Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 2008-I

Transcriptie

1 Tennisballen Bij officiële wedstrijden mag een tennisbal niet te groot en ook niet te klein zijn. In de spelregels staat daarover het volgende: Bij alle proeven ter bepaling van de omvang moet een omvangmeter gebruikt worden. De omvangmeter bestaat uit een metalen plaat. In de plaat zitten twee cirkelvormige openingen met een diameter van respectievelijk 2,575 inch en 2,700 inch. De bal mag niet door zijn eigen gewicht door de kleine opening vallen, maar moet wel door zijn eigen gewicht door de grootste opening vallen. Een tennisballenfabrikant produceert drie types tennisballen: Yellow, Silver en Gold. Van het type Gold is de diameter (bij benadering) normaal verdeeld met een gemiddelde van 2,620 inch en een standaardafwijking van 0,048 inch. De fabrikant krijgt de opdracht 1200 tennisballen van het type Gold te leveren die gebruikt kunnen worden bij officiële wedstrijden. 4p 1 Bereken hoeveel tennisballen de fabrikant naar verwachting moet produceren om aan deze opdracht te voldoen. Bij trainingen is men vaak veel soepeler met het accepteren van tennisballen. Tennisclub Game4u vindt het niet zo erg als trainingsballen niet allemaal voldoen aan de officiële wedstrijdregels. Een partij van dergelijke ballen is vaak goedkoper. Van het type Silver is de diameter (bij benadering) normaal verdeeld met een gemiddelde van 2,630 inch en een standaardafwijking van 0,057 inch. Tennisclub Game4u heeft bij de tennisballenfabrikant een groot aantal trainingsballen van het type Silver besteld. Alleen wanneer veel ballen een erg kleine diameter hebben, wordt deze bestelling niet geaccepteerd. Bij Game4u is dat het geval wanneer in een steekproef van 20 tennisballen er meer dan 5 te vinden zijn met een diameter die kleiner is dan 2,55 inch. 5p 2 Bereken de kans dat Game4u deze bestelling niet accepteert. Naast het type Silver wordt ook het type Yellow veel gebruikt voor trainingen. Tennisclub Racket wil een aantal trainingsballen van het type Silver en Yellow kopen bij de fabrikant. Daarvoor heeft Racket wel een aantal voorwaarden geformuleerd: het aantal Silver-ballen moet ten minste gelijk zijn aan 200; het aantal Yellow-ballen moet ten minste gelijk zijn aan 200; in totaal wil Racket ten minste 600 ballen kopen; het aantal Silver-ballen mag ten hoogste gelijk zijn aan het dubbele van het aantal Yellow-ballen. Als we het aantal Silver-ballen aangeven met x en het aantal Yellow-ballen met y, kunnen we in een xy-assenstelsel het toegestane gebied aangeven dat door deze voorwaarden wordt vastgelegd. www

2 Op de uitwerkbijlage zie je drie tekeningen. Daarvan geeft tekening A het juiste gebied aan. 4p 3 Leg uit waarom tekeningen B en C niet het toegestane gebied aangeven. De tennisballenfabrikant heeft een aanbieding voor Racket. De Silver-ballen kosten 1 euro per stuk. De Yellow-ballen kosten 1,20 euro per stuk, maar bij een afname van ten minste 300 stuks kosten de Yellow-ballen 1,10 euro per stuk. Racket wil, uitgaande van de eerdergenoemde voorwaarden en de bovenstaande prijzen, een bestelling bij de fabrikant plaatsen met zo laag mogelijke kosten. 6p 4 Onderzoek met behulp van tekening A welke bestelling Racket het beste kan doen. www

