Notitie t.b.v. de Resonansgroep wiskunde over de Syllabi Wiskunde voor

Transcriptie

1 Notitie t.b.v. de Resonansgroep wiskunde over de Syllabi Wiskunde voor Jan van de Craats 14 september 2006 Inleiding De resonansgroep wiskunde is gevraagd een reactie te geven op de inhoud van de wiskundevakken voor havo en vwo in de overgangsperiode zoals die vermeld staat in de definitieve concepten van de door de CEVO te vervaardigen syllabi voor wiskunde A, B en C. De resonansgroep zal zich daarbij in de eerste plaats richten op de relevantie van de verschillende onderdelen van die wiskundevakken voor het vervolgonderwijs, maar daarnaast zal de resonansgroep ook aandacht besteden aan inhoudelijke en instrumentele aspecten. Op 26 september zal de resonansgroep hieraan een eerste bespreking wijden. Ik verwacht dat de resonansgroep ongeveer een maand later een definitief standpunt kan vaststellen en bekendmaken. Het belang van zo n stuk reikt verder dan alleen maar een commentaar op de syllabi. De commissie ctwo (commissie Siersma) heeft namelijk pas vorige week subcommissies ingesteld die de programma s voor de verschillende wiskundevakken in de periode vanaf 2010 gaan invullen. Men mag dus verwachten dat de standpunten van de resonansgroep met betrekking tot deze syllabi op de besluitvorming in de ctwo mede van invloed kunnen zijn bij de invulling van met name de vakken wiskunde A en wiskunde B. Deze notitie is bedoeld om de discussie op 26 september voor te bereiden en wat te structureren. Ik heb niet geschroomd stellige standpunten en opinies te verwoorden, in de overtuiging dat dit onze beraadslagingen ten goede komt. Ik nodig u van harte uit om voorafgaand aan onze vergadering ook al per te reageren, hetzij in de vorm van korte opmerkingen, hetzij in de vorm van uitgebreidere notities. 1

2 Algemene opmerkingen Elke syllabus bevat een lijst van domeinen en subdomeinen met een beschrijving, al dan niet in tabelvorm, van de onderdelen die in het Centraal Examen (CE) respectievelijk het Schoolexamen (SE) moeten of kunnen worden geëxamineerd. Voor het CE is van belang dat kandidaten gebruik mogen maken van een grafische rekenmachine (GR) en een formulekaart. In Bijlage 1 ga ik nader in op het gebruik van deze hulpmiddelen. In het geheugen van de GR kan informatie worden opgeslagen, bijvoorbeeld de gehele inhoud van de formulekaart, en nog veel meer. Met de GR kan wel numeriek en grafisch worden gewerkt, maar niet symbolisch (zoals bij computeralgebrapakketten). Het is dus in principe heel eenvoudig om examenopgaven te maken waarbij de GR nutteloos is: maak opgaven waarin parameters (letters in de formules die niet numeriek ingevuld worden) voorkomen. Aan de UVA (faculteit natuurwetenschappen, wiskunde en informatica (FNWI)) is hiermee bij de instaptoetsen ervaring opgedaan. De studenten mochten de GR gebruiken, maar ze hadden er niets aan. In de verschillende syllabi is bij het domein Vaardigheden, mede naar aanleiding van de klachten over aansluitingsproblemen, een nieuw subdomein Algebraische vaardigheden opgenomen dat in het CE getoetst moet worden. Dit zou gedaan kunnen worden in een aparte opgave op het CE. Toch schuilt hierin ook een gevaar. Het zou kunnen dat als gevolg hiervan het ontwikkelen van formulevaardigheid van cruciaal belang voor het vervolgonderwijs door leerlingen en leraren gezien gaat worden als een klein onderdeeltje dat er nu eenmaal bij hoort omdat het hoger onderwijs zo nodig moeilijk wil doen. Het zou daarom beter zijn als het ontwikkelen van formulevaardigheid weer als een rode draad door het gehele wiskundeonderwijs heen gaat lopen, en dat dit ook in (vrijwel) elk onderdeel van het CE getoetst wordt, bijvoorbeeld via parameters in vrijwel alle opgaven. Ook ten aanzien van contexten in examenopgaven past een algemene opmerking. Contexten kunnen een nuttige didactische rol spelen bij het introduceren van nieuwe begrippen en onderwerpen. Ze vormen echter een middel en geen doel. Het doel van het wiskundeonderwijs is het leren beheersen van de taal van de wiskunde. De kracht van de wiskunde ligt namelijk juist in de abstractie, dat wil zeggen de inzetbaarheid van dezelfde instrumenten in de meest uiteenlopende toepassingsgebieden. Daarom is de wiskunde de taal geworden van de natuurwetenschappen, de techniek, een groot deel van de economie en eigenlijk van alle vakken waarin kwantitatieve en structurele elementen van belang zijn. Contexten horen daarom in principe niet thuis in examenopgaven, met uitzondering van de kansrekening en de statistiek die zelf vormen van toegepaste wiskunde zijn, en die op schoolniveau zonder die specifieke contexten ook niet kunnen bestaan. Ten slotte nog een algemene opmerking over eindtermen en didactiek. Het valt op dat in een aantal gevallen eindtermen geformuleerd zijn die vooral be- 2

