Pas op voor defectieve matrices

Pas op voor defectieve matrices Bosch, A.J. Gepubliceerd: 01/01/1984 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted manuscript is the author s version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher s website. The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers. Link to publication Citation for published version (APA): Bosch, A. J. (1984). Pas op voor defectieve matrices. (Memorandum COSOR; Vol. 8413). Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven. General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal? Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Download date: 17. Jan. 2017

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling der Wiskunde en Informatica COSOR-Memorandum 84-13 Pas op voor defectieve matrices door A.J. Bosch Eindhoven, the Netherlands november 1984

PAS OP VOOR DEFECTIEVE MATRICES A.J. Bosch O. Inleiding Defectieve matrices zijn vierkante matrices die niet diagonaliseerbaar zijn, d.w.z. niet te schrijven als B1\.B- 1 met 1\. een diagonaalmatrix. Op mondelinge examens is mij gebleken dat veel studenten er nooit van gehoord hadden of geen voorbeeld konden geven van een defectieve matrix. Dit is vreemd, daar het een essentieel begrip is in de matrixtheorie. Ook in de literatuur wordt er niet veel aandacht aan besteed. Deze defectieve matrices geven vaak moeilijkheden. Ik citeer Bellman: " The fact that diagonalization may not be always available, greatly complicates the study of general matrices - and, in return, adds equally to their interest ". Zoals we nog in 5 zullen zien, zijn er vele stellingen die wei gelden voor diagonaliseerbare matrices, maar niet voor defectieve. Men moet steeds op z'n hoede zijn, getuige het volgende: Kortgeleden moest ik een artikel refereren (niet van een student, maar van een wiskundige). Daar kwam ik het volgende tegen: " Zij A positief semi-definiet en B symmetrisch. Stel de rang van AB is r, dus er zijn r eigenwaarden (.i.c. multipliciteit) ongelijk nul... " Helaas, dat is onjuist als AB defectief is, hetgeen best mogelijk is (zie 5.6). Vandaar dit artikel.

- 2-1.1. Notaties A = (a i.) is een matrix met elementen a.. = (A).., 1 ~ i. j ~ n. J 1J 1J a.. = (A).. is het element op de i e rij en je kolom. 1J 1J T T A is de getransponeerde van A d.w.z. (A )ij = a. ji T T x is een kolomvector, x de bijbehorende rijvector. Analoog a, b ed. A is de complex geconjugeerde van A d.w.z. (A)ij = a ij is de hermitisch geconjugeerde van A d.w.z. (A*)ij = 1 is een eenheidsmatrix d.w.z. (1).. = 0 voor i ~ j en (1).. = 1. 1J 11 o is een nulmatrix d.w.z. (0).. = 0 voor aile i,j 1J A is een diagonaalmatrix met op de diagonaal de eigenwaarden A1...,A n. sp A is het spoor van A = I a... 11 a.. J1 II All = /;P(A*A), is de Euclidische norm van A. r(a) is de rang van A = aantal onafhankelijke kolommen van A. N(A) is de nulruimte van A = {x E ~n I Ax = O}. R(A) is de beeldruimte van A E A = N(A-U) is de eigenruimte van eigenvectoren (i.e. de 0) van A bij de eigenwaarde A. E A (±) E is de direkte som van E en E d.w. z. E ' E zijn deelruimten A A A A A 1 2 1 2 1 2 n van ~, E A n E = {O} en A 1 2

- 3 - A ~ F, A is gelijkvormig met F, d.w.z. er iseen reguliere matrix B zodat A = B F B- 1. Opmerking. dit niet verwarren met 2 nauwverwante begrippen: 1) A ~ F, A is equivalent met F als er reguliere matrices B l, B bestaan zodat A 2 = B F B l 2 ii) A ~ F, A is congruent met F als er een reguliere B bestaat zodat A = B F B* De 3 relaties zijn equivalentierelaties. 1.2. Definities In het vervolg beschouwen we aileen n x n-matrices met elementen uit a: of :R Een matrix A heet normaal unitair als A* A = A A* als A* A = A A * = I. In het vervolg met U aangeduid; U * = U -1 orthogonaal hermitisch symmetrisch als A reeel unitair is, dus als ATA = AA T = I; AT = A-I. als A * = A (met H aangeduid); antihermitisch als A * = -A. AT T als A reeel hermitisch is, dus = A; scheefsymmetrisch als A =-A. idempotent als A2 = A nilpotent als A k = 0 voor een k E :N. diagonaal als a ij = 0 voor i ~ j rechterdriehoeksmatrix als a.. = 0 voor i > j l.j met D aangeduid. en A niet diagonaal, voortaan n -T positief definiet als A hermitisch is en voor aile x ~ 0 E C : x Ax > 0. n -T positief semi-definiet als A hermitisch is en voor aile x E C : x Ax ~ 0.