3 3 en 4 uitwerkbijlage 1000 y A O x 1000 y O x 1000 y O x www B C

4 Honing Honing bestaat grotendeels uit vocht en suikers en voor een klein gedeelte uit andere stoffen zoals enzymen en mineralen. De kwaliteit van honing hangt onder andere af van de concentratie van het enzym diastase: hoe meer diastase, hoe beter de kwaliteit van de honing. De concentratie van diastase in honing wordt aangeduid met het diastase-getal. Door het bewaren van honing gaat er diastase verloren en neemt dus het diastase-getal af. De snelheid waarmee dat gebeurt, hangt af van de temperatuur waarbij de honing wordt bewaard. Een maat waarmee de afname van het diastase-getal kan worden weergegeven, is de zogeheten halfwaardetijd. Dat is de tijd waarin het diastase-getal wordt gehalveerd. In figuur 1 zie je deze halfwaardetijd uitgezet tegen de temperatuur waarbij de honing wordt bewaard. figuur 1 3p 5 Wat is beter: honing bewaren bij een lage temperatuur of bij een hoge temperatuur? Licht je antwoord toe en maak daarbij gebruik van figuur 1. Het diastase-getal is bij de meeste soorten honing direct na winning niet hoger dan 30. Als het diastase-getal lager is dan 8, mag de honing alleen nog maar als bakkershoning verkocht worden. Een bepaald type honing heeft bij winning diastase-getal 28. Deze honing wordt gedurende 3 jaar bewaard bij een temperatuur van 25 C. We gaan ervan uit dat de afname van het diastase-getal exponentieel verloopt. 3p 6 Laat met behulp van de grafiek in figuur 1 zien dat deze honing na 3 jaar bakkershoning is geworden. www

5 Soms gaat honing versuikeren. Er ontstaan dan suikerkorrels op de bodem van een pot honing. Versuikerde honing wordt weer vloeibaar door de honing te verhitten. In figuur 1 zie je dat het diastase-getal gehalveerd wordt als honing 24 uur lang op een temperatuur van 60 C wordt gehouden. Een partij honing met diastase-getal 27 wordt gedurende een bepaalde tijd op een temperatuur van 60 C gehouden. We gaan er nog steeds van uit dat de afname van het diastase-getal exponentieel verloopt. 5p 7 Bereken hoe lang het duurt totdat deze partij bakkershoning is geworden. De houdbaarheid van de honing hangt af van het vochtgehalte van de honing. Honing met een laag vochtgehalte is langer houdbaar dan honing met een hoog vochtgehalte. Winkeliers die honing verkopen, hebben daarom liever geen honing met een hoog vochtgehalte. foto Een honingimporteur heeft een grote voorraad potten honing. Het vochtgehalte in een pot honing is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 0,5%. Volgens de importeur is het vochtgehalte in een pot gemiddeld 17,1%. Een winkelier die regelmatig honing bij de importeur inkoopt, heeft geklaagd bij de importeur. Volgens de winkelier is het gemiddelde vochtgehalte hoger dan 17,1%. De importeur selecteert willekeurig 10 potten honing en laat die onderzoeken. Uit het onderzoek blijkt dat het vochtgehalte in de 10 potten gemiddeld 17,5% is. 6p 8 Onderzoek of het onderzoeksresultaat aanleiding geeft om de winkelier in het gelijk te stellen. Gebruik een significantieniveau van 1%. www

6 Loting In de zomer van 2004 werd in Portugal het Europese kampioenschap voetballen voor landenteams gehouden. Om te bepalen welke landen mee mochten doen aan dit toernooi, werden in Europa voorronden gespeeld. De tien winnende landen van deze voorronden plaatsten zich, samen met het gastland Portugal, rechtstreeks voor het toernooi. Van de landen die zich niet rechtstreeks wisten te plaatsen, kregen de volgende landen alsnog de gelegenheid zich te plaatsen voor het toernooi: Kroatië, Letland, Nederland, Noorwegen, Rusland, Schotland, Slovenië, Spanje, Turkije en Wales. Deze tien landen speelden in de zogenoemde play-offs. Op 14 oktober 2003 was de loting hiervoor: de UEFA Euro 2004 play-offs draw. Het resultaat van deze loting zie je in tabel 1. tabel 1 Letland Turkije Schotland Nederland Kroatië Slovenië Rusland Wales Spanje Noorwegen In tabel 1 zie je bijvoorbeeld dat Schotland moest duelleren tegen Nederland. Het duel bestond uit twee wedstrijden: een uitwedstrijd en een thuiswedstrijd. De volgorde was van belang want de loting Schotland Nederland betekende dat Schotland de eerste wedstrijd thuis, dat wil zeggen: in eigen land, speelde en dat Nederland de tweede wedstrijd thuis speelde. De loting van deze play-offs had voor Nederland ook een ander resultaat kunnen hebben. 3p 9 Bereken hoeveel verschillende lotingen er voor Nederland mogelijk waren. Na afloop van de loting constateerden voetbalkenners dat telkens een sterk land was geloot tegen een zwak land. Dat vonden sommigen wel erg toevallig en dus kwamen er ingezonden brieven in de krant. Er was echter ook een brief van iemand die de loting helemaal niet zo onwaarschijnlijk vond. Een citaat uit deze brief: Een wonderlijke speling van het lot: precies vijf maal een sterke ploeg tegen een zwakke ploeg. Een droomloting. Hoe klein is die kans dat het precies zó uitkomt? Druipt hier niet het bedrog van af? Wel, dat valt wel mee want de kans op zo n loting is ruim 12%. Die kans van ruim 12% kun je narekenen door je een vaas voor te stellen met vijf zwarte en vijf witte knikkers. 4p 10 Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat precies vijf maal een sterk land tegen een zwak land wordt geloot. www

