University of Groningen Solvable cases of the traveling salesman problem with various objective functions van der Veen, Jacobus Antonius Adelbertus IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version below. Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record Publication date: 1992 Link to publication in University of Groningen/UMCG research database Citation for published version (APA): van der Veen, J. A. A. (1992). Solvable cases of the traveling salesman problem with various objective functions [S.l.]: [S.n.] Copyright Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons). Take-down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons the number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum. Download date: 05-10-2017
JJECT INDEX SaunnvarrlNG OPLOSBARE GEVALLEN VAN HET HANDELSREIZIGERSPROBLEEM MET VERSCHILLENDE DOELSTELLINGSFUNCTIES Een handelsreiziger dient een aantal steden te bezoeken en terug te keren naar zijn woonplaats. Verondersteld wordt dat hij een afstandstabel tot zijn beschikking heeft en dus voor elk tweetal te bezoeken steden de onderlinge afstand weet. Het is zijn bedoeling om een route (tour) langs de steden te bepalen waarvan de totale afgelegde afstand (de lengte van de tour) zo klein mogelijk is. Dit is het zogenaamde handelsreizigersprobleem (Traveling Salesman Problem, TSP). Hoewel het TSP beschreven is in termen van handelsreizigers en steden is het probleem te herkennen in tal van andere volgordeproblemen, met name in de logistiek en produktieplanning. De meest gebruikelijke manier om de lengte van een tour te definiëren is die waarbij alle afgelegde afstanden bij elkaar worden opgeteld. Het TSP met een dergelijke doelstellingsfunctie wordt het Sum TSP genoemd. Andere zinvolle manieren om de lengte van een tour te definiëren zijn bijvoorbeeld: de langste van de afgelegde afstanden (Bottleneck TSP) en het verschil tussen de langste en de kortste van de afgelegde afstanden (Balanced TSP). Een instantie van het TSP wordt gegeven door het aantal steden dat bezocht moet worden en de tabel met de afstanden tussen de steden (de afstandenmatrlr). In principe kunnen de getallen in de afstandenmatrix een willekeurige waarde hebben. In veel toepassingen is er echter sprake van enige structuur in de afstandenmatrix. Bijvoorbeeld kan een afstandenmatrix symmetrisch zijn hetgeen wil zeggen dat voor elk tweetal steden i en j de afstand van stad i naar stad j gelijk is aan de afstand van stad j naar stad i. Het TSP beperkt tot symmetdsche afstandenmatrices wordt het symmetrische TSP genoemd. Een andere veel gemaakte veronderstelling is dat de driehoeksongelijkheid geldt, hetgeen wil zeggerr dat voor elk drietal steden ij en k de afstand van i naar j tezamen met de afstand van j naar k tenminste even lang is als de afstand van i naar k. Het zogenaamde metrische TSP is het TSP beperkt tot afstandenmatrices die nietnegatief en sy'mmetrisch zijn en waarbij de driehoeksongelijkheid geldt. Een TSP heet Euclidisch als steden zijn weer te geven door punten in het platte vlak en 269
210 SAMENVATTING SAMENVATTIN( de afstand tussen twee steden gelijk is aan de lengte van het lijnstuk tussen die punten. Het TSP beperkt tot een klasse van afstandenmatrices D is een speciaal geval van het TSP beperkt tot de klasse van afstandenmatrices D' als D een deelklasse is van D'. Zo is bijvoorbeeld het metrische TSP een speciaal geval van het symmetrische TSP en is het Euclidische TSP een speciaal geval van het metrische TSP. Het TSP is één van de meest bestudeerde problemen uit de combinatorische optimalisering. Brj een combinatorisch optimaliseringsprobleem wordt gevraagd om uit een eindig aantal oplossingen een optimale te bepalen. Binnen de combinatorische optimalisering wordt er onderscheid gemaakt tussen "eenvoudige" en "moeilijke" problemen. Het verschil tussen "eenvoudig" en "moeilijk" wordt bepaald door het aantal elementaire bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen e.d.) dat nodig is om een optimale oplossing te bepalen. Als er voor een bepaald probleem een algoritme bestaat waarbij een optimale oplossing wordt gevonden in een aantal bewerkingen dat polynomiaal begrensd is in de grootte van het probleem, dan wordt dat probleem polynomiaal oplosbaar of simpeiweg "eenvoudig" genoemd. Er zijn echter ook problemen waarvoor tot op heden nog geen polynomiaal algoritme is gevonden en waarvan bovendien met behulp van technieken uit de complexiteitstheorie is aangetoond dat ze