Tafels Schryvers- Aoust 2011 Wat verstaat men onder prospectieve sterfte en hoe berekent men ze? Inleiding... 1 De stationaire sterftetafels van de FOD... 2 Prospectieve sterftetafels... 3 Inleiding... 3 Enkele grondbegrippen over de opbouw van prospectieve tafels.... 4 De tafel Schryvers- Aoust 2011... 7 Inleiding Geïnspireerd door de publicaties van vooral de Institut des Sciences Actuarielles van de UCL houden wij sinds geruime tijd voor dat de gemiddelde levensduur alsmaar langer wordt en dat de klassieke sterftetafels met dat constante gegeven geen rekening houden voor de toekomst. De afbeelding hieronder illustreert dit fenomeen met de weergave van de ontwikkeling van de levensverwachting bij de geboorte berekend op basis van de stationaire sterftetafels van de Federale Overheidsdienst (verderop FOD genoemd). Afbeelding 1 Stijging van de levensverwachting Men ziet hierop duidelijk de regelmatige stijging van de levensverwachting van mannen en vrouwen. Hoewel de vrouwen nog altijd het langst leven, ziet men dat het verschil echter met een jaar is afgenomen in de loop van het laatste decennium. Deze waarnemingen bevestigen dat de levensverwachting geen constante maatstaf is
De stationaire sterftetafels van de FOD Een stationaire sterftetafel toont voor elke leeftijd en voor elk geslacht het aantal waargenomen sterfgevallen (dx) in de huidige populatie (px). Op basis van deze twee gegevens bepaalt men de sterftekans (Qx) op elke leeftijd: Qx = dx/px. Elk jaar publiceert de FOD deze tafels 2007-2009 Leeftijd (x) Populatie (px) Doden (dx) Overlijden waarschijnlijkh eid (Qx) BELGIE Mannen Overlevenden (Lx) Dood van de tabel (Dx) Levenverwachting (Ex) Populatie (px) Doden (dx) Overlijden waarschijnlijkh eid (Qx) Overlevenden (Lx) Dood van de tabel (Dx) Levenverwachting (Ex) birth 194.915 696 0,003571 1.000.000 3.571 76,89 185.659 529 0,002849 1.000.000 2.849 82,32 0 188.936 162 0,000857 996.429 854 76,66 180.432 110 0,000610 997.151 608 82,06 1 187.982 58 0,000309 995.575 307 75,73 179.693 46 0,000256 996.543 255 81,11 2 186.065 32 0,000172 995.268 171 74,75 177.481 28 0,000158 996.288 157 80,13 3 182.533 41 0,000225 995.096 224 73,76 174.110 19 0,000109 996.130 109 79,14 4 179.585 22 0,000123 994.873 122 72,78 171.604 9 0,000052 996.022 52 78,15 5 178.603 17 0,000095 994.751 95 71,79 171.166 15 0,000088 995.970 87 77,15 6 180.234 19 0,000105 994.656 105 70,80 172.562 21 0,000122 995.882 121 76,16 7 181.236 13 0,000072 994.552 71 69,80 174.022 18 0,000103 995.761 103 75,17 8 182.278 17 0,000093 994.480 93 68,81 174.553 13 0,000074 995.658 74 74,17 9 182.887 11 0,000060 994.387 60 67,82 175.428 14 0,000080 995.584 79 73,18 10 184.413 22 0,000119 994.328 119 66,82 176.951 21 0,000119 995.504 118 72,19 Afbeelding 2 - Voorbeeld van stationaire tafel (FOD 2007-2009) In het algemeen is er een tijdsverschil van twee jaar tussen het jaar van publicatie van de tafels en het lopend jaar. Zo zijn nu in 2011 de meest recente tafels die van de waarnemingen 2009. Deze sterftetafels, die gebaseerd zijn op de waarnemingen van een specifiek jaar, vermengen echter al de generaties van het rijk. Neem nu als voorbeeld de tafel 2009. De pasgeboren kinderen zijn geboren in 2009 terwijl personen van 60 jaar werden geboren in 1949. Eens de sterftekansen op elke leeftijd zijn bepaald, neemt men in de ramingen aan dat die kansen in de toekomst constant zullen blijven. Het is nochtans erg onwaarschijnlijk dat over 60 jaar de pasgeborene van vandaag dezelfde sterftekansen heeft als zijn grootvader. Met deze tafels is het dus niet mogelijk rekening te houden met de toekomstige verlenging van de levensduur. De tafels zoals ze zijn te raadplegen op de PDF- site 1, hebben ook het nadeel bijzonder gevoelig te zijn aan de wisselvalligheden van de waargenomen sterfte. Zo gebeurt het dat de sterftekansen op de hogere leeftijden erg variëren afhankelijk van de beschikbare waarnemingen. Ook gebeurt het dat een tafel eigenaardige verschijnselen vertoont. Zo kan het gebeuren dat de sterftekans op een bepaalde leeftijd lager is dan voor een jonger individu. Het gezond verstand zou echter verwachten dat de sterftekans stijgt met de leeftijd. BELGIE Vrouwen Om die onbestendigheid te vermijden publiceert de FOD driejarentafels waarmee een groter aantal waarnemingen kunnen worden gebruikt en waarmee ongeregeldheden 1 http://statbel.fgov.be/nl/statistieken/cijfers/bevolking/sterfte_leven/tafels/