7 Tijdens dit examen werk je in Excel. Door in het openingsscherm op Excel werkbladen te klikken start Excel automatisch op. Je komt dan meteen in het eerste werkblad dat hoort bij het eerste deel van de eerste opgave. Om naar een ander werkblad te gaan moet je op de tabs onder aan je scherm klikken. Je kunt tijdens dit gedeelte van het examen gemakkelijk van werkblad wisselen door op de tabs te klikken. Wanneer je Excel afsluit wordt alles wat je hebt gemaakt niet opgeslagen. Sluit dus pas af als je helemaal klaar bent. Mocht je per ongeluk Excel toch hebben afgesloten dan kun je altijd Excel weer opstarten. Je begint dan weer met de oorspronkelijke situatie. Inkomstenbelasting In veel landen betalen burgers inkomstenbelasting volgens een progressief belastingtarief: hoe meer je verdient, hoe hoger het belastingpercentage. Dit geldt ook voor Nederland. De berekening van de inkomstenbelasting in Nederland is nogal ingewikkeld. In deze opgave wordt gewerkt met een vereenvoudigde versie van het Nederlandse belastingstelsel. Dit vereenvoudigde stelsel werkt als volgt: Eerst wordt van iedereen jaarlijks het belastbaar inkomen vastgesteld. Daarover wordt belasting geheven volgens een schijventarief. Deze tariefstructuur is weergegeven in tabel 2. tabel 2 schijf gedeelte van het belastbaar inkomen 1e schijf de eerste 5000 euro 0% 2e schijf de volgende euro 30% 3e schijf de volgende euro 35% 4e schijf de volgende euro 40% 5e schijf de rest 50% belastingpercentage over dat gedeelte Als iemand bijvoorbeeld een belastbaar inkomen heeft van euro, dan bedraagt de te betalen inkomstenbelasting 0% van 5000 plus 30% van plus 35% van plus 40% van In totaal betaalt hij dus euro aan belasting. In dit voorbeeld betaalt deze persoon totaal bijna 31,5% belasting over zijn belastbaar inkomen. Klik in het openingsscherm op Excel werkbladen. Je komt nu in het werkblad Belastingberekening. Je ziet hier een tabel waarin voor verschillende inkomens de hoogte van de belasting berekend is. De gegevens van het voorbeeld hierboven vind je in rij 89. www

