERGSE LINKER ROTTEKADE 319 ROTTERDAM BERGSE LINKER ROTTEKADE 319 ROTTERDAM OMSCHRIJVING In een uniek stukje Rotterdam, ligt deze totaal gerenoveerde DRIE-KAMER HOEK-WONING met sfeervolle tuin. Het geheel
ZILVERGRACHT 75 BERKEL EN RODENRIJS
ZILVERGRACHT 75 ZILVERGRACHT 75 OMSCHRIJVING Dit zeer verrassend ruime ZEVEN-KAMER grachtendpand met leuk aangelegde zonnige tuin; vrijstaande stenen schuur; een achterom en eigen parkeerplaatsen, is gelegen
Besluitenlijst d.d. d.d. d.d. [ ]Akkoordstukken -- [X]Openbaar [ ]Besloten --
![Besluitenlijst d.d. d.d. d.d. [ ]Akkoordstukken -- [X]Openbaar [ ]Besloten --](/thumbs/102/155079686.jpg "Besluitenlijst d.d. d.d. d.d. [ ]Akkoordstukken -- [X]Openbaar [ ]Besloten --")
Nota voor burgemeester en wethouders Onderwerp Vaststellen Taxatie 8 kavels Spijkvoorderenk, Vijfde Hoek 1- Notagegevens Notanummer 2019-000826 Datum 14-05-2019 Programma: 06 Herstructurering en vastgoed
Teletex II.1 Inleiding
II Teletex II.1 Inleiding De Teletex-standaard is gebaseerd op CCITT-aanbeveling Rec. T.61 [11]. Voor een volledige beschrijving van de Teletex-standaard wordt verwezen naar dat document. Deze bijlage
Geotechnisch ophoogadvies Hoef en Haag te Vianen
Geotechnisch ophoogadvies Hoef en Haag te Vianen projectnr. 0247667.00 revisie 00 01 mei 2012 auteur(s) ing. P.S. Erenstein Opdrachtgever Bouwfonds ontwikkeling B.V. t.a.v. de heer C. van Essen Postbus
ADRIANALAAN 156 ROTTERDAM
ADRIANALAAN 156 ADRIANALAAN 156 OMSCHRIJVING Deze recent gerenoveerde ruime ZESKAMER woning met voor- en zonnige achtertuin is gelegen in de leuke en kindvriendelijke wijk Schiebroek. De woning is zeer