Eamen VW 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. ls bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. ls er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-105-f-15-1-o
Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t 1 1 sin t VW-105-f-15-1-o / 10 lees verder
Wortelfuncties In de figuur zijn de grafieken getekend van de functies f en g gegeven door f ( ) en g ( ) 1. Verder zijn de lijnen getekend met vergelijkingen a en 4, met 0 a 4. figuur 1 = a = 4 f g 6p In figuur 1 zijn twee vlakdelen grijs gemaakt. Het ene grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafieken van f en g en de lijn met vergelijking a. Het andere grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van g, de -as en de lijnen met vergelijkingen a en 4. 1 Bereken eact voor welke waarde van a deze vlakdelen gelijke oppervlakte hebben. Gegeven is het punt (, 0). Bij elk punt P op de grafiek van f kan het midden van lijnstuk P worden bepaald. Dat midden noemen we M. Verder is de functie h gegeven door h ( ). f P 1 1 In figuur zijn de grafieken van f en h getekend. ok is voor een punt P het lijnstuk P met midden M getekend. figuur h M 4p Er geldt: voor elk punt P op de grafiek van f ligt het punt M op de grafiek van h. Bewijs dit. VW-105-f-15-1-o 3 / 10 lees verder
Cirkels en lijnstuk ver de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1 beweegt een punt met bewegingsvergelijkingen: () t sint t () cost met 0 t ver de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal beweegt een punt B met bewegingsvergelijkingen: () t sin() t t () cos() t met 0 t In de figuren 1 en zijn de twee cirkels en het lijnstuk B getekend voor de tijdstippen t 0 en t. figuur 1 figuur t = 0 B 1 t = 1 - -1 1 - -1 1-1 - B -1-5p p de tijdstippen waarop B zich op de -as bevindt, bevindt zich op de lijn met vergelijking of op de lijn met vergelijking. 3 Bewijs dit. VW-105-f-15-1-o 4 / 10 lees verder
In figuur 3 is het lijnstuk B getekend op een tijdstip waarop het horizontaal is en boven de -as ligt. figuur 3 1 B - -1 1-1 - 6p Er zijn twee tijdstippen waarop het lijnstuk B horizontaal is en onder de -as ligt. 4 Bereken voor één van deze tijdstippen de coördinaten van, afgerond op één decimaal, en teken het bijbehorende lijnstuk B in de figuur op de uitwerkbijlage. p het interval 0, π is er één tijdstip waarop lijnstuk B raakt aan de kleinste cirkel. Zie figuur 4. figuur 4 1 - -1 1-1 B - 6p p dit tijdstip staat de vector B loodrecht op de vector. 5 Bereken eact dit tijdstip. VW-105-f-15-1-o 5 / 10 lees verder
smptoten, perforatie en linkertop Voor elke waarde van a wordt de functie f a gegeven door: f a 4 10 4 ( ) a met 1 a De grafiek van f 5 heeft een verticale asmptoot en een scheve asmptoot. De twee asmptoten snijden elkaar onder een hoek met in graden. In de figuur is de grafiek van f 5 met de asmptoten en hoek weergegeven. figuur f 5 β f 5 4p 6 Bereken algebraïsch de waarde van. 7p 6p Er zijn waarden van a, zoals a 5 (zie figuur), waarvoor de grafiek van f a twee toppen heeft. De top met de kleinste -coördinaat noemen we de linkertop. Er is een waarde van a waarvoor de linkertop op de -as ligt. 7 Bereken eact voor welke waarde van a de linkertop op de -as ligt. Er zijn twee waarden van a waarvoor de grafiek van f a een lijn met een perforatie is. 8 Bereken eact, voor de grootste van die twee waarden van a, de coördinaten van de perforatie. VW-105-f-15-1-o 6 / 10 lees verder