NP-lastig zijn. Hoewel er tot op heden geen sluitend bewijs gevonden is, wordt algemeen aangenomen dat er geen polynomiaal algoritme voor een NPlastig probleem bestaat. Dergelijke problemen worden dan ook wel "moeilijk" genoemd. Een probleem waarvoor geen polynomiaal algoritme gevonden is maar ook niet is aangetoondat het NP-lastig is wordt heet "open". Het is alom bekend dat het Sum TSP, evenals het Bottleneck TSP, een NPlastig probleem is. Dit geldt zelfs voor het speciale geval waarbij alleen Euclidische problemen beschouwd worden. Als men echter meer (of andere) restricties oplegt op de afstandenmatrix is het zeer wel mogelijk dat het resulterende probleem "eenvoudig" oplosbaar wordt. In dat geval spreken we van een oplosbaar geval van het TSP. In dit proefschrift komen diverse restricties op de afstandenmatrices aan de orde. Met andere woorden, er worden klassen van afstandenmatrices gedefinieerd en het TSP beperkt tot deze klassen van matrices wordt bestudeerd. Met enerzijds de verschillende doelstellingsfuncties en anderzijds de verschillende klassen van afstandenmatrices ontstaat een matrix van handelsreizige bepalen is wat c "moeilijk"?) Eer behandeld. In hoofdstuki verschillende dr een overzicht ge het TSP. De vr onderzocht. Tev is. Bovendien w Bottleneck TSP De hoofdstuk artikelen. In elk doelstellingsfu bestudeerd. In de hoofdst Een TSP beperk als voor dit prot Een tour heet pi, tour bestaat uit steden volgensc stad L waartuss Omdat voor een kwadratische tijr oplosbaar is, da In hoofdstuk 2 kr toe vormde de I bewezen is dat hr een grote deelk van het piramid algoritmen gege matrix, voldoet d Demidenko mat
;AMENVATTING SAMENVATTING 2'/1 nstuk tussen die ) is een speciaal :s D' als D een reciaal geval van rl geval van het :ombinatorische wordt gevraagd Binnen de emaakt tussen "eenvoudig" en ingen (optellen, ale oplossing te taat waarbij een dat polynomiaal :em polynomiaal ook problemen rden en waarvan ie is aangetoond vijs gevonden is, le voor een NPk wel "moeilijk" evonden is maar k TSP, een NPwaarbij alleen Leer (of andere) rogelijk dat het I spreken we van matrices aan de standenmatrices ordt bestudeerd. anderzijds de rn matrix van handelsreizigersproblemen. In principe is het gewenst om voor iedere variant te bepalen is wat de complexiteit is (dat wil zeggen is dat probleem "eenvoudig" of "moeilijk"?) Een aantal van deze problemen worden in dit proefschrift in detail behandeld. In hoofdstuk 1 worden de verschillende klassen van afstandenmatrices de verschillende doelstellingsfuncties geïntroduceerd en geclassificeerd. Er wordt een overzicht gegeven van de literatuur op het gebied van speciale gevallen van het TSP. De verbanden tussen de verschillende klassen van matrices wordt onderzocht. Tevens wordt aangetoon dat het algemene Balanced TSP NP-lastig is. Bovendien wordt er van een aantal speciale gevallen van het Sum TSP, het Bottleneck TSP en het Balanced TSP aangetoond dat ze oplosbaar zijn. De hoofdstukken 2 tot en mett zijn geschreven als min of meer zelfstandige artikelen. In elk van de hoofdstukken wordt telkens een TSP met een specifieke doelstellingsfunctie beperkt tot één of meerdere klassen van afstandenmatrices bestudeerd. In de hoofdstukken 2,4 en 5 komen piramidaal oplosbare TSPs aan de orde. Een TSP beperkt tot een klasse van afstandenmatrices heet piramidaal oplosbaar als voor dit probleem geldt dat er een optimale tour bestaat die piramidaal is. Een tour heet piramidaal als, gegeven een nuínmering 1,2,...,n van de steden, de tour bestaat uit een pad van stad L naar stad n waartussen een deel van de steden volgens oplopend nurlmer worden bezocht en een pad van stad n naar stad 1 waartussen de overige steden volgens aflopend nummer worden bezocht. Omdat voor een willekeurige afstandenmatrix een optimale piramidale tour in kwadratische tijd te bepalen is, volgt uit het feit dat een TSP piramidaal oplosbaar is, dat het probleem polynomiaal oplosbaar is. In hoofdstuk 2 komen de zogenaamde Demidenko matrices aan de orde. Tot nu toe vormde de Demidenko matrices de grootste klasse van matrices waarvoor bewezen is dat het Sum TSP piramidaal oplosbaar is. In dit hoofdstuk wordt voor een grote deelklasse van de Demidenko matrices een eenvoudig nieuw bewijs van het piramidaal oplosbaar zijn van het Sum TSP gegeven. Ook worden er algoritmen gegeven voor het herkemen van Demidenko matrices (gegeven een matrix, voldoet die aan de Demidenko condities?) en het random genereren van Demidenko matrices.