8 Het kan gebeuren dat de inkomstenbelasting die iemand moet betalen precies 40% van zijn belastbaar inkomen is. Om te onderzoeken bij welk belastbaar inkomen dit het geval is, kun je in kolom G het percentage van het belastbaar inkomen uitrekenen dat aan belasting moet worden betaald. 4p 11 Onderzoek op deze manier hoe hoog het belastbaar inkomen in dit geval moet zijn. Licht je werkwijze toe. De hoogte van de belasting werd in Excel berekend met behulp van een tabel. De hoogte van de belasting kan ook worden berekend met behulp van formules. Zo geldt voor belastbare inkomens tussen de en euro de formule B= ,35 ( x 15000). Hierin is B de hoogte van de belasting en x het belastbaar inkomen, beide in euro s. Voor belastbare inkomens tussen de en euro geldt een andere maar vergelijkbare formule. 4p 12 Stel deze formule op. Leg uit hoe je te werk bent gegaan. Het belastbaar inkomen wordt vastgesteld door het bruto inkomen (alles wat iemand in een jaar verdiend heeft) te verminderen met eventuele aftrekposten (bijvoorbeeld hypotheekrente). Sommige belastingdeskundigen beweren: De mensen met de hoogste inkomens kunnen doorgaans de hoogste bedragen aftrekken. Daardoor blijft er van de progressiviteit niet veel meer over. Zij pleiten daarom voor de invoering van een zogenaamde vlaktaks die inhoudt dat: bij de berekening van de belasting geen rekening wordt gehouden met aftrekposten. De belasting wordt dus berekend over het bruto inkomen; er een grens is (belastingvrije voet); over het gedeelte van het bruto inkomen tot aan die grens is geen belasting verschuldigd; over het gedeelte van het bruto inkomen boven die grens één vast belastingpercentage geldt. Wanneer er voorstellen worden ontwikkeld om de tariefstructuur te veranderen is het belangrijk om te zien welke gevolgen dit heeft voor de totale belastingopbrengst maar ook voor de individuele belastingbetaler. Daarom is uit de populatie van alle belastingbetalers een representatieve steekproef van 250 personen genomen. Klik op de tab Vlaktaks. Je komt nu in het werkblad Vlaktaks. Je ziet hier een tabel met gegevens van de 250 personen uit de steekproef. In kolom C staat het bruto inkomen, in kolom D het aftrekbare bedrag volgens de huidige tariefstructuur, en in kolom E het belastbaar inkomen. In kolom F staat de inkomstenbelasting volgens het huidige tarief (zie tabel 2). De bedragen zijn afgerond op hele euro s. De 250 personen zijn gerangschikt op bruto inkomen. www

9 Een politicus stelt voor de vlaktaks in te voeren met een belastingvrije voet van 7500 euro, en een belastingheffing van 30% over alles daarboven. Door de invoering van deze vlaktaks zou, in vergelijking met de huidige situatie, bij sommige personen de inkomstenbelasting flink dalen, maar bij andere personen zou deze juist flink stijgen. Neem bijvoorbeeld de laatste persoon in de steekproef (nummer 250). Het bruto inkomen van deze persoon is euro, dus volgens het voorstel moet 30% belasting betaald worden van euro. Dat is euro belasting, een stuk minder dan de huidige euro. De politicus beweert dat bij de door hem voorgestelde vlaktaks de totale belastingopbrengst vrijwel hetzelfde is als in de huidige situatie. We willen onderzoeken of de politicus gelijk heeft. Dit doen we door te berekenen hoeveel procent de totale belastingopbrengst in de steekproef zou veranderen na invoering van de vlaktaks. Hiervoor moet je eerst zorgen dat bij iedereen in kolom G de vlaktaks komt te staan. Voor personen met een bruto inkomen van minder dan 7500 euro kun je in kolom G een 0 invullen. Voor de overige personen moet je in kolom G een geschikte formule invullen. Tenslotte moet je de totale belastingopbrengst volgens het huidige systeem en volgens de vlaktaks berekenen. Hiermee kan de procentuele verandering worden berekend. 7p 13 Bereken met hoeveel procent de totale belastingopbrengst bij deze steekproef verandert wanneer het huidige stelsel wordt vervangen door een stelsel met de voorgestelde vlaktaks. Licht je werkwijze toe. www

