Eindexamen wiskunde A1 compex vwo I

Transcriptie

1 Androgynie-index Van veel mensen zoals fotomodellen, kledingmodellen, acteurs, actrices en atleten wordt beweerd dat ze een goed figuur hebben. Maar wanneer kun je spreken van een goed figuur? Om een goed figuur van mannen en vrouwen in een getal uit te kunnen drukken, hanteert men de zogenoemde androgynie-index. De androgynie-index wordt als volgt berekend: t androgynie-index = h b Hierin is b de borstmaat in cm, t de taillemaat in cm en h de heupmaat in cm. Deze maten worden gemeten door een meetlint rond het lichaam te passen op de hoogte van de borst, taille respectievelijk heup. Zie figuur 1. figuur 1 borst taille heup Arnold Schwarzenegger (acteur/politicus) heeft een androgynie-index van 0,83. De borst- en taillemaat van de gespierde Schwarzenegger zijn 111 cm respectievelijk 91 cm. 3p 1 Bereken de heupmaat van Schwarzenegger. www

2 In figuur 2 zijn vier figuren afgebeeld: A, B, C en D. De androgynie-index is van alle vier figuren verschillend. figuur 2 borst taille heup A B C D 4p 2 Sorteer de figuren naar de grootte van hun androgynie-index van klein naar groot. Geef je antwoord door de 4 letters in de juiste volgorde achter elkaar te schrijven. Mensen die het leuk vinden om modellenwerk te doen, schrijven zich vaak in bij modellenbureaus. Sommige bureaus schrijven alleen mensen in als die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Modellenbureau FOBEL schrijft modellen alleen in als de maten van borst-taille-heup (in cm) liggen tussen de en voor vrouwen en tussen de en voor mannen. Voor de volgende vraag nemen we aan dat de tussenliggende maten van borst-taille-heup in alle mogelijke verhoudingen kunnen voorkomen. Er zit een maximum aan de androgynie-index van de vrouwen en van de mannen die bij FOBEL kunnen worden ingeschreven. Het maximum voor de mannen verschilt van het maximum voor de vrouwen. 3p 3 Bereken dit verschil. Geef je antwoord in 3 decimalen. Naast de androgynie-index maakt men ook vaak gebruik van de taille-heup-verhouding. Dat is de verhouding van de taillemaat en de heupmaat. In formulevorm: t taille-heup-verhouding = h In een praktische opdracht voor wiskunde A1 maken Fatima en Hilde gebruik van zowel de androgynie-index als de taille-heup-verhouding. Volgens Fatima is de taille-heup-verhouding een bijzonder geval van de androgynie-index. Hilde begrijpt niet wat Fatima bedoelt met een bijzonder geval. Fatima legt uit: Je kunt laten zien dat onder een bepaalde voorwaarde de androgynie-index gelijk is aan de taille-heup-verhouding. 3p 4 Leg uit dat de taille-heup-verhouding inderdaad een bijzonder geval is van de androgynie-index. www

3 De psychologen Voracek en Fischer hebben de androgynie-index uitgerekend van 577 vrouwelijke topmodellen van de afgelopen 50 jaar. Uit hun onderzoek bleek dat de androgynie-index van deze modellen gemiddeld 0,66 bedraagt. De onderlinge verschillen waren klein: 80% van alle modellen had een androgynie-index tussen 0,62 en 0,70. Op basis van deze gegevens kan de standaardafwijking worden berekend. Je mag er daarbij van uit gaan dat de androgynie-index van de modellen bij benadering normaal verdeeld is. 4p 5 Bereken de standaardafwijking. Geef je antwoord in 2 decimalen. Loting In de zomer van 2004 werd in Portugal het Europese kampioenschap voetballen gehouden, waarbij Griekenland uiteindelijk kampioen werd. Daaraan deden 16 landen mee. Zij waren verdeeld in 4 poules van 4 landen. In elke poule speelde elk land een keer tegen elk ander land van die poule. Na afloop van de poulewedstrijden gingen de beste 2 landen van elke poule door naar de kwartfinale. In de kwartfinale speelde elk land slechts één wedstrijd tegen een ander land. De landen die wonnen, gingen door naar de halve finale. In de halve finale speelde weer elk land één wedstrijd. De winnaars gingen naar de finale. In de finale werd in één wedstrijd beslist welk land zich kampioen mocht noemen. 4p 6 Bereken hoeveel wedstrijden in totaal tijdens het toernooi in Portugal werden gespeeld. Wat eraan vooraf ging Om te bepalen welke landen mee mochten doen aan dit toernooi, werden in Europa voorronden gespeeld. De tien winnende landen van deze voorronden plaatsten zich, samen met het gastland Portugal, rechtstreeks voor het toernooi in Portugal. Van de landen die zich niet rechtstreeks wisten te plaatsen, kregen de volgende landen alsnog de gelegenheid zich te plaatsen voor het toernooi: Kroatië, Letland, Nederland, Noorwegen, Rusland, Schotland, Slovenië, Spanje, Turkije en Wales. Deze tien landen speelden in de zogenoemde play-offs. Op 14 oktober 2003 was de loting hiervoor: de UEFA Euro 2004 play-offs draw. Het resultaat van deze loting zie je in tabel 1. www