212 SAMENVATTING SAMENVATTING In hoofdstuk 3 wordt aangetoond dat het Bottleneck TSP beperkt tot geordende produkt matrices oplosbaar is in een aantal berekeningen dat lineair oploopt met het aantal steden. Een matrix is een produkt matrix als er twee vectoren a en b bestaan zodanig dat de afstand tussen twee steden i en j gelijk is aan het produkt van de i-de component van vector a en de j-de component van vector b. Een matrix heet een geordende produkt matrix als beide vectoren gesorteerd zijn. Een toepassing van het TSP beperkt tot produkt matrices wordt gegeven in hoofdstuk 1. Het bovengenoemde resultaat is een verbetering ten opzichte van een resuitaat in de literatuur waarin een kwadratisch algoritme wordt beschreven. Het resultaat in hoofdstuk 3 wordt verkregen door het algemene geval op te delen in een aantal mogelijkheden en voor alle mogelijke gevallen een lineair algoritme te geven. Hierbij worden onder andere alternatieve algoritmen gegeven voor in de literatuur beschreven problemen. In hoofdstuk 4 wordt een nieuwe klasse van symmetrische matrices geïntroduceerd en wclrdt aangetoon dat het Sum TSP ook voor deze klasse van matrices piramidaal oplosbaar is. Er wordt aangetoond dat noch de nieuwe klasse een deelklasse is van de klasse van symmetrische Demidenko matrices noch dat het omgekeerde het geval is. Dit feit is van belang omdat, zoals al eerder gemeld, de klasse van Demidenko matrices tot nu toe de grootste klasse van matrices was waarvoor het bekend is dat het Sum TSP oiramidaal oolosbaar ls. In hoofdstuk 5 wordt het Algebraïsche TSP geïntroduceerd en worden polynomiaal oplosbare speciale gevallen gegeven. Het Algebraïsche TSP is een generalisatie van het Bottleneck TSP en het Sum TSP. Tot op heden heeft het Algebraïsche TSP, in tegenstelling tot algebraïsche varianten van polynomiaal oplosbare combinatorische optimaliserings problemen, nauwelijks aandacht gekregen in de literatuur omdat een algemene beschrijving van een oplossingsmethode voor een NP-lastig probleem in algebraïsche termen niet erg zinvol is. Als men echter polynomiaal oplosbare gevallen beschouwt is een dergelijke generalisatie wel interessant. In het eerste gedeelte van Hoofdstuk 5 wordt van een groot aantal klassen van matrices aangetoond dat het Algebraïsche TSP piramidaal oplosbaar is. Het betreft hier zowel nieuwe klassen als generalisaties van uit de literatuur bekende gevallen. In alle gevallen wordt met een zelf ontwikkelde bewijstechniek (die ook gebruikt wordt in hoofdstuk 4) een nieuw bewijs gegeven. In het tweede deel van hoofdstuk 5 worden twee nieuwe resultaten gegeven. Er wordt aangetoond dat het Algebraïsche TSP beperktot Brow symmetrische 1i ln hoofdstuk Scheduling Prob een machinevo jobs, elk bestaa rvorden uitgevo problemen geld job en dat er ee geldt dat de bew De no-wait rest machine gestop worden. Het is gevonden moet \ op alle machine afstandenmatri berekend uit de machines. In ho bewerkingstijd afstanden matric het (Sum-) TSP NWFSSPworde van de jobs best van de machine TSP behoortot r ts. In hoofdstuk i matrices bestud verwante probler route waarbij elk terug gekeerd h matrices en var matrices, is echt wordt nagegaa bovengenoemd symmetrische cir