3 trekking hebben op didactiek en niet op wiskundige inhoud. Ik denk daarbij onder andere aan de rol van differenties en differentiequotiënten bij de introductie van de differentiaalrekening. In het algemeen wil ik stellen dat didactiek niet thuishoort in een lijst van eindtermen of exameneisen. Hoe een docent zijn doel wil bereiken, is een zaak van hemzelf. Vele wegen leiden naar Rome is in dit verband een goed spreekwoord. Slechts het eindresultaat is van belang: de beheersing van de taal van de wiskunde door de leerlingen. Ik zal hieronder in voorkomende gevallen ervoor pleiten zulke eindtermen te schrappen. Ik zal nu aandacht besteden aan de verschillende wiskundevakken in havo en vwo. Het vak wiskunde C voor vwo bestaat blijkens de inleiding van de syllabus uitsluitend uit onderdelen van het vigerende programma wiskunde A1 aangevuld met keuzeonderdelen. Er zijn tussen de syllabi wiskunde A en wiskunde C kleine detailverschillen, maar ik zal die hier niet noemen of bespreken. Ik zal me hieronder beperken tot de havo- en vwo-vakken wiskunde A en wiskunde B. Wiskunde A havo Het programma bevat een voor dit niveau redelijke hoeveelheid kansrekening en statistiek. Opvallend is de totale afwezigheid van calculus (differentiaalen integraalrekening). Dat betekent voor het hbo-vervolgonderwijs dat opleidingen die dit wel nodig hebben en die havo-wiskunde-a als voldoende toelatingseis hanteren, dit onderdeel van de grond af moeten opbouwen. Ook e-machten en logaritmen maken geen deel uit van het programma. Het programma bevat geen subdomeinen die voor het vervolgonderwijs irrelevant zijn. Alleen in domein B3 (Veranderingen) zouden de onderdelen 21 en 22 kunnen worden gemist (blz. 7). Ten aanzien van de voorbeeldopgaven (blz van de syllabus) kan aansluitend op de bovenvermelde algemene opmerkingen hierover, worden opgemerkt dat bijna alle contexten erg gekunsteld zijn en irrelevante vragen bevatten, met name de voorbeelden 6 en 7 (bladzijde 11) en de voorbeelden 4, 5 en 7 (bladzijde 12-13). In zulk soort opgaven komen gegevens en formules uit de lucht vallen die klakkeloos toegepast en ingevuld moeten worden. Modelvorming en context spelen daarbij geen essentiële rol. Sterker nog, echte wiskundige modelvorming heeft met dit soort verhaaltjessommen absoluut niets te maken. Dergelijke opgaven zullen op leerlingen dan ook eerder een demotiverend dan inspirerend effect hebben. Bovendien geven ze een volstrekt verkeerd beeld van de manier waarop wiskunde in het vervolgonderwijs en in de praktijk wordt gebruikt. Aanbevelingen: 1. Beperk contextopgaven tot kansrekening en statistiek en richt het overige onderwijs uitsluitend op het ontwikkelen van formulevaardigheid en 3