10 Overlevingstafels Verzekeringsmaatschappijen en pensioenfondsen gebruiken zogenoemde overlevingstafels. Aan de hand van overlevingstafels kan onder andere worden bepaald hoe lang verzekerden en pensioengerechtigden naar verwachting in leven zullen blijven. Een overlevingstafel is een tabel waarin van een groep van pasgeborenen staat welk aantal er x jaar na de geboorte naar verwachting nog in leven is. Dit aantal heet L(x). Klik op de tab Overlevingstafel vrouwen. Je komt nu in het werkblad Overlevingstafel vrouwen. Hier zie je een overlevingstafel. In kolom A zie je de leeftijd x en in kolom B het bijbehorende aantal overlevenden L(x) voor vrouwen. Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat volgens de overlevingstafel van de pasgeboren meisjes de leeftijd van 10 jaar bereiken. Op basis van de gegevens in de kolommen A en B kun je de kans berekenen dat een vrouw van een bepaalde leeftijd al dan niet een hogere leeftijd bereikt. 4p 14 Bereken de kans dat een vrouw die zojuist 30 jaar is geworden, voor haar 60e verjaardag komt te overlijden. In kolom B kun je zien dat slechts van de pasgeboren meisjes de leeftijd van 1 jaar bereiken. Er zijn dus 390 meisjes die in hun eerste levensjaar overlijden. Je kunt in kolom B ook zien dat meisjes de leeftijd van 2 jaar bereiken. Er zijn dus 80 meisjes die in hun tweede levensjaar overlijden. Je kunt nu een kolom maken met daarin de aantallen vrouwen die in een bepaald levensjaar overlijden. Op basis van die aantallen kun je berekenen hoe oud vrouwen gemiddeld worden. Je mag er daarbij van uit gaan dat de 390 meisjes die in hun eerste levensjaar overlijden gemiddeld 0,5 jaar oud zijn geworden, dat de 80 meisjes die in hun tweede levensjaar komen te overlijden gemiddeld 1,5 jaar oud zijn geworden, enzovoorts. 5p 15 Bereken met behulp van Excel hoe oud vrouwen gemiddeld worden volgens de overlevingstafel. Licht je werkwijze toe. Omdat van de pasgeboren meisjes er volgens de overlevingstafel 390 niet de leeftijd van 1 jaar bereiken, zegt men dat de sterftekans P(0) van jarige meisjes gelijk is aan Dus 390 P (0) = = 0,0039. Van de meisjes die hun 1e verjaardag halen, zullen er volgens de overlevingstafel 80 niet de leeftijd van 2 jaar bereiken. De sterftekans van 80 1-jarige meisjes is daarom gelijk aan 0, Dus 80 P (1) = 0, Met behulp van de gegevens in de overlevingstafel kun je bij elke leeftijd de sterftekans berekenen. www

11 Omdat de grootste sterftekans duizenden keren groter is dan de kleinste sterftekans is het niet handig om de sterftekans P(x) van x-jarigen uit te zetten in een grafiek. In plaats daarvan zet men log(p(x)) uit in een grafiek. In figuur 2 is de grafiek van log(p(x)) getekend voor leeftijden tot en met 100 jaar. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. Je ziet dat er een duidelijk verband bestaat tussen de sterftekans en de leeftijd voor vrouwen tussen de 20 en 100 jaar. figuur log (P) leeftijd x in jaren Klik op de tab Overlevingstafel mannen. Je komt nu in het werkblad Overlevingstafel mannen. Je ziet nu een overlevingstafel voor mannen. In kolom A zie je weer de leeftijd x en in kolom B het bijbehorende aantal overlevenden. Op basis van deze gegevens kun je een grafiek maken zoals die in figuur 2, maar dan voor mannen. In Excel kun je de logaritme uitrekenen met de functie LOG(getal). Bijvoorbeeld, met de formule =LOG(D43) wordt de logaritme van het getal in cel D43 uitgerekend. 5p 16 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van mannen voor leeftijden tussen de 20 en 100 jaar. Voor vraag 17 heb je de computer niet nodig. www

12 Met behulp van de gegevens in de overlevingstafel voor vrouwen kun je de sterftekans berekenen voor verschillende leeftijden. Een formule die deze sterftekans goed benadert voor leeftijden tussen 35 en 100 jaar is: Px ( ) = 0, ,106 x De afgeleide van deze formule, d P, heeft voor elke leeftijd een andere waarde. dx 4p 17 Bepaal de afgeleide van P(x) en beschrijf wat de waarde van d P voorstelt in dx deze context. Als je helemaal klaar bent en je wilt je werk inleveren dan kun je Excel afsluiten. Je komt dan weer terug in het openingsscherm. uitwerkbijlage Naam kandidaat Kandidaatnummer log (P) leeftijd x in jaren www