- 4 - diagonaliseerbaar als A ~ A, d.w.z. A is gelijkvormig met een diagonaal- -1 matrix A. Er bestaat een reguliere B zodat A = B A B. defectief als A niet diagonaliseerbaar is. Tevens spelen de volgende 2 begrippen in deze theorie een belangrijke rol: de meetkundige multipliciteit van een eigenwaarde A. 3. = dim EA. -. n i ' 3. de algebraische multpliciteit van een eigenwaarde A. = m waarbij m. 3. i 3. gede- finieerd is door: m. det(a-ai) = (Ai-A) 3. g(a) met g(a ) # 0 i m.a.w. Ai is een mi-voudige wortel van de ne-graads karakteristieke vergelijking in A : det(a~ AI) = O. 1.3. Enkele hulpstellingen De eerste vijf bewijzen zijn niet gegeven, daar deze of reeds bekend zijn of zeer eenvoudig zijn. 1.3.1. sp(ab) = sp(ba); sp(a+b) = spa+ spb 1.3.2. (AB)* = B*A*; (A- 1 )* = (A*)-l. sp A = LA. (som e igenw.). 3. 1.3.3. Als A ~ F dan is r(a) = r(f); A en F hebben dezelfdeeigenwaarden. 1.3.4. Als U 1 'U unitair, dan ook U U. 2 1 2 1.3.5. Is A reeel, d.w.z. a E H, en A eigenw. van A, dan ook Xeigenw. van A. ij 1.3.6. De eigenwaarden van een positief definiete matrix H zijn positief. Bewijs: Voor x # 0 geldt dus ithx > O. Zij x eigenvector van H bij eigenw. A. Dan is ithx = AiTx > O. Daar itx > 0 is ook A > 0

- 5-1.3.7. Is A regulier, dan is A* A (eveneens AA) * positief definiet. -T * - T Bewijs: x A Ax = (Ax) (Ax) > 0 voor x ~ 0 (dus Ax ~ 0). 1.3.8. Zij H positief definiet. Dan bestaat er een positief definiete B (ook als H" 2 aangeduid) zodat H = B2. Bewijs: H = UII. U * (zie 4.3) met A. > 0 (volgens 1.3.6) 1. H = U II.tU*UII.1u* =: B2 met B := U li.iu* weer positief definiet. 1. 3.9. IIABil ~ IIA II lib II (A,B beide n x n-matrices). Bewijs: IIABI12 =.L.I(AB) 1 2 =.L. la:b.12~.l. la.1 2 Ib.12 (Cauchy-Schwarz) l.j ij l.j 1. J l.j 1. J = t l a Hierin is a. de i e rij van A, i l 2 ~ Ib j l 2 = IIA!1 2 I1BII2. van B; Ia. 2 1 = a. * a., analoog = b. * b.. 1. 1. 1. 1. J 1.3.10. (Lemma van Schur): Elke n x n-matrix A is te schrijven als A rechterdriehoeksmatrix en U unitair. Bewijs: (met volledige inductie naar n). J J b. de je kolom = U D U* met D i) n = 2. Zij AX = AX, met x 1 1 * x = 1. Kies x.lx1 (d.w.z. x 1 1 2 2 * x = 0) 1 en x 2 * x 2 = 1. Dan is U.- (x x ) 1 2 inderdaad unitair. U* AU * = [ :;J = [: :]-. D een rechterdriehoeksmatrix. ii) Zij nu A een (n+1) x (n+1) -matrix. Neem AX 1 Construeer U o := (x 1...x n ) met xix i U is unitair. o A *... * * = 1 en = AX met x 1 1 * x 1 = 1. x.x. * = 0 voor i ~ j 1. J d.w.z. Dan is * UOA U o = 0 B * daar xi AX 1 0

- 6 - Nu de inductiestap voor B (die van de orde n x n is): Er is een U 1 en een D zodat U 1 1 * B U = D. 1 1 Definieer U 2.- 1 0... 0 o o t weer unitair. Dan wordt UOA U o = U 2 A * * 0 * * * t 0 D 1 U 2 -. U 2 D U 2. (D is weer rechterdriehoeksmatrix) t oftewel I Opmerking: Daar A ~ D heeft A dezelfde eigenw. als D (zie 1.3.3) = A. voor aile i. J. 1.3.11. (Jordan normaalvorm): Elke n x n-matrix A is te schrijven als A = B D B- 1 waarbij D een bijzondere rechterdriehoeksmatrix is: D k (1. 1 ) A 1 1 0 A 1 0 D.- Dk(A).- een k x k-matrix A 1 0 D k Or) 0 r J A r L: k = n. 1 i Evenals in 1. 3.10 is d.. = A.. J.J. J. Voor het bewijst zie literatuur o.a.: Zurmuhl: Matrizen und ihre Anwendungen t deel I. Springerverlag, Berlijn 1984.