4 kennis van de voor de kansrekening en de statistiek relevante functies. 2. Toets formulevaardigheid in een aparte opgave (opgave 1) maar daarnaast ook in de andere opgaven (waar mogelijk), en geef daar ook punten voor. 3. Probeer niet geforceerd elk voorbeeld en elke examenopgave in een verhaaltje te persen, maar toets formulevaardigheid en kennis van functies in een abstracte vorm. Wiskunde A vwo Ook dit programma bevat een redelijke hoeveelheid kansrekening en statistiek. Opvallend is dat blijkens de kruisjeslijst (bladzijde 3) de differentiaalrekening alleen in het SE getoetst wordt en dat daarbij alleen onderdeel Ba1 verplicht is. Dit zal voor grote problemen gaan zorgen bij met name de economische studierichtingen. Calculus is daar een cruciaal onderdeel van alle wiskundevakken en studenten met alleen wiskunde A in hun pakket zullen dit dus vrijwel vanaf de grond moeten opbouwen. Er zijn bij het samenstellen van de syllabus nog meer betreurenswaardige keuzes gemaakt: 1. Geen natuurlijke logaritme en geen goniometrische functies bij de standaardfuncties (Bg1). 2. Een veel te grote aandacht voor differenties in subdomein Cg1. De onderdelen 17 t.e.m. 22 zijn alleen relevant voor een bepaalde didactische aanpak van de introductie van de differentiaalrekening, maar hebben verder nauwelijks belang voor het vervolgonderwijs. Didactiek hoort niet thuis in een examenprogramma. 3. Het voor het vervolgonderwijs wél relevante onderdeel Rijen en recurrente betrekkingen (Cg2) wordt niet centraal geëxamineerd. Ten aanzien van de algebraïsche vaardigheden verwijs ik naar hetgeen ik hierboven in het algemeen gezegd heb. Daarnaast valt in de indicatieve opsomming op de bladzijden op dat alle voorbeeldopgaven zich kenmerken door hun numerieke karakter, met bovendien lelijke constanten. De formules zijn blijkbaar vooral gericht op het numeriek werken met de GR. Op ons komt dit over als storend. Zeker spreekt er geen liefde voor het vak uit. Het schept een beeld van formulevaardigheid als iets afschrikwekkends. Met echte algebraïsche vaardigheden zoals die in het vervolgonderwijs gebruikt worden, heeft dit weinig van doen. Het zou goed zijn als in plaats van zulke opsommingen lijsten met vaardigheden zoals die van collega Herman ten Napel, met verwijzingen naar bijvoorbeeld het boek van Pach of ons Basisboek wiskunde (van de Craats en Bosch), zouden worden opgenomen. Wat hierboven gezegd is over de rol van contexten die geen betrekking hebben op kansrekening of statistiek in havo wiskunde A, geldt evenzeer voor veel 4

5 van de hier aangehaalde voorbeelden, met name de voorbeelden 6, 7, 8 en 9 (bladzijden 16-18). Ook hier weer formules die uit de lucht komen vallen, ook hier weer oninteressante en gekunstelde vragen en ook hier weer een totale vertekening van echte, realistische wiskundige modelvorming waardoor leerlingen een volstrekt verkeerd beeld krijgen van de mogelijkheden en de kracht van de toegepaste wiskunde. Aanbevelingen: 1. Beperk contextopgaven tot kansrekening en statistiek. 2. Richt het overige onderwijs op het ontwikkelen van formulevaardigheid en kennis van de voor het vervolgonderwijs relevante functies. 3. Probeer ook niet geforceerd elk voorbeeld en elke opgave in een verhaaltje te persen, maar toets formulevaardigheid en kennis van functies in een abstracte vorm. 4. Zorg dat calculus weer een belangrijk onderdeel wordt van het curriculum en toets dit in het CE. 5. Schrap de onderdelen die betrekking hebben op differenties en differentiequotiënten. Die zijn voor het vervolgonderwijs irrelevant. 6. Toets ook Rijen en recurrente betrekkingen in het CE. 7. Het domein Grafen en matrices kan vervallen. Door de rol van contexten in wiskunde A sterk te reduceren kan voor de bovenstaande punten de nodige ruimte geschapen worden. Wiskunde B havo Dit vak richt zich met name op de technische en bètarichtingen in het hbo en daarnaast ook op de economische richtingen, zeker nu wiskunde A voor die richtingen veel te weinig te bieden heeft. Het is, mede in dit licht bezien, merkwaardig dat een omvangrijk onderdeel van het programma, namelijk subdomein D1, Fragmenttekeningen van ruimtelijke objecten, voor het vervolgonderwijs irrelevant is. Subdomein D2, Oppervlakte en inhoud, is wel van belang. Merkwaardig is verder het ontbreken van faculteiten en binomiaalcoëfficiënten (of heb ik iets gemist?). Bij subdomein B1, Veranderingen, ligt weer te veel nadruk op differenties. Met name de onderdelen 5, 9, 10 en 11 kunnen worden geschrapt. Ze horen eerder thuis in een didactische opzet dan in een examenprogramma. Voor de toepassingen zijn ze niet van belang. In het subdomein E1, Functies en grafieken, worden de tangensfunctie, de e- macht en de natuurlijke logaritme node gemist. Dit geldt ook voor domein E3, Afgeleide functies. Verder kunnen daar de onderdelen 56 en 57 worden geschrapt. 5