Loodrecht Gegeven zijn de punten, en B met coördinaten (0, 0), (4, 0) en B(1, 1 3). Driehoek B is gelijkzijdig. p zijde B ligt punt C zo, dat C B en op zijde B ligt punt D zo, dat BD figuur 1. figuur 1 3 3 B. Punt E is het snijpunt van de lijnstukken C en D. Zie 1 3 B C D E 4 Punt E heeft coördinaten E (1, 6 3). 7p 9 Laat met eacte berekeningen zien dat de -coördinaat van E inderdaad gelijk is aan 1. In figuur is opnieuw driehoek B getekend, nu met de lijnstukken E en BE. figuur 1 3 B E 4 3p 10 Bewijs dat EB 90. VW-105-f-15-1-o 7 / 10 lees verder
Hardheid De functie f wordt gegeven door f ( ) 5 halve cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 5.. De grafiek van f is een Voor de functie f geldt: 5 f' 1 ( ) 5 5p 11 Bewijs dit. In figuur 1 is de grafiek van f getekend. We bekijken het deel van de grafiek tussen 5 h en 5. Door dit gedeelte te wentelen om de -as ontstaat het bolsegment met dikte h. Zie figuur. figuur 1 figuur f 5-5 5-h 5 h Voor de grijs gemaakte oppervlakte van het bolsegment, dus zonder de oppervlakte van de cirkelvormige linkerkant, geldt: 5 π f( ) 1 ( f' ( )) d 5 h Met behulp van deze integraal kan eact worden berekend dat 10πh. 3p 1 Bewijs dat 10πh. De formule 10πh voor de oppervlakte van een bolsegment bewijst zijn nut bij de methode die de Zweed Brinell ontwikkelde voor het bepalen van de hardheid van materialen. Bij deze methode wordt gebruik gemaakt van een massieve bolvormige kogel die een diameter van 10 mm heeft. De kogel wordt met kracht tegen het te testen materiaal gedrukt, waardoor er in het materiaal een indruk in de vorm van een bolsegment ontstaat. De oppervlakte van dat bolsegment hangt af van de hardheid van het materiaal en de kracht waarmee wordt gedrukt. VW-105-f-15-1-o 8 / 10 lees verder
Deze kracht mag niet zo groot zijn dat de kogel vervormt of voor meer dan de helft in het materiaal wordt gedrukt. In de praktijk wordt bij de hardheidsmeting volgens Brinell de diameter d (in mm) van de cirkelvormige rand van de indruk gemeten. In figuur 3 is een dwarsdoorsnede getekend van een kogel met diameter 10 mm die een stukje in het materiaal is gedrukt. De diepte van de indruk is h (in mm). figuur 3 10 h 10 100 d h d Met behulp van figuur 3 kan het volgende verband tussen h en d worden gevonden: 5p 13 Bewijs de juistheid van deze formule. De hardheid volgens Brinell wordt aangeduid als HB. Deze hardheid wordt bepaald met de formule: HB 0,10 F Hierbij is F de kracht in newton (N) waarmee wordt gedrukt en de oppervlakte van het bolsegment dat in het materiaal is gedrukt in mm. 5p Bij een hardheidsmeting wordt de kogel met een kracht van 9 400 N in het te testen materiaal gedrukt. 14 Bereken voor welke waarde van d de hardheid HB van het materiaal 340 is. Rond je antwoord af op één decimaal. Let op: de laatste vragen van dit eamen staan op de volgende pagina. VW-105-f-15-1-o 9 / 10 lees verder
Smmetrisch gebied e De functie f wordt gegeven door f( ). (e 1) De grafiek van f is smmetrisch ten opzichte van de -as. Gegeven is p, met p 0. In de figuur is het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de -as en de lijnen met vergelijking p en p grijs gemaakt. figuur = p = p De oppervlakte van dit gebied noemen we ( p ). 1 Een primitieve F van f wordt gegeven door F( ) e 1. Er geldt: p ( ) 1 e p 1 4p 4p 15 Bewijs met behulp van de gegeven primitieve functie dat inderdaad geldt: p ( ) 1 e p 1 ls p onbegrensd toeneemt, nadert ( p ) tot een limietwaarde L. Er is een waarde van p waarvoor ( p ) de helft is van L. 16 Bereken eact deze waarde van p. einde VW-105-f-15-1-o 10 / 10 lees verder