- 7-2. Hoe kan men nagaan of een matrix defectief is? Dit kan via de stelling: Ais d.efectief d.e.s.d. als A een eigenwaarde A bezit waarvoor geldt: n. < m. oftewel: meetk. multipliciteit < alg. multipliciteit. 1. 1. Bewijs: Stel A is diagonaliseerbaar: A = B A B- 1 oftewel AB = BA ; Ab. = A. b.. De kolommen van B zijn dus n onafhankelijke eigenvectoren, 1. 1. 1. A is de matrix van eigenwaarden. Stel A heeft k verschillende eigenwaarden A 1,...,A k met alg. multipl. m1""'~ (dus I m i = n) en meetk. multipl. resp. n 1,...,n k Evident is dat EA. n EA. = {O } voor i #- j 1. J (een vector kan niet 2 verschillende eigenw. hebben). k n Dus moet E A... E I aile i. A = a: oftewel n. = n, dus m. = n. voor 1 1. 1. 1. 1 k Om na te gaan of een matrix A defectief is, berekent men de eigenwaarden. Zijn er eigenwaarden met alg. multipliciteit > 1, dan bepaalt men daarbij de eigenruimte en zijn dimensie. Is voor minstens een eigenwaarde A. 1. < m. 1. dan is A defectief. 3.~elke matrices zijn defectief en hoe kan men een defectieve matrix construeren? Het construeren van een diagonaliseerbare matrix A is uiteraard triviaal: A = B AB- 1 met B willekeurig regulier en A willekeurig diagonaal. Maar hoe construeren we een defectieve matrix? We geven 2 manieren:

- 8-3.1. Zij D een rechter (of linker) driehoeksmatrix met d.. = A voor aile i 11 en D niet diagonaal. Deze is defectief. Bewijs: Nu is A = AI. Stel D is niet defectief d.w.z. D = BA B- 1 = AI dus diagonaal. Strijdig oftewel D is defectief. Omdat wellicht zo'n driehoeksmatrix gemakkelijk te herkennen is (bijv. bij -1 examens) als defectief, kunnen we ook F D F beschouwen, die ook defectief is (zie 3.4). De eenvoudigste defectieve matrix, waaraan men alles kan demonstreren is D = [~ ~J; dim EO = 1; alg. multo van A = 0 is 2. 3.2. Stel a,b vectoren # 0 en bta = O. Dan is A = ab T defectief. Bewijs: Ax = AX geeft abtx = AX. Is btx = 0 dan is A = O. dim EO = n - 1 nl. EO = verzameling vectoren ~ b. Echter sp A= sp(ab T ) = sp(bta) = 0 (zie 1.3.1) en daar sp A=LA. = 0 1 zijn er dus n eigenw. 0, dus n i < m i oftewel A defectief. Voorbeeld: Neem at = (1,1); b T = (1,-1) dan is A = (~ - ~J defectief. EO = a(i,i); dim EO = I, doch 2 eigenw. O. 3.3. Er geldt: A # 0 nilpotent ~A is defectief en aile eigenwaarden zijn O. Bewijs: i) k k k Stel A # 0 nilpotent. Dus A = 0; stel Ax = AX; A X = A x = 0; A = O. Stel A niet defectief: A = B A B- 1 = BO B- 1 = 0 strijdig, dus A defectief.

- 9 - ii) Stel A is defectief en A = O. Volgens 1.3.11 is A = BDB- 1 met A. = O. Daar en een ken is zodat D k = 0 (eenvoudig na te gaan), 1 k -1 = B D B = 0 oftewel A is nilpotent. 3.4. Is A ~ F en A is defectief, dan ook F,A T,A- 1 (mits deze bestaat), aa + SI (a ~ 0) defectief. 4. Welke matrices zijn zeker niet defectief? 4.1. Uiteraard zijn matrices met aile eigenwaarden verschillend niet defectief. Dan is nl. n i = m i = 1 voor aile i. 4.2. Idempotente matrices A2 = Aj Stel Ax = AXj A2 X = A 2 X = AX dus A(A-1)x = OJ A =' 0 of 1. Nu is EO' de eigenruimte bij A = 0, juist = N(A) en E 1, de eigenruimte bij A = 1, juist R(A). Dus EO @ E 1 = a: n. Dus er is een reguliere matrix B -1 bestaande uit eigenvectoren van A zodat A = B A B. 4.3. Normale matrices (i.h.b. unitaire, orthogonale, (anti)-hermitische, (scheef)symmetrische). Bewijs: Volgens het Lemma van Schur (1. 3.10) is A = UD U *. AA * = UDU* UD* U = UDD* U * = A* A = UD* DU* dus DD * = D* D Dus L k d 1k d 1k = d 11 d 11 oftewel d 1k = 0 voor k > 1. Eveneens. L d 2k d 2k = d 22 d 22 geeft d 2k = 0 voor k > 2. Etc., zodat d ik = 0 voor k > i. Er gold reeds d ik = 0 voor k < i dus D = A (diagonaal) en A = UAU. *