6 Bij subdomein E4, Periodieke functies, wordt ten onrechte de suggestie gewekt dat ieder periodiek verschijnsel zinvol beschreven kan worden door een sinusoïde (onderdeel 73). Wat met onderdeel 67 wordt bedoeld, is mij niet duidelijk. En wat wordt bij onderdeel 71 bedoeld met een gegeven sinusoïde? Hoe gegeven? Bij domein H, Toegepaste analyse, ontbreekt bij de regels voor differentiëren de quotiëntregel. De beperking tot enkelvoudig samengestelde functies is gekunsteld. Daarmee maakt men het instrument van de differentiaalrekening in feite vleugellam. Bij de voorbeelden op de bladzijden vallen slordigheden op (A5, A6). Waarom wordt de absolute waarde niet gebruikt (B1, B5)? Wat bedoelt men precies met de toevoegingen A 0 (B1) en x 0 (B5)? Bizar is dat de merkwaardige producten maar één kant op gekend moeten worden (blz. 12). Wat is dat voor wiskunde, en wat is daarbij de betekenis van het gelijkteken? Aanbevelingen: 1. Verwijder subdomein D1. 2. Verwijder de onderdelen die betrekking hebben op differenties en differentiequotiënten. 3. Breid de domeinen E1, E3 en H uit in de bovengenoemde zin. Bovenstaande aanbevelingen kunnen door interne verschuivingen zonder urenuitbreiding worden gerealiseerd. Wiskunde B vwo In wiskunde B vwo is het domein Gb, Voortgezette meetkunde, irrelevant voor de doorstroming, zelfs voor de doorstroming naar een wiskundestudie. Dit domein dient dan ook zo snel mogelijk uit het examenprogramma te verdwijnen. Dat schept ruimte om bepaalde andere domeinen op een zinvolle manier uit te breiden. Maar nog veel beter zou het zijn om de vrijgekomen ruimte te benutten voor het (opnieuw) invoeren van het onderdeel kansrekening en statistiek. In subdomein Bg1, Standaardfuncties, dient ook de tangensfunctie behandeld te worden. In subdomein Bg2, Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden, valt de volgorde en de bizarre formulering van de onderdelen 7 en 8 op. Het kan toch niet de bedoeling zijn om hier al complexe getallen in te voeren? In subdomein Cg1, Veranderingen, kunnen de onderdelen 17, 18, 19, 22 en 23 gemist worden. Ook de onderdelen 24 en 25 kunnen worden geschrapt. In subdomein Bb1, Afgeleide functies, kan 77 gemist worden. Bij de onderdelen 82 en 87 kan het numeriek-grafische werk vervallen. In subdomein Bb3, Integraalrekening, valt op dat nergens de hoofdstelling van de integraalrekening, en daarmee het verband tussen differentiëren en integre- 6