4 tabel 1 Letland Turkije Schotland Nederland Kroatië Slovenië Rusland Wales Spanje Noorwegen In tabel 1 zie je bijvoorbeeld dat Schotland moest duelleren tegen Nederland. Het duel bestond uit twee wedstrijden: een uitwedstrijd en een thuiswedstrijd. De volgorde was van belang want de loting Schotland Nederland betekende dat Schotland de eerste wedstrijd thuis, dat wil zeggen: in eigen land, speelde en dat Nederland de tweede wedstrijd thuis speelde. De loting van deze play-offs had voor Nederland ook een ander resultaat kunnen hebben. 3p 7 Bereken hoeveel verschillende lotingen er voor Nederland mogelijk waren. Voor de play-offs werd een speciale loterij georganiseerd. Deelnemers aan deze loterij kochten voor 1 euro een formulier. Op het formulier kon de deelnemer van alle 5 paren duellerende landen aankruisen welk land volgens hem door zou gaan naar het toernooi in Portugal. Van elk paar kon dus maar één land worden aangekruist. Dit was er te winnen: een deelnemer die alle 5 landen goed had geraden, kreeg 10 euro uitbetaald; een deelnemer die 4 landen goed had geraden, kreeg 3 euro uitbetaald; een deelnemer die 3 of minder landen goed raadde, kreeg niets uitbetaald. Een deelnemer die het formulier blindelings invult, heeft 50% kans om van een paar duellerende landen te raden welk land doorgaat naar het toernooi in Portugal. Wanneer we ervan uit gaan dat elke deelnemer het formulier blindelings invult, kunnen we berekenen hoeveel winst de organisator van deze loterij naar verwachting per formulier maakt. 4p 8 Bereken deze verwachte winst per formulier. Tijdens de kampioenschappen Nederland won bij de play-offs van Schotland en mocht dus meedoen aan het kampioenschap. Daarin haalde het Nederlandse team de kwartfinale. Dat was nogal verrassend want van de 8 teams die de kwartfinale haalden, was Nederland het enige team dat aan de play-offs had meegedaan. Ferry, die nauwelijks verstand van voetballen heeft, gaat ervan uit dat de 16 teams (10 uit de voorrondes, 1 gastland en 5 via de play-offs) die aan het kampioenschap begonnen, vrijwel gelijkwaardig zijn. Hij wil uitrekenen hoe groot de kans is dat precies één team uit de play-offs in de kwartfinale komt. Daartoe maakt hij een vaas met 11 blauwe en 5 rode knikkers. Uit die vaas moeten dan 8 knikkers worden getrokken. 4p 9 Bereken de kans dat daar precies één rode knikker bij zit. www

5 Tennisballen Een tennisballenfabrikant produceert tennisballen waarvan de diameter (bij benadering) normaal verdeeld is. De fabrikant geeft de diameter van een tennisbal altijd op in inches. De fabrikant heeft bij 400 tennisballen de diameters laten opmeten. Het resultaat daarvan zie je in tabel 2. tabel waarnemingen bij tennisballen diameter in inches < 2,4 2,4 <2,5 2,5 <2,6 2,6 <2,7 2,7 <2,8 2,8 aantal waarnemingen p 10 Zet de gegevens uit op het normaal waarschijnlijkheidspapier op je uitwerkbijlage en toon daarmee aan dat de waargenomen diameters inderdaad bij benadering normaal verdeeld zijn. Uit de tekening die je bij de vorige vraag hebt gemaakt kun je aflezen hoe groot het gemiddelde en de standaardafwijking van de diameter van een tennisbal is. 3p 11 Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking van de diameter van een tennisbal. Licht je werkwijze toe. Dit was de laatste vraag van het deel waarbij de computer niet wordt gebruikt. www

6 wiskunde A1 Compex VWO _ uitwerkbijlage 10 en 11 Normaal waarschijnlijkheidspapier 99,99 99,95 99,9 99,8 99, ,5 0,2 0,1 0,05 0,01 diameter in inches www

