Eamen VWO 00 tijdvak 3 dinsdag mei 330-630 uur oud programma wiskunde, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 9 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden ls bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden ed) dan er worden gevraagd ls er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld VW-0-a-0--o
Oppervlakte en inhoud bij f() = e De functie f is gegeven door f( ) = e figuur Op de grafiek van deze functie liggen de punten (0,) en (, e ) De grafiek van f en het lijnstuk sluiten een vlakdeel in Zie figuur 6p ereken algebraïsch de oppervlakte van dat vlakdeel 9 8 7 6 f 4 3 - - O 3 De grafiek van f, de lijn = en de figuur lijn = sluiten een vlakdeel in Zie figuur We wentelen dit vlakdeel om de lijn = 6p ereken de eacte inhoud van het omwentelingslichaam dat dan ontstaat 9 8 7 f 6 4 3 C - - O 3 VW-0-a-0--o lees verder
Met een gemeenschappelijk brandpunt Gegeven is een driehoek C, met een figuur punt P op de zijde C De ellips e heeft en als brandpunten en de ellips e heeft en C als brandpunten De ellipsen e en e snijden elkaar in de punten P en Q e C In het punt P tekenen we de raaklijnen aan beide ellipsen Zie figuur Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage Q P e De raaklijnen staan loodrecht op elkaar p 3 ewijs dit Je kunt daarvoor gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage 4p 4 ewijs dat er een hperbool bestaat met brandpunten en C die door de punten P en Q gaat VW-0-a-0--o 3 lees verder
Een parabool? Voor elk getal a met 0 a 0 zijn gegeven: het punt ( aa, ) op de lijn = en het punt ( a 0,0 a) op de lijn = Zie figuur figuur =- 0 = ( a -0, 0-a) (a, a) -0 O 0 Voor de lijn geldt de formule = ( a ) a + a 4p Toon aan dat deze formule juist is voor a = 4 Voor elke waarde van a tussen 0 en 0 heeft het lijnstuk een snijpunt met de -as Zie figuur figuur =- 0 = -0 O 0 De grootste waarde die de -coördinaat van zo n snijpunt aanneemt is 4p 6 Toon dit langs algebraïsche weg aan VW-0-a-0--o 4 lees verder
ls je alle verbindingslijnstukken tekent voor 0 a 0, wordt een gebied G opgevuld In figuur 3 is het gebied G grijs gemaakt figuur 3 =- 0 = G -0 O 0 Het lijkt alsof het gebied G aan de bovenkant begrensd wordt door een parabool ls dit juist is, is dat de parabool die door de punten (0, ), (0, 0) en ( 0,0) gaat Een formule van die parabool is: = + 0 (4, 4) is een punt van deze parabool ls het gebied G aan de bovenkant begrensd wordt door deze parabool, is de raaklijn aan de parabool in (4, 4) een van de lijnen 6p 7 Onderzoek of de raaklijn aan de parabool in (4, 4) een van de lijnen is VW-0-a-0--o lees verder
Wisselingen in rijtjes kop en munt Het komt wel eens voor dat onderzoeksresultaten vervalst worden om gewenste uitkomsten te krijgen In deze opgave bekijken we een wiskundige techniek om zulke fraude te achterhalen Deze techniek is erop gebaseerd dat het verdacht is als in rijtjes onafhankelijke waarnemingen te veel afwisseling voorkomt We demonstreren deze techniek aan de hand van een sterk vereenvoudigde situatie: het meerdere keren werpen van een muntstuk We werpen tien keer een zuiver muntstuk en noteren de rij uitkomsten: 3 4 6 7 8 9 Hierin stelt telkens kop (K) of munt (M) voor We kijken naar het aantal wisselingen in zo n rijtje De negen plekken waar een wisseling kan optreden, zijn genummerd 3p 8 Toon aan dat er verschillende rijtjes van tien worpen zijn met precies wisselingen In onderstaande tabel staan de kansen op de verschillende aantallen wisselingen bij tien keer werpen van een muntstuk aantal wisselingen kans 0 3 4 6 7 8 9 8 7 68 68 7 8 Joll moet tien keer een muntstuk werpen, het verkregen rijtje noteren en de wisselingen tellen Dit saaie werk moet zij 0 keer doen 3p 9 ereken de kans dat de 0 rijtjes allemaal ten minste één wisseling hebben Hieronder staan de rijtjes die Joll heeft opgeschreven met achter elk rijtje het aantal wisselingen KMKKMMMKMM KKMKMMMKKK 4 MMMKMKMMKM 6 KMKMKKKKMK 6 MMKKKMMMMK 3 MMMKKMKMMM 4 MKMMMKKKMM 