;AMENVATTTNG SAMENVATTING zt-) SP beperkt tot ngen dat lineair rtrix a\s er twee den i enj gel1k I C0mponent Van beide vectoren t matrices wordt verbetering ten atisch algoritme regen door het rr alle mogelijke onder andere :n problemen. rische matrices 'deze klasse van noch de nieuwe idenko matrices omdat, zoals al 3 grootste klasse aidaal oplosbaar erd en worden 'sche TSP is een heden heeft het zan polynomiaal 'eiijks aandacht jving van een termen niet erg :schouwt is een 'an Hoofdstuk 5 toond dat het I nieuwe klassen : gevallen wordt 'dt in hoofdstuk :5 worden twee gebraïsche TSP beperkt t<lt Brownse matrices en het Algebraïsche TSP beperkt tot niet-negatieve symmetrische links-boven driehoeksmatrices beide polynomiaal oplosbaar zijn. ln hoofdstuk 6 worden speciale gevallen van het No-Wait Flow-Shop Scheduling Probleem (NWFSSP) bestudeerd. Het NWFSSP is een voorbeeld van een machinevolgordeprobleem. Dergelijke problemen betreffen het plannen van jobs, elk bestaande uit een aantal bewerkingen waarbij een bewerking moet worden uitgevoerd op een daarvoor geschikte machine. Bij flow-shop scheduling problemen geldt dat er één machine beschikbaar is voor elke bewerking van een job en dat er een vaste volgorde is van de machines in die zin dat voor elke job geldt dat de bewerkingen volgens die vaste volgorde moeten worden uitgevoerd. De no-wait restrictie houdt in dat nadat de bewerking van een job op een machine gestopt is deze job onmiddellijk op de volgende machine bewerkt moet worden. Het is bekend dat het NWFSSP waarbij die volgorde van de jobs gevonden moet worden waarbij de totale tijd waarbinnen alle jobs bewerkt zijn op alle machines (makespan) minimaal is, te formuleren is als een Sum TSP. De afstandenmatrix van het corresponderende TSP wordt op een specifieke manier berekend uit de bewerkingstijden van de verschillende jobs op de verschillende machines. In hoofdstuk 6 wordt aangetoond dat bepaalde restricties op de bewerkingstijdenmatrix van het NWFSSP leiden tot bepaalde klassen van afstanden matrices. Door gebruik te maken van kennis van speciale gevallen van het (Sum-) TSP kan een complexiteitsresultaat van speciale gevallen van het NWFSSP worden verkregen. Bijvoorbeeld wordt aangetoon dat als een volgorde van de jobs bestaat zodantg dat volgens die volgorde de bewerkingstijden op elk van de machines niet-afnemend zijn, de afstandenmatrix van het bijbehorende TSP behoort tot een klasse van matrices waarvoor het TSP piramidaal oolosbaar is. In hoofdstuk 7 wordt het Sum TSP beperkt tot symmetrische circulante matrices bestudeerd. Dit probleem is nog steeds "open". Van een tweetal verwante problemen, te weten het Hamiltonian pad probleem (bepaal de kortste route waarbij elke stad precies één keer bezocht moet worden maar waarbij niet terug gekeerd hoeft te worden naar het beginpunt) beperkt tot circulante matrices en van het Bottleneck TSP beperkt tot s)'rnmetrische circulante matrices, is echter bekend dat deze polynomiaal oplosbaar zijn. In hoofdstuk 7 wordt nagegaan in hoeverre de ideeën achter de polynomiale algoritmen voor bovengenoemde problemen bruikbaar zijn voor het Sum TSP beperkt tot symmetrische circulante matrices. Deze analyse leidt tot twee polimomiale sub-
274 SAMENVATTING optimale algoritmen (heuristielcen, dus algoritmen die geen optimale oplossing garanderen).zovrel uit een theoretische analyse als uit berekeningen op random gegenereerde symmetrische circulante matrices blijkt dat de heuristieken oplossingen geven die dicht bij het optimum liggen. Tenslotte worden er een aantal speciale gevallen beschreven waarvoor tenrninste één van beide heuristieken een optimale oplossing geeft.