7 ren, in algemene zin genoemd wordt. (Hfdst. v.d. int.rek.: als F een primitieve functie is van f op het interval [a, b], dan is b a f (x) dx = F(b) F(a).) Misschien zit dit toch impliciet verborgen in 96. In elk geval wordt het begrip primitieve functie nergens genoemd. Wat bij vwo wiskunde A gezegd is over de indicatieve opsomming van bladzijden geldt evenzeer voor vwo wiskunde B. Ook hier is de wiskunde blijkbaar volledig op numeriek werken met de GR gericht en ook hier is de indruk van de wiskunde die eruit oprijst, afschrikwekkend. Ten aanzien van de Voorbeeldopgaven (bladzijden 15-17): de aard ervan is voor het vervolgonderwijs grotendeels irrelevant en de vorm van de opgaven toetst geen vaardigheden. Bijna altijd wordt het antwoord voorgezegd (1a, 2b, 3a, 3b, 4, 5, 7, 8, 9b). Formules komen uit de lucht vallen (2, 9), flauwiteiten worden beloond (1a, 2a, 5, 6, 8 (formulekaart!), 9a). De contextopgaven vallen op door gekunsteldheid en onduidelijkheid. Voorbeeld: in opgave 2 staat De vraag is hoe hoog de lamp boven de grond moet worden geplaatst, opdat de lichtintensiteit in het midden van de straat maximaal is. Iedereen die zijn verstand gebruikt, zal zeggen dat dit nooit het geval kan zijn omdat de lichtintensiteit natuurlijk recht onder de lamp maximaal is. Je kunt dat zelfs uit de formule afleiden. Waar die formule vandaan komt, is overigens duister. Waarom de sinus erin staat, zal geen leerling snappen. Wat dit met modelvorming te maken heeft, is wél duidelijk: niets. Wat hier getoetst wordt bij een leerling die het uitgestippelde pad weet te bewandelen, is alleen de definitie van de sinus, de stelling van Pythagoras en een simpel regeltje voor differentiëren. Doordat voorgezegd wordt dat je met L 2 mag werken (snapt een leerling waarom?) wordt elke kans op een onvoldoende geëlimineerd. Bij de opgaven 5 en 6 speelt de GR eigenlijk geen enkele rol, ook niet als motivering (geen leerling zal dit soort zaken spelenderwijs ontdekken). Je zou precies hetzelfde toetsen als je slechts zou vragen: Laat zien dat de grafiek van f (x) symmetrisch is in de y-as, respectievelijk Bereken f (x) f ( 1 x ). In beide gevallen een triviale opgave, een vwo-b eindexamen onwaardig. Aanbevelingen: 1. Verwijder domein Gb. 2. Probeer daarvoor in de plaats weer de kansrekening en de statistiek (in een al dan niet gereduceerde vorm) terug te krijgen. 3. Verwijder alle contexten uit het examenprogramma en de examenopgaven. Interessante echte toepassingen kunnen in praktische opdrachten en profielwerkstukken worden gedaan. Daarbij kan ICT (niet noodzakelijk de GR) een belangrijke rol spelen. 4. Verwijder onderdelen die te maken hebben met differenties en differentiequotiënten. 5. Voor de leraren: oriënteer je op de manier waarop wiskunde in de vervolgopleidingen op hbo en universiteit (niet in de wiskundestudie, maar in de informatica, de andere bètavakken, de techniek, de economie) wordt 7

8 gebruikt en hoe die wiskunde daar wordt gebruikt. Bijlage 1. Grafische rekenmachine en formulekaart De grafische rekenmachine is een prachtig instrument dat echter onbedoeld een funeste invloed op het wiskunde-onderwijs heeft uitgeoefend, met name bij wiskunde B. Al heel snel heeft bij leraren, didactici, schoolboekenschrijvers en examenmakers het idee postgevat dat alles wat met de GR kan, ook met de GR moet, en dat alles wat niet met de GR kan, onbelangrijk is. Dit heeft, in combinatie met het evangelie van het realistische wiskundeonderwijs gezorgd voor een soort schoolwiskunde die voor het vervolgonderwijs irrelevant is, en die alles wat er tot aan de invoering van de Tweede Fase (toen er nog geen aansluitingsproblemen waren) aan zinvolle wiskunde op school gebeurde, namelijk het aanleren van formulevaardigheid en kennis van de elementaire functies, heeft verdrongen. Het beeld dat leerlingen nu van wiskunde hebben, is, enigszins gechargeerd, een vak waarbij in gekunstelde verhaaltjes formules uit de lucht komen vallen waarin je met behulp van je GR numerieke waarden moet invullen. En verder wordt er (in wiskunde B2) moeilijk gedaan over meetkunde met bewijzen. Voor de vervolgopleidingen waar wiskunde als taal en instrument gebruikt wordt, is dit een rampzalige ontwikkeling. Als leraren en examenmakers zich van deze problematiek bewust worden, is al veel gewonnen, maar het oplossen ervan zal heel wat meer inspanning vergen. Er gaan inderdaad stemmen op om de rol van de GR te reduceren en bij de B-examens het gebruik ervan te verbieden. Men zou voor wiskunde B ook examens kunnen maken met parameters in de opgaven (heel zinvol voor het vervolgonderwijs!), waardoor de GR in feite onbruikbaar wordt. Een algeheel verbod bij het CE is waarschijnlijk in de periode tot 2010 niet haalbaar, maar vanaf 2010 zou dit zeker gewenst zijn. Ook ten aanzien van de formulekaart moet gezegd worden dat de negatieve effecten van de invoering ervan de positieve ruimschoots overtreffen. Dit komt vooral door het feit dat leerlingen bij elke formule van de formulekaart denken: Dat hoeven we niet te weten, want dat kunnen we opzoeken. Zo worden dus bijvoorbeeld de abc-formule of de formule cos 2 x + sin 2 x = 1 niet meer geleerd, want die staan op de formulekaart. Het is duidelijk dat dit voor het aanleren van de taal van de wiskunde net zo funest is als het gebruik van een woordenboek bij een talenexamen. Er gaat gewoon een verkeerd signaal van uit. Overigens, een discussie over de formulekaart is van weinig belang zolang de GR op het CE toegestaan is. Die kan er immers integraal in worden opgeslagen. Bij een examen zonder GR zou het gebruik van een sterk gereduceerde formulekaart kunnen worden overwogen. In plaats daarvan kan in voorkomende gevallen ook gewoon een enkele lastige formule bij een examenopgave worden vermeld. En wanneer het CE zich ontwikkelt in de richting van de thans in het hoger onderwijs gebruikte instaptoetsen, is dit allemaal niet no- 8