4 MKKKMMMMKM 4 KMKKMMKKMM MMMMKKKKKK MMKKKKKMMM MMKMKMKKMK 7 KMKKMKMMKK 6 MMMKKMMMMK 3 KMMKMMKKMK 6 KKKMKMKKMK 6 MKMKKMKMMK 7 KKKKMKMMMM 3 KKMKMKMMKK 6 MKMKMMKKKM 6 We vragen ons af of Joll wel echt met een muntstuk heeft geworpen Zij heeft namelijk 9 rijtjes met meer dan wisselingen genoteerd ls iemand echt met een muntstuk werpt, is de kans op 9 of meer rijtjes met meer dan wisselingen nogal klein ls die kans kleiner dan % is, vertrouwen we Joll niet en verdenken we haar ervan dat zij - zonder echt met een muntstuk te werpen - zomaar wat K-M-rijtjes heeft opgeschreven p 0 Is er voldoende aanleiding om Joll niet te vertrouwen? Licht je antwoord toe VW-0-a-0--o 6 lees verder
Jupiter en arde De planeten Jupiter en arde draaien om de zon In deze opgave doen we de werkelijkheid enigszins geweld aan met de volgende vereenvoudigingen: de banen van Jupiter en arde zijn cirkelvormig de banen liggen in één vlak Jupiter en arde hebben constante snelheid Jupiter en arde zijn puntvormig de omlooptijd van arde is jaar de omlooptijd van Jupiter is jaar de afstand Jupiter-Zon is keer zo groot als de afstand arde-zon figuur Z J We kiezen een assenstelsel in het vlak waar Jupiter en arde zich bewegen met Zon in de oorsprong en als lengte-eenheid de astronomische eenheid (E); dat is de afstand arde-zon arde heeft in dit model de bewegingsvergelijkingen: = cosπt, = sin πt De bewegingsvergelijkingen van Jupiter zijn: J = cos πt, 6 J = sin πt 6 Hierbij is t de tijd in jaren In figuur staat een schets van de situatie op tijdstip t = 0 De onderlinge afstand tussen Jupiter en arde op tijdstip t is, volgens de stelling van Pthagoras, ( J) + ( J) E Met behulp van de bewegingsvergelijkingen kan aangetoond worden dat deze afstand gelijk is aan 6 0cos( π t) E p Toon dit aan 6 p ereken op algebraïsche wijze met welke snelheid de afstand tussen arde en Jupiter verandert op tijdstip t = 3 Geef je antwoord in E/jaar, afgerond op twee decimalen VW-0-a-0--o 7 lees verder
Met constante hoek Gegeven is een lijnstuk figuur We bekijken alle punten P waarvoor geldt dat P = 30 De meetkundige plaats van al deze punten P bestaat volgens de stelling van de constante hoek uit twee M N cirkelbogen Voor de middelpunten M en N van die cirkelbogen geldt: M = N = 60 De twee bogen zijn in figuur getekend P met een van de punten P als voorbeeld Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage De twee cirkelbogen ontmoeten elkaar in en in Onder de hoek tussen de cirkelbogen in verstaan we de hoek die de raaklijnen aan de bogen in met elkaar maken 4p 3 ereken deze hoek Je kunt daarbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage 4p 4 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt dat P = 4 Licht je werkwijze toe In figuur zijn vier meetkundige plaatsen getekend Deze meetkundige plaatsen horen bij alle punten P waarvoor respectievelijk P = 0, P = 30, P = 40 en P = 0 figuur 0 30 40 0 Er bestaat een simpel verband tussen één van deze vier meetkundige plaatsen en de (niet getekende) meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt dat P = 40 3p Welk verband en welke meetkundige plaats worden hier bedoeld? Licht je antwoord toe VW-0-a-0--o 8 lees verder
Rij en oppervlakte De functie f is gegeven door f( ) = + De oppervlakte van het vlakdeel dat ingesloten wordt door de grafiek van f en de lijnen = 0, = en = 0 kunnen we benaderen met een Riemann-ondersom R n R is de totale oppervlakte van n n figuur f rechthoeken van breedte n De hoogte van de i-de rechthoek van links is f i ( n ) = i n +, voor i =,,, n 0 Figuur illustreert de Riemann-ondersom R 0 3p 6 ereken de Riemann-ondersom R 00 in vier decimalen nauwkeurig Uit de gegevens is af te leiden dat voor de Riemann-ondersom R n = + + + + n + n n 3p 7 Geef deze afleiding 4p 8 ereken eact de waarde van R00 R99 R n geldt: De rij R, R, R 3, R 4, heeft een limiet Deze limiet is te berekenen met behulp van de functie f 4p 9 ereken deze limiet eact VW-0-a-0--o* 9 lees verder einde