7 Tijdens dit examen werk je in Excel. Door in het openingsscherm op Excel werkbladen te klikken start Excel automatisch op. Je komt dan meteen in het eerste werkblad dat hoort bij het eerste deel van de eerste opgave. Om naar een ander werkblad te gaan moet je op de tabs onder aan je scherm klikken. Je kunt tijdens dit gedeelte van het examen gemakkelijk van werkblad wisselen door op de tabs te klikken. Wanneer je Excel afsluit wordt alles wat je hebt gemaakt niet opgeslagen. Sluit dus pas af als je helemaal klaar bent. Mocht je per ongeluk Excel toch hebben afgesloten dan kun je altijd Excel weer opstarten. Je begint dan weer met de oorspronkelijke situatie. Inkomstenbelasting In veel landen betalen burgers inkomstenbelasting volgens een progressief belastingtarief: hoe meer je verdient, hoe hoger het belastingpercentage. Dit geldt ook voor Nederland. De berekening van de inkomstenbelasting in Nederland is nogal ingewikkeld. In deze opgave wordt gewerkt met een vereenvoudigde versie van het Nederlandse belastingstelsel. Dit vereenvoudigde stelsel werkt als volgt: Eerst wordt van iedereen jaarlijks het belastbaar inkomen vastgesteld. Daarover wordt belasting geheven volgens een schijventarief. Deze tariefstructuur is weergegeven in tabel 3. tabel 3 schijf gedeelte van het belastbaar inkomen 1e schijf de eerste 5000 euro 0% 2e schijf de volgende euro 30% 3e schijf de volgende euro 35% 4e schijf de volgende euro 40% 5e schijf de rest 50% belastingpercentage over dat gedeelte Als iemand bijvoorbeeld een belastbaar inkomen heeft van euro, dan bedraagt de te betalen inkomstenbelasting 0% van 5000 plus 30% van plus 35% van plus 40% van In totaal betaalt hij dus euro aan belasting. In dit voorbeeld betaalt deze persoon totaal bijna 31,5% belasting over zijn belastbaar inkomen. Klik in het openingsscherm op Excel werkbladen. Je komt nu in het werkblad Belastingberekening. Je ziet hier een tabel waarin voor verschillende inkomens de hoogte van de belasting berekend is. De gegevens van het voorbeeld hierboven vind je in rij 89. www

8 Het kan gebeuren dat de inkomstenbelasting die iemand moet betalen precies 30% van zijn belastbaar inkomen is. Om te onderzoeken bij welk belastbaar inkomen dit het geval is, kun je in kolom G het percentage van het belastbaar inkomen uitrekenen dat aan belasting moet worden betaald. 4p 12 Onderzoek op deze manier hoe hoog het belastbaar inkomen in dit geval moet zijn. Licht je werkwijze toe. De hoogte van de belasting werd in Excel berekend met behulp van een tabel. De hoogte van de belasting kan ook worden berekend met behulp van formules. Zo geldt voor belastbare inkomens tussen de en euro de formule B= ,35 ( x 15000). Hierin is B de hoogte van de belasting en x het belastbaar inkomen, beide in euro s. Voor belastbare inkomens tussen de en euro geldt een andere maar vergelijkbare formule. 4p 13 Stel deze formule op. Leg uit hoe je te werk bent gegaan. Het belastbaar inkomen wordt vastgesteld door het bruto inkomen (alles wat iemand in een jaar verdiend heeft) te verminderen met eventuele aftrekposten (bijvoorbeeld hypotheekrente). Sommige belastingdeskundigen beweren: De mensen met de hoogste inkomens kunnen doorgaans de hoogste bedragen aftrekken. Daardoor blijft er van de progressiviteit niet veel meer over. Zij pleiten daarom voor de invoering van een zogenaamde vlaktaks die inhoudt dat: bij de berekening van de belasting geen rekening wordt gehouden met aftrekposten. De belasting wordt dus berekend over het bruto inkomen; er een grens is (belastingvrije voet); over het gedeelte van het bruto inkomen tot aan die grens is geen belasting verschuldigd; over het gedeelte van het bruto inkomen boven die grens één vast belastingpercentage geldt. Wanneer er voorstellen worden ontwikkeld om de tariefstructuur te veranderen is het belangrijk om te zien welke gevolgen dit heeft voor de totale belastingopbrengst maar ook voor de individuele belastingbetaler. Daarom is uit de populatie van alle belastingbetalers een representatieve steekproef van 250 personen genomen. Klik op de tab Vlaktaks. Je komt nu in het werkblad Vlaktaks. Je ziet hier een tabel met gegevens van de 250 personen uit de steekproef. In kolom C staat het bruto inkomen, in kolom D het aftrekbare bedrag volgens de huidige tariefstructuur, en in kolom E het belastbaar inkomen. In kolom F staat de inkomstenbelasting volgens het huidige tarief (zie tabel 3). De bedragen zijn afgerond op hele euro s. De 250 personen zijn gerangschikt op bruto inkomen. www