kunnen worden vermeden. Men stelt echter vast dat ook de driejarentafels, vooral op de hogere leeftijden, kunnen leiden tot onwaarschijnlijke resultaten wegens een te klein aantal waarnemingen. In de vorige jaren hebben wij gewerkt met sterftetafels die een projectie waren van de waarnemingen van de laatst gepubliceerde tafels naar het jaar van onze publicatie. Dit waren echter ook slechts stationaire tafels die geen generatiesterftecijfers gaven. Prospectieve sterftetafels Inleiding Een prospectieve sterftetafel is een tabel die per leeftijd en per geslacht de sterftekansen bepaalt afhankelijk van het kalenderjaar waarop het individu die leeftijd bereikt. Dit soort tafel maakt het mogelijk de sterftekansen per generatie te bepalen. Met generatie bedoelt men het geheel van individuen van een zelfde leeftijd, d.i. geboren in een zelfde jaar. De tabel kan worden gemaakt met bij voorbeeld de leeftijden op de rijen en het bereiken van de leeftijd in de kolommen: 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 25 0,000332 0,000329 0,000326 0,000323 0,000321 0,000318 0,000315 0,000312 0,000310 0,000307 26 0,000346 0,000343 0,000340 0,000337 0,000334 0,000331 0,000328 0,000325 0,000322 0,000320 27 0,000355 0,000352 0,000349 0,000346 0,000343 0,000340 0,000337 0,000334 0,000331 0,000328 28 0,000367 0,000364 0,000361 0,000358 0,000355 0,000352 0,000349 0,000346 0,000343 0,000340 29 0,000381 0,000378 0,000374 0,000371 0,000368 0,000365 0,000361 0,000358 0,000355 0,000352 30 0,000407 0,000403 0,000399 0,000396 0,000392 0,000389 0,000385 0,000382 0,000378 0,000375 31 0,000434 0,000431 0,000427 0,000423 0,000419 0,000415 0,000412 0,000408 0,000404 0,000401 32 0,000460 0,000456 0,000452 0,000448 0,000444 0,000440 0,000436 0,000432 0,000429 0,000425 33 0,000489 0,000485 0,000480 0,000476 0,000472 0,000468 0,000464 0,000460 0,000456 0,000452 34 0,000529 0,000525 0,000520 0,000516 0,000512 0,000507 0,000503 0,000499 0,000495 0,000490 Afbeelding 3 Voorbeeld van prospectieve tafel Een persoon van 25 jaar in 2009 zal 34 zijn in 2018. Met de prospectieve tafel kan worden berekend wat de sterftequotiënt zal zijn op elke tussenliggende leeftijd. Deze quotiënten verschillen voor elke generatie en vertonen meestal een negatieve tendens. De sterftekans van een individu van 34 jaar in 2017 is hoger dan die van een persoon van 34 jaar in 2018. Elke generatie bepaalt immers de sterftekansen die haar eigen zijn. Probleem is alleen dat men die kansen slechts a posteriori kan kennen, te weten na de waarneming van de sterfgevallen. Het is echter mogelijk, op basis van een analyse van de in het verleden waargenomen tendensen, te proberen de toekomstige sterfte te bepalen. Die benadering geeft uiteraard geen absolute zekerheid; ze maakt het echter wel mogelijk om rekening te
houden met de verlenging van de levensduur die we sinds verschillende decennia waarnemen. De afbeelding hieronder illustreert het verschil tussen stationaire en prospectieve tafels. Men bemerkt dat de sterfte in een stationaire tafel verstart bij de laatste waarneming terwijl ze in de prospectieve tafel voortgaat met zich te ontwikkelen volgens de tendens in het verleden. Afbeelding 4 - Verschil tussen stationaire en prospectieve sterfte Enkele grondbegrippen over de opbouw van prospectieve tafels. Er bestaan verschillende modellen waarmee de sterftekansen in de toekomst kunnen worden bepaald. De bedoeling van huidig artikel is zeker niet een vergelijkende analyse van de onderliggende vergelijkingen met de door actuarissen en demografen meest gebruikte modellen te maken. We kunnen echter wel de algemene benadering die in de meeste modellen gebruikt wordt, beschrijven. De benadering per generatie van de prospectieve tafels wordt op die manier duidelijker gemaakt. De opmaak van prospectieve tafels die als het ware een toekomstvoorspelling inhouden, bestaat erin de tendensen van het verleden te analyseren. Daarvoor verzamelen de actuarissen en demografen de waarnemingen uit het verleden zoals in de eerder vermelde SPF- tafels. Door de waarnemingen naast elkaar te leggen, maakt de mathematicus een historiek van de ontwikkeling van de sterftequotiënten op elke leeftijd in het verleden. De afbeelding hieronder stelt voor een gegeven leeftijd de verschillende waarnemingen van de sterftekansen in het verleden voor.