- 10 - Opmerking: Normale matrices zijn dus zelfs unitair diagonaliseerbaar (A ~ A en A ~ A). Het zijn ook de enige. Gevolg: Is A hermitisch (dus ook normaal), dan geldt: A = UA U * = A * = UA* U* dus A = A * = X oftewel A is reeel. Is A symmetrisch (reeel hermitisch) dan is A = B AB T met A reeel diagonaal en B orthogonaal. T -1 4.4. Is A ~ F en F is diagonaliseerbaar, dan is ook F,A,A (mits bestaand), eta + SI diagonaliseerbaar. 5. Enkele stellingen die gelden voor diagonaliseerbare matrices, doch niet voor defectieve. We onderstellen in deze paragraaf steeds dat A diagonaliseerbaar is; D :: (~ ~] is defectief. 5.1. A2 = 0 ~ A : O. Bewijs: A: BAB- 1 ; A 2 = BA 2 B- 1 = 0 dus A 2 = 0; A = 0 dus A = O. TegenvoorbeeZd: D 2 = 0 doch D ~ O. k 5.2. rca ) = rca) = rca) = aantal eigenw. (i.e. multipl.) ~ 0 voor ken. k k -1 k k Bewijs: A : B A B dus rca ) = rca ) (zie 1.3.3) = rca) = r(a). TegenvoorbeeZd: r(d 2 ) = 0 doch red) = 1.

- 11-5.3. A heeft aile eigenw. 0 of 1 + A is idempotent. Bewijs: dus 1\2 = 1\; A 2 = B1\2 B-1 = BI\B- 1 = A. TegenvoorbeeZd: D heeft aile eigenw. 0, toch is D2 # D, dus D is niet idempotent. 5.4. A heeft 1\ = 0 ~ A = O. Bewijs: 1\ -1 =O;A=BI\B =0. TegenvoorbeeZd: Voor D geldt ook 1\ = 0, doch D # O. 5.5. Als er een k E :N bestaat met A k dan is A idempotent. Bewijs: A k = B I\k B- 1 = A k + 1 = B I\k+1 B- 1 dus I\k = I\k+1 oftewel 1\ = 1\2. A 2 = B 1\2 B- 1 = B 1\ B- 1 = A. TegenvoorbeeZd: D2 = D3 = 0 echter D2 # D, dus D is niet idempotent. 5.6. A ~ 1\ en 1\ reeel ~ A = H 1 H 2 waarbij HI of H 2 positief definiet is. Bewijs: i) Stel A = en H := 2-1 * * -1-1 * B 1\ B = BB (B) I\B =: HIH 2 met HI : = BB * -1-1 * (B) I\B hermitisch, daar 1\ = 1\. ii) Stel HI positief definiet, dus HI = BB (zie 1.3.8). positief definiet H I H 2 = BBH 2 BB- 1 = B(BH 2 B)B- 1. Nu is BH 2 B hermitisch dus met (4.3) = U 1\ U *, 1\ reeel. * -1-1 Oftewel H H = B UI\ U B.- F 1\ F oftewel A ~ 1\ (1\ reeel) 1 2 Opmerking: Stel A = H 1 H 2 waarbij HI slechts positief semi-definiet is, dan kan A defectief zijn. Voorbeeld: (~~] (~ ~) = (~ ~) is defectief.

- 12-5.7. 3c E R, Vk E N Bewijs: i) -1 k k-l Stel A = B A B dus A = B A B ; 1.3.9 geeft II A k II = IIB- 1 A k BII ~ lib-iii c IIBII = ~ voor aue k I kl2 dus f \ ~ C 2 oftewel IAi I ~ 1 voor aue i. ii) Dus IA.I ~ 1 voor aue i oftewel IIA k ll ~ ~ als A 1 nxn IIA k li = lib A k B- 1 11 ~ IIBIlIIA k IlIlB- 1 11 ~ In IIBIIIIB- 1 11 = c. TegenvooY'bee Ld: Neem D = (~ ~) dan is Al = A 2 = 1.. k k [1 k) k 2 Toch 1S lid II onbegrensd nl. D = Olen lid II = 2 + k 2