9 dig. Alles wat daar aan voorkennis gevraagd wordt, dient men gewoon uit het hoofd te weten. Bijlage 2. Wiskunde in het hoger onderwijs Hier is een (onvolledige) lijst van opleidingen in het hoger onderwijs waarin wiskunde wordt gebruikt. 1. Bètastudies 2. Technische studies 3. Econometrie 4. Informatica en aanverwante studies 5. Economie, bedrijfskunde en verwante studies 6. Sociale studies (vnl. statistiek) 7. Medische en medisch-biologische wetenschappen (vnl. statistiek) Voor al deze studies geldt dat er bovenop het ingangsniveau wiskunde nog een (vaak grote) hoeveelheid toepassingsspecifieke wiskunde wordt gegeven. Voor de statistiek in de sociale en medische studies gold tot voor kort dat wiskunde A voldoende ondergrond bood. Er zijn echter nu ook daar geluiden te horen die duiden op een tekort aan formulevaardigheid en andere elementaire wiskundige basisvaardigheden. Maar dat alles valt in het niet bij de aansluitingsproblemen die er zijn voor wiskunde B bij de bètastudies, de technische studies, de economie en aanverwante studierichtingen. Welke wiskundevakken staan daar op het programma? Hier is een lijstje, gehaald uit de verschillende studiegidsen: 1. Lineaire algebra 2. Complexe getallen en complexe functietheorie 3. Functies van meer variabelen 4. Meervoudige integralen, integreren over krommen, oppervlakken en volumes 5. Differentiaalvergelijkingen (gewone en partiële) 6. Numerieke methoden 7. Integraaltransformaties, Laplace en Fourier 8. Vectoranalyse 9. Operationele analyse, optimaliseringsmethoden 10. Combinatoriek 11. Logica Kenmerkend voor al deze wiskundevakken is: 1. Abstractie. De wiskunde wordt in veel gevallen zonder context gepresenteerd. De hoofdvakken zelf zijn de context. 9

10 2. Het gaat om het aanleren van wiskundige technieken en vaardigheden. De wiskunde is de taal waarin wetmatigheden in het vak worden uitgedrukt en ontwikkeld. 3. Numerieke berekeningen zijn vaak van secundair belang. 4. De grafische rekenmachine is meestal nutteloos. 5. Er wordt een aanzienlijke formulevaardigheid verwacht. 6. Problem solving abilities en creativiteit spelen bij het wiskundeonderwijs vrijwel geen rol (natuurlijk wel bij het hoofdvak). Let wel: al deze wiskundevakken worden gegeven omdat de toepassingen erom vragen, niet omdat wiskundigen ze zo mooi of interessant vinden. Wiskunde B op havo en vwo dient op het bovenstaande vervolgonderwijs voor te bereiden. Dat is haar voornaamste bestaansgrond en de politiek verwacht terecht ook dat ze in de eerste plaats deze rol vervult. Culturele, historische en algemeen vormende aspecten van de wiskunde zijn hieraan ondergeschikt. Wanneer de wiskunde zich op een andere manier opstelt en profileert, zal haar rol worden gemarginaliseerd. Verdere urenreductie is dan ook onvermijdelijk. Dat gevaar is thans levensgroot aanwezig. Laten we ervoor zorgen dat dit niet gebeurt! 10