Afbeelding 5 - Ontwikkeling van de waargenomen sterftekansen Men bemerkt dat in die verschillende waarden een zekere tendens kan worden vastgesteld. Vertrekkend vanuit deze waarnemingen en dus vanuit de tendens op elke leeftijd of een reeks van leeftijden, is de actuaris in staat een model te maken waaruit de toekomstige tendens kan worden afgeleid. De actuaris beperkt zich meestal tot de cijfers. Hij bepaalt namelijk een uiterste datum die niemand overleeft en belet zo dat de tendens van het verleden zich te lang in de toekomst zou voortzetten wat tot extreemlage sterftekansen zou leiden. Hij houdt meestal geen rekening met wisselvallige en onvoorspelbare gebeurtenissen zoals epidemieën, oorlogen of belangrijke medische ontdekkingen. De projectiemodellen passen meestal niet doorlopend de initieel vastgestelde tendens toe. De modellen zorgen ervoor de vermindering van de sterftequotiënten geleidelijk af te zwakken om elk overmatig optimisme i.v.m. de sterfteontwikkeling te vermijden. Wij zijn immers nog niet onsterfelijk. Afbeelding 6 - Vermindering van de dalende sterftetendens
Wie belangstelling heeft voor de materie, kan het technische artikel van het Federaal Planbureau (FPB) lezen met meer uitleg over de totstandkoming van de prospectieve sterftetafels. 2 Het gebruik van de prospectieve sterftetafels en dus van wiskundige voorspellingsformules maakt het mogelijk de zwaktes uit de waarnemingstafels te vermijden. Deze tafels bieden inderdaad de gelegenheid rekening te houden met de stijging van de levensverwachting door de wisselvalligheid van de waarnemingen te vermijden die kunnen leiden tot contra- intuïtieve resultaten zoals sterftekansen die niet altijd stijgen met de leeftijd. Ter illustratie geven we hierna twee vergelijkende afbeeldingen weer van de sterftequotiënten op de hogere leeftijden, enerzijds van de driejarentafel 2007-2009 SPF en anderzijds van onze prospectieve tafel. Afbeelding 7 - Vergelijking tussen waarnemingen en prospectief model De vermindering van de sterftekansen op de lagere leeftijden heeft slechts een beperkte invloed. Voor de hoge leeftijden kan dit fenomeen echter wel belangrijke gevolgen hebben. Wij geven de voorkeur aan de prospectieve sterftetafels die sterftekansen vermijden die niet zouden stijgen met de leeftijd. 2 http://www.plan.be/publications/publication_det.php?lang=nl&tm=46&is=63&keypub=901 (alleen in het Frans beschikbaar met inleiding in het Nederlands)
De tafel Schryvers- Aoust 2011 Vanaf dit jaar stellen we kapitalisatietafels voor die gebaseerd zijn op de prospectieve sterftetafels. De gebruiker zal geen verschil zien in de presentatie van de resultaten en van de kapitalisatie- of omzettingstabellen. Het is echter belangrijk te weten dat wij een essentiële methodologische verandering hebben uitgevoerd. Onze nieuwe tabellen houden rekening met de stijging van de levensverwachting en vermijden het gebruik van waarnemingstabellen die het dubbele gebrek vertonen geen rekening te houden met de toekomstige stijging van de levensduur en contra- intuïtieve waarnemingen te tonen. Aangezien het gaat om voorspellingen, zou het nuttig zijn het aantal modellen die ten dienste staan van de rechtspractici te beperken. We geven er dan ook de voorkeur aan het basiswerk te gebruiken dat aangeboden wordt door het openbaar kwaliteitsorgaan, het FPB waarvan het working paper Prospectieve sterftequotiënten per geslacht en uniseks goedgekeurd werd door een panel specialisten. De quotiënten zullen geregeld worden aangepast om rekening te houden met de nieuwe beschikbare waarnemingen. We hebben nochtans beslist de door het FPB voorgestelde tafel een weinig aan te passen om te vermijden dat de waargenomen tendensen te lang zouden blijven een invloed uit te oefenen op de levensverwachting in de toekomst. Omdat het hier gaat om een oefening van een voorspelling, leek het ons voor alle partijen correct niet al te zeer vooruit te lopen op de toekomst. Met verwijzing naar een door de banksector gebruikte uitdrukking, wijzen wij erop dat de opbrengsten uit het verleden geen garantie bieden voor de toekomst. Daarom verkiezen wij te opteren voor wat ons een gulden middenweg lijkt door rekening te houden met de stijging van de levensduur zonder er nochtans een fenomeen van te maken dat zich al te lang zou voortzetten. J.Schryvers - J- P Aoust juli 2011