9 Een politicus stelt voor de vlaktaks in te voeren met een belastingvrije voet van 7500 euro, en een belastingheffing van 30% over alles daarboven. Door de invoering van deze vlaktaks zou, in vergelijking met de huidige situatie, bij sommige personen de inkomstenbelasting flink dalen, maar bij andere personen zou deze juist flink stijgen. Neem bijvoorbeeld de laatste persoon in de steekproef (nummer 250). Het bruto inkomen van deze persoon is euro, dus volgens het voorstel moet 30% belasting betaald worden van euro. Dat is euro belasting, een stuk minder dan de huidige euro. De politicus beweert dat bij de door hem voorgestelde vlaktaks de totale belastingopbrengst vrijwel hetzelfde is als in de huidige situatie. We willen onderzoeken of de politicus gelijk heeft. Dit doen we door te berekenen hoeveel procent de totale belastingopbrengst in de steekproef zou veranderen na invoering van de vlaktaks. Hiervoor moet je eerst zorgen dat bij iedereen in kolom G de vlaktaks komt te staan. Voor personen met een bruto inkomen van minder dan 7500 euro kun je in kolom G een 0 invullen. Voor de overige personen moet je in kolom G een geschikte formule invullen. Tenslotte moet je de totale belastingopbrengst volgens het huidige systeem en volgens de vlaktaks berekenen. Hiermee kan de procentuele verandering worden berekend. 7p 14 Bereken met hoeveel procent de totale belastingopbrengst bij deze steekproef verandert wanneer het huidige stelsel wordt vervangen door een stelsel met de voorgestelde vlaktaks. Licht je werkwijze toe. Overlevingstafels Verzekeringsmaatschappijen en pensioenfondsen gebruiken zogenoemde overlevingstafels. Aan de hand van overlevingstafels kan onder andere worden bepaald hoe lang verzekerden en pensioengerechtigden naar verwachting in leven zullen blijven. Een overlevingstafel is een tabel waarin van een groep van pasgeborenen staat welk aantal er x jaar na de geboorte naar verwachting nog in leven is. Dit aantal heet L(x). Klik op de tab Overlevingstafel vrouwen. Je komt nu in het werkblad Overlevingstafel vrouwen. Hier zie je een overlevingstafel. In kolom A zie je de leeftijd x en in kolom B het bijbehorende aantal overlevenden L(x) voor vrouwen. Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat volgens de overlevingstafel van de pasgeboren meisjes de leeftijd van 10 jaar bereiken. Op basis van de gegevens in de kolommen A en B kun je de kans berekenen dat een vrouw van een bepaalde leeftijd al dan niet een hogere leeftijd bereikt. 4p 15 Bereken de kans dat een vrouw die zojuist 30 jaar is geworden, voor haar 60e verjaardag komt te overlijden. www

10 In kolom B kun je zien dat slechts van de pasgeboren meisjes de leeftijd van 1 jaar bereiken. Er zijn dus 390 meisjes die in hun eerste levensjaar overlijden. Je kunt in kolom B ook zien dat meisjes de leeftijd van 2 jaar bereiken. Er zijn dus 80 meisjes die in hun tweede levensjaar overlijden. Je kunt nu een kolom maken met daarin de aantallen vrouwen die in een bepaald levensjaar overlijden. Op basis van die aantallen kun je berekenen hoe oud vrouwen gemiddeld worden. Je mag er daarbij van uit gaan dat de 390 meisjes die in hun eerste levensjaar overlijden gemiddeld 0,5 jaar oud zijn geworden, dat de 80 meisjes die in hun tweede levensjaar komen te overlijden gemiddeld 1,5 jaar oud zijn geworden, enzovoorts. 5p 16 Bereken met behulp van Excel hoe oud vrouwen gemiddeld worden volgens de overlevingstafel. Licht je werkwijze toe. Omdat van de pasgeboren meisjes er volgens de overlevingstafel 390 niet de leeftijd van 1 jaar bereiken, zegt men dat de sterftekans P(0) van jarige meisjes gelijk is aan Dus 390 P (0) = = 0,0039. Van de meisjes die hun 1e verjaardag halen, zullen er volgens de overlevingstafel 80 niet de leeftijd van 2 jaar bereiken. De sterftekans van 80 1-jarige meisjes is daarom gelijk aan 0, Dus 80 P (1) = 0, Met behulp van de gegevens in de overlevingstafel kun je bij elke leeftijd de sterftekans berekenen. 5p 17 Bereken bij welke leeftijd de sterftekans het kleinst is. Hoe groot is die kleinste sterftekans? Licht je werkwijze toe. Als je helemaal klaar bent en je wilt je werk inleveren dan kun je Excel afsluiten. Je komt dan weer terug in het openingsscherm. www